standar kompetensi - wahyu...
TRANSCRIPT
STANDAR KOMPETENSI Menggunakan aturan suku banyak dalam penyelesaian masalah
Menggunakan teorema sisa dan teorema faktor dalam pemecahan masalah
KOMPETENSI DASAR
INDIKATOR Menentukan faktor, akar-akar serta jumlah
dan hasil kali akar-akar persamaan suku
banyak.
Jika f(x) adalah suku banyak,
Maka (x – k) merupakan
faktor dari P(x);
jika dan hanya jika P(k) = 0
Teorema Faktor
Artinya: 1. Jika (x – k) merupakan
faktor, maka nilai P(k) = 0,
2. jika P(k) = 0 maka (x – k)
merupakan faktor
Contoh 1:
Tunjukan (x + 1) faktor dari
x3 + 4x2 + 2x – 1
Jawab:
(x + 1) faktornya, berarti P(-1) = 0
P(-1) = (-1)3 + 4(-1)2 + 2(-1) – 1
= -1 + 4 – 2 – 1 = 0
Jadi, (x + 1) adalah faktornya.
Cara lain untuk menunjukan
(x + 1) adalah faktor dari
x3 + 4x2 + 2x – 1 adalah dengan
pembagian horner:
1 4 2 -1 koefisien
-1
1
-1 3
-3 -1
1
0 P(-1) = 0
berarti (x + 1)
faktornya artinya dikali (-1)
Suku banyak +
Contoh 2:
Tentukan faktor-faktor dari
P(x) = 2x3 – x2 – 7x + 6
Jawab:
Misalkan faktornya (x – k), maka
nilai k yang mungkin adalah
pembagi bulat dari 6, yaitu
pembagi bulat dari 6 ada 8
yaitu: ±1, ±2, ±3, dan ±6.
Nilai-nilai k itu kita substitusikan
ke P(x), misalnya k = 1
diperoleh:
P(1) = 2.13 – 1.12 – 7.1 + 6
= 2 – 1 – 7 + 6
= 0
Oleh karena P(1) = 0, maka
(x – 1) adalah salah satu faktor
dari P(x) = 2x3 – x2 -7x + 6
Untuk mencari faktor yang lain,
kita tentukan hasil bagi P(x)
oleh (x – 1) dengan
pembagian horner:
Koefisien sukubanyak
P(x) = 2x3 – x2 – 7x + 6
adalah
2 -1 -7 6
k = 1
Hasil baginya: H(x) = 2x2 + x - 6
+
2
2
1
1
-6
-6 0
Koefisien hasil bagi
Karena hasil baginya adalah
H(x) = 2x2 + x – 6 = (2x – 3)(x + 2)
dengan demikian
2x3 – x – 7x + 6 = (x – 1)(2x2 + x – 6)
2x3 – x – 7x + 6 = (x – 1)(2x – 3)(x + 2)
Jadi faktor-faktornya adalah
(x – 1), (2x – 3 ) dan (x + 2)
Contoh 3:
Diketahui (x – 2) adalah faktor
P(x) = 2x3 + x2 + ax - 6.
Salah satu faktor yang lainnya adalah…. a. x + 3 b. x – 3 c. x – 1 d. 2x – 3 e. 2x + 3
Jawab:
Kita tentukan terlebih dahulu
koefisien x2 yaitu a = ?
Jika (x – 2) faktornya P(x) maka
P(2) = 0
2.23 + 22 + 2a - 6 = 0
16 + 4 + 2a - 6 = 0 2a + 14 = 0
2a = -14 a = -7
P(x) = 2x3 + x2 - 7x - 6
berarti koefisien P(x) adalah
2 1 -7 -6
k = 2
Hasil baginya: H(x) = 2x2 + 5x + 3
= (2x + 3)(x + 1)
Jadi faktor yang lain adalah 2x + 3
+ 2
4
5
10
3
6
0 Koefisien hasil bagi
Contoh 4:
Sukubanyak f(x) = x3 - ax2 + bx – 2
mempunyai faktor (x – 1). Jika dibagi
oleh (x + 2) bersisa -36, maka nilai
a + b adalah….
a. 5 b. 6 c. 7 d.8 e.9
Jawab:
Sukubanyak f(x) = x3 - ax2 + bx – 2
(x – 1) faktor f(x) → f(1) = 0
1 – a + b – 2 = 0
-a + b = 1….(1)
dibagi (x + 2) bersisa -36, f(-2) = -36
(-2)3 – a(-2)2 + b(-2) – 2 = -36
(-2)3 – a(-2)2 + b(-2) – 2 = -36
- 8 – 4a – 2b – 2 = -36
- 4a – 2b = -36 + 10
-4a – 2b = -26
2a + b = 13….(2)
Persamaan (1): -a + b = 1
Persamaan (2): 2a + b = 13
-3a = -12
a = 4
b = 1 + 4 = 5
Jadi nilai a + b = 4 + 5 = 9
Salah satu penggunaan teorema
faktor adalah mencari akar-akar
sebuah persamaan sukubanyak,
karena ada hubungan antara
faktor dengan akar-akar
persamaan sukubanyak
Akar-akar persamaan Suku banyak
Jika P(x) adalah sukubanyak;
(x – k) merupakan faktor dari
P(x)
jika dan hanya jika k akar dari
persamaan P(k) = 0
k disebut akar atau nilai nol
dari persamaan sukubanyak:
P(x) = 0
Teorema Akar-akar Rasional
Jika
P(x) =anxn + an-1x
n-1 + …+ a1x + ao
dan
(x – k) merupakan faktor dari P(x)
maka
n
0
a daribulat
a daribulat
faktor
faktork
Contoh 1:
Tunjukan -3 adalah salah satu
akar dari x3 – 7x + 6. Kemudian
tentukan akar-akar yang lain.
Jawab:
Untuk menunjukan -3 akar dari
P(x), cukup kita tunjukan bahwa
P(-3) = 0
P(x) = x3 – 7x + 6.
P(-3) = (-3)3 – 7(-3) + 6
= -27 + 21 + 6
= 0
Oleh karena P(-3) = 0, maka -3 adalah akar
dari Persamaan
P(x) = x3 – 7x + 6 = 0
Untuk menentukan akar-akar yang lain,
kita tentukan terlebih dahulu hasil bagi
P(x) = x3 – 7x + 6 dengan x + 3
dengan pembagian Horner sebagai berikut
P(x) = x3 – 7x + 6
berarti koefisien P(x) adalah
1 0 -7 6
k = -3
Hasil baginya: H(x) = x2 – 3x + 2
=(x – 1)(x – 2)
+ 1
-3 -3
9 2
-6 0
Koefisien hasil bagi
Hasil baginya: H(x) = x2 – 3x + 2
= (x – 1)(x – 2)
sehingga persamaan suku banyak
tsb dapat ditulis menjadi:
(x + 3)(x – 1)(x – 2) = 0.
Jadi akar-akar yang lain
adalah x = 1 dan x = 2
Contoh 2:
Banyaknya akar-akar rasional
dari persamaan x4 – 3x2 + 2 = 0
adalah….
a. 4 b. 3 c. 2 d.1 e.o
Jawab:
Karena persamaan suku banyak berderajat 4,
maka akar-akar rasionalnya paling banyak ada
4 yaitu faktor-faktor bulat dari 2. Faktor-faktor
bulat dari 2 adalah 1, -1, 2 dan -2
Dari 4 kemungkinan yang akan menjadi akar-
akar rasional persamaan sukubanyak tsb,
kita coba nilai 1
Koefisien x4 – 3x2 + 6 = 0
adalah 1, 0, -3, 0, dan 6
1 0 -3 0 2
k = 1
Ternyata P(1) = 0, berarti
1 adalah akar rasionalnya,
Selanjutnya kita coba -1.
Koefisien hasil bagi: 1,1,-2, dan -2
+ 1
1
1 1 -2
-2 0 -2 -2
1 1 -2 -2
k = -1
Ternyata P(-1) = 0, berarti
-1 adalah akar rasionalnya,
Sehingga:
(x – 1)(x + 1)(x2 – 2) = 0
+ 1
-1
0 0 -2
2
0
(x – 1)(x + 1)(x2 – 2) = 0
(x2 – 2) difaktorkan lagi menjadi
(x - √2)(x + √2) = 0
Berarti akar yang lain: √2 dan -√2,
tapi bukan bilangan rasional.
Jadi akar-akar rasionalnya hanya
ada 2 yaitu 1 dan -1.
Jika akar-akar Persamaan Suku banyak:
ax3 + bx2 + cx + d = 0
adalah x1, x2, dan x3 maka
x1 + x2 + x3 =
x1.x2 + x1.x3 + x2.x3 =
x1.x2.x3 =
a
b
a
c
a
d
Jumlah & Hasil Kali Akar-akar
Persamaan Suku banyak
Contoh 1:
Jumlah akar-akar persamaan
x3 – 3x2 + 2 = 0 adalah….
Jawab:
a = 1, b = -3, c = 0, d = 2
x1 + x2 + x3 =
=
a
b
1
3- = 3
Contoh 2:
Hasilkali akar-akar persamaan
2x3 – x2 + 5x – 8 = 0 adalah….
Jawab:
a = 2, b = -1, c = 5, d = -8
x1.x2.x3 =
=
a
d
4
2
8-
Contoh 3:
Salah satu akar persamaan x3 + px2 – 3x – 10 = 0
adalah -2. Jumlah akar-akar persamaan tersebut
adalah….
Jawab:
-2 adalah akar persamaan
x3 + px2 – 3x - 10 = 0 → -2 memenuhi persamaan.
Sehingga:
(-2)3 + p(-2)2 – 3(-2) – 10 = 0
-8 + 4p + 6 – 10 = 0
-8 + 4p + 6 – 10 = 0
4p – 12 = 0 4p = 12 p = 3
Persamaan tersebut:
x3 + 3x2 – 3x – 10 = 0
Jumlah akar-akarnya:
x1 + x2 + x3 =
a
b
31
3
Contoh 4:
Akar-akar persamaan x3 – 4x2 + x – 4 = 0
adalah x1, x2, dan x3. Nilai x12 + x2
2 + x32 =….
Jawab:
x12 + x2
2 + x32 =
(x1 + x2 + x3)2 – 2(x1x2 + x1x3 + x2x3)
x3 – 4x2 + x – 4 = 0
x1 + x2 + x3 = -(-4)/1 = 4
x1x2 + x1x3 + x2x3 = 1/1 = 1
x1 + x2 + x3 = 4
x1x2 + x1x3 + x2x3 = 1
Jadi:
x12 + x2
2 + x32 =
(x1 + x2 + x3)2 – 2(x1x2 + x1x3 + x2x3)
= 42 – 2.1
= 16 – 2
= 14
• 1001 Soal Matematika, Erlangga
• PSB-SMA Matematika, www.psb-psma.org
• Matematika Dasar, Wilson Simangunsong
Referensi