statistica - cnr · statistica. la bontà della regressione per fare un buon modello lineare serve:...
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Regressione-3L’inferenza per il modello lineare
semplice
STATISTICA
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La bontà della regressione
Per fare un buon modello lineare serve:
una correlazione alta, che dice che i dati stanno vicinialla retta
alcune ipotesi che dicano che il meccanismo chegenera i dati è (ragionevolmente) lineare
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Inferenza
= +
Il modello dellaregressione lineare
semplice:
= +≈ ⟺ ~ ( , )
= + +
~ ( + , )
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=+
Il valore medio di in corrispondenza a tutte le unità statistiche per cui = è
+
InferenzaIl modello della
regressione linearesemplice:
= + +
~ ( + , )= +
= +≈ ⟺ ~ ( , )
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=+
Il valore medio di in corrispondenza a tutte le unità statistiche per cui = è
+
InferenzaIl modello della
regressione linearesemplice:
= + +
~ ( + , )=
= +≈ ⟺ ~ ( , )
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Inferenza
= +
Il modello dellaregressione lineare
semplice:
= +≈ ⟺ ~ ( , )
= + +
Il modello ha tre parametri incogniti: , ,
1. Stimare , e
2. Verificare se il vero valore della pendenza nella popolazione è davvero diverso da zero (⇔ previsione) oppure no:
∶ = 0, ∶ ≠ 0
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Inferenza
= +
= +≈ ⟺ ~ ( , )
= + +
= −= +
= 0
= =∑ ( − )( − )
∑ ( − )
= −
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Inferenza
= +
= +≈ ⟺ ~ ( , )
= + +
=1− 2
= −stima di
= +
= 0
varianza deglierrori
errori ≈ residui
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Inferenza
=∑( − )( − )
∑( − )
= −
~ (0, )
~ ( + , )
e v.c. gaussiane
dalle stime agli stimatori:
∶ = 0 ∶ ≠ 0
=1− 2
∑ ( − )
> ( − )rifiutiamo se:(rifiutiamo la casualità di unapendenza ≠ 0)
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Inferenza
=∑( − )( − )
∑( − )
= −
~ (0, )
~ ( + , )
e v.c. gaussiane
dalle stime agli stimatori:
∶ = ∶ ≠
=1− 2
−
∑ ( − )
> ( − )rifiutiamo se:
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Inferenza
=∑( − )( − )
∑( − )
= −
~ (0, )
~ ( + , )
e v.c. gaussiane
dalle stime agli stimatori:
∶ = ∶ ≠
=1− 2
rifiutiamo se:1 + ̅
∑ ( − )
> ( − )
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Inferenza per la previsione
∓ ( − 2) × 1 + +( − )
∑ ( − ̅)
IC della risposta di un nuovo“individuo” con covariata pari a
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Inferenza per la previsione
∓ ( − 2) × 1 + +( − )
∑ ( − ̅)
IC della risposta media di tutti gli“individui” con covariata pari a
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66 68 70 72
140
150
160
170
180
w
Il modello di regressione lineare
Y
XX
= + + , ~ ( , )
In questo modello, mi aspettodi osservare il valore
(sulla retta), ma l’incertezza del fenomeno può produrre un’osservazione
che non sta sulla retta. Questo errore, = − , è
supposto gaussiano, quindi non può essere troppo grande (" − 3 , 3 "), e deve essere simmetrico, nel senso che
l’istogramma degli deve dare una «campana» simmetrica.
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Il modello di regressione lineare
= + + , ~ ( , )
− =1− 2
5 10 15
-20
-10
010
20
- non sono «troppo grandi»: (−3 , +3 );
- sono in parte positivi e in parte negativi;
- il loro grafico è “sparpagliato”.nell’ordine dei dati
GRAFICO DEI RESIDUI
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Facciamo un salto in e in Francia!
6 8 10 12 14 16
1520
2530
35
Disoccupazione (%)
Vot
o pe
r Mac
ron
(%)
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Facciamo un salto in e in Francia!
6 8 10 12 14 16
1520
2530
35
Disoccupazione (%)
Vot
o pe
r Mac
ron
(%)
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Facciamo un salto in e in Francia!
0 20 40 60 80
-50
510
Index
RE
SID
UI
2
3
−2
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0 10 20 30 40
-20
-10
010
20
res1
Verifica della Gaussianità
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0 10 20 30 40
-20
-10
010
20
res1
Verifica della Gaussianità
-2 0 2 4 6 8-2
0-1
00
1020
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Verifica della Gaussianità
0 20 40 60 80 100
-60
-40
-20
020
4060
80
La varianza non è costante
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Verifica della Gaussianità
-2 -1 0 1 2
-2-1
01
2 Q-Q plot
Quantili di una (0,1)
Qua
ntili
deir
esid
uist
anda
rdiz
zati
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Verifica della Gaussianità
Q-Q plot
Quantili di una (0,1)
Qua
ntili
deir
esid
uist
anda
rdiz
zati
dato anomalo/ outlier
Ci sono tecniche di diagnostica ad hoc
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Verifica della Gaussianità
http://condor.depaul.edu/sjost/it223/documents/normal-plot.htm
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Facciamo un salto in
-2 -1 0 1 2
-2-1
01
23
Normal Q-Q Plot
Theoretical Quantiles
Sta
ndar
dize
d R
esid
uals
Qua
ntile
s
Residui standardizzati
-2 -1 0 1 2 3
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
e in Francia!
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-2 -1 0 1 2
-2-1
01
23
Normal Q-Q Plot
Theoretical Quantiles
Sta
ndar
dize
d R
esid
uals
Qua
ntile
s
Facciamo un salto in
Shapiro-Wilks (Madansky, p. 20)
> shapiro.test(«residui»)
Shapiro-Wilk normality test
(test di regressione, cfr. di varianze)
e in Francia!
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Facciamo un salto in
Breusch-Pagan test (Madansky, p. 81)
> library(car)> ncvTest(«lm»)
Non-constant Variance Score Test
e in Francia!
0 20 40 60 80
-50
510
Index
RE
SID
UI
Durbin-Watson test (Madansky, p. 93)
> library(car)> durbinWatsonTest(«lm»)
Alternative hypothesis: rho != 0
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Facciamo un salto in e in Francia!
6 8 10 12 14
2025
3035
Tasso di disoccupazione
Vot
o pe
r Mac
ron
6 8 10 12 14
2025
3035
Tasso di disoccupazione
Vot
o pe
r Mac
ron
IC della previsione del voto in un
dipartimento con disoccupazione
IC della previsione del voto medio deidipartimenti con
disoccupazione
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Facciamo un salto in e in Francia!
6 8 10 12 14
2025
3035
Tasso di disoccupazione
Vot
o pe
r Mac
ron
6 8 10 12 14
2025
3035
Tasso di disoccupazione
Vot
o pe
r Mac
ron
IC della previsione del voto in un
dipartimento con disoccupazione
IC della previsione del voto medio deidipartimenti con
disoccupazione
I dati che cadanofuori dall’IC sono
sospetti!
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Esercizio di compito
2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
HD
I
L'indice di sviluppo umano (ISU) (in inglese: HDI-Human Development Index) è un indice comparativo dello sviluppo dei vari paesi calcolato tenendo conto dei diversi tassi di aspettativa di vita, istruzione e reddito nazionale lordo procapite.
dati:gdp-hdi-2105.txt
(si ringrazia la studentessaM. Lintner)
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0 50 100 150
-0.2
-0.1
0.0
0.1
Index
Eserciziore
sidu
i
Residuals
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
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Esercizio
-3 -2 -1 0 1 2 3
-4-3
-2-1
01
2
Normal Q-Q Plot
Theoretical Quantiles
Sta
ndar
dize
d R
esid
uals
Qua
ntile
s
2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
Log(GDP)
HD
I
morale della favola:
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Outlier e dati influenti
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Outlier e dati influenti
dati: gdp-hdi-2105.txt
log(PIL) 10xHDI6 7 8 9 10 11 12
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
log(PIL)
HD
I
PIL-Human Development Index
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6 7 8 9 10 11 12
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
Outlier e dati influenti
dati: gdp-hdi-2105.txt
log(PIL) 10xHDI log(PIL)
HD
I
PIL-Human Development Index
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Outlier e dati influenti
X
Y
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Outlier e dati influenti
X
YE’ un outlier rispetto a X?
Lo è rispetto a Y?
Che effetto ha sullaretta dei minimi
quadrati?
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Outlier e dati influenti
X
YE’ un outlier rispetto a X?
Lo è rispetto a Y?
Che effetto ha sulla retta dei
minimi quadrati?
dato influente (leverage)
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Outlier e dati influenti
X
Y
E’ un outlier rispetto a X?
Lo è rispetto a Y?
Che effetto ha sullaretta dei minimi
quadrati?
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6 7 8 9 10 11 12
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
Outlier e dati influenti
dati: gdp-hdi-2105.txt
log(PIL)
HD
I
PIL-Human Development Index
> influence.measures
Regression Deletion DiagnosticsDescription
This suite of functions can be used to compute some of the regression (leave-one-out deletion) diagnostics for linear and generalized linear models discussed in Belsley, Kuh and Welsch (1980), Cook and Weisberg (1982), etc.
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1214
1618
2022
Stipendio medioorario 2013
Facciamo un salto in e in Francia!
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12 14 16 18 20 22
1520
2530
3540
Stipendio medio/h 2013
Vot
o pe
r Mac
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(%)
= .
Facciamo un salto in
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Facciamo un salto in
influenti?outlier?
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Facciamo un salto in
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Stipendio medio/h 2013
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Facciamo un salto in RCI VOGLIAMO PROPRIO FAR PASSARE IN MEZZO UNA RETTA?
UNA PARABOLA, UN’IPERBOLE, UNA FUNZIONE SINUSOIDALE…?!