statistik - formelsamling · 5) - tilfældigt udvalgte stikprøver differencen mellem to...

Statistik – Formelsamling

HA Almen, 1. semester

Statistik formelsamling HA-Almen, 1. semester

Udført i samarbejde med Uni Bazaar IVS

2/28

Statistik - Formelsamling

Indholdsfortegnelse Hvordan kan formelsamlingen bruges? ................................................................................................... 5

Værd at vide ................................................................................................................................................... 5

Oversigt – Mest brugte symboler................................................................................................................... 5

Disclaimer ....................................................................................................................................................... 5

Konfidensintervaller ............................................................................................................................... 6

Generel fremgangmåde ................................................................................................................................. 6

Populationsmiddelværdi , med kendt .................................................................................................. 6

Difference mellem 2 populationsmiddelværdier med kendt ................................................................... 6

Populationsmiddelværdien, , med ukendt ........................................................................................... 6

Differencen mellem 2 populationsmiddelværdier med samme, men ukendt ......................................... 7

S-pooled beregner en fælles varians .......................................................................................................... 7

Populationsvarians, .................................................................................................................................. 7

Differencen mellem 2 populationsvarianser .................................................................................................. 8

Populationsandel, P ........................................................................................................................................ 8

Differencen mellem to populationsandele, .................................................................................... 8

Hypotesetest ......................................................................................................................................... 9

Fremgangsmåde ............................................................................................................................................. 9

Fortolkninger .................................................................................................................................................. 9

P-værdi ........................................................................................................................................................... 9

Type I og type II fejl ........................................................................................................................................ 9

Populationsmiddelværdi , med kendt ................................................................................................ 10

Difference mellem 2 populationsmiddelværdier med kendt ................................................................. 10

Populationsmiddelværdien, , med ukendt ......................................................................................... 10

Differencen mellem 2 populationsmiddelværdier med ukendt ............................................................ 11

Populationsvarians, ................................................................................................................................ 11



3/28

Forholdet mellem 2 populationsvarianser, ............................................................................................ 11

Populationsandel, P ...................................................................................................................................... 12

Differencen mellem to populationsandele, .................................................................................. 12

Sandsynlighedsregning ......................................................................................................................... 14

Stokastisk uafhængighed ............................................................................................................................. 14

Additionsreglen (Probability that event A or event B occurs) .................................................................... 14

Betinget sandsynlighed (når, givet, hvis) ..................................................................................................... 14

Multiplikationsreglen (og) ............................................................................................................................ 14

Bayes sætning............................................................................................................................................... 14

Marginal sandsynlighed ............................................................................................................................... 15

Kobling til binomialfordeling ........................................................................................................................ 15

Regressionsanalyse .............................................................................................................................. 16

Grundlæggende formler/forklaringer .......................................................................................................... 16

Parameterestimater, Simpel regression (side 419) ..................................................................................... 16

Fortolkning ................................................................................................................................................... 16

Variationsstørrelser ...................................................................................................................................... 16

Antagelser og kontrol af disse .................................................................................................................. 18

Multikolinaritet (multipel regression) ...................................................................................................... 19

Jaque Bera-test ............................................................................................................................................. 19

Test for homoskedasticitet (Whites test)..................................................................................................... 19

Test for simpel regression ............................................................................................................................ 20

Test 1 ........................................................................................................................................................ 20

Test 2 ........................................................................................................................................................ 20

Test for multipel regression ......................................................................................................................... 20

Test 1 ........................................................................................................................................................ 20

Test 2 ........................................................................................................................................................ 20

Test 3 ........................................................................................................................................................ 21

Prediktionsinterval (PI) ................................................................................................................................. 21

Konfidensinterval (KI) ................................................................................................................................... 21

Konfidensinterval for .......................................................................................................................... 22

Ikke-parametrisk statistik ..................................................................................................................... 22

Goodness of fit 1 faktor ................................................................................................................................ 22



4/28

1 faktor ..................................................................................................................................................... 22

2 faktorer (kontingenstabeller) ................................................................................................................ 22

Variansanalyse ..................................................................................................................................... 23

Et-sidet variansanalyse ................................................................................................................................. 23

ANOVA-tabel ............................................................................................................................................ 24

To-sidet variansanalyse ................................................................................................................................ 24

Hypotesetest ............................................................................................................................................ 24

ANOVA-tabel ............................................................................................................................................ 26

Fordelinger .......................................................................................................................................... 27

Binomialfordeling ...................................................................................................................... 27

Standardiseret normalfordeling ................................................................................................ 27



5/28

Hvordan kan formelsamlingen bruges?

Ud fra den enkelte opgave til eksamen kan man slå op i denne formelsamling for at finde

fremgangsmåden til at løse opgaven.

Dette gøres således:

1) Find overemnet som opgaven omhandler - fx “Hypotesetest”

2) Find den specifikke opgavebeskrivelse - fx “Difference mellem 2 populationsmiddelværdier med

kendt σ2”.

3) Følg den generelle fremgangsmåde for overemnet.

4) Benyt formlerne for den specifikke opgavebeskrivelse.

Værd at vide

“NCT” henviser til grundbogen i statistik: ”Statistics for Business and Economics” (af Paul Newbold, William Carlson & Betty Thorne)

Oversigt – Mest brugte symboler

Størrelse Population Stikprøve

Antal observationer N n

Gennemsnit μ x

Varians σ2 s2

Standardafvigelse σ s

Variationskoefficienten CV CV

Kovarians Cov(X,Y) = σxy Cov(X,Y) = sxy

Korrelationskoefficient p r

Disclaimer For at få udbytte af denne formelsamling kræver det et grundlæggende kendskab til faget statistik og forståelse for, hvordan man løser generelle problemstillinger. Er dét på plads, fungerer denne formelsamling som et godt værktøj til at spare tid til eksamen.

Uni Bazaar IVS tager forbehold for tastefejl og ændringer i pensum. Desuden skal det bemærkes, at den præcise brug af symboler kan variere i forhold til den enkelte underviser.



6/28

Konfidensintervaller

Generel fremgangmåde 1) Find formel, evt. ved hjælp af træet (bilag i fællesnoter)

2) Gør relevante antagelser

3) Konkluder at den sande populationsvariabel med sikkerhed er givet i intervallet.

4) Kommentér evt. på om 0 ligger i intervallet

ME (marginal error) er alt der efter i formlerne og bredden

Populationsmiddelværdi , med kendt

Formel:

findes i NCT på side 738 (eller i den lille tabel på side 294)

Antagelser:

- Kendt populationsvarians

- Normalfordelt population

- Tilfældig udvalgt stikprøve

Difference mellem 2 populationsmiddelværdier med kendt

Formel:


Antagelser

- Kendte populationsvarianser



Populationsmiddelværdien, , med ukendt

Formel:



7/28

findes i NCT på side 770

Antagelser:

- Ukendt populationsvarians



Differencen mellem 2 populationsmiddelværdier med samme, men ukendt

S-pooled beregner en fælles varians

Formel:

findes i NCT på side 770

Antagelser

- Ukendte men ens varianser

- Normalfordelte populationer

- Tilfældigt udvalgte stikprøver

Populationsvarians,

Formel:

-fordelingerne findes i NCT på side 768 og 769

Antagelser


- Populationsvarians der følger -fordeling




8/28

Differencen mellem 2 populationsvarianser Ikke en del af pensum

Populationsandel, P

Formel:


Antagelser

- Population er binomialfordelt : to mulige udfald, konstant P og stokastisk uafhængighed

- Den kan approksimeres til en normalfordeling, når (variansen skal være større end

5)


Differencen mellem to populationsandele,

Formel:


Antagelser

- Population er binomialfordelt og : to mulige udfald for X og Y, konstant P og

stokastisk uafhængighed

- Den kan approksimeres til en normalfordeling, når og




9/28

Hypotesetest Altid stærkere at lave en nulhypotese, der kan forkastes

Fremgangsmåde - Opstil passende og

For den højresidede test vil og

For den venstresidede test vil og

For den dobbeltsidede test vil og

benyttes ved den dobbeltsidede test.

- Vælg sikkerhedsniveau . Hvis intet er givet, brug 5 %.

- Find den passende formel, evt. ud fra brug af træet

- Gør de relevante antagelser

- Sæt teststørrelsen, T, overfor den kritiske værdi, K. Hvis T er mindre ekstrem end K medfører det,

at vi ikke forkaster Det betyder desuden, at hvis T er mere ekstrem end K, skal vi forkaste

Fortolkninger

Hvis vi beviser betyder det blot, at vi ikke kan forkaste den. Det betyder IKKE, at den er sand.

Hvis vi modbeviser , kan vi forkaste med sikkerhed

P-værdi Kræves ikke medmindre, der direkte bliver spurgt om det.

P-værdien er sandsynligheden for at observere en mere ekstrem værdi end teststørrelsen, når er sand.

Er P-værdien mindre end α, så forkaster vi.

P-værdien kan især bruges ved grænsesignifikans, da sikkerhedsniveauet kan være afgørende i de tilfælde

for om vi forkaster eller ej.

Type I og type II fejl - Type 1 (α): risikoen for at forkaste en sand

- Type 2 (β): risikoen for ikke at forkaste en falsk



10/28

Der er risiko for fejl især ved grænsesignifikans.

Populationsmiddelværdi , med kendt

Teststørrelse:

Kritisk værdi: findes i NCT på side 738 (eller i den lille tabel på side 294)

Antagelser:

- Kendt populationsvarians



Difference mellem 2 populationsmiddelværdier med kendt

Teststørrelse:

er det vi tester om differencen er


Antagelser:

- Kendte populationsvarianser



Populationsmiddelværdien, , med ukendt

Teststørrelse:

Kritisk værdi: findes i NCT på side 770

Antagelser:

- Ukendt populationsvarians





11/28

Differencen mellem 2 populationsmiddelværdier med ukendt

Teststørrelse:

er det vi tester om differencen er

Kritisk værdi: findes i NCT på side 770

Antagelser:

- Ukendte men ens varianser



Populationsvarians,

Teststørrelse:

Kritisk værdi (øvre):

Kritisk værdi (nedre):

De kritiske værdier findes i NCT på side 768 og 769

Antagelser:


- Populationsvarians der følger -fordeling


Forholdet mellem 2 populationsvarianser,

Teststørrelse: , hvor



12/28

Deler man to fordelinger med hinanden, så får man et F-test i stedet.

Kritisk værdi: som findes i NCT på side 771-774

Antagelser:

- Ukendte populationsvarianser



Populationsandel, P

Formel: hvor


Antagelser

- Population er binomialfordelt : to mulige udfald, konstant P og stokastisk uafhængighed

- Den kan approksimeres til en normalfordeling, når (variansen skal være større end

5)


Differencen mellem to populationsandele,

Teststørrelse:


Antagelser:

- Population er binomialfordelt og : to mulige udfald for X og Y, konstante P’er

og stokastisk uafhængighed

- Den kan approksimeres til en normalfordeling, når og . CLT er

opfyldt når de to foregående formler er korrekte.



13/28




14/28

Sandsynlighedsregning TJEK OM DER ER ANTAGET UAFHÆNGIGHED – det ændrer det hele.

Uafhængighed er ikke det samme som disjoint events. Uafhængige events kan godt have fællesmængde.

Stokastisk uafhængighed

Uafhængighed når: og

Additionsreglen (Probability that event A or event B occurs)

Er de to events disjoint (ingen fællesmængde) så kan man nøjes med addere P(A) og P(B) for at finde den

forenede mængde.

= forenet (union of events). Se side 112 for illustration.

= fælles (intersection)

Betinget sandsynlighed (når, givet, hvis)

(siges som A givet B. ”sandsynligheden for at være statistiklærer (A) givet man er kvinde (B)”).

Multiplikationsreglen (og)

Ved uafhængighed, da er de betingede sandsynligheder lig den oprindelige sandsynlighed:

hvorfor multiplikationsreglen i stedet bliver .

Bayes sætning Også en givet sandsynlighed (når, givet, hvis). Multiplikationsregel i tælleren for betinget sandsynlighed



15/28

Marginal sandsynlighed

Kobling til binomialfordeling

A, B, osv. Kunne være



16/28

Regressionsanalyse

Grundlæggende formler/forklaringer

Y = responsvariabel

X = kovariater/forklarende variabler

= intercept (skæring med y-aksen)

= hældning

= fejlled/residualer

Parameterestimater, Simpel regression (side 419)

Fortolkning Simpel eller lineær regression?

: Y har en forventet værdi på enheder(y). Det sker når alle kovariater (ved simpel bare den ene

kovariat) er lig 0. Værdien for giver ikke altid mening i sig selv – så er det vigtigt at nævne! Fx hvis vi har

negative værdier for noget, der ikke bør kunne være negativt.

: Y har en forventet stigning/fald på enheder(Y), når vi siger med en enhed( ).

: Findes kun ved multipel lineær regression. Y har en forventet stigning/fald på enheder(Y), når

enheder , hvis man holder de andre kovariater konstant.

Variationsstørrelser SSR: Den del af variationen, som modellen forklarer.

SSE: Den del af variationen, som modellen ikke forklarer

SST: Den totale variation



17/28

SSR:

SST:

MSR:

MSE:

F-teststørrelse (ratio):

Parameterestimater:

Det vil sige, at regressionslinjen går gennem punktet

Determinationskoefficienten:

Vigtigt at bemærke at formlen også kan skrives som . Formlen viser, at

forklaringskraften vokser med variabiliteten af kovariaterne om deres gennemsnit. Dvs. at er større når

er større. Man skal derfor forsøge at rbuge kovariater med så stor varians som muligt for på

den måde at opnå den størst mulige forklaringskraft i regressionsmodellen.

Justeret determinationskoefficient:



18/28

Fejlleddenes varians:

Std. Error på den enkelte :

kan øges kunstigt, hvis man tilfører flere kovariater – selv hvis de ingen forklaringskraft har. R^2 adj. Er

justeret for dette.

Antagelser og kontrol af disse

Antagelse om lineæritet

Der skal være lineær sammenhæng mellem responsvariablen og alle kovariater.

Kontrol:

• Lav en graf, der viser Y mod X’erne:

• Led efter lineære sammenhænge. Finder man en eksponentiel, kvadratisk eller anden

sammenhæng, så kan der anbefales en transformation til en lineær sammenhæng. Vi kommer ikke

selv til at skulle lave transformationen, men vi kan foreslå at gøre det.

Antagelse om normalfordelte og uafhængige fejlled

Residualerne er uafhængige af kovariaterne for alle og de er normalfordelte med middelværdien 0. Vi

antager at middelværdien er 0.

Kontrol:

• Lav e graf med de rå eller studentiserede fejlled mod X’erne. Der må ikke være nogen mønstre og

de skal ligge omkring 0.

• Normalfordelingsplot af de rå eller studentiserede residualer. Punkterne må ikke ligge uden for

båndende ved 95 %. Ligger der enkelte punkter udenfor båndene er det ok, hvis er stor.

• Test for normalfordelte residualer på de studentiserede eller de rå (Jaque Bera testet). Forkastes

nulhypotesen, betyder det, at fejlleddene ikke er normalfordelte.

Homoskedasticitet

Residualerne er homoskedastiske, hvilket vil sige, at de har konstant varians: for alle .

Kontrol:

• Lav en graf med de studentiserede residualer mod hhv. row eller predicted Y.

• Der skal være ens varians (spredning) over hele x-aksen

• Test for homoskedasticitet. Forkastes nulhypotesen, betyder det at vi har heteroskedastiske fejlled.



19/28

Parvis uafhængighed

Residualerne er parvis uafhængige, dvs. at ved at have observeret en kan vi ikke sige noget om den

næste . Der må ikke være systematik i fejlene.

Kontrol:

- Lav en graf med studentiserede residualer mod row eller predicted Y. Se efter mønstre i plottet.

Multikolinaritet (multipel regression)

En kovariat må ikke være en linearkombination af en anden kovariat, dvs. de ikke må forklare det samme

om Y.

Kontrol:

- Lav et korrelationsmatrix med alle de numeriske kovariater

- Ingen må overstige 0,7 numerisk set (dvs. større end 0,7 og mindre end -0,7)

Der findes eksempler plots (uafhængighed og homoskedasticitet) tegnet på papir.

Jaque Bera-test

: Normalfordelte residualer

Ikke normalfordelte residualer (komplement til )

Teststørrelse: OBS: JMP har allerede trukket de 3 fra.

Kritisk værdi: som findes i NCT på side 612. Forkast hvis teststørrelsen er større end den kritiske

værdi.

Når testet har stort nok n kan den approksimeres til en -fordeling.

Test for homoskedasticitet (Whites test) : Homoskedasticitet

Heteroskedasticitet (hvis der denne lineære sammenhæng: )

Teststørrelse:

Kritisk værdi:

Forkast hvis teststørrelsen er større end den kritiske værdi.



20/28

Test for simpel regression Test af ingen lineær sammenhæng, hvor

og

Test 1

Teststørrelse:

Kritisk værdi:

Test 2

Teststørrelse:

Kristik værdi:

Test for multipel regression

Test 1

Test af ingen marginaleffekt af den j’te kovariat

og

Teststørrelse:

Kritisk værdi:

Test 2

Test af ingen simultaneffekt af K antal kovariater

og

Teststørrelse:

Kristik værdi:



21/28

Test 3

og

Test af ingen simultaneffekt af delmængden R ud af K kovariater. Findes der kun én ny kovariat (R=1) er det

ikke simultan- men marginaleffekt. Vigtigt at notere.

Teststørrelse:

Hvor SSE(R) er fra den gamle model

SSE er fra den nye model

K er antal kovariater i den model med færrest kovariater

R er antal tilføjede kovariater

Kritisk værdi:

Prediktionsinterval (PI)

Nævneren kan også skrives som

Nogle gange må antage samme værdi som , hvorved hele det sidste led bortfalder.

Dette interval indeholder med sikkerhed værdien af en ny observation , når X antager

værdien .

Konfidensinterval (KI)

Dette interval indeholder med sikkerhed værdien af , når X antager værdien .

Konfidensintervallet er altid mindre bredt end prediktionsintervallet og derved mere ”sikkert”.



22/28

Konfidensinterval for

Ikke-parametrisk statistik

Goodness of fit 1 faktor

1 faktor

Parametre:

: antal observationer i kategori

Sandsynligheden for at ende i kategori

forventet antal i kategori

der er Goodness of fit. Det kan også skrives som er korrekt specificeret.

er specificeret forkert.

Teststørrelse:

Kritisk værdi: som findes i NCT på side 768. K angiver antallet af kategoier.

Fokast hvis teststørrelsen er større end den kritiske værdi.

Antagelse

- er tilstrækkelig stor, sp for hver

2 faktorer (kontingenstabeller)

Faktor A/Faktor B 1 2 … c Total

1 … 2 … … … … … … … r … Total … n



23/28

Faktor A har r kategorier (rækker) hvilket vil sige at til

Faktor B har c kategorier (kolonner) hvilket vil sige at til

uafhængig mellem faktor A og B

Afhængighed

Teststørrelse:

Kritisk værdi:

Vi forkaster, hvis teststørrelsen er større end den kritiske værdi.

Antagelse:

- og er tilstrækkeligt støre, så for hver og

Variansanalyse

Et-sidet variansanalyse Antal populationer, hvor vi vil teste ens/forskellig middelværdi, men med ens varians. Kategoriske variable.

Teststørrelse:

Hvor K er antallet af grupper

N er antallet af observationer

SSG er variationen mellem grupper



24/28

SSW er variationen indenfor grupperne

Kritisk værdi: som findes i NCT på side 771-774

Forkast når teststørrelsen er større end den kritiske værdi.

Antagelser:


- Uafhængige stikprøver

- Varianshomogenitet

ANOVA-tabel

To-sidet variansanalyse BLOK / GRUPPE 1 2 … K

1 …

2 …

… … … … …

H …

K er antallet af grupper i gruppefaktoren

H er antallet af grupper i blokfaktoren

M er antal observationer indenfor hvert niveau.

Hypotesetest

Forkaster man en af nedenstående hypoteser, så er der altså en effekt af en af faktorerne. For alle test

gælder det, at vi forkaster , hvis teststørrelsen er større end den kritiske værdi.



25/28

Test 1 – ingen gruppeeffekt

Teststørrelse:

Kritisk værdi:

Test 2 – ingen blokeffekt

Teststørrelse:

Kritisk værdi:

Test 3 – ingen vekselvirkningseffekt

Teststørrelse:

Kritisk værdi:

Antagelser:


- Uafhængige stikprøver

- Varianshomogenitet



26/28

ANOVA-tabel



27/28

Fordelinger

Binomialfordeling To mulige udfald: Succes eller fiasko hvor succes er det, vi leder efter.

Succes-sandsynligheden

fiasko-sandsynligheden

: antal uafhængige forsøg

SSH. For at få bestemt x: og variansen af bestemt x:

fordi sandsynligheden altid summer som 1

Standardiseret normalfordeling Middelværdien er 0 og variansen og standardafvigelsen er 1

Der kan transformeres til standardnormalfordelingen:

giver en værdi i Z-fordelingen som svarer til en SSH. DETTE ER SVARET.

Hvis: Z er negativ

Approksimation af binomialfordeling til normalfordeling

Fra kategorisk til numerisk. Har man mange observationer, så ligner binomialfordelingen næsten en

kontinuert linje. Vi approksimerer, fordi binomialfordelingen fordi den er meget regnetung.



28/28

Må anvendes når (altså: variansen skal være større end 5). Det gælder fra ca.

(tommelfingerregel).

Udføres vha. transformation:

Sandsynlighederne findes ved:

statistik - formelsamling · 5) - tilfældigt udvalgte stikprøver differencen mellem to...

Documents