statistics clip vidva
DESCRIPTION
credit by http://www.clipvidva.com/wp-content/uploads/downloads/2013/10/Statistics-ClipVidva.pdfTRANSCRIPT
![Page 1: Statistics clip vidva](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042601/55679666d8b42a1a588b4e78/html5/thumbnails/1.jpg)
คณตศาสตร สถต www.clipvidva.com
1
สถต ในปจจบนชวตคนเราตองพบกบ ขอมล (Data) มากมาย หากเราตองการน าขอมลเหลานไปใชใหเกด
ประโยชนในสาขาตางๆ เชน เศรษฐศาสตร วทยาศาสตร เปนตน เราจะตองท าการวเคราะหขอมลซงเปนทมา
ของวชา สถตศาสตร (Statistics) ซงเราจะไดศกษากนในบทน จากสถตแลว ขอสอบ PAT1 มการออกขอสอบ
ในบทนทกครงประมาณครงละ 5-6 ขอ ทส าคญระดบความยากถอวาไมยากมากนาเกบคะแนนเปนอยางยง
ครบ
สถต
1. การน าเสนอขอมล
2. คากลางขอมล
3. ต าแหนงสมพทธของขอมล
4. คาการกระจายขอมล
5. คามาตรฐานและการแจกแจง
แบบปกต
6. ความสมพนธเชงฟงกชน
ระหวางขอมล
![Page 2: Statistics clip vidva](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042601/55679666d8b42a1a588b4e78/html5/thumbnails/2.jpg)
คณตศาสตร สถต www.clipvidva.com
2
1. การน าเสนอขอมล
การแจกแจงความถ เปนการจดเรยงล าดบขอมลดบทเกบรวบรวมมาได โดยจดใหเปนหมวดหม ซงท า
ได 2 รปแบบ
1. การแจกแจงความถแบบตาราง
1.1 ตารางแจกแจงความถ
1.2 ตารางแจกแจงความถสะสม
1.3 ตารางแจกแจงความถสมพทธ
1.4 ตารางแจกแจงความถสะสมสมพทธ
2. การแจกแจงความถแบบใชแผนภมหรอกราฟ
2.1 ฮสโทแกรม
2.2 รปหลายเหลยมความถ
2.3 โคงความถ
2.4 โคงความถสะสม
2.5 แผนภาพตน-ใบ
ตวอยางตารางและแผนภาพการแจกแจงความถแบบตางๆ
(ทมา: คณต มงคลพทกษสข, “MATH E-BOOK Release2.5”, ส านกพมพ Science Center, 2554)
![Page 3: Statistics clip vidva](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042601/55679666d8b42a1a588b4e78/html5/thumbnails/3.jpg)
คณตศาสตร สถต www.clipvidva.com
3
(ทมา: คณต มงคลพทกษสข, “MATH E-BOOK Release2.5”, ส านกพมพ Science Center, 2554)
NOTE
![Page 4: Statistics clip vidva](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042601/55679666d8b42a1a588b4e78/html5/thumbnails/4.jpg)
คณตศาสตร สถต www.clipvidva.com
4
2. คากลางขอมล
2.1 คาเฉลยเลขคณต (Arithmetic mean) คาเฉลยเลขคณต เรยกสนๆวาคาเฉลย คอคาของผลรวมของขอมลทงหมดหารดวยจ านวน
ขอมล มสตรดงน
เมอ Xi แทน ขอมลแตละตว และ n แทน จ านวนขอมล
นอกจากนยงมคาเฉลยเลขคณตในแบบตางๆ ไดแก
- คาเฉลยเลขคณตแบบถวงน าหนก
เมอ wi คอ น าหนกถวงของแตละขอมล
ขอควรร
ประชากร หมายถง กลมของสมาชกทกหนวยทเราตองการศกษาลกษณะ
กลมตวอยาง หมายถง กลมยอยของสมาชกในกลมของประชากรทสมเลอกมาเพอศกษา
![Page 5: Statistics clip vidva](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042601/55679666d8b42a1a588b4e78/html5/thumbnails/5.jpg)
คณตศาสตร สถต www.clipvidva.com
5
- คาเฉลยเลขคณตรวม
- คาเฉลยเลขคณตของขอมลทแจกแจงความถแลว
เมอ fi แทนความถของแตละอนตรภาคชน และ xi แทน จดกงกลางของแตละอนตรภาคชน
2.2 มธยฐาน (Median) มธยฐาน คอคาของขอมลทอยต าแหนงกงกลางของชดขอมลเมอมการจดเรยงขอมลจากนอย
ไปมากหรอมากไปนอย โดยแบงเปน 2 กรณ
- กรณขอมลไมมการแจกแจงความถ
มธยฐาน คอ คาของขอมลต าแหนงท 1
2
N
***ขอควรระวง การหาคามธยฐานขอมลตองมการเรยงล าดบจากนอยไปมากแลว
NOTE
คาเฉลยเลขคณตแบบลดทอน
![Page 6: Statistics clip vidva](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042601/55679666d8b42a1a588b4e78/html5/thumbnails/6.jpg)
คณตศาสตร สถต www.clipvidva.com
6
- กรณขอมลมการแจกแจงความถ
เมอ L แทนขอบลางของชนทมมธยฐานอย
I แทนความกวางของชนทมมธยฐานอย
Lf แทนความถสะสมจนถงขอบลางของชนทมมธยฐานอย
Medf แทนความถของชนทมมธยฐานอย
2.3 ฐานนยม (Mode) ฐานนยม คอขอมลทมความถสงสด แบงเปน 2 กรณ
- กรณขอมลไมมการแจกแจงความถ
ฐานนยม คอ ขอมลทมความถ(จ านวน)สงสด
- กรณขอมลมการแจกแจงความถ
เมอ L แทนขอบลางของชนทมฐานนยมอย
I แทนความกวางของชนทมฐานนยมอย
Ld แทนผลตางความถของชนทมฐานนยมอยกบชนทอยตดกนทต ากวา
Ud แทนผลตางความถของชนทมฐานนยมอยกบชนทอยตดกนทสงกวา
NOTE
![Page 7: Statistics clip vidva](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042601/55679666d8b42a1a588b4e78/html5/thumbnails/7.jpg)
คณตศาสตร สถต www.clipvidva.com
7
2.4 สมบตของคากลางขอมล
-
1
n
ii
nX X
-
1
0n
ii
X X
-
2
1
n
ii
X k มคานอยทสด เมอ k X
-
1
n
ii
X k มคานอยทสด เมอ k Med
- ถาขอมลชด Y ทกๆตวสมพนธกบขอมลชด X แตละตว ตามสมการ i iY mX C จะได
วา Y mX C หรอ Med MedY mX C หรอ Mod ModY mX C
ตวอยาง ขอมลน าหนก (ก.ก.) ของนกเรยน 9 คนเปนดงน 50 64 72 43 57 59 64 41 50
จงหาคาเฉลยเลขคณต มธยฐานและฐานนยมของขอมลชดน
REVIEW
![Page 8: Statistics clip vidva](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042601/55679666d8b42a1a588b4e78/html5/thumbnails/8.jpg)
คณตศาสตร สถต www.clipvidva.com
8
ตวอยาง จงค านวณผลการเรยนเฉลยของนกเรยนคนหนงซงมผลการเรยนดงน
รายวชา คณตศาสตร ฟสกส เคม ชววทยา ภาษาองกฤษ หนวยกต 3 2 1.5 1.5 2 เกรดทได 4 2.5 3 3.5 1.5
ตวอยาง นกเรยนหองหนงมนกเรยนทงหมด 24 คน เปนนกเรยนชาย 16 คน โดยสวนสงเฉลยของ
นกเรยนชายและหญง คอ 172 และ 158 เซนตเมตร ตามล าดบ จงหาสวนสงเฉลยของนกเรยนหองน
ตวอยาง ตารางแจกแจงความถสะสมของคะแนนสอบของนกเรยน 100 คน เปนดงน
คะแนน จ านวนนกเรยนสะสม 20-29 2 30-39 11 40-49 24 50-59 44 60-69 74 70-79 89 80-89 99 90-99 100
จงหาคาเฉลยเลขคณต มธยฐานและฐานนยมของคะแนนสอบ
![Page 9: Statistics clip vidva](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042601/55679666d8b42a1a588b4e78/html5/thumbnails/9.jpg)
คณตศาสตร สถต www.clipvidva.com
9
ตวอยาง จงหาคา a-b เมอ a คอคาทท าให 5
2
1i
i
a X
มคานอยทสดส าหรบขอมล X : 2 3 6
12 20 และ b คอคาทท าให 8
1i
i
b Y
มคานอยทสดส าหรบขอมล Y : 16 15 10 8 7 6 5 3
ENT ต.ค. 41 ขอมลชดหนงเรยงล าดบจากนอยไปมากไดเปน 10, 20, 30, 30, a, b, 60, 60, 90, 120 ถา
ฐานนยมและมธยฐานของคะแนนชดนเปน 30 และ 40 ตามล าดบ แลวขอมลชดตอไปน คอ 11, 22, 33, 34,
a+5, b+6, 67, 68, 99, 130 มคาเฉลยเลขคณตเทากบขอใด
1. 50 2. 55.5 3. 60 4. 60.5
![Page 10: Statistics clip vidva](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042601/55679666d8b42a1a588b4e78/html5/thumbnails/10.jpg)
คณตศาสตร สถต www.clipvidva.com
10
ENT ม.ค. 42 เมอสรางตารางแจกแจงความถของนกเรยน 36 คน โดยใชความกวางของแตละอนตรภาคชน
เปน 10 แลว ปรากฏวามธยฐานของคะแนนทงหมดอยในชวง 50-59 ถามนกเรยนทสอบไดคะแนนต ากวา
49.5 คะแนนอยจ านวน 12 คน และมนกเรยนไดคะแนนต ากวา 59.5 คะแนนอยจ านวน 20 คน แลวมธยฐาน
ของคะแนนการสอบครงนมคาเทากบเทาใด
1. 53 2. 54 3. 56 4. 57
ENT ม.ค. 44 ก าหนดให x1, x2,…, x10 มคาเปน 5, 6, a, 7, 10, 15, 5, 10, 10, 9 ตามล าดบ โดยท a<15
ถาพสยของขอมลชดนเทากบ 12 b เปนจ านวนจรงทท าให 210
1i
i
X b
มคานอยทสด และ c เปน
จ านวนจรงทท าให 10
1i
i
X c
มคานอยทสด แลว a+b+c มคาเทาใด
![Page 11: Statistics clip vidva](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042601/55679666d8b42a1a588b4e78/html5/thumbnails/11.jpg)
คณตศาสตร สถต www.clipvidva.com
11
ENT ม.ค. 48 ขอมลชดหนงประกอบดวย x1, x2,…, x13 โดยท xn = | 5-n | เมอ n = 1, 2,…, 13 จ านวน
จรง a ทท าให 13
1n
i
x a
มคานอยทสด เทากบเทาใด
PAT1 ม.ค. 52 ขอมลชดหนงม 99 จ านวน เรยงล าดบจากนอยไปมากไดเปน x1, x2,…, x99 ถาคาเฉลยเลข
คณตของขอมลชดนเทากบมธยฐาน แลวขอใดตอไปนถกตอง
1. 49 99
1 51i i
i i
x x
2. 49 99
50 501 51
i ii i
x x x x
3. 49 99
50 501 51
i ii i
x x x x
4. 2 249 99
50 501 51
i ii i
x x x x
![Page 12: Statistics clip vidva](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042601/55679666d8b42a1a588b4e78/html5/thumbnails/12.jpg)
คณตศาสตร สถต www.clipvidva.com
12
PAT1 ม.ค. 53 นกเรยนหองหนงสอบวชาคณตศาสตรไดคะแนนเฉลยเลขคณตเทากบ 40 คะแนน ถา
นกเรยนชายสอบไดคะแนนเฉลยเลขคณต 35 คะแนนและนกเรยนหญงสอบไดคะแนนเฉลยเลขคณต 50
คะแนน อตราสวนของนกเรยนชายตอนกเรยนหญงตรงกบขอใดตอไปน
1. 3:2
2. 2:3
3. 2:1
4. 1:2
PAT1 ก.ค. 53 สรางตารางแจกแจงความถของคะแนนการสอบของนกเรยนกลมหนง โดยใหความกวางของ
แตละอนตรภาคชนเปน 10 แลวปรากฏวามธยฐานของคะแนนการสอบเทากบ 57 คะแนนซงอยในชวง 50-59
ถามนกเรยนทสอบไดคะแนนต ากวา 49.5 คะแนน อยจ านวน 12 คน และมนกเรยนไดคะแนนต ากวา 59.5
คะแนน อยจ านวน 20 คน จงหาวานกเรยนกลมนมทงหมดกคน
![Page 13: Statistics clip vidva](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042601/55679666d8b42a1a588b4e78/html5/thumbnails/13.jpg)
คณตศาสตร สถต www.clipvidva.com
13
3. ต าแหนงสมพทธของขอมล
ในหวขอทแลวเราไดศกษาการหาคากงกลางของขอมลไปแลว ไมวาจะเปน คาเฉลยเลขคณต มธยฐาน
และฐานนยม ส าหรบในบทนเราจะศกษาคา ณ ต าแหนงใดๆของขอมล ไดแก ควอรไทล (แบงขอมลออกเปน
4 สวนเทาๆกน) เดไซล (แบงขอมลออกเปน 10 สวนเทาๆกน) และเปอรเซนไทล (แบงขอมลออกเปน 100
สวนเทาๆกน) โดยขอมลจะตองถกเรยงล าดบจากนอยไปมากกอนเสมอ
แผนภาพอธบายต าแหนงสมพทธของขอมล
การค านวณหาคาควอรไทล เดไซลและเปอรเซนไทลมลกษณะคลายๆกบการค านวณคามธยฐาน โดย
แบงเปน 2 กรณ
- กรณขอมลไมมการแจกแจงความถ
ควอไทลท r (Qr) คอขอมลต าแหนงท 14
rN
Med
P50
Q2
D5
P25
Q1
D2.5
P75
Q3
D7.5
D1 D9
NOTE
![Page 14: Statistics clip vidva](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042601/55679666d8b42a1a588b4e78/html5/thumbnails/14.jpg)
คณตศาสตร สถต www.clipvidva.com
14
เดไซลท r (Dr) คอขอมลต าแหนงท 110
rN
เปอรเซนไทลท r (Pr) คอขอมลต าแหนงท 1100
rN
***ขอควรระวง ในการหาคาควอรไทล เดไซลและเปอรเซนไทลขอมลตองมการเรยงล าดบจากนอยไปมาก
แลว
- กรณขอมลมการแจกแจงความถ
เมอ L แทนขอบลางของชนทมควอรไทล เดไซลหรอเปอรเซนไทลอย
I แทนความกวางของชนทมควอรไทล เดไซลหรอเปอรเซนไทลอย
Lf แทนความถสะสมจนถงขอบลางของชนทมควอรไทล เดไซลหรอเปอรเซนไทลอย
rQf ,
rDf ,
rPf แทนความถของชนทมควอรไทล เดไซลหรอเปอรเซนไทลอย
***ขอควรระวง ในการหาคาควอรไทล เดไซลและเปอรเซนไทลของขอมลทแจกแจงความถแลว จะใช
ต าแหนงโดยไมตองบวกหนง
มแผนภาพอกชนดหนงทชวยใหเหนการกระจายขอมลไดชดเจนยงขน เรยกวา แผนภาพกลอง (Box
plot) ซงจะบอกคาทางสถตทงหมด 5 คา ไดแก ขอมลต าสด ขอมลสงสด ขอมลในควอรไทลท 1, 2, 3 โดยรป
ดานลางแสดงตวอยางของแผนภาพกลอง
![Page 15: Statistics clip vidva](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042601/55679666d8b42a1a588b4e78/html5/thumbnails/15.jpg)
คณตศาสตร สถต www.clipvidva.com
15
(ทมา: คณต มงคลพทกษสข, “MATH E-BOOK Release2.5”, ส านกพมพ Science Center, 2554)
องคประกอบของแผนภาพกลอง ไดแก ตวกลองซงจดปลายกลองทางดานซาย ตรงกลางและขวาจะ
เปนขอมลในควอรไทลท 1 2 และ 3 ตามล าดบ และกงซงจะยนออกมาจากกลอง โดยจดปลายกงซายและกง
ขวาคอ ขอมลต าสดและสงสดตามล าดบ
ตวอยาง จากขอมล 18.3 20.6 19.3 22.4 20.2 18.8 19.7 20.0 19.6 18.8 จงหา P89 – Q3 + D4
ตวอยาง สวนสงของนกเรยนกลมหนงเปนดงตาราง จงใชตารางในการตอบค าถามตอไปน
สวนสง (cm) จ านวนนกเรยน 150-154 5 155-159 10 160-164 12 165-169 14 170-174 8 175-179 7 180-184 4
![Page 16: Statistics clip vidva](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042601/55679666d8b42a1a588b4e78/html5/thumbnails/16.jpg)
คณตศาสตร สถต www.clipvidva.com
16
ก. นายด าและนายแดงเปนนกเรยนในกลมน โดยนายด ามสวนสงอยในต าแหนงควอรไทลท
3 และนายแดงมสวนสงอยในต าแหนงเปอรเซนไทลท 45 ดงนนนายด าและนายแดงมสวนสงตางกนเทาไร
ข. นางสาวขาวมสวนสง 159.5 เซนตเมตร คดเปนเดไซลทเทาไร
ENT ม.ค. 46 ก าหนดตารางแจกแจงความถของคะแนนสอบวชาคณตศาสตรของนกเรยนหองหนงไดดงน
คะแนน ความถ 16-18 a 19-21 2 22-24 3 25-27 6 28-30 4
ถาควอรไทลท 1 (Q1) เทากบ 18.5 คะแนน แลวมธยฐานของคะแนนสอบวชาคณตศาสตรของนกเรยนหองน
เทากบเทาใด
![Page 17: Statistics clip vidva](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042601/55679666d8b42a1a588b4e78/html5/thumbnails/17.jpg)
คณตศาสตร สถต www.clipvidva.com
17
A-NET 49 โรงงานแหงหนงมพนกงานจ านวน 40 คน และตารางการแจกแจงความถสะสมของอาย
พนกงานเปนดงน
อาย(ป) ความถสะสม 11-20 6 21-30 14 31-40 26 41-50 36 51-60 40
ถาผจดการมอาย 48.5 ป แลวพนกงานทมอายระหวางคามธยฐานของอายพนกงานและอายของผจดการ ม
จ านวนประมาณเทากบขอใด
1. 31.5%
2. 33.7%
3. 35.0%
4. 37.0%
PAT1 ต.ค. 52 ขอมลชดหนงม 5 จ านวนและมคาเฉลยเลขคณตเทากบ 12 ถาควอไทลท 1 และ 3 ของ
ขอมลชดนเทากบ 5 และ 20 ตามล าดบ แลวเดไซลท 5 ของขอมลชดนมคาเทาใด
![Page 18: Statistics clip vidva](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042601/55679666d8b42a1a588b4e78/html5/thumbnails/18.jpg)
คณตศาสตร สถต www.clipvidva.com
18
PAT1 ต.ค. 53 ในการสอบวชาคณตศาสตรของนกเรยน 2 หอง ซงท าคะแนนเฉลยได 60 คะแนน โดยหอง
แรกมนกเรยนจ านวน 40 คน และหองทสองมนกเรยนจ านวน 30 คน ถาคะแนนสอบในหองแรก เปอรเซน
ไทลท 50 มคา 64 คะแนนและฐานนยมมคาเปน 66 คะแนน แลวคะแนนเฉลยของนกเรยนหองทสองมคา
เทากบเทาใด
PAT1 ม.ค. 54 ในการสอบคณตศาสตรคะแนนเตม 60 คะแนน มนกเรยนเขาสอบ 30 คน นาย ก. เปน
นกเรยนคนหนงทเขาสอบในครงน นาย ก. สอบได 53 คะแนนและมจ านวนนกเรยนทมคะแนนสอบนอยกวา
53 คะแนนอย 27 คน ถามการจดกลมคะแนนสอบเปนชวงคะแนนโดยมอนตรภาคชนกวางเทาๆกน คะแนน
สอบของนาย ก. อยในชวงคะแนน 51-60 จ านวนนกเรยนทสอบไดคะแนนในชวงคะแนน 51-60 นมทงหมดก
คน
1. 3
2. 4
3. 5
4. 9
![Page 19: Statistics clip vidva](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042601/55679666d8b42a1a588b4e78/html5/thumbnails/19.jpg)
คณตศาสตร สถต www.clipvidva.com
19
4. คาการกระจายขอมล
ในหวขอทผานมาเราไดศกษาถงคากลางของขอมลเพอใชเปนตวแทนของขอมลทงหมด แตยงมอกสง
หนงทควรจะวเคราะหประกอบกนนนคอ การกระจายตวของขอมล ซงจะชวยใหเราเขาใจขอมลทเรามได
ละเอยดขน โดยการวดการกระจายตวของขอมลแบงเปน 2 ประเภท คอ การวดการกระจายสมบรณและการ
วดการกระจายสมพทธ ซงแตละประเภทจะมตววดการกระจายขอมลอก 4 แบบ ซงจะไดศกษาตอไป
4.1 การวดการกระจายสมบรณ คอ การวดการกระจายตวของขอมลเพยงชดเดยว เพอด
วาขอมลชดนนมการกระจายตวมากนอยเพยงใด โดยทนยมใชมอยทงหมด 4 แบบ ไดแก
- พสย
- สวนเบยงเบนควอรไทล
- สวนเบยงเบนเฉลย
- สวนเบยงเบนมาตรฐาน
สตรการค านวณ พสย (Range)
- กรณขอมลไมมการแจกแจงความถ
พสย = คาสงสด – คาต าสด ( max minx x )
- กรณขอมลมการแจกแจงความถ
พสย = ขอบบนของอนตรภาคชนทมขอมลทมคาสงสด – ขอบลางของอนตรภาคชนทมขอมลทมคาต าสด
สตรการค านวณ สวนเบยงเบนควอรไทล (Quartile deviation : QD)
- กรณขอมลไมมการแจกแจงความถและมการแจกแจงความถ
สตรการค านวณ สวนเบยงเบนเฉลย (Mean deviation : MD)
- กรณขอมลไมมการแจกแจงความถ
![Page 20: Statistics clip vidva](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042601/55679666d8b42a1a588b4e78/html5/thumbnails/20.jpg)
คณตศาสตร สถต www.clipvidva.com
20
- กรณขอมลมการแจกแจงความถ
สตรการค านวณ สวนเบยงเบนมาตรฐาน (Standard deviation : SD)
- กรณขอมลไมมการแจกแจงความถ
- กรณขอมลมการแจกแจงความถ
4.2 การวดการกระจายสมพทธ จะใชกตอเมอมขอมลตงแตสองชดขนไป ซงอาจเปน
ขอมลคนละประเภทแตสามารถน ามาวดการกระจายได โดยทนยมใชมอยทงหมด 4 แบบ ไดแก
- สมประสทธของพสย
- สมประสทธของสวนเบยงเบนควอรไทล
- สมประสทธของสวนเบยงเบนเฉลย
- สมประสทธของความแปรผน
NOTE
ถาขอมลชด Y ทกๆตว สมพนธกบขอมลชด X แตละตว ตามสมการ จะไดวา
คาการกระจายของขอมลชด Y เปน |m| เทาของชด X
![Page 21: Statistics clip vidva](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042601/55679666d8b42a1a588b4e78/html5/thumbnails/21.jpg)
คณตศาสตร สถต www.clipvidva.com
21
สตรการค านวณ สมประสทธของพสย(Coefficient of Range : CR)
สตรการค านวณ สมประสทธสวนเบยงเบนควอรไทล (Coefficient of quartile deviation : CQ)
สตรการค านวณ สมประสทธสวนเบยงเบนเฉลย (Coefficient of average deviation : CA)
สตรการค านวณ สมประสทธของความแปรผน (Coefficient of variation : CV)
ตวอยาง อายของสมาชกในครอบครวหนงซงม 5 คน ไดแก 10, 30, 30, 30, 60 ป จงหาคาการ
กระจายสมบรณทง 4 แบบ
ขอควรร
![Page 22: Statistics clip vidva](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042601/55679666d8b42a1a588b4e78/html5/thumbnails/22.jpg)
คณตศาสตร สถต www.clipvidva.com
22
ตวอยาง ในการสอบครงหนง คาเฉลยเลขคณตและความแปรปรวนของคะแนนสอบของนกเรยนเปน
14 คะแนนและ 1.4 คะแนน2 ตามล าดบ จงหาคาเฉลยเลขคณตและความแปรปรวนเมอ
ก. ผสอนเพมคะแนนเกบใหกบทกคน คนละ 5 คะแนน
ข. หากผสอนปรบคะแนนเตมจากเดม 20 คะแนนเปน 60 คะแนน
ขอควรร
ความแปรปรวน ( ) เปนการวดการกระจายสมบรณอกชนดหนง โดย
ความแปรปรวน = คาของสวนเบยงเบนมาตรฐาน 2
และเมอมขอมล 2 ชดทแตละชดทราบความแปรปรวน สามารถหาความแปรปรวนรวมไดจาก
![Page 23: Statistics clip vidva](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042601/55679666d8b42a1a588b4e78/html5/thumbnails/23.jpg)
คณตศาสตร สถต www.clipvidva.com
23
ENT ม.ค. 43 ขอมลชดหนงประกอบดวย x1, x2, x3,…, x20 โดยมสมบตดงน 20
2
1
( 5) 500ii
X
,
20
1i
i
X a
มคานอยทสดเมอ a=5 และ 20
2
1
( )ii
X b
มคานอยทสดเมอ b=8 ขอใดตอไปนถกตอง
1. ขอมลชดนมคาเฉลยเลขคณตนอยกวาคามธยฐาน
2. ผลรวมของขอมลชดนทงหมดเทากบ 100
3. สวนเบยงเบนมาตรฐานของขอมลชดนมคาเทากบ 5
4. สมประสทธของการแปรผนของขอมลชดนมคาเทากบ 50%
ENT ต.ค. 45 ขอมลชดหนงเรยงล าดบจากนอยไปมาก คอ a 4 5 6 b ซงมคาเฉลยเลขคณตและสวน
เบยงเบนเฉลยเทากบ 6 และ 3 ตามล าดบ สมประสทธของพสยของขอมลชดนเทากบเทาใด
![Page 24: Statistics clip vidva](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042601/55679666d8b42a1a588b4e78/html5/thumbnails/24.jpg)
คณตศาสตร สถต www.clipvidva.com
24
ENT ม.ค. 47 ถา 20, x2,…,x25 เปนขอมลทเรยงจากคานอยไปคามากและเปนล าดบเลขคณตและควอรไทล
ทหนงของขอมลชดนเทากบ 31 แลวสวนเบยงเบนเฉลยของขอมลชดนเทากบขอใดตอไปน
1. 6.24
2. 10.28
3. 12.48
4. 24.96
ENT ต.ค 47 ให x1, x2,…, x5 เปนขอมลชดหนงซงมคาเฉลยเลขคณตเทากบ 6 ถา 5
2
1
( 4) 30ii
X
แลว สวนเบยงเบนมาตรฐานของขอมลชดนเทากบขอใดตอไปน
1. 2
2. 2 3. 6
4. 2 2
![Page 25: Statistics clip vidva](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042601/55679666d8b42a1a588b4e78/html5/thumbnails/25.jpg)
คณตศาสตร สถต www.clipvidva.com
25
PAT1 ก.ค. 52 ถาความยาวของรศมวงกลม 10 วงมคาเฉลยเลขคณตเทากบ 3 และมความแปรปรวนเทากบ
5 แลวผลรวมของพนทวงกลมทง 10 วงน มคาเทากบเทาใดตอไปน
1. 90 2. 95 3. 140 4. 340
PAT1 ต.ค. 53 พจารณาขอความตอไปน
ก. ในการสอบของนกเรยน 3 คน พบวาคาเฉลยเลขคณตของคะแนนสอบเทากบ 80 คะแนน คามธย-
ฐาน 75 คะแนน และพสยเทากบ 25 คะแนน คะแนนสอบของนกเรยนทไดคะแนนต าสดเทากบ 70 คะแนน
ข. ขอมลชดทหนงม 5 จ านวน คอ x1, x2, x3, x4, x5 และขอมลชดทสองม 4 จ านวน คอ x1, x2, x3,
x4 โดยทคาเฉลยเลขคณตของขอมลทงสองชดเทากน ถา a และ b เปนสวนเบยงเบนมาตรฐานของขอมลชดท
หนงและชดทสองตามล าดบ แลว 5
2
b
a
ขอใดตอไปนถกตอง
1. ก. ถก และ ข. ถก
2. ก. ถก แต ข. ผด
3. ก. ผด แต ข. ถก
4. ก. ผด และ ข. ผด
![Page 26: Statistics clip vidva](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042601/55679666d8b42a1a588b4e78/html5/thumbnails/26.jpg)
คณตศาสตร สถต www.clipvidva.com
26
5. คามาตรฐานและการแจกแจงแบบปกต
5.1 คามาตรฐาน ในหวขอน หากเราตองการเปรยบเทยบขอมลตงแตสองชดขนไป เชน นาย ก. ไดคะแนนสอบ
วชาคณตศาสตร 90% สวนวชาฟสกส 98% เราไมสามารถกลาวไดวา นาย ก. เกงวชาฟสกสมากกวาวชา
คณตศาสตร แตเราตองค านงถงคาเฉลยและการกระจายของคะแนนทงสองวชาดวย นกสถตจงคดคาทางสถต
ใหมอกหนงตวเพอใชเปรยบเทยบขอมลซงมาจากคนละชด นนกคอ คามาตรฐาน (Standard score : z) โดย
หาไดจาก
สมบตของคามาตรฐาน
- 1
0n
ii
z
- 0z และ 1zSD เสมอ
- The 95% rule กลาววา “โดยทวไปขอมลทอยระหวาง z = -2 และ z = 2 จะมปรมาณ 95%
ของขอมลทงหมด” หมายความวาขอมลทงหมดจะอยในชวง (z – 2SD, z + 2SD) แสดงวาเรา
อาจประมาณ พสย เทากบ 4SD ได
5.2 เสนโคงความถและการแจกแจงแบบปกต
เสนโคงความถ แสดงใหเหนถงลกษณะการแจกแจงของขอมลมทงหมด 3 แบบ ไดแก
(ทมา: คณต มงคลพทกษสข, “MATH E-BOOK Release2.5”, ส านกพมพ Science Center, 2554)
![Page 27: Statistics clip vidva](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042601/55679666d8b42a1a588b4e78/html5/thumbnails/27.jpg)
คณตศาสตร สถต www.clipvidva.com
27
สงทเราไดจากเสนโคงความถ นนคอ สามารถค านวณหาต าแหนงสมพทธของขอมล (มธยฐาน ควอร
ไทล เดไซล เปอรเซนไทล) ได โดยอาศยพนทใตเสนโคงปกต ซงมหลกการงายๆ ไดแก
1. เราจะตองเปลยนขอมลของเราใหอยในรปคามาตรฐาน แลวน าไปสรางเสนโคงปกต
มาตรฐาน ซงมสมบตวา พนทใตเสนโคงปกตมาตรฐานจะเทากบ 1.00
2. ใชตารางแสดงความสมพนธระหวางพนทใตเสนโคงปกตมาตรฐานกบคามาตรฐาน โดย
คาทระบในตารางจะแสดงพนททวดระหวาง z=0 ไปถง z ใดๆทระบในตาราง
3. หาคาต าแหนงสมพทธทตองการโดยน าพนททไดไปเปลยนเปนคามาตรฐาน
(ทมา: คณต มงคลพทกษสข, “MATH E-BOOK Release2.5”, ส านกพมพ Science Center, 2554)
เชน การหาเปอรเซนไทลท 65 จะท าไดโดยการเปดตารางพนท 0.65-0.5=0.15 ซงจะไดวาคา
z=0.385 หรอ เปอรเซนไทลท 20 จะท าไดโดยการเปดตาราง 0.5-0.2=0.3 ซงจะไดคา z=0.841 แตเนองจาก
เปนพนททางดานซาย จะได z=-0.841
(ทมา: คณต มงคลพทกษสข, “MATH E-BOOK Release2.5”, ส านกพมพ Science Center, 2554)
ตวอยาง นายแดงสอบวชาภาษาไทยและคณตศาสตรไดคะแนน 48 และ 35 คะแนนตามล าดบ โดย
คาเฉลยเลขคณตของคะแนนสอบวชาภาษาไทยและคณตศาสตรเทากบ 45 และ 32 คะแนนตามล าดบ และ
สวนเบยงเบนมาตรฐานเทากบ 12 และ 10 คะแนนตามล าดบ จงหาวานายแดงสอบวชาใดไดดกวากน
![Page 28: Statistics clip vidva](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042601/55679666d8b42a1a588b4e78/html5/thumbnails/28.jpg)
คณตศาสตร สถต www.clipvidva.com
28
ตวอยาง คนงาน 100 คน มอายเฉลยและสวนเบยงเบนมาตรฐานของอายเปน 25 และ 13 ป
ตามล าดบ ถาผลรวมของคามาตรฐานของอายคนงาน 99 คนเปน -0.25 แลว อายของคนงานอกคนทเหลอ
เปนเทาใด
ตวอยาง ถาคะแนนสอบวชาเคมมการแจกแจงปกต โดยมคะแนนเฉลยและความแปรปรวนเปน 60
และ 25 ตามล าดบ และผสอบผานตองไดไมนอยกวา 54 คะแนน สมมตนาย ก ข และ ค ทราบวาตนเองได
คะแนนอยในต าแหนงเปอรเซนไทลท 10 15 และ 33 ตามล าดบ จงหาวานาย ค สอบไดคะแนนเทาใดและ
นกเรยนทงสามคนนใครสอบผานบาง ก าหนดใหตารางแสดงพนทใตโคงปกตตงแตคามาตรฐาน 0 ถง z ดงน
Z 0.35 0.40 0.44 1.20 พนท 0.1368 0.1554 0.1700 0.3849
ENT ม.ค. 43 โรงเรยนแหงหนงมนกเรยนชน ม.6 จ านวน 300 คน สมชาย สมศกดและสมศร เปนนกเรยน
ชน ม.6 ของโรงเรยนน โดยท เกรดเฉลยของสมชายอยในต าแหนงเดไซลท 8.15 เกรดเฉลยของสมศกดคดเปน
คามาตรฐานเทากบ 1 นกเรยนชน ม.6 ทไดเกรดเฉลยมากกวาสมศรมจ านวน 50 คน ถาสมมตวาเกรดเฉลย
ของนกเรยนชน ม.6 มการแจกแจงปกต ขอใดตอไปนเปนรายชอนกเรยนเรยงล าดบจากคนทไดเกรดเฉลยมาก
ทสดไปนอยทสด (ก าหนดพนทใตโคงปกต z=0 ถง z=1 มคาเทากบ 0.3413)
1. สมชาย สมศกด สมศร
2. สมศกด สมศร สมชาย
3. สมศร สมศกด สมชาย
4. สมศกด สมชาย สมศร
![Page 29: Statistics clip vidva](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042601/55679666d8b42a1a588b4e78/html5/thumbnails/29.jpg)
คณตศาสตร สถต www.clipvidva.com
29
ENT ต.ค. 45 ในการสอบวชาคณตศาสตรของนกเรยนหองหนง ซงมคะแนนเตม 70 คะแนน มสมประสทธ
ของการแปรผนของคะแนนเทากบ 2/7 ถานายบณฑตสอบได 65 คะแนน ซงคดเปนคะแนนมาตรฐานเทากบ
3 และนางสาวบงอรสอบไดคะแนนซงคดเปนคามาตรฐานเทากบ 1.9 แลว นางสาวบงอรสอบไดคะแนนเทากบ
ขอใดตอไปน
1. 50 คะแนน
2. 52 คะแนน
3. 54 คะแนน
4. 56 คะแนน
ENT ม.ค. 46 การแจกแจงความสงของนกเรยนกลมหนงเปนการแจกแจงปกต ถานกเรยนทมความสง
มากกวา 149.4 เซนตเมตร มอย 3% และนกเรยนทมความสงนอยกวาฐานนยมแตมากกวา 136.5 เซนตเมตร
มอย 25.8% แลว ขอใดตอไปนคอฐานนยมและความแปรปรวนของความสงของนกเรยนกลมนตามล าดบ
(หนวยเปนเซนตเมตร) ก าหนดตารางแสดงพนทใตเสนโคงปกตมาตรฐานทอยระหวาง 0 ถง z
z 0.3 0.7 1.49 1.88 พนท 0.1179 0.2580 0.4139 0.4700
1. 144.4, 5
2. 144.4, 25
3. 140, 5
4. 140, 25
![Page 30: Statistics clip vidva](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042601/55679666d8b42a1a588b4e78/html5/thumbnails/30.jpg)
คณตศาสตร สถต www.clipvidva.com
30
PAT1 ม.ค. 52 ขอมลชดหนงมการแจกแจงปกต ถาหยบขอมล a, b, c, d มาค านวณคามาตรฐาน ปรากฏวา
ไดคาดงตาราง
ขอมล a b c d คามาตรฐาน(z) -3 -0.45 0.45 1
ขอใดตอไปนถก
1. –a+2b+2c-3d = 0
2. –a+b+c-3d = 0
3. a-2b+3c+2d = 0
4. a-b+c-d = 0
PAT1 ม.ค. 52 ขอมลความสงของนกเรยนชน ม.6 ของโรงเรยนแหงหนงมการแจกแจงปกต ถาจ านวน
นกเรยนทมความสงนอยกวา 140.6 เซนตเมตร มอย 3.01% และจ านวนนกเรยนทมความสงมากกวาคามธย
ฐานแตนอยกวา 159.4 เซนตเมตร มอย 46.99% แลวจ านวนนกเรยนทมความสงไมนอยกวา 155 เซนตเมตร
แตไมเกน 160 เซนตเมตรมเปอรเซนเทากบขอใดตอไปน เมอก าหนดตารางแสดงพนทใตเสนโคงปกต
มาตรฐานระหวาง 0 ถง z เปนดงน
z 1.00 1.12 1.88 2.00 พนทใตเสนโคง 0.3413 0.3686 0.4699 0.4772
1. 12.86%
2. 13.14%
3. 15.87%
4. 13.59%
![Page 31: Statistics clip vidva](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042601/55679666d8b42a1a588b4e78/html5/thumbnails/31.jpg)
คณตศาสตร สถต www.clipvidva.com
31
PAT1 ต.ค. 52 ก าหนดใหขอมลชดหนงมการแจกแจงปกต หยบขอมล x1, x2, x3 มาค านวณคามาตรฐาน
ปรากฏวาไดคาเปน z1, z2, z3 ตามล าดบ ถา z1+z2 = z3 แลวคาเฉลยเลขคณตของขอมลชดนเทากบขอใด
ตอไปน
1. x1+x2-x3
2. x1-x2-x3
3. x3-x2-x1
4. x1+x2+x3
![Page 32: Statistics clip vidva](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042601/55679666d8b42a1a588b4e78/html5/thumbnails/32.jpg)
คณตศาสตร สถต www.clipvidva.com
32
6. ความสมพนธเชงฟงกชนระหวางขอมล
ในระดบมธยมศกษาตอนปลาย ความสมพนธทควรทราบและออกขอสอบมอย 2 รปแบบ ไดแก
1. ฟงกชนเสนตรง
รปทวไป : Y mX c
สมการปกต : 1 1
n n
i ii i
Y m X nc
2
1 1 1
n n n
i i i ii i i
X Y m X c X
2. ฟงกชนพาราโบลา
รปทวไป : 2Y aX bX c
สมการปกต : 2
1 1 1
n n n
i i ii i i
Y a X b X nc
3 2
1 1 1 1
n n n n
i i i i ii i i i
X Y a X b X c X
2 4 3 2
1 1 1 1
n n n n
i i i i ii i i i
X Y a X b X c X
***หมายเหต สมการปกตเปนสมการทไวใชหาคาคงท เชน a, b, c, m
ขอควรระวง
การสรางสมการถดถอยจะสามารถใชท านายตวแปรตาม ( ) จากตวแปรตน (X) ได แตไม
สามารถใชสมการเดยวกนท านายตวแปรตน (X) จากตวแปรตาม ( ) ไดนอกจากใชท านายคาตวแปร
ตนได ณ จด ถาตองการท านายตวแปรตนจะตองเปลยนรปสมการใหอยในรป
![Page 33: Statistics clip vidva](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042601/55679666d8b42a1a588b4e78/html5/thumbnails/33.jpg)
คณตศาสตร สถต www.clipvidva.com
33
หากขอมลของเรามตวแปรตนทเปนชวงทหางเทาๆกน เชน ชวงเวลา (พ.ศ.) เราเรยกขอมลเหลานนวา
ขอมลทอยในรปของอนกรมเวลา เราสามารถแทนคาตวแปนตนทเปนตวเลขนอยๆ โดยหากมจ านวนตวแปร
ตนเปนจ านวนค มกจะแทนดวย …, -2, -1, 0, 1, 2,… โดยตวแปรตนตรงกลางแทนดวย 0 เสมอ หากจ านวน
ตวแปรตนเปนจ านวนค มกจะแทนดวย …, -3, -1, 1, 3,… โดยตวแปนตนคตรงกลางแทนดวย -1 และ 1
ตวอยาง จากการสอบถามรายจายของ 8 ครอบครวในหมบานหนง ไดผลสมพนธกบรายไดดงตาราง
จงใชขอมลขางตนตอบค าถามตอไปน
ก. ใหหาความสมพนธทใชประมาณรายจายจากรายได
ข. ถาครอบครวหนงในหมบานแหงนมรายได 4,500 บาท จะมรายจายประมาณเทาใด
ค. ถาครอบครวหนงในหมบานแหงนมรายจาย 3,500 บาท จะมรายไดประมาณเทาใด
รายได (พนบาท) 1 3 4 6 8 9 11 14 รายจาย (พนบาท) 1 2 4 4 5 7 8 9
![Page 34: Statistics clip vidva](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042601/55679666d8b42a1a588b4e78/html5/thumbnails/34.jpg)
คณตศาสตร สถต www.clipvidva.com
34
ตวอยาง ใหสรางสมการท านายประชากรในทองทหนง ซงมขอมลทส ารวจมาไดดงตารางและจากนน
ใหประมาณจ านวนประชากรในทองทนในปพ.ศ. 2547
พ.ศ. 2535 2537 2539 2541 2543 จ านวนประชากร (พนคน) 0.8 0.9 1.1 1.4 2.0
ENT ต.ค. 42 พจารณาขอมลของ x และ y ดงน
x -3 -1 0 1 3 y 0 a a+3 a+4 a+6
เมอ a เปนคาคงท ให x และ y มความสมพนธเชงฟงกชนเปนกราฟเสนตรง โดยทความชนเทากบ 1.55 ถา
x=4 จะประมาณคา y ไดเทากบขอใดตอไปน
1. 8.7
2. 10.8
3. 11.2
4. 12.8
![Page 35: Statistics clip vidva](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042601/55679666d8b42a1a588b4e78/html5/thumbnails/35.jpg)
คณตศาสตร สถต www.clipvidva.com
35
A-NET 51 ถาในการหาความสมพนธเชงฟงกชนระหวางคะแนนสอบวชาทหนง (X) และวชาทสอง (Y)
ของนกเรยนชนหนงมจ านวน 10 คน ของโรงเรยนแหงหนง ไดพจนตางๆทใชในการค านวณคาคงตวจาก
สมการปกต ดงน 10
1
50ii
X
10
1
50ii
Y
10
1
288i ii
X Y
10
2
1
304ii
X
10
2
1
284ii
Y
ไดสมการ
ประมาณคะแนนสอบวชาทสองจากคะแนนสอบวชาทหนงเปน ˆ 1.5 0.7Y X (ใชทศนยมหนงต าแหนง)
พจารณาขอความตอไปน
ก. ถานกเรยนสองคนในกลมนมคะแนนสอบวชาทหนงตางกน 2 คะแนนแลว คะแนนสอบวชาทสอง
ของนกเรยนสองคนนตางกนประมาณ 1.4 คะแนน
ข. เมอสอบคะแนนสอบวชาทสอง จะประมาณคะแนนสอบวชาทหนงของนกเรยนกลมนไดจาก
สมการ ˆ 1.4 2.1X Y
ขอใดตอไปนถกตอง
1. ก. ถก และ ข. ถก
2. ก. ถก และ ข. ผด
3. ก. ผด และ ข. ถก
4. ก. ผด และ ข. ผด
PAT ก.ค. 52 ในการหาความสมพนธเชงฟงกชนระหวางปรมาณสารปนเปอนชนดท 1 (x) และปรมาณสาร
ปนเปอนชนดท 2 (y) จากตวอยางอาหารจ านวน 100 ตวอยาง พบวาความแปรปรวนของปรมาณสารชนดท 1
มคาเทากบ 1.75 คาเฉลยเลขคณตของปรมาณสารชนดท 2 มคาเทากบ 0.5 100
1
100i ii
x y
และ
1002
1
200ii
x
ถาสมการปกตของความสมพนธเชงฟงกชนดงกลาวอยในรป y = ax+b แลว เมอพบสาร
ปนเปอนชนดท 1 อย 4 หนวย จะพบสารปนเปอนชนดท 2 (โดยประมาณ) เทากบขอใดตอไปน
1. 0.5 หนวย
2. 1 หนวย
3. 1.5 หนวย
4. 2 หนวย
![Page 36: Statistics clip vidva](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042601/55679666d8b42a1a588b4e78/html5/thumbnails/36.jpg)
คณตศาสตร สถต www.clipvidva.com
36
เอกสารอางอง
คณต มงคลพทกษสข. MATH E-BOOK Release2.5, ส านกพมพ Science Center, 2554.
จกรนทร วรรณโพธกลาง. คมภร คณตศาสตร Entrance ม.4-5-6 สอบตรง สอบโควตา Admission
PAT1, กรงเทพมหานคร: พ.ศ. พฒนา, พมพครงท 1, 2552.
ณฐ อดมพาณชย. เสนทางส วศวะฯจฬา พชต PAT1 คณตศาสตร, กรงเทพมหานคร: สถาบนสอนวชา
คณตศาสตร NUTTY PROFESSIONAL, พมพครงท 2, 2552.
ทรงวทย สวรรณธาดา. 1001 TESTS IN MATHS 2, กรงเทพมหานคร: บรษท ส านกพมพแมค จ ากด, พมพ
ครงท 1, 2550.
ทรงวทย สวรรณธาดา. 1001 TESTS IN MATHS 3, กรงเทพมหานคร: บรษท ส านกพมพแมค จ ากด, พมพ
ครงท 1, 2550.
ฝายวชาการ บรษท สกายบกส จ ากด. รวมสตรเลขคณต ชวงชนท 3-4, ปทมธาน: สกายบกส, พมพครงท 1,
2548.
สถาบนสงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย กระทรวงศกษาธการ. หนงสอเรยนสาระการเรยนร
พนฐาน คณตศาสตร เลม 2 ชนมธยมศกษาปท 5, กรงเทพมหานคร: โรงพมพครสภาลาดพราว,
พมพครงท 3, 2549.
สถาบนสงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย กระทรวงศกษาธการ. หนงสอเรยนสาระการเรยนร
เพมเตม คณตศาสตร เลม 1 ชนมธยมศกษาปท 6, กรงเทพมหานคร: โรงพมพครสภาลาดพราว,
พมพครงท 4, 2550.
อรรณพ สขธ ารง. คณตศาสตร Entrance เลม 3. ม.ป.ป.