statisztikai alapfogalmak, becsl eselm eletcs.bme.hu/~pricsi/stat/lec1_0903.pdf · statisztikai...

Statisztikaialapfogalmak,becsleselmelet

Bevezeto afelevrol

Statisztikaialapfogalmak

Statisztikak

Alapstatisztikak

Rendezett mintastatisztikai

Parameter

Becslesek

Peldak

Maximum likelihoodbecsles

Momentumokmodszere

Intervallumbecslesek

Statisztikai alapfogalmak, becsleselmelet

Matematikai statisztikaGazdasaginformatikus MSc

1. eloadas2018. szeptember 3.

Bevezeto afelevrol

Statisztikak

Alapstatisztikak

Parameter

Becslesek

Peldak

Momentumokmodszere

Bevezeto a felevrol - Eloado, hely, ido etc.

• Eloado: Vizer Mate (email: [email protected])

• Eloadasok ideje/helye: H 10.15-13 (10.15-11.45 & 12.00-12.45),QBF11

• Fogadoora: eloadas utan (elozetes emaillel)

• Gyak. vez.: Palincza Richard (email: [email protected])

• Gyakorlatok ideje/helye: CS 10.15-12, QBF10

Bevezeto afelevrol

Statisztikak

Alapstatisztikak

Parameter

Becslesek

Peldak

Momentumokmodszere

Bevezeto a felevrol - Eloado, hely, ido etc.

• Eloado: Vizer Mate (email: [email protected])

• Eloadasok ideje/helye: H 10.15-13 (10.15-11.45 & 12.00-12.45),QBF11

• Fogadoora: eloadas utan (elozetes emaillel)

• Gyak. vez.: Palincza Richard (email: [email protected])

• Gyakorlatok ideje/helye: CS 10.15-12, QBF10

Bevezeto afelevrol

Statisztikak

Alapstatisztikak

Parameter

Becslesek

Peldak

Momentumokmodszere

Bevezeto a felevrol - Targykovetelmenyek

A targybol szobeli vizsga lesz a vizsgaidoszakban. A vizsgazasfeltetele a gyakorlati alaıras megszerzese, melyet 1 db hazifeladatbeadasaval lehet megszerezni a felev folyaman.

• A hazifeladatokat (elore lathatoan) a november 12-i heten osztjukki es a szorgalmi idoszak utolso napjaig (december 7.) lehet beadni.A hazifeladat egy ”komplex elemzes” vegrehajtasa egy adatsoron.

• A vizsgan az eloadason elhangzottakat kell tudni.

Bevezeto afelevrol

Statisztikak

Alapstatisztikak

Parameter

Becslesek

Peldak

Momentumokmodszere

Bevezeto a felevrol - Targykovetelmenyek

A targybol szobeli vizsga lesz a vizsgaidoszakban. A vizsgazasfeltetele a gyakorlati alaıras megszerzese, melyet 1 db hazifeladatbeadasaval lehet megszerezni a felev folyaman.

• A hazifeladatokat (elore lathatoan) a november 12-i heten osztjukki es a szorgalmi idoszak utolso napjaig (december 7.) lehet beadni.A hazifeladat egy ”komplex elemzes” vegrehajtasa egy adatsoron.

• A vizsgan az eloadason elhangzottakat kell tudni.

Bevezeto afelevrol

Statisztikak

Alapstatisztikak

Parameter

Becslesek

Peldak

Momentumokmodszere

Bevezeto a felevrol - Adminisztratıv ugyek

• a targy honlapja: http://www.cs.bme.hu/~pricsi/stat.html,ide felkerulnek az eloadas slidejai (+ utemterv, tablazatok etc.)

• ajanlott irodalom:

1. Ketskemety - Pinter: Matematikai statisztika jegyzet(http://www.szit.bme.hu/~kela/stat.pdf)

2. Ketskemety - Izso - Konyves Toth: Bevezetes az IBM SPSSStatistics programrendszerbe

3. Bolla - Kramli: Statisztikai kovetkeztetesek elmelete

Bevezeto afelevrol

Statisztikak

Alapstatisztikak

Parameter

Becslesek

Peldak

Momentumokmodszere

Bevezeto a felevrol - Adminisztratıv ugyek

• a targy honlapja: http://www.cs.bme.hu/~pricsi/stat.html,ide felkerulnek az eloadas slidejai (+ utemterv, tablazatok etc.)

• ajanlott irodalom:

1. Ketskemety - Pinter: Matematikai statisztika jegyzet(http://www.szit.bme.hu/~kela/stat.pdf)

2. Ketskemety - Izso - Konyves Toth: Bevezetes az IBM SPSSStatistics programrendszerbe

3. Bolla - Kramli: Statisztikai kovetkeztetesek elmelete

Bevezeto afelevrol

Statisztikak

Alapstatisztikak

Parameter

Becslesek

Peldak

Momentumokmodszere

Bevezeto a felevrol - Valoszınusegszamıtasatismetlese

• Elso gyakorlaton a fobb fogalmak atismetlese (valoszınusegi mezo,valoszınusegi valtozo, suruseg- es eloszlasfuggveny, varhato ertek(momentumok), fuggetlenseg, nevezetes (diszkret es folytonos)eloszlasok)

• Vetier Andras jegyzete http://math.bme.hu/~vetier/051360_

Vetier_Valoszinusegszamitas.pdf

Bevezeto afelevrol

Statisztikak

Alapstatisztikak

Parameter

Becslesek

Peldak

Momentumokmodszere

Bevezeto a felevrol - Valoszınusegszamıtasatismetlese

• Elso gyakorlaton a fobb fogalmak atismetlese (valoszınusegi mezo,valoszınusegi valtozo, suruseg- es eloszlasfuggveny, varhato ertek(momentumok), fuggetlenseg, nevezetes (diszkret es folytonos)eloszlasok)

• Vetier Andras jegyzete http://math.bme.hu/~vetier/051360_

Vetier_Valoszinusegszamitas.pdf

Bevezeto afelevrol

Statisztikak

Alapstatisztikak

Parameter

Becslesek

Peldak

Momentumokmodszere

(Elozetes) attekintes a felevrol - cımszavakban

• Statisztikai alapfogalmak, becsleselmelet

• Hipotezisvizsgalat (parameteres/ nem parameteres)

• Varianciaanalızis

• Regresszioanalızis

• Faktor- es fokomponensanalızis

• Adatredukcio

• Idosorok

• Mintavetelezes, kerdoıvek keszıtese

Bevezeto afelevrol

Statisztikak

Alapstatisztikak

Parameter

Becslesek

Peldak

Momentumokmodszere

Statisztikai alapfogalmak - Mi a statisztika?

• ”A statisztika a matematika azon aga, melynek alapfeladata az,hogy a politikus kezebe olyan eszkozt adjon, mellyel tetszolegesallıtas es annak ellentete is tudomanyos alapon igazolhato.”(ismeretlen forras)

• A vilag szamszerusıtheto tenyeinek szisztematikus osszegyujtese esazok elemzese.

Feladat, cel: a tapasztalati adatokbol az informaciok kinyerese,statisztikai torvenyszerusegek feltarasa, kovetkeztetesek levonasa esfelhasznalasa. Modellepıtes, parameterbecsles, kovetkeztetesek,hipotezisek vizsgalata.

Bevezeto afelevrol

Statisztikak

Alapstatisztikak

Parameter

Becslesek

Peldak

Momentumokmodszere

Bevezeto afelevrol

Statisztikak

Alapstatisztikak

Parameter

Becslesek

Peldak

Momentumokmodszere

Bevezeto afelevrol

Statisztikak

Alapstatisztikak

Parameter

Becslesek

Peldak

Momentumokmodszere

Statisztikai alapfogalmak - Pelda

Bevezeto afelevrol

Statisztikak

Alapstatisztikak

Parameter

Becslesek

Peldak

Momentumokmodszere

Statisztikai alapfogalmak - Sokasag, populacio

Sokasag, populacio: A vizsgalat targyat kepezo (altalabannagyszamu) egyedek halmaza, amit le szeretnenk ırni bizonyostulajdonsagaik alapjan.

Pelda sokasagokra:

• Magyarorszag osszes lakasa

• Magyaroszag TV nezoinek halmaza

• Europa osszes ervenyes forgalmival rendelkezo autojanak halmaza

• Egy egyetemi kar hallgatoinak halmaza

Bevezeto afelevrol

Statisztikak

Alapstatisztikak

Parameter

Becslesek

Peldak

Momentumokmodszere

Statisztikai alapfogalmak - Sokasag, populacio

Sokasag, populacio: A vizsgalat targyat kepezo (altalabannagyszamu) egyedek halmaza, amit le szeretnenk ırni bizonyostulajdonsagaik alapjan.

Pelda sokasagokra:

• Magyarorszag osszes lakasa

• Magyaroszag TV nezoinek halmaza

• Europa osszes ervenyes forgalmival rendelkezo autojanak halmaza

• Egy egyetemi kar hallgatoinak halmaza

Bevezeto afelevrol

Statisztikak

Alapstatisztikak

Parameter

Becslesek

Peldak

Momentumokmodszere

Statisztikai alapfogalmak - minta 1.

Minta realizaltja: A populacio (altalaban kis elemszamu)reszhalmazara vonatkozo adataink osszessege. (ismerv)

Eset: 1 elemre vonatkozo adatok.

Mintaelemszam: A minta realizaltja hany elemre vonatkozo adatottartalmaz.

Valtozo: A populacio egy (merheto) jellemzoje.

Adatmatrix: n × p-es matrix, amiben az n darab elemre vonatkozoadataink osszesseget taroljuk. (sorai= esetek, oszlopai= valtozok)

Bevezeto afelevrol

Statisztikak

Alapstatisztikak

Parameter

Becslesek

Peldak

Momentumokmodszere

Bevezeto afelevrol

Statisztikak

Alapstatisztikak

Parameter

Becslesek

Peldak

Momentumokmodszere

Bevezeto afelevrol

Statisztikak

Alapstatisztikak

Parameter

Becslesek

Peldak

Momentumokmodszere

Bevezeto afelevrol

Statisztikak

Alapstatisztikak

Parameter

Becslesek

Peldak

Momentumokmodszere

Bevezeto afelevrol

Statisztikak

Alapstatisztikak

Parameter

Becslesek

Peldak

Momentumokmodszere

Statisztikai alapfogalmak - Adatmatrix

Bevezeto afelevrol

Statisztikak

Alapstatisztikak

Parameter

Becslesek

Peldak

Momentumokmodszere

Statisztikai alapfogalmak - valtozok

• Peldak valtozokra:

1. Magyarorszag osszes lakasa: negyzetmeter, ar, tegla/panel,komfortfokozat

2. Magyaroszag TV nezoinek halmaza: kor, nem, fizetes, tevezesseltoltott idoetc.

Valtozok lehetnek:• mennyisegi = szamszeruen merheto mennyiseg• minosegi = szamszeruen nem merheto (nem, foglalkozas etc.)

1 nevleges = szamok kotetlen hozzarendelese (pl ferfi=1, no=2)2 sorrendi/ordinalis = rangsor (pl filmek/fagylaltok etc. kozottmelyik mennyire tetszik)3 kulonbsegi = onkenyes nullpont (pl homerseklet etc.)4 aranyskala = valodi nullpont, azaz arany stb szamolhato (plhosszusag, jovedelem etc.)

Bevezeto afelevrol

Statisztikak

Alapstatisztikak

Parameter

Becslesek

Peldak

Momentumokmodszere

Bevezeto afelevrol

Statisztikak

Alapstatisztikak

Parameter

Becslesek

Peldak

Momentumokmodszere

Bevezeto afelevrol

Statisztikak

Alapstatisztikak

Parameter

Becslesek

Peldak

Momentumokmodszere

Statisztikai alapfogalmak - adatok abrazolasa

Pont-, es vonaldiagram

Bevezeto afelevrol

Statisztikak

Alapstatisztikak

Parameter

Becslesek

Peldak

Momentumokmodszere

Statisztikai alapfogalmak - mintavetelezes

Mi varnank el? A ”reprezentatıv” legyen. ”Mint a cseppben atenger.”

• A populacio minden egyes elemenek ugyanakkora eselyt kellbiztosıtani a mintaba keruleshez.• A minta elemszamanak eleg nagynak kell lennie ahhoz, hogy akovetkezteteseink atvihetok lehessenek a populaciora is.

Mintavetelezesi eljarasok:

• cenzus (nincs eroforras)• retegzett mintavetelezes: vannak informacioink, hogy az egeszpopulacioban adott tulajdonsag hogy alakul es ezt a mintaban ismegtartjuk.• veletlen kıserlet

Bevezeto afelevrol

Statisztikak

Alapstatisztikak

Parameter

Becslesek

Peldak

Momentumokmodszere

Bevezeto afelevrol

Statisztikak

Alapstatisztikak

Parameter

Becslesek

Peldak

Momentumokmodszere

Bevezeto afelevrol

Statisztikak

Alapstatisztikak

Parameter

Becslesek

Peldak

Momentumokmodszere

Statisztikai alapfogalmak - matematikai modell 1.

• populacio = Ω

• tulajdonsag = valoszınusegi valtozo X : Ω→ Rp

• statisztikai minta = X1,X2,...,Xn teljesen fuggetlen, X -szel azonoseloszlasu valoszınusegi valtozo.

!gyakorlati alkalmazasokban n darab szam (p-es), a matematikaimodellben n teljesen fuggetlen valvaltozo!

Lehetseges cel: peldaul adott lehetseges eloszlascsaladbol eldonteni,hogy melyik all legkozelebb a valodi eloszlashoz.

Bevezeto afelevrol

Statisztikak

Alapstatisztikak

Parameter

Becslesek

Peldak

Momentumokmodszere

• populacio = Ω

• tulajdonsag = valoszınusegi valtozo X : Ω→ Rp

• statisztikai minta = X1,X2,...,Xn teljesen fuggetlen, X -szel azonoseloszlasu valoszınusegi valtozo.

!gyakorlati alkalmazasokban n darab szam (p-es), a matematikaimodellben n teljesen fuggetlen valvaltozo!

Lehetseges cel: peldaul adott lehetseges eloszlascsaladbol eldonteni,hogy melyik all legkozelebb a valodi eloszlashoz.

Bevezeto afelevrol

Statisztikak

Alapstatisztikak

Parameter

Becslesek

Peldak

Momentumokmodszere

Legyen (X ,F) egy merheto ter es legyen P valoszınusegi mertekekegy halmaza, ahol ∀P ∈ P-re (X ,F ,P) egy Kolmogorov-felevaloszınusegi mezo.

Az X = (X1, . . . ,Xn)T statisztikai megfigyeleststatisztikai mintanak nevezzuk, ha Xi -k teljesen fuggetlen azonoseloszlasu valoszınusegi valtozok ∀P ∈ P-n (X ,F ,P)-n. Azaz∀P ∈ P-re

P(Xi < x) = FP(x) (i = 1, 2, . . . , n),

FP(Xi1 < x1, . . . ,Xik < xk) = Πki=1FP(xi ).

n=minta elemszama, FP(x)=minta eloszlasfuggvenye, Xi az i-edikmintaelem, µP(A) = P(Xi ∈ A) A ∈ F a minta eloszlasa. ω ∈ Ω-ra(X1(ω), . . . ,Xn(ω)) a minta realizaltja.

Bevezeto afelevrol

Statisztikak

Alapstatisztikak

Parameter

Becslesek

Peldak

Momentumokmodszere

Legyen (X ,F) egy merheto ter es legyen P valoszınusegi mertekekegy halmaza, ahol ∀P ∈ P-re (X ,F ,P) egy Kolmogorov-felevaloszınusegi mezo. Az X = (X1, . . . ,Xn)T statisztikai megfigyeleststatisztikai mintanak nevezzuk, ha Xi -k teljesen fuggetlen azonoseloszlasu valoszınusegi valtozok ∀P ∈ P-n (X ,F ,P)-n. Azaz∀P ∈ P-re

P(Xi < x) = FP(x) (i = 1, 2, . . . , n),

Bevezeto afelevrol

Statisztikak

Alapstatisztikak

Parameter

Becslesek

Peldak

Momentumokmodszere

Legyen (X ,F) egy merheto ter es legyen P valoszınusegi mertekekegy halmaza, ahol ∀P ∈ P-re (X ,F ,P) egy Kolmogorov-felevaloszınusegi mezo. Az X = (X1, . . . ,Xn)T statisztikai megfigyeleststatisztikai mintanak nevezzuk, ha Xi -k teljesen fuggetlen azonoseloszlasu valoszınusegi valtozok ∀P ∈ P-n (X ,F ,P)-n. Azaz∀P ∈ P-re

P(Xi < x) = FP(x) (i = 1, 2, . . . , n),

Bevezeto afelevrol

Statisztikak

Alapstatisztikak

Parameter

Becslesek

Peldak

Momentumokmodszere

Statisztikak - adatcentrum statisztikai

Tegyuk fel hogy X : Ω→ R egy val. valtozo es X1,X2, . . . ,Xn egyebbol vett statisztikai minta. Ekkor

• X =∑n

i=1 Xi

n a minta atlaga

• X ∗k = ordkX1,X2, . . . ,Xn a k-adik legkisebb

• tehat X ∗1 = minX1,X2, . . . ,Xn es X ∗n = maxX1,X2, . . . ,Xn

• median = X ∗n+12

, ha n paratlan es X ∗n2

+ X ∗n2 +1, ha n paros

• modusz = mintaban leggyakrabban elofordulo elem.

Bevezeto afelevrol

Statisztikak

Alapstatisztikak

Parameter

Becslesek

Peldak

Momentumokmodszere

• X =∑n

i=1 Xi

n a minta atlaga

Bevezeto afelevrol

Statisztikak

Alapstatisztikak

Parameter

Becslesek

Peldak

Momentumokmodszere

• X =∑n

i=1 Xi

n a minta atlaga

Bevezeto afelevrol

Statisztikak

Alapstatisztikak

Parameter

Becslesek

Peldak

Momentumokmodszere

• X =∑n

i=1 Xi

n a minta atlaga

Bevezeto afelevrol

Statisztikak

Alapstatisztikak

Parameter

Becslesek

Peldak

Momentumokmodszere

• X =∑n

i=1 Xi

n a minta atlaga

Bevezeto afelevrol

Statisztikak

Alapstatisztikak

Parameter

Becslesek

Peldak

Momentumokmodszere

Statisztikak - szoras statisztikai

• standard szoras/korrigalt empirikus szoras√√√√ 1

n − 1

n∑i=1

(Xi − X )2

• standard variacio

n − 1

n∑i=1

(Xi − X )2

• terjedelemX ∗n − X ∗1

Bevezeto afelevrol

Statisztikak

Alapstatisztikak

Parameter

Becslesek

Peldak

Momentumokmodszere

n − 1

n∑i=1

(Xi − X )2

n − 1

n∑i=1

(Xi − X )2

Bevezeto afelevrol

Statisztikak

Alapstatisztikak

Parameter

Becslesek

Peldak

Momentumokmodszere

n − 1

n∑i=1

(Xi − X )2

n − 1

n∑i=1

(Xi − X )2

Bevezeto afelevrol

Statisztikak

Alapstatisztikak

Parameter

Becslesek

Peldak

Momentumokmodszere

Statisztikak - egyeb statisztikak 1.

• ferdeseg/skewness

∑ni=1(Xi − X )3

∑ni=1(Xi − X )2)3

• Mit mer? Mennyire szimmetrikus az eloszlas. Ha az ertek 0(-hozkozeli), akkor (nagyjabol) szimmetrikus. Ha pozitıv, akkor jobbra, hanegatıv, akkor balra tolodik el az eloszlas.

(a) s < 0 (b) s > 0

Bevezeto afelevrol

Statisztikak

Alapstatisztikak

Parameter

Becslesek

Peldak

Momentumokmodszere

• ferdeseg/skewness

∑ni=1(Xi − X )3

∑ni=1(Xi − X )2)3

• Mit mer? Mennyire szimmetrikus az eloszlas. Ha az ertek 0(-hozkozeli), akkor (nagyjabol) szimmetrikus. Ha pozitıv, akkor jobbra, hanegatıv, akkor balra tolodik el az eloszlas.

(a) s < 0 (b) s > 0

Bevezeto afelevrol

Statisztikak

Alapstatisztikak

Parameter

Becslesek

Peldak

Momentumokmodszere

• lapultsag/curtosis

∑ni=1(Xi − X )4

∑ni=1(Xi − X )2)4

• Mit mer? ”Csucsossaga” hogy viszonyul a normalis eloszlasehoz.Ha pozitıv, akkor csucsosabb.

(a) c < 0 (b) c > 0

Bevezeto afelevrol

Statisztikak

Alapstatisztikak

Parameter

Becslesek

Peldak

Momentumokmodszere

• lapultsag/curtosis

∑ni=1(Xi − X )4

∑ni=1(Xi − X )2)4

• Mit mer? ”Csucsossaga” hogy viszonyul a normalis eloszlasehoz.Ha pozitıv, akkor csucsosabb.

(a) c < 0 (b) c > 0

Bevezeto afelevrol

Statisztikak

Alapstatisztikak

Parameter

Becslesek

Peldak

Momentumokmodszere

Statisztikak - matematikai fogalom 1.

Legyen tn egy n-valtozos valos fuggveny. Akkor a statisztikai mintaTn = tn(X1,X2, . . . ,Xn) fuggvenyet nevezzuk statisztikanak.

A statisztika egy valoszınusegi valtozo, aminek eloszlasfuggvenyet aminta eloszlasfuggvenyebol lehet kiszamolni.

A Tn(ω) = tn(X1(ω),X2(ω), . . . ,Xn(ω)) szam (amikor azargumentumba a mintarealizacio ertekeit helyettesıtjuk), a statisztikaszamolt erteke.

Bevezeto afelevrol

Statisztikak

Alapstatisztikak

Parameter

Becslesek

Peldak

Momentumokmodszere

Bevezeto afelevrol

Statisztikak

Alapstatisztikak

Parameter

Becslesek

Peldak

Momentumokmodszere

Bevezeto afelevrol

Statisztikak

Alapstatisztikak

Parameter

Becslesek

Peldak

Momentumokmodszere

Rendezett minta statisztikai 1.

Empirikus eloszlasfuggveny:

Fn(x) :=

0 ha x ≤ X ∗1 ,kn ha X ∗k < x ≤ X ∗k+1 (k = 1, 2, ..., n − 1),

1 ha X ∗n < x .

Fn(x) =1

n∑i=1

IXi<x , ahol

IXi<x :=

0 ha x < Xi ,

1 ha Xi ≤ x .

Bevezeto afelevrol

Statisztikak

Alapstatisztikak

Parameter

Becslesek

Peldak

Momentumokmodszere

Empirikus eloszlasfuggveny:

Fn(x) :=

0 ha x ≤ X ∗1 ,kn ha X ∗k < x ≤ X ∗k+1 (k = 1, 2, ..., n − 1),

1 ha X ∗n < x .

Fn(x) =1

n∑i=1

IXi<x , ahol

IXi<x :=

0 ha x < Xi ,

1 ha Xi ≤ x .

Bevezeto afelevrol

Statisztikak

Alapstatisztikak

Parameter

Becslesek

Peldak

Momentumokmodszere

Tetel (Glivenko Cantelli)

P( limn→∞

supx∈R|Fn(x)− F (x)|= 0) = 1

Azaz az empirikus eloszlasfuggveny 1 valoszınuseggel, egyenletesenkonvergal az eloszlasfuggvenyhez.

Bevezeto afelevrol

Statisztikak

Alapstatisztikak

Parameter

Becslesek

Peldak

Momentumokmodszere

Tetel (Glivenko Cantelli)

P( limn→∞

supx∈R|Fn(x)− F (x)|= 0) = 1

Azaz az empirikus eloszlasfuggveny 1 valoszınuseggel, egyenletesenkonvergal az eloszlasfuggvenyhez.

Bevezeto afelevrol

Statisztikak

Alapstatisztikak

Parameter

Becslesek

Peldak

Momentumokmodszere

Parameter

Tegyuk fel, hogy a minta eloszlasfuggvenye kepletet egy θ parameterkonkretizalja. Ha ismerjuk az erteket, meg tudjuk pontosan adni azeloszlasfuggvenyt:

F = F (x , θ) : θ ∈ Θ.

Bevezeto afelevrol

Statisztikak

Alapstatisztikak

Parameter

Becslesek

Peldak

Momentumokmodszere

Parameter - pelda

Egy joghurt zsırtartalmat ellenorzik. A laborban σ pontossaggal megtudjak merni a zsırtartalmat. A meres a pontos ertek korul a normaliseloszlas szerint ingadozik. Ha vesznek egy mintat, akkor a mintaeloszlasa N(θ, σ)!

Egy brokerirodaban m ugyfel kotvenyeit kezelik. Egy ugyfel θvaloszınuseggel ker eladast/vetelt az irodatol. A napi tranzakciokszama Bin(m, θ) eloszlast kovet.

Bevezeto afelevrol

Statisztikak

Alapstatisztikak

Parameter

Becslesek

Peldak

Momentumokmodszere

Parameter - pelda

Egy joghurt zsırtartalmat ellenorzik. A laborban σ pontossaggal megtudjak merni a zsırtartalmat. A meres a pontos ertek korul a normaliseloszlas szerint ingadozik. Ha vesznek egy mintat, akkor a mintaeloszlasa N(θ, σ)!

Egy brokerirodaban m ugyfel kotvenyeit kezelik. Egy ugyfel θvaloszınuseggel ker eladast/vetelt az irodatol. A napi tranzakciokszama Bin(m, θ) eloszlast kovet.

Bevezeto afelevrol

Statisztikak

Alapstatisztikak

Parameter

Becslesek

Peldak

Momentumokmodszere

Parameter

A θ parametert egy statisztikaval becsuljuk.

De mit ertunk azon, hogy egy parametert ”jol” becslunk?

1. Torzıtatlansag2. Aszimptotikus torzıtatlansag3. Konzisztencia4. Eros konzisztencia5. Hatasossag

Bevezeto afelevrol

Statisztikak

Alapstatisztikak

Parameter

Becslesek

Peldak

Momentumokmodszere

Parameter

A θ parametert egy statisztikaval becsuljuk.De mit ertunk azon, hogy egy parametert ”jol” becslunk?

Bevezeto afelevrol

Statisztikak

Alapstatisztikak

Parameter

Becslesek

Peldak

Momentumokmodszere

Parameter

A θ parametert egy statisztikaval becsuljuk.De mit ertunk azon, hogy egy parametert ”jol” becslunk?

Bevezeto afelevrol

Statisztikak

Alapstatisztikak

Parameter

Becslesek

Peldak

Momentumokmodszere

A parameter becslese - torzıtatlansag 1.

Torzıtatlansag

A Tn statisztika a θ parameter torzıtatlan becslese, ha E (Tn) = θ.

A torzıtatlansag azt jelenti, hogy a becslo statisztika eppen abecsulendo parameterertek korul fogja felvenni az ertekeit.

Bevezeto afelevrol

Statisztikak

Alapstatisztikak

Parameter

Becslesek

Peldak

Momentumokmodszere

Torzıtatlansag

A Tn statisztika a θ parameter torzıtatlan becslese, ha E (Tn) = θ.

A torzıtatlansag azt jelenti, hogy a becslo statisztika eppen abecsulendo parameterertek korul fogja felvenni az ertekeit.

Bevezeto afelevrol

Statisztikak

Alapstatisztikak

Parameter

Becslesek

Peldak

Momentumokmodszere

Bevezeto afelevrol

Statisztikak

Alapstatisztikak

Parameter

Becslesek

Peldak

Momentumokmodszere

A parameter becslese - aszimptotikus torzıtatlansag

Torzıtatlansag

A Tn statisztika a θ parameter aszimptotikusan torzıtatlanbecslese, ha limn→∞ E (Tn) = θ.

Bevezeto afelevrol

Statisztikak

Alapstatisztikak

Parameter

Becslesek

Peldak

Momentumokmodszere

A parameter becslese - aszimptotikus torzıtatlansag

Torzıtatlansag

A Tn statisztika a θ parameter aszimptotikusan torzıtatlanbecslese, ha limn→∞ E (Tn) = θ.

Bevezeto afelevrol

Statisztikak

Alapstatisztikak

Parameter

Becslesek

Peldak

Momentumokmodszere

A parameter becslese - konzisztencia

Ha garancia van arra, hogy a minta elemszam novekedtevel novekszika becsles pontossaganak valoszınusege, konzisztens becslesrolbeszelunk.

Konzisztencia

A Tn statisztika a θ parameter konzisztens becslese, ha minden ε > 0teljesul, hogy

limn→∞

P(|Tn − θ|> ε) = 0.

A statisztika, mint valoszınusegi valtozo sztochasztikusan konvergal akonstans θ-hoz.

Bevezeto afelevrol

Statisztikak

Alapstatisztikak

Parameter

Becslesek

Peldak

Momentumokmodszere

Konzisztencia

limn→∞

P(|Tn − θ|> ε) = 0.

Bevezeto afelevrol

Statisztikak

Alapstatisztikak

Parameter

Becslesek

Peldak

Momentumokmodszere

Konzisztencia

limn→∞

P(|Tn − θ|> ε) = 0.

Bevezeto afelevrol

Statisztikak

Alapstatisztikak

Parameter

Becslesek

Peldak

Momentumokmodszere

A parameter becslese - eros konzisztencia

Eros konzisztencia

A Tn statisztika a θ parameter erosen konzisztens becslese, haETn = θ es limn→∞ σ2Tn = 0.

Erosen konzisztens becsles konzisztens, de visszafele nem feltetlenigaz.

Bevezeto afelevrol

Statisztikak

Alapstatisztikak

Parameter

Becslesek

Peldak

Momentumokmodszere

A parameter becslese - eros konzisztencia

Eros konzisztencia

A Tn statisztika a θ parameter erosen konzisztens becslese, haETn = θ es limn→∞ σ2Tn = 0.

Erosen konzisztens becsles konzisztens, de visszafele nem feltetlenigaz.

Bevezeto afelevrol

Statisztikak

Alapstatisztikak

Parameter

Becslesek

Peldak

Momentumokmodszere

A parameter becslese - (eros) konzisztencia

Bevezeto afelevrol

Statisztikak

Alapstatisztikak

Parameter

Becslesek

Peldak

Momentumokmodszere

A parameter becslese - hatasossag

A θ parametert becslo ket torzıtatlan becsles kozul nyilvan a kisebbvarianciaju a jobb, hiszen kisebb mertekben ingadozik a parameterkorul.

Hatasossag

Azaz, a Vn statisztika hatasosabb Wn-nel, ha

1. EVn = EWn = θ

2. σ2Vn ≤ σ2Wn

Egy torzıtatlan becsles hatasos, ha a varianciaja minden mastorzıtatlan becslesnel nem nagyobb.

Bevezeto afelevrol

Statisztikak

Alapstatisztikak

Parameter

Becslesek

Peldak

Momentumokmodszere

A θ parametert becslo ket torzıtatlan becsles kozul nyilvan a kisebbvarianciaju a jobb, hiszen kisebb mertekben ingadozik a parameterkorul.

Hatasossag

Azaz, a Vn statisztika hatasosabb Wn-nel, ha

1. EVn = EWn = θ

2. σ2Vn ≤ σ2Wn

Egy torzıtatlan becsles hatasos, ha a varianciaja minden mastorzıtatlan becslesnel nem nagyobb.

Bevezeto afelevrol

Statisztikak

Alapstatisztikak

Parameter

Becslesek

Peldak

Momentumokmodszere

Bevezeto afelevrol

Statisztikak

Alapstatisztikak

Parameter

Becslesek

Peldak

Momentumokmodszere

A parameter becslese - peldak 1.

Legyen a becsulendo parameter a varhato ertek, azaz

θ = EX .

Atlagstatisztika ( 1n

∑ni=1 Xi ) torzıtatlan becslese, hiszen

n∑i=1

Xi ) =1

n∑i=1

E (Xi ) =1

n∑i=1

θ = θ.

Bevezeto afelevrol

Statisztikak

Alapstatisztikak

Parameter

Becslesek

Peldak

Momentumokmodszere

θ = EX .

n∑i=1

Xi ) =1

n∑i=1

E (Xi ) =1

n∑i=1

θ = θ.

Bevezeto afelevrol

Statisztikak

Alapstatisztikak

Parameter

Becslesek

Peldak

Momentumokmodszere

θ = EX .

n∑i=1

Xi ) =1

n∑i=1

E (Xi ) =1

n∑i=1

θ = θ.

Bevezeto afelevrol

Statisztikak

Alapstatisztikak

Parameter

Becslesek

Peldak

Momentumokmodszere

Ha meg azt is tudjuk, hogy σ2X <∞, akkor az atlagstatisztikaerosen konzisztens is, hiszen

n∑i=1

Xi ) =

∑ni=1 σ

n2=σ2X

n→ 0

Linearis becslesnek hıvunk egy becslest, ha∑n

i=1 wiXi alaku, ahol∑ni=1 wi = 1.

Linearis becslesek kozott az atlagstatisztika a hatasos, azaz

n∑i=1

Xi ) ≤ σ2(n∑

wiXi )

Bevezeto afelevrol

Statisztikak

Alapstatisztikak

Parameter

Becslesek

Peldak

Momentumokmodszere

n∑i=1

Xi ) =

∑ni=1 σ

n2=σ2X

n→ 0

n∑i=1

Xi ) ≤ σ2(n∑

wiXi )

Bevezeto afelevrol

Statisztikak

Alapstatisztikak

Parameter

Becslesek

Peldak

Momentumokmodszere

n∑i=1

Xi ) =

∑ni=1 σ

n2=σ2X

n→ 0

n∑i=1

Xi ) ≤ σ2(n∑

wiXi )

Bevezeto afelevrol

Statisztikak

Alapstatisztikak

Parameter

Becslesek

Peldak

Momentumokmodszere

Legyen a becsulendo parameter X varianciaja!

Az empirikus szorasnegyzet sn = 1n

∑ni=1(Xi − X )2 aszimptotikusan

torzıtatlan, a korrigalt empirikus szorasnegyzet pedig torzıtatlanbecsles, hiszen

Es2n = E (

n∑i=1

(Xi − X )2) =1

n∑i=1

EX 2i − EX

n∑i=1

(θ + m2)− (θ

n+ m2) =

n − 1

Bevezeto afelevrol

Statisztikak

Alapstatisztikak

Parameter

Becslesek

Peldak

Momentumokmodszere

Legyen a becsulendo parameter X varianciaja!

Az empirikus szorasnegyzet sn = 1n

∑ni=1(Xi − X )2 aszimptotikusan

torzıtatlan, a korrigalt empirikus szorasnegyzet pedig torzıtatlanbecsles, hiszen

Es2n = E (

n∑i=1

(Xi − X )2) =1

n∑i=1

EX 2i − EX

n∑i=1

(θ + m2)− (θ

n+ m2) =

n − 1

Bevezeto afelevrol

Statisztikak

Alapstatisztikak

Parameter

Becslesek

Peldak

Momentumokmodszere

A parameter becslese - peldak osszefoglalasa

• Az atlagstatisztika a minta varhato ertekenek –mint parameternek-torzıtatlan becslese. Ha a mintanak letezik szorasa, akkor ez abecsles erosen konzisztens is.

• A minta empirikus szorasnegyzete a minta varianciajanak –mintparameternek- aszimptotikusan torzıtatlan becslese. (Ha a mintanakletezik negyedik momentuma, akkor a becsles konzisztens is.)

• A minta korrigalt empirikus szorasnegyzet statisztika a mintavarianciajanak torzıtatlan becslese. (Ha a minta negyedikmomentuma letezik, akkor erosen konzisztens becslese.)

Bevezeto afelevrol

Statisztikak

Alapstatisztikak

Parameter

Becslesek

Peldak

Momentumokmodszere

Maximum likelihood becsles matematikai alapok -alapgondolat

A modszer alapgondolatai a kovetkezok:

1. A mintank eloszlasfuggvenye a θ parametertol fugg.

2. Ha egy kıserletnel tobb esemeny is bekovetkezhet, legtobbszor alegnagyobb valoszınusegu esemenyt fogjuk megfigyelni.

3. A sokasagra vett mintavetelezes soran kaptunk egy realizaciot.Feltetelezzuk, hogy azert eppen ezt a realizaciot kaptuk, es nemmast, mert az osszes realizaciok kozul ennek volt a legnagyobb abekovetkezesi valoszınusege.

4. Vegyuk tehat, az osszes lehetseges θ parameter kozul azt,amelynel eppen kapott realizacio bekovetkezese a maximalis.

Bevezeto afelevrol

Statisztikak

Alapstatisztikak

Parameter

Becslesek

Peldak

Momentumokmodszere

Bevezeto afelevrol

Statisztikak

Alapstatisztikak

Parameter

Becslesek

Peldak

Momentumokmodszere

Bevezeto afelevrol

Statisztikak

Alapstatisztikak

Parameter

Becslesek

Peldak

Momentumokmodszere

ML matematikai alapok - diszkret eset.

Legyen adott P valoszınusegi mertekek egy tere es az X1, . . . ,Xn

diszkret eloszlasu statisztikai minta E ⊂ R ertekkeszlettel mindenPθ ∈ P-re.

Jelolje

L(θ, x) = Pθ(X1 = x1, . . . ,Xn = xn) = Πni=1Pθ(Xi = xi )

minta egyuttes eloszlasat. Az eloszlas maximum likelihoodbecslesen azt a τn(X1, . . . ,Xn) statisztikat ertjuk, amire igaz, hogy

L(x, τn(x)) = maxθ∈R+L(x, θ).

Bevezeto afelevrol

Statisztikak

Alapstatisztikak

Parameter

Becslesek

Peldak

Momentumokmodszere

diszkret eloszlasu statisztikai minta E ⊂ R ertekkeszlettel mindenPθ ∈ P-re.Jelolje

Bevezeto afelevrol

Statisztikak

Alapstatisztikak

Parameter

Becslesek

Peldak

Momentumokmodszere

diszkret eloszlasu statisztikai minta E ⊂ R ertekkeszlettel mindenPθ ∈ P-re.Jelolje

Bevezeto afelevrol

Statisztikak

Alapstatisztikak

Parameter

Becslesek

Peldak

Momentumokmodszere

ML peldak 1. - Poisson eloszlas 1.

pθ,i =θi

i !e−θ i = 0, 1, 2, ...

A likelihood fuggveny (x = (x1, . . . , xn)):

L(x, θ) = Πni=1

xi !e−θ =

θ∑n

i=1 xi

Πni=1xi !

e−nθ

A loglikelihood fuggvenye:

l(x, θ) = ln θn∑

xi − nθ − ln(Πni=1xi ! )

Bevezeto afelevrol

Statisztikak

Alapstatisztikak

Parameter

Becslesek

Peldak

Momentumokmodszere

pθ,i =θi

i !e−θ i = 0, 1, 2, ...

L(x, θ) = Πni=1

xi !e−θ =

θ∑n

i=1 xi

Πni=1xi !

e−nθ

Bevezeto afelevrol

Statisztikak

Alapstatisztikak

Parameter

Becslesek

Peldak

Momentumokmodszere

pθ,i =θi

i !e−θ i = 0, 1, 2, ...

L(x, θ) = Πni=1

xi !e−θ =

θ∑n

i=1 xi

Πni=1xi !

e−nθ

Bevezeto afelevrol

Statisztikak

Alapstatisztikak

Parameter

Becslesek

Peldak

Momentumokmodszere

A maximumhelyek megkeresese derivalassal:

dl(x, θ)

n∑i=1

xi − n = 0→ θ =1

n∑i=1

xi = X

d2l(x, θ)

d2θ= − 1

n∑i=1

xi < 0,

ezert maximumhely.

Bevezeto afelevrol

Statisztikak

Alapstatisztikak

Parameter

Becslesek

Peldak

Momentumokmodszere

A maximumhelyek megkeresese derivalassal:

dl(x, θ)

n∑i=1

xi − n = 0→ θ =1

n∑i=1

xi = X

d2l(x, θ)

d2θ= − 1

n∑i=1

xi < 0,

ezert maximumhely.

Bevezeto afelevrol

Statisztikak

Alapstatisztikak

Parameter

Becslesek

Peldak

Momentumokmodszere

ML - folytonos eset

statisztikai minta, amelyek eloszlasfuggvenye abszolut folytonosminden Pθ ∈ P-re. Jelolje

L(θ, x) = Πni=1fθ(xi )

minta egyuttes surusegfuggvenyet.

A θ parameter maximumlikelihood becslesen azt a τn(X1, . . . ,Xn) statisztikat ertjuk, amireigaz, hogy

L(x, τn(x)) = maxθ∈R+L(x, θ)

teljesul ∀x ∈ Rn.

Bevezeto afelevrol

Statisztikak

Alapstatisztikak

Parameter

Becslesek

Peldak

Momentumokmodszere

ML - folytonos eset

minta egyuttes surusegfuggvenyet.A θ parameter maximumlikelihood becslesen azt a τn(X1, . . . ,Xn) statisztikat ertjuk, amireigaz, hogy

Bevezeto afelevrol

Statisztikak

Alapstatisztikak

Parameter

Becslesek

Peldak

Momentumokmodszere

ML - folytonos eset

minta egyuttes surusegfuggvenyet.A θ parameter maximumlikelihood becslesen azt a τn(X1, . . . ,Xn) statisztikat ertjuk, amireigaz, hogy

Bevezeto afelevrol

Statisztikak

Alapstatisztikak

Parameter

Becslesek

Peldak

Momentumokmodszere

ML becsles - normalis eloszlas, ismert szoras eseten

Surusegfuggvenye:

fθ(x) =1√

2πσ0

e− 1

(x−θ)2

Maximum likelihood fuggvenye:

L(x, θ) = (1√

2πσ0

)ne− 1

∑ni=1(xi−θ)2

Loglikelihood fuggvenye:

l(x, θ) = n ln(1√

2πσ0

)− 1

n∑i=1

(xi − θ)2

Bevezeto afelevrol

Statisztikak

Alapstatisztikak

Parameter

Becslesek

Peldak

Momentumokmodszere

Surusegfuggvenye:

fθ(x) =1√

2πσ0

e− 1

(x−θ)2

L(x, θ) = (1√

2πσ0

)ne− 1

∑ni=1(xi−θ)2

l(x, θ) = n ln(1√

2πσ0

)− 1

n∑i=1

(xi − θ)2

Bevezeto afelevrol

Statisztikak

Alapstatisztikak

Parameter

Becslesek

Peldak

Momentumokmodszere

Surusegfuggvenye:

fθ(x) =1√

2πσ0

e− 1

(x−θ)2

L(x, θ) = (1√

2πσ0

)ne− 1

∑ni=1(xi−θ)2

l(x, θ) = n ln(1√

2πσ0

)− 1

n∑i=1

(xi − θ)2

Bevezeto afelevrol

Statisztikak

Alapstatisztikak

Parameter

Becslesek

Peldak

Momentumokmodszere

dl(x, θ)

n∑i=1

(xi − θ) = 0→ θ = X

d2l(x, θ)

d2θ= − n

ezert maximumhely.

Bevezeto afelevrol

Statisztikak

Alapstatisztikak

Parameter

Becslesek

Peldak

Momentumokmodszere

dl(x, θ)

n∑i=1

(xi − θ) = 0→ θ = X

d2l(x, θ)

d2θ= − n

ezert maximumhely.

Bevezeto afelevrol

Statisztikak

Alapstatisztikak

Parameter

Becslesek

Peldak

Momentumokmodszere

Momentumok modszere 1.

Tegyuk fel, hogy az eloszlasuk k darab parametertol (θ1, . . . , θk) fugges legyen

mj = EX j

Tegyuk fel, hogy letezik gj(m1, . . . ,mk) = θj

Ekkor tekintsuk az

n∑i=1

empirikus momentum statisztikakat. Ekkor a

θj = gj(m1, . . . ,mk)

a parameterek momentumos becslesei.

Bevezeto afelevrol

Statisztikak

Alapstatisztikak

Parameter

Becslesek

Peldak

Momentumokmodszere

mj = EX j

Ekkor tekintsuk az

n∑i=1

θj = gj(m1, . . . ,mk)

Bevezeto afelevrol

Statisztikak

Alapstatisztikak

Parameter

Becslesek

Peldak

Momentumokmodszere

mj = EX j

Ekkor tekintsuk az

n∑i=1

θj = gj(m1, . . . ,mk)

Bevezeto afelevrol

Statisztikak

Alapstatisztikak

Parameter

Becslesek

Peldak

Momentumokmodszere

Momentumok modszere 2. - normalis eloszlasbecslese

m = g1(m1,m2) = m1, σ2 = g2(m1,m2) = m2 −m2

n∑i=1

Xi es m2 =1

n∑i=1

σ2 = g2(m1,m2) =1

n∑i=1

X 2i − (

n∑i=1

Xi )2 = s2

Bevezeto afelevrol

Statisztikak

Alapstatisztikak

Parameter

Becslesek

Peldak

Momentumokmodszere

m = g1(m1,m2) = m1, σ2 = g2(m1,m2) = m2 −m2

n∑i=1

Xi es m2 =1

n∑i=1

σ2 = g2(m1,m2) =1

n∑i=1

X 2i − (

n∑i=1

Xi )2 = s2

Bevezeto afelevrol

Statisztikak

Alapstatisztikak

Parameter

Becslesek

Peldak

Momentumokmodszere

m = g1(m1,m2) = m1, σ2 = g2(m1,m2) = m2 −m2

n∑i=1

Xi es m2 =1

n∑i=1

σ2 = g2(m1,m2) =1

n∑i=1

X 2i − (

n∑i=1

Xi )2 = s2

Bevezeto afelevrol

Statisztikak

Alapstatisztikak

Parameter

Becslesek

Peldak

Momentumokmodszere

Intervallumbecslesek 1.

A korabbi szakaszokban az ismeretlen parametervektort a minta egyfuggvenyevel, azaz egyetlen statisztikaval probaltuk meg kozelıteni.Konkret realizacional tehat, a parameterter egy pontjat egy masikponttal becsuljuk. Ezert beszelunk pontbecslesrol.

De tudjuk azt is, hogy folytonos eloszlasoknal, annak valoszınusege,hogy a valoszınusegi valtozo az ertekkeszletenek eppen egytetszolegesen kivalasztott pontjat fogja felvenni, nulla. Tehatfolytonos esetben nulla annak valoszınusege, hogy eppen aparametert talaltuk el a becslessel. Az intervallumbecsleseknel amintabol keszıtett tartomanyokat definialunk, amely tartomanyoknagy valoszınuseggel lefedik a kerdeses parameterpontot

Bevezeto afelevrol

Statisztikak

Alapstatisztikak

Parameter

Becslesek

Peldak

Momentumokmodszere

A korabbi szakaszokban az ismeretlen parametervektort a minta egyfuggvenyevel, azaz egyetlen statisztikaval probaltuk meg kozelıteni.Konkret realizacional tehat, a parameterter egy pontjat egy masikponttal becsuljuk. Ezert beszelunk pontbecslesrol.De tudjuk azt is, hogy folytonos eloszlasoknal, annak valoszınusege,hogy a valoszınusegi valtozo az ertekkeszletenek eppen egytetszolegesen kivalasztott pontjat fogja felvenni, nulla. Tehatfolytonos esetben nulla annak valoszınusege, hogy eppen aparametert talaltuk el a becslessel. Az intervallumbecsleseknel amintabol keszıtett tartomanyokat definialunk, amely tartomanyoknagy valoszınuseggel lefedik a kerdeses parameterpontot

Bevezeto afelevrol

Statisztikak

Alapstatisztikak

Parameter

Becslesek

Peldak

Momentumokmodszere

(a) Pontbecsles (b) Intervallumbecsles

Bevezeto afelevrol

Statisztikak

Alapstatisztikak

Parameter

Becslesek

Peldak

Momentumokmodszere

statisztikai minta es ε rogzıtett. Azt mondjuk, hogy a θ parameterbecslesehez megadtunk egy 1− ε szignifikanciaszintukonfidenciaintervallumot,

ha t1(X1, . . . ,Xn) es t2(X1, . . . ,Xn) olyanstatisztikak, hogy minden Pθ ∈ P-re fennall, hogy

P(t1(X1, . . . ,Xn) ≤ θ ≤ t2(X1, . . . ,Xn)) ≥ 1− ε

Bevezeto afelevrol

Statisztikak

Alapstatisztikak

Parameter

Becslesek

Peldak

Momentumokmodszere

statisztikai minta es ε rogzıtett. Azt mondjuk, hogy a θ parameterbecslesehez megadtunk egy 1− ε szignifikanciaszintukonfidenciaintervallumot,ha t1(X1, . . . ,Xn) es t2(X1, . . . ,Xn) olyanstatisztikak, hogy minden Pθ ∈ P-re fennall, hogy

P(t1(X1, . . . ,Xn) ≤ θ ≤ t2(X1, . . . ,Xn)) ≥ 1− ε

Bevezeto afelevrol

Statisztikak

Alapstatisztikak

Parameter

Becslesek

Peldak

Momentumokmodszere

Intervallumbecslesek - normalis eloszlas varhatoertekre, ismert szoras eseten

fθ(x) =1√

2πσ0

e− 1

(x−θ)2

Tudjuk, hogy u = X n−θσ0

√n ∈ N(0, 1), tehat a surusegfuggvenye

φ(t) =1√2π

e−x2

Legyen uε olyan, hogy ∫ uε

−uεφ(t) ≥ 1− ε

Bevezeto afelevrol

Statisztikak

Alapstatisztikak

Parameter

Becslesek

Peldak

Momentumokmodszere

fθ(x) =1√

2πσ0

e− 1

(x−θ)2

φ(t) =1√2π

e−x2

−uεφ(t) ≥ 1− ε

Bevezeto afelevrol

Statisztikak

Alapstatisztikak

Parameter

Becslesek

Peldak

Momentumokmodszere

fθ(x) =1√

2πσ0

e− 1

(x−θ)2

φ(t) =1√2π

e−x2

−uεφ(t) ≥ 1− ε

Bevezeto afelevrol

Statisztikak

Alapstatisztikak

Parameter

Becslesek

Peldak

Momentumokmodszere

Atrendezve kapjuk, hogy

P(X − uεσ0√n≤ m ≤ X +

uεσ0√n

) ≥ 1− ε

TehatT1 = X − uεσ0√

T2 = Xn +uεσ0√

Bevezeto afelevrol

Statisztikak

Alapstatisztikak

Parameter

Becslesek

Peldak

Momentumokmodszere

Atrendezve kapjuk, hogy

P(X − uεσ0√n≤ m ≤ X +

uεσ0√n

) ≥ 1− ε

TehatT1 = X − uεσ0√

T2 = Xn +uεσ0√

Bevezeto afelevrol

Statisztikak

Alapstatisztikak

Parameter

Becslesek

Peldak

Momentumokmodszere

Folyt. kov.

statisztikai alapfogalmak, becsl eselm eletcs.bme.hu/~pricsi/stat/lec1_0903.pdf · statisztikai...

Documents