sui 26. 3. 2015 © josef pelikán, 1 / 51cgg.mff.cuni.cz/~pepca/papers/placement2015sui.pdf · j....
TRANSCRIPT
![Page 1: SUI 26. 3. 2015 © Josef Pelikán, 1 / 51cgg.mff.cuni.cz/~pepca/papers/Placement2015sui.pdf · J. Matoušek: Geometric Discrepancy – An Illustrated Guide, Springer, 2000 A. Lagae,](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050219/5f65371bed20d159f10caca3/html5/thumbnails/1.jpg)
SUI 26. 3. 2015 © Josef Pelikán, http://cgg.mff.cuni.cz/ 1 / 51
![Page 2: SUI 26. 3. 2015 © Josef Pelikán, 1 / 51cgg.mff.cuni.cz/~pepca/papers/Placement2015sui.pdf · J. Matoušek: Geometric Discrepancy – An Illustrated Guide, Springer, 2000 A. Lagae,](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050219/5f65371bed20d159f10caca3/html5/thumbnails/2.jpg)
SUI 26. 3. 2015 © Josef Pelikán, http://cgg.mff.cuni.cz/ 2 / 51
© 2014-15 Josef Pelikán, CGG MFF UK Praha
http://cgg.mff.cuni.cz/~pepca/
Náhodné rozmisťování bodů v rovině
Seminář strojového učení a modelování, 26. 3. 2015
![Page 3: SUI 26. 3. 2015 © Josef Pelikán, 1 / 51cgg.mff.cuni.cz/~pepca/papers/Placement2015sui.pdf · J. Matoušek: Geometric Discrepancy – An Illustrated Guide, Springer, 2000 A. Lagae,](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050219/5f65371bed20d159f10caca3/html5/thumbnails/3.jpg)
SUI 26. 3. 2015 © Josef Pelikán, http://cgg.mff.cuni.cz/ 3 / 51
Jiří Matoušek (1963-2015)
![Page 4: SUI 26. 3. 2015 © Josef Pelikán, 1 / 51cgg.mff.cuni.cz/~pepca/papers/Placement2015sui.pdf · J. Matoušek: Geometric Discrepancy – An Illustrated Guide, Springer, 2000 A. Lagae,](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050219/5f65371bed20d159f10caca3/html5/thumbnails/4.jpg)
SUI 26. 3. 2015 © Josef Pelikán, http://cgg.mff.cuni.cz/ 4 / 51
Náhodné rozložení bodů.. ?
random
![Page 5: SUI 26. 3. 2015 © Josef Pelikán, 1 / 51cgg.mff.cuni.cz/~pepca/papers/Placement2015sui.pdf · J. Matoušek: Geometric Discrepancy – An Illustrated Guide, Springer, 2000 A. Lagae,](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050219/5f65371bed20d159f10caca3/html5/thumbnails/5.jpg)
SUI 26. 3. 2015 © Josef Pelikán, http://cgg.mff.cuni.cz/ 5 / 51
Náhodné rozložení bodů.. ?
regular
![Page 6: SUI 26. 3. 2015 © Josef Pelikán, 1 / 51cgg.mff.cuni.cz/~pepca/papers/Placement2015sui.pdf · J. Matoušek: Geometric Discrepancy – An Illustrated Guide, Springer, 2000 A. Lagae,](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050219/5f65371bed20d159f10caca3/html5/thumbnails/6.jpg)
SUI 26. 3. 2015 © Josef Pelikán, http://cgg.mff.cuni.cz/ 6 / 51
Náhodné rozložení bodů.. ?
CCDT
![Page 7: SUI 26. 3. 2015 © Josef Pelikán, 1 / 51cgg.mff.cuni.cz/~pepca/papers/Placement2015sui.pdf · J. Matoušek: Geometric Discrepancy – An Illustrated Guide, Springer, 2000 A. Lagae,](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050219/5f65371bed20d159f10caca3/html5/thumbnails/7.jpg)
SUI 26. 3. 2015 © Josef Pelikán, http://cgg.mff.cuni.cz/ 7 / 51
Řízení hustotou pravděpodobnosti
![Page 8: SUI 26. 3. 2015 © Josef Pelikán, 1 / 51cgg.mff.cuni.cz/~pepca/papers/Placement2015sui.pdf · J. Matoušek: Geometric Discrepancy – An Illustrated Guide, Springer, 2000 A. Lagae,](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050219/5f65371bed20d159f10caca3/html5/thumbnails/8.jpg)
SUI 26. 3. 2015 © Josef Pelikán, http://cgg.mff.cuni.cz/ 8 / 51
Řízení hustotou pravděpodobnosti
![Page 9: SUI 26. 3. 2015 © Josef Pelikán, 1 / 51cgg.mff.cuni.cz/~pepca/papers/Placement2015sui.pdf · J. Matoušek: Geometric Discrepancy – An Illustrated Guide, Springer, 2000 A. Lagae,](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050219/5f65371bed20d159f10caca3/html5/thumbnails/9.jpg)
SUI 26. 3. 2015 © Josef Pelikán, http://cgg.mff.cuni.cz/ 9 / 51
Příroda
fyzikální zákony, sítnice oka, ..
![Page 10: SUI 26. 3. 2015 © Josef Pelikán, 1 / 51cgg.mff.cuni.cz/~pepca/papers/Placement2015sui.pdf · J. Matoušek: Geometric Discrepancy – An Illustrated Guide, Springer, 2000 A. Lagae,](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050219/5f65371bed20d159f10caca3/html5/thumbnails/10.jpg)
SUI 26. 3. 2015 © Josef Pelikán, http://cgg.mff.cuni.cz/ 10 / 51
Aplikace
vzorkování pro Monte-Carlo kvadratururychlost, diskrepance, hustota
tiskařství – tupování („stippling“), FM ditheringhustota, spektrální vlastnosti, estetika
simulace přírodních jevů (stromy, buňky, ..), hryspektrální vlastnosti, estetika, hustotadeterministické chování
design, architekturaestetika, efektivita výroby (opakování vzorů)
generování sítí pro FEMdiskrepance, hustota
![Page 11: SUI 26. 3. 2015 © Josef Pelikán, 1 / 51cgg.mff.cuni.cz/~pepca/papers/Placement2015sui.pdf · J. Matoušek: Geometric Discrepancy – An Illustrated Guide, Springer, 2000 A. Lagae,](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050219/5f65371bed20d159f10caca3/html5/thumbnails/11.jpg)
SUI 26. 3. 2015 © Josef Pelikán, http://cgg.mff.cuni.cz/ 11 / 51
Jak hodnotit rozložení bodů v rovině?
rovnoměrnost pokrytí: diskrepance
míra nahodilosti?
estetika?
Lloydův algoritmus
„Centroidal Voronoi“skalární kvantizace1982
![Page 12: SUI 26. 3. 2015 © Josef Pelikán, 1 / 51cgg.mff.cuni.cz/~pepca/papers/Placement2015sui.pdf · J. Matoušek: Geometric Discrepancy – An Illustrated Guide, Springer, 2000 A. Lagae,](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050219/5f65371bed20d159f10caca3/html5/thumbnails/12.jpg)
SUI 26. 3. 2015 © Josef Pelikán, http://cgg.mff.cuni.cz/ 12 / 51
Diskrepance
míra rovnoměrnosti pokrytí domény sadou vzorků
Monte-Carlo integraceZaremba 1968 zavádí pojem diskrepance (ukotvené levé horní rohy obdélníků)
[1,1]
[0,0]
[a,b]
d (a ,b) =∣ab−nN ∣
nN-n
D∞ = maxa ,b∈[0,1] d (a ,b)
![Page 13: SUI 26. 3. 2015 © Josef Pelikán, 1 / 51cgg.mff.cuni.cz/~pepca/papers/Placement2015sui.pdf · J. Matoušek: Geometric Discrepancy – An Illustrated Guide, Springer, 2000 A. Lagae,](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050219/5f65371bed20d159f10caca3/html5/thumbnails/13.jpg)
SUI 26. 3. 2015 © Josef Pelikán, http://cgg.mff.cuni.cz/ 13 / 51
Jiné formy diskrepance
střední kvadratická hodnota místo maxima
Stroud 1971 navrhuje počítat přes všechny obdélníky
d (a ,b , c , d ) =∣(a−c)(b−d ) −nN ∣
D2 =∬ d (a ,b)2 da db
![Page 14: SUI 26. 3. 2015 © Josef Pelikán, 1 / 51cgg.mff.cuni.cz/~pepca/papers/Placement2015sui.pdf · J. Matoušek: Geometric Discrepancy – An Illustrated Guide, Springer, 2000 A. Lagae,](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050219/5f65371bed20d159f10caca3/html5/thumbnails/14.jpg)
SUI 26. 3. 2015 © Josef Pelikán, http://cgg.mff.cuni.cz/ 14 / 51
Visualizace diskrepance
random Dr-Cr
![Page 15: SUI 26. 3. 2015 © Josef Pelikán, 1 / 51cgg.mff.cuni.cz/~pepca/papers/Placement2015sui.pdf · J. Matoušek: Geometric Discrepancy – An Illustrated Guide, Springer, 2000 A. Lagae,](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050219/5f65371bed20d159f10caca3/html5/thumbnails/15.jpg)
SUI 26. 3. 2015 © Josef Pelikán, http://cgg.mff.cuni.cz/ 15 / 51
Shluky !
jsou přirozené?„Zákon řídkých jevů“ („Law of Rare Events“)
Poissonovo rozdělení s malou hodnotou m
m = 0.5
c0 = 23
c1 = 8
c2 = 5
![Page 16: SUI 26. 3. 2015 © Josef Pelikán, 1 / 51cgg.mff.cuni.cz/~pepca/papers/Placement2015sui.pdf · J. Matoušek: Geometric Discrepancy – An Illustrated Guide, Springer, 2000 A. Lagae,](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050219/5f65371bed20d159f10caca3/html5/thumbnails/16.jpg)
SUI 26. 3. 2015 © Josef Pelikán, http://cgg.mff.cuni.cz/ 16 / 51
Spektrální charakteristiky
hodnocení míry pravidelnostipřítomnost nežádoucích vzorůvýskyt shluků
spektrální analýza se objevuje při hodnocení kvality půltónování v tiskařství
již Allebach 1977detailní použití: Ulichney, Digital Halftoning, 1987
frekvenční spektrum – Fourierova transformaceperiodogram – již Schuster 1898průměrování periodogramů – Bartlett 1948
![Page 17: SUI 26. 3. 2015 © Josef Pelikán, 1 / 51cgg.mff.cuni.cz/~pepca/papers/Placement2015sui.pdf · J. Matoušek: Geometric Discrepancy – An Illustrated Guide, Springer, 2000 A. Lagae,](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050219/5f65371bed20d159f10caca3/html5/thumbnails/17.jpg)
SUI 26. 3. 2015 © Josef Pelikán, http://cgg.mff.cuni.cz/ 17 / 51
Fourierovské „power spectrum“
množina N vzorků v rovině:
funkce rozložení vzorků (definovaná na R2):
s( x , y) = ∑k=1
N
δ(x−xk , y− yk)
S = {sk }k=1N = { [ xk , yk ] }k=1
N
![Page 18: SUI 26. 3. 2015 © Josef Pelikán, 1 / 51cgg.mff.cuni.cz/~pepca/papers/Placement2015sui.pdf · J. Matoušek: Geometric Discrepancy – An Illustrated Guide, Springer, 2000 A. Lagae,](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050219/5f65371bed20d159f10caca3/html5/thumbnails/18.jpg)
SUI 26. 3. 2015 © Josef Pelikán, http://cgg.mff.cuni.cz/ 18 / 51
Fourierovské „power spectrum“
Fourierova transformace se dá zjednodušit na:
kde f je frekvenční vektor [fx, fy] Z2
a nakonec výkonové spektrum:
F ( f ) =∑k=1
N
e−2π i( f⋅sk )
P( f ) =∣F( f )∣2 =1N (∑
k=1
N
cos(2π f⋅sk))2
+1N (∑
k=1
N
sin (2π f⋅sk))2
![Page 19: SUI 26. 3. 2015 © Josef Pelikán, 1 / 51cgg.mff.cuni.cz/~pepca/papers/Placement2015sui.pdf · J. Matoušek: Geometric Discrepancy – An Illustrated Guide, Springer, 2000 A. Lagae,](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050219/5f65371bed20d159f10caca3/html5/thumbnails/19.jpg)
SUI 26. 3. 2015 © Josef Pelikán, http://cgg.mff.cuni.cz/ 19 / 51
Příklady spektrální analýzy
Fourierova transformace
semi-jittering
![Page 20: SUI 26. 3. 2015 © Josef Pelikán, 1 / 51cgg.mff.cuni.cz/~pepca/papers/Placement2015sui.pdf · J. Matoušek: Geometric Discrepancy – An Illustrated Guide, Springer, 2000 A. Lagae,](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050219/5f65371bed20d159f10caca3/html5/thumbnails/20.jpg)
SUI 26. 3. 2015 © Josef Pelikán, http://cgg.mff.cuni.cz/ 20 / 51
Příklady spektrální analýzy
radiálně průměrované spektrumhodnocení radiální symetrieredukce nízkých frekvencí (chceme „modrý šum“)
![Page 21: SUI 26. 3. 2015 © Josef Pelikán, 1 / 51cgg.mff.cuni.cz/~pepca/papers/Placement2015sui.pdf · J. Matoušek: Geometric Discrepancy – An Illustrated Guide, Springer, 2000 A. Lagae,](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050219/5f65371bed20d159f10caca3/html5/thumbnails/21.jpg)
SUI 26. 3. 2015 © Josef Pelikán, http://cgg.mff.cuni.cz/ 21 / 51
„Pěkné“ spektrum
vlastnosti „modrého šumu“ (Ulichney 1987)
Mitchell
![Page 22: SUI 26. 3. 2015 © Josef Pelikán, 1 / 51cgg.mff.cuni.cz/~pepca/papers/Placement2015sui.pdf · J. Matoušek: Geometric Discrepancy – An Illustrated Guide, Springer, 2000 A. Lagae,](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050219/5f65371bed20d159f10caca3/html5/thumbnails/22.jpg)
SUI 26. 3. 2015 © Josef Pelikán, http://cgg.mff.cuni.cz/ 22 / 51
„Pěkné“ spektrum
radiálně průměrované spektrumčervený graf – radiální rozptyl (izotropie spektra)
![Page 23: SUI 26. 3. 2015 © Josef Pelikán, 1 / 51cgg.mff.cuni.cz/~pepca/papers/Placement2015sui.pdf · J. Matoušek: Geometric Discrepancy – An Illustrated Guide, Springer, 2000 A. Lagae,](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050219/5f65371bed20d159f10caca3/html5/thumbnails/23.jpg)
SUI 26. 3. 2015 © Josef Pelikán, http://cgg.mff.cuni.cz/ 23 / 51
Jiné „pěkné“ spektrum
![Page 24: SUI 26. 3. 2015 © Josef Pelikán, 1 / 51cgg.mff.cuni.cz/~pepca/papers/Placement2015sui.pdf · J. Matoušek: Geometric Discrepancy – An Illustrated Guide, Springer, 2000 A. Lagae,](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050219/5f65371bed20d159f10caca3/html5/thumbnails/24.jpg)
SUI 26. 3. 2015 © Josef Pelikán, http://cgg.mff.cuni.cz/ 24 / 51
Příliš velká pravidelnost
![Page 25: SUI 26. 3. 2015 © Josef Pelikán, 1 / 51cgg.mff.cuni.cz/~pepca/papers/Placement2015sui.pdf · J. Matoušek: Geometric Discrepancy – An Illustrated Guide, Springer, 2000 A. Lagae,](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050219/5f65371bed20d159f10caca3/html5/thumbnails/25.jpg)
SUI 26. 3. 2015 © Josef Pelikán, http://cgg.mff.cuni.cz/ 25 / 51
Pravidelný rastr
+ diskrepance+ jednoduchost- pravidelnost- interference- nepokrývá doménu
![Page 26: SUI 26. 3. 2015 © Josef Pelikán, 1 / 51cgg.mff.cuni.cz/~pepca/papers/Placement2015sui.pdf · J. Matoušek: Geometric Discrepancy – An Illustrated Guide, Springer, 2000 A. Lagae,](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050219/5f65371bed20d159f10caca3/html5/thumbnails/26.jpg)
SUI 26. 3. 2015 © Josef Pelikán, http://cgg.mff.cuni.cz/ 26 / 51
Náhodné vzorkování
+ nepravidelnost+ jednoduchost+ lze řídit hustotou+ pokrývá doménu- diskrepance (shluky)
Nezávislé realizacevhodné náhodné veličiny
![Page 27: SUI 26. 3. 2015 © Josef Pelikán, 1 / 51cgg.mff.cuni.cz/~pepca/papers/Placement2015sui.pdf · J. Matoušek: Geometric Discrepancy – An Illustrated Guide, Springer, 2000 A. Lagae,](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050219/5f65371bed20d159f10caca3/html5/thumbnails/27.jpg)
SUI 26. 3. 2015 © Josef Pelikán, http://cgg.mff.cuni.cz/ 27 / 51
Jittering (roztřesení)
+ nepravidelnost+ jednoduchost+ diskrepance+ pokrývá doménu- nelze snadno řídit hustotou
„Stratified sampling“ve statistice..
![Page 28: SUI 26. 3. 2015 © Josef Pelikán, 1 / 51cgg.mff.cuni.cz/~pepca/papers/Placement2015sui.pdf · J. Matoušek: Geometric Discrepancy – An Illustrated Guide, Springer, 2000 A. Lagae,](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050219/5f65371bed20d159f10caca3/html5/thumbnails/28.jpg)
SUI 26. 3. 2015 © Josef Pelikán, http://cgg.mff.cuni.cz/ 28 / 51
Jittering (roztřesení)
Subintervaly mohou býtlibovolné (stejný obsah)
![Page 29: SUI 26. 3. 2015 © Josef Pelikán, 1 / 51cgg.mff.cuni.cz/~pepca/papers/Placement2015sui.pdf · J. Matoušek: Geometric Discrepancy – An Illustrated Guide, Springer, 2000 A. Lagae,](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050219/5f65371bed20d159f10caca3/html5/thumbnails/29.jpg)
SUI 26. 3. 2015 © Josef Pelikán, http://cgg.mff.cuni.cz/ 29 / 51
Semi-jittering
+ jednoduchost+ diskrepance- částečná pravidelnost- nepokrývá doménu- nelze snadno řídit hustotou
![Page 30: SUI 26. 3. 2015 © Josef Pelikán, 1 / 51cgg.mff.cuni.cz/~pepca/papers/Placement2015sui.pdf · J. Matoušek: Geometric Discrepancy – An Illustrated Guide, Springer, 2000 A. Lagae,](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050219/5f65371bed20d159f10caca3/html5/thumbnails/30.jpg)
SUI 26. 3. 2015 © Josef Pelikán, http://cgg.mff.cuni.cz/ 30 / 51
Semi-jittering
Amplitudy roztřesenímohou být i jiné
![Page 31: SUI 26. 3. 2015 © Josef Pelikán, 1 / 51cgg.mff.cuni.cz/~pepca/papers/Placement2015sui.pdf · J. Matoušek: Geometric Discrepancy – An Illustrated Guide, Springer, 2000 A. Lagae,](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050219/5f65371bed20d159f10caca3/html5/thumbnails/31.jpg)
SUI 26. 3. 2015 © Josef Pelikán, http://cgg.mff.cuni.cz/ 31 / 51
N věží („N rooks“)
+ nepravidelnost+ pokrývá doménu- trochu horší diskrepance (shluky)
![Page 32: SUI 26. 3. 2015 © Josef Pelikán, 1 / 51cgg.mff.cuni.cz/~pepca/papers/Placement2015sui.pdf · J. Matoušek: Geometric Discrepancy – An Illustrated Guide, Springer, 2000 A. Lagae,](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050219/5f65371bed20d159f10caca3/html5/thumbnails/32.jpg)
SUI 26. 3. 2015 © Josef Pelikán, http://cgg.mff.cuni.cz/ 32 / 51
N věží („N rooks“)
V každém řádku i sloupciprávě jeden vzorek..
![Page 33: SUI 26. 3. 2015 © Josef Pelikán, 1 / 51cgg.mff.cuni.cz/~pepca/papers/Placement2015sui.pdf · J. Matoušek: Geometric Discrepancy – An Illustrated Guide, Springer, 2000 A. Lagae,](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050219/5f65371bed20d159f10caca3/html5/thumbnails/33.jpg)
SUI 26. 3. 2015 © Josef Pelikán, http://cgg.mff.cuni.cz/ 33 / 51
Hammersley
+ výborná diskrepance+ deterministické+ velmi rychlý výpočet- nelze zahušťovat- špatné spektrum
Na podobném principu jezaložena i Haltonova sekvence..
![Page 34: SUI 26. 3. 2015 © Josef Pelikán, 1 / 51cgg.mff.cuni.cz/~pepca/papers/Placement2015sui.pdf · J. Matoušek: Geometric Discrepancy – An Illustrated Guide, Springer, 2000 A. Lagae,](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050219/5f65371bed20d159f10caca3/html5/thumbnails/34.jpg)
SUI 26. 3. 2015 © Josef Pelikán, http://cgg.mff.cuni.cz/ 34 / 51
na podobném principu jsou založeny:Halton, Hammersley, Larcher-Pillichshammer
pro prvočíslo b nechť je kladné přirozené číslo n vyjádřeno pomocí b-ární reprezentace:
pak je definováno číslo v intervalu [0,1):
Deterministické sekvence
n =∑k=0
L−1
d k (n)bk
gb(n) = ∑k=0
L−1
d k (n)b−k−1
![Page 35: SUI 26. 3. 2015 © Josef Pelikán, 1 / 51cgg.mff.cuni.cz/~pepca/papers/Placement2015sui.pdf · J. Matoušek: Geometric Discrepancy – An Illustrated Guide, Springer, 2000 A. Lagae,](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050219/5f65371bed20d159f10caca3/html5/thumbnails/35.jpg)
SUI 26. 3. 2015 © Josef Pelikán, http://cgg.mff.cuni.cz/ 35 / 51
slavná Haltonova sekvence (např. b1=2, b
2=3):
Hammersley sekvence (např. b=2):
Halton, Hammersley
x (n) = [ nN , gb(n)]
x (n) = [gb1(n) , gb2(n)]
![Page 36: SUI 26. 3. 2015 © Josef Pelikán, 1 / 51cgg.mff.cuni.cz/~pepca/papers/Placement2015sui.pdf · J. Matoušek: Geometric Discrepancy – An Illustrated Guide, Springer, 2000 A. Lagae,](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050219/5f65371bed20d159f10caca3/html5/thumbnails/36.jpg)
SUI 26. 3. 2015 © Josef Pelikán, http://cgg.mff.cuni.cz/ 36 / 51
Larcher-Pillichshammer
+ výborná diskrepance+ deterministické+ velmi rychlý výpočet+ lze randomizovat- nelze zahušťovat- špatné spektrum
![Page 37: SUI 26. 3. 2015 © Josef Pelikán, 1 / 51cgg.mff.cuni.cz/~pepca/papers/Placement2015sui.pdf · J. Matoušek: Geometric Discrepancy – An Illustrated Guide, Springer, 2000 A. Lagae,](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050219/5f65371bed20d159f10caca3/html5/thumbnails/37.jpg)
SUI 26. 3. 2015 © Josef Pelikán, http://cgg.mff.cuni.cz/ 37 / 51
místo dk(n) se používá
analogicky definujeme
.. a posloupnost vzorků
Larcher-Pillichshammer
x (n) = [ nN , lp(n)]
lpk (n) =(∑i=k
L
d i (n)) mod 2
lp(n) =∑k
lpk (n)2−k−1
![Page 38: SUI 26. 3. 2015 © Josef Pelikán, 1 / 51cgg.mff.cuni.cz/~pepca/papers/Placement2015sui.pdf · J. Matoušek: Geometric Discrepancy – An Illustrated Guide, Springer, 2000 A. Lagae,](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050219/5f65371bed20d159f10caca3/html5/thumbnails/38.jpg)
SUI 26. 3. 2015 © Josef Pelikán, http://cgg.mff.cuni.cz/ 38 / 51
Pravidelnosti ve spektru
![Page 39: SUI 26. 3. 2015 © Josef Pelikán, 1 / 51cgg.mff.cuni.cz/~pepca/papers/Placement2015sui.pdf · J. Matoušek: Geometric Discrepancy – An Illustrated Guide, Springer, 2000 A. Lagae,](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050219/5f65371bed20d159f10caca3/html5/thumbnails/39.jpg)
SUI 26. 3. 2015 © Josef Pelikán, http://cgg.mff.cuni.cz/ 39 / 51
Poissonovo diskové vzorkování
+ nepravidelnost+ estetika+ diskrepance+ pokrývá doménu+ lze řídit hustotou- pomalé- obtížné nastavení D
Dva vzorky nesmějí býtblíž než D
![Page 40: SUI 26. 3. 2015 © Josef Pelikán, 1 / 51cgg.mff.cuni.cz/~pepca/papers/Placement2015sui.pdf · J. Matoušek: Geometric Discrepancy – An Illustrated Guide, Springer, 2000 A. Lagae,](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050219/5f65371bed20d159f10caca3/html5/thumbnails/40.jpg)
SUI 26. 3. 2015 © Josef Pelikán, http://cgg.mff.cuni.cz/ 40 / 51
Poissonovo diskové vzorkování
D = 0.1
Algoritmus:vrhání šipky s kontrolouvzdálenosti(„dart-throwing withrejection“)
![Page 41: SUI 26. 3. 2015 © Josef Pelikán, 1 / 51cgg.mff.cuni.cz/~pepca/papers/Placement2015sui.pdf · J. Matoušek: Geometric Discrepancy – An Illustrated Guide, Springer, 2000 A. Lagae,](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050219/5f65371bed20d159f10caca3/html5/thumbnails/41.jpg)
SUI 26. 3. 2015 © Josef Pelikán, http://cgg.mff.cuni.cz/ 41 / 51
Mitchellův algoritmus
+ jako Poisson-disk+ inkrementální+ nepotřebuje D- velmi pomalý!
Algoritmus:N-tý vzorek vybírámz NK kandidátů,přijmu ten nejvzdálenějšíK > 5 (větší K .. kvalita)
![Page 42: SUI 26. 3. 2015 © Josef Pelikán, 1 / 51cgg.mff.cuni.cz/~pepca/papers/Placement2015sui.pdf · J. Matoušek: Geometric Discrepancy – An Illustrated Guide, Springer, 2000 A. Lagae,](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050219/5f65371bed20d159f10caca3/html5/thumbnails/42.jpg)
SUI 26. 3. 2015 © Josef Pelikán, http://cgg.mff.cuni.cz/ 42 / 51
Inkrementální ukázka
Počet vzorků:
10, 40, 160,640, 2560
K = 10
![Page 43: SUI 26. 3. 2015 © Josef Pelikán, 1 / 51cgg.mff.cuni.cz/~pepca/papers/Placement2015sui.pdf · J. Matoušek: Geometric Discrepancy – An Illustrated Guide, Springer, 2000 A. Lagae,](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050219/5f65371bed20d159f10caca3/html5/thumbnails/43.jpg)
SUI 26. 3. 2015 © Josef Pelikán, http://cgg.mff.cuni.cz/ 43 / 51
Lloydův algoritmus
+ diskrepance+ modrý šum+ výborně pokrývá- pomalý!- pravidelnosti na konci konvergence!
Algoritmus:generátor každé Voronoibuňky se posune do těžiš-tě své buňky .. iterace
![Page 44: SUI 26. 3. 2015 © Josef Pelikán, 1 / 51cgg.mff.cuni.cz/~pepca/papers/Placement2015sui.pdf · J. Matoušek: Geometric Discrepancy – An Illustrated Guide, Springer, 2000 A. Lagae,](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050219/5f65371bed20d159f10caca3/html5/thumbnails/44.jpg)
SUI 26. 3. 2015 © Josef Pelikán, http://cgg.mff.cuni.cz/ 44 / 51
Lloyd – postup výpočtu
1 2
10 30
3
90
![Page 45: SUI 26. 3. 2015 © Josef Pelikán, 1 / 51cgg.mff.cuni.cz/~pepca/papers/Placement2015sui.pdf · J. Matoušek: Geometric Discrepancy – An Illustrated Guide, Springer, 2000 A. Lagae,](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050219/5f65371bed20d159f10caca3/html5/thumbnails/45.jpg)
SUI 26. 3. 2015 © Josef Pelikán, http://cgg.mff.cuni.cz/ 45 / 51
Pravidelnosti
Lloyd (Centroidal Voronoi), N = 1024, iterations = 100
![Page 46: SUI 26. 3. 2015 © Josef Pelikán, 1 / 51cgg.mff.cuni.cz/~pepca/papers/Placement2015sui.pdf · J. Matoušek: Geometric Discrepancy – An Illustrated Guide, Springer, 2000 A. Lagae,](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050219/5f65371bed20d159f10caca3/html5/thumbnails/46.jpg)
SUI 26. 3. 2015 © Josef Pelikán, http://cgg.mff.cuni.cz/ 46 / 51
Kapacitně omezené distribuce
+ diskrepance+ modrý šum+ výborně pokrývá+ lze řídit distribucí- pomalý (ale je známo množství urychlení)
Vychází z Centr. Voronoi:
Aby nevznikaly pravidel-nosti, zavádí se kapacitníomezení
![Page 47: SUI 26. 3. 2015 © Josef Pelikán, 1 / 51cgg.mff.cuni.cz/~pepca/papers/Placement2015sui.pdf · J. Matoušek: Geometric Discrepancy – An Illustrated Guide, Springer, 2000 A. Lagae,](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050219/5f65371bed20d159f10caca3/html5/thumbnails/47.jpg)
SUI 26. 3. 2015 © Josef Pelikán, http://cgg.mff.cuni.cz/ 47 / 51
CCPD
![Page 48: SUI 26. 3. 2015 © Josef Pelikán, 1 / 51cgg.mff.cuni.cz/~pepca/papers/Placement2015sui.pdf · J. Matoušek: Geometric Discrepancy – An Illustrated Guide, Springer, 2000 A. Lagae,](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050219/5f65371bed20d159f10caca3/html5/thumbnails/48.jpg)
SUI 26. 3. 2015 © Josef Pelikán, http://cgg.mff.cuni.cz/ 48 / 51
CCPD – postup výpočtu
0 1
3 4
2
23
![Page 49: SUI 26. 3. 2015 © Josef Pelikán, 1 / 51cgg.mff.cuni.cz/~pepca/papers/Placement2015sui.pdf · J. Matoušek: Geometric Discrepancy – An Illustrated Guide, Springer, 2000 A. Lagae,](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050219/5f65371bed20d159f10caca3/html5/thumbnails/49.jpg)
SUI 26. 3. 2015 © Josef Pelikán, http://cgg.mff.cuni.cz/ 49 / 51
Porovnání metod - diskrepance
průměrování přes 100 pokusů1024 vzorků v sadě, vhodné nastavení parametrů jednotlivých vzorkování (někdy i více variant)Stroudova diskrepance (všechny obdélníky, RMS)průměrná diskrepance (·10-3) a std. odchylka (·10-6)
Lloydův algoritmuspro dobrý výsledek se musí zastavit před koncem konvergence (empiricky: generace 40)pro porovnání i výsledek z pokročilejšího stadia konvergence – cca Centroidal Voronoi (generace 400)
![Page 50: SUI 26. 3. 2015 © Josef Pelikán, 1 / 51cgg.mff.cuni.cz/~pepca/papers/Placement2015sui.pdf · J. Matoušek: Geometric Discrepancy – An Illustrated Guide, Springer, 2000 A. Lagae,](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050219/5f65371bed20d159f10caca3/html5/thumbnails/50.jpg)
SUI 26. 3. 2015 © Josef Pelikán, http://cgg.mff.cuni.cz/ 50 / 51
Porovnání metod - diskrepance
metoda diskrepance SD Pravidelné 7.468 0.0
Hammersley * 0.811 0.0
Larcher-Pillichshammer * 0.811 0.0
Náhodné 8.941 2.5 Jittering 2.593 0.0 Semi-jittering 4.159 0.0 N věží 5.220 0.5 Poissonův disk 3.255 0.2 Mitchell 3.183 0.2
Lloyd (g=40) 6.400 2.5
Lloyd (g=400) 5.661 1.8
CCPD 2.154 0.0
![Page 51: SUI 26. 3. 2015 © Josef Pelikán, 1 / 51cgg.mff.cuni.cz/~pepca/papers/Placement2015sui.pdf · J. Matoušek: Geometric Discrepancy – An Illustrated Guide, Springer, 2000 A. Lagae,](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050219/5f65371bed20d159f10caca3/html5/thumbnails/51.jpg)
SUI 26. 3. 2015 © Josef Pelikán, http://cgg.mff.cuni.cz/ 51 / 51
Literatura
P. Shirley: Discrepancy as a Quality Measure for Sample Distributions, Eurographics 1991
J. Matoušek: Geometric Discrepancy – An Illustrated Guide, Springer, 2000
A. Lagae, P. Dutré: A Comparison of Methods for Generating Poisson Disk Distribution, CGF 08
M. Balzer, T. Schlömer, O. Deussen: Capacity-Constrained Point Distributions: A Variant of Lloyd's Method, SIGGRAPH 2009
D. P. Mitchell: Spectrally optimal sampling for distribution ray tracing, SIGGRAPH 1991
R. Ulichney: Digital Halftoning, MIT Press, 1987