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8/14/2019 Submitted to Ieee Transactions on Vehicular Technology

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0 S U B M I T T E D T O I E E E T R A N S A C T I O N S O N V E H I C U L A R T E C H N O L O G Y

C a p a c i t y o f R a y l e i g h F a d i n g C h a n n e l s u n d e r

D i e r e n t A d a p t i v e T r a n s m i s s i o n a n d

D i v e r s i t y - C o m b i n i n g T e c h n i q u e s

M o h a m e d - S l i m A l o u i n i , S t u d e n t M e m b e r ; I E E E

a n d

A n d r e a G o l d s m i t h , M e m b e r ,

I E E E

T h i s w o r k w a s s u p p o r t e d i n p a r t b y t h e N S F C A R E E R D e v e l o p m e n t A w a r d N o . N C R - 9 5 0 1 4 5 2 a n d i n p a r t

b y t h e O c e o f N a v a l R e s e a r c h u n d e r G r a n t N o . N 1 4 9 5 1 0 8 6 1 . T h e a u t h o r s a r e w i t h t h e C o m m u n i c a t i o n g r o u p ,

D e p a r t m e n t o f E l e c t r i c a l E n g i n e e r i n g , M a i l C o d e 1 3 6 - 9 3 , C a l i f o r n i a I n s t i t u t e o f T e c h n o l o g y ( C a l t e c h ) , P a s a d e n a ,

C A 9 1 1 2 5 , U S A . M o h a m e d - S l i m A l o u i n i c a n b e r e a c h e d a t T e l : ( 6 2 6 ) 3 9 5 - 2 2 1 6 , F a x : ( 6 2 6 ) 5 6 4 - 9 3 0 7 , a n d E - m a i l

: . A n d r e a G o l d s m i t h c a n b e r e a c h e d a t T e l : ( 6 2 6 ) 3 9 5 - 4 8 1 0 , F a x : ( 6 2 6 )

5 6 4 - 9 3 0 7 , a n d E - m a i l : .

D R A F T J u l y 1 0 , 1 9 9 8


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A L O U I N I A N D G O L D S M I T H : C A P A C I T Y O F R A Y L E I G H F A D I N G C H A N N E L S 1

A b s t r a c t

W e s t u d y t h e S h a n n o n c a p a c i t y o f a d a p t i v e t r a n s m i s s i o n t e c h n i q u e s i n c o n j u n c t i o n w i t h

d i v e r s i t y - c o m b i n i n g . T h i s c a p a c i t y p r o v i d e s a n u p p e r b o u n d o n s p e c t r a l e c i e n c y u s i n g t h e s e

t e c h n i q u e s . W e o b t a i n c l o s e d - f o r m s o l u t i o n s f o r t h e R a y l e i g h f a d i n g c h a n n e l c a p a c i t y u n d e r t h r e e

a d a p t i v e p o l i c i e s : o p t i m a l p o w e r a n d r a t e a d a p t a t i o n , c o n s t a n t p o w e r w i t h o p t i m a l r a t e a d a p -

t a t i o n , a n d c h a n n e l i n v e r s i o n w i t h x e d r a t e . O p t i m a l p o w e r a n d r a t e a d a p t a t i o n y i e l d s a s m a l l

i n c r e a s e i n c a p a c i t y o v e r j u s t r a t e a d a p t a t i o n , a n d t h i s i n c r e a s e d i m i n i s h e s a s t h e a v e r a g e r e c e i v e d

c a r r i e r - t o - n o i s e r a t i o o r t h e n u m b e r o f d i v e r s i t y b r a n c h e s i n c r e a s e s . C h a n n e l i n v e r s i o n s u e r s t h e

l a r g e s t c a p a c i t y p e n a l t y r e l a t i v e t o t h e o p t i m a l t e c h n i q u e , h o w e v e r t h e p e n a l t y d i m i n i s h e s w i t h

i n c r e a s e d d i v e r s i t y . A l t h o u g h d i v e r s i t y y i e l d s l a r g e c a p a c i t y g a i n s f o r a l l t h e t e c h n i q u e s , t h e g a i n

i s m o s t p r o n o u n c e d w i t h c h a n n e l i n v e r s i o n . F o r e x a m p l e , t h e c a p a c i t y u s i n g c h a n n e l i n v e r s i o n

w i t h t w o - b r a n c h d i v e r s i t y e x c e e d s t h a t o f a s i n g l e - b r a n c h s y s t e m u s i n g o p t i m a l r a t e a n d p o w e r

a d a p t a t i o n . S i n c e c h a n n e l i n v e r s i o n i s t h e l e a s t c o m p l e x s c h e m e t o i m p l e m e n t , t h e r e i s a t r a d e o

b e t w e e n c o m p l e x i t y a n d c a p a c i t y f o r t h e v a r i o u s a d a p t a t i o n m e t h o d s a n d d i v e r s i t y - c o m b i n i n g

t e c h n i q u e s .

P e r m i s s i o n t o p u b l i s h t h i s a b s t r a c t s e p a r a t e l y i s g r a n t e d .

K e y w o r d s

S h a n n o n C a p a c i t y , A d a p t i v e T r a n s m i s s i o n T e c h n i q u e s , D i v e r s i t y - C o m b i n i n g .

I . I n t r o d u c t i o n

T h e r a d i o s p e c t r u m a v a i l a b l e f o r w i r e l e s s s e r v i c e s i s e x t r e m e l y s c a r c e , w h i l e d e m a n d

f o r t h e s e s e r v i c e i s g r o w i n g a t a r a p i d p a c e 1 ] . S p e c t r a l e c i e n c y i s t h e r e f o r e o f p r i m a r y

c o n c e r n i n t h e d e s i g n o f f u t u r e w i r e l e s s d a t a c o m m u n i c a t i o n s s y s t e m s . H i g h o v e r a l l s p e c t r a l

e c i e n c y o f a w i r e l e s s c e l l u l a r s y s t e m m a y b e a c h i e v e d a t s e v e r a l l e v e l s o f t h e s y s t e m

d e s i g n 2 ] :

a t t h e r a d i o c o v e r a g e p l a n n i n g l e v e l b y m i n i m i z i n g c e l l a r e a a n d t h e c o - c h a n n e l r e u s e

d i s t a n c e .

a t t h e n e t w o r k / s y s t e m l e v e l b y u s i n g s o p h i s t i c a t e d c h a n n e l a l l o c a t i o n s c h e m e s t h a t

m a x i m i z e t h e o v e r a l l c a r r i e d t r a c .

a t t h e c o m m u n i c a t i o n l i n k l e v e l t h r o u g h a s k i l l f u l c o m b i n a t i o n o f b a n d w i d t h e c i e n t

c o d i n g a n d m o d u l a t i o n t e c h n i q u e s .

J u l y 1 0 , 1 9 9 8 D R A F T


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I n t h i s p a p e r w e f o c u s o n t h e l i n k s p e c t r a l e c i e n c y , d e n e d a s t h e a v e r a g e t r a n s m i t t e d

d a t a r a t e p e r u n i t b a n d w i d t h f o r a s p e c i e d a v e r a g e t r a n s m i t p o w e r a n d b i t - e r r o r - r a t e

( B E R ) . O v e r t h e l a s t t h r e e d e c a d e s r e s e a r c h e r s h a v e l o o k e d a t v a r i o u s w a y s t o i m p r o v e

t h e l i n k s p e c t r a l e c i e n c y o f w i r e l e s s s y s t e m s . I n w h a t f o l l o w s , w e r s t b r i e y s u m m a r i z e

t h e m a j o r s t e p s a n d p r o g r e s s a c h i e v e d i n t h a t a r e n a . W e t h e n p r e s e n t t h e o b j e c t i v e s a n d

o u t l i n e o f o u r p a p e r .

A . S p e c t r a l E c i e n c y o v e r F a d i n g C h a n n e l s

M u l t i l e v e l m o d u l a t i o n s c h e m e s , s u c h a s M Q A M , i n c r e a s e l i n k s p e c t r a l e c i e n c y b y s e n d -

i n g m u l t i p l e b i t s p e r s y m b o l 3 ] . U n f o r t u n a t e l y , m o b i l e r a d i o l i n k s a r e s u b j e c t t o s e v e r e

m u l t i p a t h f a d i n g d u e t o t h e c o m b i n a t i o n o f r a n d o m l y - d e l a y e d r e e c t e d , s c a t t e r e d , a n d

d i r a c t e d s i g n a l c o m p o n e n t s 4 ] . F a d i n g l e a d s t o s e r i o u s d e g r a d a t i o n i n t h e l i n k c a r r i e r -

t o - n o i s e r a t i o ( C N R ) , r e s u l t i n g i n e i t h e r a h i g h e r B E R o r a h i g h e r r e q u i r e d t r a n s m i t p o w e r

f o r a g i v e n m u l t i l e v e l m o d u l a t i o n t e c h n i q u e . T h u s , f a d i n g c o m p e n s a t i o n i s t y p i c a l l y r e -

q u i r e d t o i m p r o v e l i n k p e r f o r m a n c e . O n e c o m p e n s a t i o n t e c h n i q u e , p r o p o s e d b y S a m p e i

a n d S u n a g a 5 ] , u s e s p i l o t s y m b o l a s s i s t e d m o d u l a t i o n ( P S A M ) . T h i s t e c h n i q u e i n s e r t s a

t r a i n i n g s e q u e n c e i n t o t h e s t r e a m o f M Q A M d a t a s y m b o l s t o e x t r a c t t h e c h a n n e l - i n d u c e d

a t t e n u a t i o n a n d p h a s e s h i f t , w h i c h a r e t h e n u s e d f o r s y m b o l d e t e c t i o n . S p a c e d i v e r -

s i t y , w h i c h c o m b i n e s s i g n a l s r e c e i v e d o v e r s e v e r a l a n t e n n a b r a n c h e s , i s a n o t h e r p o w e r f u l

t e c h n i q u e t o c o m b a t f a d i n g 6 ] . D i v e r s i t y c a n o f t e n b e c o m b i n e d w i t h o t h e r f a d i n g c o m -

p e n s a t i o n m e t h o d s t o m i t i g a t e m o s t o f t h e f a d i n g d e g r a d a t i o n . F o r e x a m p l e , j o i n t u s e o f

P S A M a n d m a x i m a l - r a t i o c o m b i n i n g ( M R C ) a n t e n n a d i v e r s i t y w a s p r o p o s e d i n 7 ] , a n d

e l d t r i a l s w i t h t h i s t e c h n i q u e d e m o n s t r a t e d c o n s i d e r a b l e p e r f o r m a n c e i m p r o v e m e n t o v e r

M Q A M w i t h o u t c o m p e n s a t i o n 8 ] , 9 ] .

O t h e r f a d i n g c o m p e n s a t i o n t e c h n i q u e s i n c l u d e a n i n c r e a s e d l i n k b u d g e t m a r g i n o r i n -

t e r l e a v i n g w i t h c h a n n e l c o d i n g 2 ] . H o w e v e r t h e s e t e c h n i q u e s a r e d e s i g n e d r e l a t i v e t o t h e

w o r s t - c a s e c h a n n e l c o n d i t i o n s , r e s u l t i n g i n p o o r u t i l i z a t i o n o f t h e f u l l c h a n n e l c a p a c i t y a

g o o d p e r c e n t a g e o f t h e t i m e ( u n d e r n e g l i g i b l e o r s h a l l o w f a d i n g c o n d i t i o n s ) . A d a p t i n g c e r -

t a i n p a r a m e t e r s o f t h e t r a n s m i t t e d s i g n a l t o t h e c h a n n e l f a d i n g l e a d s t o b e t t e r u t i l i z a t i o n

o f t h e c h a n n e l c a p a c i t y . T h e c o n c e p t o f a d a p t i v e t r a n s m i s s i o n , w h i c h r e q u i r e s a c c u r a t e

c h a n n e l e s t i m a t i o n a t t h e r e c e i v e r a n d a r e l i a b l e f e e d b a c k p a t h b e t w e e n t h a t e s t i m a t o r

D R A F T J u l y 1 0 , 1 9 9 8


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a n d t h e t r a n s m i t t e r , w a s r s t p r o p o s e d a r o u n d t h e l a t e s i x t i e s 1 0 ] , 1 1 ] , 1 2 ] . I n t e r e s t i n

t h e s e t e c h n i q u e s w a s s h o r t - l i v e d , p e r h a p s d u e t o h a r d w a r e c o n s t r a i n t s , l a c k o f g o o d c h a n -

n e l e s t i m a t i o n t e c h n i q u e s , a n d / o r s y s t e m s f o c u s i n g o n p o i n t - t o - p o i n t r a d i o l i n k s w i t h o u t

t r a n s m i t t e r f e e d b a c k . T h e f a c t t h a t t h e s e i s s u e s a r e l e s s c o n s t r a i n i n g i n c u r r e n t l a n d

m o b i l e r a d i o s y s t e m s , c o u p l e d w i t h t h e n e e d f o r s p e c t r a l l y - e c i e n t c o m m u n i c a t i o n , h a s

r e v i v e d i n t e r e s t i n a d a p t i v e m o d u l a t i o n m e t h o d s . T h e m a i n i d e a b e h i n d t h e s e s c h e m e s i s

r e a l - t i m e b a l a n c i n g o f t h e l i n k b u d g e t t h r o u g h a d a p t i v e v a r i a t i o n o f t h e t r a n s m i t t e d p o w e r

l e v e l 1 0 ] , s y m b o l r a t e 1 1 ] , c o n s t e l l a t i o n s i z e 1 3 ] , 1 4 ] , 1 5 ] , c o d i n g r a t e / s c h e m e 1 6 ] , o r

a n y c o m b i n a t i o n o f t h e s e p a r a m e t e r s 1 2 ] , 1 7 ] , 1 8 ] , 1 9 ] , 2 0 ] , 2 1 ] , 2 2 ] . T h u s , w i t h o u t

s a c r i c i n g B E R t h e s e s c h e m e s p r o v i d e a m u c h h i g h e r a v e r a g e s p e c t r a l e c i e n c y b y t a k -

i n g a d v a n t a g e o f t h e \ t i m e - v a r y i n g " n a t u r e o f t h e w i r e l e s s c h a n n e l : t r a n s m i t t i n g a t h i g h

s p e e d s u n d e r f a v o r a b l e c h a n n e l c o n d i t i o n s a n d r e s p o n d i n g t o c h a n n e l d e g r a d a t i o n t h r o u g h

a s m o o t h r e d u c t i o n o f t h e i r d a t a t h r o u g h p u t . T h e p e r f o r m a n c e o f t h e s e s c h e m e s i s f u r -

t h e r i m p r o v e d b y c o m b i n i n g t h e m w i t h s p a c e d i v e r s i t y 2 3 ] . T h e d i s a d v a n t a g e o f t h e s e

a d a p t i v e t e c h n i q u e s i s t h a t t h e y r e q u i r e a n a c c u r a t e c h a n n e l e s t i m a t e a t t h e t r a n s m i t t e r ,

a d d i t i o n a l h a r d w a r e c o m p l e x i t y t o i m p l e m e n t a d a p t i v e t r a n s m i s s i o n , a n d b u e r i n g / d e l a y

o f t h e i n p u t d a t a s i n c e t h e t r a n s m i s s i o n r a t e v a r i e s w i t h c h a n n e l c o n d i t i o n s .

B . O b j e c t i v e a n d O u t l i n e

T h e a i m o f t h i s p a p e r i s t o i n v e s t i g a t e t h e t h e o r e t i c a l s p e c t r a l e c i e n c y l i m i t s o f a d a p t i v e

m o d u l a t i o n i n R a y l e i g h f a d i n g c h a n n e l s . T h i s f a d i n g c h a n n e l m o d e l a p p l i e s t o l a n d m o b i l e

r a d i o c h a n n e l s w i t h o u t a l i n e - o f - s i g h t p a t h b e t w e e n t h e t r a n s m i t t e r a n d r e c e i v e r a n t e n n a s ,

a s w e l l a s t o i o n o s p h e r i c 2 4 ] a n d t r o p o s p h e r i c s c a t t e r 2 5 ] c h a n n e l s . O u r a n a l y s e s c a n a l s o

b e g e n e r a l i z e d t o N a k a g a m i f a d i n g c h a n n e l s 2 6 ] .

T h e S h a n n o n c a p a c i t y o f a c h a n n e l d e n e s i t s t h e o r e t i c a l u p p e r b o u n d f o r t h e m a x i m u m

r a t e o f d a t a t r a n s m i s s i o n a t a n a r b i t r a r i l y s m a l l B E R , w i t h o u t a n y d e l a y o r c o m p l e x i t y

c o n s t r a i n t s . T h e r e f o r e , t h e S h a n n o n c a p a c i t y r e p r e s e n t s a n o p t i m i s t i c b o u n d f o r p r a c t i c a l

c o m m u n i c a t i o n s c h e m e s , a n d a l s o s e r v e s a s a b e n c h - m a r k a g a i n s t w h i c h t o c o m p a r e t h e

s p e c t r a l e c i e n c y o f a l l p r a c t i c a l a d a p t i v e t r a n s m i s s i o n s c h e m e s 1 9 ] . I n 2 7 ] t h e c a p a c i t y o f

a s i n g l e - u s e r a t - f a d i n g c h a n n e l w i t h c h a n n e l m e a s u r e m e n t i n f o r m a t i o n a t t h e t r a n s m i t t e r

a n d r e c e i v e r w a s d e r i v e d f o r v a r i o u s a d a p t i v e t r a n s m i s s i o n p o l i c i e s . I n t h i s p a p e r w e a p p l y

J u l y 1 0 , 1 9 9 8 D R A F T


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t h e g e n e r a l t h e o r y d e v e l o p e d i n 2 7 ] t o o b t a i n c l o s e d - f o r m e x p r e s s i o n s f o r t h e c a p a c i t y o f

R a y l e i g h f a d i n g c h a n n e l s u n d e r d i e r e n t a d a p t i v e t r a n s m i s s i o n a n d d i v e r s i t y - c o m b i n i n g

t e c h n i q u e s . I n p a r t i c u l a r , w e c o n s i d e r t h r e e a d a p t a t i o n p o l i c i e s : o p t i m a l s i m u l t a n e o u s

p o w e r a n d r a t e a d a p t a t i o n , c o n s t a n t p o w e r w i t h o p t i m a l r a t e a d a p t a t i o n , a n d c h a n n e l

i n v e r s i o n w i t h x e d r a t e . W e i n v e s t i g a t e t h e r e l a t i v e i m p a c t o f M R C a n d s e l e c t i v e c o m -

b i n i n g ( S C ) d i v e r s i t y s c h e m e s i n c o n j u n c t i o n w i t h e a c h o f t h e s e a d a p t i v e t r a n s m i s s i o n

s c h e m e s . N o t e t h a t a n a n a l y t i c a l e v a l u a t i o n o f t h e c a p a c i t y i n a R a y l e i g h f a d i n g e n v i r o n -

m e n t w i t h t h e c o n s t a n t p o w e r p o l i c y w a s c a r r i e d o u t i n 2 8 ] , 2 9 ] , 3 0 ] . W e e x t e n d t h i s

a n a l y s i s t o d e r i v e c l o s e d - f r o m e x p r e s s i o n s f o r c a p a c i t y w i t h M R C a n d S C , a n d c o m p a r e i t

t o t h e c a p a c i t y o f t h e o t h e r a d a p t i v e m e t h o d s .

T h e r e m a i n d e r o f t h i s p a p e r i s o r g a n i z e d a s f o l l o w s . I n S e c t i o n I I w e o u t l i n e t h e c h a n n e l

a n d c o m m u n i c a t i o n s y s t e m m o d e l . W e d e r i v e t h e c a p a c i t y o f a R a y l e i g h f a d i n g c h a n n e l

( w i t h a n d w i t h o u t d i v e r s i t y ) f o r t h e o p t i m a l a d a p t a t i o n p o l i c y , c o n s t a n t p o w e r p o l i c y , a n d

c h a n n e l i n v e r s i o n p o l i c y i n S e c t i o n I I I , I V , a n d V , r e s p e c t i v e l y . I n S e c t i o n V I , w e p r e s e n t

s o m e n u m e r i c a l e x a m p l e s c o m p a r i n g ( i ) t h e R a y l e i g h c h a n n e l c a p a c i t y w i t h t h e c a p a c i t y o f

a n a d d i t i v e w h i t e G a u s s i a n n o i s e ( A W G N ) c h a n n e l , a n d ( i i ) t h e R a y l e i g h c h a n n e l c a p a c i t y

f o r t h e v a r i o u s a d a p t a t i o n p o l i c i e s a n d d i v e r s i t y - c o m b i n i n g t e c h n i q u e s u n d e r c o n s i d e r a t i o n .

W e r e v i e w o u r m a i n r e s u l t s a n d o e r s o m e c o n c l u d i n g r e m a r k s i n S e c t i o n V I I .

I I . C h a n n e l a n d S y s t e m M o d e l

I n t h i s s e c t i o n , w e d e s c r i b e t h e c h a n n e l a n d c o m m u n i c a t i o n s y s t e m m o d e l . A b l o c k

d i a g r a m o f t h e t r a n s m i s s i o n s y s t e m i s s h o w n i n F i g . 1 .

W e a s s u m e t h a t t h e c h a n n e l c h a n g e s a t a r a t e m u c h s l o w e r t h a n t h e d a t a r a t e , s o t h e

c h a n n e l r e m a i n s c o n s t a n t o v e r h u n d r e d s o f s y m b o l s . W e c a l l t h i s a s l o w l y - v a r y i n g c h a n n e l .

W e a s s u m e a R a y l e i g h f a d i n g c h a n n e l s o t h a t t h e p r o b a b i l i t y d i s t r i b u t i o n f u n c t i o n ( P D F )

o f C N R ,

, i s g i v e n b y a n e x p o n e n t i a l d i s t r i b u t i o n 4 , ( 5 . 2 - 1 3 ) , p . 3 1 4 ]

p

( ) =

e

=

; 0 ;

( 1 )

w h e r e

i s t h e a v e r a g e r e c e i v e d C N R .

W e c o n s i d e r b o t h M R C a n d S C d i v e r s i t y c o m b i n i n g o f t h e r e c e i v e d s i g n a l . M R C d i v e r -

s i t y c o m b i n i n g r e q u i r e s t h a t t h e i n d i v i d u a l s i g n a l s f r o m e a c h b r a n c h b e w e i g h t e d b y t h e i r

D R A F T J u l y 1 0 , 1 9 9 8


6/43


s i g n a l v o l t a g e t o n o i s e p o w e r r a t i o s t h e n s u m m e d c o h e r e n t l y 4 , p . 3 1 6 ] . I n o u r M R C

a n a l y s e s w e a s s u m e p e r f e c t k n o w l e d g e o f t h e b r a n c h a m p l i t u d e s a n d p h a s e s , w h i c h w e

c a l l p e r f e c t c o m b i n i n g . M R C w i t h p e r f e c t c o m b i n i n g i s t h e o p t i m a l d i v e r s i t y s c h e m e 4 ,

p . 3 1 6 ] , a n d t h e r e f o r e p r o v i d e s t h e m a x i m u m c a p a c i t y i m p r o v e m e n t r e l a t i v e t o a l l c o m -

b i n i n g t e c h n i q u e s . T h e d i s a d v a n t a g e o f M R C i s t h a t i t r e q u i r e s k n o w l e d g e o f t h e b r a n c h

p a r a m e t e r s a n d i n d e p e n d e n t p r o c e s s i n g o f e a c h b r a n c h . L e t

k

d e n o t e t h e a v e r a g e C N R

o n t h e k

t h b r a n c h . F o r i n d e p e n d e n t b r a n c h s i g n a l s a n d e q u a l a v e r a g e b r a n c h C N R :

k

= f o r a l l

k2 f

1 ; 2 ; 3; : : ; M

g ;( 2 )

t h e P D F o f t h e r e c e i v e d C N R a t t h e o u t p u t o f a p e r f e c t M

- b r a n c h M R C c o m b i n e r i s a

c h i - s q u a r e d i s t r i b u t i o n w i t h 2 M

d e g r e e s o f f r e e d o m 4 , ( 5 . 2 - 1 4 ) , p . 3 1 9 ] g i v e n b y

p

m r c

( ) =

M

1

e

=

( M 1 ) !

M

; 0 :

( 3 )

S C d i v e r s i t y o n l y p r o c e s s e s o n e o f t h e d i v e r s i t y b r a n c h e s . S p e c i c a l l y , t h e c o m b i n e r

c h o o s e s t h e b r a n c h w i t h t h e h i g h e s t C N R 4 , p . 3 1 3 ] . T h u s , t h i s d i v e r s i t y - c o m b i n i n g

t e c h n i q u e i s s i m p l e r t h a n M R C , b u t a l s o y i e l d s s u b o p t i m a l p e r f o r m a n c e . S i n c e t h e o u t p u t

o f t h e S C c o m b i n e r i s e q u a l t o t h e s i g n a l o n o n e o f t h e b r a n c h e s , t h e c o h e r e n t s u m o f t h e

i n d i v i d u a l b r a n c h s i g n a l s i s n o t r e q u i r e d

1

. A s s u m i n g i n d e p e n d e n t b r a n c h s i g n a l s a n d e q u a l

a v e r a g e b r a n c h C N R ( 2 ) , t h e P D F o f t h e r e c e i v e d C N R a t t h e o u t p u t o f a n M

- b r a n c h S C

c o m b i n e r i s g i v e n b y 4 , ( 5 . 2 - 7 ) , p . 3 1 6 ]

p

s c

( ) =

M

( 1 e

=

)

M

1

e

=

; 0 :

( 4 )

N o t e t h a t u s i n g t h e b i n o m i a l e x p a n s i o n , w e c a n r e w r i t e ( 4 ) a s

p

s c

( ) =

M

M

1

X

k= 0

( 1 )

k

M 1

k

!

e

( 1 +k )

=

;( 5 )

w h e r e

M

1

k

d e n o t e s t h e b i n o m i a l c o e c i e n t g i v e n b y

M 1

k

!

=

( M 1 ) !

( M k 1 ) !

k !

:( 6 )

1

T h e S C s c h e m e c a n t h e r e f o r e b e u s e d i n c o n j u n c t i o n w i t h d i e r e n t i a l m o d u l a t i o n t e c h n i q u e s , i n c o n t r a s t t o

M R C , w h i c h i s r e s t r i c t e d b y d e s i g n t o c o h e r e n t m o d u l a t i o n s .

J u l y 1 0 , 1 9 9 8 D R A F T


7/43


W e a s s u m e t h r o u g h o u t o u r a n a l y s e s t h a t t h e v a r i a t i o n i n t h e c o m b i n e r o u t p u t C N R

i s t r a c k e d p e r f e c t l y b y t h e r e c e i v e r . W e a l s o a s s u m e t h a t t h e v a r i a t i o n i n

i s s e n t

b a c k t o t h e t r a n s m i t t e r v i a a n e r r o r - f r e e f e e d b a c k p a t h . T h e t i m e d e l a y i n t h i s f e e d b a c k

p a t h i s a s s u m e d t o b e n e g l i g i b l e c o m p a r e d t o t h e r a t e o f t h e c h a n n e l v a r i a t i o n . A l l t h e s e

a s s u m p t i o n s , w h i c h a r e r e a s o n a b l e f o r h i g h - s p e e d d a t a t r a n s m i s s i o n o v e r a s l o w l y - f a d i n g

c h a n n e l , a l l o w t h e t r a n s m i t t e r t o a d a p t i t s p o w e r a n d / o r r a t e r e l a t i v e t o t h e a c t u a l c h a n n e l

s t a t e .

I I I . O p t i m a l S i m u l t a n e o u s P o w e r a n d R a t e A d a p t a t i o n

G i v e n a n a v e r a g e t r a n s m i t p o w e r c o n s t r a i n t , t h e c h a n n e l c a p a c i t y o f a f a d i n g c h a n n e l

w i t h r e c e i v e d C N R d i s t r i b u t i o n p

( ) a n d o p t i m a l p o w e r a n d r a t e a d a p t a t i o n ( < C >

o p r a

B i t / S e c ] ) i s g i v e n i n 2 7 ] a s

< C >

o p r a

= B

Z

+1

o

l o g

2

o

!

p

( )d ; ( 7 )

w h e r e B

H z ] i s t h e c h a n n e l b a n d w i d t h a n d

o

i s t h e o p t i m a l c u t o C N R l e v e l b e l o w w h i c h

d a t a t r a n s m i s s i o n i s s u s p e n d e d . T h i s o p t i m a l c u t o m u s t s a t i s f y t h e e q u a t i o n

Z

+1

o

1

o

1

!

p

( )d = 1

:( 8 )

T o a c h i e v e t h e c a p a c i t y ( 7 ) , t h e c h a n n e l f a d e l e v e l m u s t b e t r a c k e d a t b o t h t h e r e c e i v e r a n d

t r a n s m i t t e r , a n d t h e t r a n s m i t t e r h a s t o a d a p t i t s p o w e r a n d r a t e a c c o r d i n g l y , a l l o c a t i n g

h i g h p o w e r l e v e l s a n d r a t e s f o r g o o d c h a n n e l c o n d i t i o n s (

l a r g e ) , a n d l o w e r p o w e r l e v e l s

a n d r a t e s f o r u n f a v o r a b l e c h a n n e l c o n d i t i o n s (

s m a l l ) . S i n c e n o d a t a i s s e n t w h e n <

o

,

t h e o p t i m a l p o l i c y s u e r s a p r o b a b i l i t y o f o u t a g e P

o u t

, e q u a l t o t h e p r o b a b i l i t y o f n o

t r a n s m i s s i o n , g i v e n b y

P

o u t

= P

o

] =

Z

o

0

p

( )d = 1

Z

+1

o

p

( )d : ( 9 )

W e n o w o b t a i n c l o s e d - f o r m e x p r e s s i o n s f o r t h e o p t i m a l c u t o C N R

o

, c a p a c i t y < C >

o p r a

,

a n d o u t a g e p r o b a b i l i t y P

o u t

o f t h i s o p t i m a l a d a p t a t i o n t e c h n i q u e w i t h a n d w i t h o u t d i v e r -

s i t y c o m b i n i n g . N o n u m e r i c a l i n t e g r a t i o n s a r e r e q u i r e d , t h o u g h n u m e r i c a l r o o t n d i n g i s

n e e d e d t o n d

o

.

D R A F T J u l y 1 0 , 1 9 9 8


8/43


A . N o D i v e r s i t y

S u b s t i t u t i n g ( 1 ) i n ( 8 ) w e n d t h a t

o

m u s t s a t i s f y

E

0

o

!

E

1

o

!

= ; ( 1 0 )

w h e r e E

n

( x) i s t h e e x p o n e n t i a l i n t e g r a l o f o r d e r

nd e n e d b y

E

n

( x) =

Z

+1

1

t

n

e

x t

d t; x 0 :

( 1 1 )

I n p a r t i c u l a r , E

0

( x) =

e

x

= x , s o ( 1 0 ) r e d u c e s t o

e

o

=

o

=

E

1

o

!

= : ( 1 2 )

L e tx =

o

= a n d d e n e

f ( x) =

e

x

x

E

1

( x ) : ( 1 3 )

N o t e t h a t

d f( x )

d x

=

e

x

x

2

o p r a

a s

< C >

o p r a

= Bl o g

2

( e )

o

J

1

o

!

:( 1 5 )

T h e e v a l u a t i o n o f J

1

( ) i s d e r i v e d i n t h e A p p e n d i x A a n d g i v e n i n ( 7 1 ) . U s i n g t h a t r e s u l t

w e o b t a i n t h e c a p a c i t y p e r u n i t b a n d w i d t h < C >

o p r a

= B B i t s / S e c / H z ] a s

< C >

o p r a

B

= l o g

2

( e ) E

1

o

!

:( 1 6 )

U s i n g ( 1 2 ) i n ( 1 6 ) , t h e o p t i m a l c a p a c i t y p e r u n i t b a n d w i d t h r e d u c e s t o t h e s i m p l e e x p r e s -

s i o n

< C >

o p r a

B

= l o g

2

( e )

e

o

=

o

=

!

:( 1 7 )

U s i n g ( 1 ) i n t h e p r o b a b i l i t y o f o u t a g e e q u a t i o n ( 9 ) y i e l d s

P

o u t

= 1 e

o

=

:( 1 8 )

J u l y 1 0 , 1 9 9 8 D R A F T


9/43


B . M a x i m a l - R a t i o C o m b i n i n g

I n s e r t i n g t h e C N R d i s t r i b u t i o n ( 3 ) i n ( 8 ) w e s e e t h a t w i t h M R C c o m b i n i n g

o

m u s t

s a t i s f y

M ;

o

o

M 1 ;

o

!

= (M

1 ) ! ; ( 1 9 )

w h e r e ( : ; : ) i s t h e c o m p l e m e n t a r y i n c o m p l e t e g a m m a f u n c t i o n d e n e d i n ( 6 5 ) . L e t x =

o

= a n d d e n e

f

m r c

( x) =

( M ; x)

x

(

M 1; x

) ( M 1 ) ! : ( 2 0 )

N o t e t h a t

d f

m r c

( x )

d x

=

( M ; x)

x

2

m r c

o p r a

=

Bl o g

2

( e )

( M 1 ) !

o

!

M

J

M

o

!

:( 2 1 )

T h e e v a l u a t i o n o f J

n

( ) i s d e r i v e d i n t h e A p p e n d i x A a n d g i v e n i n ( 7 0 ) . U s i n g t h a t r e s u l t ,

w e o b t a i n t h e c a p a c i t y p e r u n i t b a n d w i d t h < C >

m r c

o p r a

= B B i t s / S e c / H z ] a s

< C >

m r c

o p r a

B

= l o g

2

( e )

E

1

(

o

= ) +

M

1

X

k= 1

P

k

(

o

= )

k

!

;( 2 2 )

w h e r e P

k

( :) d e n o t e s t h e P o i s s o n d i s t r i b u t i o n d e n e d i n ( 6 7 ) . T h e c o r r e s p o n d i n g p r o b a -

b i l i t y o f o u t a g e P

m r c

o u t

i s o b t a i n e d b y s u b s t i t u t i n g ( 3 ) i n t o ( 9 ) , a n d u s i n g 3 1 , ( 3 . 3 8 1 . 3 ) , p .

3 6 4 ] a n d ( 6 6 ) :

P

m r c

o u t

= 1 P

M

(

o

= ) :

( 2 3 )

C . S e l e c t i o n C o m b i n i n g

S u b s t i t u t i n g t h e C N R d i s t r i b u t i o n ( 5 ) i n t o ( 8 ) w e n d t h a t

o

m u s t s a t i s f y

M

1

X

k= 0

( 1 )

k

M 1

k

!

e

( 1 +k )

o

=

( 1 +k )

o

=

E

1

( ( 1 + k )

o

= )

!

= = M : ( 2 4 )

D R A F T J u l y 1 0 , 1 9 9 8


10/43


L e tx =

o

= a n d d e n e

f

s c

( x) =

M

1

X

k= 0

( 1 )

k

M 1

k

!

e

( 1 +k ) x

( 1 +k ) x

E

1

( ( 1 + k ) x )

!

= M : ( 2 5 )

N o t e t h a t

d f

s c

( x )

d x

=

P

M

1

k= 0

a

k

( x) , w h e r e

a

k

( x) = (

1 )

k

M

1

k

e

( 1 + k ) x

( 1 +k )

2

x

2

. S i n c e a

0

( x) =

e

x

= x

2

>0 a n d , f o r a l l

k M , j a

k+ 1

( x ) j

s c

o p r a

=B M l o g

2

( e )

o

M

1

X

k= 0

( 1 )

k

M 1

k

!

J

1

( 1 +k )

o

!

:( 2 6 )

U s i n g ( 7 1 ) f r o m A p p e n d i x A w e o b t a i n t h e c a p a c i t y p e r u n i t b a n d w i d t h , < C >

s c

o p r a

= B

B i t s / S e c / H z ] , a s

< C >

s c

o p r a

B

= Ml o g

2

( e )

M

1

X

k= 0

( 1 )

k

M 1

k

!

E

1

( ( 1 + k )

o

= )

1 +k

:( 2 7 )

T h e c o r r e s p o n d i n g p r o b a b i l i t y o f o u t a g e P

s c

o u t

i s o b t a i n e d b y s u b s t i t u t i n g ( 5 ) i n t o ( 9 ) :

P

s c

o u t

= 1 M

M

1

X

k= 0

( 1 )

k

M 1

k

!

e

( 1 +k )

o

=

1 +k

:( 2 8 )

W e s e e f r o m ( 2 8 ) t h a t a s

t e n d s t o i n n i t y ( a n d

o

t e n d s t o 1 ) P

s c

o u t

t e n d s t o z e r o , a s

e x p e c t e d . S i m i l a r l y , w e c a n a l s o s e e f r o m ( 2 8 ) t h a t a s

o

t e n d s t o z e r o ( i . e , t o t a l c h a n n e l

i n v e r s i o n ) P

s c

o u t

t e n d s t o z e r o .

I V . O p t i m a l R a t e A d a p t a t i o n w i t h C o n s t a n t T r a n s m i t P o w e r

W i t h o p t i m a l r a t e a d a p t a t i o n t o c h a n n e l f a d i n g w i t h a c o n s t a n t t r a n s m i t p o w e r , t h e

c h a n n e l c a p a c i t y < C >

o r a

B i t s / S e c ] b e c o m e s 2 7 ] , 3 2 ] ,

< C >

o r a

= B

Z

+1

0

l o g

2

( 1 + ) p

( )d : ( 2 9 )

J u l y 1 0 , 1 9 9 8 D R A F T


11/43

1 0 S U B M I T T E D T O I E E E T R A N S A C T I O N S O N V E H I C U L A R T E C H N O L O G Y

< C >

o r a

w a s p r e v i o u s l y i n t r o d u c e d b y L e e 2 8 ] a s t h e a v e r a g e c h a n n e l c a p a c i t y o f a

a t - f a d i n g c h a n n e l , s i n c e i t i s o b t a i n e d b y a v e r a g i n g t h e c a p a c i t y o f a n A W G N c h a n n e l

C

a w g n

= Bl o g

2

( 1 + ) ;

( 3 0 )

o v e r t h e d i s t r i b u t i o n o f t h e r e c e i v e d C N R

. I n f a c t , ( 2 9 ) r e p r e s e n t s t h e c a p a c i t y o f t h e

f a d i n g c h a n n e l w i t h o u t t r a n s m i t t e r f e e d b a c k ( i . e . w i t h t h e c h a n n e l f a d e l e v e l k n o w n a t t h e

r e c e i v e r o n l y ) 2 9 ] , 3 3 ] , 3 4 ] . I n t h e f o l l o w i n g a n a l y s i s w e r s t o b t a i n t h e c h a n n e l c a p a c i t y

w i t h o u t d i v e r s i t y ( c o r r e c t i n g s o m e m i n o r e r r o r s i n 2 8 ] ) , a n d t h e n d e r i v e a n a l y t i c a l e x p r e s -

s i o n s a s w e l l a s s i m p l e a c c u r a t e a s y m p t o t i c a p p r o x i m a t i o n s o f t h e c a p a c i t y i m p r o v e m e n t

w i t h b o t h M R C a n d S C d i v e r s i t y .


S u b s t i t u t i n g ( 1 ) i n t o ( 2 9 ) , t h e c h a n n e l c a p a c i t y < C >

o r a

o f a R a y l e i g h f a d i n g c h a n n e l i s

o b t a i n e d a s

< C >

o r a

=

Z

+1

0

Bl o g

2

( 1 + )

e

=

d : ( 3 1 )

D e n i n g t h e i n t e g r a l I

n

( ) a s :

I

n

( ) =

Z

+1

0

t

n

1

l n ( 1 + t ) e

t

d t;

> 0 ;n

= 1; 2

; : : : ; ( 3 2 )

w e c a n r e w r i t e < C >

o r a

a s

< C >

o r a

= Bl o g

2

( e )

I

1

( 1 = )

:( 3 3 )

U s i n g t h e r e s u l t o f ( 8 0 ) f r o m t h e A p p e n d i x B , w e c a n w r i t e < C >

o r a

= B B i t s / S e c / H z ] a s

< C >

o r a

B

= l o g

2

( e ) e

1=

E

1

( 1 = ) :

( 3 4 )

N o t e t h a t t h e e x p o n e n t i a l - i n t e g r a l f u n c t i o n o f r s t o r d e r , E

1

( :) , i s r e l a t e d t o t h e e x p o n e n t i a l -

i n t e g r a l f u n c t i o n , E

i

( :) , u s e d i n 2 8 ] b y

E

1

( x) =

E

i

( x) .

U s i n g t h e r s t s e r i e s e x p a n s i o n f o r E

1

( :) 2 8 , ( 6 ) ] , a n d s u b s t i t u t i n g i t i n t o ( 3 4 ) y i e l d s

< C >

o r a

B

= l o g

2

( e ) e

1=

E+ l n

+1

X

k= 1

( 1=

)

k

k k !

!

;( 3 5 )

D R A F T J u l y 1 0 , 1 9 9 8


12/43

A L O U I N I A N D G O L D S M I T H : C A P A C I T Y O F R A Y L E I G H F A D I N G C H A N N E L S 1 1

w h e r e E

i s t h e E u l e r c o n s t a n t ( E

= 0:

5 7 7 2 1 5 6 6 5 ) . T h e r e f o r e , f o r > > 1 , w e g e t t h e

f o l l o w i n g a p p r o x i m a t i o n f o r ( 3 4 ) :

< C >

o r a

B

'l o g

2

( e ) e

1=

E+ l n

+

1

!

:( 3 6 )

U s i n g t h e s e c o n d s e r i e s e x p a n s i o n f o r E

1

( :) g i v e n b y 2 8 , ( 7 ) ] a n d s u b s t i t u t i n g i t i n ( 3 4 )

y i e l d s

< C >

o r a

= Bl o g

2

( e )

n

X

k= 1

( 1 )

( k+ 1 )

( k 1 ) !

k

+ R

n

;( 3 7 )

w h e r e R

n

i s a r e m a i n d e r t e r m . T a k i n g t h e l i m i t a s t h e c h a n n e l b a n d w i d t h a p p r o a c h e s

i n n i t y y i e l d s

l i m

B!

+1

< C >

o r a

= l o g

2

( e )

< S >

N

o

;( 3 8 )

w h e r e < S > W ] i s t h e a v e r a g e c a r r i e r p o w e r a n d N

o

W / H z ] i s t h e n o i s e d e n s i t y p o w e r

p e r u n i t b a n d w i d t h

2

.


S u b s t i t u t i n g ( 3 ) i n t o ( 2 9 ) , w e o b t a i n t h e c h a n n e l c a p a c i t y < C >

m r c

o r a

B i t s / S e c ] w i t h M R C

i n t e r m s o f t h e i n t e g r a l I

M

( :) a s

< C >

m r c

o r a

= Bl o g

2

( e )

I

M

( 1 = )

( M 1 ) !

M

:( 3 9 )

U s i n g ( 7 8 ) f r o m A p p e n d i x B , w e c a n r e w r i t e < C >

m r c

o r a

= B B i t s / S e c / H z ] a s

< C >

m r c

o r a

B

= l o g

2

( e ) e

1=

M

1

X

k= 0

(

k ;1

= )

k

;( 4 0 )

w h e r e ( : ; : ) i s t h e c o m p l e m e n t a r y i n c o m p l e t e g a m m a f u n c t i o n d e n e d i n ( 6 5 ) . N o t e t h a t

b y u s i n g 3 1 , ( 8 . 3 5 9 . 1 ) , p . 9 5 1 ] , t h e c a p a c i t y w i t h t h e M R C d i v e r s i t y s c h e m e ( 4 0 ) w i t h

a s i n g l e b r a n c h ( M

= 1 ) r e d u c e s t o ( 3 4 ) , a s e x p e c t e d . N o t e a l s o t h a t b y u s i n g 3 1 ,

( 8 . 3 5 2 . 3 ) , p . 9 5 0 ] a n d 3 1 , ( 8 . 3 5 9 . 1 ) , p . 9 5 1 ] , o n e m a y e x p r e s s ( 4 0 ) i n t e r m s o f t h e P o i s s o n

d i s t r i b u t i o n a s 3 0 , ( 7 ) ] :

< C >

m r c

o r a

B

= l o g

2

( e )

P

M

( 1=

) E

1

( 1 = ) +

M

1

X

k= 1

P

k

( 1 = ) P

M

k

( 1=

)

k

!

:( 4 1 )

2

I n 2 8 ] , t h e a v e r a g e C N R

i s d e n o t e d b y . N o t e t h e t y p o e r r o r i n 2 8 , ( 4 ) ] (

i n s t e a d o f i n t h e d e n o m i n a t o r ) ,

a n d t h e r e s u l t i n g s i g n d i e r e n c e i n t h e a r g u m e n t o f t h e e x p o n e n t i a l t e r m e

1 =

b e t w e e n o u r r e s u l t ( 3 4 ) a n d 2 8 ,

( 5 ) ] , a n d b e t w e e n ( 3 6 ) a n d 2 8 , ( 9 ) ] . T h e r e i s a l s o a s i g n d i e r e n c e b e t w e e n ( 3 7 ) a n d 2 8 , ( 1 0 ) ] . H o w e v e r t h e l i m i t

( 3 8 ) m a t c h e s t h e l i m i t i n g e x p r e s s i o n 2 8 , ( 1 1 ) ] , s o t h e s i g n e r r o r i n 2 8 , ( 1 0 ) ] w a s c o r r e c t e d i n t h e l i m i t .

J u l y 1 0 , 1 9 9 8 D R A F T


13/43


M o r e o v e r , u s i n g t h e r s t s e r i e s e x p a n s i o n f o r E

1

( :) 2 8 , ( 6 ) ] i n ( 4 1 ) w e o b t a i n a n a s y m p t o t i c

a p p r o x i m a t i o n ( > > 1 ) f o r < C >

m r c

o r a

= B a s

< C >

m r c

o r a

B

'l o g

2

( e )

P

M

( 1=

)

E+ l n

+

1

!

+

M 1

X

k= 1

P

k

( 1 = ) P

M

k

( 1=

)

k

!

:

( 4 2 )

F i g . 5 c o m p a r e s p l o t s o f ( 4 0 ) w i t h i t s a s y m p t o t i c a p p r o x i m a t i o n ( 4 2 ) a n d t h e r e s u l t s a r e

d i s c u s s e d i n S e c t i o n V I - A .


S u b s t i t u t i n g ( 5 ) i n t o ( 2 9 ) , w e o b t a i n t h e c h a n n e l c a p a c i t y < C >

s c

o r a

B i t s / S e c ] w i t h S C

i n t e r m s o f t h e i n t e g r a l I

1

( :) a s

< C >

s c

o r a

=

B M

l o g

2

( e )

M

1

X

k= 0

( 1 )

k

M 1

k

!

I

1

1 +k

!

:( 4 3 )

T h e n , u s i n g ( 8 0 ) f r o m A p p e n d i x B , w e c a n w r i t e < C >

s c

o r a

= B B i t s / S e c / H z ] a s

< C >

s c

o r a

B

= Ml o g

2

( e )

M

1

X

k= 0

( 1 )

k

M 1

k

!

e

( k+ 1 ) =

E

1

( ( 1 + k )

= )

1 +k

:( 4 4 )

W e a g a i n n o t e t h a t f o r a s i n g l e b r a n c h ( M

= 1 ) , ( 4 4 ) r e d u c e s t o ( 3 4 ) a s e x p e c t e d .

U s i n g t h e r s t s e r i e s e x p a n s i o n f o r E

1

( :) 2 8 , ( 6 ) ] a n d s u b s t i t u t i n g i t i n t o ( 4 4 ) y i e l d s a

s i m p l e a s y m p t o t i c a p p r o x i m a t i o n ( > > 1 ) f o r < C >

s c

o r a

= B g i v e n b y

< C >

s c

o r a

B

' Ml o g

2

( e )

M

1

X

k= 0

( 1 )

k+ 1

1 +k

M 1

k

!

e

( 1 +k )

=

"

E+ l n

1 +k

!

1 +k

! #

:

( 4 5 )

F i g . 6 c o m p a r e s p l o t s o f ( 4 4 ) w i t h i t s a s y m p t o t i c a p p r o x i m a t i o n ( 4 5 ) a n d t h e r e s u l t s a r e

d i s c u s s e d i n S e c t i o n V I - A .

V . C h a n n e l I n v e r s i o n w i t h F i x e d R a t e

T h e c h a n n e l c a p a c i t y w h e n t h e t r a n s m i t t e r a d a p t s i t s p o w e r t o m a i n t a i n a c o n s t a n t C N R

a t t h e r e c e i v e r ( i . e . , i n v e r t s t h e c h a n n e l f a d i n g ) w a s a l s o i n v e s t i g a t e d i n 2 7 ] . T h i s t e c h -

n i q u e u s e s x e d - r a t e m o d u l a t i o n a n d a x e d c o d e d e s i g n , s i n c e t h e c h a n n e l a f t e r c h a n n e l

i n v e r s i o n a p p e a r s a s a t i m e - i n v a r i a n t A W G N c h a n n e l . A s a r e s u l t , c h a n n e l i n v e r s i o n w i t h

x e d r a t e i s t h e l e a s t c o m p l e x t e c h n i q u e t o i m p l e m e n t , a s s u m i n g g o o d c h a n n e l e s t i m a t e s

D R A F T J u l y 1 0 , 1 9 9 8


14/43


a r e a v a i l a b l e a t t h e t r a n s m i t t e r a n d r e c e i v e r . T h e c h a n n e l c a p a c i t y w i t h t h i s t e c h n i q u e

(< C >

c i f r

B i t s / S e c ] ) i s d e r i v e d f r o m t h e c a p a c i t y o f a n A W G N c h a n n e l a n d i s g i v e n i n 2 7 ]

a s

< C >

c i f r

= Bl o g

2

1 +

1

R

+1

0

p

( )= d

!

:( 4 6 )

C h a n n e l i n v e r s i o n w i t h x e d r a t e s u e r s a l a r g e c a p a c i t y p e n a l t y r e l a t i v e t o t h e o t h e r

t e c h n i q u e s , s i n c e a l a r g e a m o u n t o f t h e t r a n s m i t t e d p o w e r i s r e q u i r e d t o c o m p e n s a t e f o r

t h e d e e p c h a n n e l f a d e s . A b e t t e r a p p r o a c h i s t o u s e a m o d i e d i n v e r s i o n p o l i c y w h i c h

i n v e r t s t h e c h a n n e l f a d i n g o n l y a b o v e a x e d c u t o f a d e d e p t h

o

. T h e c a p a c i t y w i t h t h i s

t r u n c a t e d c h a n n e l i n v e r s i o n a n d x e d r a t e p o l i c y ( < C >

t i f r

B i t s / S e c ] ) w a s d e r i v e d i n 2 7 ]

t o b e

< C >

t i f r

= Bl o g

2

1 +

1

R

+ 1

o

p

( )= d

!

( 1 P

o u t

) ;( 4 7 )

w h e r e P

o u t

i s g i v e n b y ( 9 ) . T h e c u t o l e v e l

o

c a n b e s e l e c t e d t o a c h i e v e a s p e c i e d o u t a g e

p r o b a b i l i t y o r , a l t e r n a t i v e l y , t o m a x i m i z e ( 4 7 ) . T h e c h o i c e o f

o

i s e x a m i n e d i n m o r e d e t a i l

i n t h e f o l l o w i n g s u b s e c t i o n s .

W e n o w d e r i v e c l o s e d - f o r m e x p r e s s i o n s f o r t h e c a p a c i t y u n d e r c h a n n e l i n v e r s i o n w i t h t h e

d i e r e n t d i v e r s i t y c o m b i n i n g t e c h n i q u e s .


B y s u b s t i t u t i n g t h e C N R d i s t r i b u t i o n ( 1 ) i n ( 4 6 ) w e n d t h a t t h e c a p a c i t y o f a R a y l e i g h

f a d i n g c h a n n e l w i t h t o t a l c h a n n e l i n v e r s i o n , < C >

c i f r

, i s z e r o . H o w e v e r , w i t h t r u n c a t e d

c h a n n e l i n v e r s i o n t h e c a p a c i t y p e r u n i t b a n d w i d t h < C >

t i f r

= B B i t s / S e c / H z ] c a n b e

e x p r e s s e d i n t e r m s o f

a n d

o

a s

< C >

t i f r

B

= l o g

2

1 +

E

1

(

o

= )

!

e

o

=

:( 4 8 )

F i g . 2 s h o w s t h e d e p e n d e n c e o f < C >

t i f r

= B o n

o

f o r d i e r e n t

v a l u e s . A l l t h e s e

c u r v e s s h o w t h a t c a p a c i t y i s m a x i m i z e d f o r a n o p t i m a l c u t o C N R

o

w h i c h i n c r e a s e s a s a

f u n c t i o n o f

. R e c a l l t h a t w e p r o v e d t h e e x i s t e n c e o f a u n i q u e o p t i m a l c u t o C N R f o r t h e

o p t i m a l a d a p t a t i o n p o l i c y i n S e c t i o n I I I - A . H o w e v e r , f o r o p t i m a l a d a p t a t i o n t h e o p t i m a l

c u t o C N R

o

w a s a l w a y s b o u n d e d b e t w e e n 0 , 1 ] ( i . e . s m a l l e r t h a n 0 d B ) , w h e r e a s f o r t h i s

p o l i c y

o

i s b i g g e r t h a n 0 d B w h e n > 5 d B . T h i s m e a n s t h a t , f o r a x e d

, t r u n c a t e d

J u l y 1 0 , 1 9 9 8 D R A F T


15/43


c h a n n e l i n v e r s i o n h a s b o t h a s m a l l e r c a p a c i t y ( s e e F i g . 9 ) a n d a h i g h e r p r o b a b i l i t y o f

o u t a g e ( s e e F i g . 1 0 ) t h a n t h e o p t i m a l p o l i c y o f S e c t i o n I I I .


W e o b t a i n t h e c a p a c i t y p e r u n i t b a n d w i d t h f o r t o t a l c h a n n e l i n v e r s i o n w i t h M R C d i -

v e r s i t y c o m b i n i n g , < C >

m r c

c i f r

, b y s u b s t i t u t i n g ( 3 ) i n t o ( 4 6 ) a n d u s i n g 3 1 , ( 3 . 3 8 1 . 4 ) , p .

3 6 4 ] :

< C >

m r c

c i f r

B

= l o g

2

( 1 + ( M

1 ) ) :

( 4 9 )

N o t e t h a t t h e c a p a c i t y o f t h i s p o l i c y f o r a R a y l e i g h f a d i n g c h a n n e l w i t h a n M - b r a n c h p e r -

f e c t M R C c o m b i n e r ( 4 9 ) i s t h e s a m e a s t h e c a p a c i t y o f a s e t o f M

1 p a r a l l e l , i n d e p e n d e n t

A W G N c h a n n e l s 3 5 , ( 1 5 ) ] .

T r u n c a t e d c h a n n e l i n v e r s i o n i m p r o v e s t h e c a p a c i t y ( 4 9 ) a t t h e e x p e n s e o f o u t a g e p r o b a -

b i l i t y P

m r c

o u t

. T h e c a p a c i t y o f t r u n c a t e d c h a n n e l i n v e r s i o n w i t h M R C c o m b i n i n g , < C >

m r c

t i f r

,

i s o b t a i n e d b y i n s e r t i n g ( 3 ) i n ( 4 7 ) a n d u s i n g 3 1 , ( 3 . 3 8 1 . 3 ) , p . 3 6 4 ] :

< C >

m r c

t i f r

B

= l o g

2

1 +

( M 1 ) !

(M 1

;

o

= )

!

( M ;

o

= )

( M 1 ) !

:( 5 0 )

U s i n g p r o p e r t y ( 6 6 ) o f t h e c o m p l e m e n t a r y i n c o m p l e t e g a m m a f u n c t i o n , w e c a n r e w r i t e

( 5 0 ) a s t h e s i m p l e e x p r e s s i o n

< C >

m r c

t i f r

B

= l o g

2

1 +

( M 1 )

P

M

1

(

o

= )

!

P

M

(

o

= )

; M 2 :

( 5 1 )

F i g . 3 s h o w s t h e d e p e n d e n c e o f < C >

m r c

t i f r

= B o n

o

a t d i e r e n t

v a l u e s f o r 2 - b r a n c h

M R C d i v e r s i t y . C o m p a r i n g F i g . 2 a n d F i g . 3 w e s e e t h a t , f o r a x e d

, t h e m a x i m i z i n g

c u t o C N R

o

i n c r e a s e s w h e n M R C d i v e r s i t y i s u s e d . I n a d d i t i o n , t h e r e l a t i v e a t n e s s

o f t h e c u r v e s i n F i g . 3 f o r

o

<

o

i n d i c a t e s t h a t t h e c a p a c i t y i m p r o v e m e n t p r o v i d e d b y

t r u n c a t e d c h a n n e l i n v e r s i o n (

o

=

o

) c o m p a r e d t o t o t a l c h a n n e l i n v e r s i o n (

o

= 0 ) i s

r e l a t i v e l y s m a l l , a n d t h i s l i t t l e i m p r o v e m e n t c o m e s a t t h e e x p e n s e o f a h i g h e r p r o b a b i l i t y

o f o u t a g e ( s e e F i g . 1 2 ) . T h i s s u g g e s t s t h a t , a s l o n g a s d i v e r s i t y i s u s e d , t o t a l c h a n n e l

i n v e r s i o n i s a b e t t e r a l t e r n a t i v e t h a n t r u n c a t e d c h a n n e l i n v e r s i o n .

D R A F T J u l y 1 0 , 1 9 9 8


16/43



W e o b t a i n t h e t h e c a p a c i t y p e r u n i t b a n d w i d t h o f a R a y l e i g h f a d i n g c h a n n e l w i t h t o t a l

c h a n n e l i n v e r s i o n a n d S C d i v e r s i t y , < C >

s c

c i f r

, b y s u b s t i t u t i n g ( 5 ) i n ( 4 6 ) ,

< C >

s c

c i f r

B

= l o g

2

0

@

1 +

Ml i m

u!

0

+

P

M

1

k= 0

( 1 )

k

M

1

k

E

1

( ( 1 + k )

u = )

1

A

:( 5 2 )

W h e n t r u n c a t e d c h a n n e l i n v e r s i o n i s u s e d i n c o m b i n a t i o n w i t h S C t h e c a p a c i t y p e r u n i t

b a n d w i d t h b e c o m e s

< C >

s c

t i f r

B

= l o g

2

0

@

1 +

M

P

M

1

k= 0

( 1 )

k

M

1

k

E

1

( ( 1 + k )

o

= )

1

A

( 1 P

s c

o u t

) :( 5 3 )

R e c a l l t h a t P

s c

o u t

t e n d s t o z e r o a s

o

t e n d s t o 0 ( i . e , t o t a l c h a n n e l i n v e r s i o n ) . H e n c e , a s

e x p e c t e d , w e s e e t h a t ( 5 3 ) r e d u c e s t o ( 5 2 ) w h e n

o

t e n d s t o z e r o .

V I . N u m e r i c a l R e s u l t s a n d C o m p a r i s o n s

I n t h i s s e c t i o n , w e s t a r t b y c o m p a r i n g t h e c a p a c i t y o f a n A W G N c h a n n e l ( C

a w g n

) w i t h t h e

c a p a c i t y o f a R a y l e i g h c h a n n e l w i t h o p t i m a l r a t e a d a p t a t i o n , < C >

o r a

, c o n s t a n t t r a n s m i t

p o w e r , a n d v a r i o u s d i v e r s i t y - c o m b i n i n g t e c h n i q u e s . W e t h e n c o m p a r e t h e R a y l e i g h c h a n n e l

c a p a c i t i e s f o r t h e v a r i o u s a d a p t a t i o n p o l i c i e s a n d d i v e r s i t y - c o m b i n i n g t e c h n i q u e s .

A . C o m p a r i s o n w i t h A W G N C h a n n e l C a p a c i t y

I n F i g . 4 , c h a n n e l c a p a c i t y w i t h o u t d i v e r s i t y , < C >

o r a

, g i v e n b y ( 3 4 ) , a s w e l l a s i t s

a s y m p t o t i c a p p r o x i m a t i o n ( 3 6 ) , a r e p l o t t e d a g a i n s t

. T h i s g u r e a l s o d i s p l a y s t h e c a p a c -

i t y p e r u n i t b a n d w i d t h o f a n A W G N c h a n n e l , C

a w g n

( 3 0 ) . W i t h t h e s e r e s u l t s w e n d , f o r

e x a m p l e , t h a t

F o r

= 1 0 d B , < C >

o r a

' 2 :9 1

B, w h e r e a s

C

a w g n

' 3 :4 6

B .

F o r

= 2 5 d B , < C >

o r a

' 7 :5 0

B, w h e r e a s

C

a w g n

' 8 :3 1

B .

T h e r e f o r e , t h e c h a n n e l c a p a c i t y o f a R a y l e i g h f a d i n g c h a n n e l i s r e d u c e d b y 1 5 . 9 % f o r

= 1 0

d B a n d b y 9 . 7 5 % f o r

= 2 5 d B

3

. N o t e i n F i g . 4 t h a t t h e a s y m p t o t i c a p p r o x i m a t i o n ( 3 6 )

c l o s e l y m a t c h e s t h e e x a c t a v e r a g e c a p a c i t y ( 3 4 ) w h e n > 5 d B .

3

T h e s e r e s u l t s c o r r e c t t h e 3 2 % a n d 1 1 % v a l u e s r e p o r t e d i n 2 8 ] . M o r e o v e r , f r o m F i g . 4 , n o t e t h a t a s m a l l e r v a l u e

o f

r e s u l t s i n a s m a l l e r d i e r e n c e b e t w e e n C

a w g n

a n d < C >

o r a

, c o n t r a r y t o w h a t w a s c o n c l u d e d i n 2 8 ] .

J u l y 1 0 , 1 9 9 8 D R A F T


17/43


F i g . 5 s h o w s p l o t s o f < C >

m r c

o r a

= B ( 4 0 ) a s w e l l a s i t s a s y m p t o t i c a p p r o x i m a t i o n ( 4 2 ) a s

f u n c t i o n s o f t h e a v e r a g e C N R p e r b r a n c h ,

, f o r v a r i o u s v a l u e s o f M

. W e u s e t h e C N R

p e r b r a n c h f o r t h i s c o m p a r i s o n s o t h a t w e c a n l a t e r c o m p a r e t h e i m p r o v e m e n t s p r o v i d e d

b y M R C a n d S C d i v e r s i t y s c h e m e s o n a f a i r b a s i s , a s w e w i l l e x p l a i n i n m o r e d e t a i l b e l o w .

N o t e t h e l a r g e d i v e r s i t y g a i n o b t a i n e d b y t w o - b r a n c h c o m b i n i n g : t h e c a p a c i t y w i t h t w o

b r a n c h e s i n f a d i n g e x c e e d s t h a t o f a s i n g l e b r a n c h A W G N c h a n n e l . F i g . 5 a l s o d i s p l a y s t h e

c a p a c i t y p e r u n i t b a n d w i d t h o f a n a r r a y o f M

i n d e p e n d e n t A W G N c h a n n e l s w i t h o p t i m a l

c o m b i n i n g ( M R C ) 3 5 , ( 1 5 ) ] :

C

m r c

a w g n

B

= l o g

2

( 1 + M ) :

( 5 4 )

N o t e t h a t t h e c a p a c i t y o f a n a r r a y o f M

i n d e p e n d e n t R a y l e i g h c h a n n e l s w i t h M R C c o m -

b i n i n g a p p r o a c h e s t h e c a p a c i t y o f a n a r r a y o f M

i n d e p e n d e n t A W G N c h a n n e l s a s M

t e n d s

t o i n n i t y . N o t e a l s o t h e d i m i n i s h i n g c a p a c i t y r e t u r n s t h a t a r e o b t a i n e d a s t h e n u m b e r

o f b r a n c h i n c r e a s e s . T h i s d i m i n i s h i n g r e t u r n s c h a r a c t e r i s t i c i s a l s o e x h i b i t e d w h e n t h e

p e r f o r m a n c e e v a l u a t i o n i s b a s e d o n o u t a g e p r o b a b i l i t i e s 4 ] . F i n a l l y , n o t e a g a i n t h a t t h e

a s y m p t o t i c a p p r o x i m a t i o n ( 4 2 ) c l o s e l y m a t c h e s t h e e x a c t a v e r a g e c a p a c i t y ( 4 0 ) w h e n >

5 d B .


s c

o r a

= B ( 4 4 ) a s w e l l a s i t s a s y m p t o t i c a p p r o x i m a t i o n ( 4 5 )

a s f u n c t i o n o f t h e a v e r a g e C N R p e r b r a n c h

f o r v a r i o u s v a l u e s o f M

. C o m p a r i n g F i g .

5 a n d F i g . 6 w e s e e t h a t , a s e x p e c t e d , t h e S C s c h e m e p r o v i d e s l e s s d i v e r s i t y g a i n a n d a

l o w e r r a t e o f i m p r o v e m e n t t h a n t h e M R C s c h e m e . H o w e v e r , t h e g r e a t e s t i m p r o v e m e n t i s

s t i l l o b t a i n e d i n g o i n g f r o m a s i n g l e - b r a n c h t o t w o - b r a n c h c o m b i n i n g , w h i c h a g a i n y i e l d s

a h i g h e r c a p a c i t y t h a n t h a t o f a s i n g l e b r a n c h A W G N c h a n n e l . F i g . 6 a l s o d i s p l a y s

t h e c a p a c i t y p e r u n i t b a n d w i d t h o f a n a r r a y o f M

i n d e p e n d e n t A W G N c h a n n e l s w i t h

s e l e c t i o n - c o m b i n i n g :

C

s c

a w g n

B

= l o g

2

( 1 +

M

X

n= 1

1

n

) :( 5 5 )

W e a g a i n n o t e t h a t t h e c a p a c i t y o f a n a r r a y o f M

i n d e p e n d e n t R a y l e i g h c h a n n e l s a p -

p r o a c h e s t h e c a p a c i t y o f a n a r r a y o f M

i n d e p e n d e n t A W G N c h a n n e l s a s M

t e n d s t o

i n n i t y . F i n a l l y , f o r a l l M

t h e a s y m p t o t i c a p p r o x i m a t i o n ( 4 5 ) c l o s e l y m a t c h e s t h e e x a c t

a v e r a g e c a p a c i t y ( 4 4 ) w h e n > 5 d B .

D R A F T J u l y 1 0 , 1 9 9 8


18/43


F o r t h e M

- b r a n c h M R C d i v e r s i t y s c h e m e , t h e a v e r a g e c o m b i n e d C N R < >

m r c

i s r e l a t e d

t o t h e a v e r a g e C N R p e r b r a n c h

b y 4 , ( 5 . 2 - 1 6 ) , p . 3 1 9 ] < >

m r c

=M . W e c a n t h e r e f o r e

a l s o e x p r e s s < C >

m r c

o r a

= B i n t e r m s o f < >

m r c

a s

< C >

m r c

o r a

B

= l o g

2

( e) e x p

M

< >

m r c

!

M

1

X

k= 0

M

< >

m r c

!

k

k ;

M

< >

m r c

!

:( 5 6 )


m r c

o r a

= B v e r s u s t h e a v e r a g e c o m b i n e d C N R < >

m r c

f o r v a r i o u s

v a l u e s o f M

. T h e s e p l o t s s h o w t h e s a m e n u m e r i c a l r e s u l t s a s 2 8 , F i g . 2 ] f o r M

2 ,

a n d 3 0 , F i g . 1 ] f o r M

1 . T h e s e r e s u l t s s h o w t h a t , w h e n e x p r e s s e d i n t e r m s o f t h e

a v e r a g e c o m b i n e d C N R , t h e c a p a c i t y o f a R a y l e i g h c h a n n e l c a n n e v e r \ b e a t " t h e c a p a c i t y

o f a s i n g l e b r a n c h A W G N c h a n n e l , b u t i t c o m e s c l o s e t o t h e A W G N c h a n n e l c a p a c i t y a s

t h e n u m b e r o f d i v e r s i t y b r a n c h e s M

a p p r o a c h e s i n n i t y .

F o r t h e M

- b r a n c h S C d i v e r s i t y s c h e m e , t h e a v e r a g e c o m b i n e d C N R < >

s c

i s r e l a t e d t o

t h e a v e r a g e C N R o f a s i n g l e b r a n c h

b y 4 , ( 5 . 2 - 8 ) , p . 3 1 6 ] < >

s c

=

P

M

n= 1

1

n

. W e c a n

t h e r e f o r e a l s o e x p r e s s < C >

s c

o r a

= B i n t e r m s o f < >

s c

a s

< C >

s c

o r a

B

= Ml o g

2

( e )

M

1

X

k= 0

( 1 )

k

1 +k

M 1

k

!

e x p

( 1 +k )

P

M

n= 1

1

n

< >

s c

!

E

1

( 1 +k )

P

M

n= 1

1

n

< >

s c

!

:

( 5 7 )


s c

o r a

= B v e r s u s t h e a v e r a g e c o m b i n e d C N R < >

s c

f o r v a r i o u s

v a l u e s o f M

. I n f a c t , F i g . 7 a n d F i g . 8 a r e v e r y s i m i l a r , s i n c e < C >

s c

o r a

a p p r o a c h e s

t h e c a p a c i t y o f t h e s i n g l e b r a n c h A W G N c h a n n e l C

a s t h e n u m b e r o f d i v e r s i t y b r a n c h e s

Mi n c r e a s e s . H o w e v e r , a c l o s e l o o k a t t h e n u m e r i c a l r e s u l t s s h o w s t h a t f o r a x e d

M ,

< C >

m r c

o r a

i s a l w a y s s l i g h t l y b i g g e r t h a n < C >

s c

o r a

f o r a n e q u a l a v e r a g e C N R a t t h e o u t p u t

o f t h e c o m b i n e r ( i . e . f o r < >

m r c

=< >

s c

) . N o t e t h a t t h i s s l i m d i e r e n c e s i s d u e t o t h e

f a c t t h a t t h e a v e r a g e C N R p e r b r a n c h f o r S C ( =

< >

s c

=

P

M

n= 1

1

n

) i s b i g g e r t h a n t h e

a v e r a g e C N R p e r b r a n c h f o r M R C ( =

< >

m r c

= M ) f o r a n e q u a l a v e r a g e c o m b i n e d C N R .

T h a t i s w h y , a s m e n t i o n e d a b o v e , w e b e l i e v e t h a t a f a i r c o m p a r i s o n b e t w e e n t h e M R C a n d

S C d i v e r s i t y s c h e m e s s h o u l d b e b a s e d o n t h e a v e r a g e C N R p e r b r a n c h ( F i g . 5 a n d F i g .

6 ) . H o w e v e r , w h e n l o o k e d a t i n d i v i d u a l l y , F i g s . 7 - 8 a r e a l s o o f i n t e r e s t s i n c e t h e y s h o w

t h a t t h e c a p a c i t y o f a s i n g l e b r a n c h A W G N c h a n n e l w i t h C N R

i s a l w a y s b i g g e r t h a n t h e

c a p a c i t y o f a f a d i n g c h a n n e l w i t h t h e s a m e a v e r a g e r e c e i v e d C N R

a t t h e o u t p u t o f t h e

d i v e r s i t y c o m b i n e r , r e g a r d l e s s o f t h e a d a p t a t i o n a n d d i v e r s i t y - c o m b i n i n g s t r a t e g y i n t h e

J u l y 1 0 , 1 9 9 8 D R A F T


19/43


l a t t e r c a s e .

B . C o m p a r i s o n o f t h e D i e r e n t P o l i c i e s

F i g . 9 s h o w s t h e c a l c u l a t e d c h a n n e l c a p a c i t y p e r u n i t b a n d w i d t h a s a f u n c t i o n o f

f o r

t h e d i e r e n t a d a p t a t i o n p o l i c i e s w i t h o u t d i v e r s i t y - c o m b i n i n g . T h e s e c u r v e s c o n r m t h e

p r e v i o u s n u m e r i c a l r e s u l t s r e p o r t e d i n 2 7 ] u s i n g t h e c l o s e d - f o r m e x p r e s s i o n s ( 1 7 ) , ( 3 4 ) ,

a n d ( 4 8 ) i n s t e a d o f n u m e r i c a l i n t e g r a t i o n . F r o m t h i s g u r e w e s e e t h a t t h e o p t i m a l p o w e r

a n d r a t e a d a p t a t i o n ( 1 7 ) y i e l d s a s m a l l i n c r e a s e i n c a p a c i t y o v e r j u s t r a t e a d a p t a t i o n ( 3 4 ) ,

a n d t h i s s m a l l i n c r e a s e i n c a p a c i t y d i m i n i s h e s a s

i n c r e a s e s . T h e c o r r e s p o n d i n g o u t a g e

p r o b a b i l i t y ( 1 8 ) f o r t h e o p t i m a l a d a p t a t i o n a n d t r u n c a t e d c h a n n e l i n v e r s i o n ( w i t h o p t i m a l

c u t o

o

) a r e s h o w n i n F i g . 1 0 .

F i g . 1 1 s h o w s t h e c h a n n e l c a p a c i t y p e r u n i t b a n d w i d t h a s a f u n c t i o n o f

f o r t h e d i e r e n t

p o l i c i e s w i t h M R C d i v e r s i t y . A s t h e n u m b e r o f c o m b i n i n g b r a n c h e s i n c r e a s e s t h e c a p a c i t y

d i e r e n c e b e t w e e n o p t i m a l p o w e r a n d r a t e a d a p t a t i o n v e r s u s o p t i m a l r a t e a d a p t a t i o n

a l o n e b e c o m e s n e g l i g i b l e f o r a l l v a l u e s o f

. F o r a n y M

, x e d r a t e t r a n s m i s s i o n w i t h

t o t a l c h a n n e l i n v e r s i o n s u e r s t h e l a r g e s t c a p a c i t y p e n a l t y r e l a t i v e t o t h e o t h e r p o l i c i e s .

H o w e v e r , a s M

i n c r e a s e s , t h e f a d i n g i s p r o g r e s s i v e l y r e d u c e d , a n d t h i s p e n a l t y d i m i n i s h e s

r e m a r k a b l y . T h u s , a s M

i n c r e a s e s , a l l c a p a c i t i e s o f t h e v a r i o u s p o l i c i e s c o n v e r g e t o t h e

c a p a c i t y o f a n a r r a y o f M

i n d e p e n d e n t A W G N c h a n n e l s ( 5 4 ) . H o w e v e r , i t i s n o t p o s s i b l e

i n p r a c t i c e t o c o m p l e t e l y e l i m i n a t e t h e e e c t s o f f a d i n g t h r o u g h s p a c e d i v e r s i t y s i n c e t h e

n u m b e r o f d i v e r s i t y b r a n c h e s i s l i m i t e d . T h i s i s e s p e c i a l l y t r u e f o r t h e d o w n - l i n k ( b a s e

s t a t i o n t o m o b i l e ) , s i n c e m o b i l e r e c e i v e r s a r e g e n e r a l l y c o n s t r a i n e d i n s i z e a n d p o w e r .

S i n c e c h a n n e l i n v e r s i o n i s t h e l e a s t c o m p l e x t e c h n i q u e , t h e r e i s a t r a d e o o f c o m p l e x i t y

a n d c a p a c i t y f o r t h e v a r i o u s a d a p t a t i o n m e t h o d s a n d d i v e r s i t y - c o m b i n i n g t e c h n i q u e s . T h e

d i v e r s i t y g a i n f o r a l l p o l i c i e s i s q u i t e i m p o r t a n t , e s p e c i a l l y f o r t o t a l c h a n n e l i n v e r s i o n . F o r

e x a m p l e i n F i g . 1 1 w e s e e t h a t t h e c a p a c i t y w i t h t o t a l c h a n n e l i n v e r s i o n a n d t w o - b r a n c h

M R C e x c e e d s t h a t o f a s i n g l e b r a n c h s y s t e m w i t h o p t i m a l a d a p t a t i o n . N o t e t h a t t h i s

g u r e a l s o i l l u s t r a t e s t h e t y p i c a l d i m i n i s h i n g r e t u r n s o b t a i n e d a s t h e n u m b e r o f b r a n c h e s

i n c r e a s e s . I n a d d i t i o n , f o r M

= 1 t o t a l c h a n n e l i n v e r s i o n s u e r s a l a r g e c a p a c i t y p e n a l t y

r e l a t i v e t o t r u n c a t e d c h a n n e l i n v e r s i o n . H o w e v e r , a s t h e n u m b e r o f c o m b i n i n g b r a n c h e s M

i n c r e a s e s , t h e e e c t o f f a d i n g i s p r o g r e s s i v e l y r e d u c e d , a n d t h i s p e n a l t y d i m i n i s h e s r e m a r k -

D R A F T J u l y 1 0 , 1 9 9 8


20/43


a b l y . I n p a r t i c u l a r , a s M

i n c r e a s e s , w e s e e t h a t t r u n c a t e d c h a n n e l i n v e r s i o n y i e l d s a s m a l l

i n c r e a s e i n c a p a c i t y o v e r t o t a l c h a n n e l i n v e r s i o n , a n d t h i s s m a l l i n c r e a s e i n c a p a c i t y d i m i n -

i s h e s a s t h e a v e r a g e C N R

a n d / o r t h e n u m b e r o f c o m b i n e d b r a n c h e s M

i n c r e a s e . T h e

c o r r e s p o n d i n g o u t a g e p r o b a b i l i t y ( 2 3 ) f o r t h e o p t i m a l a d a p t a t i o n a n d t r u n c a t e d c h a n n e l

i n v e r s i o n ( w i t h o p t i m a l c u t o

o

) p o l i c i e s w i t h M R C a r e s h o w n i n F i g . 1 2 .

F i g . 1 3 s h o w s t h e c h a n n e l c a p a c i t y p e r u n i t b a n d w i d t h a s a f u n c t i o n o f

f o r t h e d i e r e n t

a d a p t a t i o n p o l i c i e s w i t h S C d i v e r s i t y . A s e x p e c t e d , S C p r o v i d e s l e s s d i v e r s i t y g a i n t h a n

M R C , w i t h r a p i d l y d i m i n i s h i n g r e t u r n s a s M

i n c r e a s e s . H o w e v e r , t h e d i v e r s i t y i m p a c t o n

c h a n n e l i n v e r s i o n i s s t i l l i m p o r t a n t f o r S C d i v e r s i t y , s i n c e t h e c a p a c i t y w i t h t h i s p o l i c y a n d

w i t h t w o - b r a n c h c o m b i n i n g e x c e e d s t h a t o f a s i n g l e b r a n c h s y s t e m w i t h o p t i m a l a d a p t a t i o n

f o r a l l > 8 d B .

F i g . 1 4 c o m p a r e s t h e c h a n n e l c a p a c i t y p e r u n i t b a n d w i d t h a s f u n c t i o n o f

f o r t h e d i f -

f e r e n t a d a p t a t i o n p o l i c i e s w i t h ( a ) 4 - b r a n c h M R C d i v e r s i t y a n d ( b ) 4 - b r a n c h S C d i v e r s i t y .

T h e s e c u r v e s i l l u s t r a t e t h e e x t r a d i v e r s i t y g a i n p r o v i d e d b y M R C o v e r S C . W e s e e f r o m

t h i s g u r e t h a t M R C p r o v i d e s a b o u t 1 B i t / S e c / H z i m p r o v e m e n t o v e r S C a t a n y

a n d f o r

a n y o f t h e c o n s i d e r e d a d a p t i v e t r a n s m i s s i o n p o l i c i e s .

V I I . C o n c l u s i o n

W e h a v e e x a m i n e d t h e S h a n n o n c a p a c i t y o r , e q u i v a l e n t l y , t h e u p p e r - b o u n d o n s p e c t r a l

e c i e n c y o f t h r e e a d a p t i v e t r a n s m i s s i o n t e c h n i q u e s o v e r R a y l e i g h f a d i n g c h a n n e l s . I n p a r -

t i c u l a r , w e o b t a i n e d c l o s e d - f o r m e x p r e s s i o n s f o r t h e c a p a c i t y w h e n t h e s e a d a p t i v e s c h e m e s

a r e u s e d i n c o n j u n c t i o n w i t h d i v e r s i t y c o m b i n i n g .

W e r s t c o m p a r e d t h e c a p a c i t y o f a n A W G N c h a n n e l w i t h t h e c a p a c i t y o f a R a y l e i g h

c h a n n e l w i t h o p t i m a l r a t e a d a p t a t i o n a n d c o n s t a n t t r a n s m i t p o w e r . W h e n e x p r e s s e d

i n t e r m s o f t h e a v e r a g e C N R p e r b r a n c h , t h e c a p a c i t y o f a n a r r a y o f M

i n d e p e n d e n t

R a y l e i g h c h a n n e l s i s b i g g e r t h a n t h e c a p a c i t y o f a s i n g l e b r a n c h A W G N c h a n n e l , b u t i s

a l w a y s s m a l l e r t h a n t h e c a p a c i t y o f a n a r r a y o f M

i n d e p e n d e n t A W G N c h a n n e l s , a n d

c o n v e r g e s t o i t a s M

t e n d s t o i n n i t y . O n t h e o t h e r h a n d , w h e n e x p r e s s e d i n t e r m s o f t h e

a v e r a g e c o m b i n e d C N R , t h e c a p a c i t y o f a R a y l e i g h c h a n n e l w i t h d i v e r s i t y c a n n o t \ b e a t "

t h e c a p a c i t y o f a s i n g l e b r a n c h A W G N c h a n n e l , b u t c o m e s c l o s e t o i t a s t h e n u m b e r o f

d i v e r s i t y b r a n c h e s a p p r o a c h e s i n n i t y .

J u l y 1 0 , 1 9 9 8 D R A F T


21/43


W e a l s o c o m p a r e d t h e c h a n n e l c a p a c i t i e s o f t h e v a r i o u s a d a p t a t i o n p o l i c i e s b o t h w i t h a n d

w i t h o u t d i v e r s i t y c o m b i n i n g . O p t i m a l p o w e r a n d r a t e a d a p t a t i o n y i e l d s a s m a l l i n c r e a s e i n

c a p a c i t y o v e r j u s t o p t i m a l r a t e a d a p t a t i o n , a n d t h i s s m a l l i n c r e a s e i n c a p a c i t y d i m i n i s h e s a s

t h e a v e r a g e r e c e i v e d C N R a n d / o r t h e n u m b e r o f d i v e r s i t y b r a n c h e s i n c r e a s e s . I n a d d i t i o n ,

c h a n n e l i n v e r s i o n s u e r s t h e l a r g e s t c a p a c i t y p e n a l t y r e l a t i v e t o t h e t w o o t h e r p o l i c i e s .

H o w e v e r , t h i s c a p a c i t y p e n a l t y d i m i n i s h e s a n d a l l c a p a c i t i e s a p p r o a c h t h e c a p a c i t y o f t h e

A W G N c h a n n e l w i t h i n c r e a s i n g d i v e r s i t y .

D i v e r s i t y y i e l d s l a r g e c a p a c i t y g a i n s f o r a l l t h e t e c h n i q u e s w i t h d i m i n i s h i n g r e t u r n s o n

t h e n u m b e r o f b r a n c h e s . T h e d i v e r s i t y g a i n i s m o s t p r o n o u n c e d f o r c h a n n e l i n v e r s i o n . I n

a d d i t i o n , s e l e c t i o n c o m b i n i n g p r o v i d e s l e s s d i v e r s i t y g a i n t h a n m a x i m a l - r a t i o c o m b i n i n g

f o r a l l t h e a d a p t i v e p o l i c i e s , a s e x p e c t e d .

A l t h o u g h t h e r e s u l t s d e r i v e d h e r e i n a r e S h a n n o n b o u n d s , s i m i l a r a n a l y s i s h a s b e e n a p -

p l i e d t o a d a p t i v e M Q A M m o d u l a t i o n w i t h o u t d i v e r s i t y 2 1 ] . T h u s , w e e x p e c t t h a t t h e

s a m e g e n e r a l t r e n d s w i l l b e o b s e r v e d o n a n y a d a p t i v e m o d u l a t i o n m e t h o d , a l t h o u g h t h e

s p e c t r a l e c i e n c y w i l l b e s m a l l e r .

D R A F T J u l y 1 0 , 1 9 9 8


22/43


A p p e n d i x A

E v a l u a t i o n o f J

n

( )( 1 4 )

W e e v a l u a t e t h e i n t e g r a l J

n

( ) d e n e d i n ( 1 4 ) u s i n g p a r t i a l i n t e g r a t i o n , n a m e l y :

Z

+1

1

u d v = l i m

t!

+1

(u v

) l i m

t!

1

(u v

)

Z

+1

1

v d u : ( 5 8 )

F i r s t , l e t

u= l n t : ( 5 9 )

T h u s

d u=

d t

t

:( 6 0 )

T h e n , l e t

d v= t

n

1

e

t

d t : ( 6 1 )

P e r f o r m i n g n

1 s u c c e s s i v e i n t e g r a t i o n b y p a r t s y i e l d s 3 1 , ( 2 . 3 2 1 . 2 ) , p . 1 1 2 ]

v = e

t

n

X

k= 1

( n 1 ) !

( n k) !

t

n

k

k

:( 6 2 )

S u b s t i t u t i n g ( 5 9 ) , ( 6 2 ) , a n d ( 6 0 ) i n ( 5 8 ) , w e s e e t h a t t h e r s t t w o t e r m s g o t o z e r o . H e n c e ,

J

n

( ) =

n

X

k= 1

( n 1 ) !

k

( n k) !

Z

+1

1

t

n

k

1

e

t

d t : ( 6 3 )

T h e i n t e g r a l i n ( 6 3 ) c a n b e w r i t t e n i n a c l o s e d - f o r m w i t h t h e h e l p o f 3 1 , ( 3 . 3 8 1 . 3 ) , p . 3 6 4 ] ,

g i v i n g

J

n

( ) =

( n 1 ) !

n

n

1

X

k= 0

( k ; )

k !

;( 6 4 )

w h e r e ( : ; : ) i s t h e c o m p l e m e n t a r y i n c o m p l e t e g a m m a f u n c t i o n ( o r P r y m ' s f u n c t i o n a s i t

i s s o m e t i m e s c a l l e d ) d e n e d b y 3 1 , ( 8 . 3 5 0 . 2 ) , p . 9 4 9 ]

( ; x ) =

Z

+1

x

t

1

e

t

d t : ( 6 5 )

F o rk

p o s i t i v e i n t e g e r s ,

( k ; ) = (k

1 ) !P

k

( ) ;

k 2 ;( 6 6 )

w h e r e P

k

( :) d e n o t e s t h e P o i s s o n d i s t r i b u t i o n d e n e d a s

P

k

( ) =

e

k

1

X

j= 0

j

j !

:( 6 7 )

J u l y 1 0 , 1 9 9 8 D R A F T


23/43


F o rk

= 0 3 1 , ( 8 . 3 5 9 . 1 ) p . 9 5 1 ]

( 0 ; ) =E

1

( ) ;( 6 8 )

w h e r e E

1

( :) i s t h e e x p o n e n t i a l - i n t e g r a l o f r s t o r d e r f u n c t i o n d e n e d a s

E

1

( x) =

Z

+1

1

e

x t

t

d t : ( 6 9 )

T h u s , f o r n

p o s i t i v e i n t e g e r s , ( 6 4 ) c a n b e w r i t t e n a s

J

n

( ) =

( n 1 ) !

n

E

1

( ) +

n

1

X

k= 1

P

k

( )

k

!

:( 7 0 )

I n p a r t i c u l a r w h e n n

= 1 , ( 7 0 ) r e d u c e s t o

J

1

( ) =

E

1

( )

:( 7 1 )

A p p e n d i x B

E v a l u a t i o n o f I

n

( )( 3 2 )

W e e v a l u a t e t h e i n t e g r a l I

n

( ) d e n e d i n ( 3 2 ) u s i n g p a r t i a l i n t e g r a t i o n , n a m e l y :

Z

+1

0

u d v = l i m

t!

+1

(u v

) l i m

t!

0

(u v

)

Z

+1

0

v d u : ( 7 2 )

F i r s t , l e t

u= l n ( 1 +

t ) :( 7 3 )

T h u s

d u=

d t

1 +t

:( 7 4 )

T h e n , l e t

d v= t

n

1

e

t

d t : ( 7 5 )

P e r f o r m i n g n

1 s u c c e s s i v e i n t e g r a t i o n b y p a r t s y i e l d s 3 1 , ( 2 . 3 2 1 . 2 ) , p . 1 1 2 ]

v = e

t

n

X

k= 1

( n 1 ) !

( n k) !

t

n

k

k

:( 7 6 )

S u b s t i t u t i n g ( 7 3 ) , ( 7 6 ) , a n d ( 7 4 ) i n ( 7 2 ) , w e s e e t h a t t h e r s t t w o t e r m s g o t o z e r o . H e n c e ,

I

n

( ) =

n

X

k= 1

( n 1 ) !

k

( n k) !

Z

+1

0

t

n k

e

t

1 +t

d t : ( 7 7 )

D R A F T J u l y 1 0 , 1 9 9 8


24/43


T h e i n t e g r a l i n ( 7 7 ) c a n b e w r i t t e n i n a c l o s e d - f o r m w i t h t h e h e l p o f 3 1 , ( 3 . 3 8 3 . 1 0 ) , p .

3 6 6 ] , g i v i n g

I

n

( ) = (

n 1 ) !

e

n

X

k= 1

( n +

k ; )

k

;( 7 8 )

w h e r e ( . , . ) i s t h e c o m p l e m e n t a r y i n c o m p l e t e g a m m a f u n c t i o n d e n e d i n ( 6 5 ) . N o t e t h a t

w h e n n

= 1 , ( 7 8 ) r e d u c e s t o

I

1

( ) =

e

( 0 ; )

;( 7 9 )

w h i c h c a n b e w r i t t e n a s

I

1

( ) =

e

E

1

( )

;( 8 0 )

w h e r e E

1

( :) i s t h e e x p o n e n t i a l - i n t e g r a l o f r s t o r d e r d e n e d b y ( 6 9 ) .

A c k n o w l e d g m e n t s

T h e a u t h o r s w i s h t o t h a n k P r o f . J . R . C r u z o f t h e U n i v e r s i t y o f O k l a h o m a f o r b r i n g i n g

t o o u r a t t e n t i o n t h e p a p e r 3 0 ] . T h e y w o u l d a l s o l i k e t o t h a n k t h e a n o n y m o u s r e v i e w e r s

f o r t h e i r v a l u a b l e c o m m e n t s a n d s u g g e s t i o n s .

R e f e r e n c e s

1 ] K . P a h l a v a n a n d A . H . L e v e s q u e , \ W i r e l e s s d a t a c o m m u n i c a t i o n s , " P r o c . I E E E , v o l . 8 2 , p p . 1 3 9 8 { 1 4 3 0 ,

S e p t e m b e r 1 9 9 4 .

2 ] G . L . S t u b e r , P r i n c i p l e s o f M o b i l e C o m m u n i c a t i o n s . N o r w e l l , M A : K l u w e r A c a d e m i c P u b l i s h e r s , 1 9 9 6 .

3 ] W . T . W e b b a n d L . H a n z o , M o d e r n Q u a d r a t u r e A m p l i t u d e M o d u l a t i o n . N e w Y o r k , N Y : I E E E P r e s s , 1 9 9 4 .

4 ] W . C . J a k e s , M i c r o w a v e M o b i l e C o m m u n i c a t i o n . P i s c a t a w a y , N J : I E E E P r e s s , S e c o n d e d . , 1 9 9 4 .

5 ] S . S a m p e i a n d T . S u n a g a , \ R a y l e i g h f a d i n g c o m p e n s a t i o n f o r Q A M i n l a n d m o b i l e r a d i o c o m m u n i c a t i o n s , "

I E E E T r a n s . V e h . T e c h n o l . , v o l . V T - 4 2 , p p . 1 3 7 { 1 4 7 , M a y 1 9 9 3 .

6 ] D . B r e n n a n , \ L i n e a r d i v e r s i t y c o m b i n i n g t e c h n i q u e s , " P r o c . I R E , v o l . 4 7 , p p . 1 0 7 5 { 1 1 0 2 , J u n e 1 9 5 9 .

7 ] T . S u n a g a a n d S . S a m p e i , \ P e r f o r m a n c e o f m u l t i - l e v e l Q A M w i t h p o s t - d e t e c t i o n m a x i m a l r a t i o c o m b i n -

i n g s p a c e d i v e r s i t y f o r d i g i t a l l a n d - m o b i l e r a d i o c o m m u n i c a t i o n s , " I E E E T r a n s . V e h . T e c h n o l . , v o l . V T - 4 2 ,

p p . 2 9 4 { 3 0 1 , A u g u s t 1 9 9 3 .

8 ] S . S a m p e i , Y . K a m i o , a n d H . S a s a o k a , \ F i e l d e x p e r i m e n t s o n p i l o t s y m b o l a i d e d 1 6 Q A M m o d e m s f o r l a n d

m o b i l e c o m m u n i c a t i o n s , " E l e c t r o n . L e t t . , v o l . 2 8 , p p . 2 1 9 8 { 2 1 9 9 , D e c e m b e r 1 9 9 2 .

9 ] S . S a m p e i , E . M o r i y a m a , H . S a s a o k a , N . K i n o s h i t a , K . H i r a m a t s u , K . I n o g a i , a n d K . H o n m a , \ F i e l d e x p e r i -

m e n t s o n a 1 6 Q A M / T D M A s y s t e m f o r l a n d m o b i l e c o m m u n i c a t i o n s , " E l e c t r o n . L e t t . , v o l . 3 0 , p p . 1 8 5 { 1 8 6 ,

F e b r u a r y 1 9 9 4 .

1 0 ] J . F . H a y e s , \ A d a p t i v e f e e d b a c k c o m m u n i c a t i o n s , " I E E E T r a n s . C o m m u n . T e c h n o l . , v o l . C O M - 1 6 , p p . 2 9 { 3 4 ,

F e b r u a r y 1 9 6 8 .

1 1 ] J . K . C a v e r s , \ V a r i a b l e - r a t e t r a n s m i s s i o n f o r R a y l e i g h f a d i n g c h a n n e l s , " I E E E T r a n s . C o m m u n . , v o l . C O M - 2 0 ,

p p . 1 5 { 2 2 , F e b r u a r y 1 9 7 2 .

J u l y 1 0 , 1 9 9 8 D R A F T


25/43


1 2 ] V . O . H e n t i n e n , \ E r r o r p e r f o r m a n c e f o r a d a p t i v e t r a n s m i s s i o n o n f a d i n g c h a n n e l s , " I E E E T r a n s . C o m m u n . ,

v o l . C O M - 2 2 , p p . 1 3 3 1 { 1 3 3 7 , S e p t e m b e r 1 9 7 4 .

1 3 ] S . O t s u k i , S . S a m p e i , a n d N . M o r i n a g a , \ S q u a r e - Q A M a d a p t i v e m o d u l a t i o n / T D M A / T D D s y s t e m s u s i n g

m o d u l a t i o n l e v e l e s t i m a t i o n w i t h W a l s h f u n c t i o n , " E l e c t r o n . L e t t . , v o l . 3 1 , p p . 1 6 9 { 1 7 1 , F e b r u a r y 1 9 9 5 .

1 4 ] W . T . W e b b a n d R . S t e e l e , \ V a r i a b l e r a t e Q A M f o r m o b i l e r a d i o , " I E E E T r a n s . C o m m u n . , v o l . C O M - 4 3 ,

p p . 2 2 2 3 { 2 2 3 0 , J u l y 1 9 9 5 .

1 5 ] Y . K a m i o , S . S a m p e i , H . S a s a o k a , a n d N . M o r i n a g a , \ P e r f o r m a n c e o f m o d u l a t i o n - l e v e l - c o n t r o l l e d a d a p t i v e -

m o d u l a t i o n u n d e r l i m i t e d t

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