séries de fourier: poutres décomposition en série …...24. plaques rectangulaires: résolution...
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22.
1 terme
Séries de Fourier: Poutres
Décomposition en série de Fourier:
Equation différentielle: dx4d w
4 = B′p
Déformée Charge
Développement:
w(x) = wm sin( L )∑ m
∞p(x) = am sin( L )∑
m
∞
dx4d w
4 = wm sin( L )∑ m
∞
L )(4
= sin( L )∑ m
∞
B′p(x)
B′am
=wmL )(4
B′am ⇒ wm =
am L4
B′(mπ 4)
L’équation différentielle se traduit par la relation entre les coefficients de Fourier
Illustration: poutre simple chargée uniformément
L
p(x) =4p
m1∑
m=1,3,5
∞
sin( L )
w(x) =
∑ m=1,3,5
∞
sin( L )π
4p L4
B′ 5 m1
5
x
π4
55
384≈ + 0.4%
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23.
Plaques rectangulaires: Résolution à l’aide des séries de Fourier
Charge: développée en série double de Fourier:
p(x,y) = amn sin( a ) sin( b )∑ n
∞∑ m
∞
w(x,y) = wmn sin( a ) sin( b )∑ n
∞∑ m
∞
Equation de Lagrange: + 2∂x
4∂ w4 = ∂y
4∂ w4∂y
4∂ w2∂x2 +
Bp
Déformée: exprimée similairement en série double de Fourier:
Dérivées:
Conditions de bord: satisfaites dans le cas simplement appuyé
∂x∂w
= wmn cos( a ) sin( b )∑ n
∞∑ m
∞
a
∂x
2∂ w2 = wmn sin( a ) sin( b )∑
n
∞∑ m
∞
a )(–2
∂x
3∂ w3 = wmn cos( a ) sin( b )∑
n
∞∑ m
∞
a )(–3
∂x
4∂ w4 = wmn sin( a ) sin( b )∑
n
∞∑ m
∞
a )(4
= wmn sin( a ) sin( b )∑ n
∞∑ m
∞
a )(2
∂y
4∂ w2∂x2 b )(
2
mx 0=⇒∂x
2∂ w2 = 0w 0=x 0= et x a=en et
y 0= et y b=idem en
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24.
Plaques rectangulaires: Résolution à l’aide des séries de Fourier
L’équation de Lagrangedevient:
+ 2∂x
4∂ w4 = ∂y
4∂ w4∂y
4∂ w2∂x2 +
Bp
La relation est valable si les coefficients sont égaux terme à terme:
= sin( a ) sin( b )∑ n
∞∑ m
∞ amnB
wmn sin( a ) sin( b )∑ n
∞∑ m
∞=a )(
2
b )(2)(2
+
wmn =a )(2
b )(2)(2
+ amnB ⇒ wmn =
amn
B ( )2
+am2
2 bn 2
2π4
La déformée s’exprime donc:
w(x,y) = sin( a ) sin( b )∑ n
∞∑ m
∞ amn
( )2
+am2
2 bn 2
2
1B π4
Les coefficients amn sont déterminés par la relation:
p(x,y)=amn sin( a ) sin( b )∫0
a
∫0
b
dx dyab4
Dans le cas d’une charge uniformément répartie p:
=amn sin( a ) sin( b )∫0
a
∫0
b
dx dyab4p
amn = – cos( a ) )ab4p a(
0
a
– cos( b ) )b(0
b
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25.
Plaques rectangulaires: Résolution à l’aide des séries de Fourier
Finalement l’expression de la déformée est donc:
Pour une plaque carrée, ρ = 1:
amn = (1 – cos(mπ))4pmnπ2 (1 – cos(nπ))
amn = 4pmnπ2 (1 – (–1) )m (1 – (–1) )n
amn = 16pmnπ2 (m, n, impairs)
w(x,y) = sin( a ) sin( b )∑ n
∞∑ m
∞16B π6
4pa 12mn (m +ρ n )2 2 2
ρ = ab
(m, n, impairs)où: et
La déformée est maximum au centre de la plaque:
= a2
x ⇒ sin( a ) = (–1)m–1
2
= b2
y ⇒ sin( b ) = (–1)n–1
2
w(a/2,b/2)= ∑ n
∞∑ m
∞16B π6
4pa2mn (m +ρ n )2 2 2
(–1)m+n–2
2
(m, n, impairs)
w(a/2,a/2) = 16B π6
4pa 0.2441 = B
4pa0.00405 = 5384 B
4pa0.312
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26.
Les moments s’obtiennent par leurs expressions:
Distribution des moments le long des axes de symétrie:
Moments au centre d’une plaque rectangulaire librement appuyée:
mx= + ν∂x
2∂ w2 ∂y
2∂ w2– B ( ) my= + ν
∂y
2∂ w2 ∂x
2∂ w2– B ( )
ν = 0.3
ν = 0.0
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27.
Plaques: Résolution par la méthode des différences finies
Les dérivées partielles sont approchées par des équations algébriques:
Equation de Lagrange: + 2∂x
4∂ w4 = ∂y
4∂ w4∂y
4∂ w2∂x2 + B
p
wi-1
wi
wi+1
∆x ∆x∂x∂w
≈ 2 ∆xwi+1 – wi-1)i
∂x
2∂ w2 = ≈)i ≈∂x
∂∂x∂w )i 2 (∆x/2)
∂x∂w)i+1/2 ∂x
∂w)i-1/2–
2 (∆x/2)wi+1 – wi
∆x
–2 (∆x/2)wi – wi-1
2∂x
2∂ w2 )i ≈ ∆x
wi+1 – 2wi + wi-1
= ≈∂x
3∂ w3 )i ≈∂x
∂∂x
2∂ w2 )i 2 ∆x
–∂x
2∂ w2 )i+1 ∂x
2∂ w2 )i-1
≈2 ∆x
–2∆xwi+2 – 2wi+1 + wi
2∆xwi – 2wi-1 + wi-2
32 ∆xwi+2 – 2wi+1 + 2wi-1 – wi-2=
4∆xwi+2 – 4wi+1 + 6wi – 4wi-1 + wi-2=
= ≈∂x
4∂ w4 )i ≈∂x
2∂ w2 )i∂x
2∂2
– 2∂x
2∂ w2 )i+1 ∂x
2∂ w2 )i ∂x
2∂ w2 )i-1+
∆x2
≈– 22∆x
wi+2 – 2wi+1 + wi2∆x
wi – 2wi-1 + wi-2
∆x2
2∆xwi+1 – 2wi + wi-1 +
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28.
Différences finies: Expressions classiques approchées des dérivées
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29.
Plaque carrée: Résolution par la méthode des différences finies
Discrétisation de l’équation de Lagrange au point 1:
Equation de Lagrange: + 2∂x
4∂ w4 = ∂y
4∂ w4∂y
4∂ w2∂x2 + B
p
∆x = a/4 a/4 a/4 a/4
∆y = a/4
a/4
a/4
a/4
w1 w2w2
w2 w3w3
w2 w3w3
plaque carrée:– côtés de longueur a– simplement appuyée– charge uniforme p
6w1 – 8w2 + 2(4w1 – 8w2 + 4w3) + 6w1 – 8w2 = 4
B 256p a
Pour les autres points, il faut astucieusement tirer parti des conditions de bord:
Bord simplement appuyé:
Bord encastré:
Bord libre:
wi wi+2
wi
wi+2
∂x∂w = 0 wi+2 – wi)i+1 = 0 ⇒⇒ wi+2 wi=
∂x
2∂ w2 )i+1 = 0 wi+2 + wi = 0 ⇒⇒ wi+2 – wi=
∂x∂w )i ⇒ wi+2 wi + wi+1 – wi-1 =wi+2 wi= + 2∆x
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30.
Plaque carrée: Résolution par la méthode des différences finies
Discrétisation de l’équation de Lagrange:
20w1 – 32w2 + 8w3 = 4
B 256p a point 1
Résolution du système linéaire:
–8w1 + 24w2 – 16w3 = 4
B 256p a point 2
2w1 – 16w2 + 20w3 = 4
B 256p a point 3
w1 = 1.03134
B 256p a
= 0.004034
Bp a
≈ 0.004054
Bp a
(c.f. p. 26)
w2 = 0.75004
B 256p a
w3 = 0.54694
B 256p a
Les moments s’obtiennent par les discrétisations de:
∂y2∂ w
∂x– (1–ν) Bmxy =
mx= + ν∂x2∂ w
2 ∂y2∂ w
2– B ( ) my= + ν∂y2∂ w
2 ∂x2∂ w
2– B ( )
Par exemple:
mx1 ≈ + ν– B ( )2a /16w2 – 2w1 + w2
2a /16w2 – 2w1 + w2 (1+ν) (w1 – w2)= 32 B
2a
(1+ν)= 0.03516 2p a (1+ν)≈ 0.0368 2p a (c.f. p. 26)
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