studiju kurss veselo skaitl»u teorija 8.lekcija · 5 1.2. papildfakti no grupu teorijas par grupas...
TRANSCRIPT
1
DAUGAVPILS UNIVERSITATEDabaszinatnu un matematikas fakultate
Matematikas katedraBakalaura studiju programma “Matematika”
Studiju kurss
Veselo skaitlu teorija
8.lekcijaDocetajs: Dr. P. Daugulis
2007./2008.studiju gads
Saturs Sakums Beigas J I Atpakal Aizvert Pilns ekrans
2
Saturs
1. Invertejamo atlikuma klasu kopas Um ıpasıbas 31.1. Um ka grupa attiecıba uz atlikumu klasu reizinasanas
operaciju . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2. Papildfakti no grupu teorijas . . . . . . . . . . . . . . 51.3. Elementa karta un tas ıpasıbas . . . . . . . . . . . . . 61.4. Klasu skaits ar dotu kartu . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2. 8.majasdarbs 22
Saturs Sakums Beigas J I Atpakal Aizvert Pilns ekrans
3
1. Invertejamo atlikuma klasu kopas Um
ıpasıbas
1.1. Um ka grupa attiecıba uz atlikumu klasu rei-zinasanas operaciju
Um (multiplikatıvi invertejamo atlikuma klasu kopa pec modulam) ar atlikumu reizinasanas operaciju ir komutatıva grupa, jo izpildasgrupas aksiomas:
• Um ir slegta attiecıba uz reizinasanas operaicju: ja a ∈ Un unb ∈ Um, tad ab ∈ Um, jo
(ab)(b−1a−1) ≡ a(bb−1)a−1 ≡ a · 1 · a−1 ≡ aa−1 ≡ 1 (mod m);
• atlikumu reizinasana ir asociatıva;• eksiste neitralais elements attiecıba uz reizinasanu: katram a ∈
Um izpildasa · 1 ≡ 1 · a ≡ a (mod m);
• katram elementam eksiste multiplikatıvi inversais elements;
Saturs Sakums Beigas J I Atpakal Aizvert Pilns ekrans
4
• atlikumu reizinasana ir komutatıva - ab ≡ ba (mod m).
Elementu skaits grupa Um ir vienads ar ϕ(m).
Saturs Sakums Beigas J I Atpakal Aizvert Pilns ekrans
5
1.2. Papildfakti no grupu teorijas
Par grupas G elementa a generetu apaksgrupu 〈a〉 ⊆ G sauk-sim visu a pakapju (ieskaitot negatıvas) kopu. Elementu a sauc parapaksgrupas 〈a〉 generatoru. Katru G apaksgrupu H, kas ir izsakamaforma H = 〈h〉, sauc par ciklisku apaksgrupu. Grupu G sauc parciklisku, ja eksiste elements g ∈ G tads, ka G = 〈g〉.
1.1. piemers. Skaitli 1 un −1 katrs ir (Z,+) generators, ja katrsvesels skaitlis ir izsakams ka vairaku 1 vai −1 summa. Klase 1 irZ/mZ generators katram m.
Par grupas elementa a kartu sauksim mazako naturalo skaitli k,tadu, ka ak = e. Galıga grupa katram elementam eksiste karta, jokadam n un k izpildas an = ak, tapec an−k = e. Bezgalıgas grupaselementiem karta var neeksistet. Piemers - Z.
Saturs Sakums Beigas J I Atpakal Aizvert Pilns ekrans
6
1.3. Elementa karta un tas ıpasıbas
Par elementa a ∈ Um kartu sauksim mazako nenegatıvo veseloskaitli k tadu, ka
ak ≡ 1 (mod m).No Eilera teoremas seko, ka katram a ∈ Um izpildas nosacıjums
k ≤ ϕ(m).
Elementa a kartu apzımesim ar Pm(a) vai P (a), ja m ir fiksets. Ele-menta 1 karta ir vienada ar 1.
1.2. piemers. Atradısim kartas invertejamiem elementiem gredzenosGF (5), GF (7). Var izmantot MAGMA vai Mathematica.
Saturs Sakums Beigas J I Atpakal Aizvert Pilns ekrans
7
1.1. teorema. Ja ak ≡ 1 (mod m), tad Pm(a)|k.
PIERADIJUMS Izdalısim k ar Pm(a): k = qPm(a) + r, kur 0 ≤r < Pm(a). Redzam, ka
ak ≡ aqPm(a)+r ≡ (aPm(a))qar ≡ ar ≡ 1 (mod m).
Ja r 6= 0, tad ar 6≡ 1 (mod m), jo r < Pm(a) un Pm(a) ir a karta.Tatad r = 0 un Pm(a)|k. ¥
1.2. teorema. Pm(a)|ϕ(m).
PIERADIJUMS Apgalvojums seko no Eilera teoremas un iepriek-sejas teoremas. Ta ka aϕ(m) ≡ 1 (mod m), tad Pm(a)|ϕ(m).¥
Saturs Sakums Beigas J I Atpakal Aizvert Pilns ekrans
8
1.3. piemers. Elementu kartas var but tikai ϕ(m) dalıtaji. Ap-skatısim m = 20, ϕ(20) = 8. Invertejamie elementi ir
{1, 3, 7, 9, 11, 13, 17, 19}.Elementa karta var but 1,2,4 vai 8. Invertejamo elementu kvadrati ir
12 ≡ 1, 32 ≡ 9, 72 ≡ 9, 92 ≡ 1, 112 ≡ 1,
132 ≡ 9, 172 ≡ (−3)2 ≡ 9, 192 ≡ 1.
Tatad elementiem 9, 11, 19 karta ir 2. Visu invertejamo elementuceturtas pakapes ir kongruentas ar 1, jo 92 ≡ 1. Tatad tiem elemen-tiem, kuru karta nav ne 1, ne 2, ta ir vienada ar 4. Sie elementi ir3, 7, 13, 17.
Saturs Sakums Beigas J I Atpakal Aizvert Pilns ekrans
9
1.3. teorema. ak1 ≡ ak2 (mod m) tad un tikai tad, ja
k1 ≡ k2(mod Pm(a)).
PIERADIJUMS Ja ak1 ≡ ak2 (mod m), tad ak1−k2 ≡ 1 (mod m).No ta seko, ka Pm(a)|k1 − k2 jeb k1 ≡ k2 (mod Pm(a)).
Ja k1 ≡ k2(mod Pm(a)), tad k1 − k2 = qPm(a) un k1 = k2 +qPm(a). Redzam, ka
ak1 ≡ ak2+qPm(a) ≡ ak2(aPm(a))q ≡ ak2 (mod m).
¥
1.4. teorema. Dazado elementa a pakapju skaits ir vienads ar Pm(a).
PIERADIJUMS Apgalvojums seko no ieprieksejas teoremas. ¥
Saturs Sakums Beigas J I Atpakal Aizvert Pilns ekrans
10
1.5. teorema. Pm(ak) = Pm(a) tad un tikai tad, ja
LKD(k, Pm(a)) = 1.
PIERADIJUMS No sakuma atzımesim, ka
Pm(ak) ≤ Pn(a),
jo elementa ak pakapju kopa ir a pakapju kopas apakskopa. Ja
LKD(k, Pm(a)) = 1,
tad no kongruences
(ak)t ≡ akt ≡ 1 (mod m)
seko, ka Pm(a)|kt un Pm(a)|t. Tatad Pm(ak) = Pm(a).Ja LKD(k, Pm(a)) = d 6= 1, tad
(ak)Pm(a)
d ≡ (aPm(a))kd ≡ 1 (mod m).
Seko, ka Pm(ak) = Pm(a)d < Pm(a). ¥
Saturs Sakums Beigas J I Atpakal Aizvert Pilns ekrans
11
1.6. teorema. (palıgteorema - Lagranza teorema) Ja f(x) ir nekon-stants polinoms ar pakapi n un veseliem koeficientiem un p ir pirm-skaitlis, tad vienadojumam
f(x) ≡ 0 (mod p)
ir ne vairak ka n dazadi (savstarpeji nekongruenti) atrisinajumi
PIERADIJUMS Izmantosim matematisko indukciju pec parame-tra n. Ja polinoma pakape ir 1, tad vienadojums ir
a1x + a0 ≡ 0 (mod p).
Tam ir tiesi viens atrisinajums x ≡ a−11 (−a0) (mod p). Indukcijas
baze ir pieradıta.Pienemsim, ja teoremas apgalvojums ir speka, ja polinoma pakape
neparsniedz i− 1. Apskatısim polinomu
f(x) = aixi + ai−1x
i−1 + ... + a1x + a0 =i∑
j=0
ajxj ,
Saturs Sakums Beigas J I Atpakal Aizvert Pilns ekrans
12
kura pakape ir vienada ar i. Ja tam nav atrisinajumu, tad indukcijassolis ir pieradıts. Ja tam ir atrisinajums x0, tad
f(x) ≡ f(x)−f(x0) ≡i∑
j=0
ajxj−
i∑
j=0
ajxj0 =
i∑
j=0
aj(xj−xj0) (mod p).
Atceresimiem vienadıbu
xj − xj0 = (x− x0)(xj−1 + xj−2x0 + ... + x · xj−2
0 + xj−10 ).
Redzam, ka
f(x) ≡ f(x)− f(x0) ≡ (x− x0)g(x) (mod p),
kur g(x) ir polinoms ar pakapi, kas neparsniedz i − 1. Tadejadivienadojumam
f(x)− f(x0) ≡ (x− x0)g(x) ≡ 0 (mod p)
atrisinajumu skaits neparsniedz i - viens atrisinajums x0 un vel nevairak ka i− 1 vienadojuma
g(x) ≡ 0 (mod p)
Saturs Sakums Beigas J I Atpakal Aizvert Pilns ekrans
13
atrisinajumi.¥
Saturs Sakums Beigas J I Atpakal Aizvert Pilns ekrans
14
1.7. teorema.1. Elementa a pakapes a1, ..., aPm(a) ir vienadojuma
xPm(a) ≡ 1 (mod m)
dazadi atrisinajumi.2. Ja m ir pirmskaitlis, tad elementa a pakapes a1, ..., aPm(a) ir
vienadojumaxPm(a) ≡ 1 (mod m)
visi atrisinajumi.
PIERADIJUMS 1. Ja 0 ≤ l < Pm(a), tad (al)Pm(a) ≡ 1 (mod m).Apgalvojums seko no ieprieksejas teoremas.
2. Saskana ar Lagranza teoremu vienadojumam
xPm(a) ≡ 1 (mod m)
ir ne vairak ka Pm(a) nekongruentu atrisinajumu. Bet atlikumu klasesa = a1, ..., aPm(a) ir sı vienadojuma Pm(a) atrisinajumi un citu nevarbut. ¥
Saturs Sakums Beigas J I Atpakal Aizvert Pilns ekrans
15
1.1. piezıme. Iepriekseja teorema lauj risinat vienadojumus
xk ≡ 1 (mod p),
ja p ir pirmskaitlis. Ja k ≤ p − 1 un k - p − 1, tad atrisinajumunoteikti nav. Ja k|p− 1, tad jaatrod vismaz viens elements a tads, kaP (a) = k, ta pakapes bus atrisinajumi.
1.2. piezıme. Ja m nav pirmskaitlis, tad vienadojumam
xPm(a) ≡ 1 (mod m)
var but arı citi atrisinajumi:• m = 8, a = 3, P8(3) = 2, vienadojumam x2 ≡ 1 (mod 8)
atrisinajumi ir arı 5 un 7, saja gadıjuma visiem atrisinajumiemkartas ir vienadas;
• m = 15, a = 2, P15(2) = 4, vienadojumam x4 ≡ 1 (mod 15)atrisinajumi ir arı 11 un 14, kuriem kartas ir vienadas ar 2 ;
Saturs Sakums Beigas J I Atpakal Aizvert Pilns ekrans
16
1.4. Klasu skaits ar dotu kartu
Ja m ir fiksets, tad apskatısim visus grupas Um elementus, kurukarta ir vienada ar k. Sadu elementu skaitu apzımesim ar ψ(k).Ieverosim, ka ja k - ϕ(m), tad ψ(k) = 0.
1.4. piemers.• m = 2, ϕ(m) = 1, ψ(1) = 1;
• m = 3, ϕ(m) = 2, ψ(1) = ψ(2) = 1;
• m = 4, ϕ(m) = 2, ψ(1) = ψ(2) = 1;
• m = 5, ϕ(m) = 4, ψ(1) = ψ(2) = 1, ψ(4) = 2;
• m = 6, ϕ(m) = 2, ψ(1) = ψ(2) = 1;
• m = 7, ϕ(m) = 6, ψ(1) = ψ(2) = 1, ψ(3) = ψ(6) = 2;
• m = 8, ϕ(m) = 4, ψ(1) = 1, ψ(2) = 3;
• m = 9, ϕ(m) = 6, ψ(1) = ψ(2) = 1, ψ(3) = ψ(6) = 2;
• m = 10, ϕ(m) = 4, ψ(1) = ψ(2) = 1, ψ(4) = 2;
Saturs Sakums Beigas J I Atpakal Aizvert Pilns ekrans
17
• m = 11, ϕ(m) = 10, ψ(1) = ψ(2) = 1, ψ(5) = ψ(10) = 4;
1.8. teorema. Katram m izpildas vienadıba∑
k|ϕ(m)
ψ(k) = ϕ(m).
PIERADIJUMS Katrai invertejamai atlikuma klasei karta ir ϕ(m)dalıtajs. Summas ∑
a∈Um
1 = ϕ(m)
loceklus varam apvienot grupas, kas atbilst ϕ(m) dalıtajiem - katramϕ(m) dalıtajam k atbildıs ψ(k) vieninieku, tadejadi
∑
a∈Um
1 = 1 + ... + 1︸ ︷︷ ︸ψ(k1) locekli
+ 1 + ... + 1︸ ︷︷ ︸ψ(k2) locekli
+... + 1 + ... + 1︸ ︷︷ ︸ψ(kl) locekli
=
∑
k|ϕ(m)
ψ(k) = ϕ(m)
Saturs Sakums Beigas J I Atpakal Aizvert Pilns ekrans
18
¥
1.9. teorema. Ja m = p ir pirmskaitlis, tad1. katram k 6= 0 izpildas nevienadıba
ψ(k) ≤ ϕ(k).
2. katram k, kuram izpildas nosacıjums k|p− 1, izpildas vienadıba
ψ(k) = ϕ(k).
PIERADIJUMS 1. Ja ψ(k) = 0, tad nevienadıba ir pieradıta. Jaeksiste vismaz viena klase a tada, ka P (a) = k, tad
a) saskana ar ieprieks pieradıtu teoremu pakapes a1, ..., ak ir visivienadojuma xk ≡ 1 (mod p) atrisinajumi;
b) saskana ar (citu) ieprieks pieradıtu teoremu P (as) = P (a) = ktad un tikai tad, ja LKD(s, k) = 1, tadu kapinataju skaits irvienads ar ϕ(k).
No punkta a) seko, ka katra klase b, kurai P (b) = k, pieder kopai{a1, ..., ak}, jo ta apmierina vienadojumu xk ≡ 1 (mod p). Tatad
Saturs Sakums Beigas J I Atpakal Aizvert Pilns ekrans
19
sadu klasu skaits ir vienads ar ϕ(k).2. Izmantosim sadu palıgrezultatu (Eilera funkcijas ıpasıbu), kas
tiks pieradıts atseviski zemak. Katram naturalam m izpildas vienadıba∑
k|mϕ(k) = m.
Ja m = p− 1, tad iegusim vienadıbu∑
k|p−1
ϕ(k) = p− 1.
Tadejadi mums ir divas lıdzıgas vienadıbas:∑
k|p−1
ϕ(k) = p− 1
un∑
k|p−1
ψ(k) = p− 1.
Saturs Sakums Beigas J I Atpakal Aizvert Pilns ekrans
20
(otra ir no ieprieks pieradıtas teoremas). Ieverosim, ka summesanasindeksu kopas ir vienadas. Atnemot no pirmas vienadıbas otro, iegusim
∑
k|p−1
(ϕ(k)− ψ(k)) = 0.
Bet saskana ar sıs teoremas pirmo punktu ϕ(k)−ψ(k) ≥ 0, tapec visilocekli ir vienadi ar 0 un katram k|p−1 izpildas vienadıba ψ(k) = ϕ(k).¥
1.10. teorema. Katram naturalam m ≥ 2 izpildas vienadıba∑
k|mϕ(k) = m.
PIERADIJUMS Apskatısim kopu { 1m , 2
m , ..., mm}. Saja kopa ir m
elementi. Katram no siem skaitliem var izdalıt skaitıtaju un saucejuar kopıgo reizinataju, tadejadi katrs no tiem ir izsakamas forma l
k ,kur k|m un LKD(l, k) = 1. Ja k ir fiksets, tad skaitlu skaits, kuriem
Saturs Sakums Beigas J I Atpakal Aizvert Pilns ekrans
21
saucejs ir vienads ar k, ir ϕ(k). Tapec summa kreisaja puse ir vienadaar m. ¥
Saturs Sakums Beigas J I Atpakal Aizvert Pilns ekrans
22
2. 8.majasdarbs
1. Atrodiet elementu skaitus ar visam kartam, kas dala ϕ(m), ja(a) m = 8;(b) m = 10.
2. Izmantojot tikai pamatfaktus, pieradiet, ka primitıvas saknesneeksiste, ja(a) m = 8;(b) m = 21.
Katra no siem gadıjumiem atrodiet grupas (Un, ·) minimalo gene-rejoso kopu.
3. Izmantojot primitıvas saknes un indeksus, atrisiniet sadus viena-dojumus:(a) x6 ≡ 4 (mod 23);(b) x7 ≡ 9 (mod 18);(c) x2y3 ≡ 5 (mod 11);
Saturs Sakums Beigas J I Atpakal Aizvert Pilns ekrans