statisztika ii. előadás és gyakorlat – 2. részusers.atw.hu/hjf2007levweb/stat2 2.resz.pdfa...
TRANSCRIPT
HJF Statisztika II.
T.Nagy Judit 1
Statisztika II. előadás és gyakorlat – 2. rész
T.Nagy Judit
Ajánlott irodalom:
Ilyésné Molnár Emese – Lovasné Avató Judit: Statisztika II. Feladatgyűjtemény, Perfekt, 2006.
Korpás Attiláné (szerk.): Általános Statisztika II., Nemzeti Tankönyvkiadó, 1997.
Molnár Máténé – Tóth Mártonné: Általános Statisztika Példatár II., Nemzeti Tankönyvkiadó, 2001.
HJF Statisztika II.
T.Nagy Judit 2
A mintából történő következtetés, mintavételi alapfogalmak
A minta célja: olyan adatok szerzése, melyből következtetéseket tudunk levonni a teljes
sokaságra vonatkozóan.
A mintavétel módjai:
Adatgyűjtés
Részleges adatfelvétel Teljes körű adatfelvétel (cenzus)
Kontrollált
kísérlet
Reprezentatív
megfigyelés
Egyéb részleges
adatfelvétel
Véletlenen alapuló
kiválasztás
Nem véletlenen
alapuló kiválasztás
FAE mintavétel
EV mintavétel
Szisztematikus mintavétel
Rétegzett mintavétel
Csoportos mintavétel =
egylépcsős
Többlépcsős mintavétel
Kombinált eljárások
Szisztematikus mintavétel
Kvóta szerinti kiválasztás
Koncentrált kiválasztás
Hólabda kiválasztás
Önkényes kiválasztás
FAE (Független, azonos eloszlású) minta: Véletlenszerű visszatevéses mintavétel vagy
visszatevés nélküli de az alapsokaság végtelen (vagy nagyon nagy számosságú).
EV (Egyszerű véletlen) minta: Véges sokaságból történő, visszatevés nélküli mintavétel (ha az
alapsokaság nagy, akkor az EV minta FAE mintának tekinthető).
A feladatokban FAE mintát feltételezünk!
HJF Statisztika II.
T.Nagy Judit 3
HJF Statisztika II.
T.Nagy Judit 4
Az alapsokaság jellemzői:
Elemei: X1, X2, …XN, … (az elemszám véges vagy végtelen)
N elemszám
X átlag
N
KP előfordulási valószínűség (arány)
szórás
A célunk X , P, becslése a mintából.
A minta jellemzői:
A mintaelemek: x1, x2, …, xn
n elemszám
kiválasztási arány N
n
Mintaátlag: n
xx
i
i
ii
f
xfx
o A mintaátlag várható értéke: = X
A minta szórása:
1n
xxs
2
i
1n
xxfs
2
ii
Mintaátlag szórása – standard hiba (FAE minta esetén):n
x
vagy
n
ss
x
Relatív gyakoriság (mintabeli arány):n
kp vagy
n
fp
i
mintavétel
N, X
P,
n, x
p, s
statisztikai következtetés
Alapsokaság Minta
HJF Statisztika II.
T.Nagy Judit 5
III. Statisztikai becslés
Statisztikai becslés: valamely statisztikai adat közelítő pontosságú meghatározása.
Paraméter: A becsülni kívánt jellemzője a sokaságnak (pl. várható érték, szórás, arány,…): .
Becslőfüggvény: A mintából származó megfigyelések (x1, x2, …) függvénye (pl. mintaelemek
átlaga): ̂ .
A becslőfüggvénnyel szemben támasztott követelmények:
1. Torzítatlan: várható értéke a becsülni kívánt paraméter
2. Konzisztens: a mintanagyság növelésével a becslés nagy valószínűséggel a paraméter felé tart.
3. Hatásos: két konzisztens függvényközül az a hatásosabb, melynek kisebb a szórása.
Pontbecslés: A mintából származó megfigyeléseket a becslőfüggvénybe helyettesítjük.
Pl. x , s, p mintából történő kiszámítása pontbecslés.
Intervallumbecslés vagy konfidenciaintervallum: A minta alapján meghatározható
intervallum: ]ˆ;ˆ[ fa , melybe a becsülni kívánt paraméter előre megadott valószínűséggel esik.
Ez a valószínűség a megbízhatósági szint (1-α). Azaz 1ˆˆP fa .
A becslőfüggvény értéke mintáról mintára változik (szóródik), ennek szóródását standard
hibának nevezzük. ( pxxs,s, )
A maximális hiba vagy hibahatár ( ) megadja, hogy adott (1-α) megbízhatósági szint esetén
legfeljebb mennyit tévedünk.
Becslés
Pontbecslés
x , p, s
Intervallumbecslés
x , p ,…
HJF Statisztika II.
T.Nagy Judit 6
Intervallumbecslések (FAE minta esetén*)
1. A várható érték becslése – átlagbecslés (feltétel: normális eloszlás vagy nagy minta: n100)
A becslés menete:
Mintaátlag kiszámítása: x (a sokasági átlag pontbecslése)
Ha nem ismert, akkor a mintaszórás kiszámítása: s
Standard hiba kiszámítása: n
x
(ha ismert a szórás) vagy
n
ss
x (ha nem ismert a szórás)
A megbízhatósági szintnek megfelelő z vagy t értékek kikeresése táblázatból:
2
1z
(ha ismert a szórás) vagy
)1n(
21
t
(ha nem ismert a szórás)
A hibahatár kiszámítása: x
21
z
(ha ismert a szórás), vagy
x
)1n(
21
st
(ha nem ismert a szórás
A konfidencia intervallum megadása ( xX )
* A képletek FAE minta esetén érvényesek. EV mintánál a standard hiba egy
N
n1k tényezővel szorozva
számolható!
HJF Statisztika II.
T.Nagy Judit 7
III. 1. MINTAPÉLDA
Egy üdítőitalt palackozó cég, töltőgépei pontosságának ellenőrzéséhez 15 elemű véletlen mintát vett.
Korábbi vizsgálatokból ismert, hogy a gép által töltött térfogat normális eloszlást követ. A minta
(FAE) mérési eredményei ml-ben:
503; 498; 490; 500; 499; 495; 492; 500; 502; 501; 500; 496; 503; 499; 492
Feladat
Becsüljük meg 95%-os megbízhatósággal az átlagos töltőtérfogatot.
A minta: normális eloszlású, nem ismert a szórással.
A mintaátlag: n
xx
i = 498
A mintaszórás:
1n
xxs
2
i
= 4 ,123
A standard hiba: n
ss
x = 1,06
Értelmezés: A becslőfüggvény szórása 1,06 ml, azaz 1,06 ml a mintaátlagok sokasági várható
értéktől való átlagos eltérése.
A megbízhatósági szintnek megfelelő t érték kikeresése táblázatból
1- = 0,95 = 0,05 2
= 0,025
21
= 0,975
)1n(
21
t
= )14(
975,0t = 2,14
A hibahatár x
)14(
975,0 st = 2,28
Értelmezés: A becslés során 95%-os valószínűséggel 2,28 ml-nél kevesebbet tévedünk.
A keresett konfidencia intervallum xX = [498-2,28 ; 498+2,28] = [495,72 ; 500,28]
Értelmezés:
95%-os megbízhatósággal állíthatjuk, a minta alapján, hogy az üdítőitalok átlagos töltőtérfogata
495,72 és 500,28 ml között van.
HJF Statisztika II.
T.Nagy Judit 8
Látható, hogy a konfidenciaintervallum méretét (-n keresztül) a táblázatból kikeresett t érték
szabályozza, ami két tényezőtől függ: a minta elemszámától és a megbízhatósági szinttől. Hogyan?
III. 1. MINTAPÉLDA
Becsüljük meg 95%-os megbízhatósággal az átlagos töltőtérfogatot, ha tudjuk, hogy a gép 6 ml
szórással tölt.
A minta: normális eloszlású, ismert a szórással
A mintaátlag: x = 498
A szórás: = 6
A standard hiba: n
x
= 1,73
A megbízhatósági szintnek megfelelő z érték kikeresése táblázatból
1- = 0,95 = 0,05 2
= 0,025
21
= 0,975
21
z
= z0,975 = 1,96
A hibahatár x
21
z
= 3,39
A keresett konfidencia intervallum [498-3,39 ; 498+3,39] = [494,61 ; 501,39]
Értelmezés:
95%-os megbízhatósággal állíthatjuk, a minta alapján, hogy az üdítőitalok átlagos töltőtérfogata
494,61 és 501,39 ml között van.
HJF Statisztika II.
T.Nagy Judit 9
2. Valószínűség becslése – aránybecslés (feltétel: nagy minta: n100)
A becslés menete:
A mintabeli arány kiszámításan
kp vagy
n
fp
i (valószínűség pontbecslése)
A mintaszórás kiszámítása: )p1(ps
Standard hiba kiszámítása: n
ssp
A megbízhatósági szintnek megfelelő 2
1z
érték kikeresése táblázatból
A hibahatár kiszámítása: p
21
sz
A konfidencia intervallum megadása: pP
III. 2. MINTAPÉLDA
Egy szolgáltató 450 ügyfelének villamos energia fogyasztására vonatkozó adatok (reprezentatív
minta alapján):
Villamos energia
fogyasztás (kWh)
fogyasztók száma
-100 90
100-150 130
150-200 100
200-250 75
250-300 30
300- 25
Összesen 450
Feladat:
Becsüljük meg 99%-os megbízhatósági szinten a 200 kWh-nál nagyobb fogyasztók arányát!
A mintabeli arány: n
fp
i
450
253075 = 0,29 = 29%
A mintaszórás: )p1(ps 71,029,0 = 0,45
A standard hiba:n
ssp = 0,021
HJF Statisztika II.
T.Nagy Judit 10
A megbízhatósági szintnek megfelelő 2
1z
érték kikeresése táblázatból
1- = 0,99 = 0,01 2
= 0,005
21
= 0,995
z0,995 = 2,58
A hibahatár: p
21
sz
= 0,054
A konfidencia intervallum: pP
[0,29-0,054 ; 0,29+0,054] = [0,236 ; 0,344] = [23,6% ; 34,4%]
Értelmezés:
A szolgáltató 200 kWh-nál többet fogyasztó ügyfeleinek aránya (a teljes sokaságban), 99%-os
megbízhatósággal 24% és 34% között van.
3. A szórás becslése (feltétel: normális eloszlású sokaság)
A becslés menete:
A mintaátlag kiszámítása: n
xx
i
A mintaszórás kiszámítása
1n
xxs
2
i
(szórás pontbecslése)
A megbízhatósági szintnek megfelelő )1n(
21
2
és )1n(
2
2
értékek kikeresése táblázatból
A konfidencia intervallum határai:
)1n(
21
2
2
alsó
s)1n(
)1n(
2
(2
2
felső
s)1n(
HJF Statisztika II.
T.Nagy Judit 11
III. 3. MINTAPÉLDA
Feladat:
Becsüljük meg 95%-os megbízhatósággal a III. 1. Mintapéldában a töltési térfogat szórását.
x = 498
s = 4,123
)1n(
21
2
=
)14(
975,0
2 = 26,1 )1n(
2
2
=
)14(
025,0
2 = 5,63
)1n
21
(2
2
alsó
s)1n(
=3,02
)1n
2
(2
2
felső
s)1n(
=6,5
Megjegyzés:
Ezúttal a konfidenciaintervallum nem szimmetrikus a pontbecslésre (s-re).
Értelmezés:
95%-os megbízhatósággal állíthatjuk, a minta alapján, hogy az üdítőitalok töltési térfogatának
szórása 3,02 és 6,5 ml között van.
HJF Statisztika II.
T.Nagy Judit 12
IV. Hipotézisvizsgálat
Hipotézisvizsgálat: A sokaság valamely pereméterére (vagy egyéb jellemzőjére) vonatkozó állítás
vagy feltevés helyességének vizsgálata egy minta alapján. Ez az állítás a hipotézis.
A hipotézisvizsgálathoz kétféle hipotézist kell megfogalmaznunk, az ún. nullhipotézist és az ezzel
ellentétes tartalmú ellenhipotézist.
MINTAPÉLDA
Egy üdítőitalt palackozó üzemben automata gép tölti a palackokat. Az előírás szerinti töltési térfogat
500 ml. Teljesül-e az előírás?
Ennek ellenőrzéséhez a következő két hipotézist fogalmazhatjuk meg:
Nullhipotézis: 500:Ho (a töltési térfogat 500 ml)
Ellenhipotézis: 500:H1 (a töltési térfogat nem 500 ml)
A nullhipotézis vonatkozhat várható értékre, arányra, szórásra, stb.
A nullhipotézist mindig egyenlőség formájában fogalmazzuk meg.
Az ellenhipotézis háromféle lehet, melyek közül mindig az adott vizsgálatnak megfelelőt használjuk.
Nullhipotézis: oo :H
Alternatív (ellen-) hipotézisek: o1 :H (kétoldali)
o (egyoldali: bal)
o (egyoldali: jobb)
A hipotézisvizsgálat eredménye, hogy valamelyik (H0 vagy H1) hipotézist elfogadjuk a másikkal
szemben. Az eljárást, melynek segítségével (a mintából származó információk alapján) döntünk H0
vagy H1 hipotézisek elfogadásáról statisztikai próbának nevezzük. A döntést a próbafüggvény
segítségével tesszük meg. A próbafüggvény a mintaelemeknek függvénye.
A próbafüggvény tulajdonságai:
Eloszlása, a nullhipotézis fennállása mellett, egyértelműen meghatározható.
Értéke mintáról mintára változhat.
HJF Statisztika II.
T.Nagy Judit 13
Lehetséges értékeinek tartománya két diszjunkt részre bontható:
Elfogadási tartományra (E) és
Visszautasítási tartományra.
A két tartományt a kritikus érték választja el egymástól.
Ha a próbafüggvény aktuális értéke az elfogadási tartományba (E-be) esik, akkor a H0 hipotézist
elfogadjuk, ha a visszautasítási tartományba, akkor nem fogadjuk el (ekkor H1-et fogadjuk el). Ez
utóbbi eset valószínűségét szignifikanciaszintnek () nevezzük. tehát annak valószínűsége, hogy
a próbafüggvény a visszautasítási tartományba esik.
A döntésünk valószínűségi következtetés, mely kockázattal, és hibával járhat. Kétféleképp
hibázhatunk: ha elfogadunk egy nem igaz állítást vagy elvetünk egy igaz állítást. Helyes döntést
szintén kétféleképp hozhatunk: elfogadunk egy igaz állítást, vagy elvetünk egy hamis állítást. Ezek
összefoglalását illetve a különböző esetek valószínűségeit a következő táblázat tartalmazza:
A valóság A H0–ra vonatkozó döntést
Elfogadjuk Elvetjük
H0 igaz Helyes döntés
1-
Elsőfajú hiba
H0 nem igaz Másodfajú hiba
Helyes döntés
1-
-t a próba erejének nevezzük.
1- : megbízhatósági szint.
HJF Statisztika II.
T.Nagy Judit 14
A hipotézisvizsgálat menete (a statisztikai próba lépései):
1. H0 és H1 hipotézisek megfogalmazása
2. A próbafüggvény meghatározása és értékének kiszámítása
3. Szignifikanciaszint megadása
4. Elfogadási tartomány (és visszautasítási tartomány) meghatározása
5. Döntés
A próbák csoportosítása
Paraméteres (IV.1.)
Egy mintás
Várható értékre vonatkozó – átlagpróba (IV.1.1.)
Valószínűségre vonatkozó – aránypróba (IV.1.2.)
Szórásra vonatkozó (IV.1.3.)
Több mintás
Várható értékre vonatkozó - átlagpróba
Valószínűségre vonatkozó - aránypróba
Szórásra
Nem paraméteres (IV.2.)
Illeszkedésvizsgálat (IV.2.1.)
Függetlenségvizsgálat (IV.2.2.)
Varianciaanalízis (IV.2.3.)
IV. 1. Paraméteres próbák
IV. 1. 1. Várható értékre vonatkozó próbák – átlagpróbák (feltétel: normális eloszlás)
Annak ellenőrzésére szolgál, hogy egy normális eloszlású sokaság várható értéke (átlaga) egyenlő-e
(kisebb-e, nagyobb-e) valamilyen feltételezett várható értékkel (értéknél).
A próba menete
Jelölés: m0 a feltételezett várható érték
1.
H0: =m0 (a sokasági várható érték megegyezik a feltételezett várható értékkel)
H1: m0 (a sokasági várható érték nem egyezik meg a feltételezett várható értékkel) vagy
HJF Statisztika II.
T.Nagy Judit 15
H1: <m0 (a sokasági várható érték kisebb a feltételezett várható értéknél) vagy
H1: >m0 (a sokasági várható érték nagyobb a feltételezett várható értéknél)
2.
z próba (ha ismert a szórás)
A próbafüggvény
n
mxz 0
t próba (ha nem ismert a szórás)
A próbafüggvény
n
s
mxt 0
3.
A szignifikanciaszint meghatározza a próba során elkövethető hibák valószínűségét. Ha túl
kicsi, nő, akkor a másodfajú hiba valószínűsége nő. Ekkor megnő a hamis nullhipotézis
elfogadásának valószínűsége. Ha túl nagy az elsőfajú hiba (azaz igaz nullhipotézis
elvetése) elkövetésének valószínűsége, mert ekkor véletlen hibából adódó kis különbséget is
szignifikánsnak tekint. A kétféle hiba előfordulását figyelembe véve 95%-os megbízhatósági
szint terjedt el. Itt „kiegyensúlyozott” a kétféle hibázási lehetőség.
4.
A várható értékre vonatkozó próbafüggvények standard normális vagy t eloszlásúak. Az
elfogadási és visszautasítási tartomány elhelyezkedése az ellenhipotézis állításától függ. (A
standard normális és t eloszlások szimmetrikusak!)
Ha H1: m0
00,0
45
0 100
1- /2 /2
Elfogadási tartomány
HJF Statisztika II.
T.Nagy Judit 16
Ha H1: <m0
00,0
45
0 100
Ha H1: >m0
00,0
45
0 100
Tehát az elfogadási tartományok szignifikanciaszinten:
H1: m0 E
2
12
1z;z
H1: <m0 E ;z1
H1: >m0 E 1z;
H1: m0 E
)1n()1n(
21
21
t;t
H1: <m0 E
;t )1n(
1
H1: >m0 E )1n(
1t;
1-
1-
Elfogadási tartomány
Elfogadási tartomány
HJF Statisztika II.
T.Nagy Judit 17
5.
Ha z ill. t E, akkor H0-t elfogadjuk, ellenkező esetben elvetjük (ekkor H1-et fogadjuk el).
IV. 1. 1. MINTAPÉLDA
Egy üdítőitalt palackozó cég, töltőgépei pontosságának ellenőrzéséhez 40 elemű véletlen mintát vett. A
mintában az átlagos térfogat 498 ml, a szórás 7,5 ml. Az előírás szerinti töltési térfogat 500 ml. A töltési
térfogat normális eloszlást követ.
Feladat
Ellenőrizzük, 95%-os megbízhatósági szinten, hogy a gép előírásnak megfelelően működik-e (azaz a
töltési térfogat 500 ml-nek tekinthető-e).
n = 40, x = 498, s = 7,5, m0 = 500, nem ismert
1. H0: =500 (a gép előírásnak megfelelő)
H1: 500 (a gép nem az előírásnak megfelelő)
2.
n
s
mxt 0 =
40
498
500498 = - 1,6865
3. 1-=0,95, 975,02
1
4. E:
)1n()1n(
21
21
t;t = )39(
975,0
)39(
975,0 t;t = [-2,02 ; 2,02]
5. -1,6865[-2,02 ; 2,02]
Mivel tE, a H0 hipotézist elfogadjuk. Tehát 95%-os megbízhatósági szinten azt állíthatjuk, hogy a
gép előírásnak megfelelően működik.
IV. 1. 1. MINTAPÉLDA
Feladat
Hajtsuk végre a hipotézisellenőrzést úgy is, hogy a szórása maximálisan megengedett értékével, azaz 5
ml-rel számolunk (a térfogat szerinti eloszlás normálisnak tekinthető).
HJF Statisztika II.
T.Nagy Judit 18
n = 40, x = 498, (s = 7,5,) m0 = 500, = 5
1. H0: =500 (a gép előírásnak megfelelő)
H1: 500 (a gép nem az előírásnak megfelelő)
2.
n
mxz 0
=
40
5
500498z
= - 2,5298
3. 1-=0,95, 975,02
1
4. E:
2
12
1z;z = 975,0975,0 z;z = [-1,96 ; 1,96]
5. -2,5298[-1,96 ; 1,96]
Mivel zE, a H0 hipotézist elvetjük (H1-et elfogadjuk). Tehát 95%-os megbízhatósági szinten állíthatjuk,
hogy a gép nem az előírásnak megfelelően működik.
IV.1.2. Valószínűségre vonatkozó próba – aránypróba (feltétel: nagy minta, n100)
Annak ellenőrzésére szolgál, hogy nagy minta esetén a sokasági arány (valószínűség) egyenlő-e (kisebb-
e, nagyobb-e) valamilyen feltételezett aránnyal (aránynál).
A próba menete
Jelölés: P0 a feltételezett valószínűség
1.
H0: P=P0 (a sokasági arány egyenlő a feltételezett valószínűséggel)
H1: PP0 (a sokasági arány nem egyenlő a feltételezett valószínűséggel) vagy
H1: P<P0 (a sokasági arány kisebb a feltételezett valószínűségnél) vagy
H1: P>P0 (a sokasági arány nagyobb a feltételezett valószínűségnél)
HJF Statisztika II.
T.Nagy Judit 19
2.
z próba: A próbafüggvény
n
)P1(P
Ppz
00
0
4.
A valószínűségre vonatkozó próbafüggvény standard normális eloszlású. Az elfogadási- és
visszautasítási tartomány elhelyezkedése szignifikanciaszinten ugyanaz, mint a (z)
átlagpróbánál.
IV. 1. 2. MINTAPÉLDA
Egy gyorséttermi akció célja, hogy hatására a vásárlók legalább 20%-a vásárolja meg az adott terméket.
350 vásárlót tartalmazó véletlen mintában 65-en megvásárolták a szóban forgó terméket.
Feladat
Ellenőrizzük, hogy sikeresnek tekinthető-e az akció 5%-os szignifikanciaszinten.
k = 65, n = 350, P0 = 0,2
1.
H0: P=0,2
H1: P<0,2
A nullhipotézist egyenlőség formájában fogalmazzuk meg, de
elfogadása azt jelentené, hogy az arány 20%, vagy annál nagyobb
(P0,2), az alternatív hipotézisben pedig ennek ellenkezőjét
(P<0,2) az arány 20% alatti.
2. 350
65p = 0,186
n
)P1(P
Ppz
00
0
350
8,02,0
2,0186,0
= - 0,6548
3. =0,05 1- = 0,95
4. E: ;z1 = [-1,65 ; ]
5. -0,6548[-1,65 ; ]
Mivel zE, a H0 hipotézist elfogadjuk. Tehát 95%-os megbízhatósági szinten sikeresnek tekinthető az
akció.
HJF Statisztika II.
T.Nagy Judit 20
IV. 1. 3. Szórásra vonatkozó próba (feltétel: normális eloszlás)
Annak ellenőrzésére szolgál, hogy egy normális eloszlású sokaság szórása megegyezik-e (kisebb-e,
nagyobb-e) valamilyen feltételezett szórással (szórásnál).
A próba menete
Jelölés: 0 a feltételezett szórás
1.
H0: =0 (a sokasági szórás egyenlő a feltételezett szórással)
H1: 0 (a sokasági szórás nem egyenlő a feltételezett szórással)
H1: <0 (a sokasági szórás kisebb a feltételezett szórásnál)
H1: >0 (a sokasági szórás nagyobb a feltételezett szórásnál)
2.
2 próba: A próbafüggvény
2
0
22 s)1n(
A szórásra vonatkozó próbafüggvény n-1 szabadsági fokú 2 eloszlást követ. Az elfogadási és
visszautasítási tartomány elhelyezkedése itt is az ellenhipotézis állításától függ. (Viszont a 2
eloszlás nem szimmetrikus!)
4.
Az elfogadási tartományok szignifikanciaszinten
H1: 0 E
)1n(
21
2)1n(
2
2 ;
H1: <0 E
;
)1n(2
H1: >0 E )1n(2
1;0
HJF Statisztika II.
T.Nagy Judit 21
IV. 1. 3. MINTAPÉLDA
Feladat
Az IV.1.1. és IV.1.2. Mintapéldára vonatkozóan ellenőrizzük azt a feltevést, 5%-os
szignifikanciaszinten, hogy a töltési térfogat szórása előírásnak megfelelő, azaz nem haladja meg az 5
ml-t.
n = 40, s = 7,5, = 5
1.
H0: =5
H1: >5
A nullhipotézist egyenlőség formájában fogalmazzuk meg, de
elfogadása azt jelentené, hogy a szórás 5 ml, vagy annál kisebb,
azaz 5; az alternatív hipotézisben pedig ennek ellenkezőjét: a
szórás meghaladja az előírtat.
2. 2
0
22 s)1n(
2
2
5
5,739 =87,75
3. =0,05 1- = 0,95
4. E )1n(2
1;0
= )39(
95,02;0 =[0 ; 55,76]
5. 87,75[0 ; 55,76]
Mivel 2E, a H0 hipotézist elvetjük (H1-et elfogadjuk). Tehát 95%-os megbízhatóságai azt állíthatjuk,
hogy a szórás meghaladja az előírás szerintit.
HJF Statisztika II.
T.Nagy Judit 22
IV. Nemparaméteres próbák
IV.2.1. Illeszkedésvizsgálat – egyenletes eloszlásra (feltétel: legkisebb feltételezett gyakoriság 5 és
nagy minta)
Annak ellenőrzésére szolgál, hogy a sokaság a feltételezett (egyenletes) eloszlást követi-e, nagy minta
esetén.
Mindig jobboldali a próba.
A próba menete
Jelölések: fi =k
n
k: az ismérvváltozatok száma
fi: mintában tapasztalt gyakoriság
fi*: feltételezett gyakoriság
i=1, 2, …,k
1.
H0: fi=fi* (a sokaság eloszlása megegyezik az egyenletes eloszlással)
H1: i: fifi* (a sokaság eloszlása nem egyezik meg az egyenletes eloszlással)
2.
A próbafüggvény:
k
1i*
i
2*
ii2
f
)ff(
A próbafüggvény k-1 szabadsági fokú khí négyzet eloszlást követ
4.
Elfogadási tartomány szignifikancia szinten: E )1k(2
1;0
IV. 2.1. MINTAPÉLDA
A jogász szakra készülő érettségizők, különböző vidéki egyetemekre történő jelentkezésének eloszlását
vizsgálták, a következő 150 elemű reprezentatív minta alapján:
HJF Statisztika II.
T.Nagy Judit 23
Egyetem városa Jelentkezők száma (fő)
Debrecen 23
Győr 20
Miskolc 37
Pécs 29
Szeged 41
Összesen 150
Feladat
Ellenőrizzük 5%-os szignifikanciaszinten, hogy egyenlő megoszlásban jelentkeznek-e a különböző
vidéki egyetemekre.
n = 150, k = 5, fi* =
5
150= 30 (i=1, 2, …,5)
1. H0: fi=fi* (az eloszlás egyenletes)
H1: i: fifi* (az eloszlás nem egyenletes)
2. A próbafüggvény kiszámításához a következő munkatáblázat készíthető:
fi fi*
*
i
2*
ii
f
)ff(
23 30 1,63
20 30 3,33
37 30 1,63
29 30 0,03
41 30 4,03
Összesen 150 150 10,65
k
1i*
i
2*
ii2
f
)ff(=10,65
3. =0,05 1- = 0,95
4. Elfogadási tartomány szignifikanciaszinten: E )1k(2
1;0
= )4(
95,02;0 =[0 ; 9,49]
5. 10,65[0 ; 9,49]
Mivel 2E, a H0 hipotézist elvetjük (H1-et elfogadjuk). Tehát 95%-os megbízhatósággal azt állíthatjuk,
hogy a felvételizők nem egyenlő megoszlásban jelentkeznek az egyes vidéki városok jogi egyetemeire.
HJF Statisztika II.
T.Nagy Judit 24
IV.2.2. Függetlenségvizsgálat (feltétel: legkisebb feltételezett gyakoriság 5 és nagy minta)
Asszociációs kapcsolat meglétének vizsgálatára szolgál, nagy mintából.
Mindig jobboldali.
A próba menete
Jelölések: fij: a mintában tapasztalt gyakoriság,
fij*: függetlenség esetén tapasztalt gyakoriság,
n
fff
ji*
ij
t, s: ismérvváltozatok száma (sorok, oszlopok)
1.
H0: fij=fij* (a kapcsolat teljes hiánya, azaz függetlenség)
H1: i, j: fijfij* (sztochasztikus kapcsolat van)
2.
A próbafüggvény:
s
i
t
j ij
ijij
f
ff
1 1*
2*
2
A próbafüggvény (s-1)(t-1) szabadsági fokú khí négyzet eloszlást követ
4.
Elfogadási tartomány szignifikancia szinten: E )1t)(1s(2
1;0
IV. 2.1. MINTAPÉLDA
Egy piackutató cég vizsgálta, hogy van-e kapcsolat az iskolai végzettség és az internet használat között
Magyarországon (2006):
HJF Statisztika II.
T.Nagy Judit 25
Feladat
Ellenőrizzük 5%-os szignifikanciaszinten, hogy van-e szignifikáns kapcsolat az iskolai végzettség és az
internetezési szokás között.
s = 4, t = 2
1. H0: fij=fij* (nincs kapcsolat, független a két ismérv)
H1: i, j: fijfij* (van kapcsolat a két ismérv között)
2. A próbafüggvény kiszámításához a következő két munkatáblázat készíthető:
Az elsőben az fij*
értékek találhatók, melyek a peremgyakoriságokból számíthatók ki az
n
fff
ji*
ij
képlettel:
Pl. 333
10293f
*
11
= 28,49
333
23193f
*
12
= 64,51
333
10285f
*
21
= 26,04
internetezési
iskolai szokás
végzettség
internetezik soha sem
internetezik Összesen
Legfeljebb 8 általános 5 88 93
Szakmunkás 11 74 85
Érettségi 35 43 78
Diploma 51 26 77
Összesen 102 231 333
fij* Internetezik
soha sem
internetezik Összesen
Legfeljebb 8 általános 28,49 64,51 93
Szakmunkás 26,04 58,96 85
Érettségi 23,89 54,11 78
Diploma 23,59 53,41 77
Összesen 102 231 333
HJF Statisztika II.
T.Nagy Judit 26
Az másodikban pedig az
*
ij
2*
ijij
f
ff értékek találhatók, melyek összege adja 2 próbafüggvény
aktuális érékét:
Pl.
49,28
49,2852
= 19,37
51,64
51,64882
= 8,55
04,26
04,26112
= 8,69
s
1i
t
1j*
ij
2*
ijij2
f
ff=93,82
3. =0,05 1- = 0,95
4. )1t)(1s(2
1;0
=
13
95,02;0
=[0 ; 7,81]
5. 93,82[0 ; 7,81]
Mivel2E, a H0 hipotézist elvetjük (H1-et elfogadjuk). Tehát szignifikáns kapcsolat van 5%-os
szignifikanciaszinten az iskolai végzettség és az internetezési szokás között.
IV.2.3. Varianciaanalízis (ANOVA) (feltétel: normális eloszlás, csoportonként azonos szórás)
Többmintás várható értékre vonatkozó próba, vegyes kapcsolat meglétének vizsgálatára szolgál.
A próba menete
Jelölések: i: az egyes csoportok mintabeli várható értéke
: a feltételezett közös várható érték
*
ij
2*
ijij
f
ff Internetezik
soha sem
internetezik Összesen
Legfeljebb 8 általános 19,37 8,55
Szakmunkás 8,69 3,84
Érettségi 5,17 2,82
Diploma 31,85 14,07
Összesen 93,82
HJF Statisztika II.
T.Nagy Judit 27
m: a minőségi ismérv szerinti csoportok száma
1.
H0: 1 = 2 = … = m =
H1: i: i
(a minőségi ismérv szerinti minden csoportban azonos a
vizsgált mennyiségi ismérv várható értéke, tehát nincs
kapcsolat az ismérvek között)
(sztochasztikus kapcsolat van az ismérvek között)
2.
A próbafüggvény: F=
)mn(S
)1m(S
B
K
ahol 2
jjK xxnS 2
jj
2
jijB s)1n(xxS n
xnx
jj .
A próbafüggvény m-1, n-m szabadsági fokú F eloszlást követ.
4.
Elfogadási tartomány szignifikancia szinten: E mn,1m
1F;0
IV. 2.3. MINTAPÉLDA
Egy budapesti ingatlaniroda 2007. márciusában vizsgálta, egy körzetben eladó 63 m2-es lakások kínálati
árait és az elhelyezkedésüket (V. VI. VII. kerület):
Elhelyezkedés
Lakások száma
nj
Átlagos
kínálati ár
(millió Ft)
x j
A kínálati ár
szórása
(millió Ft)
s j
V. kerület 40 28,3 3,35
VI. kerület 60 23,8 2,57
VII. kerület 90 20,0 1,96
190
HJF Statisztika II.
T.Nagy Judit 28
Feladat
Ellenőrizzük 5%-os szignifikanciaszinten, hogy van-e szignifikáns kapcsolat a budapesti (V. VI. VII.
kerületi) lakások elhelyezkedése és a kínálati ár között. (A kínálati ár normális eloszlást követ és
feltételezhető a csoportonkénti azonos szórás.)
n = 190, m = 3, x 1 = 28,3, x 2 = 23,8, x 3 = 20
1. H0: x 1 = x 2 = x 3 = x
(minden csoportban egyenlő a várható érék az együttes várható
értékkel, azaz nincs kapcsolat)
H1: valamelyik x i x (sztochasztikus kapcsolat van)
2. n
xnx
jj = 22,95
2
jjK xxnS =1971,47
2
jjB s)1n(S =1169,27
Próbafüggvény: F=
)mn(S
)1m(S
B
K
= 157,65
3. =0,05 1- = 0,95
4. E mn;1m
1F;0
= 187;2
95,0F;0 =[0 ; 3,04]
5. 157,65[0 ; 3,04]
Mivel FE, a H0 hipotézist elvetjük (H1-et elfogadjuk). Tehát szignifikáns kapcsolat van 5%-os
szignifikanciaszinten a lakás elhelyezkedése és a kínálati ár között.
HJF Statisztika II.
T.Nagy Judit 29
Gyakorló Feladatok
1. Egy telefonos ügyfélszolgálaton a beérkező reklamációs hívások időtartamát rögzítik (a hívások
időtartama normális eloszlást követ).
Egy véletlenszerűen kiválasztott napon megfigyelték 20 ügyfél hívásának időtartamát (perc):
1,50 1,75 2,00 3,50 4,50 5,00 5,00 5,25 5,75 5,25 5,50 6,40 6,75 7,00 7,25 8,00 9,50 10,50 12,00 15,00
Feladat
Készítsen 99%-os megbízhatóságú konfidenciaintervallumot egy hívás átlagos időtartamára
Becsülje 99%-os megbízhatósággal a hívások időtartamának szórását.
Becsülje 99%-os megbízhatósággal az 10 percnél hosszabb idejű hívások arányát.
Vizsgálja meg azt az állítást 5%-os szignifikanciaszinten, hogy a hívások fele 5 percnél hosszabb fele 5
percnél rövidebb.
2. Helyhatósági választások alkalmával, egy adott körzetben 10 000 szavazat összeszámlálása után a
legjobban álló polgármesterjelölt a szavazatok 45%-át nyerte el.
Feladat
Becsülje meg a végleges szavazatok arányát 99%-os megbízhatósági szinten. (FAE mintát feltételezve.)
3. Egy újság olvasóinak életkorát vizsgálta a következő reprezentatív minta alapján. Az életkor szerinti
eloszlás normálisnak tekinthető.
Életkor (év) Olvasók száma (fő)
-18 3
18-28 18
28-38 30
38-48 48
48-58 30
58- 21
Összesen 150
Feladat
Becsülje meg 95%-os megbízhatósággal az olvasók átlagéletkorát, ha előző vizsgálatokból ismert, hogy
az életkor szórása 15 év.
Ellenőrizze 5%-os szignifikanciaszint mellett azt az állítást, hogy az olvasók átlagéletkora legfeljebb 45
év, ha előző vizsgálatokból ismert, hogy az életkor szórása 15 év.
Becsülje meg 95%-os megbízhatósági szinten a 2 évnél fiatalabb olvasók arányát.
Becsülje meg 95%-os megbízhatósági szinten a 2 évnél fiatalabb olvasók számát, ha az újság 600 000
példányszámú.
Ellenőrizze azt az állítást, 5%-os szignifikanciaszinten, hogy az átlagéletkor szórása valóban 15 év-e.
HJF Statisztika II.
T.Nagy Judit 30
4. Budapesti 50 m2-es kiadó lakások havi bérleti díját vizsgálták (reprezentatív minta alapján):
Bérleti díj
(eFt)
Lakások
száma
(db)
-40 8
40-60 23
60-80 59
80-100 28
100- 12
Összesen 130
Feladat
Becsülje 90%-os megbízhatósággal a bérleti díj szórását (normális eloszlást feltételezve).
Becsülje 90%-os megbízhatósággal az 50 m2–es lakások átlagos havi bérleti díját.
Ellenőrizze azt az állítást, 5%-os szignifikanciaszinten, hogy a lakások átlagos bérleti díja meghaladja a
75 ezer Ft.
Ellenőrizze azt az állítást, 5%-os szignifikanciaszinten, hogy a bérleti díj szórása a 20 ezer Ft alatt van.
5. A 2007-ben felvettek néhány adata:
Állami
Költség-
térítéses
férfi 22 509 13 507
nő 26 217 19 330
OFIK
Feladat
Ellenőrizze 5%-os szignifikanciaszinten, hogy van-e szignifikáns kapcsolat a nem és a jelentkező
finanszírozási formája között.
6. Egy üzletben feljegyezték az óránként érkező vevők számát:
Óra Vevők száma
9-10 19
10_ 11 25
HJF Statisztika II.
T.Nagy Judit 31
11_ 12 21
12_ 13 31
13-14 28
14-15 17
15-16 23
16-17 32
Feladat:
Ellenőrizze azt az állítást, 5%-os szignifikanciaszinten, hogy az üzletben óránként azonos
valószínűséggel vásárolnak.
7. Négy, fogyókúrát elősegítő eljárást teszteltek. A vizsgálat során egyszerű véletlen mintavétellel
kiválasztottak a tesztelésben részt vevő 5-5 személyt. Az elért súlyveszteségek az egyes eljárások
mellett:
Eljárás Súlyveszteség (kg)
A 14 15 16 17 18
B 10 14 10 9 12
C 8 11 10 8 8
D 13 16 15 14 12
Feladat:
Vizsgálja meg, hogy van-e szignifikáns különbség az egyes eljárások között (=0,05).
HJF Statisztika II.
T.Nagy Judit 32
Függelék
HJF Statisztika II.
T.Nagy Judit 33
1. A standard normális eloszlás táblázata
z Φ(z) z Φ(z) z Φ(z) z Φ(z) z Φ(z) z Φ(z)
0,00 0,5000 0,50 0,6915 1,00 0,8413 1,50 0,9332 2,00 0,9772 3,00 0,9987 0,01 0,5040 0,51 0,6950 1,01 0,8438 1,51 0,9345 2,02 0,9783 3,10 0,9990 0,02 0,5080 0,52 0,6985 1,02 0,8461 1,52 0,9357 2,04 0,9793 3,20 0,9993 0,03 0,5120 0,53 0,7019 1,03 0,8485 1,53 0,9370 2,06 0,9803 3,30 0,9995 0,04 0,5160 0,54 0,7054 1,04 0,8508 1,54 0,9382 2,08 0,9812 3,40 0,9997 0,05 0,5199 0,55 0,7088 1,05 0,8531 1,55 0,9394 2,10 0,9821 3,50 0,9998 0,06 0,5239 0,56 0,7123 1,06 0,8554 1,56 0,9406 2,12 0,9830 3,60 0,9998 0,07 0,5279 0,57 0,7157 1,07 0,8577 1,57 0,9418 2,14 0,9838 3,70 0,9999 0,08 0,5319 0,58 0,7190 1,08 0,8599 1,58 0,9429 2,16 0,9846 3,80 0,9999 0,09 0,5359 0,59 0,7224 1,09 0,8621 1,59 0,9441 2,18 0,9854 3,90 0,99995 0,10 0,5398 0,60 0,7257 1,10 0,8643 1,60 0,9452 2,20 0,9861 4,00 0,99997
0,11 0,5438 0,61 0,7291 1,11 0,8665 1,61 0,9463 2,22 0,9868 0,12 0,5478 0,62 0,7324 1,12 0,8686 1,62 0,9474 2,24 0,9875 0,13 0,5517 0,63 0,7357 1,13 0,8708 1,63 0,9484 2,26 0,9881 0,14 0,5557 0,64 0,7389 1,14 0,8729 1,64 0,9495 2,28 0,9887 0,15 0,5596 0,65 0,7422 1,15 0,8749 1,65 0,9505 2,30 0,9893 0,16 0,5636 0,66 0,7454 1,16 0,8770 1,66 0,9515 2,32 0,9898 0,17 0,5675 0,67 0,7486 1,17 0,8790 1,67 0,9525 2,34 0,9904 0,18 0,5714 0,68 0,7517 1,18 0,8810 1,68 0,9535 2,36 0,9909 0,19 0,5753 0,69 0,7549 1,19 0,8830 1,69 0,9545 2,38 0,9913 0,20 0,5793 0,70 0,7580 1,20 0,8849 1,70 0,9554 2,40 0,9918
0,21 0,5832 0,71 0,7611 1,21 0,8869 1,71 0,9564 2,42 0,9922 0,22 0,5871 0,72 0,7642 1,22 0,8888 1,72 0,9573 2,44 0,9927 0,23 0,5910 0,73 0,7673 1,23 0,8907 1,73 0,9582 2,46 0,9931 0,24 0,5948 0,74 0,7704 1,24 0,8925 1,74 0,9591 2,48 0,9934 0,25 0,5987 0,75 0,7734 1,25 0,8944 1,75 0,9599 2,50 0,9938 0,26 0,6026 0,76 0,7764 1,26 0,8962 1,76 0,9608 2,52 0,9941 0,27 0,6064 0,77 0,7794 1,27 0,8980 1,77 0,9616 2,54 0,9945 0,28 0,6103 0,78 0,7823 1,28 0,8997 1,78 0,9625 2,56 0,9948 0,29 0,6141 0,79 0,7852 1,29 0,9015 1,79 0,9633 2,58 0,9951 0,30 0,6179 0,80 0,7881 1,30 0,9032 1,80 0,9641 2,60 0,9953
0,31 0,6217 0,81 0,7910 1,31 0,9049 1,81 0,9649 2,62 0,9956 0,32 0,6255 0,82 0,7939 1,32 0,9066 1,82 0,9656 2,64 0,9959 0,33 0,6293 0,83 0,7967 1,33 0,9082 1,83 0,9664 2,66 0,9961 0,34 0,6331 0,84 0,7995 1,34 0,9099 1,84 0,9671 2,68 0,9963 0,35 0,6368 0,85 0,8023 1,35 0,9115 1,85 0,9678 2,70 0,9965 0,36 0,6406 0,86 0,8051 1,36 0,9131 1,86 0,9686 2,72 0,9967 0,37 0,6443 0,87 0,8078 1,37 0,9147 1,87 0,9693 2,74 0,9969 0,38 0,6480 0,88 0,8106 1,38 0,9162 1,88 0,9699 2,76 0,9971 0,39 0,6517 0,89 0,8133 1,39 0,9177 1,89 0,9706 2,78 0,9973 0,40 0,6554 0,90 0,8159 1,40 0,9192 1,90 0,9713 2,80 0,9974
0,41 0,6591 0,91 0,8186 1,41 0,9207 1,91 0,9719 2,82 0,9976 0,42 0,6628 0,92 0,8212 1,42 0,9222 1,92 0,9726 2,84 0,9977 0,43 0,6664 0,93 0,8238 1,43 0,9236 1,93 0,9732 2,86 0,9979 0,44 0,6700 0,94 0,8264 1,44 0,9251 1,94 0,9738 2,88 0,9980 0,45 0,6736 0,95 0,8289 1,45 0,9265 1,95 0,9744 2,90 0,9981 0,46 0,6772 0,96 0,8315 1,46 0,9279 1,96 0,9750 2,92 0,9982 0,47 0,6808 0,97 0,8340 1,47 0,9292 1,97 0,9756 2,94 0,9984 0,48 0,6844 0,98 0,8365 1,48 0,9306 1,98 0,9761 2,96 0,9985 0,49 0,6879 0,99 0,8389 1,49 0,9319 1,99 0,9767 2,98 0,9986
HJF Statisztika II.
T.Nagy Judit 34
2. A Student-féle t eloszlás táblázata
Szf 0,55 0,6 0,7 0,8 0,9 0,95 0,975 0,9775 0,99 0,995
1 0,1584 0,3249 0,7265 1,3764 3,0777 6,3138 12,7062 14,1235 31,8205 63,6567
2 0,1421 0,2887 0,6172 1,0607 1,8856 2,9200 4,3027 4,5534 6,9646 9,9248
3 0,1366 0,2767 0,5844 0,9785 1,6377 2,3534 3,1824 3,3216 4,5407 5,8409
4 0,1338 0,2707 0,5686 0,9410 1,5332 2,1318 2,7764 2,8803 3,7469 4,6041
5 0,1322 0,2672 0,5594 0,9195 1,4759 2,0150 2,5706 2,6578 3,3649 4,0321
6 0,1311 0,2648 0,5534 0,9057 1,4398 1,9432 2,4469 2,5247 3,1427 3,7074
7 0,1303 0,2632 0,5491 0,8960 1,4149 1,8946 2,3646 2,4363 2,9980 3,4995
8 0,1297 0,2619 0,5459 0,8889 1,3968 1,8595 2,3060 2,3735 2,8965 3,3554
9 0,1293 0,2610 0,5435 0,8834 1,3830 1,8331 2,2622 2,3266 2,8214 3,2498
10 0,1289 0,2602 0,5415 0,8791 1,3722 1,8125 2,2281 2,2902 2,7638 3,1693
11 0,1286 0,2596 0,5399 0,8755 1,3634 1,7959 2,2010 2,2612 2,7181 3,1058
12 0,1283 0,2590 0,5386 0,8726 1,3562 1,7823 2,1788 2,2375 2,6810 3,0545
13 0,1281 0,2586 0,5375 0,8702 1,3502 1,7709 2,1604 2,2178 2,6503 3,0123
14 0,1280 0,2582 0,5366 0,8681 1,3450 1,7613 2,1448 2,2012 2,6245 2,9768
15 0,1278 0,2579 0,5357 0,8662 1,3406 1,7531 2,1314 2,1870 2,6025 2,9467
16 0,1277 0,2576 0,5350 0,8647 1,3368 1,7459 2,1199 2,1747 2,5835 2,9208
17 0,1276 0,2573 0,5344 0,8633 1,3334 1,7396 2,1098 2,1639 2,5669 2,8982
18 0,1274 0,2571 0,5338 0,8620 1,3304 1,7341 2,1009 2,1544 2,5524 2,8784
19 0,1274 0,2569 0,5333 0,8610 1,3277 1,7291 2,0930 2,1460 2,5395 2,8609
20 0,1273 0,2567 0,5329 0,8600 1,3253 1,7247 2,0860 2,1385 2,5280 2,8453
21 0,1272 0,2566 0,5325 0,8591 1,3232 1,7207 2,0796 2,1318 2,5176 2,8314
22 0,1271 0,2564 0,5321 0,8583 1,3212 1,7171 2,0739 2,1256 2,5083 2,8188
23 0,1271 0,2563 0,5317 0,8575 1,3195 1,7139 2,0687 2,1201 2,4999 2,8073
24 0,1270 0,2562 0,5314 0,8569 1,3178 1,7109 2,0639 2,1150 2,4922 2,7969
25 0,1269 0,2561 0,5312 0,8562 1,3163 1,7081 2,0595 2,1104 2,4851 2,7874
26 0,1269 0,2560 0,5309 0,8557 1,3150 1,7056 2,0555 2,1061 2,4786 2,7787
27 0,1268 0,2559 0,5306 0,8551 1,3137 1,7033 2,0518 2,1022 2,4727 2,7707
28 0,1268 0,2558 0,5304 0,8546 1,3125 1,7011 2,0484 2,0986 2,4671 2,7633
29 0,1268 0,2557 0,5302 0,8542 1,3114 1,6991 2,0452 2,0952 2,4620 2,7564
30 0,1267 0,2556 0,5300 0,8538 1,3104 1,6973 2,0423 2,0920 2,4573 2,7500
40 0,1265 0,2550 0,5286 0,8507 1,3031 1,6839 2,0211 2,0695 2,4233 2,7045
50 0,1263 0,2547 0,5278 0,8489 1,2987 1,6759 2,0086 2,0562 2,4033 2,6778
100 0,1260 0,2540 0,5261 0,8452 1,2901 1,6602 1,9840 2,0301 2,3642 2,6259
120 0,1259 0,2539 0,5258 0,8446 1,2886 1,6577 1,9799 2,0258 2,3578 2,6174
100000 0,1257 0,2533 0,5244 0,8416 1,2816 1,6449 1,9600 2,0047 2,3264 2,5759
HJF Statisztika II.
T.Nagy Judit 35
3. A 2 eloszlás táblázata
szf 0,01 0,01 0,03 0,05 0,10 0,25 0,50 0,75 0,90 0,95 0,98 1,00
1 0,00 0,00 0,00 0,00 0,02 0,10 0,45 1,32 2,71 3,84 5,02 7,88
2 0,01 0,02 0,05 0,10 0,21 0,58 1,39 2,77 4,61 5,99 7,38 10,60
3 0,07 0,11 0,22 0,35 0,58 1,21 2,37 4,11 6,25 7,81 9,35 12,84
4 0,21 0,30 0,48 0,71 1,06 1,92 3,36 5,39 7,78 9,49 11,14 14,86
5 0,41 0,55 0,83 1,15 1,61 2,67 4,35 6,63 9,24 11,07 12,83 16,75
6 0,68 0,87 1,24 1,64 2,20 3,45 5,35 7,84 10,64 12,59 14,45 18,55
7 0,99 1,24 1,69 2,17 2,83 4,25 6,35 9,04 12,02 14,07 16,01 20,28
8 1,34 1,65 2,18 2,73 3,49 5,07 7,34 10,22 13,36 15,51 17,53 21,95
9 1,73 2,09 2,70 3,33 4,17 5,90 8,34 11,39 14,68 16,92 19,02 23,59
10 2,16 2,56 3,25 3,94 4,87 6,74 9,34 12,55 15,99 18,31 20,48 25,19
11 2,60 3,05 3,82 4,57 5,58 7,58 10,34 13,70 17,28 19,68 21,92 26,76
12 3,07 3,57 4,40 5,23 6,30 8,44 11,34 14,85 18,55 21,03 23,34 28,30
13 3,57 4,11 5,01 5,89 7,04 9,30 12,34 15,98 19,81 22,36 24,74 29,82
14 4,07 4,66 5,63 6,57 7,79 10,17 13,34 17,12 21,06 23,68 26,12 31,32
15 4,60 5,23 6,26 7,26 8,55 11,04 14,34 18,25 22,31 25,00 27,49 32,80
16 5,14 5,81 6,91 7,96 9,31 11,91 15,34 19,37 23,54 26,30 28,85 34,27
17 5,70 6,41 7,56 8,67 10,09 12,79 16,34 20,49 24,77 27,59 30,19 35,72
18 6,26 7,01 8,23 9,39 10,86 13,68 17,34 21,60 25,99 28,87 31,53 37,16
19 6,84 7,63 8,91 10,12 11,65 14,56 18,34 22,72 27,20 30,14 32,85 38,58
20 7,43 8,26 9,59 10,85 12,44 15,45 19,34 23,83 28,41 31,41 34,17 40,00
21 8,03 8,90 10,28 11,59 13,24 16,34 20,34 24,93 29,62 32,67 35,48 41,40
22 8,64 9,54 10,98 12,34 14,04 17,24 21,34 26,04 30,81 33,92 36,78 42,80
23 9,26 10,20 11,69 13,09 14,85 18,14 22,34 27,14 32,01 35,17 38,08 44,18
24 9,89 10,86 12,40 13,85 15,66 19,04 23,34 28,24 33,20 36,42 39,36 45,56
25 10,52 11,52 13,12 14,61 16,47 19,94 24,34 29,34 34,38 37,65 40,65 46,93
26 11,16 12,20 13,84 15,38 17,29 20,84 25,34 30,43 35,56 38,89 41,92 48,29
27 11,81 12,88 14,57 16,15 18,11 21,75 26,34 31,53 36,74 40,11 43,19 49,64
28 12,46 13,56 15,31 16,93 18,94 22,66 27,34 32,62 37,92 41,34 44,46 50,99
29 13,12 14,26 16,05 17,71 19,77 23,57 28,34 33,71 39,09 42,56 45,72 52,34
30 13,79 14,95 16,79 18,49 20,60 24,48 29,34 34,80 40,26 43,77 46,98 53,67
40 20,71 22,16 24,43 26,51 29,05 33,66 39,34 45,62 51,81 55,76 59,34 66,77
50 27,99 29,71 32,36 34,76 37,69 42,94 49,33 56,33 63,17 67,50 71,42 79,49
60 35,53 37,48 40,48 43,19 46,46 52,29 59,33 66,98 74,40 79,08 83,30 91,95
80 51,17 53,54 57,15 60,39 64,28 71,14 79,33 88,13 96,58 101,88 106,63 116,32
100 67,33 70,06 74,22 77,93 82,36 90,13 99,33 109,14 118,50 124,34 129,56 140,17
200 152,24 156,43 162,73 168,28 174,84 186,17 199,33 213,10 226,02 233,99 241,06 255,26
HJF Statisztika II.
T.Nagy Judit 36
4. Az F eloszlás táblázata
szf 1
szf 2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
1 161,45 18,51 10,13 7,71 6,61 5,99 5,59 5,32 5,12 4,96 4,84 4,75 4,67 4,60 4,54 4,49 4,45
2 199,50 19,00 9,55 6,94 5,79 5,14 4,74 4,46 4,26 4,10 3,98 3,89 3,81 3,74 3,68 3,63 3,59
3 215,71 19,16 9,28 6,59 5,41 4,76 4,35 4,07 3,86 3,71 3,59 3,49 3,41 3,34 3,29 3,24 3,20
4 224,58 19,25 9,12 6,39 5,19 4,53 4,12 3,84 3,63 3,48 3,36 3,26 3,18 3,11 3,06 3,01 2,96
5 230,16 19,30 9,01 6,26 5,05 4,39 3,97 3,69 3,48 3,33 3,20 3,11 3,03 2,96 2,90 2,85 2,81
6 233,99 19,33 8,94 6,16 4,95 4,28 3,87 3,58 3,37 3,22 3,09 3,00 2,92 2,85 2,79 2,74 2,70
7 236,77 19,35 8,89 6,09 4,88 4,21 3,79 3,50 3,29 3,14 3,01 2,91 2,83 2,76 2,71 2,66 2,61
8 238,88 19,37 8,85 6,04 4,82 4,15 3,73 3,44 3,23 3,07 2,95 2,85 2,77 2,70 2,64 2,59 2,55
9 240,54 19,38 8,81 6,00 4,77 4,10 3,68 3,39 3,18 3,02 2,90 2,80 2,71 2,65 2,59 2,54 2,49
10 241,88 19,40 8,79 5,96 4,74 4,06 3,64 3,35 3,14 2,98 2,85 2,75 2,67 2,60 2,54 2,49 2,45
11 242,98 19,40 8,76 5,94 4,70 4,03 3,60 3,31 3,10 2,94 2,82 2,72 2,63 2,57 2,51 2,46 2,41
12 243,91 19,41 8,74 5,91 4,68 4,00 3,57 3,28 3,07 2,91 2,79 2,69 2,60 2,53 2,48 2,42 2,38
13 244,69 19,42 8,73 5,89 4,66 3,98 3,55 3,26 3,05 2,89 2,76 2,66 2,58 2,51 2,45 2,40 2,35
14 245,36 19,42 8,71 5,87 4,64 3,96 3,53 3,24 3,03 2,86 2,74 2,64 2,55 2,48 2,42 2,37 2,33
15 245,95 19,43 8,70 5,86 4,62 3,94 3,51 3,22 3,01 2,85 2,72 2,62 2,53 2,46 2,40 2,35 2,31
16 246,46 19,43 8,69 5,84 4,60 3,92 3,49 3,20 2,99 2,83 2,70 2,60 2,51 2,44 2,38 2,33 2,29
17 246,92 19,44 8,68 5,83 4,59 3,91 3,48 3,19 2,97 2,81 2,69 2,58 2,50 2,43 2,37 2,32 2,27
18 247,32 19,44 8,67 5,82 4,58 3,90 3,47 3,17 2,96 2,80 2,67 2,57 2,48 2,41 2,35 2,30 2,26
19 247,69 19,44 8,67 5,81 4,57 3,88 3,46 3,16 2,95 2,79 2,66 2,56 2,47 2,40 2,34 2,29 2,24
20 248,01 19,45 8,66 5,80 4,56 3,87 3,44 3,15 2,94 2,77 2,65 2,54 2,46 2,39 2,33 2,28 2,23
21 248,31 19,45 8,65 5,79 4,55 3,86 3,43 3,14 2,93 2,76 2,64 2,53 2,45 2,38 2,32 2,26 2,22
22 248,58 19,45 8,65 5,79 4,54 3,86 3,43 3,13 2,92 2,75 2,63 2,52 2,44 2,37 2,31 2,25 2,21
23 248,83 19,45 8,64 5,78 4,53 3,85 3,42 3,12 2,91 2,75 2,62 2,51 2,43 2,36 2,30 2,24 2,20
24 249,05 19,45 8,64 5,77 4,53 3,84 3,41 3,12 2,90 2,74 2,61 2,51 2,42 2,35 2,29 2,24 2,19
25 249,26 19,46 8,63 5,77 4,52 3,83 3,40 3,11 2,89 2,73 2,60 2,50 2,41 2,34 2,28 2,23 2,18
26 249,45 19,46 8,63 5,76 4,52 3,83 3,40 3,10 2,89 2,72 2,59 2,49 2,41 2,33 2,27 2,22 2,17
27 249,63 19,46 8,63 5,76 4,51 3,82 3,39 3,10 2,88 2,72 2,59 2,48 2,40 2,33 2,27 2,21 2,17
28 249,80 19,46 8,62 5,75 4,50 3,82 3,39 3,09 2,87 2,71 2,58 2,48 2,39 2,32 2,26 2,21 2,16
29 249,95 19,46 8,62 5,75 4,50 3,81 3,38 3,08 2,87 2,70 2,58 2,47 2,39 2,31 2,25 2,20 2,15
30 250,10 19,46 8,62 5,75 4,50 3,81 3,38 3,08 2,86 2,70 2,57 2,47 2,38 2,31 2,25 2,19 2,15
32 250,36 19,46 8,61 5,74 4,49 3,80 3,37 3,07 2,85 2,69 2,56 2,46 2,37 2,30 2,24 2,18 2,14
34 250,59 19,47 8,61 5,73 4,48 3,79 3,36 3,06 2,85 2,68 2,55 2,45 2,36 2,29 2,23 2,17 2,13
36 250,79 19,47 8,60 5,73 4,47 3,79 3,35 3,06 2,84 2,67 2,54 2,44 2,35 2,28 2,22 2,17 2,12
38 250,98 19,47 8,60 5,72 4,47 3,78 3,35 3,05 2,83 2,67 2,54 2,43 2,35 2,27 2,21 2,16 2,11
40 251,14 19,47 8,59 5,72 4,46 3,77 3,34 3,04 2,83 2,66 2,53 2,43 2,34 2,27 2,20 2,15 2,10
42 251,29 19,47 8,59 5,71 4,46 3,77 3,34 3,04 2,82 2,66 2,53 2,42 2,33 2,26 2,20 2,14 2,10
44 251,43 19,47 8,59 5,71 4,46 3,76 3,33 3,03 2,82 2,65 2,52 2,41 2,33 2,25 2,19 2,14 2,09
46 251,55 19,47 8,59 5,71 4,45 3,76 3,33 3,03 2,81 2,65 2,52 2,41 2,32 2,25 2,19 2,13 2,09
48 251,67 19,47 8,58 5,70 4,45 3,76 3,32 3,02 2,81 2,64 2,51 2,41 2,32 2,24 2,18 2,13 2,08
50 251,77 19,48 8,58 5,70 4,44 3,75 3,32 3,02 2,80 2,64 2,51 2,40 2,31 2,24 2,18 2,12 2,08
60 252,20 19,48 8,57 5,69 4,43 3,74 3,30 3,01 2,79 2,62 2,49 2,38 2,30 2,22 2,16 2,11 2,06
80 252,72 19,48 8,56 5,67 4,41 3,72 3,29 2,99 2,77 2,60 2,47 2,36 2,27 2,20 2,14 2,08 2,03
100 253,04 19,49 8,55 5,66 4,41 3,71 3,27 2,97 2,76 2,59 2,46 2,35 2,26 2,19 2,12 2,07 2,02
500 254,06 19,49 8,53 5,64 4,37 3,68 3,24 2,94 2,72 2,55 2,42 2,31 2,22 2,14 2,08 2,02 1,97
1000 254,19 19,49 8,53 5,63 4,37 3,67 3,23 2,93 2,71 2,54 2,41 2,30 2,21 2,14 2,07 2,02 1,97
HJF Statisztika II.
T.Nagy Judit 37
4. Az F eloszlás táblázata - folytatás
szf 2
szf 1 18 19 20 22 24 26 28 30 35 40 45 50 60 80 100 200 500 1000
4,41 4,38 4,35 4,30 4,26 4,23 4,20 4,17 4,12 4,08 4,06 4,03 4,00 3,96 3,94 3,89 3,86 3,85 1
3,55 3,52 3,49 3,44 3,40 3,37 3,34 3,32 3,27 3,23 3,20 3,18 3,15 3,11 3,09 3,04 3,01 3,00 2
3,16 3,13 3,10 3,05 3,01 2,98 2,95 2,92 2,87 2,84 2,81 2,79 2,76 2,72 2,70 2,65 2,62 2,61 3
2,93 2,90 2,87 2,82 2,78 2,74 2,71 2,69 2,64 2,61 2,58 2,56 2,53 2,49 2,46 2,42 2,39 2,38 4
2,77 2,74 2,71 2,66 2,62 2,59 2,56 2,53 2,49 2,45 2,42 2,40 2,37 2,33 2,31 2,26 2,23 2,22 5
2,66 2,63 2,60 2,55 2,51 2,47 2,45 2,42 2,37 2,34 2,31 2,29 2,25 2,21 2,19 2,14 2,12 2,11 6
2,58 2,54 2,51 2,46 2,42 2,39 2,36 2,33 2,29 2,25 2,22 2,20 2,17 2,13 2,10 2,06 2,03 2,02 7
2,51 2,48 2,45 2,40 2,36 2,32 2,29 2,27 2,22 2,18 2,15 2,13 2,10 2,06 2,03 1,98 1,96 1,95 8
2,46 2,42 2,39 2,34 2,30 2,27 2,24 2,21 2,16 2,12 2,10 2,07 2,04 2,00 1,97 1,93 1,90 1,89 9
2,41 2,38 2,35 2,30 2,25 2,22 2,19 2,16 2,11 2,08 2,05 2,03 1,99 1,95 1,93 1,88 1,85 1,84 10
2,37 2,34 2,31 2,26 2,22 2,18 2,15 2,13 2,07 2,04 2,01 1,99 1,95 1,91 1,89 1,84 1,81 1,80 11
2,34 2,31 2,28 2,23 2,18 2,15 2,12 2,09 2,04 2,00 1,97 1,95 1,92 1,88 1,85 1,80 1,77 1,76 12
2,31 2,28 2,25 2,20 2,15 2,12 2,09 2,06 2,01 1,97 1,94 1,92 1,89 1,84 1,82 1,77 1,74 1,73 13
2,29 2,26 2,22 2,17 2,13 2,09 2,06 2,04 1,99 1,95 1,92 1,89 1,86 1,82 1,79 1,74 1,71 1,70 14
2,27 2,23 2,20 2,15 2,11 2,07 2,04 2,01 1,96 1,92 1,89 1,87 1,84 1,79 1,77 1,72 1,69 1,68 15
2,25 2,21 2,18 2,13 2,09 2,05 2,02 1,99 1,94 1,90 1,87 1,85 1,82 1,77 1,75 1,69 1,66 1,65 16
2,23 2,20 2,17 2,11 2,07 2,03 2,00 1,98 1,92 1,89 1,86 1,83 1,80 1,75 1,73 1,67 1,64 1,63 17
2,22 2,18 2,15 2,10 2,05 2,02 1,99 1,96 1,91 1,87 1,84 1,81 1,78 1,73 1,71 1,66 1,62 1,61 18
2,20 2,17 2,14 2,08 2,04 2,00 1,97 1,95 1,89 1,85 1,82 1,80 1,76 1,72 1,69 1,64 1,61 1,60 19
2,19 2,16 2,12 2,07 2,03 1,99 1,96 1,93 1,88 1,84 1,81 1,78 1,75 1,70 1,68 1,62 1,59 1,58 20
2,18 2,14 2,11 2,06 2,01 1,98 1,95 1,92 1,87 1,83 1,80 1,77 1,73 1,69 1,66 1,61 1,58 1,57 21
2,17 2,13 2,10 2,05 2,00 1,97 1,93 1,91 1,85 1,81 1,78 1,76 1,72 1,68 1,65 1,60 1,56 1,55 22
2,16 2,12 2,09 2,04 1,99 1,96 1,92 1,90 1,84 1,80 1,77 1,75 1,71 1,67 1,64 1,58 1,55 1,54 23
2,15 2,11 2,08 2,03 1,98 1,95 1,91 1,89 1,83 1,79 1,76 1,74 1,70 1,65 1,63 1,57 1,54 1,53 24
2,14 2,11 2,07 2,02 1,97 1,94 1,91 1,88 1,82 1,78 1,75 1,73 1,69 1,64 1,62 1,56 1,53 1,52 25
2,13 2,10 2,07 2,01 1,97 1,93 1,90 1,87 1,82 1,77 1,74 1,72 1,68 1,63 1,61 1,55 1,52 1,51 26
2,13 2,09 2,06 2,00 1,96 1,92 1,89 1,86 1,81 1,77 1,73 1,71 1,67 1,63 1,60 1,54 1,51 1,50 27
2,12 2,08 2,05 2,00 1,95 1,91 1,88 1,85 1,80 1,76 1,73 1,70 1,66 1,62 1,59 1,53 1,50 1,49 28
2,11 2,08 2,05 1,99 1,95 1,91 1,88 1,85 1,79 1,75 1,72 1,69 1,66 1,61 1,58 1,52 1,49 1,48 29
2,11 2,07 2,04 1,98 1,94 1,90 1,87 1,84 1,79 1,74 1,71 1,69 1,65 1,60 1,57 1,52 1,48 1,47 30
2,10 2,06 2,03 1,97 1,93 1,89 1,86 1,83 1,77 1,73 1,70 1,67 1,64 1,59 1,56 1,50 1,47 1,46 32
2,09 2,05 2,02 1,96 1,92 1,88 1,85 1,82 1,76 1,72 1,69 1,66 1,62 1,58 1,55 1,49 1,45 1,44 34
2,08 2,04 2,01 1,95 1,91 1,87 1,84 1,81 1,75 1,71 1,68 1,65 1,61 1,56 1,54 1,48 1,44 1,43 36
2,07 2,03 2,00 1,95 1,90 1,86 1,83 1,80 1,74 1,70 1,67 1,64 1,60 1,55 1,52 1,47 1,43 1,42 38
2,06 2,03 1,99 1,94 1,89 1,85 1,82 1,79 1,74 1,69 1,66 1,63 1,59 1,54 1,52 1,46 1,42 1,41 40
2,06 2,02 1,99 1,93 1,89 1,85 1,81 1,78 1,73 1,69 1,65 1,63 1,59 1,54 1,51 1,45 1,41 1,40 42
2,05 2,01 1,98 1,93 1,88 1,84 1,81 1,78 1,72 1,68 1,64 1,62 1,58 1,53 1,50 1,44 1,40 1,39 44
2,05 2,01 1,98 1,92 1,87 1,83 1,80 1,77 1,71 1,67 1,64 1,61 1,57 1,52 1,49 1,43 1,39 1,38 46
2,04 2,00 1,97 1,91 1,87 1,83 1,79 1,77 1,71 1,67 1,63 1,61 1,57 1,51 1,48 1,42 1,38 1,37 48
2,04 2,00 1,97 1,91 1,86 1,82 1,79 1,76 1,70 1,66 1,63 1,60 1,56 1,51 1,48 1,41 1,38 1,36 50
2,02 1,98 1,95 1,89 1,84 1,80 1,77 1,74 1,68 1,64 1,60 1,58 1,53 1,48 1,45 1,39 1,35 1,33 60
1,99 1,96 1,92 1,86 1,82 1,78 1,74 1,71 1,65 1,61 1,57 1,54 1,50 1,45 1,41 1,35 1,30 1,29 80
1,98 1,94 1,91 1,85 1,80 1,76 1,73 1,70 1,63 1,59 1,55 1,52 1,48 1,43 1,39 1,32 1,28 1,26 100
1,93 1,89 1,86 1,80 1,75 1,71 1,67 1,64 1,57 1,53 1,49 1,46 1,41 1,35 1,31 1,22 1,16 1,13 500
1,92 1,88 1,85 1,79 1,74 1,70 1,66 1,63 1,57 1,52 1,48 1,45 1,40 1,34 1,30 1,21 1,14 1,11 1000
HJF Statisztika II.
T.Nagy Judit 38