SUMATORIAS

1. Concepto de sumatoria.

A menudo resulta difícil trabajar con todos los elementos de una determinada sucesión, considerándolos como sumandos. Para facilitar este trabajo se ha convenido representar la adición de los

términos en forma abreviada mediante el signo acompañado de la fórmula o término general que define a la sucesión y del rango de valores que tomará la variable considerada en esa fórmula. Se denomina sumatoria de una sucesión an a la forma abreviada de escribir sus términos expresados como sumandos. Se anota: k=n

a1 + a2 + a3 + ... +an = ak

k=1

2. Propiedades de las sumatorias.

a. Sumatoria de una constante. Si c es una constante, entonces: n

c = n c k=1

Demostración: n

Desarrollando la sumatoria c , tenemos:

k=1 n

c = c + c + c + ... + c (n veces) k=1 por lo tanto, n

c = n c q.e.d.

k=1

b. Sumatoria de un producto de una constante por los términos de una sucesión.Si c es una constante, entonces n n

c ak = c ak

k=1 k=1

Demostración: n

Desarrollando la sumatoria c ak tenemos:

n k=1

c ak = c a1 + c a2 + ... + c an

k=1

= c (a1 + a2 + ... + an ) n n

c ak = c ak q.e.d. k=1 k=1

c. Sumatoria de la suma o resta de términos de dos o más sucesiones.Si ak y bk son sucesiones, entonces se cumple que n n n

(ak + bk) = ak + bk k=1 k=1 k=1 Demostración: n

Desarrollando la sumatoria (ak + bk) tenemos: k=1

n

(ak + bk) = a1 + b1 + a2 + b2 + ... + an + bn

k=1 = (a1 + a2 + ... + an) + (b1 + b2 + ... + bn) n n n

(ak + bk) = ak + bk q.e.d k=1 k=1 k=1

d. Descomposición de una Sumatoria en dos sumatorias.

n q n

ak = ak + ak k=1 k=1 k = q + 1

3. Propiedad telescópica de las sumatorias.

El desarrollo de algunas sumatorias tiene la particularidad de que casi todos sus términos se anulan, quedando éstas reducidas a solo dos términos.Esta propiedad se denomina propiedad telescópica de las sumatorias.

Observemos los siguientes casos: n

(ak+1 - ak) = (a2 - a1) + (a3 - a2) + (a4 - a3) + ... + (an - an-1) + (an+1 - an) k=1

n

de tal forma que: (ak+1 - ak) = an+1 - a1 k=1

n

Análogamente: (ak - ak+1) = a1 - an+1 k=1

La propiedad telescópica de las sumatorias también es válida para la sumatoria de los recíprocos de los términos vistos en los casos anteriores. n n

(1/ak + 1 - 1/ak) = 1/an + 1 - 1/a1 o (1/ak - 1/ak + 1) = 1/a1 - 1/an + 1 k=1 k=1

La propiedad telescópica es de gran utilidad para hallar una expresión que permita calcular directamente el valor de alguna sumatoria o para demostrar si una sumatoria es igual a una expresión o fórmula dada, como veremos después en algunos ejemplos.

4. Sumatorias de una sucesión.

A veces es posible encontrar una fórmula o expresión general para la sumatoria de los términos de una sucesión, lo que, como veremos, simplifica notablemente el cálculo de dicha sumatoria.

A continuación, hallaremos una fórmula para algunas de las expresiones más usuales.

- Sumatoria de los n primeros números naturales. Sea an = 1,2,3,4,5, ... , n - 1, n de modo que: n

1 + 2 +3 + 4 + ... + (n - 1) + n = k (1) k=1

Conmutando los términos del primer miembro: n

n + (n - 1) + (n - 2) + ... + 2 + 1 = k (2) k=1 Ahora, sumando miembro a miembro y término a término las sumatorias (1) y (2) , obtenemos: n

(n + 1) + (n + 1) + (n + 1) + ... + (n + 1) = 2 k

__________________ n veces ___________________ k=1

Verificamos que el sumando (n + 1) se repite n veces; por lo tanto: n

2 k = n (n + 1) / 1/2 k=1

n

k = n (n + 1) /2 k=1

- Sumatoria de los n primeros números naturales impares.

Sea 1,3,5,7,9, ... , (2n - 1) , de modo que: n

1 + 3 + 5 + 7 + 9 + ... + (2n - 1) = (2k - 1) k=1

Aplicando propiedades de las sumatorias, obtenemos: n n n n

(2k - 1) = 2k - 1 = 2 k - n k=1 k=1 k=1 k=1 n

Por lo tanto: (2k - 1) = n2

k=1

- Sumatoria de los cuadrados de los n primeros números naturales.

Sea 12, 22, 32 , 42 , ... , n2 , de modo que: n

12 + 22 + 32 + 42 + ... + n2 = k2

k=1 Para encontrar la fórmula o término general de esta sumatoria, es necesario utilizar sumatorias de números naturales elevados a una potencia mayor que 2 : en este caso, k3 y (k + 1)3. n

De esta manera: 23 + 33 + 43 + ... + (n + 1)3 = (k + 1)3 (1) k=1

n

13 + 23 + 33 + ... + n3 = k3 (2) k=1 Si la sumatoria (1) le restamos término a término la sumatoria (2) , obtenemos: n n

(k + 1)3 - k3 = (n + 1)3 - 1 k=1 k=1

n n

(k3 + 3k2 + 3k + 1) - k3 = (n + 1)3 - 1 k=1 k=1 n n n n n

k3 + 3 k2 + 3 k + 1 - k3 = (n + 1)3 - 1 k=1 k=1 k=1 k=1 k=1

Aplicando las fórmulas ya conocidas, obtenemos: n

3 k2 + 3n (n + 1) 2 + n = (n + 1)3 - 1 k=1 Despejando: n

3 k2 = (n +1)3 - (n + 1) - 3n (n + 1) 2 k=1

n

3 k2 = (n +1) (n + 1)2 - 1 - (3n 2) k=1

n

3 k2 = (n +1) n2 + n/2 k=1

n

3 k2 = n (n +1) n + 1/2 k=1

n

3 k2 = n (n + 1) (2n + 1) 2 k=1

n

Finalmente, obtenemos: k2 = n (n + 1)(2n + 1) 6

k=1

EJERCICIOS DE CONCEPTO DE SUMATORIA, PROPIEDADES, SUCESIONES Y APLICACIÓN DE FÓRMULAS.

Calcular las siguientes sumatorias:

50

1. 4 = 4 + 4 + 4 + 4 + ... + 4 = 50 4 = 200 k=1 _______ 50 veces _______ 5

2. 3 (k2 + 1) = 3 (k2 + 1) = 3 (2 + 5 + 10 + 17 + 26) = 3 60 = 180 k=1 6

3. (k2 - 3k + 2) = k2 - 3 k + 2 k=1 = (12 + 22 + ... + 62) - 3 (1 + 2 + ... + 6) + 6 2 = 91 - 3 21 + 12 = 40 5

4. k (k + 1) 4 = 1/4 (k2 + k) = 1/4 k2 + k

k=1

= 1/4 (1 + 4 + 9 + 16 + 25) + (1 + 2 + ... + 5) =1/4 55 + 15 = 1/4 70 = 35/2

n

5. 1/(k (k + 1)) = (1 + k - k) k (k + 1) = k=1

(k + 1) k (k + 1) - (k k (k + 1)) =

1/k - 1/(k + 1) = 1 - 1/(n + 1) = (n + 1 - 1) (n + 1) = n/(n + 1) n

1/(k (k + 1)) = n/(n + 1) k=1 n

6. (2k - 1) = (2k - 1 + k2 - k2) k=1

k2 - (k - 1)2 = n2 - 0 = n2

n

(2k - 1) = n2

k=1

50 n

7. k = 50 (50 + 1) /2 = 50 51/2 = 1.275 k = n (n + 1) 2 k=1 k=1

80 n

8. (2k - 1) = (80)2 = 6.400 (2k - 1) = n2

k=1 k=1

25 fórmula

9. k2 = 25 (25 + 1)(2 25 + 1) 6 = 25 26 51 6 = 5.525 de k=1 pag. 8

n

10. k k! = (k + 1 - 1) k! = (k + 1) k! - k! = (k + 1)! - k! k=1 n

k k! = (n + 1)! - 1 k=1 n

11. Calcular S = k ak para cualquier a IR k=1

a) Si a = 0 entonces S = 0 n

b) Si a = 1 entonces S = k = n (n + 1) 2 k=1 c) Si a 1 entonces procedemos de la siguiente manera:

a - (n + 1) an+1 = (k ak - (k + 1) ak+1) =

(k ak - k ak+1 - ak+1) = (1 - a) k ak - a ak

a - (n + 1) an+1 = (1 - a) k ak - a2 (1 - an) (1 - a)

k ak = 1/(1 - a) a - (n + 1) a n+1 + a2 (1 - an) (1 - a) n k ak = (n an+2 - (n + 1) an+2 + a) (1 - a) k=1

GUIA DE EJERCICIOS

1. Calcular las siguientes sumatorias: 7 8 6

a) k (k + 1) 2 b) (3k - 2) c) k (k + 1)2 k=1 k=1 k=1

10 4 8

d) (k - 1) (k + 1) e) (-1)k (2k + 1) f) (-1)k (k2 + 1) 4k k=1 k=1 k=1

2. Expresa como una sumatoria las siguientes sumas.

a) 12 + 23 + 34 + ... + 551 b) 1 1 + 2 3 + 3 5 + ... + 10 19

b) 2 + 5 + 8 + 11 + ... + 44 d) 1 + 4 + 7 + ... + 43

3. Aplica las propiedades de las sumatorias y calcula: 25 10 20 13

a) 4/22 b) 7(k3 + 1) 5 c) (k2 + 2)(k - 2) d) (7 + k) 3

k=4 k=1 k=11 k=1

4. Usa la fórmula correspondiente y calcula cada una de las siguientes sumatorias:

40 30 63

a) k b) (2k - 1) c) k2 k=1 k=1 k=1

80 70 15

d) (2k)2 e) (k2 + k) f) (5 - 2k)2

k=1 k=1 k=1

SOLUCIONES

1. a) 84 b) 92 c) 190.699 176.400

d) 82.609 13.860 e) - (142 765) f) 2.827 3.360

50 10 15 15

2. a) kk+1 b) k (2k - 1) c) (3k - 1) d) (3k - 2) k=1 k=1 k=1 k=1

3. a) 4 b) 4.249 c) 36.375 d) 43.316

4. a) 820 b) 900 c)85.344

d) 695.520 e)119.280 f) 2.935

PRODUCTORIA

Se define como el producto de los términos a1, a2, a3, ... , an. (Productoria simple)

n

ai = a1 a2 a3 ... an

i=1

Caso especial: n n n

i = 1 2 3 4 ... n = n! i = i = n! i=1 i=1 i=1

Principales propiedades de la productoria:

1. Productoria de una constante n

c = cn i=1

Si i = a ; n a 1 n

c = cn-a+1

i=a

2. Productoria de una constante por una variable

n n

(k xi) = kn xi

i=1 i=1

3. Productoria de dos variables

n n n

xi yi = xi yi i=1 i=1 i=1

4. Productoria doble.

n m m n

xi j = xi j i=1 j=1 j=1 i=1

EJERCICIOS DE PRODUCTORIA

1. Calcular las siguientes productorias:

6

a) i = 1 2 3 4 5 6 = 6! = 720 i=1

5

b) (2i - 1) = (2 2 - 1) (2 3 - 1) (2 4 - 1) (2 5 - 1) = 3 5 7 9 = 945 i=2

4

c) 3i = 3 6 9 12 = 1.944 i=1

6

d) (2 - 1/j) = 3/2 5/3 7/4 9/5 11/6 = 10.395/720 = 14 7/16 j=1

6

e) 3i (i - 2) = 9/1 12/2 15/3 18/4 = 1.215 i=3

3

f) (3i - 1) i3 = (3 1 - 1) 13 (3 2 - 1) 23 (3 3 - 1) 33 = i=1 = 2 5 8 8 27 = 17.280

6

g) j (j - 1) = 2/1 3/2 4/3 5/4 6/5 = 6 j=2

GUIA DE EJERCICIOS

Calcular los siguientes ejercicios de sumatoria y productoria:

4 3

a) xki (xk + xi) k=1 i=1

6 4 2

b) (2i - j) (2k + i) k=5 j=3 i=1

4 3

c) (k -1)k-1 k! - (k + 1)(k2 + 2) k=2 k=1

n 3 72

d) rk e) 3 i j k f) (i + 1)(2i - 1)(3 - i) k=1 i,j,k=1 i=5

n 5

g) 3k - 2k h) (i + jk)

k=1 i,j,k=1

i j k

2. Si i = 1, 2 , j = -2, -3 , calcular:

a) (i + j) b) 3i/(4 - j) (i , j)i j (i , j)i j

3. Demostrar: 6 3

a) k (k + 2) = (k + 3) (k + 5) k=3 k=0

8 4

b) t (t + 4) = (t + 4) (t + 8) t=5 t=1