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XXVII Olimpıada de Matematica da UnicampInstituto de Matematica, Estatıstica e Computacao Cientıfica
Universidade Estadual de Campinas
Sugestoes de Questoes para a OMU – Nıvel Alfa
1
XXVII Olimpıada de Matematica da UnicampInstituto de Matematica, Estatıstica e Computacao Cientıfica
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Questao 1 Os comprimentos dos lados de um determinado retangulo sao numeros inteiros
positivos. Determine os comprimentos desses lados de modo que o perımetro e a area desse
retangulo sejam expressos pelo mesmo numero.
Questao 2 Claudina deseja comprar um chapeu que custa 59 reais, entretanto Claudina
tem somente notas de 2 reais e o caixa da loja tem somente notas de 5 reais. Nessas
condicoes, sera possıvel pagar a compra e o caixa devolver o troco?
Questao 3 Jose trabalha em duas empresas diferentes. Na primeira empresa tem um salario
de R$ 1.500, 00 e teve um aumento salarial de 14 %. Na segunda empresa tem um salario
de R$ 2.000, 00 e teve um aumento salarial de 12 %. Determine a porcentagem do aumento
do rendimento mensal do Jose.
Questao 4 Um carpinteiro possui uma prancha de madeira com 80 cm de comprimento e
30 cm de largura. Determine como devera cortar essa peca em duas pecas iguais de modo
que juntas formem uma peca com 120 cm de comprimento e 20 cm largura.
Questao 5 Um revestimento ceramico retangular que possui 20 cm de largura por 30 cm
de comprimento e vendido somente em caixas com 20 pecas cada uma. Determine o
numeros mınimo de caixas que devem ser compradas para cobrir o piso de uma cozinha que
possui 3, 6m de largura por 4, 2m de comprimento, lembrando que devemos comprar
sempre 10 % a mais que o necessario.
Questao 6 Determine dois numeros naturais de modo que a soma deles seja igual a 600
e a diferenca entre eles seja igual a2
3do menor.
Questao 7 Um carpinteiro deseja cortar uma ripa de 1, 20m de comprimento em duas
partes, de maneira que uma parte tenha 10 cm a mais que a outra. Determine as medidas
de cada uma das partes.
Questao 8 Um jardim que possui uma forma quadrada tem em cada um de seus vertices
um poste de iluminacao. Determine como podemos reformar esse jardim mantendo a sua
forma quadrada com o dobro de area do original e sem retirar os postes de iluminacao de
seus lugares. Primeiramente faca uma ilustracao da situacao descrita no problema.
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Questao 9 As pessoas que participaram de uma reuniao apertaram–se as maos. Uma delas
notou que no total foram 120 cumprimentos. Quantas pessoas participaram dessa reuniao?
Questao 10 Um jardim retangular tem em sua volta uma calcada de dois metro de largura.
Se a area desta calcada mede 80m2, determine o perımetro do jardim. Primeiramente faca
uma ilustracao da situacao descrita no problema.
Questao 11 Considere um triangulo em que o menor angulo e a metade do maior angulo,
e o menor angulo mais o maior angulo e duas vezes o terceiro angulo. Determine os angulos
desse triangulo.
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Questao 12 Considere um quadrado com 0, 25m2 de area, do qual retiramos um pequeno
quadrado com lado medindo x cm, como mostra a figura abaixo.
x
Determine quanto mede o lado do quadradinho retirado se a nova figura tem:
(a) um perımetro de 2, 5m.
(b) um perımetro menor do que 2m.
(c) um perımetro que pode estar entre 2m e 3m.
(d) uma area de 0, 16m2.
Questao 13 Uma urna contem 6 bolas identicas, 3 pretas e 3 brancas. Quais sao as
possıveis maneiras de se retirar 4 bolas?
Questao 14 Estime o volume, em centımetros cubicos, de uma lata de um litro azeite.
Questao 15 Ouve-se dos meteorologistas a frase: Hoje choveu 100mm. O que voce entende
por esta frase.
Questao 16 Escreva os numeros 0, 1, 2, 3 e 4 utilizando apenas os algarismos 2, 0, 0 e
1, aparecendo nessa ordem, intercalando convenientemente apenas as operacoes de soma,
subtracao, multiplicacao e divisao.
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Questao 17 Considere um triangulo equilatero ABC de lados `. Mostre que ao dupli-
carmos um dos angulos internos, mantendo dois lados iguais a `, obtemos um triangulo
isosceles. Calcule o terceiro lado do triangulo isosceles.
Questao 18 Quantos pares de arestas paralelas tem um cubo?
Questao 19 Em um triangulo ABC, as medianas que partem dos vertices A e B sao
perpendiculares. Se BC = 8 e AC = 6, determine o comprimento do lado AB.
Questao 20 Considere um ponto P interior ao retangulo ABCD e tal que PA = 3 ,
PB = 4 e PC = 5. Determine o comprimento do segmento PD.
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Questao 21 Na figura abaixo, ABCD e um quadrado de lado L e CEF e um triangulo
equilatero. Determine o comprimento do lado do triangulo equilatero em funcao do compri-
mento do lado do quadrado.
Ar
Br
CrDrE r
Fr
Questao 22 Na figura abaixo, ABCD e um quadrado e CEF e um triangulo equilatero
de area igual a√
3. Determine a area do quadrado.
Ar
Br
CrDrE r
Fr
Questao 23 Claudina, Samuel e Adolfo foram a uma pizzaria comemorar o final do projeto
M3– Matematica Multimıdia. Como Adolfo esqueceu de levar a carteira e o cartao de credito,
Samuel e Claudina pagaram a conta da pizzaria. Claudina gastou R$ 45, 80 e Samuel gastou
R$ 36, 40. Quantos reais Adolfo deve devolver para Claudina ?
Questao 24 Determine tres numeros naturais consecutivos tais que o quadrado do segundo
numeros seja igual ao produto dos outros dois mais um.
Questao 25 Num determinado produto farmaceutico a concentracao do princıpio ativo e de
100 (mg/ml). Se a receita medica prescreve 30ml do remedio tres vezes ao dia, quantas
gramas do princıpio ativo sao ministradas diariamente ao paciente?
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Questao 26 O custo total para a producao de um determinado produto a a soma de um
valor fixo R$ 600, 00 com o custo de producao unitario de R$ 2, 00. Se o preco unitario de
venda desse produto for de R$ 3, 50.
(a) Determine a quantidade mınima que deve ser comercializada para que essa empresa
apresente lucro. Faca uma representacao grafica da situacao descrita no problema.
(b) Determine uma funcao que represente o lucro da empresa em termos da quantidade
comercializada.
Questao 27 Determine dois numeros reais tais que duas vezes o primeiro mais o segundo
e igual a 19, e a soma do segundo mais 21 e igual a tres vezes o primeiro numero.
Questao 28 Na figura abaixo ilustramos em perspectiva o corte de uma peca macica de cobre
que e composta por dois paralelepıpedos, um deles com dimensoes 30 cm × 20 cm × 60 cm
e o outro com dimensoes 20 cm× 40 cm× 60 cm. Sabendo que o cobre tem uma densidade
volumetrica igual a 8, 9 (g/cm3), determine quantas gramas pesa essa peca.
���������������
���������������
���������
���������
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Questao 29 Na figura abaixo temos a ilustracao da area construıda de um apartamento na
escala 1 : 100, isto e, cada centımetro da planta equivale a 100 centımetros na construcao.
Determine quantos metros quadrados tem esse apartamento.
���������
����
�����
10 cm
4 cm
2 cm
3 cm1 cm
3 cm
3 cm
10 cm
.
.................
.....................................................
45o
Questao 30 Determine as dimensoes de um retangulo com 48 cm2 de area e com 28 cm
de perımetro.
x
y
8
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Questao 31 Na figura abaixo temos a ilustracao de uma regiao R inscrita num quadrado
com lado medindo 10 cm.
(a) Determine a area dessa regiao em funcao da variavel x que aparece na ilustracao, e
tambem o maior intervalo que essa variavel pode pertencer.
(b) Determine quantos centımetros quadrados tem a maior regiao possıvel.
(c) Determine quantos centımetros quadrados tem a menor regiao possıvel.
������������
HHHHHH
HHHHHH
ZZZZZZZZZZZZ
R
x
2x 5 cm
2x
Questao 32 Mostre que a area do trapezio e dada por:
A =h
2(L1 + L2 ) ,
onde L1 e o comprimento da base maior, L2 e o comprimento da base menor e h e a
altura do trapezio.
@@@@@@�
�����
h
L1
L2
Questao 33 Um jardim retangular com 8m de comprimento por 4m de largura tem em
sua volta uma calcada de x metros de largura. Se o perımetro do retangulo formado pelo
jardim com a calcada e duas vezes maior que o perımetro do jardim, determine a largura da
calcada. Primeiramente faca uma ilustracao da situacao descrita no problema.
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Questao 34 Determine a area e o perımetro da figura abaixo.
......................
.........................................
....................................................................................................................................................................................................
.....................
....................
.....................
......................
......................
......................
.............
.........
.............
........
......................
......................
......................
.....................
a
6 cm
9 cm
2 cm
Questao 35 Na figura abaixo temos um dispositivo de fita corretiva que e composto por
duas engrenagem. Uma engrenagem menor que faz girar uma engrenagem maior onde a fita
corretiva esta enrolada. A fita corretiva mede 5, 5m.
(a) Sabendo que o diametro da engrenagem menor mede aproximadamente 15mm e o
diametro da engrenagem maior mede aproximadamente 30mm, determine o numero
de voltas necessarias da engrenagem menor para desenrolar toda fita corretiva.
(b) Sabendo que a engrenagem menor possui 19 dentes e que a engrenagem maior possui
38 dentes, determine o numero de voltas necessarias da engrenagem menor para que
a engrenagem maior realize 114 voltas.
Caso seja necessario, utilize a seguinte aproximacao π ≈ 3, 1416.
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Definicao 1 Vamos considerar um quadrado com uma orientacao na enumeracao dos seus
vertices, como ilustra a figura abaixo.
1q
2q
3q4q
e as seguintes transformacoes realizadas sobre esse quadrado:
1. A transformacao X representa uma rotacao do 180o em torno do centro do quadrado
no sentido anti–horario.
2. A transformacao Y representa uma reflexao em torno de um eixo horizonte que passa
pelo centro do quadrado.
3. A transformacao Z representa uma reflexao em torno de um eixo vertical que passa
pelo centro do quadrado.
4. Denotamos por I a transformacao identidade, isto e, a transformacao I deixa o
quadrado na sua posicao original.
Na figura abaixo temos as ilustracoes das transformacoes descritas acima.
X
q3q
4q
1q2q
Y
4q
3q
2q1q
Z
2q
1q
4q3q
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Questao 36 Considerando as transformacoes sobre o quadrado dadas pela Definicao 1 e a
operacao de composicao de transformacoes, denotada por ◦, complete a tabela abaixo.
◦ I X Y Z
I
X
Y
Z
Questao 37 Considere as seguintes matrizes:
I =
[1 0
0 1
], X =
[0 1
1 0
], Y =
[−1 0
0 −1
]e Z =
[0 −1
−1 0
].
Considerando a operacao de multiplicacao de matrizes, que denotamos por ∗, complete a
tabela abaixo.
∗ I X Y Z
I
X
Y
Z
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Definicao 2 Vamos considerar um triangulo equilatero com uma orientacao na enumeracao
dos seus vertices, como ilustra a figura abaixo.
1r
2r
3r
e as seguintes transformacoes realizadas sobre esse triangulo.
1. A transformacao X representa uma rotacao do 120o em torno do centro do triangulo
no sentido anti–horario.
2. A transformacao Y representa uma reflexao em torno de um eixo vertical que passa
pelo ponto medio do lado oposto ao vertice 3 do triangulo original.
3. Denotamos por I a transformacao identidade, isto e, a transformacao I deixa o
triangulo na sua posicao original.
Na figura abaixo temos as ilustracoes das transformacoes descritas acima
X3r
1r
2rr
Y2r
1r
3r
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Questao 38 Considere a transformacao X sobre o triangulo equilatero dada pela Definicao
2 e a operacao de composicao de transformacoes, denotada por ◦, complete a tabela abaixo.
◦ I X X2
I
X
X2
onde X2 = X ◦X representa duas rotacoes de 120o em torno do centro do triangulo no
sentido anti–horario.
Questao 39 Considerando as transformacoes X e Y sobre o triangulo equilatero dadas
pela Definicao 2 e a operacao de composicao de transformacoes, denotada por ◦, complete
a tabela abaixo.
◦ I X X2 Y
I
X
X2
Y
onde X2 = X ◦X representa duas rotacoes de 120o em torno do centro do triangulo no
sentido anti–horario.
Questao 40 Considerando as transformacoes X e Y sobre o triangulo equilatero dadas
pela Definicao 2 e a operacao de composicao de transformacoes, denotada por ◦, faca a
ilustracao de uma nova transformacao definida por X ◦ Y ◦ X2, onde X2 = X ◦ Xrepresenta duas rotacoes de 120o em torno do centro no sentido anti–horario.
rr r
r
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Definicao 3 Vamos considerar um quadrado com uma orientacao na enumeracao dos seus
vertices, como ilustra a figura abaixo.
1q
2q
3q4q
e as seguintes transformacoes realizadas sobre esse quadrado:
1. A transformacao X representa uma rotacao do 90o em torno do centro do quadrado
no sentido anti–horario.
2. A transformacao Y representa uma reflexao em torno de um eixo que passa pelos
vertices 1 e 3 do quadrado original.
3. A transformacao Z representa uma reflexao em torno de um eixo que passa pelos
vertices 2 e 4 do quadrado original.
4. Denotamos por I a transformacao identidade, isto e, a transformacao I deixa o
quadrado na sua posicao original.
Na figura abaixo temos as ilustracoes das transformacoes descritas acima.
X
q4q
1q
2q3q
Y
4q
1q
3q2q
Z
3q
2q
1q4q
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Questao 41 Considerando as transformacoes X , Y e Z sobre o quadrado dadas pela
Definicao 3 e a operacao de composicao de transformacoes, denotada por ◦, faca a ilustracao
das transformacoes definidas abaixo:
(a) Y ◦ Z = Z ◦ Y .
(b) X ◦ Y ◦ Z, e verifique que essa transformacao e igual a X3.
(c) X ◦ Y ◦X, e verifique que essa transformacao e igual a Z .
onde X2 = X ◦X que representa duas rotacoes de 90o e X3 = X ◦X2 representa tres
rotacoes de 90o em torno do centro do quadrado no sentido anti–horario.
Questao 42 Considerando as transformacoes X , Y e Z sobre o quadrado dadas pela
Definicao 3 e a operacao de composicao de transformacoes, denotada por ◦, complete a
tabela abaixo.
◦ I X X2 X3 Y Z
I
X
X2
X3
Y
Z
onde X2 = X ◦X que representa duas rotacoes de 90o e X3 = X ◦X2 representa tres
rotacoes de 90o em torno do centro do quadrado no sentido anti–horario.
Questao 43 Considerando as transformacoes X , Y e Z sobre o quadrado dadas pela
Definicao 3 e a operacao de composicao de transformacoes, denotada por ◦, faca a ilustracao
de uma nova transformacao definida por Y ◦X3 ◦ Z, onde X3 = X ◦X2 representa tres
rotacoes de 90o em torno do centro do quadrado no sentido anti–horario.
q q
qqq
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Questao 44 Determine um numero natural com dois dıgitos cuja soma dos dıgitos seja
igual a dez e que o numero seja igual a dezesseis vez a sua unidade.
Questao 45 Determine tres numeros ımpares consecutivos cuja soma seja igual a 51.
Questao 46 Escreva o numero natural 2011 como a soma de dois numeros naturais de
modo que o maior deles seja igual a tres vezes o menor mais tres.
Questao 47 A sombra de uma palmeira mede 4, 5m no mesmo instante em que uma vara
vertical de 2m colocada proxima ao local tem uma sombra de 90 cm. Qual e a altura da
palmeira?
Questao 48 Uma engrenagem com cinquenta dentes faz girar uma outra engrenagem com
quarenta dentes. Quantas voltas realiza a primeira engrenagem enquanto a segunda realiza
cem voltas?
Questao 49 Um texto formatado com vinte e cinco linhas em cada pagina sao necessarias
300 paginas para a sua impressao. Se forem colocadas vinte linhas (do mesmo comprimento)
em cada pagina, quantas paginas tera o texto impresso?
Questao 50 A soma de dois numeros naturais e 124. Dividindo–se o maior pelo menor o
quociente e 3 e o resto 8. Quais sao os numeros?
Questao 51 Sergio e seu filho Andre possuem juntos uma propriedade tendo direito a partes
iguais. Sergio alem de Andre tem outros dois filhos, Lıvia e Eduardo, e pretende dividir sua
parte igualmente entre os tres filhos. No total, que fracao da propriedade cabera a cada um
dos filhos?
Questao 52 Um pintor utiliza de uma lata de tinta para pintar uma parede quadrada de
lado 2 metros. Quanto gastara de tinta para pintar uma parede retangular de 6 metros de
comprimento e 3 metros de altura.
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Questao 53 Susana sabe que precisa de 3600 ladrilhos de 1 dm2 cada um para ladrilhar
um piso de sua casa. Entretanto, ela gostou de um tipo de ladrilho que tem 1, 2 dm2.
Quantos ladrilhos desse tipo ela precisa comprar?
Questao 54 No perıodo da manha em uma escola a terca parte do total de alunos tem
menos de 12 anos, a metade tem de 12 a 13 anos e 50 alunos tem mais de 13 anos.
Quantos alunos estudam no perıodo da manha na escola?
Questao 55 Encontre dois multiplos consecutivos de 11 que somados seja igual a 319.
Questao 56 Encontre tres multiplos consecutivos de 7 que somados seja igual a 336.
Questao 57 Quais conjuntos de numeros que somados dao 10 e multiplicados dao o maior
valor possıvel?
Questao 58 Quais sao os numeros que divididos por 5 tem resto 4 e divididos por 3 tem
resto 2?
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Questao 59 Em um relogio de ponteiros, em alguns momentos, o ponteiro de minutos fica
exatamente em cima do ponteiro de horas.
(a) Que momentos sao esses?
(b) Expresse seus resultados em fracoes de horas e em horas, minutos e segundos.
Questao 60 Qual e o menor numero que tem exatamente 14 divisores?
Questao 61 Quantos triangulos retangulos existem que tenham os comprimentos dos tres
lados dados em numeros naturais (de unidades de comprimento) e que nenhum lado exceda
100 unidades de comprimento?
Questao 62 Cinco numeros somados dois a dois fornecem os seguintes resultados:
0, 2, 4, 4, 6, 8, 9, 11, 13, 15 .
Quais sao esses cinco numeros?
Questao 63 Um construtor pavimenta o centro de um grande patio com pecas quadradas de
uma ceramica especial. A area pavimentada e quadrada. Ao terminar a pavimentacao, o pro-
prietario gostou da ceramica e solicita que aumente a area pavimentada com esta ceramica.
Para tanto o construtor diz que devem ser compradas mais 100 pecas da ceramica. Quantas
pecas no total a nova area pavimentada vai possuir?
Questao 64 Considere um quadrado fixo de lado 10 cm e outro quadrado similar, mas que
pode se mover em torno do quadrado fixo, conquanto mantenha sempre um lado encostado
ao quadrado fixo e nao possa ser girado. Agora considere um ponto fixo em algum lugar do
quadrado movel. Calcule o comprimento do percurso possıvel que esse ponto pode fazer se o
quadrado movel fizer uma volta completa em torno do quadrado fixo?
Questao 65 Considere numeros naturais de dois dıgitos, 47 por exemplo. Usando as qua-
tro operacoes, explique como obter o numero com os numeros invertidos, 74 no exemplo.
Desenvolva a explicacao em geral, nao apenas no exemplo.
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Questao 66 Um historiador em 2100 descobre uma tabela de resultados de um turno de
campeonato estadual de futebol de 1987. No entanto a tabela tem varias informacoes apa-
gadas pelo tempo. Mesmo assim ele recupera todos os dados sabendo que os quatro times se
enfrentariam um ao outro uma vez nesse turno, cada vitoria dava 3 pontos ao vencedor e
1 ponto para cada time em caso de empate. Complete a tabela abaixo.
Tabela 1: Campeonato Tapajara
Time Jogos Vitorias Empates Derrotas Gols a favor Gols contra Pontos
A 4 4
B 5 7
C 0 4 2
D 0 3 0
Questao 67 Complete a piramide de forma que cada numero acima e resultado dos dois
que o suportam.
(a) Complete a piramide com os numeros que faltam:
(b) Encontre uma relacao entre os pares de numeros x e y.
Questao 68 Uma sugestao de treino para a iniciacao em corridas de rua e alternar uma
caminhada de quatro minutos com uma leve corrida de um minuto e meio, iniciando o treino
com a caminhada. Uma pessoa realiza esse treino durante trinta e sete minutos, quantas fases
de corrida serao feitas?
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Questao 69 Considere um campo de futebol com as dimensoes indicadas na figura abaixo,
com um jardim numa faixa de vinte metros em torno do gramado. Serao utilizados tres tipos
de gramas. Para o gramado sera utilizada a grama sao carlos, para as areas em forma de
triangulo isosceles sera utilizada a grama esmeralda e para completar a faixa do jardim sera
utilizada a grama coreana. Determine quantos metros quadrados serao necessarios de cada
tipo de grama.
PPPPPPPPP����
�����
������
���PPPPPPPPP
JJJJJ
JJJJJ
60m
120m
gramado do campo
Questao 70 20 pontos
Considere que o quadriculado abaixo represente as ruas de uma cidade e que se pode trafegar
nos dois sentidos em todas as ruas. Definimos como sendo uma quadra a distancia entre
uma esquina e uma outra mais proxima.
Eu
Fu
(a) Determine o menor numero de quadras para ir da localidade E ate a localidade F .
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(b) De quantas maneiras diferentes pode ser feito um trajeto com o menor numero possıvel
de quadras entre as localidades E e F?
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Questao 71 Considere que no reticulado abaixo a area de cada quadradinho seja igual a
1m2. Determine a area da regiao sombreada.
@@@@@@
���
PPPPPPPPP
������
AAAAAA
����
��
���������
QQQQQQQQQ
���������
HHHHHH
HHHHHH
Questao 72 Uma pessoa quer saber a altura de uma torre de telefonia celular da qual nao
tem acesso. Para tal, demarca, em linha reta a partir do pe da torre e no mesmo nıvel do
pe da torre, dois pontos distantes 24 metros. Em cada um destes pontos, com um teodolito
(medidor de angulos e distancias) apontado para o topo da torre mede os angulos de 30o e
45o, respectivamente.
(a) Esbocar um desenho da situacao descrita no problema acima.
(b) Calcular a altura da torre. Considere, para efeito de calculo, tan(30o) = 0, 57.
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Questao 73 Na figura abaixo temos um quadrado de lado unitario. Qual e a area do qua-
drado que esta no centro do quadrado de maior area?
�����
���
���
����
���
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AAAAAAAAAA
AAAAAAAAAAA
24