statistica applicata all'edilizia lezione: approccio stocastico all ... · approccio...

Approccio stocastico all’analisi delle serie storiche

Statistica Applicata all’ediliziaLezione: approccio stocastico all’analisi delle

serie storiche

Orietta Nicolis

E-mail: [email protected]

12 maggio 2009

Orietta Nicolis Statistica Applicata all’edilizia


Programma

1 Approccio stocastico all’analisi delle serie storiche



Le serie storiche (o temporali)

Una serie storica y1, y2, . . . , yn viene definita come larealizzazione finita di un processo stocastico Y1, Y2, . . . , Yn.

Un processo stocastico è definito tramite la distribuzionecongiunta di Y1, ..., Yn per ogni n.In generale le Yt non sono fra di loro indipendenti e interessa ladistribuzione congiunta per esempio di Yt ed Yt+1.Modelli per serie storiche

yt = f (yt−1, yt−2, . . .) + εt

dove εt processo stocastico stazionario non direttamenteosservabile



Proprietà di un processo stocastico

1 StazionarietàStazionarietà in senso stretto: se la distribuzione congiuntaassociata ad n osservazioni rilevate ai tempi 1, 2, . . . , n è la stessadi quella associata a n osservazioni rilevate ai tempi1 + h, 2 + h, . . . , n + h, ossia

f (y1, y2, . . . , yn) = f (y1+h, y2+h, . . . , yn+h)

Stazionarietà in senso debole: se valgono le seguenti proprietà:E(Yt ) = µ;σ2

t = Var(Yt ) = σ2 (costante);γ(t , t + h) = Cov(Yt , Yt+h) = γ(h), funzione di autocovarianza.

2 Invertibilità: Un processo stocastico è invertibile se esiste unafunzione lineare H(·) ed un processo ε ∼ w .n. tale che per ogni tsia

Yt = H(Yt−1, Yt−2, . . .) + εt .



Autocorrelazione e correlogramma

Autocorrelazione

ρt (h) = Cor(Yt , Yt+h) =Cov(Yt , Yt+h)

σYt σYt+h

CorrelogrammaL’autocorrelazione campionaria, posto

y ≡ 0,

è definita da

r(h) =

∑ytyt+h∑

y2t

∼=∑

ytyt+h√∑y2

t∑

y2t+h



Funzione di autocorrelazione parziale

La funzione di autocorrelazione parziale è data da

πk = Cor(Yt , Yt+h|Yt+1, Yt+2, . . . , Yt+h−1)

ed legame tra due generiche Yt e Yt+h al netto delle variabiliintermedie.Può essere vista come il coefficiente φkk delle regressioni

Yt = c + φ1hYt−1 + φ2hYt−2 + . . . + φhhYt−h



Calcolo della autocorrelazione parziale

P(h) =

1 ρ(1) ρ(2) . . . ρ(h − 2) ρ(1)ρ(1) 1 ρ(1) . . . ρ(h − 3) ρ(2)

......

......

......

ρ(h − 1) ρ(h − 2) ρ(h − 3) . . . ρ(1) ρ(h)

1 ρ(1) ρ(2) . . . ρ(h − 2) ρ(h − 1)ρ(1) 1 ρ(1) . . . ρ(h − 3) ρ(h − 2)

......

......

......

ρ(h − 1) ρ(h − 2) ρ(h − 3) . . . ρ(1) 1

N.B. Il denominatore è il determinante della matrice di Toeplitz.



Alcuni processi stocastici:

Rumore Bianco (White Noise)Autoregressivi (AR)Media Mobile (MA)Autoregressivi a Media Mobile (ARMA)



Processo Rumore Bianco

Un processo stocastico {εt} è un rumore bianco (w.n.) se

E(εt) = 0, ∀tVar(εt) = σ2

ε , ∀tCov(εt , εt−h) = 0, ∀t , ∀h

Si indica con εt ∼ wn(0, σ2ε) ed è un processo stazionario in senso

debole.



Simulazione di un Rumore Bianco

0 200 400 600 800 1000−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4Rumore bianco (w.n.)

0 10 20 30 40 50 60−0.08

−0.06

−0.04

−0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08Sample autocorrelation coefficients

k−values

sacf

val

ues



Processo Autoregressivo (AR)

Un processo Autoregressivo di ordine 1, AR(1) è definito come

Yt = c + φYt−1 + εt

dove εt ∼ wn(0, σ2ε).

Il processo AR è sempre invertibile.Ponendo c = 0 e indicando con BYt = Yt−1,

Yt = φYt−1 + εt

= φBYt + εt

(1 − φB)Yt = εt



Il processo AR(1) è stazionario?

Un processo AR(1) può essere scritto come

Φ(B)Yt = εt

dove Φ(B) = (1 − φB).Se le radici del polinomio caratteristico Φ(B) = 0 giacciono al difuori del raggio di cerchio unitario, cioè |B| > 1, allora AR(1) èstazionario. Ciò accade se

−1 < φ < 1.

Esempio: Il processo Yt = 0.2Yt−1 + εt può essere scritto comeYt = 0.2BYt + εt , (1 − 0.2B)Yt = εt . Ponendo (1 − 0.2B) = 0, siricava B = 1

0.2 = 5 > 1. Quindi il processo Yt è stazionario.



Momenti di un processo AR(1)

Per un processo AR(1) si può dimostrare che:

E(Yt) = µ = 0

Var(Yt) =σ2

ε

1 − φ2

ρh = φh

πh =

{φ h = 10 h > 1



Simulazione di un AR(1) con φ = 0.5

Yt = 0.5Yt−1 + εt

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 10000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2Simulazione AR(1) con φ=0.5



funzioni di autocorrelazione di un AR(1) con φ = 0.5

0 10 20 30 40 50 60−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4


k−values

sacf

val

ues

0 10 20 30 40 50 60−0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6Sample partial autocorrelation coefficients

k−values

spac

f val

ues



Simulazione di un AR(1) con φ = −0.5

Yt = −0.5Yt−1 + εt

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2Simulazione AR(1) con φ=−0.5



funzioni di autocorrelazione di un AR(1) con φ = −0.5

0 10 20 30 40 50 60−0.5

−0.4

−0.3

−0.2

−0.1

0

0.1

0.2


k−values

sacf

val

ues

0 10 20 30 40 50 60−0.5

−0.4

−0.3

−0.2

−0.1

0

0.1


k−values

spac

f val

ues



Processo Autoregressivo di ordine p, AR(p)

Un processo Autoregressivo di ordine p, AR(p) è definito come

Yt = c + φ1Yt−1 + φ2Yt−2 + . . . + φpYt−p + εt


Il processo AR(p) è sempre invertibile.Ponendo c = 0 e indicando con BYt = Yt−1, B2Yt = Yt−2, . . .,BpYt = Yt−p,

Yt = φ1Yt−1 + φ2Yt−2 + . . . + φpYt−p + εt

= φ1BYt + φ2B2Yt + . . . + φpBpYt + εt

(1 − φ1B − φ2B2 − . . .− φpBp)Yt = εt



Il processo AR(p) è stazionario?

Un processo AR(p) può essere scritto come

Φ(B)Yt = εt

dove Φ(B) = (1 − φ1B − φ2B2 − . . .− φpBp).Se le radici del polinomio caratteristico Φ(B) = 0 giacciono al difuori del raggio di cerchio unitario, cioè |B| > 1, allora AR(p) èstazionario.



Funzione di autocorrelazione di un processo AR(p)

La funzione di AUTOCORRELAZIONE di un processo AR(p)decade a 0 velocemente.La funzione di AUTOCORRELAZIONE PARZIALE di unprocesso AR(p) ha il seguente comportamento:

πh =

{6= 0 h ≤ p0 h > p



Simulazione di un AR(2) con φ1 = −0.5 e φ2 = 0.38

Yt = −0.5Yt−1 + 0.38Yt−2 + εt

0 10 20 30 40 50 60−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6


k−values

sacf

val

ues

0 10 20 30 40 50 60−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2


k−values

spac

f val

ues



Simulazione di un AR(3) con φ1 = 0.5, φ2 = 0.3 eφ3 = 0.15

Yt = 0.5Yt−1 + 0.3Yt−2 + 0.15Yt−3 + εt

0 10 20 30 40 50 60−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1


k−values

sacf

val

ues

0 10 20 30 40 50 60−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1


k−values

spac

f val

ues



Processo a Media Mobile di ordine 1, MA(1)

Un processo MA(1) è definito come

Yt = c + εt + θεt−1


Il processo MA è sempre stazionario.Ponendo c = 0 e indicando con Bεt = εt−1,

Yt = θεt−1 + εt

= θBεt + εt

Yt = (1 + θB)εt



Il processo MA(1) è invertibile?

Un processo MA(1) può essere scritto come

Yt = Θ(B)εt

dove Θ(B) = (1 + θB).Se le radici del polinomio caratteristico Θ(B) = 0 giacciono al difuori del raggio di cerchio unitario, cioè |B| > 1, allora MA(1) èinvertibile. Ciò accade se

−1 < θ < 1.

Esempio: Il processo Yt = 0.2εt−1 + εt può essere scritto comeYt = 0.2Bεt + εt , Yt = (1 + 0.2B)εt . Ponendo (1 + 0.2B) = 0, siricava |B| = 1

0.2 = 5 > 1. Quindi il processo Yt è invertibile.



Funzione ACF di un processo MA(1)

Per un processo MA(1) si può dimostrare che:

ρh =

{− θ

1+θ2 h = 10 h > 1

La funzione di autocorrelazione parziale πh decade a 0all’aumentare di h.



Simulazione di un MA(1) con θ = 0.8

Yt = 0.8εt−1 + εt

0 20 40 60−0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5


k−values

sacf

val

ues

0 20 40 60−0.3

−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5


k−values

spac

f val

ues



Simulazione di un MA(1) con φ = −0.8

Yt = −0.8εt−1 + εt

0 20 40 60−0.5

−0.4

−0.3

−0.2

−0.1

0

0.1


k−values

sacf

val

ues

0 20 40 60−0.5

−0.4

−0.3

−0.2

−0.1

0

0.1


k−values

spac

f val

ues



Processo Media Mobile di ordine q, MA(q)

Un processo MA(q) è definito come

Yt = c + θ1εt−1 + θ2εt−2 + . . . + θqεt−q + εt


Il processo MA(q) è sempre stazionario.Ponendo c = 0 e indicando con Bεt = εt−1, B2εt = εt−2, . . .,Bqεt = εt−q ,

Yt = θ1εt−1 + θ2εt−2 + . . . + θqεt−q + εt

= θ1Bεt + θ2B2εt + . . . + θqBqεt + εt

Yt = (1 + θ1B + θ2B2 + . . .− θqBq)εt



Il processo MA(q) è invertibile?

Un processo MA(q) può essere scritto come

Yt = Θ(B)εt

dove Θ(B) = (1 + θ1B + θ2B2 + . . . + θpBp).Se le radici del polinomio caratteristico Θ(B) = 0 giacciono al difuori del raggio di cerchio unitario, cioè |B| > 1, allora MA(q) èstazionario.



Funzione di autocorrelazione di un processo MA(q)

La funzione di AUTOCORRELAZIONE PARZIALE di unprocesso MA(q) decade a 0 velocemente.La funzione di AUTOCORRELAZIONE di un processo MA(Q) hail seguente comportamento:

ρh =

{6= 0 h ≤ q0 h > q



Simulazione di un MA(2) con θ1 = 0.6 e θ2 = 0.3

Yt = 0.6εt−1 + 0.3εt−2 + εt

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4Simulazione MA(2) con θ1=0.6 e θ2=0.3



Funzioni di autocorrelazione di un processo MA(2) conθ1 = 0.6 e θ2 = 0.3

0 10 20 30 40 50 60−0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5


k−values

sacf

val

ues

0 10 20 30 40 50 60−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5


k−values

spac

f val

ues



Simulazione di un MA(3) con θ1 = 0.5, θ2 = 0.3 eθ3 = 0.15

Yt = 0.4εt−1 − 0.3εt−2 + 0.25εt−3 + εt

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4Simulazione MA(3) con θ1=0.4, θ2=−0.3 e θ3=0.25



Funzioni di autocorrelazione di un processo MA(3)conθ1 = 0.5, θ2 = 0.3 e θ3 = 0.15

0 10 20 30 40 50 60−0.2

−0.15

−0.1

−0.05

0

0.05

0.1

0.15


k−values

sacf

val

ues

0 10 20 30 40 50 60−0.2

−0.15

−0.1

−0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2


k−values

spac

f val

ues



Processo AutoRegressivo a Media Mobile di ordine1,1, ARMA(1,1)

Un processo ARMA(1, 1) è definito come

Yt = c + φYt−1 + θεt−1 + εt


Il processo MA è sempre stazionario.Ponendo c = 0,

Yt − φYt−1 = θεt−1 + εt

(1 − φB)Yt = (1 + θB)εt



Il processo ARMA(1,1) è invertibile e/o stazionario?

Un processo ARMA(1, 1) può essere scritto come

Φ(B)Yt = Θ(B)εt

dove Φ(B) = (1 − φB) e Θ(B) = (1 + θB).Il processo ARMA(1,1) è STAZIONARIO se le radici delpolinomio caratteristico 1 − φB = 0 giacciono al di fuori delraggio di cerchio unitario, cioè |B| > 1.Il processo ARMA(1,1) è INVERTIBILE se le radici del polinomiocaratteristico 1 + θ(B) = 0 giacciono al di fuori del raggio dicerchio unitario, cioè |B| > 1.ARMA(1,1) è stazionario ed invertibile se −1 < φ < 1 e−1 < θ < 1.



Funzione di autocorrelazione di un processoARMA(1,1)

La funzione di AUTOCORRELAZIONE, ρh di un processoARMA(1,1) tende a zero all’aumentare di h.La funzione di AUTOCORRELAZIONE PARZIALE φh di unprocesso ARMA(1,1) tende a 0 all’aumentare di h.



Simulazione di un ARMA(1,1) con φ1 = 0.7 e θ = −0.2

Yt = 0.7Yt−1 − 0.2εt−1 + εt

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4Simulazione ARMA(1,1) con φ=0.7 e θ1=−0.2



Funzioni di autocorrelazione di un processo unARMA(1,1) con φ1 = 0.7 e θ = −0.2

0 10 20 30 40 50 60−0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5


k−values

sacf

val

ues

0 10 20 30 40 50 60−0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5


k−values

spac

f val

ues



Processo AutoRegressivo a Media Mobile di ordinep,q, ARMA(p,q)

Un processo ARMA(p, q) è definito come

Yt = c+φ1Yt−1+φ2Yt−2+. . .+φpYt−p+εt+θ1εt−1+θ2εt−2+. . .+θqεt−q


Il processo AR è sempre stazionario.Ponendo c = 0,

Yt − φ1Yt−1 − φ2Yt−2 − . . .− φpYt−p = θ1εt−1 + θ2εt−2 + . . . + θqεt−q + εt

(1 − φ1B − φ2B2 − . . .− φpBp)Yt = (1 + θ1B + θ2B2 . . . + θqBq)εt

Φ(B) = Θεt



Il processo ARMA(p,q) è invertibile e/o stazionario?

Un processo ARMA(p, q) può essere scritto come

Φ(B)Yt = Θ(B)εt

dove Φ(B) = ((1 − φ1B − φ2B2 − . . .− φpBp) eΘ(B) = (1 + θ1B + θ2B2 . . . + θqBq).Il processo ARMA(p,q) è STAZIONARIO se le radici delpolinomio caratteristico Φ(B) = 0 giacciono al di fuori del raggiodi cerchio unitario, cioè |B| > 1.Il processo ARMA(p,q) è INVERTIBILE se le radici del polinomiocaratteristico Θ(B) = 0 giacciono al di fuori del raggio di cerchiounitario, cioè |B| > 1.



Funzione di autocorrelazione di un processoARMA(p,q)

La funzione di AUTOCORRELAZIONE, ρh di un processoARMA(1,1) tende a zero all’aumentare di h.La funzione di AUTOCORRELAZIONE PARZIALE φh di unprocesso ARMA(1,1) tende a 0 all’aumentare di h.



Simulazione di un ARMA(3,2) con φ1 = 0.4,φ2 = −0.3, φ3 = 0.2, θ1 = −0.3, e θ2 = 0.6

Yt = 0.4Yt−1 − 0.3Yt−2 + 0.2Yt−3 − 0.3εt−1 + 0.6εt−2 + εt

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4Simulazione ARMA(p,q) φ1=0.4, φ2=−0.3, φ3=0.2, θ1=−0.3, e θ2=0.6



Funzioni di autocorrelazione di un processo unARMA(p,q) con φ1 = 0.4, φ2 = −0.3, φ3 = 0.2,θ1 = −0.3, e θ2 = 0.6

0 10 20 30 40 50 60−0.1

−0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3


k−values

sacf

val

ues

0 10 20 30 40 50 60−0.1

−0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25


k−values

spac

f val

ues


statistica applicata all'edilizia lezione: approccio stocastico all ... · approccio...

Documents