symposium oostende 2006 n umeriek, grafisch en symbolisch wiskunde leren 18 augustus 2006
TRANSCRIPT
SYMPOSIUM OOSTENDE 2006
Numeriek, grafisch en symbolisch wiskunde leren
18 augustus 2006
10 jaar zinvol gebruik van ICT-hulpmiddel geïntegreerd in wiskundelessen SO
Situeren in BREDER vakdidactisch kader : accentverschuivingen in wiskunde-onderwijs.
Meer aandacht voor GEBRUIK van wiskunde.
Visie op “maatschappelijke” verwachtingen, effecten en doelen.
Meer CONSTRUCTIEVE aanpak. Vele VAKDIDACTISCHE aspecten aan
BRUIKBAAR hulpmiddel.
Representaties Numeriek,Grafisch, Symbolisch
“Beeld” van wiskunde : getallen, grafieken, formules
Ontwikkelen van begrip en vaardigheid : werken met GETALLEN: rekenkunde werken met GRAFIEKEN:meetkunde werken met FORMULES: algebra+ onderlinge verbanden
Afstand punt P(-4,7) tot rechte r :3x+4y+9=0
1. Meten2. Berekenen :Loodlijn b, snijpunt, afstand Algemene formule afstand
punt P(x1,y1) tot rechte r ax+by+c=0 AFLEIDEN
Afstand punt-rechte : formule afleiden
Afstand punt-rechte
Aansluiting concrete berekening met betekenis,zin van veralgemeende formule Organisatie van de berekeningen met reductievan de complexiteit van de algebra(parameters, berekening afstand zonder substitutievan de opgeloste k)
Richtingsvector r : (b,-a) Richtingsvector loodlijn l :
(a,b) Parametervergelijkingen
loodlijn l, coördinaten snijpunt S (x1+ k.a, y1+ k.b)
Afstand PS
Afstand punt-rechte : formule afleiden
22222 )( bakbak k = ? : uit S ligt op r
0)()( 11 ckbybkaxa
2211
ba
cbyaxk
Afstand punt-rechte : formule gebruiken
BISSECTRICESMeetkundige Plaats van alle punten even ver van twee rechtenPARABOOLMeetkundige plaats van alle punten even ver van een punt en een rechte
Representaties Numeriek,Grafisch, Symbolisch
Gebruik van hulpmiddelen voor maken van berekeningen, vervaardigen van figuren, grafieken en diagrammen, manipulaties met formules.
ICT-hulpmiddelen : digitale, electronische representatie
ICT : electronische representatie
NUMERIEK : “Floating point” van klassieke rekenmachine.
GRAFISCH : PIXELS op scherm worden verlicht. Welke ? Berekenen met numerieke module.
SYMBOLISCH Computer Algebra Formulemanipulatie : eigen software systeem
Numeriek (Getallen)
“Floating point” voorstelling in computers, rekentoestellen
Getal = “decimaal getal” met eindig aantal decimalen, afronden
Bruikbaar voor vele situaties Numerieke wiskunde (analyse,
lineaire algebra)
Numeriek / GRAFISCH
“Floating point” voorstelling in computers, rekentoestellen.
Gebruiken voor “berekenen” van GRAFIEKEN/grafische voorstellingen. Organisatie via vectoren en matrices.
Computerscherm = Matrix van “pixels” beschreven met coördinaten.
Ontwikkeling grafische software.
SYMBOLISCH : Computer Algebra
CAS Formulemanipulatie : SOFTWARE Gehele getallen zijn rijen symbolen Breuken zijn “koppels” gehele getallen Irrationale getallen : symbolen als “letters,symbolen” worden via voorgeprogrammeerde regels
gemanipuleerd (voorbeeld SOLVE(3x+y=4,x). De variabele “x” is hier gewoon een symbool
“Informatica” standpunt Numeriek,Grafisch, Symbolisch
ICT-hulpmiddelen : digitale, electronische representatie
Vanuit “informatica”standpunt :
Bernhard Kutzler (Oostende 2005)
Numerics versus Symbolics
HULPMIDDEL : inhoudelijk integreren in wiskundeonderwijs
verschillende representaties IN COMBINATIE gebruiken
Numerics AND Symbolics
GRAFISCHE REKENMACHINE + Formules zonder ICT
GRAFISCHE REKENMACHINE + CAS-systeem
Verschillende representaties gebruiken
verschillende representaties tegelijk gebruiken.
- niet eenzijdig (verbaal)-FORMEEL. - herwaardering van getallen en
grafische voorstellingen : “eenvoudiger”, “concreter”, “haalbare” voorstellingen waarmee toch al heel wat te leren is.
NUMERIEK/GRAFISCH : integreren in wiskundeonderwijs
sluit aan bij “visie”, “beeld” wiskundeonderwijs
- CONSTRUCTIEF voorbereiding op abstractere aanpak
- meer aandacht voor GEBRUIK van wiskunde (wiskunde “Queen and servant of sciences”)
GRAFISCH Rekentoestel
Grafisch rekentoestel als didactisch hulpmiddel voor tweede en derde graad
laat toe om (decimale) getallen en grafieken meer te gebruiken
- in combinatie met leren werken met algebra (formules)
- “kijken” naar getallen en grafieken - Hulpmiddel bij uitvoeren (genereren
tabellen, grafieken ...)
GETALLEN
GETALLEN in secundair onderwijs : werken met “reële” getallen zonder formele constructie van het systeem van de reële getallen
Decimale getallen zien als “benaderingen” in tabellen, rekenbladen, vectoren, matrices Voldoende voor analyseren en begrijpen van
veel situaties Toch aandacht voor breuken, irrationale
getallen ..
FUNCTIES
FUNCTIES via tabellen, grafieken en formules (voorschrift)
Volgorde : zonder FORMEEL functiebegrip al werken met (reële) functies
Verloop van elementaire reële functies : ZONDER formele theorie ANALYSE
Ervaring opdoen met begrippen (minimum, maximum, nulpunten...)
Gegeven data-punten beschrijven met functies (regressiemodellen)
Numeriek (Getallen)
Getal = “Decimaal” getal (40.5). Gebruikt voor kwantificeren van
probleem. Daarna georganiseerde analyse van
data via berekeningen en/of grafieken en (eenvoudige) algebra.
Wiskunde gebruiken (mathematiseren, wiskundige modellen ..)
Getallen en Grafieken GEBRUIKEN
In combinatie met (eenvoudige) formules
Mogelijkheden voor wiskundig minder “sterke” leerlingen.
Zingeving voor FORMULES
Manueel opsporen van het verband Controleer of ‘alle’ waarden uit de
tabel min of meer beantwoorden aan je gevonden formule.
Opsporen van het verband met het grafisch rekentoestel
Exponentieel verband tussen de tijd en het volume
Tijd t in minuten
Resterend volume olie in liter (V)
1 27600 2 25400 4 21500 7 16700
10 13000 12 11000 16 7900
Begeleid zelfstandig leren en werken in de derde graad secundair onderwijsmet de TI-83 (84) PlusGeert Delaleeuw
HULPMIDDEL : inhoudelijk
Cahier 6 - Ontwikkeling van het functiebegrip in de tweede graad
Cahier 1 - Mathematiseren met functies in de derde graad
Cahier 2 - Elementaire functies leren gebruiken als wiskundige modellen
www.t3vlaanderen.be
HULPMIDDEL : inhoudelijk
STATISTIEK “beschrijvend” , “grafisch” : zonder FORMEEL kansbegrip toch werken met kansen en “integralen” (als oppervlakten).
REGRESSIE om verbanden tussen data te beschrijven.
HULPMIDDEL : inhoudelijk
HULPMIDDEL : inhoudelijk
HULPMIDDEL : inhoudelijk
HULPMIDDEL : inhoudelijk
Cahier 3 - Regressie, een eerste kennismaking
Cahier 8 - Betrouwbaarheidsintervallen en het testen van hypothesen
Cahier 7 - Modelleren vanuit experimenteel verkregen data
HULPMIDDEL : inhoudelijk
VERANDERINGEN (Dynamisch syteem) beschrijven
Eerst DISCREET “beschrijvend” : numeriek, grafisch, formules
Overstap naar “Afgeleide in een punt” om verandering op 1 moment te beschrijven.
Calculus : werken met afgeleide functies en “calculus” zonder formeel limietbegrip toch werken met limieten.
Opbouw logistisch model
0.7(1 )10
P P
P
Logistisch Model r=0.7,K=10
1
1
(1 0.7(1 ))10
tt t
t tP
P P
P
P
Logistische groei (Verhulst / Pearl&Reed)
0
0.7
.7
0.7
1( )
11 ( 1)
1( )
1
1( )
11 ( 1)
0.6
( ) 1
1 ( 1).
5
0 1
1.
t
t
t
N te
N
N t
te
N te
Symbol Sense, Algebra en CAS
Band tussen verschillende representaties is belangrijk. Alleen grafisch en numeriek is een nadeel.
HULPMIDDEL : computeralgebra
Aansluiting met FORMULES ZINVOL in te schakelen in secundair
wiskundeonderwijs ? NIET vervanging voor LEREN van de
algebraïsche REKENREGELS of van de opbouw en zin van formele systemen
HULPMIDDEL : computeralgebra
WEL Hulpmiddel voor CORRECT en
BEWUST toepassen van gekende formele rekenregels
- in complexere problemen (oplossing deelprobleem)
- om te werken met parameters - om te werken met substituties
HULPMIDDEL : computeralgebra
WEL Gebruiken als CONTROLEMIDDEL
om inzicht te krijgen in basiselementen (substitutie, equivalentie van formules)
Alternatieven proberen, overschakelen naar andere representaties
HULPMIDDEL : computeralgebra
WEL Bijdrage bij verwerven van “symbol
sense” (zinvol gebruiken van formules om oplossingen te vinden voor problemen)
P. Drijvers : “Wat “a” is kan je niet weten”
HULPMIDDEL : computeralgebra
Situaties aanbieden waarin “symbol sense” kan groeien in directe relatie met conceptuele wiskunde. Vooral uitleggen wat de ZIN en kracht is en hoe het als hulpmiddel gehanteerd (geïnstrumentaliseerd) wordt.
Symbol Sense en Algebra
Rol van “letters” als onbekenden, variabelen, parameters …
Belangrijke elementen : « Gestalt » Keuzes maken
Grafisch + Computer Algebrain wiskunde-onderwijs
- algebra, calculus ... zijn op zich formele systemen, methoden om oplossingen te vinden
Gebruiken in COMBINATIE met grafische/numerieke representatie
Meer nadruk op zingeving en opzet van het systeem
Relativeren voor ingewikkelde puur mechanische oefeningen
Formules-Symbol Sense
Experimenteren met algebra en met diverse representaties
Hulpmiddel wordt INSTRUMENT (welke formule,procedure wanneer gebruiken ?)
Gemeenschappelijke loodlijn van twee kruisende rechten
Gemeenschappelijke loodlijn van twee kruisende rechten
Parametervergelijkingen van de rechten AB en CD neem een punt P (met parameter k) op AB neem een punt Q (met parameter l) op CD.PQ loodrecht op AB : PQ loodrecht op CD :k en l bepalen (2 vergelijkingen met 2 onbekenden) zo kennen we de punten P en Q en dus ook de lengte van PQ = d(AB,CD)
0 ABPQ
0 CDPQ
Van parametervergelijkingen naar vergelijking van een vlak
Van parametervergelijkingen naar vergelijking van een vlak
Vind een cartesiaanse vergelijking voor het vlak met parametervergelijkingen
vlak door P(6,9,1) met richtingen (-4,12,5) en (1,3,5)
srz
sry
srx
551
3129
46
Van parametervergelijkingen naar vergelijking van een vlak
We gebruiken de eerste twee vergelijkingen om op te lossen naar r en s : met CAS. Je kunt een stelsel invoeren in de SOLVE-functie
door de vergelijkingen te verbinden met "and". De variabelen die we willen berekenen uit dat stelsel plaatsen we tussen accolades.
Van parametervergelijkingen naar vergelijking van een vlak
Vervolgens substitueren we deze uitdrukkingen in de derde vergelijking,met | SUBSTITUTE.TUTE Eventueel werken we ook nog de noemers weg.
Het vlak heeft dus als vergelijking 45 x+25 y – 24 z – 471 = 0.
Van parametervergelijkingen naar vergelijking van een vlak
Conceptueel duidelijker methode voor eliminatie, met CAS uit te voeren. Band meetkundige context met algebraïsche operaties.
Vergt geen “technische” algebra en kan dus snel gebruikt worden in analytische ruimtemeetkunde
Later wordt duidelijk wat het voordeel is van andere algebraïsche methoden (o.a. rijherleiden, determinant …) vooral nuttig bij het opstellen van een “algemene formule” .
Niet te snel veralgemenen.
Logistisch Model r=0.7,K=10
1
1
(1 0.7(1 ))10
tt t
t tP
P P
P
P
Logistisch Model r,K
1
1
(1 (1 ))tt
t
t
t
Kr
P
P
P
PP
Onderzoek de evenwichten en stabiliteit voor K=1 (steeds mogelijk) en verschillende waarden van de parameter r.
De Strofoïde
De Strofoïde
De meetkundige plaats ontstaat als snijpunten van geassocieerde krommen. De klassieke werkwijze bestaat erin de parameter te elimineren uit het stelsel vergelijkingen van de geassocieerde krommen. Voor leerlingen is het echter natuurlijker eerst te zoeken naar de snijpunten. Je krijgt op die manier parametervergelijkingen van de kromme. Vaak lijdt dit echter tot zware berekeningen en is het elimineren van de parameter uit de parametervergelijkingen minder eenvoudig dan het elimineren uit het oorspronkelijke stelsel. Deze bezwaren vallen weg als we het rekenwerk kunnen overlaten aan een rekentoestel met computeralgebrasysteem.
De Strofoïde
We voeren de vergelijking van de cirkel en de rechte in en lossen op naar x en y.
.
De Strofoïde
Aangezien de rechte en de cirkel twee snijpunten hebben, vinden we twee oplossingen (verbonden met "or"). We laten dan de kromme tekenen met deze parametervergelijkingen.
.
ICT : didactisch gebruik
Moet “beheersbaar” blijven voor de leerkracht tijdens de les.
Gebruik als illustratie : vooral GRAFISCHE illustratie.
Leerkracht kan die ZELF (gedeeltelijk) ter beschikking stellen (ook zonder dat leerling beschikt over GRM)
Vergelijking zoeken raaklijn in een punt, of raaklijn aan ellips.
ICT : didactisch gebruik
Moet “beheersbaar” blijven voor de leerkracht tijdens de les.
Wings of Change, Teaching with the TI-92 Bärbel Barzel – Marie-Curie Gymnasium Düsseldorf, Duitsland
Integratie van ICT in het wiskundeonderwijs Anne Van Streun – Universiteit van Groningen, Nederland
ICT en manueel rekenwerk in de wiskundeles en in de evaluatie
Luc Gheysens – De Pleinschool, Kortrijk
ICT : didactisch gebruik
Leren gebruiken als INSTRUMENT bij oplossen van problemen.
Leerlingen kunnen zelf ervaring opdoen, controleren, op verschillende manieren voorstellen.
Computeralgebra, van "artefact" tot instrument
Paul Drijvers – APS, Freudental Instituut, Nederland
ICT : didactisch gebruik
Er blijft natuurlijk heel wat in wiskunde dat NIET met ICT gedaan wordt.
"If it is not necessary to use a computer/calculator, it is necessary not to use a computer/calculator."
(Helmut Heugl)
ICT : didactisch gebruik
”Gematigd” inschakelen van “hand-held” ICT systeem kan wiskunde-onderwijs verrijken en ondersteunen.
De machine doet uit zichzelf NIETS : om een resultaat te bereiken moet men weten welke opdrachten hiertoe leiden. Dat vraagt kennis en inzicht van de gebruiker en dus uitleg van de LEERKRACHT
ICT : didactisch gebruik
Materiaal beschikbaar voor inschakeling van GRAFISCH REKENTOESTEL.
EVOLUTIE en experimenteren met gebruik van geïntegreerd toestel met goede keuzes voor interface
…. TI-Nspire
Didactisch HULPMIDDEL
POSITIEVE bijdrage Bredere visie op doel
wiskundeonderwijs : ook aandacht voor “gebruik” van wiskunde
Constructieve aanpak en meer gericht op ZINgeving van abstractie
Meer ZINvol onderwijs …
Naar 10de symposium
Aansluitend bij … 100 jaar Vliebergh-Sencie Centrum
K.U.Leuven
Symposium in LEUVEN op 22,23,24 augustus 2007
Dank …
Voor uw belangstelling en positieve atmosfeer
Aan de medewerkers van het hopelijk gevarieerde programma
Voor de gastvrije ontvangst door KHBO en de mensen die gezorgd hebben voor organisatie en de prima maaltijden ….