stahlbau grundlagen - das elastische biegetorsionsproblem 2. ordnung dünnwandiger stäbe

Stahlbau Grundlagen

Das elastische Biegetorsionsproblem 2. Ordnung

dünnwandiger Stäbe

Prof. Dr.-Ing. Uwe E. Dorka

Leitbauwerk Halle

Hallenrahmen als Haupttragsystem mit Lasten

Ein möglicher Grenzzustand ist das Biegedrillknicken

2Prof. Dr.-Ing. Dorka | Fachgebiet Stahl- & Verbundbau

Einführender Versuch

Der Träger weicht plötzlich aus und

verdreht sich unter vertikaler

Biegung: Er „drillknickt“.

Daran beteiligt ist die sogenannte


Daran beteiligt ist die sogenannte

„Wölbkrafttorsion“.

P

P/4

P/4

P/4

Normalkraft

Biegung um z-Achse

Illustration der Wölbkrafttorsion

4

P/4

P/4

P/4

P/4

P/4

Biegung um y-Achse

Wölbkrafttorsion

Verdrehung und Verwölbung

Prof. Dr.-Ing. Dorka | Fachgebiet Stahl- & Verbundbau

Schnittgrößenkombination und Normalspannungen

Normalspannung: ω

ω

σ = + ⋅ − ⋅ + ⋅ ωyx zx

y z

M MN Mz y

A I I I


Kinematik der Faser

Geometrie und Bezeichnung an einem allgemeinen dünnwandigen Querschnitt


M – Schubmittelpunkt

S – Schwerpunkt

dA – infiniteseminales Flächenenelement

u – Verschiebung des Flächenelements in x-Richtung

v – Verschiebung des Flächenelements in y-Richtung

w – Verschiebung des Flächenelements in z-Richtung

ϑ – Verdrehung um den Schubmittelpunkt

Ausgangszustand an einem beliebigen Querschnitt ohne Verformung

Gleichgewicht am verformten System


M – Schubmittelpunkt

S – Schwerpunkt

dA – infiniteseminales Flächenenelement

u – Verschiebung des Flächenelements in x-Richtung

v – Verschiebung des Flächenelements in y-Richtung

w – Verschiebung des Flächenelements in z-Richtung

ϑ – Verdrehung um den Schubmittelpunkt


Abtriebskräfte an der Faser aus

Verschiebung in y - Richtung

( )′ ′ ′= = −σ ⋅ ⋅ + σ ⋅ ⋅ + −

′′= σ ⋅ ⋅∑ el

y y

el

y

F dA v dA v dv dp

dp dA v

0

Abtriebskräfte an der Faser

aus Verschiebung in z - Richtung


( ) ( )( ) ( )′′ ′′= = −σ ⋅ ⋅ ⋅ − + σ ⋅ ⋅ ⋅ − −

′′ ′′= −σ ⋅ ⋅ ⋅ − − ⋅ −

∑ el

x A M A M T

T A M A M

M dA v z z dA w y y dm

dm dA v z z w y y

0

Abtriebskräfte an der Faser um den Schubmittelpunkt

( )′ ′ ′= = −σ ⋅ ⋅ + σ ⋅ ⋅ + −

′′= σ ⋅ ⋅∑ el

z z

el

z

F dA w dA w dw dp

dp dA w

0

aus Verschiebung in z - Richtung

( )

′′= = ⋅ σ ⋅

′′ ′′= σ ⋅ − − ⋅ ϑ ⋅

∫ ∫

∫

el el

y y

M M

A

p dp v dA

v z z dA

′′= = ⋅ σ ⋅∫ ∫el el

z zp dp w dA

Abtriebskräfte am Querschnitt

Integration der elastischen Abtriebskräfte:


( )

′′= = ⋅ σ ⋅

′′ ′′= σ ⋅ + − ⋅ ϑ ⋅

∫ ∫

∫

z z

M M

A

p dp w dA

w y y dA

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( )

′′ ′′= − = σ ⋅ ⋅ − − ⋅ − ⋅

′′ ′′= − σ ⋅ − ⋅ − − ⋅

′′− − + − ⋅ ϑ ⋅

∫ ∫

∫

el el

T T M M

M M M M

M M

m dm v z z w y y dA

z z v y y w

z z y y dA2 2


( )′′ ′′ ′′= − − ⋅ ϑM Mv v z z

( )′′ ′′ ′′= + − ⋅ ϑM Mw w y y

Ersetzen von σ durch Schnittgrößen und Integration über den Querschnitt

liefert die elastischen Abtriebskräfte:

( ) ( )′ ′′

′ ′− = − ⋅ − ⋅ ϑ + ⋅ ϑ el

z x M M zp N w y M


( ) ( )′ ′′

′ ′− = − ⋅ − ⋅ ϑ + ⋅ ϑ el

z M M zp N w y M

( ) ( )′′′

′ ′− = − ⋅ + ⋅ ϑ + ⋅ ϑ el

y M M yp N v z M

( ) ( ) ( ) ( )′′′ ′′ ′′

′ ′− = − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ −el

T M M M M y M z Mm N z v N y w M v M w


( ) ( )

ωω

= − + −

= ⋅ = + +

= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ω ⋅ ⋅

∫

∫ ∫ ∫y z

M M M

M M p M M

M M M M M M

z y

r y y z z

i r dA i y zA

r y r dA r z r dA r r dAI I I

2 2

2 2 2 2 2

2 2 2

1

1 1 1

mit folgenden Querschnittswerten:

ω

= ⋅

= ω ⋅

∫

∫

z

A

A

J y dA

J dA

2

2

=

= ⋅

∫

∫A

y

A

A dA

J z dA2

( ) ( ) ( ) ( )

( )ωω

′ ′− = − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ −

′− ϑ ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ z y

T M M M M y M z M

M y M z M M

m N z v N y w M v M w

N i M r M r M r2

Klein!

Zusätzliche Abtriebskräfte am verformten

Stab aus äußeren Lasten:

Klein!


Zusätzliche Komponentenmomente

infolge Verdrehung:

= ⋅ ϑKomp.

y zp p

= − ⋅ ϑKomp.

z yp p

= + ⋅ ϑ

= − ⋅ ϑ

II

y y z

II

z z y

M M M

M M M


= − ⋅ ⋅ ϑ − ⋅ ⋅ ϑKomp. M M

T y p z pm p y p z

Einarbeitung der Abtriebskräfte in die Bestimmungsgleichungen für

Biegung und Torsion:


( ) ( )′′′′⋅ = +

′′′′ ′= + ⋅ + ⋅ ϑ − ⋅ ϑ

el

y M y y

y M M y

EI v p p

p N v z M

Biegung in y-Richtung:

Biegung in z-Richtung:


( ) ( )

′′′′⋅ = +′ ′′

′ ′= + ⋅ − ⋅ ϑ − ⋅ ϑ

el

z M z z

z M M z

EI w p p

p N w y M

( ) ( ) ( ) ( )

( )ω

ω

ω

′′′′ ′′⋅ ϑ − ⋅ ϑ = +′′′ ′′ ′′

′ ′= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅

′− ϑ ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅ ⋅ ϑ − ⋅ ⋅ ϑ z y

el komp

T T T

M M M M y M z M

x M y M z M M y p z p

EI GI m m

N z v N y w M v M w

N i M r M r M r p y p z2

Biegung in z-Richtung:

Torsion:

DGL-System des elast. Biegetorsionsproblems 2. Ordn.

( ) ( )′′ ′

′′′′ ′ ′= ⋅ + ⋅ ϑ − ⋅ + ⋅ ϑ y z M y M Mp EI v M N v z

( ) ( )′′′

′′′′ ′ ′= ⋅ + ⋅ ϑ − ⋅ − ⋅ ϑ z y M z M Mp EI w M N w y


Kann man mit Hilfe der FE-Methode „diskretisieren“ (approximieren) und für allg. Fälle

lösen. Wir besprechen hier einige für die Praxis wichtige Fälle

( ) ( )

( ) ( )

( )ω

ω

ω

′ ′′′′′ ′′ ′ ′= ⋅ ϑ − ⋅ ϑ − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ +

′′ ′′+ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ ϑ + ⋅ ⋅ ϑ −

′− ϑ ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ z y

T T M M M M

y M z M y p z p

M y M z M M

m EI GI N z v N y w

M v M w p y p z

N i M r M r M r2

Für die Praxis wichtige Sonderfälle

1 Doppelt symmetrische Querschnitte unter konst. N:

Beispiel 1: I – Profil

Beispiel 2: Winkelkreuz

2 Einfach symmetrischer Querschnitt unter konst. N:

Beispiel: gleichschenkliger Winkel

3 Beliebiger Querschnitt unter Normalkraft:


3 Beliebiger Querschnitt unter Normalkraft:

Beispiel: ungleichschenkliger Winkel

4 Doppelt symmetrischer Querschnitt unter konst. My (Endmomente):

Beispiel: I - Profil

5 Doppelt symmetrischer Querschnitt unter konst. M mit Drehbettung

6 Doppelt symmetrischer Querschnitt unter linearem My und konst. N

( ) ( )′′ ′

′′′′ ′ ′⋅ + ⋅ ϑ − ⋅ + ⋅ ϑ = z M y M M yEI v M N v z p0


1) Doppelt symmetrischer Querschnitt unter konst. Normalkraft:

==y

N konst.

M 0

== = =

z

y z T

M

p p m

0

0

0 0

15

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )ω

ω

ω

′′′′′′′ ′ ′⋅ + ⋅ ϑ − ⋅ − ⋅ ϑ =

′′′ ′ ′′′′′′ ′′ ′ ′⋅ ϑ − ⋅ ϑ − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ −

′ ′− ϑ ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ +

+ ⋅ ⋅ ϑ + ⋅ ⋅ ϑ =z y

y M z M M z

T M M M M y M z M

M y M z M M

M M

y P z P T

EI w M N w y p

EI GI N z v N y w M v M w

N i M r M r M r

p y p z m

2


000

0 0

0 0

000

0 0

0


== = =

z

y z T

M

p p m

0

0

′′′′ ′′⋅ + ⋅ =′′ ′′⋅ + ⋅ =

z M MEI v N v

entkoppelt : EI w N w

0

0

==y

N konst.

M 0



ϑ ω π= ⋅ ⋅ +

cr, TN EI GIr l

2

2 2

1π= ⋅cr,z zN EIl

2

2

π= ⋅cr,y yN EIl

2

2

Resultat: - alle drei Gleichungen sind entkoppelt

- drei homogene Probleme

- Lösungen sind die elementaren Eulerlasten

ω

′′ ′′⋅ + ⋅ =

′′′′ ′′ ⋅ ϑ − − ⋅ + ⋅ ϑ =

y M M

T


EI N r GI2

0

0


== = =

z

y z T

M

p p m

0

0

′′′′ ′′⋅ + ⋅ =′′ ′′⋅ + ⋅ =

z M MEI v N v


0

0

==y

N konst.

M 0



ϑ ω π= ⋅ ⋅ +

cr, TN EI GIr l

2

2 2

1π= ⋅2

2cr,z zN EIl

π= ⋅cr,y yN EIl

2

2




ω

′′ ′′⋅ + ⋅ =

′′′′ ′′ ⋅ ϑ − − ⋅ + ⋅ ϑ =

y M M

T


EI N r GI2

0

0

( ) ( )′′ ′



2) Einfach symmetrischer Querschnitt mit Normalkraft im Schubmittelpunkt:

== − ⋅ =y M

N konst.

M N z konst.

== = =

z

y z T

M

p p m

0

0

0

18

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )ω

ω

ω

′′′′′′′ ′ ′⋅ + ⋅ ϑ − ⋅ − ⋅ ϑ =

′′′ ′ ′′′′′′ ′′ ′ ′⋅ ϑ − ⋅ ϑ − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ −

′ ′− ϑ ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ +

+ ⋅ ⋅ ϑ + ⋅ ⋅ ϑ =z y

y M z M M z

T M M M M y M z M

M y M z M M

M M

y P z P T

EI w M N w y p


N i M r M r M r

p y p z m

2


000

0 0

0 0

000

0

0 0


== − ⋅ =y M

N konst.

M N z konst.

== = =

z

y z T

M

p p m

0

0

′′′′ ′′⋅ + ⋅ =′′ ′′⋅ + ⋅ =

z M MEI v N v


0

0

2) Einfach symmetrischer Querschnitt mit Normalkraft im Schubmittelpunkt:


ϑ ω π= ⋅ ⋅ +

cr, TN EI GIr l

2

2 2

1π= ⋅cr,z zN EIl

2

2

π= ⋅cr,y yN EIl

2

2




ω

′′ ′′⋅ + ⋅ =

′′′′ ′′ ⋅ ϑ − − ⋅ + ⋅ ϑ =

y M M

T


EI N r GI2

0

0

( ) ( )′′ ′



==y

N konst.

M 0

== = =

z

y z T

M

p p m

0

0

2) Einfach symmetrischer Querschnitt mit zentrischer Normalkraft:

0

20

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )ω

ω

ω

′′′′′′′ ′ ′⋅ + ⋅ ϑ − ⋅ − ⋅ ϑ =

′′′ ′ ′′′′′′ ′′ ′ ′⋅ ϑ − ⋅ ϑ − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ −

′ ′− ϑ ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ +

+ ⋅ ⋅ ϑ + ⋅ ⋅ ϑ =z y

y M z M M z

T M M M M y M z M

M y M z M M

M M

y P z P T

EI w M N w y p


N i M r M r M r

p y p z m

2


000

0 0

0 0

000

0


==y

N konst.

M 0

== = =

z

y z T

M

p p m

0

0

′′′′ ′′ ′′⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ ϑ =z M M MEI v N v N z 0

2) Einfach symmetrischer Querschnitt mit zentrischer Normalkraft:


Resultat: - alle Gleichungen homogen

- eine Gleichungen ist entkoppelt, daher reines

Biegeknicken um y-Achse

- gekoppeltes Drillknicken um x- und z-Achse

ω

′′′′ ′′ ′′⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ ϑ =

′′′′ ′′⋅ + ⋅ =

′′′′ ′′ ′′ ⋅ ϑ − − ⋅ + ⋅ ϑ + ⋅ ⋅ =

z M M M

y M M

T M M

EI v N v N z


EI N r GI N z v2

0

0

0

( )′′′′ ′′ ′′⋅ + ⋅ − ⋅ − ⋅ ϑ =z M M MEI v N v N b z 0

= =a b 0

0

== − ⋅ =y

N konst.

M N b konst.

= ⋅ == = =

z

y z T

M N a konst.

p p m 0


3) Beliebiger Querschnitt unter zentrischer Normalkraft:

( )

( )

( )( ) ( )

ω

′′′′ ′′ ′′⋅ + ⋅ − ⋅ − ⋅ ϑ =

′′ ′′ ′′⋅ + ⋅ + ⋅ − ⋅ ϑ =

′′′′ ′′⋅ ϑ − − ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ ϑ −

′′ ′′− ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅ =z y

z M M M

y M M M

M M M T

M M x M

EI v N v N b z

EI w N w N a y

EI N i b r a r GI

N b z v N a y w

2

0

0

0


0

00

0 0

= =a b 0

== − ⋅ =y

N konst.

M N b konst.

= ⋅ == = =

z

y z T

M N a konst.

p p m 0

′′′′ ′′ ′′⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ ϑ =z M M MEI v N v N z 0


3) Beliebiger Querschnitt unter zentrischer Normalkraft:


Resultat: - vollständige Kopplung

- homogenes Problem

ω

′′′′ ′′ ′′⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ ϑ =

′′ ′′ ′′⋅ + ⋅ − ⋅ ⋅ ϑ =

′′′′ ′′ ′′ ′′ ⋅ ϑ − − ⋅ + ⋅ ϑ + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ =

z M M M

y M M M

M T M M M

EI v N v N z

EI w N w N y

EI N i GI N z v N y w2

0

0

0

Wirkt N im Schubmittelpunkt, so folgt:

== − ⋅ =y

N konst.

M N b konst.

= ⋅ == = =

z

y z T

M N a konst.

p p m 0

= = ↵M Ma y und b z


3) Beliebiger Querschnitt mit Normalkraft im Schubmittelpunkt:

24

=> 0

=> 0

=> 0


( )

( )

( )( ) ( )

ω

′′′′′ ′′ ′′⋅ + ⋅ − ⋅ − ⋅ ϑ =

′′ ′′ ′′⋅ + ⋅ + ⋅ − ⋅ ϑ =

′′′′ ′′⋅ ϑ − − ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ ϑ −

′′ ′′− ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅ =z y

z M M M

y M M M

M M M T

M M M

EI v N v N b z

EI w N w N a y

EI N i b r a r GI

N b z v N a y w

2

0

0

0

Wirkt N im Schubmittelpunkt, so folgt:

= = ↵M Ma y und b z

== − ⋅ =y

N konst.

M N b konst.

= ⋅ == = =

z

y z T

M N a konst.

p p m 0


3) Beliebiger Querschnitt mit Normalkraft im Schubmittelpunkt:

′′′′ ′′⋅ + ⋅ =EI v N v 0


ϑ ω π= ⋅ ⋅ +

cr, TN EI GIr l

2

2 2

1π= ⋅cr,z zN EIl

2

2

π= ⋅cr,y yN EIl

2

2




ω

′′′′ ′′⋅ + ⋅ =′′ ′′⋅ + ⋅ =

′′′′ ′′ ⋅ ϑ − − ⋅ + ⋅ ϑ =

z M M

y M M

T

EI v N v


EI N r GI2

0

0

0

( ) ( )′′ ′

′′′′ ′ ′⋅ + ⋅ ϑ − ⋅ + ⋅ ϑ = z M y M M yEI v M N v z p

==y

N

M konst.

0 == = =

z

y z T

M

p p m

0

0

0 0


4) Doppelt symmetrischer Querschnitt unter konst. My (Endmomente):

26

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )ω

ω

ω

′′′′′′′ ′ ′⋅ + ⋅ ϑ − ⋅ − ⋅ ϑ =

′′′ ′ ′′′′′′ ′′ ′ ′⋅ ϑ − ⋅ ϑ − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ −

′ ′− ϑ ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ +

+ ⋅ ⋅ ϑ + ⋅ ⋅ ϑ =z y

y M z M M z

T M M M M y M z M

M y M z M M

M M

y P z P T

EI w M N w y p


N i M r M r M r

p y p z m

2


0 0 0

0 0 0

0

0 0 0

0

==y

N

M konst.

0 == = =

z

y z T

M

p p m

0

0

′′′′ ′′⋅ + ⋅ ϑ =z M yEI v M 0


4) Doppelt symmetrischer Querschnitt unter konst. My (Endmomente):

27

ω

′′′′⋅ =

′′′′′′ ′′ ′′⋅ ϑ − ⋅ ϑ + ⋅ − ⋅ ⋅ ϑ =

z

y M

T y M y M

entkoppelt : EI w

EI GI M v M r

0

0

Kritisches Moment (früher Kippmoment genannt):

ω⋅ + ⋅ π ⋅ π = ⋅ ± + =

z z

T

M Mzy,cr

z

GI lIr rEI EM c mit c

l I

222 2

2 22 2 2


==y

N

M konst.

0 == = =

z

y z T

M

p p m

0

0

DGL-System für einfachsymmetrischen

Querschnitt


5) Doppelt symmetrischer Querschnitt unter konst. My mit Drehbettung:

28

ω ϑ

′′′′ ′′⋅ + ⋅ ϑ =′′′′⋅ =

′′′′ ′′ ′′⋅ ϑ − ⋅ ϑ + ⋅ + ⋅ ϑ =

z M y

y M

T y M

EI v M

EI w

EI GI M v c

0

0

0

ω ϑ ⋅+ ⋅ + ⋅ π ⋅ π ⋅⋅ π = ζ ⋅ ⋅

T

zy,cr

z

l G lI I c

E GEIM

l I

2 2

2 22

2


( ) ( )′′ ′

′′′′ ′ ′⋅ + ⋅ ϑ − ⋅ + ⋅ ϑ = z M y M M yEI v M N v z p

ω

≠= = = = = =

y

M y z T z

M

y p p m M M

0

0

N


6) Doppelt symmetrischer Querschnitt unter linearem My und konst. N:

0

29

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )ω

ω

ω

′′′′′′′ ′ ′⋅ + ⋅ ϑ − ⋅ − ⋅ ϑ =

′′′ ′ ′′′′′′ ′′ ′ ′⋅ ϑ − ⋅ ϑ − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ −

′ ′− ϑ ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ +

+ ⋅ ⋅ ϑ + ⋅ ⋅ ϑ =z y

y M z M M z

T M M M M y M z M

M y M z M M

M M

y P z P T

EI w M N w y p


N i M r M r M r

p y p z m

2

N


0 0

0

0

0 0

0

0

0

0

( ) ( )′′ ′

′′′′ ′ ′⋅ + ⋅ ϑ − ⋅ + ⋅ ϑ = EI v M N v z 0

ω

≠= = = = = =

y

M y z T z

M

y p p m M M

0

0N



30

( ) ( )

( )( )

ω

′′′′ ′ ′⋅ + ⋅ ϑ − ⋅ + ⋅ ϑ =

′′′′ ′′⋅ − ⋅ =

′′′′′′ ′′ ′′⋅ ϑ − ⋅ ϑ − ⋅ ⋅ + ⋅ −

′ ′− ϑ ⋅ ⋅ + =

z M y M M

y M M

T M M y M

M y

EI v M N v z

EI w N w

EI GI N z v M v

N i M2

0

0

0

N


N



31

N


Biegedrillknicknachweis nach DIN EN 1993-1-1

1. Der Nachweis wird als Interaktion geführt:

und


und



und Einachsige Biegung

Prof. Dr.-Ing. Dorka | Fachgebiet Stahl- & Verbundbau 3333Prof. Dr.-Ing. Dorka | Fachgebiet Stahl- & Verbundbau

und Einachsige Biegung



undEinachsige Biegung und


undEinachsige Biegung und

Normalkraft

= 0



undZweiachsige Biegung

und Normalkraft


undund Normalkraft


2. Momente aus Verschiebung der Querschnittsachsen ∆My,Ed und ∆Mz,Ed:

Muss nur für Klasse 4 Querschnitte ermittelt werden!

Verschiebung der maßgebenden

Hauptachse unter reiner

Druckbeanspruchung nach 6.2.2.5(4)

3. Abminderungsbeiwert für Biegedrillknicken χ :


3. Abminderungsbeiwert für Biegedrillknicken χLT :


E Elastizitätsmodul (E=210.000N/mm²)

( ) ( ) ( ) ⋅ ⋅ ⋅π ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ + + ⋅ − ⋅ π ⋅

twzcr g g

w z z

k L G IIEI kM C C z C z

L k I EI

222

1 2 22 2

Elastisches kritisches Biegedrillknickmoment


E Elastizitätsmodul (E=210.000N/mm²)

G Schubmodul (G=80.770N/mm²)

Iz Trägheitsmoment um die schwache Achse

It Torsionsträgheitsmoment

Iw Wölbwiderstandsmoment

L Trägerlänge zwischen seitlicher Stützung

k, kw Knicklängenbeiwerte

zg Abstand des Lastangriffspunktes zum Schubmittelpunkt

C1,C2 Koeffizienten


Elastisches kritisches Biegedrillknickmoment bei Gabellagerung:

( ) ( ) ⋅ ⋅π ⋅= ⋅ ⋅ + + ⋅ − ⋅

π ⋅

w tzcr g g

z z

I L G IEIM C C z C z

L I EI

222

1 2 22 2

Randbedingung: k = kw = 1


Elastisches kritisches Biegedrillknickmoment bei linearem Momentenverlaufoder im Schubmittelpunkt angreifender Querbelastung:

⋅ ⋅π ⋅= ⋅ ⋅ +π ⋅

w tzcr

z z

I L G IEIM C

L I EI

22

1 2 2

Randbedingung: C2 * zg = 0


� Ermittlung von zg:

zg ist der Abstand des Lastangriffspunktes zum

Schubmittelpunkt

zg ist im allgemeinen Fall positiv, wenn die Lastenvon ihrem Angriffspunkt in Richtung Schubmittelpunkt wirken.

Komponenten von Mcr:

h/2


Schubmittelpunkt wirken.

� Wölbwiderstandsmoment Iw:

( )⋅ −= z f

w

I h tI

2

4

h Querschnittshöhe

tf Flanschdicke


� Knicklängenbeiwerte k und kw:

Der Faktor k bezieht sich auf die Verdrehung der Enden in der Draufsicht. Er

entspricht dem Verhältnis der Knicklänge zur Systemlänge eines

Druckgliedes. Der Wert k sollte nicht geringer als 1,0 angenommen werden,

außer wenn ein Wert kleiner als 1,0 gerechtfertigt werden kann.


Der Faktor kw bezieht sich auf die Verwölbung der Trägerenden. Sind keine

Vorkehrungen zur Verhinderung der Verwölbung getroffen worden, ist kw

mit 1,0 anzusetzen.


� Koeffizienten C1, C2:

C1 und C2 sind Koeffizienten, die von der Belastung und von den

Lagerungsbedingungen an den Enden abhängen.

1. reine Endmomentenbelastung:



2. Bauteil mit Querbelastung:



3. Bauteil mit Endmomenten und Querbelastung:

Parameter:

ψ Verhältnis der Momentenverteilung

µ Verhältnis des Momentes infolge Querlast zum maximalen Endmoment

Fall a) Endmomente mit einer gleichmäßig verteilten Last⋅µ = q L2


Fall b) Endmomente mit einer Last in Feldmitte

Vorzeichenregelung von µ:

µ >0 wenn M und die Querlast (q oder F), jeweils für sich betrachtet, den

Träger in die gleiche Richtung biegen

µ <0 ansonsten

⋅µ =⋅

q L

M8

⋅µ =⋅

F L

M4



µ > 0

Endmomente und gleichmäßig verteilte Last – Faktor C1



µ < 0




µ > 0




µ < 0




µ > 0

Endmomente und Einzellast in Feldmitte – Faktor C1



µ < 0




µ > 0




µ < 0


• Das allgemeine Biegetorsionsdifferentialgleichungssystem nach Theorie II.

Ordnung ist in seiner allgemeinen Form komplex:

• i.A. drei gekoppelte DGL

• außerdem haben zunächst alle drei DGLs nicht konstante Koeffizienten, was die Lösung des

Systems weiter erschwert

• Schon bei einfachen baupraktischen Systemen treten mehrere Schnittgrößen auf, dadurch ist

innerhalb des DGL-Systems eine Interaktion zu berücksichtigen

• Für die Praxis wichtige Fälle

Zusammenfassung

52

• Für die Praxis wichtige Fälle

• es treten nur entkoppelte Gleichungen auf, wenn die Normalkraft im Schubmittelpunkt angreift

und keine weitere Biegung vorliegt.

• In den entkoppelten Gleichungen fallen dann die elementaren EULERlasten ab

• Normatives Ersatzstabverfahren

• Relativ „handliches“ Nachweisformat

• Bei Schnittgrößeninteraktionen ist das Nachweisformat auf den ersten Blick entkoppelt, was die

Handhabung erleichtert. Die Kopplung ist jedoch über die Beiwerte erfaßt.

• Im Hinblick auf den Nachweis liegt die wesentliche Hürde in der Ermittlung der kritischen Lasten

Mcr => analog zum Biegeknicken


[1] Roik –

Vorlesungen über Stahlbau

Verlag Ernst und Sohn, 2., überarbeitete Auflage, 1983

[2] DIN EN 1993-1-1

Beuth Verlag

Schrifttum

53

[3] Petersen –

Stahlbau

Vieweg, 3. Auflage, 2001

[4] Petersen –

Statik und Stabilität der Baukonstruktionen

Vieweg, 2., durchgesehene Auflage, 1982


stahlbau grundlagen - das elastische biegetorsionsproblem 2. ordnung dünnwandiger stäbe

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