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SUBSECRETARÍA DE EDUCACIÓN MEDIA
SUPERIOR
DIRECCIÓN GENERAL DEL BACHILLERATO
CENTRO DE ESTUDIOS DE BACHILLERATO 4/2
LIC: JESÚS REYES HEROLES
GUÍA PARA EL EXAMEN EXTRAORDINARIO DE
MATEMÁTICAS IV: FUNCIONES
ENERO DE 2012
PROFESOR: Lucio Sánchez Chávez
2
CENTRO DE ESTUDIOS DE BACHILLERATO
LIC JESUS REYES HEROLES
GUIA DE MATEMÁTICAS IV: FUNCIONES
NOMBRE __________________________________________________GRUPO_______
Lucio Sánchez Chávez.
Enero 2012
Bloque I Reconoces y realizas operaciones con distintos tipos de funciones.
Conceptos básicos sobre funciones:
Un ejemplo muy simple de lo que es una función son las diferentes fórmulas que conoces por tus
estudios anteriores de matemáticas, física, química etc. Una de ellas es la fórmula del área de un
círculo. En la fórmula 2rA , hay dos cantidades que varían, el radio cuyo valor puede ser
cualquier número real y el área cuyo valor dependerá del valor que tenga el radio. Por ejemplo si
el radio mide 10 cm., el área del círculo será 314.16 cm2. Y no podrá tener otro valor.
Es decir para ese valor del radio 10 cm. existe un único valor para el área que es 314.16 cm2. Este
valor del área es único para el radio de 10cm. Y así sucede para cualquier otro valor que se de para
el radio.
En el ejemplo al radio, variable que puede tomar cualquier valor se le denomina variable
independiente y al área cuyo valor depende del valor del radio se le llama variable dependiente.
Si se considera ahora la ecuación 1)2()2( 22 yx de la circunferencia (curva que es el
conjunto de puntos que equidistan de un punto fijo llamado centro) y se ve la gráfica de abajo se
observa que, para x= -2.5, “y” siempre tendrá 2 valores, igualmente sucede para x=-1.5 y así para
cualquier valor de x menor que -1 y mayor que -3.
Observa que se ha trazado dos rectas verticales que cortan cada una en 2 puntos a la circunferencia.
Es decir cada x tiene dos valores de y, por lo cual esta ecuación no corresponde a una función, es
simplemente una “relación”.
Trazar rectas verticales a la gráfica ayuda a identificar si corresponde a una función o a una
relación, esto constituye la regla de la vertical.
Diferentes formas de representación de una función:
No sólo las fórmulas o expresiones algebraicas representan una función también se puede ver
relación entre variables, en tablas, en gráficas, en diagramas, conjunto de pares ordenados, en
3
enunciados de los muchos problemas que se han resuelto a lo largo de la secundaria e incluso la
primaria. Esas son las diferentes formas de representar una función.
Dominio y rango:
En el ejemplo se vio, que la variable independiente como el radio puede tomar cualquier valor
dentro del conjunto de los números reales. A ese conjunto numérico se le llama dominio de la
función y al conjunto de valores que por consecuencia toma la variable dependiente, en el ejemplo
el área, se llama rango de la función.
Notación:
La notación que se usa para funciones reales de variables reales es: )(xfy y se lee “ y es igual a
xdef “x “es la variable independiente, “y” la variable dependiente. Para referirse a una función
se puede usar y o también )(xf .
La forma como se relaciona x e y es la regla de correspondencia. Por ejemplo en y=2x, la regla es
que a cada y le corresponde el doble de x
EJERCICIOS ) 1) ¿Qué es una función?
2) ¿Cuál es la diferencia entre una relación y una función?
3) ¿Cuáles son las diferentes formas de representar una función? Da un ejemplo para una función
cualquiera.
4) ¿Qué es el dominio de una función?
5) ¿Qué es el rango de una función?
6) En la función 2rA , indica la variable independiente y el dominio; la variable dependiente
y el rango.
7) Da otros ejemplos de funciones recuerda las fórmulas usadas en otras asignaturas. Identifica la
variable independiente y la variable dependiente.
8) Que notación se usa para una función que relaciona las variables yx ;
9) En el siguiente cuadro, determina cual de las gráficas corresponden a funciones y cuales son
relaciones. (Usa la prueba de la recta vertical)
y= -x
2 +3x-1
4
Clasificación de funciones
Hay diferentes criterios para clasificar funciones, aquí sólo se considera las funciones algebraicas y
las no algebraicas. En las primeras se incluyen las polinomiales, racionales y las que no son ni
polinomiales ni racionales. En las no algebraicas o trascendentes se tiene a las funciones
trigonométricas, exponenciales y logarítmicas
Funciones Polinomiales:
Función Lineal baxy ,, ba son números reales.
Su gráfica es una recta creciente (a<0 o sea el coeficiente a es positivo) o decreciente, (a<0, o sea
el coeficiente a es negativo) más o menos inclinada como se puede ver en la gráfica.
La recta xy se denomina función idéntica y La recta horizontal ky se denomina función
constante donde k es un número real cualquiera. La recta vertical x=k no es función
Grafica de una función lineal creciente
(a>0)
xy
Grafica de una función lineal decreciente
(a<0)
312 xy
Función cuadrática: cbxaxy 2, cba ,, son números reales.
La gráfica de una función cuadrática es una parábola , sea abierta hacia arriba. (a>0) o hacia
abajo (a<0). Varia si es mas abierta , más cerrada y la posición del vértice. Corta al eje X en 1 o 2
puntos.
2xy
25.132 xxy
Función cúbica dcxbxaxy 23, dcba ,, , , son números reales.
Hay cuatro formas para la gráfica de la función cubica , varia si es más abierta o más cerrada y la
posición del punto de inflexión.( punto donde la curva cambia de concavidad )
La gráfica de una función cúbica corta al eje X en uno o tres puntos. Dichos puntos se llaman ceros
o raíces de la función.
5
3xy
35.0 xy
)3)(2( xxxy
xxy 43
Polinomial de grado 4 edxcxbxaxy 234, edcba ,,, , , son #
reales.
Polinomiales de grado 5. fexdxcxbxaxy 2345
fedcba ,,,, , son números reales.
Polinomial de grado n donde n es un número entero positivo cualquiera.
Las gráficas de funciones polinomiales de grado par siguen el comportamiento de las funciones
cuadráticas.
Las gráficas de funciones polinomiales de grado impar siguen el comportamiento de las funciones
cúbicas.
)1109612203(36
1 234 xxxxy
)52)(12)(102.0)(182(5 xxxxy
Funciones Racionales:
Definición. Es el coliente de dos funciones polinomiales, donde la función del denominador es
diferente de cero.
)(
)()(
xh
xgxf Donde )()( xhyxg son funciones polinomiales y 0)( xh .
Estas funciones tienen ciertas características, una de ellas es que poseen asíntota, que es una recta a
la cual se aproxima la gráfica al crecer indefinidamente |x| o |y|. Estas asíntotas pueden se verticales,
horizontales y oblicuas y dividen el plano cartesiano en regiones donde se ubica la grafica. Estas
asíntotas no forman parte de la gráfica.
6
xy
1
x
xy
7202 2
2)1(
1
xy
Funciones ni racionales ni polinomiales:
Ejemplos: xy , 5)( xxf 2
3
)( xxf xy
xy
)(xabsy
4 xy
Funciones no algebraica o trascendente
Funciones exponenciales xaxf )( a > 0
Funciones logarítmicas xxf alog)( a > 0
7
Gráfica de la función xxf 2)( exponencial y su inversa la
función logarítmica. xxf 2log)(
Las funciones inversas son simétricas a la recta y=x
Trigonométricas. senxxf )( , )3tan()( xxf etc.
)(xseny
)tan(xy
EJERCICIOS
10) Da 3 ejemplos de ecuaciones que correspondan a los diferentes tipos de funciones que se
indican. Recuerda que la regla de correspondencia puede estar factorizada.
1) Función lineal
2) Función Cuadrática.
3) Función cúbica
4) Función polinomial de quinto grado
5) Función racional:
6) Función trigonométrica
7) Polinomial de grado 7
8) Función Exponencial
9) Función logaritmo
10) Función idéntica
11) Función constante
12) Función valor absoluto
13) Función por intervalos.
14) Función con radicales
11) De las siguientes fórmulas identifica el tipo de función a la que corresponde cada una.
Indica si alguna no es función. Usa el espacio de la derecha.
1) )7)(3()( xxxf
2) 1243)( 2 xxxf
3) xy )05.1(5
8) f(x) = 5x + 4
9) )1)(84(3 xxxy
10) 4xy
11) x=12
8
4) 3xy
5) f(x)=2
15
x
x
6) )(xseny
7) x) = Ln 2x
12) x2+ y
2 =16
13) 53)( 2 xxf
12) ¿Cómo se llama la gráfica de una función lineal? ¿Y cómo la gráfica de una función cuadrática?
13) ¿Qué diferencia hay entre una función lineal y una exponencial?
14) ¿Cómo se define las funciones racionales? ¿Qué son las asíntotas y como se clasifican?
Dominio de una función: polinomial, Racional y Raíz cuadrada.
Tomando en cuenta que el dominio de una función es el conjunto de números reales que puede
tomar la variable independiente; para las funciones polinomiales el dominio es el conjunto de todos
los números reales; para las funciones racionales el dominio es el conjunto de números reales
menos los valores de x que anulan el denominador. Y en el caso de las funciones con radicales par,
son los números reales que hacen positivo la cantidad sub- radical.
Por lo general el dominio y rango se expresan como intervalos de números reales.
Estos intervalos pueden ser abiertos, cerrados, semi cerrado o semi abierto.
Ejemplos.
El intervalo abierto 5,2 es un conjunto de todos los números reales que están entre 2 y 5 sin
considerar 2 y 5, o también los x en que cumplen 52 x
Intervalo cerrado [-1, 8] son todos los números que están entre -1 y 8 incluyendo el -1 y el 8 ó
también los x en que cumplen 81 x
Intervalos semi-abiertos por la derecha 6,4 los x en que cumplen 64 x
Intervalo semi cerrado por la derecha (5, 10] los x en que cumplen 105 x
Los números reales se representan como el intervalo abierto ,
Los números reales positivos ,0
Los números reales negativos 0,
EJERCICIO #15: Calcula el dominio y rango de las siguientes funciones
1) y=3x +2 2) Y=x2+3
3) 8x
4) 92)( xxf
5) 5
15
x
xy
6) 9
12)(
2
x
xxf
Evaluación de funciones
Evaluar una función, significa encontrar el valor de la función para determinado valor de x
Ejemplo:
Para xxxf 82)( 3 encontrar f (3), o evaluar f (3) o encontrar el valor de y cuando x=3 o
también la imagen de x=3, significa reemplazar en la ecuación la variable x por 3
f(3) = 2(3)3-8(3) = 2(27)-24 = 54-24 = 30
9
EJERCICIO #16: Evalúa las siguientes funciones:
1) Si 125)( xxf encuentra )0(f 2) 723)( 2 xxxf Evalúa )0(f
3) Si 652)( 2 xxxf Encuentra f(4) 4) Si g(x) = 3 64x halla g(0)
Operaciones con funciones
Teniendo en cuenta las definiciones de las operaciones con funciones; Realiza las operaciones que
se indican. Observa los ejemplos.
Definición:
Función Suma: )()())(( xgxfxgf
Función Diferencia: )()())(( xgxfxgf
Función Producto: )()())(( xgxfxfg
Función cociente )(
)()(
xg
xfx
g
f
donde g(x) es diferente de cero.
Composición de funciones gf y se lee f compuesta con g se define ))(( xgf como evaluar f
en g , o sea ))(())(( xgfxgf . Significa que la función )(xf se reemplaza x por )(xg
Ejemplos:
1) Si 835)( 2 xxxf y xxxg 5)( 2 encuentra
a) ))(( xgf
Aplicando la definición )()())(( xgxfxgf = )835( 2 xx )5( 2 xx 826 2 xx
b) ))(( xgf
Aplicando la definición )()())(( xgxfxgf = )5()835( 22 xxxx =
8845835 222 xxxxxx Observa que los términos de la función sustraendo en este
caso g(x) cambian de signo
c) ))(( xfg
Aplicando la definición
)()())(( xgxfxfg = xxxxxxxxxx 408153255)5)(835( 2233422 =
xxxx 407225 234 . Observa que después de multiplicar se reducen términos semejantes.
2) Si 16)( 2 xxf , 86)( 2 xxxg Encuentra
d) )(xg
f
Aplicando la definición 2
4
)4)(2(
)4)(4(
86
16
)(
)()(
2
2
x
x
xx
xx
xx
x
xg
xfx
g
f. Observa que si es
posible se factoriza numerador y denominador y se simplifica.
3. Ejemplo de composición de funciones. Si 14)( xxf ; 2)( 2 xxg , Halla ))(( xgf
Por definición ))(())(( xgfxgf
Como 2)( 2 xxg
)2())(( 2 xfxgf
10
Como 14)( xxf Se reemplaza 22 x en lugar de x
741841)2(4)2( 2222 xxxxf por lo tanto ))(( xgf = 74 2 x
EJERCICIO 17: OPERACIONES CON FUNCIONES:
1) Si 73)( xxf y xxg )( encuentra
))(( xgf
))(( xgf
))(( xfg
))(( xfg
2) Si 4235)( 23 xxxxf y 1062)( 23 xxxxg Encuentra:
))(( xgf
))(( xgf
))(( xfg
))(( xgf
3) Si 36)( 2 xxf y 124)( 2 xxxg Encuentra )(xg
f
, )(x
f
g
4) Si 65)( xxf y 34)( xxg . xxh 3)( . Realiza cada composición de funciones que se
indica.
a) ))(( xgf
b) ))(())(( xhfxhf =
c) ))(( xgh
d) ))(( xfg
e) ))(( xgf
f) ))(( xhg
Ordenada en el origen y las raíces o ceros de una función
Las funciones tienen diferentes características o elementos importantes para su estudio, algunos de
ellos se pueden observar en su grafica. En la grafica de abajo la curva representa una función cúbica
y se ve que esta corta a los ejes coordenados. Al eje x en los valores x=1, x=4 y en x= -6 y al eje y
en y= 24 aproximadamente. Los primeros se denominan ceros o raíces de la función y el segundo,
ordenada en el origen. Para encontrar las raíces se resuelve la ecuación que resulta de hacer y=0, es
decir las raíces son los valores de x cuando y=0; y para la ordenada en el origen se evalúa el valor
de y cuando x=0.
EJERCICIO #18; Indica las coordenadas
de los puntos donde la grafica corta a los
ejes y contesta:
1) ¿Qué es la ordenada en el origen?
2) ¿Qué son los ceros o raíces de una
función?
11
EJERCICIO19: RAÍCES Y ORDENADA EN EL ORIGEN :Calcula las raíces y la ordenada en
el origen de las siguientes funciones.
3) 82 xy 4) 42 xy 5) 1072 xxy 6) )5)(2)(8()( xxxxf
Bloque II Aplicas funciones especiales y transformaciones de gráficas. En este bloque se distinguen y describen diferentes tipos de funciones matemáticas, así como
operaciones y trasformaciones algebraicas y/o geométricas.
Función Inversa: Inversa de una función
Ejemplo. Encuentra la inversa de la función 22 xy
En la fórmula se reemplaza x por y, o sea se tiene 22 yx , se despeja y; se tiene 22 xy la
fórmula corresponde a una parábola horizontal que en este caso no es una función.;
Para graficar se
da algunos
valores a x y se
encuentra los
valores de y
x
22 xy
. .
. .
-3 7
-2 2
-1 -1
0 -2
1 -1
2 2
3 7
Para graficar la
inversa se
puede
intercambiar
los valores de x
por y, y se
grafica esos
puntos.
….. x……y
7 -3
2 - 2
-1 -1
-2 0
-1 1
2 2
7 3
Gráfica de la función 22 xy y su inversa
22 xy
Traza la recta y=x que es el eje de simetría de ambas
funciones
EJERCICIO # 20: Encuentra la inversa de las siguientes funciones e indica si es una función. Haz
su gráfica
1) y=x-8
2) =x+7
3) 2)( xxf
4) 25 xy
5) 1 xy
6) 3)( 2 xxf
7) 42 xy
FUNCIONES ESPECIALES:
1) Función constante: kkxf )( es un número
real cualquiera.
2) Función idéntica: xxf )(
12
3) Función valor absoluto. xy
0
0
xsix
xsixy
4) Funciones escalonadas
5) Funciones Por intervalos : Observa la gráfica de la función
1382
8416
402
xsix
xsi
xsix
y
x y
0 0
1 1
2 4
3 9
4 16
4.1 16
5 16
6 16
7 16
8 16
9 18
10 20
11 22
12 24
13 26
13
Transformación de gráficas de funciones: función f(x) “a” un numero positivo
Traslaciones Verticales de la grafica de f(x)
a unidades arriba f(x) +a
a unidades abajo f(x) –a
Traslaciones Horizontales.
a unidades a la derecha f(x-a)
a unidades a la izquierda f(x+a)
Reflexión con respecto al eje X
y= -f(x)
EJERCICIO #21: TRANSFORMACIÓN DE GRÁFICAS.
En los siguientes planos cartesianos se muestra la gráfica de una función. Bosqueja en cada plano la
gráfica de la función, cuya ecuación se indica, toma en cuenta el cambio de la función original.
xy 3 xy
2xy 12 xy
xy 2 xy
2xy 22 xy
14
3xy 13 xy
xy …............................... 3 xy
Bloque III: Empleas funciones polinomiales de grados cero, uno y dos.
Gráfica de una función Lineal
Ejemplo: Grafica 63)( xxf (Recuerda es lo mismo 63 xy )
Se hace una tabla de valores para x e y
incluyendo la ordenada en el origen y la raíz
de la función
x y=3x-6
0 -6
2 0
La recta pasa por los puntos (0,-6) y (2,0)
-6 es la ordenada en el origen y 2 es la raíz
de la función, esos valores nos dan pautas
para construir el plano cartesiano adecuado.
Si esos valores no son enteros o ambos son
iguales a cero, se pueden buscar otros
puntos que faciliten la gráfica pues
cualquier otro par (x, y) que satisfaga la
ecuación estará en la gráfica.
Por ejemplo, para x= 1 y =-3 es decir el
punto (1, -3) esta en la recta como se puede
verificar en la gráfica de la derecha.
63 xy
EJERCICIO #22: Construye un plano cartesiano adecuado y grafica las funciones
1) xy 2) xy 3 3) xy 5 4) xy
Gráfica de una función cuadrática cbxaxy 2 donde ,, ba son .
EJEMPLO: Graficar la función 0214)( 2 xxxf
1) Identificar los coeficientes cyxdebxdea )()( 2el término independiente.
En 2142 xxy 214;1 cyba
Si 0a la parábola se abre hacia arriba. Si 0a la parábola se abre hacia abajo.
En este caso 1a , la parabola se abre hacia arriba.
2) Determinar las coordenadas (x, y) del vértice de la parabola con las fórmulas
15
a
bx
2
a
bfy
2
Reemplazando los valores de b y a en las fórmula se obtiene 2)1(2
4
x
)2( fy donde 2521)2(4)2()2( 2 f
El vértice es )25,2( que en este caso es un punto mínimo de la función
3) Encontrar algunos Puntos Simétricos., es decir puntos equidistantes del eje de simetría de la
parábola que en este caso es 2x . En general el eje se simetría es a
bx
2
4) Completa los valores de y para los valores de x que se indican.
x -8 -7 -6 -5 -4 -3 2 -1 0 1 2 3 4
y 25
5) Grafica los puntos y unelos con una curva suave, resulta la parábola que se muestra.
Cálculo algebraico de la ordenada en el
origen y de las raices
6) En la grafica identifica la ordenada en el
origen y las raices con puntos gruesos.
7) Calcula algebraicamente la ordenada
en el origen, osea evalua )0(fy
8) Calcula algebraicamente las raíces de
la funcion. Se resuelve por cualquier
método la ecuación 02142 xx
Se puede usar la fórmula general para la
ecuación 02 cbxax
a
acbbx
2
42 ;
O también el método de factorización
0)3)(7(2142 xxxx . Donde
se resuelve cada factor igual a cero.
303
707
xx
xx
Se tiene las 2 raices diferentes 3
7
2
1
x
x
EJERCICIO #23: Grafica las siguientes funciones cuadráticas.
1) 62 xxy 2) 742 xxy 3) 442 xxy
4) 5)( 2 xxxf 5) 62)( 2 xxxf 6) 2073)( 2 xxxf
Bloque IV Utilizas funciones polinomiales de grado tres y cuatro.
Características de la gráfica de una función polinomial:
Características a estudiar.
Dominio y rango
Raíces y ordenada en el origen
Máximo y mínimo relativos.
16
Un máximo puede considerarse el punto donde la función cambia de ser creciente a
decreciente,
Un mínimo puede considerarse el punto donde la función cambia de ser decreciente a creciente,
Función positiva: Intervalos de x donde la función es positiva.
Función negativa: Intervalos de x donde la función es negativa.
Una función es positiva si su grafica esta sobre el eje x y negativa si esta debajo del eje x.
Función creciente: Intervalos de x donde la función es creciente.
Función decreciente: Intervalos de x donde la función es decreciente.
Una función es creciente si los valores de x aumenta los valores de y también aumentan
Una función es decreciente si los valores de x aumenta los valores de y disminuyen
EJEMPLO: Analiza las características de la función )4)(1)(6()( xxxxf cuya gráfica se
muestra abajo. Haz los cálculos algebraicos necesarios.
)4)(1)(6()( xxxxf
Se conoce que tiene un máximo en x=-3.3
y un mínimo en x=2.63
1) Tipo de función:Cúbica
2) Ordenada en el origen.
24)4)(1)(6()40)(10)(60()0( f
3) Raíces o ceros de la función
Resolver 0)4)(1)(6( xxx . Igualar
cada factor a cero y resolver.
606 xx
101 xx
404 xx
4) Intervalo de x donde la función es positiva.
1,6 y ,4
5) Intervalo de x donde la función es negativa.
6, y 4,1
6) Valor máximo de la función es f (-3.3).
)43.3)(13.3)(63.3()3.3( f
753.84)3.7)(3.4)(7.2(
7) Valor mínimo de la función. es f (2.63).
)463.2)(163.2)(663.2()63.2( f
27.19)37.1)(63.1)(63.8(
8) Intervalo de x donde la función es creciente.
3.3, , ,63.2
9) Intervalo de x donde la función es
decreciente. 63.2,3.3
EJERCICIO ·24: En las siguientes gráficas analiza las características de cada una de las
funciones. Considera todos los puntos analizados en el ejemplo.
1) )10)(5)(3()( xxxxf Si el mínimo lo alcanza en x=-1.6 y el máximo en x =7
17
2) )1)(7)(3)(4()( xxxxxf
3) )1)(7)(3)(4()( xxxxxf
18
Bloque V Utilizas funciones factorizables en la resolución de problemas.
Gráfica de una función cúbica dcxbxaxy 23 , donde cba ,, son .
En primer lugar se analiza el signo del coeficiente principal o sea de 3x
Si el coeficiente de 3x es positivo las gráficas suben hacia la derecha y si es negativo bajan,.
Con ese dato se conoce la forma, que son como las de abajo .
68)( 2 xxxf
En segundo lugar se encuentran las raíces o cortes con el eje x.
La ordenada en el origen es otro punto de referencia.
Los puntos máximos o mínimos se pueden aproximar con los valores de x dados.
19
Para las raíces se verá 2 casos, En casos sencillos factorizando el polinomio por factor común o si
se conoce un factor del polinomio encontrar los otros factores por la división sintética
Ejemplo #1 Grafica la función 23 6)( xxxf
El coeficiente principal es a=1 o sea positivo la gráfica sube hacia la derecha
Para encontrar las raíces se factoriza la función, en este caso por factor común.
)6(6)( 223 xxxxxf y se resuelve 0)6(2 xx
Donde se obtiene 002 xx y 606 xx
Como toda función cúbica tiene 1 o 3
raíces, en este ejemplo hay una raíz doble
que es cero y la otra es 6. Cuando hay una
raíz doble la grafica es tangente al eje x.
Para bosquejar la gráfica, como a>0 la
gráfica sube hasta x=0 como es raíz doble
regresa, o sea hay un máximo en x=0, la
grafica baja y como debe cruzar el eje en
x=6, en algún valor entre 0 y 6 alcanza un
mínimo y sube como se puede ver en la
grafica.
Para un trazo mejor se puede tabular y encontrar puntos por donde pasa la grafica.
Los dos valores para las raíces dividen al eje x en tres regiones, se puede encontrar puntos para
x<0, para 0<x<6 y para x>6, como se muestra en la tabla.
X -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
Y -32 -7 0 -5 -16 -27 -32 -25 0 49 128
Ejemplo#2: Si 2x es un factor del polinomio 2045)( 23 xxxxf , encuentra los otros 2
factores por división sintética, determina las raíces de la función y bosqueja una gráfica.
La división sintética es un algoritmo o procedimiento que utiliza los coeficientes del polinomio
para realizar la división entre un binomio ax
Se coloca los coeficientes de f(x) 1, 5, -4 y -20, como se muestra en el diseño, como 2x es un
factor, la división es exacta o sea el residuo igual a cero. Se coloca 2 delante de 1.
01071
____20___14____2______
204512
Se baja 1 se multiplica por 2 y el resultado
se coloca debajo del siguiente coeficiente y
se realiza la suma , ese resultado (7) se
vuelve a multiplicar por 2 y se suma con -4
y así sucesivamente hasta que resulte cero.
Los 1, 7 y 10 son los coeficientes del polinomio de 1 grado menor es decir de 1072 xx Se tiene
hasta el momento )107)(2(2045 223 xxxxxx
Repetimos el proceso con 1072 xx probando para x=-2 ( deben ser factores de 10)
20
051
102
10712
)5)(2(1072 xxxx
Por lo tanto la factorización resultante es:
)5)(2)(2(2045 23 xxxxxx
Resolviendo 0)5)(2)(2( xxx se
tiene 52,2 321 xxx
Gráfica de la función 2045)( 23 xxxxf
(construir la tabla correspondiente)
.
Bloque VI Aplicas funciones racionales.
Función racional
Gráfica de funciones racionales: Asíntotas verticales, horizontales y oblicuas.
Como ya se vio, las gráficas de las funciones racionales se sitúan en regiones del plano cartesiano,
divididas por rectas que son las asíntotas y estas son la verticales, horizontales y oblicuas
Para identificar las asíntotas verticales se analiza el polinomio del denominador y serán las
rectas x=k donde k es el valor donde no esta definida la función o lo que es lo mismo el valor
de x que hace 0 el denominador.
La asíntota horizontal, puede ser el eje x, la recta b
ay o no existir Para determinarlas
hay que comparar los grados de los polinomios del numerador y del denominador de la función
racional. Si en la función racional 0
0
............
............
)(
)()(
bbx
aax
xh
xgxf
m
n
1) n >m f(x) no posee asíntota horizontal.
2) n=m La asíntota es la recta b
ay
3) n <m La asíntota es el Eje x
Estas asíntotas horizontales en algunos casos pueden atravesar la gráfica.
Asíntotas oblicuas. Existen cuando el grado del polinomio del numerador es una unidad
mayor que el grado del polinomio del denominador. Y es el cociente entre el polinomio del
numerador y el polinomio del denominador sin considerar el residuo en caso que haya.
Analiza las asíntotas de las 2 funciones.
21
En la primera gráfica La asíntota vertical es x=0 pues en cero no esta definida la función. No
posee asíntota horizontal Como el grado del polinomio del numerador es uno más que el grado del
polinomio del denominador posee asíntota oblicua y es la recta y = x que resulta de hacer la
división
En la segunda grafica tiene asíntota vertical x= -1 que resulta de resolver x-1=0 y asíntota
horizontal Y=1 que resulta de dividir 1/1
EJERCICIO #27: Encuentra las asíntotas de las siguientes funciones racionales y bosqueja una
gráfica.
1) x
y1
2) 3
1)(
xxf
3) 1
23)(
x
xxf 4)
4
3)(
x
xxf
5) 1
12)(
2
x
xxf 6)
4
3)(
2
3
x
xxf
Bloque VII Utilizas funciones exponenciales y logarítmicas.
Funciones exponenciales
1) Definición: 00)( krealnúmeroxakaxf x
2) Leyes de los exponentes.
1) Producto de potencias
de la misma base
mnmn aaa
2) Cociente de potencias
de la misma base
mn
m
n
aa
a
3) Potencia de una potencia
nmmn aa
4) Exponente la unidad 5) Exponente cero 6) Exponente negativo
22
aa 1
10 a n
n
aa
1
7) Exponente -1 (inverso
de a )
aa
11
8) Exponente
fraccionario
nn aa
1
9) Exponente fraccionario
mnn mn
m
aaa
10) Potencia de un
producto nnn baab )(
11) Potencia de un cociente
n
nn
b
a
b
a
12) Sí mn aa entonces mn
13) Si nn ba entonces ba
Funciones logarítmicas
1) Definición. xaxy y
a log (El logaritmo de un número “x,” con base un número
“a,” es el exponente “y” al que hay que elevar la base a para obtener el número x)
2) Logaritmos comunes xxy loglog10 para todo x>0 ( La tecla log de la calculadora)
3) Logaritmos naturales xxy e lnln para todo x>0 (( La tecla ln o LN de la calculadora)
4) Propiedades de los logaritmos. Si u y v son reales positivos, a diferente de 1
1) xaxa
log 2) 1log aa 3) 01log a
4) vu aa loglog si y solo si u=v si y solo si u=v
5) Logaritmo de un producto
vuuv aaa loglog)(log
6) Logaritmo de un cociente
vuv
uaaa logloglog
7) Logaritmo de una potencia
unu a
n
a loglog para todo número real n
8) xa x
a log
9) Cambio de base de un logaritmo.
a
uu
b
b
alog
loglog
10) a
uu
alog
1log
BIBLIOGRAFÍA.
1) Joaquín Ruiz Bastos: MATEMÁTICAS, Precálculo, Funciones y aplicaciones. Publicaciones
Cultural, primera edición ,2006
2) Arturo Méndez Hinojosa Matemáticas 4, Bachillerato Santillana, primera edición, 2007.
3) René Jiménez, Funciones, Pearson Educación, México, 2006.
4) Francisco J. Ortiz Campos, Matemáticas IV, Publicaciones Cultural.2006.