sumas de riemann 1
DESCRIPTION
UNA TEORÍA MUY IMPORTANTE DE LAS SUMAS DE RIEMANNTRANSCRIPT
Adolfo Chapuz Benítez Como Aprendo Integrales Sumas de Riemann
http://comoaprendomatematicas.com/Como_Aprendo_Integrales/
1 Como Resolver Problemas de
Aplicaciones De Cálculo Integral.
http://comoaprendomatematicas.com/Como_Aprendo_Integrales/
Adolfo Chapuz Benítez Como Aprendo Integrales Sumas de Riemann
http://comoaprendomatematicas.com/Como_Aprendo_Integrales/
2
Llegamos al punto importante de los métodos de integración.
En este documento vamos a estudiar algunas de las aplicaciones clásicas en las
cuales se usa el concepto de la integral definida.
Veremos las siguientes aplicaciones:
1) Definición De La Integral En Términos De Sumas De Riemann.
2) Cálculo De Áreas Bajo “La Curva”.
3) Área entre 2 Gráficas.
4) Volúmenes De Sólidos De Revolución.
5) Longitud De Arco.
6) Aplicaciones en Probabilidad.
7) Integrales Dobles.
Adolfo Chapuz Benítez Como Aprendo Integrales Sumas de Riemann
http://comoaprendomatematicas.com/Como_Aprendo_Integrales/
3
1.- Sumas De Riemann, Sumas Superiores E Inferiores.
OBJETIVO: Aproximar el valor de la integral definida usando sumas de
Riemann.
Recordemos que la aplicación inmediata de la integral definida es como área bajo la
gráfica de una función sobre un intervalo:
b. xhasta a xdesde X, eje ely f(x) de gráfica la entre Área)( dxxf
b
a
Suma De Riemann = Aproximación (numérica) del valor EXACTO de la integral
definida b
a
dxxf )(
.
Suma de Riemann= Suma de áreas de rectángulos generados usando una
“partición” del intervalo original [a,b].
Adolfo Chapuz Benítez Como Aprendo Integrales Sumas de Riemann
http://comoaprendomatematicas.com/Como_Aprendo_Integrales/
4 Para calcular una suma de Riemann se necesita hacer una partición del intervalo
[a,b], generar rectángulos cuya bases son las longitudes de los sub intervalos,
calcular las áreas de dichos rectángulos y hacer la suma de todas ellas.
La idea principal que dio origen al estudio la integral definida de una función f
sobre un intervalo [a, b], es el de calcular el área entre la gráfica de esa función y el
eje de las X, sobre el intervalo (suponiendo que 0)( xf ).
b. xhasta a xdesde X, eje ely f(x) de gráfica la entre Área)( dxxf
b
a
Adolfo Chapuz Benítez Como Aprendo Integrales Sumas de Riemann
http://comoaprendomatematicas.com/Como_Aprendo_Integrales/
5
Una partición específica me genera una sola aproximación para la integral
En general, la gráfica de una función no siempre está por encima del eje X,
existirán áreas que estén por encima o por debajo, así que vamos a hablar de
“áreas negativas” y de áreas positivas, aunque parezca algo raro.
Por supuesto que hemos dado un forma de calcular esta integral, usando la integral
indefinida, de hecho, )()()( aFbFdxxf
b
a
, pero para poder describir a la integral
definida como un área, debemos definir otros conceptos importantes que nos ayudarán para tal fin.
Adolfo Chapuz Benítez Como Aprendo Integrales Sumas de Riemann
http://comoaprendomatematicas.com/Como_Aprendo_Integrales/
6
Sumas De Riemann.
Fórmula y Definiciones.
Idea Geométrica:
Supongamos que queremos aproximar el área bajo la gráfica de la
siguiente función:
Para esta configuración, tenemos que…
Suma De Riemann= Suma De Áreas de 4 Rectángulos.
Área de un rectángulo=Base x Altura.
Base = Longitud del sub intervalo ],[ 32 xx: 23 xx
Altura=valor de un punto intermedio del sub intervalo sustituido en la
función: )( *
3xf.
Adolfo Chapuz Benítez Como Aprendo Integrales Sumas de Riemann
http://comoaprendomatematicas.com/Como_Aprendo_Integrales/
7
Área de un rectángulo=base x altura= xxfxxxf )())(( 3233
Definición 1. Consideremos una función b].[a, intervaloun sobre definida )(xfy
Sea una nn xxxxx ,,...,,,P 1210 partición del intervalo.
Una partición es una división de una intervalo en partes más pequeñas, definidas
por el conjunto de valores representados por nn xxxxx ,,...,,,P 1210 .
Las particiones se clasifican en:
Particiones Regulares: Si todos los puntos son igualmente espaciados
Particiones Irregulares: Si los puntos no necesariamente están igualmente
espaciados.
La Suma De Riemann de )(xfy , respecto a la partición P sobre el intervalo
],[ ba , se representa y define por:
)(),(
)()(
)()()()()()()()(),(
1
0
1
0
1
11223112001
i
n
i
i
b
a
i
n
i
ii
nnn
b
a
cfxpfS
cfxx
cfxxcfxxcfxxcfxxpfS
Donde ic es cualquier punto sobre el intervalo ],[ 1ii xx , estos pueden ser algunos de
los extremos del intervalo o aquellos puntos donde alcanzamos el mínimo o
máximo en el intervalo.
Esto se lee:
“Suma De Riemann De f(x), sobre el intervalo [a,b], respecto a la partición P”.
Si Suponemos que la gráfica de )(xfy está por encima del semiplano superior,
podremos interpretar está suma como una aproximación al área bajo la gráfica
Adolfo Chapuz Benítez Como Aprendo Integrales Sumas de Riemann
http://comoaprendomatematicas.com/Como_Aprendo_Integrales/
8 de )(xfy sobre el intervalo ],[ ba . Esta aproximación se hace mediante la suma
de áreas de rectángulos de base )( 1 ii xx y altura )( icf .
En las siguientes gráficas, te muestro una función f(x), el intervalo [0,1] y una
partición definida por los puntos 0,1/3,2/3 y 1.
Existen rectángulos que están por debajo y otros que están por encima.
Adolfo Chapuz Benítez Como Aprendo Integrales Sumas de Riemann
http://comoaprendomatematicas.com/Como_Aprendo_Integrales/
9
Ejemplos Del Concepto de Sumas De Riemann
Observación: Para poder calcular una suma de Riemann necesitamos 4
elementos.
La función f(x)
El intervalo [a,b]
La partición P
Los puntos ci que nos determinan la altura de los rectángulos.
1.-Consideremos la función
.3,2
5,2,
2
3,1,
2
1,0 partición lay [0,3] intervalo el ,)( 2
Psobrexxf
Calcular la suma de Riemann para estas condiciones.
Solución:
En primer lugar debemos escoger los puntos ic, de manera arbitraria, la única
condición es que estén dentro de cada intervalo correspondiente.
.8.2,5.2,7.1,4.1,7.0,3.0 Cescogemos
0 0.5 1 1.5 2 2.5 30
1
2
3
4
5
6
7
8
9Rectángulos Usados Para Calcuar Una Suma De Riemann Para f(x)=x2.
Notamos que, para esta partición y puntos escogidos en
particular, los rectángulos no cubren perfectamente toda
el área bajo la gráfica de f(x).
Existen "esquinas" que exceden y otras que no cubren
cierta área.
Esquina que está por encima de
la gráfica.
Esquina que está por
debajo de la gráfica.
Adolfo Chapuz Benítez Como Aprendo Integrales Sumas de Riemann
http://comoaprendomatematicas.com/Como_Aprendo_Integrales/
10
Aplicamos la fórmula:
165.10
92.3125.34450.19800.0245.045.0
)84.7(2
1)25.6(
2
1)89.2(
2
1)96.1(
2
1)49.0(
2
1)9.0(
2
1
)8.2)(2
53()5.2)(2
2
5()7.1)(
2
32()4.1)(1
2
3()7.0)(
2
11()3.0)(0
2
1(
)()()()()()()()(),(
222222
11223112001
23
0
nnn cfxxcfxxcfxxcfxxPxS
223
0 165.10),( uPxS
Interpretación:
El área bajo la grafica de la cuadrática de 0 a 3, es aproximadamente
igual a 10.165 unidades cuadradas ( m2,cm2,km2,etc).
¡OBSERVACIÓN IMPORTANTE!
Los resultados obtenidos van a ser diferentes, si cambiamos el intervalo, la
partición y los puntos que se eligen para generar las áreas de los rectángulos.
Adolfo Chapuz Benítez Como Aprendo Integrales Sumas de Riemann
http://comoaprendomatematicas.com/Como_Aprendo_Integrales/
11
2.-Consideremos la función
.2,3
5,
3
4,1,
3
2,
3
1,0 partición lay (0,2] intervalo el ),ln()(
Psobrexxf
Calcular la suma de Riemann para estas condiciones.
Solución:
La gráfica de la función logaritmo es:
Si elegimos los límites superiores de cada sub intervalo como puntos para generar
las alturas de los rectángulos tendríamos la siguiente gráfica.
x
y
Adolfo Chapuz Benítez Como Aprendo Integrales Sumas de Riemann
http://comoaprendomatematicas.com/Como_Aprendo_Integrales/
12
Si elegimos los límites inferiores de cada sub intervalo como puntos para generar
las alturas de los rectángulos tendríamos la siguiente gráfica.
x
y
y=ln(x)
Adolfo Chapuz Benítez Como Aprendo Integrales Sumas de Riemann
http://comoaprendomatematicas.com/Como_Aprendo_Integrales/
13
Si elegimos los puntos medios de cada sub intervalo como puntos para generar las
alturas de los rectángulos tendríamos la siguiente gráfica.
x
y
y=ln(x)
Adolfo Chapuz Benítez Como Aprendo Integrales Sumas de Riemann
http://comoaprendomatematicas.com/Como_Aprendo_Integrales/
14
Para calcular la suma de Riemann de este ejemplo elegimos los puntos medios
dentro de cada intervalo.
.6
11,
6
9,
6
7,
6
5,
2
1,
6
1C
escogemos
x
y
y=ln(x)
Adolfo Chapuz Benítez Como Aprendo Integrales Sumas de Riemann
http://comoaprendomatematicas.com/Como_Aprendo_Integrales/
15
-0.50049
0.20200.13520.05140.0608-0.2310--0.5973
)0.6061 (3
1)0.4055(
3
1)0.1542(
3
1)-0.1823(
3
1)-0.6931(
3
1)-1.7918(
3
1
)6
11ln()
3
52()
6
9ln()
3
4
3
5()
6
7ln()1
3
4()
6
5ln()
3
21()
2
1ln()
3
1
3
2()
6
1ln()0
3
1(
)()()()()()()()()),(ln( 11223112001
2
0
nnn cfxxcfxxcfxxcfxxPxS
-0.50049)),(ln(2
0 PxS
Ejercicios: Calcular las sumas de Riemann para las siguientes funciones, de
acuerdo a los intervalos y particiones dados, tú debes elegir los puntos para
calcular las alturas de los rectángulos.
a).
.2,2
3,1,
2
1,0 partición lay [0,2] intervalo el ,)( 2
Psobrexxf
b).
.2,3
5,
3
4,1,
3
2,
3
1,0 partición lay [0,2] intervalo el ,)( 3
Psobrexxf
c). .2,
3
5,
3
4,1,
3
2,
3
1,0 partición lay [0,2] intervalo el ),ln()(
Psobrexxf
d).
.2,2
3,1,
2
1,0 partición lay [0,2] intervalo el ,)(
Psobreexf x
Adolfo Chapuz Benítez Como Aprendo Integrales Sumas de Riemann
http://comoaprendomatematicas.com/Como_Aprendo_Integrales/
16
Observación Importante:
Dada una función f(x), un intervalo [a,b] y una partición P, existe un número
infinito de Sumas de Riemann, una suma para cada elección de los puntos
intermedios de cada subintervalo.
Existen 2 casos especiales clásicos:
Las Sumas Inferiores y Sumas Superiores.
Sumas Inferiores:
Se obtienen cuando seleccionamos los valores ic en los cuales la función )(xfy
tiene un mínimo en el intervalo ],[ 1ii xx .
A esos puntos los representaremos por it .
Entonces la suma inferior queda representada y definida por:
)(
)()(),(
1
0
1
0
1
i
n
i
i
i
n
i
ii
tfx
tfxxPfL
Las sumas inferiores las interpretamos como aproximaciones al área
bajo la gráfica de f(x), usando rectángulos por debajo de esta gráfica.
Adolfo Chapuz Benítez Como Aprendo Integrales Sumas de Riemann
http://comoaprendomatematicas.com/Como_Aprendo_Integrales/
17
Sumas Superiores:
Se obtienen cuando seleccionamos los valores ic en los cuales la función )(xfy
tiene un máximo en el intervalo ],[ 1ii xx .
A esos puntos los representaremos por is .
Entonces la suma superior queda representada y definida por:
Adolfo Chapuz Benítez Como Aprendo Integrales Sumas de Riemann
http://comoaprendomatematicas.com/Como_Aprendo_Integrales/
18
)(
)()(),(
1
0
1
0
1
i
n
i
i
i
n
i
ii
sfx
sfxxPfU
Las sumas superiores las interpretamos como aproximaciones al área
bajo la gráfica de f(x), usando rectángulos por encima de esta gráfica.
Adolfo Chapuz Benítez Como Aprendo Integrales Sumas de Riemann
http://comoaprendomatematicas.com/Como_Aprendo_Integrales/
19
Ejemplos De Sumas Inferiores y Superiores
Ejemplo 1: Aproximar el área bajo la gráfica de 2)( xxf sobre el intervalo [0,2],
respecto a la partición
2,2
3,1,
2
1,0P
, usando sumas superiores y sumas
inferiores.
Suma Inferior:
Desarrollo:
4
7
8
9
2
1
8
1
)4
9(
2
1)1(
2
1)
4
1(
2
1)0(
2
1
)2
3)(
2
32()1)(1
2
3()
2
1)(
2
11()0)(0
2
1(
)()()()()()()()(),(
2222
11223112001
22
0
nnn cfxxcfxxcfxxcfxxPxL
x
y
Adolfo Chapuz Benítez Como Aprendo Integrales Sumas de Riemann
http://comoaprendomatematicas.com/Como_Aprendo_Integrales/
20 4
7),( 22
0 PxL
Suma Superior:
Desarrollo:
4
15
28
9
2
1
8
1
)4(2
1)
4
9(
2
1)1(
2
1)
4
1(
2
1
)2)(2
32()
2
3)(1
2
3()1)(
2
11()
2
1)(0
2
1(
)()()()()()()()(),(
2222
11223112001
22
0
nnn cfxxcfxxcfxxcfxxPxU
4
15),( 22
0 PxUconclusión.
x
y
Adolfo Chapuz Benítez Como Aprendo Integrales Sumas de Riemann
http://comoaprendomatematicas.com/Como_Aprendo_Integrales/
21
Ejemplo 2:
Aproximar el área bajo la gráfica de )cos()( xxf sobre el intervalo [-π, π], respecto
a la partición
,2
,0,2
,P
, usando sumas superiores y sumas inferiores.
Desarrollo:
Suma Inferior:
x
y
Adolfo Chapuz Benítez Como Aprendo Integrales Sumas de Riemann
http://comoaprendomatematicas.com/Como_Aprendo_Integrales/
22
22
)1(2
)0(2
)0(2
)1(2
)cos()2
()2
cos()02
()2
cos())2
(0()cos())(2
(
)()()()()()()()()),(cos( 11223112001 nnn tfxxtfxxtfxxtfxxPxL
Suma Superior:
x
y
Adolfo Chapuz Benítez Como Aprendo Integrales Sumas de Riemann
http://comoaprendomatematicas.com/Como_Aprendo_Integrales/
23
22
)0(2
)1(2
)1(2
)0(2
)2
cos()2
()0cos()02
()0cos())2
(0()2
cos())(2
(
)()()()()()()()()),(cos( 11223112001 nnn sfxxsfxxsfxxsfxxPxU
x
y
Adolfo Chapuz Benítez Como Aprendo Integrales Sumas de Riemann
http://comoaprendomatematicas.com/Como_Aprendo_Integrales/
24
Ejemplo 3: Aproximar el área bajo la gráfica de xexf )( sobre el intervalo [-2, 2],
respecto a la partición
2,2
3,1,
2
1,0,
2
1,1,
2
3,2P
, usando sumas superiores y
sumas inferiores.
Desarrollo:
Suma Inferior.
x
y
Adolfo Chapuz Benítez Como Aprendo Integrales Sumas de Riemann
http://comoaprendomatematicas.com/Como_Aprendo_Integrales/
25
5.59078.
2.24080.18390.11160.0677
)4.4817(2
1)0.3679(
2
1)0.2231(
2
1)0.1353(
2
1
)2
32())1(
2
1())
2
3(1())2(
2
3(
)()()()()()()()()),(exp(
2
3
12
3
2
11223112001
2
2
eeee
cfxxcfxxcfxxcfxxPxL nnn
Suma Superior:
x
yy = exp(x)
Adolfo Chapuz Benítez Como Aprendo Integrales Sumas de Riemann
http://comoaprendomatematicas.com/Como_Aprendo_Integrales/
26
9.2176
3.69452.24081.35910.82440.50000.3033.183900.1116
)(7.38912
1)0.6065(
2
1)0.3679(
2
1)0.2231(
2
1
)2
32())1(
2
1())
2
3(1())2(
2
3(
)()()()()()()()()),(exp(
22
1
12
3
11223112001
2
2
eeee
cfxxcfxxcfxxcfxxPxU nnn
La Integral Definida Como el Límite de las Sumas de Riemann
Las sumas de Riemann se usan para aproximar el área exacta que está entre la
gráfica de la función y el eje X.
En general, se tiene que, para cualquier partición P:
),()(),( PfUdxxfPfL
b
a
Siendo rigurosos la integral se define mediante el siguiente límite:
x
yy = exp(x)
Adolfo Chapuz Benítez Como Aprendo Integrales Sumas de Riemann
http://comoaprendomatematicas.com/Como_Aprendo_Integrales/
27
1
000
)(lim),(lim)(n
i
iix
b
ap
b
a
xcfPfSdxxfi
, para toda partición P.
Donde P
se llama norma de la partición y se define como la máxima longitud de
los sub intervalos para una partición específica.
Cada partición P nos genera un valor para la suma de Riemann y por lo tanto un
valor aproximado para la integral (valor exacto).
La partición se puede hacer más fina, esto es tener más puntos, y a medida que
sucede esto el valor de la suma de Riemann se aproxima cada vez más a la integral
definida.
Así que, en el límite (cuando el tamaño de la partición tiende a cero) el valor de la
suma de Riemann es igual al valor exacto de la integral definida.
Adolfo Chapuz Benítez Como Aprendo Integrales Sumas de Riemann
http://comoaprendomatematicas.com/Como_Aprendo_Integrales/
28
En particular:
Si consideramos una partición regular de n sub intervalos:
n
ablongitud
hintervalo cada de
.
1
0
1
0
1
0
1
0
)(1
lim)(
)()(lim
)(lim
)(lim
),(lim)(
n
i
in
n
i
in
n
i
in
n
i
iin
b
an
b
a
cfn
ab
n
abcf
hcf
xcf
PfSdxxf
El estudio de la integral definida en términos de sumas de Riemann requiere de
tener cierta madurez en conceptos puramente teóricos. No es el objetivo de este
curso, por lo cual no voy a profundizar en este aspecto.
Conclusión:
iin
b
a
xxfdxxf )(lim)(
A los interesados pueden consultar la bibliografía que proporciono al final de este
documento.