Sudoku

Sudoku (jap. Sdoku, kurz fr Sji wa dokushin ni kagiru, wrtlich so viel wieIsolieren Sie die Zahlen) ist ein Logikrtsel und h-nelt lateinischen Quadraten. In der blichen Version istes das Ziel, ein 99-Gitter mit den Ziern 1 bis 9 sozu fllen, dass jede Zier in jeder Spalte, in jeder Zei-le und in jedem Block (33-Unterquadrat) genau einmalvorkommt. Ausgangspunkt ist ein Gitter, in dem bereitsmehrere Ziern vorgegeben sind. In Zeitungen und Zeit-schriften werden heute regelmig Sudokurtsel verf-fentlicht.Die moderne Form des Sudoku wurde von Howard Garnserfunden. Erstmals im Jahr 1979 unter demNamenNum-ber Place in einer Rtselzeitschrift in den VereinigtenStaaten verentlicht, wurde es erst ab 1984 zunchst inJapan populr, wo es auch seinen heutigen Namen Sudo-ku erhielt.

31 9 5

8 68 64 8 1

26 2 8

4 1 9 57

Sudoku-Rtsel mit 20 Vorgaben ...

1 2 1 2 2 2 1 1 2 25 6 4 5 6 6 4 4 6 4 5 4 5 4

7 9 7 9 7 7 8 7 8 7 8 9 9 7 8 9

2 2 2 3 2 3 2 36 4 4 6 4 4 4

7 7 7 7 8 7 8

1 2 1 2 2 3 3 2 3 1 3 2 35 4 5 4 4 4 5 4

7 9 7 9 7 7 7 7 9 7 9

1 2 1 2 3 3 1 3 3 2 3 2 35 5 5 4 4 5 4 5 4

7 9 7 9 7 9 7 7 9 9 7 9

2 2 3 3 3 3 2 35 5 6 5 5 6 5

7 9 7 9 7 7 7 9 9

1 3 1 1 3 3 1 3 3 3 35 6 5 5 6 5 4 4 5 6 4 5 4 6

7 9 7 9 7 9 7 9 7 7 8 9 9 7 8 9

1 3 1 3 3 3 3 35 4 5 5 5 4

7 9 7 9 7 7 7 9

2 3 2 2 3 3 36

7 7 8 7

1 2 3 1 2 1 2 3 2 3 3 2 3 1 3 35 4 5 4 5 5 6 5 6 4 6 4 6

9 8 9 9 8 8 9 9

31 9 5

8 68 64 8 1

26 2 8

4 1 9 57

...mit allen verbliebenen Kandidaten...

5 3 4 6 7 8 9 1 26 7 2 1 9 5 3 4 81 9 8 3 4 2 5 6 78 5 9 7 6 1 4 2 34 2 6 8 5 3 7 9 17 1 3 9 2 4 8 5 69 6 1 5 3 7 2 8 42 8 7 4 1 9 6 3 53 4 5 2 8 6 1 7 9

...und dessen (eindeutiger) Lsung

1

2 2 VARIANTEN

1 Ursprung

Die frhesten Vorlufer des Sudoku waren dielateinischen Quadrate (carr latin) des Schwei-zer Mathematikers Leonhard Euler (17071783).Anders als Sudokus waren diese jedoch nicht in Blcke(Unterquadrate) unterteilt.Von 1892 bis zum Ausbruch des Ersten Weltkrieges pu-blizierten die franzsischen Zeitungen Le Sicle und LaFrance regelmig Rtselquadrate unter dem Titel: Car-r magique diabolique. Diese frhen Publikationen setz-ten sich auf Dauer nicht durch. Ihnen fehlte ebenfalls dieUnterteilung in Unterblcke.Das heutige Sudoku mit Einbeziehung der Blcke (nebenZeilen und Spalten) wurde erstmals im Jahr 1979 anonymvon dem damals 74-jhrigen Architekten und freischaf-fenden RtselonkelHowardGarns*[1] in der ZeitschriftDell Pencil Puzzles & Word Games (engl. Bleistiftrtsel &Wortspiele) als: Number Place(engl. Zahlenplatz) ver-entlicht.*[2]*[3]Die ersten Sudokus wurden zwar in den Vereinigten Staa-ten publiziert, seinen Durchbruch erlebte das Zahlenrt-sel jedoch erst zwischen 1984 und 1986, als die japa-nische Zeitschrift Nikoli es zunchst unter dem Namen:Sji wa dokushin ni kagiru (dt. etwa: Isolieren Sie dieZahlen; die Zahlen drfen nur einmal vorkommen) re-gelmig abdruckte. Im Jahr 1986 wurde diese sperrigeBezeichnung vom Herausgeber Maki Kaji unter Beibe-haltung der jeweils erstenKanji-Zeichen zu Sudoku(, sdoku) verkrzt und als Marke registriert,*[4] des-halb werden selbst heute noch diese Rtsel in manchenjapanischen Zeitschriften unter dem englischen Begri:Number Placeoder seiner Entsprechung in Katakana() abgedruckt; auch die Bezeich-nung als Nanpure(, u. a. als Spiel fr SonysPlayStation) ist teilweise blich.*[2]Der Neuseelnder Wayne Gould lernte Sudoku auf einerJapanreise kennen und entwickelte innerhalb von sechsJahren eine Software, die neue Sudokus per Knopfdruckerzeugen konnte. Anschlieend bot er seine Rtsel derTimes in London an. Die Tageszeitung druckte die ers-ten Sudoku-Rtsel und trug dadurch zur Verbreitung derRtsel bei.In Deutschland und sterreich fhrte der regelmigeAbdruck in Tageszeitungen und Fernsehzeitschriften seitEnde 2005 zu einer raschen Verbreitung. Das Prinzip desRtsels unterliegt nicht dem Urheberrecht. Somit sind

keine Gebhren an einen Lizenznehmer zu entrichten.Sudokus knnen jederzeit frei erstellt und verentlichtwerden.Seit Ende 2005 sind tragbare elektronische Sudoku-Gerte erhltlich. Des Weiteren gibt es Sudoku als ein-faches Brettspiel und interaktiv online (Internet) sowieoine als Computerspiel. Das erste Computerspiel wur-de bereits im Jahr 1989 von Softdisk unter dem LabelLoadstar/Softdisk Publishing, Inc. fr den C64 mit demNamen Digithunt herausgebracht.

2 Varianten

2.1 Killer-SudokuEine Variante des Sudoku ist das extquotedblKiller-Sudoku extquotedbl. Die meist 81 Felder sind in kleineBereiche gruppiert, welche jeweils mit einer kleinen Zahlversehen sind. Diese gibt die Summe aller Zahlen in die-sem Bereich an. Killersudoku trainiert neben dem logi-schen Denkvermgen somit auch das Kopfrechnen.

2.2 X-Sudoku

X-Sudoku (Musterbeispiel)

X-Sudoku ist eine Variante, bei der (zustzlich zu denBedingungen des normalen Sudokus) auf jeder der bei-den Hauptdiagonalen, die gemeinsam einXergeben,

2.5 Samurai Sudoku 3

jede Zahl nur einmal vorkommen darf. Sudoku- und an-dere Rtsel-Zeitschriften verentlichen regelmig X-Sudokus in verschiedenen Gren. Neben der Standard-gre 99 kommen auch andere Gren vor, etwa 88(mit 24-Blcken). Bei letzterem verfgen die beidenDiagonalen ber kein gemeinsames Schnittfeld.Fr X-Sudokus in der Standardgre 99 ist die Bestim-mung der Mindestanzahl vorbelegter Felder nicht gelst.Man kennt eindeutig lsbare X-Sudokus mit 12 Vorbele-gungen, doch es ist nicht bekannt, ob es auch welche mit11 Vorbelegungen gibt.*[5]

2.3 Hyper Sudoku

Eine weitere Variante ist das Hyper Sudoku (auchFenstersudoku). hnlich wie das X-Sudoku unterschei-det sich auch dieses vom normalen Sudoku durch zustz-liche Einheiten, in denen jede Zahl genau einmal vor-kommen darf. Ein Hyper Sudoku hat vier zustzlicheBlcke, die mit einem Feld Abstand zum Rand und zu-einander ber den neun Blcken des normalen Sudokusliegen. Dadurch ndert sich der Lsungsansatz etwas, daman verstrkt auf die Blcke und weniger auf die Zeilenund Spalten achten muss.

2.4 Fudschijama

Inzwischen gibt es auch Sudokus meist als Fudschija-ma bezeichnet mit 44 Blcken und somit 256 (=1616) Feldern, in die je 16 verschiedene Zahlen, Buch-staben oder Symbole verteilt werden sowie erweiterte Su-dokusmit 43 Blcken mit 144 (also jeweils 1212) Fel-dern und Mini-Sudokusfr Einsteiger mit 23 Blckenmit 36 (also 66) Feldern. Auch andere Blockgren, wiez. B. 55 (625 Felder) oder gar 66 (1296 Felder) sinddenkbar, die gelegentlich auch Jumbo-Sudoku heien.Fr Kinder gibt es 44-Sudokus (auch Mini-Sudoku ge-nannt) mit einer 2er-Kantenlnge pro Block, dabei wer-den also nur 4 Ziern oder Bildsymbole eingetragen.Allgemein kann ein Sudoku aus ab Blcken bestehen,die jeweils ba Felder enthalten. Das Sudoku enthltinsgesamt (ab)(ab) Felder, in die ab verschiedeneSymbole einzutragen sind.

Samurai Sudoku (Musterbeispiel)

2.5 Samurai Sudoku

Eine weitere Variante, die Anfang 2006 aufkam, ist dasSamurai Sudoku oder Gattai 5. Fnf Standard-Sudokus sind teilweise berlappend X-frmig angeord-net eines zentral und an jeweils einer der vier Ecken einweiteres. Dabei teilt sich jedes dieser vier Eck-Sudokusgenau einen der vier ueren Eckblcke des Zentral-Sudokus, dadurch ergeben sich insgesamt 369 Felder ver-teilt auf 41 Blcke. Weitere Variationen setzen acht (Gat-tai 8), dreizehn (Gattai 13) oder mehr Sudokus zusam-men. Diese Varianten werden als Monster-Samurai be-zeichnet.

2.6 Treppen-Sudoku

Eine weitere Variante sind Sudokus mit treppenfrmigerBegrenzung der Blcke (engl. Stairstep Sudoku).

2.7 Nonomino-Sukoku

Bei dieser Variante sind die Blcke des Sudokus unre-gelmig geformt, bestehen aber nach wie vor aus neunFeldern (engl. Jigsaw Sudoku oder Nonomino Sudoku),sogenannten Nonominos.

4 2 VARIANTEN

3 42 6 1

1 9 8 25 6

2 19 8

8 3 4 64 1 9

5 7Ein Nonomino-Sudoku, erschienen im Sunday Telegraph

2.8 Roxdoku

Eine weitere Variante ist dreidimensional und besteht inder Grundform aus 333 Wrfeln als Felder. Hier darfnicht nur in Zeilen und Spalten, sondern auch in den Ebe-nen keine Zahl/Buchstabe doppelt sein. Auerdem ist esauch hier mglich, so wie in der 2D-Version mit 444Wrfeln oder gar noch mehr zu spielen. Roxdokus wer-den als Computerspiel angeboten, da hier die Mglich-keit besteht, das gesamte Spielfeldin alle Richtungenzu drehen.

2.9 Vergleichssudoku

Comparison Sudoku (Musterbeispiel)

Ein Vergleichssudoku (engl. Comparison Sudoku) er-schien in sterreich (derStandard.at / LeichtSinn) erst-

mals am 2. August 2006. In einem Vergleichssudokuwerden keine Zahlen vorgegeben. Stattdessen sind dieGrenzlinien aller Einzelfelder eines jeden Blocks mit ei-ner Ein- bzw. Ausbuchtung zu jedem Nachbarfeld ver-sehen im Sinne von < (kleiner als) oder > (grer als).Alle blichen Sudokuregeln gelten auch hier, nur ms-sen bei dieser Variante alle Zahlen zustzlich der Kleiner-bzw. Grerregel folgen. Der franzsische MathematikerJean-Paul Delahaye beschreibt diese Sudoku-Variante inLes anctres franais du sudoku (als Quelle wird die Zeit-schrift Puzzler von 1999 genannt).*[6]

2.10 Kakuro

Kakuro wird hug als Variante oder gar Nachfolger vonSudoku bezeichnet, ist jedoch faktisch ein eigenstndi-ges Zahlenrtsel. Auch die huge Behauptung, Killer-Sudoku (auch: Sum Sudoku oder Samunamupure) verbin-de Kakuro und Sudoku, ist falsch. Im Gegensatz zum Su-doku spielt bei Kakuro z. B. der Zahlenwert eine Rolle;Sudoku hingegen knnte man anstatt mit Zahlen auchmitFarben oder Bildern spielen.

2.11 Str8ts

Einfaches Str8ts...

Auch bei Str8ts wird ein 99-Gitter so mit den Ziern 1bis 9 gefllt, dass jede Zier in jeder Spalte und in jeder

5Zeile nur einmal vorkommt. Anders als bei Sudoku gibtes bei Str8ts aber auch schwarze Felder wie in Kreuzwort-rtseln. Schwarze Felder knnen leer oder mit einer Vor-gabezier belegt sein. Ausgefllt werden nur die weienFelder. Anstelle der 33-Blcke bilden bei Str8ts zusam-menhngende weie Felder in einer Zeile oder einer Spal-te eine Strae, die eine Folge zusammenhngender Zif-fern, aber in beliebiger Reihenfolge, enthalten mssen.

2.12 Buchstaben-, Silben- und Wrter-Sudoku

Buchstaben-, Silben- und Wrter-Sudokus werden zumLesen- und Schreibenlernen in der Grundschule einge-setzt. Durch das wiederholende Lesen und Schreiben derBuchstaben, Silben oder Wrter prgen sich die Sch-ler Laute, Lautgruppen, Buchstaben, Silben und Wrterein.*[7]

2.13 Rechen-Sudoku

Rechen-Sudokus werden zum Rechnenlernen in derGrundschule eingesetzt. Erst durch das Ausrechnen derPlus-, Minus-, Mal- und Teilaufgaben in den Kstchender 44-, 66 und 99-Sudokus erhlt man die jewei-ligen Sudoku-Startzahlen. Die so errechneten Sudoku-Startzahlen trgt man nach den blichen Sudoku-Regelnin die leeren Kstchen des Sudoku-Feldes ein.*[8]

2.14 Farben-Sudoku

Bei Farben-Sudokus drfen zustzlich zu den bestehen-den Regeln in alle Feldern gleicher Farbe keine Zahlendoppelt vorkommen.

2.15 Rechtschreib-Sudoku

Rechtschreib-Sudokus werden zum Lernen der wichtigs-ten Rechtschreibregeln in der Grundschule eingesetzt.Durch das wiederholende Schreiben derWrter mit einerbesonderen Rechtschreibbesonderheit (z. B. doppelterKonsonant, Auslautverhrtung, , -e/u-eu, Dehnungs-h usw.) in die 44-, 66- und 99-Felder prgen sich dieSchler die Wrter mit den jeweiligen Rechtschreibbe-sonderheiten ein. Um die Sudokus richtig zu lsen, ms-sen die Kinder einen merk-wrdigen Start-Satz immer

wieder lesen, leise vorsprechen und nach den typischenSudoku-Regeln in die Kstchen schreiben (Dehnungs-h- Startsatz eines 44-Sudokus: Ihrer Uhr fehlen Zahlen.).*[9]

3 Regeln und Begrie

Das Standard-Sudoku besteht aus einem Gitterfeld mit33 Blcken, die jeweils in 33 Felder unterteilt sind,insgesamt 81 Felder in 9 Zeilen und 9 Spalten. In einigedieser Felder sind schon zu Beginn Ziern zwischen 1und 9 eingetragen (Vorgaben).Die Aufgabe besteht darin, die leeren Felder des Rtselsso zu fllen, dass in jeder der je neun Zeilen, Spalten undBlcke jede Zier von 1 bis 9 nur einmal auftritt.Die drei Bereiche (Zeile, Spalte, Block) sind gleichrangi-ge Einheiten oder Gruppen.Whrend des Lsungsprozesses stehen in jedem Feldnoch mehrere den Regeln konforme Lsungsziern alsKandidaten imaginr zur Verfgung, die man notierenkann und die man schrittweise eliminiert.Da jede Lsungszahl immer drei Einheiten (Zeile, Spal-te, Block) zugleich angehrt, bewirkt sie in diesen di-rekte Ausschlsse (Sperren). Solche Sperren entstehenzustzlich durch logische Schlsse aus besonderen An-ordnungen von Kandidaten (siehe unter Lsungsmetho-den/globale Paarsuche).Obwohl Sudokus in der Regel mit Ziern arbeiten, sindzur Lsung keinerlei Rechenkenntnisse erforderlich; manknnte ebenso neun andere abstrakte Symbole verwen-den Ziern ermglichen durch ihre feste und bekannteReihenfolge jedoch ein leichteres berprfen der fehlen-den Elemente innerhalb einer Einheit.Ein Sudoku mit Buchstaben heit Mojidoku. Hexadokunannte die Elektronikzeitschrift elektor ihr monatliches44 Sudoku bestehend aus den 16 Hexadezimalziern0-9 und A-F, bzw. Alphadoku eine 55 Sudoku-Variantefr die 25 Buchstaben A-Y oder Anumski eine 66 Va-riante, die mit allen 36 alphanumerischen Werten zu be-fllen war.

4 Lsungsmethoden

6 4 LSUNGSMETHODEN

4.1 Analytisch-systematische Basismetho-den

5 3 76 1 9 5

9 8 68 6 34 8 3 17 2 6

6 2 84 1 9 5

8 71.MethodeSichten extquotedbl: Nimm eine huge Zier, z.B.5. Auf den roten Linien sind weitere5 extquotedbler ver-boten. Die einzige freie Position im oberen rechten Block fr eine5ist somit das grn markierte Feld. 2.MethodeDurchzhlenextquotedbl: Fr das blau markierte Feld in der Mitte scheidenalle bereits vorgegebenen Ziern in der Zeile und Spalte (alleblau eingerahmt) aus, im Block gibt es keine weitere. Somit bleibtnur Kandidat5fr dieses Feld.

Zur Lsung von Sudokus sind systematisches Vorgehen,Analyse und logisches Denken gefordert. Leichte Sudo-kus lassen sich oft im Kopf durch logisches Denken l-sen. Fr anspruchsvollere Rtsel werden u. U. Notizenbentigt, um verschiedene Lsungsmglichkeiten je Feld(Kandidaten) festzuhalten.Die analytisch-systematische Lsung eines Sudokus be-ruht auf mehreren Methoden, die miteinander kom-binierbar und wiederholbar sind: Sichten (Scannen),Durchzhlen, weitere Ausschlussverfahren von Kandida-ten und Probieren (Hypothesenfalsikation).

4.1.1 Sichten von Ziern

Man legt zunchst eine Zier willkrlich fest undbetrachtet anschlieend alle bereits mit dieser Zif-fer besetzten Felder einzeln nacheinander (Vorga-ben und Lsungen). Weitere Felder der jeweiligen

Gruppe (=Einheit wie Zeile, Spalte, Block) schei-den per Regel aus. Wenn dadurch in einer beliebi-gen Gruppe alle Felder bis auf eines ausgeschlossensind, wird die betrachtete Kandidatenzier im ver-bliebenen Feld zur Lsung. (Nur eine Position ver-bleibt fr die betrachtete Zier). Anschlieend fhrtman mit der nchsten Zier gleichartig fort.

4.1.2 Durchzhlen in Einheiten

Methode des nackten Einers: Hierbei legt manzunchst ein Feld fest. Fr dieses werden alle Zif-fern ausgeschlossen, die in derselben Gruppe (Zei-le, Spalte oder Block) bereits stehen.Wenn nur nocheine Zier mglich bleibt, ist sie die Lsung fr die-ses Feld. (Nur eine Zier verbleibt fr die betrachtetePosition). Zweckmigerweise beginnt man in Spal-ten, Zeilen oder Blcken mit den wenigsten leerenFeldern, da es hier am wahrscheinlichsten ist, dassman alle Zahlen bis auf eine ausschlieen kann.

Methode des versteckten Einers: Bei dieser Me-thode betrachtet man eine Gruppe (Zeile, Spalteoder Block) und eine Zier, die noch nicht in die-ser Gruppe eingetragen ist. Da jede Zier in einerGruppe genau einmal vorkommt, muss sie in einesder freien Felder eingetragen werden. Falls es nurnoch ein freies Feld in dieser Gruppe gibt, in die dieZier eingetragen werden kann, ohne dass sie in ei-ner anderen Gruppe mehrfach vorkommt, wird siein dieses Feld eingetragen.*[10]

Trgt man in jedem Feld (vorlug) die Ziern ein, die inden jeweiligen Gruppen (Zeile, Spalte oder Block) nochnicht vorkommen, erkennt man nackte Einer daran, dassin einemFeld nur noch eine Zier steht. Beim verstecktenEiner steht die betreende Zier in einer Gruppe genaueinmal.

4.1.3 Weitere Ausschlussverfahren (Eliminierung)

Hierbei handelt es sich umVerfahren, bei denen die nach-folgenden Regeln angewandt werden, um die Kandida-tenmenge einzelner Felder weiter zu reduzieren. Danachknnen im nchsten Schritt erneut alle Verfahren an-wendbar sein.

Die Twin-Methode(Doppelzwilling):

4.1 Analytisch-systematische Basismethoden 7

--- Die direkte Twin-Methode: Wenn in zwei Fel-dern einer Einheit (Zeile, Spalte, Block) nurnoch dieselben zwei Kandidaten stehen, d.h. wenn die Kandidatenmengen dieser Fel-der keine andere Ziern mehr enthalten, dannmuss in jedem der beiden Felder eine die-ser beiden Ziern stehen; man wei nur nochnicht, welche Zahl in welches Feld gehrt. Kei-ne dieser Ziern kann somit noch in einem an-deren Feld der betroenen Einheiten vorkom-men: Liegt der Doppelzwilling in einer Zeile,sind die beiden Ziern als Kandidaten in denRestfeldern der Zeile zu tilgen und analog giltdies fr die Spalte oder den Block. Mitunterknnen zwei Einheiten zugleich bereinigt wer-den, Zeile und Block (siehe Bild: LogikmusterA Beispiel grn) oder Spalte und Block.

--- Die indirekte (versteckte) Twinmethode:Wieder betrachtet man eine Einheit undsucht zwei Zahlen, die nur noch in zweiFeldern dieser Einheit stehen knnen, d. h.keine dieser Zahlen kommt in einer anderenKandidatenmenge dieser betrachteten Einheitvor. Dann gilt, dass in jedem der beidenFelder eine dieser Zahlen stehen muss, undman kann alle anderen Kandidaten ausdiesen beiden Felder streichen. Durch dieseTilgung wird der indirekte Twin zum direktenTwin und es werden die dort beschriebenenKandidatenlschungen mglich.

Methode des nackten Triples (Drilling): Sie stellt ei-nen analogen Schluss zur direkten Twin-Methodedar. Kommen in drei Feldern einer Einheit aus-schlielich drei Kandidaten vor, so sind diese dreiKandidaten aus anderen Feldern derselben Einheitzu tilgen.

Der Schwertsch(=swordsh): Dieses Konstruktist der direkten Twinmethode sehr verwandt, nurhandelt es sich um paarweise Felder in nicht nur2 sondern in 3 Zeilen/Spalten, bei denen jeweilsgenau ein Endpunkt in der Spalte/Zeile paarweisemit einem Endpunkt eines anderen Paares in derSpalte/Zeile bereinstimmt, so dass die Endpunktedes Ganzen eine geschlossene Ringgur darstellen.Auch in einem solchen Falle ist die betreende Kan-didatenzier in den betroenen 3 Spalten/Zeilenfr die verbliebenen jeweils 7 anderen Felder derSpalte/Zeile ausgeschlossen.

Die X-Wing-Methode: Voraussetzung hierfr ist ei-ne paarige Anordnung nur eines Kandidaten in zweiEinheiten:

--- symmetrischer X-Wing: In zwei Zeilen (oderSpalten) kommt eine Kandidatenzier aus-schlielich in zwei identischen Spalten (bezie-hungsweise Zeilen) vor. Diese 4 Felder ms-sen in mindestens 2 verschiedenen, knnenaber auch in 4 Blcken liegen. Diese vier mg-lichen Treer-Zellen stellen Ecken eines ima-ginren Rechtecks dar beziehungsweise bildenein symmetrisches X-Muster. Die wahren L-sungstreer mssen zwingend an den Endeneiner der beiden mglichen Diagonalen liegen.Folglich muss dieser Kandidat in den verblei-benden 2*7 Feldern der zwei Spalten (bezie-hungsweise Zeilen) und in den restlichen Fel-dern gemeinsamer Blcke eliminiert werden.

--- asymmetrischer X-Wing (TypA): In zwei Zei-len (oder Spalten) kommt eine Kandidaten-zier nur zweimal vor. Jeweils eine aus bei-den Zeilen (Spalten) liegt in derselben Spal-te (Zeile), die beiden verbleibenden liegenin einem gemeinsamen Block. Hierbei ent-steht eine asymmetrische X-Figur. Die En-den der mglichen beiden Diagonalen bildenEckpunkte eines Trapezes. Das bewirkt einenKandidatenausschluss in den verbleibenden 7Feldern der einen gemeinsamen Spalte (bezie-hungsweise Zeile) bzw. der gemeinsamen Bl-cke (siehe Bild: Logikmuster B Beispiel rot undgelb).

--- asymmetrischer X-Wing (Typ B): In zwei Zei-len (oder Spalten) kommt eine Kandidaten-zier nur zweimal vor. Dennoch liege keinepaarige Position in einer Spalte (Zeile) vor,sondern je zwei liegen in denselben Blcken.Auch hierbei entsteht eine X-Figur. Die En-den der mglichen beiden Diagonalen bildenEckpunkte eines Trapezes. Das bewirkt einenKandidatenausschluss in den verbleibenden 7Feldern der gemeinsamen Blcke.

--- asymmetrischer X-Wing (TypC): In zwei Bl-cken kommt eine Kandidatenzier jeweils nur2mal vor. Je ein Kandidat liegt in derselbenZeile (oder Spalte). Hierbei bilden die mgli-chen Treer ebenfalls ein Trapez. Es bewirkteinen Kandidatenausschluss in den beiden ver-

8 4 LSUNGSMETHODEN

bleibenden 7 Feldern der beiden gemeinsa-men Zeilen (Spalten)(siehe Bild: LogikmusterB Beispiel rot und gelb).

Block-Interaktion: Ist ein Zahlenkandidat in zweihorizontal (oder vertikal) angeordneten Blcken ineiner(!) gemeinsamen Zeile (beziehungsweise Spal-te) zweier Blcke ausgeschlossen (ohne in den dreibetrachteten Blcken bereits als Lsung eingetra-gen zu sein), so muss er in diesem verbleibendenBlock in dieser Zeile als Lsung erscheinen, ist da-mit in den zwei verbleibenden Zeilen (beziehungs-weise Spalten) dieses Blocks ausgeschlossen (ver-gleiche Bild: Logikmuster C Beispiel rosa; obwohldort Paare betrachtet wurden, gilt dies auch fr je-den einzelnen Kandidaten).

4.1.4 Globale Paarsuche (GPS)

75% aller verentlichten Sudokus haben einen leichten,mittleren oder schweren Schwierigkeitsgrad. Die GPS-Methode fhrt bei ihnen zur kompletten Ausung desSudokus. 25 % sind sehr schwierig und knnen nur miteiner Abwandlung dieser Methode und alternativen Stra-tegien gelst werden.

Grundsatz Diese spezielle Methode ist als Kreislaufzu verstehen: Zuerst besondere Kandidaten suchen, dannaus diesen Kandidaten Schlussfolgerungen ziehen undanschlieend auf erneute Kandidatensuche gehen. Dieglobale Paarsuche liefert die wertvollsten Kandidaten.Es wird keine gewhnliche Kandidatenliste erstellt, weilsie zumeist unbersichtlich ist und die Sicht auf schnel-le Schlussfolgerungen verschliet. Die folgenden Konse-quenzen beruhen auf einer Sammlung von Logikregeln:

1. Auf eine unkomplizierte Art werden Kandidaten-paare ermittelt.

2. Es folgt die Anwendung von 6 Logikregeln. Da-durch werden gesperrte Einheiten ermittelt.

3. Durch Schritt 2 ist die Menge an Mglichkeiten ein-geschrnkt worden. Bei der erneuten Kandidatensu-che werden weitere Prchen gefunden.

4. Und wieder werden (die gleichen) 6 Logikregeln an-gewendet.

Die Kandidatenmenge reduziert sich schnell und L-sungszahlen werden ermittelt. Die Schritte knnen belie-big wiederholt werden. Dabei kann nach Belieben zwi-schen Ziern und Einheiten sowie zwischen Kandida-tensuche und deren Auswertung gesprungenwerden diese Methode ist nicht starr. Weder die Kandidatensu-che, noch deren Auswertung muss an irgendeiner Stellevollstndig sein. Man kann sich treiben lassenund dasSudoku scheinbar chaotischlsen.Einzige Bedingung ist die Einhaltung der Kausalkette:Kandidatenpaare sperren Einheiten, gesperrte Einheitenreduzieren die Kandidatenmenge.

2 56

7

3 7

59

4

7

56

59

189

Logikmuster A: Kandidatenpaare (wei) sperren andere Einhei-ten. Lsungszahlen: schwarz

Anleitung Schritt 1: Verschiedene Lsungszahlensind im Sudoku vorgegeben. Jede dieser Lsungszahlenbelegt 3 Einheiten (Spalte, Zeile, Block). Da in jeder die-ser 3 Einheiten diese Lsungszahl nur dieses eine Malvorkommen darf, sind alle 3 Einheiten fr weitere Ein-trge derselben Zahl gesperrt.Betrachte alle Zeilen und Spalten, die durch die Lsungs-zahlen gesperrt werden. Diese Zeilen und Spalten kreu-zen Blcke, die diese Lsungszahlen noch nicht enthal-ten. Ermittle alle Kandidaten, die dadurch in diesen Bl-cken entstehen (siehe auch scannen). Trage aber nur

neue Lsungszahlen und

4.1 Analytisch-systematische Basismethoden 9

Kandidatenpaare ein.

Gibt es fr eine Zier 3 oder mehr Kandidaten, lasse sieweg. Die Reihenfolge deiner Suche ist in jedem Fall un-wichtig, ebenso die Vollstndigkeit. Allerdings: Je schwe-rer das Sudoku ist, desto mehr Paare werden bentigt.Schritt 2: Wurden gengend Kandidatenpaare ermittelt,benutze alle logischen Schlsse, die du aus den Paarenziehen kannst. Wenn du etwas nicht verstehst, lasse esweg. Allerdings: Je schwerer das Sudoku ist, desto mehrlogische Schlsse werden bentigt.Logikregel 1 (siehe Logikmuster A Blau): ein einfachesKandidatenpaar sperrt je nach Anordnung 1-2 Einheiten.

im Beispiel sperrt das 7-Paar die blaue Zeile undden blauen Block (also 2 Einheiten)

damit kann in beiden Einheiten keine weitere 7mehr stehen.

Logikregel 2 (siehe Logikmuster A - Grn): Doppelpaarebelegen immer genau 2 Felder einer Einheit. Doppelpaaresperren damit je nach Anordnung 1-2 Einheiten UND 2Felder.

im Beispiel sperrt das 59-Doppelpaar die grneZeile und den grnen Block (also 2 Einheiten)

damit kann in beiden Einheiten an keiner anderenStelle eine 5oder eine 9stehen.

das 59-Doppelpaar belegt 2 Felder - diese 2 Fel-der knnen durch keine andere Zier belegt werden

damit sind nicht nur 2 Einheiten gesperrt, sondernauch diese 2 Felder in jeder dieser Einheiten.

Logikregel 3 (siehe Logikmuster A - Orange): sind in ei-ner Einheit 7 Lsungszahlen vorhanden, werden damitdie fehlenden 2 Ziern festgelegt. Diese fehlenden 2 Zif-fern bilden ein Doppelpaar und sperren je nach Anord-nung 1-2 Einheiten UND 2 Felder.

im Beispiel fehlen in der orangefarbenen Zeile nurdie 5und die 6

es entsteht ein Doppelpaar dieses Doppelpaar belegt genau 2 Felder - in derorangefarbenen Zeile und im orangefarbenen Block

dadurch knnen die 5und die 6im orangefar-benen Block auch nur in genau diesen 2 Feldern vor-kommen

keine andere Zier kann in diesen 2 Feldern stehen

69

312

325

69

15

3

6969

3

Logikmuster B: Kandidatenpaare (wei) sperren andere Einhei-ten.

Logikregel 4 (siehe Logikmuster B Rot): sind Einheitenmit gleichen Kandidaten paarweise angeordnet, werden4-6 Einheiten gesperrt. Im Beispiel ist ein SPALTEN-Paar zu sehen.

beide roten Blcke enthalten jeweils ein 3-Paar beide Paare sind so angeordnet, dass sie gleichzeitigauch in den gleichen Spalten stehen

damit sind nicht nur die roten Blcke, sondern auchdie 2 roten Spalten gesperrt

die Sperrung der roten Zeile ergibt sich aus Logik-regel 1

damit sind in unserem Beispiel 5 Einheiten gesperrt;in diesen Einheiten kann keine weitere 3vorkom-men

Logikregel 5 (siehe Logikmuster B - Gelb): Doppelpaarebelegen immer genau 2 Felder einer Einheit. Sind Ein-heiten mit gleichen Doppelpaaren paarweise angeordnet,werden 4-6 Einheiten gesperrt UND 4 Felder. Im Beispielist ein ZEILEN-Doppel-Paar zu sehen.

10 4 LSUNGSMETHODEN

beide gelben Blcke enthalten ein 69-Doppelpaar beide Doppel-Paare sind so angeordnet, dass siegleichzeitig auch in den gleichen Zeilen stehen

damit sind nicht nur die gelben Blcke, sondern auchdie 2 gelben Zeilen gesperrt

die Sperrung der gelben Spalte ergibt sich aus Lo-gikregel 2

jedes 69-Doppelpaar belegt 2 Felder in jedemgelben Block - diese Felder knnen durch keine an-dere Zier belegt werden

damit sind in unserem Beispiel nicht nur 5 Einheitengesperrt, sondern auch 4 Felder

Logikregel 6 (siehe Logikmuster B - Trkis): Triples kn-nen aus 3 verschrnktenPaaren entstehen. Ein Triplesperrt je nach Anordnung 1-3 Einheiten und 3 Felder.

im Beispiel sperrt das 5-Paar die trkisfarbeneSpalte

das 2-Paar sperrt die trkisfarbene Zeile das Triple belegt genau 3 Felder des trkisfarbenenBlocks

in diesen 3 Feldern kann keine andere Zier stehen

Schritt 3 (usw.): Kandidatenpaare sperren Einheiten.Nachdem du diese Sperren ermittelst hast, beginnst dudie zweite Runde. Wiederhole deine Suche nach Kan-didaten. Durch die gefundenen Sperren wirst du neueKandidatenpaare nden.Dabei wird es hug vorkommen, dass du neue Kandida-tenpaare ndest, die altePaare kreuzen. Dabei ergibtsich mindestens eine Lsungszahl.Beispiel 1 (Logikmuster C Grn):

du siehst ein 7-Paar (gelb), das zuerst ermitteltwurde

spter ermittelst du ein anderes 7-Paar (wei) das weie 7-Paar erzeugt eine Sperre, bei derdie linke Zier des alten (gelben) Paares gestrichenwerden muss

brig bleibt die Lsungszahl; diese hat weitere Kon-sequenzen

34

34

7

36 9

35

6

7

8

59

347

17 36

39

7

34

Logikmuster C: Kandidatenpaare (wei) haben Auswirkungenauf andere Kandidatenpaare (gelb) Lsungszahlen: schwarz

Beispiel 2 (Logikmuster C - Blau):

du siehst oberhalb der blauen Einheit ein 36-Doppelpaar (gelb), das zuerst ermittelt wurde

spter ermittelst du in der blauen Einheit ein 359-Triple (wei) die Konsequenz aus dem Triple ist in Logikregel6beschrieben; damit gibt es in der blauen Einheitnur noch 6 freie Felder (fr die Ziern 124678)

betrachte oberhalb der blauen Einheit die Lsungs-zahl 6

bedingt durch die Sperren aus Doppelpaar, L-sungszahl und Triple kann die 6in der blauen Ein-heit nur an der mit dem weien Punkt markiertenStelle stehen; dieses hat weitere Konsequenzen

Beispiel 3 (Logikmuster C - Rosa):

du siehst 3 Lsungszahlen du ermittelst in 2 Einheiten 34-Doppelpaare, diepaarweise angeordnet sind (Spaltenweise)

die Konsequenz aus den Doppelpaaren ist in Lo-gikregel 5beschrieben

4.3 Mathematische Methoden 11

damit entsteht im oberen rosafarbenen Block einneues Doppelpaar: Die 3und die 4kann nurin den mit den schwarzen Punkten markierten Fel-dern stehen

auerdem entsteht eine weitere Konsequenz: Imoberen rosafarbenen Block kann an der mit demweien Punkt markierten Stelle nur eine 7stehen(betrachte hierzu die anderen Einheiten des Sudo-ku)

4.1.5 Nachtrag

Nur bei sehr schweren Sudokus muss diese Methode er-gnzt werden. Es empehlt sich dann, nicht nur Paare,sondern auch Dreier zu suchen. Sollte dies auch nicht aus-reichen oder die Kandidatenliste zu unbersichtlich wer-den, mssen bekannte andere Lsungsstrategien zu Hilfegenommen werden.

4.2 Falsikation einer Hypothese

Die Hypothese (oder: was-wre-wenn?, Ariadnes Faden,Backtracking) sollte erst dann angewendet werden, wennalle oben dargestellten Methoden nicht mehr weiterhel-fen. Aber auch hier ist es hilfreich, nicht wahllos vorzu-gehen. Wenn man sich nicht die Mhe machen will, dieHypothese auf einem getrennten Blatt auszutesten, kannman die bisherigen, eindeutigen Treer mit Kugelschrei-ber und die hypothetischen Ziern mit Bleistift eintra-gen, um die Ausgangssituation im Fall einer falschen Hy-pothese wiedernden zu knnen. Fr das Ausprobierenscheinen sich vor allem Zellen zu eignen, die nur zweiKandidaten aufweisen, weil eine fehlerhafte Hypotheseautomatisch die Alternative als richtig besttigt (soferndas Sudoku korrekt vorgegeben wurde). Mehrstuge Hy-pothesenfolgen, die dadurch entstehen, dass beide Alter-nativen fehlerfrei erscheinen und man eine weitere Hy-pothese fr ein weiteres Feld aufstellen muss, sind nurschwer zu lsen und zudemmit der Unsicherheit belastet,dass sich erst im weiteren herausstellen wird, dass bereitsim ersten Schritt eine falsche Variante gewhlt wurde.Deshalb empehlt es sich, zum Ausgang zurckzukeh-ren und bereits fr die erste Alternativprfung ein vlliganderes Feld heranzuziehen.

4.3 Mathematische Methoden

4.3.1 Algorithmisch

Eine Methode zum Lsen eines Sudoku ist die Behand-lung als Schnittmengenproblem. Aus den vorgegebenenZiern lsst sich fr jedes Feld eine Menge von Kandi-datenziern bestimmen, die fr ein Feld die Schnittmen-ge aus je drei Mengen ist: Diese sind die Komplementeder jeweils in derselben Zeile, Spalte und im selben Qua-drat enthaltenen Ziern zur Menge aller Ziern (oh-ne die Null). In einfachen Fllen hat das Rtsel die Ei-genschaft, dass mindestens ein Feld eine einelementigeKandidatenmenge besitzt, oder dass ein Element aus ei-ner Kandidatenmenge eines Feldes nicht in den Kandi-datenmengen aller anderen Felder derselben Spalte oderZeile oder desselben Quadrats vorkommt. Dieser Kandi-dat kann dann fest in das jeweilige Feld eingesetzt wer-den und die betreende Zier aus den Kandidatenmen-gen der brigen Felder in derselben Zeile, Spalte und imselben Quadrat entfernt werden. Dieses Verfahren wirddann solange wiederholt, bis alle Zellen aufgefllt sind.

M = f1 9g Ziern Z1 Z9 Mengen der in je einer Zeile enthaltenenZiern

S1 S9 Mengen der in je einer Spalte enthaltenenZiern

Q1;1 Q3;3 Mengen der je in einem Teilquadratenthaltenen Ziern

Die Kandidatenmenge Ki;j eines Feldes Fi;j berechnetsich dann in jedem Iterationsschritt wie folgt:

Ki;j = (M nZi) \ (M n Sj) \ (M nQd i3 e;d j3 e)

Bei den meisten eindeutig lsbaren Rtseln, insbesonde-re den schwierigen, fhrt diese Methode allein nicht zurLsung. In diesen Fllen mssen z. B. Paare oder Tri-pel von Kandidaten gemeinsam betrachtet werden, umdie Kandidatenmengen in einem ersten Schritt zu ver-kleinern. Hierbei werden logische Verknpfungen zwi-schen mehreren Feldern gesucht, von denen klar ist, dassbestimmte Zahlen in den Feldern dieser Gruppe stehen,wodurch diese Zahlen fr die nicht in der Gruppe bend-liche als Lsungen ausscheiden (Beispiel: {1, 2} {2, 3}{3, 1}; wenn diese Kandidatenmengen z. B. in einer Rei-he stehen, ist klar, dass diese Gruppe die Zahlen 1, 2 und

12 5 LSUNGSHILFEN: KANDIDATEN-NOTATION

3 enthaltenmuss, wodurch sie aus allen anderen Kandida-tenmengen in dieser Reihe ausscheiden). Alternativ kann,falls in einem Iterationsschritt keine einelementige Kan-didatenmenge existiert, aus einer der (kleinsten) Kan-didatenmengen eine Zahl ausgewhlt werden, um eineder mehreren mglichen Lsungen zu erhalten (Versuch-und-Irrtum-Methode). In Lsungsprogrammen wird die-se Methode wohl am hugsten zu nden sein, da es inden meisten Fllen am Ende konomischer ist, die Brute-Force-Methode einzusetzen, als alle Felder auf Unter-gruppen zu berprfen.

4.3.2 Backtracking-Methode

Auf dem Computer kann man ein Sudoku mit derBacktracking-Methode lsen. Beginnend mit dem ers-ten freien Feld, probiert man systematisch, mit der Einsbeginnend, ob man zu einer Lsung kommt. Beim ers-ten Widerspruch geht man zurck (engl. backtrack).Dieser Lsungsweg lsst sich sehr elegant rekursiv for-mulieren, und man ist sicher, dass alle Kombinations-mglichkeiten abgesucht werden. Da es sich um tausen-de Wege handeln kann, ist dieser Algorithmus nur frComputerprogramme geeignet. Der Lsungsalgorithmusist allerdings nicht der Schnellste, da er keinerlei analy-tische Vorinformationen verwendet und nur durch Aus-probieren vorgeht. Dennoch erhlt man auf gewhnli-chen PCs auch fr schwierige 9x9-Sudokus prompt dieLsung. Bei greren Sudokus stt die Backtracking-Methode jedoch schnell an ihre Grenzen.Modiziert man diese Methode dahingehend, dass mannicht versucht, das erste freie Feld zu belegen, sondernein Feld mit der kleinsten Anzahl von Kandidaten (vgl.Lsungsmethode Algorithmisch), dann reduziert sichder Aufwand in der Praxis auf ungefhr lineare Laufzeit,da in der Praxis (auch bei schweren Sudokus) fast immerein Feld existiert, fr das nur eine Zahl in Frage kommt.

5 Lsungshilfen: Kandidaten-Notation

5.1 Die Uhrzeigerstrichmethode

Da die Sudokus in Zeitungen und Magazinen hug sehrklein abgedruckt sind, ist die Uhrzeigerstrichmethodehilfreich, die Kandidaten fr ein Feld festzuhalten. Man

Uhrzeigerstrichmethode: Eine Darstellung fr mgliche Lsun-gen

macht im Feld einen kleinen Strich an der Stelle des Uhr-zeigers(siehe Bild). Die Fnf stellt eine Ausnahme dar;sie wird als kleiner Punkt in derMitte dargestellt. So kannman sich mehrere Kandidaten fr ein Feld merken.Wennman keinen Radiergummi zur Hand hat, kann man ei-nen Kandidatenstrich einfach durchstreichen, wenn wei-tere berlegungen diesen ausschlieen. Diese Methodeist leichter lesbar als das Schreiben von kleinen Zahlen.

5.2 Punkte fr Kandidaten notieren

Man kann sehr gut kleine Punkte entsprechend einer Te-lefontastatur setzen und damit mgliche Kandidaten frein Feld notieren. Beginnend fr die Eins in der linkenoberen Ecke. Oben in der Mitte kommt der Punkt fr ei-ne Zwei, in der rechten oberen Ecke der Punkt fr eineDrei, am linken Rand in der Mitte liegt der Punkt fr ei-ne Vier und so weiter bis zum Punkt fr eine Neun, derdann in der rechten unteren Ecke steht.

5.3 Unsichere Zahlen markieren

Zahlen trage ich nur mit Bleistift ein, um sie notfalls wie-der wegradieren zu knnen. Eine unsichere Zahl mar-kiere ich mit einem Sternchen, alle nachfolgenden dannmit einem Punkt. Taucht spter ein Fehler auf, kann

6.1 Algorithmus 13

ich alle markierten Zahlen wegradieren und an derSternchen-Stelle neu ansetzen, empehlt Kerstin Wgeaus Spandau, die erste Sudoku-Meisterin, in der BZ vom29. November 2005.Eine darber hinausgehende Variante ermglicht das hin-tereinandergeschaltete Abarbeiten von Hypothesen mitrekursivem Backtracking: Die erste Auswahl einer un-sicheren Zier wird z. B. mit einem Dreieck umrandet,alle nachfolgenden erhalten ein kleines Dreieck neben derZier. Wird das Rtsel auf diese Art noch nicht vollstn-dig gelst und bleibt erneut nur die Wahl einer wei-teren Hypothese, wird die neue unsichere Zier z. B.mit einem Kreis umrandet; alle nachfolgenden erhalteneinen kleinen Kreis neben der Zier. Luft man in ei-ne Sackgasse, werden nun nur die zuletzt eingetragenenund mit demselben Symbol versehenen Ziern ausradiertund die mit dem Kreis umrandete Zier durch eine an-dere Kandidatenzier ersetzt. Sind auf diese Weise alleKandidaten fr die mit der Kreisumrandung markiertenZellen abgearbeitet, ohne dass eine Lsung erzielt wer-den konnte, werden nun alle mit einem Dreieck markier-ten Ziern ausradiert und die mit dem Dreieck umran-dete Zier durch einen anderen Kandidaten ersetzt. Mitweiteren Symbolen lassen sich quasi beliebig viele Hypo-thesen hintereinanderschalten. Einziger Nachteil: Papierhlt vielfachem Radieren nicht lange stand!

5.4 Mgliche Ziern mit Farbe eintragen

Man verwendet fr jede mgliche Zier, die in einemFeld stehen kann, eine andere Farbe. Dadurch ist auf ei-nen Blick ersichtlich, ob in einer Spalte, einer Zeile oderin einem 3x3 Block eine Farbe und somit eine Zier nurnoch einmal vorkommt. Auch Zweier- und Dreierkom-binationen sind dadurch besser auszumachen. Wenn freine Zier immer die gleiche Farbe verwendet wird, ge-ngt es nach einiger bung, nur noch Farbpunkte plat-ziert zu setzen.

6 Erstellung neuer SudokusSchwieriger als das Lsen eines Sudoku ist dessen Erstel-lung.

Eindeutige Lsung: Es darf nur eine korrekte L-sung existieren.

Gewnschter Schwierigkeitsgrad: Die Anzahl dervorgegebenen Ziern bestimmt nicht allein denSchwierigkeitsgrad. Die Anordnung spielt eine ent-scheidende Rolle.

6.1 Algorithmus1. Belegung des gelsten Sudokus erstellen

1. Weg: Ein leeres Sudokufeld wird Zelle frZelle durch Auswrfeln(Zufallsgenerator)mit Ziern befllt. Sobald es zu einem Re-gelversto kommt, muss per Backtracking-Methode eine andere Belegung probiert wer-den. Dies ist weniger trivial als beim Lsen desSudokus: Da eine mglichst zuflligeBe-legung des Sudokufeldes bentigt wird, kannman nicht einfach alle Ziern der Reihe nachdurchprobieren. Es hindert aber nicht, alleZiern, sobald sie einmal ausgewrfeltwur-den, als knftig fr die jeweilige Zelle ge-sperrt abzuhaken(in einer Tabelle zu mar-kieren)

2. Weg: Neun Einsen ohne Regelverstoim Puzzlefeld verteilen. Dann neun Zwei-er, neun Dreier, usw. verteilen. Auch hiermuss ein Backtracking-Algorithmus ange-wandt werden.

3. Weg: Man fllt eine Zeile oder eine Spal-te in beliebiger Reihenfolge mit den erlaub-ten Ziern, verschiebt dann mit jeder weite-ren Zeile/Spalte die Ziernfolge, bis man amSchluss alle mglichen Varianten untereinan-der/nebeneinander in einer n n-Matrix vor-liegen hat. Dies alleine wre ein uerst tri-vial zu lsendes Rtsel, da sich die Ziern-folgen wiederholen; deswegen sollte man bererlaubte Transformationen diese Matrix nunschrittweise so verndern, dass die Ursprungs-ziernfolge sowie die ausgefhrten Transfor-mationen nicht mehr nachvollziehbar sind. Er-laubte Transformationen sind z. B. das Spie-geln (vertikal, horizontal, schrg), das Rotie-ren, das Vertauschen ganzer Zeilen oder Spal-ten, sofern sie innerhalb eines Mini-Quadratesbleiben, das Vertauschen ganzer Zeilen undSpalten vonMiniquadraten, oder das komplet-te Austauschen zweier Ziern. Etliche dieserTransformationen hintereinander verwischen

14 7 DIE MATHEMATIK HINTER SUDOKU

(fast) alle Hinweise auf die ursprngliche Zif-fernfolge. Von den hier vorgestellten Erstel-lungsmethoden ist diese die am wenigsten auf-wendige aber rechenintensivste.

4. Weg: Aus einem vorhanden Sudoku durchTransformation ein neuesSudoku erstel-len. Mgliche Transformationen sind etwa dasDrehen und Spiegeln des Brettes, die Vertau-schung von Zeilen innerhalb eines Blocks odervon ganzen Blcken, sowie das elementweiseAnwenden von Permutationen.

5. Weg: Man fllt drei voneinander unab-hngige Blcke eines leeren Sudokufeldesin zuflliger Weise mit den Ziern 1 bis 9.Damit hat man bereits 27 Vorgabewerte dieohne Prfung eines Regelverstoes gesetztwerden konnten. Unabhngige Blcke sindzum Beispiel die diagonal liegenden Blcke1, 5 und 9 oder 3, 5 und 7, aber auch dieBlcke 2, 4 und 9 oder 1, 6 und 8 sind vonein-ander unabhngig. Nach dem Aullen derunabhngigen Blcke werden die restlichenfreien Zellen per Backtracking-Methode inzuflliger Folge gelst.

2. Zur Lsung passendes Sudoku-Rtsel erzeugen

Wiederum durch Auswrfelnwerden jenach Schwierigkeitsgrad eine Anzahl Ziernwieder entfernt (typischerweise so dass zwi-schen 22 und 36 Ziern verbleiben). Ohneweitere Kontrolle kann es hierbei aber passie-ren, dass das Rtsel trivial (langweilig) odernicht mehr eindeutig lsbar wird.

Dabei knnen auch andere Varianten zumZug kommen. Wie das Beispiel einer Free-ware (RedMill Sudoku Resolver) aufzeigt,wird fr das Generieren von Sudokus ei-ne geringe Anzahl Zufallszahlen zufllig, je-doch unter Einhaltung der Regeln im Spiel-feld verteilt und das Sudoku fertig gerech-net. Bei der Berechnung wird zuerst solangenach Feldern mit nur einer Mglichkeit ge-sucht, bis keine solche Felder mehr vorhan-den sind. Wird das Sudoku dadurch nicht auf-gelst, wird eine Kopie (Instanz) des Spielserstellt um die Backtracking-Methode zu er-mglichen. Durch das Backtracking knnen

Annahmen getestet werden. Mit Wechselwir-kung der Annahmen und der Absuche der Fel-der mit nur einerMglichkeit wird das Sudokufertig gerechnet. Geht das Sudoku nicht auf,wird die vorherige Instanz des Spiels verwen-det und eine andere Annahme getestet. Gehtdas Sudoku auf keinen Fall auf, wird die ers-te Instanz verwendet und darin eine der Zu-fallszahlen gelscht und das Ganze wieder-holt. Am Ende wird per Zufallszahl, je nachSchwierigkeitsgrad, Zahlen im fertig gerech-neten Sudoku gelscht und angezeigt, wie diesoben beschrieben ist. Das im Hintergrund fer-tig gerechnete Sudoku wird dabei als Schat-tenkopie fr Spielhilfen verwendet.

7 Die Mathematik hinter Sudoku

7.1 Die Anzahl der Sudokus

Abbildung 3a. Sudoku aus Abb. 1 mit Farben anstatt Ziern

Um alle denkbaren, vollstndig ausgefllten 99Standard-Sudokus zu erzeugen, knnte man wie folgtvorgehen: man beginnt mit einem leeren 99-Gitterund setzt nun zeilenweise von links nach rechts dieZiern ein. Fr das erste Feld in der ersten Zeile hatman oenbar 9 Mglichkeiten, fr das zweite 8, dasdritte 7 usw. Insgesamt ergeben sich fr die erste Zeile

7.2 Eindeutige Lsbarkeit 15

9! (d.h. 9 Fakultt) Mglichkeiten. Wenn man in denverbleibenden 8 Zeilen ebenso vorgeht, erzeugt manmithin (9!)9 1,1 1050 verschiedene 99-Gitter. Daallerdings unbercksichtigt blieb, dass jede Zier auchin jeder Spalte und in jedem Block nur genau einmalauftreten darf, hat man bei einem solchen Vorgehen(sehr) viele 99-Gitter erzeugt, die keine vollstndigausgefllten 99 Standard-Sudokus darstellen. BertramFelgenhauer und Frazer Jarvis konnten 2005 zeigen,dass es (nur) 6.670.903.752.021.072.936.960 (ca. 6,7Trilliarden oder 6,7 1021) verschiedene (vollstndigausgefllte) 99 Standard-Sudokus gibt.*[11]Allerdings unterscheiden diese sich untereinander nichtunbedingt wesentlich: wenn man beispielsweise in einemvollstndig ausgefllten Sudoku die Einsen und Zweienvertauscht, so bleibt das Sudoku letztlich dasselbe. Tat-schlich ist es unerheblich, ob man ein Sudoku-Feld mitZiern, Symbolen oder Farben ausfllt. Abbildung 3a et-wa gibt das Sudoku aus Abbildung 1 wieder - nur mitFarben anstatt Ziern. Ein Sudoku lsen heit in diesemSinne, die 99 Felder des Spielfelds in 9 (Farb-)mengenvon jeweils 9 Feldern zu partitionieren, so dass fr die 9Felder in einer (Farb-)menge gilt: keine zwei sind in einund derselben Reihe, Spalte oder Block enthalten. Auchwenn man beispielsweise die erste und die zweite Zei-le vertauscht, vergleiche Abbildung 3b, erhlt man eingrundstzlich identisches Sudoku: um etwa das ursprng-liche zu lsen, knnte man genauso gut dasjenige mit denvertauschten Zeilen lsen und am Ende die beiden Zei-len wieder zurcktauschen. Entsprechend kann man be-stimmte Spalten vertauschen oder die drei oberen Blckemit den drei unteren vertauschen oder das Spielfeld dre-hen oder spiegeln, vergleiche Abbildungen 3cde.

Abbildung 3b. Sudoku aus Abb. 1 mit Farben anstattZiern und vertauschten ersten beiden Zeilen

Abbildung 3c. Sudoku aus Abb. 1 mit Farben anstattZiern und vertauschter zweiter und dritter Block-spalte

Abbildung 3d. Sudoku aus Abb. 1 mit Farben anstattZiern und 90 Drehung im Uhrzeigersinn

Abbildung 3e. Sudoku aus Abb. 1 mit Farben anstattZiern und horizontal gespiegelt.

Zhlt man nur die Sudokus ohne Vertauschungder Ziern (also z.B. nur die mit der geordnetenZahlenreihe in der ersten Zeile), so ergeben sich

18.383.222.420.692.992 (ca. 18,4 Billiarden) Sudokus.Zhlt man nur die Sudokus, die zustzlich auch unterDrehungen oder Spiegelungen verschieden sind, soverbleiben nur noch 5.472.730.538 (5,5 Milliarden)verschiedene Sudokus (Ed Russell und Frazer Jarvis2006).*[12]

7.2 Eindeutige Lsbarkeit

1

4

2

5 4 7

8 31 9

3 4 25 1

8 6

Abbildung 4. Standardsudoku mit nur 17 vorbelegten Feldern

Wenn ein Sudoku-Rtsel nur ein einziges Feld vorgibt,so gibt es oenbar so viele verschiedene Lsungsmg-lichkeiten (Vervollstndigungen), wie es vollstndig aus-gefllte Sudokus gibt, geteilt durch 9. Die in Medienals Rtsel verentlichten Sudoku-Rtsel haben hinge-gen die Eigenschaft, eindeutig lsbar zu sein:

Ein Sudoku-Rtsel, das nur eine einzige Lsung(Vervollstndigung) besitzt, heit eindeutig lsbar.

Die Eigenschaft, eindeutig lsbar zu sein, sichert hierbei,dass fr jede freie Zelle nur eine einzige Zier mglichist.Je weniger Felder in einem Sudoku-Rtsel vorbelegt sind,desto schwerer ist es in der Regel zu lsen. Abbildung4 zeigt ein eindeutig lsbares Sudoku mit nur 17 vorbe-legten Feldern.*[13] Die Vermutung, dass 17 die mini-male Anzahl an vorbelegten Feldern ist, fr die ein ein-deutig lsbares Rtsel existiert,*[3]*[14] bewies 2011 ein

16 7 DIE MATHEMATIK HINTER SUDOKU

Forschungsteam um Gary McGuire (University CollegeDublin) mit Hilfe von Computern. Die von ihm program-mierte erschpfende Suche bentigte sieben MillionenStunden Rechenzeit parallel auf Hunderten von Prozesso-ren.*[15]*[16] Dieses Forschungsergebnis ist allerdingsnoch nicht in einer Zeitschrift publiziert und wurde nochnicht von anderen Forschern besttigt. Auch ein mathe-matischer Beweis (ohne Verwendung eines Computers),der mglicherweise darber Aufschluss geben knnte,warum die Grenze bei 17 und nicht z.B. bei 16 liegt, stehtnoch aus.

Abbildung 5. Ein vollstndig ausgeflltes Sudoku mit zwei Fel-dern einer Farbe (pink) und zwei Feldern einer anderen Farbe(blau) angeordnet in den Ecken eines Rechtecks

Umgekehrt gibt es Sudoku-Rtsel mit 77 belegten Fel-dern (also nur vier freien Feldern), die (trotzdem) nichteindeutig lsbar sind.Wenn beispielsweise in einem (voll-stndig ausgefllten) Sudoku wie in Abbildung 5 diepinkfarbenen Felder zu einer Farbe (bzw. einer Zier)gehren und die blauen zu einer anderen, dann entstehtdurch Vertauschen der Farben Pink und Blau (nur) in die-sen vier Feldern ein anderes (vollstndig ausgeflltes) Su-doku. Das Sudoku-Rtsel, in dem alle Felder bis auf diesevier vorbelegt sind, ist mithin nicht eindeutig lsbar.*[3]Oensichtlich enthlt die Vorbelegung fr ein eindeu-tig lsbares Sudoku-Rtsel mindestens acht verschiede-ne Farben bzw. Ziern: denn verwendet eine Vorbele-gung nur (hchstens) sieben Ziern, so kann man in einerzugehrigen Lsung (einem vollstndig ausgefllten Su-

doku) die beiden brigen Ziern vertauschen (Herzbergund Murty 2007).*[13]

7.3 Sudoku: ein Logik- oder ein Enumera-tionsproblem?

Die in Medien regelmig als Rtsel verentlichten Su-dokus sind fast immer eindeutig lsbar, weil man biszum Schluss Schritt fr Schritt ohne raten zu mssen mitHilfe logischer Schlussfolgerungen aus bereits belegtenFeldern einem freien Feld endgltig eine Zier zuwei-sen kann, so dass schlielich das vervollstndigte 99-Gitter die Lsung des Sudoku-Rtsels darstellt. Solcheausschlielich logisch zu lsenden Sudoku-Rtsel sindimmer eindeutig lsbar.Bei solchen Sudoku-Rtseln ist es nicht notwendig, (ggf.sogar mehrfach hintereinander) Fallunterscheidungengem dem Prinzip von Versuch und Irrtum vor-zunehmen und systematisch die einzelnen Flle zuberprfen (Backtracking). Aber die Lsung vonSudokus, die diese Eigenschaften eindeutig lsbarbeziehungsweise ausschlielich logisch lsbar nichttragen, kann schnell sehr aufwendig und mhseligwerden. Hier bietet sich der Einsatz automatischer Ver-fahren wie Graph-Frbungsalgorithmen, Backtrackingoder Constraint-Satisfaction-Lser, die Constraint-Propagation-Verfahren nutzen, an.Folglich ist das verallgemeinerte Sudoku-Problem ver-mutlich nicht ezient lsbar:

Das verallgemeinerte Sudoku-Problem n-ter Ord-nung, n ist eine natrliche Zahl, besteht darin, aufeinem NN-Gitter, N=n2, die Ziern 1 bis N so zuverteilen, dass in jeder Zeile und Spalte sowie in je-dem nn-Block jede der Ziern 1 bis N genau ein-mal auftritt, wobei einige der N2 Felder vorbelegtsein knnen.

Das bliche 99-Standard-Sudoku hat in diesem Sin-ne also die Ordnung 3. Die oben genannten Enumerati-onsverfahren Graph-Frbungsalgorithmen, Backtrackingoder Constraint-Satisfaction-Lser knnen selbstver-stndlich auch verallgemeinerte Sudoku-Probleme lsen,doch wchst die Anzahl der im schlechtesten Fall be-ntigten Rechenschritte (die sogenannte Laufzeit dieserAlgorithmen) exponentiell mit N. Takayuki Yato andTakahiro Seta von der Universitt von Tokyo bewiesen

8.2 Deutsche Meisterschaft 17

2002, dass das verallgemeinerte Sudoku-Problem NP-vollstndig ist, d.h. dass es keinen polynomiellen Algo-rithmus fr das verallgemeinerte Sudoku-Problem gibt(auer es ist P=NP).*[17]

8 Wettbewerbe

8.1 Weltmeisterschaft

Vom 10. bis 12. Mrz 2006 wurden in Lucca (Ita-lien) die ersten oziellen Sudoku-Weltmeisterschaftendurchgefhrt. Initiator war der Mailnder Verlag Non-zero, Teilnehmer waren 85 Kandidaten aus 22 Natio-nen. Weltmeisterin wurde die tschechische Wirtschafts-wissenschaftlerin Jana Tylova, den zweiten und drittenPlatz belegten mit dem Chemiestudenten Thomas Snyderund dem Softwareentwickler Wei-Hwa Huang zwei US-Amerikaner. Auch vier Deutsche nahmen an der Meis-terschaft teil: die drei Siegerinnen und Sieger der deut-schen Sudoku-Meisterschaft 2005 sowie Kopfrechnen-Weltmeister Gert Mittring, der von RTL ins Rennengeschickt wurde, aber als Drittletzter sehr schlecht ab-schnitt.Die Weltmeisterschaft 2007 fand vom 28. Mrz bis zum1. April in Prag statt, Weltmeister wurde der Chemiestu-dent Thomas Snyder. Die deutschen Teilnehmer wurdenauf der deutschen Meisterschaft 2006 in Hamburg ermit-telt.Die Weltmeisterschaft 2008 fand vom 14. bis 17. Aprilin Goa (Indien) statt. Im Wettbewerb konnte sich wie-derum Thomas Snyder durchsetzen. Die deutsche Mann-schaft, bestehend aus Michael Ley, Michael Smid undKerstin Wge, belegte im Teamwettbewerb den drittenPlatz, hinter der Tschechischen Republik und Japan.Die 4. Sudoku Weltmeisterschaft fand vom 24. bis 27.April 2009 in ilina (Slowakei) statt. Weltmeister wurdeJan Mrozowski (Polen), Teamweltmeister die Slowakei.Bester deutscher Teilnehmer war Michael Ley (Platz 26bei 128 Teilnehmern), das deutsche Team belegte Platz9.*[18]Die 5. Sudoku Weltmeisterschaft fand vom 29. April bis2. Mai 2010 in Philadelphia (USA) statt. Jan Mrosow-ski (Polen) verteidigte seinen Titel, Team Deutschland Amit Michael Smit, Michael Ley und Florian Kirch wurdeTeamweltmeister. Florian Kirch belegte den 4. Platz inder Einzelwertung.*[19]

Die 6. Sudoku Weltmeisterschaft fand vom 6. bis 19.November 2011 in Eger (Ungarn) statt. Thomas Snyder(USA) holte sich den Titel zurck, Team DeutschlandA verteidigte den Team-Titel. Florian Kirch wurde mitPlatz 5 bester deutscher Teilnehmer.*[20]Die 7. Sudoku Weltmeisterschaft fand vom 1. bis 3. Ok-tober 2012 in Kraljevica (Kroatien) statt. Jan Mrosowski(Polen) eroberte wiederum den Titel, Team Japan Awur-de wieder Team-Weltmeister. Michael Ley kam auf Platz13, Das Team Deutschland A auf Platz 4.*[21]Die 8. Sudoku Weltmeisterschaft fand vom 12. bis 14.Oktober 2013 in Beijing (China) statt.*[22]

8.2 Deutsche Meisterschaft

2005 wurde die erste deutsche Sudokumeisterschaft vonder BZ (Berliner Zeitung) durchgefhrt. Erste deutscheMeisterin wurde die Lehramtsstudentin Kerstin Wge.Der Verein Logic Masters Deutschland e.V., oziellesMitglied der World Puzzle Federation fr Deutschland,hat diese im folgenden Jahr als ozielle deutsche Sudo-kumeisterschaft anerkannt. Der Verein organisierte alleweiteren Meisterschaften.

9 Literatur

Claudia Bach: Sudoku-Trick-Kiste. AEGIS GmbH,Berlin 2006, ISBN 3-9811369-1-8.

Richard Bird: Functional pearl: A program to sol-ve Sudoku (PDF; 95 kB), in Journal of FunctionalProgramming Vol. 16. Ein einfacher Sudokulser inHaskell

Pia Frey: Die Magie der Zahlen:Und davon kannman leben? extquotedbl In: Der Tagesspiegel Medien17. April 2011, S. 31

Wolfgang Blum: Neun Ziern gegen einen. In: SZWissen 12/2006, S. 4251.

Jean-Paul Delahaye: Sudoku oder die einsamen Zah-len. In: Spektrum der Wissenschaft, Mrz 2006,ISSN 0170-2971, S. 100106.

18 11 EINZELNACHWEISE

10 WeblinksWiktionary: Sudoku Bedeutungserklrungen,

Wortherkunft, Synonyme, bersetzungenCommons: Sudoku Sammlung von Bildern,

Videos und AudiodateienWikibooks: Sudoku Lern- und Lehrmaterialien

Links zum Thema Sudoku-Online bei DMOZ Signum Singulare (Sudokuseite mit ausfhrlichenLsungsstrategien)

Deutsche Sudokumeisterschaften Sudoku-Varianten der ersten Sudokuweltmeister-schaft (PDF, englisch; 2,27 MB)

Sudoku als Thema im Unterricht (im ZUM-Wiki) private Seite Lsungstechniken Mehr als 30 L-sungstechniken mit Beispielen auf Deutsch be-schrieben

11 Einzelnachweise[1] Howard Garns Number Place, Dell Pencil Puzzles &

Word Games, Ausgabe #16, May p. 6, 1979 New York

[2] Pegg, Ed Jr. & Weisstein, Eric W: Sudoku MathWorld,abgerufen am 5. November 2012.

[3] Jean-Paul Delahaye: The Science behind Sudoku (PDF;2,5 MB). Scientic American, Juni 2006

[4] Sudoku HistoryWebNikoli, abgerufen am 5. November2012.

[5] Beispielhaftes X-Sudoku mit 12 Vorbelegungen

[6] Christian Boyer: Les anctres franais du sudoku (Diefranzsische Ahnengalerie des Sudoku). Pour la Science,Nr. 344, Juni 2006.

[7] Bernd Wehren: Lesen- und Schreibenlernen mit Sudoku.Mildenberger Verlag, Oenburg 2007.

[8] BerndWehren: Rechnenlernen mit Sudoku. Brigg Pdago-gik Verlag, Augsburg 2013.

[9] Bernd Wehren: Lesen- und Rechtschreibenlernen mit Su-doku.Mildenberger Verlag, Oenburg 2008.

[10] Signum Singulare: Methode der versteckten Einer

[11] Bertram Felgenhauer, Frazer Jarvis: Enumerating possi-ble Sudoku grids. 20. Juni 2005. Publiziert als: Mathe-matics of Sudoku I. Mathematical Spectrum 39, 2006,1522. (PDF; 91 kB)

[12] Ed Russell, Frazer Jarvis: Mathematics of Sudoku II. Ma-thematical Spectrum 39, 2006, 5458.

[13] Agnes M. Herzberg, M. RamMurty: Sudoku Squares andChromatic Polynomials (PDF; 229 kB). Notices of theAMS 54 (6), 2007, 708-717

[14] Gordon Royle: Minimum Sudoku. Universitt von West-Australien

[15] Gary McGuire, Bastian Tugemann, Gilles Civario: Thereis no 16-Clue Sudoku: Solving the Sudoku Minimum Num-ber of Clues Problem. 1. Januar 2012, abgerufen am 29.Januar 2012 (englisch).

[16] George Szpiro: Sudokus mit nur einer Lsung: siebenMillionen Computer-Rechenstunden fr einen mathema-tischen Beweis. Neue Zrcher Zeitung, 18. Januar 2012

[17] Takayuki Yato and Takahiro Seta: Complexity and Com-pleteness of Finding Another Solution and Its Applicationto Puzzles (PDF; 256 kB). IPSJ SIG Notes 2002, AL-87-2

[18] The 4th World Sudoku Championship ilina (Slowakia),abgerufen am 27. Mai 2013.

[19] The 5th World Sudoku Championship Philadelphia(USA), abgerufen am 27. Mai 2013.

[20] The 6th World Sudoku Championship Eger (Hungary),abgerufen am 27. Mai 2013.

[21] The 7th World Sudoku Championship Kraljevica (Croa-tia), abgerufen am 27. Mai 2013.

[22] Information for The 8th World Sudoku ChampionshipBeijing, China, abgerufen am 27. Mai 2013.

19

12 Text- und Bildquellen, Autoren und Lizenzen12.1 Text

Sudoku Quelle: http://de.wikipedia.org/wiki/Sudoku?oldid=133966313 Autoren: Kurt Jansson, Florian, Aka, Krtschil, Steen, StefanBirkner, LennyWikipedia, Herrick, Matt1971, DaTa, Alex Rottenstein, Jmsanta, Tsor, Seewolf, Joooo, HenrikGebauer, Raymond, Ben-ni Brmann, Asthma, TomG, Holger I., GDK, Zwobot, Faxel, D, Wolfgang1018, Southpark, Karl-Henner, JuergenL, MichaelDiederich,Doc Sleeve, Wiegels, Rdb, Muns, Feuervogel, Perrak, Karl.Kirst, Sinn, Peter200, Peng, Mvb, Sol1, Martin-vogel, Shui-Ta, P. Birken,Ahellwig, Cornischong, Data42, C-M, Johnny Yen, Eike sauer, Sputnik, DorisAntony, Rat, Palomino, Michail, WiESi, ChristophDem-mer, TMg, Leshonai, DasBee, Kam Solusar, VanGore, H005, Ninety Mile Beach, Marc van Woerkom, Christopher Lorenz, Momota-ro, Borisniko, Dundak, MarkusHagenlocher, Detlef Berntzen, Wissen, Hansele, Rhododendronbusch, Polarlys, Leipnizkeks, Harro vonWu, Taxiarchos228, Mps, Mikano, Polluks, Alfe, Leithian, Michelangelo, Aths, Chrkl, Fahrplan, Zaungast, Schwalbe, Kadereit, Bris-bard, Popp, Mdangers, Thorbjoern, Bruns, Diba, Carbidscher, Jarlhelm, EnemyOfTheState, Himuralibima, Jergen, Thierry Pool, FlaBot,Codc, Ralf5000, Lyzzy, Blah, Jrg Knappen, Achim Raschka, XRay, Goodgirl, Kuroi-ryu, Stefan, FelixReimann, Flothi, Matze12, Ber-kemeier, Jodoform, Clemx, Georg-Johann, Wilhans, Scooter, Overdose, Gunther, Klotzi, G-Man, LustigerKreis, Kh80, Schweikhardt,PJ1983, Sproell, Aholtman, Siehe-auch-Lscher, RolandHagemann, Chemiker, Plusminus, Nuthgeb, Hansbaer, Florian Adler, Ilam, Iota,Abubiju, Bignike, RobotE, Wilfried Elmenreich, Amtiss, Zwieback, Carl Steinbeier, Binningench1, DanM, Chobot, BuSchu, Skittles,Ephraim33, Q. Wertz, CHK46, Pajz, GunnarGetscher, Eric sw, RobotQuistnix, Balz, Katpatuka, YurikBot, Phima1983, Antrios, Savin2005, Golnger, Spazion, Hey Teacher, Andy king50, Dudenfreund, VolkerStoeckel, Schmiso, Schmitty, PSYCloned Area, Kobler, Ste-reotyp, Hardy42, Kleiner muc, Revolus, Heilandsack, FrankTh, Augiasstallputzer, Gansweith, Micwil, Dieba, Wikipit, Liberaler Huma-nist, Ingog, Chatter, Fritz Jrn, Don Quichote, FordPrefect42, LKD, Tobnu, Tambora, Schandhase, Kajk, Gpvosbot, Jadadoo, Big smile,TheBo, DHN-bot, Olliminatore, Logograph, Ruestz, Flashenposter, Ulz, Kuemmi, Vandalenaccount, Uncopy, Between the lines, Kungfu-man, Sweetmorpheus, Invisigoth67, Lakeblake, Stephan Heuscher, Walterh, Kabumm, Mac ON, Pendulin, Carol.Christiansen, Dreibein,Pinchorrero, Graphikus, Leumar01, Furfur, MichaelFrey, Wolfgang H., Heinrich Puschmann, Mchtegern, Till.niermann, ,Spuk968, Sttn, Thijs!bot, S.Didam, Megatherium, XenonX3, Sherresh, GunterS, Iro-Iro, Gleiberg, Horst Grbner, ThE cRaCkEr, Sieb-zehnwolkenfrei, Pilawa, See335, BunnyDog, NaHSO4, .hd, JAnDbot, MarcMigge, YourEyesOnly, Sebbot, Geher, SonniWP, Holger1109,Seth Cohen, Baumfreund-FFM, FloBo, Mixia, Numbo3, AlexdG, Blausch, Ellesar1, BrunoBoehmler, L&K-Bot, Diwas, BK-Master,Photonsoncouch, Nurmalgucken, Dasir, SashatoBot, DodekBot, Complex, WonderSudoku, TXiKiBoT, La Corona, Ireas, Rath, Walter,S12345678901234567890, Ralf Rehberg, Starkiller, Synthebot, Tobias1983, Aeddaems, Konrad Demmel, AlleborgoBot, Joli Tambour,Fmeyer01, SUcheDOKUment, Agadez, SieBot, Loveless, Seniors, Der.Traeumer, ColdCut, Topster.de, Goblin girl, Engie, Papy77, Bisam,OKBot, Amodorrado, Xario, Ohauahauaha, Pittimann, Bjrn Bornhft, Re probst, Dircules, ToePeu.bot, Pericolo, Rellektrebor, Mike Rb,Laestanoesparalosfeos, FfsXX, Woches, Becktuseruhts, GUMPi, Inkowik, Metal Sebby, Bernhard F. J. H., Wooky, LinkFA-Bot, Schot-terebene, Friedrich Graf, Jsudokuprojekt, Wildtierreservat, Maikd, Dvd-junkie, 3268zauber, Wurgl, Zaltvyksle, Pras, Urgelein, Thingol,Feudiable, McSush, O DM, Xqbot, Phanti, Welt-der-Form, Pastertreter, Howwi, Brodkey65, Beatperminute, MerlLinkBot, Umwelt-schtzen, Michael Habbe, RibotBOT, Jogo.obb, SteKrueBe, Gustav Broennimann, Kodela, Moehre1992, D'ohBot, MorbZ-Bot, M(e)isterEiskalt, Antonsusi, Fredo 93, Daniel5Ko, Elmar78, Alraunenstern, Perhelion, Hahnenkleer, Horst bei Wiki, MazeChaZer, Sprachfreund49,Nubchse, Styko, RHorber, LZ6387, Stain79, B-greift, Hephaion, KLBot2, HilberTraum, T-daddy, Sudoku-fan, Nora Stein, Killikalli,Tuttist, T, .gs8, Lukas, U. Vogelsang, Felixproug, Oliwol, RookJameson, PhilippTit., Veliensis, Holzliebhaber 2569, Ninjameister undAnonyme: 434

12.2 Bilder Datei:A_nonomino_sudoku.svg Quelle: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/59/A_nonomino_sudoku.svg Lizenz: CC-

BY-SA-3.0-2.5-2.0-1.0 Autoren: Created by me Originalknstler: R. A. Nonenmacher Datei:Commons-logo.svg Quelle: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/4a/Commons-logo.svg Lizenz: Public domain Au-

toren: This version created by Pumbaa, using a proper partial circle and SVG geometry features. (Former versions used to be slightlywarped.) Originalknstler: SVG version was created by User:Grunt and cleaned up by 3247, based on the earlier PNG version, created byReidab.

Datei:Comparison_Sudoku.png Quelle: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/3/32/Comparison_Sudoku.png Lizenz: Pu-blic domain Autoren: Eigenes Werk Originalknstler: de:hd

Datei:Logicmuster_A.svg Quelle: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/9/92/Logicmuster_A.svg Lizenz: CC-BY-SA-3.0Autoren: Eigenes Werk derivate from JPG version Originalknstler: Perhelion - derivate from original uploader Friedrich Graf

Datei:Logikmuster_C.svgQuelle: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/5b/Logikmuster_C.svg Lizenz: Public domainAu-toren: Eigenes Werk derivate from de:file:Logikmuster_C.jpg Originalknstler: Perhelion derivate from de:User:Friedrich Graf April 2008

Datei:MinimalSudoku.svg Quelle: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/46/MinimalSudoku.svg Lizenz: Public domainAutoren: Eigenes Werk Originalknstler:McSush

Datei:Qsicon_lesenswert.svg Quelle: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/43/Qsicon_lesenswert.svg Lizenz:CC-BY-SA-3.0-2.5-2.0-1.0 Autoren: Image:Qsicon_lesenswert.png basierend auf Image:Qsicon inArbeit.png Originalknstler:User:Superdreadnought, User:Niabot

20 12 TEXT- UND BILDQUELLEN, AUTOREN UND LIZENZEN

Datei:Samurai-sudoku.png Quelle: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b/bb/Samurai-sudoku.png Lizenz: CC-BY-SA-3.0-2.5-2.0-1.0 Autoren: http://www.sudoku-space.de Originalknstler: Markus Weigel

Datei:Str8ts9x9_Gentle_PUZ.png Quelle: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/9/9e/Str8ts9x9_Gentle_PUZ.png Lizenz:CC-BY-SA-3.0 Autoren: Eigenes Werk Originalknstler: AndrewCStuart

Datei:Sudoku-scan-and-count.svg Quelle: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/17/Sudoku-scan-and-count.svg Lizenz:Public domain Autoren: Cross-hatching.svg Originalknstler: Cross-hatching.svg: Tim Stellmach

Datei:Sudoku_Kandidaten.png Quelle: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/de/2/21/Sudoku_Kandidaten.png Lizenz: ? Autoren:Selbst erstellt.Originalknstler:Benutzer:Matze12

Datei:Sudoku_Logicmuster_B.svg Quelle: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/f/f7/Sudoku_Logicmuster_B.svg Lizenz:CC-BY-SA-3.0-2.5-2.0-1.0 Autoren: EigenesWerk, derivate from JPG version Originalknstler: Perhelion - derivate from original uploaderFriedrich Graf

Datei:Sudoku_colored.jpg Quelle: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/da/Sudoku_colored.jpg Lizenz: CC-BY-SA-3.0Autoren: Eigenes Werk Originalknstler:Welt-der-Form

Datei:Sudoku_n2-4.png Quelle: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/9/9f/Sudoku_n2-4.png Lizenz: CC-BY-SA-3.0 Auto-ren: Eigenes Werk Originalknstler:Welt-der-Form

Datei:Sudoku_problem_1.svg Quelle: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/9/99/Sudoku_problem_1.svg Lizenz: CC-BY-SA-3.0-2.5-2.0-1.0 Autoren: Eigenes Werk Originalknstler:Wikipit

Datei:Sudoku_problem_1_&_candidate.svg Quelle: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b/b8/Sudoku_problem_1_%26_candidate.svg Lizenz: CC-BY-SA-3.0-2.5-2.0-1.0 Autoren: Eigenes Werk Originalknstler:Wikipit

Datei:Sudoku_solution_1.svg Quelle: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/ce/Sudoku_solution_1.svg Lizenz: CC-BY-SA-3.0-2.5-2.0-1.0 Autoren: Eigenes Werk Originalknstler:Wikipit

Datei:Sudoku_variant.png Quelle: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/52/Sudoku_variant.png Lizenz: CC-BY-SA-3.0Autoren: ? Originalknstler: ?

Datei:Wikibooks-logo.svg Quelle: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/f/fa/Wikibooks-logo.svg Lizenz: CC-BY-SA-3.0Autoren: Eigenes Werk Originalknstler: User:Bastique, User:Ramac et al.

Datei:Wiktfavicon_en.svg Quelle: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/c3/Wiktfavicon_en.svg Lizenz: ? Autoren: ? Ori-ginalknstler: ?

12.3 Inhaltslizenz Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0

Ursprung Varianten Killer-Sudoku X-Sudoku Hyper Sudoku Fudschijama Samurai Sudoku Treppen-Sudoku Nonomino-Sukoku Roxdoku Vergleichssudoku Kakuro Str8ts Buchstaben-, Silben- und Wrter-Sudoku Rechen-Sudoku Farben-Sudoku Rechtschreib-Sudoku

Regeln und Begriffe Lsungsmethoden Analytisch-systematische Basismethoden Sichten von Ziffern Durchzhlen in Einheiten Weitere Ausschlussverfahren (Eliminierung) Globale Paarsuche (GPS) Nachtrag

Falsifikation einer Hypothese Mathematische Methoden Algorithmisch Backtracking-Methode

Lsungshilfen: Kandidaten-Notation Die Uhrzeigerstrichmethode Punkte fr Kandidaten notieren Unsichere Zahlen markieren Mgliche Ziffern mit Farbe eintragen

Erstellung neuer Sudokus Algorithmus

Die Mathematik hinter Sudoku Die Anzahl der Sudokus Eindeutige Lsbarkeit Sudoku: ein Logik- oder ein Enumerationsproblem?

Wettbewerbe Weltmeisterschaft Deutsche Meisterschaft

Literatur Weblinks Einzelnachweise Text- und Bildquellen, Autoren und LizenzenTextBilderInhaltslizenz