Stefano HajekUniversità di Perugia

Contesto: ISVAP 577

Parte IV art. 16.1: “Per ciascuna delle fonti di rischio identificate dall’impresa come maggiormente significative sulla base dei processi di cui all’art. 15, l’impresa stessa è tenuta ad effettuare analisi prospettiche quantitative attraverso l’uso di stress test, per valutare l’impatto sulla sua situazione finanziaria di andamenti sfavorevoli dei fattori di rischio, singolarmente considerati o combinati in un unico scenario.”

Scenario Analysis WORKFLOW

Scenario Analysis OUTPUT

TOOLS

Interest rates

Volatility

Hedging

Distribution

Fitting

Stima della volatilità

Stima della volatilità

Interest rates modeling

Interest rates modeling

Distribution (frequency & severity) fitting

Distribution (frequency & severity) fitting

Fund rebalancing (Dynamic ALM)

Fund rebalancing (Dynamic ALM)

INTEREST RATES• “2.17 The observed data showed that in general higher

interest rates were associated with higher absolute changes in interest rates. The log-normal model exhibits this property and the calibration of the lognormal model appeared more robust than the normal model.

• 2.18 The log-normal model treats proportionate changes in interest rates as a log-normal process, so it has been assumed that the distribution of the n-year spot rate in 12 months is given by: R12(n) = R0(n)× eX , where x is distributed N(mn, sn

2)” – CEIOPS, QIS3 calibration paper, April 2007

INTEREST RATES

IN- Vettore Term Structure- Vettore Maturities- Vettore volatilità stimate

OUT- Matrice Forward Rates

INTEREST RATES

1,,'

,log,'log 1

ii ttWii

iiii

eTtrTtr

ttWTtrTtr

T

trTtrr

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TrtrTtr TtttTt

,0,0,

,,0,0

)( 1

12

121 vv

vv

vrvrvrvr

Processo lognormale per i tassi d’interesse con drift log r(t,T) e varianza (ampiezza

della perturbazione stocastica nell’intorno di log

r(t, T))

Drift determinato secondo il principio di non arbitraggio

Interpolazione lineare delle rilevazioni storiche mancanti

INTEREST RATES (HJM) tdzTtpTtvdtTtptrTtdp ,,,,,

tdzTtvTtv

trTtpd

,,

2

,,,ln

2

12

2121

,ln,ln,

TT

TtpTtpTTtf

tdz

TT

TtvTtvdt

TT

TtvTtvTTtdf

12

21

12

21

22

21

,,,,

2

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2

10

2

jijiii

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ji

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stmv

t

vvs

t

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tstmFF

12

2121

,ln,ln,

TT

TtpTtpdTTtdf

Processo per i tassi d’interesse

Applicando il lemma di Ito

Imponendo la condizione di non arbitraggio

Passando alla rappresentazione in tempo discreto

Sostituendo d ln[p(t,T)]

VOLATILITY

INVettore tassi di variazione storici

OUT- Vettore volatilità attese- Parametri modello- Statistiche accessorie

Variance Equation

C 0.0000 0.0000 3.1210 0.0018ARCH(1) 0.0772 0.0179 4.3046 0.0000

GARCH(1) 0.9046 0.0196 46.1474 0.0000

S.E. of regression 0.0083 Akaike info criterion -6.9186Sum squared resid 0.1791 Schwarz criterion -6.9118Log likelihood 9028.2809 Durbin-Watson stat 1.8413

VOLATILITY (GARCH)

unn21

21

2 1

uu

uu

nnn

nnn

21

22

22

2

21

22

22

2

1

11

u in

n

i

in 2

1

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2 1

00

0

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'

'

0

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f

y

fy

y

fm

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uv nn21

21

2

Il modello GARCH è sensibile alle più recenti dinamiche del tasso di variazione della serie storica su cui viene calibrato in quanto, ad ogni istante, incorpora un fattore correttivo della stima effettuata all’istante precedente: in pratica se il modello, ad esempio, tendesse mediamente a sovrastimare il dato, il termine correttivo risulterebbe pesato in modo tale da compensare tale sovrastima

Si dimostra semplicemente che tale formulazione equivale all’assunzione di una media mobile i cui termini sono pesati in misura esponenzialmente decrescente man mano che ci si allontana dal valore più recente:

Aggiungendo il termine di volatilità per il medio periodo:

La stima dei parametri è basata sul metodo iterativo di Newton

IN- Vettore frequenze osservate

OUT- Scalare parametri distribuzione- Scalare test Kolmogorov-Smirnov- Vettore Hill Plotting

Distribution Fitting (EVT)

Distribution Fitting (EVT)• Le distribuzioni di probabilità di impatto e frequenza

vengono ricondotte alle loro presunte forme archetipe, e per ciascuna forma vengono stimati i parametri per i quali la distribuzione meglio approssima i dati osservati.

Si suppoga ad esempio di dover stimare i parametri di una Pareto Generalizzata con funzione di densità

Per k≠0

Distribution Fitting (EVT)Consideriamo i momenti teorici della distribuzione:

Integriamo per sostituzione

Risolvendo rispetto ad e k:

Black & Scholes HEDGING

Offrire un minimo garantito ad un cliente equivale a vendergli una floor option e comporta per la compagnia la necessità di effettuare una copertura mediante la creazione di un portafoglio di replica; il valore di tale portafoglio è fornito dalle formule di Black & Scholes assieme alle quote di immunizzazione (da investire cioè in attività non rischiose)

IN- Scalare time horizon- Scalare minimo garantito- Scalare valore sottostante- Scalare interest rates- Scalare volatilità attesa- Scalare timestep

OUT- Scalare investment weight

Black & Scholes HEDGING

Black & Scholes HEDGING

Si consideri il prezzo di un’opzione secondo il modello Black & Scholes

Tale valore corrisponde a quello di un portafoglio con azioni per un valore di

ed obbligazioni per un valore di

Si calcoli il valore di un portafoglio costituito da un’opzione put ed un titolo sottostante