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Lúcia M.J.S. Dinis2005/2006
Resistência dos Materiais12ªAula
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Sumário e Objectivos
Sumário: Flexão segundo os dois Eixos Principais de Inércia ou Flexão Desviada. Flexão Combinada com Esforço Axial.
Objectivos da Aula: Apreensão da forma de Cálculo das Tensões Axiais em Secções sujeitas a Flexão Desviada e da forma de Cálculo das Tensões Axiais em Secções sujeitas a Flexão combinada com Esforço Axial.
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Flexão Segundo os Dois Eixos Principais ou Flexão Desviada
Momento segundo um eixo que não coincide com os eixos principais de inércia da secção.
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Flexão Desviada
O momento aplicado, M, pode ser decomposto em dois momentos actuantes segundo as direcções principais de inércia da Secção e que são de acordo com a figura e . Uma vez que a Secção considerada tem simetria em relação aos eixos dos yy e dos zz, as formulas deduzidas para as tensões axiais em termos do Momento Flector são aplicáveis, à flexão no plano Oxy e no plano Oxz, ou seja aplicando o princípio da Sobreposição de Efeitos,
yM zM
yzx
z y
MM= - y + zσI I
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Eixo Neutro
O eixo neutro da secção que corresponde a tensões axiais nulas ocorre quando for:
yz
z y
MM y z 0I I
− + =y z
y
y M I= +Iz Mz
onde y/z representa a tangente do ângulo g, o qual representa o ângulo que a linha neutra faz com o eixo dos zz e corresponde à equação de uma recta que passa pelo centroide da Secção
y = M sen αM
z M cosM = αz
y
Itan g tan gI
γ = α
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Exemplo 12.1
Considere a viga com tramo em consola representada na figura, sendo a distância entre apoios de 4m e o tramo em consola de 1m, sujeita a uma carga uniformemente distribuída, de intensidade 10kN/m, cujo plano de solicitação faz um ângulo β=60º com o eixo dos yy, como se representa na referida figura. A secção da viga é rectangular de dimensões 100×200mm. Determine as tensões axiais máximas a que a viga está sujeita.
4m 1m
10kN/mSecção Recta
Direcção da Carga
β
y
z
100mm
200mm
AB C
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Exemplo 12.1- Resolução
Podem determinar-se os Esforços Transversos e Momentos Flectores e calcular o Momento Máximo instalado. Começa por calcular-se as Reacções de Apoio que são tais que A B 50R R+ =
B4 125R =
B 31.25kNR =
A 18.75kNR =
No troço AB os Esforços Transversos e os Momentos são
T 18.75 10x= − T=0 implica x=1.875m
2M 18.75x 5x= − para x=1.875m é M=17.578kN.m para x=4m é M=-5kN.m
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Exemplo 12.1- Resolução
No Troço BC da viga os Esforços Transversos e Momentos Flectores são
T 50 10x= −2 2M 18.75x 31.25(x 4) 5 50x 5 125x x= + − − = − −
para x=4 M=-5kN.m para x=5 M=0
O momento Máximo é M=17.578kN.m e ocorre na secção que corresponde a x=1.875m, portanto num ponto entre apoios. Este momento tem componentes segundo yy e segundo zz que são
z M cos 17.578 cos 60 17.578 0.5 8.789M = β = × = × =
y Msen 17.578 sen60 17.578 3 2 15.223kN.mM = β = × = × =
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Exemplo 12.1- Resolução
Antes de calcular as tensões há necessidade de calcular os Momentos de Inércia, que são
3 7 4z 100 /12 6.6667200 10I mm= × = ×
3 7 4y 200 /12 1.6667100 10I mm= × = ×
Os pontos onde as tensões são potencialmente mais elevadas são os quatro cantos da secção e nesses pontos as tensões axiais são
Para z=50mm e y=-100mm3 3
yz 3 3x 5 5
z y
8.789 15.223M 10 10M y z ( 100 ) (50 )10 106.6667 1.666710 10I I
− −− −
× ×= − + = − − × + × =σ
× ×58.85Mpa
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Exemplo 12.1- Resolução
Para z=-50mm e y=-100mm3 3
yz 3 3x 5 5
z y
8.789 15.223M 10 10M y z ( 100 ) ( 50 )10 106.6667 1.666710 10I I
− −− −
× ×= − + = − − × + − × =σ
× ×-32.49MPa
Para z=-50mm e y=100mm3 3
yz 3 3x 5 5
z y
8.789 15.223M 10 10M y z (100 ) ( 50 )10 106.6667 1.666710 10I I− −
− −
× ×= − + = − × + − × =σ
× ×-58.85Mpa
Para z=50mm e y=100mm
3 3yz 3 3
x 5 5z y
8.789 15.223M 10 10M y z (100 ) (50 )10 106.6667 1.666710 10I I
− −− −
× ×= − + = − × + × =σ
× ×32.49MPa
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Exemplo 12.2-Flexão Desviada
Considere-se uma viga cuja secção tem a forma em L como se representa na figura e determine-se as tensões axiais de flexão na Secção da viga em que o Momento Flector é igual a 20kN.m segundo zz.
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Exemplo 12.2-Resolução
Começa por Determinar-se a posição do centro de Gravidade que é tal que
b
b
150 30 75 170 30 15 43.125mmz 150 30 170 30200 30 100 120 30 15 68.125mmy
200 30 120 30
× × + × ×= =
× + ×× × + × ×
= =× + ×
Seguidamente determinam-se os momentos de inércia e produto de Inércia em relação aos eixos Oy e Oz
( )
( )
32
z
32 6 4
30 170 30 170 200 68.125 85I 12150 30 150 30 68.125 15 36.526 10 mm12
×= + × × − − +
×+ + × × − = ×
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Exemplo 12.2-Resolução
( )
( )
32
z
32 6 4
170 30 30 170 43.125 15I 1230 150 150 30 75 43.125 17.426 10 mm12
×= + × × − +
×+ + × × − + = ×
( )( )( )( )
yz
6 4
30 170 200 68.125 85 43.125 15I150 30 68.125 15 75 43.125 14.344 10 mm
= × × − − − +
+ × × − + − + = ×
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Exemplo 12.2-Resolução
Os momentos de Inércia Principais são
2z y z y 62 4
max 1 yzI I I I 44.208 10I I I mm22+ −⎛ ⎞= = + + = ×⎜ ⎟
⎝ ⎠
2z y z y 62 4
min 2 yzI I I I 9.744 10I I I mm22+ −⎛ ⎞= = − + = ×⎜ ⎟
⎝ ⎠
O ângulo q é tal queyz
z y
2Itan g2 1.5020I I
θ = =−
ou seja 28.187ºθ =
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Exemplo 12.2-Resolução
Uma vez conhecida a posição dos momentos de Inércia Principais podem considerar-se as fórmulas de flexão anteriormente deduzidas e determinar as tensões axiais considerando a flexão em relação aos eixos principais.
3 4z´ M cos 20 cos 28.187 1.76 N.m10 10M = θ = × = ×
3 3y´ Msen 20 sen28.187 9.443 N.m10 10M = θ = × = ×
As tensões são calculadas a partir da fórmula seguinte e nos pontos críticos
y´z´x
z´ y´
MM y´ z´I I
= − +σ
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Momento Combinado com Esforço Axial
yM = Pz A excentricidade e tem duas componentes, e , o momento resultante Pe pode decompor-se em dois momentos um segundo y que é
e um momento segundo z que é zM = P y .
As tensões axiais que se desenvolvem na viga resultam do esforço axial, P e dos dois momentos, por aplicação do princípio da sobreposição de efeitos, são
yzx
z y
P MM= - y + zσA I I
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Problemas propostos
1. Considere uma viga encastrada de secção cruciforme, como se representa na figura seguinte. A viga está sujeita a uma carga, P=100N, com a orientação relativa à secção que se representa na figura. Determine:
a) as tensões longitudinais máximas na secção que se encontra a 30cm do ponto de aplicação da carga.
b) os pontos que na referida secção correspondem a tensões longitudinais nulas.
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Problemas Propostos
P
x
P
y
z
10mm 6mm
15mm
25mm
3m
Eixos de Simetria
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Problemas Propostos
2. Considere uma viga com vão de 4m e com uma secção rectangular de dimensões, 15×20cm, como se representa na figura. A viga está sujeita a uma carga pontual, P=6kN, no ponto médio que actua na direcção diagonal da secção, como se representa na referida figura. Determine as tensões longitudinais máximas e determine a orientação do plano neutro da secção.
2m 2m
P P=6kNy
z200mm
150mm
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Problemas Propostos
3. Considere uma viga encastrada de secção em Z, sujeita a uma carga concentrada na extremidade livre e segundo o eixo dos yy. O comprimento da viga é de 2m. A intensidade da carga é P=15kN. As dimensões da secção estão representadas na figura conjuntamente com os eixos. A espessura da secção é constante e igual a 20mm. Determine as tensões axiais máximas.
z
y
200mm
100mm
Nota: Secção não simétrica
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Problemas Propostos
Resolução:
Cálculo dos Momentos de Inércia e Produtos de Inércia da Secção com vista à obtenção dos Eixos Principais de inércia e momentos de inércia principais.
Decomposição da carga segundo as direcções principais.
A partir daí a resolução segue o caminho usual.
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Problemas Propostos
4. Considere a viga simplesmente apoiada representada na figura, sujeita a uma carga axial segundo o eixo da viga e a uma carga uniformemente repartida com a orientação indicada em relação aos eixos principais de inércia da secção.
30kN 30kN
P=15kN/m
1.5m 1.5m 1m
y
x
P
Espessura da Secção constante e igual a 20mm
150mm
120mm