Serena Borgiani Laboratorio di didattica della matematica Luglio/Agosto 2008

TRACCIA DI INTERVENTO DIDATTICO PER LA SCUOLA SUPERIOREINTRODUZIONE ALLA GONIOMETRIA

PresentazioneLa presente traccia didattica è orientata alla scuola superiore. L’argomento trattato è la goniometria, sviluppato attraverso l’uso del radar. E’ di fondamentale importanza il passaggio da realtà-modello-realtà, in quanto attraverso il radar è possibile presentare un modello e di farne considerazioni che porteranno all’introduzione di alcuni oggetti principali per la goniometria:circonferenze, angoli e archi e coordinate polari. Dopo aver definito e introdotto tali oggetti sarà possibile presentare le funzioni goniometriche seno e coseno.E’ presente dunque il passaggio da oggetto reale a visione matematica, l’osservazione e le proprietà relative a tale oggetto.Dopo aver fornito agli alunni il relativo bagaglio teorico, viene presentata un’applicazione pratica di tali oggetti nel campo dell’astronomia.L’esempio dato riguarda il calcolo della distanza tra la Terra e il Sole; risultato fornito già nell’antichità da Aristarco da Samo.Questa applicazione mostra l’utilità degli oggetti matematici presentati e fa vedere come la goniometria semplifichi il procedimento per arrivare a difficili considerazioni astronomiche.Il seguente intervento didattico da’ solo una traccia di come la lezione potrebbe essere condotta, sebbene non esaurisca tutti gli argomenti della goniometria. L’insegnante dovrà completare la lezione parlando degli archi complementari e archi associati, introducendo la funzione tangente, parlando dell’applicazione ai triangoli qualsiasi (trigonometria), ecc. e ovviamente seguirà anche l’introduzione a secante,cosecante e a tutte le funzioni inverse.Si potrebbero anche presentare altri esempi nel campo della topografia e della navigazione, in cui la goniometria è fondamentale. Aggiungo inoltre che questa traccia sarebbe utile come spunto per la fisica, per l’introduzione del moto armonico, per le onde, e per molte altre applicazioni che comprendono l’ottica (ad esempio la rifrazione) e la meccanica (in cui l’uso di seno e coseno è necessario).

Considerazioni didatticheLe preconoscenze che la classe deve possedere sono le seguenti:

Geometria analitica: piano cartesiano, punti sul piano, rette e semirette, circonferenza e relativa equazione

Angoli, sistema sessagesimale e uso del goniometro Geometria piana: triangoli, quadrato, teorema di Pitagora, similitudine dei triangoli Analisi: concetto di funzione, grafici, dominio, codominio, estremi relativi e assoluti,

simmetrie

La lezione è rivolta ad una classe che abbia le precedenti conoscenze, quindi a seconda del programma potrà essere presentata in qualsiasi classe, indicativamente consiglio dalla terza alla quinta. E’ molto importante che si seguano anche le esigenze del programma di fisica.

La seguente traccia è da considerarsi come una lezione di approccio. L’insegnante infatti indaga sulle conoscenze degli alunni riguardo le coordinate cartesiane e porta gli alunni stessi ad autoporsi domande su di esse al fine di arrivare alla necessita’ di introdurre un nuovo sistema di coordinate. Segue l’introduzione delle coordinate polari che porterranno alla definizione di funzione goniometrica (tutto cio’ sfruttando la presentazione modellistica del radar). La trasposizione didattica avviene attraverso una lezione frontale in cui l’insegnante introduce definizioni e sviluppa una teoria nuova per gli alunni. Sono presenti spesso anche domande dirette ed esercizi che sollecitano i ragazzi alla partecipazione e a domandarsi il motivo e le necessità per cui tali oggetti vengano definiti.

Viene ora presentata la traccia.

Il radarIl radar è un sistema che usa le onde radio per rilevare la distanza, la posizione e la velocità di oggetti: la più importante applicazione è il rilevamento di posizione, rotta di aerei e navi.

Se vogliamo modellizzare il radar possiamo considerare più circonferenze di centro O e raggio r variabile:

dove O é la posizione dell’osservatore che emette segnali ed è chiamato polo ,N,S,W,E rappresentano i quattro punti cardinali.La semiretta OE è detta asse polare.

Come viene individuato l’ostacolo? Una semiretta, quella rossa, ‘spazza’ lo schermo girando in senso antiorario e quando individua un ostacolo nella direzione in cui punta la semiretta, si accende un puntino luminoso. P si troverà quindi su una determinata circonferenza di raggio r e formerà un angolo con l’asse polare.Come si può individuare la posizione di P?Mi aspetto che gli alunni ricorrano alle coordinate cartesiane. Dopo aver ascoltato le risposte degli alunni il docente farà la seguente generalizzazione.

Le coordinate cartesianeSi può esprimere la posizione del punto P sul radar come si fa su carta geografica, cioè ricorrendo alla latitudine e longitudine, ossia alle coordinate cartesiane. Fissiamo una circonferenza di raggio OA e supponiamo che l’asse EST-OVEST (E-W) sia l’asse

mentre l’asse NORD-SUD (N-S) sia l’asse e O sia l’origine (0,0).

Le coordinate di P, nel piano cartesiano saranno ( ). Come le troviamo? Tracciamo le proiezioni di P sull’asse delle ascisse e delle ordinate.Si possono fare alcune considerazioni sul triangolo OPR = OPQ.

Che tipo di triangolo è? E’ possibile calcolare ascissa e ordinata di P? Quale risultato possiamo utilizzare sui triangoli rettangoli?Mi aspetto che dalla discussione in aula emerga che il triangolo è rettangolo in Q. Oltre all’angolo di 90° si conosce l’angolo in O = (0,0), cioè l’angolo compreso tra la semiretta rossa e l’asse polare, e l’ipotenusa OP,cioè il raggio della circonferenza su cui si trova P. Gli alunni proveranno ad applicare il teorema di Pitagora verificando immediatamente che in questo caso non serve poiché si devono trovare i due cateti.

L’insegnante trarrà spunto da questa discussione e dall’impossibilità di trovare le coordinate cartesiane per introdurre un sistema di nuove coordinate: le coordinate polari.

Le coordinate polariSupponiamo che P sia una grossa nave individuata dal radar. Possiamo segnalare la posizione di Q sfruttando le informazioni sul raggio della circonferenza e l’angolo compreso tra la semiretta rossa e l’asse polare. La posizione generica di Q sarà data quindi da una coppia (r,α)

dover = OP = misura del raggio della circonferenza su cui si trova P α = angolo tra la semiretta OE e OP.

Le coordinate polari della nave sono date quindi da (r, α). Dopo queste nozioni di teoria, l’insegnante propone il seguente esercizio.

Esercizio 1. A)Rappresentare in un radar , con l’uso del goniometro, l’ostacolo P dato dalle coordinate polari (3,120°). In quale direzione si trova?B)Rappresentare anche l’ostacolo Q in posizione (5, 480°) e confronta la sua posizione rispetto a quella dell’ostacolo P. C)Come si esprime in coordinate polari la posizione di R,dove R è:

D) Spiega analogie e differenze tra le posizioni dei punti P e R.

Dopo aver svolto gli esercizi l’insegnante ascolta le risposte date dagli alunni e successivamente fornisce una generalizzazione dei risultati ottenuti evidenziando bene i punti principali della discussione.

Gli alunni, disegnando P e Q, noteranno che si trovano in circonferenze di diverso raggio ma nella stessa direzione, sebbene l’angolo non sia il medesimo. Ciò suggerirà loro che la lancetta rossa può aver compiuto più giri prima di segnalare l’ostacolo.Dopo aver notato che l’angolo può essere maggiore di un angolo giro, gli alunni dovranno rappresentare la posizione di R osservando che anche questo punto potrà avere un angolo di 225° ma anche di 585° (360 + 225) o anche di 945° (360+360+225) e così via. Sarà compito dell’insegnante introdurre l’opportuna notazione generalizzata α+K360° con K numero naturale.

In generale , possiamo considerare per esempio il seguente radar che segnala l’ostacolo sulla circonferenza di raggio r = OA.

Abbiamo ipotizzato che la semiretta z ruoti in senso antiorario.Se consideriamo il punto P sulla circonferenza e consideriamo l’arco AP, possiamo definireA origine dell’arco e P estremo dell’arco.All’arco AP corrisponde l’angolo al centro, AOP che chiamiamo α.Ovviamente non sappiamo dopo quanto tempo il radar abbia trovato l’ostacolo, poiché l’ostacolo si potrebbe essere avvicinato solo successivamente, quindi possiamo pensare all’angolo α come l’angolo descritto dalla semiretta z che partendo da A, in senso antiorario, arriva subito in P o vi arriva dopo aver descritto una o più circonferenze.L’ostacolo segnalato avrà coordinate polari (r, α).

Notiamo che per l’angolo α si è usata l’unità di misura del sistema sessagesimale. Vedremo successivamente come e’ possibile passare ad un altro sistema.

Introduzione di seno e cosenoSupponiamo ora che la nave si avvicini pian piano a 0 (radar osservatore) mantenendo sempre la stessa direzione. Dopo poco tempo le sue coordinate cambiano in ( r’, α).Rappresentiamo la situazione in questo modo:

Con la variazione del raggio come cambiano la latitudine e la longitudine del punto, ossia le sue coordinate cartesiane?

Se si considerano i due triangoli OQ’A e OQB, dove A e B sono e relative proiezioni di Q’ e Q sull’asse x, cosa si nota? Cos’hanno in comune?Attraverso queste domande, l’insegnante cerca di far emergere la similitudine dei due triangoli data dal fatto che hanno l’angolo α in comune, entrambi sono triangoli rettangoli, quindi hanno un angolo di 90° e quindi anche il terzo angolo è uguale.L’insegnante ricorda poi che se due triangoli simili, essi hanno i lati corrispondenti proporzionali, arrivando a

Q’A : OQ’ = QB : OQ OA : OQ’ = OB : OQ

: r’ = : r : r’ = : r

= =

Al rapporto costante = =…si da il nome seno di (indicato con sen );

al rapporto costante = =… si da il nome coseno di (indicato con cos).

Si può dedurre quindi che seno e coseno non variano al variare del raggio (OQ diventa OQ’); essi sono quindi funzioni dell’angolo. Non dipendendo dal raggio, vedremo che spesso conviene considerare r=1.Le coordinate ( ) e ( ) saranno quindi diverse poiché i due punti si trovano in circonferenze di raggio diverso, ma avranno in comune le due funzioni seno e coseno poiché i due punti conservano lo stesso angolo (e quindi la nave mantiene la stessa direzione).Quindi è possibile, conoscendo le coordinate polari, passare alle coordinate cartesiane usando le funzioni seno e coseno. Per un punto Q di coordinate polari (r,) si avrà:

= r cos α= r sin α

dove la coppia ( , ) indica le coordinate cartesiane.

Circonferenza goniometricaViene analizzato il caso in cui il radar incontra un ostacolo in posizione (1, α), dove α è un angolo nel quadrante N-E, quindi compreso tra 0° e 90°.L’ostacolo viene individuato sulla circonferenza di raggio 1. Come si trovano le coordinate cartesiane?Si arriva facilmente alla relazione

sin α = = cos α = =

Dato un sistema di assi cartesiani, chiamiamo circonferenza goniometrica la circonferenza di raggio 1 e di centro origine. L’equazione della circonferenza sarà quindi . Seno e coseno, le due funzioni goniometriche, rappresentano in questo caso rispettivamente ordinata e ascissa del punto, ossia le coordinate cartesiane dell’ostacolo.

L’insegnante svolge il seguente esercizio e poi sarà proposto un esercizio inerente.Supponiamo che il radar abbia individuato un ostacolo P in posizione (1, α ) con α in direzione S-E. Il punto e’ sulla circonferenza di raggio 1. Avremo

cos α =sin α =

Poiché il punto si trova sul quarto quadrante , si avrà che >0 e <0.

Segue quindi che cos α= >0 e sin α= <0.

Esercizio 2. Rappresentare sulla circonferenza goniometrica i seguenti punti, dati in coordinate polari:P1 ( 1,30°)P2 ( 1,100°)P3 ( 1, 240°)P4 ( 1,380°)Indicare graficamente seno e coseno. Sono positivi o negativi?

I radiantiNel rappresentare l’angolo, e quindi l’arco di circonferenza che ha come estremo il punto segnalato dal radar, si è usato fin’ora l’unità di misura nel sistema sessagesimale: il grado indica la 360ma parte della circonferenza e a sua volta il grado verrà diviso in sessanta primi e il primo in sessanta

secondi e così via (immagino che gli alunni abbiano già approfondito tale argomento precedentemente).

Tale metodo è complesso e poco conveniente: sarebbe meglio riuscire ad avere un’unità di misura che usi il sistema decimale.Un modo più naturale e conveniente di rappresentare l’ampiezza di un angolo è quello di assumere come unità di misura il radiante.

Si consideri un angolo α di vertice O e più circonferenze con raggi diversi. Siano r, r’, r’’,..i raggi e l, l’, l’’ gli archi descritti dall’angolo α.

Se consideriamo i vari archi che si sono formati con l’angolo α e le circonferenze, abbiamo che i rapporti

sono tutti uguali tra loro. Essi non dipendono quindi dal raggio delle circonferenza ma solo dall’ampiezza dell’angolo α .Proprio perché tale rapporto dipende solo dall’ampiezza dell’angolo, esso è stato scelto nel Sistema Internazionale per esprimere la misura dell’angolo α . Diamo la definizione di radiante:Il radiante e’ l’arco che, rettificato, e’ uguale al raggio della circonferenza alla quale l’arco appartiene.Il radiante e’ quindi un angolo che determina sulla circonferenza un arco lungo tanto quanto il raggio della circonferenza:

1 radiante = dove l = lungh arco rettificato e r = raggio

Poiche’ ad ogni angolo al centro corrisponde uno e un solo arco e ad ogni arco corrisponde uno e un solo angolo al centro, si possono misurare gli angoli utilizzando gli archi corrisondenti. Inoltre se raddoppia l’arco, raddoppia anche l’angolo, e vale anche se triplico,quadruplico o dimezzo,divido per tre...Per la proporzionalita’ tra archi e angoli al centro corrispondenti di una stessa circonferenza di raggio r, la lunghezza l di un arco AB di ampiezza α (in gardi sessagesimali) e’ data dalla proporzione:

l: 2πr = α : 360°

dove 2πr indica la lunghezza della circonferenza di raggio r.

E’ possibile qiundi passare dalla misura angolare (cioe’ all’ampiezza dell’arco in gradi sessagesimali) alla sua misura lineare e viceversa:

da cui, dividendo per il raggio si ottiene

Notiamo dalla formula che la misura in radianti di un arco e’ indipendente dal

raggio della circonferenza alla quale appartiene.

I gradi sono usati perlopiù dagli ingegneri e dai tecnici, mentre per gli studi teorici sono più adatti i radianti, che permettono di semplificare i calcoli e di ottenere risultati più semplici e leggibili.

Esercizio 3.A quanti radianti corrisponde l’intero angolo giro di 360°?Quanti radianti ci sono in un angolo di 180°?E in un angolo di 90°?L’insegnante generalizzerà i risultati ottenuti proponendo la seguente proporzione:

angoli in gradi: angolo in radianti= 360°: 2 radottenuta dalle relazioni precedenti

e farà successivamente costruire una tabella con le varie misure degli angoli espresse nei due modi.

La rappresentazione graficaSi vuole ora introdurre i rispettivi grafici delle due funzioni seno e coseno, cercando di costruirli. I passi della costruzione sono effettuati dall’insegnante.Si supponga che il radar individui un aereo che compie un percorso circolare intorno alla postazione di osservazione.

Supponiamo che l’aereo P parta dal punto di coordinate (r,0) e giri intorno alla circonferenza di raggio r fino ad arrivare alla posizione iniziale e continuare ancora il giro .La situazione può essere rappresentata in questo modo:

A seconda dell’angolo α assunto dalla posizione di P si avrà un valore del seno e rispettivamente del coseno, di cui si costruirà il grafico.Assumiamo che inizialmente che:

P parta dalla posizione iniziale (r,0) La distanza dell’aereo dal radar si prenda per convenzione uguale a 1 km quindi che il

raggio della circonferenza sia r=1.

P parte dalla posizione iniziale (1,0) con r=1 e α=0. E’ evidente dall’equazione della circonferenza goniometrica che P si possa rappresentare sul piano cartesiano proprio sul punto (1,0) poiché ha ordinata nulla e si trova sulla circonferenza (tra primo e quarto quadrante).

Si avrà quindi che sin α = sin 0 = = 0 cos α = cos 0= =1

Dopo aver percorso di giro arriva al punto di coordinate polari (1, ) che sul piano cartesiano

rappresenta il punto (0,1).

Si avra’ quindi

sin α = sin = = 1

cos α = cos = =0

Esercizio4.

a)Verificare che per i punti di coordinate polari (1, e (1, si ha rispettivamente

sin =0 cos =-1

sin =-1 cos =0

b)Quale risultato si avrà invece per il punto (1,2 ?Gli alunni dovranno dedurre che l’aereo essendo arrivato alla posizione iniziale riprenderà il giro in modo tale e quale, quindi seno e coseno nel punto (1,2 avranno gli stessi valori del punto (1,0).Successivamente, dopo aver terminato la costruzione del grafico l’insegnante riprenderà i punti successivi con angoli multipli dell’angolo giro e mostrerà la periodicità delle due funzioni.Prima di far ciò verrà disegnato il piano cartesiano e completato con i risultati ottenuti.

Cosa accade quando l’aereo si trova in posizione (1, )?Quanto valgono seno e coseno?

Possiamo determinare il valore dei seno e coseno in questo modo: si consideri il triangolo di

ipotenusa uguale a 1 e angolo di , cioè di 45° al vertice 0. Il triangolo e’ isoscele perché ha un

angolo retto e due angoli di 45°. Se si completa nel modo seguente verrà a formarsi un quadrato di diagonale d=1 e lati l ignoti.

Ricordando che per il quadrato d = si avrà che l = .

Segue che sen =cos = .

Cosa succede quando l’aereo si trova in posizione (1, )? Quanto valgono seno e coseno?

Si può considerare ora il triangolo OPA di ipotenusa 1 e cateti ignoti.

Si noti che il triangolo rettangolo, avendo una angolo di 90° e l’altro acuto di ,cioe’ di 30° avrà il

terzo di 60°. Completandolo si ottiene il triangolo equilatero OPQ.

PA =

Dal teorema di Pitagora, OA =

Si possono ora completare nuovamente i grafici con questi due punti. L’insegnante darà poi i grafici completi, mostrando che possono essere prolungati.

L’osservazione del grafico è molto importante. La discussione tra docente e alunni dovrà portare alle seguenti considerazioni:1) definizione di periodicità e la periodicità delle due funzioni seno e coseno2) andamento sinusoidale3) dominio e codominio delle due funzioni4) valori massimi e minimi assunti5)simmetrie (parità e disparità)6)osservazione dei valori assunti negli altri punti non considerati precedentemente. Ritornano le considerazioni su positività e negatività viste nell’esercizio2?L’osservazione degli altri valori darà lo spunto per iniziare a parlare degli archi associati e archi complementari ( non oggetto di discussione nella presente traccia).

L’insegnante chiederà cosa accade ai due grafici se si considera una circonferenza di raggio diverso da uno. Gli alunni, ricordaranno cio’ detto precedentemente: le funzioni seno e coseno non variano al variare del raggio e quindi, sebbene le coordinate cartesiane e polari cambino, i valori di seno e coseno rimangono gli stessi.Come e’ possibile rappresentare graficamente il passaggio dalla circonferenza di raggio 1 ad una generica circonferenza di raggio r?Viene ripresa la costruzione punto per punto.

Per il primo punto, sia (posizione di partenza dell’aereo) di coordinate polari (r,0):le coordinate cartesiane saranno (r,0) poiché il punto si trova sulla circonferenza di equazione

quindi, ricordando le relazioni per una circonferenza di raggio r, si avrà

e da cui

= r = = r

=0.

Per il secondo punto (posizione (r, )) si avranno le coordinate cartesiane (0,r) e

quindi

e da cui

= r =

.

Per il punto di coordinate polari (r, ) poiché si avrà

= r =

Proseguendo con altri punti si potranno costruire i due grafici: il primo dato da f(α)=r•sin α (che rappresenta le ordinate assunte dal punto che ruota sulla circonferenza di raggio r) e il secondo dato da f(α)= r•cos α ( che rappresenta le ascisse del punto che ruota sulla circonferenza).Attraverso la costruzione punto per punto del grafico si mostrerà come, considerando le funzioni f(α)=r•sin α e f(α)= r•cos α , cioe’ moltiplicando per una costante la funzione, cambia l’ampiezza dell’oscillazione rispetto alle funzioni precedenti f(α)= sin α e f(α)= cos α ottenute con la circonferenza di raggio unitario. L’insegnante dovrà mostrare i grafici di r•sen α e r•cos α quando r=1, r=2, r=8.. e generalizzare il risultato.Tale argomentazione potrebbe essere da spunto per il professore nell’introduzione delle onde e dell’ampiezza dell’oscillazione.

Un’applicazione nell’antichitàViene presentata un’applicazione della goniometria all’astronomia attraverso un antico modello risalente al 300 a.C circa: il calcolo della distanza tra il Sole e la Terra.

Aristarco da Samo, matematico e astronomo dell’antica Grecia, nel suo trattato ‘Sulla grandezza e sulla distanza del Sole e della Luna’ era riuscito a determinare la distanza del Sole dal nostro pianeta grazie a semplici considerazioni sugli angoli.Egli partì dalle seguenti ipotesi:1)la Terra è sferica2)il Sole è lontano ma non troppo perché i suoi raggi colpiscano Terra e Luna con angoli diversi3)la Luna orbita intorno alla Terra in modo che sia possibile avere le eclissi

Osservò che, quando la Luna si presentava come una perfetta mezzaluna, <l’angolo compreso tra le visuali del Sole e della Luna è inferiore a un angolo retto per un trentesimo di quadrante>.Nel linguaggio odierno si può interpretare questa affermazione dicendo che,per un osservatore sulla Terra, l’angolo tra il Sole e la Luna al primo quarto è di circa 87° , poiché un trentesimo di quadrante è proprio 90/30=3 e quindi si avrà un modello di questo tipo:

Come si può determinare la distanza tra il Sole e la Terra? Pur essendo in una realtà molto più complessa possiamo modellizzare quindi il problema attraverso un semplice triangolo rettangolo di cui conosciamo gli angoli e un cateto (sappiamo la distanza tra la Luna e la Terra).

Consideriamo il triangolo rettangolo TSL, con un angolo di 90°, un angolo di 87° e quindi il terzo angolo di 3°.Sia d la distanza tra S e T (Sole-Terra)e d’ la distanza tra T e L(Terra e Luna). Si ha che

sin 3°= e quindi sapendo che la distanza d’=384 400 km e conoscendo il seno di 3° è possibile

ricavare d.Oggi sappiamo che la distanza tra Sole e Terra è circa 149 600 000 km.Ai tempi di Aristarco non erano ancora disponibili le tavole trigonometriche. Egli si rifece ad un teorema geometrico utilizzato a quel tempo arrivando al seguente risultato:

1/18 < sen 3° < 1/20e concludendo quindi che il Sole è più di 18 volte ma meno di 20 volte più lontano della Luna rispetto alla Terra. Questo valore è molto lontano da quello calcolato attualmente, poiché Aristarco sbagliò nel considerare il momento esatto in cui la parte illuminata della Luna è del 50%, errando nella stima dell’angolo STL: il valore corretto è infatti 89° e 51’ .Si può vedere però, grazie all’uso della goniometria, come un risultato così importante fosse facilmente ottenibile.

Tale esempio potrebbe essere lo spunto per iniziare ad introdurre la tangente e presentare successivamente un altro esempio significativo che ne’ fa uso:il metodo di Eratostene per calcolare il raggio terrestre. Gli alunni avranno così modo di verificare l’utilità delle funzioni goniometriche.