stato di tensione e di deformazione - politecnico di...

Comportamento meccanico dei materiali Stato di deformazione

© 2006 Politecnico di Torino 1

Stato di tensione e di deformazione

2

Stato di deformazione

Cinematica deformabile nel pianoCinematica deformabile nello spazioCinematica della rotazione rigida localeCinematica della deformazione pura localeSintesi di rotazione e deformazioneDirezioni principali Allungamento e rotazione Complementi: cinematica del corpo rigidoComplementi: moto rigido, asse di MozziComplementi: misure di allungamento




4

Campo di spostamenti (1/3)

PdP +P

Assi di riferimento 1,2,3Coordinate Xi =(X1, X2, X3) del punto prima dell’applicazione di , campo di spostamento,al punto

u

P

Coordinate xi =(x1, x2, x3) del punto dopol’applicazione di , campo di spostamentoPunto e punto a distanza infinitesima ( )P+dPP

uPd

P

u



5

Per meglio precisare i termini nel piano

Xi → coordinate di un punto prima di xi → coordinate di ⇒ dopo

Pπ

uuP


X2

Xi

x2

X1 , x1

xiPdP +

P

udu +π+π d

u

π

6

{ } { } { } udPdddudXdx +=π↔+=

{ } { } { } { } { } { }uPududPPd

uXduudXXxdxx

−−+++=π−π+π

−−+++=−+


X2

Xi

x2

X1 , x1

xi

P

udu +π+π d π

uPdP +



7

Se si sottrae la traslazione si mettono in evidenzarotazioni e variazioni di lunghezza: triangolo ( ,

, )

u

ud πdPd

X2x2

X1 , x1

PdP +

P

uud

πd

Pd

πd

Spostamenti relativi (1/4)

8

Se si sottrae si mettono in evidenza le relazioni tra gli spostamenti: triangolo ( , , ) …

Pd

X2x2

X1 , x1

PdP +

P

u

ud

πd

Pd

udu +ud

u udu + ud


…moto di P+dP relativo al punto di origine P



9

Nel moto nel piano si possono distinguere:

X2x2

X1 , x1

rotazione

PdP +

P

ud

πd

Pd

variazionedi lunghezza


10

La teoria viene sviluppata per :1Xdud<<

X2x2

rotazione

PdP +

P

ud

πd

XdPd ≡

variazionedi lunghezza

X1 , x1

o meglio, , infinitesima del 1° ordine0Xdud→





12


A noi però non interessa il comportamentodel singolo segmento, ma il comportamentodi tutti i segmenti infinitesimi originati dal

medesimo punto



13

dX3

dX1

dX2

Le componenti di :

PdP +Xd

du3

du1du2

ud

P

Xd

X2

X1

X3


14

33

1 dXX

u

∂

∂

11

1 dXX

u

∂

∂2

2

1 dXXu

∂∂

Le componenti di :1du

du1

PX2

X1

X3

Tensore dei gradienti di spostamento (1/7)

du3

du1du2



15

33

2 dXX

u

∂

∂

11

2 dXX

u

∂

∂

22

2 dXXu∂∂

P

du3

du1 du2


X2

X1

X3


16

33

3 dXX

u

∂

∂

11

3 dXX

u

∂

∂

22

3 dXXu∂∂

du3

du1 du2


PX2

X1

X3




17

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

3

2

1

3

3

2

3

1

33

2

2

2

1

23

1

2

1

1

1

3

2

1

dXdXdX

Xu

Xu

Xu

Xu

Xu

Xu

Xu

Xu

Xu

dududu


matrice del tensore dei gradienti di spostamento …

Moto di P+dP relativo al punto di origine P (quindi a meno della traslazione di P):u

18

…dove ogni riga corrisponde ad una delle figure precedenti. In particolare ogni riga:

contiene gli elementi che compongono:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

∂∂

∂∂

3

1

2

1

1

1Xu

Xu

Xu

33

1 dXX

u

∂

∂

11

1 dXX

u

∂

∂2

2

1 dXXu

∂∂

P




19

Mentre per il significato, ad esempio, della seconda colonna si veda la seguente figura:


P

22

3 dXXu∂∂

22

2 dXXu∂∂

22

1 dXXu

∂∂

X2

X1

X3

20


{ } { }dXdXdu

dXdXdX

Xu

Xu

Xu

Xu

Xu

Xu

Xu

Xu

Xu

dududu

duk

i

3

2

1

3

3

2

3

1

33

2

2

2

1

23

1

2

1

1

1

3

2

1

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

implica che se ⇒ . Inoltre:1Xdud<<1

Xu

k

i <<∂∂

{ } { } { } [ ] { }dXXu

1dXXu

dXdxk

i

k

i ⋅⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

+=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

+=



21

I termini sulla diagonale principale rappresentanouna variazione di lunghezza; infatti, ad esempio, la lunghezza del segmentodiventa, dopo la trasformazione, la lunghezza di:

{ } { }T2T 0,dX,0dX =

2

2

32

2

2

1

2

3

3

2

3

1

33

2

2

2

1

23

1

2

1

1

1

2 dX

Xu

Xu

1

Xu

0dX0

Xu

Xu

Xu

Xu

Xu

Xu

Xu

Xu

Xu

0dX0

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+

∂∂

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

+⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

Allungamento (1/2)

22

…il cui modulo è:

P

22

3 dXXu∂∂

22

2 dXXu

1 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+

22

1 dXXu

∂∂

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

+⋅≅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+ ∑2

22

S.O.I

k

2

2

k

2

22 X

u1dX

Xu

Xu

21dX

X2X1

X3

Allungamento (2/2)




24

PX2

X1

X3

I termini fuori della diagonale principale rappresentano rotazioni; si definirà ora la rotazione rigida

Tensore della rotazione rigida (1/10)



25

Condizioni:1 - affinché il moto sia rigido, segmenti presi su

una qualsiasi direzione uscente da un punto non devono cambiare lunghezza

2 - coppie di segmenti non devono cambiare l’angolo relativo, cosa che garantisce l’invarianza della distanza fra due punti qualsiasi presi nel volume


26

Condizione 1: nell’intorno del punto , i segmenti sui tre assi cartesiani devono subire spostamenti infinitesimi ortogonali agli assi

dX1 dX2

P321 X,X,X

dX3

P X2

X1

X3




27

… quindi, ad esempio, il segmentosi trasforma tramite i soli spostamenti:

{ }T2 0,dX,0

dX1

dX2

dX3

P

22

3 dXXu∂∂

22

1 dXXu

∂∂

0dXXu

22

2 =∂∂

X2

X1

X3


28

In generale, i segmenti sui tre assi si trasformano come segue, indicando per semplicitàdi notazione gli angoli , con: ikϕ

iik

k

u

X

∂ϕ =

∂

dX1

dX2

dX3

P32 2dXϕ

12 2dXϕ

23 3dXϕ13 3dXϕ

21 1dXϕ

31 1dXϕ X2

X1

X3




29

Il vettore iniziale: { } { }T321T dX,dX,dXdX =

diventa: { } { }T321T dx,dx,dxdx =

ovvero:

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

ϕϕϕϕϕϕ

+⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

3

2

1

3231

2321

1312

3

2

1

3

2

1

dXdXdX

00

0

dXdXdX

dxdxdx

Questo non definisce ancora una rotazione rigidaOccorre che (condizione 2) due direzioni qualsiasi ruotino senza cambiare l’angolo relativo


30

Affinché due direzioni qualsiasi ruotino senza cambiare l’angolo relativo, è necessario innanzitutto che segmenti posti sugli assi restino ortogonali dopo l’applicazione del campo degli spostamenti

{ } { } 1

31

211

1

1 dX1

dx00

dXdX ⋅

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

ϕϕ=→

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

{ } { } 2

32

12

222 dX1dx0

dX0

dX ⋅⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

ϕ

ϕ=→

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=




31

Ovvero:

E in generale:

{ } { } ( ) 21323121122T1 dXdXdxdx0 ⋅⋅ϕϕ+ϕ+ϕ==

( ) 212112 dXdXS.O.I ⋅⋅+ϕ+ϕ≅

2112 ϕ−=ϕ

kiik ϕ−=ϕ

L’ortogonalità implica nullità del prodotto scalare:


32

Tenendo conto delle convenzioni usuali sugli angoli, si assegnano i nomi:

321 ω=ϕ

213 ω=ϕ

132 ω=ϕ13ϕ

32ϕ

21ϕ

X2

X1

X3


P



33

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

ωω−ω−ωωω−

+⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

3

2

1

12

13

23

3

2

1

dXdXdX

00

0

100010001

dxdxdx

la matrice a destra, antisimmetrica, contiene angoli che forniscono gli spostamenti della rotazione rigida dei tre assi cartesiani: tensore della rotazione rigida

Perciò:

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

ϕϕϕϕϕϕ

+⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

3

2

1

3231

2321

1312

3

2

1

3

2

1

dXdXdX

00

0

dXdXdX

dxdxdx


34

{ } { }21 dXedX

Si dimostra ora che ciò è sufficiente per la rotazione rigida di qualsiasi segmento per ; infatti dati due segmenti:

il prodotto scalare:

{ } [ ] [ ][ ] { }{ } [ ] [ ][ ] { }22

11

dX1dx

dX1dx

ω+=

ω+=

{ } { } { } [ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ] { }

{ } [ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ]{ }

{ } { }1T2

1TTT

2

1TT

22T1

dXdX

dX1dX

dX11dXdxdx

=

=ωω+ω+ω+=

=ω+ω+=

0 I.O.S.

Rotazione rigida del volume locale (1/2)

P



35

Il fatto che:

per qualsiasi scelta di implica che non è variato il modulo:

né è variato l’angolo:

{ } { } { } { }1T22

T1 dXdXdxdx =

{ } { }1T2 dXdX

{ } { } { } { } { } { }( )1T11

T112 dXdXdxdx,dXdXper ==

{ } { }( )12 dXdXprenderebasta =

Rotazione rigida del volume locale (2/2)

C.V.D

36

Due successive rotazioni rigide:

Calcoliamo questo prodotto trascurando gli infinitesimi di ordine superiore:

[ ] [ ]'1 ω+[ ] [ ]''1 ω+

Prima:Seconda:Ovvero:

[ ] [ ] [ ][ ] { }dX'''1 ω+ω+

[ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ] { }dX'1''1 ω+⋅ω+

La rotazione è un vettore (1/5)



37

valida per le rotazioni infinitesime, e quindi, dividendoper il tempo, anche per le velocità angolari

In conclusione, l’applicazione delle due rotazioni successive è commutativa, e a meno di infinitesimi di ordine superiore, le rotazioni sono additive; la:

[ ] [ ] [ ]'''1 ω+ω+

è la matrice della rotazione rigida complessiva

Allora vale la proprietà commutativa:

[ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ]''1'1'1''1 ω+ω+=ω+ω+


38

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

ωωω

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

3

2

1

12

13

23

3

2

1

0dXdXdX0dXdXdX0

dududu

Questo suggerisce il carattere vettoriale di ω⎡ ⎤⎣ ⎦

Si noti che al posto di:

si potrebbe anche scrivere:

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡


=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

3

2

1

12

13

23

3

2

1

dXdXdX

00

0

dududu




39


{ } [ ]{ } [ ]{ } ω∧−≡ω−=∧ω≡ω= XddXXddXdu

{ } { }{ }

{ }du prodottotrasformazionedu "esterno" tensoriale

dx dX ω dX dx dX ω dX− = ⇒ − = ∧⎡ ⎤⎣ ⎦

In conclusione, la commutatività, l’additività e il fatto che nella matrice di rotazione rigida compaiano solo tre componenti angolari, consentono di dare al tensore della rotazione rigida un carattere vettoriale. Da qui nasce il vettore della rotazione , che trasforma un segmento fornendo gli spostamenti relativi alla sua origine:

{ } XddX ≡ω

40

13ϕ

32ϕ

21ϕ

X2

X1

X3

1ω 2ω

3ω




41

Il prodotto scalare di su è:, ovvero:

Direzione dello spostamento (1/4)

{ } [ ]{ }dXdu ω= { }dX{ } [ ]{ }dXdX T ω

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡


⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

ω−

ω

ω+

+ω−

ω−

−ω

00

0

dX

dX

dX

dX

dX

dX

12

13

23

21

12

31

13

32

23{ }321 dXdXdX

42


quindi ortogonalità!

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

ω−

ω

ω+

+ω−

ω−

−ω

21

12

31

13

32

23

dX

dX

dX

dX

dX

dX

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

3

2

1

dXdXdX

( )0

Cioè si ritrova che lo spostamento di è ortogonale a . Più in generale,il prodotto è ortogonale a

{ }dX{ }Xd{ } [ ]{ }dXdu ω=

[ ]{ }dXω { }dX



43

Il prodotto scalare di su è:; il prodotto :

{ } [ ]{ }dXdu ω= { }ω{ } [ ]{ }dXT ωω

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡


⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

ωω−

ωω

ωω+

+ωω−

ωω−

−ωω

00

0

12

13

23

21

12

31

13

32

23{ }321 ωωω

{ } [ ]ωω T

cioè: . Pertanto , ovvero,è ortogonale a

{ }000 { } [ ]{ } 0dXT =ωω{ } [ ]{ }dXdu ω= { }ω


44

In conclusione:

è ortogonale a , [ ]{ }dXω { }dX

è ortogonale a ,

quindi è ortogonale al piano definito da e

[ ]{ }dXω { }ω

{ }dX { }ω

{ }ω

[ ]{ }dXω

{ }dXP




45

Inoltre: si verifichi che , cioè che applicarela rotazione a un vettore parallelo a stessa:

[ ] { }( )ωλω[ ]ω { }ω[ ] { }( ) [ ]{ } { }0=ωωλ=ωλω

{ }ω

{ }dX{ }tdX

Quindi, nel piano ( , ) la componente di

ortogonale a , , è la sola a fornire prodotto

non nullo,

{ }dX { }ω { }dX

{ }ω { }tdX

[ ]{ } [ ] { } { }( ) [ ]{ }tt dXdXdXdX ω=+ω=ω ω

{ }ωdX

Valore dello spostamento (1/3)

46

In assi (a,b,c), tali che stia su “a” e su “b”:{ }ω { }tdX

{ }ω

{ }dX { }tdX

a

b

[ ]{ }⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

ω=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

ωω−=ω

t

tdX00

0dX0

0000

000dX




47

{ }ω

{ }t

0dX 0

dX

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎡ ⎤ = ⎨ ⎬⎣ ⎦ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

ωω{ }dX

P { }tdXa

b

c

In vista assonometrica:





49

Xi → coordinate di un punto prima di xi → coordinate di ⇒ dopo

Pπ

uuP

Campo degli spostamenti relativi (1/3)

X2

Xi

x2

X1 , x1

xiPdP +

P

udu +π+π d

u

π

( ) ( )uduPdPd +++≡π+π

50

{ } { } { } { } { } { }dudXdxuXx =−⇒=−

Dato il campo di spostamento si può anche dire che ogni coordinata iniziale X si trasforma nella coordinata finale x; differenziando si ottiene la relazione tra incrementi di coordinate:

u

{ } [ ]{ }dXJdu =

dove è un tensore, perché stabilisce una relazionebivettoriale

[ ]J

dove:

Campo degli spostamenti relativi(2/3)



51

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

3

2

1

3

3

2

3

1

33

2

2

2

1

23

1

2

1

1

1

3

2

1

dXdXdX

Xu

Xu

Xu

Xu

Xu

Xu

Xu

Xu

Xu

dududu

Campo degli spostamenti relativi(3/3)

matrice del tensore dei gradienti di spostamento

: moto di P+dP relativo al punto di P (quindi a meno della traslazione di P):u{ }du

52

È sempre possibile assoggettare un tensore alla seguente trasformazione:

(salvo naturalmente interrogarsi sul suo significato fisico)

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ][ ]

[ ] [ ][ ]antisimm

T

simm

T

TT

J21J

21J

21J

21

J21

J21

J21

J21

J

−++

=−++=

0

Decomposizione del campo



53

Dove la parte antisimmetrica:

ha la struttura della matrice di rotazione rigida; viene indicata con il simbolo …

1 2

2 1

2 1

1 2

1 u u0 ......

2 X X

1 u uantisimm 0 ......

2 X X

...... ...... 0

⎡ ⎤⎛ ⎞∂ ∂ ⎟⎜⎢ ⎥− ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥⎟⎜ ∂ ∂⎝ ⎠⎢ ⎥⎢ ⎥⎛ ⎞∂ ∂⎢ ⎥⎟⎜⎡ ⎤ = − ⎟⎜⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎟⎟⎜ ∂ ∂⎝ ⎠⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

[ ]ω

Rotazione rigida (1/3)

54

dX1

dX2

dX3

P

12

2

udX

X∂∂

X2

X1

X3

21

1

udX

X∂∂

… in quanto, ad esempio, le componenti sul piano 1-2 nascono da:




55

3ω

… e in:producono la componente della rotazione rigida

[ ] { }dXω

dX1

dX2

dX3

PX2

X1

X3

1

2

u(

X∂

−∂

2

1

u)

X∂∂ 2dX

21

2

1

u(

X∂

−∂

1

2

u)

X∂∂ 1dX

21

3ω


56

La parte antisimmetrica ci è, quindi, già nota.La parte simmetrica:

viene indicata con il simbolo:

1 1 2

1 2 1

1 2 2

2 1 2

3

3

u 1 u u......

X 2 X X

1 u u usimm ......

2 X X X

u...... ......

X

⎡ ⎤⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ⎟⎜⎢ ⎥+ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥⎟⎜∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎢ ⎥⎢ ⎥⎛ ⎞∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎟⎜⎡ ⎤ = + ⎟⎜⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎟⎟⎜ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎢ ⎥⎢ ⎥

∂⎢ ⎥⎢ ⎥

∂⎢ ⎥⎣ ⎦

Deformazione (1/3)

[ ]ε



57

dX1

dX2

dX3

P 22

2

udX

X∂∂X2

X1

X3

Ad esempio, le componenti sul piano 1-2 nascono da:

12

2

udX

X∂∂2

11

udX

X∂∂1

11

udX

X∂∂

Deformazione (2/3)

58

…e in:le componenti angolari sono:

[ ] { }dXε

dX1

dX2

dX3

PX2

X1

X3

1

2

u(

X∂

+∂

2

1

u)

X∂∂ 2dX

21

2

1

u(

X∂

+∂

1

2

u)

X∂∂ 1dX

21

Deformazione (3/3)

12

12γ

12

12γ




60

La teoria viene sviluppata per ⇒1Xdud<< 1

Xu

k

i <<∂∂

Riassumendo

essendo antisimmetrica rappresenta la “rotazione rigida”

[ ]ω

per differenza rappresenta una “deformazione pura”

[ ]ε

Sintesi di rotazione e deformazione (1/3)

La “deformazione pura”, o semplicemente deformazione” significa una variazione di forma senza una rotazione rigida “media”



61

Osservando, per semplicità il solo piano ( ),il moto locale più generale è sempre somma di una rotazione rigida e una deformazione:

21 X,X

X2x2

X1 , x1

3ω

= + P P P


12

12γ

62

11 12 13

12 22 23

13 23 33

1 12 2

1 12 21 12 2

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎡ ⎤ = ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

ε γ γ

ε γ ε γ

γ γ ε

Riassumendo, il tensore della deformazione pura

iii

i

j kjk

k j

dudXdu dudX dX

=

= +

ε

γ

perché si vuole dare rilievo alla variazione totale dell’angolo interno

21


..90 γ−

.... 21γ=ϕ



63X1

Nota 1

I moti di rotazione e deformazione sono moti (assunti ora come infinitesimi) relativi al punto P, che può essere dotato di uno spostamentoqualsiasi, infinitesimo o finito:

{ }u

O

X3

X2

P

{ }u

P

64

Se si assume che i gradienti:

Nota 2

1Xu

k

i <<∂∂

i moti di rotazione e deformazione sono ambeduemoti infinitesimi relativi al punto P; si possono però avere rotazioni finite e deformazioni infinitesime:X2x2

X1 , x1P P P

= +




66

Rispetto a un osservatore che trasli di con il punto P, e che ruoti rigidamente di con l’elemento infinitesimo dei materia, la parte di spostamento relativo determinato dalla sola deformazione pura:

ha, data la simmetria del tensore , sempre tre direzioni principali…

{ } [ ] { }dXdu ⋅ε=

u[ ]ω

[ ]ε

Esistenza delle direzioni principali (1/4)



67

Xd

ud

X2x2

P

X1 , x1

{ } [ ] { } { }dXdXdu λ=⋅ε=

[ ] [ ][ ]{ } { }0dX1 =λ−ε

…che si trovano imponendo il parallelismo tra e :

udXd


68

che ammette tre autovalori reali e tre autovettori fra loro ortogonali per via della simmetria di [ ]εEsiste allora una terna cartesiana i cui segmenti materiali posti sugli assi si limitano a cambiare di lunghezza, ma non si spostano(Ecco il senso della “rotazione rigida nulla”)

Questi assi sono gli assi principali delladeformazione

[ ] [ ][ ] 01det =λ−ε…e da quest’ultima:




69

X2x2

X1 , x1

1

2

In assi principali (1,2):





71

Indipendentemente dagli assi di riferimento, indicato con il versore che dà la direzione del segmento :

dXnε

dXnϕ≅

xd

Xd

ud

n

n

in un piano individuato dai vettori e : xdXdXd

nϕ

P

Allungamento e rotazione: definizioni

72

dXnε

dXnϕ≅

xd

Xd

n

nϕ

( )

( ) .S.O.IdimenoadXdX

)1(dX

tg)1(dX

nnnn

nn

nn

ϕ≅ϕε+ϕ=

=ϕε+≅

=ϕε+=

P

Approssimazioni della rotazione



73

dXnε

dXnϕ

xd

Xd

ud

n

{ } [ ] { } { } [ ] { }nnndX

dX TT

n ε=⋅ε=ε

A) { } { } { } [ ] { }ndXndunuddX TTn ε==⋅=ε

P

Calcolo di allungamento e rotazione(1/3)

74

dXnε

dXnϕ

xd

Xd

ud

n

B) ( ) ( ) 22n

2n uddXdX =⋅ϕ+⋅ε

{ } [ ] [ ] { }

{ } [ ] [ ] { }nn

dX

dXdX

dX

ud

T

2

T

2

22

n2

n

εε=

=εε

==ϕ+ε

P




75

La struttura è uguale a quella vista per le tensioni in coordinate principali:nn,,t τσ

233

222

211n nnn ⋅ε+⋅ε+⋅ε=ε

233

222

211

2n

2n nnn ⋅ε+⋅ε+⋅ε=ϕ+ε

23

22

21 nnn1 ++=

da cui, come più in generale per tutte le forme quadratiche, si deducono le proprietà già studiate e visualizzate tramite i cerchi di Mohr





77

dX1

dX2

dX3

P

2122

3 dXdXXu

ω=∂∂

X2

=ω=∂∂

12

3Xu

costante

Se il corpo è tutto rigido, le rette ruotano rigidamente, le rotazioni locali sono costanti e uguali ovunque:

Rotazione del corpo rigido (1/2)

78

…allora:

cioè basta ingrandire tutto proporzionalmente epassare al finito:

{ } { } [ ]{ } 'PPX;XXx =∆∆ω=∆−∆

{ }X∆

{ }ω

[ ]{ }X∆ω

P

P’

21X

21X

21X

22

3 XdXdXdXXu

∆ω=ω=ω≡∂∂

∫∫∫∆∆∆

Rotazione del corpo rigido (2/2)



79

Quando succede che un vettore resti parallelo a se stesso?

implica: [ ] [ ][ ] { } [ ]{ }X1X1 ∆λ=∆⋅ω+

( ) ( ) ( )[ ] 011 23

22

21

2 =ω+ω+ω+λ−λ−

01

11

det

12

13

23=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

λ−ωω−ω−λ−ωωω−λ−

ovvero:

{ } { } [ ]{ } { }XXXx ∆λ=∆ω+∆=∆

Autovalori della rotazione rigida (1/3)

80

quindi , unica radice reale,

perché:

non ammette mai radici reali; per questa:

⇒=λ− 01 λ=1

( ) ( )23

22

21

21 ω+ω+ω−=λ−

…la cui soluzione è ovviamente:

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

∆∆∆

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡


000

XXX

00

0

3

2

1

12

13

23




81

Che è soddisfatta solo quando è parallelo a { }X∆ { }ω

{ }X∆{ }ω [ ]{ } 0X =∆ωP

P’


82

Se le rotazioni infinitesime in vengono diviseper il tempo dt in cui hanno luogo, assume ilsignificato di velocità angolare, e il significato di velocità lineare

{ }ω{ }ω

{ }{ }X∆ω

Procedendo in questo modo si ritrovano perl’applicazione di a tutte le proprietàcinematiche del prodotto vettoriale cioè la cinematica del corpo rigido

[ ]ω { }X∆X∆∧ω

Spostamenti e velocità angolari




84

Ricordiamo che è la velocità di P’ relativa a P

e che ha lo stesso valore per tutti i punti con uguale

[ ]{ }dXω

{ }ω

[ ]{ }X∆ω

{ }X∆P { }tX∆a

b

c

P’

P’’P’’’P’’’’

{ }tdX

Moto rigido relativo



85

Se è data anche la velocità di P, , di componentesecondo l’asse e sul piano (b,c):

Pv

[ ]{ }X∆ω

{ }X∆P { }tX∆

b

c

P’

Pv

il moto totale di P’ è: [ ]{ }Xvv P'P ∆ω+=

a,Pv

bc,Pv

a,Pv { }ω bc,Pv

{ }ωa

Moto rigido totale

86

c

bbc,Pv

{ }tX∆

In vista sul piano parallelo al piano (b,c) e passante per P’:

P’

[ ]{ }X∆ω [ ]{ }tX∆ω=

Determinazione dell’asse di Mozzi (1/4)



87

{ }tX∆

Tutti i punti P’’ a distanzacostante da P hanno

uguale modulo della velocità

c

bP’{ }tX∆P

p

p

P’’

{ }tX∆

[ ]{ }X∆ω [ ]{ }tX∆ω=

[ ]{ }tX∆ω

pp asse di PP’’


88

Tutti i punti di un asse per M, e parallelo all’asse “a” di , hanno nulla la velocità parallela al piano (b,c):

ω

+− bc,Pv bc,Pv

c

b

bc,Pv

P’

bc,Pv−

bc,Pv

{ }tX∆

M

{ }MX∆

P

m

m

mm ⊥ bc,Pv


=0



89

cωω

P

b

a,Pv

{ }ωa

M

{ }MX∆a,Pv

ωM’

M’’M’’’

Ogni corpo rigido ruota attorno a un asse per M e parallelo a che contemporaneamente trasla lungo se stesso con velocità : asse di Mozzi

{ }ωa,Pv





91

dXnε

dXnϕ

xd

Xd

ud

n

{ } [ ] { }nn Tn ε=ε

xd Xd

dXedXdx n=−

I dispositivi che misurano gli allungamenti sono solidali alla materia e perciò seguono il segmento

. Perciò l’allungamento misurato vale:dxdX →

P

Misura di allungamento

92

Quale relazione esiste tra ed ?ne nε

{ } { } [ ]{ }{ }du

dXdXdx ε+=

{ } { } { } { } { } { }dX

TTT

n

dundXndxn⋅ε

+=

{ } { } { } { }n

TTdXdXn

dXdxn ε+=

{ } { } { }( )n

TdX

dXdxn ε=

−

equazione vettoriale

proiettata su

divisa per

da elaborare ulteriormente

{ }n

dX

Relazione tra misura e deformazione(1/2)



93

{ } { } ( ) dx....1dxcosdxdxn 2n

T ≅+ϕ−⋅≅ϕ⋅=

nn edX

dXdx=

−≅ε⇒

al primo ordine; mentre:

{ } { } dXdXn T =

dXnε

dXnϕ

xd

Xd

ud

n

nϕ

P

Relazione tra misura e deformazione(2/2)

94

Se si misurano le su tre direzioni (a, b, c) giacenti sulla superficie di un componente meccanico (ortogonale all’asse z)

nne ε≅

x

z

y

a b

c

{ }an { }bn

{ }cn

Risoluzione della deformazione piana (1/3)



95

{ }

i,yi,xxy2

i,yyy2

i,xxx

i

y

x

zzyzxz

yzyyxy

xzxyxx

iyxi,n

nnnn

0nn

21

21

21

21

21

21

0nn

⋅⋅γ+⋅ε+⋅ε=

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧⋅

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

εγγ

γεγ

γγε

⋅=ε

Per ciascuna delle i=(a, b, c):


96

dove ovviamente gli sono noti a priorii,yi,x n,nQuindi, si risolve rispetto a xyyyxx ,, γεε

Quindi per le tre misure:


⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⋅⋅γ+⋅ε+⋅ε=

⋅⋅γ+⋅ε+⋅ε=

⋅⋅γ+⋅ε+⋅ε=

c,yc,xxy2

c,yyy2

c,xxxc,n

b,yb,xxy2

b,yyy2

b,xxxb,n

a,ya,xxy2

a,yyy2

a,xxxa,n

nnnne

nnnne

nnnne

stato di tensione e di deformazione - politecnico di...

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