synthŁse de filtresbenoit.decoux.free.fr/enseignement/signal/ece/cours_filtres_1.pdf · ( , q...
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1
Cours de
Traitement du signal- Synthèse de filtres -1ère partie : Filtres Analogiques
Benoît [email protected]
2
Cours de "Synthèse de filtres", 1ère partie
Plan
Introduction généraleGénéralités et rappels sur le filtrage
I) Synthèse de filtres analogiquesI.1) Cellules élémentaires de filtrage
I.1.1) Cellules du 1er et du 2e ordreI.1.2) Réalisation électroniqueI.1.3) Association des cellules élémentaires
I.2) Filtres de ButterworthI.3) Filtres de TchebyscheffI.4) Filtres de CauerI.5) Filtres de BesselI.6) Comparaison des performancesI.7) Résumé des différentes étapes de synthèseI.8) Exemple complet
3
Introduction
Définitions
e(t) : entrée s(t) : sortie h(t) : réponse impulsionnelle (à δ(t))
E(p) =TL[e(t)] S(p)=TL[s(t)]
Représentations
)p(E)p(S)p(H =
)f(E)f(S)f(Hou
)j(E)j(S)j(H =
ωω=ω
NM,dt
)t(edbdt
)t(sdaM
0mm
m
m
N
0nn
n
n ≤=∑∑==
∫+∞
∞−
τττ−== d)(e)t(h)t)(h*e()t(s
Domaine temporel Domaine fréquentiel (complexe)
p=jω)t(h
TL
Equation différentielle
Réponse impulsionnelle
Réponse à une entrée quelconque
Fonction de transfert de Laplace
Fonction de transfert harmonique
TF
TF
TL
Signaux quelconques
Signaux sinusoïdaux
Introduction générale (1/4)
4
Objectif
Se rapprocher des filtres idéaux (le plus simplement possible)
passe-bas passe-haut passe-bande coupe-bande
Autre type de filtre courant : passe-tout (déphaseur pur)
1
fc f1 f2 f1 f2fc
1 1 1
Introduction Introduction générale (2/4)
)j(H ω
0fc f1 f2 f1 f2fc
0 0 0)j(Hlog20 ω
1)j(H ω
0)j(Hlog20 ω
f
f
f
f
5
Caractérisation des filtres "physiques"
- type : passe-bas, passe-haut, passe-bande : coupe-bande, passe-tout
- fréquence(s) de coupure
- pente des variations (liée à lordre du filtre)
- retard de phase
- retard de groupe
Si la phase est linéaire, tg est constant ↔ le signal ne subit pas de déformation.
Introduction Introduction générale (3/4)
ωωϕ−=ϕ
)(t
ωωϕ−=
d)(d
gt
6
Stabilité
Condition par rapport aux pôles
Un système est stable si tous les pôles de sa fonction de transfert de Laplace sont situés dans le demi-plan situéà gauche de laxe imaginaire du plan de la variable p :
plan p
Explication
Pôle réel p0 :
Pôles complexes conjugués p1,2=α±jβ :
Condition par rapport à la réponse impulsionnelle
Soit h(t) la réponse impulsionnelle dun système. Ce système est stable si : ∫+∞
−∞=∞<
tdt)t(h
tpL
0
0Ae)t(hpp
A)p(H =→←−
=
)tsin(.eA)t(h)pp)(pp(
A)p(H tL
21
ωω=→←−−
= α
risque dinstabilité
Introduction Introduction générale (4/4)
Re
Im
zone destabilité
7
Cellule passe-bas du 1er ordre
Gain en dB :
Fonction de transfert harmonique :
Cellule passe-haut du 1er ordre
c
j1
1)j(H
ωω+
=ω
)j(Hlog20)(HdB ω=ω
Cellules élémentaires de filtrage : 1er ordreI) Synthèse de filtres analogiques
I.1) Cellules élémentaires de filtrageI.1.1) Cellules du 1er et du 2e ordre
c
c
j1
j)j(H
ωω+
ωω
=ωpente=20dB/décade
pente=-20dB/décadepente=-20dB/décade
8
Cellule passe-bas du 2e ordre
Exemple dun filtre passe-bas du 2e ordre :
ξ coefficient damortissement
( , Q facteur de qualité)
Gain en dB :
Le cas ξ=0,7 est intéressant, puisque on a une réduction de gain assez limitée (-3dB), et une pente 40dB/déc.
2
cc
jj21
1)j(H
ωω+
ωωξ+
=ω
)j(Hlog20)(HdB ω=ω
Cellules élémentaires de filtrage : 2e ordre (1/3)
Q21=ξ
I) Synthèse de filtres analogiquesI.1) Cellules élémentaires de filtrage
I.1.1) Cellules du 1er et du 2e ordre
ξ=0,1
ξ=0,7
pente=-40dB/décade
ξ=2
ξ=0,1
ξ=0,7
pente=-40dB/décade
ξ=2
9
Cellule passe-bande du 2e ordre
Exemple dun filtre passe-bas du 2e ordre :
bande passante :
avec fréquence centrale
Gain en dB :
2
cc
2
c
jj21
j)j(H
ωω+
ωωξ+
ωω
=ω
)j(Hlog20)(HdB ω=ω
Cellules élémentaires de filtrage : 2e ordre (2/3)I) Synthèse de filtres analogiques
I.1) Cellules élémentaires de filtrageI.1.1) Cellules du 1er et du 2e ordre
Qff 0=∆
21 cc0 fff ×=
ξ=0,7
pente=-20dB/décade
ξ=2
ξ=0,1
10
Cellules du 1er et du 2e ordre
1er ordre
Passe-bas : Passe-haut :
2er ordre
Passe-bas : Passe-haut :
Passe-bande : Coupe-bande :
Déphaseur :
Cellules élémentaires de filtrage : 2e ordre (3/3)I) Synthèse de filtres analogiques
I.1) Cellules élémentaires de filtrageI.1.1) Cellules du 1er et du 2e ordre
2
cc
2
c
jj21
j1
ωω+
ωωξ+
ωω+
2
cc
2
cc
jj21
jj21
ωω+
ωωξ+
ωω+
ωωξ−
2
00
2
0
jj21
j
ωω+
ωωξ+
ωω
2
00
0
jj21
j2
ωω+
ωωξ+
ωωξ
c
j1
1
ωω+
c
c
j1
j
ωω+
ωω
2
cc
jj21
1
ωω+
ωωξ+
11
Différentes formes des fonctions de transfert
harmonique (régime sinusoïdal) en variable de Laplace en variable de Laplace réduite
(forme normalisée
↔ indépendante de ωc)
Exemple : cellule passe-bas du 2e ordre
utile pour étude en fréquence : gain en dB et phase
(cellules élémentaires)
utile pour étude temporelle avec signaux (causals)
quelconques, étude des pôles (étude stabilité, factorisation)
idem variable de Laplace, avec écriture simplifiée
(=variable de Laplace réduite)
I) Synthèse de filtres analogiquesI.1) Cellules élémentaires de filtrage
I.1.1) Cellules du 1er et du 2e ordreDifférentes formes des fonctions de transfert
)j(H ω )s(H)p(Hpj =ω s/p c =ω
2
cc
jj21
1)j(H
ωω+
ωωξ+
=ω
2ss211)s(H
+ξ+=
2
cc
pp21
1)p(H
ω
+ω
ξ+
=
12
Intérêt de la forme normalisée
Toute létude peut porter sur la forme normalisée ; indépendamment de ωc.
Au final, il faut "dénormaliser" la fonction de transfert, cest à dire remplacer s par jω/ωc, pour pouvoir réaliser le filtre
satisfaisant aux paramètre du filtrage..
I) Synthèse de filtres analogiquesI.1) Cellules élémentaires de filtrage
I.1.1) Cellules du 1er et du 2e ordreDifférentes formes des fonctions de transfert
2
cc
jj21
1)j(H
ωω+
ωωξ+
=ω2ss21
1)s(H+ξ+
=
c
jsωω=
s11)s(H+
=
c
j1
1)j(H
ωω+
=ω
13
Passage du cas passe-bas aux autres cas
Le passage dun type à lautre seffectue facilement par changement de variable.
Passe-bas → passe-haut
Passe-bas → passe-bande
avec
B : bande passante
fc1, fc2 : fréquences de coupure
Passe-bas → coupe-bande f0 : fréquence centrale du filtre
s1s →
+→
s1s
B1s
0
cc
fff
B 12−
=
1
s1sBs
−
+→
I) Synthèse de filtres analogiquesI.1) Cellules élémentaires de filtrage
I.1.1) Cellules du 1er et du 2e ordreTransformation du type de filtrage
14
Réalisation par circuits passifs
1er ordre
passe-bas passe-haut
2e ordre
passe-bas passe-bande passe-haut
Méthode de calcul
Chacun de ces montages peut être vu comme un pont diviseur de tension
avec 2 impédances complexes Z1 et Z2.
Dans le cas du 2e ordre, lune des 2 impédances est elle-même constituée
de 2 impédances complexes en série ou parallèle.
Réalisation des cellules élémentaires par circuits passifsI) Synthèse de filtres analogiques
I.1) Cellules élémentaires de filtrageI.1.2) Réalisation électronique
Z1Z2
15
Réalisation par circuits actifs : cellule du 1er ordre
La cellule du 1er ordre suivante permet de réaliser des filtres passe-bas et passe-haut :
Passe-bas : Z1 : Z2 :
Passe-haut : Z1 : Z2 :
Exemple : passe-bas avec R=1kΩ et C=10nF
ω+−=ω
CjR11.
RR)j(H
21
2
|H(jω)|
ω (éch. log)
-R2/R1
1/R2C
I) Synthèse de filtres analogiquesI.1) Cellules élémentaires de filtrage
I.1.2) Réalisation électroniqueCellule élémentaire active du 1er ordre
16
Réalisation par circuits actifs : cellules du 2e ordre
Les structures de Sallen-Key et de Rauch permettent de réaliser des filtres passe-bas, passe-haut et passe-bande
du 2e ordre.
Ils permettent dobtenir des facteurs de qualité moyens (jusquà 20 environ).
Structure de Sallen-Key
gain statique (pour f=0)
Passe-bas :
Passe-haut :
)ZZ(Z)ZZ(Z)H1(ZZZkZ
VVH
432321041
42
e
s
++++−==
1RRH
b
a0 +=
11 RZ =pC
1Z2
2 =
pC1Z1
1 = 22 RZ =
I) Synthèse de filtres analogiquesI.1) Cellules élémentaires de filtrage
I.1.2) Réalisation électronique
4231c CCRR
1=ω
++−=ξ4231
4341021
CCRRCRCR)H1(CR
21
3142c CCRR
1=ω
+++=ξ3142
0343212
CCRR)H1(CRCRCR
21
33 RZ =pC
1Z4
4 =
pC1Z3
3 = 44 RZ =
Cellule élémentaire active de Sallen-Key
17
Réalisation par circuits actifs : cellules du 2e ordre
Structure de Rauch
Passe-bas :
Passe-haut :
Passe-bande :
4343215
31
e
s
YY)YYYY(YYY
VVH
++++−==
11 RZ =pC
1Z2
5 =34 RZ =
pC1Z1
1 = 25 RZ =pC
1Z3
4 =
pC1Z1
2 =
12 RZ =
121 RZZ ==Cp1ZZ 43 ==
25 RZ =
I) Synthèse de filtres analogiquesI.1) Cellules élémentaires de filtrage
I.1.2) Réalisation électronique
pC1Z2
3 =
23 RZ =1
232
321 CCRR
R1
R1
R1
21
++=ξ
2132c CCRR
1=ω1
30 R
RH −=
3
10 C
CH =3221
c CCRR1=ω ( )
322
1321 CCR
RCCC21 ++=ξ
2
1
R2R=ξ
CR2
1c
ξ=ωξ
−=2
1H0
Cellule élémentaire active de Rauch
18
I) Synthèse de filtres analogiquesI.1) Cellules élémentaires de filtrage
I.1.2) Réalisation électroniqueCellule élémentaire active universelle
11
22
43
3
CRCR
RRR+
=ξ
2121c CCRR
1=ω43
40 RR
R2H+
=
43
40 RR
R2H+
−=
3
40 R
RH −=
43
4
a
b0 RR
R2RRH
+×−=
Réalisation par circuits actifs : cellules du 2e ordre
Cellule généralisée du seconde degré (ou filtre universel, ou filtre à variables détat)
Intérêts :
- 4 filtrages de base dans une même structure ;
- facteurs de qualité élévés (Q>10).
Inconvénient :
- phases des sorties différentes
Passe-bas : (gain statique)
Passe-haut :
Passe-bande :
Coupe-bande :
19
Circuits passifs vs circuits actifs
Filtres passifs
Inconvénients :
- nécessitent parfois des composants volumineux (condensateurs et bobines)
Avantages :
- passifs, donc ne nécessitent pas dalimentation (exemple : enceintes acoustiques)
Filtres actifs
Inconvénients :
- nécessitent une alimentation
- bande passante limitée donc limitation aux fréquences basses
- sensibles à leurs composants passifs (condensateurs et résistances)
- produisent du bruit
- limités en tension
Avantages :
- permettent une intégration à grande échelle (et notamment dans les processeurs)
- fiables
- coût de fabrication réduit
Circuits passifs vs circuits actifsI) Synthèse de filtres analogiques
I.1) Cellules élémentaires de filtrageI.1.2) Réalisation électronique
20
Mise en évidence des pôles
Par factorisation du dénominateur, la fonction de transfert peut se mettre sous la forme :
ou N ordre du filtre
Exemple avec N=1
1 pôle (réel pur) :
doù :
Exemple avec N=2 et ξ=0,7
2 pôles (complexes conjugués doù
et à partie réelle <0) :
∏−
= −=
1N
0n nss1)s(H
2
cc
jj21
1)j(H
ωω+
ωω+
=ω 2ss211)s(H
++=
+−=
−−=
)j1(22s
)j1(22s
2
1
))j1(22s))(j1(
22s(
1)s(H+−−−−−
=
Etude des pôles des cellules élémentaires
c/js ωω=
∏−
= −−=
1N
0n n
n
ppp)p(H
I) Synthèse de filtres analogiquesI.1) Cellules élémentaires de filtrage
I.1.2) Réalisation électronique
c
j1
1)j(H
ωω+
=ωs1
1)s(H+
=c/js ωω=
1s1 −=
)1(s1)s(H−−
=
21
Décomposition des fonctions de transfert
Décomposition sous forme de produit
Une fonction de transfert dordre n quelconque peut se décomposer en un produit de fonctions de transfert élémentaires dordres 1 et 2 (les ordres sajoutent).
Schémas-blocs et modules électroniques
Quand les modules élémentaires (schémas-blocs ou modules électroniques) sont mis en cascade (=en série), les ordres sajoutent. Exemple pour lordre N=5 :
Diagrammes de Bode
Dans les diagrammes de Bode, les courbes de gain (en dB) sadditionnent :
→ importance de létude des cellules de filtrage dordre 1 et 2 ; on les appelle cellules élémentaires
N=2
=
I) Synthèse de filtres analogiquesI.1) Cellules élémentaires de filtrage
I.1.3) Association des cellules élémentairesIntérêt des cellules élémentaires de filtrage (1/2)
)j(H).j(H).j(H)j(H 321 ωωω=ω
fc fc fc fc=+ +-40 -40 -100-20
H1 H2 H3
N=2 N=1 N=5
H
22
Position du problème
On a vu comment vu la cellule de filtrage passe-bas du 1er ordre, dont les caractéristiques sont :-3dB à fc-atténuation -20dB/décade
puis la cellule de filtrage du 2e ordre dont les caractéristiques sont -3dB à fc-atténuation -40dB/décade
De plus, on sait quen associant des cellules du 1er et du 2e ordre, on peut obtenir des cellules dordre plus élevé.
Problème : est-il possible dobtenir un filtre dordre N quelconque, caractérisé par :-3dB à fc-atténuation -20хN dB/décade ?
On a vu quen associant des cellules élémentaires on pouvait obtenir un ordre quelconque, comme par exemple pour lordre 5 :
mais comment avoir toujours 3dB à fc ?
N=2
=H1 H2 H3
N=1 N=5
H
N=3
I) Synthèse de filtres analogiquesI.1) Cellules élémentaires de filtrage
I.1.3) Association des cellules élémentairesIntérêt des cellules élémentaires de filtrage (2/2)
23
Intérêt
Comment obtenir une pente quelconque tout en ayant 3dB à fc, sans calculs (trop) compliqués ?
→ Monsieur Butterworth, dans les années 30, a trouvé une solution :
Définition
N ordre du filtre
Propriétés
pente de la décroissance du gain : -20хN dB/décade gain à fc : 3dB (Ұ N)
N2
c
2
1
1)(H
ωω+
=ω
I) Synthèse de filtres analogiquesI.2) Filtre de Butterworth Filtre de Butterworth : définition et propriétés
10-1 100 101-100
-90
-80
-70
-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
Gain en dB pour N=1, 2, 3, 4, 5
Programme Matlab :w=linspace(0.1,10,1000);
[z,p,k]=buttap(2);
h=freqs(k*poly(z),poly(p),w);
semilogx(w,20*log10(abs(h)),'black');
...
24
Lien avec cellules élémentaires
Cellule passe-bas du 1er ordre :
Il sagit bien dun cas particulier du filtre de Butterworth, avec N=1.
Cellule passe-bas du 2e ordre, avec (rappel : -3dB à fc) :
Il sagit également dun cas particulier du filtre de Butterworth, avec N=2.
I) Synthèse de filtres analogiquesI.2) Filtre de Butterworth Cellules de filtrage de base : 2e ordreFiltre de Butterworth : étude de lordre 1 et 2
2
cc
jj21
1)j(H
ωω+
ωω+
=ω
22=ξ
4
cc
2
c
2
cc1
1...
2j1
1
jj21
1)j(H
ωω+
==
ωω+
ωω−
=
ωω+
ωω+
=ω
c
j1
1)j(H
ωω+
=ω2
cc
1
1
j1
1)j(H
ωω+
=
ωω+
=ω
25
Etude des pôles de la fonction de transfert (=racines du dénominateur)
Différentes formes de la fonction de transfert
harmonique en variable de Laplace en variable de Laplace réduite
Détermination des pôles
Les pôles sont tels que : ↔ ↔
↔
Il y a 2N pôles (2 fois plus que lordre du filtre), ce qui est normal puisquon a recherché les pôles de |H(jω)|2
0s)1(1 N2N =−+π+−
= N2n21Nj
n es
1N2n0 −≤≤
π++
π+−=
N21n2cosj
N21n2sinsn
N2
c
2
1
1)j(H
ωω+
=ω
N2N2
s)1(11)s(H
−+=
I) Synthèse de filtres analogiquesI.2) Filtre de Butterworth
Filtre de Butterworth : étude des pôles (1)
N2
c
2
p1
1)p(H
ω
+
=N2
2
s11)s(H
+=
ω= jp c/ps ω=
⇒−=ωω↔
ωω= jsjs
cc
26
Position des pôles
La fonction |H(jω)|2 possède 2N pôles ; ils sont situés sur le cercle unité ;: à partie réelle <0: à partie réelle >0
Chaque pôle à partie réelle négative possède un "homologue" à partie réelle >0. Ces derniers, qui ne correspondentpas à un système stable, ne sont pas pris en compte (on a vu précédemment que la cellule passe-bas du 1er ordre et celle du 2e ordre, pour . possédaient respectivement 1 et 2 pôles à partie réelle <0 ; la généralisation à lordre Nconsiste à ne garder que les pôles à partie réelle <0 : ce sont les pôles de H(jω), même si cette dernière nest pas définie directement).
Le pôle réel pur, quand il existe, correspond à une cellule du 1er ordre.
Les autres pôles existent par paires : 1 pôle + son conjugué ;
N=2N=1 N=3 N=4
etc
I) Synthèse de filtres analogiquesI.2) Filtre de Butterworth
Filtre de Butterworth : étude des pôles (2)
1Nn0 −≤≤1N2nN −≤≤
non pris en compte
2/2=ξ
27
Exemple : Filtre de Butterworth dordre 2 (passe-bas)
N=2 → 2 pôles :
On retrouve bien les 2 pôles calculés précédemment.
Différentes formes de la fonction de transfert :
Réalisation pratique : mise sous forme standard
(déjà étudiée précédemment)
π++
π+−=
N21n2cosj
N21n2sinsn 1,0n =
π+
π−=
4cosj
4sins0
22j
22 +−=
22j
22 −−= Re
Im
*01 s
4cosj
4sins =
π−
π−=
4s11)s(H+
=4
c
1
1)j(H
ωω+
=ω ou4
c
p1
1)p(H
ω
+
= ou
I) Synthèse de filtres analogiquesI.2) Filtre de Butterworth
Filtre de Butterworth : exemple dordre 2
1s2s1)s(H 2 ++
=
28
Exemple : Filtre de Butterworth passe-bas dordre 4
N=4 → 4 pôles :
Réalisation pratique : mise sous forme de 2 fonctions de transfert standard du 2e ordre
3,...,0n =
π+
π−=
8cosj
8sins0
π+
π−=
83cosj
83sins1
*s8
5cosj8
5sins 12 =
π+
π−= *s
87cosj
87sins 03 =
π+
π−=
3210
3
0n n ss1.
ss1.
ss1.
ss1
ss1)s(H
−−−−=
−= ∏
=
)s(H).s(H 21=
)*ss)(ss)(*ss)(ss(
1)s(H1100 −−−−
=
1s848,1s1.
1s765,0s1
22 ++++=
...*ss)*ss(ss
1.*ss)*ss(ss
1
11112
00002
=++−++−
=
I) Synthèse de filtres analogiquesI.2) Filtre de Butterworth
Filtre de Butterworth : exemple dordre 4
π++
π+−=
N21n2cosj
N21n2sinsn
Re
Ims0
s1
s2
s3
1
29
Polynômes de Butterworth
Une fois les pôles de la fonction de transfert calculés, les pôles complexes conjugués sont regroupés ensemble.Chaque paire correspond à une cellule élémentaire (passe-bas) du 2e ordre.Le pôle simple réel, sil existe (ordre impair), correspond à la cellule élémentaire (passe-bas) du 1er ordre.
Forme développée
n=1 : s+1n=2 : s2+1,41s+1n=3 : s3+2s2+2s+1n=4 : s4+2,6131s3+3,4142s2+2,6131s+1n=5 : s5+3,2361s4+5,2361s3+5,2361s2+ 3,2361s+1n=6 : s6+3,8537s5+7,4741s4+9,1416s3+7,4741s2+3,8537s+1etc
Forme factorisée
n=1 : s+1n=2 : s2+1,41s+1n=3 : (s+1)(s2+s+1)n=4 : (s2+0,765s+1)(s2+1,848s+1)n=5 : (s+1)(s2+0,618s+1)(s2+1,618s+1)n=6 : (s2+1,932s+1)(s2+1,414s+1)(s2+0,518s+1)etc
I) Synthèse de filtres analogiquesI.2) Filtre de Butterworth
Filtre de Butterworth : polynômes
30
Butterworth avec gabarit
Définition dun gabarit
(On parle également de "synthèse sur cahier des charges")
On distingue la bande passante de la bande datténuation (ou coupée).On définit latténuation maximale (Ap) tolérée dans la bande passante, et latténuation minimale tolérée dans la bande darrêt (Aa).
: sélectivité
Dans le cas classique, Ap=3dB. On peut souhaiter une atténuation Ap moins importante. Il suffit dajouter un paramètre
supplémentaire dans la fonction de transfert de Butterworth :
ou
N2
p
2
2
1
1)(H
ωωε+
=ω 10 ≤ε≤
N222
11)(H
Ωε+=ω
pωω=Ω
I) Synthèse de filtres analogiquesI.2) Filtre de Butterworth
pulsation réduite
0 ωp ωωa
-Aa
-Ap
p
a
ωω
31
Gabarits
Autres gabarits
passe-bas passe-haut
passe-bande coupe-bande
RemarquePour la transformation de gabarits passe-bas vers passe-bande ou coupe-bande, ces derniers doivent être symétriques.Si ça nest pas le cas, il faut des rendre symétrique (en les rendant plus sévères).La condition de symétrie est :
I) Synthèse de filtres analogiquesI.2) Filtre de Butterworth
0 ωp ωωa
-Aa
-Ap
0 ωpωa
-Aa
-Ap
ω
0 ωp1ωa1
-Aa
-Ap
ωωa2ωp2
2a1a2p1p f.ff.f =
0 ωa1ωp1
-Aa
-Ap
ωωp2ωa2
32
Définition dun gabarit
On part du gain en dB :
Soit Ap le gain à la pulsation ω=ωp, (soit Ω=1) on peut démontrer (*) que lon a :
On peut démontrer (**) que lordre du filtre est donné par :
Le résultat peut être fractionnaire ; lordre choisi est lentier supérieur.
On peut démontrer que la fréquence de coupure à 3dB est liée à la fréquence fp par la relation :
(*) il suffit dimposer que le gain soit Ap dB pour ω=ωp ; on a alors Ω2N=1, et la seule inconnue est ε.(**) on impose que la courbe passe par le point (ωp, Aa). Connaissant ε, la seule inconnue est N.
11010pA
−=ε
a
10aA
log2
log2110logN
Ω
ε−
−
=
N2211log20)(Hlog20
Ωε+=Ω
pωω=Ω
I) Synthèse de filtres analogiquesI.2) Filtre de Butterworth
Paramètres du filtre de Butterworth à partir du gabarit
0 ωp ωωa
-Aa
-Ap
p
aa ω
ω=Ω
Np
c εω
=ω
33
Exemple : Détermination dun filtre dont le gain est atténué de 1dB à la fréquence fa=1kHz et de 50dB à fr=5kHz
Pulsation réduite datténuation en bande coupée Ωa :
Ordre du filtre :
On prend pour lordre lentier supérieur : N=4.
La fonction de transfert du filtre est la suivante :
Autre exemple : en prenant fa=2kHz, on aurait trouvé un ordre N=10
509,0110110 101
10pA
=−=−=ε
5kHz1kHz5
ff
p
a
p
aa ===
ωω=Ω
99,35log2
509,0log2110log
log2
log2110logN
1050
a
10aA
=−
−
=Ω
ε−
−
=
8
p
N2
p
2 259,01
1
1
1)(H
ωω+
=
ωωε+
=ω
I) Synthèse de filtres analogiquesI.2) Filtre de Butterworth
Butterworth à partir dun gabarit : exemple
0 1 f(kHz)5
-50
-1
34
Détermination des pôles
Rappel : uniquement les pôles à partie réelle <0
Les arguments des pôles sont les mêmes que ceux de la fonction de transfert simplifiée avec ε=1, mais situéssur un cercle de rayon
I) Synthèse de filtres analogiquesI.2) Filtre de Butterworth
Filtre de Butterworth généralisé : détermination des pôles
N2N22
s)1(11)s(H−ε+
=⇒−=ωω↔
ωω= jsjs
cc
N222
s11)s(Hε+
=
0s)1(1 N2N2 =−ε+π+−
ε= N2
n21NjN
n e1s
1Nn0 −≤≤
π−+
π−−
ε=
N21n2cosj
N21n2sin1s N
n
N /1 εRe
Ims0
s1
s2
s3
N1.ε
35
Utilisation dabaques
Elles permettent de déterminer lordre du filtre en fonction des paramètres Ap, Aa, ωp et ωa.
I) Synthèse de filtres analogiquesI.2) Filtre de Butterworth
Butterworth : utilisation dabaques
0ωP ωωa
-Aa
-Ap
p
a
ωω=λ
36
Programmation Matlab
%Réponse en fréquence d'un filtre de Butterworth
[N,Wn]=buttord(1000,5000,1,50,'s')
[b,a]=butter(N,Wn,'s');
F=[100:1:10000]; %vecteur de fréquences
[hb,bc]=freqs(b,a,F); %calcul réponse en fréquence
semilogx(bc,20*log10(abs(hb))); %affichage avec axe des abs. log.
xlabel('Frequence (radians)');
ylabel('Gain (dB)');
grid;
Pour la phase :...
semilogx(bc,angle(hb));
...
I) Synthèse de filtres analogiquesI.2) Filtre de Butterworth
Butterworth avec Matlab
102 103 104-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
Frequence (Hz)
Phase (rad)
102 103 104-80
-70
-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
Frequence (Hz)
Gain (dB)
37
Filtres de Chebyshev (ou Tchebyscheff )I) Synthèse de filtres analogiquesI.3) Filtres de Chebyshev
Définition
Il existe 2 types :
Type I : Type II :
avec Ω pulsation réduite :
TN(.) désigne un polynôme dordre N défini par :
Les premiers polynômes sont donc :
On peut démontrer (*) quil existe une relation de récurrence entre ces polynômes :
(*) la démonstration consiste à exprimer TN+1(ω) et à utiliser les formules de trigonométrie :et
ωωε+
ωωε
=ω
pN
2
pN
2
2
2
2
T1
T)(H
ωωε+
=ω
pN
2
2
2
T1
1)(H 1<ε1<ε
)(T)(T.2)(T 2N1NN ω−ωω=ω −−
....
pωω=Ω
N2N ]1jRe[)(T ω−+ω=ω
ω=ω−+ω=ω ]1jRe[)(T 21
1]1jRe[)(T 020 =ω−+ω=ω
12]1jRe[)(T 2222 −ω=ω−+ω=ω
)bsin().asin()bcos().acos()bacos( −=+ )b(sh).a(sh)b(ch).a(ch)ba(ch −=+
38
Filtres de Chebyshev (ou Tchebyscheff )I) Synthèse de filtres analogiquesI.3) Filtres de Chebyshev
Définition
Les polynômes TN(.) sont également définis par :
On peut démontrer que la fréquence de coupure à 3dB est liée à la fréquence fp par la relation :
>≤= 1xsi))x(charg.N(ch
1xsi))xarccos(.Ncos()x(TN
2ee)xcosh(
xx −+=
2ee)xsinh(
xx −−=
εω=ω 1cosha
n1coshpc
Rappel :
39
Filtres de Chebyshev : caractéristiques
Caractéristiques
Type I
Oscillations dans la bande passante (band-pass ripple)
Soit N lordre du polynôme du dénominateur ;
- si N pair, |H(0)|=0 ; si N impair,
- Pour ω <=ωc, |H(jω)| oscille N/2 fois entre 1 et .
- Pour ω>ωc, |H(jω)| est monotone et décroissante.
1)(H1
12
≤ω≤ε+
I) Synthèse de filtres analogiquesI.3) Filtres de Chebyshev
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.021/1)0(H ε+=
|H(jω)| (N=2,3,4)
21/1 ε+
10-1 100 101-100
-90
-80
-70
-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
20log|H(jω)| (N=2,3,4)
40
Filtres de Chebyshev : caractéristiquesI) Synthèse de filtres analogiquesI.3) Filtres de Chebyshev
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
Frequence
Module fonction de transfert
Caractéristiques
Type II
Oscillations dans la bande atténuée (ou coupée) (stop-band ripple) 21)(H0
ε+ε≤ω≤
41
I) Synthèse de filtres analogiquesI.3) Filtres de Chebyshev
Définition
On part du gain en dB :
On peut montrer que le paramètre est défini par :où Ap est latténuation à ωp
et que lordre N du filtre est donné par :
où Ωa est la pulsation réduite datténuation minimale en bande atténuée.
11010Ap
−=ε
)(charg
110chargN
a
10aA
Ωε
−
=
Paramètres du filtre de Chebyshev à partir du gabarit
)(T1
1log20)(Hlog202
N2 Ωε+
=Ωpω
ω=Ω
p
aa ω
ω=Ω
42
Etude des pôles
Les pôles sont définis par :
avec et (=cte)
Comme dans le cas de Butterworth, on ne prend en compte que la moitié des pôles : ceux à partie imaginaire <0.
En posant
et en se souvenant que , on voit que
ce qui est la définition dune ellipse, sh2(β) et ch2(β) étant des constantes (voir ci-dessous).
Les pôles sont donc situés sur une ellipse.
Rappel : dans un repère (x,y), une ellipse est définie par ; a et b sont les 2 rayons de lellipse.
I) Synthèse de filtres analogiquesI.3) Filtres de Chebyshev
)(ch)cos(j)(sh)sin(s kkk βα+βα= 1N2k0 −≤≤
Nk
N2kπ+π=α
ε=β 1sharg
N1
Filtres de Chebyshev : caractéristiques
)(sh)sin(Re kk βα= )(ch)cos(Im kk βα=
1)(ch
Im)(sh
Re2
2k
2
2k =
β+
β
1by
ax
2
2
2
2
=+
1)x(cos)x(sin 22 =+
43
Etude des pôles : exemple avec N=2
Les pôles sont définis par :
On a :
et , soit
doù
Les pôles sont donc situés sur une ellipse de rayons sh(β)≈0,17 et ch(β)≈1 .
I) Synthèse de filtres analogiquesI.3) Filtres de Chebyshev
)(ch)cos(j)(sh)sin(s kkk βα+βα= 3k0 ≤≤
Nk
N2kπ+π=α
17,02sharg21
509,01sharg
N11sharg
N1 ≈≈=
ε=β
Filtres de Chebyshev : caractéristiques
40π=α
43
241π=π+π=α
45
42π=π+π=α
47
23
43π=π+π=α
17,0)(sh ≈β 1)(ch ≈β
)4
cos(j)4
sin(17,0s0π+π= )
43cos(j)
43sin(17,0)
43cos(j)
43sin(17,0s1
π+π=π+π=
44
Filtres de Chebyshev : exemple avec type I
Exemple avec type I : Gain atténué de 1dB à fa=1kHz et de 50dB à fr=5kHz
Pulsation réduite datténuation en bande coupée :
Ordre du filtre :
On prend pour lordre lentier supérieur : N=3.
Fonction de transfert du filtre :
Autre exemple : en prenant fa=2kHz, on aurait trouvé N=3,66 (→ N=4)
Remarque : lordre est inférieur à celui du filtre de Butterworth équivalent.
509,0110110 101
10Ap
=−=−=ε
1,2)5(charg
110charg
)(charg
110chargN
1050
a
10aA
=ε−
=Ωε
−
=
2
3
3
3
2
33
2
10.23
10.2426,01
1
.10.2T26,01
1)(H2
πω−
πω+
=
πω+
=ω
I) Synthèse de filtres analogiquesI.3) Filtres de Chebyshev
0 1 f(kHz)5
-50
-1
p
aa ω
ω=Ω
45
Polynômes de Chebyshev
Les coefficients du polynômes sont donnés en fonction de Ap (en général, on prend 0,5 ou 1) et de lordre du filtre N.
Pour Ap=1dB :
Forme développée
n=1 : 0,509s+1n=2 : 0,907s2+0,9957s+1n=3 : 2,0353s3+2,0116s2+2,5206s+1n=4 : 3,628s4+3,4568s3+5,2749s2+2,6942s+1n=5 : 8,1415s5+7,6271s4+13,75s3 +7,933s2+4,7264s+1n=6 : 14,512s6+13,47s5+28,02s4+17,445s3 +13,632s2+4,456s+1etc
Forme factorisée
n=1 : 0,509s+1n=2 : 0,907s2+0,996s+1n=3 : (2,024s+1)(1,006s2+0,497s+1)n=4 : (3,579s2+2,411s+1)(1,014s2+0,283s+1)n=5 : (3,454s+1)(2,329s2+1,091s+1)(1,012s2+0,181s+1)n=6 : (8,019s2+3,722s+1)(1,793s2+0,609s+1)(1,009s2+ 0,126s+1)etc
Polynômes de Chebyshev
Remarque : contrairement aux polynômes de Butterworth, les cellules élémentaires de la forme factorisée ne possèdent pas ici toutes la même fréquence de coupure.
I) Synthèse de filtres analogiquesI.3) Filtres de Chebyshev
46
Filtres de Bessel : principe (1)I) Synthèse de filtres analogiquesI.4) Filtres de Bessel
Filtres de Bessel
Les filtres de Bessel sont basés sur le critère de la plus grande linéarité possible de la phase (en fonction de la fréquence).
On rappelle lintérêt davoir une phase linéaire : le signal nest pas déformé par le filtre.
On définit le retard de groupe :
Si la phase est linéaire, le retard de groupe est constant.
On définit donc une fonction de transfert (FT) :
Pour simplifier, on prend τ =1 :
On cherche ensuite à mettre la FT sous forme passe-bas (on cherche à faire apparaître ses pôles) :
ωωϕ−=
d)(d
gt
pe)p(H τ−= ωτ−=ω je)j(H avec τ constant
pe)p(H −=
)p(sh)p(ch1
2ee
2ee
1)p(H pppp +=
−++= −−
47
Filtres de Bessel : principe (2)I) Synthèse de filtres analogiquesI.4) Filtres de Bessel
Filtres de Bessel
Pour déterminer le polynôme équivalent au dénominateur,
on utilise la "technique" suivante : on exprime le développement
limité de cth(p)=ch(p)/sh(p), on effectue la division des polynômes
puis on identifie numérateur et dénominateur resp. à ch(p) et sh(p).
En limitant le développement limité à lordre N, on obtient une expression approchée de cth(p).
Pour N=2, on a :
Par identification, on trouve : et doù
Pour N=3, on a
Par identification, on trouve : et doù
etc.
Pour lordre n, on a : avec
...p5
1P3
1p1
...!5
p!3
p1
...!4
p!2
p1
)p(sh)p(ch)p(cth 53
42
++
+=+++
+++==
3
2
pp15p615
p/5/1p/31
p1)p(cth
++=
++=
2p615)p(ch += 3pp15)p(sh +=32 pp6p1515
1)p(sh)p(ch
1)p(H+++
=+
=
nn
2210n pa...papaa1
)p(B1)p(H
++++==
p3p3
p31
p1)p(cth
2+=+=
2p3)p(ch += p3)p(sh = 2pp331
)p(sh)p(ch1)p(H
++=
+=
(p)Bp(p)1)B-(2n(p)B 2-n2
1-nn +=
1B0 =1p(p)B1 +=
48
Filtres de Bessel : normalisationI) Synthèse de filtres analogiquesI.4) Filtres de Bessel
Normalisation
En considérant la fréquence normalisée pour ω/ωc avec ωc telle que 20log|H(ωc)|=-3dB, on a :
Par exemple pour N=2, le polynôme du dénominateur est :
On le transforme en polynôme standard (en mettant en facteur le terme constant, qui représente un gain statique) :
La pulsation normalisée ω=ωc permettant davoir une atténuation de 3dB est telle que
↔ ↔ ↔
La fonction de transfert normalisée devient donc :
203
nn
2210 10pa...papaa =++++
2p31p1 ++
2pp33 ++
203
2 10p31p1 =++ 20
32
cc 10)j(31j1 =ω+ω+ 359,1c =ω
22 p6149,0p359,11
1
)p359,1(31p359,11
1)p(H++
=++
=
49
Polynômes de BesselI) Synthèse de filtres analogiquesI.4) Filtres de Bessel
Coefficients des polynômes du dénominateur
Forme développée (normalisée)
n=1 : s+1n=2 : 0,618s2+1,359s+1n=3 : 0,3607s3+1,2328 s2+1,7556s+1n=4 : 0,1901s4+0,8995s3+1,9149s2+2,1138 s+1n=5 : 0,08911s5+0,5506s4+1,588s3+2,6174s22,4266s+1
Forme factorisée
n=1 : s+1n=2 : 0,618s2+1,359s+1
n=3 : (1,3225s+1)(0,4773s2+0,9998s+1)
n=4 : (0,4883s2+1,3389s+1)(0,3885s2+0,7738s+1)
n=5 : (1,5015s+1)(0,4133s2+1,1408s+1)(0,3885s2+0,7738s+1)
Il nexiste pas de méthode analytique pour permettre de déterminer les coefficients ai en fonction dun gabarit.
Ces coefficients sont obtenus par approximations successives, par des méthodes graphiques ou des
algorithmes numériques
50
Filtres de Bessel : programmation MatlabI) Synthèse de filtres analogiquesI.4) Filtres de Bessel
Programmation Matlab
%Réponse en fréquence d'un filtre de Butterworth
[b,a]=besself(4,1000)
F=[100:1:10000]; %vecteur de fréquences
[hb,bc]=freqs(b,a,F); %calcul réponse en fréquence
semilogx(bc,20*log10(abs(hb))); %affichage avec axe des abs. log.
xlabel('Frequence (radians)');
ylabel('Gain (dB)');
grid;
Pour la phase :...
semilogx(bc,angle(hb));
...
102
103
104
-90
-80
-70
-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
Frequence (Hz)
Gain (dB)
102
103
104
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
Frequence (Hz)
Phase (rad)
51
I) Synthèse de filtres analogiquesI.5) Filtres de Cauer Filtres de Cauer : introduction
Filtres de Cauer
Introduction
Les filtres étudiés jusquici (Butterworth, Chebyshev, Bessel) étaient tous sous la forme :
On les appelle filtres polynômiaux. Ils sont caractérisés par leurs pôles. On parle de filtres "tous pôles".
D(p) est appelée fonction de transmission.
Il existe également des filtres qui possèdent en plus un polynôme au numérateur.
On les appelle filtres elliptiques. Cest le cas du filtre de Cauer.
En plus de ses pôles, cette fonction de transfert possède des zéros (valeurs de p qui annulent la fonction de transfert).
Ces zéros correspondent à des fréquences pour lesquelles la fonction de transfert est nulle, et donc un signal à cette
fréquence est éliminé.
Sils sont judicieusement placés dans le plan complexe, ils permettent daugmenter les pentes de variation du gain,
par rapport aux filtres polynômiaux.
n210
m210
p...papaap...pbpbb
)p(D)p(N)p(H
++++++++==
n210 p...papaa
1)p(D
1)p(H++++
==
52
I) Synthèse de filtres analogiquesI.5) Filtres de Cauer Filtres de Cauer : définition
Filtres de Cauer
Ils sont définis par la fonction de transfert suivante :
où RN(ξ,ω/ω0) est appelée fonction rationnelle de Chebyshev; N est lordre du filtre, ω0 la pulsation de coupure,,ε est le facteur dondulation et ξ est le facteur de sélectivité.
Dans la bande passante, le gain varie donc entre 1 et
Dans la bande atténuée, le gain varie donc entre 0 et , avec
La fonction RN est appelée fonction elliptique.
Ces filtres sont caractérisés par des oscillations à la fois
dans la bande passante et dans la bande coupée.
La décroissance de leur gain est plus rapide
que celle des filtres polynômiaux, avec un ordre inférieur.
Quand , le filtre devient équivalent à un filtre de
Chebyshev de type I.
)/,(R11)(H
02N
22
ωωξε+=ω
21/1 ε+2N
2L1/1 ε+ ),(RL NN ξξ=
∞→ξ
en.wikipedia.org
53
I) Synthèse de filtres analogiquesI.5) Filtres de Cauer Filtres de Cauer : définition
Filtres de Cauer
La fonction elliptique peut se mettre sous la forme suivante :
pour N pair pour N impair
avec xi les zéros et xpi les pôles de ces rationnelles, et r0 un facteur de normalisation tel que
Le dénominateur de ce polynôme fait apparaître des zéros dans la fonction de transfert du filtre.
Ils sont appelés zéros de transmission, et ont la propriété déliminer les fréquences correspondantes.
RN(ξ,x) avec N=3 ; ξ=1,3 RN(ξ,x) avec N=4 ; ξ=1,3
∏∏
=
=
−
−=ξ N
1i pi
N
1i i0N )xx(
)xx(r)x,(R
∏∏
=
=
−
−=ξ N
1i pi
N
1i i0N )xx(
)xx(xr)x,(R
1)1,(RN =ξ
54
I) Synthèse de filtres analogiquesI.5) Filtres de Cauer Filtres de Cauer : définition
Filtres de Cauer
Il nexiste pas dexpression analytique pour les pôles et les zéros de la fonction de transfert du filtre.
Ils sont calculés par des méthodes numériques.
La synthèse comporte les étapes suivantes :
1. Détermination de lordre N en fonction du gabarit
2. Détermination du polynômes du numérateur et du dénominateur
3. Détermination des pôles et des zéros
Exemple Matlab
fp=1000; fa=2000; Ap=1; Aa=40;
[N,Wn]=ellipord(fp,fa,Ap,Aa,'s') %étape 1
[num,den]=ellip(N,1,50,Wn,'s') %étape 2
zeros=roots(num) %étape 3
poles=roots(den) %étape 3
Une fois les pôles et les zéros connus, on peut écrire la fonction de transfert sous forme dun produit de
fonctions de transfert élémentaires du 1er et du 2e ordre (en regroupant les pôles et les zéros conjugués entre eux).
On peut alors passer à la réalisation électronique.
55
Filtres de Cauer : programmation MatlabI) Synthèse de filtres analogiquesI.5) Filtres de Cauer
Programmation Matlab
%Réponse en fréquence d'un filtre de Cauer (elliptique)
[N,Wn]=ellipord(1000,5000,1,50,'s')
[b,a]=ellip(N,1,50,Wn,'s');
F=[100:1:10000]; %vecteur de fréquences
[hb,bc]=freqs(b,a,F); %calcul réponse en fréquence
semilogx(bc,20*log10(abs(hb))); %affichage avec axe des abs. log.
xlabel('Frequence (radians)');
ylabel('Gain (dB)');
grid;
Pour la phase :...
semilogx(bc,angle(hb));
...
102 103 104-120
-100
-80
-60
-40
-20
0
Frequence (radians )
Gain (dB)
102 103 104-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
Frequence (radians )
Gain (dB)
56
Filtres de Cauer : programmation MatlabI) Synthèse de filtres analogiquesI.5) Filtres de Cauer
Caractéristiques
Affichage du gain en dB et de la phase en échelle semi-log :
f=[0.1:0.01:4];
[n,wn]=ellipord(0.4,0.5,1,100) %-99dB entre f/fe=0,4 et 0,5
[b,a]=ellip(n,1,100,wn); % -> ordre 9
[H,fl]=freqz(b,a,f);
semilogx(fl,20*log(abs(H)),'b');
hold;
[n,wn]=ellipord(0.4,0.45,1,100) %-99dB entre f/fe=0,4 et 0,45
[b,a]=ellip(n,1,100,wn); % -> ordre 11
[H,fl]=freqz(b,a,f);
semilogx(fl,20*log(abs(H)),'r');
[n,wn]=ellipord(0.4,0.41,1,100) %-99dB entre f/fe=0,4 et 0,41
[b,a]=ellip(n,1,100,wn); % -> ordre 16
[H,fl]=freqz(b,a,f);
semilogx(fl,20*log(abs(H)),'g');
Un affichage de |H(f)| en échelle linéaire permet de constater la
non-linéarité de la phase (même dans la bande passante) :
[n,wn]=ellipord(0.4,0.5,1,100)
[b,a]=ellip(n,1,100,wn);
freqz(b,a);
10-1 100
-300
-250
-200
-150
-100
-50
0
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-150
-100
-50
0
50
Normalized Angular Frequency (×π rads /s ample)
Magnitude (dB)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-800
-600
-400
-200
0
Normalized Angular Frequency (×π rads /s ample)
Phase (degrees)
57
Butterworth, Chebyshev, Bessel, Cauer
Comparaison des performances des filtres de Butterworth, de Chebyshev de Bessel et de Cauer
Gain en dB
[z,p,k]=buttap(4); %Butterworth ordre 4
w=logspace(-1,1,1000); %1000 points entre 0.1 et 10
h=freqs(k*poly(z),poly(p),w);
semilogx(w,20*log(abs(h)),'b'); %bleu
hold;
[z,p,k]=cheb1ap(4,0.5); %Chebyshev type I ordre 4
h=freqs(k*poly(z),poly(p),w); %(0,5dB max en BP)
semilogx(w,20*log(abs(h)),'r'); %rouge
[z,p,k]=cheb2ap(4,20); %Chebyshev type II ordre 4
h=freqs(k*poly(z),poly(p),w); %(20dB min en BA)
semilogx(w,20*log(abs(h)),'g'); %vert
[z,p,k]=besselap(4); %Bessel ordre 4
h=freqs(k*poly(z),poly(p),w);
semilogx(w,20*log(abs(h)),'c'); %cyan
[z,p,k]=ellipap(4,0.5,20); %Cauer ordre 4
h=freqs(k*poly(z),poly(p),w); %(0,5dB max en BP et
semilogx(w,20*log(abs(h)),'m'); %20dB min en BA)
grid; %magenta
10-1
100
101
-90
-80
-70
-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
Gain en dB pour N=4
I) Synthèse de filtres analogiquesI.5) Filtres de Cauer
58
Butterworth, Chebyshev, Bessel, Cauer
Comparaison des performances des filtres de Butterworth, de Chebyshev de Bessel et de Cauer
Délai de groupe
w=logspace(-1,1,1000); %1000 points entre 0.1 et 10
[z,p,k]=buttap(4); %Butterworth ordre 4
h=freqs(k*poly(z),poly(p),w);
dg=-diff(unwrap(angle(h)))./diff(w); %délai de groupe
semilogx(w(1:length(w)-1),dg,'b'); %bleu
hold;
[z,p,k]=cheb1ap(4,0.5); %Chebyshev type I ordre 4
h=freqs(k*poly(z),poly(p),w); %(0,5dB max en BP)
dg=-diff(unwrap(angle(h)))./diff(w); %délai de groupe
semilogx(w(1:length(w)-1),dg,'r'); %rouge
grid;
[z,p,k]=besselap(4); %Bessel ordre 4
h=freqs(k*poly(z),poly(p),w);
dg=-diff(unwrap(angle(h)))./diff(w); %délai de groupe
semilogx(w(1:length(w)-1),dg,'c'); %cyan
Délai de groupe (en secondes) pour N=4
Remarque : le délai de groupe du filtre de Chebyshev de type II
et du filtre de Cauer doit être affiché séparément :
10-1 100 1010
1
2
3
4
5
6
7
0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4
-100
-80
-60
-40
-20
0
20
I) Synthèse de filtres analogiquesI.5) Filtres de Cauer
59
Butterworth, Chebyshev, Bessel
Comparaison des performances des filtres de Butterworth, de Chebyshev et de Cauer
*********Absence
doscillations (BP)
*******Linéarité de la phase
*******Raideur des pentes
*******Facilité de conception
CauerBesselChebyshevButterworthCritères de choix selon type de filtre
I) Synthèse de filtres analogiquesI.6) Comparaison des performances
60
Les différentes étapes de la synthèse dun filtre analogique
1. Définition du gabarit désiré
2. Normalisation du gabarit par rapport à une pulsation de référence ωr :
(- fréquence de coupure à 3dB pour un filtre de Butterworth de la forme simplifiée,
- fréquence datténuation max. en bande passante pour un filtre de Butterworth et pour Chebyshev et Cauer,
- fréquence centrale pour un filtre passe-bande ou coupe-bande)
3. Transposition en gabarit (normalisé) passe-bas
4. Détermination de lordre du filtre (calcul, abaques, logiciel)
5. Recherche de la fonction de transfert normalisée (mise en facteur) à partir des tables de polynômes
6. Transposition du filtre passe-bas étudié vers le type de filtre recherché
7. Dénormalisation :
8. Réalisation électronique
Remarque : dans le cas de la synthèse dun filtre passe-bas, les étapes 2 et 5 nont pas lieu dêtre.
I) Synthèse de filtres analogiquesI.7) Résumé des différentes étapes de synthèse Résumé des différentes étape de synthèse
sjr
→ωω
r
jsωω→
61
Exemple complet de synthèse (1/6)I) Synthèse de filtres analogiquesI.8) Exemple complet
Exemple complet de synthèse
On souhaite réaliser un filtre passe-haut satisfaisant les contraintes suivantes :
-atténuation maximale en bande passante : Ap=1dB à fp=4kHz
-atténuation minimale en bande atténuée : Aa=40dB à fa=2kHz
et pour lequel on accepte une ondulation dans la bande passante de 1dB.
Normalisation du gabarit
On normalise les fréquences par rapport à fp : f F=f/fpfp Fp=fp/fp=1
fa Fa =fa/fp=0,5
Gabarit passe-bas (normalisé) correspondant
Changement de variable de la transposition passe-bas vers passe-haut :
Pour f=fa :
(on fait abstraction du signe - )
0 2 f(kHz)4
-40
-1
s1s →
ωω
→ωω
jj p
p
0 0,5 F1
-40
-1
0 1 F2
-40
-1
a
p
p
a
ff
jffj −→ 2j5,0j −→
62
Exemple complet de synthèse (2/6)I) Synthèse de filtres analogiquesI.8) Exemple complet
Exemple complet de synthèse
Détermination de lordre du filtre
avec et
on prend N=5
Fonction de transfert normalisée à partir de la table des polynômes de Chebyshev
Transposition vers le type de filtre de départ (passe-haut)
)(charg
110chargN
a
10aA
Ωε
−
= 509,0110110 101
10Ap
=−=−=ε 2p
aa =
ωω=Ω
5,4)2(charg
509,0/)110(chargN10/aA
=−=
)1s181,0s012,1)(1s091,1s329,2)(1s454,3(1)s(H 22 +++++
=
s1s →
1s179,0s988,0s988,0
1s468,0s429,0s429,0
1s29,0s29,0)s(H 2
2
2
2
++×
++×
+=
63
Exemple complet de synthèse (3/6)I) Synthèse de filtres analogiquesI.8) Exemple complet
Exemple complet de synthèse
Dénormalisation
Identification :
s/rad665,86)( 1c =ω s/rad372,38)( 2c =ω s/rad285,25)( 3c =ω
Hz8,13)f( 1c = Hz1,6)f( 2c = Hz4)f( 3c =
357,02 =ξ 09,03 =ξ
2
3c3c
2
3c2
2c2c
2
2c
1c
1c321
)(j
)(2j1
)(j
)(j
)(2j1
)(j
)(j1
)(j
)j(H)j(H)j(H)j(H)s(H
ωω+
ωωξ+
ωω
×
ωω+
ωωξ+
ωω
×
ωω+
ωω
=ω×ω×ω=ω→
pp f2jjs
πω=
ωω→
64
Exemple complet de synthèse (4/6)I) Synthèse de filtres analogiquesI.8) Exemple complet
Exemple complet de synthèse
Tests
Avant de passer à la réalisation proprement dite, on peut simuler le filtre pour vérifier que la synthèse est correcte.
Programme Scilab :fc=4;w0=2*%pi*fc/0.29num=poly([0 1/w0], "s", "coef");den=poly([1 1/w0], "s", "coef");sys1=syslin('c', num, den);bode(sys1, 0.1, 100);
w0=2*%pi*fc/sqrt(0.429)xi=0.468*w0/(4*%pi*fc)num=poly([0 0 1/w0/w0], "s", "coef");den=poly([1 2*xi/w0 1/w0/w0], "s", "coef");sys2=syslin('c', num, den);bode(sys2, 0.1, 100);
w0=2*%pi*fc/sqrt(0.988)xi=0.179*w0/(4*%pi*fc)num=poly([0 0 1/w0/w0], "s", "coef");den=poly([1 2*xi/w0 1/w0/w0], "s", "coef");sys3=syslin('c', num, den);bode(sys3, 0.1, 100);
Affichage de la fonction de transfert produit :
...bode(sys1*sys2*sys3, 1, 100);...
Le gabarit désiré est bien obtenu.
zoom
H1 x H2 x H3
zoom
H1, H2, H3
65
Exemple complet de synthèse (5/6)I) Synthèse de filtres analogiquesI.8) Exemple complet
Exemple complet de synthèse
Réalisation électronique (1/2)
On se propose dutiliser une cellule active du 1er ordre et de 2 filtres de Rauch pour les cellules du 2nd ordre.
66
Exemple complet de synthèse (6/6)I) Synthèse de filtres analogiquesI.8) Exemple complet
Exemple complet de synthèse
Réalisation électronique (2/2)