2.6.2. Superficies Orientadas. La definicin de las integrales de superficie de campos vectoriales involucra el concepto

de superficies orientadas o superficies orientables, que son superficies en las que se

pueden identificar dos caras o lados, en aquellas superficies en las que se identifica un

solo lado se denominan como superficies no orientables.

Una superficie S es una superficie orientada si existen, para un mismo punto ( ), ,x y z perteneciente a la superficie S, dos vectores normales 1n y 2n , uno por cada una de las

caras de la superficie S, que son colineales y opuestos entre s, es decir, 2 1n n= . En donde

1n es una funcin continua para cada todos los puntos ( ), ,x y z ubicados sobre la superficie, es decir, que el vector

1n est variando continuamente sobre toda la

superficie S, excepto, quizs, en un nmero finito de puntos en su frontera, puntos que

se denominan como puntos singulares de la superficie; por tanto se definen dos

orientaciones para cualquier superficie orientable, una al tomar un vector unitario 1n

sobre un punto ( ), ,x y z perteneciente a la superficie S, y otra cuando se toma al vector unitario 2n , como se muestra en la Figura 61. La eleccin de la orientacin de una

superficie, es para permitir la distincin entre una direccin y la otra, ya que una de ellas

se va a identificar como la orientacin positiva de la superficie.

Figura 61. Superficie Orientada.

1n

2n

Cuando la superficie S esta definida de manera explicita por la expresin ( ),z f x y= , el vector normal unitario determina una orientacin de la superficie S que viene dada por

la expresin

2 2 22 2 2

1, ,

1 1 1

ffyxn

f f f f f fx y x y x y

= + + + + + +

Al observar este vector, se puede decir que la superficie S tiene una orientacin hacia

arriba, al observar que la componente en la direccin del eje z es positiva.

Si S es una superficie suave orientable, dada en forma paramtrica por una funcin

vectorial ( ) ( ) ( ) ( )( )2 3 1 2 3: / , , , , , ,g g u v g u v g u v g u v = , entonces en este caso una orientacin para esta curva vendra dada por en vector normal unitario

u v

u v

g gng g=

y n definira la orientacin opuesta. El concepto de superficies orientables es aplicable tanto a superficies cerradas como a superficies no cerradas. Por convencin cuando S

una superficie cerrada, es decir, que la superficie S es la frontera de una regin slida B,

con 3B , se ha establecido que la orientacin positiva es el lado de la superficie en la que los vectores normales sealan hacia fuera de la regin slida B, mientras que la

superficie cuyas normales apunten hacia el interior de la regin B, indican la orientacin

negativa de la superficie S

Como contraejemplo de superficies orientables, por ejemplo, observamos en la Figura

62, la cinta de Mbius, en la cual se observa que la misma tiene un solo lado, es decir,

no es una superficie orientable. Es posible construir esta cinta tomando una tira

rectangular larga y delgada de papel, darle media vuelta y unir sus extremos. Al hacerlo,

si se traza una lnea de color a lo largo de la cinta terminaremos en el punto en el que se

inicio la lnea.

Figura 62. Cinta de Mbius.