standard 09 i maths km

(iii)

[Uj \m Vk NVp U\k YrjU!

-‘kndh‹kÙa«’ bg. Rªjudh®

UÀA©üÃgÀªÁzÀ agÀAiÀiËªÀé£ÀªÀ£ÀÄß £É£ÉzÀÄ CZÀÑj¬ÄAzÀ ªÉÄÊªÀÄgÉvÀÄ ºÁr ºÉÆUÀ¼ÀÄvÉÛÃ£É !

- ªÀÄ£ÉÆÃ£ÀätÂÃAiÀÄA ¦. ¸ÀÄAzÀgÀ£Ágï

gÁdåzÀ°ègÀÄªÀ J¯Áè ±Á¯ÉUÀ¼À°è UÀÄuÁvÀäPÀ ²PÀët ¤ÃqÀ®Ä ªÀÄvÀÄÛ ¸ÁªÀiÁfPÀ £ÁåAiÀÄªÀ£ÀÄß ¸ÀAgÀQë¸À®Ä ±Á¯Á

²PÀëtzÀ°è KPÀgÀÆ¥À ¥ÀzÀÞwAiÀÄ£ÀÄß «¸ÀÛj¸À®Ä vÀ«Ä¼ÀÄ£ÁqÀÄ ¸ÀPÁðgÀªÀÅ ¤zsÀðj¹zÉ. F zÀÈ¶×PÉÆÃ£ÀzÀ°è ªÀÄvÀÄÛ UÀtÂvÀ±Á¸ÀÛçzÀ

PÉëÃvÀæzÀ°è£À ºÉÆ¸À ¸ÀªÁ®ÄUÀ¼À£ÀÄß JzÀÄj¸À®Ä «zÁåyðUÀ¼À£ÀÄß ¹zÀÞUÉÆ½¸ÀÄªÀÅzÀPÁÌV, PÁ¯ÉÃdÄUÀ¼À°è ªÀÄvÀÄÛ ±Á¯ÉAiÀÄ°ègÀÄªÀ

ªÀÈwÛ¤gÀvÀ ²PÀëPÀjAzÀ ªÀÄvÀÄÛ «µÀAiÀÄvÀdÕjAzÀ PÀÆrgÀÄªÀ ¥ÀoÀå¥ÀÄ¸ÀÛPÀ ¸À«ÄwAiÀÄÄ NCF2005gÀ ZËPÀnÖ£À°è F

¥ÀoÀå¥ÀÄ¸ÀÛPÀªÀ£ÀÄß GvÀÛªÀÄªÁV «£Áå¸ÀUÉÆ½¸À¯ÁVzÉ.

UÀtÂvÀ±Á¸ÀÛçªÀÅ QèµÀÖ PÀ®à£ÉUÀ½UÉ ¸ÀÄ®¨sÀ ¥ÀzÀUÀ½AzÀ ¥ÀjºÀj¸ÀÄªÀ MAzÀÄ ¨sÁµÉAiÀiÁVzÉ.UÀtÂvÀ±Á¸ÀÛç ªÀÄvÀÄÛ

¨sÁªÀ£Á±ÀQÛAiÀÄ ÉA§®zÉÆA¢UÉ J¯Áè «ZÁgÀUÀ¼À£ÀÄß ªÀiÁ£ÀªÀ£À C¢ü¥ÀvÀåzÉÆ¼ÀUÉ vÀgÀ§ºÀÄzÁVzÉ.F PÉÊ¦rAiÀÄÄ ¥ÀæªÀÄÄRªÁzÀ

ºÀ£ÉßgÀqÀÄ ²Ã¶ðPÉUÀ¼À ¸ÀAUÀæºÀuÉAiÀiÁVzÉ. ¥ÀæwAiÉÆAzÀÄ CzsÁåAiÀÄzÀ ¸ÀAQë¥ÀÛ «ªÀgÀuÉAiÀÄÄ ²Ã¶ðPÉUÀ¼À ¦ÃpPÉ, ¥Àæ¹zÀÞ

UÀtÂvÀ±Á¸ÀÛçdÕgÀ UÀªÀÄ£ÁºÀð PÉÆqÀÄUÉUÀ¼ÀÄ, ¤¢ðµÀÖ ªÁåSÉå, ¥ÀæªÀÄÄR ¥ÀjPÀ®à£ÉUÀ¼ÀÄ, ¸ÀA§A¢üvÀ ¥ÀæªÉÄÃAiÀÄUÀ¼ÀÄ, C¨sÁå¹vÀ

¸ÀªÀÄ¸ÉåUÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ CzsÁåAiÀÄzÀ PÉÆ£ÉAiÀÄ°è «zÁåyðUÀ¼À£ÀÄß ¥ÉæÃgÀuÉUÉÆ½¸ÀÄªÀÅzÀPÁÌV §Ä¢ÞZÁvÀÄAiÀÄð ªÀÄvÀÄÛ ÀàµÀÖvÉAiÉÆA¢UÉ

§gÉ¢gÀÄªÀ ¸ÀAQë¥ÀÛ ¸ÁgÁA±ÀªÀ£ÀÄß M¼ÀUÉÆArzÉ. F ¥ÀÄ¸ÀÛPÀªÀÅ «zÁåyðUÀ½UÉ ¸ÁªÀiÁ£Àå ¤ªÀðºÀuÉ¬ÄAzÀ ¸Àé®à QèµÀÖvÉAiÀÄ

UÀtÂvÀ±Á¸ÀÛçPÉÌ ¥ÀÆtð ªÀUÁðªÀuÉUÉ ¸ÀºÀPÁjAiÀiÁVzÉ.

F ¥ÀoÀå¥ÀÄ¸ÀÛPÀzÀ°è w½¹gÀÄªÀ £ÉÊdfÃªÀ£ÀPÉÌ ¸ÀA§A¢ü¹zÀ GzÁºÀgÀuÉUÀ¼ÀÄ UÀtÂvÀ±Á¸ÀÛçzÀ CxÀðªÀ£ÀÄß

¸ÀÄ®¨sÀªÁV UÀæ»¸À®Ä ªÀÄvÀÄÛ CUÀvÀåvÉAiÀÄ£ÀÄß CxÉÊð¹PÉÆ¼Àî®Ä ¸ÀºÀPÁjAiÀiÁVzÉ. F GzÁºÀgÀuÉUÀ¼ÀÄ ¸ÀAQÃtð ¥ÀæªÀÄÄR

¥ÀjPÀ®à£ÉUÀ¼À£ÀÄß, ªÁåSÉåUÀ¼À£ÀÄß ªÀÄvÀÄÛ ¥ÀæªÉÄÃAiÀÄUÀ¼À£ÀÄß ¸ÀÄ®¨sÀgÀÆ¥ÀzÀ°è ¸ÀàµÀÖªÁV CxÉÊð¹PÉÆ¼ÀÄîªÀAvÉ gÀÆ¦¸ÀÄvÀÛªÉ. DzÀgÉ

F GzÁºÀgÀuÉUÀ¼À£ÀÄß PÀAqÀÄ»rAiÀÄÄªÀÅzÀ£ÀÄß ºÉÆgÀvÀÄ¥Àr¹, ªÀÄÆ®¨sÀÆvÀ ªÁåSÉåUÀ¼À£ÀÄß PÉÆqÀ®ànÖgÀÄªÀÅzÀÄ KPÉ JA§

PÁgÀtªÀ£ÀÄß ¥ÀjÃQë¸À¨ÉÃPÀÄ. EzÀÄ QèµÀÖPÀgÀ ¸ÀªÀÄ¸ÉåUÀ¼À£ÀÄß «©ü£Àß ªÀiÁUÀðUÀ¼À°è ¸ÀÄ®¨sÀ gÀÆ¥ÀzÀ°è ¥ÀjºÀj¸ÀÄªÀÅzÀPÁÌV

aAvÀ£ÉAiÀÄ ºÁ¢UÀ¼À£ÀÄß «¨sÀf¸ÀÄvÀÛzÉ.

ªÀtðgÀAfvÀ zÀÈ±ÁåªÀ½UÀ¼À ¥Àæw¤¢üÃPÀgÀt¢AzÀ, £ÀªÀÄä ¸ÀAUÀæºÀuÉAiÀÄ°è GvÁìºÀ¢AzÀ ¥Àæ¸ÀÄÛvÀ¥Àr¹gÀÄªÀÅzÀÄ

vÀªÀÄä C©ü¥ÁæAiÀÄUÀ¼À£ÀÄß ¨ÉÃgÉAiÀÄzÉÆA¢UÉ ºÀAaPÉÆ¼Àî®Ä UÀtÂvÀ±Á¸ÀÛçzÀ ¸ËAzÀAiÀÄðªÀ£ÀÄß D¸Áé¢¸À®Ä ªÀÄvÀÄÛ ºÉÆ¸À

PÀ®à£ÉUÀ¼À£ÀÄß ¸ÀÈ¶Ö¸ÀÄªÀ ¥ÀæQæAiÉÄAiÀÄ°è ¥Á¯ÉÆÎ¼Àî®Ä «zÁåyðUÀ¼À£ÀÄß DºÁé¤¸ÀÄvÀÛzÉ JAzÀÄ £ÁªÀÅ £ÀA§ÄvÉÛÃªÉ. UÀtÂwÃAiÀÄ

¹zÁÞAvÀªÀ£ÀÄß «zÁåyðAiÀÄÄ ©Ã¢AiÀÄ°è vÁ£ÀÄ ¨sÉÃnAiÀiÁUÀÄªÀ ªÀåQÛUÉ «ªÀj¸ÀÄªÀAvÉ ¸ÀàµÀÖªÁUÀÄªÀªÀgÉUÉ ¸ÀA¥ÀÆtð JAzÀÄ

¥ÀjUÀtÂ¸À¯ÁUÀÄªÀÅ¢®è. UÀtÂvÀ±Á¸ÀÛçªÀÅ ¸ÀASÉåUÀ¼À ¤ªÀðºÀuÉ ªÀiÁvÀæªÀ®èzÉÃ, D¸Áé¢¸ÀÄªÀ eÁÕ£ÀzÀ PÉëÃvÀæªÀÇ DVzÉ.

UÀtÂvÀ±Á¸ÀÛçzÀ CUÀvÀåvÉ ªÀÄvÀÄÛ CxÀðªÀ£ÀÄß UÀæ»¸À®Ä, EzÀgÀ ¸ËAzÀAiÀÄð ªÀÄvÀÄÛ ªÀiË®åPÉÌ ªÉÄZÀÄÑUÉ ªÀåPÀÛ¥Àr¸À®Ä,

F ¥ÀoÀå¥ÀÄ¸ÀÛPÀzÀ°è PÉÆnÖgÀÄªÀ UÀtÂvÀ±Á¸ÀÛçzÀ ªÀÄÆ®¨sÀÆvÀUÀ¼À D¼ÀªÀ£ÀÄß PÀ°AiÀÄ®Ä EzÀÄ PÁ®ªÁVzÉ.EzÀgÉÆ¼ÀUÉ AiÀiÁgÉÃ

M¼ÀºÉÆQÌzÀgÀÆ, GvÁìºÀ ªÀÄvÀÄÛ D£ÀAzÀUÀ¼ÉgÀqÀ£ÀÆß ºÉÆAzÀÄvÁÛgÉ.UÀtÂvÀ±Á¸ÀÛçªÀ£ÀÄß PÀ°AiÀÄÄªÀÅzÀÄ ªÀÄvÀÄÛ ¸ÀÈ¶Ö¸ÀÄªÀÅzÀÄ M§â

fÃªÀ£ÀªÀ£ÀÄß ¤ªÀð»¸À®Ä CUÀvÀåªÁzÀ ªÀiÁUÀðªÁVzÉ.

UÀtÂvÀ±Á¸ÀÛçªÀÅ ªÉÆÃrAiÀÄ®è EzÀÄ MAzÀÄ ¸ÀAVÃvÀ ; EzÀ£ÀÄß £ÀÄr¹, D¸Áé¢¹! CgÀ½j!! ªÀÄvÀÄÛ K¼ÉÎUÉÆ½î!!!

- ¥ÀoÀå¥ÀÄ¸ÀÛPÀ vÀAqÀ

ªÀÄÄ£ÀÄßr

(iv)

¸ÀAPÉÃvÀUÀ¼ÀÄ (SYMBOLS)

= ¸ÀªÀÄ (equal to)

! ¸ÀªÀÄªÀ®è (not equal to)

1 aPÀÌzÀÄ (less than)

# aPÀÌzÀÄ CxÀªÁ ¸ÀªÀÄ (less than or equal to)

2 zÉÆqÀØzÀÄ (greater than)

$ zÉÆqÀØzÀÄ CxÀªÁ ¸ÀªÀÄ (greater than or equal to )

. ¸ÀªÀiÁ£ÀvÉ (equivalent to)

j ¸ÀAAiÉÆÃUÀ (union)

k bÉÃzÀ£À (intersection)

U «±ÀéUÀt (universal Set)

d ¸ÉÃjzÉ (belongs to)

z ¸ÉÃj®è (does not belong to)

1 ¤²ÑvÀ G¥ÀUÀt (proper subset of)

3 G¥ÀUÀt (subset of or is contained in)

1Y ¤²ÑvÀ G¥ÀUÀtªÀ®è (not a proper subset of)

M G¥ÀUÀtªÀ®è (not a subset of or is not contained in)

Al (CxÀªÁ) Ac A £À ¥ÀÆgÀPÀ (complement of A)

Q (CxÀªÁ) { } ±ÀÆ£Àå UÀt (empty set or null set or void set)

n(A) A UÀtzÀ°ègÀÄªÀ zsÁvÀÄUÀ¼À ¸ÀASÉå (number of elements in the set A)

P(A) A £À WÁvÀUÀt (power set of A)

|||ly »ÃUÉAiÉÄÃ (similarly)

P(A) A WÀl£ÉAiÀÄ ¸ÀA¨sÀªÀ¤ÃAiÀÄvÉ (probability of the event A)

(v)

T ¸ÀªÀÄgÀÆ¥À ªÀåvÁå¸À (symmetric difference)

N ¸Áé¨sÁ«PÀ ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ (natural numbers)

W ¥ÀÆtð ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ (whole numbers)

Z ¥ÀÆuÁðAPÀUÀ¼ÀÄ (integers)

R ªÁ¸ÀÛªÀ ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ (real numbers)

3 wæ¨sÀÄd (triangle)

+ PÉÆÃ£À (angle)

= ®A§ (perpendicular to)

|| ¸ÀªÀiÁ£ÁAvÀgÀ (parallel to)

( CxÀð ¤ÃqÀÄvÀÛzÉ (implies)

` DzÀÝjAzÀ (therefore)

a KPÉAzÀgÉ (since (or) because)

¤gÁ¥ÉÃPÀë ¨É¯É (absolute value)

- CAzÁeÁV ¸ÀªÀÄ (approximately equal to )

| (CxÀªÁ) : CAzÀgÉ (such that)

/ (CxÀªÁ) , ¸ÀªÀð¸ÀªÀÄ ( congruent)

/ KPÀgÀÆ¥ÀªÁV ¸ÀªÀÄ (identically equal to)

r ¥ÉÊ (pi)

! zsÀ£À CxÀªÁ IÄt (plus or minus)

Y ¸ÁzsÀ£ÉAiÀÄ CAvÀå (end of the proof)

(vi)

¥Àj«r (CONTENTS)

1. UÀtUÀ¼À ¹zÁÞAvÀ 1-40 1.1 ¦ÃpPÉ 1 1.2 UÀtUÀ¼À «ªÀgÀuÉ 1 1.3 UÀtzÀ ¥Àæw¤¢üPÀgÀt 3 1.4 UÀtUÀ¼À «zsÀUÀ¼ÀÄ 7 1.5 UÀtzÀ QæAiÉÄUÀ¼ÀÄ 17 1.6 ªÉ£ï £ÀPÉëAiÀÄ£ÀÄß §¼À¹ UÀtzÀ QæAiÉÄUÀ¼À£ÀÄß ¥Àæw¤¢ü¸ÀÄªÀÅzÀÄ 25 2. ªÁ¸ÀÛªÀ ¸ÀASÁå¥ÀzÀÞw 41-66 2.1 ¦ÃpPÉ 41 2.2 ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼À zÀ±ÀªÀiÁA±À ¥Àæw¤¢üPÀgÀt 44 2.3 C¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ 51 2.4 ªÁ¸ÀÛªÀ ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ 52 3. ©ÃdUÀtÂvÀ 67-83 3.1 ¦ÃpPÉ 67 3.2 ©ÃeÉÆÃQÛUÀ¼ÀÄ 67 3.3 §ºÀÄ¥ÀzÀUÀ¼ÀÄ 68 3.4 ±ÉÃµÀ ¥ÀæªÉÄÃAiÀÄ 76 3.5 C¥ÀªÀvÀð£À ¥ÀæªÉÄÃAiÀÄ 79

4. gÉÃSÁUÀtÂvÀ 84-98 4.1 ¦ÃpPÉ 84 4.2 gÉÃSÁUÀtÂvÀzÀ DzsÁgÀUÀ¼ÀÄ 85 4.3 ZÀvÀÄ¨sÀÄðd 89 4.4 ¸ÀªÀiÁ£ÁAvÀgÀ ZÀvÀÄ¨sÀÄðdUÀ¼ÀÄ 90 5. ¤zÉÃð±ÀPÀ gÉÃSÁUÀtÂvÀ 99-120 5.1 ¦ÃpPÉ 99 5.2 PÁnÃð¶AiÀÄ£ï ¤zÉÃð±ÀPÀ ¥ÀzÀÞw 100 5.3 AiÀiÁªÀÅzÉÃ JgÀqÀÄ ©AzÀÄUÀ¼À £ÀqÀÄ«£À CAvÀgÀ 108

6. ¥ÁæAiÉÆÃVPÀ gÉÃSÁUÀtÂvÀ 121-128 6.1 ¦ÃpPÉ 121 6.2 wæ¨sÀÄdUÀ¼À°è£À «±ÉÃµÀ gÉÃSÁRAqÀUÀ¼ÀÄ 122 6.3 wæ¨sÀÄdzÀ ¸ÀAUÀªÀÄ²Ã®vÉAiÀÄ ©AzÀÄUÀ¼ÀÄ 124

1

UÀtUÀ¼À ¹zÁÞAvÀ

UÀtÂvÀ±Á

¸ÀÛç

eÁeïð PÁåAlgï ( G e o r G C a n to r )

(1845-1918)

UÀt ¹zÁÞAvÀzÀ ªÀÄÆ®¨sÀÆvÀ

PÀ®à£ÉAiÀÄ£ÀÄß dªÀÄð£ï

UÀtÂvÀ±Á¸ÀÛ çdÕgÁzÀ eÁeïð

PÁåAlgï(1845-1918) gÀªÀgÀÄ

C©üªÀÈ¢Þ¥Àr¹zÀgÀÄ. EªÀgÀÄ

C¥Àj«ÄvÀ ±ÉæÃtÂUÀ¼À PÉ®ªÀÅ

«zsÀUÀ¼À §UÉÎ, ¤¢ðµÀÖªÁV

¥sÉÆÃjAiÀÄgï ±ÉæÃtÂ §UÉÎ CzsÀåAiÀÄ£À

ªÀiÁrzÀgÀÄ. ºÉaÑ£À UÀtÂvÀ±Á¸ÀÛ çdÕgÀÄ

UÀt ¹zÁÞAvÀªÀ£ÀÄß DzsÀÄ¤PÀ

UÀtÂvÀ±Á¹ÛçÃAiÀÄ «±ÉèÃµÀuÉUÉ

DzsÁgÀªÁV ¹éÃPÀj¹zÀgÀÄ.

£ÀAvÀgÀzÀ UÀtÂvÀ±Á¹ÛçÃAiÀÄ

vÀPÀðzÀ ¸ÀA±ÉÆÃzsÀ£ÉUÉ PÁåAlgÀ£À

PÁAiÀÄðªÀ£ÀÄß ªÀÄÆ®¨sÀÆvÀªÁV

§¼À¸À¯Á¬ÄvÀÄ.

1.1 ¦ÃpPÉ (Introduction) UÀtzÀ PÀ®à£ÉAiÀÄÄ UÀtÂwÃAiÀÄ aAvÀ£ÉUÉ fÃªÁ¼ÀªÁVzÉ

ªÀÄvÀÄÛ EzÀ£ÀÄß UÀtÂvÀzÀ J¯Áè «¨sÁUÀzÀ®Æè §¼À¸À¯ÁUÀÄvÀÛzÉ. UÀtÂvÀzÀ

J¯Áè gÀZÀ£ÉUÀ¼À£ÀÄß UÀtUÀ¼ÉAzÀÄ ¥ÀjUÀtÂ¸À®àqÀÄªÀÅzÀjAzÀ UÀtÂvÀ

±Á¸ÀÛçzÀ°è UÀtªÀÅ ¸ÀÆPÀÛªÁzÀ ¸ÁÜ£ÀªÀ£ÀÄß ¥ÀqÉ¢zÉ. UÀt ¹zÁÞAvÀªÀ£ÀÄß

CxÉÊð¹PÉÆ¼ÀÄîªÀÅzÀjAzÀ ªÀ¸ÀÄÛUÀ¼À£ÀÄß UÀÄgÀÄw¸À®Ä, UÀtUÀ¼ÁV «AUÀr¸À®Ä,

vÀPÀðªÀ£ÀÄß CxÉÊð¹PÉÆ¼Àî®Ä ªÀÄvÀÄÛ ¥ÁægÀA©ü¸À®Ä G¥ÀAiÉÆÃUÀªÁUÀÄvÀÛzÉ.

WÀlPÀ-2gÀ°è ¸Áé¨sÁ«PÀ ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ, ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ ªÁ¸ÀÛ«PÀ

¸ÀASÉåUÀ¼À£ÀÄß ºÉÃUÉ UÀtUÀ¼ÁV ªÁåSÁå¤¸À§ºÀÄzÀÄ JA§ÄzÀ£ÀÄß £ÁªÀÅ

PÀ°AiÀÄ°zÉÝÃªÉ. F CzsÁåAiÀÄzÀ°è £ÁªÀÅ UÀtUÀ¼À ¥ÀjPÀ®à£É ªÀÄvÀÄÛ UÀt

¹zÁÞAvÀzÀ PÉ®ªÀÅ ªÀÄÆ®¨sÀÆvÀ aºÉßUÀ¼À §UÉÎ CzsÀåAiÀÄ£À ªÀiÁqÀ°zÉÝÃªÉ.

1.2 UÀtUÀ¼À «ªÀgÀuÉ (Description of sets)

£ÁªÀÅ ¥ÀÄ¸ÀÛPÀUÀ¼À ¸ÀAUÀæºÀuÉ, «zÁåyðUÀ¼À UÀÄA¥ÀÄ, zÉÃ±ÀzÀ°è£À

gÁdåUÀ¼À ¥ÀnÖ, £ÁtåUÀ¼À ¸ÀAUÀæºÀuÉ, ªÀÄÄAvÁzÀ ªÀ¸ÀÄÛUÀ¼À UÀÄA¥ÀÄ CxÀªÁ

¸ÀAUÀæºÀuÉAiÀÄ §UÉÎ ¸ÁªÀiÁ£ÀåªÁV w½¢zÉÝÃªÉ. EAvÀºÀ ªÀ¸ÀÄÛUÀ¼À UÀÄA¥ÀÄ

CxÀªÁ ¸ÀAUÀæºÀuÉAiÀÄ£ÀÄß UÀtÂvÀ ¨sÁµÉAiÀÄ°è ‘UÀt’ JAzÀÄ ¥ÀjUÀtÂ¸ÀÄvÉÛÃªÉ.

● UÀtªÀ£ÀÄß «ªÀj¸ÀÄªÀÅzÀÄ.

● UÀtUÀ¼À£ÀÄß UÀuÁA±À ¥ÀzÀÞw, ¤AiÀÄªÀÄ ¥ÀzÀÞw ªÀÄvÀÄÛ PÉÆÃµÀ×PÀ ¥ÀzÀÞw¬ÄAzÀ ¥Àæw¤¢ü¸ÀÄªÀÅzÀÄ.

● UÀtUÀ¼À ««zsÀ «zsÀUÀ¼À£ÀÄß ¥ÀvÉÛ ºÀZÀÄÑªÀÅzÀÄ.

● UÀtUÀ¼À ¥ÀjQæAiÉÄUÀ¼À£ÀÄß CxÉÊð¹PÉÆ¼ÀÄîªÀÅzÀÄ ªÀÄvÀÄÛ PÉÊUÉÆ¼ÀÄîªÀÅzÀÄ.

● UÀtUÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ UÀtUÀ¼À ¥ÀjQæAiÉÄUÀ¼À£ÀÄß ªÉ£ï £ÀPÉë ªÀÄÆ®PÀ ¥Àæw¤¢ü¸ÀÄªÀÅzÀÄ.

● ¸ÀÄ®¨sÀ gÀÆ¥ÀzÀ ¸ÀªÀÄ¸ÉåUÀ¼À£ÀÄß ( )n A B, ¸ÀÆvÀæªÀ£ÀÄß §¼À¹ ¥ÀjºÀj¸ÀÄªÀÅzÀÄ.

¥ÀæªÀÄÄR GzÉÝÃ±ÀUÀ¼ÀÄ

No one shall expel us from the paradise that Cantor has created for us

- DaVID HILBert


2

CzsÁåAiÀÄ1 U

ÀtÂvÀ±Á

¸ÀÛç

ªÀÄÄRå ¥ÀjPÀ®à£É UÀt

¸ÀÆPÀÛªÁV ¤gÀÆ¦¸À®àlÖ ªÀ¸ÀÄÛUÀ¼À UÀÄA¥ÉÃ UÀtªÁVzÉ. UÀtªÀ£ÀÄß GAlÄªÀiÁqÀÄªÀ

ªÀ¸ÀÄÛUÀ½UÉ CxÀªÁ ¥ÀzÁxÀðUÀ½UÉ UÀtzÀ CA±ÀUÀ¼ÀÄ CxÀªÁ UÀtzÀ ¸ÀzÀ¸ÀågÀÄ J£ÀÄßvÉÛÃªÉ.

UÀtÂvÀzÀ°è UÀtzÀ ªÀÄÄRå UÀÄt®PÀëtªÀ£ÀÄß ¸ÀÆPÀÛªÁV ¤gÀÆ¦¸À®ànÖgÀÄvÀÛzÉ. EzÀgÀ CxÀðªÀÅ AiÀiÁªÀÅzÉÃ

ªÀ¸ÀÄÛªÀÅ UÀtzÀ ¸ÀzÀ¸Àå£É CxÀªÁ E®èªÉÃ JA§ÄzÀÄ ¸ÀàµÀÖªÁVgÀÄvÀÛzÉ.

UÀtzÀ°ègÀÄªÀ J¯Áè ªÀ¸ÀÄÛUÀ¼ÀÄ ©ü£ÀßªÁVgÀÄvÀÛzÉ, CAzÀgÉ AiÀiÁªÀÅzÉÃ JgÀqÀÄ ªÀ¸ÀÄÛUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀÄªÀ®è

JA§ÄzÀ£ÀÄß UÀÄgÀÄw¸À§ºÀÄzÀÄ.

F PÉ¼ÀV£À ¸ÀAUÀæºÀuÉUÀ¼À°è AiÀiÁªÀÅzÀÄ ¸ÀÆPÀÛªÁV ¤gÀÆ¦¸À®ànÖzÉ?

(1) ¤ªÀÄä vÀgÀUÀwAiÀÄ°ègÀÄªÀ ºÀÄqÀÄUÀgÀ UÀÄA¥ÀÄ.

(2) 2,4,6,10 ªÀÄvÀÄÛ 12 ¸ÀASÉåUÀ¼À ¸ÀAUÀæºÀuÉ.

(3) vÀ«Ä¼ÀÄ£Ár£À f¯ÉèUÀ¼À ¸ÀAUÀæºÀuÉ.

(4) GvÀÛªÀÄ ZÀ®£ÀavÀæUÀ¼À ¸ÀAUÀæºÀuÉ.

(1), (2) ªÀÄvÀÄÛ (3) ¸ÀÆPÀÛªÁV ¤gÀÆ¦¸À®àlÖ UÀtUÀ¼ÁVªÉ. (4) ¸ÀÆPÀÛªÁV ¤gÀÆ¦¸À®ànÖ®è. KPÉAzÀgÉ

GvÀÛªÀÄ JA§ ¥ÀzÀªÀ£ÀÄß ªÁåSÁå¤¹®è. DzÀÝjAzÀ (4) UÀtªÀ®è.

¸ÁªÀiÁ£ÀåªÁV UÀtUÀ¼À ºÉ¸ÀgÀÄUÀ¼À£ÀÄß zÀ¥Àà CPÀëgÀUÀ¼ÁzÀ A, B, C EvÁå¢UÀ½AzÀ ºÁUÀÆ UÀtzÀ

zsÁvÀÄUÀ¼À£ÀÄß ¸ÀtÚ CPÀëgÀUÀ¼ÁzÀ a, b, c ªÀÄÄAvÁzÀªÀÅUÀ½AzÀ ¸ÀÆa¸ÀÄvÉÛÃªÉ.

NzÀÄªÀ ¸ÀAPÉÃvÀ

! UÀtzÀ zsÁvÀÄ (CxÀªÁ) UÀtPÉÌ ¸ÉÃjzÉ (‘belongs to’)

x JA§ÄzÀÄ A UÀtzÀ zsÁvÀÄªÁzÀgÉ, EzÀ£ÀÄß x A! JAzÀÄ §gÉAiÀÄÄvÉÛÃªÉ.

g UÀtzÀ zsÁvÀÄªÀ®è (CxÀªÁ) UÀtPÉÌ ¸ÉÃj®è (‘does not belongs to’)

x JA§ÄzÀÄ A UÀtzÀ zsÁvÀÄªÁUÀ¢zÀÝgÉ, EzÀ£ÀÄß x Ag JAzÀÄ §gÉAiÀÄÄvÉÛÃªÉ.

GzÁºÀgÀuÉUÉ,

A = , , ,1 3 5 9" ,JA§ UÀtªÀ£ÀÄß ¥ÀjUÀtÂ¹zÁUÀ, 1 JA§ÄzÀÄ A £À zsÁvÀÄªÁVzÉ. EzÀ£ÀÄß 1 A! JAzÀÄ §gÉAiÀÄÄvÉÛÃªÉ. 3 JA§ÄzÀÄ A £À zsÁvÀÄªÁVzÉ. EzÀ£ÀÄß 3 A! JAzÀÄ §gÉAiÀÄÄvÉÛÃªÉ.

8 JA§ÄzÀÄ A £À zsÁvÀÄªÀ®è. EzÀ£ÀÄß 8 Ag JAzÀÄ §gÉAiÀÄÄvÉÛÃªÉ.

3


UÀtÂvÀ±Á

¸ÀÛç

GzÁºÀgÀuÉ 1.1

A = , , , , ,1 2 3 4 5 6" , DzÀgÉ, ©nÖgÀÄªÀ SÁ° eÁUÀPÉÌ ! CxÀªÁ g JA§ ¸ÀAPÉÃvÀªÀ£ÀÄß ºÁQj.

(i) 3 ....... A (ii) 7 ....... A

(iii) 0 ...... A (iv) 2 ...... A

¥ÀjºÁgÀ (i) 3 A! (a 3 JA§ÄzÀÄ A £À zsÁvÀÄªÁVzÉ)

(ii) 7 Ag (a 7 JA§ÄzÀÄ A £À zsÁvÀÄªÀ®è)

(iii) 0 Ag (a 0 JA§ÄzÀÄ A £À zsÁvÀÄªÀ®è)

(iv) 2 A! (a 2 JA§ÄzÀÄ A £À zsÁvÀÄªÁVzÉ)

1.3 UÀtzÀ ¥Àæw¤¢üPÀgÀt (Representation of a Set)

PÉ¼ÀV£À ªÀÄÆgÀÄ ¥ÀzÀÞwUÀ¼À°è AiÀiÁªÀÅzÁzÀgÀÄ MAzÀÄ ¥ÀzÀÞw¬ÄAzÀ UÀtªÀ£ÀÄß ¥Àæw¤¢ü¸ÀÄvÉÛÃªÉ.

(i) UÀuÁA±À ¥ÀzÀÞw

(ii) ¤AiÀÄªÀÄ ¥ÀzÀÞw

(iii) PÉÆÃµÀÖPÀ ¥ÀzÀÞw

1.3.1 UÀuÁA±À ¥ÀzÀÞw (Descriptive Form)

ªÀÄÄRå ¥ÀjPÀ®à£É UÀuÁA±À ¥ÀzÀÞw

UÀtzÀ J¯Áè UÀuÁA±ÀUÀ¼À£ÀÄß MAzÀÄ eÉÆvÉ ¥ÀÄµÁàªÀgÀtUÀ¼À £ÀqÀÄªÉ ¥ÀnÖ ªÀiÁqÀÄªÀ «zsÁ£ÀPÉÌ,

UÀtªÀ£ÀÄß ¥Àæw¤¢ü¸ÀÄªÀ UÀuÁA±À ¥ÀzÀÞw JAzÀÄ ºÉ¸ÀgÀÄ.

UÀtzÀ°è AiÀiÁªÀ UÀuÁA±ÀUÀ¼ÀÄ EgÀÄvÀÛªÉ ªÀÄvÀÄÛ AiÀiÁªÀ UÀuÁA±ÀUÀ¼ÀÄ EgÀÄªÀÅ¢®è JA§ÄzÀ£ÀÄß

UÀuÁA±À gÀÆ¥ÀªÀÅ ¤RgÀªÁV ¥ÀvÉÛºÀZÀÄÑªÀAwgÀ¨ÉÃPÀÄ.

GzÁºÀgÀuÉUÉ,

(i) ¸Áé¨sÁ«PÀ ¸ÀASÉåUÀ¼À UÀt.

(ii) 100 QÌAvÀ PÀrªÉÄ EgÀÄªÀ J¯Áè C«¨sÁdå ¸ÀASÉåUÀ¼À UÀt.

(iii) EAVèµï ªÀtðªÀiÁ¯ÉAiÀÄ°ègÀÄªÀ J¯Áè CPÀëgÀUÀ¼À UÀt.

4

CzsÁåAiÀÄ1 U

ÀtÂvÀ±Á

¸ÀÛç

1.3.2 ¤AiÀÄªÀÄ ¥ÀzÀÞw (Set-Builder Form or Rule Form)

ªÀÄÄRå ¥ÀjPÀ®à£É ¤AiÀÄªÀÄ ¥ÀzÀÞw

MAzÀÄ UÀtzÀ UÀuÁA±ÀUÀ¼À£ÀÄß ¤zsÀðj¸ÀÄªÀ UÀÄtªÀ£ÀÄß ¤¢ðµÀÖªÁV w½¸ÀÄªÀ ¤AiÀÄªÀÄ¢AzÀ

UÀtªÀ£ÀÄß «ªÀj¸ÀÄªÀ «zsÁ£ÀPÉÌ ¤AiÀÄªÀÄ ¥ÀzÀÞw J£ÀÄßvÉÛÃªÉ.


‘|’CxÀªÁ‘:’ CzÀgÀAvÉ (such that)

a ={x : x JA§ÄzÀÄ dictionary JA§ ¥ÀzÀzÀ°è£À MAzÀÄ CPÀëgÀªÁVzÉ}

EzÀ£ÀÄß “x JA§ÄzÀÄ dictionary JA§ ¥ÀzÀzÀ CPÀëgÀªÁVgÀÄªÀAvÀºÀ J¯Áè x UÀ¼À UÀtªÀÅ a DVzÉ” JAzÀÄ NzÀ¨ÉÃPÀÄ.

GzÁºÀgÀuÉUÉ,

(i) N ={x : x sJA§ÄzÀÄ ¸Áé¨sÁ«PÀ ¸ÀASÉå}(ii) P ={x : x JA§ÄzÀÄ 100QÌAvÀ PÀrªÉÄ¬ÄgÀÄªÀ C«¨sÁdå ¸ÀASÉå}

(iii) A ={x : x JA§ÄzÀÄ EAVèÃµï ªÀtðªÀiÁ¯ÉAiÀÄ MAzÀÄ CPÀëgÀ}

1.3.3 PÉÆÃµÀÖPÀ ¥ÀzÀÞw (Roster Form or Tabular Form)

ªÀÄÄRå ¥ÀjPÀ®à£É PÉÆÃµÀÖPÀ ¥ÀzÀÞw

¥ÀÄµÁàªÀgÀtzÀ { } M¼ÀUÀqÉ UÀuÁA±ÀUÀ¼À£ÀÄß ¥ÀnÖÃPÀj ÀÄªÀÅzÀ£ÀÄß PÉÆÃµÀÖPÀ ¥ÀzÀÞw J£ÀÄßvÉÛÃªÉ.

GzÁºÀgÀuÉUÉ,

(i) A JA§ÄzÀÄ 11 QÌAvÀ PÀrªÉÄ¬ÄgÀÄªÀ ¸Àj ¸Áé¨sÁ«PÀ ¸ÀASÉåUÀ¼À UÀtªÁVzÉ.

EzÀ£ÀÄß PÉÆÃµÀÖPÀ ¥ÀzÀÞwAiÀÄ°è A = , , , ,2 4 6 8 10" , JAzÀÄ §gÉAiÀÄÄvÉÛÃªÉ.

(ii) A ={x : x JA§ÄzÀÄ ¥ÀÆuÁðAPÀ ªÀÄvÀÄÛ -1 ≤ x<5 }

EzÀ£ÀÄß PÉÆÃµÀÖPÀ ¥ÀzÀÞwAiÀÄ°è A = 1, , , , , ,0 1 2 3 4-" , JAzÀÄ §gÉAiÀÄÄvÉÛÃªÉ.

(i) PÉÆÃµÀÖÀPÀ ¥ÀzÀÝwAiÀÄ°è, UÀtzÀ ¥Àæw CA±ÀªÀ£ÀÄß MAzÀÄ ¨Áj ªÀiÁvÀæ ¥ÀnÖ ªÀiÁrgÀ ÉÃPÀÄ. CAzÀgÉ UÀtzÀ°ègÀÄªÀ CA±ÀUÀ¼ÀÄ ¥ÀÄ£ÀgÁªÀvÀð£ÉAiÀiÁUÀ¨ÁgÀzÀÄ.

(ii) A JA§ÄzÀÄ “coffee” ¥ÀzÀzÀ°ègÀÄªÀ CPÀëgÀUÀ¼À UÀt DVgÀ°. CAzÀgÉ, A={ c, o, f, e }.

A UÀtzÀ PÉÆÃµÀÖPÀ gÀÆ¥ÀzÀ°è PÉ¼ÀV£ÀªÀÅUÀ¼ÀÄ ªÀiË®ågÀ»vÀªÁzÀªÀÅUÀ¼ÁVªÉ.

c,o,e" , (J¯Áè UÀuÁA±ÀUÀ¼À£ÀÄß ¥ÀnÖ ªÀiÁqÀ¯ÁV®è)

c, o, f, f, e" , ( f UÀuÁA±ÀªÀ£ÀÄß JgÀqÀÄ ¨Áj ¥ÀnÖ ªÀiÁqÀ¯ÁVzÉ)

(iii) PÉÆÃµÀÖPÀ ¥ÀzÀÞwAiÀÄ°è, UÀtzÀ UÀuÁA±ÀUÀ¼À£ÀÄß AiÀiÁªÀÅzÉÃ PÀæªÀÄzÀ°èAiÀiÁzÀgÀÆ §gÉAiÀÄ§ºÀÄzÀÄ.

UÀªÀÄ¤¹j

5


UÀtÂvÀ±Á

¸ÀÛç

DzÀÝjAzÀ 2, 3 ªÀÄvÀÄÛ 4 UÀuÁA±ÀUÀ¼À£ÀÄß ºÉÆA¢gÀÄªÀ UÀtzÀ PÉÆÃµÀ×PÀ ¥ÀzÀÞwAiÀÄ°è

PÉ¼ÀV£ÀªÀÅUÀ¼É®èªÀÇ ªÀiË®åAiÀÄÄvÀªÁVªÉ. , ,2 3 4" ,, , ,2 4 3" ,, , ,4 3 2" ,. ªÉÄÃ°£ÀªÀÅUÀ¼É®èªÀÇ MAzÉÃ UÀtªÀ£ÀÄß ¸ÀÆa¸ÀÄvÀÛªÉ.

(iv) C¥Àj«ÄvÀªÁzÀ ºÀ®ªÁgÀÄ UÀuÁA±ÀUÀ¼ÀÄ CxÀªÁ ¥Àj«ÄvÀ ¸ÀASÉåAiÀÄ UÀuÁA±ÀUÀ½zÀÝgÉ,

, , ,5 6 7 g" , CxÀªÁ , , , , , ,3 6 9 12 15 60g" , gÀ°ègÀÄªÀAvÉ ¥ÀzÀ¯ÉÆÃ¥À (ellipsis) JAzÀÄ PÀgÉAiÀÄ®àqÀÄªÀ ªÀÄÆgÀÄ PÀæªÀiÁ£ÀÄUÀvÀ ZÀÄPÉÌUÀ¼À£ÀÄß ¥ÀnÖ ªÀiÁrzÀ UÀuÁA±ÀUÀ¼À ªÀiÁzÀjAiÀÄÄ

ªÀÄÄAzÀÄªÀjAiÀÄÄvÀÛzÉ JA§ÄzÀ£ÀÄß w½¸À®Ä §¼À¸À¯ÁUÀÄvÀÛzÉ.

(v) ¥ÀÆtð ªÀiÁzÀjAiÀÄ£ÀÄß UÀæ»¸ÀÄªÀAvÉ CUÀvÀåªÁzÀ ªÀiÁ»wAiÀÄ£ÀÄß PÉÆnÖzÁÝUÀ ªÀiÁvÀæ ¥ÀzÀ¯ÉÆÃ¥ÀªÀ£ÀÄß

§¼À¸À§ºÀÄzÀÄ.

UÀtUÀ¼À£ÀÄß ««zsÀ gÀÆ¥ÀUÀ¼À°è ¥Àæw¤¢ü¸ÀÄªÀÅzÀÄ

UÀuÁA±À ¥ÀzÀÞw ¤AiÀÄªÀÄ ¥ÀzÀÞw PÉÆÃµÀÖPÀ ¥ÀzÀÞw

EAVèµï ªÀtðªÀiÁ¯ÉAiÀÄ°è£À J¯Áè ¸ÀégÀUÀ¼À UÀt

{ x : x JA§ÄzÀÄ EAVèµï ªÀtðªÀiÁ¯ÉAiÀÄ°è£À MAzÀÄ ¸ÀégÀ} {a, e, i, o, u}

15 QÌAvÀ PÀrªÉÄ CxÀªÁ ¸ÀªÀÄªÁVgÀÄªÀ J¯Áè ¨É¸À ¸ÀASÉåUÀ¼À

UÀt

{ x : x JA§ÄzÀÄ ¨É¸À ¸ÀASÉå ªÀÄvÀÄÛ 0 15x1 # } {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15}

100 QÌAvÀ PÀrªÉÄ EgÀÄªÀ J¯Áè WÀ£À ¸ÀASÉåUÀ¼À UÀt

{ x : x JA§ÄzÀÄ MAzÀÄ WÀ£À ¸ÀASÉå ªÀÄvÀÄÛ 0 100x# # } {1, 8, 27, 64}

GzÁºÀgÀuÉ 1.2

PÉ¼ÀV£À UÀtUÀ¼À UÀuÁA±ÀUÀ¼À£ÀÄß PÉÆÃµÀÖPÀ ¥ÀzÀÝwAiÀÄ°è ¥ÀnÖ ªÀiÁrj:

(i) 7 gÀ C¥ÀªÀvÀåðUÀ¼ÁUÀÄªÀ J¯Áè zsÀ£ÁvÀäPÀ ¥ÀÆuÁðAPÀUÀ¼À UÀt.

(ii) 20 QÌAvÀ PÀrªÉÄ EgÀÄªÀ J¯Áè C«¨sÁdå ¸ÀASÉåUÀ¼À UÀt.

¥ÀjºÁgÀ (i) PÉÆÃµÀÖPÀ ¥ÀzÀÞwAiÀÄ°è 7 gÀ C¥ÀªÀvÀåðUÀ¼ÁUÀÄªÀ J¯Áè zsÀ£ÁvÀäPÀ ¥ÀÆuÁðAPÀUÀ¼À UÀtªÀÅ

{7, 14, 21, 28,g} (ii) PÉÆÃµÀÖPÀ ¥ÀzÀÞwAiÀÄ°è 20 QÌAvÀ PÀrªÉÄ EgÀÄªÀ J¯Áè C«¨sÁdå ¸ÀASÉåUÀ¼À UÀtªÀÅ {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19}

GzÁºÀgÀuÉ 1.3

A = { x : x JA§ÄzÀÄ ¸Áé¨sÁ«PÀ ¸ÀASÉå ªÀÄvÀÄÛ x # 8} UÀtªÀ£ÀÄß PÉÆÃµÀÖPÀ ¥ÀzÀÝwAiÀÄ°è §gÉ¬Äj.

¥ÀjºÁgÀ A = { x : x JA§ÄzÀÄ ¸Áé¨sÁ«PÀ ¸ÀASÉå ªÀÄvÀÄÛ x # 8}.

UÀtªÀÅ ºÉÆA¢gÀÄªÀ UÀuÁA±ÀUÀ¼ÀÄ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 DVªÉ.

DzÀÝjAzÀ, PÉÆÃµÀÖPÀ ¥ÀzÀÝwAiÀÄ°è A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}.

6

CzsÁåAiÀÄ1 U

ÀtÂvÀ±Á

¸ÀÛç

GzÁºÀgÀuÉ 1.4

PÉ¼ÀV£À UÀtUÀ¼À£ÀÄß ¤AiÀÄªÀÄ ¥ÀzÀÞwAiÀÄ°è ¥Àæw¤¢ü¹j.

(i) X = {¨sÁ£ÀÄªÁgÀ, ¸ÉÆÃªÀÄªÁgÀ, ªÀÄAUÀ¼ÀªÁgÀ, §ÄzsÀªÁgÀ, UÀÄgÀÄªÁgÀ, ±ÀÄPÀæªÁgÀ, ±À¤ªÁgÀ}

(ii) A = , , , , ,121

31

41

51 g$ .

¥ÀjºÁgÀ (i) X = {¨sÁ£ÀÄªÁgÀ, ¸ÉÆÃªÀÄªÁgÀ, ªÀÄAUÀ¼ÀªÁgÀ, §ÄzsÀªÁgÀ, UÀÄgÀÄªÁgÀ, ±ÀÄPÀæªÁgÀ, ±À¤ªÁgÀ}

X UÀtªÀÅ MAzÀÄ ªÁgÀzÀ J¯Áè ¢£ÀUÀ¼À£ÀÄß M¼ÀUÉÆArzÉ.

DzÀÝjAzÀ ¤AiÀÄªÀÄ ¥ÀzÀÞwAiÀÄ°è, EzÀ£ÀÄß

X = {x : x JA§ÄzÀÄ ªÁgÀzÀ°è£À MAzÀÄ ¢£À} JAzÀÄ §gÉAiÀÄ§ºÀÄzÀÄ.

(ii) A = , , , , ,121

31

41

51 g$ .. 1, 2, 3, 4, g UÀ¼ÀÄ UÀuÁA±ÀzÀ°è£À bÉÃzÀUÀ¼ÁVªÉ.

` ¤AiÀÄªÀÄ ¥ÀzÀÞwAiÀÄ°è, : ,A x xn

n N1 != =$ .

1.3.4 ¥ÀæzsÁ£À ¸ÀASÉå (ªÀÄÆ® ¸ÀASÉå) (Cardinal Number)

ªÀÄÄRå ¥ÀjPÀ®à£É ¥ÀæzsÁ£À ¸ÀASÉå

MAzÀÄ UÀtzÀ°è£À UÀuÁA±ÀUÀ¼À ¸ÀASÉåAiÀÄ£ÀÄß UÀtzÀ ¥ÀæzsÁ£À ¸ÀASÉå JAzÀÄ PÀgÉAiÀÄÄvÉÛÃªÉ.


n(A) A UÀtzÀ°è£À UÀuÁA±ÀUÀ¼À ¸ÀASÉå

A UÀtzÀ°è£À ¥ÀæzsÁ£À ¸ÀASÉåAiÀÄ£ÀÄß n(A) JAzÀÄ ¸ÀÆa¸ÀÄvÉÛÃªÉ.

GzÁºÀgÀuÉUÉ,

, , , , , ,A 1 0 1 2 3 4 5= -# - JA§ UÀtªÀ£ÀÄß ¥ÀjUÀtÂ¹j. EzÀÄ 7 UÀuÁA±ÀUÀ¼À£ÀÄß ºÉÆA¢zÉ.

` A UÀtzÀ ¥ÀæzsÁ£À ¸ÀASÉåAiÀÄÄ 7 DVzÉ. DzÀÝjAzÀ, ( ) 7n A = .

GzÁºÀgÀuÉ 1.5 PÉ¼ÀV£À UÀtUÀ½UÉ ¥ÀæzsÁ£À ¸ÀASÉåAiÀÄ£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.

(i) A = {x : x JA§ÄzÀÄ 12gÀ C«¨sÁdå C¥ÀªÀvÀð£À} (ii) B = { : , 5}x x xW! #

¥ÀjºÁgÀ (i) 12 gÀ C¥ÀªÀvÀð£ÀUÀ¼ÀÄ 1, 2, 3, 4, 6, 12 DVªÉ. DzÀÝjAzÀ, 12gÀ C«¨sÁdå C¥ÀªÀvÀð£ÀUÀ¼ÀÄ 2, 3 DVªÉ.

A UÀtªÀ£ÀÄß PÉÆÃµÀÖPÀ ¥ÀzÀÞwAiÀÄ°è §gÉzÁUÀ, A = {2, 3} ªÀÄvÀÄÛ n(A) = 2 DVzÉ.

(ii) { : , 5}B x x xW! #= . PÉÆÃµÀÖPÀ ¥ÀzÀÝwAiÀÄ°è B = {0, 1, 2, 3, 4, 5} DVzÉ. B UÀtªÀÅ 6 UÀuÁA±ÀUÀ¼À£ÀÄß ºÉÆA¢zÉ ªÀÄvÀÄÛ EzÀjAzÀ, n(B) = 6 DVzÉ.

7


UÀtÂvÀ±Á

¸ÀÛç

1.4 UÀtUÀ¼À «zsÀUÀ¼ÀÄ (Different Kinds of Sets)1.4.1 ±ÀÆ£Àå UÀt (The Empty Set)

ªÀÄÄRå ¥ÀjPÀ®à£É ±ÀÆ£Àå UÀt

AiÀiÁªÀ UÀuÁA±ÀªÀ£ÀÆß ºÉÆA¢®èzÀ UÀtªÀ£ÀÄß ±ÀÆ£Àå UÀt CxÀªÁ SÁ° UÀt J£ÀÄßvÉÛÃªÉ.


Q CxÀªÁ { } ±ÀÆ£Àå UÀt CxÀªÁ SÁ° UÀt

±ÀÆ£Àå UÀtªÀ£ÀÄß Q CxÀªÁ{ } JA§ ¸ÀAPÉÃvÀ¢AzÀ ¸ÀÆa¸À¯ÁUÀÄvÀÛzÉ.

GzÁºÀgÀuÉUÉ,

: ,A x x x1< N!= # - AiÀÄ£ÀÄß UÀtªÉAzÀÄ ¥ÀjUÀtÂ¹zÁUÀ,

1 QÌAvÀ PÀrªÉÄAiÀiÁVgÀÄªÀ ¸Áé¨sÁ«PÀ ¸ÀASÉå E®è.

{ }A` =

¸ÀASÁå ¥ÀzÀÝwAiÀÄ£ÀÄß C¨sÀå¹¸ÀÄªÁUÀ ‘¸ÉÆ£Éß’ ¸ÀASÉåAiÀÄÄ ªÀÄÄRå ¥ÁvÀæªÀ£ÀÄß ªÀ»¹zÀAvÉAiÉÄÃ,

UÀt ¹zÁÞAvÀªÀ£ÀÄß C¨sÀå¹¸ÀÄªÁUÀ ±ÀÆ£Àå UÀtzÀ ¥ÀjPÀ®à£ÉAiÀÄÄ ªÀÄÄRå ¥ÁvÀæªÀ£ÀÄß ªÀ»¸ÀÄvÀÛzÉ.

1.4.2 ¥Àj«ÄvÀ UÀt (Finite Set)

ªÀÄÄRå ¥ÀjPÀ®à£É ¥Àj«ÄvÀ UÀt

MAzÀÄ UÀtªÀÅ JtÂ¸À®Ä ¸ÁzsÀåªÁUÀÄªÀµÀÄÖ CA±ÀUÀ¼À£ÀÄß ºÉÆA¢zÀÝgÉ, CzÀ£ÀÄß ¥Àj«ÄvÀ UÀt J£ÀÄßvÉÛÃªÉ.

GzÁºÀgÀuÉUÉ,

(i) 8 ªÀÄvÀÄÛ 9 gÀ £ÀqÀÄ«£À ¸Áé¨sÁ«PÀ ¸ÀASÉåUÀ¼À UÀtªÀ£ÀÄß A JAzÀÄPÉÆ¼ÉÆîÃt.

8 ªÀÄvÀÄÛ 9 gÀ £ÀqÀÄªÉ AiÀiÁªÀÅzÉÃ ¸Áé¨sÁ«PÀ ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ EgÀÄªÀÅ¢®è,

DzÀÝjAzÀ, A = { } ªÀÄvÀÄÛ n(A) = 0. ` A JA§ÄzÀÄ ¥Àj«ÄvÀ UÀtªÁVzÉ.

(ii) X = {x : x JA§ÄzÀÄ ¥ÀÆuÁðAPÀ ªÀÄvÀÄÛ x1 2# #- } JAzÀÄ ¥ÀjUÀtÂ¹j.

X = { 1- , 0, 1, 2} ªÀÄvÀÄÛ n(X) = 4

` X JA§ÄzÀÄ ¥Àj«ÄvÀ UÀtªÁVzÉ.

¥Àj«ÄvÀ UÀtzÀ ¥ÀæzsÁ£À ¸ÀASÉåAiÀÄÄ ¥Àj«ÄvÀªÁVzÉ.

aAw¹ ªÀÄvÀÄÛ GvÀÛj¹!

( )n Q JAzÀgÉÃ£ÀÄ?

¸ÀÆZÀ£É

¸ÀÆZÀ£É

8

CzsÁåAiÀÄ1 U

ÀtÂvÀ±Á

¸ÀÛç

1.4.3 C¥Àj«ÄvÀ UÀt (Infinite Set)

ªÀÄÄRå ¥ÀjPÀ®à£É C¥Àj«ÄvÀ UÀt

MAzÀÄ UÀtªÀÅ JtÂ¸À®Ä C¸ÁzsÀåªÁVgÀÄªÀµÀÄÖ CA±ÀUÀ¼À£ÀÄß ºÉÆA¢zÀÝgÉ, CzÀ£ÀÄß C¥Àj«ÄvÀ UÀt J£ÀÄßvÉÛÃªÉ.

GzÁºÀgÀuÉUÉ,

W = J¯Áè ¥ÀÆtð ¸ÀASÉåUÀ¼À UÀtªÁVgÀ°. CAzÀgÉ, W = {0, 1, 2, 3, g}

J¯Áè ¥ÀÆtð ¸ÀASÉåUÀ¼À UÀtªÀÅ C¥Àj«ÄvÀ ¸ÀASÉåAiÀÄ UÀuÁA±ÀUÀ¼À£ÀÄß ºÉÆA¢gÀÄvÀÛzÉ.

DzÀÝjAzÀ, WJA§ÄzÀÄ C¥Àj«ÄvÀ UÀtªÁVzÉ.

C¥Àj«ÄvÀ UÀtzÀ ¥ÀæzsÁ£À ¸ÀASÉåAiÀÄÄ ¥Àj«ÄvÀ ¸ÀASÉåAiÀÄ®è.

GzÁºÀgÀuÉ 1.6

PÉ¼ÀV£À UÀtUÀ¼ÀÄ ¥Àj«ÄvÀ CxÀªÁ C¥Àj«ÄvÀªÉÃ JA§ÄzÀ£ÀÄß w½¹.

(i) A = {x : x JA§ÄzÀÄ 5 gÀ C¥ÀªÀvÀåð, x N! }

(ii) B = {x : x JA§ÄzÀÄ ¸Àj D«¨sÁdå ¸ÀASÉå}

(iii) 50 QÌAvÀ ºÉZÁÑVgÀÄªÀ J¯Áè zsÀ£À ¥ÀÆuÁðAPÀUÀ¼À UÀt.

¥ÀjºÁgÀ (i) A = {x : x JA§ÄzÀÄ 5 gÀ C¥ÀªÀvÀåð, x N! } = {5, 10, 15, 20, ...}

` A JA§ÄzÀÄ C¥Àj«ÄvÀ UÀtªÁVzÉ.

(ii) B = {x : x JA§ÄzÀÄ ¸Àj D«¨sÁdå ¸ÀASÉå}. ¸ÀASÉå 2 ªÀiÁvÀæ ¸Àj C«¨sÁdå ¸ÀASÉåAiÀiÁVzÉ.

` B = { 2 } ªÀÄvÀÄÛ B JA§ÄzÀÄ ¥Àj«ÄvÀ UÀtªÁVzÉ.

(iii) 50 QÌAvÀ ºÉZÁÑVgÀÄªÀ J¯Áè zsÀ£À ¥ÀÆuÁðAPÀUÀ¼À UÀtªÀÅ X = {51, 52, 53, ...}

` X JA§ÄzÀÄ C¥Àj«ÄvÀ UÀtªÁVzÉ.

1.4.4 KPÁA±À UÀt (Singleton Set)

ªÀÄÄRå ¥ÀjPÀ®à£É KPÁA±À UÀt

MAzÉÃ MAzÀÄ CA±ÀªÀ£ÀÄß ºÉÆA¢gÀÄªÀ UÀtªÀ£ÀÄß KPÁA±À UÀt J£ÀÄßvÉÛÃªÉ.

GzÁºÀgÀuÉUÉ,

A = {x : x ¥ÀÆuÁðAPÀ ªÀÄvÀÄÛ1 < x < 3} UÀtªÀ£ÀÄß vÉUÉzÀÄPÉÆ½î.

A = { 2 }. CAzÀgÉ, a JA§ÄzÀÄ MAzÉÃ MAzÀÄ UÀuÁA±ÀªÀ£ÀÄß ºÉÆA¢zÉ.

` A JA§ÄzÀÄ KPÁA±À UÀtªÁVzÉ.

¸ÀÆZÀ£É

9


UÀtÂvÀ±Á

¸ÀÛç

PÉ¼ÀV£À UÀtUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀÄªÀ®è JA§ÄzÀ£ÀÄß ¥ÀvÉÛºÀZÀÄÑªÀÅzÀÄ vÀÄA¨Á ªÀÄÄRåªÁVzÉ.

(i) ±ÀÆ£Àå UÀt Q

(ii) ±ÀÆ£Àå UÀtªÀ£ÀÄß KPÀ ªÀiÁvÀæ CA±ÀªÁV ºÉÆA¢gÀÄªÀ UÀt {Q}

(iii) ¸ÉÆ£ÉßAiÀÄ£ÀÄß ªÀiÁvÀæ UÀuÁA±ÀªÀ£ÁßV ºÉÆA¢gÀÄªÀ UÀt { 0 }

1.4.5 ¸ÀªÀiÁ£À UÀt (Equivalent Set)

ªÀÄÄRå ¥ÀjPÀ®à£É ¸ÀªÀiÁ£À UÀt

MAzÉÃ ¸ÀASÉåAiÀÄ UÀuÁA±ÀUÀ¼À£ÀÄß ºÉÆA¢gÀÄªÀ A ªÀÄvÀÄÛ B JA§ JgÀqÀÄ UÀtUÀ¼À£ÀÄß

¸ÀªÀiÁ£À UÀt J£ÀÄßvÉÛÃªÉ.

A ªÀÄvÀÄÛ B UÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀiÁ£ÀªÁVzÀÝgÉ, EzÀ£ÀÄß n(A) = n(B) JAzÀÄ ºÉÃ¼ÀÄvÉÛÃªÉ.


. ¸ÀªÀiÁ£À

A ªÀÄvÀÄÛ B UÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀiÁ£ÀªÁVzÀÝgÉ, EzÀ£ÀÄß A Bc JAzÀÄ §gÉAiÀÄÄvÉÛÃªÉ.

GzÁºÀgÀuÉUÉ,

A = { 7, 8, 9, 10 } ªÀÄvÀÄÛ B = { 3, 5, 6, 11 } JA§ UÀtUÀ¼À£ÀÄß ¥ÀjUÀtÂ¹j.

E°è n(A) = 4 ªÀÄvÀÄÛ n(B) = 4 DVzÉ. ` A B. .

1.4.6 ¸ÀªÀÄ UÀtUÀ¼ÀÄ (Equal Sets)

ªÀÄÄRå ¥ÀjPÀ®à£É ¸ÀªÀi UÀtUÀ¼ÀÄ

¤RgÀªÁV MAzÉÃ jÃwAiÀÄ UÀuÁA±ÀUÀ¼À£ÀÄß PÀæªÀÄªÀ®èzÀ gÀÆ¥ÀzÀ°è ºÉÆA¢gÀÄªÀ A ªÀÄvÀÄÛ B JA§ JgÀqÀÄ UÀtUÀ¼À£ÀÄß ÀªÀÄUÀt J£ÀÄßvÉÛÃªÉ. F jÃw C®èzÀ UÀtUÀ¼À£ÀÄß C¸ÀªÀÄUÀt J£ÀÄßvÉÛÃªÉ.

A ªÀÄvÀÄÛ B JA§ JgÀqÀÄ UÀtUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀÄªÁVzÀÝgÉ. (i) A £À ¥ÀæwAiÉÆAzÀÄ UÀuÁA±ÀªÀÅ B £À°ègÀÄªÀ UÀuÁA±ÀªÁVgÀÄvÀÛzÉ ªÀÄvÀÄÛ (ii) B £À ¥ÀæwAiÉÆAzÀÄ UÀuÁA±ÀªÀÅ A £À°ègÀÄªÀ UÀuÁA±ÀªÁVgÀÄvÀÛzÉ.


= ¸ÀªÀÄA ªÀÄvÀÄÛ B JA§ JgÀqÀÄ UÀtUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀÄªÁzÀgÉ, A = B JAzÀÄ £ÁªÀÅ

§gÉAiÀÄÄvÉÛÃªÉ.

! ¸ÀªÀÄªÀ®èA ªÀÄvÀÄÛ B JA§ JgÀqÀÄ UÀtUÀ¼ÀÄ C¸ÀªÀÄªÁzÀgÉ,

A B! JAzÀÄ £ÁªÀÅ §gÉAiÀÄÄvÉÛÃªÉ.

UÀªÀÄ¤¹j

10

CzsÁåAiÀÄ1 U

ÀtÂvÀ±Á

¸ÀÛç

GzÁºÀgÀuÉUÉ,

A = { a, b, c, d } ªÀÄvÀÄÛ B = { d, b, a, c } UÀtUÀ¼À£ÀÄß ¥ÀjUÀtÂ¹zÁUÀ

A UÀt ªÀÄvÀÄÛ B UÀtUÀ¼ÀÄ ¤RgÀªÁV MAzÉÃ jÃwAiÀÄ UÀuÁA±ÀUÀ¼À£ÀÄß ºÉÆA¢ªÉ. ` A = B

A ªÀÄvÀÄÛ B JA§ JgÀqÀÄ UÀtUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀÄªÁzÀgÉ, n(A) = n(B) JAzÁUÀÄvÀÛzÉ.

DzÀgÉ n(A) = n(B) JAzÁzÀgÉ, A ªÀÄvÀÄÛ B UÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀÄªÁVgÀ¨ÉÃQ®è.

DzÀÝjAzÀ, ¸ÀªÀÄ UÀtUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀiÁ£À UÀt DVgÀÄvÀÛªÉ. DzÀgÉ ¸ÀªÀiÁ£À UÀtUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀÄªÁVgÀ¨ÉÃQ®è.

GzÁºÀgÀuÉ 1.7

A = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14} ªÀÄvÀÄÛ B = {x : x JA§ÄzÀÄ 2gÀ C¥ÀªÀvÀåð, x N! ªÀÄvÀÄÛ 14x # }

JAzÁzÀgÉ, A = B DVzÉAiÉÄÃ CxÀªÁ E®èªÉÃ JA§ÄzÀ£ÀÄß w½¹.

¥ÀjºÁgÀ A = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14} ªÀÄvÀÄÛ

B = {x : x JA§ÄzÀÄ 2gÀ C¥ÀªÀvÀåð, x N! ªÀÄvÀÄÛ x 14# }

PÉÆÃµÀÖPÀ ¥ÀzÀÝwAiÀÄ°è, B = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14}

DzÀÝjAzÀ, A ªÀÄvÀÄÛ B UÀtUÀ¼ÀÄ ¤RgÀªÁV MAzÉÃ jÃwAiÀÄ UÀuÁA±ÀUÀ¼À£ÀÄß ºÉÆA¢ªÉ. ` A = B.

1.4.7 G¥ÀUÀt (Subset)

ªÀÄÄRå ¥ÀjPÀ®à£É G¥ÀUÀt

X UÀtªÀÅ Y UÀtzÀ G¥ÀUÀtªÁzÀgÉ, X UÀtzÀ J¯Áè CA±ÀUÀ¼ÀÄ Y UÀtzÀ CA±ÀUÀ¼ÁVgÀÄvÀÛªÉ.

¸ÀAPÉÃvÀ gÀÆ¥ÀzÀ°è EzÀ£ÀÄß X Y3 JAzÀÄ §gÉAiÀÄÄvÉÛÃªÉ.


3 G¥ÀUÀt (CxÀªÁ) M¼ÀUÉÆArzÉ

X Y3 JA§ÄzÀ£ÀÄß X AiÀÄÄ Y £À G¥ÀUÀt CxÀªÁ

Y AiÀÄÄ X £ÀÄß M¼ÀUÉÆArzÉ JAzÀÄ NzÀ¨ÉÃPÀÄ.

M G¥ÀUÀtªÀ®è (CxÀªÁ) M¼ÀUÉÆAr®è

X YM JA§ÄzÀ£ÀÄß X AiÀÄÄ Y £À G¥ÀUÀtªÀ®è CxÀªÁ

Y AiÀÄÄ X AiÀÄ£ÀÄß M¼ÀUÉÆAr®è JAzÀÄ NzÀ¨ÉÃPÀÄ.

GzÁºÀgÀuÉUÉ,

X = {7, 8, 9} ªÀÄvÀÄÛ Y = { 7, 8, 9, 10 } UÀtUÀ¼À£ÀÄß ¥ÀjUÀtÂ¹zÁUÀ,

X £À ¥ÀæwAiÉÆAzÀÄ UÀuÁA±ÀªÀÅ Y £À°ègÀÄªÀ UÀuÁA±ÀªÁVzÉ JA§ÄzÀ£ÀÄß £ÉÆÃqÀ§ºÀÄzÀÄ.

11


UÀtÂvÀ±Á

¸ÀÛç

` X JA§ÄzÀÄ Y £À G¥ÀUÀtªÁVzÉ.

CAzÀgÉ, X Y3 .

(i) ¥ÀæwAiÉÆAzÀÄ UÀtªÀÅ CzÀgÀ G¥ÀUÀtªÁVzÉ. CAzÀgÉ, AiÀiÁªÀÅzÉÃ UÀt X UÉ, X X3 .

(ii) ±ÀÆ£Àå UÀtªÀÅ AiÀiÁªÀÅzÉÃ UÀtzÀ G¥ÀUÀtªÁVzÉ. CAzÀgÉ, AiÀiÁªÀÅzÉÃ UÀt X UÉ, XQ 3 .

(iii) X Y3 ªÀÄvÀÄÛ Y X3 JAzÁzÀgÉ, DUÀ X = Y DUÀÄvÀÛzÉ. EzÀgÀ «¯ÉÆÃªÀÄªÀÅ ¤dªÁVzÉ. CAzÀgÉ X = Y JAzÁzÀgÉ, X Y3 ªÀÄvÀÄÛ Y X3 DUÀÄvÀÛzÉ.

(iv) ¥ÀæwAiÉÆAzÀÄ UÀtªÀÅ (Q £ÀÄß ºÉÆgÀvÀÄ¥Àr¹) PÀ¤µÀÖ JgÀqÀÄ G¥ÀUÀtUÀ¼À£ÀÄß

ºÉÆA¢gÀÄvÀÛzÉ. CªÉAzÀgÉ, ¸ÀéUÀt ªÀÄvÀÄÛ Q .

1.4.8 ¤²ÑvÀ G¥ÀUÀt (Proper Subset)

ªÀÄÄRå ¥ÀjPÀ®à£É ¤²ÑvÀ G¥ÀUÀt

X Y3 ªÀÄvÀÄÛ X Y! DzÀgÉ, X UÀtªÀÅ Y UÀtzÀ ¤²ÑvÀ G¥ÀUÀtªÁVgÀÄvÀÛzÉ. EzÀ£ÀÄß X Y1 JAzÀÄ £ÁªÀÅ §gÉAiÀÄÄvÉÛÃªÉ. Y AiÀÄ£ÀÄß X UÀtzÀ ªÀÄÆ® UÀt J£ÀÄßvÉÛÃªÉ.


1 ¤²ÑvÀ G¥ÀUÀt

X Y1 AiÀÄ£ÀÄß, X UÀtªÀÅ Y UÀtzÀ ¤²ÑvÀ G¥ÀUÀtªÉAzÀÄ NzÀ¨ÉÃPÀÄ.

GzÁºÀgÀuÉUÉ,

X = {5, 7, 8} ªÀÄvÀÄÛ Y = { 5, 6, 7, 8 } UÀtUÀ¼À£ÀÄß ¥ÀjUÀtÂ¹zÁUÀ,

X £À ¥ÀæwAiÉÆAzÀÄ UÀuÁA±ÀªÀÅ Y £À°ègÀÄªÀ UÀuÁA±ÀªÁVzÉ ªÀÄvÀÄÛ X Y! .

` X UÀtªÀÅ Y UÀtzÀ ¤²ÑvÀ G¥ÀUÀtªÁVzÉ.

(i) ¤²ÑvÀ G¥ÀUÀtªÀÅ ªÀÄÆ® UÀtQÌAvÀ PÀ¤µÀÖ MAzÁzÀgÀÄ PÀrªÉÄ UÀuÁA±ÀªÀ£ÀÄß

ºÉÆA¢gÀÄvÀÛzÉ.

(ii) AiÀiÁªÀÅzÉÃ UÀtªÀÅ vÀ£ÀUÉ vÁ£É ¤²ÑvÀ G¥ÀUÀtªÁUÀÄªÀÅ¢®è.

(iii) ±ÀÆ£Àå UÀt Q AiÀÄÄ vÀ£Àß£ÀÄß ©lÄÖ ¥ÀæwAiÉÆAzÀÄ UÀtPÀÆÌ ¤²ÑvÀ G¥ÀUÀtªÁVzÉ. (Q UÉ ¤²ÑvÀ G¥ÀUÀt«®è). CAzÀgÉ, X AiÀÄÄ Q AiÀÄ£ÀÄß ºÉÆgÀvÀÄ¥Àr¹zÀ UÀtªÁzÀgÉ, Q1X.

(iv) ! ªÀÄvÀÄÛ and! 3 UÀ¼À £ÀqÀÄ«£À «¨sÉÃ¢ÃPÀgÀtªÀÅ ªÀÄÄRåªÁzÀzÀÄ. x X! JA§ ¸ÀAPÉÃvÀªÀÅ

x JA§ÄzÀÄ X £À UÀuÁA±À JA§ÄzÀ£ÀÄß ¸ÀÆa¸ÀÄvÀÛzÉ. X Y3 JA§ ¸ÀAPÉÃvÀªÀÅ

X UÀtªÀÅ Y UÀtzÀ À G¥ÀUÀt JAzÀÄ CxÉÊð¸ÀÄvÀÛzÉ.

EzÀjAzÀ, { , , }a b cQ 3 AiÀÄÄ ¤dªÁVzÉ. DzÀgÉ, { , , }a b cQ ! AiÀÄÄ ¤dªÀ®è. { },x x! JA§ÄzÀÄ ¤d. DzÀgÉ { }x x= ªÀÄvÀÄÛ { }x x3 JA§ ÀA§AzsÀUÀ¼ÀÄ ÀÆPÀÛªÀ®è.

¸ÀÆZÀ£ÉÂ

UÀªÀÄ¤¹j

12

CzsÁåAiÀÄ1 U

ÀtÂvÀ±Á

¸ÀÛç

GzÁºÀgÀuÉ 1.8 ©lÖ ¸ÀÜ¼ÀUÀ½UÉ or M3 CxÀªÁ or M3 UÀ¼À£ÀÄß §gÉzÀÄ ¤d ºÉÃ½PÉUÀ¼ÁV ªÀiÁrj.

(a) {4, 5, 6, 7} ----- {4, 5, 6, 7, 8} (b) {a, b, c} ----- {b, e, f, g}

¥ÀjºÁgÀ (a) {4, 5, 6, 7} ----- {4, 5, 6, 7, 8} {4, 5, 6, 7} gÀ ¥ÀæwAiÉÆAzÀÄ UÀuÁA±ÀªÀÅ {4, 5, 6, 7, 8} gÀ°ègÀÄªÀ

UÀuÁA±ÀUÀ¼ÁVgÀÄªÀÅzÀjAzÀ 3 AiÀÄ£ÀÄß SÁ° ¸ÀÜ¼ÀzÀ°è vÀÄA©j.

` {4, 5, 6, 7} {4, 5, 6, 7, 8}3

(b) a AiÀÄÄ {a, b, c} AiÀÄ°è£À MAzÀÄ UÀuÁA±ÀªÁVzÉ. DzÀgÉ {b, e, f, g} £À°è

PÀAqÀÄ§gÀÄªÀÅ¢®è. DzÀÝjAzÀ M £ÀÄß ©lÖ ¸ÀÜ¼ÀzÀ°è vÀÄA©j. { , , } { , , , }a b c b e f g` M

GzÁºÀgÀuÉ 1.9 ©lÖ ¸ÀÜ¼ÀUÀ½UÉ ,1 3 CxÀªÁ JgÀqÀ£ÀÄß ¨sÀwð ªÀiÁr ¤d ºÉÃ½PÉUÀ¼ÁV ¤zsÀðj¹.

(i) {8, 11, 13} ----- {8, 11, 13, 14}

(ii) {a, b, c} ------ {a, c, b}

¥ÀjºÁgÀ (i) {8, 11, 13} gÀ ¥ÀæwAiÉÆAzÀÄ UÀtzÀ UÀuÁA±ÀªÀÅ {8, 11, 13, 14} gÀ°ègÀÄªÀ UÀtzÀ

UÀuÁA±ÀUÀ¼ÁVªÉ. DzÀÝjAzÀ 3 £ÀÄß ©lÖ ¸ÀÜ¼ÀzÀ°è vÀÄA©j

{ , , } { , , , }8 11 13 8 11 13 14` 3

UÀuÁA±À 14 JA§ÄzÀÄ {8, 11, 13, 14} PÉÌ ÉÃjzÉ. DzÀgÉ {8, 11, 13} PÉÌ ÉÃjgÀÄªÀÅ¢®è. ` {8, 11, 13}JA§ÄzÀÄ {8, 11, 13, 14} gÀ ¤²ÑvÀ G¥ÀUÀtªÁVzÉ..

DzÀÝjAzÀ 1 £ÀÄß ©lÖ ¸ÀÜ¼ÀzÀ°è vÀÄA©j.

` {8,11,13} {8,11,13,14}1

(ii) {a, b, c} AiÀÄ°è£À ¥ÀæwAiÉÆAzÀÄ UÀuÁA±ÀªÀÅ {a, c, b} AiÀÄ°è£À UÀuÁA±ÀUÀ¼ÁVªÉ ªÀÄvÀÄÛ

¸ÀªÀÄ£ÁVªÉ.

DzÀÝjAzÀ {a, b, c} AiÀÄÄ {a, c, b}AiÀÄ ¤²ÑvÀ G¥ÀUÀtªÀ®è.

DzÀÝjAzÀ, 3 £ÀÄß ªÀiÁvÀæ ©lÖ ¸ÀÜ¼ÀzÀ°è vÀÄA§¨ÉÃPÀÄ.

1.4.9 WÁvÀ UÀt (Power Set)

ªÀÄÄRå ¥ÀjPÀ®à£É WÁvÀ UÀt

A UÀtzÀ J¯Áè G¥ÀUÀtUÀ¼À UÀtªÀ£ÀÄß A £À WÁvÀ UÀt JAzÀÄ PÀgÉAiÀÄÄvÉÛÃªÉ.


P(A) A £À WÁvÀ UÀt

A UÀtzÀ WÁvÀ UÀtªÀ£ÀÄß P(A) JAzÀÄ ¸ÀÆa¸ÀÄvÉÛÃªÉ.

13


UÀtÂvÀ±Á

¸ÀÛç

GzÁºÀgÀuÉUÉ,

A = { ,3 4- } DVgÀ°.

, { 3}, {4}, { 3,4}Q - - UÀ¼ÀÄ A £À G¥ÀUÀtUÀ¼ÁVªÉ.

DUÀ A £À WÁvÀ UÀtUÀ¼ÀÄ, ( ) , { }, { }, { , }P A 3 4 3 4Q= - -" ,

GzÁºÀgÀuÉ 1.10 {3,{4,5}}A = gÀ WÁvÀ UÀtªÀ£ÀÄß §gÉ¬Äj.

¥ÀjºÁgÀ {3,{4,5}}A =

A £À G¥ÀUÀtUÀ¼ÀÄ,

, , , , {3,{4,5}}3 4 5Q " "", ,,

( )P A` = , 3 , 4, 5 , {3,{4,5}}Q " """ , ,, ,

MAzÀÄ ¥Àj«ÄvÀ UÀtzÀ G¥ÀUÀtUÀ¼À ¸ÀASÉå (Number of Subsets of a Finite Set)

ºÉZÀÄÑ UÀuÁA±ÀUÀ¼À£ÀÄß ºÉÆA¢gÀÄªÀ UÀtUÀ½UÉ G¥ÀUÀtUÀ¼À£ÀÄß PÀAqÀÄ»rAiÀÄÄªÀÅzÀÄ PÀµÀÖPÀgÀªÁzÀÄzÀÄ.

PÉÆnÖgÀÄªÀ ¥Àj«ÄvÀ UÀtPÉÌ JµÀÄÖ G¥ÀUÀtUÀ½ªÉ JAzÀÄ ºÉÃ¼À®Ä AiÀiÁªÀ ¤AiÀÄªÀÄ«zÉ JA§ÄzÀ£ÀÄß PÀAqÀÄ»rAiÉÆÃt.

(i) A Q= UÀtªÀÅ vÀ£ÀUÉ vÀ£Àß£ÉßÃ MAzÀÄ G¥ÀUÀtªÁV ºÉÆA¢gÀÄvÀÛzÉ.

(ii) { }A 5= JA§ UÀtªÀÅ Q ªÀÄvÀÄÛ {5}JA§ G¥ÀUÀtUÀ¼À£ÀÄß ºÉÆA¢gÀÄvÀÛzÉ.

(iii) { , }A 5 6= JA§ UÀtªÀÅ ,{5},{6},{5,6}Q JA§ G¥ÀUÀtUÀ¼À£ÀÄß ºÉÆA¢gÀÄvÀÛzÉ.

(iv) { , , }A 5 6 7= JA§ UÀtªÀÅ ,{5},{6},{7},{5,6},{5,7},{6,7} {5,6,7}andQ ªÀÄvÀÄÛ ,{5},{6},{7},{5,6},{5,7},{6,7} {5,6,7}andQ JA§

G¥ÀUÀtUÀ¼À£ÀÄß ºÉÆA¢gÀÄvÀÛzÉ.

F ªÀiÁ»wAiÀÄ£ÀÄß PÉ¼ÀV£À PÉÆÃµÀÖPÀzÀ°è vÉÆÃj¸À¯ÁVzÉ.

UÀuÁA±ÀUÀ¼À ¸ÀASÉå 0 1 2 3

G¥ÀUÀtUÀ¼À ¸ÀASÉå 1 20= 2 21

= 4 22= 8 23

=

F PÉÆÃµÀÖPÀ¢AzÀ, UÀtzÀ°è£À UÀuÁA±ÀUÀ¼ÀÄ MAzÀgÀAvÉ ºÉZÁÑzÀAvÉ¯Áè G¥ÀUÀtUÀ¼À ¸ÀASÉåAiÀÄÄ

¢éUÀÄtªÁUÀÄvÀÛzÉ JA§ÄzÀÄ w½AiÀÄÄvÀÛzÉ. DzÀÝjAzÀ ¥Àæw ºÀAvÀzÀ®Æè G¥ÀUÀtUÀ¼À ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ 2gÀ WÁvÀªÁVªÉ.

EzÀjAzÀ £ÀªÀÄUÉ PÉ¼ÀV£À ¸ÁªÀiÁ¤åÃPÀgÀtªÀÅ zÉÆgÉAiÀÄÄvÀÛzÉ.

m UÀuÁA±ÀUÀ¼À£ÀÄß ºÉÆA¢gÀÄªÀ UÀtzÀ G¥ÀUÀtUÀ¼À ¸ÀASÉåAiÀÄÄ 2m .

2m G¥ÀUÀtªÀÅ PÉÆnÖgÀÄªÀ UÀtªÀ£ÀÄß ªÀiÁvÀæ M¼ÀUÉÆArgÀÄvÀÛzÉ.

` m UÀuÁA±ÀUÀ¼À£ÀÄß ºÉÆA¢gÀÄªÀ UÀtzÀ ¤²ÑvÀ G¥ÀUÀtUÀ¼À ¸ÀASÉåAiÀÄÄ 2 1m- DVzÉ.

( ) [ ( )] 2n A m n P A 2 ( )n A m&= = =

14

CzsÁåAiÀÄ1 U

ÀtÂvÀ±Á

¸ÀÛç

GzÁºÀgÀuÉ 1.11

¥ÀæwAiÉÆAzÀÄ UÀtUÀ½UÉ G¥ÀUÀt ªÀÄvÀÄÛ ¤²ÑvÀ G¥ÀUÀtUÀ¼À ¸ÀASÉåAiÀÄ£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.

(i) {3,4,5,6,7}A = (ii) {1,2,3,4,5,9,12,14}A =

¥ÀjºÁgÀ (i) {3,4,5,6,7}A = . DzÀÝjAzÀ, ( )n A 5= .

G¥ÀUÀtUÀ¼À ¸ÀASÉå = ( ) 2 32n P A 5= =6 @ .

¤²ÑvÀ G¥ÀUÀtUÀ¼À ¸ÀASÉå = 2 15- 32 1= - 31=

(ii) {1,2,3,4,5,9,12,14}A = . FUÀ, ( )n A 8= .

` G¥ÀUÀtUÀ¼À ¸ÀASÉå 2 2 2 32 2 2 28 5 3# # # #= = = = 256

¤²ÑvÀ G¥ÀUÀtUÀ¼À ¸ÀASÉå = 2 18- = 256 1- = 255

C¨sÁå¸À 1.11. PÉ¼ÀV£ÀªÀÅUÀ¼À°è AiÀiÁªÀÅzÀÄ UÀtUÀ¼ÀÄ? ¤ªÀÄä GvÀÛgÀªÀ£ÀÄß ¸ÀªÀÄyð¹j.

(i) GvÀÛªÀÄ ¥ÀÄ¸ÀÛPÀUÀ¼À ¸ÀAUÀæºÀuÉ.

(ii) 30 QÌAvÀ PÀrªÉÄ EgÀÄªÀ C«¨sÁdå ¸ÀASÉåUÀ¼À ¸ÀAUÀæºÀuÉ.

(iii) ºÀvÀÄÛ ¥Àæw¨sÁªÀAvÀ UÀtÂvÀ ²PÀëPÀgÀÄUÀ¼ÀÀ UÀÄA¥ÀÄ.

(iv) ¤ªÀÄä ±Á¯ÉAiÀÄ°ègÀÄªÀ J¯Áè «zÁåyðUÀ¼À UÀÄA¥ÀÄ.

(v) J¯Áè ¸Àj ¸ÀASÉåUÀ¼À ¸ÀAUÀæºÀuÉ.

2. A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} DzÀgÉ, SÁ° ©nÖgÀÄªÀ ¸ÀÜ¼ÀUÀ½UÉ ! CxÀªÁ g JA§ ¸ÀÆPÀÛ

¸ÀAPÉÃvÀªÀ£ÀÄß vÀÄA©j.

(i) 0 ----- A (ii) 6 ----- A (iii) 3 ----- A

(iv) 4 ----- A (v) 7 ----- A

3. PÉ¼ÀV£À UÀtUÀ¼À£ÀÄß ¤AiÀÄªÀÄ ¥ÀzÀÝwAiÀÄ°è §gÉ¬Äj.

(i) J¯Áè zsÀ£ÁvÀäPÀ ¸Àj ¸ÀASÉåUÀ¼À UÀt.

(ii) 20 QÌAvÀ PÀrªÉÄ EgÀÄªÀ J¯Áè ¥ÀÆtð ¸ÀASÉåUÀ¼À UÀt.

(iii) 3 gÀ C¥ÀªÀvÀåð UÀ¼ÁUÀÄªÀ J¯Áè zsÀ£ÁvÀäPÀ ¥ÀÆuÁðAPÀUÀ¼À UÀt.

(iv) 15QÌAvÀ PÀrªÉÄ EgÀÄªÀ J¯Áè ¨É¸À ¸Áé¨sÁ«PÀ ¸ÀASÉåUÀ¼À UÀt.

(v) ‘computer’ JA§ ¥ÀzÀzÀ°ègÀÄªÀ J¯Áè CPÀëgÀUÀ¼À UÀt.

4. PÉ¼ÀV£À UÀtUÀ¼À£ÀÄß PÉÆÃµÀÖPÀ ¥ÀzÀÞwAiÀÄ°è §gÉ¬Äj.

(i) { : , 2 10}A x x xN 1! #=

(ii) : ,B x x x21

211Z 1 1!= -$ .

15


UÀtÂvÀ±Á

¸ÀÛç

(iii) C = {x : x JA§ÄzÀÄ C«¨sÁdå ¸ÀASÉå ªÀÄvÀÄÛ 6 gÀ ¨sÁdPÀ}

(iv) x={x : x=2n,n!n ªÀÄvÀÄÛ n ≤ 5}

(v) { : 2 1, 5, }M x x y y y W# != = -

(vi) p={x : x JA§ÄzÀÄ ¥ÀÆuÁðAPÀ, x2 ≤ 16}

5. PÉ¼ÀV£À UÀtUÀ¼À£ÀÄß UÀuÁA±À ¥ÀzÀÞwAiÀÄ°è §gÉ¬Äj.

(i) A = {a, e, i, o, u}

(ii) B = {1, 3, 5, 7, 9, 11}

(iii) C = {1, 4, 9, 16, 25}

(iv) P = {x : x JA§ÄzÀÄ ‘set theory’ JA§ ¥ÀzÀzÀ°è£À MAzÀÄ CPÀëgÀ}

(v) Q = {x : x JA§ÄzÀÄ 10 ªÀÄvÀÄÛ 20 gÀ £ÀqÀÄ«£À C«¨sÁdå ¸ÀASÉå.}

6. PÉ¼ÀV£À UÀtUÀ¼À°è ¥ÀæzsÁ£À ¸ÀASÉåAiÀÄ£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.

(i) a={x : x = 5n, n ! n ªÀÄvÀÄÛ n < 5}

(ii) B = {x : x JA§ÄzÀÄ EAVèµï ªÀtðªÀiÁ¯ÉAiÀÄ ªÀåAd£ÁPÀëgÀ}

(iii) X = {x : x JA§ÄzÀÄ ¸Àj C«¨sÁdå ¸ÀASÉå}

(iv) P = {x : x < 0, x W! }

(v) Q = { : ,x x x3 5 Z# # !- }

7. PÉ¼ÀV£À UÀtUÀ¼À°è ¥Àj«ÄvÀ ªÀÄvÀÄÛ C¥Àj«ÄvÀ UÀtUÀ¼À£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.

(i) A = {4, 5, 6, ...}

(ii) B = {0, 1, 2, 3, 4, ... 75}

(iii) X = {x : x JA§ÄzÀÄ ¸Àj ¸Áé¨sÁ«PÀ ¸ÀASÉå}

(iv) Y = {x : x JA§ÄzÀÄ 6gÀ C¥ÀªÀvÀåð ªÀÄvÀÄÛ x > 0}

(v) P = ‘freedom’ JA§ ¥ÀzÀzÀ CPÀëgÀUÀ¼À UÀt

8. PÉ¼ÀV£À UÀtUÀ¼À°è ¸ÀªÀiÁ£ÀUÀt AiÀiÁªÀÅzÀÄ?

(i) A = {2, 4, 6, 8, 10}, B = {1, 3, 5, 7, 9}

(ii) X = { : ,1 6}, { :x x x Y x xN 1 1! = JA§ÄzÀÄ EAVèµï ªÀtðªÀiÁ¯ÉAiÀÄ°è£À ¸ÀégÀ}

(iii) P = {x : x JA§ÄzÀÄ C«¨sÁdå ¸ÀASÉå ªÀÄvÀÄÛ x5 231 1 }

Q = { : , 0 5x x xW 1! # }

9. PÉ¼ÀV£À UÀtUÀ¼À°è ¸ÀªÀÄUÀt AiÀiÁªÀÅzÀÄ?

(i) A = {1, 2, 3, 4}, B = {4, 3, 2, 1}

16

CzsÁåAiÀÄ1 U

ÀtÂvÀ±Á

¸ÀÛç

(ii) A = {4, 8, 12, 16}, B = {8, 4, 16, 18}

(iii) X = {2, 4, 6, 8}, Y = {x : x JA§ÄzÀÄ zsÀ£ÁvÀäPÀ ¸Àj ¥ÀÆuÁðAPÀ 0 < x < 10}

(iv) P = {x : x JA§ÄzÀÄ 10gÀ C¥ÀªÀvÀåð, x N! }, Q = {10, 15, 20, 25 30, .... }

10. PÉ¼ÀV£À UÀtUÀ¼À°è ¸ÀªÀÄ UÀtUÀ¼À£ÀÄß DAiÉÄÌ ªÀiÁrj.

A = {12, 14, 18, 22}, B = {11, 12, 13, 14}, C = {14, 18, 22, 24}

D = {13, 11, 12, 14}, E = { ,11 11- }, F = {10, 19}, G = { ,11 11- }, H = {10, 11}

11. { }Q Q= DUÀÄªÀÅzÉÃ? KPÉ?

12. PÉ¼ÀV£À AiÀiÁªÀ UÀtUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀÄ UÀtUÀ¼ÀÄ? PÁgÀt w½¹j.

, {0}, { }Q Q

13. SÁ° ©lÖ ¸ÀÜ¼ÀUÀ½UÉ 3 CxÀªÁ M UÀ¼À£ÀÄß vÀÄA§ÄªÀÅzÀgÀ ªÀÄÆ®PÀ ¥ÀæwAiÉÆAzÀ£ÀÄß ¤d ºÉÃ½PÉUÀ¼ÁV

ªÀiÁrj.

(i) {3} ----- {0, 2, 4, 6} (ii) {a } ----- {a, b, c}

(iii) {8, 18} ----- {18, 8} (iv) {d} ----- {a, b, c}

14. { , , , , , }X 3 2 1 0 1 2= - - - ªÀÄvÀÄÛ Y={x : x JA§ÄzÀÄ ¥ÀÆuÁðAPÀ ªÀÄvÀÄÛ -3≤x<2} DzÀgÉ,

(i) X JA§ÄzÀÄ Y £À G¥ÀUÀtªÉÃ? (ii) Y JA§ÄzÀÄ X £À G¥ÀUÀtªÉÃ?

15. A = {x : x JA§ÄzÀÄ 3jAzÀ ¨sÁV¸À®àqÀÄªÀ zsÀ£ÁvÀäPÀ ¥ÀÆuÁðAPÀ} JA§ÄzÀÄ

B = {x : x JA§ÄzÀÄ 5gÀ C¥ÀªÀvÀåð, x N! } gÀ G¥ÀUÀtªÉÃ JA§ÄzÀ£ÀÄß ¥ÀjÃQë¹j.

16. PÉ¼ÀV£À UÀtUÀ½UÉ WÁvÀUÀtUÀ¼À£ÀÄß §gÉ¬Äj.

(i) a = {x, y} (ii) X = {a, b, c} (iii) a = {5, 6, 7, 8} (iv) A Q=

17. PÉ¼ÀV£À UÀtUÀ½UÉ G¥ÀUÀt ªÀÄvÀÄÛ ¤²ÑvÀ G¥ÀUÀtUÀ¼À ¸ÀASÉåAiÀÄ£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.

(i) A = {13, 14, 15, 16, 17, 18} (ii) B = { , , , , , , }a b c d e f g

(iii) X = { : , }x x xW Ng!

18. (i) A Q= DzÀgÉ, ( )n P A6 @ AiÀÄ£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.

(ii) n(a)=3 DzÀgÉ, ( )n P A6 @ AiÀÄ£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.

(iii) ( )n P A 512=6 @ DzÀgÉ, n(a) £ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.

(iv) ( )n P A 1024=6 @ DzÀgÉ, n(a) £ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.

19. ( )n P A 1=6 @ DzÀgÉ, A UÀtzÀ §UÉÎ ¤ÃªÉÃ£ÀÄ ºÉÃ¼ÀÄ«j?

17


UÀtÂvÀ±Á

¸ÀÛç

20. A = {x : x JA§ÄzÀÄ ¸Áé¨sÁ«PÀ ¸ÀASÉå < 11}

B = {x : x JA§ÄzÀÄ ¸Àj¸ÀASÉå ªÀÄvÀÄÛ 1 < x < 21}

C = {x : x JA§ÄzÀÄ ¥ÀÆuÁðAPÀ ªÀÄvÀÄÛ x15 25# # } DVgÀ°.

(i) A, B, C UÀ¼À UÀuÁA±ÀUÀ¼À£ÀÄß ¥ÀnÖ ªÀiÁrj.

(ii) n(A), n(B), n(C) UÀ¼À£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.

(iii) PÉ¼ÀV£À ºÉÃ½PÉUÀ¼ÀÄ ¸ÀjAiÉÄÃ (t) CxÀªÁ vÀ¥ÉàÃ (F) w½¹j.

(a) B7 ! (b) 16 Ag

(c) { , , } C15 20 25 1 (d) { , } B10 12 1

1.5 UÀtUÀ¼À ªÉÄÃ°£À QæAiÉÄUÀ¼ÀÄ (SET OPERATIONS)

1.5.1 ªÉ£ï £ÀPÉëUÀ¼ÀÄ (Venn Diagrams)

£ÁªÀÅ eÁå«ÄwAiÀÄ°è £ÀPÉëUÀ¼ÀÄ CxÀªÁ avÀæUÀ¼À£ÀÄß

G¥ÀAiÉÆÃV¹ MAzÀÄ ¸ÀAzÀ¨sÀð CxÀªÁ MAzÀÄ ¥ÀjPÀ®à£ÉAiÀÄ£ÀÄß

«ªÀj¸ÀÄvÉÛÃªÉ ªÀÄvÀÄÛ CzÀ£ÀÄß ÀªÀÄ¸ÉåUÀ¼À£ÀÄß ¥ÀjºÀj¸À®Ä §¼À¸ÀÄvÉÛÃªÉ.

UÀtÂvÀ±Á¸ÀÛçzÀ°è £ÁªÀÅ ªÉ£ï £ÀPÉëUÀ¼À ªÀÄÆ®PÀ ¥Àæw¤¢ü¸ÀÄªÀÅzÀ£ÀÄß

PÀ°AiÉÆÃt.

1.5.2 «±Àé UÀt (The Universal Set)

PÉ®ªÀÅ ¸ÀAzÀ¨sÀðzÀ°è PÉÆnÖgÀÄªÀ ZÀZÉðUÉ J¯Áè zsÁvÀÄUÀ¼À£ÀÄß M¼ÀUÉÆArgÀÄªÀ UÀtªÀ£ÀÄß ¥ÀjUÀtÂ¸ÀÄªÀÅzÀÄ

¸ÀÆPÀÛªÁzÀÄzÁVzÉ.

ªÀÄÄRå ¥ÀjPÀ®à£É «±Àé UÀt

MAzÀÄ UÀtªÀ£ÀÄß ¥ÀjUÀtÂ¸À®àqÀÄªÀ G½zÉ¯Áè UÀtUÀ¼ÀÄ CzÀgÀ G¥ÀUÀtUÀ¼ÁzÁUÀ «±Àé

UÀt J£ÀÄßvÉÛÃªÉ. «±Àé UÀtªÀ£ÀÄß U CxÀªÁ p jAzÀ ¸ÀÆa¸ÀÄvÉÛÃªÉ.

GzÁºÀgÀuÉUÉ,

¥Àæ¸ÀÄÛvÀ ZÀZÉðAiÀÄ°ègÀÄªÀ zsÁvÀÄUÀ¼ÀÄ ¥ÀÆuÁðAPÀUÀ¼ÁzÀgÉ, «±Àé UÀt U JA§ÄzÀÄ ¥ÀÆuÁðAPÀUÀ¼À UÀtªÁVzÉ.

CAzÀgÉ, { : }U n n Zd= .

¸ÀªÀÄ¸Éå¬ÄAzÀ ¸ÀªÀÄ¸ÉåUÉ «±ÀéUÀtªÀÅ §zÀ¯ÁªÀuÉAiÀiÁUÀ§ºÀÄzÀÄ.UÀªÀÄ¤¹j

©ænÃµï UÀtÂvÀ±Á¸ÀÛçdÐgÁzÀ eÁ£ï

ªÉ£ï (1834-1883) gÀªÀgÀÄ UÀtUÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ

UÀtUÀ¼À ªÉÄÃ°£À QæAiÉÄUÀ¼À £ÀqÀÄ«£À ºÀ®ªÁgÀÄ

¸ÀA§AzsÀªÀ£ÀÄß ¥ÀævÀåQëÃPÀj¸À®Ä £ÀPÉëUÀ¼À ªÀÄÆ®PÀ

¥Àæw¤¢ü¸ÀÄªÀÅzÀ£ÀÄß G¥ÀPÀgÀtªÁV §¼À¹zÀgÀÄ.

eÁ£ï ªÉ£ï (1834-1883)

18

CzsÁåAiÀÄ1 U

ÀtÂvÀ±Á

¸ÀÛç

ªÉ£ï £ÀPÉëAiÀÄ°è, «±Àé UÀtªÀ£ÀÄß ¸ÁªÀiÁ£ÀåªÁV DAiÀÄvÁPÁgÀ¢AzÀ

¸ÀÆa¸ÀÄvÉÛÃªÉ ªÀÄvÀÄÛ EzÀgÀ ¤²ÑvÀ G¥ÀUÀtªÀ£ÀÄß ªÀÈvÀÛ¢AzÀ DAiÀÄvÁPÁgÀzÀ

M¼ÀUÀqÉ ÀÆa¸ÀÄvÉÛÃªÉ. avÀæzÀ M¼ÀUÀqÉ UÀuÁA±ÀUÀ¼À ºÉ¸ÀgÀÄUÀ¼À£ÀÄß §gÉAiÀÄÄvÉÛÃªÉ.

1.5.3 MAzÀÄ UÀtzÀ ¥ÀÆgÀPÀ UÀt (Complement of a Set)

ªÀÄÄRå ¥ÀjPÀ®à£É ¥ÀÆgÀPÀ UÀt

A U3 UÀtzÀ°è E®èzÀ, «±ÀéUÀtzÀ°è EgÀÄªÀ J¯Áè UÀuÁA±ÀUÀ¼À UÀtªÀ£ÀÄß A £À ¥ÀÆgÀPÀ UÀt J£ÀÄßvÉ ÛÃªÉ. A £À ¥ÀÆgÀPÀ UÀtªÀ£ÀÄß Al CxÀªÁ Ac JAzÀÄ

¸ÀÆa¸ÀÄvÉ ÛÃªÉ.


¸ÀAPÉÃvÀzÀ°è, Al ={x : x! U ªÀÄvÀÄÛ x ga}

GzÁºÀgÀuÉUÉ,

U = { , , , , , , , }a b c d e f g h ªÀÄvÀÄÛ A = { , , , }b d g h DVgÀ°.

DUÀ { , , , }A a c e f=l .

ªÉ£ï £ÀPÉëAiÀÄ°è Al, A UÀtzÀ ¥ÀÆgÀPÀ UÀtªÀ£ÀÄß ¥Àæw¤¢ü¸ÀÄªÀÅzÀ£ÀÄß

avÀæ 1.2 gÀ°è vÉÆÃj¸À¯ÁVzÉ.

(i) ( )A A=l l (ii) UQ =l (iii) U Q=l

1.5.4 JgÀqÀÄ UÀtUÀ¼À ¸ÀAAiÉÆÃUÀ (Union of Two Sets)

ªÀÄÄRå ¥ÀjPÀ®à£É UÀtUÀ¼À ¸ÀAAiÉÆÃUÀ

A ªÀÄvÀÄÛ B JgÀqÀÄ UÀtUÀ¼À ÀAAiÉÆÃUÀªÀÅ A UÀtzÀ°ègÀÄªÀ, E®èªÉÃ B UÀtzÀ°ègÀÄªÀ ªÀÄvÀÄÛ A ªÀÄvÀÄÛ B JgÀqÀÆ UÀtUÀ¼À°ègÀÄªÀ J¯Áè UÀuÁA±ÀUÀ¼À£ÀÆß M¼ÀUÉÆArgÀÄvÀÛzÉ. ¸ÁAPÉÃwPÀªÁV

A ªÀÄvÀÄÛ B UÀ¼À ¸ÀAAiÉÆÃUÀªÀ£ÀÄß A B, JAzÀÄ §gÉAiÀÄÄvÉÛÃªÉ.


, ¸ÀAAiÉÆÃUÀ

A B, AiÀÄ£ÀÄß ‘a ¸ÀAAiÉÆÃUÀ B’ JAzÀÄ NzÀ¨ÉÃPÀÄ.

¸ÁAPÉÃwPÀªÁV, A B, ={x : x !a CxÀªÁ x ! B} JAzÀÄ §gÉAiÀÄ¯ÁUÀÄªÀÅzÀÄ.

¸ÀÆZÀ£É

Al

3

1 5 6

4 7

8

A

U

avÀæ 1.1

A

U

Al (§tÚ ºÀaÑzÀ ¨sÁUÀ)avÀæ 1.2

a c

e fg

bd h

19


UÀtÂvÀ±Á

¸ÀÛç

GzÁºÀgÀuÉUÉ,

A = {11, 12, 13, 14} ªÀÄvÀÄÛ B = {9, 10, 12, 14, 15}

DVgÀ°. DUÀ A B, = {9, 10, 11, 12, 13, 14, 15}.

JgÀqÀÄ UÀtUÀ¼À ¸ÀAAiÉÆÃUÀªÀ£ÀÄß ªÉ£ï £ÀPÉëAiÀÄ

ªÀÄÆ®PÀ ¥Àæw¤¢ü¸ÀÄªÀÅzÀ£ÀÄß avÀæ 1.3gÀ°è vÉÆÃj¸À¯ÁVzÉ.

(i) A A A, = (ii) A A, Q = (iii) A A U, =l

(iv) aAiÀÄÄ U £À AiÀiÁªÀÅzÉÃ G¥ÀUÀtªÁzÀgÉ, DUÀ A U U, = .

(v) A B3 DzÀgÉ A B B, = DUÀÄvÀÛzÉ. EzÀgÀ «¯ÉÆÃªÀÄªÀÅ PÀÆqÀ ¸ÀvÀåªÁVzÉ.

(vi) A B B A, ,=

GzÁºÀgÀuÉ 1.12

PÉ¼ÀV£À UÀtUÀ¼À ¸ÀAAiÉÆÃUÀªÀ£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.

(i) A = {1, 2, 3, 5, 6} ªÀÄvÀÄÛ B = {4, 5, 6, 7, 8}.

(ii) {3,4,5}X = ªÀÄvÀÄÛ Y Q= .

¥ÀjºÁgÀ (i) A = {1, 2, 3, 5, 6} ªÀÄvÀÄÛ B = {4, 5, 6, 7, 8}

1, 2, 3, 5, 6 ; 4, 5, 6, 7, 8 (¥ÀÄ£ÀgÁªÀwðvÀ)

{ , , , , , , , }A B 1 2 3 4 5 6 7 8` , =

(ii) = {3,4,5}, Y Q= . Y £À°è AiÀiÁªÀÅzÉÃ UÀuÁA±À«®è.

{ , , }X Y 3 4 5` , =

1.5.5 JgÀqÀÄ UÀtUÀ¼À bÉÃzÀ£À (Intersection of Two Sets)

ªÀÄÄRå ¥ÀjPÀ®à£É UÀtUÀ¼À bÉÃzÀ£À

A ªÀÄvÀÄÛ B UÀtUÀ¼À bÉÃzÀ£À UÀtªÀÅ, A ªÀÄvÀÄÛ B UÀ¼ÉgÀqÀgÀ®Æè EgÀÄªÀ ¸ÁªÀiÁ£Àå

UÀuÁA±ÀUÀ½AzÁzÀ UÀtªÁVzÉ. ¸ÁAPÉÃwPÀªÁV EzÀ£ÀÄß A B+ JAzÀÄ ¸ÀÆa¸ÀÄvÉÛÃªÉ.


+ UÀtUÀ¼À bÉÃzÀ£À

A B+ AiÀÄ£ÀÄß ‘a bÉÃzÀ£À B’ JAzÀÄ NzÀ¨ÉÃPÀÄ.¸ÁAPÉÃwPÀªÁV, EzÀ£ÀÄß A B+ = {x : x !a ªÀÄvÀÄÛ x ! B} JAzÀÄ §gÉAiÀÄ¯ÁUÀÄªÀÅzÀÄ.

¸ÀÆZÀ£ÉÂ

aAw¹ ªÀÄvÀÄÛ GvÀÛj¹!( )A A B and,1 ªÀÄvÀÄÛ

( )B A B,1 JAzÀÄ £ÁªÀÅ ºÉÃ¼À§ºÀÄzÉÃ?

BU

A

A B, (§tÚ ºÀaÑzÀ ¨sÁUÀ)avÀæ 1.3

U11

13

910

15

1214

20

CzsÁåAiÀÄ1 U

ÀtÂvÀ±Á

¸ÀÛç

GzÁºÀgÀuÉUÉ,

A = { , , , , }a b c d e ªÀÄvÀÄÛ B = { , , , }a d e f DVgÀ°. { , , }A B a d e` + =

JgÀqÀÄ UÀtUÀ¼À bÉÃzÀ£ÀÀªÀ£ÀÄß ªÉ£ï £ÀPÉëAiÀÄ

ªÀÄÆ®PÀ ¥Àæw¤¢ü¸ÀÄªÀÅzÀ£ÀÄß avÀæ 1.4gÀ°è vÉÆÃj¸À¯ÁVzÉ.

(i) A A A+ = (ii) A + Q Q=

(iii) A A+ Q=l (iv) A B B A+ +=

(v) AAiÀÄÄ U £À AiÀiÁªÀÅzÉÃ G¥ÀUÀtªÁzÀgÉ,

DUÀ A U A+ = .

(vi) A B3 DzÀgÉ, A B A+ = DUÀÄvÀÛzÉ. EzÀgÀ «¯ÉÆÃªÀÄªÀÅ PÀÆqÀ ¸ÀvÀåªÁVzÉ.

GzÁºÀgÀuÉ 1.13 (i) A = { 10, 11, 12, 13}, B = {12, 13, 14, 15}

(ii) A = {5, 9, 11}, B = Q DzÀgÉ, A B+ £ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.

¥ÀjºÁgÀ (i) A = {10, 11, 12, 13} ªÀÄvÀÄÛ B = {12, 13, 14, 15}.

12 ªÀÄvÀÄÛ13, A ªÀÄvÀÄÛ B £À°è ¸ÁªÀiÁ£ÀåªÁVªÉ. ` A B+ = {12, 13}

(ii) A = {5, 9, 11} ªÀÄvÀÄÛ B = Q .

¸ÁªÀiÁ£ÀåªÁzÀ UÀuÁA±À«®è. DzÀÝjAzÀ A B+ Q=

B A3 DzÁUÀ, A ªÀÄvÀÄÛ B UÀtUÀ¼À ¸ÀAAiÉÆÃUÀ ªÀÄvÀÄÛ bÉÃzÀ£ÀUÀ¼À£ÀÄß ªÉ£ï £ÀPÉëAiÀÄ

ªÀÄÆ®PÀ ¥Àæw¤¢ü¸ÀÄªÀÅzÀ£ÀÄß PÀæªÀÄªÁV avÀæ 1.6 ªÀÄvÀÄÛ avÀæ 1.7 gÀ°è vÉÆÃj¸À¯ÁVzÉ.

1.5.6 ºÉÆAzÁtÂPÉ E®èzÀ (¥ÀævÉåÃPÀ) UÀtUÀ¼ÀÄ (Disjoint Sets)

ªÀÄÄRå ¥ÀjPÀ®à£É ºÉÆAzÁtÂPÉ E®èzÀ UÀtUÀ¼ÀÄ

A ªÀÄvÀÄÛ B UÀtUÀ¼À°è AiÀiÁªÀÅzÉÃ ¸ÁªÀiÁ£Àå UÀuÁA±ÀUÀ¼ÀÄ E®è¢zÀÝgÉ, D UÀtUÀ¼À£ÀÄß

ºÉÆAzÁtÂPÉ E®èzÀ UÀtUÀ¼ÀÄ J£ÀÄßvÉÛÃªÉ. E£ÉÆßAzÀÄ jÃwAiÀÄ°è A ªÀÄvÀÄÛ B UÀtUÀ¼ÀÄ

ºÉÆAzÁtÂPÉ E®èzÀ UÀtUÀ¼ÁzÀgÉ, DUÀ A B+ Q= .

¸ÀÆZÀ£É

UÀªÀÄ¤¹j

A

B B

A

B

A

B A3avÀæ 1.5

A B, (§tÚ ºÀaÑzÀ ¨sÁUÀ)avÀæ 1.6

A B+ (§tÚ ºÀaÑzÀ ¨sÁUÀ)avÀæ 1.7

aAw¹ ªÀÄvÀÄÛ GvÀÛj¹!( )A B A and+ 1 ªÀÄvÀÄÛ

( )A B B+ 1 JAzÀÄ £ÁªÀÅ ºÉÃ¼À§ºÀÄzÉÃ?

BU

A


bf

c

ade

21


UÀtÂvÀ±Á

¸ÀÛç

GzÁºÀgÀuÉUÉ,

{ , , , }A 5 6 7 8= ªÀÄvÀÄÛ B = {11, 12, 13} UÀtUÀ¼À£ÀÄß ¥ÀjUÀtÂ¹. A B+ Q= . DzÀÝjAzÀ A ªÀÄvÀÄÛ B UÀtUÀ¼ÀÄ ºÉÆAzÁtÂPÉ E®èzÀ UÀtUÀ¼ÁVªÉ.

JgÀqÀÄ ºÉÆAzÁtÂPÉ E®èzÀ UÀtUÀ¼ÁzÀ A ªÀÄvÀÄÛ B UÀ¼À£ÀÄß ªÉ£ï £ÀPÉëAiÀÄ ªÀÄÆ®PÀ ¥Àæw¤¢ü¸ÀÄªÀÅzÀ£ÀÄß avÀæ 1.8 gÀ°è vÉÆÃj¸À¯ÁVzÉ.

(i) JgÀqÀÄ ºÉÆAzÁtÂPÉ E®èzÀ UÀtUÀ¼ÁzÀ A ªÀÄvÀÄÛ B UÀ¼À ¸ÀAAiÉÆÃUÀªÀ£ÀÄß ªÉ£ï £ÀPÉëAiÀÄ ªÀÄÆ®PÀ ¥Àæw¤¢ü¸ÀÄªÀÅzÀ£ÀÄß

avÀæ 1.9gÀ°è vÉÆÃj¸À¯ÁVzÉ.

(ii) A B+ Q! DzÀgÉ, A ªÀÄvÀÄÛ B JgÀqÀÄ UÀtUÀ¼À£ÀÄß

C¢üªÁå¥À£Á UÀtUÀ¼ÉAzÀÄ ºÉÃ¼ÀÄvÉÛÃªÉ.

GzÁºÀgÀuÉ 1.14

A = {4, 5, 6, 7} ªÀÄvÀÄÛ B = {1, 3, 8, 9} DzÀgÉ, A B+ £ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.

¥ÀjºÁgÀ A = {4, 5, 6, 7} ªÀÄvÀÄÛ B = {1, 3, 8, 9}. DzÀÝjAzÀ A B+ Q= .

EzÀjAzÀ A ªÀÄvÀÄÛ B UÀtUÀ¼ÀÄ ºÉÆAzÁtÂPÉ E®èzÀ UÀtUÀ¼ÁVªÉ.

1.5.7 JgÀqÀÄ UÀtUÀ¼À ªÀåvÁå¸À (Difference of Two Sets)

ªÀÄÄRå ¥ÀjPÀ®à£É UÀtUÀ¼À ªÀåvÁå¸À

JgÀqÀÄ UÀtUÀ¼ÀÄ A ,B £À°è, B UÀtPÉÌ ÉÃj®èzÀ, DzÀgÉ a UÀtzÀ°è EgÀÄªÀ UÀuÁA±ÀUÀ¼À£ÀÄß vÉUÉzÀÄPÉÆAqÁUÀ

GAmÁzÀ UÀtªÉÃ UÀtUÀ¼À ªÀåvÁå¸ÀªÁVzÉ. EzÀ£ÀÄß A B- CxÀªÁ \A B ¬ÄAzÀ ÀÆa¸ÀÄvÉÛÃªÉ.


A B- CxÀªÁ \A B A ªÀåvÁå¸À B

¸ÁAPÉÃwPÀªÁV, A B- ={x : x !a ªÀÄvÀÄÛ x gB}

EzÉÃ jÃw, B-a= {x : x !B ªÀÄvÀÄÛ x ga}

GzÁºÀgÀuÉUÉ,

A = {2, 3, 5, 7, 11} ªÀÄvÀÄÛ B = {5, 7, 9, 11, 13} DzÀgÉ, A B- £ÀÄß PÀAqÀÄ»rAiÀÄ®Ä a UÀt¢AzÀ B UÀtzÀ UÀuÁA±ÀUÀ¼À£ÀÄß vÉUÉAiÀÄ¨ÉÃPÀÄ. {2, 3}A B` - = .

A

U

B

ºÉÆAzÁtÂPÉ E®èzÀ UÀtUÀ¼ÀÄ

avÀææ 1.8

B

U

A

A B, (§tÚ ºÀaÑzÀ ¨sÁUÀ)avÀæ1.9

¸ÀÆZÀ£É

22

CzsÁåAiÀÄ1 U

ÀtÂvÀ±Á

¸ÀÛç

(i) ¸ÁªÀiÁ£ÀåªÁV, A B B A!- - . (ii) A B B A A B+- = - =

(iii) U A A- = l (iv) U A A- =l (v) A AQ- =

A ªÀÄvÀÄÛ B JA§ JgÀqÀÄ UÀtUÀ¼À ªÀåvÁå¸ÀªÀ£ÀÄß ªÉ£ï £ÀPÉëAiÀÄ ªÀÄÆ®PÀ ¥Àæw¤¢ü¸ÀÄªÀÅzÀ£ÀÄß avÀæ 1.10

ªÀivÀÄÛ avÀæ 1.11 gÀ°è vÉÆÃj¸À¯ÁVzÉ. §tÚ ºÀaÑzÀ ¨sÁUÀªÀÅ JgÀqÀÄ UÀtUÀ¼À ªÀåvÁå¸ÀªÀ£ÀÄß ¥Àæw¤¢ü¸ÀÄvÀÛzÉ.

GzÁºÀgÀuÉ 1.15

{ 2, 1,0,3,4}, { 1,3,5}A B= - - = - DzÀgÉ, (i) A B- (ii) B A- £ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.

¥ÀjºÁgÀ A = { , , , , }2 1 0 3 4- - ªÀivÀÄÛ B = { , , }1 3 5- .

(i) A B- = { , , }2 0 4- (ii) B A- = { 5 }

1.5.8 UÀtUÀ¼À ¸ÀªÀÄ«Äw ªÀåvÁå¸À (Symmetric Difference of Sets)

ªÀÄÄRå ¥ÀjPÀ®à£É UÀtUÀ¼À ¸ÀªÀÄ«Äw ªÀåvÁå¸À

A ªÀÄvÀÄÛ B UÀtUÀ¼ÀÀ ¸ÀªÀÄ«Äw ªÀåvÁå¸ÀªÀÅ D JgÀqÀÄ UÀtUÀ¼À ªÀåvÁå¸ÀUÀ¼À ¸ÀAAiÉÆÃUÀ

UÀtªÁVgÀÄvÀÛzÉ. EzÀ£ÀÄß A BD JAzÀÄ ¸ÀÆa¸ÀÄvÉÛÃªÉ.


A BD A ¸ÀªÀÄ«Äw B

DUÀ, ( ) ( )A B A B B A,D = - -

GzÁºÀgÀuÉUÉ,

A = { , , , }a b c d ªÀÄvÀÄÛ B = { , , , }b d e f UÀtUÀ¼À£ÀÄß ¥ÀjUÀtÂ¹j.

A B- = {a, c} ªÀÄvÀÄÛ B A- = {e, f }.

( ) ( )A B A B B A` ,D = - - = { , , , }a c e f

A ªÀÄvÀÄÛ B UÀtUÀ¼ÀÀ ¸ÀªÀÄ«Äw ªÀåvÁå¸ÀªÀ£ÀÄß ªÉ£ï £ÀPÉëAiÀÄ

ªÀÄÆ®PÀ ¥Àæw¤¢ü¸ÀÄªÀÅzÀ£ÀÄß avÀæ 1.12 gÀ°è vÉÆÃj¸À¯ÁVzÉ. §tÚ ºÀaÑzÀ

¨sÁUÀªÀÅ A ªÀÄvÀÄÛ B UÀtUÀ¼ÀÀ ¸ÀªÀÄ«Äw ªÀåvÁå¸ÀªÀ£ÀÄß ¥Àæw¤¢ü¸ÀÄvÀÛzÉ.

¸ÀÆZÀ£É

BU

A

A -BavÀæ 1.10

B

U

A

B -AavÀæ 1.11

( ) ( )A B A B B A3 ,= - - avÀæ 1.12

23


UÀtÂvÀ±Á

¸ÀÛç

(i) A A3 Q= (ii) A B B A3 3=

(iii) 1.12 ªÉ£ï £ÀPÉë¬ÄAzÀ, :A B x x A B3 +g= " , JAzÀÄ §gÉAiÀÄ§ºÀÄzÀÄ. DzÀÝjAzÀ,

a ªÀÄvÀÄÛ B UÀ¼À°è ¸ÁªÀiÁ£ÀåªÁVgÀzÀ UÀuÁA±ÀUÀ¼À£ÀÄß ¥ÀnÖªÀiÁqÀÄªÀÅzÀgÀ ªÀÄÆ®PÀ

A B3 AiÀÄ UÀuÁA±ÀUÀ¼À£ÀÄß PÀAqÀÄ»rAiÀÄ§ºÀÄzÀÄ.

GzÁºÀgÀuÉ 1.16

a = {2, 3, 5, 7, 11} ªÀÄvÀÄÛ B = {5, 7, 9, 11, 13} DzÀgÉ, A B3 AiÀÄ£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.

¥ÀjºÁgÀ a = {2, 3, 5, 7, 11} ªÀÄvÀÄÛ B = {5, 7, 9, 11, 13} JAzÀÄ PÉÆqÀ¯ÁVzÉ.

A B- = {2, 3} ªÀÄvÀÄÛ B A- = {9, 13}.

EzÀjAzÀ, A B3 = ( ) ( )A B B A,- - = {2, 3, 9, 13}

C¨sÁå¸À 1.21. F PÉ¼ÀV£À UÀtUÀ½UÉ A B, ªÀÄvÀÄÛ A B+ UÀ¼À£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.

(i) A = {0, 1, 2, 4, 6} ªÀÄvÀÄÛ B = { , , , , , }3 1 0 2 4 5- -

(ii) A = {2, 4, 6, 8} ªÀÄvÀÄÛ B = Q

(iii) A = { : , 5}x x xN! # ªÀÄvÀÄÛ B ={x : x JA§ÄzÀÄ 11QÌAvÀ PÀrªÉÄ¬ÄgÀÄªÀ C«¨sÁdå ¸ÀASÉå}

(iv) A ={x : x!n,2<x ≤ 7} ªÀÄvÀÄÛ B={x : x!W, 0 ≤ x ≤ 6}

2. A = {x : x JA§ÄzÀÄ 5gÀ C¥ÀªÀvÀåð, x # 30 ªÀÄvÀÄÛ x N! }

B = {1, 3, 7, 10, 12, 15, 18, 25} DzÀgÉ,

(i) A B, (ii) A B+ AiÀÄ£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.

3. X={x : x =2n, x ≤ 20 ªÀÄvÀÄÛ n!n} ªÀÄvÀÄÛ Y={x : x =4n, x ≤ 20 ªÀÄvÀÄÛ n!W} DzÀgÉ,

(i) X Y, (ii) X Y+ AiÀÄ£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.

4. U = {1, 2, 3, 6, 7, 12, 17, 21, 35, 52, 56},

P = {7 jAzÀ ¨sÁV¸À®àqÀÄªÀ ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ}, Q = {C«¨sÁdå ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ},

{ : }x x P Q+! UÀtzÀ UÀuÁA±ÀUÀ¼À£ÀÄß ¥ÀnÖªÀiÁrj.

5. F PÉ¼ÀV£À AiÀiÁªÀ UÀtUÀ¼ÀÄ ºÉÆAzÁtÂPÉ E®èzÀ UÀtUÀ¼ÀÄ JA§ÄzÀ£ÀÄß w½¹j.

(i) A = {2, 4, 6, 8} ; B = {x : x JA§ÄzÀÄ 10QÌAvÀ PÀrªÉÄ¬ÄgÀÄªÀ ¸Àj ¸ÀASÉå, x N! }

(ii) X = {1, 3, 5, 7, 9}, Y = {0, 2, 4, 6, 8, 10}

(iii) P = {x : x JA§ÄzÀÄ 15QÌAvÀ PÀrªÉÄ¬ÄgÀÄªÀ C«¨sÁdå ¸ÀASÉå}

Q = {x : x JA§ÄzÀÄ 2gÀ C¥ÀªÀvÀåð ªÀÄvÀÄÛ x < 16} (iv) R = { , , , , }, { , , , , }a b c d e S d e a b c=

¸ÀÆZÀ£É

24

CzsÁåAiÀÄ1 U

ÀtÂvÀ±Á

¸ÀÛç

6. (i) U = { : 0 10, }x x x W# # ! ªÀÄvÀÄÛ { :A x x= JA§ÄzÀÄ 3gÀ C¥ÀªÀvÀåð} DzÀgÉ, Al£ÀÄß

PÀAqÀÄ»r¬Äj.

(ii) U JA§ÄzÀÄ Áé¨sÁ«PÀ ÀASÉåUÀ¼À UÀt ªÀÄvÀÄÛ Al JA§ÄzÀÄ J¯Áè ÀAAiÀÄÄPÀÛ ÀASÉåUÀ¼À UÀtªÁzÀgÉ,

A K£ÀÄ?

7. U={ a,b,c,d,e,f,g,h}, a={a,b,c,d} ªÀÄvÀÄÛ B={b,d,f,g} DzÀgÉ, EªÀÅUÀ¼À£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.

(i) A B, (ii) ( )A B, l (iii) A B+ (iv) ( )A B+ l

8. { :1 10, }U x x x N# # != , A = {1, 3, 5, 7, 9} ªÀÄvÀÄÛ B = {2, 3, 5, 9, 10} DzÀgÉ, EªÀÅUÀ¼À£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj. (i) Al (ii) Bl (iii) A B,l l (iv) A B+l l

9. U = {3, 7, 9, 11, 15, 17, 18}, M = {3, 7, 9, 11} ªÀÄvÀÄÛ N = {7, 11, 15, 17}

DzÀgÉ, EªÀÅUÀ¼À£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj. (i) M N- (ii) N M- (iii) N M-l (iv) M N-l (v) ( )M M N+ - (vi) ( )N N M, - (vii) ( )n M N-

10. A = {3, 6, 9, 12, 15, 18}, B = {4, 8, 12, 16, 20}, C = {2, 4, 6, 8, 10, 12} ªÀÄvÀÄ Û D = {5, 10, 15, 20, 25} DzÀgÉ, EªÀÅUÀ¼À£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.

(i) A B- (ii) B C- (iii) C D- (iv) D A- (v) ( )n A C- (vi) ( )n B A-

11. U = {x : x JA§ÄzÀÄ 50QÌAvÀ PÀrªÉÄ¬ÄgÀÄªÀ zsÀ£ÁvÀäPÀ ¥ÀÆuÁðAPÀ}, A = {x : x JA§ÄzÀÄ

4jAzÀ ¨sÁV¸À®àqÀÄªÀ ¸ÀASÉå} ªÀÄvÀÄÛ B = {x : x £ÀÄß 14jAzÀ ¨sÁV¹zÁUÀ G½AiÀÄÄªÀ ±ÉÃµÀ 2}.

(i) U, A ªÀÄvÀÄÛ B £À UÀuÁA±ÀUÀ¼À£ÀÄß ¥ÀnÖªÀiÁrj.

(ii) A B, , A B+ , ( )n A B, , ( )n A B+ £ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.

12. F PÉ¼ÀV£À UÀtUÀ½UÉ ¸ÀªÀÄ«Äw ªÀåvÁå¸ÀªÀ£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.

(i) { , , , , }, { , , , , }X a d f g h Y b e g h k= =

(ii) { : 3 9, }, { : 5, }P x x x Q x x xN W1 1 1! != =

(iii) { , , , , , }, { , , , , , }A B3 2 0 2 3 5 4 3 1 0 2 3= - - = - - -

13. PÉ¼ÀV£À ¥Àæ±ÉßUÀ½UÉ ªÉ£ï £ÀPÉëAiÀÄ£ÀÄß G¥ÀAiÉÆÃV¹ GvÀÛj¹.

(i) U, E, F, E F, ªÀÄvÀÄÛ E F+ £À UÀuÁA±ÀUÀ¼À£ÀÄß

¥ÀnÖªÀiÁrj.

(ii) ( )n U , ( )n E F, ªÀÄvÀÄÛ ( )n E F+ £ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.

14. PÉ¼ÀV£À ¥Àæ±ÉßUÀ½UÉ ªÉ£ï £ÀPÉëAiÀÄ£ÀÄß G¥ÀAiÉÆÃV¹ GvÀÛj¹.

(i) U, G ªÀÄvÀÄÛ H £ÀÄß ¥ÀnÖªÀiÁrj.

(ii) Gl, H l, G H+l l, ( )n G H, l ªÀÄvÀÄÛ ( )n G H+ l UÀ¼À£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.

3

E

U

F

10

1

2

4

7

9

11

5

G

UH

9

1

4

8

2

6

10

3

avÀæ 1.13

avÀæ 1.14

25


UÀtÂvÀ±Á

¸ÀÛç

1.6 ªÉ£ï £ÀPÉëAiÀÄ£ÀÄß G¥ÀAiÉÆÃV¹PÉÆAqÀÄ UÀtUÀ¼À ªÉÄÃ°£À QæAiÉÄUÀ¼À£ÀÄß ¥Àæw¤¢ü¸ÀÄªÀÅzÀÄ

UÀtUÀ¼À ªÉÄÃ°£À QæAiÉÄUÀ¼À E£ÀÆß PÉ®ªÀÅ ¥Àæw¤¢üPÀgÀtUÀ¼À£ÀÄß ªÉ£ï £ÀPÉëUÀ¼À°è ¤ÃqÀ¯ÁVzÉ.

(a) A B, (b) A B, l^ h

(c) A B,l l

EzÉÃ jÃw §tÚ ºÀaÑzÀ ¥ÀæwAiÉÆAzÀÄ ¨sÁUÀªÀÅ PÉ¼ÀV£À UÀtUÀ¼À£ÀÄß ¥Àæw¤¢ü¸ÀÄvÀÛzÉ.

B

U

A

U

A B

A B,l l (§tÚ ºÀaÑzÀ ¨sÁUÀ)avÀæ 1.17

U

BA U

BA

ºÀAvÀ 1 : Al ¨sÁUÀzÀ°è §tÚ ºÀaÑj.

ºÀAvÀ 2 : Bl ¨sÁUÀzÀ°è §tÚ ºÀaÑj.

U

BA

BU

A B

U

A


A B+ l^ h (§tÚ ºÀaÑzÀ ¨sÁUÀ)avÀæ 1.19

A B+l (§tÚ ºÀaÑzÀ ¨sÁUÀ)avÀæ 1.21

B

U

AB

U

A

A B+ l (§tÚ ºÀaÑzÀ ¨sÁUÀ)avÀæ 1.20.

avÀæ 1.15 avÀæ 1.16

26

CzsÁåAiÀÄ1 U

ÀtÂvÀ±Á

¸ÀÛç

£ÁªÀÅ PÉ¼ÀV£À HºÉAiÀÄ£ÀÄß §¼À¹ UÀtUÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ

UÀtUÀ¼À ªÉÄÃ°£À QæAiÉÄUÀ¼À£ÀÄß ªÉ£ï £ÀPÉë¬ÄAzÀ

¥Àæw¤¢ü¸À§ºÀÄzÀÄ.

avÀæ 1.22 gÀ°è A ªÀÄvÀÄÛ B UÀtUÀ¼ÀÄ «±Àé UÀtªÀ£ÀÄß £Á®ÄÌ

¨sÁUÀUÀ¼ÁV «AUÀr¸ÀÄvÀÛªÉ. F £Á®ÄÌ ¨sÁUÀUÀ¼À£ÀÄß ¸ÀASÉåUÉÆ½¸À¯ÁVzÉ. ¨sÁUÀ 1 A ªÀÄvÀÄÛ B UÀtUÀ¼ÉgÀqÀ£ÀÄß ºÉÆgÀvÀÄ¥Àr¹zÀ UÀuÁA±ÀUÀ¼À£ÀÄß M¼ÀUÉÆArzÉ.

¨sÁUÀ 2 B UÀtªÀ£ÀÄß ºÉÆgÀvÀÄ¥Àr¹ A UÀtzÀ UÀuÁA±ÀªÀ£ÀÄß M¼ÀUÉÆArzÉ.

¨sÁUÀ 3 A ªÀÄvÀÄÛ B UÀtUÀ¼À ¸ÁªÀiÁ£Àå UÀuÁA±ÀªÀ£ÀÄß M¼ÀUÉÆArzÉ.

¨sÁUÀ 4 A UÀtªÀ£ÀÄß ºÉÆgÀvÀÄ¥Àr¹ B UÀtzÀ UÀuÁA±ÀªÀ£ÀÄß M¼ÀUÉÆArzÉ.

GzÁºÀgÀuÉ 1.17 ¥ÀPÀÌzÀ°è vÉÆÃj¹gÀÄªÀAvÉ ªÉ£ï £ÀPÉëAiÀÄ£ÀÄß §gÉ¬Äj ªÀÄvÀÄÛ PÉ¼ÀV£À UÀtUÀ¼ÀÄ

¥Àæw¤¢ü¸ÀÄªÀ ¨sÁUÀUÀ½UÉ §tÚ ºÀaÑj.

(i) Al (ii) Bl (iii) A B,l l (iv) ( )A B, l (v) A B+l l

¥ÀjºÁgÀ

(i) Al

(ii) Bl

(iii) A B,l l

A

U

B

2 3 4

1

B

U

A

U

BA

Al (§tÚ ºÀaÑzÀ ¨sÁUÀ)avÀæ 1.24

B

U

A

Bl (§tÚ ºÀaÑzÀ ¨sÁUÀ)avÀæ 1.25

B

U

A

A B,l l (§tÚ ºÀaÑzÀ ¨sÁUÀ)avÀæ 1.26

avÀæ 1.22

avÀæ 1.23

UÀªÀÄ¤¹j

§tÚ ºÀZÀÑ®Ä ¸ÀÄ½ªÀÅ

UÀt §tÚ ºÀaÑzÀ ¨sÁUÀ

Al 1 ªÀÄvÀÄÛ 4



Bl 1 ªÀÄvÀÄÛ 2





A B,l l 1, 2 ªÀÄvÀÄÛ 4

27


UÀtÂvÀ±Á

¸ÀÛç

(iv) ( )A B, l

(v) A B+l l

ªÀÄÄRå ¥sÀ°vÁA±ÀUÀ¼ÀÄ

A ªÀÄvÀÄÛ B UÀ¼ÀÄ AiÀiÁªÀÅzÉÃ JgÀqÀÄ ¥Àj«ÄvÀ UÀtUÀ¼ÁzÀgÉ, £ÀªÀÄUÉ F PÉ¼ÀV£À G¥ÀAiÀÄÄPÀÛ ¥sÀ°vÁA±ÀUÀ¼ÀÄ

¹UÀÄvÀÛªÉ.

(i) ( ) ( ) ( )n A n A B n A B+= - +

(ii) ( ) ( ) ( )n B n B A n A B+= - +

(iii) ( ) ( ) ( ) ( )n A B n A B n A B n B A, += - + + -

(iv) ( ) ( ) ( ) ( )n A B n A n B n A B, += + -

(v) ( ) ( ) ( ),n A B n A n B A Bwhen, + Q= + = DzÁUÀ, ( ) ( ) ( ),n A B n A n B A Bwhen, + Q= + =

(vi) ( ) ( ) ( )n A n A n U+ =l

GzÁºÀgÀuÉ 1.18

PÉÆnÖgÀÄªÀ ªÉ£ï £ÀPÉë¬ÄAzÀ PÉ¼ÀV£ÀªÀÅUÀ¼À£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.

(i) A (ii) B (iii) A B, (iv) A B+

ºÁUÀÆ ( ) ( ) ( ) ( )n A B n A n B n A B, += + - £ÀÄß ¥Àj²Ã°¹j.

¥ÀjºÁgÀ ªÉ£ï £ÀPÉë¬ÄAzÀ,

(i) A = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, (ii) B = {3, 6, 9,},

(iii) A B, = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} ªÀÄvÀÄÛ (iv) A B+ = {3, 6, 9}

U

A B

( )A B, l (§tÚ ºÀaÑzÀ ¨sÁUÀ)avÀæ 1.27

U

A B

A B+l l (§tÚ ºÀaÑzÀ ¨sÁUÀ)avÀæ 1.28

avÀæ 1.29

avÀæ 1.30



A B, 2, 3 ªÀÄvÀÄÛ 4

( )A B, l 1





A B+l l 1

A B+

28

CzsÁåAiÀÄ1 U

ÀtÂvÀ±Á

¸ÀÛç

( ) , ( ) , ( ) , ( )n A n B n A B n A B8 3 8 3, += = = = . FUÀ

( ) ( ) ( )n A n B n A B++ - = 8 3 3+ - = 8

EzÀjAzÀ, ( ) ( ) ( )n A n B n A B++ - = ( )n A B,

GzÁºÀgÀuÉ 1.19

PÉÆnÖgÀÄªÀ ªÉ£ï £ÀPÉë¬ÄAzÀ PÉ¼ÀV£ÀªÀÅUÀ¼À£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj. (i) A (ii) B (iii) A B, (iv) A B+ ºÁUÀÆ

( ) ( ) ( ) ( )n A B n A n B n A B, += + - AiÀÄ£ÀÄß ¥Àj²Ã°¹j.

¥ÀjºÁgÀ ªÉ£ï £ÀPÉë¬ÄAzÀ

(i) A = { , , , , , }a b d e g h , (ii) B = { , , , , , , }b c e f h i j ,

(iii) A B, = { , , , , , , , , ,a b c d e f g h i j} ªÀÄvÀÄÛ (iv) A B+ = { , , }b e h

DUÀ, ( ) 6, ( ) 7, ( ) 10, ( ) 3n A n B n A B n A B, += = = = . FUÀ

( ) ( ) ( )n A n B n A B++ - = 6 7 3+ - = 10

DzÀÝjAzÀ, ( ) ( ) ( )n A n B n A B++ - = ( )n A B,

GzÁºÀgÀuÉ 1.20

( ) 12, ( ) 17 ( ) 21n A n B n A Band ,= = = ªÀÄvÀÄÛ ( ) 12, ( ) 17 ( ) 21n A n B n A Band ,= = = DzÀgÉ, ( )n A B+ AiÀÄ£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.

¥ÀjºÁgÀ ( ) 12, ( ) 17 ( ) 21n A n B n A Band ,= = = ªÀÄvÀÄÛ ( ) 12, ( ) 17 ( ) 21n A n B n A Band ,= = = JAzÀÄ PÉÆqÀ¯ÁVzÉ.

( ) ( ) ( ) ( )n A B n A n B n A B, += + - JA§ ¸ÀÆvÀæzÀ ¸ÀºÁAiÀÄ¢AzÀ,

( )n A B+ = 12 17 21+ - = 8

GzÁºÀgÀuÉ 1.21

MAzÀÄ ¥ÀlÖtzÀ°è 65% d£ÀgÀÄ vÀ«Ä¼ÀÄ ¹¤ªÀiÁUÀ¼À£ÀÄß ªÀÄvÀÄÛ 40% d£ÀgÀÄ EAVèµï ¹¤ªÀiÁUÀ¼À£ÀÄß

«ÃPÀë¸ÀÄvÁÛgÉ. 20% d£ÀgÀÄ vÀ«Ä¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ EAVèµï JgÀqÀÆ ¹¤ªÀiÁUÀ¼À£ÀÄß «ÃQë¸ÀÄvÁÛgÉ. EªÉgÀqÀgÀ°è AiÀiÁªÀÅzÉÃ

¹¤ªÀiÁUÀ¼À£ÀÄß «ÃQë¸ÀzÀ ±ÉÃPÀqÁªÁgÀÄ d£ÀgÀ£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.

¥ÀjºÁgÀ ¥ÀlÖtzÀ°ègÀÄªÀ d£À¸ÀASÉå 100 DVgÀ°. T JA§ÄzÀÄ vÀ«Ä¼ÀÄ ¹¤ªÀiÁ «ÃQë¸ÀÄªÀ d£ÀgÀ UÀt ªÀÄvÀÄÛ

E JA§ÄzÀÄ EAVèµï ¹¤ªÀiÁ «ÃQë¸ÀÄªÀ d£ÀgÀ UÀtªÁzÀgÉ, ( ) , ( ) , ( )n T n E n T E65 40 20+= = =

DzÁUÀ JgÀqÀÆ avÀæUÀ¼À£ÀÆß «ÃQë¸ÀÄªÀ d£ÀgÀ ¸ÀASÉåAiÀÄÄ,

( )n T E, = ( ) ( ) ( )n T n E n T E++ -

= 65 40 20+ - = 85

DzÀÝjAzÀ, AiÀiÁªÀÅzÉÃ JgÀqÀÆ ¹¤ªÀiÁªÀ£ÀÄß «ÃQë¸ÀzÀ d£ÀgÀ ¸ÀASÉåAiÀÄÄ 100 85- = 15

DzÀÝjAzÀ, AiÀiÁªÀÅzÉÃ JgÀqÀÆ ¹¤ªÀiÁªÀ£ÀÄß «ÃQë¸ÀzÀ d£ÀgÀ ±ÉÃPÀqÀªÀÅ 15 DVzÉ.

A

U

Ba

d

g

b

e

h

c

fi

j

avÀæ 1.31

a B

29


UÀtÂvÀ±Á

¸ÀÛç

¥ÀAiÀiÁðAiÀÄ «zsÁ£À

ªÉ£ï £ÀPÉë¬ÄAzÀ, JgÀqÀÆ ¹¤ªÀiÁUÀ¼À°è AiÀiÁªÀÅzÁzÀgÉÆAzÀÄ

¹¤ªÀiÁªÀ£ÀÄß «ÃQë¸ÀÄªÀ d£ÀgÀ ±ÉÃPÀqÀªÀÅ= 45 + 20 + 20 = 85

DzÀÝjAzÀ, EªÀÅUÀ¼À°è AiÀÄªÀÅzÉÃ ¹¤ªÀiÁªÀ£ÀÄß «ÃQë¸ÀzÀ d£ÀgÀ

±ÉÃPÀqÀªÀÅ = 100 - 85 = 15

GzÁºÀgÀuÉ 1.22

1000 PÀÄlÄA§UÀ¼À ¸À«ÄÃPÉëAiÀÄ°è 484 PÀÄlÄA§UÀ¼ÀÄ «zÀÄåvï M¯ÉUÀ¼À£ÀÄß, 552 PÀÄlÄA§UÀ¼ÀÄ C¤®

M¯ÉUÀ¼À£ÀÄß G¥ÀAiÉÆÃV¸ÀÄªÀÅzÀÄ PÀAqÀÄ§A¢zÉ. J¯Áè PÀÄlÄA§UÀ¼ÀÄ PÀ¤µÀ× AiÀiÁªÀÅzÁzÀgÉÆAzÀÄ M¯ÉAiÀÄ£ÀÄß

§¼À¹zÀgÉ, JgÀqÀÆ M¯ÉUÀ¼À£ÀÄß G¥ÀAiÉÆÃV¸ÀÄªÀ PÀÄlÄA§UÀ¼À ¸ÀASÉå JµÀÄÖ?

¥ÀjºÁgÀ E JA§ÄzÀÄ «zÀåvï M¯ÉAiÀÄ£ÀÄß §¼À¸ÀÄªÀ PÀÄlÄA§UÀ¼À UÀtªÁVgÀ° ªÀÄvÀÄÛ G JA§ÄzÀÄ C¤®

M¯ÉAiÀÄ£ÀÄß §¼À¸ÀÄªÀ PÀÄlÄA§UÀ¼À UÀtªÁVgÀ°. DUÀ ( ) , ( ) , ( )n E n G n E G484 552 1000,= = = . JgÀqÀÆ M¯ÉUÀ¼À£ÀÄß §¼À¸ÀÄªÀ PÀÄlÄA§UÀ¼À ¸ÀASÉå x JA¢gÀ°. DUÀ ( )n E G x+ = .

¥À°vÁA±ÀUÀ¼À£ÀÄß G¥ÀAiÉÆÃV¹,

( ) ( ) ( ) ( )n E G n E n G n E G, += + -

1000 = x484 552+ -

x& = 1036 1000- = 36

DzÀÝjAzÀ, 36 PÀÄlÄA§UÀ¼ÀÄ JgÀqÀÆ M¯ÉUÀ¼À£ÀÄß §¼À¸ÀÄvÁÛgÉ.

¥ÀAiÀiÁðAiÀÄ «zsÁ£À

ªÉ£ï £ÀPÉë¬ÄAzÀ

x x x484 552- + + - = 1000

x1036& - = 1000

& x- = 36-

x = 36

DzÀÝjAzÀ, 36 PÀÄlÄA§UÀ¼ÀÄ JgÀqÀÆ M¯ÉUÀ¼À£ÀÄß §¼À¸ÀÄvÁÛgÉ.

GzÁºÀgÀuÉ 1.23

50 «zÁåyðUÀ½gÀÄªÀ vÀgÀUÀwAiÀÄ°è, ¥ÀæwAiÉÆ§â «zÁåyðAiÀÄÄ UÀtÂvÀzÀ°è CxÀªÁ «eÁÕ£ÀzÀ°è

CxÀªÁ JgÀqÀgÀ®Æè GwÛÃtðgÁVzÁÝgÉ. 10 «zÁåyðUÀ¼ÀÄ JgÀqÀgÀ®Æè ªÀÄvÀÄÛ 28 «zÁåyðUÀ¼ÀÄ «eÁÕ£ÀzÀ°èè

GwÛÃtðgÁVzÁÝgÉ. UÀtÂvÀzÀ°è JµÀÄÖ «zÁåyðUÀ¼ÀÄ GwÛÃtðgÁVzÁÝgÉ JA§ÄzÀ£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.

¥ÀjºÁgÀ M = UÀtÂvÀzÀ°è GwÛÃtðgÁzÀ «zÁåyðUÀ¼À UÀt,

S = «eÁÕ£ÀzÀ°è GwÛÃtðgÁzÀ «zÁåyðUÀ¼À UÀt DVgÀ°.

DUÀ, ( ) 28, ( ) 10n S n M S+= = , ( )n M S 50, = .

avÀæ 1.33

T E

45 20 20

avÀæ 1.32

t e

30

CzsÁåAiÀÄ1 U

ÀtÂvÀ±Á

¸ÀÛç

£ÀªÀÄUÉ n M S,^ h= n M n S n M S++ -^ ^ ^h h h

50 = n M 28 10+ -^ h & n M^ h = 32¥ÀAiÀiÁðAiÀÄ «zsÁ£À

ªÉ£ï £ÀPÉë¬ÄAzÀ x + 10 + 18 = 50

x = 50 28- = 22

UÀtÂvÀzÀ°è GwÛÃtðgÁzÀ «zÁåyðUÀ¼À ¸ÀASÉå= x + 10 = 22 + 10 = 32.

C¨sÁå¸À 1.3

1. PÉ¼ÀV£À UÀtUÀ¼À UÀuÁA±ÀUÀ¼À£ÀÄß PÉÆnÖgÀÄªÀ ªÉ£ï £ÀPÉëAiÀÄ°è ¸ÀÆPÀÛ ¸ÀÜ¼ÀzÀ°è ¸ÀÆa¹j.

U = {5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13}

M = {5, 8, 10, 11}, n = {5, 6, 7, 9, 10}

2. a ªÀÄvÀÄÛ B UÀ¼ÀÄ JgÀqÀÄ UÀtUÀ¼ÁzÀgÉ, a AiÀÄÄ 50 UÀuÁA±ÀUÀ¼À£ÀÄß, B AiÀÄÄ 65 UÀuÁA±ÀUÀ¼À£ÀÄß ªÀÄvÀÄÛ A B, AiÀÄÄ 100 UÀuÁA±ÀUÀ¼À£ÀÄß ºÉÆA¢zÀÝgÉ,

A B+ AiÀÄÄ JµÀÄÖ UÀuÁA±ÀUÀ¼À£ÀÄß ºÉÆA¢zÉ?

3. a ªÀÄvÀÄÛ B UÀ¼ÀÄ PÀæªÀÄªÁV 13 ªÀÄvÀÄÛ 16 UÀuÁA±ÀUÀ¼À£ÀÄß M¼ÀUÉÆArzÀÝgÉ, A B, £À°ègÀÄªÀ PÀ¤µÀ× ªÀÄvÀÄÛ UÀjµÀ× ¸ÀASÉåAiÀÄ UÀuÁA±ÀUÀ¼À£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj?

4. ( ) , ( ) , ( )n A B n A B n A5 35 13+ ,= = = , ( )n B AiÀÄ£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj?

5. ( ) , ( ) , ( ) , ( )n A n B n A B n A26 10 30 17,= = = =l , ( )n A B+ ªÀÄvÀÄÛ ( )n , AiÀÄ£ÀÄß

PÀAqÀÄ»r¬Äj.

6. ( ) , ( ) , ( ) , ( )n n A n A B n B38 16 12 20, += = = =l , ( )n A B, AiÀÄ£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.

7. a ªÀÄvÀÄÛ B UÀ¼ÀÄ JgÀqÀÄ ¥Àj«ÄvÀ UÀtUÀ¼ÁVgÀ°, , , .n A B n A B n A B30 180 60, +- = = =^ ^ ^h h h

JAzÁzÀgÉ, n B^ h AiÀÄ£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.

8. MAzÀÄ ¥ÀlÖtzÀ d£À¸ÀASÉåAiÀÄÄ 10000. EzÀgÀ°è 5400 ªÀåQÛUÀ¼ÀÄ a ¢£À¥ÀwæPÉAiÀÄ£ÀÄß ªÀÄvÀÄÛ 4700 ªÀåQÛUÀ¼ÀÄ B ¢£À¥ÀwæPÉAiÀÄ£ÀÄß NzÀÄvÁÛgÉ. 1500 ªÀåQÛUÀ¼ÀÄ JgÀqÀÆ ¢£À¥ÀwæPÉUÀ¼À£ÀÄß NzÀÄvÁÛgÉ. JgÀqÀÆ ¥ÀwæPÉUÀ¼À°è AiÀiÁªÀÅzÉÃ ¢£À¥ÀwæPÉAiÀÄ£ÀÄß NzÀzÀ ªÀåQÛUÀ¼À ¸ÀASÉåAiÀÄ£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.

9. MAzÀÄ ±Á¯ÉAiÀÄ°è, J¯Áè «zÁåyðUÀ¼ÀÄ ¥sÀÄmï¨Á¯ï CxÀªÁ ªÁ°¨Á¯ï CxÀªÁ JgÀqÀÆ DlªÀ£ÀÄß DqÀÄªÀgÀÄ. 300 «zÁåyðUÀ¼ÀÄ ¥sÀÄmï¨Á¯ï DqÀÄvÁÛgÉ, 270 «zÁåyðUÀ¼ÀÄ ªÁ°¨Á¯ï DqÀÄvÁÛgÉ ªÀÄvÀÄÛ

120 «zÁåyðUÀ¼ÀÄ JgÀqÀÆ DlªÀ£ÀÄß DqÀÄvÁÛgÉ. ºÁUÁzÀgÉ, PÉ¼ÀV£ÀªÀÅUÀ¼À£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.

(i) ¥sÀÄmï¨Á¯ï ªÀiÁvÀæ DqÀÄªÀ «zÁåyðUÀ¼À ¸ÀASÉå. (ii) ªÁ°¨Á¯ï ªÀiÁvÀæ DqÀÄªÀ «zÁåyðUÀ¼À ¸ÀASÉå.

(iii) ±Á¯ÉAiÀÄ°ègÀÄªÀ MlÄÖ «zÁåyðUÀ¼À ¸ÀASÉå.

M S

x 10 18

avÀæ 1.34

M S

N

U

M

avÀæ 1.35

M n

31


UÀtÂvÀ±Á

¸ÀÛç

10. MAzÀÄ ¥ÀjÃPÉëAiÀÄ°è 150 «zÁåyðUÀ¼ÀÄ EAVèµï CxÀªÁ UÀtÂvÀzÀ°è ¥ÀæxÀªÀÄ zÀeÉð CAPÀUÀ¼À£ÀÄß UÀ½¹zÁÝgÉ.

EzÀgÀ°è 50 «zÁåyðUÀ¼ÀÄ EAVèµï ªÀÄvÀÄÛ UÀtÂvÀ JgÀqÀgÀ®Æè ¥ÀæxÀªÀÄ zÀeÉðAiÀÄ£ÀÄß UÀ½¹zÁÝgÉ. 115

«zÁåyðUÀ¼ÀÄ UÀtÂvÀzÀ°è ¥ÀæxÀªÀÄ zÀeÉðAiÀÄ£ÀÄß UÀ½¹zÁÝgÉ. JµÀÄÖ «zÁåyðUÀ¼ÀÄ EAVèµï£À°è ªÀiÁvÀæ

¥ÀæxÀªÀÄ zÀeÉð CAPÀUÀ¼À£ÀÄß ¥ÀqÉ¢zÁÝgÉ?

11. 30 ªÀåQÛUÀ¼À UÀÄA¦£À°è, 10 d£ÀgÀÄ PÁ¦üAiÀÄ£ÀÄß vÉUÉzÀÄPÉÆ¼ÀîzÉ nÃAiÀÄ£ÀÄß vÉUÉzÀÄPÉÆ¼ÀÄîvÁÛgÉ. 18 d£À nÃ

ªÀiÁvÀæ vÉUÉzÀÄPÉÆ¼ÀÄîvÁÛgÉ. ¥Àæw ªÀåQÛAiÀÄÄ ¥Á¤AiÀÄUÀ¼À°è MAzÀ£ÀÄß vÉUÉzÀÄPÉÆAqÀgÉ, JµÀÄÖ d£À nÃAiÀÄ£ÀÄß

vÉUÉzÀÄPÉÆ¼ÀîzÉ PÁ¦üAiÀÄ£ÀÄß vÉUÉzÀÄPÉÆ¼ÀÄîvÁÛgÉ JA§ÄzÀ£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.

12. MAzÀÄ ºÀ½îAiÀÄ°è 60 PÀÄlÄA§UÀ½ªÉ. EzÀgÀ°è 28 PÀÄlÄA§UÀ¼ÀÄ vÀ«Ä¼À£ÀÄß ªÀiÁvÀæ ªÀÄvÀÄÛ 20

PÀÄlÄA§UÀ¼ÀÄ GzÀÄð ªÀiÁvÀæ ªÀiÁvÀ£ÁqÀÄvÁÛgÉ. JµÀÄÖ PÀÄlÄA§UÀ¼ÀÄ vÀ«Ä¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ GzÀÄð JgÀqÀ£ÀÆß

ªÀiÁvÀ£ÁqÀÄvÁÛgÉ?

13. MAzÀÄ ±Á¯ÉAiÀÄ°è 150 «zÁåyðUÀ¼ÀÄ 10£ÉÃ vÀgÀUÀw ¥ÀjÃPÉëAiÀÄ°è GwÛÃtðgÁVzÁÝgÉ. »jAiÀÄ ¥ËæqsÀ

²PÀëtzÀ°è 95 «zÁåyðUÀ¼ÀÄ UÀÄA¥ÀÄ 1 ªÀÄvÀÄÛ 82 «zÁåyðUÀ¼ÀÄ UÀÄA¥ÀÄ 2 PÉÌ Cfð ¸À°è¸ÀÄvÁÛgÉ. 20

«zÁåyðUÀ¼ÀÄ JgÀqÀgÀ°è AiÀiÁªÀÅzÁzÀgÉÆAzÀPÉÌ Cfð ¸À°è¹zÀÝgÉ, JµÀÄÖ d£À JgÀqÀÄ UÀÄA¦UÀÆ Cfð

¸À°è¸ÀÄvÁÛgÉ?

14. ¥Àæ¢Ã¥À£ÀÄ «zÀÄåvï PÀA¥É¤AiÀÄ°è MAzÀÄ «¨sÁUÀzÀ ªÀÄÄRå¸ÀÜ£ÁVzÁÝ£É. CªÀ£À «¨sÁUÀzÀ°ègÀÄªÀ

£ËPÀgÀgÀÄ GzÀÝzÀ ªÀÄgÀUÀ¼À£ÀÄß PÀvÀÛj¸ÀÄvÁÛgÉ CxÀªÁ PÀA§UÀ¼À£ÀÄß ºÀvÀÄÛvÁÛgÉ. ¥Àæ¢Ã¥À£ÀÄ PÀA¥É¤UÉ PÉ¼ÀV£À

«µÀAiÀÄUÀ¼À£ÀÄß EwÛÃZÉUÉ ªÀgÀ¢ ªÀiÁrzÀ£ÀÄ.

CªÀ£À «¨sÁUÀzÀ 100 £ËPÀgÀgÀ°è, 55 d£À GzÀÝzÀ ªÀÄgÀUÀ¼À£ÀÄß PÀvÀÛj¸À§®ègÀÄ, 50 d£À PÀA§UÀ¼À£ÀÄß

ºÀvÀÛ§®ègÀÄ, 11 d£À JgÀqÀ£ÀÆß ªÀiÁqÀ§®ègÀÄ, 6 d£À JgÀqÀ£ÀÆß ªÀiÁqÀ¯ÁgÀgÀÄ. ºÁUÁzÀgÉ F

ªÀiÁ»wAiÀÄÄ ¸ÀjAiÀiÁVzÉAiÉÄÃ?

15. a ªÀÄvÀÄÛ B UÀ¼ÀÄ JgÀqÀÄ UÀtUÀ¼ÁzÀgÉ, ( ) , ( )n A B x n B A x32 5- = + - = ªÀÄvÀÄÛ ( )n A B x+ = , ( ) ( )n A n B= DzÀgÉ, ªÉ£ï £ÀPÉë¬ÄAzÀ EzÀ£ÀÄß zÀÈµÁÖAwÃPÀj¹. (i) x £À ¨É¯É ªÀÄvÀÄÛ (ii) ( )n A B, AiÀÄ£ÀÄß ¯ÉQÌ¹j.

16. F PÉ¼ÀV£À PÉÆÃµÀÖPÀzÀ°è D±ÀÄ ¨sÁµÀt ªÀÄvÀÄÛ avÀæPÀ¯Á ¸ÀàzsÉðAiÀÄ°è ¨sÁUÀªÀ»¹zÀ ±Á¯ÉAiÀÄ «zÁåyðUÀ¼À

±ÉÃPÀqÀªÀ£ÀÄß vÉÆÃj¹zÉ.

¸ÀázsÉð D±ÀÄ ¨sÁµÀt avÀæPÀ¯É JgÀqÀgÀ®Æè

«zÁåyðUÀ¼À ±ÉÃPÀqÀ 55 45 20

F «µÀAiÀÄUÀ¼À£ÀÄß ¥Àæw¤¢ü¸ÀÄªÀ ªÉ£ï £ÀPÉëAiÀÄ£ÀÄß J¼É¬Äj ªÀÄvÀÄÛ EzÀ£ÀÄß G¥ÀAiÉÆÃV¹ ¨sÁUÀªÀ»¹zÀ

«zÁåyðUÀ¼À ±ÉÃPÀqÀªÀ£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.

(i) D±ÀÄ ¨sÁµÀt ¸ÀàzsÉðAiÀÄ°è ªÀiÁvÀæ ¨sÁUÀªÀ»¹zÀ «zÁåyðUÀ¼ÀÄ

(ii) avÀæPÀ¯Á ¸ÀàzsÉðAiÀÄ°è ªÀiÁvÀæ ¨sÁUÀªÀ»¹zÀ «zÁåyðUÀ¼ÀÄ

(iii) AiÀiÁªÀÅzÉÃ ¸ÀàzsÉðAiÀÄ°è ¨sÁUÀªÀ»¸ÀzÀ «zÁåyðUÀ¼ÀÄ

17. MAzÀÄ ºÀ½îAiÀÄ°è MlÄÖ d£ÀgÀ ¸ÀASÉåAiÀÄÄ 2500 DVzÉ. EªÀgÀ°è 1300 d£ÀgÀÄ A ªÀiÁzÀj

¸ÉÆÃ¥À£ÀÄß, 1050 d£ÀgÀÄ B ªÀiÁzÀj ¸ÉÆÃ¥À£ÀÄß ªÀÄvÀÄÛ 250 d£ÀgÀÄ JgÀqÀÆ ªÀiÁzÀj ¸ÉÆÃ¥À£ÀÄß G¥ÀAiÉÆÃV¸ÀÄvÁÛgÉ. F ¸ÉÆÃ¥ÀÄUÀ¼À£ÀÄß §¼À¸ÀzÀ d£ÀgÀ ±ÉÃPÀqÀªÀ£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.

32

CzsÁåAiÀÄ1 U

ÀtÂvÀ±Á

¸ÀÛç

C¨sÁå¸À 1.4

§ºÀÄ DAiÉÄÌ ªÀiÁzÀj ¥Àæ±ÉßUÀ¼ÀÄ.

1. , , ,A 5 5 6 7= "" , , DzÀgÉ, EªÀÅUÀ¼À°è AiÀiÁªÀÅzÀÄ ¸ÀjAiÀiÁVzÉ?

(a) , A5 6 !" , (B) A5 !" , (C) A7 !" , (D) A6 !" ,

2. , , ,X a b c d= "" , , DzÀgÉ, EªÀÅUÀ¼À°è AiÀiÁªÀÅzÀÄ X £À G¥ÀUÀtªÁVzÉ?

(a) ,a b" , (B) ,b c" , (C) ,c d" , (D) ,a d" ,

3. PÉ¼ÀV£À ºÉÃ½PÉUÀ¼À°è AiÀiÁªÀÅzÀÄ ¸ÀvÀåªÁVzÉ?

(i) AiÀiÁªÀÅzÉÃ UÀt A UÉ, A AiÀÄÄ A UÀtzÀ ¤²ÑvÀ G¥ÀUÀtªÁVzÉ.

(ii) AiÀiÁªÀÅzÉÃ UÀt A UÉ, Q AiÀÄÄ A UÀtzÀÀ G¥ÀUÀtªÁVzÉ.

(iii) AiÀiÁªÀÅzÉÃ UÀt A UÉ, A AiÀÄÄ A UÀtzÀ G¥ÀUÀtªÁVzÉ.

(a) (i) ªÀÄvÀÄÛ (ii) (B) (ii) ªÀÄvÀÄÛ (iii) (C) (i) ªÀÄvÀÄÛ (iii) (D) (i) (ii) ªÀÄvÀÄÛ (iii)

4. ¥Àj«ÄvÀ UÀt aAiÀÄÄ m UÀuÁA±ÀUÀ¼À£ÀÄß ºÉÆA¢zÀÝgÉ, ±ÀÆ£ÀåªÀ®èzÀ ¤²ÑvÀ G¥ÀUÀtUÀ¼À ¸ÀASÉåAiÀÄÄ (a) 2m (B) 2 1

m- (C) 2m 1- (D) 2(2 1)

m 1-

-

5. , ,10 11 12" , UÀtzÀÀ G¥ÀUÀtUÀ¼À ¸ÀASÉåAiÀÄÄ

(a) 3 (B) 8 (C) 6 (D) 7

6. PÉ¼ÀV£ÀªÀÅUÀ¼À°è AiÀiÁªÀÅzÀÄ ¸ÀjAiÀiÁVzÉ?

(a) : ,x x x1 Z2

Q!=- =" , (B) 0Q =

(C) 0Q = " , (D) Q Q= " ,

7. PÉ¼ÀV£ÀªÀÅUÀ¼À°è AiÀiÁªÀÅzÀÄ ¸ÀjAiÀiÁV®è?

(a) MAzÀÄ ¥Àj«ÄvÀ UÀtzÀ AiÀiÁªÀÅzÉÃ G¥ÀUÀtªÀÅ ¥Àj«ÄvÀ.

(B) : 8 8P x x= - =-" , JA§ÄzÀÄ MAzÀÄ KPÁA±À UÀt.

(C) ¥ÀæwAiÉÆAzÀÄ UÀtªÀÅ MAzÀÄ ¤²ÑvÀ G¥ÀUÀt.

(D) ¥ÀæwAiÉÆAzÀÄ ±ÀÆ£ÀåªÀ®èzÀ UÀtªÀÅ PÀ¤µÀ× JgÀqÀÄ G¥ÀUÀtªÀ£ÀÄß ºÉÆA¢zÉ. Q ªÀÄvÀÄÛ CzÉÃ UÀt.

8. EªÀÅUÀ¼À°è AiÀiÁªÀÅzÀÄ ¸ÀjAiÀiÁzÀ ºÉÃ½PÉAiÀiÁVzÉ?

(a) ,a bQ 3 " , (B) ,a bdQ " , (C) ,a a b!" ", , (D) ,a a b3 " ,

9. EªÀÅUÀ¼À°è AiÀiÁªÀÅzÀÄ ¥Àj«ÄvÀ UÀt?

(a) : ,x x x 5<Zd" , (B) : ,x x x 5Wd $" ,

(C) : ,x x x 10>Nd" , (D) {x : x JA§ÄzÀÄ C«¨sÁdå ¸ÀªÀÄ ¸ÀASÉå}

33


UÀtÂvÀ±Á

¸ÀÛç

10. , , ,A 5 6 7 8= " , DzÀgÉ, EªÀÅUÀ¼À°è AiÀiÁªÀÅzÀÄ ¸Àj¬Ä®è?

(a) AQ 3 (B) A A3 (C) 7,8,9 A3" , (D) A5 f" ,

11. A = {3, 4, 5, 6} ªÀÄvÀÄÛ B = {1, 2, 5, 6} DzÀgÉ, A B, =

(a) 1,2,3,4,5,6" , (B) 1,2,3,4,6" , (C) 1,2,5,6" , (D) 3,4,5,6" ,

12. : ,x x x 1Z2

d =" , UÀtzÀ UÀuÁA±ÀUÀ¼À ¸ÀASÉå

(a) 3 (B) 2 (C) 1 (D) 0

13. ,n X m=^ h n Y n=^ h ªÀÄvÀÄÛ n X Y p+ =^ h DzÀgÉ, n X Y, =^ h

(a) m n p+ + (B) m n p+ - (C) m p- (D) m n p- +

14. , , , , , , , , ,U 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10= " , ªÀÄvÀÄÛ , , , ,A 2 5 6 9 10= " , DzÀgÉ, Al =

(a) 2,5,6,9,10" , (B) Q (C) 1,3,5,10" , (D) 1,3,4,7,8" ,

15. A B3 DzÀgÉ, A – B AiÀÄÄ

(a) B (B) A (C) Q (D) B – A

16. A AiÀÄÄ B £À ¤²ÑvÀ G¥ÀUÀtªÁzÀgÉ, A B+ =

(a) A (B) B (C) Q (D) A B,

17. A AiÀÄÄ B £À ¤²ÑvÀ G¥ÀUÀtªÁzÀgÉ, A B, =

(a) A (B) Q (C) B (D) A B+

18. PÉÆnÖgÀÄªÀ ªÉ£ï £ÀPÉëAiÀÄ°è §tÚ ºÀaÑzÀ ¨sÁUÀªÀÅ ¥Àæw¤¢ü¸ÀÄªÀÅzÀÄ

(a) A – B (B) Al (C) Bl (D) B – A

19. , ,A a b c= " ,, , , ,B e f g= " , DzÀgÉ, A B+ =

(a) Q (B) A (C) B (D) A B,

20. PÉÆnÖgÀÄªÀ ªÉ£ï £ÀPÉëAiÀÄ°è §tÚ ºÀaÑzÀ ¨sÁUÀªÀÅ ¥Àæw¤¢ü¸ÀÄªÀÅzÀÄ

(a) A – B (B) B – A (C) A B3 (D) Al

BU

A

BU

A

34

CzsÁåAiÀÄ1 U

ÀtÂvÀ±Á

¸ÀÛç

£É£À¦£À°èqÀ¨ÉÃPÁzÀ CA±ÀUÀ¼ÀÄ

� UÀtªÉA§ÄzÀÄ ¸ÀÆPÀÛªÁV ¤gÀÆ¦¸À®àlÖ ªÀ¸ÀÄÛUÀ¼À ¸ÀAUÀæºÀuÉAiÀiÁVzÉ.

� UÀtªÀ£ÀÄß ªÀÄÆgÀÄ jÃwAiÀÄ°è ¥Àæw¤¢ü¸À§ºÀÄzÀÄ (i) UÀuÁA±À ¥ÀzÀÞw (ii) ¤AiÀÄªÀÄ ¥ÀzÀÞw (iii) PÉÆÃµÀÖPÀ ¥ÀzÀÞw.

� MAzÀÄ UÀtzÀ°è£À UÀuÁA±ÀUÀ¼À ¸ÀASÉåAiÀÄ£ÀÄß UÀtzÀ ¥ÀæzsÁ£À ¸ÀASÉå JAzÀÄ PÀgÉAiÀÄÄvÉÛÃªÉ.

� AiÀiÁªÀ UÀuÁA±ÀªÀ£ÀÆß ºÉÆA¢®èzÀ UÀtªÀ£ÀÄß ±ÀÆ£Àå UÀt CxÀªÁ SÁ° UÀt J£ÀÄßvÉÛÃªÉ.

� MAzÀÄ UÀtªÀÅ JtÂ¸À®Ä ¸ÁzsÀåªÁUÀÄªÀµÀÄÖ UÀuÁA±ÀUÀ¼À£ÀÄß ºÉÆA¢zÀÝgÉ, CzÀ£ÀÄß ¥Àj«ÄvÀ UÀt

J£ÀÄßvÉÛÃªÉ. E®è¢zÀÝgÉ CzÀ£ÀÄß C¥Àj«ÄvÀ UÀt J£ÀÄßvÉÛÃªÉ.

� ¤RgÀªÁV MAzÉÃ jÃwAiÀÄ UÀuÁA±ÀUÀ¼À£ÀÄß PÀæªÀÄªÀ®èzÀ gÀÆ¥ÀzÀ°è ºÉÆA¢gÀÄªÀ a ªÀÄvÀÄÛ B JA§

JgÀqÀÄ UÀtUÀ¼À£ÀÄß ¸ÀªÀÄ UÀt J£ÀÄßvÉÛÃªÉ.

� X UÀtªÀÅ Y UÀtzÀ G¥ÀUÀtªÁzÀgÉ, X UÀtzÀ J¯Áè UÀuÁA±ÀUÀ¼ÀÄ Y UÀtzÀ UÀuÁA±ÀUÀ¼ÁVgÀÄvÀÛªÉ.

� X UÀtªÀÅ Y UÀtzÀ ¤²ÑvÀ G¥ÀUÀtªÁzÀgÉ, X Y3 ªÀÄvÀÄÛ X Y! DVgÀÄvÀÛzÉ.

� a UÀtzÀ J¯Áè G¥ÀUÀtUÀ¼À UÀtªÀ£ÀÄß a £À WÁvÀ UÀt JAzÀÄ PÀgÉAiÀÄÄvÉÛÃªÉ. EzÀ£ÀÄß P(a) JAzÀÄ ¸ÀÆa¸ÀÄvÉÛÃªÉ.

� m UÀuÁA±ÀUÀ¼À£ÀÄß ºÉÆA¢gÀÄªÀ UÀtzÀ G¥ÀUÀtUÀ¼À ¸ÀASÉåAiÀÄÄ 2m .

� m UÀuÁA±ÀUÀ¼À£ÀÄß ºÉÆA¢gÀÄªÀ UÀtzÀ ¤²ÑvÀ G¥ÀUÀtUÀ¼À ¸ÀASÉåAiÀÄÄ 2 1m-

� a UÀtzÀ°è E®èzÀ, «±Àé UÀtzÀ°ègÀÄªÀ J¯Áè UÀuÁA±ÀUÀ¼À UÀtªÀ£ÀÄß a £À ¥ÀÆgÀPÀ UÀt J£ÀÄßvÉÛÃªÉ.

EzÀ£ÀÄß AlJAzÀÄ ¸ÀÆa¸ÀÄvÉÛÃªÉ.

� a ªÀÄvÀÄÛ B UÀtUÀ¼À ¸ÀAAiÉÆÃUÀªÀÅ, a UÀtzÀ°ègÀÄªÀ CxÀªÁ B UÀtzÀ°ègÀÄªÀ CxÀªÁ a ªÀÄvÀÄÛ B JgÀqÀÆ UÀtUÀ¼À°ègÀÄªÀ J¯Áè UÀuÁA±ÀUÀ¼À£ÀÄß M¼ÀUÉÆArgÀÄvÀÛzÉ.

� a ªÀÄvÀÄÛ B UÀtUÀ¼À bÉÃzÀ£À UÀtªÀÅ, a ªÀÄvÀÄÛ B UÀ¼ÉgÀqÀgÀ®Æè EgÀÄªÀ ¸ÁªÀiÁ£Àå UÀuÁA±ÀUÀ½AzÁzÀ

UÀtªÁVzÉ.

� a ªÀÄvÀÄÛ B UÀtUÀ¼ÀÄ ºÉÆAzÁtÂPÉ E®èzÀ UÀtUÀ¼ÁzÀgÉ, DUÀ A B+ Q= .

� a ªÀÄvÀÄÛ B JgÀqÀÄ UÀtUÀ¼À°è B UÀtPÉÌ ¸ÉÃj®èzÀ, DzÀgÉ a UÀtzÀ°ègÀÄªÀ J¯Áè UÀuÁA±ÀUÀ¼À£ÀÄß

vÉUÉzÀÄPÉÆAqÀgÉ GAmÁzÀ UÀtªÉÃ UÀtUÀ¼À ªÀåvÁå¸ÀªÁVzÉ.

� a ªÀÄvÀÄÛ B JgÀqÀÄ UÀtUÀ¼À ¸ÀªÀÄ«Äw ªÀåvÁå¸ÀªÀ£ÀÄß ( ) ( )A B A B B A3 ,= - - JAzÀÄ ªÁåSÁå¤¸À§ºÀÄzÀÄ.

� a ªÀÄvÀÄÛ B JA§ªÀÅ AiÀiÁªÀÅzÉÃ JgÀqÀÄ ¥Àj«ÄvÀ UÀtUÀ¼ÁzÀgÉ,

(i) ( ) ( ) ( )n A n A B n A B+= - +

(ii) ( ) ( ) ( )n B n B A n A B+= - +

(iii) ( ) ( ) ( ) ( )n A B n A B n A B n B A, += - + + -

(iv) ( ) ( ) ( ) ( )n A B n A n B n A B, += + -

(v) A B+ Q= DzÁUÀ, n(A U B) = n(A) + n(B).

35


UÀtÂvÀ±Á

¸ÀÛç

ZÀlÄªÀnPÉ 2

A BU

A B+l , A B+ ªÀÄvÀÄÛ A B+ l UÀ¼À£ÀÄß ªÉ£ï £ÀPÉëUÀ¼À°è ¥Àæw¤¢ü¹j.

F UÀtUÀ¼À ¸ÀAAiÉÆÃUÀªÉÃ£ÀÄ?

PÉÆnÖgÀÄªÀ ªÉ£ï £ÀPÉëAiÀÄ£ÀÄß §¼À¹PÉÆAqÀÄ,

PÉ¼ÀV£À ºÉÃ½PÉUÀ¼ÀÄ ¸ÀjAiÉÄÃ CxÀªÁ vÀ¥ÉàÃ

JA§ÄzÀ£ÀÄß w½¹j.

PÀæ. ¸ÀA. UÀt QæAiÉÄ

¸Àj CxÀªÁ vÀ¥ÀÄà

1. A B1

2. B A1 l

3. { }A B+ =

4. A B A+ =l l

5. B A1l

6. AQ 1

7. A B A+ =l l

8. A B B, =l l

ZÀlÄªÀnPÉ 1

36

CzsÁåAiÀÄ1 U

ÀtÂvÀ±Á

¸ÀÛç

ZÀlÄªÀnPÉ 3

PÉ¼ÀV£À ¥ÀzÀ§AzsÀªÀ£ÀÄß ¥ÀÆtðUÉÆ½¹j.

J¯Áè ¸ÀÄ½ªÀÅUÀ¼ÀÄ CqÀØªÁV (QëwfÃAiÀÄªÁV) gÀÆ¦¹gÀÄªÀ ¥ÀzÀUÀ½UÉ C£ÀéAiÀÄªÁUÀÄvÀÛªÉ.

1. { , , }, { , , },A o r y B r u y A B,= = =

2. { , , , , , }, { , , , , } .C k m o r w z D k o r t w C Dk= = =

3. { , , , , . }, { , },U h i k p t w W k p W= = =l

4. M = {t,e,s}, N = {s} DzÀgÉ, M , N ªÀÄvÀÄÛ M + N =5. { , , , }, { , , , },P h i k s Q g i m s P Q+= = =

6. { , , , , , , , }, { , , , , }, { , , , , , }, ( )U a b e m r u v y L a b e m u K a b m r u y L K+= = = =l

7. { , , , , , , }, { , , , , , },X d e n o p s u Y d h n o s u X Y+= = =

8. { , , , , , }, { , , , , },A a b c d n s B a d h n t A B+= = =

9. { , , , , , , }, { , , , },U o p r s u v y D p r s v D= = =l

10. { , }, { , , },E a e F r e a E F,= = =

11. { , , , , }, { , , , , , },K n o v w x L m n o p w r K L+= = =

12. { , , , , }, { , , , , , },P a d e n p Q a b c m n o P Q+= = =

13. X = {e,h,r,p,s,t,x,v}, Y = {e,m,p,u,x}, Z = {e,n,r,t,w} DzÀgÉ, X + Y ªÀÄvÀÄÛ X + Z =

1

3

5

7

9

11

13

6

2

4

8

10

12

37


UÀtÂvÀ±Á

¸ÀÛç

ZÀlÄªÀnPÉ 4

PÉÆnÖgÀÄªÀ ªÉ£ï £ÀPÉëAiÀÄ£ÀÄß §¼À¹PÉÆAqÀÄ, PÉ¼ÀV£À UÀtUÀ¼À£ÀÄß

UÀuÁA±À ¥ÀzÀÞw, ¤AiÀÄªÀÄ ¥ÀzÀÞw ªÀÄvÀÄÛ PÉÆÃµÀÖPÀ ¥ÀzÀÞwAiÀÄ°è

¥Àæw¤¢ü¹j.

(i) A (ii) B (iii) U (iv) Bl (v) A B+

B JA§ÄzÀÄ ‘statistics’ JA§ ¥ÀzÀzÀ°è£À CPÀëgÀUÀ¼À UÀt JAzÀÄ H»¹PÉÆ½îj. PÉ¼ÀV£À ºÉÃ½PÉUÀ¼ÀÄ

¸ÀjAiÉÄÃ (t) CxÀªÁ vÀ¥ÉàÃ (F) JA§ÄzÀ£ÀÄß w½¹j.

(i) {t} ! B (ii) {a, c} 1 B

(iii) { } 1 B (iv) n(B) = 10

¤ªÀÄä ±Á¯ÉAiÀÄ°è 8£ÉÃ vÀgÀUÀwAiÀÄ°è NzÀÄwÛgÀÄªÀ «zÁåyðUÀ¼À Fa (a1) ªÀÄvÀÄÛ Fa(b1) ¥ÀæxÀªÀÄ CªÀ¢üAiÀÄ

UÉæÃqï ²ÃlÄUÀ¼À£ÀÄß ¤ªÀÄä UÀtÂvÀ ²PÀëPÀjAzÀ ¸ÀAUÀæ»¹j. Fa (a1) ªÀÄvÀÄÛ Fa(b1) UÀ¼À°è UÉæÃqï a2 ¥ÀqÉ¢gÀÄªÀ «zÁåyðUÀ¼À £ÉÆÃAzÀtÂ ¸ÀASÉåAiÀÄ£ÀÄß ¥ÀnÖ ªÀiÁqÀÄªÀÅzÀgÀ ªÀÄÆ®PÀ PÀæªÀÄªÁV P ªÀÄvÀÄÛ Q JA§ JgÀqÀÄ UÀtUÀ¼À£ÀÄß gÀa¹j. EzÀjAzÀ, ( ) ( ) ( ) ( )n P Q n P n Q n P Q, += + - JA§ÄzÀ£ÀÄß

¥Àj²Ã°¹j.

¤ªÀÄä ©Ã¢AiÀÄ°ègÀÄªÀ PÀÄlÄA§UÀ¼À°è MUÉAiÀÄÄªÀ AiÀÄAvÀæªÀ£ÀÄß (washing machine) §¼À¸ÀÄªÀ

PÀÄlÄA§UÀ¼À ¸ÀASÉå, UÀtPÀAiÀÄAvÀæªÀ£ÀÄß (Computer) §¼À¸ÀÄªÀ PÀÄlÄA§UÀ¼À ¸ÀASÉå ªÀÄvÀÄÛ JgÀqÀ£ÀÆß

§¼À¸ÀÄªÀ PÀÄlÄA§UÀ¼À ¸ÀASÉåAiÀÄ£ÀÄß PÀAqÀÄ»rAiÀÄ®Ä MAzÀÄ ¸À«ÄÃPÉëAiÀÄ£ÀÄß PÉÊUÉÆ½î. EzÀjAzÀ

¸ÀAUÀæ»¹zÀ zÀvÁÛA±ÀªÀ£ÀÄß ªÉ£ï £ÀPÉëAiÀÄ°è ¥Àæw¤¢ü¹j.

3 5

7

19

15

U

1113 17

19

2

4 68 10 1214 1618 20

A B

QæAiÀiÁAiÉÆÃd£É 1123


ZÀlÄªÀnPÉ 5

38

CzsÁåAiÀÄ1 U

ÀtÂvÀ±Á

¸ÀÛç

GvÀÛgÀUÀ¼ÀÄ

C¨sÁå¸À 1.11. (i) UÀtªÀ®è (ii) UÀtªÁVzÉ (iii) UÀtªÀ®è (iv)UÀtªÁVzÉ (v) UÀtªÁVzÉ

2. (i) 0 Ad (ii) A6 g (iii) 3 Ad (iv) 4 Ad (v) A7 g

3. (i) {x:x JA§ÄzÀÄ MAzÀÄ zsÀ£ÁvÀäPÀ ¸ÀªÀÄ ¸ÀASÉå} (ii){x:x JA§ÄzÀÄ MAzÀÄ ¥ÀÆtð ¸ÀASÉå ªÀÄvÀÄÛ x< 20} (iii) {x:x JA§ÄzÀÄ zsÀ£ÁvÀäPÀ ¥ÀÆuÁðAPÀ ªÀÄvÀÄÛ 3gÀ UÀÄtPÀ} (iv) {x:x JA§ÄzÀÄ MAzÀÄ IÄuÁvÀäPÀ

¸Áé¨sÁ«PÀ ¸ÀASÉå ªÀÄvÀÄÛ x< 15}

(v) {x:x JA§ÄzÀÄ ‘Computer’ JA§ ¥ÀzÀzÀ°ègÀÄªÀ MAzÀÄ CPÀëgÀ}

4. (i) , , , , , , ,A 3 4 5 6 7 8 9 10= " , (ii) , , , , ,B 0 1 2 3 4 5= " , (iii) ,C 2 3= " ,

(iv) , , , ,X 2 4 8 16 32= " , (v) , , , , ,M 1 1 3 5 7 9= -" , (vi) , , , , , , , ,P 4 3 2 1 0 1 2 3 4= - - - -" ,

5. (i) A JA§ÄzÀÄ EAVèµï CPÀëgÀ ªÀiÁ¯É (ªÀtðªÀiÁ¯É)AiÀÄ°ègÀÄªÀ J¯Áè ¸ÀégÀUÀ¼À UÀt

(ii) B JA§ÄzÀÄ 11 QÌAvÀ PÀrªÉÄ CxÀªÁ ¸ÀªÀÄªÁVgÀÄªÀ J¯Áè ¨É¸À ¸Áé¨sÁ«PÀ ¸ÀASÉåUÀ¼À UÀt

(iii) C JA§ÄzÀÄ 26 QÌAvÀ PÀrªÉÄ EgÀÄªÀ J¯Áè ªÀUÀð ¸ÀASÉåUÀ¼À UÀt

(iv) P JA§ÄzÀÄ ‘set theory’ JA§ ¥ÀzÀzÀ°ègÀÄªÀ J¯Áè CPÀëgÀUÀ¼À UÀt

(v) Q JA§ÄzÀÄ 10 ªÀÄvÀÄÛ 20 gÀ £ÀqÀÄªÉ¬ÄgÀÄªÀ J¯Áè C«¨sÁdå ¸ÀASÉåUÀ¼À UÀt

6. (i) 4 (ii) 21 (iii) 1 (iv) 0 (v) 97. (i) C¥Àj«ÄvÀ (ii) ¥Àj«ÄvÀ (iii) C¥Àj«ÄvÀ (iv) C¥Àj«ÄvÀ (v)¥Àj«ÄvÀ8. (i) ¸ÀªÀÄ¤ÃAiÀÄ (ii) ¸ÀªÀÄ¤ÃAiÀÄªÀ®è (iii) ¸ÀªÀÄ¤ÃAiÀÄ 9. (i) ¸ÀªÀÄ (ii) ¸ÀªÀÄªÀ®è (iii) ¸ÀªÀÄ (iv) ¸ÀªÀÄªÀ®è 10. B = D ªÀÄvÀÄÛ E = G11. E®è, Q AiÀiÁªÀÅzÉÃ UÀuÁA±ÀªÀ£ÀÄß M¼ÀUÉÆAr®è DzÀgÉ, Q" , MAzÀÄ UÀuÁA±ÀªÀ£ÀÄß M¼ÀUÉÆArzÉ. 12. ¥ÀæwAiÉÆAzÀÄ ªÀÄvÉÆÛAzÀjAzÀ ©ü£ÀßªÁVzÉ. 0 AiÀÄÄ ¥ÀÆuÁðAPÀªÁVzÉ. EzÀÄ UÀtªÀ®è. Q AiÀiÁªÀÅzÉÃ UÀuÁA±ÀªÀ£ÀÄß M¼ÀUÉÆAr®è 0" ,MAzÀÄ UÀuÁA±ÀªÀ£ÀÄß M¼ÀUÉÆArzÉ. CAzÀgÉ, 0. Q" , MAzÀÄ UÀuÁA±ÀªÀ£ÀÄß M¼ÀUÉÆArzÉ. CAzÀgÉ, ±ÀÆ£Àå UÀt.

13. (i) M (ii) 3 (iii) 3 (iv) M 14. (i) X JA§ÄzÀÄY £À G¥ÀUÀtªÀ®è. (ii) Y JA§ÄzÀÄ X £À G¥ÀUÀt.

15. A AiÀÄÄ B £À G¥ÀUÀtªÀ®è.

16. (i) , , , ,P A x y x yQ=^ h " " "" , , ,, (ii) , , , , , , , , , , , ,P X a b c a b a c b c a b cQ=^ h " " " " " " "" , , , , , , ,,

(iii) P(A) = { Q , {5}, {6}, {7}, {8}, {5,6}, {5,7}, {5,8}, {6,7}, {6,8}, {7,8}, {5,6,7},

{5,6,8}, {5,7,8}, {6,7,8}, {5,6,7,8}} (iv) P A z=^ h " ,

39


UÀtÂvÀ±Á

¸ÀÛç

17. (i) 64, 63 (ii) 128, 127 (iii) 2, 1

18. (i) 1 (ii) 8 (iii) 9 (iv) 10 19. A AiÀÄÄ ±ÀÆ£Àå UÀt

20. (i) , , , , , , , , ,A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10= " ,, , , , , , , , , ,B 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20= " ,

, , , , , , , , , ,C 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25= " ,

(ii) n A 10=^ h , n B 10=^ h , n C 11=^ h (iii) a) F b) T c) T d) T

C¨sÁå¸À 1.21. (i) , , , , , , ,A B 3 1 0 1 2 4 5 6, = - -" ,, , ,A B 0 2 4+ = " , (ii) , , ,A B 2 4 6 8, = " ,, A B+ z=

(iii) { , , , , , }A B 1 2 3 4 5 7, = , { , , }A B 2 3 5+ = (iv) , , , , , , ,A B 0 1 2 3 4 5 6 7, = " ,, , , ,A B 3 4 5 6+ = " ,

2. (i) , , , , , , , , , ,A B 1 3 5 7 10 12 15 18 20 25 30, = " , (ii) , ,A B 10 15 25+ = " ,

3. (i) , , , , , , , , , ,X Y 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20, = " ,, , , , ,X Y 4 8 12 16 20+ = " ,

4. (i) 7" , 5. (ii) X ªÀÄvÀÄÛ Y UÀ¼ÀÄ ºÉÆAzÁtÂPÉ¬Ä®èzÀ UÀtUÀ¼ÀÄ

6. (i) , , , , , , ,A 0 1 2 4 5 7 8 10=l " , (ii) AJA§ÄzÀÄ 1 ªÀÄvÀÄÛ J¯Áè C«¨sÁdå ¸ÀASÉåUÀ¼À UÀtªÁVzÉ.

7. (i) , , , , ,A B a b c d f g, = " , (ii) ,A B e h, =l^ h " , (iii) ,A B b d+ = " ,

(iv) , , , , ,A B a c e f g h+ =l^ h " , 8. (i) , , , ,A 2 4 6 8 10=l " , (ii) , , , ,B 1 4 6 7 8=l " ,

(iii) , , , , , ,A B 1 2 4 6 7 8 10, =l l " , (iv) , ,A B 4 6 8+ =l l " ,

9. (i) M – N ,3 9= " , (ii) ,N M 15 17- = " , (iii) N M 18- =l " , (iv) M N 18- =l " ,

(v) ,M M N 3 9+ - =^ h " , (vi) , , ,N N M 7 11 15 17, - =^ h " , (vii) 2n M N- =^ h

10. (i) , , , ,A B 3 6 9 15 18- = " , (ii) ,B C 16 20- = " , (iii) , , , ,C D 2 4 6 8 12- = " ,

(iv) , , ,D A 5 10 20 25- = " , (v) 4n A C- =^ h

11. (i) , ,1 2 3 49U g= " ,, , , , , , , , , , , ,A 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48= " ,,

, ,B 16 30 44= " , (ii) , , , , , , , , , , , ,A B 4 8 12 16 20 24 28 30 32 36 40 44 48, = " ,,

,A B 16 44+ = " ,, 13n A B, =^ h , 2n A B+ =^ h

12. (i) , , , , ,X Y a b d e f k3 = " , (ii) , , , , , , ,P Q 0 1 2 3 5 6 7 83 = " ,

(iii) , , ,A B 4 2 1 53 = - - -" ,

13. (i) , , , , , , ,1 2 3 4 7 9 10 11U = " ,, , , ,E 1 2 4 7= " ,, , , ,F 4 7 9 11= " ,

, , , , ,E F 1 2 4 7 9 11, = " ,, ,E F 4 7+ = " ,

(ii) n 8, =^ h , n E F 6, =^ h , n E F 2+ =^ h

40

CzsÁåAiÀÄ1 U

ÀtÂvÀ±Á

¸ÀÛç

14. (i) , , , , , , , ,1 2 3 4 5 6 8 9 10U = " ,, , , ,G 1 2 4 8= " ,, , , ,H 2 6 8 10= " ,

(ii) , , , ,G 3 5 6 9 1 0=l " ,, , , , ,H 1 3 4 5 9=l " ,, , ,G H 3 5 9+ =l l " ,, n G H 3, =l^ h , n G H 7+ =l^ h

C¨sÁå¸À 1.3

1. 2. n A B 15+ =^ h 3. 16, 29 4. n B 27=^ h

5. 6, 43n A B n+ ,= =^ ^h h 6. n A B 22, =^ h 7. 150 8. 1400

9. (i) 180 (ii) 150 (iii) 450 10. 35 11. 12 12. 12 13. 47

14. ºËzÀÄ, ¸ÀjAiÀiÁVzÉ.

15. (i) x = 8 (ii) ( )n A B, = 88 16. (i) 35 (ii) 25 (iii) 20 17. 16%

C¨sÁå¸À 1.4

1. a 2. D 3. B 4. D 5. B 6. a 7. C 8. a 9. D 10. C 11. a 12. B

13. B 14. D 15. C 16. a 17. C 18. D 19. a 20. C

N

U

M

510

811

679

12 13

41

ªÁ¸ÀÛªÀ ¸ÀASÁå ¥ÀzÀÞw

UÀtÂvÀ±Á

¸ÀÛç

2.1 ¦ÃpPÉ (Introduction) ¥Àæw¤vÀåzÀ ZÀlÄªÀnPÉUÀ¼À°è CAvÀgÀ, PÁ®, ªÉÃUÀ, «¹ÛÃtð, ¯Á¨sÀ,

£ÀµÀÖ, GµÀÚvÉ ªÀÄÄAvÁzÀªÀÅUÀ¼ÀAvÀºÀ ¥ÀjªÀiÁtUÀ¼À£ÀÄß ¸ÀÆa¸À®Ä £ÁªÀÅ

§¼À¸ÀÄªÀ J¯Áè ¸ÀASÉåUÀ¼À£ÀÄß ªÁ¸ÀÛªÀ ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ JAzÀÄ PÀgÉAiÀÄÄvÁÛgÉ.

¸Áé¨sÁ«PÀ ¸ÀASÉåUÀ¼À ¥ÀzÀÞwAiÀÄ PÀæªÀiÁ£ÀÄUÀvÀ «¸ÀÛgÀuÁ ¥ÀæQæAiÉÄAiÀÄ

¥sÀ°vÁA±ÀªÁV ªÁ¸ÀÛªÀ ¸ÀASÉåUÀ¼À ¥ÀzÀÞwAiÀÄÄ ¸ÀÈ¶×AiÀiÁVzÉ. EvÀgÉ

PÉëÃvÀæUÀ½AzÀ ¸ÀªÀÄ¸ÉåUÀ¼À£ÀÄß ¥ÀjºÀj¸ÀÄªÀ ¥ÀæQæAiÉÄAiÀÄ°è UÀtÂvÀ±Á¸ÀÛçzÀ

«eÁÕ£ÀªÀÅ C©üªÀÈ¢ÞAiÀiÁUÀÄªÀÅzÀjAzÀ «¸ÀÛgÀuÉUÀ¼ÀÄ C¤ªÁAiÀÄðªÁVzÉ.

ªÀiÁ£ÀªÀ£ÀÄ JtÂPÉ ªÀÄqÀÄªÀÅzÀ£ÀÄß ªÉÆzÀ®Ä PÀ°vÁUÀ ¸Áé¨sÁ«PÀ

¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ C¹ÛvÀéPÉÌ §AzÀªÀÅ Ff¦ÖAiÀÄ£ÀßgÀÄ Qæ.¥ÀÆ.1700gÀ ¸ÀªÀÄAiÀÄzÀ°è

©ü£ÀßgÁ²UÀ¼À£ÀÄß §¼À¹zÁÝgÉ. Qæ.¥ÀÆ.500gÀ ¸ÀªÀÄAiÀÄzÀ°è ¥ÉÊxÁUÉÆgÀ¸ï£À

£ÉÃvÀÈvÀézÀ VæÃPï UÀtÂvÀ±Á¸ÀÛçdÕgÀÄ C¨sÁUÀ®§Ý ¸ÀASÉåUÀ¼À CUÀvÀåvÉAiÀÄ£ÀÄß

ªÀÄ£ÀUÀAqÀgÀÄ. Qæ.±À.1600gÀ CªÀ¢üAiÀÄ°è IÄuÁvÀäPÀ ¸ÀASÉåUÀ¼À£ÀÄß

M¦àPÉÆ¼Àî®Ä ¥ÁægÀA©ü¸À¯Á¬ÄvÀÄ. Qæ.±À.1700gÀ ¸ÀªÀÄAiÀÄzÀ°è PÀ®£À±Á¸ÀÛçzÀ

C©üªÀÈ¢ÞAiÀÄÄ ªÁ¸ÀÛªÀ ¸ÀASÉåUÀ¼À ¸ÀA¥ÀÆtð UÀtªÀ£ÀÄß ¸ÀàµÀÖªÁV

ªÁåSÁå¤¸ÀzÉ CªÀÅUÀ¼À£ÀÄß §¼À¹PÉÆArvÀÄ eÁeïð PÁåAlgïgÀªÀgÀ£ÀÄß

Qæ.±À.1871gÀ°è ªÁ¸ÀÛªÀ ¸ÀASÉåUÀ½UÉ QèµÀÖªÁzÀ ªÁåSÉåAiÀÄ£ÀÄß ¸ÀÆa¹zÀ

¥ÀæxÀªÀÄ ªÀåQÛAiÀiÁV ¥ÀjUÀtÂ¸À§ºÀÄzÀÄ.


jZÀqïð qÉqÉPÉÊAqï( R I C h A R D D E D E K I N D )

(1831-1916)

jZÀqïð qÉqÉPÉÊAqï (1831-1916)

gÀªÀgÀÄ C¸ÁzsÁgÀt UÀtÂvÀ±Á¸ÀÛçdÕ£ÁzÀ

PÁ¯ïð ¥sÉæræZï UÁ¸ï£À GvÀÌøµÀ×

UÀtÂvÀ±Á¸ÀÛçdÕ ²µÀåA¢gÀ UÀÄA¦UÉ

¸ÉÃjzÀªÀ£ÀÄ. EªÀgÀÄ CªÀÄÆvÀð

©ÃdUÀtÂvÀ, ©ÃdUÀtÂwÃAiÀÄ ¸ÀASÁå

¹zÁÞAvÀ «µÀAiÀÄzÀ°è ¥ÀæªÀÄÄRªÁzÀ

PÉ®¸ÀªÀ£ÀÄß ªÀiÁrzÁÝgÉ ªÀÄvÀÄÛ

ªÁ¸ÀÛªÀ ¸ÀASÉåUÀ¼À ¥ÀjPÀ®à£ÉUÉ

Cr¥ÁAiÀÄªÀ£ÀÄß ºÁQzÁÝgÉ. PÁåAlgï

C©üªÀÈ¢Þ¥Àr¹zÀ UÀt ¹zÁÞAvÀzÀ

ªÀÄºÀvÀéªÀ£ÀÄß CxÉÊð¹PÉÆAqÀ

PÉ®ªÀÅ UÀtÂvÀ±Á¸ÀÛçdÕgÀ°è EªÀgÀÆ

M§âgÁVzÁÝgÉ. ¥Á°mÉQßPï£À°è

PÀ®£À±Á¸ÀÛçªÀ£ÀÄß ªÉÆzÀ® ¨ÁjUÉ

¨sÉÆÃ¢¸ÀÄwÛzÁÝUÀ ªÁ¸ÀÛªÀ

¸ÀASÉåUÀ¼À GvÀÌøµÀ× ªÁåSÉåAiÀiÁzÀ

qÉqÉPÉÊAqï PÀmï JAzÀÄ ¥Àæ¸ÀÄÛvÀzÀ°è

PÀgÉAiÀÄ®àqÀÄªÀ ¥ÀjPÀ®à£É¬ÄAzÀ

EªÀgÀÄ SÁåvÀ£ÁªÀÄgÁzÀgÀÄ.

Life is good for only two things, discovering mathematics and teaching mathematics

- SIMeon PoISSon

● ¸Áé¨sÁ«PÀ ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ, ¥ÀÆtð ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ, ¥ÀÆuÁðAPÀUÀ¼À£ÀÄß

¸Àäj¸ÀÄªÀÅzÀÄ.

● ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼À£ÀÄß DªÀvÀðªÁUÀÄªÀ/CAvÀåªÁUÀÄªÀ

zÀ±ÀªÀiÁA±ÀUÀ¼ÁV ªÀVÃðPÀj¸ÀÄªÀÅzÀÄ.

● CAvÀåªÁUÀzÀ ªÀÄvÀÄÛ DªÀvÀðªÁUÀzÀ zÀ±ÀªÀiÁA±ÀUÀ¼À ®¨sÀåvÉAiÀÄ£ÀÄß

CxÉÊð¹PÉÆ¼ÀÄîªÀÅzÀÄ.

● CAvÀåªÁUÀÄªÀ CxÀªÁ CAvÀåªÁUÀzÀ zÀ±ÀªÀiÁA±ÀUÀ¼À£ÀÄß

¸ÀASÁågÉÃSÉAiÀÄ ªÉÄÃ¯É ¥Àæw¤¢ü¸ÀÄªÀÅzÀÄ.

ªÁ¸À ÛªÀ ¸ÀASÁå ¥ÀzÀ Þw

42

CzsÁåAiÀÄ2UÀtÂvÀ±Á

¸ÀÛç

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

UÀªÀÄ¤¹j

gÉÃSÉAiÀÄÄ 0 AiÀÄ §®¨sÁUÀPÉÌ

ªÀiÁvÀæ PÉÆ£É E®èzÉÃ

ªÀÈ¢ÞAiÀiÁUÀÄvÀÛzÉ.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

UÀªÀÄ¤¹j

Z JA§ÄzÀÄ dªÀÄð£ï ¥ÀzÀªÁzÀ “dºÉè£ï’ JA§ ¥ÀzÀ¢AzÀ ¤µÀàwÛ¹zÉ. EzÀgÀ

CxÀð “¯ÉPÀÌ ºÁPÀ®Ä”

1 2 3 4 5 6 7 8

gÉÃSÉAiÀÄÄ 1 gÀ §®¨sÁUÀPÉÌ

ªÀiÁvÀæ PÉÆ£É E®èzÉÃ


gÉÃSÉAiÀÄÄ 0 AiÀÄ JgÀqÀÆ

§¢UÀ¼À°è CAvÀå«®èzÉÃ


F CzsÁåAiÀÄzÀ°è ªÁ¸ÀÛªÀ ¸ÀASÉåUÀ¼À PÉ®ªÀÅ UÀÄt®PÀëtUÀ¼À£ÀÄß £ÁªÀÅ ZÀað¸ÀÄvÉÛÃªÉ. ªÉÆzÀ°UÉ, ¤ÃªÀÅ

»A¢£À vÀgÀUÀwUÀ¼À°è PÀ°wgÀÄªÀ ¸ÀASÉåUÀ¼À ºÀ®ªÁgÀÄ «zsÀUÀ¼À£ÀÄß £ÁªÀÅ ¸Àäj¸ÉÆÃt.

2.1.1 ¸Áé¨sÁ«PÀ ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ (Natural Numbers)

1, 2, 3, g JAzÀÄ JtÂ ÀÄªÀ ÀASÉåUÀ¼À£ÀÄß ¸Áé sÁ«PÀ ÀASÉåUÀ¼ÀÄ JAzÀÄ

PÀgÉAiÀÄÄvÁÛgÉ. ¸Áé sÁ«PÀ ¸ÀASÉåUÀ¼À UÀtªÀ£ÀÄß N ¤AzÀ ¸ÀÆa¸ÀÄvÉÛÃªÉ.

CAzÀgÉ, N = {1, 2, 3, g}

CvÀåAvÀ aPÀÌ ¸Áé¨sÁ«PÀ ¸ÀASÉåAiÀÄÄ 1 DVzÉ. DzÀgÉ CzÀÄ ¤gÀAvÀgÀªÁV ¸ÁUÀÄªÀÅzÀjAzÀ

CvÀåAvÀ zÉÆqÀØ ¸ÀASÉå EgÀÄªÀÅ¢®è.

2.1.2 ¥ÀÆtð ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ (Whole Numbers) ¸ÉÆ£ÉßAiÉÆA¢UÉ ¸Áé¨sÁ«PÀ ¸ÀASÉåUÀ¼À UÀtªÀÅ ¥ÀÆtð ¸ÀASÉåUÀ¼À UÀtªÀ£ÀÄß GAlÄªÀiÁqÀÄvÀÛzÉ.

¥ÀÆtð ¸ÀASÉåUÀ¼À UÀtªÀ£ÀÄß W ¤AzÀ ¸ÀÆa¸ÀÄvÉÛÃªÉ.

CAzÀgÉ, W = { 0, 1, 2, 3, g }.

CvÀåAvÀ aPÀÌ ¥ÀÆtð ¸ÀASÉåAiÀÄÄ 0 DVzÉ.

1) ¥ÀæwAiÉÆAzÀÄ ¸Áé¨sÁ«PÀ ¸ÀASÉåAiÀÄÄ ¥ÀÆtð ¸ÀASÉåAiÀiÁVgÀÄvÀÛzÉ.

2) ¥ÀæwAiÉÆAzÀÄ ¥ÀÆtð ¸ÀASÉåAiÀÄÄ ¸Áé¨sÁ«PÀ ¸ÀASÉåAiÀiÁVgÀ¨ÉÃQ®è.

0 Wd . DzÀgÉ 0 Ng .

3) N W1

2.1.3 ¥ÀÆuÁðAPÀUÀ¼ÀÄ (Integers)

±ÀÆ£ÀåzÉÆA¢UÉ ¸Áé¨sÁ«PÀ ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ CªÀÅUÀ¼À IÄt ¸ÀASÉåUÀ¼À£ÀÄß ¥ÀÆuÁðAPÀUÀ¼ÀÄ J£ÀÄßvÁÛgÉ. J¯Áè ¥ÀÆuÁðAPÀUÀ¼À UÀtªÀ£ÀÄß Z ¤AzÀ ¸ÀÆa¸ÀÄvÁÛgÉ.

Z = { g -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, g}

N

W

43


UÀtÂvÀ±Á

¸ÀÛç

1, 2, 3 g UÀ¼À£ÀÄß zsÀ£À ¥ÀÆuÁðAPÀUÀ¼ÀÄ J£ÀÄßvÁÛgÉ.

, ,1 2 3- - - gUÀ¼À£ÀÄß IÄt ¥ÀÆuÁðAPÀUÀ¼ÀÄ J£ÀÄßvÁÛgÉ.

1) ¥ÀæwAiÉÆAzÀÄ ¸Áé¨sÁ«PÀ ¸ÀASÉåAiÀÄÄ MAzÀÄ ¥ÀÆuÁðAPÀªÁVgÀÄvÀÛzÉ.

2) ¥ÀæwAiÉÆAzÀÄ ¥ÀÆtð ¸ÀASÉåAiÀÄÄ MAzÀÄ ¥ÀÆuÁðAPÀªÁVgÀÄvÀÛzÉ.

3) N W Z1 1

2.1.4 ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ (Rational Numbers)

p ªÀÄvÀÄÛ q UÀ¼ÉgÀqÀÄ ¥ÀÆuÁðAPÀUÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ q 0! DVgÀÄªÀ qp gÀÆ¥ÀzÀ ¸ÀASÉåAiÀÄ£ÀÄß ¨sÁUÀ®§Þ

¸ÀASÉå J£ÀÄßvÁÛgÉ.

GzÁºÀgÀuÉUÉ, 313= ,

65- ,

87 UÀ¼ÀÄ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼ÁVªÉ.

J¯Áè ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼À UÀtªÀ£ÀÄß Q ¤AzÀ ¸ÀÆa¸ÀÄvÁÛgÉ.

Q = : , ,qp

p Z q Z! !' ªÀÄvÀÄÛ 0q ! ,

1) MAzÀÄ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåAiÀÄÄ zsÀ£À, IÄt CxÀªÁ ¸ÉÆ£Éß DVgÀ§ºÀÄzÀÄ.

2) n C£ÀÄß n1

JAzÀÄ £ÁªÀÅ §gÉAiÀÄ§ºÀÄzÁzÀÝjAzÀ,

¥ÀæwAiÉÆAzÀÄ ¥ÀÆuÁðAPÀ n JA§ÄzÀÄ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåAiÀÄÆ

¸ÀºÀ DVzÉ. 3) N W Z Q1 1 1

¥ÀæªÀÄÄR ¥sÀ°vÁA±ÀUÀ¼ÀÄ (Important Results) 1) a ªÀÄvÀÄÛ b UÀ¼ÀÄ JgÀqÀÄ «©ü£Àß ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼ÁzÀgÉ, a a b b

2< <+ DUÀÄªÀAvÉ a ªÀÄvÀÄÛ

b UÀ¼À £ÀqÀÄªÉ a b2+ JA§ÄzÀÄ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåAiÀiÁVgÀÄvÀÛzÉ.

2) PÉÆnÖgÀÄªÀ AiÀiÁªÀÅzÉÃ JgÀqÀÄ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼À

£ÀqÀÄªÉ C¥Àj«ÄvÀªÁzÀ ºÀ®ªÁgÀÄ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ

EgÀÄvÀÛªÉ.

GzÁºÀgÀuÉ 2.1

41 ªÀÄvÀÄÛ

43 gÀ £ÀqÀÄªÉ AiÀiÁªÀÅzÁzÀgÀÆ JgÀqÀÄ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼À£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.

UÀªÀÄ¤¹j

AiÉÆÃa¹ ªÀÄvÀÄÛ GvÀÛj¹ !¸ÉÆ£ÉßAiÀÄÄ MAzÀÄ zsÀ£À ¥ÀÆuÁðAPÀªÉÃ

CxÀªÁ IÄt ¥ÀÆuÁðAPÀªÉÃ?

-2 -1 0 1 2 43

- 21

- 1

4- 4

1 21 4

3

UÀªÀÄ¤¹j

AiÉÆÃa¹ ªÀÄvÀÄÛ GvÀÛj¹!C£ÀÄ¥ÁvÀ JA§ ¥ÀzÀªÀ£ÀÄß ¨sÁUÀ®§Þ

¸ÀASÉåUÀ¼ÉÆA¢UÉ ¤ÃªÀÅ ¸ÀºÀ¸ÀA§A¢üPÀj¸À®Ä ¸ÁzsÀåªÉÃ?

JgÀqÀÄ ¥ÀÆuÁðAPÀUÀ¼À £ÀqÀÄªÉ sÁUÀ®§Þ ÀASÉåUÀ¼À£ÀÄß £ÁªÀÅ

PÁtÄvÉÛÃªÉ.

Z

NQ

W

NW

Z

44


¸ÀÛç

¥ÀjºÁgÀ 41 ªÀÄvÀÄÛ

43 gÀ £ÀqÀÄ«£À ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉå =

21

41

43+` j =

21 (1) =

21

21 ªÀÄvÀÄÛ

43 gÀ £ÀqÀÄ«£À ªÀÄvÉÆÛAzÀÄ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉå =

21

21

43+` j =

21

45

# = 85

21 ªÀÄvÀÄÛ

85 ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ

41 ªÀÄvÀÄÛ

43 gÀ £ÀqÀÄªÉ PÀAqÀÄ§gÀÄvÀÛªÉ.

41 ªÀÄvÀÄÛ

43 gÀ £ÀqÀÄªÉ C¥Àj«ÄvÀ ¸ÀASÉåAiÀÄ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ EgÀÄvÀÛªÉ. GzÁºÀgÀuÉ

2.1 gÀ°è £ÁªÀÅ ¥ÀqÉzÀ 21 ªÀÄvÀÄÛ

85 UÀ¼ÀÄ CªÀÅUÀ¼À°è JgÀqÀÄ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼ÁVªÉ.

C¨sÁå¸À 2.1

1. PÉ¼ÀV£À ºÉÃ½PÉUÀ¼ÀÄ ¸ÀjAiÉÄÃ CxÀªÁ vÀ¥ÉàÃ w½¹.

(i) ¥ÀæwAiÉÆAzÀÄ ¸Áé¨sÁ«PÀ ¸ÀASÉåAiÀÄÄ ¥ÀÆtð ¸ÀASÉåAiÀiÁVzÉ.

(ii) ¥ÀæwAiÉÆAzÀÄ ¥ÀÆtð ¸ÀASÉåAiÀÄÄ ¸Áé¨sÁ«PÀ ¸ÀASÉåAiÀiÁVzÉ.

(iii) ¥ÀæwAiÉÆAzÀÄ ¥ÀÆuÁðAPÀªÀÅ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåAiÀiÁVzÉ.

(iv) ¥ÀæwAiÉÆAzÀÄ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåAiÀÄÄ ¥ÀÆtð ¸ÀASÉå DVzÉ.

(v) ¥ÀæwAiÉÆAzÀÄ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåAiÀÄÄ ¥ÀÆuÁðAPÀªÁVzÉ.

(vi) ¥ÀæwAiÉÆAzÀÄ ¥ÀÆuÁðAPÀªÀÅ ¥ÀÆtð ¸ÀASÉå DVzÉ.

2. ¸ÉÆ£Éß JA§ÄzÀÄ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåAiÉÄÃ? ¤ªÀÄä GvÀÛgÀPÉÌ PÁgÀtUÀ¼À£ÀÄß PÉÆr.

3. 75- ªÀÄvÀÄÛ

72- gÀ £ÀqÀÄ«£À AiÀiÁªÀÅzÁzÀgÀÆ JgÀqÀÄ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼À£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.

2.2 ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼À zÀ±ÀªÀiÁA±À ¥Àæw¤¢üÃPÀgÀt (Decimal Representation of Rational Numbers)

qp ©ü£ÀßgÁ²AiÀÄAvÉ §gÉAiÀÄ®àqÀÄªÀ MAzÀÄ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåAiÀÄ£ÀÄß £ÁªÀÅ ºÉÆA¢zÀÝgÉ, ¢ÃWÀð

¨sÁUÁPÁgÀ¢AzÀ £ÁªÀÅ zÀ±ÀªÀiÁA±À ¥Àæw¤¢üÃPÀgÀtªÀ£ÀÄß ¥ÀqÉAiÀÄÄvÉÛÃªÉ.

¢ÃWÀð sÁUÁPÁgÀ «zsÁ£ÀªÀ£ÀÄß §¼À¹ p AiÀÄ£ÀÄß q ¤AzÀ £ÁªÀÅ sÁV¹zÁUÀ ±ÉÃµÀªÀÅ ±ÀÆ£ÀåªÁUÀÄvÀÛzÉ CxÀªÁ

±ÉÃµÀªÀÅ ±ÀÆ£ÀåªÁUÀÄªÀÅzÉÃ E®è ªÀÄvÀÄÛ ±ÉÃµÀUÀ¼ÀÄ ¥ÀÄ£ÀgÁªÀvÀð£ÉAiÀiÁUÀÄªÀ ÀgÀªÀiÁ¯ÉAiÀÄ£ÀÄß £ÁªÀÅ ¥ÀqÉAiÀÄÄvÉÛÃªÉ.

¸ÀAUÀw (i) ±ÉÃµÀªÀÅ ±ÀÆ£ÀåªÁUÀÄvÀÛzÉ.

167 £ÀÄß zÀ±ÀªÀiÁA±À gÀÆ¥ÀzÀ°è £ÁªÀÅ ªÀåPÀÛ¥Àr¸ÉÆÃt. DUÀ

167 = 0.4375

F GzÁºÀgÀuÉAiÀÄ°è, PÉ®ªÀÅ ºÀAvÀUÀ¼À £ÀAvÀgÀ ±ÉÃµÀªÀÅ ±ÀÆ£ÀåªÁUÀÄªÀÅzÀ£ÀÄß £ÁªÀÅ UÀªÀÄ¤¸ÀÄvÉÛÃªÉ.

¸ÀÆZÀ£É

45


UÀtÂvÀ±Á

¸ÀÛç

ºÁUÀÆ 167 gÀ zÀ±ÀªÀiÁA±À «¸ÀÛgÀuÉAiÀÄÄ CAvÀåªÁUÀÄvÀÛzÉ.

CzÉÃ jÃw, ¢ÃWÀð ¨sÁUÀPÁgÀ «zsÁ£ÀªÀ£ÀÄß §¼À¹ PÉ¼ÀV£À ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼À£ÀÄß

zÀ±ÀªÀiÁA±À gÀÆ¥ÀzÀ°è £ÁªÀÅ ªÀåPÀÛ¥Àr¸À§ºÀÄzÀÄ.

21 = 0.5,

57 = 1.4,

258- = -0.32,

649 = 0.140625,

500527 = 1.054

F GzÁºÀgÀuÉUÀ¼À°è, zÀ±ÀªÀiÁA±À «¸ÀÛgÀuÉAiÀÄÄ CAvÀåUÉÆ¼ÀÄîvÀÛzÉ CxÀªÁ ¥Àj«ÄvÀ

¸ÀASÉåAiÀÄ ºÀAvÀUÀ¼À £ÀAvÀgÀ CAvÀåªÁUÀÄvÀÛzÉ.

¥ÀæªÀÄÄR ¥ÀjPÀ®à£É CAvÀåªÁUÀÄªÀ zÀ±ÀªÀiÁA±À

qp , : , ,

qp

p q q 0andZ Z !! !' 1 £À zÀ±ÀªÀiÁA±À «¸ÀÛgÀuÉAiÀÄÄ CAvÀåªÁzÁUÀ (CAzÀgÉ, CAwªÀÄ ºÀAvÀPÉÌ

§AzÀgÉ), zÀ±ÀªÀiÁA±À «¸ÀÛgÀuÉAiÀÄ£ÀÄß CAvÀåªÁUÀÄªÀ zÀ±ÀªÀiÁA±À J£ÀÄßvÁÛgÉ.

¸ÀAUÀw (ii) ±ÉÃµÀªÀÅ ±ÀÆ£ÀåªÁUÀÄªÀÅzÉÃ E®è

¥ÀæwAiÉÆAzÀÄ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåAiÀÄÄ CAvÀåªÁUÀÄªÀ zÀ±ÀªÀiÁA±À «¸ÀÛgÀuÉAiÀÄ£ÀÄß ºÉÆA¢gÀÄvÀÛzÉAiÉÄÃ?

F ¥Àæ±ÉßAiÀÄ£ÀÄß GvÀÛj¸ÀÄªÀÅzÀQÌAvÀ ªÉÆzÀ®Ä, 115 ,

67 ªÀÄvÀÄÛ

722 UÀ¼À£ÀÄß zÀ±ÀªÀiÁA±À gÀÆ¥ÀzÀ°è £ÁªÀÅ

ªÀåPÀÛ¥Àr¸ÉÆÃt.

.115 0 4545` g= , 1.1666

67 g= , 3.142857

722 1g=

DzÀÝjAzÀ, MAzÀÄ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåAiÀÄ zÀ±ÀªÀiÁA±À «¸ÀÛgÀuÉAiÀÄÄ CAvÀåªÁUÀ¯ÉÃ¨ÉÃPÁV®è.

ªÉÄÃ°£À GzÁºÀgÀuÉUÀ¼À°è, ±ÉÃµÀUÀ¼ÀÄ ±ÀÆ£ÀåªÁUÀzÉÃ EgÀÄªÀÅzÀ£ÀÄß £ÁªÀÅ UÀªÀÄ¤¸ÀÄvÉÛÃªÉ. ºÁUÀÆ PÉ®ªÀÅ

ºÀAvÀUÀ¼À £ÀAvÀgÀ ±ÉÃµÀªÀÅ ¥ÀÄ£ÀgÁªÀvÀð£ÉAiÀiÁUÀÄvÀÛzÉ. DzÀÝjAzÀ ¨sÁUÀ®§ÞzÀ°è CAQUÀ¼À ¥ÀÄ£ÀgÁªÀvÀð£ÉAiÀiÁUÀÄªÀ

(DªÀvÀðªÁUÀÄªÀ) ¨sÁUÀªÀ£ÀÄß £ÁªÀÅ ºÉÆAzÀÄvÉÛÃªÉ.

7.00006 4

6048120112

80800

160.4375

5.00004 4

6055

50446055

110.4545g

50j

7.00006 0

10 6

40364036

61.1666g

403640j

22.0000000021 10 7 30 28 20 14 60 56 40 35 50 49 10

73.142857 142857g

j

46


¸ÀÛç

¥ÀæªÀÄÄR ¥ÀjPÀ®à£É CAvÀåªÁUÀzÀ ªÀÄvÀÄÛ DªÀvÀðªÁUÀÄªÀ zÀ±ÀªÀiÁA±À

qp , : , ,

qp

p q q 0andZ Z !! !' 1 £À zÀ±ÀªÀiÁA±À «¸ÀÛgÀuÉAiÀÄ°è, ±ÉÃµÀªÀÅ ±ÀÆ£ÀåªÁUÀzÉÃ EzÁÝUÀ, sÁUÀ®§ÞzÀ°è CAQUÀ¼À

¥ÀÄ£ÀgÁªÀvÀð£ÉAiÀiÁUÀÄªÀ (DªÀvÀðªÁUÀÄªÀ) sÁUÀªÀ£ÀÄß £ÁªÀÅ ºÉÆAzÀÄvÉÛÃªÉ. F ÀAUÀwAiÀÄ°è,

zÀ±ÀªÀiÁA±À «¸ÀÛgÀuÉAiÀÄ£ÀÄß CAvÀåªÁUÀzÀ ªÀÄvÀÄÛ CªÀvÀðªÁUÀÄªÀ zÀ±ÀªÀiÁA±À J£ÀÄßvÁÛgÉ.

¸ÀAPÉÃvÀªÀ£ÀÄß ¸ÀAQë¥ÀÛUÉÆ½¸À®Ä, ¥ÀÄ£ÀgÁªÀvÀð£ÉAiÀiÁUÀÄªÀ (DªÀvÀðªÁUÀÄªÀ) ¸ÀASÉåAiÀÄ°è£À ªÉÆzÀ®

¨sÁUÀzÀ ªÉÄÃ¯É MAzÀÄ UÉgÉAiÀÄ£ÀÄß J¼ÉAiÀÄÄvÉÛÃªÉ ªÀÄvÀÄÛ G½zÀ ¨sÁUÀUÀ¼À£ÀÄß ©lÄÖ©qÀÄvÉÛÃªÉ.

DzÀÝjAzÀ, 115 ,

67 ªÀÄvÀÄÛ

722 EªÀÅUÀ¼À «¸ÀÛgÀuÉAiÀÄ£ÀÄß PÉ¼ÀV£ÀAvÉ £ÁªÀÅ §gÉAiÀÄ§ºÀÄzÀÄ.

115 = 0.4545g = .0 45 ,

67 = 1.16666g = 1.16

722 = 3.142857 1452857 g = 3.142857

PÉ¼ÀV£À PÉÆÃµÀÖPÀªÀÅ ªÉÆzÀ® ºÀvÀÄÛ ¸Áé¨sÁ«PÀ ¸ÀASÉåUÀ¼À «¯ÉÆÃªÀÄUÀ¼À zÀ±ÀªÀiÁA±À ¥Àæw¤¢üÃPÀgÀtªÀ£ÀÄß

vÉÆÃj¸ÀÄvÀÛzÉ. n JA§ ¸ÀASÉåAiÀÄ «¯ÉÆÃªÀÄªÀÅ n1 JA§ÄzÀÄ £ÀªÀÄUÉ UÉÆvÀÄÛ. ¸Áé¨sÁ«PÀ ¸ÀASÉåUÀ¼À «¯ÉÆÃªÀÄªÀÅ

¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼ÉÃ DVgÀÄvÀÛªÉ.

¸ÀASÉå «¯ÉÆÃªÀÄ zÀ±ÀªÀiÁA±ÀzÀ «zsÀ

1 1.0 CAvÀåªÁUÀÄªÀ


3 .0 3 CAvÀåªÁUÀzÀ ªÀÄvÀÄÛ DªÀvÀðªÁUÀÄªÀ








DzÀÝjAzÀ,

MAzÀÄ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåAiÀÄ£ÀÄß CAvÀåªÁUÀÄªÀ CxÀªÁ CAvÀåªÁUÀzÀ ªÀÄvÀÄÛ

DªÀvÀðªÁUÀÄªÀ zÀ±ÀªÀiÁA±À «¸ÀÛgÀuÉAiÀiÁV ªÀåPÀÛ¥Àr¸À§ºÀÄzÀÄ.

47


UÀtÂvÀ±Á

¸ÀÛç

F ºÉÃ½PÉAiÀÄ «¯ÉÆÃªÀÄªÀÇ ¸ÀºÀ ¸ÀvÀåªÁVzÉ.

CAzÀgÉ, MAzÀÄ ¸ÀASÉåAiÀÄ zÀ±ÀªÀiÁA±À «¸ÀÛgÀuÉAiÀÄÄ CAvÀåªÁzÀgÉ CxÀªÁ CAvÀåªÁUÀzÀ ªÀÄvÀÄÛ

DªÀvÀðªÁzÀgÉ, D ¸ÀASÉåAiÀÄÄ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåAiÀiÁVgÀÄvÀÛzÉ.

£ÁªÀÅ EzÀ£ÀÄß GzÁºÀgÀuÉUÀ½AzÀ zÀÈµÁÖAwÃPÀj¸ÉÆÃt.

2.2.1 CAvÀåªÁUÀÄªÀ zÀ±ÀªÀiÁA±À «¸ÀÛgÀuÉAiÀÄ£ÀÄß qP gÀÆ¥ÀzÀ°è ¥Àæw¤¢ü¸ÀÄªÀÅzÀÄ.

CAvÀåªÁUÀÄªÀ zÀ±ÀªÀiÁA±À «¸ÀÛgÀuÉAiÀÄ£ÀÄß qp (p, q Z! ªÀÄvÀÄÛ q ! 0) gÀÆ¥ÀzÀ°è ¸ÀÄ¯¨sÀªÁV

ªÀåPÀÛ¥Àr¸À§ºÀÄzÀÄ. F «zsÁ£ÀªÀ£ÀÄß PÉ¼ÀV£À GzÁºÀgÀuÉAiÀÄ°è «ªÀj¸À¯ÁVzÉ.

GzÁºÀgÀuÉ 2.2

PÉ¼ÀV£À zÀ±ÀªÀiÁA±À «¸ÀÛgÀuÉAiÀÄ£ÀÄß p ªÀÄvÀÄÛ q UÀ¼ÀÄ ¥ÀÆuÁðAPÀUÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ q ! 0 DVgÀÄªÀ

qp gÀÆ¥ÀzÀ°è ªÀåPÀ Û¥Àr¹j.

(i) 0.75 (ii) 0.625 (iii) 0.5625 (iv) 0.28

¥ÀjºÁgÀ (i) 0.75 = 10075 =

43

(ii) 0.625 = 1000625 =

85

(iii) 0.5625 = 100005625 =

8045 =

169

(iv) 0.28 = 10028 =

257

2.2.2 CAvÀåªÁUÀzÀ ªÀÄvÀÄÛ DªÀvÀðªÁUÀÄªÀ zÀ±ÀªÀiÁA±À «¸ÀÛgÀuÉAiÀÄ£ÀÄß qP gÀÆ¥ÀzÀ°è ªÀåPÀÛ¥Àr¸ÀÄªÀÅzÀÄ.

CAvÀåªÁUÀzÀ ªÀÄvÀÄÛ DªÀvÀðªÁUÀÄªÀ zÀ±ÀªÀiÁA±À «¸ÀÛgÀuÉAiÀÄ£ÀÄß qp (p, q Z! ªÀÄvÀÄÛ q ! 0) gÀÆ¥ÀzÀ°è

ªÀåPÀÛ¥Àr¸ÀÄªÀÅzÀÄ ¸ÀÄ®¨sÀªÀ®è ªÀÄvÀÄÛ F ¥ÀæQæAiÉÄAiÀÄ£ÀÄß ªÀÄÄA¢£À GzÁºÀgÀuÉAiÀÄ°è «ªÀj¸À¯ÁVzÉ.

GzÁºÀgÀuÉ 2.3

PÉ¼ÀV£ÀªÀÅUÀ¼À£ÀÄß p ªÀÄvÀÄÛ q UÀ¼ÀÄ ¥ÀÆuÁðAPÀUÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ q ! 0 DVgÀÄªÀ qp gÀÆ¥ÀzÀ°è ªÀåPÀ Û¥Àr¹j.

(i) 0.47 (ii) 0.001 (iii) 0.57 (iv) 0.245 (v) 0.6 (vi) 1.5

¥ÀjºÁgÀ (i) x = .0 47 DVgÀ°. DUÀ x = 0.474747g

JgÀqÀÄ CAQUÀ¼ÀÄ ¥ÀÄ£ÀgÁªÀvÀð£ÉAiÀiÁUÀÄªÀÅzÀjAzÀ, JgÀqÀÆ §¢UÀ¼À£ÀÄß 100 jAzÀ UÀÄtÂ¹zÁUÀ,

100 x = 47.474747g = 47 + 0.474747g = 47 + x £ÀÄß £ÁªÀÅ ¥ÀqÉAiÀÄÄvÉÛÃªÉ.

99 x = 47

x = 9947 ` .0 47 =

9947

48


¸ÀÛç

(ii) x = .0 001 DVgÀ°. DUÀ x = 0.001001001g

ªÀÄÆgÀÄ CAQUÀ¼ÀÄ ¥ÀÄ£ÀgÁªÀvÀð£ÉAiÀiÁUÀÄªÀÅzÀjAzÀ, JgÀqÀÆ §¢UÀ¼À£ÀÄß 1000 ¢AzÀ UÀÄtÂ¹zÁUÀ,


1000 x - x = 1

999 x = 1

x = 9991 ` .0 001 =

9991

(iii) x = 0.57 DVgÀ°. DUÀ x = 0.57777g

JgÀqÀÆ §¢UÀ¼À£ÀÄß 10 jAzÀ UÀÄtÂ¹zÁUÀ,

10 x = 5.7777g = 5.2 + 0.57777g = 5.2 + x £ÀÄß £ÁªÀÅ ¥ÀqÉAiÀÄÄvÉÛÃªÉ. 9 x = 5.2

x = .95 2

x = 9052 ` 0.57 =

9052 =

4526

(iv) x = 0.245 DVgÀ°. DUÀ x = 0.2454545g


100 x = 24.545454g = 24.3 + 0.2454545g = 24.3 + x £ÀÄß £ÁªÀÅ ¥ÀqÉAiÀÄÄvÉÛÃªÉ.

99 x = 24.3

x = .9924 3

0.245 = 990243 =

11027

(v) x = .0 6 DVgÀ°. DUÀ x = 0.66666g



9 x = 6

x = 96 =

32 .60

32` =

(vi) x = .1 5 DVgÀ°. DUÀ x = 1.55555g



9 x = 14

x = 914 ` .1 5 = 1

95

49


UÀtÂvÀ±Á

¸ÀÛç

DzÀÝjAzÀ, CAvÀåªÁUÀzÀ ªÀÄvÀÄÛ DªÀvÀðªÁUÀÄªÀ zÀ±ÀªÀiÁA±À «¸ÀÛgÀuÉAiÀÄ ¥ÀæwAiÉÆAzÀÄ ¸ÀASÉåAiÀÄ£ÀÄß

p ªÀÄvÀÄÛ q UÀ¼ÀÄ ¥ÀÆuÁðAPÀUÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ q ±ÀÆ£ÀåPÉÌ ÀªÀÄªÁVgÀzÀÀ qp gÀÆ¥ÀzÀ°è ªÀåPÀ Û¥Àr¸À§ºÀÄzÀÄ.

¨sÁUÀ®§Þ ÀASÉåAiÀÄ zÀ±ÀªÀiÁA±À gÀÆ¥ÀªÀÅ CAvÀåªÁUÀÄvÀÛzÉAiÉÄÃ CxÀªÁ CAvÀåªÁUÀÄªÀÅ¢®èªÉÃ JA§ÄzÀ£ÀÄß

PÀAqÀÄ»rAiÀÄ®Ä, PÉ¼ÀV£À ¤AiÀÄªÀÄªÀ£ÀÄß £ÁªÀÅ §¼À¸À§ºÀÄzÀÄ.

qp , : , ,

qp

p q q 0andZ Z !! !' 1 sÁUÀ®§Þ ÀASÉåAiÀÄ£ÀÄß p Z! ªÀÄvÀÄÛ ,m n W! DVgÀÄªÀ p

2 5m n#

gÀÆ¥ÀzÀ°è

ªÀåPÀÛ¥Àr À§ºÀÄzÁzÀgÉ, DUÀ sÁUÀ®§Þ ÀASÉåAiÀÄÄ CAvÀåªÁUÀÄªÀ zÀ±ÀªÀiÁA±À « ÀÛgÀuÉAiÀÄ£ÀÄß ºÉÆA¢gÀÄvÀÛzÉ.

E®è¢zÀÝgÉ, sÁUÀ®§Þ ÀASÉåAiÀÄÄ CAvÀåªÁUÀzÀ ªÀÄvÀÄÛ DªÀvÀðªÁUÀÄªÀ zÀ±ÀªÀiÁA±À « ÀÛgÀuÉAiÀÄ£ÀÄß


F ¥sÀ°vÁA±ÀªÀÅ zÀ±ÀªÀiÁ£À ¥ÀzÀÞwAiÀÄÄ ºÀvÀÛ£ÀÄß CzÀgÀ DzsÁgÀªÁV ºÉÆA¢gÀÄvÀÛzÉ ªÀÄvÀÄÛ 10 gÀ C«¨sÁdå

C¥ÀªÀvÀð£ÀUÀ¼ÀÄ 2ªÀÄvÀÄÛ 5 DVªÉ JA§ ¸ÀvÀåzÀ ªÉÄÃ¯É DzsÁjvÀªÁVzÉ.

GzÁºÀgÀuÉ 2.4

£ÉÊdªÁV sÁV¸ÀzÉAiÉÄÃ, PÉ¼ÀV£À ÀASÉåUÀ¼À zÀ±ÀªÀiÁA±À «¸ÀÛgÀuÉAiÀÄ£ÀÄß CAvÀåªÁUÀÄªÀ CxÀªÁ CAvÀåªÁUÀzÀ

ªÀÄvÀÄÛ DªÀvÀðªÁUÀÄªÀ zÀ±ÀªÀiÁA±ÀUÀ¼ÁV ªÀVÃðPÀj¹.

(i) 167 (ii)

15013 (iii)

7511- (iv)

20017

¥ÀjºÁgÀ

(i) 16 = 24

167 =

274

= 2 5

74 0#

. DzÀÝjAzÀ,167 CAvÀåªÁUÀÄªÀ zÀ±ÀªÀiÁA±À «¸ÀÛgÀuÉAiÀÄ£ÀÄß ºÉÆA¢zÉ.

(ii) 150 = 2 3 52# #

15013 =

2 3 513

2# #

EzÀÄ 2 5

pm n#

gÀÆ¥ÀzÀ°è E®èzÉÃ EgÀÄªÀÅzÀjAzÀ, 15013 CAvÀåªÁUÀzÀ ªÀÄvÀÄÛ DªÀvÀðªÁUÀÄªÀ zÀ±ÀªÀiÁA±À

«¸ÀÛgÀuÉAiÀÄ£ÀÄß ºÉÆA¢zÉ.

(iii) 7511- =

3 511

2#

-

EzÀÄ 2 5

pm n#

gÀÆ¥ÀzÀ°è E®èzÉÃ EgÀÄªÀÅzÀjAzÀ, 7511- CAvÀåªÁUÀzÀ ªÀÄvÀÄÛ DªÀvÀðªÁUÀÄªÀ

zÀ±ÀªÀiÁA±À «¸ÀÛgÀuÉAiÀÄ£ÀÄß ºÉÆA¢zÉ.

(iv) 20017 =

8 2517#

= 2 517

3 2#

. DzÀÝjAzÀ,20017 CAvÀåªÁUÀÄªÀ zÀ±ÀªÀiÁA±À «¸ÀÛgÀuÉAiÀÄ£ÀÄß

ºÉÆA¢zÉ.

50


¸ÀÛç

GzÁºÀgÀuÉ 2.5

0.9 £ÀÄß ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåAiÀiÁV ¥ÀgÀªÀwð¹.

¥ÀjºÁgÀ x = 0.9 DVgÀ°. DUÀ x = 0.99999g JgÀqÀÆ §¢UÀ¼À£ÀÄß 10 jAzÀ UÀÄtÂ¹zÁUÀ, 10x = 9.99999g = 9 + 0.9999g = 9 + x ( 9x = 9 ( x = 1. CAzÀgÉ, 0.9 = 1 (a 1 JA§ÄzÀÄ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉå)

0.9 = 1 JAzÀÄ £ÁªÀÅ ¸Á¢ü¹zÉÝÃªÉ. EzÀÄ D±ÀÑAiÀÄðªÀ®èªÉÃ?

0.9999gJA§ÄzÀÄ 1QÌAvÀ aPÀÌzÀÄ JAzÀÄ £ÀªÀÄä°è ºÀ®ªÀÅ ªÀÄA¢ AiÉÆÃa¸ÀÄvÁÛgÉ.

DzÀgÉ EzÀÄ ºÁUÀ®è. ªÉÄÃ°£À vÀPÀð¢AzÀ 0.9 = 1 JA§ÄzÀÄ ¸ÀàµÀÖªÁVzÉ ºÁUÀÆ

331 1# = DVgÀÄªÁUÀ 3 0.333 .0 999# g g= JA§ ¸ÀvÀåzÉÆA¢UÉ F

¥sÀ°vÁA±ÀªÀÅ ¹ÜgÀvÉAiÀÄ£ÀÄß ºÉÆA¢zÉ.

EzÉÃ jÃw AiÀiÁªÀÅzÉÃ CAvÀåªÁUÀÄªÀ zÀ±ÀªÀiÁA±ÀªÀ£ÀÄß CAvÀåªÁUÀzÀ ªÀÄvÀÄÛ 9gÀ CAvÀå«®èzÀ

¨sÁUÀUÀ¼ÉÆA¢UÉ DªÀvÀðªÁUÀÄªÀ zÀ±ÀªÀiÁA±À «¸ÀÛgÀuÉAiÀiÁV ¥Àæw¤¢ü¸À§ºÀÄzÀÄ.

GzÁºÀgÀuÉUÉ, 6 = 5.9999g , 2.5 = 2.4999g .

C¨sÁå¸À 2.2

1. PÉ¼ÀV£À sÁUÀ®§Þ ÀASÉåUÀ¼À£ÀÄß zÀ±ÀªÀiÁA±ÀUÀ¼ÁV ¥ÀgÀªÀwð¹j ªÀÄvÀÄÛ zÀ±ÀªÀiÁA±À «¸ÀÛgÀuÉAiÀÄ «zsÀªÀ£ÀÄß w½¹j.

(i) 10042 (ii) 8

72 (iii)

5513 (iv)

500459

(v) 111 (vi)

133- (vii)

319 (viii)

327-

2. £ÉÊdªÁV ¨sÁV¸ÀzÉAiÉÄÃ, PÉ¼ÀV£À ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼À°è AiÀiÁªÀÅªÀÅ CAvÀåªÁUÀÄªÀ zÀ±ÀªÀiÁA±À

«¸ÀÛgÀuÉAiÀÄ£ÀÄß ºÉÆA¢ªÉ JA§ÄzÀ£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.

(i) 645 (ii)

1211 (iii)

4027 (iv)

358

3. PÉ¼ÀV£À zÀ±ÀªÀiÁA±À «¸ÀÛgÀuÉUÀ¼À£ÀÄß ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼ÁV ªÀåPÀÛ¥Àr¹j.

(i) .0 18 (ii) .0 427 (iii) .0 0001

(iv) .1 45 (v) .7 3 (vi) 0.416

4. 131 £ÀÄß zÀ±ÀªÀiÁA±À gÀÆ¥ÀzÀ°è ªÀåPÀÛ¥Àr¹. ¥ÀÄ£ÀgÁªÀvÀð£ÉAiÀiÁUÀÄªÀ ¨sÁUÀzÀ°è CAQUÀ¼À ¸ÀASÉåAiÀÄ£ÀÄß

PÀAqÀÄ»r¬Äj.

5. ¨sÁUÁPÁgÀ «zsÁ£À¢AzÀ 71 ªÀÄvÀÄÛ

72 gÀ zÀ±ÀªÀiÁA±À «¸ÀÛgÀuÉAiÀÄ£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj. ¢ÃWÀð ¨sÁUÁPÁgÀ

«zsÁ£ÀªÀ£ÀÄß §¼À¸ÀzÉAiÉÄÃ, 71 gÀ zÀ±ÀªÀiÁA±À «¸ÀÛgÀuÉ¬ÄAzÀ , , ,

73

74

75

76 EªÀÅUÀ¼À zÀ±ÀªÀiÁA±À

«¸ÀÛgÀuÉUÀ¼À£ÀÄß ¥ÀvÉÛºÀaÑj.

¤ªÀÄä aAvÀ£ÉUÁV

51


UÀtÂvÀ±Á

¸ÀÛç

2.3 C¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ (Irrational Numbers) £ÁªÀÅ ªÀÄvÉÆÛªÉÄä ¸ÀASÁågÉÃSÉAiÀÄ£ÀÄß £ÉÆÃqÉÆÃt. ¸ÀASÁågÉÃSÉAiÀÄ ªÉÄÃ¯É ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼À£ÀÄß

£ÁªÀÅ ¥Àæw¤¢ü¹zÉÝÃªÉ. PÉÆnÖgÀÄªÀ AiÀiÁªÀÅzÉÃ JgÀqÀÄ ¨sÁUÀ®§Þ

¸ÀASÉåUÀ¼À £ÀqÀÄªÉ C¥Àj«ÄvÀªÁzÀ ºÀ®ªÁgÀÄ sÁUÀ®§Þ ÀASÉåUÀ½ªÉ

JA§ÄzÀ£ÀÆß ¸ÀºÀ £ÁªÀÅ £ÉÆÃrzÉÝÃªÉ. ¸ÀASÁågÉÃSÉAiÀÄ ªÉÄÃ¯É

¨sÁUÀ®§ÞªÁVgÀzÀ C¥Àj«ÄvÀªÁzÀ ºÀ®ªÁgÀÄ ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ G½¢ªÉ.

E£ÉÆßAzÀÄ jÃwAiÀÄ°è ºÉÃ¼ÀÄªÀÅzÁzÀgÉ zÀ±ÀªÀiÁA±À

«¸ÀÛgÀuÉUÀ¼ÀÄ CAvÀåªÁUÀzÀ ªÀÄvÀÄÛ DªÀvÀðªÁUÀzÀAvÉ PÉ®ªÀÅ ÀASÉåUÀ½ªÉ.

DzÀÝjAzÀ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼À ¥ÀzÀÞwAiÀÄ£ÀÄß «¸ÀÛj¸À¨ÉÃPÁzÀ

CUÀvÀåvÉ EzÉ. PÉ¼ÀV£À zÀ±ÀªÀiÁA±À «¸ÀÛgÀuÉAiÀÄ£ÀÄß ¥ÀjUÀtÂ¹.

0.808008000800008g (1)

EzÀÄ CAvÀåªÁUÀzÀ ¸ÀASÉåAiÀiÁVzÉ. EzÀÄ DªÀvÀðªÉÃ?

F zÀ±ÀªÀiÁA±À «¸ÀÛgÀuÉAiÀÄ°è MAzÀÄ ªÀiÁzÀj EzÉ

JA§ÄzÀÄ ¸ÀvÀå. DzÀgÉ CAvÀå«®èzÉÃ ¥ÀÄ£ÀgÁªÀvÀð£ÉAiÀiÁUÀÄªÀ CAQUÀ¼À ¨sÁUÀ«gÀÄªÀÅ¢®è ªÀÄvÀÄÛ EzÀjAzÀ EzÀÄ

DªÀvÀðªÁVgÀÄªÀÅ¢®è.

DzÀÝjAzÀ, F zÀ±ÀªÀiÁA±À «¸ÀÛgÀuÉAiÀÄÄ CAvÀåªÁUÀzÀ ªÀÄvÀÄÛ ¥ÀÄ£ÀgÁªÀvÀð£ÉAiÀiÁUÀzÀ (DªÀvÀðªÁUÀzÀ)

zÀ±ÀªÀiÁA±ÀªÁVzÉ. DzÀÝjAzÀ EzÀÄ sÁUÀ®§Þ ÀASÉåAiÀÄ£ÀÄß ¥Àæw¤¢ü¸ÀÄªÀÅ¢®è. F «zsÀzÀ ÀASÉåUÀ¼À£ÀÄß C¨sÁUÀ®§Þ

¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ J£ÀÄßvÁÛgÉ.

¥ÀæªÀÄÄR ¥ÀjPÀ®à£É C¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉå

CAvÀåªÁUÀzÀ ªÀÄvÀÄ DªÀvÀðªÁUÀzÀ zÀ±ÀªÀiÁA±À «¸ÀÛgÀuÉAiÀÄ£ÀÄß ºÉÆA¢gÀÄªÀ

¸ÀASÉåAiÀÄ£ÀÄß C¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉå J£ÀÄßvÁÛgÉ. DzÀÝjAzÀ, EzÀ£ÀÄß p ªÀÄvÀÄÛ q UÀ¼ÀÄ

¥ÀÆuÁðAPÀUÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ q 0! DVgÀÄªÀ qp gÀÆ¥ÀzÀ°è §gÉAiÀÄ¯ÁUÀÄªÀÅ¢®è.

GzÁºÀgÀuÉUÉ,

, , , , ,e2 3 5 17r , 0.2020020002g UÀ¼ÀÄ C¨sÁUÀ®§Þ ÀASÉåUÀ¼À PÉ®ªÀÅ GzÁºÀgÀuÉUÀ¼ÁVªÉ.

(1) gÀ°è CAQ 8£ÀÄß £ÁªÀÅ EaÒ¸ÀÄªÀ AiÀiÁªÀÅzÉÃ Áé¨sÁ«PÀ ÀASÉå¬ÄAzÀ §zÀ¯Á¬Ä¸ÀÄªÀÅzÀjAzÀ

C¥Àj«ÄvÀªÁzÀ ºÀ®ªÁgÀÄ CAvÀåªÁUÀzÀ ªÀÄvÀÄÛ DªÀvÀðªÀ®èzÀ zÀ±ÀªÀiÁA±À «¸ÀÛgÀuÉUÀ¼À£ÀÄß £ÁªÀÅ

¸ÀÈ¶Ö¸À§ºÀÄzÀÄ.

r £À §UÉÎ w½zÀÄPÉÆ½î: 18£ÉÃ ±ÀvÀªÀiÁ£ÀPÉÌ ªÉÆzÀ®Ä ¯ÁåA§mïð ªÀÄvÀÄÛ ¯ÉeÉAqÀgï JA§ÄªÀgÀÄ r

JA§ÄzÀÄ MAzÀÄ C¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉå JAzÀÄ ¸Á¢ü¹zÀÝgÀÄ.

£ÁªÀÅ ¸ÁªÀiÁ£ÀåªÁV 722 £ÀÄß (¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉå) r £À (C¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉå) CAzÁdÄ ¨É¯ÉAiÀiÁV

vÉUÉzÀÄPÉÆ¼ÀÄîvÉ ÛÃªÉ.

¸ÀÄªÀiÁgÀÄ Qæ.¥ÀÆ. 500gÀ°è ©ü£ÀßgÁ²AiÀÄ

gÀÆ¥ÀzÀ°è §gÉAiÀÄ®Ä ¸ÁzsÀåªÁUÀzÀ

¸ÀASÉåUÀ¼À£ÀÄß ªÉÆlÖªÉÆzÀ®Ä ¥Àæ¹zÀÞ

VæÃPï£À UÀtÂvÀ±Á¸ÀÛçdÕgÁzÀ ¥ÉÊxÁUÉÆgÀ¸ï£À

C£ÀÄAiÀiÁ¬ÄUÀ¼ÀÄ ¸ÀA±ÉÆÃ¢ü¹zÀgÀÄ. F

¸ÀASÉåUÀ¼À£ÀÄß C¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ JAzÀÄ

PÀgÉAiÀÄÄvÁÛgÉ.

¥ÉÊxÁUÉÆgÀ¸ï

Qæ.¥ÀÆ.569 - Qæ.¥ÀÆ.500

¸ÀÆZÀ£É

52


¸ÀÛç

zÀ±ÀªÀiÁA±À «¸ÀÛgÀuÉUÀ¼À ªÀVÃðPÀgÀt (Classification of Decimal Expansions)

2.4 ªÁ¸ÀÛªÀ ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ (Real Numbers)

¥ÀæªÀÄÄR ¥ÀjPÀ®à£É ªÁ¸ÀÛªÀ ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ

J¯Áè sÁUÀ®§Þ ÀASÉåUÀ¼À UÀt ªÀÄvÀÄÛ J¯Áè C sÁUÀ®§Þ ÀASÉåUÀ¼À UÀt EªÀÅUÀ¼À ÀAAiÉÆÃUÀªÀÅ

J¯Áè ªÁ ÀÛªÀ ÀASÉåUÀ¼À UÀtªÀ£ÀÄß GAlÄªÀiÁqÀÄvÀÛzÉ.

DzÀÝjAzÀ, ¥ÀæwAiÉÆAzÀÄ ªÁ ÀÛªÀ ÀASÉåAiÀÄÄ MAzÀÄ sÁUÀ®§Þ ÀASÉåAiÀiÁVgÀÄvÀÛzÉ CxÀªÁ

MAzÀÄ C sÁUÀ®§Þ ÀASÉåAiÀiÁVgÀÄvÀÛzÉ.

ªÀÄvÉÆÛAzÀÄ jÃwAiÀÄ°è, MAzÀÄ ªÁ ÀÛªÀ ÀASÉåAiÀÄÄ sÁUÀ®§Þ ÀASÉåAiÀÄ®è¢zÀÝgÉ, CzÀÄ

RArvÀªÁV C sÁUÀ®§Þ ÀASÉåAiÀiÁVgÀÄvÀÛzÉ.

J¯Áè ªÁ¸ÀÛªÀ ¸ÀASÉåUÀ¼À UÀtªÀ£ÀÄß R ¤AzÀ ¸ÀÆa¸ÀÄvÁÛgÉ. ¥ÀæwAiÉÆAzÀÄ ªÁ¸ÀÛªÀ ¸ÀASÉåUÉ C£ÀÄUÀÄtªÁV, ªÁ¸ÀÛªÀ ¸ÀASÁågÉÃSÉAiÀÄ ªÉÄÃ¯É MAzÀÄ C£À£Àå ©AzÀÄ

EgÀÄvÀÛzÉ ªÀÄvÀÄÛ ¸ÀASÁågÉÃSÉAiÀÄ ªÉÄÃ°£À ¥ÀæwAiÉÆAzÀÄ ©AzÀÄ«UÉ C£ÀÄUÀÄtªÁV MAzÀÄ C£À£Àå ªÁ¸ÀÛªÀ

¸ÀASÉåAiÀÄÄ EgÀÄvÀÛzÉ JA§ÄzÀ£ÀÄß dªÀÄð£ï UÀtÂvÀ±Á¸ÀÛçdÕgÁzÀ eÁeïðPÁåAlgï ªÀÄvÀÄÛ Dgï. qÉqÉPÉÊAqï

¥ÀævÉåÃPÀªÁV ¸Á¢ü¹zÁÝgÉ.

DzÀÝjAzÀ, ¸ÀASÁågÉÃSÉAiÀÄ ªÉÄÃ¯É, ¥ÀæwAiÉÆAzÀÄ ©AzÀÄªÀÅ MAzÀÄ C£À£Àå ªÁ¸ÀÛªÀ ¸ÀASÉåUÉ

C£ÀÄUÀÄtªÁUÀgÀÄvÀÛzÉ ªÀÄvÀÄÛ ¥ÀæwAiÉÆAzÀÄ ªÁ¸ÀÛªÀ ¸ÀASÉåAiÀÄÄ ¸ÀASÁågÉÃSÉAiÀÄ ªÉÄÃ°£À MAzÀÄ C£À£Àå

©AzÀÄ«¤AzÀ ¥Àæw¤¢ü¸À§ºÀÄzÀÄ.

PÉ¼ÀV£À avÀæªÀÅ ªÁ¸ÀÛªÀ ÀASÉåUÀ¼À£ÀÄß GAlÄªÀiÁqÀÄªÀ UÀtUÀ¼À £ÀqÀÄ«£À ÀA§AzsÀªÀ£ÀÄß zÀÈµÁÖAwÃPÀj¸ÀÄvÀÛzÉ.

¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ

Z

Q

¥ÀÆuÁðAPÀUÀ¼ÀÄ

¥ÀÆtð ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ

ªÁ¸ÀÛªÀ ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ R

W

C¨sÁUÀ®§Þ

¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ

¸Áé sÁ«PÀ ÀASÉåUÀ¼ÀÄ

N

zÀ±ÀªÀiÁA±À «¸ÀÛgÀuÉUÀ¼ÀÄ

¥ÀÄ£ÀgÁªÀvÀð£ÉAiÀiÁUÀzÀ

(C¨sÁUÀ®§Þ)¥ÀÄ£ÀgÁªÀwðvÀÀ

(¨sÁUÀ®§Þ)

CAvÀåªÁUÀzÀCAvÀåªÁUÀÄªÀ(¨sÁUÀ®§Þ)

53


UÀtÂvÀ±Á

¸ÀÛç

2 gÀ ªÀUÀðªÀÄÆ®ªÀ£ÀÄß ¢ÃWÀð ¨sÁUÁPÁgÀ «zsÁ£À¢AzÀ £ÁªÀÅ PÀAqÀÄ»rAiÉÆÃt.

2` = 1.4142135g

F QæAiÉÄAiÀÄ£ÀÄß £ÁªÀÅ ªÀÄÄAzÀÄªÀj¹zÀgÉ, zÀ±ÀªÀiÁA±À «¸ÀÛgÀuÉAiÀÄÄ CAvÀåªÁUÀzÀ

ªÀÄvÀÄÛ DªÀvÀðªÁUÀzÀ CAQUÀ¼À£ÀÄß ºÉÆA¢gÀÄªÀÅzÀ£ÀÄß £ÁªÀÅ UÀªÀÄ¤¸À§ºÀÄzÀÄ ªÀÄvÀÄÛ

EzÀjAzÀ, 2 JA§ÄzÀÄ MAzÀÄ C¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåAiÀiÁVzÉ.

(i) 3 , 5 , 6 ,g EªÀÅUÀ¼À zÀ±ÀªÀiÁA±À «¸ÀÛgÀuÉAiÀÄÄ CAvÀåªÁUÀzÀ ªÀÄvÀÄÛ

DªÀvÀðªÁUÀzÀ zÀ±ÀªÀiÁA±ÀªÁVzÉ. EzÀjAzÀ CªÀÅUÀ¼ÀÄ C¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼ÁVªÉ.

(ii) ¥ÀæwAiÉÆAzÀÄ zsÀ£À ¥ÀÆuÁðAPÀzÀ ªÀUÀðªÀÄÆ®ªÀÅ AiÀiÁªÁUÀ®Æ C¨sÁUÀ®§ÞªÁVgÀÄªÀÅ¢®è.

GzÁºÀgÀuÉUÉ, 4 = 2, 9 = 3, 25 = 5 g . DzÀÝjAzÀ 4 , 9 , 25 , gUÀ¼ÀÄ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼ÁVªÉ.

(iii) ¥ÀÆtð ªÀUÀð ¸ÀASÉåAiÀÄ®èzÀ ¥ÀæwAiÉÆAzÀÄ zsÀ£À ¸ÀASÉåAiÀÄ ªÀUÀðªÀÄÆ®ªÀÅ MAzÀÄ C¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåAiÀiÁVgÀÄvÀÛzÉ.

2.4.1 ¸ÀASÁågÉÃSÉAiÀÄ ªÉÄÃ¯É C¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼À£ÀÄß ¥Àæw¤¢ü¸ÀÄªÀÅzÀÄ.

2 ªÀÄvÀÄÛ 3 C¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼À£ÀÄß ¸ÀASÁågÉÃSÉAiÀÄ ªÉÄÃ¯É FUÀ £ÁªÀÅ UÀÄgÀÄw¸ÉÆÃt.

(i) 2 £ÀÄß ¸ÀASÁågÉÃSÉAiÀÄ ªÉÄÃ¯É UÀÄgÀÄw¸ÀÄªÀÅzÀÄ.

MAzÀÄ ÀASÁågÉÃSÉAiÀÄ£ÀÄß J¼É¬Äj. O AiÀÄÄ ÉÆ£ÉßAiÀÄ£ÀÄß ÀÆa ÀÄªÀAvÉ ªÀÄvÀÄÛ A AiÀÄÄ 1 £ÀÄß ÀÆa ÀÄªÀAvÉ

O ªÀÄvÀÄÛ A ©AzÀÄUÀ¼À£ÀÄß UÀÄgÀÄw¹. CAzÀgÉ, OA = 1 ªÀiÁ£À. AB = 1 ªÀiÁ£À DVgÀÄªÀAvÉ AB=OA J¼É¬Äj.

OB AiÀÄ£ÀÄß ÉÃj¹.

¸ÀÆZÀ£É

2.00 00 00 00 0011 00 96 400 281 11900 11296 60400 56564

383600 282841 10075900 8485269 159063100 141421325 17641775

1

24

281

2824

28282

282841

2828423

28284265

1.4142135g

h

54


¸ÀÛç

OAB ®A§PÉÆÃ£À wæ¨sÀÄdzÀ°è, ¥ÉÊxÁUÉÆgÀ¸ï ¥ÀæªÉÄÃAiÀÄ¢AzÀ, OB2 = OA2 + AB2

= 1 12 2+

OB2 = 2 OB = 2

O £ÀÄß PÉÃAzÀæªÁV¹ ªÀÄvÀÄÛ OB wædå¢AzÀ, O £À §®¨sÁUÀzÀ°è ¸ÀASÁågÉÃSÉAiÀÄ£ÀÄß C £À°è bÉÃ¢¸ÀÄªÀAvÉ MAzÀÄ PÀA¸ÀªÀ£ÀÄß J¼É¬Äj. ¸ÀàµÀÖªÁV OC = OB = 2 . DzÀÝjAzÀ, C AiÀÄÄ ¸ÀASÁågÉÃSÉAiÀÄ ªÉÄÃ¯É

2 £ÀÄß ¥Àæw¤¢ü¸ÀÄvÀÛzÉ.

(ii) 3 £ÀÄß ¸ÀASÁågÉÃSÉAiÀÄ ªÉÄÃ¯É UÀÄgÀÄw¸ÀÄªÀÅzÀÄ.

MAzÀÄ ÀASÁågÉÃSÉAiÀÄ£ÀÄß J¼É¬Äj. O JA§ÄzÀÄ ÉÆ£ÉßAiÀÄ£ÀÄß ÀÆa ÀÄªÀAvÉ ªÀÄvÀÄÛ C AiÀÄÄ 2

ÀASÉåAiÀÄ£ÀÄß ÀÆa ÀÄªÀAvÉ O ªÀÄvÀÄÛC ©AzÀÄUÀ¼À£ÀÄß £ÁªÀÅ FUÀµÉÖÃ ªÉÄÃ É £ÉÆÃrzÀAvÉ UÀÄgÀÄw¹. ` OC = 2 ªÀiÁ£À. CD = 1 ªÀiÁ£À EgÀÄªÀAvÉ CD=OC J¼É¬Äj. OD AiÀÄ£ÀÄß ÉÃj¹.

. OCD ®A§PÉÆÃ£À wæ¨sÀÄdzÀ°è, ¥ÉÊxÁUÉÆgÀ¸ï ¥ÀæªÉÄÃAiÀÄ¢AzÀ, OD2 = OC CD2 2

+

= 122 2+^ h = 3

` OD = 3

O £ÀÄß PÉÃAzÀæªÁV¹ ªÀÄvÀÄÛ OD wædå¢AzÀ, O £À §®¨sÁUÀzÀ°è ¸ÀASÁågÉÃSÉAiÀÄ£ÀÄß E £À°è bÉÃ¢¸ÀÄªÀAvÉ MAzÀÄ PÀA¸ÀªÀ£ÀÄß J¼É¬Äj. ¸ÀàµÀÖªÁV OE = OD = 3 . DzÀÝjAzÀ, E AiÀÄÄ ¸ÀASÁågÉÃSÉAiÀÄ ªÉÄÃ¯É 3 £ÀÄß

¥Àæw¤¢ü¸ÀÄvÀÛzÉ.

GzÁºÀgÀuÉ 2.6 PÉ¼ÀV£À ¸ÀASÉåUÀ¼À£ÀÄß ¨sÁUÀ®§Þ CxÀªÁ C¨sÁUÀ®§ÞUÀ¼ÁV ªÀVÃðPÀj¹.

(i) 11 (ii) 81 (iii) 0.0625 (iv) 0.83 (v) 1.505500555g¥ÀjºÁgÀ

(i) 11 JA§ÄzÀÄ MAzÀÄ C¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåAiÀiÁVzÉ. (11 JA§ÄzÀÄ ¥ÀÆtð ªÀUÀð ¸ÀASÉåAiÀÄ®è)

(ii) 81 = 9 = 19 , MAzÀÄ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉå.

(iii) 0.0625 JA§ÄzÀÄ MAzÀÄ CAvÀåªÁUÀÄªÀ zÀ±ÀªÀiÁA±À.

` 0.0625 JA§ÄzÀÄ MAzÀÄ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉå.

(iv) 0.83 = 0.8333g zÀ±ÀªÀiÁA±À «¸ÀÛgÀuÉAiÀÄÄ CAvÀåªÁUÀzÀ ªÀÄvÀÄÛ DªÀvÀðªÁUÀÄªÀ zÀ±ÀªÀiÁA±ÀªÁVzÉ.

` 0.83 JA§ÄzÀÄ MAzÀÄ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉå.

(v) zÀ±ÀªÀiÁA±À «¸ÀÛgÀuÉAiÀÄÄ CAvÀåªÁUÀzÀ ªÀÄvÀÄÛ DªÀvÀðªÁUÀzÀ zÀ±ÀªÀiÁA±ÀªÁVzÉ.

` 1.505500555g JA§ÄzÀÄ MAzÀÄ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉå.

avÀæ 2.12

2

avÀæ 2.22 3

3

2

55


UÀtÂvÀ±Á

¸ÀÛç

GzÁºÀgÀuÉ 2.7

75 ªÀÄvÀÄÛ

119 gÀ £ÀqÀÄ«£À AiÀiÁªÀÅzÁzÀgÀÆ ªÀÄÆgÀÄ C¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼À£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.

¥ÀjºÁgÀ

75 = .0 714285

119 = 0.8181g = .0 81

75 ªÀÄvÀÄÛ

119 gÀ £ÀqÀÄ«£À (CAzÀgÉ, 0.714285... ªÀÄvÀÄÛ 0.8181...UÀ¼À £ÀqÀÄ«£À) ªÀÄÆgÀÄ C¨sÁUÀ¯§Þ

¸ÀASÉåUÀ¼À£ÀÄß PÀAqÀÄ»rAiÀÄ®Ä, ¸ÀASÉåUÀ¼À zÀ±ÀªÀiÁA±À «¸ÀÛgÀuÉUÀ¼ÀÄ CAvÀåªÁUÀzÀ ªÀÄvÀÄÛ DªÀvÀðªÁUÀzÀAvÀºÀ

ªÀÄÆgÀÄ ¸ÀASÉåUÀ¼À£ÀÄß £ÁªÀÅ PÁtÄvÉÛÃªÉ. EzÀ®èzÉ EAvÀºÀ C¥Àj«ÄvÀªÁzÀ ºÀ®ªÁgÀÄ ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ C°èªÉ. CAvÀºÀ

ªÀÄÆgÀÄ ¸ÀASÉåUÀ¼ÉAzÀgÉ,

0.72022002220002g 0.73033003330003g 0.75055005550005gGzÁºÀgÀuÉ 2.8 PÉ¼ÀV£À ¸À«ÄÃPÀgÀtUÀ¼À°è , ,x y z UÀ¼ÀÄ ¨sÁUÀ®§Þ CxÀªÁ C¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼À£ÀÄß ¸ÀÆa¸ÀÄvÀÛªÉAiÉÄÃ

JA§ÄzÀ£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.

(i) x3 = 8 (ii) x2 = 81 (iii) y2 = 3 (iv) z2 = 0.09 ¥ÀjºÁgÀ (i) x3 = 8 = 23 (8 JA§ÄzÀÄ ¥ÀÆtð WÀ£À) & x = 2 , MAzÀÄ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉå.

(ii) x2 = 81 = 92 (81 JA§ÄzÀÄ ¥ÀÆtð ªÀUÀð) & x = 9, MAzÀÄ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉå. (iii) y2 = 3 & y = 3 , MAzÀÄ C¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉå.

(iv) z2 = 0.09 = 1009 =

103 2

` j

& z = 103 , MAzÀÄ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉå.

5.0000004 9

10 730282014

70.714285g

60564035

50j

9.00008 8

2011

908820

110.8181g

j

56


¸ÀÛç

C¨sÁå¸À 2.31. ¸ÀASÁågÉÃSÉAiÀÄ ªÉÄÃ¯É 5 £ÀÄß UÀÄgÀÄw¹.2. 3 ªÀÄvÀÄÛ 5 gÀ £ÀqÀÄ«£À AiÀiÁªÀÅzÁzÀgÀÆ ªÀÄÆgÀÄ C¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼À£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj. 3. 3 ªÀÄvÀÄÛ 3.5 gÀ £ÀqÀÄ«£À AiÀiÁªÀÅzÁzÀgÀÆ JgÀqÀÄ C¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼À£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.

4. 0.15 ªÀÄvÀÄÛ 0.16 gÀ £ÀqÀÄ«£À AiÀiÁªÀÅzÁzÀgÀÆ JgÀqÀÄ C¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼À£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.

5. 74 ªÀÄvÀÄÛ

75 gÀ £ÀqÀÄªÉ AiÀiÁªÀÅzÁzÀgÀÆ JgÀqÀÄ C¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼À£ÀÄß CAvÀUÀðvÀUÉÆ½¹j.

6. 3 ªÀÄvÀÄÛ 2 gÀ £ÀqÀÄ«£À AiÀiÁªÀÅzÁzÀgÀÆ JgÀqÀÄ C¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼À£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.

7. 1.1011001110001g ªÀÄvÀÄÛ 2.1011001110001gUÀ¼À £ÀqÀÄªÉ EgÀÄªÀ MAzÀÄ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉå

ºÁUÀÆ MAzÀÄ C¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåAiÀÄ£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.

8. 0.12122122212222g ªÀÄvÀÄÛ 0.2122122212222g UÀ¼À £ÀqÀÄ«£À AiÀiÁªÀÅzÁzÀgÀÆ JgÀqÀÄ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼À£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.

2.4.2 ªÁ¸ÀÛªÀ ¸ÀASÉåUÀ¼À£ÀÄß ¸ÀASÁågÉÃSÉAiÀÄ ªÉÄÃ¯É ¥Àæw¤¢ü¸ÀÄªÀÅzÀÄ

AiÀiÁªÀÅzÉÃ ªÁ¸ÀÛªÀ ¸ÀASÉåAiÀÄ£ÀÄß zÀ±ÀªÀiÁA±À «¸ÀÛgÀuÉAiÀiÁV ¥Àæw¤¢ü¸À§ºÀÄzÀÄ JA§ÄzÀ£ÀÄß £ÁªÀÅ

£ÉÆÃrzÉÝÃªÉ. EzÀÄ ªÁ¸ÀÛªÀ ¸ÀASÉåAiÀÄ£ÀÄß ¸ÀASÁågÉÃSÉAiÀÄ ªÉÄÃ¯É ¥Àæw¤¢ü¸À®Ä £ÀªÀÄUÉ ¸ÀºÁAiÀÄ ªÀiÁqÀÄvÀÛzÉ.

ÀASÁågÉÃSÉAiÀÄ ªÉÄÃ É 3.776 £ÀÄß £ÁªÀÅ UÀÄgÀÄw ÉÆÃt. 3.776 JA§ÄzÀÄ 3 ªÀÄvÀÄÛ 4 gÀ £ÀqÀÄªÉ PÀAqÀÄ§gÀÄvÀÛzÉ

JA§ÄzÀÄ £ÀªÀÄUÉ UÉÆwÛzÉ.

ÀASÁågÉÃSÉAiÀÄ ªÉÄÃ°£À 3 ªÀÄvÀÄÛ 4 gÀ £ÀqÀÄ«£À sÁUÀªÀ£ÀÄß £ÁªÀÅ À«ÄÃ¥À¢AzÀ £ÉÆÃqÉÆÃt.

3 ªÀÄvÀÄ 4gÀ £ÀqÀÄ«£À ¨sÁUÀªÀ£ÀÄß 10 ¸ÀªÀÄ ¨sÁUÀUÀ¼ÁV «¨sÁV¹ ªÀÄvÀÄÛ «¨sÁV¹zÀ ¥Àæw ©AzÀÄªÀ£ÀÄß

avÀæ 2.3 gÀ°ègÀÄªÀAvÉ UÀÄgÀÄw¹. £ÀAvÀgÀ 3 gÀ §®¨sÁUÀQÌgÀÄªÀ ªÉÆzÀ® UÀÄgÀÄvÀÄ 3.1 DVzÉ, JgÀqÀ£ÉAiÀÄzÀÄ 3.2

DVzÉ ªÀÄvÀÄÛ »ÃUÉAiÉÄÃ ªÀÄÄAzÀÄªÀjAiÀÄÄvÀÛzÉ. EzÀ£ÀÄß ¸ÀàµÀ×ªÁV £ÉÆÃqÀ®Ä MAzÀÄ ªÀzsÀðPÀ UÁd£ÀÄß vÉUÉzÀÄPÉÆ½î

ºÁUÀÆ 3 ªÀÄvÀÄÛ 4 gÀ £ÀqÀÄ«£À ¨sÁUÀªÀ£ÀÄß £ÉÆÃr. EzÀÄ avÀæ 2.3 gÀ°è vÉÆÃj¹gÀÄªÀAvÉ PÁtÄvÀÛzÉ. FUÀ 3.776

JA§ÄzÀÄ 3.7 ªÀÄvÀÄÛ 3.8 gÀ £ÀqÀÄªÉ PÀAqÀÄ§gÀÄvÀÛzÉ. DzÀÝjAzÀ, 3.7 ªÀÄvÀÄÛ 3.8 gÀ £ÀqÀÄ«£À ¨sÁUÀªÀ£ÀÄß £ÁªÀÅ

UÀªÀÄ¤¸ÉÆÃt. (avÀæ 2.4)

avÀæ 2.3

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

3 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 4

avÀæ 2.4

3 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 4

3.7 3.71 3.72 3.73 3.74 3.75 3.76 3.77 3.78 3.79 3.8

57


UÀtÂvÀ±Á

¸ÀÛç

3.7 ªÀÄvÀÄÛ 3.8 gÀ £ÀqÀÄ«£À ¨sÁUÀªÀ£ÀÄß 10 ¸ÀªÀÄ ¨sÁUÀUÀ¼ÁV ¥ÀÄ£ÀB «¨sÁV¹. ªÉÆzÀ® UÀÄgÀÄvÀÄ 3.71

£ÀÄß, ªÀÄÄA¢£ÀzÀÄ 3.72 £ÀÄß ¸ÀÆa¸ÀÄvÀÛzÉ ªÀÄvÀÄÛ »ÃUÉAiÉÄÃ ªÀÄÄAzÀÄªÀjAiÀÄÄvÀÛzÉ. F ¨sÁUÀªÀ£ÀÄß ¸ÀàµÀ×ªÁV

£ÉÆÃqÀ®Ä, 3.7 ªÀÄvÀÄÛ3.8 gÀ £ÀqÀÄ«£À ¨sÁUÀªÀ£ÀÄß avÀæ 2.4 gÀ°è vÉÆÃj¹gÀÄªÀAvÉ £ÁªÀÅ ªÀ¢üð¸ÉÆÃt.

£ÀAvÀgÀ, 3.776 JA§ÄzÀÄ 3.77 ªÀÄvÀÄÛ 3.78 gÀ £ÀqÀÄªÉ PÀAqÀÄ§gÀÄvÀÛzÉ. DzÀÝjAzÀ, F ¨sÁUÀªÀ£ÀÄß 10

¸ÀªÀÄ ¨sÁUÀUÀ¼ÁV £ÁªÀÅ «¨sÁV¸ÉÆÃt. F ¨sÁUÀªÀ£ÀÄß ¸ÀàµÀ×ªÁV £ÉÆÃqÀ®Ä avÀæ 2.5 gÀ°ègÀÄªÀAvÉ ªÀ¢üð¸ÉÆÃt.

ªÉÆzÀ® UÀÄgÀÄvÀÄ 3.771 £ÀÄß, £ÀAvÀgÀzÀ UÀÄgÀÄvÀÄ 3.772 £ÀÄß ¸ÀÆa¸ÀÄvÀÛzÉ ªÀÄvÀÄÛ »ÃUÉAiÉÄÃ

ªÀÄÄAzÀÄªÀjAiÀÄÄvÀÛzÉ. DzÀÝjAzÀ 3.776 JA§ÄzÀÄ F G¥À «¨sÁUÀUÀ¼À°è 6 £ÉAiÀÄ UÀÄgÀÄvÁVzÉ.

ªÀzsÀðPÀ UÁf£À ªÀÄÆ®PÀ ¸ÀASÁågÉÃSÉAiÀÄ ªÉÄÃ¯É ¸ÀASÉåUÀ¼À ¥Àæw¤¢üPÀgÀtzÀ £ÉÆÃlzÀ ¥ÀæQæAiÉÄAiÀÄ£ÀÄß

PÀæªÀiÁ£ÀÄUÀvÀ ªÀzsÀðPÀ ¥ÀæQæAiÉÄ J£ÀÄßvÁÛgÉ.

DzÀÝjAzÀ, CUÀvÀåªÁzÀÀµÀÄÖ PÀæªÀiÁ£ÀÄUÀvÀ ªÀzsÀðPÀUÀ½AzÀ ¸ÀASÁågÉÃSÉAiÀÄ ªÉÄÃ¯É CAvÀåªÁUÀÄªÀ zÀ±ÀªÀiÁA±À

«¸ÀÛgÀuÉAiÉÆA¢UÉ ªÁ¸ÀÛªÀ ¸ÀASÉåUÀ¼À ¸ÁÜ£ÀªÀ£ÀÄß £ÁªÀÅ £ÉÆÃqÀ§ºÀÄzÀÄ.

FUÀ, CAvÀåªÁUÀzÀ DªÀvÀðªÁUÀÄªÀ zÀ±ÀªÀiÁA±À «¸ÀÛgÀuÉAiÉÆA¢UÉ MAzÀÄ ªÁ¸ÀÛªÀ ¸ÀASÉåAiÀÄ£ÀÄß £ÁªÀÅ

¥ÀjUÀtÂ¸ÉÆÃt ªÀÄvÀÄÛ ¸ÀASÁågÉÃSÉAiÀÄ ªÉÄÃ¯É CzÀgÀ ¸ÁÜ£ÀªÀ£ÀÄß £ÉÆÃqÀ®Ä ¥ÀæAiÀÄwß¸ÉÆÃt.

GzÁºÀgÀuÉ 2.9 ¸ÀASÁågÉÃSÉAiÀÄ ªÉÄÃ¯É 4.26 ¸ÀASÉåAiÀÄ£ÀÄß 4 zÀ±ÀªÀiÁA±À ¸ÁÜ£ÀzÀªÀgÉUÉ, CAzÀgÉ 4.2626 ªÀgÉUÉ

UÀÄgÀÄw¹j.

¥ÀjºÁgÀ PÀæªÀiÁ£ÀÄUÀvÀ ªÀzsÀðPÀ ¥ÀæQæAiÉÄ¬ÄAzÀ ¸ÀASÁågÉÃSÉAiÀÄ ªÉÄÃ¯É .4 26 £ÀÄß £ÁªÀÅ UÀÄgÀÄw¸ÉÆÃt.

EzÀ£ÀÄß avÀæ 2.6 gÀ°è zÀÈµÁÖAwÃPÀj¸À¯ÁVzÉ.

ºÀAvÀ 1: .4 26 JA§ÄzÀÄ 4 ªÀÄvÀÄÛ 5gÀ £ÀqÀÄªÉ PÀAqÀÄ§gÀÄvÀÛzÉ JA§ÄzÀ£ÀÄß £ÁªÀÅ ªÉÆzÀ®Ä UÀªÀÄ¤¸À¨ÉÃPÀÄ.

ºÀAvÀ 2: 4 ªÀÄvÀÄÛ 5gÀ £ÀqÀÄ«£À ¨sÁUÀªÀ£ÀÄß 10 ¸ÀªÀÄ ¨sÁUÀUÀ¼ÁV «¨sÁV¹j ªÀÄvÀÄÛ .4 26 JA§ÄzÀÄ 4.2 ªÀÄvÀÄÛ

4.3 gÀ £ÀqÀÄªÉ PÀAqÀÄ§gÀÄªÀÅzÀ£ÀÄß £ÉÆÃqÀ®Ä MAzÀÄ ªÀzsÀðPÀ UÁd£ÀÄß G¥ÀAiÉÆÃV¹.

ºÀAvÀ 3: 4.2 ªÀÄvÀÄÛ 4.3 gÀ £ÀqÀÄ«£À ¨sÁUÀªÀ£ÀÄß 10 ¸ÀªÀÄ ¨sÁUÀUÀ¼ÁV «¨sÁV¹j ªÀÄvÀÄÛ .4 26 JA§ÄzÀÄ 4.26

ªÀÄvÀÄÛ 4.27 gÀ gÀ £ÀqÀÄªÉ PÀAqÀÄ§gÀÄªÀÅzÀ£ÀÄß £ÉÆÃqÀ®Ä MAzÀÄ ªÀzsÀðPÀ UÁd£ÀÄß G¥ÀAiÉÆÃV¹.

ºÀAvÀ 4: 4.26 ªÀÄvÀÄÛ 4.27 gÀ £ÀqÀÄ«£À ¨sÁUÀªÀ£ÀÄß 10 ¸ÀªÀÄ ¨sÁUÀUÀ¼ÁV «¨sÁV¹j ªÀÄvÀÄÛ .4 26 JA§ÄzÀÄ

4.262 ªÀÄvÀÄÛ 4.263 gÀ gÀ £ÀqÀÄªÉ PÀAqÀÄ§gÀÄªÀÅzÀ£ÀÄß £ÉÆÃqÀ®Ä MAzÀÄ ªÀzsÀðPÀ UÁd£ÀÄß G¥ÀAiÉÆÃV¹.

ºÀAvÀ 5: 4.262 ªÀÄvÀÄÛ 4.263 gÀ £ÀqÀÄ«£À ¨sÁUÀªÀ£ÀÄß 10 ¸ÀªÀÄ ¨sÁUÀUÀ¼ÁV «¨sÁV¹j ªÀÄvÀÄÛ .4 26 JA§ÄzÀÄ 4.2625 ªÀÄvÀÄÛ 4.2627 gÀ £ÀqÀÄªÉ PÀAqÀÄ§gÀÄªÀÅzÀ£ÀÄß £ÉÆÃqÀ®Ä MAzÀÄ ªÀzsÀðPÀ UÁd£ÀÄß

G¥ÀAiÉÆÃV¹.

avÀæ 2.5

3.7 3.71 3.72 3.73 3.74 3.75 3.76 3.77 3.78 3.79 3.8

3.77 3.771 3.772 3.773 3.774 3.775 3.776 3.777 3.778 3.779 3.78

58


¸ÀÛç

.4 26 JA§ÄzÀÄ 4.262 QÌAvÀ 4.263PÉÌ ¸À«ÄÃ¥ÀªÁV PÁtÄªÀÅzÀ£ÀÄß £ÁªÀÅ UÀªÀÄ¤¸ÀÄvÉÛÃªÉ.

¸ÀASÁågÉÃSÉAiÀÄ ªÉÄÃ¯É CAvÀåªÁUÀzÀ ªÀÄvÀÄÛ DªÀvÀðªÁUÀzÀ zÀ±ÀªÀiÁA±À «¸ÀÛgÀuÉAiÉÆA¢UÉ MAzÀÄ ªÁ¸ÀÛªÀ

¸ÀASÉåAiÀÄ£ÀÄß ¨ÉÃPÁzÀ ¤RgÀvÉUÉ £ÉÆÃqÀ®Ä EzÉÃ PÀæªÀÄªÀ£ÀÄß §¼À¸À§ºÀÄzÁVzÉ.

ªÉÄÃ°£À ZÀZÉð ªÀÄvÀÄÛ £ÉÆÃl¢AzÀ, ¥ÀæwAiÉÆAzÀÄ ªÁ¸ÀÛªÀ ¸ÀASÉåAiÀÄ£ÀÄß ¸ÀASÁågÉÃSÉAiÀÄ ªÉÄÃ¯É KPÉÊPÀ

©AzÀÄ«¤AzÀ ¥Àæw¤¢ü¸À§ºÀÄzÀÄ JAzÀÄ £ÁªÀÅ ¥ÀÄ£ÀB wÃªÀiÁð¤¸À§ºÀÄzÀÄ. £ÀAvÀgÀ ¸ÀASÁågÉÃSÉAiÀÄ ªÉÄÃ°£À

¥ÀæwAiÉÆAzÀÄ ©AzÀÄªÀÅ MAzÉÃ MAzÀÄ ªÁ¸ÀÛªÀ ¸ÀASÉåAiÀÄ£ÀÄß ªÀiÁvÀæ ¥Àæw¤¢ü¸ÀÄvÀÛzÉ.

2.4.3 ªÁ¸ÀÛªÀ ¸ÀASÉåUÀ¼À UÀÄt®PÀëtUÀ¼ÀÄ (Properties of Real Numbers)

¯ a ªÀÄvÀÄÛ b JA§ AiÀiÁªÀÅzÉÃ JgÀqÀÄ ªÁ¸ÀÛªÀ ¸ÀASÉåUÀ½UÉ, a b= CxÀªÁ a b> CxÀªÁ a b< .

¯ JgÀqÀÄ ªÁ¸ÀÛªÀ ¸ÀASÉåUÀ¼À ªÉÆvÀÛ, ªÀåvÁå¸À ªÀÄvÀÄÛ UÀÄt®§ÞªÀÅ ¸ÀºÀ ªÁ¸ÀÛªÀ ¸ÀASÉåAiÉÄÃ DVgÀÄvÀÛzÉ.

¯ ±ÀÆ£ÀåªÀ®èzÀ ªÁ¸ÀÛªÀ ÀASÉå¬ÄAzÀ MAzÀÄ ªÁ¸ÀÛªÀ ÀASÉåAiÀÄ sÁUÁPÁgÀªÀÅ ÀºÀ ªÁ¸ÀÛªÀ ÀASÉåAiÀiÁVgÀÄvÀÛzÉ.

¯ ªÁ¸ÀÛªÀ ÀASÉåUÀ¼ÀÄ ÀAPÀ®£À ªÀÄvÀÄÛ UÀÄuÁPÁgÀzÀ°è DªÀÈvÀ, ÀºÀªÀvÀð¤ÃAiÀÄ, ¥ÀjªÀvÀð¤ÃAiÀÄ ªÀÄvÀÄÛ

«¨sÁdPÀ ¤AiÀÄªÀÄUÀ½UÉ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼ÀAvÉAiÉÄÃ M¼À¥ÀnÖªÉ.

¯ ¥ÀæwAiÉÆAzÀÄ ªÁ¸ÀÛªÀ ¸ÀASÉåAiÀÄÄ CzÀgÀ IÄt ªÁ¸ÀÛªÀ ¸ÀASÉåAiÀÄ£ÀÄß ºÉÆA¢gÀÄvÀÛzÉ. ¸ÉÆ£Éß JA§

¸ÀASÉåAiÀÄ IÄuÁvÀäPÀ ¸ÀASÉåAiÀÄÄ CzÉÃ DVzÉ ªÀÄvÀÄÛ ¸ÉÆ£Éß JA§ÄzÀ£ÀÄß zsÀ£ÁvÀäPÀ CxÀªÁ

IÄuÁvÀäPÀ JAzÀÄ ¥ÀjUÀtÂ¸À¯ÁUÀÄªÀÅ¢®è.

£ÀAvÀgÀ, JgÀqÀÄ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼À ªÉÆvÀÛ, ªÀåvÁå¸À, UÀÄt®§Þ ªÀÄvÀÄÛ ¨sÁUÀ®§ÞªÀÅ (¸ÉÆ£Éß¬ÄAzÀ

¨sÁV¸ÀÄªÀÅzÀ£ÀÄß ºÉÆgÀvÀÄ¥Àr¹) ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåAiÉÄÃ DVgÀÄvÀÛzÉ. DzÁUÀÆå, JgÀqÀÄ C¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼À

ªÉÆvÀÛ, ªÀåvÁå¸À, UÀÄt®§Þ ªÀÄvÀÄÛ ¨sÁUÀ®§ÞUÀ¼ÀÄ PÉ®ªÀÅ ªÉÃ¼É ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåAiÀiÁV ¥ÀjªÀvÀð£ÉAiÀiÁUÀ§ºÀÄzÀÄ.

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

4 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5

4.262 4.2621 4.2622 4.2623 4.2624 4.2625 4.2626 4.2627 4.2628 4.2629 4.263

4.26 4.261 4.262 4.263 4.264 4.265 4.266 4.267 4.268 4.269 4.27

4.2 4.21 4.22 4.23 4.24 4.25 4.26 4.27 4.28 4.29 4.3

avÀæ 2.6

59


UÀtÂvÀ±Á

¸ÀÛç

¨sÁUÀ®§Þ ÀASÉåUÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ C¨sÁUÀ®§Þ ÀASÉåUÀ¼À£ÀÄß PÀÄjvÀÄ PÉ¼ÀV£À ¤eÁA±ÀUÀ¼À£ÀÄß £ÁªÀÅ ªÁåSÁå¤¸ÉÆÃt.

¥ÀæªÀÄÄR ¥ÀjPÀ®à£É

1. sÁUÀ®§Þ ÀASÉå ªÀÄvÀÄÛ C¨sÁUÀ®§Þ ÀASÉåAiÀÄ ªÉÆvÀÛ CxÀªÁ ªÀåvÁå¸ÀªÀÅ AiÀiÁªÁUÀ®Æ

C¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåAiÀiÁVgÀÄvÀÛzÉ.

2. ±ÀÆ£ÀåªÀ®èzÀ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉå ªÀÄvÀÄÛ C¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåAiÀÄ UÀÄt®§Þ CxÀªÁ

¨sÁUÀ®§ÞªÀÅ ¸ÀºÀ MAzÀÄ C¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåAiÀiÁVgÀÄvÀÛzÉ.

3. JgÀqÀÄ C¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼À ªÉÆvÀÛ, ªÀåvÁå¸À, UÀÄt®§Þ CxÀªÁ ¨sÁUÀ®§ÞªÀÅ

C¨sÁUÀ®§ÞªÁVgÀ¯ÉÃ¨ÉÃPÁV®è. ¥sÀ°vÁA±ÀªÀÅ sÁUÀ®§Þ CxÀªÁ C¨sÁUÀ®§ÞªÁVgÀ§ºÀÄzÀÄ.

a JA§ÄzÀÄ MAzÀÄ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉå ªÀÄvÀÄÛ b AiÀÄÄ MAzÀÄ C¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåAiÀiÁzÀgÉ,

(i) a b+ AiÀÄÄ C¨sÁUÀ®§Þ (ii) a b- AiÀÄÄ C¨sÁUÀ®§Þ

(iii) a b AiÀÄÄ C¨sÁUÀ®§Þ (iv) b

a AiÀÄÄ C¨sÁUÀ®§Þ (v) ab AiÀÄÄ C¨sÁUÀ®§Þ

GzÁºÀgÀuÉUÉ, (i) 2 3+ AiÀÄÄ C¨sÁUÀ®§ÞªÁVzÉ (ii) 2 3- AiÀÄÄ C¨sÁUÀ®§ÞªÁVzÉ (iii) 2 3 AiÀÄÄ C¨sÁUÀ®§ÞªÁVzÉ (iv)

3

2 AiÀÄÄ C¨sÁUÀ®§ÞªÁVzÉ

2.4.4 ªÁ¸ÀÛªÀ ¸ÀASÉåUÀ¼À ªÀUÀðªÀÄÆ® (Square Root of Real Numbers)

0a > JA§ÄzÀÄ MAzÀÄ ªÁ¸ÀÛªÀ ¸ÀASÉåAiÀiÁVgÀ°. DUÀ a b= JA§ÄzÀgÀ CxÀðªÀÅ b a2=

ªÀÄvÀÄÛ 0b > DVzÉ. 2 JA§ÄzÀÄ 4 gÀ ªÀUÀðªÀÄÆ®. KPÉAzÀgÉ, 2 2 4# = . DzÀgÉ 2- ÀºÀ 4 gÀ ªÀUÀðªÀÄÆ®ªÁVzÉ. KPÉAzÀgÉ,( ) ( )2 2 4#- - = . EªÉgÀqÀgÀ £ÀqÀÄ«£À UÉÆAzÀ®ªÀ£ÀÄß vÀqÉUÀlÖ®Ä JA§ aºÉßAiÀÄ£ÀÄß £ÁªÀÅ §¼À ÀÄvÉÛÃªÉ. EzÀgÀ

CxÀðªÀÅ zsÀ£ÁvÀäPÀ ªÀUÀðªÀÄÆ®ªÁVzÉ. ªÀUÀðªÀÄÆ®PÉÌ ÀA§A¢ü¹zÀAvÉ PÉ®ªÀÅ G¥ÀAiÀÄÄPÀÛ ¤vÀå À«ÄÃPÀgÀtUÀ¼À£ÀÄß £ÁªÀÅ FUÀ w½AiÉÆÃt.

a ªÀÄvÀÄÛ b UÀ¼ÀÄ zsÀ£ÁvÀäPÀ ªÁ¸ÀÛªÀ ¸ÀASÉåUÀ¼ÁVgÀ°. DUÀ

1 ab = a b

2 ba =

b

a

3 a b a b+ -^ ^h h = a b-

4 a b a b+ -^ ^h h = a b2-

5 a b c d+ +^ ^h h = ac ad bc bd+ + +

6 a b2

+^ h = a b ab2+ +

UÀªÀÄ¤¹j

60


¸ÀÛç

GzÁºÀgÀuÉ 2.10

PÉ¼ÀUÉ w½¹gÀÄªÀAvÉ JgÀqÀÄ C¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼À£ÀÄß ¤Ãrj.

(i) ªÉÆvÀÛªÀÅ MAzÀÄ C¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåAiÀiÁUÀÄªÀAvÉ.

(ii) ªÉÆvÀÛªÀÅ MAzÀÄ C¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåAiÀiÁUÀ¢gÀÄªÀAvÉ.

(iii) ªÀåvÁå¸ÀªÀÅ MAzÀÄ C¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåAiÀiÁUÀÄªÀAvÉ.

(iv) ªÀåvÁå¸ÀªÀÅ MAzÀÄ C¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåAiÀiÁUÀ¢gÀÄªÀAvÉ.

(v) UÀÄt®§ÞªÀÅ MAzÀÄ C¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåAiÀiÁUÀÄªÀAvÉ.

(vi) UÀÄt®§ÞªÀÅ MAzÀÄ C¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåAiÀiÁUÀ¢gÀÄªÀAvÉ.

(vii) ¨sÁUÀ®§ÞªÀÅ MAzÀÄ C¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåAiÀiÁUÀÄªÀAvÉ.

(viii) ¨sÁUÀ®§ÞªÀÅ MAzÀÄ C¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåAiÀiÁUÀ¢gÀÄªÀAvÉ.

¥ÀjºÁgÀ

(i) 2 3+ ªÀÄvÀÄÛ 3 2- JA§ JgÀqÀÄ C¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼À£ÀÄß vÉUÉzÀÄPÉÆ½î.

CªÀÅUÀ¼À ªÉÆvÀÛ = 2 3+ + 3 2- = 2 3 JA§ÄzÀÄ MAzÀÄ C¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉå.

(ii) 2 ªÀÄvÀÄÛ 2- JA§ JgÀqÀÄ C¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼À£ÀÄß vÉUÉzÀÄPÉÆ½î.

CªÀÅUÀ¼À ªÉÆvÀÛ = 2 + ( 2- ) = 0 JA§ÄzÀÄ MAzÀÄ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉå.

(iii) 3 ªÀÄvÀÄÛ 2 JA§ JgÀqÀÄ C¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼À£ÀÄß vÉUÉzÀÄPÉÆ½î.

CªÀÅUÀ¼À ªÀåvÁå¸À = 3 2- JA§ÄzÀÄ MAzÀÄ C¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉå.

(iv) 5 3+ ªÀÄvÀÄÛ 3 5- JA§ JgÀqÀÄ C¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼À£ÀÄß vÉUÉzÀÄPÉÆ½î.

CªÀÅUÀ¼À ªÀåvÁå¸À = (5 3+ ) - ( 3 5- ) = 10 JA§ÄzÀÄ MAzÀÄ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉå.

(v) 3 ªÀÄvÀÄÛ 5 JA§ JgÀqÀÄ C¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼À£ÀÄß vÉUÉzÀÄPÉÆ½î.

CªÀÅUÀ¼À UÀÄt®§Þ = 3 5# = 15 JA§ÄzÀÄ MAzÀÄ C¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉå.

(vi) 18 ªÀÄvÀÄÛ 2 JA§ JgÀqÀÄ C¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼À£ÀÄß vÉUÉzÀÄPÉÆ½î.

CªÀÅUÀ¼À UÀÄt®§Þ = 18 # 2 = 36 = 6 JA§ÄzÀÄ MAzÀÄ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉå.

(vii) 15 ªÀÄvÀÄÛ 3 JA§ JgÀqÀÄ C¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼À£ÀÄß vÉUÉzÀÄPÉÆ½î.

CªÀÅUÀ¼À ¨sÁUÀ®§Þ = 3

15 = 315 = 5 JA§ÄzÀÄ MAzÀÄ C¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉå.

(viii) 75 ªÀÄvÀÄÛ 3 JA§ JgÀqÀÄ C¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼À£ÀÄß vÉUÉzÀÄPÉÆ½î.

CªÀÅUÀ¼À ¨sÁUÀ®§Þ = 3

75 = 375 = 5 JA§ÄzÀÄ MAzÀÄ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉå.

61


UÀtÂvÀ±Á

¸ÀÛç

C¨sÁå¸À 2.4

1. PÀæªÀiÁ£ÀÄUÀvÀ ªÀzsÀðPÀ ¥ÀæQæAiÉÄAiÀÄ£ÀÄß §¼À¹PÉÆAqÀÄ

(i) 3.456 £ÀÄß ¸ÀASÁågÉÃSÉAiÀÄ ªÉÄÃ¯É UÀÄgÀÄw¹j.

(ii) 6.73 £ÀÄß ¸ÀASÁågÉÃSÉAiÀÄ ªÉÄÃ¯É 4 zÀ±ÀªÀiÁA±À ¸ÁÜ£ÀUÀ¼ÀªÀgÉUÉ UÀÄgÀÄw¹j.

C¨sÁå¸À 2.5

§ºÀÄ DAiÉÄÌ ªÀiÁzÀj ¥Àæ±ÉßUÀ¼ÀÄ.1. MAzÀÄ ¸ÀASÉåAiÀÄÄ CAvÀåªÁUÀzÀ ªÀÄvÀÄÛ DªÀvÀðªÁUÀÄªÀ zÀ±ÀªÀiÁA±À «¸ÀÛgÀuÉAiÀÄ£ÀÄß ºÉÆA¢zÀÝgÉ, CzÀÄ

(a) MAzÀÄ ¥ÀÆuÁðAPÀ (B) MAzÀÄ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉå

(C) MAzÀÄ C¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉå (D) MAzÀÄ ¥ÀÆtð ¸ÀASÉå

2. MAzÀÄ ¸ÀASÉåAiÀÄÄ CAvÀåªÁUÀzÀÀ ªÀÄvÀÄÛ DªÀvÀðªÁUÀzÀÀ zÀ±ÀªÀiÁA±À «¸ÀÛgÀuÉAiÀÄ£ÀÄß ºÉÆA¢zÀÝgÉ, CzÀÄ

(a) MAzÀÄ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉå (B) MAzÀÄ ¸Áé¨sÁ«PÀ ¸ÀASÉå

(C) MAzÀÄ C¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉå (D) MAzÀÄ ¥ÀÆuÁðAPÀ

3. 43- gÀ zÀ±ÀªÀiÁA±À gÀÆ¥ÀªÀÅ

(a) – 0.75 (B) – 0.50 (C) – 0.25 (D) – 0.125

4. 0.3 gÀ qp gÀÆ¥ÀªÀÅ

(a) 71 (B)

72 (C)

31 (D)

32

5. PÉ¼ÀV£ÀªÀÅUÀ¼À°è AiÀiÁªÀÅzÀÄ ¸ÀjAiÀiÁV®è?

(a) ¥ÀæwAiÉÆAzÀÄ ¸Áé¨sÁ«PÀ ¸ÀASÉåAiÀÄÄ MAzÀÄ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåAiÀiÁVzÉ.

(B) ¥ÀæwAiÉÆAzÀÄ ªÁ¸ÀÛªÀ ¸ÀASÉåAiÀÄÄ MAzÀÄ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåAiÀiÁVzÉ.

(C) ¥ÀæwAiÉÆAzÀÄ ¥ÀÆtð ¸ÀASÉåAiÀÄÄ MAzÀÄ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåAiÀiÁVzÉ.

(D) ¥ÀæwAiÉÆAzÀÄ ¥ÀÆuÁðAPÀªÀÇ MAzÀÄ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåAiÀiÁVzÉ.

6. PÉ¼ÀV£ÀªÀÅUÀ¼À°è AiÀiÁªÀÅzÀÄ CAvÀåªÁUÀÄªÀ zÀ±ÀªÀiÁA±À «¸ÀÛgÀuÉAiÀÄ£ÀÄß ºÉÆA¢gÀÄvÀÛzÉ?

(a) 325 (B)

97 (C)

158 (D)

121

7. PÉ¼ÀV£ÀªÀÅUÀ¼À°è AiÀiÁªÀÅzÀÄ C¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåAiÀiÁVzÉ?

(a) r (B) 9 (C) 41 (D)

51

62


¸ÀÛç


8. PÉ¼ÀV£ÀªÀÅUÀ¼À°è AiÀiÁªÀÅªÀÅ C¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼ÁVªÉ?

(i) 2 3+ (ii) 4 25+ (iii) 5 73+ (iv) 8 83

-

(a) (ii),(iii) ªÀÄvÀÄÛ (iv) (B) (i),(ii) ªÀÄvÀÄÛ (iv)

(C) (i),(ii) ªÀÄvÀÄÛ (iii) (D) (i),(iii) ªÀÄvÀÄÛ (iv)

� qp , 0q ! zÀ±ÀªÀiÁA±À «¸ÀÛgÀuÉAiÀÄÄ CAvÀåªÁzÁUÀ, CAzÀgÉ CAwªÀÄ ºÀAvÀPÉÌ §AzÀgÉ, zÀ±ÀªÀiÁA±ÀªÀ£ÀÄß

CAvÀåªÁUÀÄªÀ zÀ±ÀªÀiÁA±À J£ÀÄßvÁÛgÉ.

� qp , 0q ! zÀ±ÀªÀiÁA±À «¸ÀÛgÀuÉAiÀÄ°è ±ÉÃµÀªÀÅ ±ÀÆ£ÀåªÁUÀzÉÃ EzÁÝUÀ, ¨sÁUÀ®§ÞzÀ°è CAQUÀ¼À

¥ÀÄ£ÀgÁªÀvÀð£ÉAiÀiÁUÀÄªÀ (DªÀvÀðªÁUÀÄªÀ) ¨sÁUÀªÀ£ÀÄß £ÁªÀÅ ºÉÆA¢gÀÄvÉÛÃªÉ. EAvÀºÀ ¸ÀAUÀwAiÀÄ°è

zÀ±ÀªÀiÁA±À «¸ÀÛgÀuÉAiÀÄ£ÀÄß CAvÀåªÁUÀzÀ ªÀÄvÀÄÛ DªÀvÀðªÁUÀÄªÀ zÀ±ÀªÀiÁA±À J£ÀÄßvÁÛgÉ.

�qp , 0q ! JA§ sÁUÀ®§Þ ÀASÉåAiÀÄ£ÀÄß p

2 5m n#

E°è p Z! ªÀÄvÀÄÛ ,m n W! gÀÆ¥ÀzÀ°è

ªÀåPÀÛ¥Àr À®Ä ¸ÁzsÀåªÁzÀgÉ, DUÀ sÁUÀ®§Þ ÀASÉåAiÀÄÄ CAvÀåªÁUÀÄªÀ zÀ±ÀªÀiÁA±ÀªÀ£ÀÄß ºÉÆA¢gÀÄvÀÛzÉ. E®è¢zÀÝgÉ,

sÁUÀ®§Þ ÀASÉåAiÀÄÄ CAvÀåªÁUÀzÀ ªÀÄvÀÄÛ ¥ÀÄ£ÀgÁªÀvÀð£ÉAiÀiÁUÀÄªÀ (DªÀvÀðªÁUÀÄªÀ) zÀ±ÀªÀiÁA±ÀªÀ£ÀÄß


�MAzÀÄ sÁUÀ®§Þ ÀASÉåAiÀÄ£ÀÄß CAvÀåªÁUÀÄªÀ CxÀªÁ CAvÀåªÁUÀzÀ DªÀvÀðªÁUÀÄªÀ zÀ±ÀªÀiÁA±ÀªÁV

ªÀåPÀÛ¥Àr À§ºÀÄzÀÄ.

�MAzÀÄ C¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåAiÀÄÄ CAvÀåªÁUÀzÀ ªÀÄvÀÄÛ DªÀvÀðªÁUÀzÀ zÀ±ÀªÀiÁA±ÀªÁVzÉ. CAzÀgÉ,

EzÀ£ÀÄß qp gÀÆ¥ÀzÀ°è §gÉAiÀÄ¯ÁUÀÄªÀÅ¢®è. E°è p ªÀÄvÀÄÛ q UÀ¼ÉgÀqÀÆ ¥ÀÆuÁðAPÀUÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ 0q ! .

�J¯Áè sÁUÀ®§Þ ÀASÉåUÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ C sÁUÀ®§Þ ÀASÉåUÀ¼À ÀAAiÉÆÃUÀªÀ£ÀÄß ªÁ ÀÛªÀ ÀASÉåUÀ¼À UÀt J£ÀÄßvÁÛgÉ.

�¥ÀæwAiÉÆAzÀÄ ªÁ ÀÛªÀ ÀASÉåAiÀÄÄ sÁUÀ®§Þ ÀASÉå CxÀªÁ C sÁUÀ®§Þ ÀASÉå DVgÀÄvÀÛzÉ.

�MAzÀÄ ªÁ ÀÛªÀ ÀASÉåAiÀÄÄ sÁUÀ®§Þ ÀASÉåAiÀÄ®è¢zÀÝgÉ, CzÀÄ RArvÀªÁV C sÁUÀ®§Þ ÀASÉåAiÀiÁVgÀÄvÀÛzÉ.

�MAzÀÄ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉå ªÀÄvÀÄÛ MAzÀÄ C¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼À ªÉÆvÀÛ CxÀªÁ ªÀåvÁå¸ÀªÀÅ AiÀiÁªÁUÀ®Æ

C¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉå DVgÀÄvÀÛzÉ.

�±ÀÆ£ÀåªÀ®èzÀ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉå ªÀÄvÀÄÛ C¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåAiÀÄ UÀÄt®§Þ CxÀªÁ ¨sÁUÀ®§ÞªÀÅ ¸ÀºÀ MAzÀÄ

C¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉå DVgÀÄvÀÛzÉ.

�JgÀqÀÄ C¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼À ªÉÆvÀÛ, ªÀåvÁå¸À, UÀÄt®§Þ CxÀªÁ ¨sÁUÀ®§ÞªÀÅ C¨sÁUÀ®§ÞªÉÃ

DVgÀ¨ÉÃPÁzÀ CUÀvÀå«®è. ¥sÀ°vÁA±ÀªÀÅ ¨sÁUÀ®§Þ CxÀªÁ C¨sÁUÀ®§Þ DVgÀ§ºÀÄzÀÄ.

63


UÀtÂvÀ±Á

¸ÀÛç

PÉ¼ÀV£À avÀæªÀ£ÀÄß §¼À¹PÉÆAqÀÄ, PÉ¼ÀV£À ¥ÀæwAiÉÆAzÀÄ ºÉÃ½PÉUÀ¼ÀÄ ¸Àj CxÀªÁ vÀ¥ÀÄà JA§ÄzÀ£ÀÄß PÁgÀt ªÀÄvÀÄÛ GzÁºÀgÀuÉAiÉÆA¢UÉ w½¹j.

(i) ¥ÀæwAiÉÆAzÀÄ ¸Áé¨sÁ«PÀ ¸ÀASÉåAiÀÄÄ ¥ÀÆuÁðAPÀªÁVzÉ.

(ii) 0 AiÀÄÄ ¸Áé¨sÁ«PÀ ¸ÀASÉåAiÀiÁVzÉ.

(iii) ¥ÀæwAiÉÆAzÀÄ ¥ÀÆuÁðAPÀªÀÅ ¸Áé¨sÁ«PÀ ¸ÀASÉåAiÀiÁVzÉ.

(iv) 3 JA§ÄzÀÄ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåAiÀiÁVzÉ.

(v) ¥ÀæwAiÉÆAzÀÄ ªÁ¸ÀÛªÀ ¸ÀASÉåAiÀÄÄ C¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåAiÀiÁVgÀÄvÀÛzÉ.

PÉ¼ÀV£À ¥ÀæwAiÉÆAzÀÄ ºÉÃ½PÉUÀ¼À£ÀÄß =, f , , CxÀªÁ + ¸ÀÆPÀÛ ¸ÀAPÉÃvÀUÀ¼ÉÆA¢UÉ ¥ÀÆtðUÉÆ½¹j.

E°è, N - ¸Áé¨sÁ«PÀ ¸ÀASÉåUÀ¼À UÀt, W - ¥ÀÆtð ¸ÀASÉåUÀ¼À UÀt, Z - ¥ÀÆuÁðAPÀUÀ¼À UÀt, Q - ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼À UÀt, T - C¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼À UÀt ªÀÄvÀÄÛ R - ªÁ¸ÀÛªÀ ¸ÀASÉåUÀ¼À UÀt.

(i) N _________ Z (ii) N _________ R = R

(iii) N _________ W = N (iv) Q _________ T = Q

(v) Tl _________ Q (vi) Z _________ R = Z

(vii) T _________ Q = R

¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ Q

Z ¥ÀÆuÁðAPÀUÀ¼ÀÄ

¥ÀÆtð ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ

ªÁ¸ÀÛªÀ ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ R

W

¸Áé sÁ«PÀ ÀASÉåUÀ¼ÀÄ

N

C¨sÁUÀ®§Þ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ

ZÀlÄªÀnPÉ 1

ZÀlÄªÀnPÉ 2

64


¸ÀÛç

PÉ¼ÀV£À avÀæ¥ÀlªÀ£ÀÄß ¥ÀÆtðUÉÆ½¹j.

¸ÀASÉå ¸Áé¨sÁ«PÀ ¥ÀÆtð ¥ÀÆuÁðAPÀ ¨sÁUÀ®§Þ C¨sÁUÀ®§Þ ªÁ¸ÀÛªÀ

8 ºËzÀÄ

–11 ºËzÀÄ

0 E®è

41 ºËzÀÄ

r ºËzÀÄ

7 E®è

6.32 E®è

1.555g E®è E®è E®è

.2 91 E®è

16 E®è

MAzÀÄ ºÁ¼ÉAiÀÄ ªÉÄÃ¯É C¼ÀvÉ¥ÀnÖ ªÀÄvÀÄÛ PÉÊªÁgÀªÀ£ÀÄß §¼À¹PÉÆAqÀÄ, 10 JA§ÄzÀ£ÀÄß ¸ÀÈ¶ÖAiÀiÁzÀ

wæ¨sÀÄdUÀ¼À «PÀtðªÁV ¥ÀqÉAiÀÄÄªÀªÀgÉUÉ ªÀUÀðªÀÄÆ® ¸ÀÄgÀÄ½AiÀÄ£ÀÄß gÀa¹j.

(CxÀªÁ)

PÁUÀzÀ ªÀÄqÀZÀÄ«PÉ¬ÄAzÀ 10 JA§ÄzÀ£ÀÄß ¸ÀÈ¶ÖAiÀiÁzÀ wæ¨sÀÄdUÀ¼À «PÀtðªÁV ¥ÀqÉAiÀÄÄªÀªÀgÉUÉ

ªÀUÀðªÀÄÆ® ¸ÀÄgÀÄ½AiÀÄ£ÀÄß gÀa¹j.


ZÀlÄªÀnPÉ 3

65


UÀtÂvÀ±Á

¸ÀÛç

r JA§ ÀASÉåAiÀÄ EwºÁ¸ÀªÀ£ÀÄß ¥ÀjÃQë¹j. F zÀvÁÛA±ÀªÀ£ÀÄß ÀAUÀæ»¸À®Ä ¤ÃªÀÅ §¼À¹zÀ ªÀÄÆ®UÀ¼À£ÀÄß

¥ÀnÖ ªÀiÁrj.

(CxÀªÁ)

gÁªÀiÁ£ÀÄd£ï ¸ÀASÉå 1729 gÀ ªÀÄºÀvÀéªÀ£ÀÄß w½¬Äj.

GvÀÛgÀUÀ¼ÀÄ

C¨sÁå¸À 2.1

1. (i) ¸Àj (ii) vÀ¥ÀÄà (iii) ¸Àj (iv) vÀ¥ÀÄà (v) vÀ¥ÀÄà (vi) vÀ¥ÀÄà

2. ºËzÀÄ. 010

20

30

10 g= = = =-

= JAzÀÄ §gÉAiÀÄ§ºÀÄzÀÄ. 3. ,74

73- -

C¨sÁå¸À 2.2

1. (i) 0.42, CAvÀåªÁUÀÄªÀ

(ii) .8 285714 , CAvÀåªÁUÀzÀ ªÀÄvÀÄÛ DªÀvÀðªÁUÀÄªÀ

(iii) .0 236 , CAvÀåªÁUÀzÀ ªÀÄvÀÄÛ DªÀvÀðªÁUÀÄªÀ

(iv) 0.918, CAvÀåªÁUÀÄªÀ

(v) 0.09 , CAvÀåªÁUÀzÀ ªÀÄvÀÄÛ DªÀvÀðªÁUÀÄªÀ

(vi) .0 230769- , CAvÀåªÁUÀzÀ ªÀÄvÀÄÛ DªÀvÀðªÁUÀÄªÀ

(vii) .6 3 , CAvÀåªÁUÀzÀ ªÀÄvÀÄÛ DªÀvÀðªÁUÀÄªÀ

(viii) .0 21875- , CAvÀåªÁUÀÄªÀ

2. (i) CAvÀåªÁUÀÄªÀ (ii) CAvÀåªÁUÀzÀ (iii) CAvÀåªÁUÀÄªÀ (iv) CAvÀåªÁUÀzÀ

3. (i) 112 (ii)

999427 (iii)

99991 (iv)

1116 (v)

322 (vi)

495206 4. .0 076923 , 6

5. 0. , 0.71 142857

72 285714= = , 0. , 0.

73 428571

74 571428= = ,

0. , 0.75 714285

76 857142= =


66


¸ÀÛç

C¨sÁå¸À 2.3

1.

2. 1.83205g , 1.93205g , 2.03205g

3. 3.10110011100011110g , 3.2022002220002222g

4. 0.1510100110001110g , 0.1530300330003330g

5. 0.58088008880g , 0.59099009990g

6. 1.83205g , 1.93205g

7. MAzÀÄ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉå : 1.102, C¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉå : 1.9199119991119g

8. 0.13, 0.20 [¸ÀÆZÀ£É: 2 jAzÀ 8 gÀªÀgÉVgÀÄªÀ ¥Àæ±ÉßUÀ¼ÀÄ C¥Àj«ÄvÀªÁzÀ C£ÉÃPÀ ¥ÀjºÁgÀUÀ¼À£ÀÄß ºÉÆA¢ªÉÉ]

C¨sÁå¸À 2.51. B 2. C 3. a 4. C 5. B 6. a 7. a 8. D

-2-3 -1 0 211

3

A

B

1

E

D

1 1 1

C

F H

G IO

2

53 4

32 5

67

©ÃdUÀtÂvÀ

UÀtÂvÀ±Á

¸ÀÛç

3.1 ¦ÃpPÉ (Introduction)

MAzÀPÉÆÌAzÀÄ É ÉzÀÄPÉÆArgÀÄªÀ CªÀÄÆvÀð «ZÁgÀUÀ¼À£ÀÄß M¼ÀUÉÆAqÀ

CwÃªÀ QèµÀÖPÀgÀªÁzÀ ÀA§AzsÀUÀ¼À£ÀÄß ÀAQë¥ÀÛªÁV, wÃPÀë÷ÚªÁV, À®ºÁvÀäPÀªÁV

ªÀåPÀÛ¥Àr À®Ä ©ÃdUÀtÂvÀzÀ sÁµÉAiÀÄÄ CzÀÄãvÀªÁzÀ G¥ÀPÀgÀtªÁVzÉ.

gÉÃTÃAiÀÄ (ax = b) ªÀÄvÀÄÛ ªÀUÀð (ax2 + bx = c) À«ÄÃPÀgÀtUÀ¼À£ÀÄß ºÁUÀÆ

ºÀ®ªÁgÀÄ CªÀåPÀÛUÀ¼À£ÀÄß M¼ÀUÉÆArgÀÄªÀ x2 + y2 = z2 UÀ¼ÀAvÀºÀ C¤zsÀðjvÀ

À«ÄÃPÀgÀtUÀ¼À£ÀÄß ¥ÀjºÀj ÀÄªÀÅzÀ£ÀÄß PÀ°wzÀÝAvÀºÀ d£ÀjzÀÝ ¥ÀÄgÁvÀ£À Ff¥ïÖ

ªÀÄvÀÄÛ ¨Áå© ÉÆÃ£ï£À°è ©ÃdUÀtÂvÀzÀ EwºÁ ÀªÀÅ ¥ÁægÀA sÀªÁ¬ÄvÀÄ. 4000

ªÀµÀðUÀ¼À PÁ¯ÁªÀ¢üAiÀÄ°è ©ÃdUÀtÂvÀªÀÅ C©üªÀÈ¢Þ ºÉÆA¢vÀÄ. DzÀgÉ, 17£ÉÃ

±ÀvÀªÀiÁ£ÀzÀ ªÀÄzsÁåªÀ¢üAiÀÄ°è ¥ÁæxÀ«ÄPÀ ©ÃdUÀtÂwÃAiÀÄ ÀªÀÄ ÉåUÀ¼À ªÀÄvÀÄÛ

ÀA§AzsÀUÀ¼À ¥Àæw¤¢üPÀgÀtªÀÅ EA¢£ÀAvÉAiÉÄÃ ºÉaÑ£À ªÀÄlÖzÀ°è PÀAqÀÄ§A¢vÀÄ.

E¥ÀàvÀÛ£ÉAiÀÄ ±ÀvÀªÀiÁ£ÀzÀ DgÀA©üPÀ zÀ±ÀªÀiÁ£ÀUÀ¼À°è ÀévÀB¹zÀÞ ¥ÀzÀÞwUÀ¼À

CzsÀåAiÀÄ£ÀªÁV «PÀ¹vÀUÉÆArvÀÄ. F ÀévÀB¹zÀÞ C£ÀÄ ÀAzsÁ£ÀªÀ£ÀÄß £ÀAvÀgÀzÀ

PÁ®zÀ°è CªÀÄÆvÀð CxÀªÁ DzsÀÄ¤PÀ ©ÃdUÀtÂvÀ JAzÀÄ PÀgÉAiÀÄ¯ÁUÀÄwÛzÉ.

¥ÀæªÀÄÄRªÁzÀ ºÉÆ À ¥sÀ°vÁA±ÀUÀ¼À£ÀÄß C£ÉéÃ¶ À Á¬ÄvÀÄ ºÁUÀÆ UÀtÂvÀzÀ

J¯Áè « sÁUÀUÀ¼À°è ªÀÄvÀÄÛ «eÁÕ£ÀzÀ C£ÉÃPÀ « sÁUÀUÀ¼À°èAiÀÄÆ EzÀgÀ

C£ÀéAiÀÄUÀ¼À£ÀÄß £ÉÆÃqÀ§ºÀÄzÀÄ.

3.2 ©ÃeÉÆÃQÛUÀ¼ÀÄ (Algebraic Expressions) ©ÃeÉÆÃQÛAiÀÄÄ ¸ÀAPÀ®£À, ªÀåªÀPÀ®£À, UÀÄuÁPÁgÀ, ¨sÁUÁPÁgÀ,

WÁvÁAPÀ CxÀªÁ ªÀÄÆ®UÀ¼À GzÀÞgÀtzÀ QæAiÉÄUÀ¼À£ÀÄß §¼À¹PÉÆAqÀÄ

¸ÀASÉåUÀ¼À ªÀÄvÀÄÛ ZÀgÁA±ÀUÀ¼À eÉÆÃqÀuÉ¬ÄAzÀ gÀa¹zÀ ºÉÃ½PÉAiÀiÁVzÉ.

Mathematics is as much an aspect of culture as it is a collection of algorithms

- CarL BoYer


● §ºÀÄ¥ÀzÀUÀ¼À£ÀÄß ªÀVÃðPÀj¸ÀÄªÀÅzÀÄ.

● ±ÉÃµÀ ¥ÀæªÉÄÃAiÀÄªÀ£ÀÄß §¼À¸ÀÄªÀÅzÀÄ.

● C¥ÀªÀvÀð£À ¥ÀæªÉÄÃAiÀÄªÀ£ÀÄß §¼À¸ÀÄªÀÅzÀÄ.

qÀAiÉÆÃ¥sÁAl¸ï

(DIOPhANTUS)( Qæ.±À. 200 jAzÀ 284 CxÀªÁ

Qæ.±À. 214 jAzÀ 298)

qÀAiÉÆÃ¥sÁAl¸ï£ÀÄ ¸ÀÄªÀiÁgÀÄ Qæ.±À. 250gÀ°è fÃ«¹zÀÝ, zÀÄ¹Üw

ºÉÆA¢zÀ UÀtÂvÀ±Á¸ÀÛçdÕ£ÁVzÁÝ£É.

DzÀgÉ EªÀ£À PÁ®ªÀÅ C¤²ÑvÀvÉ¬ÄAzÀ

PÀÆrzÀÄÝ, CzÀÄ ±ÀvÀªÀiÁ£ÀUÀ½VAvÀ®Æ

D¢üPÀªÁVgÀ§ºÀÄzÀÄ.

CxÀðªÉÄnPÁ UÀæAxÀ¢AzÀ CªÀgÀÄ

¥Àæ¹¢ÞAiÀiÁVzÁÝgÉ.CxÀðªÉÄnPÁ

JA§ÄzÀÄ ªÀÄÆ®¨sÀÆvÀªÁV 13

¥ÀÄ¸ÀÛPÀUÀ¼À£ÉÆß¼ÀUÉÆAqÀ MAzÀÄ

UÀæAxÀªÁVzÀÄÝ CzÀgÀ°è ªÉÆzÀ® 6

¥ÀÄ¸ÀÛPÀUÀ¼ÀÄ ªÀiÁvÀæ G½¢ªÉ. eÁå«ÄwÃAiÀÄ

«zsÁ£ÀUÀ½AzÀ ¨ÉÃ¥ÀðnÖgÀÄªÀÅzÀjAzÀ

CxÀðªÉÄnPÁ UÀæAxÀªÀÅ ¸ÁA¥ÀæzÁ¬ÄPÀ

VæÃPï UÀtÂvÀ±Á¸ÀÛçzÉÆA¢UÉ C®à

¸ÁªÀiÁ£ÀåvÉAiÀÄ£ÀÄß ºÉÆA¢zÉ.

¨Áå©¯ÉÆÃ¤AiÀÄ£ï UÀtÂvÀ±Á¸ÀÛçzÀ°è

qÀAiÉÆÃ¥sÁAl¸ï£ÀÄ ¸ÀgÀ¼À

CAzÁf¸ÀÄ«PÉUÀ¼À §zÀ¯ÁV

¤tð¬Ä¸À§ºÀÄzÁzÀ ªÀÄvÀÄÛ

¤tð¬Ä¸À¯ÁUÀzÀ ¤RgÀ

¥ÀjºÁgÀUÀ¼ÉÆA¢UÉ ¥ÁæxÀ«ÄPÀªÁV MvÀÄÛ ¤ÃrgÀÄªÀÅzÀjAzÀ, CxÀðªÉÄnPÁªÀÅ

¨Áå©¯ÉÆÃ¤AiÀÄ£ï UÀtÂvÀ±Á¸ÀÛçQÌAvÀ

©ü£ÀßªÁVzÉ.

©ÃdUÀtÂvÀ

Mathem

atics

68


¸ÀÛç

GzÁºÀgÀuÉUÉ, 7, x , x y2 3 1- + , 5 1xyx

4 1

3

+- , r

2r ªÀÄvÀÄÛ r r h

2 2r + UÀ¼ÀÄ ©ÃeÉÆÃQÛUÀ¼ÁVªÉ.

PÉ®ªÀÅ ZÀgÁA±ÀUÀ¼À£ÀÄß M¼ÀUÉÆArzÀÝgÉ, CzÀ£ÀÄß PÉ®ªÀÅ ZÀgÁA±ÀUÀ¼À°ègÀÄªÀ ©ÃeÉÆQÛ J£ÀÄßªÀgÀÄ. AiÀiÁªÀÅzÉÃ

ZÀgÁA±ÀUÀ¼À£ÀÄß M¼ÀUÉÆArgÀ¢zÀÝgÉ, CzÀÄ ¹ÜgÁAPÀªÁUÀÄvÀÛzÉ. ©ÃeÉÆÃQÛAiÀÄ°ègÀÄªÀ ZÀgÁA±ÀUÀ½UÉ ¸ÀASÉåUÀ¼À£ÀÄß

DzÉÃ²¹zÁUÀ ¥sÀ°vÀ ¸ÀASÉåAiÀÄ£ÀÄß ZÀgÁA±ÀUÀ½UÉ ¨É¯ÉUÀ½UÉ ©ÃeÉÆÃQÛAiÀÄ ¨É¯É JAzÀÄ PÀgÉAiÀÄÄvÁÛgÉ.

©ÃeÉÆÃQÛAiÀÄ£ÀÄß + CxÀªÁ - aºÉß¬ÄAzÀ ÉÃj¹ §gÉzÁUÀ, CzÀ£ÀÄß ©ÃeÉÆÃQÛAiÀÄ ªÉÆvÀÛ J£ÀÄßvÉÛÃªÉ.

»A¢gÀÄªÀ aºÉßAiÉÆA¢UÉ ¥ÀæwAiÉÆAzÀÄ sÁUÀªÀ£ÀÄß ©Ãd¥ÀzÀ J£ÀÄßªÀgÀÄ. GzÁºÀgÀuÉUÉ, 3x yyxz x y42

21

r- +-

JA§ ©ÃeÉÆÃQÛAiÀÄ ªÉÆvÀÛzÀ°è 3x y2 ,

yxz4

2

- ªÀÄvÀÄÛ x y1

r- JA§ªÀÅ ©Ãd¥ÀzÀUÀ¼ÁVªÉ.

©Ãd¥ÀzÀzÀ AiÀiÁªÀÅzÉÃ ¨sÁUÀªÀ£ÀÄß G½zÀ ¨sÁUÀ¢AzÀ UÀÄtÂ¹zÁUÀ, D ¨sÁUÀªÀ£ÀÄß G½zÀ ¨sÁUÀzÀ

¸ÀºÁAPÀ (¸ÀºÀUÀÄtPÀ) J£ÀÄßvÉÛÃªÉ. GzÁºÀgÀuÉUÉ, yxz4

2

- ©Ãd¥ÀzÀzÀ°è yz

2

£À ¸ÀºÁAPÀªÀÅ x4- , ºÁUÉAiÉÄÃ

yxz

2

£À ¸ÀºÁAPÀªÀÅ –4 DVzÉ. ¸ÀºÁAPÀ –4 JA§ÄzÀÄ AiÀiÁªÀÅzÉÃ ZÀgÁA±ÀªÀ£ÀÄß M¼ÀUÉÆAr®è. CzÀ£ÀÄß

¸ÀASÁåvÀäPÀ ¸ÀºÁAPÀ J£ÀÄßvÉÛÃªÉ. 5x y2 ªÀÄvÀÄÛ 12x y

2- UÀ¼ÀAvÀºÀ ©Ãd¥ÀzÀUÀ¼ÀÄ ¸ÀASÁåvÀäPÀ ¸ÀºÁAPÀUÀ¼À°è

ªÀiÁvÀæ «©ü£ÀßªÁVªÉ. EªÀÅUÀ¼À£ÀÄß ¸ÀzÀÈ±À ¥ÀzÀUÀ¼ÀÄ CxÀªÁ ¸ÀeÁwÃAiÀÄ ¥ÀzÀUÀ¼ÀÄ J£ÀÄßvÉÛÃªÉ.

4 r2r JA§AvÀºÀ ©ÃeÉÆÃQÛAiÀÄ£ÀÄß MAzÉÃ MAzÀÄ ¥ÀzÀªÀ£ÀÄß M¼ÀUÉÆArgÀÄªÀ ©ÃeÉÆÃQÛ JAzÀÄ ¥ÀjUÀtÂ À§ºÀÄzÀÄ.

MAzÀÄ ¥ÀzÀªÀ£ÀÄß ºÉÆA¢gÀÄªÀ ©ÃeÉÆÃQÛAiÀÄ£ÀÄß KPÀ¥ÀzÀ J£ÀÄßvÉÛÃªÉ. JgÀqÀÄ ¥ÀzÀ«gÀÄªÀ ©ÃeÉÆÃQÛAiÀÄ£ÀÄß ¢é¥ÀzÀ ªÀÄvÀÄÛ

ªÀÄÆgÀÄ ¥ÀzÀ«gÀÄªÀ ©ÃeÉÆÃQÛAiÀÄ£ÀÄß wæ¥ÀzÀ J£ÀÄßvÉÛÃªÉ. GzÁºÀgÀuÉUÉ, 3 2x xy2+ ©ÃeÉÆÃQÛAiÀÄÄ ¢é¥ÀzÀªÁVzÉ.

ºÁUÉAiÉÄÃ 2 3 4xy x1

- + -- ©ÃeÉÆÃQÛAiÀÄÄ wæ¥ÀzÀªÁVzÉ. JgÀqÀÄ CxÀªÁ JgÀqÀQÌAvÀ ºÉZÀÄÑ ¥ÀzÀUÀ½gÀÄªÀ

©ÃeÉÆÃQÛAiÀÄ£ÀÄß §ºÀÄ¥ÀzÀªÉ£ÀÄßvÉÛÃªÉ.

3.3 §ºÀÄ¥ÀzÀUÀ¼ÀÄ (Polynomials)

§ºÀÄ¥ÀzÀªÀÅ MAzÀÄ ©ÃeÉÆÃQÛAiÀiÁVzÀÄÝ, bÉÃzÀUÀ¼À°è CxÀªÁ PÀgÀtÂAiÀÄ aºÉßAiÀÄrAiÀÄ°è AiÀiÁªÀÅzÉÃ

ZÀgÁA±ÀUÀ½gÀÄªÀÅ¢®è ªÀÄvÀÄÛ PÀAqÀÄ§gÀÄªÀ J¯Áè ZÀgÁA±ÀUÀ¼ÀÄ zsÀ£ÁvÀäPÀ ¥ÀÆuÁðAPÀUÀ¼À WÁvÀUÀ¼À°è EgÀÄvÀÛªÉ.

GzÁºÀgÀuÉUÉ, 2 3 4xy x1

- + -- wæ¥ÀzÀªÀÅ §ºÀÄ¥ÀzÀªÀ®è; DzÁUÀÆå 3x y xy2

212 4

+ - wæ¥ÀzÀªÀÅ x

ªÀÄvÀÄÛ y ZÀgÁA±ÀUÀ¼À°ègÀÄªÀ §ºÀÄ¥ÀzÀªÁVzÉ. AiÀiÁªÀÅzÉÃ ZÀgÁA±ÀªÀ£ÉÆß¼ÀUÉÆArgÀÄªÀ 21- JA§AvÀºÀ ¥ÀzÀªÀ£ÀÄß

§ºÀÄ¥ÀzÀzÀ ¹ÜgÁAPÀ J£ÀÄßvÉÛÃªÉ. §ºÀÄ¥ÀzÀzÀ°ègÀÄªÀ ¥ÀzÀUÀ¼À ¸ÀASÁåvÀäPÀ ¸ÀºÁAPÀUÀ¼À£ÀÄß §ºÀÄ¥ÀzÀzÀ ¸ÀºÁAPÀUÀ¼ÀÄ

J£ÀÄßvÉÛÃªÉ. ªÉÄÃ°£À §ºÀÄ¥ÀzÀzÀ ¸ÀºÁAPÀUÀ¼ÀÄ 3, 2 ªÀÄvÀÄÛ 21- DVªÉ.

§ºÀÄ¥ÀzÀzÀ°ègÀÄªÀ ©Ãd¥ÀzÀzÀ WÁvÀªÀÅ D ©Ãd¥ÀzÀzÀ°ègÀÄªÀ J¯Áè ZÀgÁA±ÀUÀ¼À WÁvÁAPÀUÀ¼À

ªÉÆvÀÛªÁVgÀÄvÀÛzÉ. WÁvÁAPÀUÀ¼À£ÀÄß PÀÆqÀÄªÁUÀ, WÁvÁAPÀ«®èzÀ ZÀgÁA±ÀzÀ WÁvÀªÀ£ÀÄß MAzÀÄ JAzÀÄ

¥ÀjUÀtÂ¸ÀÄªÀÅzÀÄ. GzÁºÀgÀuÉUÉ, 9 12 3 2xy x yz x7 3 2- + - §ºÀÄ¥ÀzÀzÀ°è xy9 7 ¥ÀzÀzÀ WÁvÀªÀÅ 1 + 7 = 8,

12x yz3 2

- ¥ÀzÀzÀ WÁvÀªÀÅ 3 + 1 + 2 = 6, ªÀÄvÀÄÛ x3 ¥ÀzÀzÀ WÁvÀªÀÅ MAzÀÄ DVzÉ. ¹ÜgÁAPÀ ¥ÀzÀzÀ WÁvÀªÀÅ

AiÀiÁªÁUÀ®Æ ¸ÉÆ£Éß JAzÀÄ ¥ÀjUÀtÂ¸À¯ÁUÀÄvÀÛzÉ.

69

©ÃdUÀtÂvÀ

UÀtÂvÀ±Á

¸ÀÛç

MAzÀÄ §ºÀÄ¥ÀzÀzÀ°è ±ÀÆ£ÀåªÀ®èzÀ ¸ÀºÀUÀÄtPÀzÉÆA¢VgÀÄªÀ UÀjµÀ× WÁvÁAPÀzÀ ¥ÀzÀzÀ WÁvÁAPÀªÀ£ÀÄß

§ºÀÄ¥ÀzÀzÀ WÁvÁAPÀ J£ÀÄßvÉÛÃªÉ.

GzÁºÀgÀuÉUÉ, ¥ÀjUÀtÂ¹gÀÄªÀ ªÉÄÃ°£À §ºÀÄ¥ÀzÀzÀ WÁvÀªÀÅ 8 DVzÉ. ¹ÜgÁAPÀ KPÀ¥ÀzÀ 0 AiÀÄ£ÀÄß

§ºÀÄ¥ÀzÀ JAzÀÄ ¥ÀjUÀtÂ¹zÀgÀÆ ¸ÀºÀ, F ¤¢ðµÀÖ §ºÀÄ¥ÀzÀPÉÌ WÁvÀªÀ£ÀÄß ¸ÀàµÀÖ¥Àr¹gÀÄªÀÅ¢®è.

3.3.1 MAzÀÄ ZÀgÁA±ÀzÀ°ègÀÄªÀ §ºÀÄ¥ÀzÀUÀ¼ÀÄ (Polynomials in One Variable)

F «¨sÁUÀzÀ°è, MAzÀÄ ZÀgÁA±ÀzÀ°ègÀÄªÀ §ºÀÄ¥ÀzÀUÀ¼À£ÀÄß ªÀiÁvÀæ £ÁªÀÅ ¥ÀjUÀtÂ¸ÀÄvÉÛÃªÉ.

ªÀÄÄRå ¥ÀjPÀ®à£É MAzÀÄ ZÀgÁA±ÀzÀ°ègÀÄªÀ §ºÀÄ¥ÀzÀ

MAzÀÄ ZÀgÁA±À x £À°è EgÀÄªÀ §ºÀÄ¥ÀzÀªÀÅ

p(x) a x a x a x a x an

n

n

n

1

1

2

2

1 0g= + + + + +

-

- , 0an ! gÀÆ¥ÀzÀ ©ÃeÉÆÃQÛAiÀiÁVzÉ.

E°è, , , , , ,a a a a an n0 1 2 1g-

UÀ¼ÀÄ ¹ÜgÁAPÀUÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ n JA§ÄzÀÄ IÄuÁvÀäPÀªÀ®èzÀ ¥ÀÆuÁðAPÀªÁVzÉ.

E°è n JA§ÄzÀÄ §ºÀÄ¥ÀzÀzÀ WÁvÁAPÀ ªÀÄvÀÄÛ , , , ,a a a an n1 2 1

g-

UÀ¼ÀÄ PÀæªÀÄªÁV

, , ,x x x xn n2 1

g - UÀ¼À ¸ÀºÁAPÀªÁVªÉÉ. a0 JA§ÄzÀÄ ¹ÜgÁAPÀ ¥ÀzÀ. , , , , ,a x a x a x a x a

.n

n

n

n

1

1

2

2

1 0g

-

- UÀ¼ÀÄ

§ºÀÄ¥ÀzÀ p x^ h £À ©Ãd¥ÀzÀUÀ¼ÁVªÉ.

GzÁºÀgÀuÉUÉ, 5 3 1x x2+ - §ºÀÄ¥ÀzÀzÀ°è, x2 £À ¸ÀºÁAPÀªÀÅ 5, x £À ¸ÀºÁAPÀªÀÅ 3 ªÀÄvÀÄÛ -1 JA§ÄzÀÄ

¹ÜgÀ ¥ÀzÀªÁVzÉ. §ºÀÄ¥ÀzÀzÀ ªÀÄÆgÀÄ ©Ãd¥ÀzÀUÀ¼ÀÄ 5x2 , 3x ªÀÄvÀÄÛ -1 DVªÉ.

3.3.2 §ºÀÄ¥ÀzÀUÀ¼À «zsÀUÀ¼ÀÄ (Types of Polynomials)

ªÀÄÄRå ¥ÀjPÀ®à£É ©Ãd¥ÀzÀUÀ¼À ¸ÀASÉåAiÀÄ DzsÁgÀzÀ ªÉÄÃ¯É §ºÀÄ¥ÀzÀUÀ¼À «zsÀUÀ¼ÀÄ

KPÀ¥ÀzÀ (Monomial)

MAzÀÄ §ºÀÄ¥ÀzÀªÀÅ MAzÉÃ MAzÀÄ ¥ÀzÀªÀ£ÀÄß ºÉÆA¢zÀÝgÉ, CzÀ£ÀÄß KPÀ¥ÀzÀ J£ÀÄßvÉÛÃªÉ.

¢é¥ÀzÀ (Binomial)

MAzÀÄ §ºÀÄ¥ÀzÀªÀÅ JgÀqÀÄ ¥ÀzÀUÀ¼À£ÀÄß ºÉÆA¢zÀÝgÉ, CzÀ£ÀÄß ¢é¥ÀzÀ J£ÀÄßvÉÛÃªÉ.

wæ¥ÀzÀ (Trinomial)

MAzÀÄ §ºÀÄ¥ÀzÀªÀÅ ªÀÄÆgÀÄ ¥ÀzÀUÀ¼À£ÀÄß ºÉÆA¢zÀÝgÉ, CzÀ£ÀÄß wæ¥ÀzÀ J£ÀÄßvÉÛÃªÉ.

1. ¢é¥ÀzÀªÀÅ ©ü£Àß WÁvÀUÀ½gÀÄªÀ JgÀqÀÄ KPÀ¥ÀzÀUÀ¼À ªÉÆvÀÛªÁVzÉ.

2. wæ¥ÀzÀªÀÅ ©ü£Àß WÁvÀUÀ½gÀÄªÀ ªÀÄÆgÀÄ KPÀ¥ÀzÀUÀ¼À ªÉÆvÀÛªÁVzÉ.

3. §ºÀÄ¥ÀzÀªÀÅ MAzÀÄ KPÀ¥ÀzÀ CxÀªÁ JgÀqÀÄ CxÀªÁ JgÀqÀQÌAvÀ ºÉZÀÄÑ KPÀ¥ÀzÀUÀ¼À ªÉÆvÀÛªÁVzÉ.

¸ÀÆZÀ£É

70


¸ÀÛç

ªÀÄÄRå ¥ÀjPÀ®à£É WÁvÀzÀ DzsÁgÀzÀ ªÉÄÃ¯É §ºÀÄ¥ÀzÀUÀ¼À «zsÀUÀ¼ÀÄ

¹ÜgÀ §ºÀÄ¥ÀzÀ (Constant Polynomial)MAzÀÄ §ºÀÄ¥ÀzÀzÀ WÁvÀªÀÅ ¸ÉÆ£ÉßAiÀiÁVzÀÝgÉ, CzÀ£ÀÄß ¹ÜgÀ §ºÀÄ¥ÀzÀ J£ÀÄßvÉÛÃªÉ.

¸ÁªÀiÁ£Àå gÀÆ¥À : ( )p x = c, E°è c JA§ÄzÀÄ ªÁ¸ÀÛªÀ ¸ÀASÉåAiÀiÁVzÉ.

¸ÀgÀ¼À §ºÀÄ¥ÀzÀ (Linear Polynomial)MAzÀÄ §ºÀÄ¥ÀzÀzÀ WÁvÀªÀÅ MAzÀÄ DVzÀÝgÉ, CzÀ£ÀÄß ¸ÀgÀ¼ÀÀ §ºÀÄ¥ÀzÀ J£ÀÄßvÉÛÃªÉ.

¸ÁªÀiÁ£Àå gÀÆ¥À : ( )p x = ax+b, E°è a ªÀÄvÀÄÛ b ªÁ¸ÀÛªÀ ¸ÀASÉåUÀ¼ÁVªÉ ªÀÄvÀÄÛ a 0! .

ªÀUÀð §ºÀÄ¥ÀzÀ (Quadratic Polynomial)MAzÀÄ §ºÀÄ¥ÀzÀzÀ WÁvÀªÀÅ JgÀqÀÄ DVzÀÝgÉ, CzÀ£ÀÄß ªÀUÀð §ºÀÄ¥ÀzÀ J£ÀÄßvÉÛÃªÉ.

¸ÁªÀiÁ£Àå gÀÆ¥À : ( )p x =ax bx c2

+ + , E°è a, b ªÀÄvÀÄÛ c ªÁ¸ÀÛªÀ ¸ÀASÉåUÀ¼ÁVªÉ ªÀÄvÀÄÛ a 0! .

WÀ£ÀÀ §ºÀÄ¥ÀzÀ (Cubic Polynomial)MAzÀÄ §ºÀÄ¥ÀzÀzÀ WÁvÀªÀÅ ªÀÄÆgÀÄ DVzÀÝgÉ, CzÀ£ÀÄß WÀ£À §ºÀÄ¥ÀzÀ J£ÀÄßvÉÛÃªÉ.

¸ÁªÀiÁ£Àå gÀÆ¥À : ( )p x = ax bx cx d23+ + + , E°è a, b, c ªÀÄvÀÄÛ d ªÁ¸ÀÛªÀ ¸ÀASÉåUÀ¼ÁVªÉ

ªÀÄvÀÄÛ a 0! .

GzÁºÀgÀuÉ 3.1 ©Ãd¥ÀzÀUÀ¼À ¸ÀASÉåAiÀÄ£ÀÄß DzsÁgÀªÁVlÄÖPÉÆAqÀÄ PÉ¼ÀV£À §ºÀÄ¥ÀzÀUÀ¼À£ÀÄß ªÀVðÃPÀj¹j.

(i) x x3 2- (ii) 5x (iii) 4 2 1x x

4 3+ + (iv) 4x

3

(v) 2x + (vi) 3x2 (vii) 1y

4+ (viii) y y y

20 18 2+ +

(ix) 6 (x) u u2 33 2+ + (xi) u u

23 4- (xii) y

¥ÀjºÁgÀ

5x , 3 ,x2 4x

3 , y ªÀÄvÀÄÛ 6 UÀ¼ÀÄ KPÀ¥ÀzÀUÀ¼ÁVªÉ. KPÉAzÀgÉ EªÀÅ MAzÉÃ MAzÀÄ ©Ãd¥ÀzÀªÀ£ÀÄß ªÀiÁvÀæ ºÉÆA¢ªÉ.

,x x3 2- 2,x + 1y

4+ ªÀÄvÀÄÛ u u

23 4- UÀ¼ÀÄ ¢é¥ÀzÀUÀ¼ÁVªÉ. KPÉAzÀgÉ EªÀÅ JgÀqÀÄ ©Ãd¥ÀzÀUÀ¼ÀÀ£ÀÄß

ªÀiÁvÀæ ºÉÆA¢ªÉ.

4 2 1x x4 3+ + ,y y y

20 18 2+ + ªÀÄvÀÄÛ u u2 3

3 2+ + UÀ¼ÀÄ wæ¥ÀzÀUÀ¼ÁVªÉ. KPÉAzÀgÉ EªÀÅ ªÀÄÆgÀÄ

©Ãd¥ÀzÀUÀ¼ÀÀ£ÀÄß ªÀiÁvÀæ ºÉÆA¢ªÉ.

GzÁºÀgÀuÉ 3.2 WÁvÀUÀ¼À£ÀÄß DzsÁgÀªÁVlÄÖPÉÆAqÀÄ PÉ¼ÀV£À §ºÀÄ¥ÀzÀUÀ¼À£ÀÄß ªÀVðÃPÀj¹j.

(i) ( )p x = 3 (ii) ( ) 1p y y25 2

= + (iii) p x^ h = 2 4 1x x x3 2- + +

(iv) ( ) 3p x x2

= (v) ( ) 3p x x= + (vi) ( )p x = –7

(vii) p x =^ h 1x3 + (viii) ( ) 5 3 2p x x x2

= - + (ix) ( ) 4p x x=

(x) ( )p x = 23 (xi) ( ) 1p x x3= + (xii) ( )p y = 3y y3

+

71

©ÃdUÀtÂvÀ

UÀtÂvÀ±Á

¸ÀÛç

¥ÀjºÁgÀ

( )p x = 3, ( )p x = –7, ( )p x = 23 UÀ¼ÀÄ ¹ÜgÀ §ºÀÄ¥ÀzÀUÀ¼ÁVªÉ.

( )p x x 3= + , ( ) 4p x x= , ( ) 1p x x3= + UÀ¼ÀÄ gÉÃTÃAiÀÄ §ºÀÄ¥ÀzÀUÀ¼ÁVªÉ. KPÉAzÀgÉ,

ZÀgÁA±À x £À UÀjµÀ× WÁvÀªÀÅ MAzÀÄ DVzÉ.

( ) 5 3 2, ( ) 1, ( ) 3p x x x p y y p x x252 2 2

= - + = + = UÀ¼ÀÄ ªÀUÀð §ºÀÄ¥ÀzÀUÀ¼ÁVªÉ. KPÉAzÀgÉ,

ZÀgÁA±ÀzÀ UÀjµÀ× WÁvÀªÀÅ JgÀqÀÄ DVzÉ. p x^ h = 2 4 1x x x3 2

- + + , ( )p x = x 13+ , ( )p y = y y33

+ UÀ¼ÀÄ WÀ£À §ºÀÄ¥ÀzÀUÀ¼ÁVªÉ.

KPÉAzÀgÉ, ZÀgÁA±ÀzÀ UÀjµÀ× WÁvÀªÀÅ ªÀÄÆgÀÄ DVzÉ.

C¨sÁå¸À 3.11. PÉ¼ÀV£À ©ÃeÉÆÃQÛUÀ¼ÀÄ KPÀ ZÀgÁA±ÀzÀ°ègÀÄªÀ §ºÀÄ¥ÀzÀUÀ¼ÉÃ CxÀªÁ E®èªÉÃ JA§ÄzÀ£ÀÄß w½¹j. ¤ªÀÄä

GvÀÛgÀPÉÌ PÁgÀtªÀ£ÀÄß PÉÆr.

(i) 2 6x x x5 3- + - (ii) 3 2 1x x2

- + (iii) 2y 33+

(iv) xx1- (v) 2t t3

+ (vi) x y z3 3 6+ +

2. PÉ¼ÀV£ÀªÀÅUÀ½UÉ x2 ªÀÄvÀÄÛ x UÀ¼À ¸ÀºÁAPÀUÀ¼À£ÀÄß §gÉ¬Äj.

(i) 2 3 4x x x2 3+ - + (ii) x3 1+ (iii) 4 1x x x23 2

+ + -

(iv) 6x x31 2

+ +

3. PÉ¼ÀV£À ¥ÀæwAiÉÆAzÀÄ §ºÀÄ¥ÀzÀUÀ¼À WÁvÀªÀ£ÀÄß §gÉ¬Äj.

(i) 4 3x2- (ii) y5 2+ (iii) 12 4x x3- + (iv) 5

4. WÁvÀªÀ£ÀÄß DzsÁgÀªÁVlÄÖPÉÆAqÀÄ PÉ¼ÀV£À §ºÀÄ¥ÀzÀUÀ¼À£ÀÄß ªÀVðÃPÀj¹j.

(i) 3 2 1x x2+ + (ii) 4 1x3 - (iii) y 3+

(iv) 4y2 - (v) 4x3 (vi) x2

5. WÁvÀ 27 £ÀÄß ºÉÆA¢gÀÄªÀ ¢é¥ÀzÀ, WÁvÀ 49 £ÀÄß ºÉÆA¢gÀÄªÀ KPÀ¥ÀzÀ ªÀÄvÀÄÛ WÁvÀ 36 £ÀÄß ºÉÆA¢gÀÄªÀ

wæ¥ÀzÀUÀ½UÉ MAzÉÆAzÀÄ GzÁºÀgÀuÉAiÀÄ£ÀÄß PÉÆr.

3.3.3 §ºÀÄ¥ÀzÀzÀ ¸ÉÆ£ÉßUÀ¼ÀÄ (Zeros of a Polynomial)

p x^ h = 2x x2- - §ºÀÄ¥ÀzÀªÀ£ÀÄß vÉUÉzÀÄPÉÆ½î. x 1=- , x 1= ªÀÄvÀÄÛ x 2= gÀ°è p x^ h £À

É ÉUÀ¼À£ÀÄß PÀAqÀÄ»rAiÉÆÃt.

( 1) ( 1) ( 1) 2 1 1 2 0p2

- = - - - - = + - =

(1) (1) 1 2 1 1 2 2p2

= - - = - - =-

(2) (2) 2 2 4 2 2 0p2

= - - = - - =

CAzÀgÉ, x = –1, 1 ªÀÄvÀÄÛ 2 gÀ°è §ºÀÄ¥ÀzÀ p x^ h £À ¨É¯ÉUÀ¼ÀÄ PÀæªÀÄªÁV 0, –2 ªÀÄvÀÄÛ 0 DVªÉ.

ZÀgÁA±ÀzÀ PÉ®ªÀÅ ¨É¯ÉUÀ½UÉ §ºÀÄ¥ÀzÀzÀ ¨É¯ÉAiÀÄÄ ¸ÉÆ£ÉßAiÀiÁzÀgÉ, D ¨É¯ÉAiÀÄ£ÀÄß §ºÀÄ¥ÀzÀzÀ ¸ÉÆ£Éß

JAzÀÄ PÀgÉAiÀÄÄvÉÛÃªÉ.

72


¸ÀÛç

p 1-^ h = 0 DVgÀÄªÀÅzÀjAzÀ, x = –1 JA§ÄzÀÄ §ºÀÄ¥ÀzÀ p x^ h = 2x x2- - gÀ ¸ÉÆ£ÉßAiÀiÁVzÉ.

EzÉÃ jÃw, x = 2 gÀ°è ( )p 2 0= ( 2 JA§ÄzÀÄ PÀÆqÀ §ºÀÄ¥ÀzÀ p x^ h gÀ ¸ÉÆ£ÉßAiÀiÁVzÉ.

ªÀÄÄRå ¥ÀjPÀ®à£É §ºÀÄ¥ÀzÀzÀ ¸ÉÆ£ÉßUÀ¼ÀÄ

p x^ h JA§ÄzÀÄ x £À°ègÀÄªÀ §ºÀÄ¥ÀzÀªÁVgÀ°. p a^ h = 0 DzÀgÉ, a JA§ÄzÀ£ÀÄß §ºÀÄ¥ÀzÀ p x^ h gÀ ¸ÉÆ£ÉßAiÀiÁVzÉ JAzÀÄ £ÁªÀÅ ºÉÃ¼ÀÄvÉÛÃªÉ.

MAzÀÄ §ºÀÄ¥ÀzÀzÀ ¸ÉÆ£ÉßUÀ¼À ¸ÀASÉå # §ºÀÄ¥ÀzÀzÀ WÁvÀ.

PÁ¯ïð ¥sÉæræPï UÁ¸ï (1777-1855) gÀªÀgÀÄ 1798 gÀ vÀªÀÄä qÁPÀÖgÉÃmï ¥ÀzÀ«AiÀÄ ¸ÀA±ÉÆÃzsÀ£Á ¥Àæ§AzsÀzÀ°è PÉ®ªÀÅ ¤¢ðµÀÖ CxÀðUÀ¼À°è AiÀiÁªÀÅzÉÃ n WÁvÀzÀ

§ºÀÄ¥ÀzÉÆÃQÛAiÀÄ ¸À«ÄÃPÀgÀtUÀ¼ÀÄ ¤RgÀªÁV n ¥ÀjºÁgÀUÀ¼À£ÀÄß ºÉÆA¢gÀÄvÀÛªÉ JAzÀÄ ¸Á¢ü¹zÁÝgÉ. F ¥sÀ°vÁA±ÀªÀÅ vÀÄA¨Á ¥ÀæªÀÄÄRªÁVzÀÄÝ, EzÀ£ÀÄß ©ÃdUÀtÂvÀzÀ ªÀÄÆ®¨sÀÆvÀ ¥ÀæªÉÄÃAiÀÄ JAzÀÄ PÀgÉAiÀÄ¯ÁUÀÄvÀÛzÉ. ¥ÀæªÉÄÃAiÀÄªÀÅ ÀvÀåªÁVgÀÄªÀ ¤RgÀ CxÀðªÀÅ ©ÃdUÀtÂwÃAiÀÄ ÀASÉåUÀ¼À PÀxÉAiÀÄ E£ÉÆßAzÀÄ ¨sÁUÀzÀ «µÀAiÀÄªÁVzÉ.

GzÁºÀgÀuÉ 3.3

p x^ h = 5 3 7 9x x x3 2- + - , DzÀgÉ, (i) p 1-^ h (ii) p 2^ h £ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.

¥ÀjºÁgÀ p x^ h = 5 3 7 9x x x3 2- + - JAzÀÄ PÉÆqÀ¯ÁVzÉ.

(i) p 1-^ h = 5( ) 3( ) 7( ) 91 1 13 2

- - - + - - = 5 3 7 9- - - -

` p 1-^ h = 24-

(ii) p 2^ h = 5( ) 3( ) 7( ) 92 2 23 2- + - = 40 12 14 9- + -

` p 2^ h = 33

GzÁºÀgÀuÉ 3.4

PÉ¼ÀV£À §ºÀÄ¥ÀzÀUÀ¼À ¸ÉÆ£ÉßUÀ¼À£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.

(i) 2 3p x x= -^ h (ii) 2p x x= -^ h

¥ÀjºÁgÀ

(i) p x^ h = x2 3- = x223-` j JAzÀÄ PÉÆqÀ¯ÁVzÉ.

p23` j = 2

23

23-` j = 2 0^ h = 0 JAzÀÄ £ÀªÀÄUÉ ¹UÀÄvÀÛzÉ.

DzÀÝjAzÀ, x = 23 JA§ÄzÀÄ p x^ h £À ¸ÉÆ£ÉßAiÀiÁVzÉ.

(ii) p x^ h = x 2- JAzÀÄ PÉÆqÀ¯ÁVzÉ.

p 2^ h = 2 2- = 0

DzÀÝjAzÀ, x = 2 JA§ÄzÀÄ p x^ h £À ¸ÉÆ£ÉßAiÀiÁVzÉ.

¸ÀÆZÀ£É

73

©ÃdUÀtÂvÀ

UÀtÂvÀ±Á

¸ÀÛç

3.3.4 §ºÀÄ¥À¢ÃAiÀÄ ¸À«ÄÃPÀÀgÀtUÀ¼À ªÀÄÆ®UÀ¼ÀÄ (Roots of a Polynomial Equations) p x^ h JA§ÄzÀÄ x £À°ègÀÄªÀ §ºÀÄ¥ÀzÀ ©ÃeÉÆÃQÛAiÀiÁVgÀ°. p x^ h = 0 AiÀÄ£ÀÄß x £À°ègÀÄªÀ §ºÀÄ¥À¢ÃAiÀÄ

¸À«ÄÃPÀgÀt JAzÀÄ PÀgÉAiÀÄÄvÉÛÃªÉ. p x^ h = x 1- §ºÀÄ¥ÀzÀªÀ£ÀÄß vÉUÉzÀÄPÉÆ½î. 1 JA§ÄzÀÄ §ºÀÄ¥ÀzÀ p x^ h = x 1- gÀ ÉÆ£ÉßAiÀiÁVgÀÄªÀÅzÀÄ

¸ÀàµÀÖªÁVzÉ. FUÀ, p x^ h = 0 §ºÀÄ¥À¢ÃAiÀÄ À«ÄÃPÀgÀtªÀ£ÀÄß CAzÀgÉ, x 1- = 0 JA§ÄzÀ£ÀÄß vÉUÉzÀÄPÉÆ½î. FUÀ

x 1- = 0 JA§ÄzÀÄ x 1= JAzÁUÀÄvÀÛzÉ. x 1= JA§ É¯ÉAiÀÄ£ÀÄß p x 0=^ h §ºÀÄ¥À¢ÃAiÀÄ À«ÄÃPÀgÀtzÀ

ªÀÄÆ®ªÉAzÀÄ PÀgÉAiÀÄÄvÉÛÃªÉ.

DzÀÝjAzÀ, §ºÀÄ¥ÀzÀzÀ ¸ÉÆ£ÉßUÀ¼ÀÄ C£ÀÄUÀÄtªÁzÀ §ºÀÄ¥À¢ÃAiÀÄ ¸À«ÄÃPÀgÀtzÀ ªÀÄÆ®UÀ¼ÁVªÉ.

ªÀÄÄRå ¥ÀjPÀ®à£É §ºÀÄ¥À¢ÃAiÀÄ ¸À«ÄÃPÀgÀtzÀ ªÀÄÆ®

x a= JA§ÄzÀÄ §ºÀÄ¥À¢ÃAiÀÄ ¸À«ÄÃPÀgÀt p x 0=^ h £ÀÄß vÀÈ¥ÀÛ¥ÀÀr¹zÀgÉ, x a= £ÀÄß §ºÀÄ¥À¢ÃAiÀÄ ¸À«ÄÃPÀgÀt p x^ h £À ªÀÄÆ® JAzÀÄ PÀgÉAiÀÄÄvÉÛÃªÉ.

GzÁºÀgÀuÉ 3.5

PÉ¼ÀV£À §ºÀÄ¥À¢ÃAiÀÄ ¸À«ÄÃPÀgÀtUÀ¼À ªÀÄÆ®UÀ¼À£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.

(i) 6 0x - = (ii) 2 1 0x + = ¥ÀjºÁgÀ

(i) x 6- = 0 JAzÀÄ PÉÆnÖzÉ ( x = 6

` x = 6 JA§ÄzÀÄ x 6- = 0 AiÀÄ ªÀÄÆ®ªÁVzÉ. (ii) x2 1+ = 0 JAzÀÄ PÉÆnÖzÉ ( x2 = 1- ( x =

21-

` x = 21- JA§ÄzÀÄ x2 1+ = 0 AiÀÄ ªÀÄÆ®ªÁVzÉ.

GzÁºÀgÀuÉ 3.6

§ºÀÄ¥À¢ÃAiÀÄ ¸À«ÄÃPÀgÀtUÀ¼À ªÀÄÄAzÉ ¸ÀÆa¹gÀÄªÀªÀÅUÀ¼ÀÄ F ¸À«ÄÃPÀgÀtUÀ¼À ªÀÄÆ®UÀ¼ÁVªÉAiÉÄÃ

JA§ÄzÀ£ÀÄß ¥Àj²Ã°¹j. (i) 2 3 2x x 02- - = ; x = 2, 3

(ii) 8 5 14x x x3 2+ + - = 0; x = 1, 2

¥ÀjºÁgÀ

(i) p x^ h = 2 3 2x x2- - DVgÀ°.

p 2^ h = 2( ) 3( ) 22 22- - = 8 6 2- - = 0

` x = 2 JA§ÄzÀÄ 2 3 2x x2- - = 0 AiÀÄ ªÀÄÆ®ªÁVzÉ.

DzÀgÉ p 3^ h= 2(3) 3(3) 22- - = 18 9 2- - = 7 0!

` x = 3 JA§ÄzÀÄ 2 3 2 0x x2- - = AiÀÄ ªÀÄÆ®ªÁV®è.

(ii) p x^ h = 8 5 14x x x3 2+ + - DVgÀ°.

p 1^ h = ( ) 8( ) 5( ) 141 1 13 2+ + - = 1 8 5 14+ + - = 0

` x = 1 JA§ÄzÀÄ 8 5 14x x x3 2+ + - = 0 AiÀÄ ªÀÄÆ®ªÁVzÉ.

74


¸ÀÛç

DzÀgÉ p 2^ h= ( ) 8( ) 5( ) 142 2 23 2+ + - = 8 32 10 14+ + - = 36 ! 0

` x = 2 JA§ÄzÀÄ 8 5 14x x x3 2+ + - = 0 AiÀÄ ªÀÄÆ®ªÁV®è.

C¨sÁå¸À 3.21. PÉ¼ÀV£À §ºÀÄ¥ÀzÀUÀ¼À ¸ÉÆ£ÉßUÀ¼À£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj. (i) ( )p x x4 1= - (ii) ( )p x x3 5= + (iii) ( )p x x2= (iv) ( )p x x 9= +

2. PÉ¼ÀV£À §ºÀÄ¥À¢ÃAiÀÄ ¸À«ÄÃPÀgÀtUÀ¼À ªÀÄÆ®UÀ¼À£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.

(i) x 3 0- = (ii) 5 6x - = 0 (iii) x11 1+ = 0 (iv) x9- = 03. §ºÀÄ¥À¢ÃAiÀÄ ¸À«ÄÃPÀgÀtUÀ¼À ªÀÄÄAzÉ ¸ÀÆa¹gÀÄªÀªÀÅUÀ¼ÀÄ F ¸À«ÄÃPÀgÀtUÀ¼À ªÀÄÆ®UÀ¼ÁVªÉAiÉÄÃ

JA§ÄzÀ£ÀÄß ¥Àj²Ã°¹j. (i) 5 6x x2

- + = 0; x = 2, 3 (ii) 4 3x x2+ + = 0; x = 1- , 2

(iii) 2 5 6x x x3 2- - + = 0; x = 1, 2- , 3 (iv) 2 2x x x3 2

- - + = 0; x = 1- , 2, 33.3.5 §ºÀÄ¥ÀzÀUÀ¼À ¨sÁUÁPÁgÀ (Division of Polynomials) ( )p x ªÀÄvÀÄÛ ( )g x §ºÀÄ¥ÀzÀUÀ¼À ¨sÁUÁPÁgÀªÀ£ÀÄß PÉ¼ÀV£À ©ÃdUÀtÂvÀzÀ “ ¨sÁUÁPÁgÀ C¯ÁÎjzÀªÀiï” ¤AzÀ ªÀåPÀÛ¥Àr¸À¯ÁVzÉ.

ªÀÄÄRå ¥ÀjPÀ®à£É §ºÀÄ¥ÀzÀUÀ½UÉ ¨sÁUÁPÁgÀ C¯ÁÎjzÀªÀiï

( )p x ªÀÄvÀÄÛ ( )g x UÀ¼ÀÄ ( )g x £À WÁvÀ # ( )p x £À WÁvÀ ªÀÄvÀÄÛ ( )g x 0! DVgÀÄªÀAvÉ JgÀqÀÄ §ºÀÄ¥ÀzÀUÀ¼ÁVgÀ°. DUÀ KPÉÊPÀ §ºÀÄ¥ÀzÀUÀ¼ÁzÀ ( )q x ªÀÄvÀÄÛ ( )r x UÀ¼ÀÄ PÉ¼ÀV£ÀAvÉ ®¨sÀåªÁVgÀÄvÀÛªÉ. ( )p x = ( )g x ( )q x + ( )r x ... (1) E°è, ( )r x = 0 CxÀªÁ ( )r x £À WÁvÀ < ( )g x £À WÁvÀ.

( )p x §ºÀÄ¥ÀzÀªÀÅ ¨sÁdå, ( )g x JA§ÄzÀÄ ¨sÁdPÀ, ( )q x JA§ÄzÀÄ ¨sÁUÀ®§Þ ªÀÄvÀÄÛ ( )r x JA§ÄzÀÄ

±ÉÃµÀªÁVzÉ. (1) ( ¨sÁdå = (¨sÁdPÀ # ¨sÁUÀ®§Þ) + ±ÉÃµÀGzÁºÀgÀuÉ 3.7 10 4 3x x2

- + £ÀÄß 2x - jAzÀ ¨sÁV¹zÁUÀ §gÀÄªÀ ¨sÁUÀ®§Þ ªÀÄvÀÄÛ ±ÉÃµÀªÀ£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.

¥ÀjºÁgÀ ªÉÆzÀ®Ä ¥ÀæwAiÉÆAzÀÄ §ºÀÄ¥ÀzÀzÀ ¥ÀzÀUÀ¼À£ÀÄß E½PÉ PÀæªÀÄzÀ°è (CxÀªÁ KjPÉ PÀæªÀÄzÀ°è) £ÁªÀÅ

§gÉAiÉÆÃt. DzÀÝjAzÀ, PÉÆnÖgÀÄªÀ ¸ÀªÀÄ¸ÉåAiÀÄÄ (3 4 10) ( 2)x x x2'- + - .

(i) xx x3 32

=

(ii) ( )x x x x3 2 3 62- = -

(iii) xx2 2=

(iv) ( )x x2 2 2 4- = -

` ¨sÁUÀ®§Þ = x3 2+ ªÀÄvÀÄÛ ±ÉÃµÀ = 14 ( CAzÀgÉ, ( )( )x x x x3 4 10 2 3 2 142

- + = - + + DVzÉ ªÀÄvÀÄÛ ¨sÁdå = (¨sÁdPÀ # ¨sÁUÀ®§Þ) + ±ÉÃµÀ gÀÆ¥ÀzÀ°èzÉ. )

x 2-

3x + 23x2 – 4x + 103x2 – 6x

2x + 10 2x – 4

14

– +

– +

75

©ÃdUÀtÂvÀ

UÀtÂvÀ±Á

¸ÀÛç

GzÁºÀgÀuÉ 3.8

¨sÁUÀ®§Þ ªÀÄvÀÄÛ ±ÉÃµÀªÀ£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj: (4 6 23 15) (3 )x x x x3 2'+ - - +

¥ÀjºÁgÀ PÉÆnÖgÀÄªÀ §ºÀÄ¥ÀzÀUÀ¼À£ÀÄß KjPÉ CxÀªÁ E½PÉ PÀæªÀÄzÀ°è §gÉ¬Äj.

CAzÀgÉ, (4 6 23 15) ( 3)x x x x3 2'+ - - +

(i) xx x4 43

2=

(ii) ( )x x x x4 3 4 122 3 2+ = +

(iii) xx x6 62

- =

(iv) ( )x x x x6 3 6 182- + =- -

(v) x

x5 5- =-

(vi) ( )x x5 3 5 15- + =- -

` ¨sÁUÀ®§Þ = x x4 6 52- -

±ÉÃµÀ = 0

GzÁºÀgÀuÉ 3.9

8 14 19 8x x x3 2- - - £ÀÄß 4 3x + jAzÀ sÁV¹zÁUÀ §gÀÄªÀ sÁUÀ®§Þ ªÀÄvÀÄÛ ±ÉÃµÀªÀ£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.

¥ÀjºÁgÀ

(i) xx x48 2

32

=

(ii) ( 3)x x x x2 4 8 62 3 2+ = +

(iii) x

x x420 5

2- =-

(iv) ( 3) 1x x x x5 4 20 52- + =- -

(v) xx

44 1- =-

(vi) ( 3)x x1 4 4 3- + =- -

` ¨sÁUÀ®§Þ = x x2 5 12- - , ±ÉÃµÀ = –5

C¨sÁå¸À 3.3

1. PÉ¼ÀV£ÀªÀÅUÀ½UÉ ¨sÁUÀ®§Þ ªÀÄvÀÄÛ ±ÉÃµÀªÀ£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.

(1) (5 8 5 7) ( 1)x x x x3 2'- + - -

(2) (2 3 14) ( 2)x x x2'- - +

(3) (9 4 5 3 ) ( 1)x x x x2 3'+ + + +

(4) (4 2 6 7) (3 2 )x x x x3 2'- + + +

(5) ( 18 9 7 ) ( 2)x x x2'- - + -

x 3+

4x2 – 6x – 54x3 + 6x2 – 23x – 154x3 + 12x2

– 6x2 – 23x – 6x2 – 18x

– 5x – 15 – 5x – 15

0

– –

+ +

+ +

3x4 +

2x2 – 5x – 18x3 – 14x2 – 19x – 88x3 + 6x2

– 20x2 – 19x – 20x2 – 15x

– 4x – 8 – 4x – 3

– 5

– –

+ +

+ +

76


¸ÀÛç

3.4 ±ÉÃµÀ ¥ÀæªÉÄÃAiÀÄ (Remainder Theorem)

±ÉÃµÀ ¥ÀæªÉÄÃAiÀÄ

p x^ h JA§ÄzÀÄ AiÀiÁªÀÅzÉÃ §ºÀÄ¥ÀzÀ ªÀÄvÀÄÛ a JA§ÄzÀÄ AiÀiÁªÀÅzÉÃ ªÁ¸ÀÛªÀ ÀASÉå DVgÀ°.

p x^ h £ÀÄß ÀgÀ¼À §ºÀÄ¥ÀzÀ x a- jAzÀ sÁV¹zÀgÉ, G½AiÀÄÄªÀ ±ÉÃµÀªÀÅ p a^ h DVgÀÄvÀÛzÉ.

1. p x^ h £ÀÄß x a+^ h ¤AzÀ ¨sÁV¹zÀgÉ, ±ÉÃµÀªÀÅ p a-^ h DVgÀÄvÀÛzÉ.

2. p x^ h £ÀÄß ax b-^ h ¤AzÀ ¨sÁV¹zÀgÉ, ±ÉÃµÀªÀÅ pab` j DVgÀÄvÀÛzÉ.

3. p x^ h £ÀÄß ax b+^ h ¤AzÀ ¨sÁV¹zÀgÉ, ±ÉÃµÀªÀÅ pab-` j DVgÀÄvÀÛzÉ.

4. E°è a- , ab ªÀÄvÀÄÛ

ab- UÀ¼ÀÄ PÀæªÀÄªÁV x a+ , ax b- ªÀÄvÀÄÛ ax b+ JA§

¨sÁdPÀUÀ¼À ¸ÉÆ£ÉßUÀ¼ÁVªÉ.

GzÁºÀgÀuÉ 3.10

4 5 6 2x x x3 2- + - £ÀÄß 1x - jAzÀ ¨sÁV¹zÀgÉ, §gÀÄªÀ ±ÉÃµÀªÀ£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.

¥ÀjºÁgÀ p x^ h = 4 5 6 2x x x3 2- + - DVgÀ°. x 1- gÀ ¸ÉÆ£ÉßAiÀÄÄ 1 DVzÉ.

p x^ h £ÀÄß x 1-^ h jAzÀ ¨sÁV¹zÁUÀ, §gÀÄªÀ ±ÉÃµÀªÀÅ p 1^ h DVzÉ. FUÀ,

p 1^ h = 4( ) 5( ) 6( ) 21 1 13 2- + -

= 4 5 6 2- + - = 3

` ±ÉÃµÀªÀÅ 3 DVzÉ.

GzÁºÀgÀuÉ 3.11

7 6x x x3 2- - + £ÀÄß x 2+^ h jAzÀ ¨sÁV¹zÀgÉ, §gÀÄªÀ ±ÉÃµÀªÀ£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.

¥ÀjºÁgÀ p x^ h = 7 6x x x3 2- - + DVgÀ°. 2x + gÀ ¸ÉÆ£ÉßAiÀÄÄ 2- DVzÉ.

p x^ h £ÀÄß 2x + jAzÀ ¨sÁV¹zÁUÀ, §gÀÄªÀ ±ÉÃµÀªÀÅ p 2-^ h DVzÉ. FUÀ,

p 2-^ h = ( ) 7( ) ( ) 62 2 23 2

- - - - - +

= 8 7 4 2 6- - + +^ h

= 8 28 2 6- - + + = 28-

` ±ÉÃµÀªÀÅ 28- DVzÉ.

GzÁºÀgÀuÉ 3.12

2 6 5 9x x ax3 2- + - £ÀÄß 2x - jAzÀ ¨sÁV¹zÁUÀ §gÀÄªÀ ±ÉÃµÀªÀÅ 13 DzÀgÉ, a £À ¨É¯ÉAiÀÄ£ÀÄß

PÀAqÀÄ»r¬Äj.

¸ÀÆZÀ£É

77

©ÃdUÀtÂvÀ

UÀtÂvÀ±Á

¸ÀÛç

¥ÀjºÁgÀ p x^ h = 2 6 5 9x x ax3 2- + - DVgÀ°.

p x^ h £ÀÄß x 2- jAzÀ ¨sÁV¹zÁUÀ §gÀÄªÀ ±ÉÃµÀªÀÅ p 2^ h DVzÉ.

p 2^ h= 13 JAzÀÄ PÉÆqÀ¯ÁVzÉ.

( 2( ) 6( ) 5 ( ) 9a2 2 23 2- + - = 13

a2 8 6 4 10 9- + -^ ^h h = 13

a16 24 10 9- + - = 13

10 17a - = 13

10a = 30

` a = 3

GzÁºÀgÀuÉ 3.13

3x ax x a3 2+ - + £ÀÄß x a+ ¤AzÀ ¨sÁV¹zÀgÉ, §gÀÄªÀ ±ÉÃµÀªÀ£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.

¥ÀjºÁgÀ p x^ h = 3x ax x a3 2+ - + DVgÀ°.

p x^ h £ÀÄß x a+^ h ¤AzÀ ¨sÁV¹zÀgÉ, §gÀÄªÀ ±ÉÃµÀªÀÅ p a-^ h DVzÉ.

p a-^ h = ( ) ( ) 3( )a a a a a3 2

- + - - - + = 4a a a3 3- + + = a4

` ±ÉÃµÀªÀÅ a4 DVzÉ.

GzÁºÀgÀuÉ 3.14

f x^ h = 12 13 5 7x x x3 2- - + £ÀÄß x3 2+^ h jAzÀ sÁV¹zÀgÉ, §gÀÄªÀ ±ÉÃµÀªÀ£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.

¥ÀjºÁgÀ f x^ h = 12 13 5 7x x x3 2- - + .

f x^ h £ÀÄß x3 2+^ h jAzÀ ¨sÁV¹zÀgÉ, §gÀÄªÀ ±ÉÃµÀªÀÅ f32-` j DVzÉ. FUÀ

f32-` j = 12 13 5 7

32

32

323 2

- - - - - +` ` `j j j

= 12278 13

94

310 7- - + +` `j j

= 932

952

310 7- - + + =

99 = 1


GzÁºÀgÀuÉ 3.15

2 4 12x ax x3 2+ + - ªÀÄvÀÄÛ 2x x x a3 2

+ - + JA§ §ºÀÄ¥ÀzÀUÀ¼À£ÀÄß x 3-^ h jAzÀ sÁV¹zÁUÀ

§gÀÄªÀ ±ÉÃµÀªÀÅ MAzÉÃ DzÀgÉ, a £À ¨É¯ÉAiÀÄ£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj ºÁUÀÆ ±ÉÃµÀªÀ£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.

78


¸ÀÛç

¥ÀjºÁgÀ p x^ h = 2 4 12x ax x3 2+ + - ,

q x^ h = 2x x x a3 2+ - + DVgÀ°.

p x^ h £ÀÄß x 3-^ h jAzÀ ¨sÁV¹zÀgÉ, §gÀÄªÀ ±ÉÃµÀªÀÅ p 3^ h DVzÉ. FUÀ

p 3^ h = 2( ) ( ) 4( ) 12a3 3 33 2+ + -

= a2 27 9 12 12+ + -^ ^h h

= a54 9+ (1)

q x^ h £ÀÄß x 3-^ h jAzÀ ¨sÁV¹zÀgÉ, §gÀÄªÀ ±ÉÃµÀªÀÅ q 3^ h DVzÉ. FUÀ

q 3^ h = ( ) ( ) 2( ) a3 3 33 2+ - +

= a27 9 6+ - +

= a30 + (2) p 3^ h = q 3^ h JAzÀÄ PÉÆnÖzÉ. DzÀÝjAzÀ,

a54 9+ = a30 + (¸À«ÄÃPÀgÀt (1) ªÀÄvÀÄÛ (2) jAzÀ) a a9 - = 30 54-

a8 = 24-

` a = 824- = 3-

a = 3- £ÀÄß p 3^ h £À°è DzÉÃ²¹zÁUÀ, £ÀªÀÄUÉ

p 3^ h= 54 9 3+ -^ h = 54 27- = 27 ¹UÀÄvÀÛzÉ.


C¨sÁå¸À 3.4

1. ±ÉÃµÀ ¥ÀæªÉÄÃAiÀÄªÀ£ÀÄß G¥ÀAiÉÆÃV¹PÉÆAqÀÄ, PÉ¼ÀV£ÀªÀÅUÀ½UÉ ±ÉÃµÀªÀ£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.

(i) 3 4 5 8x x x3 2+ - + £ÀÄßx 1- jAzÀ ¨sÁV¹zÁUÀ

(ii) 5 2 6 12x x x3 2+ - + £ÀÄß x 2+ jAzÀ ¨sÁV¹zÁUÀ

(iii) 2 4 7 6x x x3 2- + + £ÀÄß x 2- jAzÀ ¨sÁV¹zÁUÀ

(iv) 4 3 2 4x x x3 2- + - £ÀÄß 3x + jAzÀ ¨sÁV¹zÁUÀ

(v) 4 12 11 5x x x3 2- + - £ÀÄß x2 1- jAzÀ ¨sÁV¹zÁUÀ

(vi) 8 12 2 18 14x x x x4 3 2+ - - + £ÀÄß x 1+ jAzÀ ¨sÁV¹zÁUÀ

(vii) 5 2x ax x a3 2- - + £ÀÄß x a- jAzÀ ¨sÁV¹zÁUÀ

2. 2 9 8x ax x3 2- + - £ÀÄß x 3- jAzÀ ¨sÁV¹zÁUÀ §gÀÄªÀ ±ÉÃµÀªÀÅ 28 DzÀgÉ, a £À ¨É¯ÉAiÀÄ£ÀÄß

PÀAqÀÄ»r¬Äj.

3. 6 60x x mx3 2- + + £ÀÄß x 2+^ h jAzÀ ¨sÁV¹zÁUÀ §gÀÄªÀ ±ÉÃµÀªÀÅ 2 DzÀgÉ, m £À ¨É¯ÉAiÀÄ£ÀÄß

PÀAqÀÄ»r¬Äj.

79

©ÃdUÀtÂvÀ

UÀtÂvÀ±Á

¸ÀÛç

4. 2 2 2mx x x5 63 2- + - £ÀÄß x 1-^ h jAzÀ ¤±ÉêÃµÀªÁV sÁV¹zÀgÉ, m £À É¯ÉAiÀÄ£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.

5. 3x x m3 2+ - ªÀÄvÀÄÛ 2x mx 93

- + JA§ §ºÀÄ¥ÀzÀUÀ¼À£ÀÄß x 2-^ h jAzÀ ¨sÁV¹zÁUÀ §gÀÄªÀ

±ÉÃµÀªÀÅ MAzÉÃ DzÀgÉ, m £À ¨É¯ÉAiÀÄ£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj ºÁUÀÆ ±ÉÃµÀªÀ£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.

3.5 C¥ÀªÀvÀð£À ¥ÀæªÉÄÃAiÀÄ (Factor Theorem) C¥ÀªÀvÀð£À ¥ÀæªÉÄÃAiÀÄ

p x^ h JA§ÄzÀÄ MAzÀÄ §ºÀÄ¥ÀzÀ ªÀÄvÀÄÛ a JA§ÄzÀÄ AiÀiÁªÀÅzÉÃ ªÁ¸ÀÛªÀ ¸ÀASÉå DVgÀ°. p a^ h = 0 DzÀgÉ, ( x–a) JA§ÄzÀÄ p x^ h £À C¥ÀªÀvÀð£ÀªÁVgÀÄvÀÛzÉ.

( x–a) JA§ÄzÀÄ p x^ h £À C¥ÀªÀvÀð£ÀªÁzÀgÉ, p a^ h = 0 DUÀÄvÀÛzÉ.

GzÁºÀgÀuÉ 3.16

p x^ h = 2 5 28 15x x x3 2- - + JA§ §ºÀÄ¥ÀzÀzÀ C¥ÀªÀvÀð£ÀªÀÅ x 5-^ h DVzÉAiÉÄÃ JA§ÄzÀ£ÀÄß ¤zsÀðj¹j.

¥ÀjºÁgÀ C¥ÀªÀvÀð£À ¥ÀæªÉÄÃAiÀÄ¢AzÀ, p 5^ h = 0 DzÀgÉ, x 5-^ h JA§ÄzÀÄ p x^ h £À C¥ÀªÀvÀð£ÀªÁVzÉ. FUÀ

p 5^ h = 2( ) 5( ) 28( ) 155 5 53 2- - +

= 2 125 5 25 140 15- - +^ ^h h

= 250 125 140 15- - + = 0

` p x^ h = 2 5 28 15x x x3 2- - + gÀ C¥ÀªÀvÀð£ÀªÀÅ x 5-^ h DVzÉ.

GzÁºÀgÀuÉ 3.17

2 6 5 4x x x3 2- + + JA§ §ºÀÄ¥ÀzÀzÀ C¥ÀªÀvÀð£ÀªÀÅ x 2-^ h DVzÉAiÉÄÃ JA§ÄzÀ£ÀÄß ¤zsÀðj¹j.

¥ÀjºÁgÀ p x^ h = 2 6 5x x x 43 2- + + DVgÀ°.

C¥ÀªÀvÀð£À ¥ÀæªÉÄÃAiÀÄ¢AzÀ, p 2^ h = 0 DzÀgÉ, x 2-^ h JA§ÄzÀÄ p x^ h £À C¥ÀªÀvÀð£ÀªÁVzÉ. FUÀ

p 2^ h = 2( ) 6( ) 5( ) 42 2 23 2- + + = 2 8 6 4 10 4- + +^ ^h h

= 16 24 10 4- + + = 6 ! 0 ` x 2-^ h JA§ÄzÀÄ 2 6 5x x x 43 2

- + + gÀ C¥ÀªÀvÀð£ÀªÀ®è.

GzÁºÀgÀuÉ 3.18 x2 3-^ h JA§ÄzÀÄ 2 9 12x x x3 2

- + + gÀ C¥ÀªÀvÀð£ÀªÁVzÉAiÉÄÃ JA§ÄzÀ£ÀÄß ¤zsÀðj¹j.

¥ÀjºÁgÀ p x^ h = 2 9 12x x x3 2- + + DVgÀ°.

C¥ÀªÀvÀð£À ¥ÀæªÉÄÃAiÀÄ¢AzÀ, p23` j = 0 DzÀgÉ, x2 3-^ h JA§ÄzÀÄ p x^ h £À C¥ÀªÀvÀð£ÀªÁVzÉ. FUÀ

p23` j = 2 9 12

23

23

233 2

- + +` `j j = 2827 9

49

23 12- + +` `j j

¸ÀÆZÀ£É

80


¸ÀÛç

= 427

481

23 12- + + =

427 81 6 48- + + = 0

` x2 3-^ h JA§ÄzÀÄ 2 9 12x x x3 2- + + gÀ C¥ÀªÀvÀð£ÀªÁVzÉ.

GzÁºÀgÀuÉ 3.19 5 4x x mx3 2

+ + + gÀ C¥ÀªÀvÀð£ÀªÀÅ ( 1x - ) DzÀgÉ, m £À ¨É¯ÉAiÀÄ£ÀÄß ¤zsÀðj¹j.¥ÀjºÁgÀ p x^ h = 5 4x x mx3 2

+ + + DVgÀ°. p x^ h gÀ C¥ÀªÀvÀð£ÀªÀÅ x 1-^ h DVgÀÄªÀÅzÀjAzÀ, ±ÉÃµÀªÀÅ p 1^ h = 0 DVzÉ. FUÀ

p 1^ h = 0 ( ( ) 5( ) ( ) 4m1 1 13 2+ + + = 0

( m1 5 4+ + + = 0

m 10+ = 0

` m = 10-

C¨sÁå¸À 3.5

1. x 1+^ h JA§ÄzÀÄ PÉ¼ÀV£À §ºÀÄ¥ÀzÀUÀ½UÉ C¥ÀªÀvÀð£À DVzÉAiÉÄÃ JA§ÄzÀ£ÀÄß ¤zsÀðj¹j.

(i) 4x x x6 7 54 3+ - - (ii) 1 1x x x x2 9 2 0 54 3 2

+ + + +

(iii) 8x x x3 6 53 2+ - - (iv) x x x14 3 123 2

- + +

2. x 4+^ h JA§ÄzÀÄ 3 5 36x x x3 2+ - + gÀ C¥ÀªÀvÀð£ÀªÁVzÉAiÉÄÃ JA§ÄzÀ£ÀÄß ¤zsÀðj¹j.

3. C¥ÀªÀvÀð£À ¥ÀæªÉÄÃAiÀÄªÀ£ÀÄß G¥ÀAiÉÆÃV¹PÉÆAqÀÄ, x 1-^ h JA§ÄzÀÄ 4 9x x x6 73 2- + - gÀ

C¥ÀªÀvÀð£À DVzÉ JAzÀÄ vÉÆÃj¹.

4. x2 1+^ h JA§ÄzÀÄ 4 4 1x x x3 2+ - - gÀ C¥ÀªÀvÀð£ÀªÁVzÉAiÉÄÃ JA§ÄzÀ£ÀÄß ¤zsÀðj¹j.

5. 3 24x x px3 2- - + gÀ C¥ÀªÀvÀð£ÀªÀÅ x 3+^ h DzÀgÉ, p £À ¨É¯ÉAiÀÄ£ÀÄß ¤zsÀðj¹j.

C¨sÁå¸À 3.6§ºÀÄ DAiÉÄÌ ªÀiÁzÀj ¥Àæ±ÉßUÀ¼ÀÄ.1. 2 3 2 3x x x

3 2- - + gÀ°è x

2 ªÀÄvÀÄÛ x £À ¸ÀºÁAPÀUÀ¼ÀÄ PÀæªÀÄªÁV

(a) 2,3 (B) –3,–2 (C) –2,–3 (D) 2,–3

2. 4 7 6 1x x x2 3- + + §ºÀÄ¥ÀzÀzÀ WÁvÀªÀÅ

(a) 2 (B) 1 (C) 3 (D) 03. 3 2x - JA§ §ºÀÄ¥ÀzÀªÀÅ

(a) ¸ÀgÀ¼À §ºÀÄ¥ÀzÀ (B) ªÀUÀð §ºÀÄ¥ÀzÀ

(C) WÀ£À §ºÀÄ¥ÀzÀ (D) ¹ÜgÀ §ºÀÄ¥ÀzÀ

4. 4 2 2x x2+ - JA§ §ºÀÄ¥ÀzÀªÀÅ

(a) ¸ÀgÀ¼À §ºÀÄ¥ÀzÀ (B) ªÀUÀð §ºÀÄ¥ÀzÀ

(C) WÀ£À §ºÀÄ¥ÀzÀ (D) ¹ÜgÀ §ºÀÄ¥ÀzÀ

81

©ÃdUÀtÂvÀ

UÀtÂvÀ±Á

¸ÀÛç


5. 2 5x - §ºÀÄ¥ÀzÀzÀ ¸ÉÆ£ÉßAiÀÄÄ

(a) 25 (B)

25- (C)

52 (D)

52-

6. 3 1 0x - = §ºÀÄ¥À¢ÃAiÀÄ ¸À«ÄÃPÀgÀtzÀ ªÀÄÆ®ªÀÅ

(a) x31=- (B) x

31= (C) x 1= (D) x 3=

7. 2 0x x2+ = §ºÀÄ¥À¢ÃAiÀÄ ¸À«ÄÃPÀgÀtzÀ ªÀÄÆ®UÀ¼ÀÄ

(a) ,x 0 2= (B) ,x 1 2= (C) ,x 1 2= - (D) ,x 0 2= -

8. p x^ h §ºÀÄ¥ÀzÀªÀ£ÀÄß ax b+^ h ¤AzÀ ¨sÁV¹zÀgÉ, §gÀÄªÀ ±ÉÃµÀªÀÅ

(a) pab` j (B) p

ab-` j (C) p

ba` j (D) p

ba-` j

9. 2x ax x a3 2- + - §ºÀÄ¥ÀzÀªÀ£ÀÄß x a-^ h ¤AzÀ ¨sÁV¹zÀgÉ, §gÀÄªÀ ±ÉÃµÀªÀÅ

(a) a3 (B) a2 (C) a (D) – a

10. ax b-^ h AiÀÄÄ p x^ h gÀ C¥ÀªÀvÀð£ÀªÁzÀgÉ, DUÀ

(a) p b 0=^ h (B) pab 0- =` j (C) p a 0=^ h (D) p

ab 0=` j

11. 3 10x x2- - gÀ MAzÀÄ C¥ÀªÀvÀð£ÀªÀÅ

(a) x 2- (B) x +5 (C) x – 5 (D) x – 3

12. 2 2 1x x x3 2- + - gÀ MAzÀÄ C¥ÀªÀvÀð£ÀªÀÅ

(a) x 1- (B) x 1+ (C) x 2- (D) x 2+

� MAzÀÄ ZÀgÁA±À x £À°è EgÀÄªÀ §ºÀÄ¥ÀzÀªÀÅ p(x) a x a x a x a x an

n

n

n

1

1

2

2

1 0g= + + + + +

-

-

, 0an! gÀÆ¥ÀzÀ ©ÃeÉÆÃQÛAiÀiÁVzÉ. E°è, , , , , ,a a a a an n0 1 2 1g

- UÀ¼ÀÄ ¹ÜgÁAPÀUÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ n

JA§ÄzÀÄ IÄuÁvÀäPÀªÀ®èzÀ ¥ÀÆuÁðAPÀªÁVzÉ.

� p x^ h JA§ÄzÀÄ MAzÀÄ §ºÀÄ¥ÀzÀªÁVgÀ°. p a^ h = 0 DzÀgÉ, a JA§ÄzÀÄ §ºÀÄ¥ÀzÀ p x^ h £À ÉÆ£ÉßAiÀiÁVzÉ JAzÀÄ £ÁªÀÅ ºÉÃ¼ÀÄvÉÛÃªÉ.

� x a= AiÀÄÄ §ºÀÄ¥À¢ÃAiÀÄ ¸À«ÄÃPÀgÀt p x^ h = 0 £ÀÄß vÀÈ¥ÀÛ¥Àr¹zÀgÉ, x a= £ÀÄß §ºÀÄ¥À¢ÃAiÀÄ ¸À«ÄÃPÀgÀt 0p x =^ h £À ªÀÄÆ® JAzÀÄ PÀgÉAiÀÄÄvÉÛÃªÉ.

� ±ÉÃµÀ ¥ÀæªÉÄÃAiÀÄ: p x^ h JA§ÄzÀÄ AiÀiÁªÀÅzÉÃ §ºÀÄ¥ÀzÀ ªÀÄvÀÄÛ a JA§ÄzÀ AiÀiÁªÀÅzÉÃ ªÁ¸ÀÛªÀ ¸ÀASÉå DVgÀ°. p x^ h £ÀÄß ¸ÀgÀ¼À §ºÀÄ¥ÀzÀ x a- ¤AzÀ ¨sÁV¹zÀgÉ, G½AiÀÄÄªÀ ±ÉÃµÀªÀÅ p a^ h DVgÀÄvÀÛzÉ.

� C¥ÀªÀvÀð£À ¥ÀæªÉÄÃAiÀÄ: p x^ h JA§ÄzÀÄ MAzÀÄ §ºÀÄ¥ÀzÀ ªÀÄvÀÄÛ a JA§ÄzÀÄ AiÀiÁªÀÅzÉÃ ªÁ¸ÀÛªÀ

¸ÀASÉå DVgÀ°. p (a) = 0 DzÀgÉ, ( x–a) JA§ÄzÀÄ p x^ h £À C¥ÀªÀvÀð£ÀªÁVgÀÄvÀÛzÉ.

82


¸ÀÛç

ZÀlÄªÀnPÉ 1

ZÀlÄªÀnPÉ 2

ZÀlÄªÀnPÉ 3

JqÀ ¨sÁUÀzÀ°è PÉÆnÖgÀÄªÀ ¥ÀzÀUÀ½AzÀ,

(i) ¥ÀzÀUÀ¼À ¸ÀASÉåAiÀÄ DzsÁgÀªÁV ¥Àæw

«zsÀzÀ°è PÀ¤µÀ× ªÀÄÆgÀÄ «©ü£Àß

§ºÀÄ¥ÀzÀUÀ¼À£ÀÄß gÀa¹j.

(ii) CªÀÅUÀ¼À WÁvÀUÀ¼À DzsÁgÀªÁV

¥Àæw «zsÀzÀ°è PÀ¤µÀ× ªÀÄÆgÀÄ «©ü£Àß

§ºÀÄ¥ÀzÀUÀ¼À£ÀÄß gÀa¹j.

¢ÃWÀð ¨sÁUÁPÁgÀ «zsÁ£ÀªÀ£ÀÄß §¼À¹PÉÆAqÀÄ, 4 5 7 6x x x3 2- + + £ÀÄß (x – 1) jAzÀ ¨sÁV¹zÁUÀ

§gÀÄªÀ ±ÉÃµÀªÀ£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj. ±ÉÃµÀ ¥ÀæªÉÄÃAiÀÄªÀ£ÀÄß §¼À¹PÉÆAqÀÄ ¤ªÀÄä GvÀÛgÀªÀ£ÀÄß ¥Àj²Ã°¹j.

¢ÃWÀð ¨sÁUÁPÁgÀ «zsÁ£ÀªÀ£ÀÄß §¼À¹PÉÆAqÀÄ, 2 6 5 2x x x3 2- + - £ÀÄß (x – 2) jAzÀ ¨sÁV¹zÁUÀ

§gÀÄªÀ ±ÉÃµÀªÀ£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj. ¤ÃªÀÅ K£À£ÀÄß ºÉÃ¼À®Ä §AiÀÄ¸ÀÄ«j?

aAw¹ ! MAzÀÄ §ºÀÄ¥ÀzÀªÀ£ÀÄß AiÀiÁªÀÅzÉÃ E£ÉÆßAzÀÄ §ºÀÄ¥ÀzÀ¢AzÀ ¨sÁV¸À§ºÀÄzÀÄ.

83

©ÃdUÀtÂvÀ

UÀtÂvÀ±Á

¸ÀÛç

GvÀ ÛgÀUÀ¼ÀÄ

C¨sÁå¸À 3.1

1. (i) MAzÀÄ ZÀgÁA±ÀzÀ°ègÀÄªÀ §ºÀÄ¥ÀzÀ. (ii) MAzÀÄ ZÀgÁA±ÀzÀ°ègÀÄªÀ §ºÀÄ¥ÀzÀ. (iii) MAzÀÄ ZÀgÁA±ÀzÀ°ègÀÄªÀ §ºÀÄ¥ÀzÀ. (iv) x £À WÁvÀ¸ÀÆaAiÀÄÄ ¥ÀÆtð ¸ÀASÉå DV®è¢gÀÄªÀÅzÀjAzÀ, EzÀÄ §ºÀÄ¥ÀzÀªÀ®è. (v) t £À WÁvÀ¸ÀÆaAiÀÄÄ ¥ÀÆtð ¸ÀASÉå DV®è¢gÀÄªÀÅzÀjAzÀ, EzÀÄ §ºÀÄ¥ÀzÀªÀ®è. (vi) ªÀÄÆgÀÄ ZÀgÁA±ÀUÀ¼À°ègÀÄªÀ §ºÀÄ¥ÀzÀ.

2. (i) –4, 3 (ii) ,0 3 (iii) ,2 4 (iv) ,31 1 3. (i) 2 (ii) 1 (iii) 3 (iv) 0

4. (i) ªÀUÀð §ºÀÄ¥ÀzÀ (ii) WÀ£À §ºÀÄ¥ÀzÀ (iii) ¸ÀgÀ¼À §ºÀÄ¥ÀzÀ

(iv) ªÀUÀð §ºÀÄ¥ÀzÀ (v) WÀ£À §ºÀÄ¥ÀzÀ (vi) ¸ÀgÀ¼À §ºÀÄ¥ÀzÀ

5. , ,ax b cx lx mx nx27 49 36 35 2+ + +

C¨sÁå¸À 3.21. (i) x

41= (ii) x

35=- (iii) x 0= (iv) x 9=-

2. (i) x 3= (ii) x56= (iii) x

111=- (iv) x 0=

3. (i) x 2= MAzÀÄ ªÀÄÆ®, x 3= MAzÀÄ ªÀÄÆ® (ii) x 1=- MAzÀÄ ªÀÄÆ®, x 2= MAzÀÄ ªÀÄÆ®ªÀ®è (iii) x 1= MAzÀÄ ªÀÄÆ®, x 2=- MAzÀÄ ªÀÄÆ®, x 3= MAzÀÄ ªÀÄÆ® (iv) x 1=- MAzÀÄ ªÀÄÆ®, x 2= MAzÀÄ ªÀÄÆ®, x 3= MAzÀÄ ªÀÄÆ®ªÀ®è.

C¨sÁå¸À 3.31. ¨sÁUÀ®§ÞªÀÅ x x5 3 22

- + , ±ÉÃµÀªÀÅ –5 2. ¨sÁUÀ®§ÞªÀÅ x2 7- , ±ÉÃµÀªÀÅ 03. ¨sÁUÀ®§ÞªÀÅ 2x x3 22

+ + , ±ÉÃµÀªÀÅ 7 4. ¨sÁUÀ®§ÞªÀÅ x x2 4 92- + , ±ÉÃµÀªÀÅ –20

5. ¨sÁUÀ®§ÞªÀÅ x7 5+ , ±ÉÃµÀªÀÅ –8

C¨sÁå¸À 3.41. (i) 10 (ii) –8 (iii) 20 (iv) –145 (v) –2 (vi) 26 (vii) –3a

2. a 5= 3. m 13= 4. m 3= 4. 5m = , ±ÉÃµÀªÀÅ 15.

C¨sÁå¸À 3.51. (i) C¥ÀªÀvÀð£À (ii) C¥ÀªÀvÀð£À (iii) C¥ÀªÀvÀð£ÀªÀ®è (iv) C¥ÀªÀvÀð£ÀªÀ®è

2. C¥ÀªÀvÀð£ÀªÀ®è 4. C¥ÀªÀvÀð£À 5. p 10=

C¨sÁå¸À 3.61. B 2. C 3. a 4. B 5. a 6. B 7. D 8. B 9. C 10. D 11. C 12. a

84


¸ÀÛç

gÉÃSÁUÀtÂvÀ

Truth can never be told so as to be understood, and not to be believed

- William Blake


● gÉÃSÁUÀtÂvÀzÀ ªÀÄÆ® ¥ÀjPÀ®à£ÉUÀ¼À£ÀÄß ¸Àäj¹PÉÆ¼ÀÄîªÀÅzÀÄ.

● ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀÄ¨sÀÄðdUÀ¼À ªÉÄÃ°£À ¥ÀæªÉÄÃAiÀÄUÀ¼À£ÀÄß

CxÉÊð¹PÉÆ¼ÀÄîªÀÅzÀÄ.

4.1 ¦ÃpPÉ (Introduction)

gÉÃSÁUÀtÂvÀ JA§ ¥ÀzÀªÀ£ÀÄß s ÀÆ«ÄAiÀÄ C¼Àv É JA§ CxÀðªÀ£ÀÄß

ºÉÆA¢gÀÄªÀ JgÀqÀÄ VæÃPï ¥ÀzÀUÀ½AzÀ ¤µÀàwÛ¸À¯ÁVzÉ. §ºÀÄPÁ®¢AzÀ®Æ

gÉÃSÁUÀtÂvÀªÀÅ ¸ÀÄAzÀgÀªÁV eÉÆÃqÀuÉ ªÀiÁrzÀ ªÀÄvÀÄÛ vÁQðPÀªÁV

¸ÀAWÀn¹zÀ eÁÕ£ÀzÀ «ZÁgÀªÁV ¨É¼É¢zÉ. EzÀÄ ©AzÀÄUÀ¼ÀÄ, gÉÃSÉUÀ¼ÀÄ,

¸ÀªÀÄvÀ®UÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ DPÀÈwUÀ¼À UÀÄt®PÀëtUÀ¼ÀÄ ºÁUÀÄ CªÀÅUÀ¼À £ÀqÀÄ«£À

¸ÀA§AzsÀUÀ¼À£ÀÄß CzsÀåAiÀÄ£À ªÀiÁqÀÄªÀÅzÁVzÉ. gÉÃSÁUÀtÂvÀzÀ DgÀA©üPÀ

zÁR¯ÉUÀ¼ÀÄ ¸ÀÄªÀiÁgÀÄ Qæ.¥ÀÆ 3000 jAzÀ ¥ÀÄgÁvÀ£À Ff¥ïÖ ªÀÄvÀÄÛ

¹AzsÀÄ PÀtÂªÉAiÀÄ ¸ÀÄ½ªÀ£ÀÄß ¤ÃqÀÄvÀÛªÉ. gÉÃSÁUÀtÂvÀªÀÅ ªÁåSÁå¤¹®èzÀ

¥ÀzÀUÀ¼ÀÄ, ªÁåSÉåUÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ HºÉUÀ½AzÀ DgÀA¨sÀªÁ¬ÄvÀÄ. EªÀÅUÀ¼ÀÄ

¥ÀæªÉÄÃAiÀÄUÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ gÀZÀ£ÉUÀ½UÉ £ÁA¢AiÀiÁzÀªÀÅ. gÉÃSÁUÀtÂvÀªÀÅ

CªÀÄÆvÀðªÁzÀ «µÀAiÀÄªÁVzÉ. DzÀgÉ EzÀÄ zÀÈ¶ÖUÉ vÀAzÀÄPÉÆ¼Àî®Ä

¸ÀÄ®¨sÀªÁVzÉ ªÀÄvÀÄÛ ºÀ®ªÁgÀÄ ªÀÄÆvÀð ¥ÁæAiÉÆÃVPÀ C£ÀéAiÀÄUÀ¼À£ÀÄß

ºÉÆA¢zÉ. d«ÄÃ£ÀÄUÀ¼À ªÉÆÃdtÂ ªÀiÁqÀÄªÀÅzÀgÀ°è EzÀgÀ ¥ÁvÀæUÀ½UÁV

ºÁUÀÆ EwÛÃZÉUÉ, PÉ®ªÀÅ GzÁºÀgÀuÉUÀ¼À£ÀÄß ºÉÃ¼ÀÄªÀÅzÁzÀgÉ GvÀÌøµÀÖ

gÀZÀ£ÉAiÀÄ ¸ÉÃvÀÄªÉUÀ¼ÀÄ, ¥ÁæAiÉÆÃVPÀ DPÁ±À PÉÃAzÀæUÀ¼ÀÄ, zÉÆqÀØzÁzÀ

NlzÀ ¥ÀxÀUÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ ªÀÄ£ÀgÀAd£ÁvÀäPÀ PÀ¯ÁªÀÄA¢gÀUÀ¼À£ÀÄß gÀa¸ÀÄªÀ°è

gÉÃSÁUÀtÂvÀzÀ £ÀªÀÄä eÁÕ£ÀªÀ£ÀÄß C£Àé¬Ä¸ÀÄªÀÅzÀjAzÀ gÉÃSÁUÀtÂvÀªÀÅ

¢ÃWÀð ¥ÁæªÀÄÄRåvÉAiÀÄ£ÀÄß ºÉÆA¢zÉ. «zsÁ£ÀzÀ°è M¼ÀUÉÆArgÀÄªÀ

MAzÀÄ ¤¢ðµÀÖ ¸ÀAUÀwAiÀÄ gÉÃSÁUÀtÂwÃAiÀÄ ¥ÀæªÉÄÃAiÀÄªÀ£ÀÄß AiÀÄÆQèqïgÀ

CA±ÀUÀ¼ÀÄ JA§ ªÉÆzÀ® ¥ÀÄ¸ÀÛPÀzÀ°è «ªÀj¸À¯ÁVzÉ.

xÉÃ¯ïì (thales)

(640 - 546 Qæ.¥ÀÆ)xÉÃ¯ïì gÀªÀgÀÄ «Ä¯ÉÃl¸ï£À VæÃPï ¥ÀlÖtzÀ°è d¤¹zÀgÀÄ.EªÀgÀÄ gÉÃSÁUÀtÂvÀªÀ£ÀÄß «±ÉÃµÀªÁV wæ¨sÀÄdUÀ¼À£ÀÄß

¸ÉÊzÁÞAwPÀ ªÀÄvÀÄÛ ¥ÁæAiÉÆÃVPÀªÁV CxÉÊð¹PÉÆArgÀÄªÀÅzÀPÉÌ

ºÉ¸ÀgÀÄªÁ¹AiÀiÁVzÁÝgÉ. MAzÀÄ ªÀÈvÀÛzÀ M¼ÀUÉ ªÁå¸ÀªÀ£ÀÄß zÉÆqÀØ

¨ÁºÀÄªÀ£ÁßV ºÉÆA¢gÀÄªÀ MAzÀÄ wæ¨sÀÄdªÀ£ÀÄß gÀa¹zÀgÉ, C©üªÀÄÄR PÉÆÃ£ÀªÀÅ AiÀiÁªÁUÀ®Æ ®A§PÉÆÃ£À DVgÀÄvÀÛzÉ JAzÀÄ w½AiÀÄ®àr¸ÀÄªÀ

£ÀAvÀgÀ xÉÃ¯ïì£À ¥ÀæªÉÄÃAiÀÄ JAzÀÄ £ÁªÀiÁAQvÀUÉÆAqÀzÀÝ£ÀÄß EªÀgÀÄ ¸ÀÈ¶×¹zÀgÀÄ. xÉÃ¯ïìgÀªÀgÀÄ

gÉÃSÁUÀtÂvÀªÀ£ÀÄß ¦gÀ«ÄqÀÄØUÀ¼À JvÀÛgÀ ªÀÄvÀÄÛ zÀqÀ¢AzÀ ºÀqÀUÀÄUÀ½VgÀÄªÀ

zÀÆgÀUÀ¼À£ÀÄß ¯ÉPÁÌZÁgÀ ªÀiÁqÀÄªÀAvÀºÀ ¸ÀªÀÄ¸ÉåUÀ¼À£ÀÄß ¥ÀjºÀj¸À®Ä

§¼À¸ÀÄwÛzÀÝgÀÄ. xÉÃ¯ïì£À ¥ÀæªÉÄÃAiÀÄPÉÌ £Á®ÄÌ G¥À¥ÀæªÉÄÃAiÀÄUÀ¼À£ÀÄß ¤µÀàwÛ¹, gÉÃSÁUÀtÂvÀPÉÌ C£Àé¬Ä¹zÀ ¤UÀªÀÄ£À «ZÁgÀUÀ¼À£ÀÄß ¥ÀæxÀªÀÄªÁV §¼À¹zÀ

QÃwðAiÀÄÄ EªÀjUÉ ¸À®ÄèvÀÛzÉ. EzÀgÀ ¥sÀ°vÁA±ÀªÁV, EªÀgÀ£ÀÄß ªÉÆzÀ® £ÉÊd UÀtÂvÀ±Á¸ÀÛçdÕgÁV

UËgÀ«¸À®ànÖzÉ ªÀÄvÀÄÛ UÀtÂvÀ±Á¸ÀÛçzÀ C£ÉéÃµÀuÉUÉ UÀÄtzsÀªÀÄðªÁVgÀÄªÀ

ªÉÆzÀ® ªÀåQÛAiÀiÁV UÀÄgÀÄw¸À®ànÖzÉ. EªÀgÀÄ VæÃ¸ï£À ¥Àæ¹zÀÞ K¼ÀÄ

ªÀÄºÁªÉÄÃzsÁ«UÀ¼À°è M§âgÀÄ ºÁUÀÆ EªÀgÀ£ÀÄß ¥Á²ÑªÀiÁvÀå ¸ÀA¥ÀæzÁAiÀÄzÀ°è ªÉÆzÀ® vÀvÀéeÁÕ¤ JAzÀÄ ºÀ®ªÀgÀÄ

¥ÀjUÀtÂ¹zÁÝgÉ.

4

85

gÉÃSÁUÀtÂvÀ

UÀtÂvÀ±Á

¸ÀÛç

4.2 gÉÃSÁUÀtÂvÀzÀ DzsÁgÀUÀ¼ÀÄ (Geometry Basics) »A¢£À vÀgÀUÀwUÀ¼À°è ¤ÃªÀÅ FUÁUÀ¯ÉÃ PÀ°wgÀÄªÀ PÉ®ªÀÅ PÀ®à£ÉUÀ¼À£ÀÄß ¸Àäj¹PÉÆ¼ÀÄîªÀÅzÀÄ F ¨sÁUÀzÀ

GzÉÝÃ±ÀªÁVzÉ.

¥ÀzÀ avÀæ «ªÀgÀuÉ

¸ÀªÀiÁAvÀgÀ

gÉÃSÉUÀ¼ÀÄ

MAzÉÃ ¸ÀªÀÄvÀ®zÀ°ègÀÄªÀ bÉÃ¢¸ÀzÀ gÉÃSÉUÀ¼À£ÀÄß ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ

gÉÃSÉUÀ¼ÀÄ JAzÀÄ PÀgÉAiÀÄÄvÁÛgÉ.

JgÀqÀÄ ÀªÀiÁAvÀgÀ gÉÃSÉUÀ¼À £ÀqÀÄ«£À CAvÀgÀªÀÅ AiÀiÁªÁUÀ®Æ

MAzÉÃ DVgÀÄvÀÛzÉ.

bÉÃ¢¸ÀÄªÀ

gÉÃSÉUÀ¼ÀÄ

MAzÀÄ ÁªÀiÁ£Àå ©AzÀÄªÀ£ÀÄß ºÉÆA¢gÀÄªÀ JgÀqÀÄ gÉÃSÉUÀ¼À£ÀÄß

bÉÃ¢¸ÀÄªÀ gÉÃSÉUÀ¼ÀÄ J£ÀÄßvÉÛÃªÉ. PÉÆnÖgÀÄªÀ JgÀqÀÄ gÉÃSÉUÀ½UÉ

¸ÁªÀiÁ£ÀåªÁzÀ ©AzÀÄªÀ£ÀÄß CªÀÅUÀ¼À bÉÃzÀ£Á ©AzÀÄ JAzÀÄ

PÀgÉAiÀÄÄvÉÛÃªÉ. avÀæzÀ°è, AB ªÀÄvÀÄÛ CD gÉÃSÉUÀ¼ÀÄ O ©AzÀÄ«£À°è bÉÃ¢¸ÀÄvÀÛªÉ.

¸ÀAUÀªÀÄ²Ã®

(KPÀ ©AzÀÄ¸ÀÜ)

gÉÃSÉUÀ¼ÀÄ

MAzÀÄ ¸ÁªÀiÁ£Àå ©AzÀÄ«£À ªÀÄÆ®PÀ ºÁzÀÄ ºÉÆÃUÀÄªÀ

ªÀÄÆgÀÄ CxÀªÁ ºÉaÑ£À gÉÃSÉUÀ¼À£ÀÄß ¸ÀAUÀªÀÄ²Ã® gÉÃSÉUÀ¼ÀÄ

J£ÀÄßvÉÛÃªÉ. avÀæzÀ°è, , ,l l l1 2 3

gÉÃSÉUÀ¼ÀÄ O ¸ÁªÀiÁ£Àå

©AzÀÄ«£À ªÀÄÆ®PÀ ºÁzÀÄºÉÆÃUÀÄvÀÛªÉ ªÀÄvÀÄÛ EzÀjAzÀ CªÀÅ

¸ÀAUÀªÀÄ²Ã®ªÁVªÉ.

KPÀgÉÃSÁUÀvÀ

©AzÀÄUÀ¼ÀÄ

ªÀÄÆgÀÄ CxÀªÁ ºÉaÑ£À ©AzÀÄUÀ¼ÀÄ MAzÉÃ ¸ÀgÀ¼À gÉÃSÉAiÀÄ

ªÉÄÃ°zÀÝgÉ, D ©AzÀÄUÀ¼À£ÀÄß KPÀgÉÃSÁUÀvÀ ©AzÀÄUÀ¼ÀÄ JAzÀÄ

PÀgÉAiÀÄÄvÁÛgÉ. ¸ÀgÀ¼À gÉÃSÉAiÀÄ°è®è¢zÀÝgÉ, D ©AzÀÄUÀ¼À£ÀÄß

KPÀgÉÃSÁUÀvÀªÀ®èzÀ ©AzÀÄUÀ¼ÀÄ JAzÀÄ PÀgÉAiÀÄÄvÁÛgÉ.

4.2.1 PÉÆÃ£ÀzÀ ¥ÀæPÁgÀUÀ¼ÀÄ (Kinds of Angle) PÉÆÃ£ÀUÀ¼À£ÀÄß CªÀÅUÀ¼À C¼ÀvÉ¬ÄAzÀ ªÀVÃðPÀj¸À¯ÁUÀÄvÀÛzÉ ªÀÄvÀÄÛ ºÉ¸Àj¸À¯ÁUÀÄvÀÛzÉ.

ºÉ¸ÀgÀÄ ®WÀÄ PÉÆÃ£À ®A§ PÉÆÃ£À C¢üPÀ PÉÆÃ£À ¸ÀgÀ¼Á¢üPÀ PÉÆÃ£À

avÀæ

C¼ÀvÉ 90AOB+ 1 c 90AOB+ = c 90 180AOB1 + 1c c180 360AOB1 + 1c c

¥ÀÆgÀPÀ PÉÆÃ£ÀUÀ¼ÀÄ (Complementary Angles) JgÀqÀÄ PÉÆÃ£ÀUÀ¼À C¼ÀvÉUÀ¼À ªÉÆvÀÛªÀÅ 90c DzÀgÉ, D PÉÆÃ£ÀUÀ¼À£ÀÄß ¥ÀgÀ¸ÀàgÀ ¥ÀÆgÀPÀ PÉÆÃ£ÀUÀ¼ÀÄ JAzÀÄ ºÉÃ¼À¯ÁUÀÄvÀÛzÉ.

GzÁºÀgÀuÉUÉ, A 52+ = c ªÀÄvÀÄÛ 38B+ = c DzÀgÉ, A+ ªÀÄvÀÄÛ B+ UÀ¼ÀÄ ¥ÀgÀ¸ÀàgÀ ¥ÀÆgÀPÀ PÉÆÃ£ÀUÀ¼ÁVªÉ.

l1

l2

A CB

C

A

B

D

O

l1

l2

l3

O

A

B

OA

B

O

A

B

OB

O A

86


¸ÀÛç

¥Àj¥ÀÆgÀPÀ PÉÆÃ£ÀUÀ¼ÀÄ (Supplementary Angles)

JgÀqÀÄ PÉÆÃ£ÀUÀ¼À C¼ÀvÉUÀ¼À ªÉÆvÀÛªÀÅ 180c DzÀgÉ, D PÉÆÃ£ÀUÀ¼À£ÀÄß ¥ÀgÀ¸ÀàgÀ ¥Àj¥ÀÆgÀPÀ PÉÆÃ£ÀUÀ¼ÀÄ JAzÀÄ ºÉÃ¼À¯ÁUÀÄvÀÛzÉ.

GzÁºÀgÀuÉUÉ, 1120 ªÀÄvÀÄÛ 680 C¼ÀvÉUÀ¼À£ÀÄß ºÉÆA¢gÀÄªÀ PÉÆÃ£ÀUÀ¼ÀÄ ¥ÀgÀ¸ÀàgÀ ¥Àj¥ÀÆgÀPÀªÁVªÉ.

4.2.2 bÉÃzÀPÀ (Transversal) JgÀqÀÄ CxÀªÁ ºÉZÀÄÑ gÉÃSÉUÀ¼À£ÀÄß «©ü£Àß ©AzÀÄUÀ¼À°è bÉÃ¢¸ÀÄªÀ gÉÃSÉAiÀÄ£ÀÄß bÉÃzÀPÀ JAzÀÄ PÀgÉAiÀÄ¯ÁUÀÄvÀÛzÉ.

MAzÀÄ bÉÃzÀPÀªÀÅ JgÀqÀÄ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ gÉÃSÉUÀ¼À£ÀÄß PÀvÀÛj¸ÀÄvÀÛzÉ JAzÀÄPÉÆ½î. DUÀ,

ºÉ¸ÀgÀÄ PÉÆÃ£À avÀæ

±ÀÈAUÁ©üªÀÄÄR PÉÆÃ£ÀUÀ¼ÀÄ

¸ÀªÀÄªÁVgÀÄvÀÛªÉ.+1 = +3, +2 = +4, +5 = +7, +6 = +8

C£ÀÄgÀÆ¥À PÉÆÃ£ÀUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀÄªÁVgÀÄvÀÛªÉ.+1 = +5, +2 = +6, +3 = +7, +4 = +8

¥ÀAiÀiÁðAiÀÄ M¼À PÉÆÃ£ÀUÀ¼ÀÄ

¸ÀªÀÄªÁVgÀÄvÀÛªÉ.+3 = +5, +4 = +6

¥ÀAiÀiÁðAiÀÄ ¨ÁºÀå PÉÆÃ£ÀUÀ¼ÀÄ

¸ÀªÀÄªÁVgÀÄvÀÛªÉ.+1 = +7, +2 = +8

MAzÉÃ ¥Á±ÀéðzÀ°ègÀÄªÀ M¼À PÉÆÃ£ÀUÀ¼ÀÄ

¥Àj¥ÀÆgÀPÀªÁVgÀÄvÀÛªÉ.

+3 + +6 = 180c ;

+4 + +5 = 180c

4.2.3 wæ¨sÀÄdUÀ¼ÀÄ (Triangles)

MAzÀÄ wæ¨sÀÄdzÀ PÉÆÃ£ÀUÀ¼À ªÉÆvÀÛªÀÅ 1800 DVgÀÄvÀÛzÉ.

avÀæ 4.1 gÀ°è, +A + +B ++C = 180c.

(i) wæ¨sÀÄdzÀ MAzÀÄ ¨ÁºÀÄªÀ£ÀÄß ªÀÈ¢Þ¹zÀgÉ, GAmÁzÀ ¨ÁºÀå PÉÆÃ£ÀªÀÅ CzÀgÀ

CAvÀgÁ©üªÀÄÄR PÉÆÃ£ÀUÀ¼À ªÉÆvÀÛPÉÌ ¸ÀªÀÄ£ÁVgÀÄvÀÛzÉ.

+ACD = +BAC + +ABC (ii) wæ sÀÄdzÀ ¨ÁºÀåPÉÆÃ£ÀªÀÅ CzÀgÀ AiÀiÁªÀÅzÉÃ CAvÀgÁ©üªÀÄÄR PÉÆÃ£ÀUÀ½VAvÀ

zÉÆqÀØzÁVgÀÄvÀÛzÉ.

(iii) AiÀiÁªÀÅzÉÃ wæ¨sÀÄdzÀ°è, zÉÆqÀØ ¨ÁºÀÄ«UÉ C©üªÀÄÄRªÁzÀ PÉÆÃ£ÀªÀÅ zÉÆqÀØ

PÉÆÃ£ÀªÁVgÀÄvÀÛzÉ.

¸ÀªÀð¸ÀªÀÄ wæ¨sÀÄdUÀ¼ÀÄ (Congruent Triangles) JgÀqÀÄ wæ¨sÀÄdUÀ¼À£ÀÄß ¸ÀªÀð¸ÀªÀÄ JAzÀÄ ºÉÃ¼À¨ÉÃPÁzÀgÉ, MAzÀ£ÀÄß E£ÉÆßAzÀgÀ ªÉÄÃ¯É EmÁÖUÀ CªÀÅ

¥ÀgÀ¸ÀàgÀ ¤RgÀªÁV LPÀåªÁUÀÄªÀAwgÀ¨ÉÃPÀÄ.

£ÁªÀÅ ¸ÀªÀð¸ÀªÀÄvÉUÉ ‘/ ’¸ÀAPÉÃvÀªÀ£ÀÄß §¼À¸ÀÄvÉÛÃªÉ.

l2

l1

m1 2

34

5 6

78

UÀªÀÄ¤¹j

A

B CavÀæ 4.1

B

A

DCavÀæ 4.2

87

gÉÃSÁUÀtÂvÀ

UÀtÂvÀ±Á

¸ÀÛç

«ªÀgÀuÉ avÀæ

¨Á¨Á¨Á

MAzÀÄ wæ¨sÀÄdzÀ ªÀÄÆgÀÄ ¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ

E£ÉÆßAzÀÄ wæ¨sÀÄdzÀ ªÀÄÆgÀÄ ¨ÁºÀÄUÀ½UÉ

¸ÀªÀÄªÁzÀgÉ, JgÀqÀÄ wæ¨sÀÄdUÀ¼ÀÄ

¸ÀªÀð¸ÀªÀÄªÁVgÀÄvÀÛªÉ.

¨ÁPÉÆÃ¨Á

MAzÀÄ wæ¨sÀÄdzÀ JgÀqÀÄ ¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ

M¼ÀUÉÆAqÀ PÉÆÃ£ÀªÀÅ E£ÉÆßAzÀÄ wæ¨sÀÄdzÀ

JgÀqÀÄ ¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ M¼ÀUÉÆAqÀ

PÉÆÃ£ÀPÉÌ ¸ÀªÀÄªÁzÀgÉ, JgÀqÀÄ wæ¨sÀÄdUÀ¼ÀÄ


PÉÆÃ¨ÁPÉÆÃ

MAzÀÄ wæ¨sÀÄdzÀ JgÀqÀÄ PÉÆÃ£ÀUÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ

M¼ÀUÉÆAqÀ ¨ÁºÀÄªÀÅ E£ÉÆßAzÀÄ wæ¨sÀÄdzÀ

JgÀqÀÄ PÉÆÃ£ÀUÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ M¼ÀUÉÆAqÀ

¨ÁºÀÄ«UÉ ¸ÀªÀÄªÁzÀgÉ, JgÀqÀÄ wæ¨sÀÄdUÀ¼ÀÄ


PÉÆÃPÉÆÃ¨Á

MAzÀÄ wæ¨sÀÄdzÀ JgÀqÀÄ PÉÆÃ£ÀUÀ¼ÀÄ

ªÀÄvÀÄÛ AiÀiÁªÀÅzÉÃ ¨ÁºÀÄªÀÅ E£ÉÆßAzÀÄ

wæ¨sÀÄdzÀ JgÀqÀÄ PÉÆÃ£ÀUÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ MAzÀÄ

¨ÁºÀÄ«UÉ ¸ÀªÀÄªÁzÀgÉ, JgÀqÀÄ wæ¨sÀÄdUÀ¼ÀÄ


®APÉÆÃ«¨Á

MAzÀÄ ®A§PÉÆÃ£À wæ¨sÀÄdzÀ MAzÀÄ

¨ÁºÀÄ ªÀÄvÀÄÛ «PÀtðªÀÅ E£ÉÆßAzÀÄ

®A§PÉÆÃ£À wæ¨sÀÄdzÀ MAzÀÄ ¨ÁºÀÄ ªÀÄvÀÄÛ

«PÀtðPÉÌ ¸ÀªÀÄªÁzÀgÉ, JgÀqÀÄ wæ¨sÀÄdUÀ¼ÀÄ


C¨sÁå¸À 4.11. PÉ¼ÀV£À ¥ÀæwAiÉÆAzÀÄ PÉÆÃ£ÀUÀ½UÉ ¥ÀÆgÀPÀ PÉÆÃ£ÀªÀ£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.

(i) 63c (ii) 24c (iii) 48c (iv) 35c (v) 20c

2. PÉ¼ÀV£À ¥ÀæwAiÉÆAzÀÄ PÉÆÃ£ÀUÀ½UÉ ¥Àj¥ÀÆgÀPÀ PÉÆÃ£ÀªÀ£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.

(i) 58c (ii) 148c (iii) 120c (iv) 40c (v) 100c

A

BC

P

QR

ABC PQRT T/

A

B C

P

Q R

ABC PQRT T/

A

B C

P

RABC PQRT T/

A

B C

P

Q R

ABC PQRT T/

A

B C

P

Q RABC PQRT T/

88


¸ÀÛç

3. PÉ¼ÀV£À avÀæUÀ¼À°è x £À ¨É¯ÉAiÀÄ£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.

(i) (ii)

4. PÉ¼ÀV£À ¥ÀæwAiÉÆAzÀgÀ°è PÉÆÃ£ÀUÀ¼À£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.

i) EzÀgÀ ¥ÀÆgÀPÀ PÉÆÃ£ÀzÀ JgÀqÀgÀ¶ÖgÀÄªÀ PÉÆÃ£À.

ii) EzÀgÀ ¥Àj¥ÀÆgÀPÀ PÉÆÃ£ÀzÀ £Á®ÌgÀ¶ÖgÀÄªÀ PÉÆÃ£À.

iii) ¥Àj¥ÀÆgÀPÀ PÉÆÃ£ÀªÀÅ EzÀgÀ ¥ÀÆgÀPÀ PÉÆÃ£ÀzÀ £Á®ÌgÀ¶ÖgÀÄªÀ PÉÆÃ£À.

iv) ¥ÀÆgÀPÀ PÉÆÃ£ÀªÀÅ EzÀgÀ ¥Àj¥ÀÆgÀPÀ PÉÆÃ£ÀzÀ DgÀÀ£ÉÃ MAzÀÄ ¨sÁUÀªÁVgÀÄªÀ PÉÆÃ£À.

v) 4:5 gÀ C£ÀÄ¥ÁvÀzÀ°ègÀÄªÀ ¥Àj¥ÀÆgÀPÀ PÉÆÃ£ÀUÀ¼ÀÄ.

vi) 3:2 gÀ C£ÀÄ¥ÁvÀzÀ°ègÀÄªÀ ¥ÀÆgÀPÀ PÉÆÃ£ÀUÀ¼ÀÄ.

5. PÉ¼ÀV£À avÀæUÀ¼À°è x , y £À ¨É¯ÉUÀ¼À£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.

(i) (ii) (iii)

6. l1 || l2 ªÀÄvÀÄÛ m1 JA§ÄzÀÄ bÉÃzÀPÀ DVgÀ°. F+ = 65c DzÀgÉ, G½zÀ

¥ÀæwAiÉÆAzÀÄ PÉÆÃ£ÀUÀ¼À C¼ÀvÉAiÀÄ£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.

7. x £À AiÀiÁªÀ ¨É¯ÉUÉ l1 ªÀÄvÀÄÛ l2 gÉÃSÉUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀªÁVgÀÄvÀÛªÉ?

(i) (ii)

8. MAzÀÄ wæPÉÆÃ£ÀzÀ PÉÆÃ£ÀUÀ¼ÀÄ 1:2:3 gÀ C£ÀÄ¥ÁvÀzÀ°èªÉ. wæPÉÆÃ£ÀzÀ ¥Àæw PÉÆÃ£ÀzÀ C¼ÀvÉAiÀÄ£ÀÄß

PÀAqÀÄ»r¬Äj.

9. 3ABC AiÀÄ°è, +A+ +B = 70c ªÀÄvÀÄÛ +B + +C = 135c. wæPÉÆÃ£ÀzÀ ¥Àæw PÉÆÃ£ÀzÀ C¼ÀvÉAiÀÄ£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.

10. §® sÁUÀzÀ°è PÉÆnÖgÀÄªÀ avÀæzÀ°è, 3ABC AiÀÄ BC ¨ÁºÀÄªÀ£ÀÄß D ªÀgÉUÉ ªÀÈ¢Þ¹zÉ.

+A ªÀÄvÀÄÛ +C PÀAqÀÄ»r¬Äj.

A D B

C

3x 2xA D B

C

(3x+5)c(2x–25)c

B ADC EF

HG

l2

l1

m1

ttl1 (2x+20)c

l2 (3x–10)c(3x+20)c

2xc

l1

l2

A

B C D

120c40c

A B

DC

( 30)x + cxc

( )x115 - c

A B

xc

DC

( )x 20- c 40c

A

D

B

C

E

o3xc 60c

xcyc 90c

89

gÉÃSÁUÀtÂvÀ

UÀtÂvÀ±Á

¸ÀÛç

4.3 ZÀvÀÄ¨sÀÄðd (Quadrilateral) £Á®ÄÌ ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ £Á®ÄÌ ±ÀÈAUÀUÀ½AzÀ DªÀÈvÀªÁVgÀÄªÀ gÉÃSÁUÀtÂwÃAiÀÄ DPÀÈwAiÀÄ£ÀÄß ZÀvÀÄ¨sÀÄðd

JAzÀÄ PÀgÉAiÀÄÄvÁÛgÉ. ZÀvÀÄ¨sÀÄðdzÀ J¯Áè £Á®ÄÌ PÉÆÃ£ÀUÀ¼À ªÉÆvÀÛªÀÅ 360c DVgÀÄvÀÛzÉ.

4.3.1 vÁæ¦då, ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀÄ¨sÀÄðd ªÀÄvÀÄÛ ªÀeÁæPÀÈwUÀ¼À UÀÄt®PÀëtUÀ¼ÀÄ (Properties of Trapezium, Parallelogram and Rhombus)

vÁæ¦då

¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ MAzÀÄ eÉÆvÉ C©üªÀÄÄR ¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀªÁVgÀÄvÀÛªÉ.

PÉÆÃ£ÀUÀ¼ÀÄ ¥Àæw ¸ÀªÀiÁAvÀgÀªÀ®èzÀ ¨ÁºÀÄUÀ¼À CAvÀåUÀ¼À°ègÀÄªÀ PÉÆÃ£ÀUÀ¼ÀÄ ¥Àj¥ÀÆgÀPÀªÁVgÀÄvÀÛªÉ.

PÀtðUÀ¼ÀÄ PÀtðUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀÄªÁVgÀ¨ÉÃPÁzÀ CUÀvÀå«®è.

¸ÀªÀÄ¢é¨ÁºÀÄ vÁæ¦då

¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄMAzÀÄ eÉÆvÉ C©üªÀÄÄR ¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀªÁVªÉ ªÀÄvÀÄÛ E£ÉÆßAzÀÄ eÉÆvÉ ¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ GzÀÝzÀ°è ¸ÀªÀÄªÁVgÀÄvÀÛªÉ.

PÉÆÃ£ÀUÀ¼ÀÄ ¥Àæw ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ¨ÁºÀÄ«£À CAvÀåUÀ¼À°ègÀÄªÀ PÉÆÃ£ÀUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀÄ£ÁVgÀÄvÀÛªÉ.

PÀtðUÀ¼ÀÄ PÀtðUÀ¼ÀÄ GzÀÝzÀ°è ¸ÀªÀÄ£ÁVªÉ.

¸ÀªÀiÁAvÀgÀZÀvÀÄ¨sÀÄðd

¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ C©üªÀÄÄR ¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ªÀÄvÀÄÛ ¸ÀªÀÄªÁVgÀÄvÀÛªÉ.

PÉÆÃ£ÀUÀ¼ÀÄC©üªÀÄÄR PÉÆÃ£ÀUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀÄªÁVgÀÄvÀÛªÉ ªÀÄvÀÄÛ AiÀiÁªÀÅzÉÃ JgÀqÀÄ ¥Á±Àéð PÉÆÃ£ÀUÀ¼À ªÉÆvÀÛªÀÅ 180c DVgÀÄvÀÛzÉ.

PÀtðUÀ¼ÀÄ PÀtðUÀ¼ÀÄ ¥ÀgÀ¸ÀàgÀ C¢üð¸ÀÄvÀÛªÉ.

ªÀeÁæPÀÈw

¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄJ¯Áè ¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀÄªÁVgÀÄvÀÛªÉ ªÀÄvÀÄÛ C©üªÀÄÄR ¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀªÁVgÀÄvÀÛªÉ.

PÉÆÃ£ÀUÀ¼ÀÄC©üªÀÄÄR PÉÆÃ£ÀUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀÄªÁVgÀÄvÀÛªÉ ªÀÄvÀÄÛ AiÀiÁªÀÅzÉÃ JgÀqÀÄ ¥Á±Àéð PÉÆÃ£ÀUÀ¼À ªÉÆvÀÛªÀÅ 180c DVgÀÄvÀÛzÉ.

PÀtðUÀ¼ÀÄ PÀtðUÀ¼ÀÄ ¥ÀgÀ¸ÀàgÀ ®A§PÉÆÃ£ÀUÀ¼À°è C¢üð¸ÀÄvÀÛªÉ.

ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀÄ sÀÄðd

DAiÀÄvÀ ªÀeÁæPÀÈw

ZËPÀ

vÁæ¦då

¸ÀªÀÄ¢é¨ÁºÀÄvÁæ¦då

ZÀvÀÄ¨sÀÄðd

90


¸ÀÛç

(i) DAiÀÄvÀªÀÅ ¸ÀªÀÄPÉÆÃ¤ÃAiÀÄ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀÄ¨sÀÄðdªÁVzÉ.

(ii) ªÀeÁæPÀÈwAiÀÄÄ ¸ÀªÀÄ¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ¼Àî ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀÄ¨sÀÄðdªÁVzÉ.

(iii) ZËPÀ(ªÀUÀð)ªÀÅ ÀªÀÄ¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ¼Àî ªÀÄvÀÄÛ ÀªÀÄPÉÆÃ¤ÃAiÀÄ ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀÄ¨sÀÄðdªÁVzÉ.

(iv) DzÀÝjAzÀ, ZËPÀªÀÅ DAiÀÄvÀ, ªÀeÁæPÀÈw ªÀÄvÀÄÛ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀÄ¨sÀÄðdªÁVzÉ.

4.4 ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀÄ¨sÀÄðd (Parallelogram) C©üªÀÄÄR ¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀªÁVgÀÄªÀ MAzÀÄ ZÀvÀÄ¨sÀÄðdªÀ£ÀÄß ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀÄ¨sÀÄðd JAzÀÄ

PÀgÉAiÀÄÄvÁÛgÉ.

4.4.1 ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀÄ¨sÀÄðdzÀ UÀÄt®PÀëtUÀ¼ÀÄ (Properties of Parallelogram )UÀÄt®PÀët 1 : MAzÀÄ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀÄ¨sÀÄðdzÀ°è, C©üªÀÄÄR ¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀÄªÁVgÀÄvÀÛªÉ.

zÀvÀÛ : ABCD AiÀÄÄ MAzÀÄ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀÄ¨sÀÄðdªÁVzÉ.

DzÀÝjAzÀ AB || DC ªÀÄvÀÄÛ AD || BC

¸ÁzsÀ¤ÃAiÀÄ : AB = CD ªÀÄvÀÄÛ AD = BC

gÀZÀ£É : BD ¸ÉÃj¹.

¸ÁzsÀ£É : TABD ªÀÄvÀÄÛ TBCD UÀ¼À°è

(i) +ABD = +BDC (AB || DC ªÀÄvÀÄÛ BD AiÀÄÄ bÉÃzÀPÀ. DzÀÝjAzÀ, ¥ÀAiÀiÁðAiÀÄ M¼À PÉÆÃ£ÀUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀÄ.) (ii) +BDA =+DBC (AD || BC ªÀÄvÀÄÛ BD AiÀÄÄ bÉÃzÀPÀ. DzÀÝjAzÀ, ¥ÀAiÀiÁðAiÀÄ M¼À PÉÆÃ£ÀUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀÄ.)

(iii) BD AiÀÄÄ ¸ÁªÀiÁ£Àå ¨ÁºÀÄªÁVzÉ. ` TABD / TBCD (PÉÆÃ¨ÁPÉÆÃ UÀÄt®PÀët¢AzÀ)

DzÀÝjAzÀ, AB = DC ªÀÄvÀÄÛ AD = BC (C£ÀÄgÀÆ¥À ¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀÄªÁVgÀÄvÀÛªÉ)

UÀÄt®PÀët 1 gÀ «¯ÉÆÃªÀÄ: MAzÀÄ ZÀvÀÄ¨sÀÄðdzÀ°è C©üªÀÄÄR ¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀÄªÁzÀgÉ, ZÀvÀÄ¨sÀÄðdªÀÅ

¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀÄ¨sÀÄðdªÁVgÀÄvÀÛzÉ.

UÀÄt®PÀët 2 : MAzÀÄ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀÄ¨sÀÄðdzÀ°è C©üªÀÄÄR PÉÆÃ£ÀUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀÄªÁVgÀÄvÀÛªÉ.


DzÀÝjAzÀ, AB || DC ªÀÄvÀÄÛ AD || BC

¸ÁzsÀ¤ÃAiÀÄ : +ABC = +ADC ªÀÄvÀÄÛ +DAB= +BCD

gÀZÀ£É : BD ¸ÉÃj¹.

¸ÀÆZÀ£É

A

D C

BavÀæ 4.3

A

D C

BavÀæ 4.4

91

gÉÃSÁUÀtÂvÀ

UÀtÂvÀ±Á

¸ÀÛç

¸ÁzsÀ£É :

(i) +ABD = +BDC (AB || DC ªÀÄvÀÄÛ BD AiÀÄÄ bÉÃzÀPÀ.

DzÀÝjAzÀ, ¥ÀAiÀiÁðAiÀÄ M¼À PÉÆÃ£ÀUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀÄ.)

(ii) +DBC = +BDA (AD || BC ªÀÄvÀÄÛ BD AiÀÄÄ bÉÃzÀPÀ. DzÀÝjAzÀ, ¥ÀAiÀiÁðAiÀÄ M¼À PÉÆÃ£ÀUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀÄ.)

(iii) + ABD + + DBC = + BDC + + BDA

+ABC = +ADC

EzÉÃ jÃw, +BAD = +BCD

UÀÄt®PÀët 2 gÀ «¯ÉÆÃªÀÄ: MAzÀÄ ZÀvÀÄ¨sÀÄðdzÀ°è C©üªÀÄÄR PÉÆÃ£ÀUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀÄªÁzÀgÉ, ZÀvÀÄ¨sÀÄðdªÀÅ

¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀÄ¨sÀÄðdªÁVgÀÄvÀÛzÉ.

UÀÄt®PÀët 3 : MAzÀÄ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀÄ¨sÀÄðdzÀ PÀtðUÀ¼ÀÄ ¥ÀgÀ¸ÀàgÀ C¢üð¸ÀÄvÀÛªÉ.


DzÀÝjAzÀ, AB || DC ªÀÄvÀÄÛ AD || BC¸ÁzsÀ¤ÃAiÀÄ : M JA§ÄzÀÄ AC ªÀÄvÀÄÛ BD PÀtðUÀ¼À ªÀÄzsÀå©AzÀÄ.

¸ÁzsÀ£É : TAMB ªÀÄvÀÄÛ TCMD UÀ¼À°è

(i) AB = DC ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀÄ¨sÀÄðdzÀ C©üªÀÄÄR ¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀÄ. (ii) +MAB = +MCD ¥ÀAiÀiÁðAiÀÄ M¼À PÉÆÃ£ÀUÀ¼ÀÄ (a AB || DC)

+ABM = +CDM ¥ÀAiÀiÁðAiÀÄ M¼À PÉÆÃ£ÀUÀ¼ÀÄ (a AB || DC)

(iii) TAMB / TCMD (PÉÆÃ¨ÁPÉÆÃ UÀÄt®PÀët¢AzÀ)

` AM = CM ªÀÄvÀÄÛ BM = DM

CAzÀgÉ, M JA§ÄzÀÄ AC ªÀÄvÀÄÛ BD UÀ¼À ªÀÄzsÀå©AzÀÄªÁVzÉ.

` PÀtðUÀ¼ÀÄ ¥ÀgÀ¸ÀàgÀ C¢üð¸ÀÄvÀÛªÉ.

UÀÄt®PÀët 3 gÀ «¯ÉÆÃªÀÄ: MAzÀÄ ZÀvÀÄ¨sÀÄðdzÀ PÀtðUÀ¼ÀÄ ¥ÀgÀ¸ÀàgÀ C¢üð¹zÀgÉ, ZÀvÀÄ¨sÀÄðdªÀÅ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ

ZÀvÀÄ¨sÀÄðdªÁVgÀÄvÀÛzÉ.

(i) ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀÄ¨sÀÄðdzÀ MAzÀÄ PÀtðªÀÅ CzÀ£ÀÄß JgÀqÀÄ ¸ÀªÀÄ «¹ÛÃtðªÀÅ¼Àî wæ¨sÀÄdUÀ¼ÁV «¨sÁV¸ÀÄvÀÛzÉ.

(ii) ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀÄ¨sÀÄðdzÀ PÀtðUÀ¼ÀÄ ®A§ªÁVzÀÝgÉ, EzÀÄ ªÀeÁæPÀÈwAiÀiÁVgÀÄvÀÛzÉ.

(iii) MAzÉÃ ¥ÁzÀzÀ ªÉÄÃ¯É, MAzÉÃ eÉÆvÉ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ gÉÃSÉUÀ¼À £ÀqÀÄªÉ EgÀÄªÀ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ

ZÀvÀÄ¨sÀÄðdUÀ¼ÀÄ «¹ÛÃtðzÀ°è ¸ÀªÀÄªÁVgÀÄvÀÛªÉ.

A

D C

B

M

avÀæ 4.5

¸ÀÆZÀ£É

92


¸ÀÛç

GzÁºÀgÀuÉ 4.1 MAzÀÄ ZÀvÀÄ¨sÀÄðdzÀ ªÀÄÆgÀÄ PÉÆÃ£ÀUÀ¼À C¼ÀvÉUÀ¼ÀÄ 100c , 84c ªÀÄvÀÄÛ 76c DzÀgÉ, £Á®Ì£ÉAiÀÄ PÉÆÃ£ÀzÀ C¼ÀvÉAiÀÄ£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.

¥ÀjºÁgÀ £Á®Ì£ÉAiÀÄ PÉÆÃ£ÀzÀ C¼ÀvÉAiÀÄÄ x c DVgÀ°. MAzÀÄ ZÀvÀÄ¨sÀÄðdzÀ PÉÆÃ£ÀUÀ¼À ªÉÆvÀÛªÀÅs 360c DVgÀÄvÀÛzÉ. DzÀÝjAzÀ,

100c+84c+76c+x c = 360c 260c+x c = 360c x c = 100c EzÀjAzÀ, £Á®Ì£ÉAiÀÄ PÉÆÃ£ÀzÀ C¼ÀvÉAiÀÄÄ 100c DVzÉ.

GzÁºÀgÀuÉ 4.2

ABCD ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀÄ¨sÀÄðdzÀ°è, +A = 65c DzÀgÉ, +B, +C ªÀÄvÀÄÛ +D UÀ¼À£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.

¥ÀjºÁgÀ ABCD ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀÄ¨sÀÄðdzÀ°è , +A = 65c .

AD || BC DVgÀÄªÀÅzÀjAzÀ, AB AiÀÄ£ÀÄß MAzÀÄ bÉÃzÀPÀªÁV £ÁªÀÅ ¥ÀjUÀtÂ¸À§ºÀÄzÀÄ. DzÀÝjAzÀ,

+A+ +B = 180c 65c+ +B = 180c

+B = 180 65-c c

+B = 115c

¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀÄ¨sÀÄðdzÀ C©üªÀÄÄR PÉÆÃ£ÀUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀÄªÁVgÀÄªÀÅzÀjAzÀ,

+C =+A = 65c ªÀÄvÀÄÛ +D = +B = 115c

DzÀÝjAzÀ, +B = 115c , +C = 65c ªÀÄvÀÄÛ +D = 115cGzÁºÀgÀuÉ 4.3 ABCD DAiÀÄvÀzÀ°è AC ªÀÄvÀÄÛ BD PÀtðUÀ¼ÀÄ O £À°è bÉÃ¢¸ÀÄªÀAwgÀ°. +OAB = 62c DzÀgÉ, +OBC £ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.

¥ÀjºÁgÀ DAiÀÄvÀzÀ PÀtðUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀÄªÁVgÀÄvÀÛªÉ ªÀÄvÀÄÛ ¥ÀgÀ¸ÀàgÀ C¢üð¸ÀÄvÀÛªÉ. DzÀÝjAzÀ,

OA = OB ªÀÄvÀÄÛ +OBA = +OAB = 62c

DAiÀÄvÀzÀ ¥Àæw PÉÆÃ£ÀzÀ C¼ÀvÉAiÀÄÄ 90cDVgÀÄªÀÅzÀjAzÀ,

+ABC = 90c

+ABO + +OBC = 90c

62c + +OBC = 90c

+OBC = 90c - 62c

= 28c

>>A

D C

B

>

>

>>

65o

avÀæ 4.6

D C

A B

O

62c

avÀæ 4.7

93

gÉÃSÁUÀtÂvÀ

UÀtÂvÀ±Á

¸ÀÛç

GzÁºÀgÀuÉ 4.4

ABCD AiÀÄÄ ªÀeÁæPÀÈwAiÀiÁVzÀÄÝ +A = 76c DzÀgÉ, +CDB AiÀÄ£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.

¥ÀjºÁgÀ +A = +C = 76c ( ªÀeÁæPÀÈwAiÀÄ C©üªÀÄÄR PÉÆÃ£ÀUÀ¼ÀÄ )

+CDB = xc DVgÀ°. 3 CDB AiÀÄ°è, CD = CB

+CDB = +CBD = xc

+CDB+ +CBD + +DCB = 180c (wæPÉÆÃ£ÀzÀ PÉÆÃ£ÀUÀ¼ÀÄ)

2 76x +c c =180c ( x2 = 104c

xc = 52c

`+CDB = 52c

C¨sÁå¸À 4.21. ABCD ZÀvÀÄ¨sÀÄðdzÀ°è, +A, +B, +C ªÀÄvÀÄÛ +D UÀ¼ÀÄ 2:3:4:6 gÀ C£ÀÄ¥ÁvÀzÀ°èªÉ. ZÀvÀÄ¨sÀÄðdzÀ

¥Àæw PÉÆÃ£ÀzÀ C¼ÀvÉAiÀÄ£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.2. ABCD AiÀÄÄ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀÄ¨sÀÄðdªÁVzÀÄÝ +A = 108c DVzÉ. +B, +C ªÀÄvÀÄÛ +D UÀ¼À£ÀÄß

PÀAqÀÄ»r¬Äj.

3. §®UÀqÉAiÀÄ°ègÀÄªÀ avÀæzÀ°è, ABCD AiÀÄÄ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀÄ¨sÀÄðdªÁVzÀÄÝ, +BAO = 30c ,

+DAO = 45c ªÀÄvÀÄÛ +COD= 105cDVzÉ.

(i) +ABO (ii) +ODC (iii) +ACB (iv) +CBD

4. MAzÀÄ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀÄ¨sÀÄðdzÀ°è zÉÆqÀØzÁzÀ PÉÆÃ£ÀªÀÅ aPÀÌzÁzÀ PÉÆÃ£ÀzÀ JgÀqÀgÀµÀÖQÌAvÀ 30cPÀrªÉÄ EzÀÝgÉ, ¥Àæw PÉÆÃ£ÀzÀ C¼ÀvÉAiÀÄ£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.

5. ABCD ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀÄ¨sÀÄðdzÀ°è, AB = 9 ¸ÉA.«ÄÃ. ªÀÄvÀÄÛ EzÀgÀ ¸ÀÄvÀÛ¼ÀvÉAiÀÄÄ 30 ¸ÉA.«ÄÃ. DzÀgÉ, ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀÄ¨sÀÄðdzÀ ¥Àæw ¨ÁºÀÄ«£À GzÀÝªÀ£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.

6. MAzÀÄ ªÀeÁæPÀÈwAiÀÄ PÀtðUÀ¼À GzÀÝUÀ¼ÀÄ 24 ¸ÉA.«ÄÃ. ªÀÄvÀÄÛ 18 ¸ÉA.«ÄÃ. DzÀgÉ, ªÀeÁæPÀÈwAiÀÄ ¥Àæw

¨ÁºÀÄ«£À GzÀÝªÀ£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.

7. PÉ¼ÀV£À avÀæUÀ¼À°è, ABCD AiÀÄÄ ªÀeÁæPÀÈwAiÀiÁVzÉ. x ªÀÄvÀÄÛ yUÀ¼À ¨É¯ÉAiÀÄ£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.

(i) (ii) (iii)

A B

D C

76c

avÀæ 4.8

A

D C

B

45o

30o

105o

O

A

D C

B

ycxc

120c

A

D C

B

yc

xc40cA

D C

B

yc

xc

62c

94


¸ÀÛç

8. MAzÀÄ ªÀeÁæPÀÈwAiÀÄ ¨ÁºÀÄªÀÅ 10 ¸ÉA.«ÄÃ. ªÀÄvÀÄÛ MAzÀÄ PÀtðzÀ GzÀÝªÀÅ 12 ¸ÉA.«ÄÃ. DzÀgÉ,

E£ÉÆßAzÀÄ PÀtðzÀ GzÀÝªÀ£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.

9. §®UÀqÉAiÀÄ°ègÀÄªÀ avÀæzÀ°è , ABCD AiÀÄÄ ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀÄ¨sÀÄðdªÁVzÀÄÝ,

+A ªÀÄvÀÄÛ +B UÀ¼À CzsÀðPÀUÀ¼ÀÄ P ©AzÀÄ«£À°è bÉÃ¢¸ÀÄvÀÛªÉ.

+APB = 90c JAzÀÄ ¸Á¢ü¹j.

C¨sÁå¸À 4.3

§ºÀÄ DAiÉÄÌ ªÀiÁzÀj ¥Àæ±ÉßUÀ¼ÀÄ.

1. MAzÀÄ PÉÆÃ£ÀªÀÅ CzÀgÀ ¥Àj¥ÀÆgÀPÀzÀ ªÀÄÆgÀ£ÉÃ MAzÀÄ ¨sÁUÀPÉÌ ¸ÀªÀÄ£ÁzÀgÉ, CzÀgÀ C¼ÉvÉAiÀÄÄ

(a) 40c (B) 50c (C) 45c (D) 55c

2. PÉÆnÖgÀÄªÀ avÀæzÀ°è, OP AiÀÄÄ BOC+ AiÀÄ£ÀÄß ªÀÄvÀÄÛ OQ AiÀÄÄ +AOC AiÀÄ£ÀÄß C¢üð ÀÄvÀÛzÉ.

+POQ UÉ ÀªÀÄ£ÁzÀÄzÀÄ

(a) 90c (B) 120c

(C) 60c (D) 100c

3. MAzÀÄ PÉÆÃ£ÀzÀ ¥ÀÆgÀPÀªÀÅ CzÀQÌAvÀ 60o ºÉZÁÑVzÉ. DUÀ D PÉÆÃ£ÀªÀÅ

(a ) 25c (B) 30c (C) 15c (D) 35c 4. MAzÀÄ PÉÆÃ£ÀzÀ ¥ÀÆgÀPÀzÀ DgÀgÀµÀÄÖ CzÀgÀ ¥Àj¥ÀÆgÀPÀzÀ JgÀqÀgÀµÀÖQÌAvÀ 12o PÀrªÉÄAiÀiÁzÀgÉ, PÉÆÃ£ÀzÀ

C¼ÀvÉAiÀÄÄ

(a) 48c (B) 96c (C) 24c (D) 58c

5. PÉÆnÖgÀÄªÀ avÀæzÀ°è, +B:+C = 2:3 DzÀgÉ, +B £À C¼ÀvÉAiÀÄÄ

(a) 120c (B) 52c

(C) 78c (D) 130c

6. ABCD ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀÄ¨sÀÄðdzÀ°è, E AiÀÄÄ AB AiÀÄ ªÀÄzsÀå©AzÀÄªÁVzÉ ªÀÄvÀÄÛ CE AiÀÄÄ

+BCD AiÀÄ£ÀÄß C¢üð¸ÀÄvÀÛzÉ. +DEC AiÀÄ C¼ÀvÉAiÀÄÄ

(a) 60c (B) 90c (C) 100c (D) 120c

A B

D C

E

P

A

B C

130c

O BA

QC

P

95

gÉÃSÁUÀtÂvÀ

UÀtÂvÀ±Á

¸ÀÛç


MAzÀÄ ZÀvÀÄ¨sÀÄðdªÀ£ÀÄß J¼É¬Äj ªÀÄvÀÄÛ ¥Àæw ¨ÁºÀÄ«£À ªÀÄzsÀå©AzÀÄªÀ£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj. ¥Á±Àéð

¨ÁºÀÄUÀ¼À ªÀÄzsÀå©AzÀÄUÀ¼À£ÀÄß ¸ÉÃj¹j.

1. GAmÁUÀÄªÀ avÀæªÉÃ£ÀÄ? 2. EzÀÄ ¥ÀæwAiÉÆAzÀÄ ZÀvÀÄ¨sÀÄðdPÉÌ ¸ÀvÀåªÁUÀÄvÀÛzÉAiÉÄÃ? 3. ºÉÆgÀV£À ZÀvÀÄ¨sÀÄðdzÀ §zÀ¯ÁªÀuÉUÉ C£ÀÄUÀÄtªÁV M¼ÀV£À ZÀvÀÄ¨sÀÄðdªÀÅ ºÉÃUÉ §zÀ¯ÁUÀÄvÀÛzÉ?

gÀnÖ£À ¸ÀºÁAiÀÄ¢AzÀ MAzÀÄ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀÄ¨sÀÄðdªÀ£ÀÄß ªÀiÁrPÉÆ½î. JgÀqÀÄ wæ¨sÀÄdUÀ¼À£ÀÄß ¥ÀqÉAiÀÄ®Ä

PÀtðzÀ ªÀÄÆ®PÀ PÀvÀÛj¹.

MAzÀÄ wæ¨sÀÄdzÀ ªÉÄÃ¯É E£ÉÆßAzÀÄ wæ¨sÀÄdªÀ£ÀÄß Er. ¤ÃªÀÅ K£À£ÀÄß UÀªÀÄ¤¸ÀÄ«j?

EzÉÃ ZÀlÄªÀnPÉAiÀÄ£ÀÄß ¨ÉÃgÉ PÀtðzÉÆA¢UÉ ¥ÀÄ£ÀgÁªÀwð¹j.

� ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀÄ¨sÀÄðdzÀ°è, C©üªÀÄÄR ¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀÄ£ÁVgÀÄvÀÛªÉ.

� ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀÄ¨sÀÄðdzÀ°è, C©üªÀÄÄR PÉÆÃ£ÀUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀÄ£ÁVgÀÄvÀÛªÉ.

� ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀÄ¨sÀÄðdzÀ PÀtðUÀ¼ÀÄ ¥ÀgÀ¸ÀàgÀ C¢üð¸ÀÄvÀÛªÉ.

� DAiÀÄvÀªÀÅ ¸ÀªÀÄPÉÆÃ¤ÃAiÀÄ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀÄ¨sÀÄðdªÁVzÉ.

� ªÀeÁæPÀÈwAiÀÄÄ ¸ÀªÀÄ¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ¼Àî ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀÄ¨sÀÄðdªÁVzÉ.

� ZËPÀªÀÅ (ªÀUÀðªÀÅ) ¸ÀªÀÄ ¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ¼Àî ªÀÄvÀÄÛ ¸ÀªÀÄ PÉÆÃ¤ÃAiÀÄªÁzÀ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀÄ¨sÀÄðdªÁVzÉ.

DzÀÝjAzÀ, ZËPÀªÀÅ DAiÀÄvÀ, ªÀeÁæPÀÈw ªÀÄvÀÄÛ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀÄ¨sÀÄðdªÁVzÉ. � ¥Àæw PÀtðªÀÅ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀÄ¨sÀÄðdªÀ£ÀÄß JgÀqÀÄ ¸ÀªÀð¸ÀªÀÄ wæ¨sÀÄdUÀ¼ÁV «¨sÁV¸ÀÄvÀÛzÉ.

� MAzÀÄ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀÄ¨sÀÄðdzÀ PÀtðUÀ¼ÀÄ ®A§ªÁzÀgÉ, CzÀÄ ªÀeÁæPÀÈwAiÀiÁUÀÄvÀÛzÉ.

� MAzÉÃ ¥ÁzÀzÀ ªÉÄÃ¯É ªÀÄvÀÄÛ MAzÉÃ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ gÉÃSÉUÀ¼À £ÀqÀÄªÉ EgÀÄªÀ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀÄ¨sÀÄðdUÀ¼ÀÄ

«¹ÛÃtðUÀ¼À°è ¸ÀªÀÄ£ÁVgÀÄvÀÛªÉ.

� MAzÀÄ PÀtðªÀÅ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀÄ¨sÀÄðdªÀ£ÀÄß ¸ÀªÀÄ «¹ÛÃtðªÀÅ¼Àî JgÀqÀÄ wæ¨sÀÄdUÀ¼ÁV «¨sÁV¸ÀÄvÀÛzÉ.

ZÀlÄªÀnPÉ 1

ZÀlÄªÀnPÉ 2

96


¸ÀÛç

ZÀlÄªÀnPÉ 3

¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀÄ¨sÀÄðdzÀ PÀtðUÀ¼À£ÀÄß J¼É¬Äj ºÁUÀÆ gÀZÀ£ÉAiÀiÁzÀ £Á®ÄÌ wæ¨sÀÄdUÀ¼À£ÀÄß PÀvÀÛj¹j.

MAzÀgÀ ªÉÄÃ¯ÉÆAzÀ£ÀÄß eÉÆÃr¸ÀÄªÀÅzÀjAzÀ JgÀqÀÄ eÉÆvÉ ¸ÀªÀð¸ÀªÀÄ wæ¨sÀÄdUÀ½gÀÄªÀÅzÀ£ÀÄß UÀªÀÄ¤¹j.

GzÉÝÃ±À : ZÀvÀÄ¨sÀÄðdzÀ M¼À PÉÆÃ£ÀUÀ¼À ªÉÆvÀÛªÀ£ÀÄß ¥ÀvÉÛºÀZÀÄÑªÀÅzÀÄ.

CUÀvÀåªÁzÀ ¸ÁªÀÄVæ: qÁæ¬ÄAUï ºÁ¼É, C¼ÀvÉ¥ÀnÖ, PÉÆÃ£ÀªÀiÁ¥ÀPÀ ªÀÄvÀÄÛ PÀvÀÛjUÀ¼ÀÄ.

¸ÀÆZÀ£ÉUÀ¼ÀÄ:

1. avÀæ¥ÀlzÀ ºÁ¼É CxÀªÁ UÁæ¥sï ºÁ¼ÉAiÀÄ°è ««zsÀ ¥ÀæPÁgÀUÀ¼À ZÀvÀÄ¨sÀÄðdUÀ¼À£ÀÄß J¼É¬Äj.

2. ¥ÀæwAiÉÆAzÀÄ ¨sÁUÀªÀÅ (vÀÄAqÀÄ) ZÀvÀÄ¨sÀÄðdzÀ MAzÀÄ PÉÆÃ£ÀªÀ£ÀÄß ±ÀÈAUÀ PÉÆÃ£ÀªÀ£ÁßV ºÉÆA¢gÀÄªÀAvÉ,

ZÀvÀÄ¨sÀÄðdªÀ£ÀÄß £Á®ÄÌ ¨sÁUÀUÀ¼ÁV PÀvÀÛj¹j.

3. ZÀvÀÄ¨sÀÄðdzÀ J¯Áè PÉÆÃ£ÀUÀ¼À ªÉÆvÀÛªÀ£ÀÄß CªÀÅUÀ¼À£ÀÄß C¼ÀvÉ ªÀiÁqÀzÉAiÉÄÃ PÀAqÀÄ»rAiÀÄ®Ä

¸ÀºÁAiÀÄªÁUÀÄªÀAvÉ PÉÆÃ£ÀUÀ¼À£ÀÄß PÀæªÀÄ§zÀÞUÉÆ½¹j.

4. PÉÆÃ£ÀUÀ¼À£ÀÄß C¼ÉAiÀÄÄªÀÅzÀjAzÀ ªÀÄvÀÄÛ PÉÆÃµÀÖPÀªÀ£ÀÄß ¥ÀÆtðUÉÆ½¸ÀÄªÀÅzÀjAzÀ ¥sÀ°vÁA±ÀªÀ£ÀÄß

¥Àj²Ã°¹j.

ZÀvÀÄ¨sÀÄðdzÀ ºÉ¸ÀgÀÄ PÉÆÃ£À 1 PÉÆÃ£À 2 PÉÆÃ£À 3 PÉÆÃ£À 4J¯Áè

PÉÆÃ£ÀUÀ¼À

ªÉÆvÀÛ

¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀÄ¨sÀÄðd

DAiÀÄvÀ

ZËPÀ (ªÀUÀð)

ªÀeÁæPÀÈw

vÁæ¦då


97

gÉÃSÁUÀtÂvÀ

UÀtÂvÀ±Á

¸ÀÛç

GzÉÝÃ±À : ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀÄ¨sÀÄðdzÀ UÀÄt®PÀëtUÀ¼À£ÀÄß w½AiÀÄÄªÀÅzÀÄ.

CUÀvÀåªÁzÀ ¸ÁªÀÄVæ: qÁæ¬ÄAUï ºÁ¼É, C¼ÀvÉ¥ÀnÖ, PÉÆÃ£ÀªÀiÁ¥ÀPÀ ªÀÄvÀÄÛ PÀvÀÛjUÀ¼ÀÄ.

¸ÀÆZÀ£ÉUÀ¼ÀÄ:

1. £ÀPÉëAiÀÄ ºÁ¼ÉAiÀÄ°è ««zsÀ ¥ÀæPÁgÀUÀ¼À ZÀvÀð¨sÀÄðdUÀ¼À£ÀÄß PÀvÀÛj¹j.

2. PÀvÀÛj¹zÀ ¨sÁUÀUÀ¼À£ÀÄß G¥ÀAiÉÆÃV¹PÉÆAqÀÄ, PÉÆnÖgÀÄªÀ PÉÆÃµÀÖPÀªÀ£ÀÄß üCxÀªÁ # UÀÄgÀÄvÀÄUÀ½AzÀ ¥ÀÆtðUÉÆ½¹j.

UÀÄt®PÀët ZËPÀ (ªÀUÀð) ªÀeÁæPÀÈw DAiÀÄvÀ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀÄ¨sÀÄðd

C©üªÀÄÄR ¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ

¸ÀªÀÄªÁVgÀÄvÀÛªÉ

C©üªÀÄÄR ¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ

¸ÀªÀiÁAvÀgÀªÁVgÀÄvÀÛªÉ

¥Á±Àéð ¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ


J¯Áè PÉÆÃ£ÀUÀ¼ÀÄ 90c

DVgÀÄvÀÛªÉ

C©üªÀÄÄR PÉÆÃ£ÀUÀ¼ÀÄ


PÀtðUÀ¼ÀÄ ¥ÀgÀ¸ÀàgÀ

C¢üð¸ÀÄvÀÛªÉ

PÀtðUÀ¼ÀÄ 90c AiÀÄ°è

C¢üð¸ÀÄvÀÛªÉ

PÀtðUÀ¼ÀÄ EzÀ£ÀÄß JgÀqÀÄ

¸ÀªÀð¸ÀªÀÄ wæ¨sÀÄdUÀ¼ÁV

«¨sÁV¸ÀÄvÀÛªÉ

PÀtðUÀ¼ÀÄ GzÀÝzÀ°è



98


¸ÀÛç

GvÀÛgÀUÀ¼ÀÄ

C¨sÁå¸À 4.11. (i) 27c (ii) 66c (iii) 42c (iv) 55c (v) 70c 2. (i) 122c (ii) 32c (iii) 60c (iv) 140

(v) 80c 3. (i) 80c (ii) 35c 4. (i) 60c (ii) 144c (iii) 60c (iv) 72c (v) 80c ,100c

(vi) 54c ,36c 5. (i) 36c (ii) 40c (iii) 40c ,50c

6. (i) +A = +C = +E = +G =115c , +B = +D = +H = 65c 7. (i) 30c (ii) 32c

8. 30c ,60c ,90c 9. 45c ,25c ,110c 10. 80c ,60c

C¨sÁå¸À 4.21. 48c ,72c ,96c ,144c 2. 72c ,108c ,72c 3. (i) 45c (ii) 45c (iii) 45c (iv) 60c

4. 70c , 110c , 70c , 110c 5. l 9= , b = 6 6. 15

7. (i) 50c , 50c (ii) 31c , 59c (iii) 30c , 30c 8. 16

C¨sÁå¸À 4.31. C 2. a 3. C 4. a 5. B 6. B

99

¤zÉÃð±ÀPÀ gÉÃSÁUÀtÂvÀ

UÀtÂvÀ±Á

¸ÀÛç


5.1 ¦ÃpPÉ (Introduction ) ¤zÉÃð±ÀPÀ gÉÃSÁUÀtÂvÀ CxÀªÁ «±ÉèÃµÀuÁvÀäPÀ gÉÃSÁUÀtÂvÀªÀÅ

gÉÃSÁUÀtÂvÀzÀ (eÁå«ÄwAiÀÄ MAzÀÄ ¥ÀzÀÞwAiÀiÁVzÀÄÝ, E°è ¸ÀªÀÄvÀ®zÀ

ªÉÄÃ°£À ©AzÀÄUÀ¼À ¸ÁÜ£ÀªÀ£ÀÄß ¤zÉÃð±ÁAPÀUÀ¼ÀÄ JAzÀÄ PÀgÉAiÀÄ®àqÀÄªÀ

¸ÀASÉåUÀ¼À CtÂvÀ AiÀÄÄUÀäUÀ¼À£ÀÄß §¼À¹ «ªÀj¸À¯ÁVzÉ. ©AzÀÄUÀ¼À ÁÜ£ÀªÀ£ÀÄß

«ªÀj¸ÀÄªÀ F «zsÁ£ÀªÀ£ÀÄß ¥sÉæAZï UÀtÂvÀ±Á¸ÀÛçdÕgÁzÀ gÉ£É qÉPÁmïðgÀªÀgÀÄ

¥ÀjZÀ¬Ä¹zÀgÀÄ. F vÀAvÀæªÀ£ÀÄß §¼À¹ ¸À«ÄÃPÀgÀtUÀ½AzÀ gÉÃSÉUÀ¼ÀÄ

ªÀÄvÀÄÛ ªÀPÀæUÀ¼À£ÀÄß «ªÀj¸À§ºÀÄzÀÄ JA§ÄzÀ£ÀÄß EªÀgÀÄ ¥Àæ¸ÁÛ¦¹zÀgÀÄ.

EzÀjAzÀ ©ÃdUÀtÂvÀ ªÀÄvÀÄÛ gÉÃSÁUÀtÂvÀªÀ£ÀÄß ªÉÆzÀ®Ä ¨É¸ÉzÀAvÁ¬ÄvÀÄ.

F PÁAiÀÄðzÀ UËgÀªÁxÀðªÁV, ©AzÀÄUÀ¼À ¤zÉÃð±ÁAPÀUÀ¼À£ÀÄß

PÁnÃð¶AiÀÄ£ï ¤zÉÃð±ÁAPÀUÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ ¤zÉÃð±ÀPÀ ¸ÀªÀÄvÀ®ªÀ£ÀÄß

PÁnÃð¶AiÀÄ£ï ¤zÉÃð±ÀPÀ ¸ÀªÀÄvÀ® JAzÀÄ ¸ÀÆa¸ÀÄvÁÛgÉ. «±ÉèÃµÀuÁvÀäPÀ

gÉÃSÁUÀtÂvÀzÀ C£ÉéÃµÀuÉAiÀÄÄ DzsÀÄ¤PÀ UÀtÂvÀ±Á¸ÀÛçzÀ ¥ÁægÀA¨sÀªÁVzÉ.

F CzsÁåAiÀÄzÀ°è, £ÁªÀÅ PÁnÃð¶AiÀÄ£ï ¤zÉÃð±ÀPÀ ¥ÀzÀÞwAiÀÄ£ÀÄß

G¥ÀAiÉÆÃV¹PÉÆAqÀÄ ºÉÃUÉ ©AzÀÄUÀ¼À£ÀÄß ¥Àæw¤¢ü¸ÀÄªÀÅzÀÄ ªÀÄvÀÄÛ

¤zÉÃð±ÀPÀUÀ¼À ¥ÀzÀUÀ¼À°è JgÀqÀÄ ©AzÀÄUÀ¼À £ÀqÀÄ«£À zÀÆgÀªÀ£ÀÄß

PÀAqÀÄ»rAiÀÄÄªÀ ÀÆvÀæªÀ£ÀÄß ¤µÀàwÛ¸ÀÄªÀÅzÀÄ ºÉÃUÉ JA§ÄzÀ£ÀÄß PÀ°AiÉÆÃt.

I hope that posterity will judge me kindly, not only as to the things which I have explained, but also as to those which I have intentionally omitted so as to leave to others the pleasure of discovery

- rene DeSCarteS

qÉPÁmÉð

(DeSCarteS)

(1596-1650)qÉPÁmÉðgÀªÀgÀÄ ºÉÆ¸À ¨sËvÀ±Á¸ÀÛç

ªÀÄvÀÄÛ RUÉÆÃ¼À±Á¸ÀÛç¢AzÀ ºÉÆgÀ£ÉÆÃlzÀ°è CUÁzsÀªÁV ¥ÀjuÁªÀÄ ©ÃjzÀÝPÁÌV vÀPÀð ªÀÄvÀÄÛ ªÉÊeÁÕ¤PÀ «zsÁ£ÀzÀ

G¥ÀAiÉÆÃUÀªÀ£ÀÄß MwÛ ºÉÃ¼ÀÄªÀ ºÉÆ¸À aAvÀ£ÉAiÀÄ ¥ÀzÀÞwAiÀÄ£ÀÄß

gÀa¸À®Ä ¥ÀæAiÀÄwß¹zÀÝPÁÌV §ºÀÄ±ÀB EªÀgÀ£ÀÄß DzsÀÄ¤PÀ

vÀvÀé±Á¸ÀÛçzÀ ¦vÁªÀÄºÀ JAzÀÄ PÀgÉAiÀÄ¯ÁUÀÄvÀÛzÉ.

qÉPÁmÉðgÀªÀgÀÄ «±ÉèÃµÀuÁvÀäPÀ gÉÃSÁUÀtÂvÀªÀ£ÀÄß ºÉaÑ£À WÁvÀzÀ ¸À«ÄÃPÀgÀtUÀ¼ÁV «¸ÀÛj¸ÀÄªÀ°è CAPÀUÀtÂwÃAiÀÄUÉÆ½¸À®Ä ¥sÀªÀiÁðmïgÀªÀjVAvÀ®Æ »A¢£À ¸ÀAPÉÃvÀUÀ¼À£ÀÄß §¼À¹zÁÝgÉ. ¸ÀªÀÄvÀ®zÀ°è ¥ÀgÀ¸ÀàgÀ ®A§ªÁVgÀÄªÀ JgÀqÀÄ gÉÃSÉUÀ½AzÀ

CAvÀgÀªÀ£ÀÄß PÉÆnÖgÀÄªÀ MAzÀÄ ©AzÀÄ«£À ¸ÁÜ£ÀªÀ£ÀÄß JgÀqÀÄ ¸ÀASÉåUÀ¼À£ÀÄß ¤ÃqÀÄªÀÅzÀjAzÀ-

¤zÉÃð±ÁAPÀUÀ½AzÀ- ¤¢ðµÀÖUÉÆ½¸ÀÄªÀÅzÀÄ

¸ÀA¥ÀÆtðªÁV qÉPÁmÉðgÀªÀgÀ ¸ÀA±ÉÆÃzsÀ£ÉAiÀiÁVzÉ.

● PÁnÃð¶AiÀÄ£ï ¤zÉÃð±ÀPÀ ¥ÀzÀÞwAiÀÄ£ÀÄß CxÉÊð¸ÀÄªÀÅzÀÄ.

● QëweÁAPÀ (x-CPÀë), HzsÁéðAPÀ (y-CPÀë) ªÀÄvÀÄÛ ©AzÀÄUÀ¼À

¤zÉÃð±ÁAPÀUÀ¼À£ÀÄß ¥ÀvÉÛºÀZÀÄÑªÀÅzÀÄ.

● ¸ÀªÀÄvÀ®zÀ ªÉÄÃ¯É ©AzÀÄUÀ¼À£ÀÄß UÀÄgÀÄw¸ÀÄªÀÅzÀÄ.

● JgÀqÀÄ ©AzÀÄUÀ¼À £ÀqÀÄ«£À zÀÆgÀªÀ£ÀÄß PÀAqÀÄ»rAiÀÄÄªÀÅzÀÄ.


100

CzsÁåAiÀÄ 5UÀtÂvÀ±Á

¸ÀÛç

5.2 PÁnÃð¶AiÀÄ£ï ¤zÉÃð±ÀPÀ ¥ÀzÀÞw (Cartesian Coordinate System ) ªÁ¸ÀÛªÀ ¸ÀASÁå ¥ÀzÀÞwAiÀÄ CzsÁåAiÀÄzÀ°è,

¤ÃªÀÅ ¸ÀASÁågÉÃSÉAiÀÄ ªÉÄÃ¯É ªÁ¸ÀÛªÀ ¸ÀASÉåUÀ¼À£ÀÄß

ºÉÃUÉ ¥Àæw¤¢ü¸ÀÄªÀÅzÀÄ JA§ÄzÀ£ÀÄß PÀ°w¢ÝÃj.

¨sÁUÀ®§Þ CxÀªÁ C¨sÁUÀ®§Þ DVgÀÄªÀ ¥ÀæwAiÉÆAzÀÄ

ªÁ¸ÀÛªÀ ¸ÀASÉåAiÀÄÄ ¸ÀASÁågÉÃSÉAiÀÄ ªÉÄÃ¯É

C£À£Àå ¸ÁÜ£ÀªÀ£ÀÄß ºÉÆA¢zÉ. «¯ÉÆÃªÀÄªÁV,

¸ÀASÁågÉÃSÉAiÀÄ ªÉÄÃ°gÀÄªÀ P ©AzÀÄªÀ£ÀÄß EzÀgÀ

¤zÉÃð±ÀPÀ JAzÀÄ PÀgÉAiÀÄÄªÀ ªÁ¸ÀÛªÀ ¸ÀASÉå x ¤AzÀ ¤¢ðµÀÖUÉÆ½¸À§ºÀÄzÀÄ. »ÃUÉAiÉÄÃ, PÁnÃð¶AiÀÄ£ï

¤zÉÃð±ÀPÀ ¥ÀzÀÞwAiÀÄ£ÀÄß G¥ÀAiÉÆÃV¹, ¸ÀªÀÄvÀ®zÀ°è

P ©AzÀÄªÀ£ÀÄß EzÀgÀ ¤zÉÃð±ÀPÀUÀ¼ÀÄ JAzÀÄ PÀgÉAiÀÄÄªÀ JgÀqÀÄ ªÁ¸ÀÛªÀ ¸ÀASÉåUÀ½AzÀ ¤¢ðµÀÖUÉÆ½¸À§ºÀÄzÀÄ.

PÁnÃð¶AiÀÄ£ï ¤zÉÃð±ÀPÀ ¥ÀzÀÞw CxÀªÁ

DAiÀÄvÀ ¤zÉÃð±ÀPÀ ¥ÀzÀÞwAiÀÄÄ JgÀqÀÄ ®A§

ÀASÁågÉÃSÉUÀ¼À£ÀÄß M¼ÀUÉÆArzÉ. CzÀ£ÀÄß ¤zÉÃð±ÀPÀ

CPÀëUÀ¼ÀÄ J£ÀÄßvÉÛÃªÉ. avÀæ 5.1 gÀ°è vÉÆÃj¹gÀÄªÀAvÉ JgÀqÀÄ

ÀASÁågÉÃSÉUÀ¼ÀÄ ±ÀÆ£Àå ©AzÀÄ«£À°è bÉÃ¢ ÀÄvÀÛªÉ ªÀÄvÀÄÛ

bÉÃzÀ£Á ©AzÀÄªÀ£ÀÄß PÉÃAzÀæ (ªÀÄÆ®) ‘O’ J£ÀÄßvÉÛÃªÉ. ¸ÁªÀiÁ£ÀåªÁV QëwfÃAiÀÄ ¸ÀASÁågÉÃSÉAiÀÄ£ÀÄß x-CPÀë JAzÀÄ ªÀÄvÀÄÛ ®A§ ¸ÀASÁågÉÃSÉAiÀÄ£ÀÄß y-CPÀë JAzÀÄ PÀgÉAiÀÄÄvÉÛÃªÉ. ©AzÀÄ«£À x-¤zÉÃð±ÀPÀªÀÅ y-CPÀëzÀ §®¨sÁUÀzÀ°è zsÀ£ÁvÀäPÀªÁV ªÀÄvÀÄÛ y-CPÀëzÀ JqÀ¨sÁUÀzÀ°è

IÄuÁvÀäPÀªÁVgÀÄvÀÛzÉ. ºÁUÉAiÉÄÃ, ©AzÀÄ«£À

y-¤zÉÃð±ÀPÀªÀÅ x-CPÀëzÀ ªÉÄÃ¯ÁãUÀzÀ°è zsÀ£ÁvÀäPÀªÁV

ªÀÄvÀÄÛ PÉ¼À¨sÁUÀzÀ°è IÄuÁvÀäPÀªÁVgÀÄvÀÛzÉ. £ÁªÀÅ

JgÀqÀÆ CPÀëUÀ¼À®Æè MAzÉÃ C¼ÀvÉAiÀÄ£ÀÄß (CAvÀgÀzÀ

MAzÉÃ ªÀÄÆ®ªÀiÁ£ÀªÀ£ÀÄß) §¼À¸ÀÄvÉÛÃªÉ.

5.2.1 MAzÀÄ ©AzÀÄ«£À ¤zÉÃð±ÀPÀUÀ¼ÀÄ PÁnÃð¶AiÀÄ£ï ¥ÀzÀÞwAiÀÄ°è, ÀªÀÄvÀ®zÀ AiÀiÁªÀÅzÉÃ

©AzÀÄ P AiÀÄÄ ªÁ ÀÛªÀ ÀASÉåUÀ¼À CtÂvÀAiÀÄÄUÀäzÉÆA¢UÉ

ÀºÀªÀvÀð¤ÃAiÀÄªÁVgÀÄvÀÛzÉ. F ÀASÉåAiÀÄ£ÀÄß ¥ÀqÉAiÀÄ®Ä,

P ©AzÀÄ«£À ªÀÄÆ®PÀ £ÁªÀÅ CPÀëUÀ½UÉ ÀªÀiÁ£ÁAvÀgÀªÁV

JgÀqÀÄ gÉÃSÉUÀ¼À£ÀÄß J¼ÉAiÀÄÄvÉÛÃªÉ. £ÁªÀÅ CPÀëzÉÆA¢UÉ

JgÀqÀÄ gÉÃSÉUÀ¼ÀÄ bÉÃ¢ ÀÄªÀ ©AzÀÄUÀ¼À ¤zÉÃð±ÀPÀUÀ¼À §UÉÎ

D ÀQÛ ºÉÆA¢zÉÝÃªÉ. x-CPÀëzÀ ªÉÄÃ°£À x-¤zÉÃð±ÀPÀ ªÀÄvÀÄÛ y-CPÀëzÀ ªÉÄÃ°£À y-¤zÉÃð±ÀPÀ JA§ JgÀqÀÄ ¤zÉÃð±ÀPÀUÀ½ªÉ. x-¤zÉÃð±ÀPÀªÀ£ÀÄß QëweÁAPÀªÉAzÀÄ ªÀÄvÀÄÛ y-¤zÉÃð±ÀPÀªÀ£ÀÄß HzsÁéðAPÀªÉAzÀÄ PÀgÉAiÀÄÄvÉÛÃªÉ. P ©AzÀÄ«£ÉÆA¢VgÀÄªÀ JgÀqÀÄ ÀASÉåUÀ¼À£ÀÄß P £À ¤zÉÃð±ÀPÀUÀ¼É£ÀÄßªÀgÀÄ. CªÀÅUÀ¼À£ÀÄß ¸ÁªÀiÁ£ÀåªÁV (x, y) JAzÀÄ §gÉAiÀÄÄvÉÛÃªÉ. QëweÁAPÀªÀ£ÀÄß ªÉÆzÀ®Ä ªÀÄvÀÄÛ HzsÁéðAPÀªÀ£ÀÄß £ÀAvÀgÀ §gÉAiÀÄÄvÉÛÃªÉ.

avÀæ 5.1

1 2 3 4 5 6-1-2-3-4-5 O

1

2

3

4

5

6

7

8

-1

-2

-3

-4

-5

-6

-7

X

Y

Y

X

avÀæ 5.2

1 2 3 4 5 6-1-2-3-4-5 O

1

2

3

4

5

6

7

8

-1

-2

-3

-4

-5

-6

-7

X

Y

Y

X

( , )x yy

x

P

101


UÀtÂvÀ±Á

¸ÀÛç

1. (a, b) CtÂvÀAiÀÄÄUÀäzÀ°è, a ªÀÄvÀÄÛ b JgÀqÀÄ zsÁvÀÄUÀ¼À£ÀÄß ¤¢ðµÀÖ PÀæªÀÄzÀ°è

¥ÀnÖªÀiÁqÀ¯ÁVzÉ. DUÀ (a, b) ªÀÄvÀÄÛ (b, a ) CtÂvÀAiÀÄÄUÀäUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀÄªÁVgÀÄªÀÅ¢®è.

CAzÀgÉ ( , ) ( , )a b b a! . 2. ºÁUÀÆ ( , )a b

1 1 = ( , )a b

2 2 JA§ÄzÀÄ a a

1 2= ªÀÄvÀÄÛ b b

1 2= UÀ½UÉ ¸ÀªÀÄ£ÁVªÉ.

3. ©AzÀÄ ªÀÄvÀÄÛ ©AzÀÄ«£À ¤zÉÃð±ÀPÀUÀ¼ÀÄ JA§ ¥ÀzÀUÀ¼À£ÀÄß CzÀ®Ä§zÀ¯ÁV §¼À¸À¯ÁUÀÄvÀÛzÉ.

5.2.2 x-¤zÉÃð±ÀPÀªÀ£ÀÄß ¥ÀvÉÛºÀZÀÄÑªÀÅzÀÄ (Identifying the x-coordinate)

MAzÀÄ ©AzÀÄ«£À x-¤zÉÃð±ÀPÀ CxÀªÁ

QëweÁAPÀªÀÅ y-CPÀëzÀ JqÀPÉÌ CxÀªÁ §®PÉÌ ©AzÀÄ«£À

zÀÆgÀ ªÀÄvÀÄÛ ¢PÀÌ£ÀÄß ¸ÀÆa¸ÀÄªÀ ¨É¯ÉAiÀiÁVzÉ. P

©AzÀÄ«£À x-¤zÉÃð±ÀPÀªÀ£ÀÄß PÀAqÀÄ»rAiÀÄ®Ä:

(i) P ©AzÀÄ«¤AzÀ x-CPÀëPÉÌ ®A§ªÀ£ÀÄß J¼É¬Äj.

(ii) gÉÃSÉAiÀÄÄ x-CPÀëªÀ£ÀÄß ¸ÀA¢ü¸ÀÄªÀ ¸ÀASÉåAiÀÄÄ

x-¤zÉÃð±ÀPÀzÀ ¨É¯ÉAiÀiÁVzÉ.

avÀæ 5.3 gÀ°è P £À x-¤zÉÃð±ÀPÀªÀÅ 1 ªÀÄvÀÄÛ Q £À x-¤zÉÃð±ÀPÀªÀÅ 5 DVzÉ.

5.2.3 y-¤zÉÃð±ÀPÀªÀ£ÀÄß ¥ÀvÉÛºÀZÀÄÑªÀÅzÀÄ (Identifying the y-coordinate)

MAzÀÄ ©AzÀÄ«£À y-¤zÉÃð±ÀPÀ CxÀªÁ HzsÁéðAPÀªÀÅ x-CPÀëzÀ ªÉÄÃ¯É CxÀªÁ PÉ¼ÀUÉ ©AzÀÄ«£À zÀÆgÀ ªÀÄvÀÄÛ ¢PÀÌ£ÀÄß ¸ÀÆa¸ÀÄªÀ ¨É¯ÉAiÀiÁVzÉ. P ©AzÀÄ«£À y-¤zÉÃð±ÀPÀªÀ£ÀÄß PÀAqÀÄ»rAiÀÄ®Ä:

(i) P ©AzÀÄ«¤AzÀ y-CPÀëPÉÌ ®A§ªÀ£ÀÄß J¼É¬Äj.

(ii) gÉÃSÉAiÀÄÄ y-CPÀëªÀ£ÀÄß ¸ÀA¢ü¸ÀÄªÀ ¸ÀASÉåAiÀÄÄ

y-¤zÉÃð±ÀPÀzÀ ¨É¯ÉAiÀiÁVzÉ.avÀæ 5.4 gÀ°è P £À y-¤zÉÃð±ÀPÀªÀÅ 6 ªÀÄvÀÄÛ Q £À

y-¤zÉÃð±ÀPÀªÀÅ 2 DVzÉ.

UÀªÀÄ¤¹j

avÀæ 5.4

avÀæ 5.3

1 2 3 4 5 6-1-2-3-4-5 O

1

2

3

4

5

6

7

8

-1

-2

-3

-4

-5

-6

-7

X

Y

Y

X

P

Q

1 2 3 4 5 6-1-2-3-4-5 O

1

2

3

4

5

6

7

8

-1

-2

-3

-4

-5

-6

-7

X

Y

Y

X

P

Q

102


¸ÀÛç

(i) x-CPÀëzÀ ªÉÄÃ°£À AiÀiÁªÀÅzÉÃ ©AzÀÄ«UÉ, y-¤zÉÃð±ÀPÀzÀ É¯ÉAiÀÄÄ (HzsÁéðAPÀ) ±ÀÆ£ÀåªÁVzÉ.

(ii) y-CPÀëzÀ ªÉÄÃ°£À AiÀiÁªÀÅzÉÃ ©AzÀÄ«UÉ, x-¤zÉÃð±ÀPÀzÀ É¯ÉAiÀÄÄ (QëweÁAPÀ) ±ÀÆ£ÀåªÁVzÉ.

5.2.4 ZÀvÀÄxÁðAPÀUÀ¼ÀÄ (Quadrants)

DAiÀÄvÁPÁgÀzÀ ¤zÉÃð±ÀPÀ ¥ÀzÀÞwAiÀÄ£ÀÄß M¼ÀUÉÆAqÀ

ÀªÀÄvÀ®ªÀ£ÀÄß PÁnÃð¶AiÀÄ£ï ÀªÀÄvÀ® J£ÀÄßvÁÛgÉ. ¤zÉÃð±ÀPÀ

CPÀëUÀ¼ÀÄ ÀªÀÄvÀ®ªÀ£ÀÄß £Á®ÄÌ sÁUÀUÀ¼ÁV «AUÀr ÀÄvÀÛªÉ. CzÀ£ÀÄß

ZÀvÀÄxÁðAPÀUÀ¼ÀÄ J£ÀÄßvÉÛÃªÉ. avÀæ 5.5 gÀ°è vÉÆÃj¹gÀÄªÀAvÉ

C¥ÀæzÀQëuÉAiÀiÁV ÀASÉåUÉÆ½ À ÁVzÉ. x-¤zÉÃð±ÀPÀªÀÅ I ªÀÄvÀÄÛ IV £ÉÃ ZÀvÀÄxÁðAPÀUÀ¼À°è zsÀ£ÁvÀäPÀªÁVzÉ ºÁUÀÆ II ªÀÄvÀÄÛ III £ÉÃ ZÀvÀÄxÁðAPÀzÀ°è IÄuÁvÀäPÀªÁVzÉ. y-¤zÉÃð±ÀPÀªÀÅ I ªÀÄvÀÄÛ II £ÉÃ ZÀvÀÄxÁðAPÀzÀ°è zsÀ£ÁvÀäPÀªÁVzÉ ºÁUÀÆ III ªÀÄvÀÄÛ IV £ÉÃ ZÀvÀÄxÁðAPÀzÀ°è IÄuÁvÀäPÀªÁVzÉ. ¤zÉÃð±ÀPÀUÀ¼À aºÉßAiÀÄ£ÀÄß avÀæ

5.5 gÀ°è vÉÆÃj¹gÀÄªÀAvÉ DªÀgÀtzÀ°è ¤ÃqÀ ÁVzÉ.

¥ÀæzÉÃ±À ZÀvÀÄxÁðAPÀ x, y £À ¸ÀégÀÆ¥À ¤zÉÃð±ÀPÀUÀ¼À aºÉßUÀ¼ÀÄ

XoY I , 0x y0> > +, +

X OYl II ,x y0 0< > ,- +

X OYl l III ,x y0 0< < ,- -

XOYl IV ,x y0 0> < ,+ -

5.2.5 PÁnÃð¶AiÀÄ£ï ¤zÉÃð±ÀPÀ ¥ÀzÀÞwAiÀÄ°è ©AzÀÄUÀ¼À£ÀÄß

UÀÄgÀÄw¸ÀÄªÀÅzÀÄ (Plotting Points in Cartesian Coordinate System) FUÀ £ÁªÀÅ MAzÀÄ GzÁºÀgÀuÉAiÀÄ ªÀÄÆ®PÀ

PÁnÃð¶AiÀÄ£ï ¤zÉÃð±ÀPÀ ¥ÀzÀÝwAiÀÄ°è ©AzÀÄªÀ£ÀÄß

UÀÄgÀÄw¸ÀÄªÀÅzÀ£ÀÄß zÀÈµÁÖAwÃPÀj¸ÉÆÃt. PÁnÃð¶AiÀÄ£ï

¤zÉÃð±ÀPÀ ¥ÀzÀÝwAiÀÄ°è (5,6) ©AzÀÄªÀ£ÀÄß UÀÄgÀÄw¸À®Ä

x-CPÀëzÀ ªÀÄÆ®PÀ ¸ÁV 5 £ÀÄß UÀÄgÀÄw¹, x = 5 gÀ°è ®A§gÉÃSÉAiÀÄ£ÀÄß J¼É¬Äj. »ÃUÉAiÉÄÃ y-CPÀëzÀ°è ¸ÁV 6 £ÀÄß UÀÄgÀÄw¹, y = 6 gÀ°è QëweÁAPÀ CxÀªÁ CqÀØ gÉÃSÉAiÀÄ£ÀÄß J¼É¬Äj. JgÀqÀÄ gÉÃSÉUÀ¼ÀÄ bÉÃ¢¸ÀÄªÀ

¸ÁÜ£ÀªÀÅ PÁnÃð¶AiÀÄ£ï ¸ÀªÀÄvÀ®zÀ°è (5, 6) gÀ

¸ÁÜ£ÀªÁVzÉ.

CAzÀgÉ, PÉÃAzÀæ¢AzÀ x-CPÀëzÀ zsÀ£ÁvÀäPÀ

¢QÌ£À°è 5 ªÀiÁ£ÀUÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ y-CPÀëzÀ zsÀ£ÁvÀäPÀ ¢QÌ£À°è 6 ªÀiÁ£ÀUÀ¼ÀÄ ZÀ°¹ ªÀÄvÀÄÛ C£ÀÄUÀÄtªÁzÀ ©AzÀÄªÀ£ÀÄß

UÀÄgÀÄw¹. F ©AzÀÄªÀÅ y-CPÀë¢AzÀ 5 ªÀiÁ£ÀUÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ x-CPÀë¢AzÀ 6 ªÀiÁ£ÀUÀ¼ÀÄ CAvÀgÀzÀ°ègÀÄvÀÛzÉ. »ÃUÉ (5, 6) gÀ ¸ÁÜ£ÀªÀ£ÀÄß PÁnÃð¶AiÀÄ£ï ÀªÀÄvÀ®zÀ°è UÀÄgÀÄw À ÁUÀÄvÀÛzÉ.

¸ÀÆZÀ£É

avÀæ 5.6

1 2 3 4 5 6-1-2-3-4-5 O

1

2

3

4

5

6

7

8

-1

-2

-3

-4

-5

-6

-7

X

Y

Y

X

P(5, 6)

X

Y

X l

Y l avÀæ 5.5

103


UÀtÂvÀ±Á

¸ÀÛç

GzÁºÀgÀuÉ 5.1 DAiÀÄvÁPÁgÀ ¤zÉÃð±ÀPÀ ¥ÀzÀÞwAiÀÄ°è PÉ¼ÀV£À ©AzÀÄUÀ¼À£ÀÄß UÀÄgÀÄw¹j.

(i) A (5, 4) (ii) B (-4, 3) (iii) C (-2, -3) (iv) D (3, -2)

¥ÀjºÁgÀ (i) (5,4) £ÀÄß UÀÄgÀÄw¸À®Ä, x = 5 gÀ°è ®A§gÉÃSÉAiÀÄ£ÀÄß ªÀÄvÀÄÛ y = 4 gÀ°è QëweÁAPÀ gÉÃSÉAiÀÄ£ÀÄß J¼É¬Äj.

PÁnÃð¶AiÀÄ£ï ¸ÀªÀÄvÀ®zÀ°è F JgÀqÀÆ gÉÃSÉUÀ¼À bÉÃzÀ£ÀªÀÅ (5, 4) gÀ ¸ÁÜ£ÀªÁVzÉ. »ÃUÉ, A (5, 4) ©AzÀÄªÀ£ÀÄß PÁnÃð¶AiÀÄ£ï ¸ÀªÀÄvÀ®zÀ°è UÀÄgÀÄw¸À¯ÁUÀÄvÀÛzÉ.

(ii) ( ,4 3- ) £ÀÄß UÀÄgÀÄw¸À®Ä, x= 4- gÀ°è ®A§ gÉÃSÉAiÀÄ£ÀÄß ªÀÄvÀÄÛ y = 3 gÀ°è QëweÁAPÀ

gÉÃSÉAiÀÄ£ÀÄß J¼É¬Äj. F JgÀqÀÆ gÉÃSÉUÀ¼À bÉÃzÀ£ÀªÀÅ PÁnÃð¶AiÀÄ£ï ¸ÀªÀÄvÀ®zÀ°è ( ,4 3- ) gÀ ¸ÁÜ£ÀªÁVzÉ. »ÃUÉ, B( ,4 3- ) ©AzÀÄªÀ£ÀÄß PÁnÃð¶AiÀÄ£ï ¸ÀªÀÄvÀ®zÀ°è UÀÄgÀÄw¸À¯ÁUÀÄvÀÛzÉ.

(iii) ( ,2 3- - ) £ÀÄß UÀÄgÀÄw¸À®Ä, x =-2 gÀ°è ®A§ gÉÃSÉAiÀÄ£ÀÄß ªÀÄvÀÄÛ y =-3 gÀ°è QëweÁAPÀ gÉÃSÉAiÀÄ£ÀÄß J¼É¬Äj. F JgÀqÀÆ gÉÃSÉUÀ¼À bÉÃzÀ£ÀªÀÅ PÁnÃð¶AiÀÄ£ï ÀªÀÄvÀ®zÀ°è ( ,2 3- - ) gÀ ÁÜ£ÀªÁVzÉ. »ÃUÉ, C( ,2 3- - ) ©AzÀÄªÀ£ÀÄß PÁnÃð¶AiÀÄ£ï ÀªÀÄvÀ®zÀ°è UÀÄgÀÄw¸À¯ÁUÀÄvÀÛzÉ.

(iv) (3, -2) £ÀÄß UÀÄgÀÄw¸À®Ä, x =3 gÀ°è ®A§ gÉÃSÉAiÀÄ£ÀÄß ªÀÄvÀÄÛ y =-2 gÀ°è QëweÁAPÀ

gÉÃSÉAiÀÄ£ÀÄß J¼É¬Äj. F JgÀqÀÆ gÉÃSÉUÀ¼À bÉÃzÀ£ÀªÀÅ PÁnÃð¶AiÀÄ£ï ¸ÀªÀÄvÀ®zÀ°è (3, -2) gÀ ¸ÁÜ£ÀªÁVzÉ. »ÃUÉ, D (3, -2) ©AzÀÄªÀ£ÀÄß PÁnÃð¶AiÀÄ£ï ¸ÀªÀÄvÀ®zÀ°è UÀÄgÀÄw¸À¯ÁUÀÄvÀÛzÉ.

avÀæ 5.7

1 2 4 5 6-1-3-4-5 O

1

2

4

5

6

7

8

-1

-2

-4

-5

-6

-7

X

Y

Y

X

3

-2

-3

3

A(5, 4)

D(3, -2)

C(-2, -3)

B(-4, 3)

104


¸ÀÛç

GzÁºÀgÀuÉ 5.2 (i) (3, 5) ªÀÄvÀÄÛ (5, 3) (ii) (-2, -5) ªÀÄvÀÄÛ (-5, -2) ©AzÀÄUÀ¼À£ÀÄß DAiÀÄvÁPÁgÀ ¤zÉÃð±ÀPÀ ¥ÀzÀÞwAiÀÄ°è UÀÄgÀÄw¹j.

¥ÀjºÁgÀ

MAzÀÄ ©AzÀÄ«£À QëweÁAPÀ ªÀÄvÀÄÛ HzsÁéðAPÀªÀ£ÀÄß CzÀ®Ä §zÀ®Ä ªÀiÁrzÁUÀ,

PÁnÃð¶AiÀÄ£ï ¸ÀªÀÄvÀ®zÀ°è EzÀÄ ©ü£Àß ©AzÀÄªÀ£ÀÄß ¸ÀÆa¸ÀÄvÀÛzÉ JA§ÄzÀ£ÀÄß UÀªÀÄ¤¹j.

GzÁºÀgÀuÉ 5.3 (-1, 0), (2, 0), (-5, 0) ªÀÄvÀÄÛ (4, 0) ©AzÀÄUÀ¼À£ÀÄß PÁnÃð¶AiÀÄ£ï ¸ÀªÀÄvÀ®zÀ°è UÀÄgÀÄw¹j.

¥ÀjºÁgÀ

UÀªÀÄ¤¹j

avÀæ 5.8

1 2 3 4 5 6-1-3-4 O

1

2

3

4

5

6

7

8

-1

-3

-4

-6

-7

X

Y

Y

X

-5

-2

-2-5

A(5, 3)

B(3, 5)

C(–5,–2)

D(–2,–5)

avÀæ 5.9

1 2 3 4 5 6-1-2-3-4-5 O

1

2

3

4

5

6

7

8

-1

-2

-3

-4

-5

-6

-7

X

Y

Y

X

(–5

,0

)

(–1

,0

)

(2,

0)

(4,

0)

105


UÀtÂvÀ±Á

¸ÀÛç

GzÁºÀgÀuÉ 5.4 (0, 4), (0,-2), (0, 5) ªÀÄvÀÄÛ (0,-4) ©AzÀÄUÀ¼À£ÀÄß PÁnÃð¶AiÀÄ£ï ¸ÀªÀÄvÀ®zÀ°è UÀÄgÀÄw¹j.¥ÀjºÁgÀ

GzÁºÀgÀuÉ 5.5

(i) (-1, 2), (ii) (-4, 2), (iii) (4, 2) ªÀÄvÀÄÛ (iv) (0, 2) ©AzÀÄUÀ¼À£ÀÄß UÀÄgÀÄw¹j. F ©AzÀÄUÀ¼À

¸ÁÜ£ÀUÀ¼À §UÉÎ ¤ÃªÉÃ£ÀÄ ºÉÃ¼ÀÄ«j?¥ÀjºÁgÀ

F ©AzÀÄUÀ¼À£ÀÄß ÉÃj¹zÁUÀ, CªÀÅ x-CPÀëPÉÌ ÀªÀiÁAvÀgÀªÁVgÀÄªÀ gÉÃSÉAiÀÄ ªÉÄÃ¯É EgÀÄªÀÅzÀ£ÀÄß ¤ÃªÀÅ £ÉÆÃqÀÄ«j.

avÀæ 5.10

1 2 3 4 5 6-1-2-3-4-5 O

1

2

3

4

5

6

7

8

-1

-2

-3

-4

-5

-6

-7

X

Y

Y

X

(0, 5)

(0, 4)

(0, –2)

(0, –4)

avÀæ 5.11

1 2 3 4 5 6-1-2-3-4-5 O

1

3

4

5

6

7

8

-1

-2

-3

-4

-5

-6

-7

X

Y

Y

X

2(–4, 2) (–1, 2) (4, 2)(0, 2)

106


¸ÀÛç

x-CPÀëPÉÌ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀªÁVgÀÄªÀ gÉÃSÉAiÀÄ°ègÀÄªÀ ©AzÀÄUÀ¼À y - ¤zÉÃð±ÀPÀUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀÄªÁVgÀÄvÀÛªÉ.

GzÁºÀgÀuÉ 5.6 A (2, 3), B (-2, 3), C (-2, -3) ªÀÄvÀÄÛ D (2, -3) ©AzÀÄUÀ¼À ZÀvÀÄxÁðAPÀUÀ¼À£ÀÄß ¥ÀvÉÛºÀaÑj.

J¯Áè ©AzÀÄUÀ¼À£ÀÄß ¸ÉÃj¹zÁUÀ GAmÁUÀÄªÀ DPÀÈwAiÀÄ

§UÉÎ ZÀað¹j.

¥ÀjºÁgÀ

©AzÀÄ a B C DZÀvÀÄxÁðAPÀ I II III IV

ABCD AiÀÄÄ DAiÀÄvÀªÁVzÉ.

¤ÃªÀÅ DAiÀÄvÀzÀ GzÀÝ, CUÀ® ªÀÄvÀÄÛ «¹ÛÃtðªÀ£ÀÄß

PÀAqÀÄ»rAiÀÄÄ«gÁ?

GzÁºÀgÀuÉ 5.7

¥Àæw ZËPÀªÀÅ KPÀªÀiÁ£À ZËPÀªÁVgÀÄªÀ avÀæ

5.13 gÀ°è vÉÆÃj¹gÀÄªÀ ©AzÀÄUÀ¼À ¤zÉÃð±ÀPÀUÀ¼À£ÀÄß

PÀAqÀÄ»r¬Äj.

¥ÀjºÁgÀ A ©AzÀÄªÀ£ÀÄß vÉUÉzÀÄPÉÆ½î. A AiÀÄÄ

x-CPÀëzÀ zsÀ£ÁvÀäPÀ ¢QÌ£À ªÀÄÆ®PÀ PÉÃAzÀæ¢AzÀ 3

ªÀiÁ£ÀUÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ y-CPÀëzÀ zsÀ£ÁvÀäPÀ ¢QÌ£À ªÀÄÆ®PÀ

PÉÃAzÀæ¢AzÀ 2 ªÀiÁ£ÀUÀ¼À CAvÀgÀzÀ°èzÉ. DzÀÝjAzÀ A £À

¤zÉÃð±ÀPÀUÀ¼ÀÄ (3, 2) DVªÉ.

»ÃUÉAiÉÄ, B AiÀÄÄ (-3, 2), C AiÀÄÄ (-2, -2),

D AiÀÄÄ (2, -1), E AiÀÄÄ (5, -3), F AiÀÄÄ (3, 4) ªÀÄvÀÄÛ

G AiÀÄÄ (-3, 1) DVzÉ.

¸ÀÆZÀ£É

avÀæ 5.12

avÀæ 5.13

1 3 4 5 6-1-3-4-5 O

1

2

4

5

6

7

8

-1

-2

-4

-5

-6

-7

X

Y

Y

X

(2, 3)

-3

3

-2 2

(2, –3)(–2, –3)

(–2, 3)

1 2 3 4 5 6-1-2-3-4-5 O

1

2

3

4

5

6

7

8

-1

-2

-3

-4

-5

-6

-7

X

Y

Y

X

F

A

D

E

B

G

C

107


UÀtÂvÀ±Á

¸ÀÛç

C¨sÁå¸À 5.1

1. PÉ¼ÀV£À ºÉÃ½PÉUÀ¼ÀÄ ¸ÀjAiÉÄÃ/vÀ¥ÉàÃ w½¹j.

(i) (5, 7) ©AzÀÄªÀÅ IV £ÉÃ ZÀvÀÄxÁðAPÀzÀ°èzÉ.

(ii) (-2, -7) ©AzÀÄªÀÅ III £ÉÃ ZÀvÀÄxÁðAPÀzÀ°èzÉ.

(iii) (8, -7) ©AzÀÄªÀÅ x-CPÀëzÀ PÉ¼À¨sÁUÀzÀ°èzÉ.

(iv) (5, 2) ªÀÄvÀÄÛ (-7, 2) ©AzÀÄUÀ¼ÀÄ y-CPÀëPÉÌ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀªÁVgÀÄªÀ gÉÃSÉAiÀÄ ªÉÄÃ°ªÉ.

(v) (-5, 2) ©AzÀÄªÀÅ y-CPÀëzÀ JqÀ¨sÁUÀzÀ°èzÉ.

(vi) (0, 3) ©AzÀÄªÀÅ x-CPÀëzÀ ªÉÄÃ°£À ©AzÀÄªÁVzÉ.

(vii) (-2, 3) ©AzÀÄªÀÅ II £ÉÃ ZÀvÀÄxÁðAPÀzÀ°èzÉ.

(viii) (-10, 0) ©AzÀÄªÀÅ x-CPÀëzÀ ªÉÄÃ°£À ©AzÀÄªÁVzÉ.

(ix) (-2, -4) ©AzÀÄªÀÅ x-CPÀëzÀ ªÉÄÃ¯ÁãUÀzÀ°èzÉ.

(x) x-CPÀëzÀ AiÀiÁªÀÅzÉÃ ©AzÀÄ«£À y-¤zÉÃð±ÀPÀªÀÅ ±ÀÆ£ÀåªÁVzÉ.

2. ¤zÉÃð±ÀPÀ ¥ÀzÀÞwAiÀÄ°è PÉ¼ÀV£À ©AzÀÄUÀ¼À£ÀÄß UÀÄgÀÄw¹j ªÀÄvÀÄÛ CªÀÅUÀ¼À ZÀvÀÄxÁðAPÀUÀ¼À£ÀÄß ¸ÀÆa¹j.

(i) (5, 2) (ii) (-1, -1) (iii) (7, 0) (iv) (-8, -1) (v) (0, -5) (vi) (0, 3) (vii) (4, -5) (viii) (0, 0) (ix) (1, 4) (x) (-5, 7)

3. PÉ¼ÀV£À ©AzÀÄUÀ¼À QëweÁAPÀUÀ¼À£ÀÄß (x-CPÀë) §gÉ¬Äj.

(i) (-7, 2) (ii) (3, 5) (iii) (8, -7) (iv) (-5, -3)

4. PÉ¼ÀV£À ©AzÀÄUÀ¼À HzsÁéðAPÀUÀ¼À£ÀÄß (y-CPÀë) §gÉ¬Äj.

(i) (7, 5) (ii) (2, 9) (iii) (-5, 8) (iv) (7, -4)

5. PÉ¼ÀV£À ©AzÀÄUÀ¼À£ÀÄß ¤zÉÃð±ÀPÀ ¸ÀªÀÄvÀ®zÀ°è UÀÄgÀÄw¹j.

(i) (4, 2) (ii) (4, -5) (iii) (4, 0) (iv) (4, -2)

CªÀÅUÀ¼À£ÀÄß ¸ÉÃj¹zÁUÀ ºÉÃVgÀÄvÀÛzÉ?

6. JgÀqÀÄ ©AzÀÄUÀ¼À ¥ÀæwAiÉÆAzÀÄ HzsÁéðAPÀUÀ¼ÀÄ - 6 DVzÀÝgÉ, CªÀÅUÀ¼À£ÀÄß ¸ÉÃj¸ÀÄªÀ gÉÃSÉAiÀÄÄ x-CPÀëPÉÌ ¸ÀA§A¢ü¹zÀAvÉ ºÉÃVgÀÄvÀÛzÉ?

7. JgÀqÀÄ ©AzÀÄUÀ¼À QëweÁAPÀªÀÅ 0 DzÀgÉ, CªÀÅUÀ¼À£ÀÄß ¸ÉÃj¹zÁUÀ ºÉÃVgÀÄvÀÛzÉ?

8. A (-3, 4), B (2, 4), C (-3, -1) ªÀÄvÀÄÛ D (2, -1) ©AzÀÄUÀ¼À£ÀÄß PÁnÃð¶AiÀÄ£ï ¸ÀªÀÄvÀ®zÀ°è UÀÄgÀÄw¹j. A ªÀÄvÀÄÛ B, B ªÀÄvÀÄÛ C, C ªÀÄvÀÄÛ D, ºÁUÀÆ D ªÀÄvÀÄÛ A ©AzÀÄUÀ¼À£ÀÄß ¸ÉÃj¹ ¥ÀqÉAiÀÄÄªÀ DPÀÈwAiÀÄ£ÀÄß w½¹.

9. DAiÀÄvÁPÁgÀ CPÀëUÀ¼ÉÆA¢UÉ O (0, 0), A (5, 0), B (5, 4) ©AzÀÄUÀ¼À£ÀÄß UÀÄgÀÄw¹j. OABC AiÀÄÄ DAiÀÄvÁPÁgÀªÁUÀÄªÀAvÉ C ©AzÀÄ«£À ¤zÉÃð±ÀPÀªÀ£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.

10. ABCD DAiÀÄvÀzÀ°è, A, B ªÀÄvÀÄÛ D UÀ¼À ¤zÉÃð±ÀPÀUÀ¼ÀÄ (0, 0) (4, 0) (0,3) DzÀgÉ, C £À ¤zÉÃð±ÀPÀUÀ¼ÉÃ£ÀÄ?

108


¸ÀÛç

5.3 AiÀiÁªÀÅzÉÃ JgÀqÀÄ ©AzÀÄUÀ¼À £ÀqÀÄ«£À CAvÀgÀ (Distance between any Two Points )

«±ÉèÃµÀuÁvÀäPÀ gÉÃSÁUÀtÂvÀzÉÆA¢UÉ £ÁªÀÅ ªÀiÁqÀ§ºÀÄzÁzÀ ¸ÀgÀ¼ÀªÁzÀ PÁAiÀÄðUÀ¼À°è JgÀqÀÄ ©AzÀÄUÀ¼À

£ÀqÀÄ«£À CAvÀgÀªÀ£ÀÄß ¯ÉQÌ¸ÀÄªÀÅzÀÄ MAzÁVzÉ. A ªÀÄvÀÄÛ B £ÀqÀÄ«£À CAvÀgÀªÀ£ÀÄß ¸ÁªÀiÁ£ÀåªÁV AB JAzÀÄ ¸ÀÆa¸ÀÄvÉÛÃªÉ.

5.3.1 ¤zÉÃð±ÀPÀ CPÀëUÀ¼À ªÉÄÃ°gÀÄªÀ JgÀqÀÄ ©AzÀÄUÀ¼À £ÀqÀÄ«£À

CAvÀgÀ (Distance between two points on coordinate axes) JgÀqÀÄ ©AzÀÄUÀ¼ÀÄ x-CPÀëzÀ ªÉÄÃ°zÀÝgÉ, EªÀÅUÀ¼À £ÀqÀÄ«£À CAvÀgÀªÀ£ÀÄß PÀAqÀÄ»rAiÀÄÄªÀÅzÀÄ ¸ÀÄ®¨sÀªÁVzÉ. KPÉAzÀgÉ EªÀÅUÀ¼À

CAvÀgÀªÀÅ x ¤zÉÃð±ÀPÀUÀ¼À £ÀqÀÄ«£À ªÀåvÁå¸ÀPÉÌ ¸ÀªÀÄ£ÁVgÀÄvÀÛzÉ.

x-CPÀëzÀ ªÉÄÃ¯É A( , 0)x1

ªÀÄvÀÄÛ ( ,0)B x2

JA§ JgÀqÀÄ ©AzÀÄUÀ¼À£ÀÄß vÉUÉzÀÄPÉÆ½î.

A ¤AzÀ B VgÀÄªÀ CAvÀgÀ = AB = OB - OA

= x x2 12 DVzÀÝgÉ, x x

2 1-

= x x1 22 DVzÀÝgÉ, x x

1 2-

` AB = x x2 1-

EzÉÃ jÃw, JgÀqÀÄ ©AzÀÄUÀ¼ÀÄ y-CPÀëzÀ ªÉÄÃ°zÀÝgÉ, EªÀÅUÀ¼À

£ÀqÀÄ«£À CAvÀgÀªÀÅ y ¤zÉÃð±ÀPÀUÀ¼À £ÀqÀÄ«£À ªÀåvÁå¸ÀPÉÌ ¸ÀªÀÄ£ÁVgÀÄvÀÛzÉ.

y-CPÀëzÀ ªÉÄÃ¯É (0, )A y1

ªÀÄvÀÄÛ (0, )B y2 JA§ JgÀqÀÄ ©AzÀÄUÀ¼À£ÀÄß

vÉUÉzÀÄPÉÆ½î.

A ¤AzÀ B VgÀÄªÀ CAvÀgÀ = AB = OB OA-

= y y2 12 DVzÀÝgÉ, y y

2 1-

= y y1 22 DVzÀÝgÉ, y y

1 2-

` AB = y y2 1-

5.3.2 ¤zÉÃð±ÀPÀ CPÀëUÀ½UÉ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀªÁVgÀÄªÀ gÉÃSÉAiÀÄ°ègÀÄªÀ JgÀqÀÄ ©AzÀÄUÀ¼À £ÀqÀÄ«£À CAvÀgÀ (Distance between two points on a line parallel to coordinate axes)

A( , )x y1 1

ªÀÄvÀÄÛ ( , )x yB2 1

©AzÀÄUÀ¼À£ÀÄß vÉUÉzÀÄPÉÆ½î. EªÀÅUÀ¼À y-¤zÉÃð±ÀPÀUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀÄ£ÁVgÀÄªÀÅzÀjAzÀ, F JgÀqÀÄ ©AzÀÄUÀ¼ÀÄ

x-CPÀëPÉÌ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀªÁVgÀÄªÀ gÉÃSÉAiÀÄ°ègÀÄvÀÛªÉ. x-CPÀëPÉÌ ®A§ªÁV AP ªÀÄvÀÄÛ BQ £ÀÄß J¼É¬Äj. A ªÀÄvÀÄÛ B UÀ¼À £ÀqÀÄ«£À CAvÀgÀªÀÅ, P ªÀÄvÀÄÛ Q UÀ¼À £ÀqÀÄ«£À CAvÀgÀPÉÌ ¸ÀªÀÄ£ÁVgÀÄvÀÛzÉ. DzÀÝjAzÀ,

AB AiÀÄ CAvÀgÀ = PQ £À CAvÀgÀ = x x1 2- .

avÀæ 5.14

avÀæ 5.15

avÀæ 5.16

O

A B

x x2 1−x1 x2{

yl

xl x

y

O

A

B

y1

y2

{y y2 1−

xl x

yl

y

O

A x y( , )1 1B x y( , )2 1

PQ

yl

xxl

y

109


UÀtÂvÀ±Á

¸ÀÛç

y-CPÀëPÉÌ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀªÁVgÀÄªÀ gÉÃSÉAiÀÄ ªÉÄÃ°gÀÄªÀ

( , )A x y1 1

ªÀÄvÀÄÛ ( , )B x y1 2

©AzÀÄUÀ¼À£ÀÄß vÉUÉzÀÄPÉÆ½î. y-CPÀëPÉÌ

®A§ªÁV AP ªÀÄvÀÄÛ BQ £ÀÄß J¼É¬Äj. A ªÀÄvÀÄÛ B UÀ¼À £ÀqÀÄ«£À

CAvÀgÀªÀÅ, P ªÀÄvÀÄÛ Q UÀ¼À £ÀqÀÄ«£À CAvÀgÀPÉÌ ÀªÀÄ£ÁVgÀÄvÀÛzÉ. DzÀÝjAzÀ,

AB AiÀÄ CAvÀgÀ = PQ £À CAvÀgÀ = y y1 2-

¤zÉÃð±ÀPÀ CPÀëUÀ½UÉ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀªÁVgÀÄªÀ gÉÃSÉAiÀÄ ªÉÄÃ°gÀÄªÀ JgÀqÀÄ ©AzÀÄUÀ¼À £ÀqÀÄ«£À

CAvÀgÀªÀÅ C£ÀÄPÀæªÀÄ ¤zÉÃð±ÀPÀUÀ¼À £ÀqÀÄ«£À ªÀåvÁå¸ÀzÀ ¤gÀ¥ÉÃPÀë ªÀiË®åªÁVgÀÄvÀÛzÉ.

5.3.3 JgÀqÀÄ ©AzÀÄUÀ¼À £ÀqÀÄ«£À CAvÀgÀ (Distance between two points)

A x y,1 1^ h ªÀÄvÀÄÛ B x y

2 2^ h UÀ¼ÀÄ MAzÀÄ ¸ÀªÀÄvÀ®zÀ°è£À AiÀiÁªÀÅzÉÃ JgÀqÀÄ ©AzÀÄUÀ¼ÁVgÀ°. £Á«ÃUÀ EªÉgÀqÀÄ ©AzÀÄUÀ¼À £ÀqÀÄ«£À CAvÀgÀªÀ£ÀÄß PÀAqÀÄ»rAiÉÆÃt.

P ªÀÄvÀÄÛ Q UÀ¼ÀÄ PÀæªÀÄªÁV A ªÀÄvÀÄÛ B UÀ½AzÀ J¼É¢gÀÄªÀ ®A§UÀ¼À ¥ÁzÀUÀ¼ÀÄ DVgÀ°. BQ UÉ ®A§ªÁV AR £ÀÄß

J¼É¬Äj. avÀæ¢AzÀ

AR = PQ = OQ OP- = x x2 1- ªÀÄvÀÄÛ

BR = BQ RQ- = y y2 1-

ARB ®A§PÉÆÃ£À wæPÉÆÃ£À¢AzÀ,

AB2 = AR RB

2 2+ = ( ) ( )x x y y

2 1

2

2 1

2- + -

(¥ÉÊxÁUÉÆgÀ¸ï£À ¥ÀæªÉÄÃAiÀÄ¢AzÀ)

CAzÀgÉ, AB = ( ) ( )x x y y2 1

2

2 1

2- + -

A ªÀÄvÀÄÛ B ©AzÀÄUÀ¼À £ÀqÀÄ«£À CAvÀgÀªÀÅ

AB = ( ) ( )x x y y2 1

2

2 1

2- + -

ªÀÄÄRå ¥ÀjPÀ®à£É JgÀqÀÄ ©AzÀÄUÀ¼À £ÀqÀÄ«£À CAvÀgÀ

( , )x y1 1

ªÀÄvÀÄÛ ( , )x y2 2

JA§ JgÀqÀÄ ©AzÀÄUÀ¼À£ÀÄß PÉÆlÖgÉ, EªÉgÀqÀÄ ©AzÀÄUÀ¼À £ÀqÀÄ«£À

CAvÀgÀzÀ ¸ÀÆvÀæªÀÅ PÉ¼ÀV£ÀAwzÉ.

( ) ( )d x x y y2 1

2

2 1

2= - + - .

UÀªÀÄ¤¹j

avÀæ 5.18

avÀæ 5.17

O

A x y( , )1 1

B x y( , )1 2

P

Q

x

y

xl

yl

O

x x2 1−

P Q

R

{

y y2 1−

A x y( , )1 1

B x y( , )2 2

x

y

xl

yl

110


¸ÀÛç

(i) F ¸ÀÆvÀæªÀÅ ªÉÄÃ°£À J¯Áè ¸ÀAUÀwUÀ½UÉ C£ÀéAiÀÄªÁUÀÄvÀÛzÉ.

(ii) ªÀÄÆ®©AzÀÄ O ¤AzÀ ( , )P x y1 1

©AzÀÄ«VgÀÄªÀ CAvÀgÀªÀÅ OP = x y1

2

1

2+ .

GzÁºÀgÀuÉ 5.8

( -4, 0) ªÀÄvÀÄÛ (3, 0) ©AzÀÄUÀ¼À £ÀqÀÄ«£À CAvÀgÀªÀ£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.

¥ÀjºÁgÀ (-4, 0) ªÀÄvÀÄÛ (3, 0) ©AzÀÄUÀ¼ÀÄ x-CPÀëzÀ ªÉÄÃ°gÀÄªÀ ©AzÀÄUÀ¼ÁVªÉ. DzÀÝjAzÀ d = x x

1 2- = ( )3 4- - = 3 4+ = 7

¥ÀAiÀiÁðAiÀÄ «zsÁ£À : d = ( ) ( )x x y y

2 1

2

2 1

2- + - = ( )3 4 0

2 2+ + = 49 = 7

GzÁºÀgÀuÉ 5.9

(–7, 2) ªÀÄvÀÄÛ (5, 2) ©AzÀÄUÀ¼À £ÀqÀÄ«£À CAvÀgÀªÀ£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.

¥ÀjºÁgÀ (5, 2) ªÀÄvÀÄÛ (-7, 2) ©AzÀÄUÀ¼À£ÀÄß ¸ÉÃj¸ÀÄªÀ gÉÃSÉAiÀÄÄ x-CPÀëPÉÌ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀªÁVzÉ.

DzÀÝjAzÀ, d = x x1 2- = 7 5- - = 12- = 12¥ÀAiÀiÁðAiÀÄ «zsÁ£À : d = ( ) ( )x x y y

2 1

2

2 1

2- + - = ( ) ( )5 7 2 2

2 2+ + - = 122 = 144 = 12

GzÁºÀgÀuÉ 5.10 (–5, –6) ªÀÄvÀÄÛ (–4, 2) ©AzÀÄUÀ¼À £ÀqÀÄ«£À CAvÀgÀªÀ£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.

¥ÀjºÁgÀ CAvÀgÀzÀ ¸ÀÆvÀæªÀ£ÀÄß G¥ÀAiÉÆÃV¹zÁUÀ, d = ( ) ( )x x y y2 1

2

2 1

2- + -

d = ( ) ( )4 5 2 62 2

- + + + = 1 82 2+ = 1 64+ = 65

GzÁºÀgÀuÉ 5.11 (0, 8) ªÀÄvÀÄÛ (6, 0) ©AzÀÄUÀ¼À £ÀqÀÄ«£À CAvÀgÀªÀ£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.

¥ÀjºÁgÀ (0, 8) ªÀÄvÀÄÛ (6, 0) ©AzÀÄUÀ¼À £ÀqÀÄ«£À CAvÀgÀªÀÅ

d = ( ) ( )x x y y2 1

2

2 1

2- + -

= ( ) ( )6 0 0 82 2

- + - = 36 64+ = 100 = 10¥ÀAiÀiÁðAiÀÄ «zsÁ£À :

A ªÀÄvÀÄÛ B UÀ¼ÀÄ (6, 0) ªÀÄvÀÄÛ (0, 8) ©AzÀÄUÀ¼À£ÀÄß ÀÆa¸ÀÄªÀAwgÀ°.

O JA§ÄzÀÄ PÉÃAzÀæªÁVgÀ°, (6, 0) ©AzÀÄªÀÅ x-CPÀëzÀ ªÉÄÃ°gÀÄªÀ ©AzÀÄ ªÀÄvÀÄÛ (0, 8) ©AzÀÄªÀÅ y-CPÀëzÀ ªÉÄÃ°gÀÄªÀ ©AzÀÄªÁVzÉ. ¤zÉÃð±ÀPÀ

CPÀëUÀ¼À £ÀqÀÄ«£À PÉÆÃ£ÀªÀÅ ®A§PÉÆÃ£ÀªÁVgÀÄªÀÅzÀjAzÀ, A, O ªÀÄvÀÄÛ B UÀ¼ÀÄ ®A§PÉÆÃ£À wæPÉÆÃ£ÀªÀ£ÀÄß GAlÄªÀiÁqÀÄvÀÛªÉ. OA = 6 ªÀÄvÀÄÛ OB = 8. EzÀjAzÀ, ¥ÉÊxÁUÉÆÃgÀ¸ï ¥ÀæªÉÄÃAiÀÄªÀ£ÀÄß G¥ÀAiÉÆÃV¹zÁUÀ,

AB2 = OA OB

2 2+ = 36 + 64 = 100.

` AB = 100 = 10

¸ÀÆZÀ£É

avÀæ 5.19

x

y

xl

yl

O

A(6, 0)

B(0, 8)

6 units

8 u

nit

s

111


UÀtÂvÀ±Á

¸ÀÛç

GzÁºÀgÀuÉ 5.12

(–3, –4) ªÀÄvÀÄÛ (5, –7) ©AzÀÄUÀ¼À £ÀqÀÄ«£À CAvÀgÀªÀ£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.

¥ÀjºÁgÀ (–3, -4) ªÀÄvÀÄÛ (5, -7) ©AzÀÄUÀ¼À £ÀqÀÄ«£À CAvÀgÀªÀÅ

d = ( ) ( )x x y y2 1

2

2 1

2- + -

= ( ) ( )5 3 7 42 2

+ + - + = ( )8 32 2+ - = 64 9+ = 73

GzÁºÀgÀuÉ 5.13

(4, 2), (7, 5) ªÀÄvÀÄÛ (9, 7) JA§ ªÀÄÆgÀÄ ©AzÀÄUÀ¼ÀÄ MAzÉÃ ÀgÀ¼ÀgÉÃSÉAiÀÄ ªÉÄÃ°ªÉ JA§ÄzÀ£ÀÄß vÉÆÃj¹j.

¥ÀjºÁgÀ ©AzÀÄUÀ¼ÀÄ a (4, 2), B (7, 5) ªÀÄvÀÄÛ C (9, 7) DVgÀ°. CAvÀgÀ ¸ÀÆvÀæ¢AzÀ

AB2 = (4 7) (2 5)

2 2- + - = ( 3) ( 3)

2 2- + - = 9 + 9 = 18

BC2 = (9 7) (7 5)

2 2- + - = 2 2

2 2+ = 4 + 4 = 8

CA2 = (9 4) (7 2)

2 2- + - = 5 5

2 2+ = 25 + 25 = 50

DzÀÝjAzÀ, AB = 18 = 9 2# = 3 2 ; BC = 8 = 4 2# = 2 2 ;

CA = 50 = 25 2# = 5 2 .

AB BC+ = 3 2 2 2+ = 5 2 = AC.

DzÀÝjAzÀ a, B ªÀÄvÀÄÛ C ©AzÀÄUÀ¼ÀÄ KPÀgÉÃSÁUÀvÀªÁVªÉ.

GzÁºÀgÀuÉ 5.14

A (–3, –4), B (2, 6) ªÀÄvÀÄÛ C (–6, 10) JAzÀÄ PÉÆnÖgÀÄªÀ ©AzÀÄUÀ¼ÀÄ ®A§PÉÆÃ£À wæPÉÆÃ£ÀzÀ

±ÀÈAUÀUÀ¼ÁVªÉAiÉÄÃ JA§ÄzÀ£ÀÄß ¤zsÀðj¹.

¥ÀjºÁgÀ CAvÀgÀ ¸ÀÆvÀæ¢AzÀ, d = ( ) ( )x x y y2 1

2

2 1

2- + -

AB2 = (2 3) (6 4)

2 2+ + + = 5 10

2 2+ = 25 + 100 = 125

BC2 =( 6 2) (10 6)

2 2- - + - = ( 8) 4

2 2- + = 64 + 16 = 80

CA2 = ( 6 3) (10 4)

2 2- + + + = ( 3) (14)

2 2- + = 9 + 196 = 205

CAzÀgÉ, AB BC2 2+ = 125 + 80 = 205 = CA2

MAzÀÄ ¨ÁºÀÄ«£À ªÀUÀðªÀÅ G½zÉgÀqÀÄ ¨ÁºÀÄUÀ¼À ªÀUÀðUÀ¼À ªÉÆvÀÛPÉÌ ¸ÀªÀÄ£ÁVgÀÄªÀÅzÀjAzÀ, aBC AiÀÄÄ ®A§PÉÆÃ£À wæPÉÆÃ£ÀªÁVzÉ.

GzÁºÀgÀuÉ 5.15 (a, a), (– a, – a) ªÀÄvÀÄÛ ( , ), ( , ) ( , )a a a a a a3 3and- - - ©AzÀÄUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀÄ¨ÁºÀÄ wæ¨sÀÄdªÀ£ÀÄß GAlÄªÀiÁqÀÄvÀÛªÉ

JAzÀÄ vÉÆÃj¹j.

¥ÀjºÁgÀ ©AzÀÄUÀ¼ÀÄ ( , )A a a , ( , )B a a- - ªÀÄvÀÄÛ ( , )C a a3 3- DVgÀ°.

CAvÀgÀ ¸ÀÆvÀæªÀ£ÀÄß G¥ÀAiÉÆÃV¹zÁUÀ, d = ( ) ( )x x y y2 1

2

2 1

2- + -

112


¸ÀÛç

AB = ( ) ( )a a a a2 2

+ + +

= ( ) ( )a a2 22 2+ = a a4 4

2 2+ = a8

2 = a2 2

BC = a a a a3 32 2

- + + +^ ^h h = a a a a a a3 2 3 3 2 32 2 2 2 2 2+ - + + +

= a82 = a4 2

2# = 2 a2

CA = ( ) ( )a a a a3 32 2

+ + - = a a a a a a2 3 3 2 3 32 2 2 2 2 2+ + + - +

= a82 = a2 2

` AB = BC = CA = a2 2 .

J¯Áè ¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀÄªÁVgÀÄªÀÅzÀjAzÀ, ©AzÀÄUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀÄ¨ÁºÀÄ wæ¨sÀÄdªÀ£ÀÄß GAlÄªÀiÁqÀÄvÀÛªÉ.

GzÁºÀgÀuÉ 5.16

(–7, –3), (5, 10), (15, 8) ªÀÄvÀÄÛ (3, –5) ©AzÀÄUÀ¼À£ÀÄß PÀæªÀÄªÁV vÉUÉzÀÄPÉÆAqÁUÀ, EªÀÅ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀÄ¨sÀÄðdzÀ ±ÀÈAUÀUÀ¼ÁVªÉ JAzÀÄ ¸Á¢ü¹.

¥ÀjºÁgÀ A, B, C ªÀÄvÀÄÛ D UÀ¼ÀÄ PÀæªÀÄªÁV (-7, -3), (5, 10), (15, 8) ªÀÄvÀÄÛ (3, -5) UÀ¼À£ÀÄß

¥Àæw¤¢ü¸ÀÄªÀAwgÀ°. CAvÀgÀ ¸ÀÆvÀæªÀ£ÀÄß G¥ÀAiÉÆÃV¹zÁUÀ, d = ( ) ( )x x y y2 1

2

2 1

2- + -

AB2 = (5 7) (10 3)

2 2+ + + = 12 13

2 2+ = 144 + 169 = 313

BC2 = (15 5) (8 10)

2 2- + - = 10 ( 2)

2 2+ - = 100 + 4 = 104

CD2 = (3 15) ( 5 8)

2 2- + - - = ( 12) ( 13)

2 2- + - = 144 + 169 = 313

DA2 = (3 7) ( 5 3)

2 2+ + - + = 10 ( 2)

2 2+ - = 100 + 4 = 104

DzÀÝjAzÀ, AB = CD = 313 ªÀÄvÀÄÛ BC = DA = 104

CAzÀgÉ, «gÀÄzÀÞ ¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀÄ£ÁVªÉ. EzÀjAzÀ, ABCD AiÀÄÄ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀÄ¨sÀÄðdªÁVzÉ.

GzÁºÀgÀuÉ 5.17

(3, –2), (3, 2), (–1, 2) ªÀÄvÀÄÛ (–1, –2) ©AzÀÄUÀ¼À£ÀÄß PÀæªÀÄªÁV vÉUÉzÀÄPÉÆAqÁUÀ, EªÀÅ ªÀUÀðzÀ ±ÀÈAUÀUÀ¼ÁVªÉ JAzÀÄ vÉÆÃj¹j.

¥ÀjºÁgÀ ±ÀÈAUÀUÀ¼ÀÄ A (3, -2), B (3, 2), C (-1, 2) ªÀÄvÀÄÛ D (-1, -2) DVgÀ°.

AB2 = (3 3) (2 2)

2 2- + + = 42 = 16

BC2 = (3 1) (2 2)

2 2+ + - = 42 = 16

CD2 = ( 1 1) (2 2)

2 2- + + + = 42 =16

DA2 = ( 1 3) ( 2 2)

2 2- - + - + = ( 4)

2- = 16

113


UÀtÂvÀ±Á

¸ÀÛç

AC2 = (3 1) ( 2 2)

2 2+ + - - = 4 ( 4)

2 2+ - = 16 + 16 = 32

BD2 = (3 1) (2 2)

2 2+ + + = 4 4

2 2+ = 16 + 16 = 32

AB = BC = CD = DA = 16 = 4. (J¯Áè ¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀÄ£ÁVªÉ.)

AC = BD = 32 = 4 2 . (PÀtðUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀÄ£ÁVªÉ.)

EzÀjAzÀ, a, B, C ªÀÄvÀÄÛ D ©AzÀÄUÀ¼ÀÄ ªÀUÀðªÀ£ÀÄß GAlÄªÀiÁqÀÄvÀÛªÉ.

GzÁºÀgÀuÉ 5.18

P JA§ÄzÀÄ (2, 3) ªÀÄvÀÄÛ (6, 5) ©AzÀÄUÀ¼À£ÀÄß ÉÃj¸ÀÄªÀ gÉÃSÁRAqÀzÀ ®A¨ÁzsÀðPÀzÀ ªÉÄÃ°£À ©AzÀÄ DVgÀ°. P £À x-¤zÉÃð±ÀPÀÀ ªÀÄvÀÄÛ y-¤zÉÃð±ÀPÀUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀÄªÁVzÀÝgÉ, P £À ¤zÉÃð±ÀPÀUÀ¼À£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.

¥ÀjºÁgÀ ©AzÀÄªÀÅ ( , )P x y DVgÀ°. P £À x- ¤zÉÃð±ÀPÀªÀÅ EzÀgÀ y-¤zÉÃð±ÀPÀPÉÌ ¸ÀªÀÄ£ÁVgÀÄªÀÅzÀjAzÀ, £ÀªÀÄUÉ y x= JAzÀÄ ¹UÀÄvÀÛzÉ. DzÀÝjAzÀ, P £À ¤zÉÃð±ÀPÀUÀ¼ÀÄ (x, x) DVªÉ. A ªÀÄvÀÄÛ B UÀ¼ÀÄ (2, 3) ªÀÄvÀÄÛ (6, 5) ©AzÀÄUÀ¼À£ÀÄß ¸ÀÆa¸ÀÄvÀÛªÉ. P AiÀÄÄ A ªÀÄvÀÄÛ B ¬ÄAzÀ ¸ÀªÀÄzÀÆgÀzÀ°gÀÄªÀÅzÀjAzÀ PA PB= AiÀÄÄ £ÀªÀÄUÉ ¹UÀÄvÀÛzÉ. JgÀqÀÆ PÀqÉ ªÀUÀðUÉÆ½¹zÁUÀ PA PB

2 2= £ÀªÀÄUÉ ¹UÀÄvÀÛzÉ.

CAzÀgÉ, ( 2) ( 3)x x2 2

- + - = ( 6) ( 5)x x2 2

- + -

4 4 6 9x x x x2 2- + + - + = 12 36 10 25x x x x

2 2- + + - +

2 10 13x x2- + = 2 22 61x x

2- +

x x22 10- = 61-13

x12 = 48

x = 1248 = 4

DzÀÝjAzÀ, P £À ¤zÉÃð±ÀPÀUÀ¼ÀÄ (4, 4) DVªÉ.

GzÁºÀgÀuÉ 5.19

(9, 3), (7, –1) ªÀÄvÀÄÛ (1, –1) ©AzÀÄUÀ¼À ªÀÄÆ®PÀ ºÁzÀÄºÉÆÃUÀÄªÀ ªÀÈvÀÛzÀ PÉÃAzÀæªÀÅ (4, 3) JAzÀÄ

vÉÆÃj¹ ºÁUÀÆ EzÀgÀ wædåªÀ£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.

¥ÀjºÁgÀ C JA§ÄzÀÄ (4, 3) £ÀÄß ¥Àæw¤¢ü¸ÀÄªÀAwgÀ°. P, Q ªÀÄvÀÄÛ R UÀ¼ÀÄ (9, 3), (7, -1) ªÀÄvÀÄÛ (1, -1) ©AzÀÄUÀ¼À£ÀÄß ¸ÀÆa¸ÀÄªÀAwgÀ°.


2

2 1

2- + -

CP2 = (9 4) (3 3)

2 2- + - = 52 = 25

CQ2 = (7 4) ( 1 3)

2 2- + - - = 3 ( 4)

2 2+ - = 9 + 16 = 25

CR2 = (4 1) (3 1)

2 2- + + = 3 4

2 2+ = 9 + 16 = 25

114


¸ÀÛç

DzÀÝjAzÀ, CP2 = CQ2 = CR2 = 25 CxÀªÁ CP = CQ = CR = 5. DzÀÝjAzÀ P, Q, r ©AzÀÄUÀ¼ÀÄ PÉÃAzÀæªÀÅ (4, 3) DVgÀÄªÀ ªÀÈvÀÛzÀ ªÉÄÃ°ªÉ ªÀÄvÀÄÛ EzÀgÀ wædåªÀÅ 5 ªÀiÁ£ÀUÀ¼ÁVzÉ.

GzÁºÀgÀuÉ 5.20

( , )a b ©AzÀÄªÀÅ (3, –4) ªÀÄvÀÄÛ (8, –5) ©AzÀÄUÀ½AzÀ ÀªÀÄzÀÆgÀzÀ°èzÀÝgÉ, 5 32 0a b- - = JAzÀÄ vÉÆÃj¹j.

¥ÀjºÁgÀ P AiÀÄÄ ( , )a b ©AzÀÄªÀ£ÀÄß ÀÆa ÀÄªÀAwgÀ°. A ªÀÄvÀÄÛ B UÀ¼ÀÄ PÀæªÀÄªÁV (3, -4) ªÀÄvÀÄÛ (8, -5)

©AzÀÄUÀ¼À£ÀÄß ÀÆa ÀÄªÀAwgÀ°. P AiÀÄÄ A ªÀÄvÀÄÛ B UÀ½AzÀ ¸ÀªÀÄzÀÆgÀzÀ°ègÀÄªÀÅzÀjAzÀ, PA = PB JAzÁUÀÄvÀÛzÉ

ªÀÄvÀÄÛ PA2 = PB2

.


2

2 1

2- + -

( ) ( )3 42 2

a b- + + = ( 8) ( 5)2 2a b- + +

6 9 8 162 2a a b b- + + + + = 16 64 10 252 2a a b b- + + + +

6 8 25 16 10 89a b a b- + + + - - = 0

10 2 64a b- - = 0

JgÀqÀÆ PÀqÉ 2 jAzÀ ¨sÁV¹zÁUÀ, 5 32a b- - = 0 JAzÀÄ £ÀªÀÄUÉ ¹UÀÄvÀÛzÉ.

GzÁºÀgÀuÉ 5.21

A (9, 3), B (7, –1) ªÀÄvÀÄÛ C (1, –1) ©AzÀÄUÀ¼À£ÀÄß ÉÃj¹zÁUÀ GAmÁUÀÄªÀ wæ sÀÄdzÀ ¥ÀjPÉÃAzÀæªÀÅ S (4, 3) DVzÉ JAzÀÄ vÉÆÃj¹.

¥ÀjºÁgÀ SA = ( ) ( )9 4 3 32 2- + - = 25 = 5

SB = ( ) ( )7 4 1 32 2- + - - = 25 = 5

SC = ( ) ( )1 4 1 32 2- + - - = 25 = 5

` SA = SB = SC . ¥ÀjPÉÃAzÀæªÀÅ wæ¨sÀÄdzÀ J¯Áè ±ÀÈAUÀUÀ½AzÀ ¸ÀªÀÄzÀÆgÀzÀ°ègÀÄvÀÛzÉ JA§ÄzÀÄ £ÀªÀÄUÉ w½¢zÉ. S ©AzÀÄªÀÅ J¯Áè ªÀÄÆgÀÄ ±ÀÈAUÀUÀ½AzÀ ¸ÀªÀÄ zÀÆgÀzÀ°ègÀÄªÀÅzÀjAzÀ, EzÀÄ wæ¨sÀÄd ABC AiÀÄ ¥ÀjPÉÃAzÀæªÁVzÉ.

C¨sÁå¸À 5.21. PÉ¼ÀV£À eÉÆÃr ©AzÀÄUÀ¼À £ÀqÀÄ«£À CAvÀgÀªÀ£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.

(i) (7, 8) ªÀÄvÀÄÛ (-2, -3) (ii) (6, 0) ªÀÄvÀÄÛ (-2, 4)

(iii) (-3, 2) ªÀÄvÀÄÛ (2, 0) (iv) (-2, -8) ªÀÄvÀÄÛ (-4, -6)

(v) (-2, -3) ªÀÄvÀÄÛ (3, 2) (vi) (2, 2) ªÀÄvÀÄÛ (3, 2)

115


UÀtÂvÀ±Á

¸ÀÛç

(vii) (-2, 2) ªÀÄvÀÄÛ (3, 2) (viii) (7, 0) ªÀÄvÀÄÛ (-8, 0)

(ix) (0, 17) ªÀÄvÀÄÛ (0, -1) (x) (5, 7) ªÀÄvÀÄÛ ªÀÄÆ®©AzÀÄ

2. PÉ¼ÀV£À ©AzÀÄUÀ¼ÀÄ KPÀgÉÃSÁUÀvÀªÁVªÉ JAzÀÄ vÉÆÃj¹j.

(i) (3, 7), (6, 5) ªÀÄvÀÄÛ (15, -1) (ii) (3, -2), (-2, 8) ªÀÄvÀÄÛ (0, 4)

(iii) (1, 4), (3, -2) ªÀÄvÀÄÛ (-1, 10) (iv) (6, 2), (2, -3) ªÀÄvÀÄÛ (-2, -8)

(v) (4, 1), (5, -2) ªÀÄvÀÄÛ (6, -5)

3. PÉ¼ÀV£À ©AzÀÄUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀÄ¢é¨ÁºÀÄ wæ¨sÀÄdªÀ£ÀÄß GAlÄªÀiÁqÀÄvÀÛªÉ JAzÀÄ vÉÆÃj¹j.

(i) (-2, 0), (4, 0) ªÀÄvÀÄÛ (1, 3) (ii) (1, -2), (-5, 1) ªÀÄvÀÄÛ (1, 4)

(iii) (-1, -3), (2, -1) ªÀÄvÀÄÛ (-1, 1) (iv) (1, 3), (-3, -5) ªÀÄvÀÄÛ (-3, 0)

(v) (2, 3), (5, 7) ªÀÄvÀÄÛ (1, 4)

4. PÉ¼ÀV£À ©AzÀÄUÀ¼ÀÄ ®A§PÉÆÃ£À wæPÉÆÃ£ÀªÀ£ÀÄß GAlÄªÀiÁqÀÄvÀÛªÉ JAzÀÄ vÉÆÃj¹j.

(i) (2, -3), (-6, -7) ªÀÄvÀÄÛ (-8, -3) (ii) (-11, 13), (-3, -1) ªÀÄvÀÄÛ (4, 3)

(iii) (0, 0), (a, 0) ªÀÄvÀÄÛ (0, b) (iv) (10, 0), (18, 0) ªÀÄvÀÄÛ (10, 15)

(v) (5, 9), (5, 16) ªÀÄvÀÄÛ (29, 9)

5. PÉ¼ÀV£À ©AzÀÄUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀÄ¨ÁºÀÄ wæ¨sÀÄdªÀ£ÀÄß GAlÄªÀiÁqÀÄvÀÛªÉ JAzÀÄ vÉÆÃj¹.

(i) (0, 0), (10, 0) ªÀÄvÀÄÛ (5, 5 3 ) (ii) ( , 0), ( , 0) (0, )anda a a 3- ªÀÄvÀÄÛ ( , 0), ( , 0) (0, )anda a a 3-

(iii) (2, 2),( 2, 2) ( 2 , 2 )and 3 3- - -ªÀÄvÀÄÛ (2, 2),( 2, 2) ( 2 , 2 )and 3 3- - - (iv) ( , 2), (0,1) (0, 3)and3 ªÀÄvÀÄÛ ( , 2), (0,1) (0, 3)and3

(v) ( ,1), (2 , 2) (2 , 4)and3 3 3- - ªÀÄvÀÄÛ ( ,1), (2 , 2) (2 , 4)and3 3 3- -

6. PÉ¼ÀV£À ©AzÀÄUÀ¼À£ÀÄß PÀæªÀÄ§zÀÝªÁV vÉUÉzÀÄPÉÆAqÀgÉ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀÄ¨sÀÄðdzÀ ±ÀÈAUÀUÀ¼À£ÀÄß

GAlÄªÀiÁqÀÄvÀÛªÉ JAzÀÄ vÉÆÃj¹.

(i) (-7, -5), (-4, 3), (5, 6) ªÀÄvÀÄÛ (2, –2) (ii) (9, 5), (6, 0), (-2, -3) ªÀÄvÀÄÛ (1, 2)

(iii) (0, 0), (7, 3), (10, 6) ªÀÄvÀÄÛ (3, 3) (iv) (-2, 5), (7, 1), (-2, -4) ªÀÄvÀÄÛ (7, 0)

(v) (3, -5), (-5, -4), (7, 10) ªÀÄvÀÄÛ (15, 9)

7. PÉ¼ÀV£À ©AzÀÄUÀ¼À£ÀÄß PÀæªÀÄ§zÀÝªÁV vÉUÉzÀÄPÉÆAqÀgÉ ªÀeÁæPÀÈwAiÀÄ ±ÀÈAUÀUÀ¼À£ÀÄß GAlÄªÀiÁqÀÄvÀÛªÉ JAzÀÄ vÉÆÃj¹.

(i) (0, 0), (3, 4), (0, 8) ªÀÄvÀÄÛ (-3, 4) (ii) (-4, -7), (-1, 2), (8, 5) ªÀÄvÀÄÛ (5, -4)

(iii) (1, 0), (5, 3), (2, 7) ªÀÄvÀÄÛ (-2, 4) (iv) (2, -3), (6, 5), (-2, 1) ªÀÄvÀÄÛ (-6, -7)

(v) (15, 20), (-3, 12), (-11, -6) ªÀÄvÀÄÛ (7, 2)

116


¸ÀÛç

8. PÉ¼ÀV£À ©AzÀÄUÀ¼À£ÀÄß PÀæªÀÄ§zÀÝªÁV vÉUÉzÀÄPÉÆAqÀgÉ EªÀÅ ªÀUÀðªÀ£ÀÄß GAlÄªÀiÁqÀÄvÀÛªÉAiÉÄÃ JA§ÄzÀ£ÀÄß ¥ÀjÃQë¹.

(i) (0, -1), (2, 1), (0, 3) ªÀÄvÀÄÛ (-2, 1) (ii) (5, 2), (1, 5), (-2, 1) ªÀÄvÀÄÛ (2, -2)

(iii) (3, 2), (0, 5), (-3, 2) ªÀÄvÀÄÛ (0, -1) (iv) (12, 9), (20, -6), (5, -14) ªÀÄvÀÄÛ (-3, 1)

(v) (-1, 2), (1, 0), (3, 2) ªÀÄvÀÄÛ (1, 4)9. PÉ¼ÀV£À ©AzÀÄUÀ¼À£ÀÄß PÀæªÀÄ§zÀÝªÁV vÉUÉzÀÄPÉÆAqÀgÉ EªÀÅ DAiÀÄvÀªÀ£ÀÄß GAlÄªÀiÁqÀÄvÀÛªÉAiÉÄÃ JA§ÄzÀ£ÀÄß

¥ÀjÃQë¹.

(i) (8, 3), (0, -1), (-2, 3) ªÀÄvÀÄÛ (6, 7) (ii) (-1, 1), (0, 0), (3, 3) ªÀÄvÀÄÛ (2, 4)

(iii) (-3, 0), (1, -2), (5, 6) ªÀÄvÀÄÛ (1, 8)

10. ( , )x 7 ªÀÄvÀÄÛ (1, 15) ©AzÀÄUÀ¼À £ÀqÀÄ«£À CAvÀgÀªÀÅ 10 DzÀgÉ, x £ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.

11. (4, 1) ©AzÀÄªÀÅ (-10, 6) ªÀÄvÀÄÛ (9, -13) ©AzÀÄUÀ½AzÀ ¸ÀªÀÄzÀÆgÀzÀ°èzÉ JAzÀÄ vÉÆÃj¹j.

12. (2, 3) ªÀÄvÀÄÛ (-6, -5) JA§ JgÀqÀÄ ©AzÀÄUÀ¼ÀÄ ( , )x y ©AzÀÄ«¤AzÀ ¸ÀªÀÄzÀÆgÀzÀ°èzÀÝgÉ, 3 0x y+ + = JAzÀÄ vÉÆÃj¹j.

13. (2, -6) ªÀÄvÀÄÛ (2, y) CAvÀå©AzÀÄUÀ¼À£ÀÄß ºÉÆA¢gÀÄªÀ gÉÃSÁRAqÀzÀ GzÀÝªÀÅ 4 DzÀgÉ, y £ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.

14. PÉ¼ÀV£À ±ÀÈAUÀUÀ¼À£ÀÄß ºÉÆA¢gÀÄªÀ wæ¨sÀÄdzÀ ¥Àj¢üAiÀÄ£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.

(i) (0, 8), (6, 0) ªÀÄvÀÄÛ ªÀÄÆ®©AzÀÄ ; (ii) (9, 3), (1, -3) ªÀÄvÀÄÛ ªÀÄÆ®©AzÀÄ.

15. (-5, 2) ªÀÄvÀÄÛ (9, -2) ©AzÀÄUÀ½AzÀ ¸ÀªÀÄzÀÆgÀzÀ°ègÀÄªÀ y-CPÀëzÀ ªÉÄÃ°gÀÄªÀ ©AzÀÄªÀ£ÀÄß

PÀAqÀÄ»r¬Äj. (¸ÀÄ½ªÀÅ: y- CPÀëzÀ ªÉÄ°gÀÄªÀ ©AzÀÄ«£À x-¤zÉÃð±ÀPÀªÀÅ ¸ÉÆ£Éß DVgÀÄvÀÛzÉ.)16. ( -5, 6) ©AzÀÄ«£À ªÀÄÆ®PÀ ºÁzÀÄºÉÆÃUÀÄªÀ ªÀÄvÀÄÛ PÉÃAzÀæ (3, 2) £ÀÄß ºÉÆA¢gÀÄªÀ ªÀÈvÀÛzÀ wædåªÀ£ÀÄß

PÀAqÀÄ»r¬Äj.

17. (0, -5), (4, 3) ªÀÄvÀÄÛ (-4, -3) ©AzÀÄUÀ¼ÀÄ wædå 5 gÉÆA¢UÉ ªÀÄÆ®©AzÀÄ«£À°è PÉÃA¢æÃPÀÈvÀªÁVgÀÄªÀ ªÀÈvÀÛzÀ ªÉÄÃ°ªÉ JAzÀÄ ¸Á¢ü¹.

18. avÀæ 5.20 gÀ°è, PB AiÀÄÄ A (4,3) ©AzÀÄ«¤AzÀ J¼ÉzÀ ®A§RAqÀªÁVzÉ.

PA = PB DzÀgÉ, B £À ¤zÉÃð±ÀPÀUÀ¼ÀÀ£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.

19. A (2, 0), B (5, -5), C (8, 0) ªÀÄvÀÄÛ D (5, 5) ±ÀÈAUÀUÀ¼À£ÀÄß ºÉÆA¢gÀÄªÀ ABCD ªÀeÁæPÀÈwAiÀÄ «¹ÛÃtðªÀ£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj. [¸ÀÄ½ªÀÅ: ABCD ªÀeÁæPÀÈwAiÀÄ «¹ÛÃtð = d d

21

1 2 ]

20. (1, 5), (5, 8) ªÀÄvÀÄÛ (13, 14) ±ÀÈAUÀUÀ½AzÁzÀ wæ¨sÀÄdªÀ£ÀÄß J¼ÉAiÀÄ§ºÀÄzÉÃ? PÁgÀt w½¹.

21. wædå 17 ªÀiÁ£ÀUÀ¼À£ÀÄß ºÉÆA¢gÀÄªÀ ªÀÈvÀÛzÀ PÉÃAzÀæªÀÅ ªÀÄÆ®©AzÀÄªÁzÀgÉ, CPÀëUÀ¼À°ègÀzÀ ªÀÈvÀÛzÀ ªÉÄÃ°gÀÄªÀ

AiÀiÁªÀÅzÁzÀgÀÆ £Á®ÄÌ ©AzÀÄUÀ¼À ¤zÉÃð±ÀPÀUÀ¼À£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj. (¥ÉÊxÁUÉÆÃgÀ¸À£À wæªÀ½AiÀÄ£ÀÄß

G¥ÀAiÉÆÃV¹)

avÀæ 5.20

O

A(4, 3)

B

P x

y

xl

yl

117


UÀtÂvÀ±Á

¸ÀÛç

22. (3, 1), (2, 2) ªÀÄvÀÄÛ (1, 1) ±ÀÈAUÀUÀ½AzÀ GAmÁUÀÄªÀ wæ¨sÀÄdzÀ ¥ÀjPÉÃAzÀæªÀÅ (2, 1) JAzÀÄ vÉÆÃj¹j.

23. (1, 0), (0, -1) ªÀÄvÀÄÛ ,21

23-c m ±ÀÈAUÀUÀ½AzÀ GAmÁUÀÄªÀ wæ¨sÀÄdzÀ ¥ÀjPÉÃAzÀæªÀÅ

ªÀÄÆ®©AzÀÄªÁVzÉ JAzÀÄ vÉÆÃj¹j.

24. A(6, 1), B(8, 2), C(9, 4) ªÀÄvÀÄÛ D(p, 3) ©AzÀÄUÀ¼À£ÀÄß PÀæªÀÄ§zÀÝªÁV ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀÄ¨sÀÄðdzÀ

±ÀÈAUÀUÀ¼ÉAzÀÄ vÉUÉzÀÄPÉÆAqÀgÉ, CAvÀgÀ ÀÆvÀæªÀ£ÀÄß G¥ÀAiÉÆÃV¹PÉÆAqÀÄ p £À É¯ÉAiÀÄ£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.

25. ªÀÄÆ®©AzÀÄªÀ£ÀÄß PÉÃAzÀæªÀ£ÁßV ºÉÆA¢gÀÄªÀ ªÀÈvÀÛzÀ wædåªÀÅ 10 ªÀiÁ£ÀUÀ¼ÀÄ. ªÀÈvÀÛªÀÅ CPÀëUÀ¼À£ÀÄß

bÉÃ¢¸ÀÄªÀ ©AzÀÄ«£À ¤zÉÃð±ÀPÀUÀ¼À£ÀÄß §gÉ¬Äj. F jÃwAiÀÄ AiÀiÁªÀÅzÁzÀgÀÆ JgÀqÀÄ ©AzÀÄUÀ¼À

£ÀqÀÄ«£À CAvÀgÀªÀ£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.

C¨sÁå¸À 5.3§ºÀÄ DAiÉÄÌ ªÀiÁzÀj ¥Àæ±ÉßUÀ¼ÀÄ.

1. (–2,7) ©AzÀÄªÀÅ EgÀÄªÀ ZÀvÀÄxÁðAPÀªÀÅ

(a) I (B) II (C) III (D) IV

2. x < 0 DVgÀÄªÁUÀ (x,0) ©AzÀÄªÀÅ EzÀgÀ ªÉÄÃ¯É EgÀÄªÀÅzÀÄ

(a) OX (B) OY (C) OXl (D) OY l

3. a (a,b) ©AzÀÄªÀÅ III £ÉÃ ZÀvÀÄxÁðAPÀzÀ°èzÀÝgÉ,

(a) a > 0, b < 0 (B) a < 0, b < 0 (C) a > 0, b > 0 (D) a < 0, b > 0

4. (1,0) (0,1) (–1,0) ªÀÄvÀÄÛ (0,–1) ©AzÀÄUÀ½AzÀ GAmÁUÀÄªÀ ªÀUÀðzÀ PÀtðzÀ GzÀÝªÀÅ

(a) 2 (B) 4 (C) 2 (D) 8

5. A (–5,0), B (5,0) ªÀÄvÀÄÛ C (0,6) ©AzÀÄUÀ¼À£ÀÄß ¸ÉÃj¹zÁUÀ ¥ÀqÉAiÀÄÄªÀ wæ¨sÀÄdªÀÅ

(a) ¸ÀªÀÄ¢é¨ÁºÀÄ wæ¨sÀÄd (B) ®A§PÉÆÃ£À wæ¨sÀÄd

(C) C¸ÀªÀÄ¨ÁºÀÄ wæ¨sÀÄd (D) ¸ÀªÀÄ¨ÁºÀÄ wæ¨sÀÄd

6. (0,8) ªÀÄvÀÄÛ (0,–2) ©AzÀÄUÀ¼À £ÀqÀÄ«£À CAvÀgÀªÀÅ

(a) 6 (B) 100 (C) 36 (D) 10

7. (4,1), (–2,1), (7,1) ªÀÄvÀÄÛ (10,1) ©AzÀÄUÀ¼ÀÄ

(a) x- CPÀëzÀ ªÉÄÃ°gÀÄvÀÛªÉ (B) x- CPÀëPÉÌ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀªÁVgÀÄªÀ gÉÃSÉAiÀÄ ªÉÄÃ°ªÉ

(C) y- CPÀëPÉÌ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀªÁVgÀÄªÀ gÉÃSÉAiÀÄ ªÉÄÃ°ªÉ (D) y- CPÀëzÀ ªÉÄÃ°gÀÄvÀÛªÉ

8. (a, b) ªÀÄvÀÄÛ (–a, –b) ©AzÀÄUÀ¼À £ÀqÀÄ«£À CAvÀgÀªÀÅ

(a) 2a (B) 2b (C) 2a + 2b (D) a b2 2 2+

118


¸ÀÛç


9. (p, q) ©AzÀÄªÀÅ (–4, 0) ªÀÄvÀÄÛ (4,0) ©AzÀÄUÀ½AzÀ ¸ÀªÀÄzÀÆgÀzÀ°èzÀÝgÉ, p ªÀÄvÀÄÛ q UÀ¼À £ÀqÀÄ«£À ¸ÀA§AzsÀªÀÅ

(a) p = 0 (B) q = 0 (C) p + q = 0 (D) p + q = 8

10. HzsÁéðAPÀ –5 gÉÆA¢UÉ y-CPÀëzÀ ªÉÄÃ°gÀÄªÀ ©AzÀÄªÀÅ

(a) (0, –5) (B) (–5, 0) (C) (5, 0) (D) (0, 5)

� MAzÀÄ ¸ÀªÀÄvÀ®zÀ°è MAzÀÄ ©AzÀÄ«£À ¸ÁÜ£ÀªÀ£ÀÄß UÀÄgÀÄw¸À®Ä JgÀqÀÄ ®A§gÉÃSÉUÀ¼ÀÄ CUÀvÀåªÁVªÉ.

� DAiÀÄvÁPÁgÀ ¤zÉÃð±ÀPÀ ªÀåªÀ¸ÉÜAiÀÄ°è MAzÀÄ gÉÃSÉAiÀÄÄ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀªÁV ªÀÄvÀÄÛ E£ÉÆßAzÀÄ gÉÃSÉAiÀÄÄ

®A§ªÁV EgÀÄvÀÛzÉ.

� F JgÀqÀÄ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ªÀÄvÀÄÛ ®A§gÉÃSÉUÀ¼À£ÀÄß ¤zÉÃð±ÀPÀ CPÀëUÀ¼ÀÄ JAzÀÄ PÀgÉAiÀÄÄvÉÛÃªÉ. (x-CPÀë ªÀÄvÀÄÛ y-CPÀë)

� x-CPÀë ªÀÄvÀÄÛ y-CPÀëUÀ¼À bÉÃzÀ£Á ©AzÀÄªÀ£ÀÄß (0, 0) ¤zÉÃð±ÀPÀªÀ£ÀÄß ºÉÆA¢gÀÄªÀ ªÀÄÆ® (PÉÃAzÀæ) ©AzÀÄ J£ÀÄßvÉÛÃªÉ.

� y-CPÀë¢AzÀ MAzÀÄ ©AzÀÄ«£À zÀÆgÀªÀÅ x-¤zÉÃð±ÀPÀ CxÀªÁ QëweÁAPÀªÁVzÉ ªÀÄvÀÄÛ x-CPÀë¢AzÀ MAzÀÄ ©AzÀÄ«£À zÀÆgÀªÀÅ y-¤zÉÃð±ÀPÀ CxÀªÁ HzsÁéðAPÀªÁVzÉ.

� x-CPÀëzÀ°ègÀÄªÀ ©AzÀÄUÀ¼À y-¤zÉÃð±ÀPÀªÀÅ ¸ÉÆ£Éß DVzÉ.

� y-CPÀëzÀ°ègÀÄªÀ ©AzÀÄUÀ¼À x-¤zÉÃð±ÀPÀªÀÅ ¸ÉÆ£Éß DVzÉ.

� CqÀØgÉÃSÉUÀ¼À ªÉÄÃ°gÀÄªÀ ©AzÀÄUÀ¼À y-¤zÉÃð±ÀPÀªÀÅ ¸ÀªÀÄ£ÁVgÀÄvÀÛªÉ.

� ®A§gÉÃSÉUÀ¼À ªÉÄÃ°gÀÄªÀ ©AzÀÄUÀ¼À x-¤zÉÃð±ÀPÀªÀÅ ¸ÀªÀÄ£ÁVgÀÄvÀÛªÉ.

� x1 ªÀÄvÀÄÛ x2 UÀ¼ÀÄ x-CPÀëzÀ ªÉÄÃ°gÀÄªÀ JgÀqÀÄ ©AzÀÄUÀ¼À x-¤zÉÃð±ÀPÀUÀ¼ÁzÀgÉ, EªÀÅUÀ¼À £ÀqÀÄ«£À CAvÀgÀªÀÅ x x1 2- DVzÉ.

� y1 ªÀÄvÀÄÛ y2 UÀ¼ÀÄ y-CPÀëzÀ ªÉÄÃ°gÀÄªÀ JgÀqÀÄ ©AzÀÄUÀ¼À y-¤zÉÃð±ÀPÀUÀ¼ÁzÀgÉ, EªÀÅUÀ¼À £ÀqÀÄ«£À CAvÀgÀªÀÅ y y1 2- DVzÉ.

� ( , )x y1 1 ªÀÄvÀÄÛ ªÀÄÆ® ©AzÀÄ«£À £ÀqÀÄ«£À CAvÀgÀªÀÅ x y12

12

+ DVzÉ.

� ( , )x y1 1 ªÀÄvÀÄÛ ( , )x y2 2 JA§ JgÀqÀÄ ©AzÀÄUÀ¼À £ÀqÀÄ«£À CAvÀgÀªÀÅ ( ) ( )x x y y2 12

2 12

- + - DVzÉ.

119


UÀtÂvÀ±Á

¸ÀÛç

ZÀlÄªÀnPÉ 3

ZÀlÄªÀnPÉ 2

UÁæ¥sï ºÁ¼ÉAiÀÄ°è (1, 1), (3, 1) ªÀÄvÀÄÛ (3, 4) ©AzÀÄUÀ¼À£ÀÄß UÀÄgÀÄw¹ ºÁUÀÆ wæ¨sÀÄdªÀ£ÀÄß gÀa¸À®Ä

CªÀÅUÀ¼À£ÀÄß ¸ÉÃj¹. PÉ¼ÀV£ÀªÀÅUÀ¼À ªÀÄÆ®PÀªÁV avÀæzÀ PÀ£ÀßrAiÀÄ ¥Àæw©A§ªÀ£ÀÄß J¼É¬Äj.

(i) x-CPÀëzÀ ªÀÄÆ®PÀªÁV (ii) y-CPÀëzÀ ªÀÄÆ®PÀªÁV

PÀ£Àßr ¥Àæw©A§UÀ¼À ¤zÉÃð±ÀPÀUÀ¼À°è ¤ÃªÀÅ UÀªÀÄ¤¹zÀ §zÀ¯ÁªÀuÉUÀ¼À£ÀÄß ¥ÀnÖªÀiÁrj.

A(4, 5), B(4, 2) ªÀÄvÀÄÛ C(–2, 2) ©AzÀÄUÀ¼À£ÀÄß UÁæ¥sï ºÁ¼ÉAiÀÄ°è UÀÄgÀÄw¹ ºÁUÀÆ wæ¨sÀÄdUÀ¼À£ÀÄß

gÀa¸À®Ä CªÀÅUÀ¼À£ÀÄß ¸ÉÃj¹j. D(1, 2) ªÀÄvÀÄÛ E(1, 3.5) ©AzÀÄUÀ¼À£ÀÄß UÀÄgÀÄw¹. AD ªÀÄvÀÄÛ BE ¸ÉÃj¹j. JgÀqÀÄ gÉÃSÉUÀ¼ÀÄ G(2, 3) gÀ°è bÉÃ¢¸ÀÄvÀÛªÉAiÉÄÃ JA§ÄzÀ£ÀÄß ¥ÀjÃQë¹. G(2, 3) ©AzÀÄªÀÅ

wæ¨sÀÄdzÀ UÀÄgÀÄvÀéPÉÃAzÀæªÁVzÉ ªÀÄvÀÄÛ AD, BE gÉÃSÉUÀ¼ÀÄ wæ¨sÀÄdzÀ ªÀÄzsÀågÉÃSÉUÀ¼ÁVªÉ. CAvÀgÀ ÀÆvÀæªÀ£ÀÄß

§¼À¹PÉÆAqÀÄ, AG ªÀÄvÀÄÛ GD UÀ¼À GzÀÝUÀ¼À£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj. AG: = 2:1 DVgÀÄªÀÅzÀ£ÀÄß £ÉÆÃrj.

PÉÆnÖgÀÄªÀ ©AzÀÄUÀ¼À£ÀÄß UÁæ¥sï ºÁ¼ÉAiÀÄ°è UÀÄgÀÄw¹j: (2, 0), (–2, 0), (–6, 0), (6, 0), (2, 4), (2,–4), (–2, 4),

(–2, –4), (0, 8) ªÀÄvÀÄÛ (0, –8). avÀæzÀ°ègÀÄªÀ DPÀÈwAiÀÄ£ÀÄß ¥ÀqÉAiÀÄ®Ä ©AzÀÄUÀ¼À£ÀÄß ¸ÉÃj¹j.

F DPÀÈwAiÀÄ°è JµÀÄÖ wæ¨sÀÄdUÀ¼ÀÄ, ®A§PÉÆÃ£À

wæ¨sÀÄdUÀ¼ÀÄ, ZËPÀUÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ DAiÀÄvÀUÀ½ªÉ JA§ÄzÀ£ÀÄß

PÀAqÀÄ»r¬Äj.

F avÀæªÀ£ÀÄß ¥ÀæwAiÉÆAzÀÄ gÉÃSÁRAqÀzÀ ªÀÄÆ®PÀ

¤RgÀªÁV MAzÀÄ ¨Áj ªÀiÁvÀæ ºÁzÀÄºÉÆÃUÀÄªÀAvÉ ¤gÀAvÀgÀ

ªÀPÀæªÁV ¤ÃªÀÅ §gÉAiÀÄ§ºÀÄzÉÃ?

¤ªÀÄä ¸ÀéAvÀ GzÁºÀgÀuÉUÀ¼ÉÆA¢UÉ, EzÀ£ÀÄß ¥ÀæAiÀÄwß¹j.

ZÀlÄªÀnPÉ 1

120


¸ÀÛç

ZÀlÄªÀnPÉ 4

GvÀÛgÀUÀ¼ÀÄ

C¨sÁå¸À 5.1 1. (i) vÀ¥ÀÄà (ii) ¸Àj (iii) ¸Àj (iv) vÀ¥ÀÄà (v) ¸Àj (vi) vÀ¥ÀÄà (vii) ¸Àj (viii) ¸Àj

(ix) vÀ¥ÀÄà (x) ¸Àj

2. (i) I (ii) III (iii) x- CPÀëzÀ ªÉÄÃ¯É (iv) III (v) y- CPÀëzÀ ªÉÄÃ¯É

(vi) y- CPÀëzÀ ªÉÄÃ¯É (vii) IV (viii) ªÀÄÆ®©AzÀÄ (ix) I (x) II

3. (i) –7 (ii) 3 (iii) 8 (iv) –5

4. (i) 5 (ii) 9 (iii) 8 (iv) –4 5. y-CPÀëPÉÌ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀªÁVzÉ 6. x-CPÀëPÉÌ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀªÁVzÉ 7. y- CPÀë

8. ABCD JA§ÄzÀÄ MAzÀÄ ZËPÀ 9. (0,4) 11. (4,3)

C¨sÁå¸À 5.21. (i) 202 (ii) 4 5 (iii) 29 (iv) 2 2 (v) 5 2 (vi) 1 (vii) 5

(viii) 15 (ix) 18 (x) 74 10. 7, –5 13. –10, –2 14. (i) 24 (ii) 10 4 10+

15. (0,–7) 16. 4 5 18. (4,–3) 19. 30 20. E®è. ©AzÀÄUÀ¼ÀÄ KPÀgÉÃSÁUÀvÀªÁVªÉ.

21. (8,–15) (–8,–15) (–8,15)(8, 15) 24.11, 7 25. 20

C¨sÁå¸À 5.31. B 2. C 3. B 4. a 5. a 6. D 7. B 8. D 9. a 10. a

PÉ¼ÀUÉ PÉÆnÖgÀÄªÀ ©AzÀÄUÀ¼À£ÀÄß UÁæ¥sï ºÁ¼ÉAiÀÄ°è UÀÄgÀÄw¹ ºÁUÀÆ CªÀÅUÀ¼À£ÀÄß PÉÆnÖgÀÄªÀ PÀæªÀÄzÀ°è ÉÃj¹j:

(4, 4), (0, 0), (–3, 0), (–2, 2), (4, 4), (–3, 7), (–4, 11), (0, 10), (4, 4), (3, 9), (5, 11),

(6, 9), (4,4), (8, 9), (11, 8), (10, 6), (4, 4), (12, 4), (14, 2), (11, 0), (4, 4), (8, –2),

(7, –5), (4, –3), (4, 4), (–1, –11), (–4, –6), (–7, –5), (–6, –8), (–1, –11), (1, –16),

(4, –11), (8, –10), (7, –13), (1, –16), (3, –21).

¤ÃªÀÅ K£À£ÀÄß £ÉÆÃqÀÄwÛÃj?

121

¥ÁæAiÉÆÃVPÀ gÉÃSÁUÀtÂvÀ

UÀtÂvÀ±Á

¸ÀÛç

6.1 ¦ÃpPÉ (Introduction) gÉÃSÁUÀtÂvÀzÀ ªÀÄÆ®¨sÀÆvÀ vÀvÀéUÀ¼ÀÄ ©AzÀÄUÀ¼ÀÄ, gÉÃSÉUÀ¼ÀÄ

ªÀÄvÀÄÛ EvÀgÉ avÀæUÀ¼À UÀÄt®PÀëtUÀ¼À£ÀÄß PÀÄjvÀÄ CxÉÊð¸ÀÄvÀÛªÉ. ¥ÁæAiÉÆÃVPÀ

gÉÃSÁUÀtÂvÀªÀÅ eÁå«ÄwAiÀÄ avÀæUÀ¼À£ÀÄß gÀa¸À®Ä gÉÃSÁUÀtÂvÀzÀ

¤AiÀÄªÀÄUÀ¼À£ÀÄß C£Àé¬Ä¸ÀÄªÀ «zsÁ£ÀªÁVzÉ. gÉÃSÁUÀtÂvÀzÀ°è “gÀZÀ£É” JA§ÄzÀgÀ CxÀðªÀÅ DPÁgÀUÀ¼ÀÄ, PÉÆÃ£ÀUÀ¼ÀÄ CxÀªÁ gÉÃSÉUÀ¼À£ÀÄß

¤RgÀªÁV J¼ÉAiÀÄÄªÀÅzÁVzÉ. gÉÃSÁUÀtÂwÃAiÀÄ gÀZÀ£ÉUÀ¼À£ÀÄß “J°ªÉÄAmïì” JA§ AiÀÄÆQèqï£À ¥ÀÄ¸ÀÛPÀzÀ°è «ªÀgÀªÁV ZÀað¸À¯ÁVzÉ. DzÀÝjAzÀ

F gÀZÀ£ÉUÀ¼À£ÀÄß AiÀÄÆQèqï£À gÀZÀ£ÉUÀ¼ÀÄ JAzÀÆ ¸ÀºÀ PÀgÉAiÀÄÄvÁÛgÉ.

F gÀZÀ£ÉUÀ¼ÀÄ PÉÊªÁgÀ ªÀÄvÀÄÛ £ÉÃgÀ CAZÀ£ÀÄß (C¼ÀvÉ¥ÀnÖAiÀÄ£ÀÄß) ªÀiÁvÀæ

§¼À¸ÀÄvÀÛªÉ. PÉÊªÁgÀªÀÅ ÀªÀiÁ£À CAvÀgÀªÀ£ÀÄß ÀÈ¶Ö¸ÀÄvÀÛzÉ ªÀÄvÀÄÛ C¼ÀvÉ¥ÀnÖAiÀÄÄ

KPÀgÉÃSÁUÀvÀªÀ£ÀÄß ¸ÀÈ¶Ö¸ÀÄvÀÛzÉ. J¯Áè eÁå«ÄwAiÀÄ gÀZÀ£ÉUÀ¼ÀÄ F JgÀq ÀÄ

¥ÀjPÀ®à£ÉUÀ¼À£ÀÄß CzsÀj¹ªÉ.

CzsÁåAiÀÄ 2 gÀ°è vÉÆÃj¹gÀÄªÀAvÉ £ÉÃgÀ CAZÀÄ ªÀÄvÀÄÛ

PÉÊªÁgÀªÀ£ÀÄß §¼À¹ sÁUÀ®§Þ ªÀÄvÀÄÛ C¨sÁUÀ®§Þ ÀASÉåUÀ¼À£ÀÄß gÀa¸ÀÄªÀÅzÀÄ

¸ÁzsÀåªÁVzÉ. 1913gÀ°è ¨sÁgÀvÀzÀ ªÉÄÃzsÁ« UÀtÂvÀ±Á¸ÀÛçdÕgÁzÀ

gÁªÀiÁ£ÀÄd£ïgÀªÀgÀÄ 355113 r= UÉ eÁå«ÄwAiÀÄ gÀZÀ£ÉAiÀÄ£ÀÄß

¤ÃrzÁÝgÉ. EAzÀÄ ¤RgÀªÁzÀ C¼ÀvÉUÀ¼À°è £ÀªÀÄä J¯Áè CAvÀUÀðvÀ

PË±À®åUÀ¼ÉÆA¢UÉ, ²RgÀªÀ£ÀÄß ªÀÄÄlÄÖªÀAvÉ gÉÃSÉUÀ¼À£ÀÄß J¼ÉzÁUÀ

¸ÀÄgÀAUÀªÀ£ÀÄß ¤«Äð¸ÀÄªÀÅzÀÄ UÀªÀÄ£ÁºÀðªÁzÀ ®PÀëtªÁVzÉ. ¥ÀÆtð

ZËPÀzÀ ªÀÄÆ¯É¬ÄAzÀ DgÀA¨sÀªÁVgÀÄªÀ gÉÃSÉUÀ¼À£ÀÄß MAzÀÄ ¤¢ðµÀÖ

PÉÆÃ£ÀPÉÌ Kj¹ ªÀÄvÀÄÛ £ÀÆgÁgÀÄ CrUÀ¼À ªÉÄÃ¯É MAzÀÄ ©AzÀÄ«UÉ

AiÀÄ±À¹éAiÀiÁV vÀgÀÄªÀÅzÀÄ JµÉÆÖAzÀÄ CzÀÄãvÀªÁVzÉ! EzÀÄ ¦gÀ«ÄrØ£À

PÀlÖqÀzÀ CxÀðªÀ£ÀÄß ¤ÃqÀÄvÀÛzÉ.

● ¥ÀjPÉÃAzÀæªÀ£ÀÄß gÀa¸ÀÄªÀÅzÀÄ.

● ®A§PÉÃAzÀæªÀ£ÀÄß gÀa¸ÀÄªÀÅzÀÄ.


¹é ï zÉÃ±ÀzÀ UÀtÂvÀ±Á ÀÛçdÕgÁzÀ

°AiÉÆÃ£Áqïð DAiÀÄègï 18£ÉÃ

±ÀvÀªÀiÁ£ÀzÀ°è fÃ«¹zÀÝgÀÄ. DAiÀÄègï

CªÀjVAvÀ ªÉÆzÀ®Ä CxÀªÁ £ÀAvÀgÀ

ÉÃgÉ AiÀiÁªÀÅzÉÃ UÀtÂvÀ±Á ÀÛçdÕjVAvÀ

ºÉZÀÄÑ ªÉÊeÁÕ¤PÀ §gÀºÀUÀ¼À£ÀÄß §gÉ¢zÁÝgÉÉ.

DAiÀÄègïUÉ UÀtÂvÀªÀÅ zÉÃªÀgÀÄ ÀÈ¶×¹zÀ

£ÀªÀÄä ¥Àæ¥ÀAZÀzÀ UÀÆqÁxÀðªÀ£ÀÄß w½AiÀÄÄªÀ

MAzÀÄ ¸ÁzsÀ£ÀªÁVzÉ. ¥ÀæwAiÉÆAzÀÄ ºÉÆ À

C£ÉéÃµÀuÉ¬ÄAzÀ, vÁ£ÀÄ ¥ÀæPÀÈwAiÀÄ£ÀÄß

CxÀðªÀiÁrPÉÆ¼Àî®Ä ºÉZÀÄÑ ºÀwÛgÀ §gÀÄwÛzÉÝÃ£É.

ªÀÄvÀÄÛ ºÁUÉ ªÀiÁqÀÄªÀÅzÀjAzÀ zÉÃªÀgÀ£ÀÄß ÀºÀ

CxÀð ªÀiÁrPÉÆ¼Àî§ºÀÄzÉAzÀÄ w½¢zÀÝgÀÄ. ¥Àj¥ÀÆtðªÁVzÉ JAzÀÄ ¥ÀjUÀtÂ À®àlÖ

AiÀÄÆQèrAiÀÄ£ï gÉÃSÁUÀtÂvÀzÀ®Æè

ÀºÀ DAiÀÄègï ºÉÆ À ¥ÀæªÉÄÃAiÀÄªÀ£ÀÄß

PÀAqÀÄ»rzÀgÀÄ. D ¥ÀæªÉÄÃAiÀÄzÀ MAzÀÄ ®WÀÄ

«ªÀgÀuÉ F jÃw EzÉ.

MAzÀÄ wæ sÀÄdzÀ ªÀÄÆgÀÄ O£ÀßvÀåUÀ¼ÀÄ H JA§ MAzÀÄ ©AzÀÄ«£À°è ÀA¢ü ÀÄvÀÛªÉ ªÀÄvÀÄÛ ªÀÄÆgÀÄ ®A¨ÁzsÀðPÀ

gÉÃSÉUÀ¼ÀÄ M JA§ ©AzÀÄ«£À°è ÀA¢ ÀÄvÀÛªÉ. H ªÀÄvÀÄÛ M £ÀqÀÄ«£À

gÉÃSÉAiÀÄ ªÀÄzsÀåzÀ°ègÀÄªÀ E JA§ ©AzÀÄªÀÅ ªÀÈvÀÛzÀ PÉÃAzÀæªÁVgÀÄvÀÛzÉ. CzÀgÀ ªÉÄÃ É wæ sÀÄdzÉÆA¢UÉ J¯Áè O£ÀßvÀåUÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ ®A¨ÁzsÀðPÀUÀ¼ÀÄ CAvÀ sÁðUÀUÀ¼ÁVªÉ. F ªÀÈvÀÛªÀ£ÀÄß 9 ©AzÀÄUÀ¼À ªÀÈvÀÛ JAzÀÄ PÀgÉAiÀÄÄvÉÛÃªÉ.

°AiÉÆÃ£Áqïð DAiÀÄègï(leonhard euler)

1707 - 1783

a

B C

M He

Mc

Ma

Mb

Hc

Hb

Ha

¥Áæ æAiÉÆÃVPÀ gÉÃSÁUÀtÂvÀ6

122


¸ÀÛç

VIII £ÉÃ vÀgÀUÀwAiÀÄ°è PÉÆnÖgÀÄªÀ C¼ÀvÉUÀ¼ÉÆA¢UÉ wæ¨sÀÄdUÀ¼À£ÀÄß gÀa¸ÀÄªÀÅzÀ£ÀÄß £ÁªÀÅ PÀ°wzÉÝÃªÉ. F

CzsÁåAiÀÄzÀ°è wæ¨sÀÄdzÀ ¥ÀjPÉÃAzÀæ ªÀÄvÀÄÛ ®A§PÉÃAzÀæªÀ£ÀÄß gÀa¸ÀÄªÀÅzÀ£ÀÄß £ÁªÀÅ PÀ°AiÀÄ°zÉÝÃªÉ.

6.2 wæ¨sÀÄdUÀ¼À°è£À «±ÉÃµÀ gÉÃSÁRAqÀUÀ¼ÀÄ (Special line segments within Triangles) ªÉÆzÀ®Ä £ÁªÀÅ

(i) PÉÆnÖgÀÄªÀ gÉÃSÁRAqÀPÉÌ ®A¨ÁzsÀðPÀªÀ£ÀÄß

(ii) PÉÆnÖgÀÄªÀ gÉÃSÉUÉ ¨ÁºÀå©AzÀÄ«¤AzÀ ®A§ªÀ£ÀÄß

UÀÄgÀÄw¸ÀÄªÀÅzÀ£ÀÄß ªÀÄvÀÄÛ gÀa¸ÀÄªÀÅzÀ£ÀÄß PÀ°AiÉÆÃt.

6.2.1 PÉÆnÖgÀÄªÀ gÉÃSÁRAqÀzÀ ®A¨ÁzsÀðPÀªÀ£ÀÄß gÀa¸ÀÄªÀÅzÀÄ

ºÀAvÀ 1 : PÉÆnÖgÀÄªÀ AB gÉÃSÁRAqÀªÀ£ÀÄß J¼É¬Äj.

ºÀAvÀ 2 : gÉÃSÁRAqÀzÀ JgÀqÀÄ CAvÀå ©AzÀÄUÀ¼ÁzÀ A ªÀÄvÀÄÛ B UÀ¼À£ÀÄß

PÉÃAzÀæªÁVlÄÖPÉÆAqÀÄ ªÀÄvÀÄÛ gÉÃSÁRAqÀzÀ GzÀÝzÀ CzsÀðQÌAvÀ

ºÉZÀÄÑ ¨sÁUÀªÀ£ÀÄß wædåªÁVlÄÖPÉÆAqÀÄ gÉÃSÁRAqÀzÀ JgÀqÀÆ

§¢UÀ¼À°è PÀA¸ÀUÀ¼À£ÀÄß C ªÀÄvÀÄÛ D AiÀÄ°è bÉÃ¢¸ÀÄªÀAvÉ J¼É¬Äj.

ºÀAvÀ 3 : PÉÆnÖgÀÄªÀ gÉÃSÁRAqÀ AB UÉ ®A¨ÁzsÀðPÀªÀ£ÀÄß ¥ÀqÉAiÀÄ®Ä C ªÀÄvÀÄÛ

D UÀ¼À£ÀÄß ¸ÉÃj¹j.

¥ÀæªÀÄÄR ¥ÀjPÀ®à£É ®A¨ÁzsÀðPÀ

PÉÆnÖgÀÄªÀ gÉÃSÁRAqÀzÀ ªÀÄzsÀå©AzÀÄ«£À ªÀÄÆ®PÀ ®A§ªÁV J¼ÉzÀ gÉÃSÉAiÀÄ£ÀÄß

gÉÃSÁRAqÀzÀ ®A¨ÁzsÀðPÀ J£ÀÄßvÁÛgÉ.

a B

a B

C

D

a B

C

D

M

123


UÀtÂvÀ±Á

¸ÀÛç

6.2.2 PÉÆnÖgÀÄªÀ gÉÃSÉUÉ ¨ÁºÀå ©AzÀÄ«¤AzÀ ®A§ªÀ£ÀÄß gÀa¸ÀÄªÀÅzÀÄ (Construction of Perpendicular from an External Point to a given line)

ºÀAvÀ 1 : PÉÆnÖgÀÄªÀ AB gÉÃSÉAiÀÄ£ÀÄß J¼É¬Äj ªÀÄvÀÄÛ PÉÆnÖgÀÄªÀ

¨ÁºÀå ©AzÀÄ C £ÀÄß UÀÄgÀÄw¹j.

ºÀAvÀ 2 : C £ÀÄß PÉÃAzÀæªÁVlÄÖPÉÆAqÀÄ ªÀÄvÀÄÛ AiÀiÁªÀÅzÉÃ ÀÆPÀÛªÁzÀ

wædå¢AzÀ PÉÆnÖgÀÄªÀ gÉÃSÉAiÀÄ£ÀÄß PÀvÀÛj¸À®Ä P ªÀÄvÀÄÛ Q

JA§ JgÀqÀÄ ©AzÀÄUÀ¼À°è PÀA¸ÀUÀ¼À£ÀÄß J¼É¬Äj.

ºÀAvÀ 3 : P ªÀÄvÀÄÛ Q UÀ¼À£ÀÄß PÉÃAzÀæUÀ¼ÁVlÄÖPÉÆAqÀÄ ªÀÄvÀÄÛ F

©AzÀÄUÀ¼À £ÀqÀÄ«£À CAvÀgÀzÀ CzsÀðQÌAvÀ ºÉZÀÄÑ ¨sÁUÀªÀ£ÀÄß

wædåªÁVlÄÖPÉÆAqÀÄ JgÀqÀÄ PÀA¸ÀUÀ¼À£ÀÄß ¥ÀgÀ¸ÀàgÀ E £À°è

bÉÃ¢ü¸ÀÄªÀAvÉ J¼É¬Äj.

ºÀAvÀ 4 : ¨ÉÃPÁzÀ ®A§gÉÃSÉAiÀÄ£ÀÄß ¥ÀqÉAiÀÄ®Ä C ªÀÄvÀÄÛ E UÀ¼À£ÀÄß

¸ÉÃj¹j.

¥ÀæªÀÄÄR ¥ÀjPÀ®à£ É O£ÀßvÀå

MAzÀÄ wæ¨sÀÄdzÀ°è O£ÀßvÀå JA§ÄzÀÄ wæ¨sÀÄdzÀ

±ÀÈAUÀ¢AzÀ CzÀgÀ C©üªÀÄÄR ¨ÁºÀÄ«UÉ ®A§ªÁV

J¼ÉzÀ gÉÃSÁRAqÀªÁVzÉ.

A B

C

QP

e

A

C

QP

e

BD

A

C

B

C

A BP Q

A

C

QP

e

BD

O£À ßv À å

124


¸ÀÛç

6.3 wæ¨sÀÄdzÀ ¸ÀAUÀªÀÄ²Ã®vÉAiÀÄ ©AzÀÄUÀ¼ÀÄ (The Points of Concurrency of a Triangle)

®A¨ÁzsÀðPÀ ªÀÄvÀÄÛ O£ÀvÀåªÀ£ÀÄß ºÉÃUÉ J¼ÉAiÀÄ¨ÉÃPÉA§ÄzÀ£ÀÄß £ÁªÀÅ ªÉÆzÀ¯ÉÃ PÀ°wgÀÄªÀAvÉ, FUÀ £ÁªÀÅ

PÉÆnÖgÀÄªÀ wæ¨sÀÄdzÀ ¥ÀjPÉÃAzÀæ ªÀÄvÀÄÛ ®A§PÉÃAzÀæUÀ¼À£ÀÄß UÀÄgÀÄw¸ÀÄªÀÅzÀ£ÀÄß PÀ°AiÉÆÃt.

6.3.1 wæ¨sÀÄdzÀ ¥ÀjPÉÃAzÀæªÀ£ÀÄß gÀa¸ÀÄªÀÅzÀÄ (Construction of the Circumcentre of a Triangle)

¥ÀæªÀÄÄR ¥ÀjPÀ®à£É ¥ÀjPÉÃAzÀæ

wæ¨sÀÄdzÀ ¨ÁºÀÄUÀ¼À ®A¨ÁzsÀðPÀUÀ¼À ¸ÀAUÀªÀÄ²Ã®vÉAiÀÄ

©AzÀÄªÀ£ÀÄß ¥ÀjPÉÃAzÀæ J£ÀÄßvÁÛgÉ ªÀÄvÀÄÛ EzÀ£ÀÄß

¸ÁªÀiÁ£ÀåªÁV S ¤AzÀ ¸ÀÆa¸ÀÄvÉÛÃªÉ.

¥ÀjªÀÈvÀÛ (Circumcircle)

S (¥ÀjPÉÃAzÀæªÀ£ÀÄß) PÉÃAzÀæªÁVlÄÖPÉÆAqÀÄ ªÀÄvÀÄÛ wæ¨sÀÄdzÀ J¯Áè ªÀÄÆgÀÄ ±ÀÈAUÀUÀ¼À ªÀÄÆ®PÀ

ºÁzÀÄºÉÆÃUÀÄªÀAvÉ J¼ÉzÀ ªÀÈvÀÛªÀ£ÀÄß ¥ÀjªÀÈvÀÛ J£ÀÄßvÁÛgÉ.

¥Àjwædå (Circumradius)

¥ÀjªÀÈvÀÛzÀ wædåªÀ£ÀÄß wæ¨sÀÄdzÀ ¥Àjwædå J£ÀÄßvÁÛgÉ. E£ÉÆßAzÀÄ jÃwAiÀÄ°è ºÉÃ¼ÀÄªÀÅzÁzÀgÉ, ¥ÀjPÉÃAzÀæ S

ªÀÄvÀÄÛ wæ¨sÀÄdzÀ AiÀiÁªÀÅzÉÃ ±ÀÈAUÀzÀ £ÀqÀÄ«£À CAvÀgÀªÀÅ ¥ÀjwædåªÁVgÀÄvÀÛzÉ.

A

C

B

S

¥Àjwædå

S

Cir

cum

circ

le

¥ÀjPÉÃAzÀæ

125


UÀtÂvÀ±Á

¸ÀÛç

GzÁºÀgÀuÉ 6.1

AB = 5 ¸ÉA.«ÄÃ., 70A+ = c ªÀÄvÀÄÛ 60B+ = c C¼ÀvÉAiÉÆA¢UÉ ABCD AiÀÄ ¥ÀjPÉÃAzÀæªÀ£ÀÄß gÀa¹j ºÁUÀÆ ¥ÀjªÀÈvÀÛªÀ£ÀÄß J¼É¬Äj ªÀÄvÀÄÛ ABCD AiÀÄ ¥ÀjwædåªÀ£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.

¥ÀjºÁgÀ

ºÀAvÀ 1 : PÉÆnÖgÀÄªÀ C¼ÀvÉUÀ¼ÉÆA¢UÉ

ABCD AiÀÄ£ÀÄß gÀa¹j.

.

ºÀAvÀ 2 : AiÀiÁªÀÅzÉÃ JgÀqÀÄ ¨ÁºÀÄUÀ¼À (AC

ªÀÄvÀÄÛ BC) ®A¨ÁzsÀðPÀªÀÀ£ÀÄß gÀa¹j

ªÀÄvÀÄÛ CªÀÅUÀ¼ÀÄ S £À°è ¸ÀA¢ü¸À°.

CzÀÄ ¥ÀjPÉÃAzÀæªÁVgÀÄvÀÛzÉ.

ºÀAvÀ 3 : S £ÀÄß PÉÃAzÀæªÁVlÄÖPÉÆAqÀÄ

ªÀÄvÀÄÛ SA = SB = SC wædå¢AzÀ A, B ªÀÄvÀÄÛ C UÀ¼À ªÀÄÆ®PÀ ºÁzÀÄºÉÆÃUÀÄªÀAvÉ

¥ÀjªÀÈvÀÛªÀ£ÀÄß J¼É¬Äj.

¥Àjwædå = 3. 2 ¸ÉA.«ÄÃ.

C

5cm70c 06 c

A B

PÀgÀqÀÄ gÉÃSÁavÀæ

A

70o

60o

C

B5cm

A

70o

60o

C

B

S

5cm

A

70o

60o

C

B

S

3.2

cm

5cm

126


¸ÀÛç

1. ®WÀÄPÉÆÃ£À wæ¨sÀÄdzÀ ¥ÀjPÉÃAzÀæªÀÅ wæ¨sÀÄdzÀ M¼À¨sÁUÀzÀ°è EgÀÄvÀÛzÉ.

2. ®A§PÉÆÃ£À wæ¨sÀÄdzÀ ¥ÀjPÉÃAzÀæªÀÅ CzÀgÀ «PÀtðzÀ ªÀÄzsÀå©AzÀÄ«£À°ègÀÄvÀÛzÉ.

3. «±Á®PÉÆÃ£À wæ¨sÀÄdzÀ ¥ÀjPÉÃAzÀæªÀÅ wæ¨sÀÄdzÀ ºÉÆgÀ¨sÁUÀzÀ°è EgÀÄvÀÛzÉ.

C¨sÁå¸À 6.11. PQ = 5 ¸ÉA.«ÄÃ., 100P+ = c ªÀÄvÀÄÛ PR = 5 ¸ÉA.«ÄÃ. EgÀÄªÀ PQRD £ÀÄß gÀa¹j ªÀÄvÀÄÛ CzÀgÀ

¥ÀjªÀÈvÀÛªÀ£ÀÄß J¼É¬Äj.

2. PÉ¼ÀV£ÀªÀÅUÀ½UÉ ¥ÀjªÀÈvÀÛªÀ£ÀÄß J¼É¬Äj.

(i) 6 ¸ÉA.«ÄÃ. ¨ÁºÀÄ«gÀÄªÀ MAzÀÄ ¸ÀªÀÄ¨ÁºÀÄ wæ¨sÀÄd

(ii) ¸ÀªÀÄ¨ÁºÀÄUÀ¼À GzÀÝªÀÅ 5 ¸ÉA.«ÄÃ. DVgÀÄªÀ MAzÀÄ ¸ÀªÀÄ¢é¨ÁºÀÄ wæ¨sÀÄd.

3. AB =7 ¸ÉA.«ÄÃ., BC =8 ¸ÉA.«ÄÃ. ªÀÄvÀÄÛ 60B+ = c EgÀÄªÀ ABCD AiÀÄ£ÀÄß gÀa¹j ªÀÄvÀÄÛ CzÀgÀ

¥ÀjPÉÃAzÀæªÀ£ÀÄß UÀÄgÀÄw¹. 4. 4.5 ÉA.«ÄÃ., 6 ÉA.«ÄÃ. ªÀÄvÀÄÛ 7.5 ÉA.«ÄÃ. ÁºÀÄUÀ½gÀÄªÀ ®A§PÉÆÃ£À wæ¨sÀÄdªÀ£ÀÄß gÀa¹j ºÁUÀÆ

CzÀgÀ ¥ÀjPÉÃAzÀæªÀ£ÀÄß UÀÄgÀÄw¹.

6.3.2 wæ¨sÀÄdzÀ ®A§PÉÃAzÀæªÀ£ÀÄß gÀa¸ÀÄªÀÅzÀÄ (Construction of the Orthocentre of a Triangle)

¥ÀæªÀÄÄR ¥ÀjPÀ®à£É ®A§PÉÃAzÀæ

wæ¨s ÀÄdzÀ O£ÀßvÀåUÀ¼À ¸ÀAUÀªÀÄ²Ã®vÉAiÀÄ ©AzÀÄªÀ£ÀÄß

wæ¨s ÀÄdzÀ ®A§PÉÃAzÀæ J£ÀÄßvÁÛgÉ ªÀÄvÀÄ Û EzÀ£ÀÄß

¸ÁªÀiÁ£ÀåªÁV H ¤AzÀ ¸ÀÆa¸ÀÄvÁÛgÉ.

GzÁºÀgÀuÉ 6.2

AB = 6 ¸ÉA.«ÄÃ., BC=4 ¸ÉA.«ÄÃ. ªÀÄvÀÄÛ AC = 5.5 ¸ÉA.«ÄÃ. DVgÀÄªÀ

ABCD AiÀÄ£ÀÄß gÀa¹j ªÀÄvÀÄÛ CzÀgÀ ®A§PÉÃAzÀæªÀ£ÀÄß UÀÄgÀÄw¹.

¥ÀjºÁgÀ

ºÀAvÀ 1 : PÉÆnÖgÀÄªÀ C¼ÀvÉUÀ¼ÉÆA¢UÉ

ABCD AiÀÄ£ÀÄß gÀa¹j.

UÀªÀÄ¤¹j

C

6cmA B

4cm

5.5 m

PÀgÀqÀÄ gÉÃSÁavÀæ

A B

C

6cm

5.5cm 4

cm

H

a

B C

127


UÀtÂvÀ±Á

¸ÀÛç

A B

C

H

6cm

5.5cm 4

cm

ºÀAvÀ 2 : AiÀiÁªÀÅzÉÃ JgÀqÀÄ ±ÀÈAUÀUÀ½AzÀ (A ªÀÄvÀÄÛ C)

CªÀÅUÀ¼À C©üªÀÄÄR ¨ÁºÀÄUÀ½UÉ ( PÀæªÀÄªÁV

BC ªÀÄvÀÄÛ AB) O£ÀßvÀåUÀ¼À£ÀÄß gÀa¹j.

O£ÀßvÀåUÀ¼À bÉÃzÀ£Á ©AzÀÄ H JA§ÄzÀÄ PÉÆnÖgÀÄªÀ

ABCD AiÀÄ ®A§PÉÃAzÀæªÁVzÉ.

1. MAzÀÄ wæ¨sÀÄdzÀ°è ªÀÄÆgÀÄ O£ÀßvÀåUÀ¼À£ÀÄß J¼ÉAiÀÄ§ºÀÄzÀÄ.

2. ®WÀÄPÉÆÃ£À wæ¨sÀÄdzÀ ®A§PÉÃAzÀæªÀÅ wæ¨sÀÄdzÀ M¼À¨sÁUÀzÀ°è EgÀÄvÀÛzÉ.

3. ®A§PÉÆÃ£À wæ¨sÀÄdzÀ ®A§PÉÃAzÀæªÀÅ ®A§PÉÆÃ£ÀzÀ ±ÀÈAUÀªÁVzÉ.

4. «±Á®PÉÆÃ£À wæ¨sÀÄdzÀ ®A§PÉÃAzÀæªÀÅ wæ¨sÀÄdzÀ ºÉÆgÀ¨sÁUÀzÀ°è EgÀÄvÀÛzÉ.

C¨sÁå¸À 6.2

1. aB = 8 ¸ÉA.«ÄÃ., BC = 7 ¸ÉA.«ÄÃ. ªÀÄvÀÄÛ aC = 5 ¸ÉA.«ÄÃ. ¨ÁºÀÄUÀ¼À C¼ÀvÉAiÉÆA¢UÉ ABCD

AiÀÄ£ÀÄß gÀa¹j ªÀÄvÀÄÛ CzÀgÀ ®A§PÉÃAzÀæªÀ£ÀÄß UÀÄgÀÄw¹.

2. LM =7 ÉA.«ÄÃ., 130M+ = c ªÀÄvÀÄÛ MN = 6 ÉA.«ÄÃ. EgÀÄªÀ ,LMND £À ®A§PÉÃAzÀæªÀ£ÀÄß gÀa¹j.

3. 6 ÉA.«ÄÃ. ÁºÀÄ«gÀÄªÀ MAzÀÄ ÀªÀÄ¨ÁºÀÄ wæ¨sÀÄdªÀ£ÀÄß gÀa¹j ªÀÄvÀÄÛ CzÀgÀ ®A§PÉÃAzÀæªÀ£ÀÄß UÀÄgÀÄw¹.

4. Q £À°è ®A§PÉÆÃ£À«gÀÄªÀ ªÀÄvÀÄÛ PQ = 4.5 ¸ÉA.«ÄÃ., rS = 6 ¸ÉA.«ÄÃ. DVgÀÄªÀ PQr ®A§PÉÆÃ£À

wæ¨sÀÄdªÀ£ÀÄß gÀa¹j ªÀÄvÀÄÛ ®A§PÉÃAzÀæªÀ£ÀÄß UÀÄgÀÄw¹.

5. aB = BC = 6 ÉA.«ÄÃ. ªÀÄvÀÄÛ 0B 8+ = c AiÉÆA¢UÉ aBC ÀªÀÄ¢é¨ÁºÀÄ wæ¨sÀÄdªÀ£ÀÄß gÀa¹j ªÀÄvÀÄÛ

CzÀgÀ ®A§PÉÃAzÀæªÀ£ÀÄß UÀÄgÀÄw¹.

GzÉÝÃ±À : ºÁ¼ÉAiÀÄ ªÀÄqÀZÀÄ«PÉAiÀÄ£ÀÄß §¼À¹PÉÆAqÀÄ gÉÃSÁRAqÀzÀ ªÀÄzsÀå©AzÀÄªÀ£ÀÄß PÀAqÀÄ»rAiÀÄÄªÀÅzÀÄ.

QæAiÀiÁ«zsÁ£À : MAzÀÄ ºÁ¼ÉAiÀÄ£ÀÄß ªÀÄqÀZÀÄªÀÅzÀjAzÀ MAzÀÄ gÉÃSÁRAqÀªÀ£ÀÄß ¸ÀÈ¶Ö¹PÉÆ½î ªÀÄvÀÄÛ

CzÀ£ÀÄß PQ JAzÀÄ ºÉ¸Àj¹. P AiÀÄÄ Q £À ªÉÄÃ¯É §gÀÄªÀAvÉ PQ gÉÃSÁRAqÀªÀ£ÀÄß

ªÀÄqÀaj. ªÀÄqÀZÀÄªÀÅzÀjAzÀ GAmÁzÀ UÉgÉ ªÀÄvÀÄÛ gÉÃSÁRAqÀªÀÅ bÉÃ¢¸ÀÄªÀ ©AzÀÄªÀ£ÀÄß

M JAzÀÄ UÀÄwð¹. M JA§ÄzÀÄ PQ £À ªÀÄzsÀå©AzÀÄªÁVzÉ.

UÀªÀÄ¤¹j

ZÀlÄªÀnPÉ 1

128


¸ÀÛç

ZÀlÄªÀnPÉ 5

ZÀlÄªÀnPÉ 4

ZÀlÄªÀnPÉ 3

GzÉÝÃ±À : ºÁ¼ÉAiÀÄ ªÀÄqÀZÀÄ«PÉAiÀÄ£ÀÄß §¼À¹PÉÆAqÀÄ MAzÀÄ gÉÃSÁRAqÀzÀ ®A¨ÁzsÀðPÀªÀ£ÀÄß

gÀa¸ÀÄªÀÅzÀÄ. QæAiÀiÁ«zsÁ£À : MAzÀÄ ºÁ¼ÉAiÀÄ£ÀÄß ªÀÄqÀZÀÄªÀÅzÀjAzÀ MAzÀÄ gÉÃSÁRAqÀªÀ£ÀÄß ÀÈ¶Ö¹PÉÆ½î ªÀÄvÀÄÛ CzÀ£ÀÄß

PQ JAzÀÄ ºÉ¸Àj¹. P AiÀÄÄ Q £À ªÉÄÃ¯É §gÀÄªÀAvÉ PQ gÉÃSÁRAqÀªÀ£ÀÄß ªÀÄqÀaj

ªÀÄvÀÄÛ EzÀjAzÀ RS UÉgÉAiÀÄÄ GAmÁUÀÄvÀÛzÉ. RS UÉgÉAiÀÄÄ PQ £À ®A¨ÁzsÀðPÀªÁVzÉ.

GzÉÝÃ±À : ºÁ¼ÉAiÀÄ ªÀÄqÀZÀÄ«PÉAiÀÄ£ÀÄß §¼À¹PÉÆAqÀÄ MAzÀÄ gÉÃSÁRAqÀPÉÌ MAzÀÄ ÁºÀå ©AzÀÄ«£À ªÀÄÆ®PÀªÁV ®A§ªÀ£ÀÄß gÀa¸ÀÄªÀÅzÀÄ.

QæAiÀiÁ«zsÁ£À : MAzÀÄ gÉÃSÁRAqÀ AB AiÀÄ£ÀÄß J¼É¬Äj ªÀÄvÀÄÛ MAzÀÄ ¨ÁºÀå ©AzÀÄ P £ÀÄß UÀÄgÀÄw¹. B £ÀÄß BA £À ªÀÄÆ®PÀªÁV, ªÀÄqÀZÀÄ«PÉAiÀÄÄ P ªÀÄÆ®PÀ ºÁzÀÄºÉÆÃUÀÄªÀªÀgÉUÉ ZÀ°¸ÀÄªÀAvÉ ªÀiÁr ªÀÄvÀÄÛ EzÀ£ÀÄß UÉgÉAiÀÄAvÉ J¼É¬Äj. EzÀjAzÀ GAmÁzÀ UÉgÉAiÀÄÄ AB UÉ ¨ÁºÀå ©AzÀÄ P £À ªÀÄÆ®PÀªÁV ®A§ªÁVzÉ.

GzÉÝÃ±À : ºÁ¼ÉAiÀÄ ªÀÄqÀZÀÄ«PÉAiÀÄ£ÀÄß §¼À¹PÉÆAqÀÄ MAzÀÄ wæ¨sÀÄdzÀ ¥ÀjPÉÃAzÀæªÀ£ÀÄß UÀÄgÀÄw¸ÀÄªÀÅzÀÄ.

QæAiÀiÁ«zsÁ£À : ZÀlÄªÀnPÉ 2 £ÀÄß §¼À¹PÉÆAqÀÄ, PÉÆnÖgÀÄªÀ wæ¨sÀÄdzÀ AiÀiÁªÀÅzÉÃ JgÀqÀÄ ¨ÁºÀÄUÀ½UÉ

®A¨ÁzsÀðPÀUÀ¼À£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj. F ®A¨ÁzsÀðPÀUÀ¼À ÀA¢ü¸ÀÄªÀ ©AzÀÄªÀÅ PÉÆnÖgÀÄªÀ

wæ¨sÀÄdzÀ ¥ÀjPÉÃAzÀæªÁVzÉ.

GzÉÝÃ±À : ºÁ¼ÉAiÀÄ ªÀÄqÀZÀÄ«PÉAiÀÄ£ÀÄß §¼À¹PÉÆAqÀÄ MAzÀÄ wæ¨sÀÄdzÀ ®A§PÉÃAzÀæªÀ£ÀÄß UÀÄgÀÄw¸ÀÄªÀÅzÀÄ.

QæAiÀiÁ«zsÁ£À : ZÀlÄªÀnPÉ 3 £ÀÄß §¼À¹PÉÆAqÀÄ, wæ¨sÀÄdzÀ AiÀiÁªÀÅzÉÃ JgÀqÀÄ ±ÀÈAUÀUÀ¼À£ÀÄß ¨ÁºÀå

©AzÀÄUÀ¼À£ÁßV vÉUÉzÀÄPÉÆAqÀÄ C©üªÀÄÄR ÁºÀÄUÀ½UÉ ®A§UÀ¼À£ÀÄß gÀa¹j. F ®A§UÀ¼À

bÉÃzÀ£Á ©AzÀÄªÀÅ PÉÆnÖgÀÄªÀ wæ¨sÀÄdzÀ ®A§PÉÃAzÀæªÁVzÉ.

ZÀlÄªÀnPÉ 2

129


UÀtÂvÀ±Á

¸ÀÛçUÀt

ÂvÀ±Á¸ÀÛç

130

UÀtÂvÀ±Á

¸ÀÛç

standard 09 i maths km

Documents