stabilnost sistema - tfzr.uns.ac.rs sistema i.pdf · • sistem automatskog upravljanja predstavlja...
TRANSCRIPT
![Page 1: STABILNOST SISTEMA - tfzr.uns.ac.rs SISTEMA I.pdf · • Sistem automatskog upravljanja predstavlja dinamički sistem, pa prelazni proces koji nastaje pri prelazu sistema iz jednog](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012309/5e0f9f2a6c4ebd44711e5b4d/html5/thumbnails/1.jpg)
STABILNOST SISTEMA
![Page 2: STABILNOST SISTEMA - tfzr.uns.ac.rs SISTEMA I.pdf · • Sistem automatskog upravljanja predstavlja dinamički sistem, pa prelazni proces koji nastaje pri prelazu sistema iz jednog](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012309/5e0f9f2a6c4ebd44711e5b4d/html5/thumbnails/2.jpg)
• Najvaznija osobina sistema automatskogupravljanja je stabilnost. Generalni zahtev kojise postavlja pred projektanta jeste daprojektovani i realizovani sistem automatskogupravljanja bude stabilan. To je osnovnipreduslov prakticne primene.
![Page 3: STABILNOST SISTEMA - tfzr.uns.ac.rs SISTEMA I.pdf · • Sistem automatskog upravljanja predstavlja dinamički sistem, pa prelazni proces koji nastaje pri prelazu sistema iz jednog](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012309/5e0f9f2a6c4ebd44711e5b4d/html5/thumbnails/3.jpg)
• Sistem automatskog upravljanja predstavlja dinamički sistem, pa prelazni proces koji nastaje pri prelazu sistema iz jednog u drugo ravnotežne stanje usled dejstva poremećaja ili promene ulazne veličine zavisi od dinamičkih karakteristika samog sistema a takođe i od oblika poremećaja
![Page 4: STABILNOST SISTEMA - tfzr.uns.ac.rs SISTEMA I.pdf · • Sistem automatskog upravljanja predstavlja dinamički sistem, pa prelazni proces koji nastaje pri prelazu sistema iz jednog](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012309/5e0f9f2a6c4ebd44711e5b4d/html5/thumbnails/4.jpg)
• Za normalno funkcionisanje sistema veoma je bitno da on bude neosetljiv na slučajne poremećaje i smetnje koji u toku rada na njega deluju, tj. da bude stabilan.
• Sistem je stabilan ukoliko se posle prestanka poremećajnog dejstva i završetka prelaznog procesa ponovo vrati u prvobitno i zauzme novo ravnotežne stanje.
• Ukoliko se sistem ne vrati u ravnotežno stanje iz kojeg je izveden, nego se od njega neprekidno udaljava monotono ili oscilatorno sa stalno rastućim amplitudama, onda je to nestabilan sistem
![Page 5: STABILNOST SISTEMA - tfzr.uns.ac.rs SISTEMA I.pdf · • Sistem automatskog upravljanja predstavlja dinamički sistem, pa prelazni proces koji nastaje pri prelazu sistema iz jednog](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012309/5e0f9f2a6c4ebd44711e5b4d/html5/thumbnails/5.jpg)
Ta tri stanja mogu se pregledno prikazati na primeiu pomeranja kuglice po površinama različitog profila usled kratkotrajnog spoljnjeg dejstva
na njih slika
Položaj kuglice 1 na površini 2: a— stabilan, b — nestabilan, c — neutralan
![Page 6: STABILNOST SISTEMA - tfzr.uns.ac.rs SISTEMA I.pdf · • Sistem automatskog upravljanja predstavlja dinamički sistem, pa prelazni proces koji nastaje pri prelazu sistema iz jednog](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012309/5e0f9f2a6c4ebd44711e5b4d/html5/thumbnails/6.jpg)
Od čega zavisi stabilnost (ili nestabilnost) sistema najbolje se može objasniti pomoću opšte diferencijalne jednačine linearnog sistema
automatskog upravljanja koja ima oblik:
Prelazni proces y(t) zavisi od vrednosti koeficijenata A i B, od početnih vrednosti promenljive y i njenih n—1 izvoda, i od oblika funkcije x(i) i njenih m—1 izvoda
![Page 7: STABILNOST SISTEMA - tfzr.uns.ac.rs SISTEMA I.pdf · • Sistem automatskog upravljanja predstavlja dinamički sistem, pa prelazni proces koji nastaje pri prelazu sistema iz jednog](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012309/5e0f9f2a6c4ebd44711e5b4d/html5/thumbnails/7.jpg)
Opšte rešenje jednačine dobija se u vidu zbira homogenog Yh(t) partikulamog yp (t) rešenja, što se može napisati:
Homogeno rešenje predstavlja slobodno kretanje sistema koje je određeno početnim uslovima i osobinama samog sistema, dok partikularno rešenje predstavlja prinudno kretanje koje je određeno poremečajnim dejstvom i karakteristikama sistema
![Page 8: STABILNOST SISTEMA - tfzr.uns.ac.rs SISTEMA I.pdf · • Sistem automatskog upravljanja predstavlja dinamički sistem, pa prelazni proces koji nastaje pri prelazu sistema iz jednog](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012309/5e0f9f2a6c4ebd44711e5b4d/html5/thumbnails/8.jpg)
Za stabilan rad sistema potrebno je da se prelazni proces (u toku kojeg sistem prelazi iz jednog zadatog ravnotežnog stanja u drugo) sa vremenom prigušuje
, tj. da homogeno rešenje sa vremenom teži ka nuli što se
analitički može izraziti uslovom
Rešenje diferencijalne jednačine dobija se polazeći od pretpostavke da će u rešenju sigurno biti član oblika
![Page 9: STABILNOST SISTEMA - tfzr.uns.ac.rs SISTEMA I.pdf · • Sistem automatskog upravljanja predstavlja dinamički sistem, pa prelazni proces koji nastaje pri prelazu sistema iz jednog](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012309/5e0f9f2a6c4ebd44711e5b4d/html5/thumbnails/9.jpg)
Diferenciranjem izraza n puta i unošenjem odgovarajućih izvoda u jednačinu., posle skraćenja člana Ce'1 dobija se karakteristična
jeđvačirta oblika:
Kada je poznato svih n korenova karakteristične jednačine onda se njeno rešenje može napisati:
gde su C1,.. - C„ — integracione konstante koje se određuju iz početnih uslova i parametara sistema.
![Page 10: STABILNOST SISTEMA - tfzr.uns.ac.rs SISTEMA I.pdf · • Sistem automatskog upravljanja predstavlja dinamički sistem, pa prelazni proces koji nastaje pri prelazu sistema iz jednog](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012309/5e0f9f2a6c4ebd44711e5b4d/html5/thumbnails/10.jpg)
Koreni karakteristične jednačine mogu biti realni ili kompleksni, i u opštem slučaju mogu se napisati u obliku
Iz definicije stabilnosti sistema proizilazi zaključak da će sistem čija karakteristična jednačina ima oblik biti stabilan samo u tom slučaju ako svi realni koreni i svi realni dolovi kompleksnih korenova karakteristične jednačine imaju negativne vrednosti.
![Page 11: STABILNOST SISTEMA - tfzr.uns.ac.rs SISTEMA I.pdf · • Sistem automatskog upravljanja predstavlja dinamički sistem, pa prelazni proces koji nastaje pri prelazu sistema iz jednog](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012309/5e0f9f2a6c4ebd44711e5b4d/html5/thumbnails/11.jpg)
Impulsni odziv sistema u zavisnosti od prirode resenja
karakteristicne jednacine.
![Page 12: STABILNOST SISTEMA - tfzr.uns.ac.rs SISTEMA I.pdf · • Sistem automatskog upravljanja predstavlja dinamički sistem, pa prelazni proces koji nastaje pri prelazu sistema iz jednog](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012309/5e0f9f2a6c4ebd44711e5b4d/html5/thumbnails/12.jpg)
• Na slici su prikazani vremenski dijagrami impulsnog odziva sistemaautomatskog upravljanja za pojedine slucajeve korenakarakteristicne jednacine.
• Impulsni odziv (slika a) odgovara negativnim realnim korenima, dokje na slici b impulsni odziv sistema sa parom konjugovanokompleksnih korena i negativnim realnim delom.
• Impulsni odziv na slici c odgovara sistemu koji osim negativnihrealnih korena ima i jedan koren jednak nuli
• na slici d je prikazan impulsni odziv sa parom cisto imaginarnihkorena.
• U oba slucaja (c i d) sistem je na granici stabilnosti.• Na slici e je prelazni proces u sistemu sa realnim pozitivnim
korenima, • na slici f je slobodan prelazni proces u sistemu sa parom
konjugovano kompleksnih korena sa pozitivnim realnim delom.• U ova dva slucaja sistem je nestabilan.
![Page 13: STABILNOST SISTEMA - tfzr.uns.ac.rs SISTEMA I.pdf · • Sistem automatskog upravljanja predstavlja dinamički sistem, pa prelazni proces koji nastaje pri prelazu sistema iz jednog](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012309/5e0f9f2a6c4ebd44711e5b4d/html5/thumbnails/13.jpg)
• Prema tome, ispitivanje stabilnosti linearnih SAU svodi se na matematicki utvrdjivanje znaka realnog dela korena karakteristicne jednacine, a geometrijski na odredjivanje polozaja korena karakteristicne jednacine u kompleksnoj ravni u odnosu na imaginarnu osu.
![Page 14: STABILNOST SISTEMA - tfzr.uns.ac.rs SISTEMA I.pdf · • Sistem automatskog upravljanja predstavlja dinamički sistem, pa prelazni proces koji nastaje pri prelazu sistema iz jednog](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012309/5e0f9f2a6c4ebd44711e5b4d/html5/thumbnails/14.jpg)
Stabilnost sistema na osnovu korena karakteristične jednačine
![Page 15: STABILNOST SISTEMA - tfzr.uns.ac.rs SISTEMA I.pdf · • Sistem automatskog upravljanja predstavlja dinamički sistem, pa prelazni proces koji nastaje pri prelazu sistema iz jednog](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012309/5e0f9f2a6c4ebd44711e5b4d/html5/thumbnails/15.jpg)
• Na osnovu prethodno navedenog zaključuje se da će sistembiti stabilan ako poseduje sve polove u levoj poluravnikompleksne s-ravni.
• Ako poseduje bar jedan pol u koordinatnom početku i/ili parpolova na imaginarnoj osi, dok se svi ostali polovi nalaze ulevoj poluravno kompleksne s-ravni sistem je graničnostabilan.
• Ako sistem poseduje bar jedan pol (ili par konjugovanokompleksnih polova) u desnoj poluravni kompleksne s-ravni,bez obzira na broj polova u levoj poluravni, koordinatnompočetku ili imaginarnoj osi, sistem je nestabilan.
![Page 16: STABILNOST SISTEMA - tfzr.uns.ac.rs SISTEMA I.pdf · • Sistem automatskog upravljanja predstavlja dinamički sistem, pa prelazni proces koji nastaje pri prelazu sistema iz jednog](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012309/5e0f9f2a6c4ebd44711e5b4d/html5/thumbnails/16.jpg)
• Ispitati stabilnost i odrediti odskočni odzivsistema čija je funkcija prenosa
![Page 17: STABILNOST SISTEMA - tfzr.uns.ac.rs SISTEMA I.pdf · • Sistem automatskog upravljanja predstavlja dinamički sistem, pa prelazni proces koji nastaje pri prelazu sistema iz jednog](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012309/5e0f9f2a6c4ebd44711e5b4d/html5/thumbnails/17.jpg)
• Pošto je pol sistema sa negativnim realnim delom, sistem je stabilan. Odskočni odziv je ,
odnosno u MATLAB-u step (1, [1 1])
0 1 2 3 4 5 60
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1Step Response
Time (sec)
Ampl
itude
![Page 18: STABILNOST SISTEMA - tfzr.uns.ac.rs SISTEMA I.pdf · • Sistem automatskog upravljanja predstavlja dinamički sistem, pa prelazni proces koji nastaje pri prelazu sistema iz jednog](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012309/5e0f9f2a6c4ebd44711e5b4d/html5/thumbnails/18.jpg)
• Posto je pol sistema sa pozitivnim realnimdelom, sistem je nestabilan. Odskočniodziv je
odnosno u MATLAB-u
step (1, [1 -1])
0 5 10 150
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5x 10
6 Step Response
Time (sec)
Ampl
itude
![Page 19: STABILNOST SISTEMA - tfzr.uns.ac.rs SISTEMA I.pdf · • Sistem automatskog upravljanja predstavlja dinamički sistem, pa prelazni proces koji nastaje pri prelazu sistema iz jednog](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012309/5e0f9f2a6c4ebd44711e5b4d/html5/thumbnails/19.jpg)
• Za isitivanje stabilnosti potrebno je odrediti polove sistema:
•>> Q=[1 4 5];•>> roots(Q)
•ans =
• -2.0000 + 1.0000i• -2.0000 - 1.0000i
Posto su polovi sistema sa negativnim realnimdelom, sistem je stabilan. Odskocni odzivje:
odnosno u MATLAB-u
0 0.5 1 1.5 2 2.5 30
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25Step Response
Time (sec)
Ampl
itude
>> step (1,[1 4 5])>> grid on
![Page 20: STABILNOST SISTEMA - tfzr.uns.ac.rs SISTEMA I.pdf · • Sistem automatskog upravljanja predstavlja dinamički sistem, pa prelazni proces koji nastaje pri prelazu sistema iz jednog](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012309/5e0f9f2a6c4ebd44711e5b4d/html5/thumbnails/20.jpg)
• Posto su polovi sistema sa pozitivnim realnimdelom, sistem je nestabilan. Odskocni odziv je:
>> Q=[1 -2 10];>> roots(Q)
ans =
1.0000 + 3.0000i1.0000 - 3.0000i
>> syms s t;>> G=1/(s^3-2*s^2+10*s);>> k=ilaplace(G)
k =
1/10 - (exp(t)*(cos(3*t) - sin(3*t)/3))/10
![Page 21: STABILNOST SISTEMA - tfzr.uns.ac.rs SISTEMA I.pdf · • Sistem automatskog upravljanja predstavlja dinamički sistem, pa prelazni proces koji nastaje pri prelazu sistema iz jednog](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012309/5e0f9f2a6c4ebd44711e5b4d/html5/thumbnails/21.jpg)
0 5 10 15-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1x 10
5 Step Response
Time (sec)
Ampl
itude
>> step(1,[1 -2 10]); grid on
![Page 22: STABILNOST SISTEMA - tfzr.uns.ac.rs SISTEMA I.pdf · • Sistem automatskog upravljanja predstavlja dinamički sistem, pa prelazni proces koji nastaje pri prelazu sistema iz jednog](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012309/5e0f9f2a6c4ebd44711e5b4d/html5/thumbnails/22.jpg)
>> Q=[1 0 4];roots(Q)
ans =
0 + 2.0000i0 - 2.0000i
0 50 100 150 200 250 300 350 400-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6Step Response
Time (sec)Am
plitu
de
Posto su polovi sistema sa realnimdelom koji je jednak 0, sistem je graničnostabilan. Odskočni odziv je:
step(1,[1 0 4]);grid on
![Page 23: STABILNOST SISTEMA - tfzr.uns.ac.rs SISTEMA I.pdf · • Sistem automatskog upravljanja predstavlja dinamički sistem, pa prelazni proces koji nastaje pri prelazu sistema iz jednog](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012309/5e0f9f2a6c4ebd44711e5b4d/html5/thumbnails/23.jpg)
KRITERIJUMI STABILNOSTI
![Page 24: STABILNOST SISTEMA - tfzr.uns.ac.rs SISTEMA I.pdf · • Sistem automatskog upravljanja predstavlja dinamički sistem, pa prelazni proces koji nastaje pri prelazu sistema iz jednog](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012309/5e0f9f2a6c4ebd44711e5b4d/html5/thumbnails/24.jpg)
Za istrazivanje stabilnosti vazno je da li se vrednosti korena karakteristicne jednacine tacke nalaze na levoj ili desnoj strani poluprave s-ravni.
Za analizu stabilnosti sistema automatskog upravljanja kriterijumi mogu biti:
• algebarski (numericki) • graficki (grafoanaliticki)Algebarski kriterijumi primjenljivi su i za kvalificiranje stabilnosti
opstih linearnih sistema, ne samo sistema automatskog upravljanja.
![Page 25: STABILNOST SISTEMA - tfzr.uns.ac.rs SISTEMA I.pdf · • Sistem automatskog upravljanja predstavlja dinamički sistem, pa prelazni proces koji nastaje pri prelazu sistema iz jednog](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012309/5e0f9f2a6c4ebd44711e5b4d/html5/thumbnails/25.jpg)
ALGEBARSKI KRITERIJUM STABILNOSTI
Algebarski kriterijum stabilnosti polaze od karakteristicne jednacineanaliziranog sistema upravljanja
• Hurwitz-ov kriterijum stabilnostiOvaj kriterijum polazi od karakteristicne jednacine sistema
zatvorenog regulacionog kruga:
![Page 26: STABILNOST SISTEMA - tfzr.uns.ac.rs SISTEMA I.pdf · • Sistem automatskog upravljanja predstavlja dinamički sistem, pa prelazni proces koji nastaje pri prelazu sistema iz jednog](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012309/5e0f9f2a6c4ebd44711e5b4d/html5/thumbnails/26.jpg)
• Potreban i dovoljan uslov da svi korenikarakteristicne jednacine imaju negativnerealne delove, odnosno da je sistem apsolutnostabilan, jeste da svi koeficijentikarakteristicne jednacine budu veci od nule ida sve Hurwitzove determinante budu vece odnule.
![Page 27: STABILNOST SISTEMA - tfzr.uns.ac.rs SISTEMA I.pdf · • Sistem automatskog upravljanja predstavlja dinamički sistem, pa prelazni proces koji nastaje pri prelazu sistema iz jednog](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012309/5e0f9f2a6c4ebd44711e5b4d/html5/thumbnails/27.jpg)
• Prednosti ovog kriterijuma su te da nije potrebno poznavati resenje diferencijalne jednacine da bi se ustanovila apsolutna stabilnost, vec samo koeficijente karakteristicne jednacine.
• Nedostaci koje ovaj kriterijum ima su da mora biti poznata diferencijalna jednacina, ne moze da se odredi uticaj pojedinih elemenata na stabilnost sistema, odredjuje se samo apsolutna stabilnost, nema informacija o relativnoj stabilnosti.
• Hurwitzov kriterijum stabilnosti ekvivalentan je Routhovom kriterijumu stabilnosti.
![Page 28: STABILNOST SISTEMA - tfzr.uns.ac.rs SISTEMA I.pdf · • Sistem automatskog upravljanja predstavlja dinamički sistem, pa prelazni proces koji nastaje pri prelazu sistema iz jednog](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012309/5e0f9f2a6c4ebd44711e5b4d/html5/thumbnails/28.jpg)
GRAFO-ANALITIČKI KRITERIJUMI STABILNOSTI
![Page 29: STABILNOST SISTEMA - tfzr.uns.ac.rs SISTEMA I.pdf · • Sistem automatskog upravljanja predstavlja dinamički sistem, pa prelazni proces koji nastaje pri prelazu sistema iz jednog](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012309/5e0f9f2a6c4ebd44711e5b4d/html5/thumbnails/29.jpg)
Nyquistov kriterijum stabilnosti
To je grafoanalitički kriterijum pomoću kojeg se zaključuje na apsolutnui relativnu stabilnost zatvorenih regulacijskih sistema na temeljuamplitudno-fazne frekvencijske karakteristike prenosne funkcijeotvorenog regulacijskog kruga. Zasniva se na analizi frekventnogodziva.
![Page 30: STABILNOST SISTEMA - tfzr.uns.ac.rs SISTEMA I.pdf · • Sistem automatskog upravljanja predstavlja dinamički sistem, pa prelazni proces koji nastaje pri prelazu sistema iz jednog](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012309/5e0f9f2a6c4ebd44711e5b4d/html5/thumbnails/30.jpg)
![Page 31: STABILNOST SISTEMA - tfzr.uns.ac.rs SISTEMA I.pdf · • Sistem automatskog upravljanja predstavlja dinamički sistem, pa prelazni proces koji nastaje pri prelazu sistema iz jednog](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012309/5e0f9f2a6c4ebd44711e5b4d/html5/thumbnails/31.jpg)
![Page 32: STABILNOST SISTEMA - tfzr.uns.ac.rs SISTEMA I.pdf · • Sistem automatskog upravljanja predstavlja dinamički sistem, pa prelazni proces koji nastaje pri prelazu sistema iz jednog](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012309/5e0f9f2a6c4ebd44711e5b4d/html5/thumbnails/32.jpg)
![Page 33: STABILNOST SISTEMA - tfzr.uns.ac.rs SISTEMA I.pdf · • Sistem automatskog upravljanja predstavlja dinamički sistem, pa prelazni proces koji nastaje pri prelazu sistema iz jednog](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012309/5e0f9f2a6c4ebd44711e5b4d/html5/thumbnails/33.jpg)
BODEOV KRITERIJUM STABILNOSTI• Najkvistov kriterijum pored dobrih strana ima i
nedostatke.• Jedna njegova mana ogleda se u teškoćama oko
konstrukcije Najkvistove krive za za složenije sisteme.• Drugi, vrlo važan nedestatak Najkvistovog kriterijuma
je da se teško može odrediti uticaj promene pojedinih parametara na stabilnost sistema
• Da bi otklonio pomenute nedostatke Najkvistovog kriterijuma i uprostio postupak projektovanja stabilnih sistema, Bode (N.W. Bode SAD) je interpretirao Najkvistov kriterijum u logaritamskom obliku
![Page 34: STABILNOST SISTEMA - tfzr.uns.ac.rs SISTEMA I.pdf · • Sistem automatskog upravljanja predstavlja dinamički sistem, pa prelazni proces koji nastaje pri prelazu sistema iz jednog](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012309/5e0f9f2a6c4ebd44711e5b4d/html5/thumbnails/34.jpg)
BODEOV KRITERIJUM STABILNOSTI
Najkvistova kriva (levo), Bodeov dijagram za jedan stabilan SAU (desno)
![Page 35: STABILNOST SISTEMA - tfzr.uns.ac.rs SISTEMA I.pdf · • Sistem automatskog upravljanja predstavlja dinamički sistem, pa prelazni proces koji nastaje pri prelazu sistema iz jednog](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012309/5e0f9f2a6c4ebd44711e5b4d/html5/thumbnails/35.jpg)
• Pravilo za utvrđivanje stabilnosti sistema poBodeovom kriteriju:Sistem sa zatvorenom povratnom vezomopisan prenosnom funkcijom biće stabilanako amplitudni Bodeov dijagram prenosnefunkcije otvorene petlje Wo(s) sečefrekvencijsku osu pre nego fazni Bodeovdijagram seče pravac –180o
![Page 36: STABILNOST SISTEMA - tfzr.uns.ac.rs SISTEMA I.pdf · • Sistem automatskog upravljanja predstavlja dinamički sistem, pa prelazni proces koji nastaje pri prelazu sistema iz jednog](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012309/5e0f9f2a6c4ebd44711e5b4d/html5/thumbnails/36.jpg)
• Najkvistova kriva (levo), Bodeov dijagram za jedan nestabilan SAU (desno)
![Page 37: STABILNOST SISTEMA - tfzr.uns.ac.rs SISTEMA I.pdf · • Sistem automatskog upravljanja predstavlja dinamički sistem, pa prelazni proces koji nastaje pri prelazu sistema iz jednog](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012309/5e0f9f2a6c4ebd44711e5b4d/html5/thumbnails/37.jpg)
• Pravilo za utvrđivanje stabilnosti sistema poBodeovom kriteriju:Sistem sa zatvorenom povratnom vezomopisan prenosnom funkcijom biće nestabilanako amplitudni Bodeov dijagram prenosnefunkcije otvorene petlje Wo(s) sečefrekvencijsku osu kasnije nego fazni Bodeovdijagram seče pravac –180o
![Page 38: STABILNOST SISTEMA - tfzr.uns.ac.rs SISTEMA I.pdf · • Sistem automatskog upravljanja predstavlja dinamički sistem, pa prelazni proces koji nastaje pri prelazu sistema iz jednog](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012309/5e0f9f2a6c4ebd44711e5b4d/html5/thumbnails/38.jpg)
UTVRĐIVANJE STABILNOSTI SISTEMA PO BODEOVOM KRITERIJUMU
• Stabilnost sistema sa zatvorenom povratnomvezom, opisanog prenosnom funkcijom , određuje se na temelju amplitudne i fazneBodeove karakteristike nacrtane za prenosnufunkciju otvorene petlje, Wo(s).
• Određivanje AP i FP na temeljuBodeovih dijagrama:
![Page 39: STABILNOST SISTEMA - tfzr.uns.ac.rs SISTEMA I.pdf · • Sistem automatskog upravljanja predstavlja dinamički sistem, pa prelazni proces koji nastaje pri prelazu sistema iz jednog](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012309/5e0f9f2a6c4ebd44711e5b4d/html5/thumbnails/39.jpg)
• Frekvencija kritične amplitude, 1: frekvencija pri kojoj amplitudni Bodeovdijagram prenosne funkcije otvorene petljeseče frekvencijsku osu.
• Frekvencija kritične faze, : frekvencija prikojoj fazni Bodeov dijagram prenosne funkcijeotvorene petlje seče pravac od -180o.
1: <
![Page 40: STABILNOST SISTEMA - tfzr.uns.ac.rs SISTEMA I.pdf · • Sistem automatskog upravljanja predstavlja dinamički sistem, pa prelazni proces koji nastaje pri prelazu sistema iz jednog](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012309/5e0f9f2a6c4ebd44711e5b4d/html5/thumbnails/40.jpg)
• Amplitudno osiguranje, AP(dB):• Može se odrediti na osnovu Bodeovog amplitudnog
dijagrama prenosne funkcije otvorene petlje. AP seodređuje kao udaljenost od amplitudnog dijagrama dofrekvencijske ose, pri frekvenciji kritične faze.
•• •Fazno osiguranje, FP(o):• Može se odrediti na osnovu Bodeovog faznog
dijagrama prenosne funkcije otvorene petlje. FP seodređuje kao udaljenost od pravca –180o do faznogdijagrama, pri frekvenciji kritične amplitude.
![Page 41: STABILNOST SISTEMA - tfzr.uns.ac.rs SISTEMA I.pdf · • Sistem automatskog upravljanja predstavlja dinamički sistem, pa prelazni proces koji nastaje pri prelazu sistema iz jednog](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012309/5e0f9f2a6c4ebd44711e5b4d/html5/thumbnails/41.jpg)
i ispitati stabilnost sistema
• Konstruisati Bodeove dijagrame amplitude ifaze sistema čija je funkcija povratnog prenosa
sys1=zpk(-2,[0 -0.5 -4],10);bode(sys1)hold ongrid on
![Page 42: STABILNOST SISTEMA - tfzr.uns.ac.rs SISTEMA I.pdf · • Sistem automatskog upravljanja predstavlja dinamički sistem, pa prelazni proces koji nastaje pri prelazu sistema iz jednog](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012309/5e0f9f2a6c4ebd44711e5b4d/html5/thumbnails/42.jpg)
-100
-50
0
50
100
Mag
nitu
de (d
B)
10-2
10-1
100
101
102
-180
-135
-90
Phas
e (d
eg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
![Page 43: STABILNOST SISTEMA - tfzr.uns.ac.rs SISTEMA I.pdf · • Sistem automatskog upravljanja predstavlja dinamički sistem, pa prelazni proces koji nastaje pri prelazu sistema iz jednog](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012309/5e0f9f2a6c4ebd44711e5b4d/html5/thumbnails/43.jpg)
>> margin(sys1)
-100
-50
0
50
100M
agni
tude
(dB)
10-2
10-1
100
101
102
-180
-135
-90
Phas
e (d
eg)
Bode DiagramGm = Inf dB (at Inf rad/sec) , Pm = 30.3 deg (at 2.6 rad/sec)
Frequency (rad/sec)