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Statistica economica (6 CFU)

Corso di Laurea in Economia e Commercioa.a. 2012-2013

Docente: Lucia BuzzigoliLezione 5

TRASFORMAZIONE LOGARITMICA

Logaritmo in base 10

X log(X)10 1

100 21000 3

Se si moltiplicano i valori per 10 … i log aumentano di una unità

1) Il logaritmo può aiutare a raggiungere la simmetria

Con il logaritmo i valori elevati si ‘avvicinano’, mentre i valori bassi si ‘allontanano’.

N.B.: log(10)-log(1) = log(100) – log(10)

Tale proprietà risulta utile per ricondurre a simmetria particolari distribuzioni

asimmetriche

Nel caso di asimmetria positiva il logaritmo comprime la coda alta della distribuzione, mentre ne distende la parte iniziale.Viene così ridotta la coda destra dell’istogramma e si ottiene una maggiore simmetria. Le linee tra i due istogrammi connettono i valori originari con i loro logaritmi.

2) Il log può – in certi casi - aiutare a raggiungere la stazionarietà in varianza

La differenza nei log corrisponde ai log del rapporto:log (A) – log (B) = log (A/B)

Es. 110 – 100 =10 110/100=1.1 220 – 200 = 20 220/200=1.1

(variazioni assolute diverse, ma stessa variazione %)Con i logaritmi, la variazione assoluta diviene costante

log (110) – log (100) = log (110/100) = log (1.1)

log (220) – log (200) = log (220/200) = log (1.1)

Due serie con variazioni % uguali:

x y100 1000120 1200

60 60090 900

180 1800

1 2 3 4 50

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

2000

x

y

I log evidenziano che, sebbene il livello sia diverso, le variazioni % sono uguali

1 2 3 4 50

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

log(x)log(y)

log(x) log(y)2 3

2,079181 3,0791811,778151 2,7781511,954243 2,9542432,255273 3,255273

Due serie con variazioni assolute uguali:

1 2 3 4 50

200

400

600

800

1000

1200

zw

z w100 1000150 1050

90 990110 1010200 1100

I log evidenziano che, a variazioni assolute uguali, corrispondono variazioni % diverse

log(z) log(w)2 3

2,176091 3,0211891,954243 2,9956352,041393 3,004321

2,30103 3,041393

1 2 3 4 51

1.5

2

2.5

3

3.5

log(z)log(w)

Grazie a questa proprietà le trasformazioni logaritmiche tendono a stabilizzare la varianza di alcune serie storiche eteroschedastiche

3) Il log rende additive relazioni moltiplicative

Il log del prodotto è la somma dei log:log (AB) = log (A) + log (B)

I logaritmi possono essere utili per rendere additive relazioni moltiplicative e per rendere

lineari relazioni esponenziali

MODELLI DI ANALISI DELLE SERIE STORICHE

STATISTICA CLASSICASpesso si analizzano campioni casuali di osservazioni indipendenti in cui ogni dato dà informazioni sulla v.c. che lo ha generato ma non dà informazioni sulle altre.

ANALISI DI SERIE STORICHEQuanto è avvenuto ‘determina’ (in un senso non deterministico) ciò che avverrà in futuro secondo un principio di stabilità delle leggi che generano la serie.

Per poter studiare le serie storiche in maniera rigorosa è necessario estendere il concetto di

variabile casuale e introdurre il concetto di processo stocastico per tenere conto dell’ordinamento delle osservazioni.

Funzione misurabile a valori reali definita sullo spazio campionario Per ogni evento casuale la v.c. X() assume un valore reale xOgni volta che si effettua l'esperimento, si verifica un esito ω appartenente a e una data variabile casuale X assume il valore X(ω).

X(ω) ω ϵ ΩIntuitivamente, si può immaginare una variabile casuale X come una misura di interesse nel contesto dell'esperimento casuale. Una variabile casuale X è casuale nel senso che il suo valore dipende dall'esito dell'esperimento, il quale non può essere previsto con certezza prima di effettuare l'esperimento stesso. In generale la notazione omette il riferimento allo spazio campionario.

VARIABILE CASUALE

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PROCESSO STOCASTICO

T (in questo caso il tempo) permette di tenere conto dell’ordinamento

Semplificando il p.s. può essere definito come una successione di v.c. ordinate nel tempo e con arbitrarie relazioni di dipendenza interne:p.s. : collezione di v.c. Yt (ω) indicizzate da un parametro

{Yt , tϵT}

Serie storica: realizzazione finita del p.s. {Yt }

Ogni dato yt di una serie storica è il risultato dell’esperimento casuale sulla corrispondente v.c. Yt : y1 è generata da Y1, y2 è generata da Y2 , ecc..

Esperimenti diversi generano traiettorie diverse.

Le v.c. non sono necessariamente uguali.

PROCESSO STOCASTICO

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Tre realizzazioni (=serie storiche) di un processo stocastico: le tre serie, pur generate dallo stesso processo, differiscono per l’evento

elementare su cui opera il meccanismo casuale.

Y(ω1,t) Y(ω2,t) Y(ω3,t)

Y(ω1,5)

Y(ω3,3)

Y(ω2,9)

Y(ω2,5)

STATISTICA CLASSICAcampione di N osservazioni su una v.c. Y

N informazioni distinte su un’unica v.c.

ANALISI DI SERIE STORICHEN informazioni distinte su N v.c. distinte

Impossibile impostare qualunque procedura inferenziale

PROBLEMA

data la serie temporale (osservata) è possibile descrivere (stimare) il

processo che l'ha generata?

Un p.s. è caratterizzato dalle relazioni tra le v.c. componenti.A rigore, per conoscere un p.s. è necessario conoscere tutte le distribuzioni di probabilità congiunta di (Yt1

,Yt2 ,…, Ytn ) per ogni insieme (t1,

t2, …, tn) ossia la famiglia di funzioni di ripartizione finite.

Famiglia di funzioni di ripartizione finite

Momenti di un p.s.

• Se ci si accontenta di caratterizzare il processo tramite i suoi momenti, si riesce a fare inferenza sul processo?

• No, bisogna imporre alcune condizioni di regolarità:– stazionarietà (forte e debole)– invertibilità– ergodicità– gaussianità

Stazionarietà forte o in senso stretto

La condizione di stazionarietà in senso stretto impone vincoli sull’intera distribuzione del p.s..

Stazionarietà debole o in covarianza o del secondo ordine

• Se un p.s. è stazionario in senso forte e media e varianza esistono, allora il p.s. è stazionario in senso debole.

• La stazionarietà in senso debole non implica la stazionarietà in senso forte.

• Un p.s. stazionario in senso debole e gaussiano è anche stazionario in senso forte.

D’ora in poi si useranno i termini ‘stazionarietà’ e ‘stazionario’ come sinonimi di stazionarietà in s.

debole e di stazionario in s. debole