sygnały - home.agh.edu.plhome.agh.edu.pl/~rad/wiki/images/5_sygnaly.pdf · m. rad • sygnał...
TRANSCRIPT
![Page 1: Sygnały - home.agh.edu.plhome.agh.edu.pl/~rad/wiki/images/5_Sygnaly.pdf · M. Rad • Sygnał ciągły • Sygnał okresowy • Twierdzenie Fouriera • Widmo • Dyskretyzacja sygnału](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022070112/60583fd1c4f8373d4d466def/html5/thumbnails/1.jpg)
Sygnały
Podstawowe wiadomości dot. sygnałów
23.11.2017
M. Rad
![Page 2: Sygnały - home.agh.edu.plhome.agh.edu.pl/~rad/wiki/images/5_Sygnaly.pdf · M. Rad • Sygnał ciągły • Sygnał okresowy • Twierdzenie Fouriera • Widmo • Dyskretyzacja sygnału](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022070112/60583fd1c4f8373d4d466def/html5/thumbnails/2.jpg)
• Sygnał ciągły• Sygnał okresowy• Twierdzenie Fouriera• Widmo• Dyskretyzacja sygnału• Twierdzenie o próbkowaniu• Kwantyzacja• Przekształcenia
Plan wykładu
![Page 3: Sygnały - home.agh.edu.plhome.agh.edu.pl/~rad/wiki/images/5_Sygnaly.pdf · M. Rad • Sygnał ciągły • Sygnał okresowy • Twierdzenie Fouriera • Widmo • Dyskretyzacja sygnału](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022070112/60583fd1c4f8373d4d466def/html5/thumbnails/3.jpg)
Sygnał ciągły
Sygnał to abstrakcyjny model dowolnej mierzalnej wielkości zmieniającej się w czasie, generowanej przez zjawiska fizyczne lub systemy. Tak jak wszystkie zjawiska może być opisany za pomocą aparatu matematycznego, np. poprzez podanie pewnej funkcji zależnej od czasu. Mówimy, że sygnał niesie informację lub też umożliwia przepływ strumienia informacji.
t
Temp.
![Page 4: Sygnały - home.agh.edu.plhome.agh.edu.pl/~rad/wiki/images/5_Sygnaly.pdf · M. Rad • Sygnał ciągły • Sygnał okresowy • Twierdzenie Fouriera • Widmo • Dyskretyzacja sygnału](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022070112/60583fd1c4f8373d4d466def/html5/thumbnails/4.jpg)
Sygnały ciągłe
• O informacji mówiliśmy już poprzednio. Nośnikami informacji mogą być sygnały. W języku technicznym słowo „sygnał” oznacza mniej więcej to samo co rozumiemy pod tym pojęciem w języku potocznym. Sygnały są nadawane i odbierane, służą do komunikowania się.
• Istnieje dość duży dział nauki zajmujący się teorią przetwarzania sygnałów
![Page 5: Sygnały - home.agh.edu.plhome.agh.edu.pl/~rad/wiki/images/5_Sygnaly.pdf · M. Rad • Sygnał ciągły • Sygnał okresowy • Twierdzenie Fouriera • Widmo • Dyskretyzacja sygnału](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022070112/60583fd1c4f8373d4d466def/html5/thumbnails/5.jpg)
Sygnały
• Rzeczywiste sygnały (jak już wspomniano) zwykle dają się dobrze przedstawiać w opisie matematycznym jako funkcje
• Bardzo często są to funkcje czasu, ale nie musi tak być zawsze
• Argumentem funkcji może być inna dowolna wielkość, choć często w teorii mówi się dla uproszczenia tylko o czasie
![Page 6: Sygnały - home.agh.edu.plhome.agh.edu.pl/~rad/wiki/images/5_Sygnaly.pdf · M. Rad • Sygnał ciągły • Sygnał okresowy • Twierdzenie Fouriera • Widmo • Dyskretyzacja sygnału](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022070112/60583fd1c4f8373d4d466def/html5/thumbnails/6.jpg)
Sygnał okresowy
• Sygnał dający się przedstawić funkcją okresową – to sygnał okresowy
![Page 7: Sygnały - home.agh.edu.plhome.agh.edu.pl/~rad/wiki/images/5_Sygnaly.pdf · M. Rad • Sygnał ciągły • Sygnał okresowy • Twierdzenie Fouriera • Widmo • Dyskretyzacja sygnału](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022070112/60583fd1c4f8373d4d466def/html5/thumbnails/7.jpg)
Sygnały okresowe
• Sygnał okresowy posiada dwie cechy: amplitudę ('A') oraz okres (tutaj 'd')
• Amplituda definiowana jest jako największe odchylenie od stanu równowagi– W przebiegach wolno zmiennych i nieściśle
okresowych – jako różnica między minimum i maksimum
d
A
![Page 8: Sygnały - home.agh.edu.plhome.agh.edu.pl/~rad/wiki/images/5_Sygnaly.pdf · M. Rad • Sygnał ciągły • Sygnał okresowy • Twierdzenie Fouriera • Widmo • Dyskretyzacja sygnału](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022070112/60583fd1c4f8373d4d466def/html5/thumbnails/8.jpg)
Szereg Fouriera
• Szereg Fouriera – w matematyce szereg pozwalający rozłożyć funkcję okresową, spełniającą warunki Dirichleta, na sumę funkcji trygonometrycznych.
S (x)=a02
+∑n=1
∞
(ancos(2n πTx)+bnsin (
2n πTx))
![Page 9: Sygnały - home.agh.edu.plhome.agh.edu.pl/~rad/wiki/images/5_Sygnaly.pdf · M. Rad • Sygnał ciągły • Sygnał okresowy • Twierdzenie Fouriera • Widmo • Dyskretyzacja sygnału](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022070112/60583fd1c4f8373d4d466def/html5/thumbnails/9.jpg)
Przykład: funkcja prostokątna
S ( x)=∑n=1
∞
( 12n−1
sin ((2n−1)⋅x ))k 1=sin ( x )
k 2=13sin (3⋅x )
k 3=15sin(5⋅x)
k 4=17sin (7⋅x )⋯
![Page 10: Sygnały - home.agh.edu.plhome.agh.edu.pl/~rad/wiki/images/5_Sygnaly.pdf · M. Rad • Sygnał ciągły • Sygnał okresowy • Twierdzenie Fouriera • Widmo • Dyskretyzacja sygnału](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022070112/60583fd1c4f8373d4d466def/html5/thumbnails/10.jpg)
Jak to zrobić w Matlabie?
t=[0:0.01:2*pi]; a=sin(t); b=sin(3.*t)./3; c=sin(5.*t)./5; d=sin(7.*t)./7; plot(a+b+c+d);
← Przygotowuje wektor argumentów
← Oblicza wartości sinus
← Oblicza wartości dla sinusa o trzykrotnie większej częstotliwościItd..
← wyświetla wykres
![Page 11: Sygnały - home.agh.edu.plhome.agh.edu.pl/~rad/wiki/images/5_Sygnaly.pdf · M. Rad • Sygnał ciągły • Sygnał okresowy • Twierdzenie Fouriera • Widmo • Dyskretyzacja sygnału](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022070112/60583fd1c4f8373d4d466def/html5/thumbnails/11.jpg)
Ale po co ręcznie?
Zawartość m-pliku:
N=9;s=0;for n=1:2:N s=s+sin(n*t)/n;end plot(s)
Zmieniając wartość 'N' łatwo można obserwować co dzieje się z funkcją 's'
![Page 12: Sygnały - home.agh.edu.plhome.agh.edu.pl/~rad/wiki/images/5_Sygnaly.pdf · M. Rad • Sygnał ciągły • Sygnał okresowy • Twierdzenie Fouriera • Widmo • Dyskretyzacja sygnału](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022070112/60583fd1c4f8373d4d466def/html5/thumbnails/12.jpg)
Inny sposób przedstawienia funkcji (prostokątnej)
![Page 13: Sygnały - home.agh.edu.plhome.agh.edu.pl/~rad/wiki/images/5_Sygnaly.pdf · M. Rad • Sygnał ciągły • Sygnał okresowy • Twierdzenie Fouriera • Widmo • Dyskretyzacja sygnału](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022070112/60583fd1c4f8373d4d466def/html5/thumbnails/13.jpg)
Widmo
• Widmo sygnału (ściślej: widmo częstotliwościowe sygnału) – przedstawienie sygnału w dziedzinie częstotliwości lub pulsacji, otrzymane przy pomocy transformacji Fouriera. Widmem sygnału nazywa się zarówno samą transformatę Fouriera, (wynik transformacji Fouriera), jak i wykres przedstawiający tę transformatę.
![Page 14: Sygnały - home.agh.edu.plhome.agh.edu.pl/~rad/wiki/images/5_Sygnaly.pdf · M. Rad • Sygnał ciągły • Sygnał okresowy • Twierdzenie Fouriera • Widmo • Dyskretyzacja sygnału](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022070112/60583fd1c4f8373d4d466def/html5/thumbnails/14.jpg)
Reprezentacja sygnałów
• Problem: jak przedstawić ciągły sygnał analogowy w systemie cyfrowym (dyskretnym)?– Można opisać za pomocą wzoru ale nie
zawsze– W ogólnym przypadku należy dokonać
dyskretyzacji wartości
t
Temp.
![Page 15: Sygnały - home.agh.edu.plhome.agh.edu.pl/~rad/wiki/images/5_Sygnaly.pdf · M. Rad • Sygnał ciągły • Sygnał okresowy • Twierdzenie Fouriera • Widmo • Dyskretyzacja sygnału](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022070112/60583fd1c4f8373d4d466def/html5/thumbnails/15.jpg)
Próbkowanie
t
Temp.
![Page 16: Sygnały - home.agh.edu.plhome.agh.edu.pl/~rad/wiki/images/5_Sygnaly.pdf · M. Rad • Sygnał ciągły • Sygnał okresowy • Twierdzenie Fouriera • Widmo • Dyskretyzacja sygnału](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022070112/60583fd1c4f8373d4d466def/html5/thumbnails/16.jpg)
Próbki...
![Page 17: Sygnały - home.agh.edu.plhome.agh.edu.pl/~rad/wiki/images/5_Sygnaly.pdf · M. Rad • Sygnał ciągły • Sygnał okresowy • Twierdzenie Fouriera • Widmo • Dyskretyzacja sygnału](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022070112/60583fd1c4f8373d4d466def/html5/thumbnails/17.jpg)
t
Temp.
![Page 18: Sygnały - home.agh.edu.plhome.agh.edu.pl/~rad/wiki/images/5_Sygnaly.pdf · M. Rad • Sygnał ciągły • Sygnał okresowy • Twierdzenie Fouriera • Widmo • Dyskretyzacja sygnału](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022070112/60583fd1c4f8373d4d466def/html5/thumbnails/18.jpg)
t
Temp.
![Page 19: Sygnały - home.agh.edu.plhome.agh.edu.pl/~rad/wiki/images/5_Sygnaly.pdf · M. Rad • Sygnał ciągły • Sygnał okresowy • Twierdzenie Fouriera • Widmo • Dyskretyzacja sygnału](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022070112/60583fd1c4f8373d4d466def/html5/thumbnails/19.jpg)
![Page 20: Sygnały - home.agh.edu.plhome.agh.edu.pl/~rad/wiki/images/5_Sygnaly.pdf · M. Rad • Sygnał ciągły • Sygnał okresowy • Twierdzenie Fouriera • Widmo • Dyskretyzacja sygnału](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022070112/60583fd1c4f8373d4d466def/html5/thumbnails/20.jpg)
![Page 21: Sygnały - home.agh.edu.plhome.agh.edu.pl/~rad/wiki/images/5_Sygnaly.pdf · M. Rad • Sygnał ciągły • Sygnał okresowy • Twierdzenie Fouriera • Widmo • Dyskretyzacja sygnału](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022070112/60583fd1c4f8373d4d466def/html5/thumbnails/21.jpg)
t
Temp.
![Page 22: Sygnały - home.agh.edu.plhome.agh.edu.pl/~rad/wiki/images/5_Sygnaly.pdf · M. Rad • Sygnał ciągły • Sygnał okresowy • Twierdzenie Fouriera • Widmo • Dyskretyzacja sygnału](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022070112/60583fd1c4f8373d4d466def/html5/thumbnails/22.jpg)
Częstotliwość próbkowania
• Pytanie: jak często należy próbkować aby poprawnie odtworzyć sygnał ciągły?
• Odpowiedź to twierdzenie o próbkowaniu:(zwane również twierdzeniem Kotielnikowa-Shannona lub twierdzeniem Whittakera-Nyquista-Kotielnikova-Shannona)
Sygnał ciągły o częstotliwości równej F można wiernie odtworzyć z ciągu jego próbek tworzących sygnał dyskretny, o ile próbki te zostały pobrane z częstotliwością większą niż 2F.
![Page 23: Sygnały - home.agh.edu.plhome.agh.edu.pl/~rad/wiki/images/5_Sygnaly.pdf · M. Rad • Sygnał ciągły • Sygnał okresowy • Twierdzenie Fouriera • Widmo • Dyskretyzacja sygnału](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022070112/60583fd1c4f8373d4d466def/html5/thumbnails/23.jpg)
Sygnały złożone
• Ogólnie, dla sygnałów złożonych twierdzenie o próbkowaniu brzmi:Jeśli sygnał ciągły nie posiada składowych widma o częstotliwości równej lub większej niż F, to może on zostać wiernie odtworzony z ciągu jego próbek tworzących sygnał dyskretny, o ile próbki te zostały pobrane z częstotliwością nie mniejszą niż 2F.
![Page 24: Sygnały - home.agh.edu.plhome.agh.edu.pl/~rad/wiki/images/5_Sygnaly.pdf · M. Rad • Sygnał ciągły • Sygnał okresowy • Twierdzenie Fouriera • Widmo • Dyskretyzacja sygnału](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022070112/60583fd1c4f8373d4d466def/html5/thumbnails/24.jpg)
Kwantyzacja
• Próbkowanie to inaczej kwantyzacja sygnału w czasie
• Najczęściej, z powodu skończonej dokładności zapisu liczb, sygnał również jest kwantowany w wartościach
t
Temp.
![Page 25: Sygnały - home.agh.edu.plhome.agh.edu.pl/~rad/wiki/images/5_Sygnaly.pdf · M. Rad • Sygnał ciągły • Sygnał okresowy • Twierdzenie Fouriera • Widmo • Dyskretyzacja sygnału](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022070112/60583fd1c4f8373d4d466def/html5/thumbnails/25.jpg)
W Matlabie:
• Obrazowe objaśnienia dla granicznej częstotliwości próbkowania:
t=[0.1:0.1:30*pi]; a=sin(t); plot(t,a); hold plot(t(1:25:end), a(1:25:end),'r-*'); plot(t(1:58:end), a(1:58:end),'g-o');