STABILITAS LYAPUNOV

Imam Mustofa / 1410501063R.Suryoto Edy Raharjo, S.T., M.Eng.

Teknik Elektro, Fakultas Teknik

Universitas Tidar

Aleksandr Mikhailovic Lyapunov

Satu  nama yang tidak asing  dalam dunia teknik  pengaturan / teknik kendali,  disebabkan teori  stabilitasnya yang sangat  fundamental, sehingga  sampai saat ini pun masih   dipakai oleh teoris,  akademisi, praktisi, dan para  insinyur di bidang  ini.

Stabilitas Lyapunov

Dalam teori stabilitasnya, Lyapunov meyatakan bahwa :

Sistem dengan dinamika

dapat dikatakan stabil secara asimptotik  jika terdapat satu fungsi V(x) , yang disebut kandidat fungsi Lyapunov, yang memenuhi sifat-sifat berikut ini.

Dan hanya bernilai nol untuk x=0

Stabilitas Lyapunov

Catatan 1 : stabil secara asimptotik,  dalam pengertian yang mudah adalah pada saat waktu t menjadi tak berhingga (menuju kekekalan), maka semua state pada sistem tersebut sudah menuju ke titik kesetimbangan, dan pada saat itu, gangguan sebesar apapun akan mengakibatkan pergeseran (lokal) yang pada akhirnya dengan berjalannya waktu, semua state pada sistem bergerak kembali menuju kesetimbangan.

Catatan 2: stabil secara asimptotik dapat bersifat lokal ataupun global. Lokal, bila hanya berlaku untuk nilai-nilai state awal (initial state) di sekitar titik kesetimbangan (the neighborhood of the equilibrium point). Global, bila untuk semua nilai-nilai state awal, semua state akan bergerak menuju 1 titik kesetimbangan yang sama.

Persamaan dan Fungsi Lyapunov

Persamaan Lyapunov amat legendaris dalam ilmu kontrol, khususnya ketika membahas sistem non-linier. Persamaan berikut ini disebut Persamaan Lyapunov yang diusulkan oleh Alexander Lyapunov (1892). 

Matriks A, P, Q adalah matriks persegi dengan elemen bilangan riel, P dan Q adalah matriks simetri. A adalah matriks sistem dalam persamaan state. 

Persamaan dan Fungsi Lyapunov

Persamaan Lyapunov umumnya disandingkan dengan fungsi Lyapunov. Fungsi Lyapunov mewakili energi yang terlibat dalam sistem. Dalam ilmu kontrol, keduanya sering digunakan untuk menganalisis kestabilan suatu sistem baik linear maupun non-linear.

Untuk memperjelas konsep, contoh dari buku (Vukic, 2003).  

Persamaan dan Fungsi Lyapunov

Untuk memperjelas konsep, contoh dari buku (Vukic, 2003).  

Rangkaian ini adalah osilator LC tanpa sumber. Variabel state yang dipilih adalah arus induktor i(t) dan tegangan kapasitor v(t), sehingga didapatkan persamaan state 

Persamaan dan Fungsi Lyapunov

dimana x = [x1 x2]T = [i(t) v(t)]T. Energi listrik dari rangkaian ini dinyatakan dengan persamaan berikut 

E(t) = 0.5Li(t)2 + 0.5Cv(t)2 

Persamaan energi ini dapat kita nyatakan dalam bentuk perkalian matriks berikut E = xTPx 

dimana P adalah matriks definit positif dan simetris

Persamaan dan Fungsi Lyapunov

Persamaan E ini disebut juga fungsi Lyapunov karena dia mewakili energi yang terlibat dalam sistem. Fungsi Lyapunov umumnya diberi simbol V, sehingga fungsi Lyapunov untuk osilator LC ini adalah 

V(x) = xTPx 

Referensi : https://teknikpengaturan.wordpress.com/2009/10/07/mengapa-lyapunov-mengatakan-

there-exists-dalam-teori-stabilitasnya/ http://etd.repository.ugm.ac.id/index.php?mod=penelitian_detail&sub=PenelitianDetail

&act=view&typ=html&buku_id=59008 http://www.mnurq.ga/2014/11/persamaan-dan-fungsi-lyapunov.html

Terimakasih