stabilnost sau - rgf.bg.ac.rsrgf.bg.ac.rs/predmet/ro/v semestar/automatizacija i upravljanje...
TRANSCRIPT
III 4. KRITERIJUMI STABILNOSTI LINEARNIH SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
Osnovno obeležje svih kriterijuma stabilnosti je da se njihovim korišćenjem dobi-
ja odgovor na pitanje da li je razmatranisistem stabilan ili ne, a bez rešavanja njegove diferencijalne jednačine ponašanja.
U savremenoj teoriji i praksi automatskog upravljanja koriste se, uglavnom, tri
grupe kriterijuma: (i) algebarski kriterijumi, (ii) frekventni kriterijumi, (iii) grafo-analitički kriterijumi. 1. Algebarski kriterijumi stabilnosti Rautov kriterijum stabilnosti
Neka je data karakteristična jednačina sistema n-tog reda:
1,0)(0
=== ∑=
n
n
k
kk asasf . (17)
Od koeficijenata ia , i =1,2...n, formira se osnovna Rautova tablica koja ima
(n+1) vrstu i izgleda ovako:
L
M
L
L
L
L
L
1
321
321
321
531
42
H
CCCBBBAAA
aaaaaa
nnn
nnn
−−−
−−
, (18)
gde su:
1
3211
−
−−− −=
n
nnnn
aaaaa
A , 1
5412
−
−−− −=
n
nnnn
aaaaa
A
1
21311 A
AaaAB nn −− −
= , 1
31512 A
AaaAB nn −− −
=
1
21211 B
BAABC
−= ,
1
31312 B
BAABC
−= (19)
… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …
Za sistem drugog i trećeg reda Rautova šema izgleda ovako:
0
1
02
0
2
aa
aan =
1
1
02
13
3
BA
aaaa
n =
(20)
Teorema 4. Da bi sistem, dat svojom karakterističnom jednačinom, jed.(17), bio stabilan, potrebno je i dovoljno da svi koeficijenti Rautove prve kolone budu istog znaka. Teorema 5. Broj korena karakteristične jednačine sistema, jed.(17), koji imaju pozitivne realne delove, jednak je broju promena znaka u Rautovoj prvoj koloni. Hurvicov kriterijum stabilnosti
Karakteristična jednačina razmatranog sistema n-tog reda data je sa:
1,0)(0
=== ∑=
n
n
k
kk asasf . (21)
Korišćenjem koeficijenata karakterističnog polinoma ia , i=1,2...n, može se formi-
rati Hurvicova determinanta:
02
1
2
31
42
531
0000000
0000000000
aaa
aaaaaaaaaa
nn
nn
nnn
nnn
n
MMLLMMM
LL
LL
LL
LL
−
−−
−−
−−−
=∆ , (22)
kao i glavni minori:
1
31
42
531
331
211 ,,0
,, −
−−
−−
−−−−−
− ∆=∆=∆=∆ n
nn
nnn
nnn
nn
nnn
aaaaaaaa
aaaa
a L . (23)
Teorema 6. Da bi sistem, dat svojom karakterističnom jednačinom, jed.(17), bio stabilan potrebno je i dovoljno: (i) da su svi koeficijenti njegovog karakterističnog polinoma pozitivni: a i >0, ∀i=1,2...n, (24) (ii) da su svi glavni uzastopni minori ∆i njegove Hurvicove determinante pozitivni: ∆ i >0, ∀i = 1,2...n-1. (25)
Ako bar jedan ili oba uslova nisu ispunjena, razmatrani sistem nije stabilan.
U slučajevima kada je sistem stabilan, Hurvicov kriterijum ne ukazuje u kojoj je meri ova osobina sistema zadovoljena. Naime, osnovni nedostatak ovde izloženih alge-barskih kriterijuma stabilnosti jeste njihova nemogućnost da ukažu na rezervu, odnosno stepen stabilnosti razmatranog sistema.