standardowe zadanie programowania liniowegodydaktyka.polsl.pl/kwmimkm/wyklad_01_dzienne.pdf ·...
TRANSCRIPT
Standardowe zadanie programowania liniowego
Rozważamy proces, w którym zmiennymi są x1, x2, …, xn.Proces poddany jest m ograniczeniom, zapisanymi w postaci
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
...
.........
n n
n n
m m mn n m
a x a x a x ba x a x a x b
a x a x a x b
+ + + =+ + + =
+ + + =
(1)
aij, bi – znane współczynniki
Gliwice 2
Standardowe zadanie programowania liniowego
Dopuszczamy jedynie nieujemne wartości xj, czyli:
0, 1,2, ...,jx j n≥ = (2)
Zakładamy również, że:
0, 1,2, ...,ib i m≥ = (3)
Z procesem jest związana funkcja celu Z:
1 1 2 2 ... n nZ c x c x c x= + + + (4)
cj, j = 1,2, …,n – znane współczynniki
Gliwice 3
Standardowe zadanie programowania liniowego
Zagadnienie polega na maksymalizacji (minimalizacji) funkcjicelu Z (4), spełniającej ograniczenia (1), (2), (3).
Model matematyczny:
1
1
FC : MAX
O : 0, 1,2, ...,0, 1,2, ...,
n
j jj
m
ij j ij
j
i
Z c x
a x b
x j nb i m
=
=
= →
⎧=⎪
⎪⎪ ≥ =⎨⎪ ≥ =⎪⎪⎩
∑
∑(5)
Gliwice 4
Standardowe zadanie programowania liniowego
Zapis w postaci macierzowejTFC : MAX
O : 00
Z = →
=⎧⎪ ≥⎨⎪ ≥⎩
c xAx bxb
(6)
11 12 1 1 1 1
21 22 2 2 2 2
1 2
...
...... ... ... ... ... ... ...
...
n
n
m m mn n n n
a a a c x ba a a c x b
a a a c x b
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
A c x b
Gliwice 5
Standardowe zadanie programowania liniowego
Przykład 1
Zakład zamierza rozpocząć produkcję dwóch wyrobów: W1 i W2. Wśród środków produkcyjnych, które zostaną użyte w procesie produkcji dwa są limitowane. Limity te wynoszą: dla środka pierwszego S1 63 kilogramy, dla środka drugiego S2 64 kilogramy. Aby wyprodukować jeden wyrób W1 potrzeba 9 kg środka S1 oraz 8 kg środka S2. Aby wyprodukować jeden wyrób W2 potrzeba 7 kg środka S1 oraz 8 kg środka S2. Wyrób W1 będzie produkowany jednocześnie na 3 maszynach, a wyrób W2 na 2 maszynach. Koszty przestrojenia maszyn zwrócą się po wyprodukowaniu łącznie 6 sztuk wyrobów.Wiedząc, że cena za wyrób W1 będzie wynosić 6 zł, a cena za wyrób W2 5 zł określić wielkość produkcji, która zoptymalizuje zysk ze sprzedaży.
Gliwice 6
Standardowe zadanie programowania liniowego
Funkcja celu (FC):
( )1 2,Z x x =
Ograniczenia (O):
1
2
3
Warunki brzegowe (WB):
1 2 ,x x
Gliwice 9
Standardowe zadanie programowania liniowego
Zadanie programowania liniowego
( )1 2,Z x x =FC:
O:1
2
3
1 2 ,x xWB:
Gliwice 10
Metoda geometryczna
Z (2, 0) = 6·2 + 5·0 = 12
Z (7, 0) = 6·7 + 5·0 = 42
Z (3.5, 4.5) = 6·3.5 + 5·4.5 = 43.5
Z (0, 8) = 6·0 + 5·8 = 40
Z (0, 3) = 6·0 + 5·3 = 15
A (2, 0)
B (7, 0)
C (3.5, 4.5)
D (0, 8)
E (0, 3)
MAX
Odpowiedź:
Gliwice 13
Zadanie dualne
Przykład 2
Zakład produkuje cztery wyroby (F1, F2, F3 i F4). Wśród środków produkcyjnych, używanych w procesie wytwarzania wyrobów dwa są limitowane. Limity te, oraz ilości środków potrzebne do wytworzenia poszczególnych wyrobów zostały przedstawione w tabeli.Znając jednostkowe ceny wyrobów, określić taki plan produkcji, aby zysk był maksymalny.
Gliwice 15
Zadanie dualne
F1 F2
1 3
1
9
4
8
F3 F4
S1 1 1 600
S2 1 5 1200
cena 6 10
Zmienne decyzyjne:
xi – wielkość produkcji wyrobu Fi, i = 1…4
Gliwice 16
Zadanie dualne
MODEL MATEMATYCZNY:
Funkcja celu (FC):
( )1 2 3 4 1 2 3 4, , , 8 9 6 10 MAXZ x x x x x x x x= + + + →
Ograniczenia (O):
1 2 3 4
1 2 3 4
3 6004 5 1200
x x x xx x x x+ + + ≤+ + + ≤
Warunki brzegowe (WB):
1 2 3 40, 0, 0, 0x x x x≥ ≥ ≥ ≥
Gliwice 17
Zadanie dualne
Zadanie pierwotne (ZP):
TFC: MAXO:WB: 0
Z = →≤
≥
c xAx bx
Zadanie dualne (ZD):
T
T
ˆFC: MINO:WB: 0
Z = →≥
≥
b yA y cy
Gliwice 18
Zadanie dualne
MODEL MATEMATYCZNY ZADANIA DUALNEGO:
Funkcja celu (FC):
( )1 2ˆ ,Z y y =
Ograniczenia (O):
1
2
3
4
Warunki brzegowe (WB):
1 2 ,y y
Gliwice 19
Zadanie dualne
Interpretacja zadania dualnego
Zmienne decyzyjne w zadaniu dualnym:
y1 –y2 –
( )1 2ˆ ,Z y y =
Gliwice 20
Zadanie dualne
Interpretacja zadania dualnego c.d.
Wyprodukowanie wyrobów wiąże się z kosztem środków S1 i S2. Konkurent, aby zachęcić producenta do sprzedaży materiałów musi mu zapłacić co najmniej tyle, ile producent uzyskałby ze sprzedaży wyrobów, które produkuje
Gliwice 21
Zadanie dualne
Twierdzenie o dualności
Zadanie pierwotne ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy zadanie dualne ma rozwiązanie, oraz:
( ) ( )ˆMAX MINZ Z=
Gliwice 22
Zadanie dualne
Na podstawie metody geometrycznej:
( )A 0,9 ( )ˆ A 10800Z =
( )ˆ B 6300Z =
( )ˆ C 4200Z =
( )ˆ D 6000Z =
( )B 3/ 2,9 / 2
( )C 5,1 MIN→
( )D 10,0
Aby koszt materiałów był najmniejszy i wynosił 4200 zł, konkurent musi zapłacić za jednostkę S1 5 zł, a za jednostkę S2 1 zł.
Gliwice 23
Zadanie dualne
Na podstawie twierdzenia o dualności:
Maksimum FC zadania pierwotnego jest równe minimum FC zadania dualnego.
Zysk producenta wyniesie również 4200 zł.
Jakie jest rozwiązanie zadania pierwotnego?
TWIERDZENIE O RÓWNOWADZE.
Gliwice 24
Zadanie dualne
Twierdzenie o równowadze
Jeżeli i-ty warunek zadania pierwotnego (ZP) jest (chociażw jednym) w optymalnym rozwiązaniu spełniony z nierównością(w sposób ostry), to odpowiadająca mu i-ta zmienna yiw (dowolnym) optymalnym rozwiązaniu zadania dualnego (ZD) przyjmuje wartość zero.
Dla zmiennej xi>0 w rozwiązaniu optymalnym ZP odpowiadające jej i-te ograniczenie w ZD jest ograniczeniem równościowym.
Twierdzenie o równowadze jest również słuszne w przeciwną stronę
Gliwice 25
Zadanie dualne
Rozwiązanie przykładu:
1 25, 1y y= =
Sprawdzenie ograniczeń ZD:
1:j =
2 :j =
3:j =
4 :j =
Nierówności ostre dla
W rozwiązaniu optymalnym ZP
Gliwice 26
Zadanie dualne
1 25 0, 1 0y y= > = >Ponieważ:
Ograniczenia 1 i 2 w ZP są ograniczeniami równościowymi(przy czym x1 = 0, x2 = 0):
3 4
3 4
6005 1200
x xx x
+ =+ =
3 4450, 150x x= =
( )1 2 3 4, , , 8 0 9 0 6 450 10 150 4200Z x x x x = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ =FC:
Gliwice 27
Zadanie dualne
Odpowiedź do zadania pierwotnego:
Aby zysk był maksymalny, producent musi wyprodukować450 jednostek F3 oraz 150 jednostek F4. Zysk wyniesie 4200.
Gliwice 28
Szczegółowe zasady formułowania zadania dualnego
Zadanie pierwotne Zadanie dualne
maksymalizacja minimalizacja
Gliwice 30
Szczegółowe zasady formułowania zadania dualnego
Zadanie pierwotne Zadanie dualne
Ograniczenia:
i – te: ≥
i – te: ≤
i – te: =
Zmienne:
yi ≤ 0
yi ≥ 0
yi dowolne
Gliwice 31
Szczegółowe zasady formułowania zadania dualnego
Zadanie pierwotne Zadanie dualne
Zmienne:
xj ≥ 0
xj ≤ 0
xj dowolne
Ograniczenia:
j – te: ≥
j – te: ≤
j – te: =
Gliwice 32
Szczegółowe zasady formułowania zadania dualnego
Przykład 3
Dla podanego zadania pierwotnego zapisać zadanie dualne.
( ) 1 2 3 42 3 MAXZ x x x x= + + + →xFC:
O:1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
2 3 202 3 503 2 40
x x x xx x x xx x x x
+ − + =+ + − ≤− + + ≥
1 2 3 40, 0, 0, dowolnex x x x≥ ≥ ≤WB:
Gliwice 33