FORELESNINGSNOTAT TIL FORDYPNINGSKURSET

50131 STRATEGISK ANALYSE

August 2003, Rev. January 2005, May 2007

Lars Thorlund-Petersen

1

OR305E Beslutningsanalyse og strategi, Vår 2009 (Decision Analysis and Strategy, Spring 2009) Pensum: A. Dixit and B. Nalebuff: Thinking Strategically. The Competitive Edge in Business Politics, and Everyday Life. Norton, New York and London, 1991 eller senere. Pensumboken kan eventuelt suppleres av læreboken :

A. Dixit and S. Skeath: Games of Strategy. Norton, New York, 1999.

Boken er litt mere formell men forøvrig langt på vei parallell til DN. Innholdsfortegnelse m.v. kan ses på

http://www.wwnorton.com/college/econ/strategy/praise.htm Dessuten er for eksempel S. Douma and H. Schreuder: Economic Approaches to Organizations. Pearson, 2002, relevant, da forfatterne anvender enkel spillteori som verktøy i økonomisk organisationsteori. Se også

http://www.pearsoneduc.com/book.asp?prodID=100000000014232&d=BS

2

Forelesningsnotatet omfatter kommentarer til emnene i pensumlisten med unntak av de som er stjernemerket: 1. Introduksjon DN Introduction, kap. 1 ; 13.1; 13.23

2. Dominante strategier og likevekt DN kap. 3

3. Blandet likevekt DN kap. 7

4. Sekvensielle spill DN kap. 2 ; 13.7; 13.14

5. Bedriftsoppkjøp DN case 3.6 og 13.4

6. Troverdighet og rykte* DN kap. 6

7. Forhandlinger og innsamlinger DN kap. 2.6; 11 ; case 13.21

8. Løsning på Fangenes dilemma* DN kap. 4 og 5

9. Insitamentsproblem DN kap. 12; 13.22

Våren 2009 vil forelesningene til dels dekke ovenstående 9 emner.

Translation to English These notes contains comments to most of the following topics, except those marked with *. 1. Introduction DN Introduction, kap. 1 ; 13.1; 13.23

2. Dominant strategies and equilibrium DN kap. 3

3. Mixed equilibrium DN kap. 7

4. Sequential games DN kap. 2 ; 13.7; 13.14

5. Takeover DN case 3.6 og 13.4

6. Credibility and reputation* DN kap. 6

7. Bargaining, fund raising DN kap. 2.6; 11 ; case 13.21

8. Solving Prisonners’ dilemma* DN kap. 4 og 5

9. Incentives DN kap. 12; 13.22

3

Følgende eksamensoppgavesett med tilhørende løsningsskisse er vedlagt: Oppgave fra 51776 Samf.øk. An., Juni 1992

Desember 1993 Desember 1995

Juni 1996 Desember 1996 Desember 1998 Mai 1999 Desember 1999

Juni 2000 Desember 2000 Desember 2001 Juni 2002 Desember 2002 Juni 2003 Desember 2003

4

1 Introduksjon

I boken Wealth of Nations fra 1776 (se DN kap. 9) lanserte Adam Smith begrepet "den usyn-

lige hånd"; dersom alle individ i et samfunn handler helt ut fra egen interesse, da vil en usyn-

lig hånd koordinere de individuelle beslutninger slik at det samlede resultatet blir best mulig.

Tankegangen er siden videreutviklet innen rammen av moderne velferdsøkonomi der håndens

virkemåte er beskrevet i den såkalte velferdsøkonomiens hovedsetning, ifølge hvilken en

optimal allokering kan realiseres ved å bruke markedet. Dette kan illustreres i en bytteboks,

noe som fjerdeårs siviløkonomstudenter er vel kjent med.

Dessverre er likevel ikke Smiths usynlige hånd noe universalverktøy når det gjelder å

løse ressursallokeringsproblemer. Avvik fra de vanlige frikonkurranseforutsetningene fører i

mange tilfeller til at håndens virkemåte forstyrres. Et opplagt eksempel på den usynlige hånds

begrensning er det såkalte Fangenes dilemma, som vi skal komme tilbake til.

Begrepet "marked" skal her ikke tolkes alt for snævert. I tillegg til ressursallokerings-

problem relatert til markeder i vanlig forstand, som f. eks. markedet for aluminium, ønsker vi

å analysere ressursallokering internt i bedrifter, høgskoler og andre organisasjoner, såvel som

forhandlinger, innsamlinger, avsløring av betalingsvilje osv. Vår oppmerksomhet er altså ikke

begrenset til vanlige markeder der varer omsettes til en gitt pris, vi er i dette kurset også

interessert i en rekke situasjoner der det ikke på forhånd er gitt at prising er mulig.

Dersom vi ser på problemet å allokere ressurser innen en organisasjon eller et

samfunn, møter vi i litteraturen to hovedtyper av avvik fra frikonkurranseforutsetningene. For

det første kan en analysere en organisasjon der alle aktører har samme målsetning samtidig

som omgivelsene er usikre og det er kostnader forbundet med å kommunisere. Selvom det

altså er full enighet og oppslutning om organisasjonens målsetting er det vanskelig å finne

frem til den best mulige ressursallokering og organisasjonsstruktur ettersom en må ta hensyn

til kommunikasjonskostnadene; informasjonsflyt er ikke alltid gratis. I litteraturen er slike

problem behandlet i det en kaller "theory of teams". I de seneste årene har det blitt fornyet

interesse for "team theory" også i relasjon til fagfeltet økonomisk organisasjonsteori.

Den annen hovedtype fokuserer på situasjoner der aktørerne ikke nødvendigvis er

enige om målsettingen samtidig med at den enkelte kan påvirke det samlede resultatet. Videre

5

vil det ofte være slik at den enkelte har privat informasjon som kan skjules for motspillerne.

Dersom det er mer enn en enkelt aktør vil hver av disse i så fall befinne seg i en strategisk

beslutningssituasjon, med bevisste motspillere. For å illustrere dette, la oss som eksempel se

på følgende tre beslutningstakere: (a) En monopolist velger kvantum (b) En duopolist velger kvantum (c) En produsent i et frikonkurransemarked velger kvantum.

Av de tre beslutningstakere er det bare (b) som kan sies å stå overfor et strategisk problem.

Duopolistens beslutning er fundamentalt mer vanskelig enn monopolistens og frikonkurranse-

produsentens. Det er i (b) ikke noen innlysende riktig tilpassing, imotsetning til (a) og (c)

(men en kan ut fra spillteoretiske betraktninger argumentere for at duopolisten bør velge

Cournot-kvantum).

Merk at eventuell usikkerhet i omgivelsene ikke i seg selv impliserer at beslutningen

er strategisk. Som et eksempel, anta følgende variant av (c): (c*) En produsent i et frikonkurransemarked velger kvantum. Ferdigvareprisen er usikker; den er høy eller lav med sannsynlighet 60% eller 40% . Produsenten ønsker å maksimere forventet profitt og må velge kvantum før han vet om prisen blir høy eller lav.

I (c*) er likevel ikke prisen bestemt av en bevisst motpart, slik at produsenten ikke står

overfor et egentlig strategisk problem. Som vi skal se senere, kan (c*) klassifiseres som et

spill mot naturen ("game against nature") i likhet med det å legge kabal.

Fordypningskurset Strategisk analyse er ment å fokusere på rasjonelle aktørers tilpass-

ning i strategiske beslutningssituasjoner. Som det etterhvert vil fremgå forutsetter slik analyse

et visst kjenskap til spillteori. Elementære spillteoretiske begrep og resonnement inngår

derfor i kurset. Videre må en hele tiden ha klart for seg at rasjonelle beslutninger i strategiske

situasjoner forutsetter evne og vilje til å sette seg i motpartens sted. Vi skal først innføre noen

spillteoretiske grunnbegrep.

Ved et to-personers spill , der spillerne kalles Spiller 1 og Spiller 2, forstår vi en liste

bestående av to mengder Σ , kallet strategimengdene til Spiller 1 og 2 og to

funksjoner , kallet pay-off funksjonene til Spiller1 og 2, slik at dersom spillerne

Σ1 og 2

1 2 ⋅P P( ) ( )⋅ og

6

velger strategier og da utbetales til hver av dem σ ∈Σ1 τ ∈Σ2 P P1 2( , ) ( , )σ τ σ τ og . Dersom

vi alltid har P P1 2 0( , ) ( , )σ τ σ τ+ = , for alle σ τ, , da kalles spillet et nullsumsspill. (De som

har litt kjenskap til funksjoner og mengder kan lett overbevise seg om at definisjonsmengden

for begge funksjonene P P1 2( ) ( )⋅ ⋅ og er Σ Σ1 2× ). Mer generelt kan en definere et n-personers

spill for alle n ; tilfellet n er lite interessant. = 2 3, ,... = 1

Dette virker antakeligvis mer vanskelig og komplisert enn det egentlig er. La oss

derfor ta et enkelt eksempel som de fleste kjenner fra sin skoletid: "Stein, Saks, Papir", SSP.

Eksempel 1.1

Hver spiller velger en av de tre mulighetene Stein, Saks, Papir slik at Σ Σ1 2= =

. Pay-off funksjonen for Spiller 1 er gitt i følgende tabellen: {Stein, Saks, Papir}

Σ

Σ

2

1

1

0 11 1 0

P Stein Saks PapirStein 0 1 -1Saks -1Papir −

(Mengden Σ inneholder ialt 3 ganger 3 = 9 elementer svarende til ovenstående tabell).

For eksempel: dersom strategikombinasjonen (Stein,Saks)

Σ1 × 2

∈ ×Σ Σ1 2 velges, da overføres 1 kr

fra Spiller 2 til Spiller 1, P1 1(stei )n,saks = . Strategimengdene er endelige mengder; hver

spiller har tre ulike strategier til rådighet. På grunn av spillets matriseform kalles et slikt spill

også et matrisespill. Spillet er et et nullsumsspill slik at P P1 2= − . Derfor blir pay-off

funksjonen for Spiller 2 gitt som følger

P2

0 11 1 0

Stein Saks PapirStein 0 -1 1Saks 1Papir

−−

7

For et nullsumsspill er det klart tilstrekkelig å angi den ene av de to tabellene. Merk at dette

spillet er symmetrisk i spillerne i den forstand at de har samme strategimengde og pay-off

funksjon.

Eksempel 1.2

Betrakt et to-personers nullsumsspill der { }Σ1 1 2 3= σ σ σ, , og { }Σ2 1 2 3 4= τ τ τ τ, , , og pay-off

funksjonen for Spiller 1 er:

P1 4

0 11 1 0

τ τ τ τσσσ

1 2 3

1

2

3

0 1 - 4 0-1 0

3−

Dette spillet er ikke symmetrisk i spillerne. Vi skal senere møte dette eksemplet i forbindelse

med likevektsproblemet, Eksempel 3.1.

Eksempel 1.3

Det følgende eksempel er fra DN Chp. 1.3. Det er to spillere, "Dirigent" og "Tchaikovsky",

begge har strategimengdene {tilstå, ikke tilstå}. Spillet er ikke null-sum og pay-off

funksjonene er gitt ved 22× matrisene

Dirigent tilstå ikke tilstå

tilstå -10 -1ikke tilstå -25 -3

; Tchaikovsky tilstå ikke tilstå

tilstå -10 -25ikke tilstå -1 -3

som vi kan sammenfatte i en enkelt tabell:

Dirigent, Tchaikovsky tilstå ikke tilstå

tilstå -10,-10 -1,-25ikke tilstå -25,-1 -3,-3

Spillet er symmetrisk i spillerne.

8

Eksempel 1.4

I et marked er etterspørselen gitt ved sammenhengen

paq b q

q

ba

ba

=− + ≤ ≤

>

⎧⎨⎩

hvis 0 hvis 0

,

der p og q betegner pris og kvantum og a,b>0 er gitte konstanter. (Skisser denne etterspør-

selskurven i et diagram). Det er produsenter som hver har kostnadsfunksjonen C .

Hver produsent (spiller) har strategimengde

i = 1, ,… n i

Σ i = +∞0, (dvs. den positive halvlinje).

Dersom produsentene velger kvanta og samlet kvantum er da fås

pay-off funksjonens verdi for spiller i,

q qn1 0, ,… ≥ q q qn= + +1 …

P q q aq b q C qi n i i( , , ) ( ) ( )1 … = − + − i

n = 1

Dette spillet kalles et oligopol. Vi vil for det meste innskrenke oss til 2 produsenter, ,

slik at vi får et duopol; hvis har vi et monopol.

n = 2

Øvelse 1.1

Dersom et 2-personers spill er gitt ved et duopol som i Eksempel 1.4 , hvilke krav må da være

oppfylt for at spillet er symmetrisk i spillerne.

Øvelse 1.2

Drøft spillet "Ludo" i relasjon til de foregående eksempler. Er det noen egenskaper ved Ludo

som ikke finnes i disse eksemplene?

Øvelse 1.3

Gå ut fra følgende to-personers spill der hver spiller har 3 strategier

9

P P1 2

4 2 5 15 1 3 2 4 2

,

, ,, , ,

Stein Saks PapirStein 4,2 5,1 3,3Saks 3,3Papir

Har dette spillet noe tilfelles med et nullsumsspill?

Vi har nå forsøkt å klassifisere ulike typer av spill. Det kan kanskje sålangt

forekomme å være formelt, men begrepene er nyttige når vi tar opp de ulike emnene fra DN.

10

2 Dominante strategier og likevekt

Ettersom vi nå er fortrolige med begrepet et to-personers spill kan vi gå videre og se på føl-

gende fundamentale problemet: Finnes det noen retningslinjer som kan hjelpe en beslutnings-

taker som står overfor valg mellom ulike strategier ? Dessverre er svaret ikke helt så enkelt

som for eksempel for en frikonkurranseprodusent eller en monopolist.

DN drøfter følgende "Cover Page Game": Time against Newsweek (en mer lokal

variant kan kalles Nordlandsposten mot Nordlands Framtid), se DN Chp. 3.2. Vi har altså

følgende to-personers spill, som er symmetrisk og et ikke-nullsumspill,

Time Newsweek, Aids Budsjettsak

Aids 35,35 70,30Budsjettsak 30,70 15,15

En strategi kalles dominant (eller dominerende) for en spiller, dersom denne er beste valget

uansett hva motparten gjør. (Merk den feilaktige definisjon av "dominant strategi" som siteres

av DN side 65). Man kan raskt overbevise seg om at Aids er en dominant strategi for begge

spillere. Begge redaktørerne står overfor en strategisk beslutning, men ettersom det finnes

dominante strategier er beslutningen likevel ikke vanskelig.

Vi kan imidlertid se på følgende (ikke-symmetriske) variant av spillet:

Time Newsweek, Aids Budsjettsak

Aids 42,28 70,30Budsjettsak 30,70 18,12

I dette spillet har Time en dominant strategi, "Aids". Dette vet Newsweek som derfor bør

velge "Budsjettsak". (Altså er strategikombinasjonen (Aids,Budsjettsak) en likevekt, se

nedenfor). Vær oppmerksom på at vi sålangt ikke har introdusert begrepet sekvensielle trekk,

men det kommer i Avsnitt 4.

Det motsatte begrepet til dominant strategi er dominert strategi , som er definert ved

kravet at uansett hva motspilleren gjør vil det ikke lønne seg å bruke den. DN side 68 gir føl-

gende eksempel som er et null-sums spill: (Offense mot Defense)

11

Offense

3 7 159 8 10

1

1

2

τ τ τσσ

2 3

Ingen av parterne har en dominant strategi men Defense har en dominert strategi : . Det

medfører at vi kan eliminere τ fra Defense strategimengden slik at vi står igjen med et

τ3

3 22×

spill der σ2 er dominant strategi. Dette peker i rettning av suksessiv (iterativ) eliminasjon av

strategier, noe som kan forenkle spillet. Dette skal vi se nærmere på i forbindelse med

Cournot-modellen, Avsnitt 4.

Slik eliminasjon er ikke alltid nok til å forutsi utfallet av et spill, se Eksempel 1.3. I det

eksempelet er det imidlertid en (Nash-)likevekt, (tilstå,tilstå): en strategikombinasjon slik at

hver spillers strategivalg er best mulig gitt motpartens valg. (En strategikombinasjon

bestående av dominante strategier er selvfølgelig en likevekt). Vi ser at likevekten ikke er

optimal derved at (ikke tilstå, ikke tilstå) er en "Paretoforbedring" av likevekten, (tilstå,tilstå).

Adam Smith's usynlige hånd er ikke effektiv i dette tilfelle, fangene er satt i et dilemma. (Se

DN Tale #3).

En annen komplikasjon er at et matrisespill ikke nødvendigvis har en likevekt i det

hele tatt, se Eksempel 1-1-1; i denne forstand er det ganske krevende å velge strategi i "Stein,

Saks, Papir". Vi skal se at i et slike situasjoner lønner det seg å være uforutsigelig i sitt valg

av strategi.

12

3 Blandede strategier 3.1 Sannsynligheter og strategier (Det følgende bygger på DN : Tale #8 side22 og Kap. 7)

I ethvert spill kan vi tenke oss at en ikke trenger å velge rene strategier men derimot en sann-

synlighetsfordeling over slike strategier, en såkalt blandet strategi. Vi skal i dette kapittelet

holde oss til endelige strategimengder, slik at vi ser på matrisespill. Det ekstreme tilfellet der

en strategi spilles med sannsynlighet 1 er det samme som å velge en ren strategi. Derfor er en

ren strategi er et spesielt eksempel på en blandet strategi. Strengt tatt må vi også utvide defini-

sjonsområdet for pay-off funksjonene. Vi skal alltid anta at spillerne gjør dette ved å kalkulere

forventet utbetaling. Med andre ord, spillernes holdning til risiko er karakterisert ved risiko-

nøytralitet. Dersom hver spiller velger en sannsynlighetsfordeling over sine respektive (rene)

strategimengder , da bestemmes samtidig en sannsynlighetsfordeling over ΣΣ Σ og 1 2 Σ1 2×

slik at forventet pay-off kan beregnes. Dette viser ved et eksempel:

Eksempel 3.1

Gå ut fra Eksempel 1.2 og antag at Spiller 1 spiller sine 3 mulige strategier med sannsynlighet

( / , / , )1 3 2 3 0 og tilsvarende Spiller 2 spiller sine 4 mulige strategier med sannsynlighet

( , / , / , )0 1 4 3 4 0 . Dette innebærer at de 3 4 12× = strategikombinasjoner blir realisert med føl-

gende sannsynlighetsfordeling:

τ τ τ τσσσ

1 2 3

1

2

3

0 1 / 12 1 / 4 00 0

0

4

1 6 1 20 0 0

/ /

Den forventede pay-off til Spiller 1 blir

1 4 0 1112

14

16

12

512× + − × + × + × = −( )

Merk, at de to spilleres sannsynlighetsfordelinger naturlig nok forutsettes å være "stokastisk

uavhengige"; i motsatt fall ville det foreligge hel eller delvis koordinering.

13

Øvelse 3.1

Er strategikombinasjonen i Eksempel 3.1 en likevekt?

I Eksempel 1.1 ("Stein, Papir, Saks") kan en vise at dersom begge spillere spiller alle

sine tre strategier med sannsynlighet 1/3 , da har vi en likevekt. Med andre ord, strategikom-

binasjonen

13

13

13

13

13

13

, , , , ,⎛⎝⎜

⎞⎠⎟⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

utgjør en likevekt.

Merk at når en introduserer muligheten for å anvende blandede strategiger, da utvider

vi strategimengden. For eksempel i SSP har Spiller 1 i utgangspunktet strategimengden Σ .

Dersom blandede strategier er mulige blir strategimengden større:

1

{ }Σ1 1 2 3 1 2 3 1 2 31 0 0 0* ( , , ) , , ,= + + = ≥ ≥z z z z z z z z z ≥ ,

og tilsvarende for Spiller 2. Prøv å tegne denne mengden i et tredimensjonalt diagram. En

enkel beregning viser at hver spiller har forventet pay-off lik null i denne likevekten.

Den blandede likevekten kan tolkes dersom vi tenker oss at to spillere spiller SSP

mange ganger, la oss sie 24 ganger. Derved har vi strengt tatt et nytt spill, et såkalt gjentatt

spill, se Kapittel 4. I en 24-gangers repetisjon er det likevekt dersom hver spiller i hver runde

velger en vilkårlig av de tre strategier med sannsynlighet 1/3 . (Det finnes mange andre og

mer kompliserte stategier; f. eks. kan Spiller 1's valg i runde 17 gjøres avhengig av hva som

har skjedd i rundene 1-16).

Blandede likevekter kan også forekomme i ikke-nullsums spill. DN gir følgende

eksempel side 190:

14

Kvinne Mann, Selge Beholde

Beholde 1,2 0,0Selge 0,0 2,1

Vi ser at både (Beholde,Selge) og (Selge,Beholde) er likevekter i rene strategier. I tillegg er

13

23

23

13

, , ,⎛⎝⎜

⎞⎠⎟⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

et par av blandede strategier som utgjør en likevekt. Denne er imidlertid ikke optimal, i mot-

setning til de to ovennevnte likevekter i rene strategier. Sannsynligheten for at de begge får

null er . Den beste løsning på ekteparrets problem er kanskje å avgjøre om

en skal velge (Beholde,Selge) eller (Selge,Beholde) ved å kaste en mynt. En slik løsning

krever en imidlertid en viss koordinering, noe det kan være vanskelig å få til.

4 9 1 9 5 9/ / /+ =

Øvelse 3.2

Kan en si at ovenstående spillet Kvinne-Mann er et eksempel på Fangenes dilemma? Forklar.

3.2 Beregning av blandet likevekt

Sålangt har vi drøftet likevekt i en rekke tilfeller der det er nokså enkelt å finne likevekten.

Dersom det i et null-sums spill bare er to strategier for hver spiller, da kan problemet løses

ved et diagram, se DN side 175. Dersom en spiller spiller både strategi 1 og 2 med strengt

positiv sannsynlighet, da må disse to sannsynlighetene være slik at forventet pay-off er

uavhengig av hvilke av sine to strategier som Spiller to velger. På denne måten kan vi beregne

likevekten. Dette resonnement avhenger imidlertid av at spillerne har presis 2 strategier til sin

rådighet.

I spillet SPS har hver spiller 3 strategier, men situasjonen er likevel enkel fordi både

spillerne og strategiene er symmetriske. Dette er imidlertid noe spesiellt. La oss derfor se på

følgende mer krevende eksempel.

15

Eksempel 3.2

Det er gitt et nullsums-spill med tilhørende 33× matrise

P1

1 12 1 0

τ τ τσσσ

1 2

1

2

3

1 -1 - 2-1

−

3

.

Dette spillet er ikke symmetrisk i strategiene og heller ikke i spillerne.

Med utgangspunkt i Eksempel 3.2 skal vi forsøke å illustrere hvordan en finner en

likevekt. Først skal vi beregne en - muligvis blandet - strategi ( )x x x1 2 3, , som er en likevekts-

strategi for Spiller 1. Til det formål setter vi opp følgende lineære programmeringsproblem

(P) i fire variabler der den fjerde variabelen ξ er en hjelpevariabel : (x x x1 2 3, , ,ξ)

16

(P) under sidevilkår: Min ξ

, ( ) [ ] [ ]( ) , , ,i x x x1 2 3

1 1 21 1 1

2 1 01 1 1

0 0 0ξ

− −−

−

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

≥ [ ] [ ], , ,ii x x x1 2 3

1110

1ξ

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

=

( ) , ,iii x x x1 2 3 00 0≥ ≥ ≥ , ξ uten fortegnsrestriksjon

Sidevilkårene (ii) og (iii) sikrer at x'ene summerer til 1 og ikke er negative. Sidevilkåret (i)

innebærer at Spiller 1 maksimerer den verst tenkelige forventede verdi (over motpartens tre

mulige strategivalg, svarende til tre kolonner i 4 3× -matrisen). Det såkalt duale problemet

(D) har også fire variabler ( som er gitt ved )y y y1 2 3, , ,η

(D) under sidevilkår: Maks η

, ( )i

yyy

1 1 2 11 1 1 1

2 1 0 1

000

1

2

3

− −−

−

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

≤

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

η

[ ] [ ]( )ii

yyy

1 1 1 0 1

1

2

3

η

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

=

, η uten fortegnsrestriksjon ( ) , ,iii y y y0 0≥ ≥ ≥1 2 3 0

Løsningen av (D) gir oss ( som viser seg å være en likevektsstrategi for Spiller 2.

Problemene kan løses ved å bruke programpakken EXCEL-SOLVER: . Løsningene blir

)y y y1 2 3, ,

(P) ; (D) ( )x x x1 2 3 0 3 5 2 5 1 5, , , ( , / , / , / )ξ = − ( )y y y1 2 3 2 5 3 5 0 1 5, , , ( / , / , , / )η = −

Merk at løsningsverdiene til de to LP-problem er identiske, ξ η= = −1 5/ i samsvar med det

"Dualitetssetningen i lineær programmering" sier. Vi ser at i likevekt nytter Spiller 1 ikke sin

første (rene) strategi og Spiller 2 nytter ikke sin tredje strategi.

17

Ovenstående metode kan anvendes også på spill med et stort antall strategier; EXCEL-

SOLVER kan utføre kalkulasjonene. Vi ser dermed at beregning av likevekt i et to-personers

null-sums matrisespill kan utføres ved å bruke LP-teknikk. Dersom vi ikke har et null-sums

spill, da er dette normalt ikke mulig og beregningsproblemet er betydelig mer komplisert

hvorfor vi skal avholde oss fra å gå nærmere inn på den saken.

Øvelse 3.1

Anta at du og en medstudent skal spille spillet i Eksempel 3.2. Før dette spillet spilles afgjøres

hvem av dere som skal være Spiller 1 og 2 ved et myntkast. Vil du foretrekke å bli Spiller 2?

18

4 Sekvensielle spill 4.1 Spill- og beslutningstreer

La oss nok en gang se på spillet "Stein, Saks, Papir" og tenke oss at spillereglene endres til

følgende: Først velger Spiller 1 strategi i sin strategimengde { }Stein, Saks, Papir . Dernest

gjøres Spiller 2 kjent med valget og velger en av mulighetene Stein, Saks, Papir. Enhver stra-

tegi for Spiller 2 kan derfor identifiseres med en funksjon som til ethvert element i mengden

tilordner en av de opprindelige strategiene {Stein, }Saks,Papir { }Stein, Saks, Papir . En

strategi for Spiller 2 er derfor av følgende form:

Hvis Spiller 1 velger; så velger Spiller 2: Stein x Saks y Papir z

der x,y,z alle betegner element i mengden { }Stein, Saks, Papir . Derfor har Spiller 2 i dette

eksemplet ialt ulike strategier til sin rådighet. Spiller 2 kan gjøre sitt valg av

strategi betinget av Spiller 1's valg (men ikke omvendt, slik som spillereglene er: en kan ikke

betinge sin strategi på noe en ikke har informasjon om).

27333 =××

Øvelse 4.1

Anta at Spiller 2 velger en strategi slik at x=Papir, y=Stein, z=Papir. Er det et godt valg av

strategi?

Øvelse 4.2

Vis at i ovenstånde spillet har Spiller 1 ingen dominant strategi. Har Spiller 2 en dominant og/

eller en dominert strategi?

Øvelse 4.3

Begrunn at i en sekvensiell utgave av spillet i Eksempel 1.2 , (først Spiller 1, så Spiller 2) , da

har Spiller 2 ialt 64 ulike strategier.

19

En kan merke seg selvom spillerne velger strategier med tidsforskyvning blir det ikke nød-

vendigvis snakk om et sekvensiellt spill; det avgjørende er at Spiller 2 får informasjon om

Spiller 1's valg.

Øvelse 4.4

Tegn spilltreet for sekvensiell SSP.

Forskjellen mellom et beslutningstre og et spilltre er illustrert i eksemplet hos DN side 37-40,

("Fastcleaners against Newcleaners"). Et beslutningstre kan være meget komplisert, men

usikkerheten er ikke forårsaket av en bevisst motspiller. Eksempelvis er et beslutningstre til-

strekkelig for å analysere en kabal eller en frikonkurranseprodusents tilpassing under pris-

usikkerhet . Derimot er et beslutningstre et utilstrekkelig redskap når det gjelder å analysere f.

eks. et "sekvensiellt oligopol" a la von Stackelberg, se nedenfor.

I eksempelet med "Fastcleaners against Newcleaners" antydes også hvordan en kan

finne likevektsstrategier: look forward and reason backward.

I noen spilltreer er det en skjult tredje spiller "Naturen" som bestemmer en tilstand, f.

eks. om det er "sol" eller "regn". I et slikt tilfelle kan det være mer komplisert å resonnere til-

bake i treet. Et enkelt og lærerikt eksempel er gitt i DN Case 13.1, side 326. Sammenlikne

med spillet "Ludo".

Følgende spill er en mellomting mellom simultan og sekvensiell "Stein, Saks, Papir".

Eksempel 4.2

La oss se på følgende variant: Først velger Spiller 1 en ut av de tre strategier Stein, Saks, Pa-

pir. Dernest informeres Spiller 2 om Spiller 1 har valgt Stein eller ikke (i så fall har han valgt

Saks eller Papir). En kan si at i motsetning til sekvensiell SSP der Spiller 2 har full

informasjon om Spiller 1's valg så har Spiller 2 nå bare delvis informasjon. Det tilsvarende

spilltreet er vist i Fig. 4.2 (sammenlikne med Fig. 4.1). Dersom Spiller 2 har ingen

informasjon, da er vi tilbake i tilfellet med simultan SSP.

20

For å studere likevektsproblemet i et spilltre må vi introdusere begrepet et delspill av

et gitt spill. Begrepet kan illustreres i ovenstående Eksempel 4-2-1, og er det viktig i f. eks. en

oligopolmodell og i modeller for forhandlinger.

4.3. Cournot og von Stackelberg modellene for oligopol

Selve duopolmodellen er kjennt fra undervisningen i 51776 Samfunnsøkonomisk analyse.

Forskjellen mellom Cournot og Stackelberg modellen er at den første har simultant kvan-

tumsvalg, den annen har sekvensielt valg (først velger leder, så velger følger). Dette svarer til

"Stein, Saks, Papir" i simultan eller i sekvensiell utgave.

I Cournot-modellen har hver spiller i = 1 2 3, , ,… strategimengde Σ i = +∞0, , se Ek-

sempel 1.4. Dersom det er bare to bedrifter (n=2) kan en likevekt illustreres som skjærings-

punktet mellom reaksjonskurverne. La oss i det følgende anta at det er konstant skalautbytte

slik at hver bedrift har konstante gjennomsnittskostnader lik c (dvs. at C q i ). Der-

som vi regner litt på saken vil vi komme frem til at reaksjonskurven for Bedrift 1 er gitt ved

> 0 cqi i( ) =

q qq

b ca

qb c

a

qb c

a

1 2

2 2

2

12 2

0*( ) =

− +−

≤−

>−

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

;

;

(Dersom , da vil gjennomsnittskostnadene alltid være høyere enn markedsprisen og det

lønner seg ikke å produsere). Reaksjonskurven for Bedrift 2 er helt analog. Tegne inn i et

diagram de to reaksjonskurvene.

b c<

Først vil vi vise en anvendelse av begrepet "dominert strategi" og "suksessiv elimina-

sjon" i denne modellen. Både Bedrift 1 og 2 kan regne ut at motparten vil velge en strategi

mellom 0 og . Derfor vil de hver for seg velge strategi ( ) /b c a− 2

( ) / ( ) /b a a q b a a− ≤ ≤ −4 i i = 1 2,2 , . Slik kan en fortsette med å eliminere "dominerte

strategier" og en kan se at det eneste par av strategier som ikke elimineres er

21

( , )( )

,( )

q qb c

ab c

a1 2 3 3=

− −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

der kombinasjonen ( , )q q1 2 er den entydig bestemte (Cournot-)likevekten i spillet; alle andre

mulige strategikombinasjoner vil inneholde en strategi som etter et passende antall elimina-

sjonsrunder er dominert. Hele resonnementet kan vises i reaksjonskurvediagrammet.

(Formellt kan en si at en ser på en følge av duopolmodeller der strategimengdene blir mindre

og mindre).

Alternativt til Cournot-modellen, la oss anta at først velger Bedrift 1 kvantum og dette

offentliggjøres. Dernest velger Bedrift 2 kvantum; med andre ord Bedrift 2 kan gjøre sin stra-

tegi betinget av Bedrift 1 sitt valg. (Strategimengden for Bedrift 2 blir derfor lik mengden av

alle avbildninger fra intervallet Σ i = +∞0, inn i seg selv). En kan si at når først Bedrift 1

har valgt, så gjenstår det et "delspill", i dette tilfellet med bare en enkelt spiller, Bedrift 2.

Anta nå at bedriftene velger følgende kombinasjon av strategier ( : , ( ))q q1 2 ⋅

Bedrift 1: q1 0=

Bedrift 2: ( )( ) / ;( ) / ; ( ) /; ( ) /

q qb c a qb c a q b c a

q b c a2 1

1

1

1

2 00

0=

− =− < ≤ −> −

⎧

⎨⎪

⎩⎪

Her velger Bedrift 2 å produsere det dobbelte av optimalt kvantum dersom Bedrift 1 etablerer

seg, dvs. q1 0> . En kan lett vise at ( , ( ))q q1 2 ⋅ er en likevekt; imidlertid er Bedrift 2's strategi

ikke rasjonell dersom Bedrift 1 skulle velge et kvantum q1 0> . Den er ikke delspillperfekt.

Definisjon: En likevekt i et sekvensiellt spill er delspillperfekt, dersom likevekten også er

likevekt i ethvert delspill.

Intuisjonen bak likevekten ( , ( ))q q1 2 ⋅ er at Bedrift 2 "truer" Bedrift 1 med stor produk-

sjon dersom Bedrift 1 etablerer seg; trusselen er imidlertid ikke troverdig ettersom Bedrift 2

etter at en slik etablering har funnet sted, ikke har interesse i å følge sin strategi.

22

Hvordan kan vi da finne en delspillperfekt likevekt? Bruke prinsippet "look forward,

reason backward". Derfor, se på Bedrift 1. Denne bedriften må gå ut fra at dersom den velger

et kvantum q1 0≥ , så er det rasjonellt for Bedrift 2 å svare i samsvar med sin reaksjonskurve

, se ovenfor. Derfor er den eneste løsningen på Bedrift 1's strategiproblem å velge et

kvantum

q2 * ( )⋅

q1 0≥ slik at profitten maksimeres:

max ( *( ))q a q q q b q cq1 0 1 2 1 1≥ − + + 1−

Dersom vi antar en "indre løsning" får vi ved derivasjon følgende førsteordensvilkår for mak-simum (merk at dq q

dq2 1

1

12

*( )= − ):

32 1 2aq aq b c+ = −*

Tilsvarende fåes fra reaksjonskurven til Bedrift 2 at

aq aq b c2+ =*1 2 −

Dette gir to likninger i to ukjente q1 og q2 *; likningssystemet kan også skrives på

matriseform:

− −⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ =

−−

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

32 1

22a a

a aqq

c bb c*

.

Løsningen blir

; q b q b c 2= −( ) / a1 a2 c 4* ( ) /= −

I reaksjonskurvediagrammet er denne løsningen beliggende på Bedrift 2's reaksjonskurve.

Samlet produksjon og pris blir

23

q b ca

=−3

4( ) og p b c

=+ 34

En ser derfor at Bedrift 1 (lederen) har en fordel, ettersom bedriften har markedsandel 23

.

Øvelse 4.5

Sammenlikne med sekvensiell SSP; er det en fordel å være leder?

Øvelse 4.6

Anta at det er tre bedrifter, 1,2 og 3 som velger kvantum i denne rekkefølge. Hvilke delspill er

det i dette spillet? Kan en si at Bedrift 2 er følger eller leder?

24

5 Bedriftsoppkjøp

5.1 Oppkjøp til under markedspris: spill mellom aksjonærer (DN side 81)

Dette case inneholder en interessant anvendelse av begrepet dominant strategi.

En "corporate raider", i dette case Campeau, planlegger å gi aksjonærerne et tilbud om

å overta deres aksjeposter. Campeaus målsetting er å skaffe seg minst 50% av aksjene. Spørs-

målet er om Campeau kan oppnå dette uten å betale full pris for aksjene, $ 100.0 . Når

Campeau gir et tilbud, "two-tiered bid" , genererer han et spill mellom aksjonærerne der

antall spillere er lik antall aksjonærer (det er uten betydning for analysen at de enkelte

aksjonærer eventuellt holder aksjeposter av ulik størrelse).

I dette spillet er "aksepter tilbuddet" en dominant strategi for hver aksjonær, se DN.

Derfor er det grunn til å vente at det lykkes Campeau å kjøpe alle aksjene til en pris $ 97.5

som er mindre enn markedsprisen $ 100.0. Intuisjonen bak dette er at Campeau ved å sette

aksjonærerne i en spill-situasjon bokstavelig talt spiller dem ut mot hverandre. En kan med en

viss rett si at aksjonærerne befinner seg i (blir satt i ) et fangenes dilemma.

I vår terminologi er dette spillet et simultant spill; hver spiller avgjør om han vil selge

sine aksjer eller ikke, uten å kommunisere eller samarbeide med andre aksjonærer. Vi ser at

det er mangelende samarbeid mellom aksjonærerne som gjør det mulig for Campeau å kjøpe

aksjene til en pris $ 97.5.

5.2 Virkning av særlige styreavstemningsregler til hinder for oppkjøp (DN 13.4)

Dette tilfellet viser at fastsettelse av slike regler ikke er noen enkel sak. En må gå igjennom

alle muligheter og anvende "backwards induction".

Øvelse 5.1

Anvendes regelen om forskudt oppnevningstid ("staggered board") for styremedlemmer i nor-

ske aksjeselskap?

25

Øvelse 5.2

I en region har markedet lenge vært dominert av Lokalbanken og Storbanken. Ut fra begrun-

nelse om voksende skalautbytte ønsker Storbanken å kjøpe Lokalbanken. Markedsprisen på

Lokalbankaksjer har i lang tid vært 90. Storbanken tilbyr å kjøpe samtlige aksjer i

Lokalbanken til kurs 125, betinget av at minst 90% av aksjonærerne aksepterer, med en ukes

frist. Dersom dette skjer vil minoritetsaksjene (de resterende, mindre enn 10%) bli

tvangsinnløst til kurs 88. Dersom dette ikke sker bortfaller tilbudet og markedskursen vil

igjen bli 90. Dagen etter at kjøpstilbuddet er offentliggjort øker markedskursen til 121.

Regelverket pålegger styret for Lokalbanken å gi råd til sine aksjonærer hvorvidt de

bør akseptere tilbuddet. Rådet bør ta utgangspunkt i økonomiske realiteter. Som styremedlem,

hva ville du tilrå?

En aksjonær som representerer en større pensjonskasse får kjenskap til at en god del

andre aksjonærer prioriterer Lokalbankens fortsatte selvstendighet fremfor verdien på aksjene

sine. Hvilken strategi bør denne aksjonæren velge?

Hvilket utfall av saken er det beste sett fra Storbankens synspunkt?

26

7 Forhandlinger og innsamlinger

7.1 Innledning

I forbindelse med forhandlingsspill har vi for det meste sett på tilfellet med en gitt endelig

tidshorisont, slik at løsningen kan bestemmes ved "backwards induction". En kan også tenke

seg at forhandlingene potensiellt kan fortsette i det uendelige; dette tilfellet er kort drøftet DN

p. 301.

Innsamlinger er drøftet av DN i et case p. 367, se nedenfor. Her ser vi også at inn-

samlingen varer et endelig antall perioder, men hvorlenge kan en ikke si på forhånd. En kan si

at lengden på innsamlingen blir bestemt i modellen, en såkalt endogen variabel. (I et vanlig

forhandlingsspill er slutttidspunktet på forhånd gitt).

7.2 Innsamling og betalingsvilje ( DN 13.21)

I dette case forlater vi forutsetningen om en endelig, på forhånd gitt tidshorisont. Det kan der-

for umiddelbart forekomme litt vanskelig å anvende "backwards induction".

Nå tenker vi oss en innsamlingsmetode som likner på en forhandlingsprosess: de to

TV-seere tilbyr alternerende økninger i sitt samlede bidrag. Det må samles inn ialt T før

sendingen begynner. Hver av de to seere tillegger sendingen en verdi lik V. De har felles

tidspreferanser, uttrykt ved diskonteringsfaktoren 0 1< <δ . La oss videre betegne de

akkumulerte bidrag på et gitt tidspunkt av innsamlingen C (contribution); C vil variere

(vokse) i løpet av innsamlingsprosessen. Hvis en seer står for tur å øke sitt bidrag, da vil han

plusse på så mye at målet T nåes dersom

T C V− ≤ −( )1 δ

og "nytten" V realiseres; dersom han gir et mindre bidrag kan han i beste fall oppnå . Der-

som nå en bidragsyter bringer opp C slik at

Vδ

C T V= − −( )1 δ , da vil sendingen begynne en

periode senere. Anta derfor at han tilby y slik at vi får C T V= − −( )1 δ . Da oppnåes "nytten"

. δ( )V y−

27

(Husk at y, det lovede bidraget, først skal betales når sendingen gjennomføres). Hvis han der-

imot venter, da vil motparten en periode senere bidra slik at C T V= − −( )1 δ , hvoretter han

selv bidrar . Dette gir nytten ( )1− δ V

δ δ2 31( ( ) )V V− − = δ V

δ

Derfor er det indifferens mellom å vente og å bidra dersom

. y V= −( )1 2δ

La oss nå anta, at det er slik at

( ) ( ) ( )1 1 1 2− < ≤ − + −δ δV T V V

Kan en da si noe om hvorvidt innsamlingen vil lykkes og hvorlenge det vil ta? Svaret er ja og

det vil ta nøyaktig 2 perioder. Mer generelt, for gitte verdier av T og V slik at T V> 2

δ

2 V2 V

vil det

alltid være slik at nøyagtig en av følgende ulikheter gjelder:

1. T V≤ −( )1 δ

2. ( ) ( ) ( )1 1 1 2− < ≤ − + −δ δV T V V

3. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 12 2− + − < ≤ − + − + −δ δ δ δ δ δV V T V V

4. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 1 1 12 2 2 2 2− + − + − < ≤ − + − + − + −δ δ δ δ δ δ δ δ δ δV V V T V V V

osv.

Avhengig av hvilken ulikhet som gjelder kan vi nå si hvorlang tid det vil ta å samle inn T. Ek-

sempelvis, dersom 1. holder da vil første seer tilby å betale hele T. Dersom 4. holder, da tar

det 4 perioder å innsamle beløpet T. (Merk at dersom T V> 2 da kan beløpet ikke innsamles,

men i så fall bør heller ikke prosjektet gjennomføres).

28

Øvelse

Nederst side 370 skriver DN :"The total potential for . . . ". Hvordan skal det forstås?

Eksempel 7.1

Det er gitt en innsamlingsmodell ( , , )T V δ med to potensielle seere A og B. Gå ut fra følgende

verdier på modellens parametere:

Kostnader ved sending: T = 840kr

Verdi av sending for hver av seerne: V r = 1000k

Diskonteringsfaktoren: δ = 0 8,

Merk, at

( ) ( )1 1 5602− + − =δ δV V kr

( ) ( ) ( )1 1 1 842 2− + − + − =δ δ δ δV V V kr8

Derfor er

)()1()1()1(kr840)1()1( 222 zyxVVVTVV ++=δ−δ+δ−+δ−≤=<δ−+δ−

slik at vi ut fra våre generelle resonnementer vil vente at sendingene begynner i periode nr. 3.

Til illustrasjon begrunner vi dette mer direkte i det følgende. For det første, dersom det nå er

tilsagn om beløpet , når lønner det seg da å betale resten, x, og få begynt sen-

dingen i inneværende periode? Dersom

840=< TC

TxC ≥+ , da begynner sendingen og en oppnår

nytten . Alternativt er det beste en kan håpe på at det blir sending 1 periode senere,

betalt av motparten, noe som gir nytten

xV −

δV . Derfor, hvis V x V− = δ , slik at

da vil nåværende budgiver være villig til å bidra slik at sendingen

begynner nå. Med andre ord, dersom det nå foreligger tilsagn om

x V= − =( )1 δ 200

=−= xTC

, da vil sendingene begynne i inneværende periode. 640200840 =−

29

Hvis det foreligger tilsagn C som er mindre enn 640 kan det tenkes at nåværende bud-

giver byr et beløp y slik at C y+ ≥ 640 , noe som ifølge ovenstående vil utløse sending 1

periode senere. Ved å by y C= −640 vil en derfor oppnå nytten δ(V y)− . Hvis en byr

ingenting kan en i beste fall oppnå sending 2 perioder senere mot å betale x, dvs oppnå

. δ δ δ2 2 1( ) ( ( ) )V x V V V− = − − = δ3

Det vil derfor lønne seg å by beløpet y C= −640 dersom δ , altså δ( )V y V− ≥ 3

. y V≤ − =( )1 3602δ

Hvis en budgiver står overfor et samlet tilsagn mellom 640 360 280− = og 640, altså

280 640≤ <C , da vil sendingen derfor begynne 2 perioder senere.

Gå nå ut fra at det samlede tilsagn er slik at 0 280≤ <C . I det ekstreme tilfelle C = 0

kan budgiver by z og sendingen begynner 3 perioder senere, ifølge ovenstående. På det

tidspunkt vil en måtte betale z

= 280

x+ = + =280 200 480

,

slik at nytten blir

δ2 0 512 520 266 24( ) ,V z x− − = × =

Alternativt vil i beste fall sendingen begynne 4 perioder senere og en må selv betale y = 360,

noe som ville gi nytten . δ3 360 0 4096 640 262 144( ) , ,V − = × =

Konklusjon Vi vil få følgende likevektsforløp:

Periode 1 A tilbyr 280 [ yxT −−= ]

Periode 2 B tilbyr 360 [ ] yV =δ−= )1( 2

Periode 3 A tilbyr 200 [ xV =δ−= )1( ] , sendingen begynner.

Kostnadene fordeles med 280 på A og 360 på B ; 200 480+ = T==+ 840360480 .

30

9 Insitamentsproblem 9.1 Arbeidskontrakt

Vi ser på tilfellet med en arbeidskontrakt, dvs en situasjon der den ene av to parter ikke kan

observere den annens handling. Vi tar utgangspunkt i tabellen og eksempelet gitt i DN 303.

Først ser vi at dersom en kan observere arbeidsinnsatsen, da er det bedre å ansette en pro-

grammør som forplikter seg til å arbeide hardt og betale 70.000 fremfor å ansatte en pro-

grammør på vanlige vilkår til 50.000; det gir forventet profitt 90.000 fremfor 70.000. (Merk at

vi tenker oss at alle programmører er like dyktige. Enhver programmør kan velge om ved-

kommende vil yte en vanlig eller en høy innsats.)

Vi innfører nå istedet for vanlig lønn en bonusordning slik at det utbetales beløpet b i

tilfelle av suksess og beløpet b x− i tilfelle av fiasko. Bonusordningen skal være slik at

programmøren har insitament til å velge høy arbejdsinnsats:

(insitament) 205070)6,08,0( =−≥− x

Dersom x er minst 100.000, da vil det lønne seg å velge høy innsats.

Videre må b være så stor at en programmør er villig til å akseptere ansettelse mot en

bonusytelse, fremfor det vanlige avlønningssystemet. Dette innebærer at forventet utbetaling

til en progammør som velger høy innsats under bonussystemet må være minst 70.000. Det

kreves altså at

0 8 0 2 70 000, , ( ) .b b x+ − ≥ . (aksept)

Bedriften ønsker å velge b så liten som mulig. Dersom det er likhet får vi da

b x= + =70 000 0 2 90 000. , . siden x = 100 000. . I tilfelle av fiasko straffes programmøren

med en bot lik 10.000, b x = −10 000. . −

Ved hjelp av bonussystemet har bedriften oppnådd at problemet med "å velge lav

innsats" er løst. Det forutsetter imidlertid at programmøren er risikonøytral. Dersom vedkom-

mende er risikoavers vil x måtte være større enn 100.000 idet bonussystemet representer en

usikker inntekt, det må derfor være en risikopremie.

31

En kan videre tenke seg at det er et sidevilkår at en programmør ikke kan ilegges bot,

dvs at en krever

b b x≥ − ≥0 0, .

I dette tilfellet blir det "best mulige" bonussystemet x b= =100 000 100 000. , . (DN p. 305).

Dette systemet er mindre gunstig for bedriften ettersom det gir 10.000 mindre i forventet net-

toinntekt.

9.2 Kontrakter mellom to parter (”joint venture”)

For en gitt kontrakt fastlegges et spill mellom de to parter der hver spiller kan velge sin

(meldings)strategi. Gå ut fra eksempelet i DN Kap.12.2, der begge spillere observerer L(ave),

M(iddels) eller H(øye) kostnader. Etter å ha observert sine sanne kostnader kan parterne fritt

melde sine kostnader. Derfor har hver spiller ialt 27333 =×× strategier som følger:

HMMLMMMHLLMLLLHMHMMLMMLHLLMLLMMMHMMLMLLHLLMLL1413121110987654321

HLMLMHMHHLHHHHLMHHLMHMHHLHHMMHLMHLHHMHHLHL27262524232221201918171615

.

(Strategiene er nummerert fra 1 til 27. Øverste rekke angir strateginummer og venstre kolonne

er observerte (sanne) kostnader). Strategiene nr. 22-27 svarer til å permutere de sanne

kostnader. En ser at valg av strategi nr. 22 innebærer at spilleren alltid melder sine observerte

(sanne) kostnader.

DN, side 311-12, drøfter følgende kontrakt. Hver spiller får refundert sine meldte

kostnader og resten deles i forholdet . Kontrakten blir derfor som følger: 1:2

32

00

00

309

)30(

2415

2613

2811

)24(

2217

2415

2613

)18(

)15()12()9(

H

S

.

Hvis H observerer L er det bedre å melde M enn L; hvis H observeres, da meldes H da det

ikke lønner seg å melde M. Derfor er Strategi nr. 14 i tabellen ovenfor en dominerende

strategi for H (se DN Kap.3). Dette vet S, slik at han må anta at H’s meldte strategi fordeler

seg som følger: H melder L, M og H med sannsynlighetsfordeling og . 3/2,0 3/1

For S er det alltid bedre å melde H enn M, da kanselleringssannsynligheten blir den

samme. Samtidig er det best for S å melde H når det observeres L

[ 91)9)3/1(11)3/2(( ×−×+× 4 / 3 4 ((2 / 3) 15 (1/ 3) 0) (2 / 3) 9= < = × + × − × ]; likeså er det best

å melde H når det observeres H [ 11)3/2(3/1400)3/1()1515()3/2( ×=−>=×+−×

] . Derfor velger S strategi nr. 15, slik at han alltid melder H. Denne

konklusjonen er i samsvar med den tilsvarende konklusjonen i DN, side 312, linje 13-14:

”The software firm has a similar temptation: it wants to pretend to have high costs”.

159)3/1( −×+

Kombinasjonen (Strategi nr. 14, Strategi nr. 15) er derfor en likevekt i meldingsspillet

genert av ovenstående ”2:1”-kontrakt. (Om likevekt, se DN Kap. 3.4).

Kontrakten oppfyller kravet om balanse tilstand for tilstand. Hva er da svakheten ved

denne kontrakten? Det vil i likevekt bli meldt (M,H) og (H,H) med sannsynlighet og

. Projektet vil derfor bli gjennomført med sannsynlighet

3/2

3/1 9/73/2 < , slik at kravet om

optimalitet ikke er oppfyldt. For eksempel kanselleres projektet med sannsynlighet ,

selvom de observerte kostnader er (M,M). Ingen av parterne vil konsekvent melde sine sanne

kostnader.

3/1

33

Translation to English

Once a contract has been decided, a game between the two firms is determined. Each firm

chooses a strategy of cost reporting. Consider the example in DN Ch.12.2, in which both

firms observe L(ow), M(edium) or H(igh) cost. Each firm may report any feasible cost level,

L, M, H. Thus each player has strategies, see above in the Norwegian text. For

example, by choosing strategy no. 22 a player always reports the true cost level.

27333 =××

DN, page 311-12, considers the following contract. The project is cancelled in the two

cases (cells) shown above. Otherwise, each firm is reimbursed for its development cost and

the remaining sum between them in the ratio . The contract is shown above. 1:2

If H observes L then it is better to report M than L; if H is observed, then H is

reported, rather than reporting M. Thus, Strategi nr. 14 in the table above is a dominant

strategy for H. This is known to S, thus, S must assume that the reported (by H) are distributed

as follows: H reports L, M og H with probabilities og . 3/2,0 3/1

It is always better for S to report H than M. In addition S should report H if L is

observed: [ 91)9)3/1(11)3/2(( ×−×+× 4 / 3 4 ((2 / 3) 15 (1/ 3) 0) (2 / 3) 9= < = × + × − × ];

furthermore if H is observed, then report H

[ 11)3/2(3/1400)3/1()1515()3/2( ×=−>=×+−× 159)3/1( −×+ ] .

Accordingly, S chooses Strategy no. 15. (This corresponds to DN, page 312, line 13-

14: ”The software firm has a similar temptation: it wants to pretend to have high costs”.)

The pair of strategies (Strategy no. 14, Strategy no. 15) constitute a (Nash-)

equilibrium in the game under the ”2:1”-contract. There is balance in all of the 9 cells.

However, in equilibrium (M,H) and (H,H) will be reported wit probability and ,

respectively. Thus, the project will proceed with probability

3/2 3/1

9/73/2 < ; this contract does not

satisfy optimality. In the case of an integrated firm one would cancel the project with

probability 7/9.

___________________

34

Oppgave 1 fra eksamensoppgavesett i 51776 Samfunnsøkonomisk analyse, Siviløkonomutdanningen i Bodø, 7. september 1992

Sommerhotellet "Fawlty Towers" drives ved hjelp av arbeidskraft fra den lokale fagforeningen. Hotellet er åpent i opp til 5 dager i løpet av en sesong, se nedenfor. Ikke alt ved dette hotellet fungerer helt som det skal. For eksempel viser erfaringen at hotellets ledelse ikke greier å administrere lønnsutbetalinger. Derfor er Eieren og Fagforeningen enige om at arbeidskraften avlønnes gjennom Fagforeningen. Den samlede inntekten fra hotelldriften deles mellom Eieren og Fagforeningen etter forutgående forhandlinger. Forhandlingene foregår på følgende måte. Hver morgen møtes Eieren og Fagforeningen. Første dag,

, foreslår Eieren en deling av sesongens samlede inntekt. Dersom Fagforeningen aksepterer dette åpnes hotellet og driften fortsetter i alle 5 dager. Dersom Fagforeningen avslår den foreslåtte delingen holdes hotellet stengt første dagen og en møtes neste dag, t

t = 1

= 2 , der Fagforeningen foreslår en deling. Dersom Eieren avslår tilbudet holdes hotellet også stengt annen dagen, ellers åpnes hotellet og drives i 4 dager. Slik fortsettes med alternerende tilbud. Dersom enighet ikke oppnåes senest femte dagen, t , da forblir hotellet stengt hele sesongen og samlet inntekt blir null. = 5 Ved vanlige sommerhoteller er inntektstapet ved å holde stengt en ekstra dag konstant over tid. "Fawlty Towers" er litt spesiellt i så måte: Eieren, som har tatt et kveldskurs i bedriftsøkonomi, drøfter ofte dette med gjestene. Han pleier å fremheve at "det er vanskelig å forhandle med Fagforeningen samtidig som samlet inntekt avtar geometrisk over tid med en diskonteringsfaktor lik 20% . " En slik uttalelse imponerer de fleste av gjestene. Mer presis er det slik at dersom hotellet holdes åpent hele sesongen da blir den samlede inntekt 10.000 pund. Dersom åpningen skjer annen dagen da reduseres dette beløpet med 20%, slik at samlet inntekt blir 8.000 pund. For hver dag hotellet holdes stengt, reduseres samlet inntekt med 20%. a) Vis at dersom hotellet åpnes på dag t = 5, da blir samlet inntekt lik 4.096 pund. b) Kan en forutsi resultatet av forhandlingene mellom Eieren og Fagforeningen? Fagforeningen mener at den så langt har fått for liten del av samlet driftsinntekt. Derfor foreslåes en betydelig utvidelse av åpningssesongen, f. eks. til 40 eller 50 dager. En slik utvidelse vil ikke i seg selv endre på inntektssiden. Fremdeles vil det være slik at samlet inntekt blir 10.000 pund dersom det åpnes første dag, og deretter suksessiv 20% reduksjon. Fagforeningen ønsker at forhandlingen tilsvarende skal utvides, med alternerende tilbud, begynnende med Eierens tilbud første dagen. Det viser seg at Eieren er motstander av en slik utvidelse. c) Er Eierens holdning rasjonell? d) Drøft kort relevansen av teorien for forhandlingsspill når det gjelder å forklare forekomsten av streiker i arbeidslivet?

_______________

35

Høgskolesenteret i Nordland Siviløkonomutdanningen

EKSAMEN i 50131 STRATEGISK ANALYSE Dato: 4. desember 1993 Tid: 0900-1300 Hjelpemidler: Ingen spesielle

Oppgave 1

Det er gitt følgende to-personers nullsumsspill der to spillere, Spiller 1 og Spiller 2, begge har

strategimengden { . Pay-off funksjonen er gitt ved }A B C, , 33× matrisen

A B CABC

0 33 0 1

1 1

−−

−

1

0

.

(Eksempelvis, dersom spillerne velger startegikombinasjonen (A,B), da utbetales 3 til Spiller 1 og -3

til Spiller 2).

(a) Forklar med utgangspunkt i dette spillet begrepene "rene stategier" og "blandede strategier".

(b) Finnes i dette spillet en likevekt i rene strategier?

(c) Anta at Spiller 1 velger den blandede strategien x x x x= =( , , ) ( , , )1 2 3 1 5 1 5 3 5 . Er x et beste

valg av strategi for Spiller 2? Er ( , )x x en likevekt i spillet?

(d) Spillet gjentaes nå 20 ganger. Det observeres at Spiller 1 velger følgende strategi:

( A A A A B B B B C C C C C C C C C C C C, , , , , , , , , , , , , , , , , , , )

Kommenter dette strategivalget.

36

Oppgave 2

Butikkskjeden Rena 100 er organisert som et aksjeselskap. Aksjene eies av mange små aksjonærer.

Hver aksje har en markedsverdi lik 200 kr. Nå ønsker selskapet Corporate Strategy (CS) å kjøpe

opp hele Rena 100. Dette gjøres ved å gi aksjonærerne er todelt tilbud ("Two-tiered bid").

Derfor tilbyr CS en pris lik 215 kr pr. aksje for de første 50% av aksjonærerne som tar imot

tilbuddet. De resterende aksjer tilbys bare 180 kr pr. aksje. Likevel får alle aksjonærerne som

aksepterer tilbuddet en og samme pris; anta at y betegner den andel av aksjonærer som tar imot

tilbuddet. Da oppnår de alle følgende pris:

Py

yy

yy

=≤ ≤

+−

< ≤

⎧⎨⎪

⎩⎪

215 0 1 2

2151

2180

1 21 2 1

kr dersom

kr kr dersom

(a) Skisser i et diagram prisen P som funksjon av andelen y. Hvor stor må y være dersom P skal bli

lik markedsprisen 200 kr pr aksje ?

(b) Hver aksjonær har valget mellom de to strategiene "aksepter tilbuddet fra CS" og "ikke aksepter

tilbuddet fra CS". Dersom mer enn 50% av aksjonærerne aksepterer tilbuddet, da vil de resterende

aksjonærer måtte selge til pris 180 kr pr. aksje. Kan en si noe om hvilken av disse strategiene som

er best for den enkelte aksjonær?

(c) Vil CS trolig lykkes å kjøpe opp Rena 100 til en pris under markedspris?

(d) Vil konklusjonen kunne endres dersom det ikke som ovenfor antatt utelukkende er mange små

aksjonærer, men i tillegg en eller flere store?

37

Oppgave 3

To entreprenører A og B ønsker å starte opp et gatekjøkken. Det planlegges at A oppfører bygget og

B kjøper inn utstyr. I utgangspunktet drives prosjektet som en samlet bedrift. Byggekostnadene kan

være høye, lik 12 (regnet i 10.000 kr) eller lave, lik 6, begge med sannsynlighet 50%. Tilsvarende

kan utstyrskostnadene være høye, lik 8 eller lave, lik 4, med sannsynlighet 50%. Forventet inntekt

fra gatekjøkkenet er 18.

(a) Begrunn at prosjektet vil bli gjennomført med sannsynlighet 75%.

Imidlertid blir de to entreprenører enige om å drive hver for seg og å organisere prosjektet i et "joint

venture". Derved har de ikke infomasjon om partnerens kostnader. For eksempel, før prosjektet

besluttes gjennomført får A vite størrelsen på byggekostnadene men denne informasjonen har ikke

B.

Det inngåes følgende kontrakt. Når entreprenørerne hver for seg kjenner sine kostnader så

melder de disse kostnadene (sanne eller falske). Prosjektet gjennomføres dersom ikke begge melder

høye kostnader. Videre skjer følgende betalinger som angitt i Kontrakt I:

B

A

IKontrakt Lav( Høy(

Lav(

Høy(

4 8

69

126

12

129

76

7

) )

)

)

(a) Er denne kontrakten i balanse?

(b) Dersom B alltid melder sine sanne kostnader, lønner det seg da for A å melde sine sanne

kostnader? Besvar tilsvarende spørsmål for A.

Kontrakt II er gitt som følger:

38

B

A

IIKontrakt Lav( Høy(

Lav(

Høy(

4 8

69

96

12

129

46

7

) )

)

)

(c) Lønner det seg alltid å melde sine sanne kostnader under Kontrakt II ?

(d) Besvar samme spørsmål for Kontrakt III:

B

A

IIIKontrakt Lav( Høy(

Lav(

Høy(

4 8

69

96

12

125

132

2

) )

)

)−

(e) Hvilken av kontraktene I, II, III vil du anbefale at entreprenørerne velger?

Oppgave 4

Diskuter muligheten for å oppnå monopolprofitt for en produsent av et varig forbruksgode. (Gå ut

fra at produsenten ikke har noen konkurrenter i markedet). Vil det eventuellt kunne lønne seg for

produsenten å utleie fremfor å selge?

39

Høgskolen i Bodø Siviløkonomutdanningen EKSAMEN i 50131 STRATEGISK ANALYSE Dato: 14. desember 1995 Tid: 09.00 - 13.00 Hjelpemidler: Generelle hjelpemidler, programmerbar kalkulator m/slettet minne uten kommunikasjonsmuligheter. Fagansvarlig: Lars Thorlund-Petersen Dato for sensur: 29. januar 1996. Lykke til! Oppgave 1 Ved en høgskole er det to uavhengige studentkantiner A og B som begge tilbyr samme middagsrett. Enhetskostnaden ved å produsere en slik middag er 15 kr. Studentene kjøper middagen sin der den er billigst; ved samme pris fordeler de seg likt på A og B. Det er iallt 10 studenter ved høgskolen. Tradisjonen tilsier at prisen for en middag er enten 40 kr eller 30 kr. Kantinene setter prisen simultant. (a) Beskriv prissettingen som et spill mellom kantinene. (b) Kan en si at kantinene befinner seg er i et "Fangenes dilemma" ? Gå nå inntil videre ut fra at kantinene kan sette prisen lik et vilkårlig kronebeløp mellom 0 og 40. (c) Endres derved konklusjonen på (b) vesentlig? (d) Begrunn at for begge kantinene er en pris lik 14 kr en dominert strategi.

40

Direktøren for A ønsker å ha et godt samarbeidsforhold til høgskolens studentforening. Han har nylig tatt et brevkurs i Strategisk analyse. Etter nøye overveielse beslutter han derfor å annonsere følgende prisgaranti: "Dersom en student etter å ha kjøpt middag hos oss finner ut samme dag at middagen kunne vært kjøpt billigere ved en annen kantine på høgskolen, og henvender seg til oss, da vil vi kontant refundere det dobbelte av prisforskjellen." (e) Har Studentforeningen grunn til å være fornøyd med en slik garanti? Gå tilbake til (a) slik at prisen på en middag kan settes til enten 30 kr eller 40 kr og anta nå at spillet gjentas hver dag. Hver morgen annonserer kantinene simultant dagens pris. De kjenner begge motpartens tidligere priser. Direktøren for B er tidvis ikke helt nøye med å observere gårsdagens pris. Begge velger følgende strategi: første dag velges 40 kr og deretter settes prisen for dagen lik den prisen som motparten satte gårsdagen. (f) Er denne kombinasjon av strategier en likevekt i det gjentatte spillet? Fører dette til at et "kartell" etableres? Oppgave 2 Drøft kort og gjerne ved bruk av eksempler følgende tre påstander: (i) "Troverdighetsproblemet kan løses ved å undertegne en kontrakt." (ii) "Ved en vanlig førsteprisauksjon av f. eks. en antikk stol melder alle sin sanne betalingsvilje." (iii) "Et forlag som publiserer lærebøker burde leie ut istedet for å selge bøkene til studentene." Oppgave 3 En ny fjernsynsstasjon, TV-Royal, spesialiserer seg i reportasjer om kongelige personer. Stasjonen ønsker å etablere seg i Bodø der det er to potensielle seere, A og B. Kostnadene ved å starte sending er (i tusen kr ) og begge seere tillegger sendestart verdien 6=T V = 24 . Stasjonen kan kreve opp lisens fra enhver som tar inn sendingene. Det krever imidlertid peileutstyr å observere hvem som tar imot sendingene, hvilket er kostnadsberegnet til iallt 43; peileutstyret har ingen alternativ verdi. (a) Vil TV-Royal kunne drives som en lisensfinansiert stasjon, eventuelt ved frivillig lisensbetaling?

41

TV-Royal beslutter å drive på grunnlag av en innsamling som følger. Begge seerne er like utålmodige, noe som kommer til uttrykk ved at 1 kr i neste periode er ekvi-valent til δ kr i nåværende periode, der δ = 0 9, . Gå ut fra at verdiene på T V er kjent for alle. I første periode lover A ( d.v.s. gir tilsagn om å betale) et beløp, deretter lover B et beløp i annen periode; slik fortsettes skiftevis inntil det samlede lovede beløp første gang er minst like stor som T. Da starter sendingen og hver seer betaler sitt samlede lovede beløp.

, ,δ

(b) Vil innsamlingen lykkes og i så fall hvor hurtig? Nå viser det seg at seer B tidligere har fulgt et kurs i Strategisk analyse. Før innsamlingen begynner skriver B en rekke leserinnlegg i Nordlandsposten, der hun argumenterer for innførelse av republikk. (c) Kan en eventuelt si noe om hvorfor B skriver disse leserinnlegg? Oppgave 4 En veikro på Saltfjellet er åpen i opp til 7 sammenhengende dager i løpet av en sommersesong. Inntektene fra driften skal deles mellom Eieren og Fagforeningen. Inntekten ved å holde åpent er 16.000 kr pr dag, slik at samlet mulig inntekt på en sesong er 112.000 kr. Delingen skjer etter forhandlinger mellom Eieren og Fagforeningen. Første mulige åpningsdag,

, tilbyr Eieren en deling av den samlede inntekten. Dersom Fagforeningen aksepterer åpnes veikroen og driften fortsetter alle t dager. Ellers holdes veikroen stengt første dag og neste dag, t , foreslår Fagforeningen en deling av gjenstående samlet inntekt, som Eieren kan akseptere eller avslå; hvis han aksepterer holdes åpent på dagene

t = 1= 1 2 7, , ,…

= 2t = 2 3 7, , ,… . Slik fortsettes med

alternerende tilbud. Dersom ikke enighet oppnås på noe tidspunkt forblir veikroen stengt hele sesongen. (a) Du planlegger å kjøre over Saltfjellet hver dag og ønsker å besøke veikroen. Har du grunn til å tro at veikroen blir åpen hele sesongen? Gå nå ut fra at Fagforeningen alternativt kan sysselsette sine medlemmer ved det nærliggende Polarsenteret, noe som gir en daglig inntekt på 10.000 kr. (b) Endrer dette på svaret under (a)? Anta at alternativ sysselsetting ved Polarsenteret ikke er mulig. Videre endres forhandlingsreglene slik at det i hver periode er Eieren som tilbyr en deling som Fagforeningen kan akseptere eller avvise. (c) Hva blir resultatet av forhandlingene? Hva skjer dersom Fagforeningen troverdig kan erklære at den ikke aksepterer en andel mindre enn 1/4?

42

Høgskolen i Bodø Siviløkonomutdanningen EKSTRAORDINÆR EKSAMEN i 50131 STRATEGISK ANALYSE Dato: 3. juni 1996 Tid: 09.00 - 13.00 Hjelpemidler: Generelle hjelpemidler, programmerbar kalkulator m/slettet minne uten kommunikasjonsmuligheter. Fagansvarlig: Lars Thorlund-Petersen Dato for sensur: 2. august 1996. Oppgave 1 Et hotell i Saltdalen har gått konkurs og gjenoppstår nå som sommerhotellet Saltens Juvel . Eieren planlegger å ha åpent i t = 1 2 10, , ,… sammenhengende dager i løpet av en sesong. Inntekten ved å holde åpent er 12.000 kroner pr dag, dog slik at siste dag, t = 10, er inntekten 30.000 kroner. Alle ansatte ved Saltens Juvel er organisert i en og samme fagforening. Inntekten fra driften deles mellom Eieren og Fagforeningen, etter forhandlinger. Første dag tilbyr Eieren en deling av den samlede inntekten. Hvis fagforeningen aksepterer åpnes hotellet og drives alle 10 dager. Hvis ikke holdes hotellet stengt første dagen, og neste dag, t , foreslår Fagforeningen en deling av gjenstående samlet inntekt som Eieren så enten kan akseptere eller avslå. Hvis han aksepterer, så holdes åpent på dagene t

= 2

= 2 3 10, , ,… . Slik fortsettes med alternerende tilbud. (a) Næringslivet frykter at Saltens Juvel forblir stengt hele sesongen. Er denne frykten velbegrunnet? (b) Kan en utfra spillteorien forutsi resultatet av forhandlingene? Presiser forutsetningene. (c) Drøft momenter som kan føre til at hotellet ikke åpnes første dagen.

43

Oppgave 2 To tenåringer, Per og Pål, kjører bil mellom Mørkved og Tverlandet. Pål kjører fra Mørkved mot Tverlandet, Per kjører motsatt. De starter samtidig og begge kjører midt på veien. Når de møtes har de to muligheter: "V(ike)" eller "F(ortsette)". Dersom begge velger F da overlever ingen av dem og de påføres begge et tap lik -3. Dersom den ene velger V og den anden F, da anses den første som en helt og den annen som kujon, hvilket tillegges verdien 0 til den første og 2 til den annen. Hvis de begge velger V, da er de begge kujoner og får verdien 1. (a) Formuler ovenstående som et 2-personers matrisespill, der Per er spiller nr. 1. (b) Er kombinasjonen av strategier (V,F) en likevekt i rene strategier (c) Er det mer enn en likevekt i rene strategier? (d) Dersom både Per og Pål velger en blandet strategi med 25% sannsynlighet for F, hva blir da sannsynligheten for at begge overlever? (e) Er strategikombinasjonen i (d) en likevekt? Oppgave 3 Staten skal bygge et nytt veistykke og organiserer en anbudsrunde med tre anbydere A,B,C. Anbuddet organiseres som en "førsteprisauksjon", slik at det laveste tilbud aksepteres. Gå i det følgende ut fra at du skal fastsette B's bud. Dine kostnader er 8, og du vet at de to andre har kostnader 7 og 9, allt regnet i millioner kroner. (a) Vil det lønne seg for deg å gi et bud høyere enn dine sanne kostnader; kan dette være en "dominant" strategi? (b) Kan Staten ved å endre på anbudsreglene sikre at ingen gir bud høyere enn sine kostnader? (c) Vil et anbudssystem som under (b) føre til høyere veikostnader for Staten enn under en første-prisauksjon? Oppgave 4 Drøft om prisgarantier alltid er i konsumentenes interesse.

_____________________________

44

Høgskolen i Bodø Side 1 av 3 sider Siviløkonomutdanningen EKSAMEN i 50131 STRATEGISK ANALYSE Dato: 5. desember 1996 Tid: 09.00-13.00 Hjelpemidler: Generelle hjelpemidler, programmerbar kalkulator med slettet minne uten kommunikasjonsmuligheter. Fagansvarlig: Lars Thorlund-Petersen Dato f. sensur: 15. januar 1997 Lykke til! OPPGAVE 1 To siviløkonomstudenter A og B skal begge til eksamen i Økonomistyring i januar, noe de begge frykter. Den 5. desember avtaler de å drøfte pensum over telefon den 30. desember klokken 12.00. Deretter reiser de begge hjem til henholdsvis Andenes og Bergen og vil møtes igjen i Bodø i januar. Studentene har ikke avtalt hvem som skal ringe. Etter ankomsten til hjemstedet har hver av studentene valget mellem å "ringe" eller å "vente". Hvis den ene ringer og den annen venter, da får den første verdien (pay-off) 1 og den annen 3; forskjellen, 3 1 2− = , skyldes kostnadene ved å telefonere. Hvis de begge ringer eller de begge venter, da får de begge verdien 0. (a) Formuler dette som et spill mellom studentene. (b) Har spillet en eller flere dominante strategier? (c) Har spillet en likevekt (i rene) strategier? Gå nå ut fra at spillerne eventuelt spiller blandede strategier. (d) Drøft begrepet "en symmetrisk likevekt" ; finnes det en slik likevekt i dette spillet og er den eventuelt optimal? Sammenligne med svaret under (c). (e) Kan en si noe om sannsynligheten for at det lykkes A og B å gjennomføre telefonsamtalen? (f) Hva blir den symmetriske likevekt hvis det er gratis å telefonere? Sammenligne med (d).

45

Side 2 av 3 sider Oppgave 2 To bedrifter X og Y ønsker å åpne en ny kino i Bodø. De er enige om at X anskaffer utstyr og Y oppfører bygget. Først må hver av dem investere 0,6 henholdsvis 0,5 (regnet i 100.000 kr) for å avdekke kostnadene. Utstyrskostnadene kan være lave, lik 8, eller høye lik 16, med sannsynlighet 1/2. Byggekostnadene kan være lave, lik 4, middel, lik 10, eller høye, lik 16, hver med sannsynlighet 1/3. I utgangspunktet drives prosjektet som ett selskap. Kinodriften vil gi en inntekt på 24. (a) Finn forholdet mellom de forventede kostnader hos X og Y . Vil prosjektet bli gjennomført? Gå nå i stedet ut fra at X og Y driver hver for seg i et "joint venture" slik at de kjenner sine egne men ikke partnerens kostnader. Nå foreslås følgende avtale mellem dem. Hvis prosjektet gennemføres, så får hver av dem refundert sine meldte kostnader, hvoretter det overskytende beløpet deles mellem X og Y i forholdet 6:5 (b) Skriv den foreslåtte avtale inn som kontrakt i en vanlig tabell (f. eks. en -tabell). Vil parterne melde sine sanne kostnader?

2 3×

(c) Drøft de krav som en naturlig kan stille til en kontrakt. (d) Gi, under hensyntagen til svaret på (c), ett eller flere forslag til en kontrakt . Oppgave 3 (a) Drøft minst 3 ulike eksempler på fenomenet "fangenes dilemma" i økonomi. (b) Hvordan kan en løse dilemmaet? (c) Er det alltid ønskelig å løse det og i så fall for hvem? Oppgave 4 I en nord-norsk by er det stor befolkningsvekst samtidig som antallet av drosjeløyver over lengere tid har vært konstant lik 200. Drosjeløyver er fritt omsettelige og for tiden omsettes en løyve til 800.000 kr. Det er politisk press for å øke antallet av løyver, samtidig som det er generell skepsis i befolkningen når det gjelder kommunestyrets langsigtige planlegging.

46

Side 3 av 3 sider Kommunen vurderer å utstede 10 nye løyver, noe som vil gi en fortjeneste på nesten 8 millioner kr. Enten kan en velge å selge vanlige permanente løyver eller å selge tidbegrensede løyver, av varighet ett år. (a) Hva bør kommunen gjøre for å tjene mest mulig på løyvesalget? Kan en si at salg av tids-begrensede løyver svarer til utleie av løyver? Presiser dine forutsetninger. (b) Drøft ett eller flere andre eksempler på strategiske beslutninger, som kan sies å svare til den som kommunen står over for.

________________________

47

Høgskolen i Bodø Side 1 av 3 sider Siviløkonomutdanningen EKSAMEN i 50131 STRATEGISK ANALYSE Dato: 9. desember 1998 Tid: 09.00-13.00 Hjelpemidler: Generelle hjelpemidler, programmerbar kalkulator med slettet minne uten kommunikasjonsmuligheter. Fagansvarlig: Lars Thorlund-Petersen Dato f. sensur: 18. januar 1999 Lykke til! OPPGAVE 1 To bedrifter A og B selger en vare i samme marked der de daglig fastsetter sin pris. Bedriftene har mulighet for å velge "Høy" eller "Lav" pris. De fire mulige strategikombinasjoner fører til følgende "pay-off" for bedriftene (regnet i titusen kroner)

B

A

Lav Høy

Lav

Høy

55

62

44

21

Ved dagens begynnelse velger hver bedrift sin strategi. Markedet eksisterer i en sesong som utgjør 30 dager. (a) Kan en forutsi prisdannelsen i dette markedet? Bedrift A vurderer å fremskynde prisfastsettelsesbeslutningen til kvelden før slik at neste dags pris annonseres allerede da. Derved påføres A kostnader i form av betaling av overtid. (b) Hvor store slike kostnader kan A tåle dersom det likevel skal være lønnsomt å fremskynde prisfastsettelsen til kvelden før? (c) Når det gjelder strategiske beslutninger, er det da alltid en fordel å velge strategi først? Illustrer med ett eller flere enkle eksempler.

48

Side 2 av 3 sider Gå nå igjen ut fra at alle prisbeslutningene skjer ved dagens begynnelse. Dessuten er markedet ikke begrenset til en enkelt 30 dagers sesong men fortsetter og er åpent fremover hver dag. Anta dessuten at hver bedrift kan velge en strategi der prisfastsættelsen (Høy eller Lav) kan avhenge av tidligere valgte priser. (d) Kan en tenke seg en strategikombinasjon som er en likevekt, og slik at den samlede pay-off (inntekt) for de to bedrifter hver dag blir størst mulig? Oppgave 2 En bedrift ansetter en selger som skal oppsøke kunder i distriktene. Selgeren kan velge å gjøre en stor eller en liten innsats. Den gjeldende ukelønn for denne typen arbeidskraft er 15.000 (i kroner per uke). Dersom selgeren gjør en stor eller en liten innsats, da har han transportkostnader på henholdsvis 5.000 eller 1.000. Selgeren liker å jobbe og utover transport har han ingen merkostnader ved å gjøre en stor innsats. Hvis selgeren gjør en stor innsats, da vil bedriften tjene 50.000 med sannsynlighet 70% og 20.000 ellers. Tilsvarende, hvis han gjør en liten innsats reduseres denne sannsynligheten til 50%. Bedriften kan ikke direkte observere selgerens innsatsnivå. Den tilbyr derfor en bonusavlønning der det utbetales b med fratrekk= 26 000. x = 20 000. hvis bedriften bare tjener 20.000. Gå ut fra at både selger og bedrift er risikonøytrale. (a) Vil selgeren akseptere denne kontrakten? Beregn bedriftens forventede fortjeneste. (b) Er kontrakten den best mulige for bedriften? Ved å installere elektronisk utstyr blir det mulig direkte å observere selgerens innsats. Slikt utstyr kan leies og koster 8.000. I så fall vurderer bedriften å tilby selgeren en ny kontrakt der han får lønn lik 20.000 forutsatt hans innsats er stor og null ellers. (c) Lønner det seg for bedriften å leie utstyret? Oppgave 3 (a) Drøft betydningen av følgende to strategiske trekk (i) en bedrifts investering i overskuddskapasitet (ii) en beslutningstakers bevisste innskrenkning av egne handlingsmuligheter. (b) Fra to bidragsytere skal innsamles 100=T og for begge er verdien av prosjektet V = 80 . Graden av utålmodighet er δ = . Kan innsamlingen gjennomføres i løbet av to perioder? Endres svaret dersom graden av utålmodighet blir større?

1 2/

49

Side 3 av 3 sider

Oppgave 4

Kioskkjeden Mix er nylig omorganisert som et aksjeselskap. Den største av aksjonærerne har en aksjepost på 10%. For tiden er markedsverdien 102 kr (per aksje). To utenlandske selskap, Conditional og Two-Tier, er begge interessert i å kjøpe alle aksjene i Mix. Derfor tilbyr Conditional 103 kr betinget av at minst halvparten av aksjene tilbys. I så fall de tvangsinnløses de resterende aksjer til 80 kr. Two-Tier tilbyr å betale 110 kr for de første 50% av aksjonærerne som tar imot tilbuddet. De resterende aksjer tilbys bare 90 kr. Alle aksjonærer som aksepterer tilbuddet oppnår samme pris beregnet som det tilsvarende gjennomsnitt. Hvis X betegner den andel av aksjonærer som tar imot tilbuddet, da oppnås prisen P der P X= ≤110 1 2kr hvis og

PX

XX

= +−

1101

290

1 2kr kr

hvis 1 2 1< ≤X . Dersom mere enn 50% av aksjonærerne aksepterer tilbuddet fra Two-tier, da vil de resterende aksjonærer måtte selge til pris 80 kr. Hver aksjonær har tre mulige strategier: å akseptere tilbuddet fra Conditional, å akseptere tilbuddet fra Two-tier og å avslå begge tilbud. Det er ikke tilladt å akseptere dem begge. (a) Drøft hvilken strategi den enkelte aksjonær bør velge og hva blir i så fall resultatet? (b) Kan Conditional kjøpe opp Mix ved å øke sitt bud fra 103 kr til 109 kr ? (c) Hva skjer dersom Conditional endrer sitt tilbud til et ubetinget tilbud, slik at hver aksjonær tilbys prisen 103 kr uavhengig av de andre aksjonærers beslutning? (d) Hva blir svaret på (a) dersom en aksjonær har en vesentlig større aksjepost enn 10%?

50

Side 1 av 4 Høgskolen i Bodø Siviløkonomutdanningen EKSTRAORDINÆR EKSAMEN i 50131 STRATEGISK ANALYSE Dato: 27. mai 1999 Tid: 09.00 - 13.00 Hjelpemidler: Generelle hjelpemidler, programmerbar kalkulator m/slettet minne uten kommunikasjonsmuligheter. Fagansvarlig: Lars Thorlund-Petersen Dato for sensur: 28. juni 1999.

Oppgave 1 En monopolist, Bedrift A, har efterspørselskurven P Q= −36 4 hvis og Q ≤ 9 P = 0 ellers. Bedriften har grensekostnader lik 4 og faste kostnader lik 9. Det er en potensiell konkurrent, Bedrift B, som kan etablere seg i dette markedet. Bedrift B har samme kostnadsforhold som A. (a) Vis at dersom Bedrift A ser bort fra muligheten av etablering, så vil bedriften velge kvantum

og pris Q = 4 P = 20 . Beregn den tilhørende profit. (b) Hvis Bedrift A produserer 4 enheter enten det skjer etablering eller ikke, hva blir da den residuale etterspørselskurve for Bedrift B? (c) Gitt denne residuale etterspørselskurven og forutsetningen at Bedrift A ikke endrer kvantum. Hva blir da kvantum for Bedrift B dersom bedriften velger å etablere seg? (d) Ville Bedrift A tjene på å velge et større kvantum (for eksempel Q = 5 ) enn monopolkvantum og dermed en lavere pris? (e) Hvis bedrift A tar høyde for Bedrift B's kvantum efter etablering, hva blir da Cournot-likevekten i duopolet med både Bedrift A og B? (f) Vil den strategi for Bedrift A som foreslås i (d) være troverdig når det gjelder å avskrekke etablering? Drøft kort ulike måter å oppnå troverdighet på.

51

Side 2 av 4 Oppgave 2 To parter gjennomfører en forhandlingsprosess. Er det generelt en fordel å være mere utålmodig enn motparten?

Oppgave 3 I en bransje med stadig synkende etterspørsel er det i inneværende periode, , kun to bedrifter , A og B igjen. Bedrift A produserer 2 enheter i hver periode og Bedrift B produserer 3 enheter. Bedriftene kan ikke velge andre produksjonsmengder, men kan velge i en periode å opphøre med produksjonen. Dersom en bedrift velger å opphøre i en periode kan produksjonen ikke senere gjenopptaes.

t = 1

I periode t oppnås prisen (minus produktionskostnader) 10 hvis kun A produserer, 8 hvis kun B produserer og 2 hvis både A og B produserer. Den synkende etterspørsel innebærer at prisen faller 1 i hver periode. For eksempel oppnås således i periode

= 1

t = 2 følgende priser:

t kun A kun B A og B

9 7 12

(a) Begrunn at det allt annet like lønner seg for bedriftene å produsere så lenge som mulig. (b) I en artikkel i "Dagens Næringsliv" hevdes det at begge bedriftene vil være opphørt senest i periode . Er det grunn til å tro at det skjer tidligere? Presiser forutsetningene. t = 9 Oppgave 4 Utviklingen av et nytt produkt omfatter separat utvikling av to delprodukter, I og II. To bedrifter A og B, som hver utvikler I henholdsvis II, inngår som partnere i det samlede prosjekt. Drøft ulike problemer og muligheter i forbindelse med organisering av prosjektet som et "joint venture."

________________________

52

Side 3 av 4

OVERSETTELSE AV DEN ORIGINALE OPPGAVETEKST TIL ENGELSK

Question 1 An incumbent monopolist (Firm A) faces a demand function of P Q= −36 4 if and Q ≤ 9 P = 0 otherwise. The firm has constant marginal cost of 4 and pays a fixed cost of 9. A potential entrant (Firm B) exists with exactly the same technology. (a) Show that if Firm A ignores the possibility of entry, it will set a quantity of and price of Q = 4P = 20 . Calculate corresponding profits. (b) If Firm A produces a quantity of 4 and does not vary that output after entrance occurs, what will the residual demand curve of Firm B be? (c) Given this residual demand curve, and the assumption that Firm A will not respond to the output of Firm B,what output will the entrant set? (d) Under these assumptions, will Firm A be better off setting a higher output (for example Q = 5 ) than the monopoly output and hence a lower price? (e) If Firm A takes into account the quantity set by Firm B after entrance, what will the Cournot equilibrium of the postentry duopoly game be? (f) Will the strategy of Firm A suggested in (d) be a credible entry-deterring strategy? Discuss briefly some devices for achieving credibility. Question 2 In a bargaining session, is it generally an advantage to be more impatient than one's opponent? Specify your assumptions. Question 3 In a declining industry only two firms remain active in the current period, , Firm A and Firm B. Firm A produces 2 units each period and Firm B produces 3 units. The firms have no flexibility in choosing input and once they choose to stop production, they cannot come back in a later period. Thus every period, the firms must decide to produce or to exit.

t = 1

At the price (net of cost) obtained will be 10 if A is alone, 8 if B is alone and 2 if both A and B are producing. In this declining industry, the price decreases by one each period. Thus for example in period , the price obtained will be

t = 1

t = 2

t A alone B alone A and B

9 7 12

53

Side 4 av 4 (a) Show that it pays for firms to hold on as long as possible. (b) Some commentators have predicted that both firms will exit before period . Is there reason to believe that this will happen even earlier? State your assumptions.

t = 9

Question 4 Suppose the development of a new product involves separate development of two products I and II. Two firms A and B, each specializing in development of I and II, respectively, are partners in this development project. Discuss various problems and possibilities in connection with organizing such a joint venture.

________________________

54

Side 1 av 3 sider Høgskolen i Bodø Siviløkonomutdanningen EKSAMEN i 50131 STRATEGISK ANALYSE Dato: 10. desember 1999 Tid: 09.00-13.00 Hjelpemidler: Generelle hjelpemidler, programmerbar kalkulator med slettet minne uten kommunikasjonsmuligheter. Fagansvarlig: Lars Thorlund-Petersen Dato f. sensur: 17. januar 2000

Oppgave 1 Aksjepostene i familiebryggeriet Hjemmebrygg innehaves av familiemedlemmer men kan nå omsettes på børsen. Det er tre styremedlemmer A, B og C som alle er etterkommere av Hjemmebryggs opprinnelige stifter. Avstemning i styret skjer i rekkefølge ved at A stemmer først, dernest B og så C. Styret har forskutt oppnevningstid slik at bare 1 styreplass er på valg hvert år. Hvert medlem har således en treårig oppnevningstid. Endring i styrets vedtekter kan bare besluttes av styret selv. En vedtektsendring kan kun gjennomføres ved enstemmighet og forslagsstiller må stemme for sitt eget forslag. Hvis et styremedlem foreslår en vedtektsendring som ikke blir vedtatt, da mister medlemmet hele aksjeposten sin som fordeles likeligt mellom de to øvrige medlemmer. I et forsøk på å overta Hjemmebrygg har bryggeriet Storebrygg kjøpt opp 60% av aksjene. Dette året er styremedlem A på valg, og Storebrygg får derfor valgt sin egen representant som nytt styremedlem A. På første styremøde foreslår Storebryggs representant en fullstendig omlegging av bedriften som innebærer at Hjemmebrygg integreres som en avdeling i Storebrygg, men fortsatt med eget styre. Forslaget innebærer dessuten følgende. Hvis forslaget vedtaes med 2 stemmer mot 1, da vil det medlem som stemmer imot miste sin styreplass, og det medlem som stemmer for vil beholde sin plass samt få overført 2/3 av Storbryggs aksjepost svarende til 40% av aksjepostene. Hvis forslaget vedtas enstemmig, da vil 1/15 av Storbryggs aksjepost svarende til 4% av aksjepostene bli overført til og delt lige mellom B og C. (a) Er det grunn til å tro at forslaget blir vedtatt? (b) Vil svaret på (a) endres dersom Storebryggs representant ble valgt inn som medlem C istedet for som medlem A?

55

Side 2 av 3 sider Anta at avstemning i Hjemmebryggs styre skjer ikke i rekkefølge, men ved samtidig og hemmelig stemmeavgivning. (c) Hva blir da svaret på (a) ?

Oppgave 2 To studenter A og B har hver kjøpt 4 billetter til en kveld på Studentsamfunnet, som begynner klokken 21. Prisen på en billett er er 1 (regnet i 100 kroner); beløpet refunderes for hver billett som returneres før klokken 21. Begge studentene planlegger å (videre)selge billettene foran inngangsdøren mellom klokken 20 og 21. La , der q betegner de to studenters salg og Q er samlet salg. I dette markedet er etterspørselen slik at prisen P blir

Q q qA= + B

Q

qA B,

hvis QP = −5 ≤ 5 og P = 0 ellers ; det er ikke mulig å prisdiskrimminere blandt kjøperne. (a) Hvor mange billetter billetter kan A selge? Hva blir kostnadene for A ved å selge f. eks. 2 billetter? (b) Vis, at dersom , da får de fortjeneste (pay-off) q qA B= =1, 1 π πA B= =2 2, . Begge studentene er usikre på hvor mange billetter de skal selge. (c) Formuler studentenes beslutningsproblem som et topersoners spil der hver spiller har 5 strategier. Er det et nullsumsspill? (d) Har spillerne dominerte eller dominerende (dominante) strategier? (e) Er det noen likevekt(er) i spillet? Hvordan skal en velge mellom eventuelt flere likevekter? (f) Kommer de to studentene i "Fangenes Dilemma"?

Oppgave 3 (a) Drøft ulike midler til å oppnå troverdighet. Ta f. eks. utgangspunkt i "skrive kontrakt", " avbryte forbindelse (kommunikasjon)", "brenne bruer." (b) Drøft fordeler og ulemper for en produsent (av f. eks. computerutstyr) ved å korttidsutleie fremfor å selge .

56

Side 3 av 3 sider (c) Hva kan en selger oppnå ved å gi en prisgaranti og hvordan påvirker det kjøperne?

Oppgave 4 Diskuter ut fra eksempler hva som er formålet med å spille en såkaldt blandet strategi ("mixed strategy"). Ta gjerne utgangspunkt i situasjoner som kan modelleres som nullsumsspill.

___________________

57

Side 1 av 3 sider Høgskolen i Bodø Siviløkonomutdanningen EKSTRAORDINÆR EKSAMEN i 50131 STRATEGISK ANALYSE Dato: 6. juni 2000 Tid: 09.00-13.00 Hjelpemidler: Generelle hjelpemidler, programmerbar kalkulator med slettet minne uten kommunikasjonsmuligheter. Fagansvarlig: Lars Thorlund-Petersen Dato f. sensur: 26. juni 2000

Oppgave 1 To studenter A og B går sammen om et investeringsprojekt ved å etablere en IT-bedrift. Dette omfatter både investering i utstyr ("hardware") og i programvare ("software"). I utgangspunktet er prosjektet organisert som en samlet bedrift. Utstyrskostnadene kan være lave, 12, eller høye, 24 (i 100.000 kr), med sannsynlighet 50%. Tilsvarende kan programvarekostnadene være lave, 8, eller høye , 16, med sannsynlighet 50%. . Den forventede inntekten fra bedriften er 36. (a) Hvor stor er sannsynligheten for at projektet avlyses (kanselleres) ? Anta at projektet istedet organiseres som et "joint venture". Det avtales at A står for investering i utstyr og B utvikler programvare. Dette innebærer at den enkelte deltaker ikke kan observere partnerens kostnader. For eksempel, før prosjektet besluttes gjennomført får B opplyst størrelsen på programvarekostnadene men denne informasjonen får ikke A. Det inngåes følgende kontrakt. Når entreprenørerne hver for seg kjenner sine kostnader så melder de disse kostnadene; de kan velge å melde falske kostnader. Prosjektet gjennomføres dersom ikke begge melder høye kostnader og betalingene blir som angitt i følgende Kontrakt I:

B

A

Kontrakt I Lav( Høy(

Lav(

Høy(

8 1

1218

2412

24

2418

1412

14

) )

)

)

6

(b) Dersom A alltid melder sine sanne kostnader, lønner det seg da for B å melde sine sanne kostnader? Besvar tilsvarende spørsmål for A.

58

Side 2 av 3 sider

Gå istedet ut fra at kontrakten er gitt som følgende Kontrakt II :

B

A

Kontrakt II Lav( Høy(

Lav(

Høy(

8 1

1218

1812

24

2418

812

14

) )

)

)

6

(c) Lønner det seg for både A og B å melde sine sanne kostnader under Kontrakt II ? (d) Besvar spørsmål (c) for Kontrakt III:

B

A

Kontrakt III Lav( Høy(

Lav(

Høy(

8 1

1218

1812

24

2410

264

4

) )

)

)−

6

(e) Er det noen hensyn som tilsier at studentene velger en av de tre kontraktene I, II, III fremfor de to andre? Oppgave 2 To fjernsynsselskaper NR1 og NR2 skal begge velge tidspunkt for nyhetssending. Hvert selskap har tre strategier: å legge sending T(idlig), M(iddels) eller S(ent). På en gitt kveld er det samlet 12, 16 og 20 seere for nyhetssending på de tre tidspunktene. Hvis de to selskapene velger samme tidpunkt, da får de hver halvdelen av disse; hvis det ene selskap velger et sendetidspunkt tidligere enn det annet selskap, da får selskapet med det tidlige sendetidspunkt alle tilgjengelige seere og det annet selskap får det antall seere som kommer til i tiden frem til egen nyhetssending. (a) Vis at dersom begge velger T, da har begge 6 seere, og hvis NR1 velger T og NR2 velger S da har NR1 12 seere og NR2 har 4 seere. Gå ut fra at valget av tidspunkt på en gitt kveld gjøres samtidig (simultant). (b) Beskriv beslutningssituasjonen for NR1 og NR2 som et spill der utbytte ("pay-off") regnes i antall seere. Er det noen dominerende (dominante) strategier? (c) Vil det alltid være slik at minst ett av selskapene vil angre sitt valg?

59

Side 3 av 3 sider

(d) Kan en finne en likevektsstrategi (i rene strategier) for NR1 og NR2?

(e) Kan det lønne seg for et selskap å fremskynde og offentliggøre valg av tidspunkt før konkurrenten? Oppgave 3 I desember 1993 annonserte butikkskjeden Elkjøp følgende: "Dersom du innen 30 dager etter kjøpet, finner det samme produktet billigere i en annen butikk eller hos Ekjøp, utbetaler vi differansen ." (a) Hva er virkningen av å gi en slik prisgaranti? (b) Kan en si noe om virkningen av at garantien ble utvidet til å gjelde i f. eks. ett år istedet for 30 dager ? Oppgave 4 To bidragsytere A og B ønsker å gjennomføre et felles projekt der kostnadene er T . Begge tillegger prosjektet verdien

= 80V = 100 og begge har utålmodighed svarende til diskonteringsfaktoren

. Beløpet T innsamles ved alternerende budgiving før projektet eventuelt gjennomføres. δ = 0,6 (a) Kan en på forhånd si noe om projektet bør gjennomføres? (b) Kan innsamlingen gjennomføres i løpet av høyest tre perioder? (c) Hva blir svaret på (b) dersom diskonteringsfaktoren for både A og B endres til δ = 0 8, ?

______________________

60

Høgskolen i Bodø Side 1 av 4 Siviløkonomutdanningen EKSAMEN i 50131 STRATEGISK ANALYSE Dato: 15. desember 2000 Tid: 09.00 - 13.00 Hjelpemidler: Generelle hjelpemidler, programmerbar kalkulator m/slettet minne uten kommunikasjonsmuligheter. Fagansvarlig: Lars Thorlund-Petersen Dato for sensur: 5. januar 2001

Oppgave 1 Et hotell i Bodø sentrum, Centrum Hotel, har gått konkurs. Eieren planlegger å åpne hotellet i den kommende sommersesong, som varer i alt i 12,...,2,1=t sammenhengende dager. Inntekten ved å holde åpent er 12.000 kr pr dag slik at samlet mulig inntekt er 144.000 for hele sesongen. Inntektene fra driften deles mellom Eieren og Fagforeningen. Første dag , 1=t , tilbyr Eieren en deling av den samlede inntekten og Fagforeningen kan akseptere eller avslå forslaget. Hvis den aksepterer så deles inntekten i samsvar med forslaget. Hvis ikke, så holdes hotellet lukket og neste dag foreslår Fagforeningen en deling av den gjenværende samlede inntekt, og Eieren kan akseptere eller avslå. Dette fortsetter med skiftevise tilbud inntil første gang der det er aksept; da åpnes hotellet samme dag og driften fortsetter resten av sesongen. På bakgrunn av Eierens planer er lederen av reiselivet i Bodø optimist når det gjelder muligheten for at hotellet holdes åpent hele sesongen. (a) Er det grunnlag for denne optimismen? Rett over gaten for Centrum Hotel ligger det et konkurrerende hotell. Det viser seg, at på dag 3 har konkurrenten et svært godt tilbud, slik at Centrum Hotel denne dagen ikke får en inntekt på 12.000 men må påregne et tap på 7.000. Alle andre dagene i sesongen er inntekten som før. (b) Kan dette endre konklusjonen under (a) ? Det viser seg nå at konkurrenten har et tilsvarende godt tilbud på dag 2, slik at Centrum Hotel får et tap lik 7.000 både dag 2 og 3. (c) Hvordan blir svaret i (b) når konkurrentens tilbud også gjelder dag 2 ?

61

Side 2 av 4 Oppgave 2 To bedrifter A og B planlegger å gennomføre et felles projekt. Kostnadene er ikke kjent på forhånd. Det vites dog at hver bedrift vil ha Lave, Middels eller Høye kostnader , hver med sannsynlighet

. Mer presist er kostnadene for bedrift A lik og tilsvarende er kostnadene for B lik . De samlede kostnadene blir derfor som i følgende tabell:

3/1 48,36,1216,12,4

646052(48)Høy 524840(36) Middels282416(12) Lav

(16)Høy (12) Middels(4) Lavkostnader Samlede

A

B

For å avdekke kostnadene må A i begynnelsen investere 3 og B må investere 1. Den samlede inntekt fra projektet er 64. I utgangspunktet drives projektet som ett samlet projekt. (a) Bør projektet på denne bakgrunn gjennomføres? Anta i resten av oppgaven at de to bedriftene er adskilt, slik at den ene bedrift kjenner sine egne kostnader men ikke den annens. Det er nødvendig å inngå en kontrakt om deling av inntekten på forhånd. Følgende kontrakt, Kontrakt I, foreslås:

4816

5113

577

48

4519

4816

5410

36

3925

4222

4816

12

16124IKontrakt

A

B

(b) Er Kontrakt I i samsvar med følgende regel: i hver tilstand refunderes A og B sine meldte kostnader og resten deles i et fast forhold ? (c) Gir Kontrakt I begge bedrifter insitament til å melde sanne kostnader ?

En alternativ kontrakt, Kontrakt II, er slik at A får utbetalt 3/4 av samlet inntekt dersom projektet ikke kanselleres og tilsvarende får B utbetalt 1/4; hvis det blir kansellering får begge null. (d) Er det noe som tilsier at Kontrakt II er bedre enn Kontrakt I ? Det viser seg imidlertid at samlet inntekt ikke blir 64 men bare 52. (e) Hvordan vil det påvirke svaret på (d)?

62

Side 3 av 4 (f) Er det en tredje kontrakt, Kontrakt III, som kan sies nå å være bedre enn både Kontrakt I og II ?

Oppgave 3 I en stor nord-norsk by ønsker kommunen å la private bedrifter overta en del av den virsomhet som tidligere har vært drevet i kommunalt regi. Siste år solgte kommunen sin kino til en privat bedrift; et halvt år senere godkjente kommunestyret etablering av en ny stor kino, beliggende ved siden av den tidligere kommunale kino. Den nye kinoen må betale en årlig avgift til kommunen. Når det gjelder samferdsel er forholdene vanskelige. Det er ofte lange drosjekøer og det er vanskelig å bestille drosje. Det er derfor et betydelig behov for investering i en helt ny drosjesentral. Drosjeløyver er fritt omsettelige og markedsprisen for en slik løyve er for tiden 500.000 kr. På denne bakgrunn ønsker kommunen å selge 50 nye løyver. Kommunen kan beslutte å selge en del som vanlige permanente løyver og resten som tidsbegrensede løyver av et halvt års varighet. (a) Kan en si noe om hvor stor en del av de 50 nye løyvene som bør være permanente? (b) Er det andre eksempler på strategiske beslutninger som svarer til denne kommunes beslutningsproblem?

Oppgave 4 I et marked for en homogen vare er det to bedrifter X og Y. Ved begynnelsen av hver dag fastsetter bedriftene sin mengde; de kan begge velge mellom "Høy" eller "Lav" mengde. Dette gir følgende "pay-off" for bedriftene (regnet i titusen kroner) i de fire ulike tilfeller:

13

44

Høy

27

66

Lav

HøyLav

X

Y

(a) Vil de to bedriftene trolig velge samme strategi? (b) Vil det lønne seg for en av bedriftene om mulig å velge kvantum før den annen? Gå nå ut fra at "pay-off" endres til følgende:

11

72

Høy

27

66

Lav

HøyLav

X

Y

63

Side 4 av 4

(c) Er det en eller flere likevekter i rene strategier? (d) Kan en finne en likevekt der X og Y velger samme strategi?

_____________________

64

Side 1 av 4 sider Høgskolen i Bodø, Handelshøgskolen EKSAMEN i 50131 STRATEGISK ANALYSE Dato: 10. desember 2001 Tid: 09.00-13.00 Hjelpemidler: Generelle hjelpemidler, programmerbar kalkulator med slettet minne uten kommunikasjonsmuligheter. Fagansvarlig: Lars Thorlund-Petersen Dato f. sensur: 11. januar 2002

Oppgave 1

To personer A og B skal bidra til etablering av en ny fjernsynskanal som har samlede kostnader

. Både A og B verdsetter dette projektet til 450=T 1000=V . De samlede kostnader innsamles ved

alternerende tilbud, slik at A tilbyr et beløp i første periode, dernest B i annen periode og så

fremdeles, inntil det er innsamlet T og projektet gjennomføres.

(a) Bør projektet gjennomføres?

Det viser seg at innsamlingen varer tre perioder. I periode 1 tilbyr A å betale 160, i periode 2 tilbyr

B å betale 190 og i periode 3 tilbyr A i tillegg å betale resten.

(b) Kan en på bakgrunn av dette si noe om størrelsen på utålmodigheten for A og for B ? Presiser

forutsetningene.

Anta nå, at både A og B har verdsetting 230=V og utålmodigheten er som i svaret på (b).

(c) Kan en fremdeles innsamle beløpet T i løpet av tre perioder?

65

Side 2 av 4 sider

Oppgave 2

I en liten nord-norsk by er det tre medlemmer av bystyret. Hvert år i desember stemmer bystyrets

medlemmer om de selv skal gis lønnsøkning eller ikke. Det fremgår av styrereglene, at et forslag er

vedtatt hvis to eller tre medlemmer har stemt for. Det er plikt for alle medlemmer å være tilstede

ved avstemninger og å stemme enten Ja eller Nei. Avstemninger er skriftlige og hemmelige.

Medlemmene er svært beskjedne men ønsker likevel gjerne lønsøkning; de foretrekker dog

av hensyn til velgerne selv å stemme Nei. Hvert medlem har prefereanser som i følgende Tabell 1

over fire mulige resultater av avstemningen:

Tabell 1

(I) Forslag vedtaes, stemmer selv Nei: 9 poeng (II) Forslag nedstemmes, stemmer selv Nei: 6 poeng (III) Forslag vedtaes, stemmer selv Ja: 4 poeng (IV) Forslag nedstemmes, stemmer selv Ja: 0 poeng (a) Har medlemmerne noen dominant (dominerende) strategi? Er det noen likevekt i det tilsvarende

spillet?

Etter det seneste valg har det kommet tre nye medlemmer som er mindre beskjedne enn tidligere; de

tillegger det mest vekt at lønnsøkningen blir vedtatt. De nye medlemmene gir 4 poeng til II og 6

poeng til III; I og IV får samme antall poeng som før. Preferansene er derfor som i følgende Tabell

2.

Tabell 2

(I) Forslag vedtaes, stemmer selv Nei: 9 poeng (II) Forslag nedstemmes, stemmer selv Nei: 4 poeng (III) Forslag vedtaes, stemmer selv Ja: 6 poeng (IV) Forslag nedstemmes, stemmer selv Ja: 0 poeng

(b) Vil dette kunne endre på utfallet av avstemningen?

(c) Styrereglene endres, slik at avstemning fremover skjer åpent og i rekkefølge. Kan en forutse

resultatet av avstemningen?

66

Side 3 av 4 sider

Etter en tid med det nye bystyre blir det et krav fra skatteyterne at kostnadene må senkes. Med sigte

på en slik kostnadsreduksjon endres styrets sammensetning og regler på følgende måde. Det er nå

bare to medlemmer og et forslag vedtas dersom ett eller begge medlemmer stemmer for.

Avstemning er skriftlig og hemmelig. Når det gjelder forslag om lønnsøkning er medlemmenes

preferanser som i Tabell 2.

(d) Kan en si noe om sannsynligheten for at lønnsøkningen blir vedtatt?

Oppgave 3

I en bransje har det lenge pågått oppkjøp slik at det nå bare er få gjenværende bedrifter. Bedriften

Alfa er organisert som et aksjeselskap og den nåværende markedsverdi er 300 kr per aksje. Et annet

selskap, Omega, ønsker å kjøpe samtlige aksjer i Alfa.

Omega fremsetter derfor følgende tilbud. De første 50% av aksjene tilbys prisen 310 per

aksje; resten tilbys prisen 270 per per aksje. Alle aksjene kjøpes til samme pris P som er en blandet

pris kalkulert i forhold til andelen av aksjonærer, z, som aksepterer tilbuddet:

⎩⎨⎧

≤<−+≤≤

=12/1;))2/1(1(2702/310

2/10;310zzz

zP ,

regnet i kroner per aksje. Hvis , da kan oppkjøper tvangsinnløse alle aksjer som eies av de

aksjonærer som avviser tilbuddet. Tvangsinnløsningsprisen er 270 kr per aksje.

2/1>z

(a) Når er P større enn markedsprisen?

(b) En aksjonær eier andelen a av aksjene i Alfa. Skal denne aksjonæren akseptere eller avvise

tilbuddet fra Omega ? Betyr størrelsen på a noe for svaret?

Anta i det følgende at aksjene i Alfa eies av to aksjonærer som eier andelene a og . a−1

(c) Vil det lykkes for Omega å kjøpe alle aksjene?

67

Side 4 av 4 sider

Oppgave 4

(a) Drøft et eller flere eksempler på ”fangenes dilemma”. Hvordan kan en eventuelt løse dilemmaet

og hvem har i så fall interesse i at det blir løst?

(b) Kan det i noen tilfeller lønne seg for en bedrift å leie ut frem for å selge til kundene?

(c) To bedrifter A og B planlegger et felles projekt som vil gi inntekt lik 30. Bedrift A har kostnader

10 med sannsynlighet 1/2 og har ellers kostnader 20. B har kostnader 6, 12 eller 18, hver med

sannsynlighet 1/3.

Hver bedrift observerer sine egne kostnader og melder disse. Det inngåes følgende kontrakt

mellom A og B. Hvis projektet gjennomføres får hver bedrift refundert sine meldte kostnader og

resten deles i forholdet 1:1. Projektet gjennomføres bare dersom de samlede meldte kostnader ikke

er større enn 30.

Imidlertid blir parterne enige om å få evaluert kontrakten av et konsulentfirma som har

spesialisert seg i strategisk analyse. I en foreløpig rapport fra firmaet står det blant annet at:

”I det følgende betegner L og H kostnadsnivåene for A, og L,M og H betegner

kostnadsnivåene for B. I utgangspunktet har A iallt 4 ulike meldingsstrategier og B har 27.

Likevel har begge parter bare to relevante slike strategier. For det første bør A velge enten

1) å melde sanne (observerte) kostnader eller 2) alltid melde H. De to relevante strategiene

for B er 1) alltid melde H eller 2) melde L når L observeres, og melde H når M eller H

observeres.”

(i) Kan en begrunne konklusjonen i den foreløpige rapporten?

Dessverre har rapporten ikke blitt skrevet ferdig da forfatterne skulle ha fri til eksamenslesning.

Den endelige rapporten ventes nå å være ferdig i nær fremtid.

(ii) Vil konsulentfirmaet trolig anbefale parterne å fastholde den inngåtte kontrakten?

__________________________

68

Høgskolen i Bodø Handelshøgskolen Side 1 av 2 sider EKSAMEN i 50131 STRATEGISK ANALYSE Dato: 10. juni 2002 Tid: 09.00 - 13.00 Hjelpemidler: Generelle hjelpemidler, programmerbar kalkulator m/slettet minne uten kommunikasjonsmuligheter. Fagansvarlig: Lars Thorlund-Petersen Dato for sensur: 1. juli 2002 Opgave 1 I et marked for en enkelt vare er etterspørgslen gitt ved sammenhengen mellem pris P og mengde Q, 60 (1/ 2) ,P Q= − hvis og ellers. Det er for tiden bare en enkelt bedrift i dette marked. 120Q ≤ 0P = Bedriften har en kostnadsfunktion gitt ved ; i tillegg er det faste kostnader 400, som betales når . Bedriften ønsker størst mulig profitt (fortjeneste).

2( ) (1/ 2)C Q Q=0Q >

(a) Finn monopolmengde samt tilhørende profitt. (b) Det viser sig at bedriften velger . Lønner det sig for andre bedrifter med samme kostnadsforhold å etablere sig?

40Q =

Gå i resten af oppgaven ut fra, at det ikke er faste kostnader. Betegn den nåværende monopolist med A og anta at en ny bedrift B etablerer sig. B har samme målsetting og kostnadsfunktion som A. De velger hver for sig deres mengde og A Bq q uten å vite hva den andre velger og A BQ q q= + . (c) Både A og B velger mengden 24. Er det en ”likevekt” ? Nu etableres en tredje bedrift C med samme målsetting og kostnadsforhold som A og B. På grund af regulering af markedet må bedriftene velge mengde i en gitt rekkefølge. Først velger A en mengde, og denne offentliggjøres. Dernest vælger B en mengde, som offentliggjøres, og til sist vælger C. Det viser sig at de tre bedrifter velger 22,25, 20,95, 19,20A B Cq q q= = = .

69

Side 2 av 2 sider (d) Kunne for eksempel bedrift C ha valgt en bedre mengde gitt sin målsetting?

Oppgave 2

En sørnorsk radiokanal er kjent for å utsende det siste nye innen støyende, monoton populær-musikk. Kanalen vil etablere seg på Mørkved der det er to potensielle lyttere, A og B. Både A og B tillegger sendingene verdien . Kostnadene ved å begynne sending er (i tusen kr ). 32V = 8T =

(a) Bør radiokanalen etableres?

Kanalen belutter å etablere seg og å dekke kostnadene ved en innsamling.

De to lyttere er like utålmodige og er indifferente mellom å få 1 krone i neste periode og δ kroner i nåværende periode, der δ = 0 9, . Gå ut fra at verdiene på T V, ,δ er kjent for alle. I første periode lover A ( d.v.s. gir tilsagn om å betale) et beløp, deretter lover B et beløp i annen periode; slik fortsettes skiftevis inntil det samlede lovede beløp første gang er minst like stort som T. Da begynner sendingen og hver lytter betaler sitt samlede lovede beløp. (b) Vil innsamlingen lykkes og i så fall hvor hurtig? (c) Hva ville bli svaret på (b) dersom ? 0,6δ = (d) Anta at den ene lytter bliver mer utålmodig, slik at vedkommende får lavere verdi på δ. Hvordan påvirker det den annen lytter i forbindelse med innsamlingen? Oppgave 3 (a) Drøft ulike måter til løsning av ”Fangenes dilemma” (b) Er det ønskelig å løse dilemmaet og for hvem? Oppgave 4 Drøft virkningen av en prisgaranti. Er en slik garanti i konsumentenes interesse?

_______________

70

Side 1 av 6 sider

Handelshøgskolen i Bodø, Høgskolen i Bodø EKSAMEN i 50131 STRATEGISK ANALYSE Dato: 10. desember 2002 Tid: 09.00-13.00 Hjelpemidler: Generelle hjelpemidler, programmerbar kalkulator med slettet minne uten kommunikasjonsmuligheter. Sensur: 7. januar 2003 Karakter: Tallkarakter Fagansvarlig: Lars Thorlund-Petersen

Oppgave 1

A(nne) og B(jartmar) er begge studenter ved en nord-norsk handelshøgskole. De avtaler å møtes på

en kafe i den nærliggende byen den kommende fredagen kl. 20.00. Det er to kafeer å velge imellom.

Den ene, Cafe Innsyn (I), ligger nær bytorget og har ingen utsikt, men det er gode muligheter for

forbipasserende å se inn, hvem som er gjester i kafeen. Den andre, Kafe Utsyn (U), byr på flott

utsikt over havnen. A foretrekker I og B foretrekker U. De er dessuten enige om at det er bedre å

møtes enn ikke. Mer presist har de to studentene følgende pay-off avhengig av deres valg av I eller

U:

I U2 0

I6 0

0 4U

0 1

B

A .

Det viser seg denne fredagen at A velger I og B velger U.

(a) Kunne A og B sammen eller hver for seg ha valgt en bedre strategi?

71

Side 2 av 6 sider

De to studentene blir enige om igjen å møtes den følgende fredagen til samme tid. Cafe Innsyn

tilbyr 50% rabatt på denne fredagen, dersom en bestiller servering og betaler tre dager før.

(b) Kan A ha fordel av slik forhåndsbetaling?

(c) Finn en likevekt i blandede strategier (mixed strategies) i dette spillet med tilhørende forventet

pay-off for spillerne. Sammenlikne med svaret på (a).

Oppgave 2

I fjernsynsprogrammet ”Forhandling” skal to deltakere, I og II, dele iallt 100 (tusen kroner).

Forhandlingene skjer ved skiftevis tilbud og aksept/avslag og for hver runde fjerner studieverten 10

av det samlede beløpet, slik at f. eks. i periode 2 er det 90 til deling. I første runde foreslår I en

deling og II aksepterer eller avslår. Ved aksept velges den foreslåtte delingen, ved avslag gåes

videre til neste runde der II foreslår en deling av det gjenværende beløp og så videre. Etter runde 6

fjernes hele det gjenværende beløp slik at det ingenting er å dele i runde 7.

Før forhandlingene begynner fremsetter II ønske om å bytte plass slik at hun får forslagsrett i første

runde.

(a) Bør den andre deltaker godta denne ombytningen?

Studieverten avviser forslaget om ombytning og forhandlingene forløper som planlagt.

Med sikte på å øke spenningen for seerne endres forhandlingene slik, at etter runde 5 kaster

studieverten en terning. Hvis det blir et like antal øyne (2,4,6), så fortsettes forhandlingene i runde 6

som før. Hvis det blir et ulike antall øyne (1,3,5) så er det ingenting å dele i runde 6 og

forhandlingene er slutt.

Anta, at begge deltakere er risikonøytrale.

(b) Kan en forutsi resultatet av forhandlingene gitt dette terningkastet ?

72

Side 3 av 6 sider

(c) Hvordan påvirkes svaret på (b) dersom II antas å være risikoavers?

Kostnadene T ved å sende ”Forhandling” i en måned må dekkes ved en innsamling blant to

potensielle seere A og B. Innsamlingen skjer ved at A tilbyr et beløp første dag, B tilbyr et beløp

annen dag og slik fortsettes skiftevis inntil den dagen det samlede lovede beløp er minnst like stort

som T og sending begynner. De samlede kostnader for en måneds sending av ”Forhandling” er

oppgjort til (i tusen kroner). Seerne A og B har samme grad av utålmodighet gitt ved

diskonteringsfaktoren . De tillegger begge sending av ”Forhandling” verdien V. Insamlingen

forløper ved at A første dag lover å betale 900 og annen dag lover B å betale 600, slik at sendingen

begynner annen dag.

1500T =

0,8δ =

(d) Kan en på denne bakgrunnen anslå størrelsen på V ?

(e) Kunne det lønne seg for A å love et lavere beløp enn 900 første dagen?

Oppgave 3

Mange selgere tilbyr ulike former for prisgaranti. F. eks tilbyr IKEA Danmark følgende:

”Vi nøjes ikke med ubegrænset returret, men har også en effektiv 30 dages prisgaranti på alle varer. Det betyder, at når du har bestilt en vare i IKEA og ser den billigere et andet sted i Danmark – sender du kopi af din [kvittering for betaling] ind til nærmeste varehus, sammen med dokumentation for det billigere køb, så udbetaler vi differencen.”

(a) Drøft anvendelse av en slik prisgaranti, som middel til å fastholde et kartell.

Norsk TV2 utsendte våren 2001 følgende melding:

73

Side 4 av 6 sider

”Dei store [norske] elektro-kjedane reklamerar med prisgarantier til det kjedsommelige. Men det er lett å vere billig når konkurrentane ikkje ein gong førar same modell! Å finne tv-apparat av same merke i dei ulike butikkane, er lett. Men kjedane passar tydeligvis på å ikkje føre dei same modellane, og då blir garantien lite verd. Vi sjekka 53 fjernsynsmodellar i kjedane Elkjøp, Expert og Lefdal Lavpris. Berre to av dei 53 modellane var å finne i alle tre kjedane, og berre 13 var å finne i meir enn ein kjede. Det betyr faktisk at 7 av ti TVar som blir selde gjennom Elkjøp, Expert og Lefdal Lavpris ikkje er å finne hos konkurrenten.”

(b) Gå ut fra beskrivelsen som gitt av TV2. Hva ville trolig blitt virkningen på prisene av at hver av

de tre kjedene solgte samtlige 53 modellene, slik at de var å finne hos alle tre kjedene ?

Oslo Energi tilbyr blant annet følgende avtaleform til bedrifter.

”Markedskraft med prisgaranti. Med denne avtaleformen følger du prisene på kraftbørsen, men betaler aldri mer enn et på forhånd fastsatt pristak. Produktet [har] den fordelen at du er garantert mot de høyeste pristoppene. Du får med deg alle prisfall, men unngår de økningene som går over prisgarantien. For denne garantien betaler du en "premie" i form av et lite påslag pr. kWh. ”

(c) Sammenlikne ut fra et strategisk synspunkt den prisgarantien som tilbys av Oslo Energi med

prisgarantiene som tilbys av f. eks. IKEA Danmark og elektro-kjedene i Norge.

Oppgave 4

Forente nasjoner, FN, ønsker ved hjelp av våpeninspeksjon å avdekke om Irak innehar

(masseødeleggelses)våpen eller ikke. I det følgende gås ut fra at Irak har slike våpen og at FN

ønsker å finne dem ved inspeksjon.

Irak kan velge å skjule våpen ett ut av ialt 9 ulike stedene svarende til cellene i følgende tabell, som

kan oppfattes som et forenklet landkart over Irak:

74

Side 5 av 6 sider

1 2 3

123

×

Det markerte kryss viser et eksempel der våpene er skjult i cellen (2 . Iraks 9 strategier betegnes

(1,1), (1,2),...,(3,3).

,3)

FN kan velge å inspisere en av de tre rekkene eller en av de tre kolonnene i tabellen. Disse 6

strategiene betegnes R1, R2, R3, K1, K2, K3. Hvis FN inspiserer en rekke eller en kolonne, som

inneholder Iraks våpen, da avdekkes disse og Irak betaler 1 (milliard USD) til FN. I alle andre

tilfeller får både FN og Irak pay-off lik null.

(a) Angi, i en matrise med 6 rekker og 9 kolonner, pay-off til FN.

Et topersoners spill som i (a) er kjent i spillteorien som ”game of hide-and-seek”.

(b) Er det noen likevekt i rene strategier?

Anta, at det er mulig for begge spillere å velge blandede strategier.

(c) Gå ut fra at FN velger hver av sine strategier med sannsynligheten 1/6, og Irak velger hver av

dets 9 strategier med sannsynlighet 1/9. Er det en likevekt og hvor stor er sannsynligheten for at FN

avdekker Iraks våpen?

Iraks planleggingskostnader ved en blandet strategi vokser med antall celler som inngår i den

blandede strategi; disse kostnadene er derfor høyest hvis alle rene strategier inngår med positiv

sannsynlighet og lavest ved en ren strategi. Planleggingskostnadene inngår ikke direkte i pay-off,

men den kostnadsbevisste Irakiske ledelse ønsker alt annet like å minimere dem.

(d) Kan Irak finne en blandet strategi som gir likevekt og samtidig omfatter færre celler med positiv

sannsynlighet?

75

Side 6 av 6 sider

På en nylig pressekonferanse bemerket den britiske premierminister T. Blair om våpeninspeksjon i

Irak: ”It’s not a game of hide-and-seek. It’s not a game where the inspectors go in and see if they

can find the stuff and [the President of Iraq] sees if he can conceal it.”

Gå ut fra at situationen er som beskrevet i denne oppgaven.

(e) Er det grunn til å tro at inspeksjonen forløper i samsvar med premierministerens bemerkning?

__________________________

76

Side 1 av 3 sider Handelshøgskolen i Bodø, Høgskolen i Bodø EKSTRAORDINÆR EKSAMEN i 50131 STRATEGISK ANALYSE Dato: 10. juni 2003 Tid: 09.00-13.00 Hjelpemidler: Generelle hjelpemidler, programmerbar kalkulator med slettet minne uten kommunikasjonsmuligheter. Sensur: 30. juni 2003 Karakter: Tallkarakter Fagansvarlig: Lars Thorlund-Petersen

Oppgave 1 En ny TV-kanal koster T = 64 å etablere og det er to potensielle seere A og B. Begge verdsetter sending til verdien V = 160. Innsamlingen skjer ved at de to seere skiftevis (alternerende) tilbyr en øking i sine samlede lovede betaling. I første periode gir A et tilbud, dernest B osv. Sendingen begynder første gang den samlede lovede betaling er minst T og hver seer betaler da sitt samlede lovede beløp. Begge seere vites å være like utålmodige slik at de har samme diskonteringsfaktor δ, men størrelsen på denne faktor er ikke på forhånd kjent. (a) Hvis δ = 0,6 kan innsamlingen gjennomføres i løpet av bare en periode ? Det viser seg, at innsamlingen varer to perioder. (b) Hva kan en på denne bakgrunn si om størrelsen på diskonteringsfaktoren δ ? Kan den tenkes å være lik δ = 0,86 ? Anta, at A’s utålmodighet er gitt ved en diskonteringsfaktor δ = 0,8 men B er ikke utålmodig og har diskonteringsfaktor lik 1. (c) Hvordan vil innsamlingen trolig forløpe ?

77

Side 2 av 3 sider Oppgave 2 To bedrifter A og B har avtalt å samarbeide i et kartell. Dersom både A og B velger å samarbejde da vil de hver få payoff 200. Hvis de begge bryter avtalen da blir payoff bare 50 på hver. Hvis den ene bedrift bryter avtalen og den annen samarbeider, da blir payoff 300 og 25. Gå ut fra at spillet er simultant. (a) Vis dette spillets payoff i en tilhørende tabell. Er dette et null-sumsspill? (b) Er det noen likevekt i spillet (i rene eller blandede strategier) ? (c) Anta at dette spillet gjentas iallt 7 ganger. Hva blir nå svaret på (b) ? Oppgave 3 To investorer A og B planlegger et felles projekt innen IT-bransjen som i utgangspunktet er organisert som en samlet bedrift. Projektet omfatter både investering i utstyr ("hardware") og i programvare ("software"). Utstyrskostnadene kan være lave, 36, eller høye, 48 (i 100.000 kr), hver med sannsynlighet 50%. Programvarekostnadene være lave, 18, eller høye , 24 ; kostnadene er lave, 18, med sannsynlighet 75 % . Den forventede inntekten fra projektet er 69. (a) Dersom prosjektet gjennomføres i fellesskap, hva er da sannsynligheten for at projektet kanselleres ? Gå i resten av oppgaven ut fra at projektet organiseres som et "joint venture" der A investerer i utstyr og B utvikler programvare. Den enkelte deltaker kan ikke observere partnerens kostnader. Investorerne ønsker å inngå en kontrakt. Når A og B hver for seg vet størrelsen på sine kostnader så melder de disse kostnadene. Kontrakten skal spesifisere utbetalingerne uansett hva de to investorer melder; de kan velge å melde falske kostnader. Investorerne ber et velrennomert konsulentfirma foreslå en kontrakt. Firmaet mener at en slik kontrakt bør være basert på full dekning av meldte kostnader og forholdsvis deling av det overskydende beløpet. Firmaet foreslår følgende kontrakt:

Kontrakt Lav(18) Høy(24)23 27

Lav(36)46 42

19 0Høy(48)

50 0

B

A

78

Side 3 av 3 sider

(b) Gir denne kontrakten insitament for både A og B til å melde sanne kostnader? (c) Drøft noen kriterier for å utvelge en kontrakt. (d) Kan en eventuelt finne en bedre kontrakt enn den ovenstående? Oppgave 4 Drøft muligheten for oppkjøp av en bedrift (et aksjeselskap) til under markedspris. Relater gjerne svaret til begrepet ”Fangenes Dilemma”.

____________________

79

Side 1 av 6 sider

Høgskolen i Bodø, Handelshøgskolen i Bodø ORDINÆR EKSAMEN i 50131 STRATEGISK ANALYSE Dato: 3. desember 2003 Tid: 09.00-13.00 Hjelpemidler: Generelle hjelpemidler, programmerbar kalkulator med slettet minne uten kommunikasjonsmuligheter. Sensur: 29. desember 2003 Fagansvarlig: Lars Thorlund-Petersen

Oppgave 1 To radiokanaler, POP13 og POP17, som sender til samme område, har sålangt spesialisert seg i å sende den nyeste populærmusikk hele døgnet. Kanalene ønsker så mange lyttere som mulig. I utgangspunktet er lytterne likelig fordelt på de to kanalene. Nå pålegges begge kanalene hver dag å sende en halvtime med nyheter og politisk analyse, noe kanalene frykter kan føre til tap av lyttere. Nyhetene må sendes enten kl. 18.00, T(idlig) eller klokken 20.00, S(ent). Hvis begge kanalene velger T, da mister POP13 og POP17 henholdsvis 55 og 50 lyttere. Hvis den ene velger T og den annen velger S, da mister den første 90 og den annen 60 lyttere. Hvis begge velger S, da mister POP13 50 lyttere og POP17 mister 55 lyttere. Kanalene må velge tidspunkt, og dette valget kan ikke senere endres. (a) Beskriv ovenstående valg som et simultant spill mellom kanalene. (b) Er det noen likevekt i dette spillet (i rene strategier) ? (c) Nå overvejer POP17 å vente med sin beslutning til etter POP13 har offentliggjort sin. Ville dette være en fordel for POP17? Anta nå, at kanalene hver dag fritt velge kan tidspunkt for dagens nyhetssending uavhengig av tidligere valg av tidspunkt. Kanalene må offentliggjøre tidspunktet samme dag klokken 08.00. Det viser seg over en periode på 90 dager at POP13 har valgt T iallt 71 dager og at POP17 har valgt T iallt 79 dager. (d) Kan en si noe om hvorfor kanalene har valgt på denne måten?

80

Side 2 av 6 sider

Oppgave 2 De to studentene A og B ønsker å anskaffe programvaren ”Strategy” som blant annet er velegnet til å beregne blandet likevekt og til analyse av sekvensielle spill, for eksempel forhandlingsspill. Programvaren tillater opp til to brukere og koster 1020 (kroner). Begge studentene tillegger denne programvaren verdien 1000. De blir enige om å organisere en innsamling, med skiftevise tilbud om betaling hver fredag når de møtes slik at A gir tilbud første fredagen og så videre. Studentene har stor interesse i denne programvaren og de har utålmodighet representert ved diskonteringsfaktoren . 0,6δ = Det viser seg, at A første fredag tilbyr 620 og B følgende fredag tilbyr 400, slik at programvaren da innkjøpes og A betaler 620, B betaler resten. (a) Burde A ha tilbudt 1020 første fredagen? (b) Kunne A eller B ha valgt en bedre strategi? Studentene holder på med å skrive en oppgave om nullsums-spill og forhandlinger. Etter å ha anskaffet programvaren ønsker de å finne en blandet likevekt i følgende nullsums-spill mellom to spillere X og Y som begge har strategien 1 og 2:

Payoff til X 1 21 302 30

−−

400

B hevder at i likevekt vil X spille 1 med sannsynlighet 0,5p = noe som A ikke er enig i. De blir enige om å la programmet ”Strategy” beregne en likevekt i dette nullsums-spillet. (c) Hva blir trolig svaret? I tillegg er studentene interessert i løsningen på følgende forhandlingsproblem med skiftevise tilbud. To spillere 1 og 2 forhandler om deling av 100 (kroner). I periode 1 foreslår spiller 1 en deling som aksepteres eller avvises av 2. Hvis tilbuddet avvises fortsetter man i periode 2 der spiller 2 tilbyr en deling av gjenværende beløp og så fremdeles. I periodene 7 og senere er det ingenting å dele. Det gjenværende beløp til deling i periode t fremgår av følgende tabell. (Eksempel: I periode 5 er det 40 til deling).

1 2 3 4 5 6 7Samlet 100 70 80 60 40 20 0

t

Studentene prøver å anvende ”Strategy” til å finne løsningen. Programmet krever at brukeren velger en felles diskonteringsfaktor (mellom 0 og 1) for spillerne og studentene velger den lik . Videre skriver de ovenstående tabell inn i programmet, noe som resulterer i en feilmelding. Derfor må studentene finne løsningen selv.

1δ =

81

Side 3 av 6 sider (d) Hva blir forløpet av denne forhandlingen?

Oppgave 3 Drøft ulike måter til å oppnå troverdighet. Ta for eksempel utgangpunkt i ett eller flere av følgende punkter: 1) å skrive kontrakt; 2) å avbryte kommunikasjon; 3) å brenne eller bygge bruer; 4) å bevege seg med små skritt.

Oppgave 4 Aksjeselskapet Independent har for tiden en markedsverdi på 200 (kroner per aksje). Selskapet er eid av mange aksjonærer og den største av dem eier mindre enn 1% av aksjene. Et utenlandsk selskap, Raider, tilbyr å kjøpe alle aksjene i Independent. Den enkelte aksjonær kan velge å selge hele sin aksjebeholdning til Raider eller ikke. La X betegne den andel av aksjene som aksjonærerne velger å selge. Raider tilbyr å betale 212 for de første 50% av aksjene som tilbys. De resterende aksjer tilbys bare 180. Alle aksjonærer som aksepterer tilbuddet får samme pris P svarende til det beregnede gjennomsnitt. Prisen blir derfor hvis 212P = 1/ 2X ≤ og 212 / 2 180(1 (1/ 2 ))P X= + − X hvis 1/ . Hvis 70% eller flere av aksjene tilbys (slik at ), da kan de resterende aksjer tvangsinnløses av Raider til prisen 180.

2 1X< ≤ 0,7X ≥

(a) Hva blir prisen P hvis , 0,65X = 0,8X = eller 1X = ? (b) Har den enkelte aksjonær en dominerende (dominant) strategi? Anta nå i stedet at aksjene i Independent er fordelt på tre aksjonærer A, B, C som eier følgende andeler av aksjene: A: 35% , B: 50% C: 15% . (c) Vil en eller flere av de tre aksjonærerne trolig selge deres aksjer til Raider ?

______________

82

Side 4 av 6 sider

ENGLISH TRANLATION OF THE ORIGINAL NORWEGIAN TEXT

Question 1 In a local area, two competing radio stations called POP13 and POP17 both specialize in continuously sending of popular music; they never choose music more than one year old. The stations want as many listeners as possible. For the time being, the stations have approximately the same number of listeners. However, new regulations require that both stations each day include half an hour of news with emphasis on in-depth political analysis. Fearing a loss of listeners, the stations are very uneasy about this. The news may be scheduled E(arly) at 6 pm or L(ate) at 8 pm. If both stations choose E, then POP13 og POP17 lose 55 and 50 listeners, respectively. If one station chooses E and the other chooses L, then the first one loses 90 and the second one loses 60 listeners. POP13 loses 50 and POP17 loses 55 listeners if both stations choose L. The stations have to choose between E or L and the choice cannot later be changed. (a) Model this as a simultaneous game between the stations. (b) Is there any equilibrium (in pure strategies)? (c) The station POP17 considers making its decision after POP13 has made its decision public. Would POP17 benefit from this? Now assume that each station may change its decision any day independently of previous choices. A station has to publish its decision at 8 am on the day in question. It turns out that over a period of 90 days, POP13 and POP17 have chosen E on 71 and 80 days, respectively. (d) Can you explain these choices by the stations?

Question 2 Two students, A and B, want to buy the software ”Strategy”. This software is suitable for calculation of mixed equilibrium in zero-sum games and for analysis of sequential games such as bargaining games. The software allows two registered users and the price is 1020 (kroner). The total valuation of the software is 1000 for each of the students. The students agree to organize a fund-raising campaign with target 1020 as follows. On a given first Friday, A makes an offer (a contribution), the second Friday B makes an offer and so on until the total contribution equals 1020 and the software is bought. Their impatience is given by the discount factor . 0,6δ = It turns out that on the first Friday, A offers 620 and B offers 400 on the second Friday. (a) Should A rather offer 1020 on the first Friday?

83

Side 5 av 6 sider (b) Could A or B have chosen a better strategy? The students want to calculate an equilibrium in mixed strategies in a zero-sum game where two players X and Y both have strategies 1 and 2 The payoff to the first player is:

Payoff to X 1 21 302 30

−−

400

B suggests that in equilibrium, X will play strategy 1 with probability 0.5p = , and A disagrees. They decide to let the software ”Strategy” calculate the equilibrium. (c) What is the answer? In addition, the students are interested in the following two-person bargaining game with alternating offers. Two players want to split 100 (kroner). In period number 1, player 1 makes an offer that is accepted or rejected by player 2. In case of a rejection, one continues in period 2 with player 2 making an offer and so. In period 7 or later, there is nothing left. In each period the amount of money available is shown in the following table:

1 2 3 4 5 6Total 100 70 80 60 40 20 0

t 7

(Example: In period 5, the total equals 40.) The students want to use the software to calculate a solution. The user is required to specify a common discount factor for the player, between 0 and 1, and the students set . Furthermore, they insert the data in the above table into the relevant slots of the programme, something that results in an error-message. Thus, the students must determine a solution directly.

1δ =

(d) What happens in the bargaining game considered?

Question 3 Discuss various ways to achieve credibility. For example, consider the following: 1) writing a contract; 2) cutting off communication; 3) burning or building bridges; 4) moving in small steps.

Question 4 The value of the shares of the company Independent currently equals 200 (kroner per share). The company is owned by many small shareholders each of whom own less than 1% its total value. A foreign company, Raider, wants to buy all the shares and uses the strategy of a two-tiered tender offer. Each shareholder may either sell all his shares to Raider or refuse to sell at all. Let X be the proportion of shares tendered.

84

Side 6 av 6 sider

Raider offers a price of 212 for the first 50% of the shares offered. The remaining shares will be paid only 180. Everyone gets the same blended price that depends on the proportion X. Accordingly, the price is if 212P = 1/ 2X ≤ and 212 / 2 180(1 (1/ 2 ))P X X= + − if 1/ . A raider who gains control of at least 70% of the shares has the right to buy out the remaining shareholders at the price 180.

2 1X< ≤

(a) What is the price P if , 0.65X = 0.8X = , or 1X = ? (b) Does a shareholder have a dominant strategy? Now, assume that Independent is owned by only three shareholders A, B, C each of whom owns the following proportions of the company: A: 35%, B: 50% C: 15%. (c) Is it likely that some of these three shareholders will accept the offer from Raider?

______________

85

Oppgave 1 fra eksamensoppgave sett i 51776 Samfunnsøkonomisk Analyse September 1992. Løsningsskisse a) Når δ = så er . 0 8, δ4 0 4096= , b) Forhandlingene forløper som i følgende tabell

t Spiller 1 Spiller 2 Iallt1 7.376 2.624 10.0002 5.376 2.624 8.0003 5.376 1.024 6.4004 4.096 1.024 5.1205 4.096 0 4.096

eller mer generelt,

t Spiller 1 Spiller 2 Iallt1 12345 0

4 4

4 4

4 4

4 4

4 4

1 2 3 2 3

2 3 2 3

2 3 3

3

− + − + − + −− + − + −− + −

−

δ δ δ δ δ δ δ δδ δ δ δ δ δ δ δδ δ δ δ δ δ

δ δ δδ δ

2

3δ

.

c) Hvis spilleperioden ble utvidet til f.eks. 9 perioder, da ville Spiller 1 oppnå

1 2 3 5 6 7− + − + − + − +δ δ δ δ δ δ δ δ4 8 =− −+

11

9( )δδ

.

(Konstruer en tabell som ovenfor med 9 istedet for 5 perioder). Hvis antallet av perioder blir meget stort da fås en fordeling tilnærmet lik

1

1 1+ +δδδ

; ,

altså omtrent 5.555 til Eieren. Det er derfor rationelt for ham å gå imot utvidelsen. d) Se DN Kap. 11.3.

86

EKSAMEN I 50131 STRATEGISK ANALYSE Desember 1993 Løsningsskisse Oppgave 1 (a) Se blandt annet forelesningsnotat, "3. Blandede strategier". (b) Nei. Merk at spillet er symmetrisk i spillerne. Det er derfor tilstrekkelig å vise, at ingen av de tre strategikombinasjoner (A,B), (B,C), (A,C) er en likevekt. (c)

[ ] [0 2 0 2 0 60 3 13 0 1

1 1 00 0 0, , ,

−−

−

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥= ] .

Derfor er ( , )x x en likevekt der begge spillere oppnår forventet verdi lik null. (d) Den foreslåtte strategi for Spiller 1 inneholder for mye systematikk, (selvom den observete frekvens av A,B og C er i samsvar med ( , )x x ) .Dette kan utnyttes av Spiller 2. Den beste strategi for Spiller 1 er i hver periode at spille x . Oppgave 2 Se desember 1998, oppg. 4 med løsningsskisse; DN Kap. 3.6 .

(a) 0,5 0,55 0,6 0,65 0,7 0,75 0,8 0,85 0,9 0,95 1215 211,8 209, 2 206,9 205 2,03 201,9 200,6 199, 4 198, 4 197,5

XP ;

7 / 8 0,875y = = .

(d) Hvis det er to aksjonærer med f.eks. 40% og 60% av aksjene da vil den store aksjonær velge Nei. Hvis det eksempelvis er tre aksjonærer med like store andeler, da blir resultatet at alle sier Ja. Oppgave 3 (Oppgaven har to spørsmål (a)) (a) 0 . 75 1 0 5 0 5, ,= − × ,

)

(a) Nei, f. eks. for (Høy,Høy) fås samlet betaling , 7 6 13 0+ = ≠ og samlet inntekt er null på grunn av kansellering. (b) Den foreslåtte kontrakten er konstruert etter samme princip som "First-stage"-kontrakten i DN side 317. F. eks. er . ( )9 1 18 6 12 2= × − +( ) / Svaret på spørsmålet blir derfor Ja, hvilket kan vises direkte:

87

Hvis f. eks. A observerer Lav og melder Lav, da oppnås 6612 =− . Hvis han melder Høy, da oppnås , 7 1 2 6 4− × =( / ) idet prosjektet kanselleres med sannsynlighet 1/2. Hvis derimot A observerer Høy og melder Lav, da oppnås 12 12 0− = . Hvis han melder Høy, da blir det kansellering med sannsynlighet 1/2 og derfor oppnås . 7 1 2 12− ×( / ) 1= (c) Betalingerne til B i Kontrakt II er de samme som i Kontrakt I. Tilsvarende er de forventede betalinger gitt B's melding den samme som før: (12+7)/2 uansett B's melding. Derfor er svaret fremdeles Ja. (d,e) Kontrakt III svarer til DN side 318. Den er også balansert, tilstand for tilstand. Det er kanskje mindre heldig, at A må betale 2 til B ved kansellering. Dette kan justeres ved en fjerde kontrakt, som svarer til DN side 319:

Kontrakt IV Lav(4) Høy(8)

Lav(6)7

114

13

Høy(12)3

150

0

.

Oppgave 4 DN Kap. 6.4 .

___________________ EKSAMEN i 50131 STRATEGISK ANALYSE Desember 1995 Løsningsskisse Oppgave 1 (a) Begge har strategimengder { } . 30 40,

B

A30 40

30 75 75 150 040 0 150 125 125

, ,, ,

(b) Ja, (30,30) er et par av dominerende strategier (c) Strategimengdene blir nå

88

{ }161718 40, , , ,… Hvis begge setter en pris får de en fortjeneste lik 5 1{p ∈ 161718 40, , , ,… } 55 5 7( )p p− = − . Hvis A reduserer til p −1, fås fortjeneste 10 1 15 10 160 5 75( )p p p− − = − > − for p > 17. Ny likevekt blir (17,17), som også er Fangenes dilemma. (d) Pris mindre enn enhetskostnad lønner seg ikke uansett. (e) Dersom denne garantien foreligger og A holder pris 40, da vil det ikke lønne seg for B å holde pris under 40; i så fall ville alle kjøpe hos A og så kreve refusjon. (DN Chp. 4.4). Derved oppnås et katell. (f) Dette er "Tit-for-tat" som er likevekt, men feil kan oppstå; se DN Chp 4.6. Oppgave 2 (i) Et moteksempel er Mr. Russos slanke-kontrakt, som kan reforhandles; se DN p. 149-51. (ii) Tilbyderne har som dominert strategi å underslå sin sanne verdsetting, se DN chp. 12.3, p. 320. (iii) Se DN, chp. 6.4. Ved å leie ut beveger en seg i "små skritt". Ved å selge blir det et bruktbokmarked og forlaget kan ikke troverdig love at det ikke ofte vil trykke nye utgaver. Oppgave 3 (a) Bruk av peileutstyr gir kostnader 43+6>48 =24+24, som er det høyeste mulige samlede lisensbeløp. Uten peileutstyr må seerne gi frivillige bidrag og det fører til et koordineringsproblem: hvem skal betale hvor mye? (b) Dersom det allerede er lovet minst T V− − =( ) ,1 3 6δ , da vil det lønne seg å bidra resten slik at sendingen starter nå. Hvis A i periode 1 lover å betale T V− − =( ) ,1 3 6δ , da vil sending begynne i periode 2 og han får nytten . Hvis A lover z, δ( , ) ,V − =3 6 18 36 0 3 6≤ <z , i periode 1, da vil det tidligst bli sending i periode 3 mot da å betale z x z V z+ = + − = +( ) ,1 2 4δ . Det vil i beste fall gi nytten δ δ δ δ2 3 2 217 496 17 496 18 36( ( )) , , ,V x z V z z− + = − = − ≤ < Derfor vil innsamlingen vare 2 perioder, B betaler 2,4 og A betaler 3,6. (c) Ved sine leserinnlegg forsøker B antakeligvis å overbevise A om at hun verdsetter sending fra TV-Royal mindre enn 24, kanskje VB = 0 . Da vil A betale hele beløpet 6 i periode 1. Oppgave 4 (a)

89

Periode Fagf Eier Total.1 48 64 112 48 48 93 32 48 84 32 32 65 16 32 46 16 16 37 0 16 1

2604826

(b)

Periode Fagf Eier Total.1 88 24 112 78 18 963 62 18 804 52 12 65 36 12 46 26 6 37 10 6 1

2

4826

(c) Eier tar det hele. Deling 3:1.

___________________ EKSTRAORDINÆR EKSAMEN I 50131 STRATEGISK ANALYSE Juni 1996 Løsningsskisse Oppgave 1 (a) Det er lite trolig at hotellet forblir stengt den tiende dagen (b) Ut fra de gitte opplysninger kan en forutsi følgende forløp:

90

303001042301295442128664224778542469054365

102663641146648312678482

13830+12978601SamletgFagforeninEierPeriode

=×

Begge spillere har full informasjon og de er istand til å "se frem og resonnere tilbake". Ovenstående forutsetter i tillegg at spillerne har full tålmodighet. (c) DN side 192-295 Oppgave 2 I linje 5 av oppgaveteksten skal det byttes om på "kujon" og "helt." (a)

Pål

PerV F

V 1,1 0,2F 2,0 - 3,-3

(b,c) Ja, (V,F) og (F,V) er begge likevekter. (d) ( / )( / ) / ,1 4 1 4 1 16 6 25%= = (e) Anta, at Per spiller F med sannsynlighet p. Da får Pål i forventet verdi ved selv å spille V: ( )1 1− × + × 2p p og han får ved å spille F: ( ) (1 0− × + × )3−p p Dessuten er ( )1 1 2− × + ×p p = − × + × −( ) (1 0p p )3 nettopp når p = 0 25, . Derfor er strategikombinasjonen i (d) en (blandet) likevekt. Oppgave 3

91

(a) Anta at budgiving skjer i tiendedeler (en kan f. eks. by 8 eller 8,1 eller 8,2). Det lønner seg ikke for B å by under 8. Gå ut fra at A og C byr deres sanne kostnader. For B er det bedre å by 8,9 enn å by 8, da sannsynligheten for å få oppdraget blir den samme. I likevekt vil oppdraget gå til A som har kostnader lik 7, men til en pris som er minst 8. (b) Hvis oppdraget går til laveste bud men til pris lik nestlaveste bud (”annenprisauksjon”) da lønner det seg å melde sanne kostnader. (c) I gjennomsnitt fører både første- og annenprisauksjon til samme pris: kostnadene for den anbyder som har nestlavest kostnader, se DN side 323. Oppgave 4 DN Kap. 4.4 .

__________________ EKSAMEN i 50131 STRATEGISK ANALYSE Desember 1996 Løsningsskisse Oppgave 1 (a)

00

31

13

00

V

R

VR

A

B

.

(b) Nei. (c) Ja, (R,V) og (V,R). (d) Begge spillere velger R med sannsynlighet p og V med sannsynlighet . Likevekt krever at f. eks. B’s forventede payoff av å spille R er lik den tilsvarende payoff av V :

)1( p−

, 0)1(31)1(0 ⋅−+⋅=⋅−+⋅ pppp slik at . Både A og B oppnår forventet payoff: 4/1=p 4/31)4/3(0)4/1( =⋅+⋅ . Dette er inoptimalt; hvis f. eks. A velger R (med sannsynlighet 1) og tilsvarende B velger V, da får payoff 1 og 3. (e) Under likevekten blir sannsynligheten for de fire tilstander:

92

16/916/316/316/1

VR

VR ,

slik at samtalen gjennomføres med sannsynlighet 8/316/316/3 =+ . (f) Nå er payoff lik

00

33

33

00

V

R

VR

.

så i symmetrisk likevekt spiller både A og B strategien R med sannsynligheten med tilhørende payoff

2/12/33)2/1(0)2/1( =⋅+⋅ .

Oppgave 2 (a) Forventet kostnad for X er EX = + =( ) /8 16 2 12 og EY = + + =( ) /4 10 16 3 10 for Y, slik at

EX EY: = 6 5: . Forventet profitt er 12 6 4 0 0 0

63 66

+ + + + += , som er større enn 0 6 , slik

at projektet bør gjennomføres (Det kanselleres i to av de seks tilstander).

0 5 11, ,+ = ,

(b) Den foreslåtte Kontrakt (b) blir følgende (X i rekke, Y i kolonne) :

Kontr. (b)4 +12(5 / 11)

8 +12(6 / 11)10 + 6(5 / 11)

8 + 6(6 / 11)4 + 4(5 / 11)

16 + 4(6 / 11)0

00

0

4 10

816

8

16

16

,

eller

00

00

18,187,64

16

816

11,2715,45

14,559,45

8

16104(b) Kontr.

Hvis Y obeserverer kostnader lik 10 vil det lønne seg å melde 16, da kanselleringsrisikoen er den samme. (Hvis X melder sannt, og Y alltid melder 16, da er det en meldingslikevekt). (c) Optimalitet; Insitamentsforenlighet; Balanse (tilstand for tilstand). (d) Følgende kontrakt svarer til DN side 317,

93

4 10 16

8

16

xa

ya

ya

xb

yb

yb

,

der

a = −+ +⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ =1 24

4 10 163

14 ; b = −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

13

2441

203

x = −+⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ =1 24

8 162

12 ; y = −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

12

2481

8 ,

slik at kontrakten blir:

4 10 16

812

148

148

14

1612

20 38

20 38

20 3/ / /

.

Ved å legge 2 til i øverste rekke og trekke 4 fra i kolonnen helt til venstre fås da kontrakten

4 10 16

814

1010

1410

14

1612

8 38

20 38

20 3/ / /

,

som har balance i de øverste tre celler. Vi bestemmer derfor s og t slik at følgende kontrakt

4 10 16

814

1010

1410

14

1612

8 3 28

20 38

20 3−

+−

−−

−t

st

st

s( / ) ( / ) ( / )

er balansert i alle celler. Dette krever at ( / )8 3 2 12 24+ + − =s t og ( / )20 3 8 0− + − =s t .

94

Derfor er , og kontrakten svarende til DN side 318 blir s = 8 t = 20 3/

4 10 16

814

1010

1410

14

1616 3

56 34 3

4 34 3

4 3/

//

//

/− −

Ved å legge 4 til alle utbetalinger til X og tilsvarende fratrekke fra Y vil denne kontrakten bli som DN side 319.

3/

Oppgave 4 (a) Kommunen kan ikke troverdig love kun å selge 10 nye løyver, hvis disse er permanente. Ved å selge tidsbegrensede løyver beveger kommunen seg i ”små skritt”; som et resultat er kjøperne villig til å betale en forholdsvis høyere pris enn om løyvene var femårige eller varige. I denne sammenhengen er tidsbegrensede løyver det samme som utleie av løyver. (Se også DN 6.4 og 13.19). (b) I en kontrakt om utførelse av et oppdrag spesifiseres i reglen at betaling skjer over flere omganger og betinget av at deler av oppdraget er utført. På denne måten beveger en seg i mindre skritt enn om hele beløpet skulle betales i forkannt.

____________________

EKSAMEN i 50131 STRATEGISK ANALYSE 9. desember 1998 Løsningsskisse Oppgave 1 (a) L er dominerende strategi for A, slik at (L,H) er likevekt, A tjener 2 hver dag i 30 dager. (Endelig og kjent tidshorisont, 30 dager) (b) Hvis A velger først fås likevektspayoff svarende til (H,L), så A tjener 4. Derfor kan A tåle

. 4 2 2− = (c) Nei, "Stein-Papir-Saks" er et moteksempel. (d) Under "Tit-for-Tat" begyndende med (L,L) i første periode (dvs dag 1) fås størst mulig samlet inntekt. Oppgave 2

95

(a) min , , ( ),b x b b0 7 0 3+ − x

)ment

gitt at

0 7 5 000 0 3 5 000 15 0000 7 5 000 0 3 5 000 0 5 1000 0 5 1000

0

, ( . ) , ( . ) . ( ), ( . ) , ( . ) , ( . ) , ( . )(

b b x akseptb b x b b x insita

b b x

− + − − ≥− + − − ≥ − + − −

≥ − ≥

har løsning og b = 26 000. x = 20 000. b x− = 6 000. og verdien 0 7 0 3 20 000, , ( ) .b b x+ − = Selgeren er villig til å velge stor innsats, så bedriftens forventede fortjeneste blir 0 7 50 000 26 000 0 3 20 000 6 000 21000, ( . . ) , ( . . ) .− + − = (b) Ja, se under (a). (c) Selgeren vil akseptere den ny kontrakten da 20 000 15000 5000. . .≥ + (gjeldende lønn pluss transport). Hvis utstyret leies opnås forventet fortjeneste 000.20)000.203,0000.507,0( −×+×

som er lik bedriftens forventede fortjeneste fra bonuskontrakten i (a),(b). Da leiekostnaderne er 8.000 lønner det seg derfor ikke å leie utstyret.

000.21=

Oppgave 3 (a) DN Kap. 13.14 (b) Da kan innsamlingen gjennomføres på to perioder, men da T V= − + −( ) ( )1 1 2δ δ V T V> kan innsamlingen ikke gjennomføres på en periode. (Se også DN 13.21, side367)

Oppgave 4 (Se DN side 81-84) (a) At tilby til Two-tier er en dominerende strategi. (b) Nei, et betinget tilbud med pris mindre enn 110 er ikke effektivt mot "two-tier"-tilbuddet. (c) Da endres svaret på (a) slik at spillet mellom aksjonærerne ikke lengere har noen likevekt (i rene strategier).

___________________

EKSTRAORDINÆR EKSAMEN i 50131 STRATEGISK ANALYSE Mai 1999 Løsningsskisse

96

Oppgave 1 (a) Hvis A er monopolist fås QQMR 836)( −= og da 4)( =QMC fås 20,4 == PQ og profit lik

(før faste kostnader lik 9). 644)420( =⋅− I det følgende betegnes A’s og B’s mengder og , slik at Aq Bq BA qqQ += . (b) . BqP 420−= (c) profit for B lik 16 (> 9). 12,2 == PqB

(d) Anta at . Da velger B med profit lik 9, slik at B ikke tjener på å etablere seg. 5=Aq 2/3=Bq (e) Reaksjonsfunksjonene for A og B er A: BA qq )2/1(4−=

B: (for eksempel AB qq )2/1(4−= 22)2/1(4 =⋅−=Bq som i (c)). I (symmetrisk) Cournot-likevekt fås 3/8== BA qq med 3/44=P og profit =⋅− )3/8()4)3/44((

. 944,283/256 >= (f) Hvis B resonnerer frem i spilltreet, så kan han se at ved å etablere seg så vil A svare med Cournot-mengden som i (e). Derfor tjener B samlet 44,19944,28 =− ved å etablere seg, etter faste kostnader. Derfor er A’s strategi i (d) ikke troverdig. Oppgave 3

820117-11106-0295-1384-2473-3562-4651-5740683179228101

Bog A BkunA kun

−−−

t

Hvis A er aktiv i periode 6, da taper B på å drive i periode 6 eller senere, uansett om A forblir aktiv eller ikke. Hvis A er aktiv i periode 3 da tjener han minimum følgende på å holde ut til periode 11

1212345)2(1 =+++++−+−

97

B bliver inaktiv i periode 3, A bliver inaktiv i periode 11, men er aktiv i periode 10. Oppgave 4 En god besvarelse må her diskutere:

-Balanse (samlet utbetaling lik samlet inntekt, tilstand for tilstand) -Efficiens (prosjektet kanselleres nettopp når det er optimalt) -Insitament (begge parter har insitament til å melde sanne kostnader)

________________________ EKSAMEN i 50131 STRATEGISK ANALYSE 10. desember 1999 Løsningsskisse Oppgave 1 (a) Situasjonen kan sammenfattes i følgende spill mellom B og C, der B velger (stemmer) først (pay-off regnes i prosent av aksjekapitalen).

C

B

Ja Nei

Ja

Nei

22

040

400

3030

Man ser at først stemmer B Ja, og så stemmer C Ja. (ENSTEMMIG eller ALMINNELIG FLERTAL?) (b) Nei, for Storebrygg stemmer Ja uansett. (c) Nå er det simultant spill, men Ja er en dominant strategi for både B og C, slik at resultatet blir det samme. (Dette skyldes at det bare er to spillere B og C; ved å tilføye en tredje D kunne man få et annet resultat, se DN 13.4, side 331). Oppgave 2 Dette er en Cournot-model med heltallige strategier. (a) A kan selge billetter hvilket ut fra en vanlig alternativkostnadsbetragtning medfører en kostnad på (billettprisen) x (solgt antall).

0 1 2 3 4, , , ,

(b) . ( )πA = − + × − × =5 1 1 1 1 1 2( ) (c) Hver spiller har strategimengde og pay-off fremgår av følgende tabell: {01 2 3 4, , , , }

98

44

43

42

41

00

4

34

33

32

00

30

3

24

23

00

21

40

2

14

00

12

22

30

1

00

03

04

03

00

0

43210,

−−

−−

−−

−−

−−

−−

−−

−−

−−

−

ππ BA

A

B

q

q

Det er ikke noe nullsums- eller konstantsumsspill. (d) For begge spillere er { dominerte strategier, slik at ved eliminasjon oppnås et spill med strategimengde{ } :

}4,32,1,0

00

21

40

2

12

22

30

1

04

03

00

0

210, BA

A

B

q

qππ

I dette reduserte spillet er strategien { dominert slik at ved eliminasjon fåes: }0

q

q

B

A

A Bπ π, 1 2

12

22

1

21

20

0

(e) Nå er strategi 2 dominer av strategi 1 slik at vi får likevekten )1,1(),( =BA qq . I dette spillet er spillerne ikke i Fangenes dilemma med hensyn til rene strategier, da samlet payoff i likevekt er 4 som er lik den pay-off som oppnås av en monopolist, og grensekostnadene er konstante. Oppgave 4 DN Kap.7

99

___________________

EKSTRAORDINÆR EKSAMEN i 50131 STRATEGISK ANALYSE Juni 2000 Løsningsskisse Oppgave 1 Se løsningsskisse til Desember 1993, Oppgave 3. Oppgave 2 (a) Det er feil i oppgave teksten: NR2 velger M (ikke som anført S). (b) Spillet kan beskrives i følgende tabell:

NR

NRT

2

16 6 12 4 12 84 12 8 8 16 48 12 4 16 10 10

T M S

MS

, ,, ,, , ,

,,

En ser at det ikke er noen dominerende strategi. (Er det noen dominert strategi?) (c) Ja. Hvis det velges f.eks. (S,T) da vil NR2 foretrekke M for T. (d) Nei, det følger av svaret på (c). (Merk: en kan finne en likevekt hvis det tillates blandede strategier, men det er mer komplisert å regne ut enn tilfellet i DN side 182, som bare har to strategier.) I en symmetrisk blandet likevekt kan hvert selskap høyest få 10 seere. I en slik blandet likevekt der alle strategier spilles med positiv sannsynlighet fås likevekten ; ( ))17/6,17/1,17/10(),17/6,17/1,17/10( dette følger av at

[ ] [ ]144144144171

1016124812846

6110171

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡,

hviket innebærer at forventet payoff for NR2 er lik 144/17 for alle tre mulige valg av strategier. (e) Anta at NR1 velger først. Da vil NR2 velge følgende strategi: hvis NR1 velger T så velger NR2 S ; payoff (12,8)

100

hvis NR1 velger M så velger NR2 T ; payoff (4,12) hvis NR1 velger S så velger NR2 M ; payoff (4,16) NR1 vil i så fall velge T og får dermed 12 seere. Hvis alternativet er en symmetrisk blandet likevekt som nevnt under (d), da lønner det seg for et selskap å offentliggjøre valg av tidspunkt før konkurrenten. Oppgave 3 DN Kap. 4.4 Oppgave 4 (a) Projektet bør gjennomføres fordi V V T+ = > =200 80 . (b) Projektet kan ikke gjennomføres på en periode da T V= > = −80 40 1( )δ . Derimot kan det gjennomføres på to perioder da . T V= < = − + −80 104 1 1 2( ) ( )δ δ V

V

Hvis bidragsyterne blir mer tålmodige (δ økes), da vil innsamlingen ta mer tid. Som eksempel, anta at δ = 0 9999, . (c) Hvis fås T slik at innsamlingen ikke kan gjennomføres på to perioder. Derimot er slik at det nå er mulig på tre perioder.

δ = 0 8, V= > = − + −80 56 1 1 2( ) ( )δ δVVVT )1()1()1(8,8480 22 δ−δ+δ−+δ−=<=

Innsamlingen forløper på følgende måte:

364420)1(3

36)1(224)2036(801

2

SamletV

V

BAt

−=δ−=δ−−

−=+−

_____________________ EKSAMEN i 50131 STRATEGISK ANALYSE Desember 2000 Løsningsskisse Oppgave 1 (a)

101

1212012241212113624121048242496036248723636784483669648485

10860484120606031327260214472721

SamletFagf.EierDag

Det åpnes dag 1 med deling 72:72.

(b)

10860484101534831136548212565601

SamletFagf.EierDag

(Tap lik 7, dag 3)

Resonner tilbake fra dag 4. Hvis det er stengt dag 1 og 2, da vil det også bli stengt dag 3; Fagf. sier

”Nei” til å bli tilbudt 53. Det åpnes dag 1 med deling 60:65.

(c)

)(10860484)(10153483)(9460342)(10658481

SamletFagf.EierDag

JaNeiNeiNei

(Tap lik 7, dag 2 og 3)

Det åpnes dag 4 med deling 48:60. Oppgave 2 (a) Ja, forventet kostnad er 66,42)646052524840282416)(9/1( =++++++++ og initial- omkostningene er . Det er ingen kansellering og 413 =+ 66,42464 +> . (b) Ja. (c) Da det ikke blir kansellering har begge insitament til å melde Høy, uansett.

102

(d) Under Kontrakt II er det ingen insitament til å melde feil da kansellering ikke forekommer. (Se også DN side 312-3). (e) Nå kanselleres det i tilfelle av (Høy,Middels) eller (Høy,Høy). Derfor blir Kontrakt II:

00

00

3913

48

3913

3913

3913

36

3913

3913

3913

12

1612452):(TotalIIKontrakt

A

B

Hvis B observerer Middels, da vil det lønne seg å melde Lav, slik at kanselleringssannsynlikheten reduseres fra 1/3 til 0. (f) Som i DN side 317 kan en kalkulere følgende kontrakt

by

by

bx

ay

ay

ax

ay

ay

ax

A

B

48

36

12

16124IIIKontrakt

,

der f. eks. 33,413

16124521 =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

−⋅=a , 66,182

36125232

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

−⋅=y , og deretter tilpasse

kontrakten så det er budsjettbalanse. Derved unngåes at noen melder falske kostnader. Oppgave 3 DN 13.19 (Se løsningsskisse Desember 1996, Oppgave 4) Oppgave 4 (a) Nei, X har L som dominant strategi; likevekt (L,H) med payoff for X lik 2. (b) Ja. Hvis X først velger H, så vil Y svare med L, så X får nå payoff lik 4. (c) To likevekter i rene strategier (L,H), (H,L)

103

(d) Her må en inndra begrebet blandet strategi. Hvis begge spiller H med sannsynlighet 50%, så er det en symmetrisk (blandet) likevekt.

_________________________

EKSAMEN i 50131 STRATEGISK ANALYSE Desember 2001 Løsningsskisse

Oppgave 1 (a) I siste periode betaler A 100)190160(450 =+− . Anta at det observerte forløp er et likevektsforløp. Hvis både A og B har utålmodighet svarende til diskonteringsfaktoren δ da gjelder at , slik at 100)1( =δ− V 9,0=δ . Det er også rasjonelt av B å tilby i periode 2. Endelig lønner det seg for A å by 160 i periode 1, idet øvre grense for A er .

190)1( 2 =δ− V160171)1( 2 >=δ−δ V

(b) Hvis innsamlingen fremdeles ville forløpe på tre perioder ville siste mann betale 23)1( =δ− V og nestsiste . Da måtte A i så fall tilby 7,43)1( 2 =δ− V 3,383)237,43(450 =+− i periode 1, hvilket ikke lønner seg. (Innsamlingen vil derimot bli langvarig: Det største n slik at

[ ] 9565,1/)(2)1)(1(1)1( 12 =≤δ+δ−=δ++δ+δ++δ− −− VTnnn er 37=n ). Oppgave 2 (a) Alle medlemmer har Nei som dominerende strategi slik at strategikombinasjonen (Nei,Nei,Nei) utgjør den eneste likevekt. (b) Nå er beste svar på de tre mulige tilstande som et medlem står overfor: De to andre stemmer Beste svar Nei,Nei Nei Nei, Ja Ja Ja, Ja Nei Fremdeles er (Nei,Nei,Nei) en likevekt (med 4 poeng til hver). I tillegg er (Ja,Ja,Nei) en likevekt med 6, 6 og 9 poeng; tilsvarende med (Ja,Nei,Ja) og (Nei,Ja,Ja). (c) Hvis det stemmes i rekkefølge fås følgende ”roll-back”-likevekt. Første medlem stemmer Nei, annet og dernest tredje medlem stemmer Ja. (Tegn spilltreet). Når det gjelder pay-off fås det samme som i (b). (d) En får nå følgende simultane spill mellom de to medlemmene A og B:

104

44

96

Nei

69

66

Ja

NeiJa

A

B

.

Det er to likevekter i rene strategier: (Ja,Nei) og (Nei,Ja), men det kan bli vanskelig å velge mellom dem. Spillet har dessuten en symmetrisk likevekt i blandede strategier der begge spiller Ja med sannsynlighet 2/5 og forventet payoff er 6. Ut fra dette er sannsynligheten for vedtak av lønsøkning lik . 25/16)5/3)(5/3(1 =− Oppgave 3 (a) . 3/2≤z(b) Hvis , da er ”akseptere” en dominerende strategi. Hvis derimot og iallt halvparten av aksjene tilbys av de andre aksjonærerne, da bør denne aksjonæren avvise å selge.

6/12/13/2 =−≤a 6/1>a

(c) Den største av de to eier mindst haldelen av aksjene. I likevekt vil den største aksjonæren avvise å selge og den minste vil akseptere.

Oppgave 4 (a) To selgere som er prisfastsettere kan være i fangenes dilemma. Dette dilemma kan løses ved å utstede en prisgaranti som i DN 4.4 (c) Den foreslåtte kontrakten er som følger

00

00

228

)20(

1119

1416

1713

)10(

)18()12()6(

H

L

HML

A

B

Når det gjelder Bs melding ser en at når B observerer M så meldes H. Likedan, når B observerer H så meldes H. Derfor melder B kostnadsnivå H med sannsynlighet minst 2/3. Hvis A observerer H da meldes H. Dette begrunner konklusjonen i den foreløpige rapport. På denne bakgrunn kan en oppfatte ”meldingsspillet” som et spill mellom A og B, der hver spiller bare har to strategier, som anført i den foreløpige rapport. Strategikombinasjonen (A melder sannt, B melder alltid H) er en likevekt i dette spillet. Tilsvarende er kombinasjonen (A melder alltid H, B melder (L,H,H)) en likevekt. Det er derfor ikke grunn til å tro at parterne melder deres sanne kostnader og det fører dessuten til forstyrrelse av kanselleringsbeslutningen. Firmaet bør heller anbefale en kontrakt etter prinsippene i DN Kap. 12.

___________________

105

EKSAMEN i 50131 STRATEGISK ANALYSE Juni 2002 Løsningsskisse Oppgave 1 (a) ( 90030, 45, 1350 (1/ 2)900 900Q P= = π = − = 400 500− = inkl. faste kostnader).

(b) Lad betegne andre selgeres samlede mengde sett fra en enkelt bedrift. Da er bedriftens

bedste svar q den mengde som maksimerer

0s ≥

( ) ( )P q s q TC q= + − π 21 12 2(60 ( ))q s q q= − + −

0

. Fra

fås så reaksjonsfunktionen /d dqπ =

. (1) 30 (1/ 4) , 120

( )0 , 120

s sq s

s− ≤⎧

= ⎨ >⎩

For fås , slik at man ved etablering opnår40s = ( ) 20q s = 60 (1/ 2)(40 20) 30P = − + = , og

. 30 20 200 400π = ⋅ − =

Hvis den nåværende monopolist opprettholder mengden 40s = , (og har profit 800 ), er der på

grunn av de faste kostnader 400 ikke noe å tjene på å etablere sig for en ny bedrift, men

monopolistens strategi kan sies ikke å være troverdig.

400>

(c) Dette er en Cournot-ligevægt. Ved anvendelse af (1) fås (24) 30 (1/ 4) 24 24q = − ⋅ = .

(d) Gå ut fra at . Hvis C er rationel så velger den på grunn af (1) + 120A Bq q ≤

( + ) 30 (1/ 4)( + )C A B A Bq q q q q= − . (2)

På bakgrunn af A’s og B’s valg af mengder, kan C derfor ikke bestemme en bedre mengde end

. 19,20Cq =

106

Det samme spørgsmål kan besvares for B, noe som dog er vanskeligere. Etter A har valgt, er B

leder og C følger i et Stackelbergspil. Derfor velger B sin mængde slik at Bq

21 12 4(60 ( 30 ( ))B A B A B Bq q q q q qπ = − + + − + − 1

2 B

blir størst mulig. Dette medfører

1 1 12 8 40 60 15B

A B A BB

d q q q q qdqπ

= = − − − + + − B ,

så

180 3 .7 14Bq = − Aq (3)

Hvis A velger , så fås fra (3) at 22,25Aq = 20,95Bq = og fra (2) 19,20Cq = .

Man kan dessuten vise, at A velger bedst muligt gitt (2) og (3) , hvilket dog neppe gjøres i mange

besvarelser. For gitt Aq er som i (3), og derfor er Bq

180 3 165 11( + ) 30 (1/ 4)7 14 7 56C A B A A Aq q q q q q⎛ ⎞= − + − = −⎜ ⎟

⎝ ⎠ . (4)

Ved at addisjon av (3) og (4) fås

[ ] 2 21 1 12 2 2

2 21 1 1 12 2 2 2

212

345 2360 ( ) 607 56

840 345 33 495 3314 56 14 56

495 89 .14 56

A A B C A A A A A

A A A A A A

A A

q q q q q q q q q

q q q q q q

q q

⎡ ⎤⎛ ⎞π = − + + − = − + − −⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦−⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − − = − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

= −

12 A

(5)

Derfor ønsker A å sette

495 89014 56

AA

A

d qdqπ

= = − ,

107

så er beste valg af mengde for A. 1980 /89 22,25Aq = ≈

Oppgave 2 (a) Ja, . 16 64 2T T V+ = < = (b) Da , da vil det ikke lønne seg å bidra det hele, slik at sendingen ikke begynner med en gang. På den andre side har vi at

, slik at sendingen begynner i periode 2 og B betaler .

(1 ) 8 (1 )32 4,8 0T V− − δ = − − δ = >

28 8,32 (1 ) (1 ) 4,8 0,11 32T V V= < = −δ + −δ = + ⋅(1 ) 3, 2V− δ =

(c) Nå er (1 , slik at det lønner seg for A å betale ) 12,8 8V− δ = > = T 8T = i periode 1. Derfor vil innsamlingen vare en enkelt periode og B betaler null. (d) Anta for eksempel at de to lyttere har grad av utålmodighet svarende til og 0,6Aδ = 0,9Bδ = , slik at A er mest utålmodig. I motsetning til under (b) vil A nå betale det hele i periode 1.

__________________

EKSAMEN i 50131 STRATEGISK ANALYSE Desember 2002 Løsningsskisse Oppgave 1 (a) Ja, for eksempel kunne B ha valgt I og derved oppnådd 2 i pay-off. Både (I,I) og

(U,U) er en likevekt (i rene strategier). Begge foretrekker (I,I) og (U,U) for (I,U), men A

foretrekker (I,I) for (U,U) og omvendt for B.

(b) Ved å forhåndsbetale kan A troverdig hevde allerede å ha valgt I, slik at spillet bliver

sekvensielt: først A så B. Den eneste likevekt innebærer at begge velger I.

(c) Anta at A velger I med sannsynlighet p og B velger I med sannsynlighet q og 0 , . Hvis

dette er en likevekt må følgende gjelde:

1

)

p q< <

2 0(1 ) 0 4(16 0(1 ) 0 1(1 )

p p p pq q q q+ − = + −+ − = + −

slik at . Forventet pay-off blir 4 / 3 til A og 6 / til B. De møtes ikke med

sannsynlighet

2 / 3, 1/ 7p q= = 7

(1/ 3)(1/ 7) (2 / 3)(6 / 7) 13 / 21 1/ 2= > , altså mer enn 50 % . +

Oppgave 2

108

(a) Forhandlingene vil i likevekt forløpe som følger:

t I II Samle1 30 70 1002 20 70 903 20 60 804 10 60 705 10 50 606 0 50 50

t

slik at I tjener 70 ved å godta ombytningen. 30 40− =

(b) Den forventede verdi til deling i runde 6 er (0 50) / 2 25+ = . Derfor vil forhandlingene forløpe

som følger:

t I II Samle1 55 45 1002 45 45 903 45 35 804 35 35 705 35 25 606 0 25 25

t

(c) Hvis II er risikoavers vil verdien til deling i runde 6 være av mindre verdi enn 25. Anta at den

bare er 20. Da blir forløpetforløpet

t I II Samle1 60 40 1002 50 40 903 50 30 804 40 30 705 40 20 606 0 20 20

t

.

(d) Anta på bakgrunn av opplysningene, at i siste periode (når sending begynder) vil en love opp til

600 men ikke mere. Da fås fra 0 at , 2 (1 ) 600V V= − δ = 3000V = .

109

(e) Spørsmålet er da om A tilbyr for mye? Da er både A og B

helt rasjonelle, så svaret er nei.

2(1 ) 0,36 3000 1080 900V−δ = ⋅ = >

Oppgave 3

(a) IKEAs prisgaranti gjelder i 30 dager og lover refusjon av 100% av dokumentert prisdifferanse. I

DN (kap. 4.4, side 103) drøftes en tidsubegrenset prisgaranti som lover refusjon av 125% av

differansen. IKEAs garanti kan sies å være svakere, men bidrar likevel til at kunder kjøper i IKEA

selvom en konkurrent senker sin pris. Derved oppretholdes et kartell.

(b) I det ekstreme tilfelle der hver av de tre kjedene bare selger egne modeller, som ikke er å få hos

konkurrentene, er prisgarantiens virkning på prisene opphevet i forhold til resonnementet i (a).

Samarbeid mellom kjedene skjer ved at de til dels unnlater å konkurrere på modellene (se også DN

side 97).

(c) Oslo Energi anvender betegnelsen ”prisgaranti” i en annen betydning end IKEA. Garantien

gjelder mot endringer som delvis skyldes ”naturens” mere enn konkurrenters beslutninger. Oslo

Energis prisgaranti likner til dels på en vanlig forsikring.

Oppgave 4 (a) Pay-off matrisen blir (FN er spiller nr. 1):

IRAK1,1 1,2 1,3 2,1 2,2 2,3 3,1 3,2 3,3

R1 1 1 1 0 0 0 0 0 0R2 0 0 0 1 1 1 0 0 0

FN R3 0 0 0 0 0 0 1 1 1K1 1 0 0 1 0 0 1 0 0K2 0 1 0 0 1 0 0 1 0K3 0 0 1 0 0 1 0 0 1

(b) Nei, en av spillerne vil alltid angre sitt valg.

(c) Ja dette er en likevekt. Den forventede betaling fra Irak til FN blir 1/3.

110

(d) Irak kan for eksempel spille de tre (diagonal) strategiene (1,1), (2,2), (3,3) hver med

sannsynlighet 1/3 og FN velger samme strategi som i (c). Dette blir en ny likevekt, som er bedre for

Irak.

(e) Spillet må forløpe som ”hide-and-seek” der sannsynligheten for at FN lykkes å avdekke våpene

er 1/3.

______________

EKSAMEN i 50131 STRATEGISK ANALYSE Juni 2003 Løsningsskisse

Oppgave 1

(a) Ja, da lønner det seg akkurat for A å betale hele T i første periode. (1 ) 64V− δ = = T

T

(b) Fra (a) vites at δ må være minst 0,6. Den øvre grense for δ er gitt ved

2(1 ) (1 )V V−δ + −δ ≤

og er oppfyllt for δ = 0.86 . (Mer presis må gjelde at 2 (2 / ) 0T V−δ −δ+ − ≤ slik at

1 (1/ 2) 7,4 0,86015δ ≤ − + = )

(c) I likevekt vil A betale allt i første periode.

Oppgave 2

Begge bedrifter har en dominerende strategi.

Oppgave 3

(a) 0, . 5 0, 25 12,5%⋅ =

(b) Nei. Anta at A observerer Lav. Ved å melde Lav oppnår A: 0,75(46 36) 0, 25(42 36)− + −

= 9 og ved å melde Høy fås 0 . Derfor melder A Høy. ,75(50 36) 10,5− =

(c) Insitament til å melde sannt, effisient kanselleringsbeslutning, balanse i kontrakten tilstand

for tilstand.

(d) Hvis f. eks. begge melder Lav da kan en sette betalingen til A lik 69 minus forventede

kostnader for B, som er 19,5. Slik fås kontrakten svarende til DN side 317:

111

Kontrakt II Lav(18) Høy(24)

Lav(36)

Høy(48)

B

x yA

a ax y

b b

der ( )

( )( )

( )

1 69 (0,75 18 0, 25 24) 49,5

0,75 69 18 38, 25

69 1 0,5 36 0,5 48 47

0,5 69 36 . 16,75

a

b

x

y

= ⋅ − ⋅ + ⋅ =

= ⋅ − =

= − ⋅ ⋅ + ⋅ =

= ⋅ − =

så vi kommer frem til følgende kontrakt:

Kontrakt II Lav(18) Høy(24)47 16,75

Lav(36)49,5 49,5

47 16,75Høy(48)

38, 25 38, 25

B

A

En komplett besvarelse vil videre drøfte tilpasning av denne kontrakten slik at det er balanse.

(se DN side 317-9).

Oppgave 4 Se DN side side 81-84.

________________

EKSAMEN i 50131 STRATEGISK ANALYSE Desember 2003 Løsningsskisse

112

Oppgave 1 (a)

POP 17T S

50 60POP 13 T

55 9090 55

S60 50

− −− −

− −− −

(b) Både (S,S) og (T,T) er en likevekt. (c) Nei, da vil POP13 velge S fulgt av POP17, som også velger S. I dette spillet er det best å velge først. (d) I likevekt i dette spillet med blandede strategier velger POP13 T med sannsynlighet ;

. Tilsvarende velger POP17 T med sannsynlighet . Forventet verdi for POP13 og POP17 blir (

7 / 9p =( 50) ( 90)(1 ) ( 60) ( 55)(1 )p p p− + − − = − + − − p

8 / 9q = 55)(8 / 9) ( 90) / 9 58,888− + − = − og , slik at de får samme forventede verdi. ( 50)(7 / 9) ( 90)(2 / 9) 58,888− + − = −

Oppgave 2 (a) Nei. Ved å tilby 620 fås nåtidsverdien ( 620) 228Vδ − = ; ved å tilby 1020 fås . (b) Den siste tilbyr høyest 1020 20V − = − (1 ) 400V− δ = så A kan ikke oppnå noe bedre ved å

tilby mindre enn i uke 2; hvis A for eksempel tilbyr 619 den første uke, da vil B tilby 1 den annen uken og A tilbyr 400 den tredje.

2620 (1 ) 640V< −δ =

(c) I en likevekt der både X og Y spiller begge strategier med positiv sannsynlighet må gjelde at

30 30(1 ) ( 40) 0(1 ), 0,3 ; ( 30) 40(1 ) 30 0(1 ), 0, 4 ,q q q q q p p p p p− − = − + − = − + − = + − = slik at payoff for spiller X blir . (Ved å legge 60 til payoff for X fås samme spillet som DN side 173).

0,12 30 0, 28 ( 40) 0,18 ( 30) 0 13⋅ + ⋅ − + ⋅ − + = −

(d)

Sp. 1 Sp. 2 Samlet1 60 40 1002 30 40 703 40 40 804 20 40 605 20 20 406 0 20 20

t

I periode 2 vil spiller 1 ikke akseptere hvis 2 krever minst 30. Det blir deling i periode 1.

Oppgave 3 DN, kap. 6. 1) side 149, 2) side 151, 3) side 152-155, 4) side 157 og 165-167.

113

Oppgave 4 (a)

0,5 0,55 0,6 0,65 0,7 0,75 0,8 0,85 0,9 0,95 1212 209,1 206,7 204,6 202,9 201,3 200 198,8 197,8 196,8 196

XP

(b) Ja ”selge” er en dominant strategi.

(c) Aksjonær C vil selge uansett (dominerende strategi). Det er to likevekter: Enten der B, C selger

eller A, C selger.

ENGLISH December 2003, Suggested answers Question 1 (a)

POP 17E L

50 60POP 13 E

55 9090 55

L60 50

− −− −

− −− −

(b) There are two equilibria, (S,S) and (T,T). (c) No. POP13 would play L followed by POP17 playing L. In this game it is better to be the leader rather than follower. (d) In mixed-strategy equilibrium POP13 plays E with probability 7 / 9p = ;

. Similarly POP17 plays E with probability ( 50) ( 90)(1 ) ( 60) ( 55)(1 )p p p− + − − = − + − − p 8 / 9q = . Expected values are POP13: ( and POP17:

. 55)(8 / 9) ( 90) / 9 58.888− + − = −

( 50)(7 / 9) ( 90)(2 / 9) 58.888− + − = −

Question 2 (a) No. Offering 620 gives net present value ( 620) 228Vδ − = ; by offering 1020 one obtains . (b) The final pledge is at most 1020 20V − = − (1 ) 400V− δ = thus A cannot do better by offering less than in week 2; if for example A offers 619 in week 1, then B offers 1 in week 2 and A offers 400 in week 3.

2620 (1 ) 640V< −δ =

(c) In equilibrium with both players playing both strategies with positive probability one must have 30 30(1 ) ( 40) 0(1 ), 0.3 ; ( 30) 40(1 ) 30 0(1 ), 0.4q q q q q p p p p p− − = − + − = − + − = + − =thus payoff for player X is . (Add 60 to all payoffs, and the game becomes identical to DN p. 173.)

0,12 30 0.28 ( 40) 0.18 ( 30) 0 13⋅ + ⋅ − + ⋅ − + = −

(d)

114

Sp. 1 Sp. 2 Total1 60 40 1002 30 40 703 40 40 804 20 40 605 20 20 406 0 20 20

t

There will be a 60:40 split in period 1. (In period 3, one would have a 40:40 split.) Question 3 DN, chp. 6. 1) p. 149, 2) p. 151, 3) pp. 152-155, 4) pp. 157 and 165-167. Question 4

(a) 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 1212 209.1 206.7 204.6 202.9 201.3 200 198.8 197.8 196.8 196

XP

(b) Yes, ”selling” is a dominant strategy. (c) Selling is a dominant strategy for C. There are two equilubria: First, B and C are selling or secondly, A and C are selling.

__________________