studi tentang goal programming dengan ......a. meninjau tentang goal programming dan mendefinisikan...
TRANSCRIPT
STUDI TENTANG GOAL PROGRAMMING DENGAN
PENDEKATAN OPTIMISASI ROBUST
SKRIPSI
DESI VINSENSIA
050803023
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2009
Desi Vinsensia : Studi Tentang Goal Programming Dengan Pendekatan Optimisasi Robust, 2009.
STUDI TENTANG GOAL PROGRAMMING DENGAN
PENDEKATAN OPTIMISASI ROBUST
SKRIPSI
Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar sarjana
sains
DESI VINSENSIA
050803023
DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
2009
Desi Vinsensia : Studi Tentang Goal Programming Dengan Pendekatan Optimisasi Robust, 2009.
PERSETUJUAN
Judul : STUDI TENTANG GOAL PROGRAMMING
DENGAN PENDEKATAN OPTIMISASI
ROBUST
Kategori : SKRIPSI
Nama : DESI VINSENSIA
Nomor Induk Mahasiswa : 050803023
Program Studi : SARJANA (SI) MATEMATIKA
Departemen : MATEMATIKA
Fakultas : MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN
ALAM (FMIPA) UNIVERSITAS SUMATERA
UTARA
Diluluskan di
Medan, Oktober 2009
Komisi Pembimbing :
Pembimbing 2 Pembimbing 1
Dra. Esther S.M Nababan Prof.Dr. Herman Mawengkang
NIP: 196103181987112001 NIP: 194611281974031001
Diketahui/Disetujui oleh
Departemen Matematika FMIPA USU
Ketua,
Dr. Saib Suwilo, M.Sc.
NIP: 194601091988031004
ii
Desi Vinsensia : Studi Tentang Goal Programming Dengan Pendekatan Optimisasi Robust, 2009.
PERNYATAAN
STUDI TENTANG GOAL PROGRAMMING DENGAN PENDEKATAN
OPTIMISASI ROBUST
SKRIPSI
Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri, kecuali beberapa
kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.
Medan, Oktober 2009
Desi Vinsensia
NIM: 050803023
iii
Desi Vinsensia : Studi Tentang Goal Programming Dengan Pendekatan Optimisasi Robust, 2009.
ABSTRAK
Goal programming memiliki tujuan atau target yang diperingkatkan oleh pembuat keputusan
menurut skala prioritasnya. Dalam kasus yang mengandung ketidak pastian, optimisasi robust
memberikan solusi layak untuk semua parameter yang tidak pasti. Dalam hal ini, goal programming
yang mengandung ketidak pastian diaplikasikan dalam pendekatan optimisasi robust yang biasanya
hanya digunakan pada linear programming. Solusi robust memberikan nilai optimal worst deviasi
dari total deviasi dengan mengganti parameter yang bersifat bulat pada setiap kendalanya dan tidak
mengubah kendalanya.
iv iii
Desi Vinsensia : Studi Tentang Goal Programming Dengan Pendekatan Optimisasi Robust, 2009.
ABSTRACT
Goal prgramming have ranked goals by decision maker according that priority. In uncertainty case,
robust optimimization give a feasible solution for all uncertain parameters. In this case,
uncertainty goal programming presented robust optimization approach wich is this approach using
only the linear programming methods. The robust solution give the worst optimal value of the total
deviation by changing the integer parameters in every constraint and not changes that the
constraint.
v
Desi Vinsensia : Studi Tentang Goal Programming Dengan Pendekatan Optimisasi Robust, 2009.
PENGHARGAAN
Segala Puji dan Syukur penulis haturkan kepada Tuhan Yesus Kristus atas berkat
dan karunia-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi yang merupakan
salah satu syarat untuk menempuh ujian sarjana di departemen Matematika,
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Pada skripsi ini penulis
mengambil judul skripsi tentang ”Studi tentang Goal Programming dengan
Pendekatan Optimisasi Robust”.
Dalam kesempatan ini, penulis juga menyadari keterlibatan berbagai pihak
yang telah membantu demi terselesaikannya skripsi ini. Oleh karena itu terima
kasih penulis ucapkan kepada:
1. Prof.Dr. Herman Mawengkang selaku dosen dan pembimbing I yang telah
memberikan banyak bimbingan dan arahan dalam penulisan skripsi ini.
2. Dra.Esther S.M Nababan, M.Sc selaku dosen dan pembimbing II atas
bantuan dan penjelasan yang diberikan demi selesainya skripsi ini.
3. Bapak Drs. Henry Rani Sitepu, M.Si dan Bapak Drs. Djakaria Sebayang
selaku komisi penguji atas masukan dan saran yang telah diberikan demi
perbaikan skripsi ini.
4. Bapak Dr. Saib Suwilo M.Sc selaku ketua jurusan departemen matematika
FMIPA USU.
5. Bapak Prof. Dr. Eddy Marlyanto M.Sc selaku Dekan FMIPA USU.
6. Semua Dosen Departemen Matematika FMIPA USU dan Pegawai FMIPA
USU.
7. Buat keluarga terkasih bapak dan mama tercinta Sarman Dani, S.Pd dan B.
Gurning serta abang dan adik terkasih, Fransiskus Surya Dani, dan Nopita
Agustina atas segala cinta, pengorbanan, motivasi sertya doa yang sangat
berarti dalam hidup penulis.
8. Buat sahabat-sahabat Evalina, Ade Nofe, Elisabet, dan wonderful gift yang
sangat banyak membantu, selalu menyemangati, dan mendukung selama
proses pengerjaan skripsi ini.
vi
Desi Vinsensia : Studi Tentang Goal Programming Dengan Pendekatan Optimisasi Robust, 2009.
9. Seluruh rekan-rekan Matematika stambuk 2005 seperjuangan, d’Da,
k’Mala, Happy, Udur, Elis dan lain-lain, serta seluruh teman-teman yang
tidak dapat disebutkan nama-namanya satu persatu yang selalu mendukung
penulis selama penyelesaian skripsi ini, Tuhan Yesus memberkati.
Penulis menyadari bahwa masih banyak kekurangan dalam menyelesaikan
skripsi ini. Oleh karena itu penulis mengharapkan masukan dan kritikan yang
bersifat membangun demi kesempurnaan skripsi ini.
Medan, Desember 2009
Penulis
vii
Desi Vinsensia : Studi Tentang Goal Programming Dengan Pendekatan Optimisasi Robust, 2009.
DAFTAR ISI
Halaman
Persetujuan ii
Pernyataan iii
Abstrak iv
Abstract v
Penghargaan vi
Daftar Isi viii
Daftar Tabel x
BAB I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang 1
1.2 Identifikasi Masalah 3
1.3 Tujuan dan manfaat Penelitian 3
1.4 Metodologi Penelitian 3
1.5 Tinjauan Pustaka 4
BAB II LANDASAN TEORI
2.1 Goal programming 6
2.2 Optimisasi Robust 16
2.3 Formulasi Robust Mixed Integer Programming 19
BAB III PEMBAHASAN
3.1 Solusi Robust dari Masalah Goal Programming dengan
Possible Varians Negatif pada sisi Sebelah Kiri Tujuan
(Goal) 22
3.2 Kriteria Single Linear Programming terhadap Solusi M-
Robust Goal Programming 23
3.3 Studi Kasus Masalah Perusahaan dengan 3 tipe Produksi 25
BAB IV KESIMPULAN DAN SARAN
4.1 Kesimpulan 33
4.2 Saran 33
viii
Desi Vinsensia : Studi Tentang Goal Programming Dengan Pendekatan Optimisasi Robust, 2009.
DAFTAR PUSTAKA
LAMPIRAN 34
ix
Desi Vinsensia : Studi Tentang Goal Programming Dengan Pendekatan Optimisasi Robust, 2009.
DAFTAR TABEL
Tabel Halaman
1 Tabel awal Simpleks 11
2 Tabel iterasi 1 12
3 Tabel iterasi 2 13
4 Tabel iterasi 3 14
5 Tabel iterasi 4 15
6 Tabel jumlah kendala probuksi 25
7 Tabel jumlah kendala dengan varians 26
x
Desi Vinsensia : Studi Tentang Goal Programming Dengan Pendekatan Optimisasi Robust, 2009.
BAB 1
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Goal programming merupakan perluasan dari linear programming untuk
mencapai tujuan atau target yang diinginkan. Formulasi awal goal programming
pada dasarnya mirip dengan formulasi dalam linear programming. Variabel
keputusan harus didefinisikan terlebih dahulu. Selanjutnya tujuan-tujuan manajerial
harus dispesifikasikan berikut tingkat kepentingannya. Kemudian mencari solusi
yang meminimumkan total penyimpangan tujuan-tujuan tersebut dari target-
targetnya, atau dengan kata lain goal programming merupakan alat analisis untuk
meminimumkan deviasi (penyimpangan) berbagai tujuan, sasaran, atau target yang
telah ditetapkan, sehingga memenuhi target (mendekati target) yang telah
ditentukan menurut skala prioritasnya masing-masing.
Karakteristik yang membedakan goal programming dan linear programing
adalah: tujuan-tujuan itu diperingkatkan oleh pembuat keputusan sesuai dengan
peringkat ordinalnya melalui prosedur goal programming. Walaupun ada
kemungkinan bahwa tidak seluruh tujuan bisa dicapai, namun untuk solusi
persoalan goal programming adalah bagaimana mendekati target-target yang telah
menjadi tujuan itu sedekat mungkin, dan jika terjadi penyimpangan maka
penyimpangan-penyimpangan itu minimum .
Awal aplikasi goal programming dilakukan oleh Charnes dan Cooper
(1981). Charnes dan Cooper mengembangkan pendekatan program tujuan untuk
memperoleh solusi yang memuaskan, yang tidak bisa diperoleh dengan pendekatan
linear programming karena adanya konflik atau penyimpangan antar tujuan.
Secara matematis dapat dituliskan dengan situasi sebagai berikut:
x1, x2, ..., xn = variabel keputusan,
Desi Vinsensia : Studi Tentang Goal Programming Dengan Pendekatan Optimisasi Robust, 2009.
cjk = koefisien xj (j = 1, 2, 3, ..., n) pada fungsi obyektif dalam
setiap tujuan-k pada fungsi obyektif dalam setiap tujuan-k
(k = 1, ,2, ..., k),
bk = target untuk tujuan-k.
/
kd = variabel penyimpangan yang merepresentasikan tingkat
pencapaian melebihi target dan pencapaian di bawah target.
Formula umum goal programming dapat dituliskan secara lengkap sebagai:
Zmin = )(1
K
k
kk dd
kendala:
n
j
kkkjjk bddxc1
)(
0, /
kj dx
Goal Programming saat ini dalam prakteknya sudah banyak dipakai dalam
menyelesaikan berbagai permasalahan linear programming. Namun beberapa kasus
model teknik optimisasi, goal programming ini menghadapai bebagai
permasalahan dimana hasil yang diperoleh berada pada situasi yang tidak pasti
(uncertainty). Kemudian dikembangkan beberapa pendekatan untuk model yang
tidak pasti yaitu melalui pendekatan stochastik dan pendekatan robust optimisasi.
Pada tulisan ini penulis menggunakan suatu pendekatan pada goal
programming yaitu dengan “Pendekatan Optimisasi Robust” yang selama ini
diaplikasikan pada tujuan tunggal pada linier programming. Optimisasi robust
merupakan suatu masalah model optimisasi dengan data yang mengandung ketidak
pastian (uncertainty) untuk memperoleh solusi yang baik untuk semua parameter
yang tidak pasti . Optimisasi robust merupakan metode pendekatan yang digunakan
dalam menyelesaikan program stokastik dimana beberapa parameternya adalah
variabel acak, kecuali kelayakan (feasibility) untuk semua realisasi yang mungkin
(scenario) diganti dengan fungsi penalty pada fungsi objektifnya.
2
Desi Vinsensia : Studi Tentang Goal Programming Dengan Pendekatan Optimisasi Robust, 2009.
Dengan pendekatan ini dimaksudkan untuk menemukan solusi layak solusi
yang tidak pasti, mengaplikasikan pendekatan yang disebut pendekatan robust pada
goal programming dan multicriteria pada umumnya.
1.2 Identifikasi Masalah
Goal programming merupakan suatu teknik optimisasi untuk menganalisis dan
membuat solusi persoalan yang memiliki banyak tujuan dengan mendekati target-
target yang menjadi tujuan sedekat mungkin dan meminimumkan penyimpangan-
penyimpangan yang ada. Masalah yang diangkat dalam tulisan ini adalah:
Bagaimana goal programming dapat diselesaikan dengan pendekatan optimisasi
robust, sehingga penyimpangan yang diperoleh menjadi layak dalam situasi yang
tidak pasti.
1.3 Tujuan dan Manfaat Penelitian
Tujuan dari penelitian ini adalah menentukan solusi dari total penyimpangan
terburuk dari goal (tujuan) dalam situasi yang tidak pasti, jika salah satu parameter
dari tujuan yang ada diubah dan dengan kendala yang sama, sehingga
penyimpangan yang ada dapat diminimumkan. Manfaat dari penelitian ini adalah
melalui pendekatan robust solusi ini dapat memudahkan pengambilan keputusan
dari suatu permasalahan yang mengandung ketidak pastian.
1.4 Metodologi Penelitian
Metode yang dilakukan dalam penelitian ini adalah studi literatur. Langkah-
langkah yang akan dilakukan adalah sebagai berikut:
a. Meninjau tentang goal programming dan mendefinisikan situasi yang tidak
pasti tesebut dalam goal programming.
3
Desi Vinsensia : Studi Tentang Goal Programming Dengan Pendekatan Optimisasi Robust, 2009.
b. Menjelaskan tentang pendekatan robust dalam literatur.
c. Mengaplikasikan pendekatan robust pada goal programming dalam situasi
yang tidak pasti.
d. Menarik kesimpulan berdasarkan hasil yang diperoleh dan memberi saran-
saran jika ada.
1.5 Tinjauan Pustaka
A. Ben-Tal, A. Goryashko, E. Guslitzer, A. Nemirovski dalam papernya yang
berjudul “Adjustable Robust Solutions of Uncertain Linier Program”
menyatakan bahwa optimisasi robust adalah suatu metode atau pendekatan yang
berhubungan permasalahan optimisasi yang tidak pasti (uncertain).
Bernard Taylor III (1996) dalam bukunya yang berjudul “Sains
Manajemen” menyatakan bahwa program tujuan merupakan variasi program linier
untuk masalah-masalah dimana terdapat lebih dari satu tujuan, yang secara khusus
berguna untuk organisasi yang tidak mempunyai satu tujuan yang dapat
didefinisikan secara jelas seperti memaksimalkan keuntungan dan meminimumkan
kerugian.
B. D. Nasendi, Affendi Anwar (1985) dalam bukunya “Program Linier
Dan Variannsnya”, menyatakan bahwa goal programing merupakan alat analisis
untuk meminimumkan deviasi (penyimpangan) berbagai tujuan, sasaran, atau target
yang telah ditetapkan, sehingga memenuhi target (mendekati target) yang telah
ditentukan menurut skala prioritasnya masing-masing.
David G, Dannenbring, Marthin K.Starr (1981) dalam bukunya yang
berjudul “Management Science An Introduction”, mengatakan bahwa goal
programming adalah suatu metode untuk memaksimalkan sasaran dari beberapa
multitujuan atau target yang ada dengan mengurutkan tujuan berdasarkan
prioritasnya.
4
Desi Vinsensia : Studi Tentang Goal Programming Dengan Pendekatan Optimisasi Robust, 2009.
Dorota Kuchta (2004) dalam papernya “ Robust Goal Programming”,
menyatakan solusi robust optimal adalah suatu solusi yang mana akan optimal jika
terdapat perubahan pada parameter dari keputusannya.
Ricard I.Levin, dkk (1992) dalam bukunya yang berjudul “Quantitative
Approaches to Management” menyatakan bahwa goal programing adalah variasi
algoritma simpleks dimana pembuat keputusan mengijinkan untuk menentukan
multiobjective dan target dari tujuannya yang kemudian diurutkan berdasarkan
tingkat kepentinganya.
5
Desi Vinsensia : Studi Tentang Goal Programming Dengan Pendekatan Optimisasi Robust, 2009.
BAB 2
LANDASAN TEORI
2.1 Goal Programming
Dalam memformulasikan dan solusi persoalan dalam program linier, proses
pemodelannya difokuskan pada tujuan tunggal seperti memaksimumkan
keuntungan atau meminimumkan biaya. Sehingga para pembuat keputusan
berusaha agar berbagai tujuan perusahaan menjadi satu tujuan tunggal. Padahal
dalam berbagai proses pembuatan keputusan dalam dunia nyata, pengintegrasian
berbagai tujuan menjadi sebuah tujuan tunggal saja sebenarnya tidak selalu tepat.
Misalnya suatu perusahaan tidak sekedar bertujuan memaksimumkan keuntungan
saja, tetapi secara bersamaan juga bertujuan untuk menjaga kestabilan penggunaan
tenaga kerja, meningkatkan pangsa pasar atau membatasi peningkatan harga jual.
Untuk menganalisis dan membuat solusi persoalan untuk melibatkan
berbagai tujuan digunakan teknik goal programming. Goal programming
merupakan suatu metode yang melibatkan berbagai tujuan yang bahkan saling
konflik ke dalam proses formulasinya, berikut prioritas tujuannya. Formulasi goal
programming pada dasarnya mirip dengan formulasi dalam linear programming.
Perbedaan antara goal programming dan linear programming adalah terletak pada
struktur dan penggunaan fungsi tujuan. Dalam linear programming fungsi
tujuaannya hanya mengandung satu tujuan, sementara dalam goal programming
semua tujuan digabungkan dalam sebuah fungsi tujuan. Ini dapat dilakukan dengan
mengekpresikan tujuan itu dalam bentuk suatu kendala (constraint), memasukkan
suatu variabel simpangan (variable deviation) dalam kendala untuk mencerminkan
seberapa jauh tujuan itu dicapai, dan menggabungkan variabel simpangan dalam
fungsi tujuan.
Dalam linear programming tujuannya bisa maksimasi atau minimasi,
sementara dalam goal programming tujuannya adalah meminumkan
penyimpangan-penyimpangan dari tujuan tertentu. sehingga hal ini berarti semua
masalah goal programming adalah masalah minimasi. Karena penyimpangan-
Desi Vinsensia : Studi Tentang Goal Programming Dengan Pendekatan Optimisasi Robust, 2009.
penyimpangan dari tujuan-tujuan itu diminimumkan, goal programming dapat
menangani tujuan yang saling konflik. Jika terdapat banyak tujuan, prioritas atau
urutan ordinalnya dapat ditentukan, dan proses penyelesaian goal programming
dapat berjalan sedemikian rupa sehingga tujuan dengan prioritas tertinggi dipenuhi
sedekat mungkin sebelum memikirkan tujuan-tujuan dengan prioritas yang lebih
rendah. Jika linear programming berusaha mengidentifikasi solusi optimum dari
suatu himpunan solusi yang layak, goal programming ingin meminumkan
penyimpangan-penyimpangan dari tujuan-tujuan dengan mempertimbangkan
hirarki prioritas.
Secara matematis goal programming dapat dituliskan situasi sebagai berikut:
x1, x2, ..., xn = variabel keputusan
m = banyaknya tujuan yg dipertimbangkan
cjk = koefisien xj ( j= 1, 2, 3, ..., n) pada fungsi objektif dalam setiap
tujuan-k (k=1, 2, 3, ..., m),
bk = target untuk tujuan-k.
Solusi untuk persoalan goal programming adalah bagaimana mendekati
target-target yang telah menjadi tujuan itu sedekat mungkin, dan jika terjadi
penyimpangan maka penyimpangan-penyimpangan itu minimum.
n
j
jj bxc1
11
n
j
j bxc1
22
. .
. .
. .
n
j
kjjk bxc1
Karena tidak mungkin dapat mencapai seluruh target, maka perlu
didefinisikan sebuah fungsi objektif menyeluruh untuk goal programming yang
kompromistis dengan tujuan mencapai berbagai target. Dengan asumsi bahwa
penyimpangan itu bisa bernilai positif dan negatif, maka fungsi objektif
menyeluruh untuk persoalan goal programming dapat ditulis sebagai berikut:
7
Desi Vinsensia : Studi Tentang Goal Programming Dengan Pendekatan Optimisasi Robust, 2009.
m
k
n
j
kjjk bxcZ1 1
min
Dengan demikian, fungsi objektif goal programming diekspresikan sebagai
preferensi atau fungsi pencapaian (achievement function) terbatas kepada
penyimpangan target.
Dengan membuat variabel baru pada fungsi obyektif yang dapat
didefinisikan sebagai: n
j
kjjkk bxcd1
, untuk k = 1, 2, ..., m
Seghingga fungsi objektif goal programming menjadi:
m
k
kdZ1
min
Karena dk bisa bernilai positif atau negatif, maka variabel ini dapat diganti
dengan dua variabel non negatif baru, sehingga dk= dk+
- dk-, dimana dk
+ dan dk
- ≥0.
kkkkk ddddd
dk+ dan dk
- merupakan variabel penyimpangan (deviational variables) yang
merepresentasikan tingkat pencapaian melebihi target (over achievement) dan
pencapaian di bawah target (under achievement). Secara bersamaan, tidak mungkin
terjadi kelebihan target, maka berlaku hubungan: dk+ x dk
- = 0.
Formula umum goal progaramming dapat dituliskan sebagai berikut:
m
k
kk ddZ1
min
kendala:
n
j
kkkjjk bddxc1
0),( /
kj dx
Dalam formulasi goal progamming ini setiap target dimasukkan dalam
kendala-kendala dalam persamaan. Fungsi kendala semacam ini disebut sebagai
kendala tujuan (goal constraint), di mana di dalam persamaannya telah melibatkan
variabel deviasi, dk+ dan dk
- dimana dalam program linier kedua peubah tersebut
adalah slek dan surplus. Sehingga yang dinilai dan dianalisis dalam goal
programming bukanlah tingkat kegiatannya, tetapi deviasi dari tujuan, sasaran atau
target yang ditimbulkan oleh adanya nilai penyelesaian tersebut. Dalam mencapai
deviasi plus dan deviasi minus dari tujuan atau target tidak dapat diperoleh secara
8
Desi Vinsensia : Studi Tentang Goal Programming Dengan Pendekatan Optimisasi Robust, 2009.
sekaligus atau simultan, maka salah satu dari peubah dari peubah deviasional atau
kedua-duanya akan menjadi nol.
Pada beberapa situasi, deviasi (penyimpangan) dari suatu target tertentu
menjadi lebih penting bagi pembuat keputusan dibanding penyimpangan target
lainnya. Demikian pula, pada sebuah target tertentu, bisa saja penyimpangannya
jauh lebih penting dari penyimpangan target lainnya dengan arah yang berlawanan.
Pada situasi seperti ini, maka bisa dimasukkan bobot yang berbeda (differential
weight), wk+ dan wk
- pada setiap penyimpangannya:
m
k
kkkk dwdwZ1
min
kendala:
n
j
kkkjjk bddxc1
)(
0, /_
kj dx
Contoh:
Sebuah perusahaan perabot rumah tangga yang bergerak dalam bidang
produksi mabel, memiliki dua produk yang paling disenangi, yaitu perabot tipe I
(dibuat dengan bahan kayu jati) dan perabot tipe II ( dibuat dengan kayu meranti).
Perabot tipe I Perabot tipe II
Waktu departemen I 4 jam 3 jam
Waktu departemen II 2 jam 1 jam
Dengan tersedia 240 jam kerja pada departemen I tiap minggunya dan 100
jam kerja pada departemen II. Keutungan bersih perabot tipe I adalah Rp
50.000/set, sedangkan perabot tipe II adalah Rp 70.000/set. Pemilik perusahaan
menginginkan untuk mendapatkan keuntungan sebesar Rp 700.000 dari seluruh
tipe dengan jumlah perabot tipe I ingin dijual 7 set, dan penjualan tipe II
ditargetkan harus terjual sebanyak 9 set.
Penyelesaian:
Andaikan :
x1 = Perabot tipe I
9
Desi Vinsensia : Studi Tentang Goal Programming Dengan Pendekatan Optimisasi Robust, 2009.
x2 = Perabot tipe II
Dari kasus di atas dapat dirumuskan dengan menambahkan tiga peubah
deviasional, di mana untuk setiap tujuan atau target harus memiliki pasangan
(deviasi plus dan deviasi minus).
dengan:
d1- = jumlah Rp di mana target keuntungan yang ditetapkan tidak tercapai atau di
bawah target.
d1+
= jumlah Rp dimana target keuntungan yang ditetapkan melebihi target yang
ditentukan.
d2- = jumlah penjualan perabot tipe II yang ditetapkan tidak mencapai target.
d2+
= jumlah penjualan perabot tipe II yang ditetapkan melebihi target.
d3- = jumlah penjualan perabot tipe I yang ditetapkan tidak mencapai target.
d3+ = jumlah penjualan perabot tipe I yang ditetapkan melebihi target.
Maka model persoalan di atas menjadi:
Minimumkan 321 dddZ
kendala:
000.700000.70000.50 _
1121 ddxx
x2 + d2+ - d2
- = 9
x1 + d3+
- d3- = 7
4x1 + 3x2 ≤ 240
2x1 + x2 ≤ 100
dan ( x1, x2, d1-, d1
+, d2
-, d2
+, d3
-, d3
+) ≥ 0
Pada masalah perusahaan tersebut pemilik perusahaan telah memiliki target
yang ingin dicapai yaitu keuntungan yaitu sebesar Rp 700.000, dengan penjualan
tipe mebel yang telah diterapkan. Untuk itu sang pemilik mengurutkan atau
memberi prioritas terhadap target yang ingin dicapainya.
No Target Prioritas
1 Mengahasilkan total keuntungan paling sedikit 1
10
Desi Vinsensia : Studi Tentang Goal Programming Dengan Pendekatan Optimisasi Robust, 2009.
Rp 700.000,00
2 Penjualan x2 minimal 9 unit 2
3 Penjualan x1 minimal 7 unit 3
Maka formulasi goal programming kasus di atas dapat ditulis dengan:
1 1 2 2 3 3
1 2 1 1
2 2 2
1 3 3
1 2 1
1 2 2
/
( ) ( ) ( )min
:
50 70 700
9
7
4 3 240
2 100
( , , ) 0; 1, 2, 3i i i
Z P d P d P d
kendala
x x d d
x d d
x d d
x x s
x x s
x d s i
Dengan metode simplex, formulasi dapat diselesaikan sebagai berikut:
Tabel 1. Tabel Awal.
Cb
Cj 0 0 P1 0 P2 0 P3 0 0 0
XB Basic
Variabel x1 x2 d1
- d1
+ D2
- d2
+ d3
- d3
+ s1 S2
0 s1 4 3 0 0 0 0 0 0 1 0 240
0 s2 2 1 3 0 0 0 0 0 0 1 100
P1 d1-
50 70 1 -1 0 0 0 0 0 0 700
P2 d2-
0 1 0 0 1 -1 0 0 0 0 9
P3 d3-
1 0 0 0 0 0 1 -1 0 0 7
P3
zj 1 0 0 0 0 0 1 -1 0 0 7
Cj-zj -1 0 0 0 0 0 0 1 0 0
P2
zj 0 1 0 0 1 -1 0 0 0 0 9
Cj-zj 0 -1 0 0 0 1 0 0 0 0
P1 zj 50 70 1 -1 0 0 0 0 0 0 700
Cj-zj -50 -70 0 -1 0 0 0 0 0 0
11
Desi Vinsensia : Studi Tentang Goal Programming Dengan Pendekatan Optimisasi Robust, 2009.
Keterangan:
Sel zj pada kolom dengan cj=Pi diberi nilai =1. Contoh: Pada P3, baris zj untuk
kolom d3- ( dengan koefisien cj = P3) diberi nilai =1.
Pengerjaan dilakukan mulai dari Prioritas-1:
1. kolom kunci adalah kolom x2, ditentukan: Max {cj- zj}<0. Kolom ini
adalah negatif terbesar adalah (= -70) menjadi variabel masuk.
2. Baris kunci ditentukan dengan Min {θ= XB/aj}
Maka untuk baris:
a. s1 = 803
240
b. s2 1001
100
c. 1
700
10
70
d
d. 2
9
9
1
d
e. 3
7
~ ( )
0
d diabaikan
Tabel 2. iterasi 1
Cb
Cj 0 0 P1 0 P2 0 P3 0 0 0
XB Basic
Variabel x1 X2 d1
- d1
+ d2
- d2
+ d3
- d3
+ s1 s2
0 s1 4 0 0 0 -3 3 0 0 1 0 204
0 s2 2 0 0 0 -1 1 0 0 0 1 91
P1 d1-
50 0 1 -1 -70 70 0 0 0 0 70
P2 x2 0 1 0 0 1 -1 0 0 0 0 9
P3 d3-
1 0 0 0 0 0 1 -1 0 0 7
P3 zj 1 0 0 0 0 0 1 -1 0 0 7
12
Desi Vinsensia : Studi Tentang Goal Programming Dengan Pendekatan Optimisasi Robust, 2009.
cj-zj -1 0 0 0 0 0 0 1 0 0
P2
zj 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
cj-zj 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
P1 zj 50 0 1 -1 -70 70 0 0 0 0 70
cj-zj -50 0 0 -1 70 -70 0 0 0 0
Keterangan :
1. kolom kunci adalah kolom d2+, ditentukan: Max {cj-zj<0. Kolom ini
negatif terbesar adalah (-70) menjadi variabel masuk.
2. Baris kunci ditentukan dengan Min { θ = XB/aj }.
Maka untuk baris:
a. 683
2041s
b. 911
912s
c. 170
70_
1d (leaving variable)
d. 91
92x (diabaikan)
e. 3
7
( )
0
d diabaikan
Tabel 3. Iterasi 2
Cb
Cj 0 0 P1 0 P2 0 P3 0 0 0
XB Basic
Variabel x1 x2 d1
- d1
+ d2
- d2
+ d3
- d3
+ s1 s2
0 s1 13/7 0 -
3/70 3/70 0 0 0 0 1 0 201
0 s2 9/7 0 -
1/70 1/70 0 0 0 0 0 1 91
P1 d2+
5/7 0 1/70 -
1/70 -1 1 0 0 0 0 1
13
Desi Vinsensia : Studi Tentang Goal Programming Dengan Pendekatan Optimisasi Robust, 2009.
P2 x2 5/7 1 1/70 -/70 0 0 0 -1 0 0 10
P3 d3-
1 0 0 0 0 0 1 -1 0 0 7
P3
zj 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 7
Cj-zj -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P2
zj 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Cj-zj 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
P1 zj 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Cj-zj 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0
Keterangan:
Pada tabel 3 ini telah optimal untuk prioritas 1 dan prioritas 2. Karena keduanya
telah memenuhi syarat 0)( jj zc
1. kolom kunci adalah kolom x1, ditentukan : Max {cj-zj<0}. Kolom ini
negatif terbesar dengan (-1) sehingga x1 menjadi variabel masuk.
2. Baris kunci ditentukan dengan Min {θ=XB/aj}
Maka untuk baris:
a. s1 = ,..108
713
201
b. s2 = 70
79
90
c. d2+ =
5
7
75
1 leaving variable
d. x2 = 14
75
10
e. d3- = 7
1
7
14
Desi Vinsensia : Studi Tentang Goal Programming Dengan Pendekatan Optimisasi Robust, 2009.
Tabel 4. Iterasi- 3.
Cb
Cj 0 0 P1 0 P2 0 P3 0 0 0
XB Basic
Variabel x1 x2 d1
- d1
+ d2
- d2
+ d3
- d3
+ s1 s2
0 S1 0 0 -
2/25 2/25 13/5
-
13/5 0 0 1 0 992/5
0 S2 0 0 -
1/25 1/25 9/5 -9/5 0 0 0 1 441/5
P1 X1
1 0 1/50 -
1/50 -7/5 7/5 0 0 0 0 7/5
P2 X2 0 1 0 0 1 -1 0 0 0 0 9
P3 D3-
0 0 -
1/50 1/50 7/5 -7/5 1 -1 0 0 28/5
P3
zj 0 0 -
1/50 1/50 7/5 -7/5 1 1 0 0 28/5
Cj-zj 0 0 1/50 -
1/50 -7/5 7/5 0 0 0 0
P2
zj 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Cj-zj 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
P1 zj 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Cj-zj 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0
Keterangan:
1. kolom kunci adalah kolom d2-, ditentukan : Max {cj-zj<0}. Kolom ini
negatif terbesar dengan (-7/5) sehingga d2- menjadi variabel masuk.
2. Baris kunci ditentukan dengan Min {θ=XB/aj}
Maka untuk baris:
a. s1 = ,..765
13:
5
992
b. s2 = 495
9:
5
441
c. x1 = 15
7:
5
7 (diabaikan)
d. x2 = 91
9
15
Desi Vinsensia : Studi Tentang Goal Programming Dengan Pendekatan Optimisasi Robust, 2009.
c. d3- = 4
5
7:
5
28(leaving variable)
Tabel 5. Iterasi 4
Cb
Cj 0 0 P1 0 P2 0 P3 0 0 0
XB Basic
Variabel x1 x2 d1
- d1
+ d2
- d2
+ d3
- d3
+ s1 s2
0 S1 0 0 -
99/1400 99/1400 0 0 -13/1400 0 1 0 197
0 S2 0 0 -
47/1400 47/1400 0 0 -9/1400 0 0 1 81
P1 X1
1 0 7/200 -7/200 0 0 1/200 0 0 0 7
P2 X2 0 1 1/280 -1/280 0 0 -5/28 5/28 0 0 5
P3 D2-
0 0 -1/280 1/280 1 -1 5/28 -5/28 0 0 4
P3
zj 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0
Cj-zj 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P2
zj 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Cj-zj 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P1 zj 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Cj-zj 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Pada iterasi 4 ini telah optimal untuk Prioritas-3, karena .0)( jj zc
Solusi optimal menunjukkan bahwa: x1* = 7 dan x2
* = 5.
a. s1 adalah slack variabel untuk departemen type I = 197 jam.
Dimana: kapasitas jam proses –total penggunaan jam = 240 – (4x7jam +
5x3jam) =197 jam
b. s2 adalah slack variabel untuk departemen II = 81 jam.
Dimana: kapasitas jam proses –total penggunaan jam = 100 – ( 2 x 7jam
+ 5 jam) = 81 jam.
c. d2- adalah pencapaian di bawah target ( underavhievement target) dengan
penjualan tipe II = 4.
Dimana: jumlah tipe II – jumlah target penjualan yang ditetapkan = (5 – 9)
= -4. ( underachievement target).
Sehingga pada Prioritas -2 mengalami pencapaian dibawah target penjualan
sebesar 4 unit untuk tipe II, tetapi pencapaian target keuntungan sebesar Rp
16
Desi Vinsensia : Studi Tentang Goal Programming Dengan Pendekatan Optimisasi Robust, 2009.
700.000,00 rupiah telah tercapai dan penjualan untuk tipe I (Prioritas-3) minimal 7
telah tercapai.
Dalam kasus tidak pasti pada goal programming, terdapat perbedaan yaitu
andaikan koefisien cij, i = 1, ..., k; j = 1, ..., n mungkin dapat berubah-ubah,
mempengaruhi hasil yang dicapai goal dalam daerah negatif. Koefisien variabel ke-
j dalam kendala ke- i akan diambil dari nilai asumsi ijc (i = 1, ..., k; j = 1, ..., n).
Tetapi juga mungkin akan terjadi pengambilan nilai dari interval ijij cc , , ( i = 1,
..., k; j = 1, ..., n). Dan andaikan ijij c ( i = 1, ..., k; j = 1, ..., n).
2.2 Optimisasi Robust
Data tidak pasti saat ini banyak dijumpai dalam masalah optimisasi. Misalnya
dalam optimisasi rangkaian supply, keaktualan permintaan untuk suatu produk,
keuntungan finansial, keaktualan keperluan material dan lain-lain adalah tidak tepat
diketahui dimana keputusan kritis diperlukan untuk diputuskan. Dalam teknik dan
science, data adalah suatu ukuran error, dimana juga merupakan sumber data yang
tidak pasti dalam model optimisasi.
Dalam optimisasi matematika, umumnya diasumsikan bahwa data adalah tepat
(pasti) diketahu. Kemudian dianalisis untuk meminimumkan (atau maksimumkan)
fungsi objektif dengan :
Minimumkan f0 (x, D0)
kendala fi ( x, Di ) ≥ 0 Ii
Dimana x adalah vektor dari variabel keputusan dan Di, }0{Ii adalah data
yang merupakan bagian masukan dari maslah optimisasi.
Ketika parameter dalam fungsi objektif adalah tidak pasti , tidak mungkin
keinginan untuk nilai optimal diperoleh. Bagaimanapun tingkat penyimpangan
yang merugikan sering kali menjadi alasan untuk diperhatikan. Banyak model ingin
mengoptimalkan imbal balik (tradeoff) untuk mendapatkan solusi yang lebih
dipercaya dalam mencapai tujuan yang diinginkan.
17
Desi Vinsensia : Studi Tentang Goal Programming Dengan Pendekatan Optimisasi Robust, 2009.
Jika parameter tidak pasti menjadi kendala, kemudian diimplementasikan
pada solusi, mungkin kendala menjadi ganguan dalam realisasi dari aktualisasi
data. Dalam banyak praktek masalah optimisasi, gangguan (pelanggaran) kendala
akan mempengaruhi ketidakmampuan solusi yang diperoleh.
Metode klasik yang termasuk parameter tidak pasti adalah analisis sensitivitas
dan stochastik. Dalam bentuk pendekatannya, penggunanya mengabaikan pengaruh
data yang tidakpasti dalam model mereka dan berikutnya analisis sensitifitas
memberikan solusinya. Bagaimanapun analisis sensitifitas hanya alat untuk
menganalisis kebaikan atau kebenaran dari solusi. Dalam pendekatan stochastik
untuk memperoleh solusi yang layak dengan menggunakan perubahan pada
kendala.
Optimisasi robust memmberikan pendekatan yang berbeda dalam menangani
data yang tidak pasti. Dalam matematika, robust optimisasi adalah suatu metode
pendekatan dalam optimisasi yang berhubungan dengan ketidakpastian. Dalam
model optimisasi memiliki dua komponen yang berbeda yaitu komponen struktural
dan komponen kontrol. Untuk mendefinisikan kedua komponen tersebut, akan
diperlihatkan dua variabel himpunan sebagai berikut:
1nx R , merupakan vektor variabel keputusan yang memiliki nilai optimal
dengan parameter yang tidak pasti yang disebut design variable.
Variabel design ini tidak dapat menjadi suatu realisasi data yang
spesifik
2ny R , merupakan vektor variabel keputusan kendali dimana
memperhatikan penyesuaian terhadap suatu parameter yang tidak
pasti. Nilai optimal variabel ini bergantung pada realisasi
parameter tidak pasti dan nilai optimal dari design variable.
Istilah design variable dan control variable diambil dari analisis fleksibilitas
produksi dan proses distribusi. Variabel design menentukan struktur proses dan
ukuran dari modul produksi. Variabel kendali digunakan untuk mengatur cara dan
mutu (level) dari produksi dalam merespon gangguan dalam proses, mengubah
permintaan hasil produksi, dan sebagainya.
18
Desi Vinsensia : Studi Tentang Goal Programming Dengan Pendekatan Optimisasi Robust, 2009.
Model optimisasi dapat dituliskan sebagai berikut:
Linear Programming
Minimumkan cT x + d
T y (1)
21 ,nn
yx RR
kendala:
Ax = b (2)
Bx + Cy = e, (3)
x, y ≥ 0. (4)
Persamaan 2 merupakan kendala dalam matematika programming dan
persamaan 3 merupakan kendala kontrol.
Untuk medefinisikan masalah optimisasi robust, andaikan terdapat himpunan
scenario Ω = { 1, 2, 3, ..., S}. Dengan tiap skenario s ϵ Ω yang kemudian
dihubungkan pada himpunan {ds, Bs, Cs, es} untuk koefisien variabel kendali dan
peluang skenario ps S
s
sp1
)1( . Solusi optimal dari persamaan (1)s/d(4) akan
menjadi robust yang optimal jika sisanya “close” pada optimal untuk beberapa
realisasi skenario s ϵ Ω yang kemudian disebut dengan istilah solusi robust. model
robust adalah solusi robust yang mungkin terjadi bila “hampir” layak untuk
beberapa skenario s.
Hal ini tidak mungkin bahwa untuk persamaan (1)s/d(4) akan layak dan
optimal untuk semua skenario s ϵ Ω. Jika sistem tersebut adalah dibangun model
substansial redundan , maka hal itu mungkin memperoleh solusi layak dan optimal.
Sebaliknya, suatu model diperlukan untuk memenuhi tindakan imbal-beli (tradeoff)
diantara solusi robust dan model robust.
Andaikan terdapat himpunan { y1, y2, ..., ys} variabel kendali untuk setiap
skenario s ϵ Ω. Andaikan terdapat himpunan { z1, z2, ... , zs} merupakan vektor
error dari kendala kontrol pada scenario. Maka dapat diformulasikan robust model
sebagai berikut:
Minimumkan σ(x1, y1,...,ys) + ωρ { z1, z2, ... , zs} (5)
19
Desi Vinsensia : Studi Tentang Goal Programming Dengan Pendekatan Optimisasi Robust, 2009.
kendala: Ax = b (6)
Bs x + Csys + zs = es, untuk semua s ϵ Ω (7)
x ≥ 0, ys ≥ 0, untuk semua s ϵ Ω (8)
Dengan mengalikan skenario, fungsi objektif ξ = cT x + d
T y menjadi variabel
acak dengan nilai ξs = cT x + d
Ts ys, dengan probabilitas ps. Oleh karena itu,
terdapat pilihan tunggal untuk jumlah nilai objektifnya.
Dengan menggunakan nilai rata-rata :
σ (.) = s
ssp , (9)
dimana fungsi tersebut biasanya digunakan dalam formulasi stokastik linear
programming. Dalam analisis pada kasus buruk (worst) model maximin di
definisikan :
ss
max(.) , (10)
2. 3 Formulasi Robust Mixed Integer Programming (MIP)
Andaikan c, l, u merupakan n-vektor, andaikan A merupakan matriks m x n dan b
adalah m-vektor.
Minimumkan c’x
kendala Ax ≤ b
l ≤ x ≤ u
xi ϵ Z, i = 1, ..., k (1)
Model data yang tidak pasti U:
a. tidak pasti (uncertain) untuk Matriks A : Andikan N = { 1, 2, ...,
n}. Tiap entry aij, j ϵ N adalah model independent, simetris dan
dibatasi variabel random ( tetapi dengan distribusi yang tidak
diketahui) ~
, Njaij yang diambil dalam nilai ]ˆ,ˆ[ ijijijij aaaa .
b. tidak pasti (untuk cost vektor c). Tiap entri cj, j ϵ N nilai
diambil dalm [cj, cj + dj], dimana dj mewakili deviasi dari
nominal cost koefisien cj.
20
Desi Vinsensia : Studi Tentang Goal Programming Dengan Pendekatan Optimisasi Robust, 2009.
Untuk setiap i, terdapat bilangan τi, i = 0, 1, ..., m yang diambil nilai dalam
interval [0, ]iJ , dimana Ji = {j, }0ˆija . τ0 diasumsikan bulat, ketika τi, i =
1,2,...,m tidak harus selalu integer. Tugas parameter τi dalam kendala adalah
menyesuaikan metode sifat robust terhadap solusi yang konservatif. Terdapat ke-
i kendala dari persoalan nominal .ii bxa Andaikan Ji adalah himpunan koefisien
aij, j ϵ Ji independent mengambil nilai sesuai pada distribusi simetrik dengan rata-
rata sama dengan nilai nominal aij dalam interval ]ˆ,ˆ[ ijijijij aaaa . Berbicara
dengan intuisi, tidak mungkin bahwa semua aij, j ϵ Ji, akan diubah. Tujuan hal ini
adalah semua kasus mulai dari koefisien i diganti, dan satu koefisien ait diganti
dengan .ˆ)( itii a .
Dengan kata lain bahwa menetapkan wilayah terlarang dalam perhitungan dan
hanya koefisien himpunan bagian yang digantikan dalam urutan yang
menimbulkan solusi yang berlawanan. Kemudian akan dijamin bahwa jika
dilakukan sifat alami maka solusi robust akan layak.
Lemma
Minimumkan 0
maxjj S j
c x d x
kendala: max ( )ˆ ˆi ii
j ij j ij j i i ia x a x a x b
j S tit i
uxl
ix , .,...,1 ki (2)
Bukti :
Akan ditunjukkan bagaimana kendala (2) menjadi kendala linear.
Diberikan vektor x*, didefinisikan :
βi(x*) =
*max ( )ˆ ˆ
i i ij S ij j i i it t
a x a x (3)
Sama dengan :
βi(x*) = maksimumkan
iJj
ijjij zxa
iii
21
Desi Vinsensia : Studi Tentang Goal Programming Dengan Pendekatan Optimisasi Robust, 2009.
kendala iJj
iijz (4)
10 ijz iJji,
Persamaan ini equivalen }\,,}{{ iiiiiiiii SJtSJStS dengan
fungsi cost i
ii
Sj
titiijij xaxa *ˆ)(ˆ .
Maka dual dari persoalan (4) adalah:
Minimumkan iJj
iiij zp
kendala
0
0
ˆ
i
ij
jijiji
z
p
xapz
i
Jj
Jj
i
i
(5)
Dari aturan dualitas, karena persamaan (4) feasible dan terbatas untuk semua
i [0, ]iJ , maka dual persamaan (6) juga layak dan terbatas i [0, ]iJ .
Sehingga diperoleh bahwa βi(x*) adalah sama dengan nilai fungsi objektif pada
persamaan (5).
22
Desi Vinsensia : Studi Tentang Goal Programming Dengan Pendekatan Optimisasi Robust, 2009.
BAB 3
PEMBAHASAN
3.1 Solusi robust dari masalah goal programming dengan posible varians
negatif pada sisi sebelah kiri tujuan.
Ada 3 ide yang berhubungan dengan konsep solusi robust optimal yaitu:
a. Solusi robust optimal adalah suatu solusi yang mana akan optimal untuk
kemungkinan nilai terburuk (worst) dari koefisien yang diasumsikan
dalam intarval variansnya (penyimpangan). Terburuk maksudnya adalah
minimal untuk maksimum fungsi objektif dan untuk kendala lebih besar
atau sama dan maksimal dalam kasus lainnya.
b. Dengan mengaplikasikan definisi di atas , diperoleh kasus “pessimistic”,
dimana akan direduksi dalam menyelesaikan masalah yang berhubungan
dengan koefisien himpunan pada kemungkinan nilai terburuk. Suatu solusi
robust dapat sangat mudah diperoleh, tetapi kualitas ( nilai fungsi objektif)
mungkin sangat buruk. Dalam banyak kasus terdapat pendekatan yang
terlalu pesimistik, dengan segala asumsi yang bisa saja salah, dan bahwa
semua koefisien mungkin berubah-ubah pada arah negatif secara simultan.
c. Pada pendekatan dengan sifat alami (nature), diasumsikan bahwa hanya
beberapa koefisien yang akan benar-benar diganti (misalnya hanya harga
beberapa produk akan turun, tidak semua produk). Tentu tidak dapat
diketahui koefisien yang mana diganti dan dalam pendekatan hal itu tidak
perlu memilih koefisien yang diduga akan di ganti. Hanya hal yang
dibutuhkan adalah perkiraan untuk fungsi objektif dan tiap kendala itu
masing-masing, apakah opini memaksimalkan koefisien dapat diganti
dengan nilai yang relatif normal.
Desi Vinsensia : Studi Tentang Goal Programming Dengan Pendekatan Optimisasi Robust, 2009.
Dengan mengaplikasikan pendekatan ini pada
persamaann
j
jjij kidxc1
),...,1(,ˆ dengan ijijij ccc , , ( i = 1, ..., k; j = 1, ..., n),
ijc akan menjadi nilai normal. Solusi M-robust dimana M = (mi)ki=1 dan mi ( i=
1, ..., k) adalah bilangan bulat dipilih oleh si pembuat keputusan yang tidak
melebihi n, yang mana menerangkan berapa banyak koefisien dalam kendala ke-i
dapat diganti. Apabila mi = n (i =1,...,k) diasumsikan tidak ada yang akan salah
maka diperoleh solusi normal optimal.
3.2 Kriteria single linear programming terhadap solusi M-robust goal
programming
Sesuai model formulasi MIP , maka solusi M- robust dapat ditulis:
1ˆmax ( 1, ..., )
( )
j
n
ijj j Sj ij j ic x x d i k
A x B
(*)
Dengan formulasikan kembali dengan cara yang sama ke dalam model goal
programming, maka diperoleh:
0,,0
)(
),...,1(,max
)(
1},...,1{
1
min
ii
n
j Sj
iiijij
mS
nSjij
k
j
iiii
ddx
BxA
kibddxxc
dwdwZ
jii
i (**)
Nilai optimal dari fungsi objektif yang diperoleh dalam cara ini akan menjadi
nilai opimal terburuk dari total deviasi dimana dalam tiap goal i (i=1,...,k),
koefisien im mengijinkan untuk mengambil paling sedikit nilai baik ( maksimal).
24
Desi Vinsensia : Studi Tentang Goal Programming Dengan Pendekatan Optimisasi Robust, 2009.
Dengan mengubah nilai im , akan dilihat bagaimana pengaruh nilai optimal total
deviasi.
Lemma : andaikan 1 2
( , , ..., ) max ( 1, ..., ).jj Si n ij j
x x x x i k Untuk
tiap vektor (x1, x2,..., xn) dan i= 1,2,...,k, βi ( x1, x2, ..., xn), adalah nilai
fungsi objektif pada masalah linear programming
Minimumkan n
j
iiij zmp1
0),,...,1(,0
),...,1(11
iij
jij
znjp
njxpz (***)
Formulasi linear programming di atas, kemudian diapilkasikan pada solusi M-
robust:
),...,1(;0,,0
)(
),...,1(;0),,...,1(;0
),...,1();,...,1(;
),...,1(;
)(
1 1
1
min
kiddx
BxA
kiznjp
kinjxpz
kibiddzmpxc
dwdwZ
ii
iij
jijiji
n
j
n
j
iiiiijjij
k
j
iiii
(****)
Bukti: Jika n
jjx 1)( , k
iii dd 1),( adalah solusi feasible persamaan (**), tentu saja
juga (sesuai bersama dengan nilai pij (j= 1, ..., n), zi) solusi layak persamaan
(****). Telah ditunjukkan bahwa nilai fungsi objektif (****) tidak melebihi
nilai fungsi objektif (**).
Dengan kata lain untuk menentukan n
jjx 1)( , dari relasi
1 1max , 1, ..., , 0, 0,
i
n nnij
j ijj S j jj ij j j ij i i ij ijc x x c x p m z i k p z
bahwa untuk tiap solusi layak n
jjx 1)( , k
iii dd 10,0, ),( persamaan (**) dan
untuk tiap solusi layak n
jjx 1)( , k
iii dd 11,1, ),( , n
jjij zp 1),( terdapat
25
Desi Vinsensia : Studi Tentang Goal Programming Dengan Pendekatan Optimisasi Robust, 2009.
),...,1();( 1,0, nidd ii . Dari penjelasan diatas bahwa nilai fungsi optimal
(**) tidak melebihi nilai fungsi optimal (****).
3.3 Studi Kasus Masalah Perusahaan dengan 3 tipe Produksi
Sebuah perusahaan memproduksi 3 tipe produk dimana perusahaan tersebut
memiliki target yang ingin dicapai yakni, jumlah total penggunaan bahan-bahan
material adalah 120, jumlah total penggunaan para pekerja adalah 200, jumlah total
waktu penggunaan mesin adalah 300, sedangkan total penggantian harga penjualan
produk yang bernilai negatif adalah -1500, dimana:
1. jc1 ( j= 1,...,3) menunjukkan jumlah material paling banyak yang
dibutuhkan untuk memproduksi produk ke-j.
2. jc2 ( j= 1,...,3) menunjukkan jumlah pekerja paling banyak yang
dibutuhkan untuk memproduksi produk ke-j.
3. jc3 ( j= 1,...,3) menunjukkan paling banyak jumlah waktu mesin untuk
memproduksi produk ke-j.
4. jc4 ( j= 1,...,3) menunjukkan paling banyak harga penjualan produk ke-j
dikalikan dengan -1.
Tabel 5. Jumlah kendala produksi
Produk 1 Produk 2 Produk 3
11c 4 6 3
22c 7 5 6
33c 3 5 7
44c -32 -28 -40
Maka model goal programmingnya adalah:
Minimumkan 44332211 dddddddd
26
26
Desi Vinsensia : Studi Tentang Goal Programming Dengan Pendekatan Optimisasi Robust, 2009.
kendala:
1500402832
300753
200657
120364
44321
33321
22321
11321
ddxxx
ddxxx
ddxxx
ddxxx
)4,3,2,1(;0,;0,, 321 iddxxx ii
Dengan menggunakan software LINDO diperoleh (lihat lampiran 1):
Solusi optimal dari masalah tersebut adalah : x1= 0; x2 = 1,9; x3 = 36,1; d2+
=26, 5; d3- = 37,3.; d1
- = d1
+ = d2
- = d3
+ = d4
- = d4
+ = 0.
Kemudian asumsikan bahwa kemungkinan (possible) varians dari
koefisien jc1 adalah kurang lebih sama dengan 10 % dari nilai normal. Maka:
Tabel 6. Kendala produksi dengan nilai varians.
Produk 1 Produk 2 Produk 3
11c
4.4 6.6 3.3
11
0,4 0,6 0,3
22c
7.7 5.5 6.6
22
0,7 0,5 0,6
33c
3.3 5.5 7.7
33
0,3 0,5 0,7
44c
-28.8 -25.2 -36
44
3,2 2,8 4
Dalam kasus penggunaan material, mungkin saja terjadi penyimpangan
kualitas bahan material yang digunakan sehingga mempengaruhi kualitas produk
27
Desi Vinsensia : Studi Tentang Goal Programming Dengan Pendekatan Optimisasi Robust, 2009.
yang akan dihasilkan. Dalam kasus para pekerja, nilai yang normal dapat berubah
karena kurangnya pengalaman atau motivasi serta waktu yang diperlukan mesin
dalam memproduksi 1 produk mungkin berpengaruh pada tingkat kelayakan
(gagal) mesin. Harga per unit mungkin dapat turun ( maksudnya kenaikan dari
pergantian nilai dikalikan -1) karena situasi pasar yang tidak pasti.
Karena adanya penyimpangan-penyimpangan maka masalah goal
programming tersebut akan didekati dengan solusi optimal robust, dengan ij ( i
=1, ...,k; j = 1, ...,n) di sisi sebelah kiri goal (left-hand sides).
Dengan mengaplikasikan masalah (****) pada model goal programming,
maka bentuknya menjadi:
Minimumkan 44332211 dddddddd
kendala :
1500402832
300753
200657
120364
4444434241321
3333333231321
2222232221321
1111131211321
ddzmpppxxx
ddzmpppxxx
ddzmpppxxx
ddzmpppxxx
1111 4.0 xpz ; 2121 6.0 xpz ; 3131 3.0 xpz
1212 7.0 xpz ; 2212 5.0 xpz ; 3232 6.0 xpz
1313 3.0 xpz ; 2323 5.0 xpz ; 3333 7.0 xpz
1414 2.3 xpz ; 2424 8.2 xpz ; 3434 4xpz
xi, zi, di-/+
,pij ≥ 0 ( i = 1,2, 3, 4; j = 1, 2, 3)
Dimana m1,m2, m3, m4 adalah parameter , bilangan integer. Dan pada kasus
ini diambil bilangan bulatnya lebih kecil atau sama dengan 3 (0,1,2,3), yang
kemudian akan diseleksi oleh pemimpin perusahaan untuk menentukan tingkat
pesimistik tiap target. Untuk goal ke-i, mi menunjukkan berapa banyak koefisien
goal dari sisi sebelah kiri (left hand side) yang dapat dijangkau dari nilai yang
diijinkan.
28
Desi Vinsensia : Studi Tentang Goal Programming Dengan Pendekatan Optimisasi Robust, 2009.
a) Untuk Parameter mi ( 0, 0, 0, 0).
Maka formulasinya:
Minimumkan 44332211 dddddddd
kendala:
15000402832
3000753
2000657
1200364
444434241321
333333231321
222232221321
111131211321
ddzpppxxx
ddzpppxxx
ddzpppxxx
ddzpppxxx
1111 4.0 xpz ; 2121 6.0 xpz ; 3131 3.0 xpz
1212 7.0 xpz ; 2212 5.0 xpz ; 3232 6.0 xpz
1313 3.0 xpz ; 2323 5.0 xpz ; 3333 7.0 xpz
1414 2.3 xpz ; 2424 8.2 xpz ; 3434 4xpz
xi, zi, di-/+
,pij ≥ 0 ( i = 1,2, 3, 4; j = 1, 2, 3)
Dengan mensubstitusi nilai parameter – parameter m1, m2, m3, m4 (0, 0, 0, 0) .
Dengan aplikasi program LINDO diperoleh:
Hasil optimal deviasinya adalah:
x1= 0; x2 = 0; x3=37,5; p11=0; p12 = 0; p13=7,5; z1=3,34; p21=0; p22=0; p23=0; z2=
21,69; p31= 37,5; p32=0; p33=0; z3=23,29; p41=0; p42=0; p43=0; z4=144,60
d2+
=25 ; d1- = d1
+ = d2
- = d3
+ =d3
- = d4
- = d4
+ = 0.
Hasil optimal total worst deviasinya dengan parameter (0, 0, 0, 0) adalah 25.
b). Untuk parameter m1, m2, m3, m4 ( 0, 0, 0, 3)
Minimumkan 44332211 dddddddd
kendala:
15003402832
3000753
2000657
1200364
444434241321
333333231321
222232221321
111131211321
ddzpppxxx
ddzpppxxx
ddzpppxxx
ddzpppxxx
1111 4.0 xpz ; 2121 6.0 xpz ; 3131 3.0 xpz
29
Desi Vinsensia : Studi Tentang Goal Programming Dengan Pendekatan Optimisasi Robust, 2009.
1212 7.0 xpz ; 2212 5.0 xpz ; 3232 6.0 xpz
1313 3.0 xpz ; 2323 5.0 xpz ; 3333 7.0 xpz
1414 2.3 xpz ; 2424 8.2 xpz ; 3434 4xpz
xi, zi, di-/+
,pij ≥ 0 ( i = 1,2, 3, 4; j = 1, 2, 3)
Dengan mensubstitusi nilai parameter – parameter m1, m2, m3, m4 (0, 0, 0, 3) .
Dengan aplikasi program LINDO diperoleh (lihat lampiran):
Hasil optimal deviasinya adalah:
x1= 0; x2 = 0; x3 = 41,24; p11 = 0; p12 = 0; p13 = 0; z1 = 10,84; p21 = 0; p22 = 0; p23
= 0; z2= 21,69; p31 = 0; p32 = 0; p33 = 11,25; z3 = 12,04; p41 = 0; p42 = 5,37; p43 =
144,60; z4 = 0
d1+ =3,74; d2
+ = 47,49 ; d1
- = d2
- = d3
+ =d3
- = d4
- = d4
+ = 0.
Total worst deviasi dengan parameter m1, m2, m3, m4 (0, 0, 0, 3) adalah 51,23.
c). Untuk parameter m1, m2, m3, m4 ( 1, 1, 1, 1)
Minimumkan 44332211 dddddddd
kendala:
15001402832
3001753
2001657
1201364
444434241321
333333231321
222232221321
111131211321
ddzpppxxx
ddzpppxxx
ddzpppxxx
ddzpppxxx
1111 4.0 xpz ; 2121 6.0 xpz ; 3131 3.0 xpz
1212 7.0 xpz ; 2212 5.0 xpz ; 3232 6.0 xpz
1313 3.0 xpz ; 2323 5.0 xpz ; 3333 7.0 xpz
1414 2.3 xpz ; 2424 8.2 xpz ; 3434 4xpz
xi, zi, di-/+
,pij ≥ 0 ( i = 1,2, 3, 4; j = 1, 2, 3)
Dengan mensubstitusi nilai parameter – parameter m1, m2, m3, m4 (1, 1, 1, 1) .
Dengan aplikasi program LINDO diperoleh ( lihat lampiran):
30
Desi Vinsensia : Studi Tentang Goal Programming Dengan Pendekatan Optimisasi Robust, 2009.
Hasil optimal deviasinya adalah:
x1= 0; x2 = 0; x3 = 41,11; p11 = 0; p12 = 0; p13 = 0; z1 = 10,84; p21 = 0; p22 = 0; p23
= 0; z2 = 21,69; p31 = 0; p32 = 0; p33 = 22,34; z3 = 0,96; p41 = 0; p4 2= 0; p43 =
139,22; z4 = 5,37;
d1+ =14,18; d2
+ = 68,37 ; d3
+ = 11,10; d1
- = d2
- = d3
- = d4
- = d4
+ = 0.
Total worst deviasi dengan parameter m1, m2, m3, m4 (1, 1, 1, 1) adalah 93,67.
d). Untuk parameter m1, m2, m3, m4 ( 1, 1, 1, 3)
Minimumkan 44332211 dddddddd
kendala:
15003402832
3001753
2001657
1201364
444434241321
333333231321
222232221321
111131211321
ddzpppxxx
ddzpppxxx
ddzpppxxx
ddzpppxxx
1111 4.0 xpz ; 2121 6.0 xpz ; 3131 3.0 xpz
1212 7.0 xpz ; 2212 5.0 xpz ; 3232 6.0 xpz
1313 3.0 xpz ; 2323 5.0 xpz ; 3333 7.0 xpz
1414 2.3 xpz ; 2424 8.2 xpz ; 3434 4xpz
xi, zi, di-/+
,pij ≥ 0 ( i = 1,2, 3, 4; j = 1, 2, 3)
Dengan mensubstitusi nilai parameter – parameter m1, m2, m3, m4 (1, 1, 1, 3) .
Dengan aplikasi program LINDO diperoleh:
Hasil optimal deviasinya adalah (lihat lampiran):
x1= 0; x2 = 0; x3 = 41,24; p11 = 0; p12 = 0; p13 = 0; z1 = 10,84; p21 = 0; p22 = 0;
p23 = 0; z2 = 21,69; p31 = 0; p32 = 0; p33 = 22,34; z3 = 0,96; p41 = 0; p42 = 5,37;
p43 = 144,60; z4 = 0;
d1+ =14,58; d2
+ = 69,18 ; d3
+ = 12,04; d1
- = d2
- = d3
- = d4
- = d4
+ = 0
Total worst deviasi dengan parameter m1, m2, m3, m4 (1, 1, 1, 3) adalah 95,81.
31
Desi Vinsensia : Studi Tentang Goal Programming Dengan Pendekatan Optimisasi Robust, 2009.
e). Untuk parameter m1, m2, m3, m4 ( 2,2,2,2)
Minimumkan 44332211 dddddddd
kendala:
15002402832
3002753
2002657
1202364
444434241321
333333231321
222232221321
111131211321
ddzpppxxx
ddzpppxxx
ddzpppxxx
ddzpppxxx
1111 4.0 xpz ; 2121 6.0 xpz ; 3131 3.0 xpz
1212 7.0 xpz ; 2212 5.0 xpz ; 3232 6.0 xpz
1313 3.0 xpz ; 2323 5.0 xpz ; 3333 7.0 xpz
1414 2.3 xpz ; 2424 8.2 xpz ; 3434 4xpz
xi, zi, di-/+
,pij ≥ 0 ( i = 1,2, 3, 4; j = 1, 2, 3)
Dengan mensubstitusi nilai parameter – parameter m1, m2, m3, m4 (2, 2, 2, 2) .
Dengan aplikasi program LINDO diperoleh (lihat lampiran):
Hasil optimal deviasinya adalah:
x1= 0; x2 = 0; x3 = 41,24; p11 = 0; p12 = 0; p13 = 9,69; z1 = 1,15; p21 = 0; p22 = 0;
p23 = 20,73; z2 = 0,96; p31 = 0; p32 = 0; p33 = 22,34; z3 = 0,96; p41 = 0; p42 = 5,37;
p43 = 144,60; z4 = 0;
d1+ =15,73; d2
+ = 70,14 ; ; d1
- = d2
- = d3
+ =d3
- = d4
- = d4
+ = 0
Total worst deviasi dengan parameter m1, m2, m3, m4 (2, 2, 2, 2) adalah 98,88.
f). Untuk parameter m1, m2, m3, m4 ( 3,3,3,3)
Minimumkan 44332211 dddddddd
kendala:
15003402832
3003753
2003657
1203364
444434241321
333333231321
222232221321
111131211321
ddzpppxxx
ddzpppxxx
ddzpppxxx
ddzpppxxx
32
Desi Vinsensia : Studi Tentang Goal Programming Dengan Pendekatan Optimisasi Robust, 2009.
1111 4.0 xpz ; 2121 6.0 xpz ; 3131 3.0 xpz
1212 7.0 xpz ; 2212 5.0 xpz ; 3232 6.0 xpz
1313 3.0 xpz ; 2323 5.0 xpz ; 3333 7.0 xpz
1414 2.3 xpz ; 2424 8.2 xpz ; 3434 4xpz
xi, zi, di-/+
,pij ≥ 0 ( i = 1,2, 3, 4; j = 1, 2, 3)
Dengan mensubstitusi nilai parameter – parameter m1, m2, m3, m4 (3, 3, 3, 3) .
Dengan aplikasi program LINDO diperoleh:
Hasil optimal deviasinya adalah:
x1= 0; x2 = 0; x3 = 41,24; p11 = 0; p12 = 1,15; p13 = 10,84; z1 = 0; p21 = 0; p22 =
0,96; p23 = 21,69; z2 = 0; p31 = 0; p32 = 0,96; p33 = 23,29; z3 = 0; p41 = 0; p42 =
5,37; p43 = 144,60; z4 = 0;
d1+ =15,73; d2
+ = 70,14 ; ; d1
- = d2
- = d3
+ =d3
- = d4
- = d4
+ = 0
Total worst deviasi dengan parameter m1, m2, m3, m4 (3, 3, 3, 3) adalah 98,88.
33
Desi Vinsensia : Studi Tentang Goal Programming Dengan Pendekatan Optimisasi Robust, 2009.
BAB 4
KESIMPULAN DAN SARAN
4.1 Kesimpulan
Dari uraian bab-bab sebelumnya, maka dapat dibuat beberapa kesimpulan yaitu:
a. Pendekatan robust optimisasi pada goal programming ini memberikan
suatu solusi pada pembuat keputusan dalam menentukan nilai optimal
yang paling buruk (worst value) dari total deviasi pada target (goal),
dengan memberikan parameter yang bersifat integer.
b. Dengan mengganti koefisien parameter pada setiap kendala dalam
kerangka kerja goal programming dan tidak mengubah kendalanya
diperoleh nilai total worst deviasi yang berbeda.
c. Untuk beberapa nilai parameter m1, m2, m3, m4 dikombinasikan dengan
nilai yang lebih dari 1 misalnya (2, 2, 2, 2) dan (3, 3, 3, 3) diperoleh total
worst deviasi yang sama.
4.2 Saran
1. Disarankan untuk adanya penelitian lebih lanjut tentang Optimisasi robust
pada goal programming.
2. Disarankan untuk adanya kajian lebih lanjut dalam penetapan nilai
parameter integer, dan bagaimana pengaruhnya jika penetapan parameter
integer lebih dari 4 terhadap total worst deviasinya.
3. Disarankan adanya kajian lebih lanjut bagaimana pengaruhnya jika
parameternya tidak integer.
Desi Vinsensia : Studi Tentang Goal Programming Dengan Pendekatan Optimisasi Robust, 2009.
1. Tampilan Software LINDO untuk Solusi Goal Programming (hal.27)
35
Desi Vinsensia : Studi Tentang Goal Programming Dengan Pendekatan Optimisasi Robust, 2009.
2. Penghitungan Software LINDO untuk Parameter (0, 0, 0, 0)
36
Desi Vinsensia : Studi Tentang Goal Programming Dengan Pendekatan Optimisasi Robust, 2009.
3. Penghitungan dengan Software LINDO untuk Parameter (0, 0, 0, 3)
37
Desi Vinsensia : Studi Tentang Goal Programming Dengan Pendekatan Optimisasi Robust, 2009.
4. Penghitungan dengan Software LINDO untuk Parameter (1, 1, 1, 1)
38
Desi Vinsensia : Studi Tentang Goal Programming Dengan Pendekatan Optimisasi Robust, 2009.
5. Penghitungan dengan Software LINDO untuk Parameter (1, 1, 1, 3)
39
Desi Vinsensia : Studi Tentang Goal Programming Dengan Pendekatan Optimisasi Robust, 2009.
6. Penghitungan dengan Software LINDO untuk Parameter (2, 2, 2,2)
40
Desi Vinsensia : Studi Tentang Goal Programming Dengan Pendekatan Optimisasi Robust, 2009.
7. Penghitungan dengan Software LINDO untuk Parameter (3, 3, 3, 3)
41
Desi Vinsensia : Studi Tentang Goal Programming Dengan Pendekatan Optimisasi Robust, 2009.
DAFTAR PUSTAKA
Bertsimas, D. and Sim, M, 2002. “Robust Discrete Optimization and Network
Flows. Math. Program. Ser. B 98, 49-71.
G, David, Danenbring, Starr, Marthin. K, 1981. “Management Science An
Introduction”. Mc Graw Hill Book Company: USA.
Kuchta, D, 2004. “ Robust Goal Programming”, Institute of Industrial
Engineering, Vol. 33, No. 3, University of Technology Smoluchowsklego
25, 50-371, Poland.
Levin, Richard. I, Rubin, David. S, Stinson, Joel. P, S. Everette, Jr. Gardner, 1992.
“Quantitative Approach to Management eight Edition. McGraw-Hill Inc:
Singapore.
Mulvey, Jhon. and Vanderbei, Robert, 1994. “Robust Optimization of Large Scale
Systems. Princeton University, New Jersey.
Nasendi, B.D, Anwar, affendi, 1985. “Program Linier dan Variansnya”. PT.
Gramedia: Jakarta.
Taylor, Bernard. III, 1996. “Sains Manajemen”. Salemba Empat: Jakarta.
Tutorial, http: // www.springerlink.com/index/680Q669B92VYOFNY8.pdf,
“Adjustable Robust Solutions of uncertain Linear Program”, tanggal 17
Juli 2009.
Tutorial, http: //en.wikipedia.org/wiki/Goal Programming “Goal Programming”,
tanggal 2 Juni 2009.
Tutorial, http: //en.wikipedia.org/wiki/Robust optimization, “Robust
Optimization”, tanggal 5 Mei 2009.
Tutorial, [email protected], “Goal Programming”, tanggal 12 Juni 2009.
Desi Vinsensia : Studi Tentang Goal Programming Dengan Pendekatan Optimisasi Robust, 2009.