sve formule za srednju
TRANSCRIPT
-
8/20/2019 Sve Formule Za Srednju
1/87
Nevena Lukić
Matematičke formule za uč enike srednje škole
Kompjutersko-tehnička obrada:
Konstantin Simić
Beograd, 2006.
-
8/20/2019 Sve Formule Za Srednju
2/87
Matematičke formule 2
drž j
1. Osnovne algebarske formule ................................................................................5
1.1. Apsolutne vrednosti ..........................................................................................5
1.2. Racionalni izrazi .................................................................................................5 1.3. Stepeni izrazi (uslov: A(x)>0) ..........................................................................5
1.4. Rastavljanje na činioce....................................................................................6
1.5. Lagranževa formula .........................................................................................6
1.6. Osobine korena i stepena ...............................................................................6
2. Iracionalne nejednačine........................................................................................8
3. Kvadratna funkcija ..................................................................................................8
3.1. Kvadratna jednačina .......................................................................................8
3.2. Vijetova pravila .................................................................................................9
3.3. Znak rešenja .......................................................................................................9
3.4. Znak kvadratnog trinoma f(x)=Ax2+Bx+C....................................................10 4. Logaritmi..................................................................................................................12
5. Trigonometrija.........................................................................................................13
5.1. Trigonometrijske funkcije ................................................................................14
5.2. Inverzne trigonometrijske funkcije ................................................................18
5.3. Tabela vrednosti trigonometrijskih funkcija za važnije uglove .................22
5.4. Neke osnovne trigonometrijske transformacije..........................................22
5.5. Svođenje na oštar ugao ................................................................................23
5.6. Adicione formule.............................................................................................24
5.7. Dvostruki ugao.................................................................................................24
5.8. Trostruki ugao...................................................................................................25 5.9. Polovina ugla...................................................................................................25
5.10. Transformacija zbira i razlike trigonometrijskih funkcija u proizvod........26
5.11. Transformacija proizvoda trigonometrijskih funkcija u zbir i razliku........26
5.12. Važnije trigonometrijske sume.....................................................................27
5.13. Trigonometrijske jednačine..........................................................................28
5.14. Osnovne transformacije inverznih trigonometrijskih funkcija .................29
5.15. Sinusna teorema ...........................................................................................30
5.16. Kosinusna teorema .......................................................................................30
6. Planimetrija .............................................................................................................31
6.1. Krug ...................................................................................................................31 6.2. Kružni isečak.....................................................................................................31
6.3. Kvadrat .............................................................................................................31
6.4. Pravougaonik...................................................................................................32
6.5. Trougao.............................................................................................................32
6.6. Jednakostranični trougao .............................................................................33
6.7. Pravougli trougao ...........................................................................................33
6.8. Paralelogram ...................................................................................................34
6.9. Trapez................................................................................................................35
6.10. Jednakokraki trapez .....................................................................................36
6.11. Tangente i tetive ...........................................................................................37 6.12. Osobine upisanog kruga u trougao...........................................................38
6.13. Tetivni četvorougao......................................................................................39
-
8/20/2019 Sve Formule Za Srednju
3/87
Matematičke formule 3
6.14. Tangentni četvorougao...............................................................................39
7. Stereometrija ..........................................................................................................40
7.1. Kosa četvorostrana prizma............................................................................40
7.2. Kosa četvorostrana prizma sa rombom u osnovi ......................................41
7.3. Trostrana kosa prizma.....................................................................................42
7.4. Trostrana piramida sa svim bočnim jednakim ivicama ............................43
7.5. Trostrana piramida kod koje bočne strane zaklapaju sa osnovom isti
ugao.........................................................................................................................44
7.6. Trostrana piramida čije su sve bočne ivice normalne ..............................45
7.7. Četvorostrana piramida kod koje je jedna bočna ivica (DV) normalna
na ravan osnove ....................................................................................................46
7.8. Kupa..................................................................................................................47
7.9. Zarubljena kupa ..............................................................................................48
7.10. Lopta (sfera) ..................................................................................................49
7.11. Loptin isečak ..................................................................................................49
7.12. Loptin pojas....................................................................................................50 8. Determinante .........................................................................................................51
8.1. Sarusovo pravilo ..............................................................................................51
8.2. Razbijanje na kofaktore .................................................................................51
8.3. Osobine determinanti ....................................................................................52
9. Vektori......................................................................................................................53
9.1. Kolinearnost......................................................................................................54
9.2. Linearna zavisnost vektora ............................................................................54
9.3. Ispitivanje linearne zavisnosti vektora pomoću determinante................54
9.4. Formiranje vektora ..........................................................................................55
9.5. Trougao.............................................................................................................55 9.6. Vektor visine trougla .......................................................................................56
9.7. Vektor simetrale ugla između dva vektora.................................................56
9.8. Skalarni proizvod .............................................................................................57
9.9. Vektorski proizvod ...........................................................................................58
9.10. Mešoviti proizvod ..........................................................................................59
9.11. Trostrana piramida........................................................................................60
9.12. Četvorostrana piramida ..............................................................................60
10. Analitička geometrija u ravni.............................................................................61
10.1. Podela duži u odnosu m:n ...........................................................................61
10.2. Jednačina prave ..........................................................................................62 10.3. Odnos dve prave..........................................................................................63
10.4. Jednačina kruga...........................................................................................63
10.5. Uslov da je prava tangenta kruga.............................................................64
10.6. Međusobni položaj dva kruga ....................................................................64
10.7. Pramen pravih ...............................................................................................65
10.8. Pramen krugova............................................................................................65
10.9. Elipsa ...............................................................................................................66
10.10. Hiperbola......................................................................................................67
10.11. Parabola.......................................................................................................68
11. Nejednakosti, sume i nizovi.................................................................................69 11.1. Nejednakosti ..................................................................................................69
11.2. Sume ...............................................................................................................69
-
8/20/2019 Sve Formule Za Srednju
4/87
Matematičke formule 4
11.3. Osobine sume................................................................................................70
11.4. Aritmetički niz (progresija)............................................................................70
11.5. Geometrijski niz (progresija).........................................................................71
11.6. Beskonačan geometrijski niz (red)..............................................................71
12. Polinomi .................................................................................................................72
12.1. Vijetova pravila za polinome ......................................................................72
12.2. Formiranje jednačina ...................................................................................72
13. Uvod u analizu......................................................................................................73
13.1. Oblasti definisanosti nekih funkcija ............................................................73
13.2. Ispitivanje funkcije.........................................................................................74
13.3. Granična vrednost funkcije.........................................................................74
13.4. Važnije granične vrednosti ..........................................................................74
13.5. Neodređeni matematički izrazi...................................................................75
13.6. Asimptote funkcije ........................................................................................76
14. Izvodi......................................................................................................................77
14.1. Pravila izvoda.................................................................................................77 14.2. Tablica izvoda ...............................................................................................77
14.3. Izvod višeg reda ............................................................................................78
14.4. Izvod složene funkcije...................................................................................78
14.5. Izvod inverzne funkcije .................................................................................78
14.6. Tangenta funkcije u tački (x0,f(x0)) .............................................................78
15. Integrali..................................................................................................................79
15.1. Osobine integrala .........................................................................................79
15.2. Tablica integrala ...........................................................................................79
15.3. Često korišćeni integrali sa uobičajenim smenama ...............................80
15.4. Metod neodređenih koeficijenata ............................................................80 15.5. Trigonometrijski integrali ...............................................................................81
15.6. Metod parcijalne integracije ......................................................................81
15.7. Integracija racionalnih funkcija ..................................................................82
15.8. Njutn-Lajbnicova formula ............................................................................82
15.9. Neke rekurentne formule za integrale.......................................................83
16. Kombinatorika......................................................................................................84
16.1. Binomni koeficijenti .......................................................................................84
16.2. Izračunavanje zbira kvadrata binomnih koeficijenata...........................85
-
8/20/2019 Sve Formule Za Srednju
5/87
Matematičke formule 5
y=|x|
1. Osnovne algebarske formule
1.1. Apsolutne vrednosti
22 2
, 0
, 0
( 0) ( 0)
A A A
A A
A B A B
A A
B B
A A A
A B A B A B
A B A B A B
A B A B A B
A B A B B A B B
≥⎧= ⎨
− ≤⎩
⋅ = ⋅
=
= =
− ≤ + ≤ +
≥ ⇔ ≥ ∨ ≤ −
≤ ⇔ ≤ ∧ ≥ −
= ⇔ = ∧ ≥ ∨ = − ∧ ≥
1.2. Racionalni izrazi
0 ( 0 0)
0 ( 0) ( 0 0)
B B I
I
B B B I
I I
= ⇔ = ∧ ≠
≥ ⇔ > ∨ = ∧ ≠
1.3. Stepeni izrazi (uslov: A(x)>0)
( )
( ) ( )
( ) 1 ( ( ) 1) ( ( ) 0 ( ) 0)
( ) ( ) ( ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0)
( ( ) 1) ( ( ) ( ) ( ) 0)
B x
B x C x
A x A x A x B x
A x A x A x B x C x
A x B x C x A x
= ⇔ = ∨ ≠ ∧ =
= ⇔ ≠ ∧ ≠ ∧ ≠ ∨
∨ = ∨ = ∧ ≠
-
8/20/2019 Sve Formule Za Srednju
6/87
Matematičke formule 6
1.4. Rastavljanje na č inioce
2 2
3 3 2 2
2 2
2 2 2
3 3 2 2 3
3 3 3
4 2 2 4 2 2 2 2
3 3 3 2 2 2
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) 2
( ) 3 3
( ) 3 ( )
( )( )
3 ( )( )
A B A B A B
A B A B A AB B
A B A Bi A Bi
A B A AB B
A B A A B AB B
A B A AB A B B
A A B B A AB B A AB B
B C ABC A B C A B C AB AC BC
− = − ⋅ +± = ± ⋅ +
+ = − ⋅ +
± = ± +
± = ± + ±
± = ± ± ±
+ + = + + − +
+ + − = + + + + − − −
∓
1.5. Lagranževa formula
2 2
2 2
A B A A B A B
+ − − −± = ±
1.6. Osobine korena i stepena
/
0
2 2
22
, ,
:
( ) , 1
( ) , 0
m nn nmm
mn m n
n m n m
n m n m
n m n m
n n
nn
x y x y
a a
a a a n m
a a a
a a a
A A
A A A
+
−
⋅
⋅ =
=
⋅ = ∈
=
= =
=
= ≥
y x=
-
8/20/2019 Sve Formule Za Srednju
7/87
Matematičke formule 7
, 1 x y a a= >
, 1 x
y a a= <
-
8/20/2019 Sve Formule Za Srednju
8/87
Matematičke formule 8
2. Iracionalne nejednačine
2
( ) ( )
I A(X) 0 ( ) 0 ( ) ( )
II A(X) 0 ( ) 0 nema kvadriranja
Rešenje je unija rešenja I i II
A X B X
B X A X B X
B X
≥
≥ ∧ ≥ ∧ ≥≥ ∧ ≤ ∧
2
( ) ( )
A(X) 0 ( ) 0 ( ) ( )
A X B X
B X A X B X
≤
≥ ∧ ≥ ∧ ≥
3. Kvadratna funkcija
2
2
Funkcija ima ekstremnu vrednost
4u tački T ,
2 4
za 0, funkcija ima minimum
za 0, funkcija ima maksimum
y ax bx c
b ac b
a a
a
a
= + +
⎛ ⎞−−⎜ ⎟
⎝ ⎠
>
<
3.1. Kvadratna jednač ina
2
1/ 2
2
1 2
1 2 1 2
1 2 1 2
0
2
4 (diskriminanta)
0, ,
0, , ,
0, , ,
ax bx c
b D x
a
D b ac
D x x
D x x x x
D x x x x
+ + =
− ±=
= −
> ∈
= ∈ =
< ∈ =
-
8/20/2019 Sve Formule Za Srednju
9/87
Matematičke formule 9
3.2. Vijetova pravila
2
1 2
1 2
2
1 2
0
4
ax bx c
b x xa
c x x
a
b ac x x
a
+ + =
+ = −
⋅ =
−− =
3.3. Znak rešenja
2
1 2 1 2
o
o
0
,
1 rešenja istog znaka
0 02 rešenja suprotnog znaka
0 0
a) oba pozitivna
0 0 0
b) oba negativna
0 0
ax bx c
b cS x x P x x
a a
D P
D P
D P S
D P S
+ + =
= + = − = ⋅ =
> ∧ >
> ∧ <
> ∧ < ∧ >
> ∧ < ∧ < 0
-
8/20/2019 Sve Formule Za Srednju
10/87
Matematičke formule 10
3.4. Znak kvadratnog trinoma f(x)=Ax 2 +Bx+C
1. kvadratni trinom uvek pozitivan 0 0 D> ∧ <
2. pozitivan, sem jedne vrednosti 0 0 D> ∧ ≤
-
8/20/2019 Sve Formule Za Srednju
11/87
Matematičke formule 11
3. kvadratni trinom uvek negativan 0 0 D< ∧ <
4. negativan, sem jedne vrednosti 0 0 D< ∧ ≤
-
8/20/2019 Sve Formule Za Srednju
12/87
Matematičke formule 12
4. Logaritmi
log
uslovi: 0 0 1
def x
b a x b a
a b b
= ⇔ =
> ∧ > ∧ ≠
2 | |
2
1log log
2
log 2 log | |
n bb
nb b
a an
a n a
=
=
log 1 0
log 1
log log
1log log
log log log
log log log
m
a
a
nb b
bb
a a a
a a a
a
a n a
a am
B A B
A B B
=
==
=
= +
= −
log
1log
log
loglog (za digitron)log
a b
a
b
ca
c
a b
ba
bb a
=
=
=
10log lg log
log lne
a a a
a a
= =
=
log , 1a y x a= >
log , 1a y x a= <
-
8/20/2019 Sve Formule Za Srednju
13/87
Matematičke formule 13
5. Trigonometrija
sin
cos
1sec
cos
a
c
b
c
α
α
α
α
=
=
=
tan
cot
1csc
sin
a
b
b
a
α
α
α
α
=
=
=
2 2
sin cos 1t an cot 1
α α α α
+ =⋅ =
sintancos
coscot
sin
α α α
α α
α
=
=
2
22
2
2
tansin1 tan
1cos
1 tan
α α α
α α
=+
=+
U narednoj tabeli dat je znak trigonometrijskih
funkcija po kvadrantima :
I II III IV
sin α + + - -
cos α + - - +
tan α + - + -
cot α + - + -
Zapamtite frazu : All students take classes! Dakle,
u prvom kvadrantu su svi pozitivni, u drugom
sinus, u trećem tangens, a u četvrtom kosinus. Zar
nije lako?
Sohcahtoa je ime jednog Indijanca. Zapamtite ga, zato što
ono na engleskom znači: Sinus (sine) opposite hypotenuse,
cosinus (cosine) adjacent hypotenuse, tangens (tangent)
opposite adjacent ! Hyponenuse znači hipotenuza, opposite
znači naspramna stranica, a adjacent znači nalegla stranica.
-
8/20/2019 Sve Formule Za Srednju
14/87
Matematičke formule 14
5.1. Trigonometrijske funkcije
y=sin x
- 6 - 4 - 2 2 4 6
- 1
- 0. 5
0. 5
1
[ ]
( )
( )
o
o
o
1 oblast definisanosti
:
: 1,1
2 znak funkcije
0 za x 0 ,
0 za x ,2
3 nule funkcije
0 za
D x
D y
y T T
y T T
y x k
π
π π
π
∈
∈ −
> ∈ + +
< ∈ + +
= =
o
o
max
min
o
4 monotonost funkcije
y za x ,2 2
3 y za x ,
2 2
5 ekstremne vrednosti
1 za 2
2 -1 za - 2
2
6 asimptote funkcije
Funkcija
T T
T T
y x k
y x k
π π
π π
π π
π π
⎡ ⎤
∈ − + +⎢ ⎥⎣ ⎦
⎡ ⎤∈ + +⎢ ⎥⎣ ⎦
= = +
= = +
o
nema asimptota.
7 periodičnost funkcije
2T k π =
-
8/20/2019 Sve Formule Za Srednju
15/87
Matematičke formule 15
y=cos x
- 6 - 4 - 2 2 4 6
- 1
-0. 5
0. 5
1
[ ]
o
o
o
1 oblast definisanosti
:
: 1,1
2 znak funkcije
0 za x ,2 2
3 0 za x ,2 2
3 nule funkcije
0 za2
D x
D y
y T T
y T T
y x k
π π
π π
π π
∈
∈ −
⎛ ⎞> ∈ − + +⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎛ ⎞< ∈ + +⎜ ⎟⎝ ⎠
= = +
[ ]
[ ]
o
o
max
min
o
o
4 monotonost funkcije
y za x ,2
y za x 0 ,
5 ekstremne vrednosti
1 za 2
-1 za 2
6 asimptote funkcije
Funkcija nema asimptota.
7 peri
T T
T T
y x k
y x k
π π
π
π
π π
∈ + +
∈ + +
= =
= = +
odičnost funkcije
2T k π =
-
8/20/2019 Sve Formule Za Srednju
16/87
Matematičke formule 16
y=tan x
- 6 - 4 - 2 2 4 6
- 30
- 20
- 10
10
20
30
o
o
o
1 oblast definisanosti
:
:
2 znak funkcije
0 za x 0 ,
2
0 za x ,02
3 nule funkcije
0 za 0
D x
D y
y T T
y T T
y x T
π
π
∈
∈
⎛ ⎞> ∈ + +⎜ ⎟
⎝ ⎠⎛ ⎞
< ∈ − + +⎜ ⎟⎝ ⎠
= = +
o
o
o
o
4 monotonost funkcije
y za x
5 ekstremne vrednosti
Funkcija nema ekstremuma.
6 asimptote funkcije
vertikalna asimptota2
7 periodičnost funkcije
x k
T k
π π
π
∀ ∈
= +
=
-
8/20/2019 Sve Formule Za Srednju
17/87
Matematičke formule 17
y=cot x
- 6 - 4 - 2 2 4 6
- 30
- 20
- 10
10
20
30
o
o
o
1 oblast definisanosti :
:
2 znak funkcije
0 za x 0 ,2
0 za x ,2
3 nule funkcije
0 za2
D x
D y
y T T
y T T
y x T
π
π π
π
∈
∈
⎛ ⎞> ∈ + +⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞< ∈ + +⎜ ⎟
⎝ ⎠
= = +
o
o
o
o
4 monotonost funkcije y za x
5 ekstremne vrednosti
Funkcija nema ekstremuma.
6 asimptote funkcije
vertikalna asimptota7 periodičnost funkcije
x k
T k
π π
π
∀ ∈
= +
=
-
8/20/2019 Sve Formule Za Srednju
18/87
Matematičke formule 18
5.2. Inverzne trigonometrijske funkcije1
y=arcsin x
[ ]
o
o
o
1 oblast definisanosti
: 1,1
: ,2 2
2 znak funkcije
0 za x 0
0 za x 0
3 nule funkcije
0 za 0
D x
D y
y
y
y x
π π
∈ −
⎡ ⎤∈ −⎢ ⎥⎣ ⎦
> >< <
= =
o
o
o
o
4 monotonost funkcije
y za x
5 ekstremne vrednosti
Funkcija nema ekstremuma.
6 asimptote funkcije
Funkcija nema asimptota.
7 periodičnost funkcije
Funkcija nije periodična.
∀ ∈
1 Napomena: Kodomeni inverznih trigonometrijskih funkcija su definicijom određeni, da bi
ove funkcije bile jednoznačne, zato što su trigonometrijske funcije periodične. Ukoliko bi
kodomen inverznih trigonometrijskih funkcija bio ceo skup realnih brojeva, tada bi inverznetrigonometrijske funkcije bile višeznačne.
-
8/20/2019 Sve Formule Za Srednju
19/87
Matematičke formule 19
y=arccos x
[ ]
[ ]
o
o
o
1 oblast definisanosti
: 1,1
: 0,
2 znak funkcije
0 za x
3 nule funkcije
0 za 1
D x
D y
y D
y x
π
∈ −
∈
> ∀ ∈
= =
o
o
o
o
4 monotonost funkcije
y za x
5 ekstremne vrednosti
Funkcija nema ekstremuma.
6 asimptote funkcije
Funkcija nema asimptota.
7 periodičnost funkcije
Funkcija nije periodična.
∀ ∈
-
8/20/2019 Sve Formule Za Srednju
20/87
Matematičke formule 20
y=arctan x
o
o
o
1 oblast definisanosti
:
: ,2 2
2 znak funkcije
0 za x 0 0 za x 0
3 nule funkcije
0 za 0
D x
D y
y y
y x
π π
∈
⎛ ⎞∈ −⎜ ⎟
⎝ ⎠
> >< <
= =
o
o
o
o
4 monotonost funkcije
y za x
5 ekstremne vrednosti
Funkcija nema ekstremuma.
6 asimptote funkcije
horizontalne: ,2
,2
7 periodičnost funkc
y x
y x
π
π
∀ ∈
→ − → +∞
→ → +∞
ije
Funkcija nije periodična.
-
8/20/2019 Sve Formule Za Srednju
21/87
Matematičke formule 21
y=arccot x
( )
o
o
o
1 oblast definisanosti
:
: 0,
2 znak funkcije
0 za x3 nule funkcije
0 za2
D x
D y
y
y x
π
π
∈
∈
> ∀ ∈
= =
o
o
o
o
4 monotonost funkcije
y za x
5 ekstremne vrednosti
Funkcija nema ekstremuma.
6 asimptote funkcije horizontalne: ,
0,
7 periodičnost funkcije
y x
y x
π
∀ ∈
→ → +∞
→ → +∞
Funkcija nije periodična.
-
8/20/2019 Sve Formule Za Srednju
22/87
Matematičke formule 22
5.3. Tabela vrednosti trigonometrijskih funkcija za važnije uglove
stepeni 0 30 45 60 90 180 270 360
radijani 0 6
π 4
π 3
π 2
π π
3
2
π 2π
sinα 0 1
2
2
2
3
2 1 0 1− 0
cosα 1 3
2
2
2
1
2 0 1− 0 1
tanα 0 3
3 1
3 ∞ 0 ∞ 0
cotα ∞ 3 1 3
3 0 ∞ 0 ∞
5.4. Neke osnovne trigonometrijske transformacije
sin( ) sin
cos( ) sin
tan( ) tan
cot( ) cot
α α
α α
α α
α α
− = −
− = +
− = −
− = −
sin( 2 ) sin
2cos( 2 ) cos
tan( ) tan
cot( ) cot
k
T k k
k T k
k
α π α
π α π α
α π α π
α π α
+ = ⎫
=⎬+ = ⎭
+ = ⎫=⎬
+ = ⎭
-
8/20/2019 Sve Formule Za Srednju
23/87
Matematičke formule 23
5.5. Svođ enje na oštar ugao
sin sin
2
cos cos2
I
tan tan2
cot cot2
π α α
π α α
π α α
π α α
⎧ ⎛ ⎞− = +⎜ ⎟⎪
⎝ ⎠⎪⎪ ⎛ ⎞
− = +⎜ ⎟⎪⎪ ⎝ ⎠⎨
⎛ ⎞⎪ − = +⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎪
⎛ ⎞⎪ − = +⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎩
sin sin
2
cos cos2
II
tan tan2
cot cot2
π α α
π α α
π α α
π α α
⎧ ⎛ ⎞+ = +⎜ ⎟⎪
⎝ ⎠⎪⎪ ⎛ ⎞
+ = −⎜ ⎟⎪⎪ ⎝ ⎠⎨
⎛ ⎞⎪ + = −⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎪
⎛ ⎞⎪ + = −⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎩
sin( ) sin
cos( ) cosII
tan( ) tan
cot( ) cot
π α α
π α α
π α α
π α α
− = +⎧⎪ − = −⎪⎨
− = −⎪⎪ − = −⎩
sin( ) sin
cos( ) cosIII
tan( ) tan
cot( ) cot
π α α
π α α
π α α
π α α
+ = −⎧⎪ + = −⎪⎨
+ = +⎪⎪ + = +⎩
3sin sin
2
3cos cos
2III
3tan tan
2
3cot cot
2
π α α
π α α
π α α
π α α
⎧ ⎛ ⎞− = −⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎪⎪ ⎛ ⎞
− = −⎜ ⎟⎪⎪ ⎝ ⎠⎨
⎛ ⎞⎪ − = +⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎪ ⎛ ⎞⎪ − = +⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎩
3sin sin
2
3cos cos
2IV
3tan tan
2
3cot cot
2
π α α
π α α
π α α
π α α
⎧ ⎛ ⎞+ = −⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎪⎪ ⎛ ⎞
+ = +⎜ ⎟⎪⎪ ⎝ ⎠⎨
⎛ ⎞⎪ + = −⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎪ ⎛ ⎞⎪ + = −⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎩
sin(2 ) sin
cos(2 ) cosIV
tan(2 ) tan
cot(2 ) cot
π α α
π α α
π α α
π α α
− = −⎧⎪ − = +⎪⎨
− = −⎪⎪ − = −⎩
sin(2 ) sin
cos(2 ) cosI
tan(2 ) tan
cot(2 ) cot
π α α
π α α
π α α
π α α
+ = +⎧⎪ + = +⎪⎨
+ = +⎪⎪ + = +⎩
-
8/20/2019 Sve Formule Za Srednju
24/87
Matematičke formule 24
5.6. Adicione formule
sin( ) sin cos cos sin
cos( ) cos cos sin sintan tan
tan( )1 tan tan
cot cot 1cot( )
cot cot
α β α β α β
α β α β α β α β
α β α β
α β α β
β α
± = ±
± = ±± =
± =±
∓
∓
∓
2 2
2 2
sin( ) sin( ) sin sin
cos( ) cos( ) cos sin
tan( ) tan tan tan tan tan( )
α β α β α β
α β α β α β
α β α β α β α β
+ ⋅ − = −
+ ⋅ − = −
+ − − = +
sin( )tan tan
cos cos
cos( )
cot cot 1sin sin
cos sintan
cos sin 4
α β α β
α β
α β
α β α β
α α π α
α α
+= +
+
= −
+ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟
− ⎝ ⎠
5.7. Dvostruki ugao
2 2
2
2
2
sin 2 2sin coscos2 cos sin
2tantan2
1 tan
cotcot2
1 tan
1 cos2cos2
α α α α α α
α α
α
α α
α
α α
=
= −
=−
=−
+=
2
2
2
2
2
2tansin21 tan
1 tancos2
1 tan
1 tancot2
2tan
1 cos2sin2
α α α
α α
α
α α
α
α α
= +
−=
+
−=
−=
-
8/20/2019 Sve Formule Za Srednju
25/87
Matematičke formule 25
5.8. Trostruki ugao
3
3
3
2
3
2
sin3 3sin 4sin
cos3 4cos 3cos
3tan tantan3
1 3tan
cot 3cotcot3
3cot 1
α α α
α α α
α α α
α
α α α
α
= −
= −−
=−
−=
−
1sin(60 )sin sin(60 ) sin34
1cos(60 )cos cos(60 ) cos3
4
tan(60 ) tan tan(60 ) tan3
2cot 2 cot tan
α α α α
α α α α
α α α α
α α α
− + =
− + =
− + =
= −
5.9. Polovina ugla
2
2
2
2
1 cossin
2 2
1 coscos
2 2
1 costan
2 1 cos
1 coscot
2 1 cos
α α
α α
α α
α
α α
α
−=
+=
−=++
=−
Primer:
5 1sin18
4
−=
Dokaz:
3
2
sin 36 cos542sin18 cos18 cos(3 18 )
2sin18 cos18 4cos 18 cos18 / : cos18
4sin 18 2sin18 1 0
Rešenje kvadratne jednačine je:
== ⋅
= −
+ − =
5 1sin18
4
−=
-
8/20/2019 Sve Formule Za Srednju
26/87
Matematičke formule 26
5.10. Transformacija zbira i razlike trigonometrijskih funkcija u proizvod
sin sin 2sin cos2 2
sin cos sin sin2
cos cos 2cos cos2 2
cos cos 2sin sin2 2
sin( )tan tan
cos cos
α β α β α β
π α β α α
α β α β α β
α β α β α β
α β α β
α β
±± =
⎛ ⎞± = ± −⎜ ⎟
⎝ ⎠
+ −+ =
+ −− = −
±± =
∓
5.11. Transformacija proizvoda trigonometrijskih funkcija u zbir irazliku
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
1sin cos sin sin
2
1cos cos cos cos2
1sin sin cos cos
2
α β α β α β
α β α β α β
α β α β α β
= − + +⎡ ⎤⎣ ⎦
= − + +⎡ ⎤⎣ ⎦
= − − +⎡ ⎤⎣ ⎦
-
8/20/2019 Sve Formule Za Srednju
27/87
Matematičke formule 27
5.12. Važnije trigonometrijske sume
1
1
2
1
1
2
1
1
cos sin2 2cos
sin2
1sin sin
2 2sin
sin2
sinsin(2 1)
sin
1 tan( 1) tan
cos cos(2 1) 2sin
tantan( 1) tan
tansin1
tancos( 1) cos
n
k
n
k
n
k
n
k
n
k n
k
n n
x xkx x
n n x x
kx x
nxk x
x
n x x
x k x x
nxk x kx n
x
nk x k
=
=
=
=
=
=
+⋅
=
+⋅
=
− =
+ −=
+ +
− ⋅ = −
=− ⋅
∑
∑
∑
∑
∑
∑
-
8/20/2019 Sve Formule Za Srednju
28/87
Matematičke formule 28
5.13. Trigonometrijske jednač ine
Jednačina Rešenje
sin 0 x = x k π =
sin 1 x = 22
x k π
π = +
sin 1 x = − 3
22
x k π
π = +
sin x a= ( 1,1)a ∈ −
cos 0 x =
2 x k
π π = +
cos 1 x = 2 x k π = cos 1 x = − 2 x k π π = +
Česta smena kod trigonometrijskih jednačina je: sin cos A x B x C + = .
Kod trigonometrijskih jednačina takođe se veoma često koriste sledeće
transformacije:
2
2tan2sin
1 tan2
x
x x
=+
i
2
2
1 tan2cos
1 tan2
x
x x
−=
+
U tekstu koji sledi biće objašnjeno još par tipova trigonometrijskih jednačina:
2 2
2 2 2 2
1. sin cos / :
cos , sin
A x B x C A B
A B x x
B A B
+ = +
= =+ +
-
8/20/2019 Sve Formule Za Srednju
29/87
-
8/20/2019 Sve Formule Za Srednju
30/87
Matematičke formule 30
5.15. Sinusna teorema
A B
C
ab
c
α β
γ
5.16. Kosinusna teorema
A B
C
ab
cα β
γ
2sin
2sin
2sin
sin sin sin
2 2 2
a R
b R
c R
bc ac ab P
α
β
γ
α β γ
=
=
=
= = =
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 cos
2 cos
2 cos
a b c bc
b a c ac
c a b ab
α
β
γ
= + −
= + −
= + −
-
8/20/2019 Sve Formule Za Srednju
31/87
Matematičke formule 31
6. Planimetrija
6.1. Krug
2
2
P R
O R
π
π
=
=
6.2. Kružni iseč ak
2
360
180
R P
RO l
πα
πα
=
= =
6.3. Kvadrat
2
4
2
P a
O a
d a
=
=
=
2
2
o
u
d R
a R
=
=
O
RR α
l
O R
a
d
-
8/20/2019 Sve Formule Za Srednju
32/87
Matematičke formule 32
6.4. Pravougaonik
2 2
2o
P ab
O a b
d R
=
= +
=
6.5. Trougao
(srednja linija)2
2
2
4
a
b
c
o
u
am
bm
c
m
abc R
P
P R
s
=
=
=
=
=
2 2 2
( ) ( ) ( ) (Heronov obrazac)
(poluobim)2
2
a b ca h b h c h P
P s s a s b s c
a b c s
O a b c s
⋅ ⋅ ⋅= = =
= ⋅ − ⋅ − ⋅ −
+ +=
= + + =
B A
CD
a
bd
A B
C
a
c
Tb Ta
-
8/20/2019 Sve Formule Za Srednju
33/87
Matematičke formule 33
6.6. Jednakostrani č ni trougao
2
3
sin60 2
3
2 4
3
3
3
3
6
o
u
a
h a
a h a P
O a
a R
a
R
= ⋅ =
⋅= =
=
=
=
6.7. Pravougli trougao
2
2
2
2 2
(geom. sredina)
( - ) ( - )
o
u
c
c
c R
a b c R
chab P
h p q
P s a s b
=
+ −=
= =
= ⋅
= ⋅
O
RuR
o
a
h
60
A B
C
hc Ro
p q
-
8/20/2019 Sve Formule Za Srednju
34/87
Matematičke formule 34
6.8. Paralelogram
2 2 2 21 2
2 2
2( )
a b P ah bh
O a b
d d a b
= =
= +
+ = +
specijalni sluč aj: romb
1 2
2
4
d d P ah
O a
= =
=
Ako su poznate jedna stranica i obe dijagonale, površinu paralelograma moguće je izračunati
na sledeći način:
'
'
1
2
' 2
2 2
može se izračunati preko Heronovog
obrasca, ako je dato:
' 2
'
a a AA C ABCD
AA C
AA h a h P ah P
P
AA а
AC d CA d
⋅ ⋅= = = =
=
==
a
bha
d1
d2
hb
-
8/20/2019 Sve Formule Za Srednju
35/87
Matematičke formule 35
6.9. Trapez
2
a b P h
O a b c d
+= ⋅
= + + +
Ako su date stranice a, b, c i d , površina trapeza se izračunava na sledeći način:
'
'
'
2
može se izračunati
preko Heronovog obrasca
2
A BC
A BC
ABCD
ABCD A BC
a b P h
P
a b P h
a b P P
a b
−= ⋅
+= ⋅
+= ⋅
−
Ako su date stranice a i b i dijagonale d 1 i d 2, površina trapeza se izračunava na sledeći način:
2 BMD ABCD
a b P h P
+= ⋅ =
A B
CD
a
b
d ch
A B
CD
a
b
d chd
A’ a-b
A B
CD
a
b
d cd
A’
d2d2
b
d1h
M
-
8/20/2019 Sve Formule Za Srednju
36/87
Matematičke formule 36
6.10. Jednakokraki trapez
A B
CD
a2
a b−
2
a b+
b
c cd
h
Ako je krug upisan u jednakokraki trapez, tada je:
2
2 2u
a bc m
h ab
h ab R
+= =
=
= =
(srednja linija)2
2
a bm
P m h
O a b c
+=
= ⋅
= + +
-
8/20/2019 Sve Formule Za Srednju
37/87
Matematičke formule 37
6.11. Tangente i tetive
X
T
O
B
A
Ugao između tangente i tetive jednak je periferijskom uglu nad tetivom:
2α
α
Ο
Α
Β
C
D
2 XT XA XB= ⋅
2 2OB ACB
DAB ACB
α
α
= =
= =
-
8/20/2019 Sve Formule Za Srednju
38/87
Matematičke formule 38
6.12. Osobine upisanog kruga u trougao
A
B
C
M
NP
O
R
M AP s a
M BN s b
CP CN s c
= = −
= = −
= = −
-
8/20/2019 Sve Formule Za Srednju
39/87
Matematičke formule 39
6.13. Tetivni č etvorougao
A
B
C
D
α
β
γ
δ
6.14. Tangentni č etvorougao
a
b
c
d
180α β γ δ + = + =
a b c d + = +
-
8/20/2019 Sve Formule Za Srednju
40/87
Matematičke formule 40
7. Stereometrija
7.1. Kosa č etvorostrana prizma
A B
CD
A1B1
C1D1
E
AA1,BB1,CC1 i DD1 su bočne ivice kose prizme.AA1 zaklapa sa AB i AD isti ugao.Prema tome, E (podnožje visine EA1) je na simetrali ugla.
-
8/20/2019 Sve Formule Za Srednju
41/87
Matematičke formule 41
7.2. Kosa č etvorostrana prizma sa rombom u osnovi
A B
CD
A1 B1
C1D1
E
E1M
M1
Visina H=AE pripada ACC1A1.ACC1A1 je normalan na bazu.Dijagonale baze su međusobno normalne (AC⊥ BD i A1C1 ⊥ B1D1).Prema tome, dijagonala BD je normalna na ACC1A1.Iz toga dalje sledi da je dijagonala BD ⊥ MM1, pa je BDD1B1 pravougaonik.
-
8/20/2019 Sve Formule Za Srednju
42/87
-
8/20/2019 Sve Formule Za Srednju
43/87
Matematičke formule 43
7.4. Trostrana piramida sa svim boč nim jednakim ivicama
A B
C
H
V
Podnožje visine H je u centru opisanog kruga.
-
8/20/2019 Sve Formule Za Srednju
44/87
Matematičke formule 44
7.5. Trostrana piramida kod koje boč ne strane zaklapaju sa osnovomisti ugao
A B
C
H
V
D
Podnožje visine H je u centru upisanog kruga.
-
8/20/2019 Sve Formule Za Srednju
45/87
Matematičke formule 45
7.6. Trostrana piramida č ije su sve boč ne ivice normalne
A B
C
V
Bočne ivice su V BV CV s= = = .
Ivice osnove su 2a s= .
Zapremina se izračunava po obrascu :3
2
3 6
s s
sV
⋅= =
-
8/20/2019 Sve Formule Za Srednju
46/87
Matematičke formule 46
7.7. Č etvorostrana piramida kod koje je jedna boč na ivica (DV)normalna na ravan osnove
A B
CD
V
⊥ ⎫⊥⎬
⊥ ⎭
⊥ ⎫⊥⎬
⊥ ⎭
je pravougli trougao.
DV
je pravougli trougao.
DV ABCDVA AB
DA AB
VAB
ABCDVC BC
DC BC
VCD
-
8/20/2019 Sve Formule Za Srednju
47/87
Matematičke formule 47
7.8. Kupa
R
R
H
α
sss
s
3
B H V
P B M
⋅=
= +
2 B R
R s
π
π
=
=
Omotač kupe
2180
360
180 B
s R
s R
sO
π α π
α
π α
=°= ⋅ °
=°
α
Ob
ss
-
8/20/2019 Sve Formule Za Srednju
48/87
Matematičke formule 48
7.9. Zarubljena kupa
R
R
H*
α
s*s*s* s*
R*
* * *
* * *
** 2 2 *2
( )
( )3
M s R R
P B B M
H V R RR R
π
π
= +
= + +
= + +
* 2
*
*
*
B k B
H kH
s ks
R kR
=
=
=
=
* 2
* 2
* 3
k M
P k P
V k V
=
=
=
* 2
* 2 2
(1 )
(1 )
M k M
P B k B k M
= −
= + + −
* 3
*
*
(1 )
(1 )
(1 )
V k V
s k s
k H
= −
= −
= −
-
8/20/2019 Sve Formule Za Srednju
49/87
-
8/20/2019 Sve Formule Za Srednju
50/87
Matematičke formule 50
7.12. Loptin pojas
h
2 R hπ =
-
8/20/2019 Sve Formule Za Srednju
51/87
Matematičke formule 51
8. Determinante
8.1. Sarusovo pravilo
Pored determinante 3x3, sa desne strane treba prepisati prve dve kolone. Vrednost
determinante se računa na sledeći način :
1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2
( )
a b c a b
a b c a b ab c bc a ca b ba c ac b cb a
a b c a b
= + + − − −
Treba voditi računa da je proizvod dijagonala koje idu s leva na desno pozitivan, a proizvod
dijagonala koje idu s desna na levo negativan. Vrednost determinante dobijamo sabiranjemovih proizvoda dijagonala.
8.2. Razbijanje na kofaktore
1 11 1 1 1 2
2 2 2 2 1 1
2 2 2
a b ca b a b a b
a b c c c ca b a b a b
a b c
+ − +
− + −
+ − +
= + − +
Znak mesta se određuje na sledeći način:
(-1)vrsta kolona+
-
8/20/2019 Sve Formule Za Srednju
52/87
Matematičke formule 52
8.3. Osobine determinanti
1. Determinanta ne menja vrednost ako se jedna kolona (vrsta) podeli nekim brojem, pa secela determinanta pomnoži istim brojem.
... ... ... ... ... ...
... ... ... ... ... ...
ka kb kc a b c
k =
2. Determinanta ne menja vrednost ako se jedna kolona (vrsta) pomnoži nekim brojem idoda drugoj koloni (vrsti).
3. Ako je zbir po kolonama isti, onda se druga i treća vrsta prepišu i dodaju prvoj vrsti.
1 1 1
( )
1 0 0
( ) ( )( )( )
0
a c b a b c a b c a b c
b a a b a a a b c b a ac b c c b c c b c
a b c b a b a b a b c c b a b
c b c
+ + + + + +
= = + + =
= + + − − = + + − −
−
-
8/20/2019 Sve Formule Za Srednju
53/87
Matematičke formule 53
9. Vektori
{ }1
1 1 1
a
C x x a−− − −= =
x i
j
a
b
O '
'' ( , ) A a b
x
y
z
i
j
k
O
a
b
c
x A
y A
A
'
'''
'' ( , , ) A a b c
'
( , , )
x xOA OA A A A A
OA ai b j ck
OA a b c
= + +
= + +
Desno orijentisani vektori:
i j k
j k i
k i j
i su jedinični vektori.i j
'
''
OA a i
OA b j
= ⋅
= ⋅
' '
' ''
( , )
OA OA A A
OA OA OA
OA ai b j
OA a b
a ai b j
= +
= +
= +
= +
, i su jedinični vektori.i j k
x
y
z
OA ai
OA b j
OA ck
=
=
=
-
8/20/2019 Sve Formule Za Srednju
54/87
Matematičke formule 54
9.1. Kolinearnost
Svi vektori istog, odnosno paralelnog pravca, označeni su kao kolinearni.
9.2. Linearna zavisnost vektora
1 2
1 1 2 1 1
1 2
, ,
, ,
, , ,...,
...
, , ,..., su zavisni.
n
n
n
a b c
c a b
x a a a
x a a a
x a a a
α β α β
α α α
= + ∈
= + + +
Vektor je linearno nezavisan akko se ne može prikazati
kao linearna kombinacija vektora , i .
d
a b c
9.3. Ispitivanje linearne zavisnosti vektora pomoć u determinante
1.
1 2
1 2
1 2
1 2
( , )0 (zavisni)
( , )0
a a D
b ba a a
D a bb b b
D a
=
=
≠
(nezavisni)b
⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪
⎩
2.
1 2 3
1 2 31 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
( , , )
( , , )0 (zavisni)
( , , )0 (nezavisni)
a a a
D b b ba a a a
c c cb b b b
D c a bc c c c
D c a b
α β
α β
⎧⎪ =⎪⎪⎪⎨
= = +⎪⎪ ≠ ≠ +
⎪⎪⎩
-
8/20/2019 Sve Formule Za Srednju
55/87
Matematičke formule 55
9.4. Formiranje vektora
1 1 11 1 1
( , , )( , , )
( , , )
A a b c B a a b b c c
B a b c
⎫⇒ − − −⎬
⎭
Dokaz:
i j
k
O
A
B
9.5. Trougao
1 A1 B
1C B
C
O
1 1 1
1 1
1
( )( ) ( )
+( )
AB AO OB
AB OB OA
AB a i b j c k
ai b j ck B a a i b b j
c c k
= +
= −
= + + −
− + += − + − +
−
1, 1, 1
1
1 2 1 2 1 2
1 2 3
2 2 21 2 3
su središta stranica.
je težište trougla .
2
, ,3 3 3
3
( , , )
| |
A B C
T ABC
OA OBOC
a a a b b b c c cT
OA OB OC OT
a a a a
a a a a
+=
+ + + + + +⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
+ +=
= + +
-
8/20/2019 Sve Formule Za Srednju
56/87
Matematičke formule 56
9.6. Vektor visine trougla
a
b
D B
C
h
9.7. Vektor simetrale ugla izmeđ u dva vektora
| | | |
a b s
a b= +
0
2
2
| |
Proj| |
| |
| |
a
h CA AD
h AD b
a AD k a k
a
a bk b
a
a b AD aa
a bh a b
a
= += −
= ⋅ = ⋅
= =
=
= −
-
8/20/2019 Sve Formule Za Srednju
57/87
Matematičke formule 57
9.8. Skalarni proizvod
| | | | cos (skalarni proizvod dva vektora je )a b a b skalar α = ⋅ ⋅
α
Oa
b
α
Oa
b
Pravilno! Nepravilno!
1 0 0
0 1 0
0 0 1
i j k
i
j
k
1 2 3 1 2 3
1 2 3 1 2 3
1 1 2 2 3 3
( , , ) ( , , )
( ) ( )
a a a a b b b b
a i a j a k b i b j b k
a b a b a b
=
= + + ⋅ + + =
= + +
0 0
cos| | | |
| | , gde je jedinični vektor.
| | cos
| | | | cos
| |
Proj| |a
a b
a b
a a a a
x b
a b x
a
a b x b
a
α
α
α
=⋅
= ⋅
= ⋅
⋅ ⋅=
= =
( , )a bα ≠
( , )a bα =
α
Oa
b
-
8/20/2019 Sve Formule Za Srednju
58/87
Matematičke formule 58
9.9. Vektorski proizvod
(vektorski proizvod dva vektora je )a b c vektor × =
1° Pravac je normalan na ravan koju određuju vektori i .
2° Vektori , i su desno orijentisani vektori
(suprotno smeru kazaljke na satu, odnosno
pravilo desnog zavrtnja).
3°
c a b
a b c
1 2 3
Vektorski proizvod vektora i definiše se kao
površina paralelograma koji obrazuju vektori i .
4° | | | | | | sin
5
6 0
7 ( , , )
c a b
a b
a b a b
a b b a
a b a b
a a a a
α × = ⋅ ⋅
° × = − ×
° × = ⇔
°
1 2 3
1 2 3
1 2 3
( , , )
b b b b
i j k
a b a a a
b b b
× =
0
0
0
i j k
i k j
j k i
k j i
×
−
−
−
1 2
:
(1) Naći vektor koji je normalan na , .
(2) ( , ) ( , ) cos , cos ,| | | |
3 cos| |
x y
z
primer
x a b
x p a b
a aa x a i
a a
aa
α α
α
= ⋅ ×
= ⇒ = =
=
-
8/20/2019 Sve Formule Za Srednju
59/87
-
8/20/2019 Sve Formule Za Srednju
60/87
Matematičke formule 60
9.11. Trostrana piramida
3
6
, ,
6
BH V
a b H V
a b cV
=
× ⋅=
⎡ ⎤⎣ ⎦
=
9.12.Č
etvorostrana piramida
3
3
, ,
3
BH V
a b H V
a b cV
=
× ⋅=
⎡ ⎤⎣ ⎦
=
-
8/20/2019 Sve Formule Za Srednju
61/87
Matematičke formule 61
10. Analitička geometrija u ravni
A
B
S
A
B
C
T
1 2 3
1 2 3
1 1 11
| | površina trougla2
P x x x
y y y
=
10.1. Podela duži u odnosu m:n
A
MB
0 0
1 1
2 21 0 1 0
0 1 0 1
( , )( , )
( ) ( )
, središte duži AB2 2
A x y B x y
AB x x y y
x x y yS
= − + −
+ +⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
1 1
2 2
3 3
1 2 3 1 2 3
( , )
( , )
( , )
, težište3 3
A x y
B x y
C x y
x x x y y yS ABC
+ + + +⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
1 2 1 2
1 1
2 2
( , )
: :
( , ) : ( , ) :
( ) : ( ) :
( ) : ( ) :
x y
AM MB m n
x a y a b x b y m n
x a b x m n
y a b y m n
=
− − − − =
− − =
− − =
-
8/20/2019 Sve Formule Za Srednju
62/87
Matematičke formule 62
10.2. Jednač ina prave
α
b
a
0
0 0 0 0
1 00 0 0 0 1 1
1 0
2
( ) ( - ) 0 (normalni oblik jednačine prave)
( ) (jednačina prave kroz 1 tačku ( , ))
( ) (jednačina prave kroz 2 tačke ( , ) i ( , ))
| |
o A x x B y y
y k x x y A x y
y y y x x y A x y B x y
x x
Ap Bq C d
A
− + =
= − +
−= − +
−
+ +=
+ 2
1 1 1 2 2 2
2 2 2 21 1 2 2
1 2
1 2
2 2
(odstojanje tačke ( , ) od prave 0)
: (simetrala ugla)
: 0 (osa simetrije između paralelnih pravih)2
(rastojanje
p q Ax By C
B
A x B y C A x B y C s
A B A B
C C s Ax By
C C d
A B
+ + =
+ + + += ±
+ ++
+ + =
−=
+1
2
između dve paralelne prave 0
i 0)
Ax By C
Ax By C
+ + =
+ + =
(eksplicitni oblik)
tan
0 (implicitni oblik)
y kx n
k
Ax By C
α
= +
=+ + =
1 (segmentni oblik) x y
a b+ =
-
8/20/2019 Sve Formule Za Srednju
63/87
Matematičke formule 63
10.3. Odnos dve prave
1 1
2 2
1 2
1 2
1 2
1 2
(prave su paralelne)
1 (prave su normalne)
tan (ugao između dve prave)1
y k x n
y k x n
k k
k k
k k
k k ϕ
= +
= +
=
⋅ = −
−=
+ ⋅
10.4. Jednač ina kruga
M
O
R
0 0
2 20 0
Udaljenost tačke ( ,y ) od kruga dobija se kada se od udaljenosti
tačke od centra oduzme poluprečnik:
( ) ( )
x
d x p y q= − + −
2 2 2
( , ) je centar kruga.
je poluprečnik.
( , ) je skup tačaka sa osobinom
da je rastojanje M od O
jednako . ( ( , ) )
( ) ( ) (j-na kruga)
O p q
R
M x y
R d M O R
x p y q R
=
− + − =
-
8/20/2019 Sve Formule Za Srednju
64/87
Matematičke formule 64
10.5. Uslov da je prava tangenta kruga
M(x ,y )0 0
O
R A x + B y + C
= 0
2
10.6. Međ usobni položaj dva kruga
2 2
2 2 2
20 0
| |
(ako je poznata prava u exp. obliku)
( 1) ( )
(ako je poznata prava u imp. obliku)
( )( ) ( )( )
(ako je poznata tačka)
Ap Bq C
R A B
R R kp q n
x p x p y q y q R
+ +
=+
+ = − +
− − + − − =
1 2
(ne seku se)
d R R> +
1 2
(dodiruju se spolja)
d R R= +
1 2
(dodiruju se iznutra)
d R R= −
1 2
(ne seku se)
d R R< −
-
8/20/2019 Sve Formule Za Srednju
65/87
Matematičke formule 65
10.7. Pramen pravih
10.8. Pramen krugova
2 2 2 2 2 21 1 1 2 2 2( ) ( ) ( ) ( ) 0 x p y q R x p y q Rλ
⎡ ⎤− + − − + − + − − =⎣ ⎦
1 1 1( ) 0 Ax By C A x B y C λ + + + + + =
2 2 21 1 1
2 2 22 2 2
( ) ( )
( ) ( )
x p y q R
x p y q R
− + − =
− + − =
-
8/20/2019 Sve Formule Za Srednju
66/87
Matematičke formule 66
10.9. Elipsa
2 2
2 21
x y
a b
+ =
a
b
F2F1
2 2 2
1
2
2 2 2
0 02 2
0 0
( ,0)fokusi,žiže
( ,0)
(uslov dodira sa datom tangentom
)
1 (uslov dodira sa datom tačkom
( , ))
c a b
F c
F c
a k b n
y kx n
x x y y
a b
x y
= −
− ⎫⎬⎭
+ == +
⋅ ⋅+ =
-
8/20/2019 Sve Formule Za Srednju
67/87
Matematičke formule 67
10.10. Hiperbola
2 2
2 21
x y
a b
− =
2 2 2
1
2
2 2 2
0 02 2
(asimptote)
( ,0)fokusi,žiže
( ,0)
(uslov dodira sa datom tangentom
)
1 (uslov dodira sa datom tačkom
c a b
b y x
a
F c
F c
a k b n
y kx n
x x y y
a b
= +
= ±
− ⎫⎬⎭
− =
= +
⋅ ⋅− =
0 0 ( , )) x y
-
8/20/2019 Sve Formule Za Srednju
68/87
Matematičke formule 68
10.11. Parabola
2 2 y px=
0 0
0 0
p=2kn (uslov dodira sa datom tangentom
)
=p(x+x ) (uslov dodira sa datom tačkom
( , ))
y kx n
y y
x y
= +
⋅
-
8/20/2019 Sve Formule Za Srednju
69/87
Matematičke formule 69
11. Nejednakosti, sume i nizovi
11.1. Nejednakosti
2
3
1
2
1
1
2
3
! 2
! 3
!
!
1 , 1
1 1 , 2
2
(1 ) 1 , 2, -1 (Bernulijeva nejednakost)
n
n
n
n
n
n
n
i
n
i
n
n
n
n
n
n n
n n
n ni
nn i
h nh n h
−
−
=
=
>
>
>
>
<
<
> ≥
> ≥+
+ > + ≥ >
∑
∑
11.2. Sume
1
1
2
1
2
1
23
1
22 4 2
( 1)
2
(2 1)
( 1)(2 1)
6
( 1)
2
1(1 )(1 )(1 ) ... (1 ) , 1, 1
1
n
n
n
i
n
i
n
i
n
i
n ni
i n
n n ni
n ni
x x x x x n x
x
−
=
=
=
=
+=
− =
+ +=
+⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦
−+ + + ⋅ ⋅ + = ≥ ≠
−
∑
∑
∑
∑
-
8/20/2019 Sve Formule Za Srednju
70/87
Matematičke formule 70
11.3. Osobine sume
1 2
1
1 21
1 1 1
1 1
...
...
( )
( )
def n
i n
idef n
i ni
n n n
i i i ii i i
n n
i ii i
a a a a
a a a a
a b a b
c a c a
=
=
= = =
= =
= + + +
= ⋅ ⋅ ⋅
+ = +
⋅ = ⋅
∑
∏
∑ ∑ ∑
∑ ∑
1
1 1
1
,
(broj članova sume je 1)
n
i
n k n
i i ii i i k
m
j j k
n
a a a k n
a m k
=
= = =
=
=
= + <
− +
∑
∑ ∑ ∑
∑
11.4. Aritmeti č ki niz (progresija)
1 2
1
1 1
...
( 1) razlika
( ) [2 ( 1) ]2 2
2
n
n
n n
n k n k n
a a a
a a n d d
n nS a a a n d
a a a− +
= + − −
= + = + −
+ =
2 1 1 1 1 2 1
3 2 21 1 1
1 11 1
Odrediti niz (bilo koji) takav da razlike njegovih uzastopnih članova obrazuju
aritmetički niz.
...
1( )
... 2
1(
2
n n
n n
n n nn n
č est zadatak
a a d a a d d d
a a d na a d d
na a d a a d d
−
−
− −−
− = ⎫ − = + + +⎪− = −⎪
− = +⎬⎪
−⎪− = ⎭ = + + 1)
-
8/20/2019 Sve Formule Za Srednju
71/87
Matematičke formule 71
1 2 3 4 5S S S S S
3
4
5
Odrediti zakonitost:
{1},{1,2},{3,4,5},{6,7,8,9},{10,11,12,13,14}
{1 2,...}
{1 2 3,...}
{1 2 3 4,...}
prvi član skupa: ( 1)2
poslednji član skupa
n
č est zadatak
S
S
S
na n
= +
= + +
= + + +
= +
: ( 1)
2n
nb n n= + +
11.5. Geometrijski niz (progresija)
1 2
2 12 1 3 1 1
1
2
...
1
1
n
nn
n
n
n k n k n
a a a
a a q a a q a a q
qS a
q
a a a
−
− +
= = =
−= ⋅
−⋅ =
11.6. Beskonač an geometrijski niz (red)
1 1
1
...
lim1
važan uslov: |q|
-
8/20/2019 Sve Formule Za Srednju
72/87
Matematičke formule 72
12. Polinomi
1 21 2 1 0( ) ...
Ostatak koji se dobija kada se ( ) podeli sa ( - ) je ( ).Ako je ( ) 0, polinomi su deljivi.
n nn n P x a x a x a x a x a
P x x a P a P a
−−= + + + + +
=
12.1. Vijetova pravila za polinome
3 2
1 2 3
1 2 1 3 2 3
1 2 3
0 Ax Bx Cx D
B x x x
AC
x x x x x x
D x x x
+ + + =
+ + = −
+ + =
⋅ ⋅ = −
4 3 2
1 2 3 4
1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4
1 2 3 1 2 4 2 3 4 1 3 4
1 2 3 4
0 Ax Bx Cx Dx E
B x x x x A
C x x x x x x x x x x x x
A
D x x x x x x x x x x x x
E x x x x
+ + + + =
+ + + = −
+ + + + + =
⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = −
⋅ ⋅ ⋅ =
12.2. Formiranje jednač ina
2
1 2
1 2
0 y sy p
s y y
p y y
− + =
= +
= ⋅
3 2
1 2 3
1 2 2 3 1 3
1 2 3
0 y sy py q
s y y y
p y y y y y y
q y y y
− + − =
= + +
= ⋅ + ⋅ + ⋅
= ⋅ ⋅
-
8/20/2019 Sve Formule Za Srednju
73/87
Matematičke formule 73
13. Uvod u analizu
13.1. Oblasti definisanosti nekih funkcija
ln
2
( ) ,A 0
( ) ln ,A>0
( ) ,A>0
( ) ln 2 ln | | ,A 0
1( ) ,A {0,1}
log
(
A
n
A
f x A
f x A
f x e
f x A n A
f xe
f x
= ≥
=
=
= = ≠
= ≠
2
| |
1 1) = ,A {0,1}
1loglog
2
( ) ln ,(nema uslova)
1( ) ,
sin
1
( ) ,cos 2
( ) tan
n A A
A
ee
n
f x e
f x k
f x k
f x
α π α
π
α π α
α
= ≠
=
= ≠
= ≠ +
= ,2
( ) cot ,
k
f x k
π α π
α α π
≠ +
= ≠
-
8/20/2019 Sve Formule Za Srednju
74/87
Matematičke formule 74
13.2. Ispitivanje funkcije
1. oblast definisanosti (domen)2. parnost/neparnost
3. periodičnost4. nule funkcije ( y=0)5. znak funkcije6. asimptote (izračunavanje graničnih vrednosti)
a) vertikalne (VA)b) horizontalne (HA)c) kose (KA)
7. monotonost i ekstremne vrednostia) monotonost (traženje prvog izvoda funkcije)
b) ekstremne vrednosti (minimum i maksimum) , y’=0 8. tačke prevoja i konveksnost/konkavnost
a) tačke prevoja (traženje drugog izvoda funkcije) , y’’=0 b) konveksnost/konkavnost
9. grafik funkcije
13.3. Grani č na vrednost funkcije
( )
0
0
( )
( 0)( 0)( ) ( )
lim ( ) x x
y f x
x x x f x a
a f x
ε δ δ ε
→
=∀ > ∃ > ∀ − < ⇒ − <
=
13.4. Važnije grani č ne vrednosti
0
1 1
sin1. lim 1
:
0, sin tan
11
sin cos
sin1 cos
sin 1 (po teoremi o 2 policajca)
x
x
x Dokaz
x x x x
x
x x
x x
x
x
x
→
=
> ≤ ≤
≤ ≤
≥ ≥
→
0
0
0
tan2. lim 1
arcsin3. lim 1
arctan4. lim 1
x
x
x
x
x
x
x
→
→
→
=
=
=
-
8/20/2019 Sve Formule Za Srednju
75/87
Matematičke formule 75
20
2 2 22
2 2 20 0 02
1 cos 15. lim
2
:
12 sin sin2sin
12 2 2 22lim lim lim2
2 2
sin tan
x
x x x
x
x
Dokaz
x x x x
x x x x
x x x
→
→ → →
−=
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠= = =
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
≤ ≤
0
0
0
16. lim 1
11 konvergentan
ln(1 )7. lim 1
1
8. lim 1
19. lim ln
n
n
n
n
x
x
x
x
x
en
an
x
x
e
x
aa
x
→∞
→
→
→
⎛ ⎞+ =⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞= + −⎜ ⎟
⎝ ⎠
+=
−
=
−=
0(1 ) 110. lim
sin11. lim 1
k
x
x
x k x
x
x
→
→∞
+ − =
=
13.5. Neodređ eni matemati č ki izrazi
0
1.
2.
3. 0
4. 0
5.
6. 1
−
∞
∞
∞ ∞
∞
∞⋅ ∞
∞
7.
8.
9.
10.
11.
12.
n
n
n
+∞ ∞ → ∞∞ ⋅ ∞ → ∞
∞ + → ∞
∞ ⋅ → ∞
∞ → ∞
∞ → ∞
, 1
neodređeni i , 1
0 , 0 1
a
a zraz a
a
∞
∞ >⎧⎪
= =⎨⎪ <
-
8/20/2019 Sve Formule Za Srednju
76/87
Matematičke formule 76
13.6. Asimptote funkcije
[ ]
1. vertikalna asimptota (VA)
lim ( )
2. kosa asimptota (KA)
( ) lim
lim ( )
3. horizontalna asimptota (HA)
lim
x a
x
x
x a f x
f x y kx n k
x
n f x kx
y n y
→
→∞
→∞
= = ∞
= + =
= −
= = ( )
lim ( )
x
x
f x
y f x
→+∞
→−∞=
-
8/20/2019 Sve Formule Za Srednju
77/87
Matematičke formule 77
14. Izvodi
0 00 0
0
( ) ( )'( ) ( ) lim
def
x
f x x f x f f x x
x x∆ →
+ ∆ −∂= =
∂ ∆
14.1. Pravila izvoda
'
'
2
[ ( )]' '( )
( ) '( )
[ ( ) ( )]' '( ) '( )
[ ( ) ( )]' '( ) ( ) ( ) '( )
( ) '( ) ( ) ( ) '( )
( ) ( )
c f x c f x
f x f x
c c
f x g x f x g x
f x g x f x g x f x g x
f x f x g x f x g x
g x g x
⋅ = ⋅
⎡ ⎤=⎢ ⎥⎣ ⎦
± = ±
⋅ = ⋅ + ⋅
⎡ ⎤ ⋅ − ⋅=⎢ ⎥
⎣ ⎦
14.2. Tablica izvoda
'1
'
2
'
' 1' 0
1 1
1
2
n n
c
n x
x x
x
−
==
⎡ ⎤ = ⋅⎣ ⎦
⎡ ⎤= −⎢ ⎥⎣ ⎦
⎡ ⎤ =
⎣ ⎦
2
2
(sin ) ' cos
(cos ) ' sin
1(tan ) '
cos
1(cot ) '
sin
x x
x x
x x
x
=
= −
=
= −
2
2
2
2
1(arcsin ) '
1
1(arccos ) '
1
1(arctan ) '
1
1(arccot ) '
1
x
x
x
x
x x
x x
=−
= −−
=+
= − +
'
( ) '
( ) ' ln
1(ln ) '
ln 1
log ln ln
x x
x x
a
e e
a e a
x x
x
x a x a
=
=
=
⎛ ⎞
= =⎜ ⎟⎝ ⎠
-
8/20/2019 Sve Formule Za Srednju
78/87
Matematičke formule 78
14.3. Izvod višeg reda
( )'
( ) ( 1)'' ( ') ' , ''' ( '') ' , n n y y y y y y −= = =
14.4. Izvod složene funkcije
( ) ( ( )) '( ) '( ( )) '( )h x f g x h x f g x g x= ⇒ = ⋅
1
2
2
[ ]' '[sin ]' cos '
[cos ]' sin '
1[tan ]' '
cos
1[cot ]' '
sin
1[ln ]' '
n n
n n n nn n n
n n n
n nn
n nn
n nn
−
= ⋅ ⋅= ⋅
= − ⋅
= ⋅
= − ⋅⋅
= ⋅
1
2
2
2
2
[ ]' '
[ ]' '
1[arcsin ] ' '
1
1[arccos ]' '
1
1[arctan ]' '
11
[arccot ]' '1
n n
n n
n n n n
e e n
n n
n
n n
n
n n
n
n nn
−= ⋅ ⋅
= ⋅
= ⋅−
= − ⋅−
= ⋅
+= − ⋅
+
14.5. Izvod inverzne funkcije
1 1( ) ( ) ' , gde indeks označava zavisnu promenljivu
' x
y
y f x x f y y
x
−= ∧ = ⇒ =
14.6. Tangenta funkcije u tač ki (x 0 ,f(x 0 ))
0 0
0
0
( )
( )
'( ) (jednačina tangente)
1 (jednačina normale)'( )
y f x
y k x x y
k f x
k f x
=
= − +
=
= −
-
8/20/2019 Sve Formule Za Srednju
79/87
-
8/20/2019 Sve Formule Za Srednju
80/87
Matematičke formule 80
15.3. Č esto korišć eni integrali sa uobi č ajenim smenama
Integral Smena
lndx
dx x a c x a = + ++∫ x a t + =
2 2
1ln
2
dx x adx c
a x a x a
−= +
+−∫ 2 2
1 1 1 1
2a x a x a x a
⎡ ⎤= −⎢ ⎥− +⎣ ⎦−
2 2
2 2ln
dxdx x x a c
x a
= + ± +±
∫ 2 2t x x a= + ±
2 2 2
1arcsin
dx bxdx cb aa b x
= +−∫ a x t
b=
2
dxdx
x ax bx c+ +∫ 1 t
x=
2 2 2
1arctan
dx bxdx c
ab ab x a= +
+∫
a x
b=
*Napomena: Kada se javi izraz 2ax bx c+ + , treba ga dopunitido POTPUNOG KVADRATA BINOMA!
15.4. Metod neodređ enih koeficijenata
'( ) cos ( ) cos ( ) sin
( ) cos ( ) cos ( ) sin
( ) i ( ) su nepoznati polinomi stepena kao ( ) i
traže se grupisanjem i upoređivanjem sa levom stran
x x x
n n n
x x xn n n
n n n
P x e xdx Q x e x R x e x
P x e xdx Q x e x R x e x
Q x R x n P x
α α α
α α α
β β β
β β β
= +⎡ ⎤= +⎣ ⎦
∫
om.
-
8/20/2019 Sve Formule Za Srednju
81/87
Matematičke formule 81
15.5. Trigonometrijski integrali
2
2
22
2
2
2
1. tan
cos
1
sin1
1cos
1
x t
dx
dt x
dt dx
t
t x
t
x
t
=
=
=+
=+
=
+
2
2
2
2
2
2. tan2
2cos2
2
1
2sin
1
1cos
1
xt
dxdt
x
dt dx
t
t x
t
t x
t
=
=
=+
=+
−=+
2 2 2 2 2
22 2 2 2 2 2
22 2 2 2 2 2
1arcsin
2
ln
2 2
ln2 2
xa x dx x a x a c
a
x a x a dx x a x x a c
x a x a dx a x x x a c
⎡ ⎤− = − + +⎢ ⎥⎣ ⎦
⎡ ⎤− = − − + − +⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤
+ = + + + + +⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
∫
∫
∫
*Hint: Za izračunavanje datih integrala, koristiti metodparcijalne integracije.
15.6. Metod parcijalne integracije
( ) ( ) I f x g x dx= ⋅∫
( )
'( )
u f x
du f x dx
=
=
( )
( )
dv g x
v g x dx
=
= ∫
I u v vdu= ⋅ − ∫
-
8/20/2019 Sve Formule Za Srednju
82/87
Matematičke formule 82
15.7. Integracija racionalnih funkcija
2
( )
( ) ( )
n P x dx
x a ax bx cα
− + +
∫
1. Ako je stepen brojioca već i ili jednak stepenu imenioca –PODELITI.
2. Ako je stepen brojioca manji od stepena imenioca –RAZLOŽITI RACIONALAN IZRAZ NA SLEDEĆI NAČIN:
1 22 2
1 1 2 22 2 2 2
( ) ...( ) ( ) ( ) ( )
...( ) ( )
n P x A A A x a x a ax bx c x a x a
B x C B x C B x C
ax bx c ax bx c ax bx c
α α α
β β
β
= + + + +−− + + − −
++ ++ + + +
+ + + + + +
15.8. Njutn-Lajbnicova formula
2
1
22 1
1
( ) ( ) ( ) ( )
x
x
x f x dx F x F x F x
x= = −∫
-
8/20/2019 Sve Formule Za Srednju
83/87
Matematičke formule 83
15.9. Neke rekurentne formule za integrale
1
2
2
2
2 2 1
2 2 2 1
12
1 2
1
arctan( 1)
( 1)
1 12
( 1) ( 1)
2
( 1) ( 1) ( 1)
2 21
2 (2 1)( 1)
1
2
n n
n nn
n
n n n
n n n n
I I
n n n
n nn
n
dx I I x
x
u x v dx
x x I n dx
x x
x dx dx I n
x x x
x I nI nI
x
xnI n I
x
I n
+
−
+
+
+
+
+
= =+
= + =
+ −= +
+ +
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= + −⎢ ⎥+ + +⎢ ⎥⎣ ⎦
= + −+
= + −+
=
∫
∫
∫
∫ ∫
2(2 1)
( 1) nn
xn I c
x
⎡ ⎤+ − +⎢ ⎥
+⎢ ⎥⎣ ⎦
( )
( )
1 2
2 2
2 2
1 2
2
1(2 1)
2 ( 1)
smena:
( 1)
1
n nn
n n
n n
nn n
x I n I
n x
dx I x at
x a
adt I
a t
dt I a
t
+
−
⎡ ⎤= + −⎢ ⎥
+⎢ ⎥⎣ ⎦
= =
+
=+
=
+
∫
∫
∫
-
8/20/2019 Sve Formule Za Srednju
84/87
Matematičke formule 84
16. Kombinatorika
1 2, ,..., 1 2
1 2
( 1) ( 2) ... 3 2 1 ! (permutacije bez ponavljanja)
( ... )! (permutacije sa ponavljanjem)
! ! ... !
( 1) ( 2) ... ( 1) (varijacije bez ponavljanja)
n
n
k k k nn
n
k n
k n
P n n n n
k k k P
k k k
V n n n n k
V
= ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =
+ + +=⋅ ⋅ ⋅
= ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ − +
= (varijacije sa ponavljanjem)
! (kombinacije bez ponavljanja)
! !( )!
1 (kombinacije sa ponavljanjem)
k
k k nn
k n
n
nV nC
k k k n k
n k C
k
⎛ ⎞= = = ⎜ ⎟− ⎝ ⎠
+ −⎛ ⎞= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
16.1. Binomni koeficijenti
0
0! 1
10
1
1 1
( )n
n n k k
k
n
n n
k n k
n n n
k k k
na b a b
k
−
=
=
⎛ ⎞
=⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞=⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠
+⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞+ = ⎜ ⎟
⎝ ⎠∑
0
1
1
1
2
2 ...0 1 2
2 ...0 2 4
2 ...1 3 5
nn
k
n
n
n
a b
n
k
n n n n
n
n n n
n n n
=
−
−
= =
⎛ ⎞
= ⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
∑
0
1
2 2 2 22
...0 1 2
nn k k
k
n k k k
na b
k
nT a b
k
n n n n n
n n
−
=
−+
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
∑
-
8/20/2019 Sve Formule Za Srednju
85/87
Matematičke formule 85
16.2. Izrač unavanje zbira kvadrata binomnih koeficijenata
2
2 2 1
1 2 2
(1 ) ( 1) ( 1)
...0 1 2 2 1
...0 1 2 2 1
2 2 2
0 1 2
n n n
n n n
n n n
x x x
n n n n n n x x x x xn n n
n n n n n n x x x x x
n n n
n n n x x
− −
− −
+ + = +
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + +