spss-i në praktikë - teknikat statistikore me shumë ndryshore

0

SPSS-i NË PRAKTIKË

TEKNIKAT STATISTIKORE ME SHUMË

NDRYSHORE

Prof. Dr. Sheref KALLAJXHË

2016

SPSS-i NË PRAKTIKË

TEKNIKAT STATISTIKORE ME SHUMË

NDRYSHORE

EDITOR: Prof. Dr. ŞEREF KALAYCI

PËRKTHYES: KUJTIM HAMELI

BOTIMI 6

2016

APLIKIMET ME SPSS

TEKNIKAT STATISTIKORE ME SHUMË NDRYSHORE

AUTORËT

Kapitulli: Kapitulli:

Prof. Dr. Şeref Kalaycı 12, 13

Ligj. Engin Küçüksille 9, 10

Ndih.Doç.Dr. Belma Ak 3, 4

Ndih.Doç.Dr. Meltem Karaatlı 1

Ndih.Doç.Dr. Hidayet Ü. Keskin 8

Ndih.Doç.Dr. Eda Ü. Çiçek 2

Ndih.Doç.Dr. Aliye Kayış 11, 15

Ndih.Doç.Dr. Ömer L. Antalyalı 7

Ligj. Nezihe Uçar 14

Ligj. Doç.Dr. Hakan Demirgil 5

Asis. Hul. Onur Sungur 6

EDITOR

Prof. Dr. Şeref Kalaycı

Botimi i gjashtë 2014

Përkthyer 2015

Edituar 2016

i

FJALA E PËRKTHYESIT

Falendërimet i takojnë Zotit të Madh që ma lehtësoi dhe më shtoi durimin gjatë

kryerjes së këtij punimi. Respektin tim ia shfaq dy më të dashurve të mi, prindërve, të cilët

janë motivimi im më i madh për çdo punë. Falenderoj të gjithë ata që kanë kontribuar në

kompletimin dhe dizajnimin e këtij libri.

Duke parë mungesën e literaturës rreth këtij programi dhe nevoja e përdorimit për

këtë program, mora vetëiniciativën për të dhënë një kontribut literaturës shqipe duke

përkthyer këtë libër, i cili përmban analizat statistikore më të përdorura për hulumtim në

shkencat shoqërore.

I nderuar hulumtues! Ky libër i mrekullueshëm rreth programit SPSS (Statistical

Package for the Social Sciences) i punuar nga një grup profesorësh të Turqisë, do të të

ndihmoj për të kryer analizat statistikore në program hap pas hapi përmes fotografive si

dhe bën interpretimin e rezultateve të përfituara nga analizat. Ky libër është dizajnuar në

mënyrë të tillë që çdo kush i cili nuk ka njohuri rreth SPSS-it, do të jetë në gjendje që të

kryej vetë një analizë në programin SPSS. Me shpresën se ky libër do t’iu shërbej gjatë

kryerjes së hulumtimeve tuaja, ju lë me prezencën e analizave në vazhdim dhe programit të

mirënjohur SPSS.

Për çdo vërejtje, koment apo sugjerim, mund të më shkruani në email adresën time.

Kujtim Hameli

[email protected]

25.07.2015, Stamboll

ii

PARATHËNIE

Në ditët e sotme mund të kryhen shumë lehtë shumë analiza statistikore përmes

kompjuterëve dhe programeve të sofistikuara që në të kaluarën ishte e pamundur për t’u

bërë. Në këtë kontekst, teknikat statistikore themelore dhe me shumë ndryshore përdoren

mjaft në universitetet tona nga studentët hulumtues, përmes paketave të ndryshme.

Dhe ne për këtë arsye kemi përgatitur punimin që keni në duar duke përdorur

programin e mirënjohur SPSS në shtetin tonë, për t’iu ndihmuar në aplikimin dhe

interpretimin e rezultateve të teknikave statistikore themelore dhe me shumë ndryshore.

Karakteristika më e rëndësishme e librit është aplikimi i metodës së mësimit aktiv. Pra,

edhe ai i cili nuk ka njohuri të mjaftueshme në nivelin e duhur rreth programit SPSS dhe

statistikës, me anë të librit tonë do të mund të mësojë se si mund t’i bëj analizat e

dëshiruara dhe si të i interpretojë rezultatet e përfituara.

Ideja e shkruarjes së librit filloi nga bisedat me kolegët e mi (nga autorët e librit

ligjëruesit dhe asistentët e hulumtimit) se përgatitja e një libri me aplikime në lidhje me

tema metodologjike do të ishte shumë i dobishëm për një audiencë të gjerë si për

akademikët, hulumtuesit dhe studentët dhe se edhe ata do të jepnin kontribut në

përgatitjen e këtij libri. Përveç kësaj, libri mori formën përfundimtare nga kontributet e

shokëve e mi të ndershëm të punës (Abdullah Eroğlu, Ali Sait Albayrak, Aliye Kayış) me

përgatitjen e kapitujve të tyre.

Kapitujt janë shkruar në mënyrë që mund të lexohen ndaras. Për këtë arsye, në libër

janë përsëritur disa gjëra. Një i cili ka njohuri themelore të statistikës, nuk ka nevojë që të

lexojë kapitujt e mëparshëm për leximin e çfarëdo kapitulli.

Mendimet dhe rekomandimet tuaja rreth këtij libri që menduam të jetë i dobishëm për

një audiencë të gjerë, i presim në email adresën tonë. Në bazë të rekomandimeve do të

provojmë që t’a bëjmë sa më të dobishëm për ju.

Prof. Dr. Sheref KALLAJXHË

[email protected]

iv

PËRMBAJTJA

FJALA E PËRKTHYESIT i

PARATHËNIE ii

PËRMBAJTJA iv

1.RREGULLIMI DHE PARAQITJA E TË DHËNAVE .......................................................... 1

1. ORGANIZIMI I TË DHËNAVE ......................................................................................... 1

2. Shembull Aplikimi ............................................................................................................... 1

3. KOMENTIMI I TABELAVE TË KRIJUARA NË LIDHJE ME RREGULLIMIN E TË

DHËNAVE DHE PARAQITJEN E TYRE ................................................................................ 4

4. ANALIZA E VLERAVE EKSTREME (OUTLIERS)...................................................... 11

4.1. Shembull Aplikimi ..................................................................................................... 12

5. SHQYRTIMI I TË DHËNAVE QË MUNGOJNË ........................................................... 17

5.1. Shembull Aplikimi ..................................................................................................... 17

6. PLOTËSIMI I MUNGESËS SË TË DHËNAVE .............................................................. 32

2. STATISTIKAT PËRSHKRUESE ......................................................................................... 37

1. MATËSIT E TENDECËS QENDRORE .............................................................................. 37

1.1. Mesatarja Aritmetike ...................................................................................................... 37

1.2. Mediana (Mesorja) ......................................................................................................... 38

1.3. Moda............................................................................................................................... 38

2. MATËSIT E DEVIJIMIT NGA MESATARJA ................................................................... 39

2.1. Varianca ......................................................................................................................... 39

2.2. Devijimi Standart ........................................................................................................... 40

3. MATËSIT E DEVIJIMEVE NGA NORMALJA ................................................................. 40

3.1. Shpërndarja Normale Për Një Ndryshore....................................................................... 40

3.1.1. Shembull Aplikimi .................................................................................................. 41

3.2. Ngushtësia ...................................................................................................................... 46

3.3. Pjerrësia .......................................................................................................................... 46

4. Shembull Aplikimi ............................................................................................................. 47

v

3. TESTIMI I HIPOTEZAVE ................................................................................................... 52

1. PËRCAKTIMI I HIPOTEZAVE........................................................................................... 52

1.1. Hipoteza Zero (Null Hypothesis) ................................................................................... 52

1.2. Hipoteza Alternative (Alternative Hypothesis) .............................................................. 52

2. TESTET STATISTIKORE.................................................................................................... 53

3. TESTET NJË DHE DY ANËSORE ..................................................................................... 53

4. GABIMI I LLOJIT TË PARË DHE TË DYTË .................................................................... 55

5. NIVELI I RËNDËSISË (α) DHE INTERVALI I BESIMIT (1-α) ....................................... 55

6. MADHËSIA E MOSTRËS ................................................................................................... 57

6.1. Shembull Aplikimi ......................................................................................................... 57

4. TESTET PARAMETRIKE ................................................................................................... 60

1. SUPOZIMET E TESTEVE PARAMETRIKE...................................................................... 60

2. Testi T .................................................................................................................................... 61

2.1. Test T i dy Mostrave të Pavarura (Indepedent-Samplest t-Test) ................................... 62


2.2. Testi T i dy Mostrave të Varura (Paired Samples t-Test) .............................................. 65


2.3. Testi T i një Mostre(One-Sample t-Test) ....................................................................... 68

2.3.1. SHEMBULL APLIKIMI ........................................................................................ 68

3. TESTI-Z................................................................................................................................. 70

3.1. Testi Z një Mostërsh ....................................................................................................... 70


3.2. Testi Z dy Mostrash........................................................................................................ 71


4. ANALIZA E VARIANCËS (ANOVA) ................................................................................ 72

5. TESTET JO PARAMETRIKE (NON – PARAMETRIC) TË TESTIMIT TË

HIPOTEZAVE ............................................................................................................................ 74

1. TESTI KATRORI-KI ............................................................................................................ 75

1.1. Testi i Përshtatshmërisë i Katrorit-Ki dhe Shembull Aplikimi ...................................... 75

vi

1.2. Testi i Pavarësisë i Katrorit-Ki dhe Shembull Aplikimi ................................................ 80

1.3. Testi i Homogjenitetit i Katrorit-Kit dhe Shembull Aplikimi ........................................ 86

2. TESTI RUNS DHE SHEMBULL APLIKIMI ...................................................................... 89

3. TESTI MAN-WHITNEY U DHE SHEMBULL APLIKIMI ............................................... 93

4. TESTI WALD-WOLFOWITZ DHE SHEMBULL APLIKIMI ........................................... 95

5. TESTI WILCOXON SIGNED RANK DHE SHEMBULL APLIKIMI ............................... 98

6. TESTI KRUSKAL-WALLIS DHE SHEMBULL APLIKIMI ........................................... 102

7. TESTI FRIEDMAN DHE SHEMBULL APLIKIMI .......................................................... 104

8. KORRELACIONI SPEARMAN’S RANK ORDER DHE SHEMBULL APLIKIMI ....... 107

6. ANALIZA E KORRELACIONIT....................................................................................... 111

1. KOEFICIENTI I KORRELACIONIT TË PEARSONIT .................................................... 112

2. KOEFICIENTI I KORRELACIONIT TË PJESSHËM ...................................................... 113

3. MATËSIT E TJERË TË LIDHJES ..................................................................................... 113

3.1. PHI ............................................................................................................................... 113

3.2. Korrelacioni Rendor i Spearmanit................................................................................ 113

3.3. Koeficienti i Normalitetit ............................................................................................. 114

3.4. ETA .............................................................................................................................. 114

4. Shembull Aplikimi .............................................................................................................. 114

5. Shembull Aplikimi 2 ........................................................................................................... 118

5.1. Metoda Bivariate .......................................................................................................... 119

5.2. Metoda e Pjesshme (Partial) ......................................................................................... 122

5.3. Metoda Distances ......................................................................................................... 124

7. ANALIZA E VARIANCËS (ANOVA – MANOVA) ......................................................... 128

1. HYRJE ................................................................................................................................. 128

2. ANOVA NJË DREJTIMSHE ............................................................................................. 131

2.1. Shembull Aplikimi ....................................................................................................... 131

2.2. Daljet e SPSS-it dhe Interpretimi ................................................................................. 135

3. ANOVA DY DREJTIMSHE............................................................................................... 140

vii



4. MANOVA NJË DREJTIMSHE .......................................................................................... 157



5. MANOVA DY DREJTIMSHE ........................................................................................... 170



8. ANALIZA E KOVARIANCËS ........................................................................................... 198

1. AVANTAZHET E APLIKIMIT TË ANALIZËS SË KOVARIANCËS ........................... 199

2. FUSHAT E PËRDORIMIT TË ANALIZËS SË KOVARIANCËS ................................... 199

3. SUPOZIMET E ANALIZËS SË KOVARIANCËS ........................................................... 200


4.1. Hyrja e të Dhënave dhe Testimi i Supozimeve ............................................................ 201

4.2. Aplikimi i Analizës së Kovariancës ............................................................................. 207

9. REGRESIONI I THJESHTË LINEAR .............................................................................. 214

1. MODELI I REGRESIONIT TË THJESHTË LINEAR ...................................................... 214

2. PARAMETRAT E PARASHIKUARA (VLERËSUARA) ................................................ 214


3.1. Formimi i Modelit dhe Parashikimi i Parametrave ...................................................... 216

3.2. Interpretimi i Parametrave ............................................................................................ 216

4. PARASHIKIMI ME MODELIN E REGRESIONIT .......................................................... 216


4.2. Të Dalurat nga SPSS dhe Interpretimi ......................................................................... 219

viii

10. MODELI I REGRESIONIT TË SHUMËFISHTË LINEAR ......................................... 222

1. MODELI .............................................................................................................................. 222

2. TESTIMI I HIPOTEZAVE NË MODELIN E REGRESIONIT TË SHUMËFISHTË

LINEAR ...................................................................................................................................... 222

3. KOEFICIENTI I PËRCAKTIMIT ...................................................................................... 223

4. ZGJEDHJA E NDRYSHOREVE TË MODELIT ............................................................... 223

4.1. Metoda Enter ................................................................................................................ 223

4.2. Metoda e Shtimit të Ndryshoreve (Forward Selection) ............................................... 223

4.3. Funksioni i Elemnimit të Ndryshoreve (Backward Selection) ..................................... 224

4.4. Metoda e Shtimit dhe Largimit të Ndryshoreve (Stepwise Selection) ......................... 224


6. Daljet e SPSS-it dhe Interpretimi ........................................................................................ 232

11. MODELI I REGRESIONIT PROBIT (PROBIT REGRESSION MODELS) ............. 237

1. HYRJE ............................................................................................................................. 237

2. ANALIZA PROBIT NË SPSS ........................................................................................ 238

3. KOEFICIENTËT PROBIT .............................................................................................. 241

4. Shembull Aplikimi ........................................................................................................... 242

12. ANALIZA FAKTORIALE ................................................................................................ 258

1. FAZAT E ANALIZËS FAKTORIALE .............................................................................. 258

1.1. Vlerësimi i Përshtatshmërisë së Setit të të Dhënave për Analizën Faktoriale ............. 258

1.2. Përfitimi i Faktorëve..................................................................................................... 259

1.3. Rotacioni i Faktorëve ................................................................................................... 260

1.4. Emërimi i Faktorëve ..................................................................................................... 260


3. Të Dalurat nga SPSS-i dhe Interpretimi Për Analizën Faktoriale ....................................... 266

3.1. Vlerësimi i Përshtatshmërisë së Setit të të Dhënave Për Analizën Faktoriale ............. 266

3.2. Përcaktimi i Numrit të Faktorëve ................................................................................. 267

3.3. Variancat e Përbashkëta të Ndryshoreve ...................................................................... 268

3.4. Faza e Rotacionit .......................................................................................................... 269

ix

3.5. Emërimi i Faktorëve ..................................................................................................... 270

3.6. Rezultatet Faktoriale .................................................................................................... 271

13. ANALIZA DISKRIMINUESE (DISCRIMINANT ANALYSIS) ................................... 273

1. QËLLIMET E PËRDORIMIT TË ANALIZËS DISKRIMINUESE .................................. 273

2. SUPOZIMET E ANALIZËS DISKRIMINUESE ............................................................... 273

3. MADHËSIA E DUHUR E SETIT TË TË DHËNAVE PËR ANALIZËN

DISKRIMINUESE ..................................................................................................................... 274

4. SHEMBULL APLIKIMI ..................................................................................................... 274

5. DALJET E SPSS-it DHE INTERPRETIMI PËR ANALIZËN DISKRIMINUESE .......... 282

5.1. VLERËSIMI I SUPOZIMEVE TË ANALIZËS DISKRIMINUESE ......................... 282

5.2. VLERËSIMI I RËNDËSISË SË FUNKSIONEVE TË NDARJES (DISRCRIMINANT)

283

5.3. VLERËSIMI I RËNDËSISË SË NDRYSHOREVE TË PAVARURA NË ANALIZËN

E DISKRIMINIMIT ................................................................................................................ 284

5.4. FUNKSIONI I DISKRIMINIMIT DHE INTERPRETIMI ......................................... 285

5.5. VLERËSIMI I RËNDËSISË SË ANALIZËS SË DISKRIMINIMIT ......................... 286

14. ANALIZA E GRUPIMIT (CLUSTER ANALYSIS) ....................................................... 290

1. PROCESI I VENDIMMARRJES PËR ANALİZËN E GRUPIMIT .................................. 291

1.1. Qëllimet e Analizës së Grupimit .................................................................................. 294

1.2. Plani i Hulumtimit në Analizën e Grupimit ................................................................. 294

1.3. Matjet e Ngjashmërive ................................................................................................. 294

1.4. Matjet e Korrelacionit .................................................................................................. 297

1.5. Matjet e Distancës ........................................................................................................ 298

1.6. Matja e Partneriteteve................................................................................................... 301

1.7. Standardizimi i të Dhënave .......................................................................................... 301

1.8. Supozimet e Analizës së Grupimit ............................................................................... 302

1.9. Zgjedhja e një Algoritmi të Grupimit ........................................................................... 302

1.10. Grupimi Hierarkik .................................................................................................... 303

1.11. Përcaktimi i Numrit të Grupeve ................................................................................ 303

x

1.12. Koeficientët e Distancës ........................................................................................... 304

1.13. Grafiku i Pemës ........................................................................................................ 304

1.14. Grupimi Johiearkik ................................................................................................... 305

1.15. Rregullimi i Analizës së Grupimit ............................................................................ 306

1.16. Interpretimi i Grupeve .............................................................................................. 307

1.17. Vlefshmëria dhe Profili i Grupeve ............................................................................ 307


2.1. Analiza e Grupimit Hiearkik ........................................................................................ 308

2.2. Analiza e Grupimit Johiearkik ..................................................................................... 318

15. ANALIZA E BESUESHMËRISË (RELIABILITY ANALYSIS) .................................. 327

1. SUPOZIMET E ANALIZËS SË BESUESHMËRISË ........................................................ 328

2. ANALIZAT DHE TESTET NË LIDHJE ME MATËSIT .................................................. 328

3. MODELET E PËRDORURA NË ANALIZËN E BESUESHMËRISË ............................. 329

3.1. Modeli Alfa (α) (Cronbach Alpha Coefficient) ........................................................... 329

3.2. Modeli Ndarës Mëdysh (Split Half) ............................................................................. 330

3.3. Modeli Guttman ........................................................................................................... 330

3.4. Modeli Paralel .............................................................................................................. 330

3.5. Modeli Strikt Paralel .................................................................................................... 330



1. RREGULLIMI DHE PARAQITJA E TË

DHËNAVE

1

RREGULLIMI DHE PARAQITJA E TË DHËNAVE

1. ORGANIZIMI I TË DHËNAVE Përpara se të fillohet me analizat statistikore, gjëja e parë që duhet të bëj një hulumtues

është rregullimi i të dhënave të punimit. Në qoftë se punohet me numër të madh të të dhënave

është e dobishme që të shikohet forma e të dhënave dhe pikat e lakimit përmes tabelave të

shpërndarjes së frekuenacave dhe grafiqeve të ndryshme. Më tej, ky stil është një shfaqje dhe

siguron paraqitjen e të dhënave në një mënyrë më të qartë në qoftë se punohet me shumë

ndryshore.

Në punimet statistikore në mënyrë për zbatimin e shumë analizave, shpërndarja e të

dhënave duhet të jetë normale apo afër normales. Për të parë shpërndarjen e të dhënave, përdoren

grafiqe të ndryshme si histogrami, grafiku handle box, grafiku detrended normal, leaves branches

etj. Po ashtu përdoren edhe testet Kolmogrov Smirnov dhe Shapiro Wilks.

2. Shembull Aplikimi Duke përdorur vlerat mujore të indeksit të IMKB-100 si ndryshore të varur dhe vlerat

mujore të interesit të thesarit si ndryshore e pavarur, do të bëhet shpjegimi i shpërndarjes dhe

paraqitjes së të dhënave.

Tabela 1: Të Dhënat Mujore Për Indeksin IMKB-100 dhe Normave të Interesit Për Bonot e

Thesarit

Indeksi i të

dhënave për

IMKB-100

Indeksi i të dhënave

për IMKB-

100Normat e

interesit për bonot e

thesarit

Indeksi i të

dhënave për

IMKB-100

Indeksi i të dhënave

për IMKB-

100Normat e

interesit për bonot e

thesarit

2635,14 92,26 19206,00 34,36

2265,94 137,29 16206,00 40,47

2196,38 141,34 14466,00 44,82

2577,54 145,20 13870,00 35,59

2597,91 145,19 13132,06 33,44

2568,16 130,21 11350,30 36,04

3890,83 124,80 13538,44 38,00

4544,07 103,82 8747,68 41,00

5354,03 100,57 9437,21 41,01

5069,22 100,46 10685,07 64,93

4950,21 11,50 8791,60 124,21

5805,45 102,88 8022,72 193,71

2

5018,28 115,17 12367,36 130,42

6071,12 112,09 10879,83 82,19

6509,92 109,21 11204,24 88,38

8459,48 94,63 9914,61 95,02

15208,78 94,64 9878,88 92,63

16715,00 38,20 7625,87 87,39

15946,00 42,09 9848,76 86,39

15920,00 39,21 11633,93 79,32

Në hapin 1, përmes Analyze zgjedhet Descriptive Statistics dhe pastaj Explore.

Hapi 1: Dritarja Për Rregullimin e të Dhënave

Në kutinë Dependent vendoset ndryshorja IMKB dhe në Label Cases By ndryshorja bonot

e thesarit.

Pas kësaj klikohet në tabin Statistics. Në këtë pjesë përzgjedhen Descriptives dhe Outliers

dhe pastaj klikoket në butonin Continue.

3

Hapi 2: Dritarja e Statistikave Përshkruese

Pastaj klikohet butoni Plots. Te pjesa Boxplots përzgjedhet Factors levels together, te

pjesa Descriptive përzgjedhen Stem-and-leaf dhe Histogram. Së fundi, përzgjedhet dhe

Normality Plots with tests dhe klikohet në butonin Continue.

Hapi 3: Dritarja e Grafiqeve

4

3. KOMENTIMI I TABELAVE TË KRIJUARA NË LIDHJE ME RREGULLIMIN E

TË DHËNAVE DHE PARAQITJEN E TYRE

Tabela 2: Numri i të Dhënave Totale të Futura në Aplikim

Cases

Valid Missing Total

N Percent N Percent N Percent

imkb 40 100.0% 0 0.0% 40 100.0%

Tabela 2 tregon se nga të dhënat e IMKB-së 40 të dhëna janë përdorur plotësisht. Në

setin e të dhënave nuk ka aspak të dhëna mangu (missing value).

Tabela 3: Statistikat Përshkruese

Statistic Std. Error

imkb Mean 9128.4505 746.38833

95% Confidence Interval for

Mean

Lower Bound 7618.7376

Upper Bound 10638.1634

5% Trimmed Mean 9020.9639

Median 9114.4050

Variance 22283821.307

Std. Deviation 4720.57426

Minimum 2196.38

Maximum 19206.00

Range 17009.62

Interquartile Range 7909.87

Skewness .205 .374

Kurtosis -.941 .733

5

Një vrojtim numerik paraqet mesataren aritmetike të grupit pjesëtuar me numrin total të

vrojtimeve në grup. Nëse shuma e devijimeve nga vlera mesatare e çdo vrojtimi pjestohet me

numrin e vrojtimeve dhe duke marrë rrënjën katrore gjendet devijimi standard. Katrori i devijimit

standart jep variancën. Në këtë tabelë shihen statistikat përshkruese në bazë të ndryshores së

varur (IMKB). Sipas tabelës, mesatarja aritmetike e 40 të dhënave (IMKB) është gjetur si

9128,4505 dhe devijimi standart për 4720,57426. Po ashtu, me 95% besueshmëri, janë dhënë

vlerat me limitet më të ulëta dhe më të larta (intervali i besueshmërisë), 7618,7376 dhe

10638,1634. Llogaritja e hapësirës që mbetet në mes të madhësisë së vlerësuar quhet “interval

besueshmërie”.

Mesatarja e këtyre të dhënave është 9020,9639. Mesatarja është vlerë e cila e ndan serinë e

të dhënave në dy pjesë të barabarta. Vlerat minimale dhe maksimale të serisë së të dhënave janë

2196,38 dhe 19206,00.

Në punimet statistikore shpërndarja më e përdorur është shpërndarja normale. Zakonisht,

shumë ndodhi tregojnë shpërndarje normale. Për shembull, gjatësia e një grupi të studentëve

tregon një shpërndarje normale. Shpërndarja normale është një shpërndarje e vazhdueshme dhe

mesatarja e popullsisë µ, devijimi standart σ janë shpërndarje. Shpërndarja normale është

simetrike. Forma e saj është lakore. Vlera më e lartë e shpërndarjes simetrike është e barabartë

me mesataren dhe mesataren aritmetike të saj.

Në këtë tabelë statistikat përshkruese më të rëndësishme janë matësit e kurtozës (kurtosis)

dhe pjerrësisë (skewness). Këto vlera tregojnë se a janë shpërndarë të dhënat në mënyrë normale.

Në rastet simetrike (lakore e drejtë), mesatarja aritmetike, teksa moda dhe mediana duke qenë të

barabarta koeficienti i lakueshmërisë (skewness) do të jetë zero. Në qoftë se ky barazim prishet,

shpërndarja do të deformohet. Me rritjen e deformimit moda dhe mesatarja atirmetike do të

largohen nga njëra tjetra. Në qoftë se është më e madhe se mediana mesatare, shpërndarja e

vlerave për njësi do të lëviz në të djathtë (devijim pozitiv). Në qoftë se është më e vogël se

mediana mesatare, shpërndarja e të dhënave lëviz në të majtë (devijim negativ). Koeficienti i

devijimit merr vlerat ndërmjet – ∞ dhe + ∞. Por kur në raste matësi i devijimit merr vlera prej ±3

(sipas disa gjykimeve ±2) pranohet si normale.

Vlera në tabelë prej 0,204 është koeficienti i devijimit të Fisherit. Duke e pjestuar me

gabimin standart të devijimit, nxirret vlera e devijimit. Koeficienti i devijimit standardizohet

duke u pjestuar me gabimin e vet standart. Më vonë këto vlera kritike standarde krahasohen me

vlerat në tabelë. Ky përfundim, mund të komentohet për nga aspekti i lakimit të shpërndarjes

normale. Kjo vlerë e devijimit është e pranueshme në nivelin e rëndësisë (5% sipas nivelit të

rëndësisë) ndërmjet vlerave 1,96 ose nën vlerat -1,96.

Sepse, vlerat në shpërndarjen normale marrin pjesë në mes të devijimit standart mesatarisht

ndërmjet +1,96 dhe -1,96. Në këtë rast kur koeficienti i devijimit 0,205 me gabim të devijimit

standart 0 pjestohet me 374 (0,205/0,374) fitohet vlera prej 0,548. Kjo vlerë tregon që të dhënat

6

janë të shpërndara afër normales sepse gjendet ndërmjet -1,96 dhe +1,96. Kur kjo vlerë është

pozitive lakimi bëhet në të djathtë, kurse në rastin kur është negative lakohet në të majtë. Në

rastin tonë për arsye se vlera e dalur është pozitive mund të thuhet se shpërndarja lakohet në të

djathtë. Përveç kësaj, kjo gjë kuptohet edhe ngase grupi i të dhënave është më i madh se

mesatarja aritmetike, gjë që shpërndarja ka prirje në të djathtë.

Kurtoza tregon sa kurba e shpërndarjes normale. është e drejtë apo e shtypur Për një lakore

të plotë, koeficienti i shtypjes është zero. Kur lakorja sipas normales është më e drejtuar,

koeficienti i shtypjes është pozitiv. Kurse kur është negativ, lakorja është më e shtypur. Në

tabelën 3, koeficienti i Fisherit është -0.941. Kur gabimi standart i lakimit të pjestohet me 0,733

(-0.941/0,733) gjendet vlera prej 1,284. Kjo vlerë për arsye se gjendet ndërmjet -1,96 dhe +1,96

mund të themi se lakorja nuk është e drejtë.

Grafiqet janë paraqitje e të dhënave statistikore në mënyrë që të shihen me sy. Të dhënat

statistikore nuk paraqiten vetëm me tabela apo numra. Për më tepër, grafiqet sigurojnë një

paraqitje më të bukur të të dhënave për shqyrtuesin. Grafiqet më të përdorura janë histogrami dhe

stem and leaf.

Figura 1: Paraqitja e Histogramit Për Të Dhënat e Indeksit Të IMKB 100

Vijat e histogramit tregojnë se sa herë të dhënat nominale (klasifikuese) apo ordinale

(rendore) përsëriten. Teksa boshti horizontal bën klasifikimet në mënyrë sistematike, vijat

vertikale tregojnë frekuencat për secilën kategori dhe përqindjen që përfaqësojnë. Në qoftë se e

shohim histogramin e të dhënave për IMKB, lakorja nuk është plotësisht simetrike dhe është e

7

kthyer në të djathtë. Të qenurit plotësisht simetrike nënkupton që të dhënat janë plotësisht të

shpërndara normal.

Gjatë shqyrimit të të dhënave, një grafik tjetër i përdorur është edhe grafiku steam and

leaf. Grafiku steam and leaf, i klasifikon të dhënat në të majtë, përbrenda një klase çdo vrojtim

klasifikohet në të djahtë. Grafiku steam and leaf i përngjan histogramit, mirëpo histogrami për

intervale të caktuara teksa paraqet numrin e rasteve përmes vijave në grafik, nuk mund të

specifikojë detajet e vlerave në interval.

Tabela 4: Tabela Stem and Leaf Për Indeksin e Të Dhënave Për IMKB 100

Frequency

(Frekuencat)

Stem & Leaf

7,00 0,222223

6,00 0,445555

3,00 0,667

8,00 0,88889999

5,00 1,0011

4,00 1,2333

4,00 1,4555

2,00 1,66

1,00 1,9

Stem width: 10000,00

Each leaf: 1 case (s)

Për shembull, në tabelën e 4, rreshti i parë tregon që ekzistojnë 7 të dhëna të cilat fillojnë

me 2000 dhe 3000.

8

Figura 2: Grafiku i Shpërndarjes Normale Për Të Dhënat e IMKB

Kur të bëhet analiza e normalitetit për të dhënat, përdoret grafiku i probabilitetit i cili

paraqet të dhënat e vlerave të vrojtuara me atyre të pritura mbi një grafik. Në qoftë se popullimi i

cili tregon një shpërndarje normale është marrë nga një pjesë, vlerat duhet të mblidhen në këtë

drejtim apo përrreth. Po të shohim normalitetin e të dhënave për IMKB 100, për arsye se të

dhënat janë të shpërndara në këtë drejtim, mund të themi se grupi i të dhënave është afër

normales.

Një grafik tjetër i normalitetit është grafiku me prirje më pak të normalitetit. Në figurën 3

shihet grafiku Detrended Normal Plot për të indeksin e të dhënave të IMKB 100.

9

Figura 3: Grafiku Me Pak Prirje Normaliteti Për Indeksin e Të Dhënave Për IMKB 100

Në qoftë se një grup i të dhënave tregon shpërndarje normale dhe vlerat e shfaqura mbi zero

tregojnë devijimin në grafikun (detrend) e probabilitetit, shpërndarja e pikave vertikalisht mbi

boshtin “0” pa formuar ndonjë funksion me pikat përrreth është e rastësishme. Siç shihet në

figurën 3 seti i të dhënave për IMKB është i shpërndarë afër normales.

Metodë tjetër për kryerjen e analizës së normalitetit është edhe grafiku handle box. Në

figurën 4 është paraqitur grafiku handle box për indeksin e të dhënave të IMKB.

10

Figura 4: Diagrami Handle Box Për Të Dhënat e IMKB-së

Diagrami Handle Box, është një prej llojeve të grafiqeve të statistikave përshkruese që

bazohet në përqindje. Gjatësia e formës, paraqet hapësirën ndërmjet çerekëve. Pra, fillon me

përqindjen e 25-të dhe mbaron me përqindjen e 75-të. Këto përqindje quhen Tugey’s Hings.

Kutia jep informata rreth prirjes qendrore dhe përhapjes në 50% të shpërndarjes. Përmes

mesatares është e mundur që të përcaktohet tendenca qendrore, kurse përmes gjatësisë së kutisë

shpërndarja e vrojtimeve. Në qoftë se mesatarja gjendet nën vijën e qendrës, shpërndarja ka një

lakim pozitiv, në qoftë se gjendet mbi lakim është negativ. Kurse nëse gjendet në mes tregon

shpërndarjen normale të vendit të të dhënave. Siç shihet në figurën 4, në grafikun e handle box së

indeksit së të dhënave të IMKB 100, të dhënat të cilat gjenden nën kuti janë të lakuara në të

djathtë. Si dhe për shkak që nuk gjendet ndonjë e dhënë jashtë kutisë nuk ka vlera ekstreme

(outliers).

Tabela 5: Testi i Normalitetit Për Të Dhënat e IMKB

Tests of Normality

Kolmogorov-Smirnova Shapiro-Wilk

Statistic df Sig. Statistic df Sig.

imkb .091 40 .200* .958 40 .141

Grafiqet e normalitetit dhe grafiqet e tjera (histogrami, diagrami i kutisë dhe grafiku steam

and leaf) na ndihmojnë për të i kuptuar disa pika. Por testi i normalitetit kuptohet duke i përdorur

testin Kolmogrov-Smirnov dhe Shapiro Wilk. Kur numri i vrojtimeve është më i vogël se 29

11

përdoret Shapiro-Wilk, kurse kur numri i vrojtimeve është më i madh se 29 përdoret Kolmogrov-

Smirnov. Për shkak se numri i të dhënave tona është 40, do të përdoret testi Kolmogrov-

Smirnov. Hipotezën null H0 dhe hipotezën alternative HA të këtij testi mund t’i shkruajmë si më

poshtë:

H0: Shpërndarja e të dhënave ndjek shpërndarjen normale.

HA: Shpërndarja e të dhënave nuk ndjek shpërndarjen normale.

Sipas nivelit të rëndësisë 5%, për shkak që vlera e të dy testeve (0,2 dhe 0,141) e indeksit të

të dhënave të IMKB 100, janë më të mëdha se 5%, hipoteza H0 pranohet. Pra, mund të thuhet se

të dhënat janë të shpërndara në mënyrë normale.

4. ANALIZA E VLERAVE EKSTREME (OUTLIERS) Gjatë analizës të setit së të dhënave, faza tjetër është hulumtimi për vlera ekstreme.

Ekzistojnë dy arsye të rëndësishme për hulumtimin e vlerave ekstreme në setin e të dhënave:

1. Duke i zbuluar vlerat ekstreme, mund të bëhet nxjerrja e tyre nga seti i të dhënave për

arsye se do të pengojnë përfitimin e rezultateve normale.

2. Vlerat ekstreme në të njëjtën kohë mund të jenë një burim informacioni. Pasi të zbulohen

vlerat ekstreme, kërkohen arsyet e tyre.

Vlerat ekstreme ndahen në dy lloje; vlera shumë ekstreme (extreme value) dhe vlera të

veçanta (outlier value). Arsyet ekstreme mund të jenë këto:

1. Hyrja gabuese e të dhënave apo kodim i gabuar

2. Vrojtimi i rrallë i një rasti.

Mund të ndërhyhet në dy mënyra me vlerat ekstreme:

Vlerat ekstreme mund të korrigjohen në fazën e pastrimit të të dhënave

Hulumtuesi mund të vendos për nxjerrjen e vlerave esktreme në bazë të rëndësisë së

hulumtimit.

Në qoftë se ka ndonjë vlerë ekstreme e cila është paraqitur për ndonjë arsye të panjohur,

atëherë mund të nxirret nga seti i të dhënave.

12

4.1. Shembull Aplikimi Më poshtë janë paraqitur orët shtesë të punës së bërë nga 20 punonjës.

Tabela 6: Orët Shtesë të Punës të Punonjësve

Punonjësi Ora

1 2

2 4

3 3

4 6

5 2

6 6

7 3

8 4

9 12

10 3

Punonjësi Ora

11 6

12 1

13 3

14 5

15 15

16 3

17 5

18 6

19 5

20 14

Për këto të dhëna mund të shohim se cilat vlera janë vlera ekstreme, pra cilët punonjës

kanë punuar më shumë orë për nga punonjësit e tjerë. Për ta bërë këtë, siç u tregua në shembullin

e mëparshëm, zgjedhet Analyze Descriptive Statistics Explore. Këtu, në pjesën

Dependent bartet “ora”, kurse në pjesën Label Cases by “punonjësi”. Pastaj nga pjesa Statistics

përzgjedhet Outliers. Në figurën e mëposhtme, në grafikun e kutisë mund të shihen vlerat shumë

extreme (extreme values) dhe vlerat e veçanta (outlier values). Në këtë rast, mund të shihet se 15

punonjës kanë vlera shumë të larta ekstreme, pra punojnë më shumë orë për nga të tjerët. Mund

të shihet se punonjësi i njëzet dhe nëntë kanë vlera ekstreme. Në të njëjtën kohë, mund të shihet

se shpërndarja në kutinë e mëposhtme ka prirje në të djathtë.

Figura 5: Diagrami i Kutisë për Orët Shtesë

13

Tani të shohim histogramin dhe grafikun e normalitetit të këtyre vlerave.

Figura 6: Histogrami i Orëve Shtesë të Punës

Në grafikun e histogramit, po të shpërndaheshin të dhënat në mënyrë normale, do të duhej

që pjerrësia të ishte simetrike, por nga grafiku shihet se është e lakuar pak në të djathtë.

Figura 7: Grafiku i Normalitetit për Orët Shtesë të Punës

14

Në figurën 7, mund të shihet se devijimet në drejtim të regresionit janë të shumta. Pra,

shpërndarja nuk është plotësisht normale.

Tabela 7: Testi i Normalitetit për Orët Shtesë të Punës

Tests of Normality

Kolmogorov-Smirnova Shapiro-Ëilk


ora .289 20 .000 .793 20 .001

a. Lilliefors Significance Correction

Në analizën e normalitetit të të dhënave, H0 refuzohet ngaqë të dy testet janë më të vegjël

se 5%. Pra, të dhënat nuk janë të shpërndara në mënyrë normale.

Tani, të e kryejmë analizën përsëri duke i nxjerrur vlerat shumë ekstreme dhe vlerat e

veçanta si dhe duke i ndryshuar disa vlera të tjera.

Tabela 6: Orët Shtesë të Punës të Punonjësve pas Nxjerrjes së Vlerave Ekstreme

Punonjësi Ora

1 1

2 3

3 4

4 2

5 5

6 3

7 4

8 2

10 1

Punonjësi Ora

11 5

12 3

13 4

14 3

16 1

17 1

18 4

19 3

15

Figura 8: Histogrami për Orët e Punës Shtesë pas Nxjerrjes së Vlerave Ekstreme dhe

Shumë Ekstreme

Histogrami është plotësisht simetrik. Pra, të dhënat tani kanë formën plotësisht normale.

Paraqitja e kutisë grafike plotësisht në mes, tregon që të dhënat ndjekin shpërndarjen normale.

Figura 9: Diagrami i Kutisë Për Orët Shtesë të Punës pas Nxjerrjes së Vlerave Ekstreme

dhe Shumë Ekstreme

16

Përveç diagramit të kutisë, kur shikojmë grafikun e normalitetit (figura 9), mund të

vërejmë se devijimet janë më të vogla nga vija e regresionit dhe se janë shumë afër shpërndarjes

normale.

Figura 9: Grafiku i Normalitetit për Orët Shtesë të Punës pas Nxjerrjes së Vlerave

Ekstreme dhe Shumë Ekstreme

Tabela 10: Testi i Normalitetit Për Orët Shtesë të Punës pas Nxjerrjes së Vlerave Ekstreme

dhe Shumë Ekstreme

Tests of Normality

Kolmogorov-Smirnova Shapiro-Ëilk


ora .181 17 .140 .902 17 .073

a. Lilliefors Significance Correction

Kur shikojmë testet e normalitetit, ngaqë që të dy janë më të mëdha se 5%, H0 pranohet.

Pra, shpërndarja e të dhënave është normale.

17

5. SHQYRTIMI I TË DHËNAVE QË MUNGOJNË Mungesa e të dhënave (missing values), me të vërtet është një situatë me të cilën mund të

përballemi gjatë bërjes së çfarëdo analize. Për shembull, gjatë bërjes së një ankete, përgjegjësi

mund t’a lë të zbrazët pyetjen në lidhje me të ardhurat. Përsëri, mund të që të mos i siguroni disa

vlera të vrojtimeve në lidhje me disa ndryshore. Çfarë duhet bërë në të këtilla raste?

Procesi i cili buron nga përgjegjësi apo jashtë tij dhe që i hap rrugën humbjes së të

dhënave, quhet proces i mungesës së të dhënave. Parashikimi i procesit të mungesës së të

dhënave që buron nga përgjegjësi është i pamundur. Në këtë situatë, hulumtuesi duhet të kërkojë

se a ekziston ndonjë strukturë e cila e zbulon procesin e mungesës së të dhënave. Gjatë

shqyrtimit të kësaj, hulumtuesi duhet të marrë në konsideratë dy pika të rëndësishme:

Të dhënat mangu a janë shpërndarë në mënyrë të rastësishme ndërmjet vrojtimeve apo

është krijuar ndonjë strukturë e veçantë?

Duhet të hulumtohet se sa shpesh ndeshemi me të dhëna mangu.

Disa hulumtues i largojnë nga grupi i të dhënave vrojtimet të cilat i hapin rrugë mungesës

së të dhënave. Në këtë rast, ndonjëherë përveç që zvogëlohet në mënyrë të konsiderueshme

numri i vrojtimeve, mund të ndikojë në mënyrë negative madhësinë e mjaftueshme të mostrës.

Po ashtu, kjo do të ndikojë në mënyrë te konsiderueshme edhe besueshmërinë dhe rezultatet e

hulumtimit. Prandaj, kur te përballemi me mungesë të të dhënave, mund të bëhen këto gjëra:

Mund të shtohen vlera të reja të vrojtimeve.

Përmes çasjeve të ndryshme statistikore provohet të gjendet zgjidhje për vlerat që

mungojnë.

Qëllimi i shqyrtimit të mungesës së të dhënave, është që kuptohet se në cilën ndryshore

dhe në çfarë mase ekziston mungesë e të dhënave, të dhënat a mungojnë vetëm për një

ndryshore apo edhe për tjetrën, në çfarë niveli do të ulet numri i vrojtimeve në qoftë se fshihet

ndryshorja me mungesë të të dhënave.

5.1. Shembull Aplikimi Në tabelën e mëposhtë janë dhënë vlerat mujore të indeksit të IMKB-100 si ndryshore e

varur dhe vlerat mujore të çmimit të arit të shtetit, indeksit të industrisë së prodhimit, normave të

interesit të depozitave dhe të indeksit të çmimit të konsumatorëve si ndryshore të pavarura. Nga

vlerat e 60 vrojtimeve, ekziston mungesë e disa vlerave.

18

Tabela 10: Të Dhënat Përkatëse Të Shembullit

IMKB-100 ARI SHTET. NOR.

DEPOZ.

INDUS.

PRODH.

IÇK

36,41 208333 37,26 68,5 3,8

, 212833 , 70 4,4

32,94 211503 35,96 79,6 5,2

33,08 208666 35,99 65 ,

, 206500 36,02 71,7 3,1

41,33 203500 36,21 71,5 1,4

53,84 , 36,24 62,5 -0,9

49,39 228250 36,27 67,9 2,5

50,85 , 36,37 79,5 8,7

45,7 232000 36,93 84,3 6,8

, 230000 37,77 , 5

32,56 236500 38,69 72,6 1,7

42,13 254750 40,01 63,6 ,

51,03 272000 42,06 72,5 5,4

, 281000 45,97 81,9 4,4

35,54 , 48,35 66,5 6,6

36,26 311500 51,96 81,3 3,3

35,87 309750 52,13 , 3

30,41 355333 52,75 74,4 ,

33,01 353333 53,82 72,8 4

, 356000 , 80,9 6,1

27,47 378000 57,9 85,1 6,6

40,58 390250 58,14 82,8 5,2

43,69 , , , 4,4

49,26 412200 57,38 76,8 9,4

36,64 440000 56,87 76,8 5

40,77 463750 , 82,1 4,9

36,86 476000 58,01 71,7 3,8

32,97 495600 58,43 80,6 0,9

44,07 , 58,42 72,3 0,5

42,64 531100 57,94 78,9 1,3

41,58 531666 57,06 74,8 ,

39,76 , 57,12 85,4 7,4

36,43 566500 57,07 86,8 7,6

37,86 594000 57,54 83 4,9

40,04 614600 57,6 80,9 2,7

43,83 635250 57,66 79,4 5,3

59,24 659000 54,95 80,1 4

58,64 683000 52,74 79,5 4,8

, 718000 52,81 , 4,4

19

IMKB-100 ARI SHTET. NOR.

DEPOZ.

INDUS.

PRODH.

IÇK

83,76 821250 52,83 83,2 4,7

107,79 876666 52,82 78,1 1,8

100,78 996666 52,82 85,8 4,9

123,57 1003750 52,83 77 2,7

150,8 964500 52,86 90,4 5,6

145,01 1022000 , 90,3 ,

189,77 1126670 52,9 87,1 6,4

206,83 1197500 52,88 92,5 3,6

, 1366250 56,35 86,2 4,4

150,04 1543750 68,67 77,2 6

140,87 1930000 71,42 81 5,2

150,97 2476000 , 73,8 24,7

147,49 , 118,71 69,6 10

197,66 2555000 114,53 71,5 0,9

217,52 2551000 64,46 , 1,7

252,82 2610000 54,46 76,7 2

, 2870000 54,37 83,9 7,2

248,9 2982500 49,74 84,6 9,5

281,81 3030000 59,79 84,7 ,

272,57 3064000 61,79 81,9 6,3

Duke shkuar tek Analyze, Missing Value Analyze në SPSS, mund të bëhet shqyrtimi i të

dhënave që mungojnë.

20

Hapi 1: Menyja e Missing Value Analyze

Në pjesën Estimation, siç shihet më poshtë do të ndeshemi me 4 metoda. Më poshtë janë

dhënë informata të përgjithshme rreth këtyre metodave.

21

Hapi 2: Dritarja e Missing Value Analysis

1. Metoda Listwise (Metoda e Përdorjes së Vrojtimeve të Plota): Në këtë metodë,

merren në konsideratë vetëm vrojtimet e plota. Vrojtimet mangu nuk merren në

konsideratë. Kjo metodë për arsye se merr në konsideratë vrojtimet e plota sugjerohet të

përdoret në rastet kur numri i të dhënave mangu është i vogël. Është një metodë e cila

përdoret shumë. Përveç kësaj, struktura e të dhënave mangu, duhet të jetë plotësisht e

rastësishme.

2. Metoda Pairwise: Kjo analizë përfshin ndryshoret të dhënat e të cilave janë të plota.

3. Metoda e Regresionit: Qëllimi i metodës së regresionit është që me ndihmën e një apo

më shume ndryshoreve të pavarura të testohen vlerat e ndryshores së varur. Në metodën e

regresionit, ndryshorja e varur është ndryshorja mangu e vëzhguar, kurse ndryshoret tjera

janë të pavarura. Kjo metodë sugjerohet të përdoret veçanërisht në rastet kur numri i të

dhënave mangu nuk është i madh. Për ta përdorur këtë metodë, lidhja ndërmjet

ndryshores së varur dhe ndryshores së pavarur duhet të jetë shumë e fuqishme.

4. Metoda EM (Expectation-Maximization): Metoda EM, është një metodë dy fazash dhe

e cila përsëritet. Faza E jep vlerësimet më të mira të mundshme për të dhënat që

mungojnë, kurse faza M jep vlerësime në lidhje me mesataren, devijimin standart apo

22

korrelacionin për të dhënat që mungojnë. Ky proces vazhdon deri në shkallën e zvogëlimt

të papërfillshëm të ndryshimit në vlerat e parashikuara.

Hapi 3: Dritarja e Missing Value Analysis

Të gjitha ndryshoret barten në pjesën Quantitative Variables. Nga pjesa Estimation

zgjedhet metoda Listwise sepse numri i plotë i vrojtimeve është më i madh se numri mangu i

vrojtimeve. Pas kësaj, shkohet te përzgjedhjet Patterns dhe Descriptives.

Pasi të jetë hyrë në përzgjedhjen Patterns etiketohen të gjitha zgjedhjet në pjesën

Display. Në të njëjtën kohë, në pjesën Variables, të gjitha ndryshoret transferohen në pjesën

Additional Information For. Pastaj klikohet në butonin Continue.

23

Hapi 4: Dritarja Patterns

Pas kësaj, shkojmë te përzgjedhja Descriptives. Edhe këtu etiketohen të gjitha

alternativat dhe klikohet në butonin Continue.

24

Hapi 5: Dritarja Descriptives

Më poshtë do të shqyrtohen me radhë të gjitha të dalurat, mirëpo në fillim duhet të bëhet

testi i rastësisë për mungesën e të dhënave. Në të dalurat statistikore, sa është e rëndësishme

tërheqja e një mostre nga popullimi, po aq është e rëndësishme rastësia e të dhënave mangu në

një mostër.

Për të dhënë një numër konkluzionesh rreth popullimit, duhet që mostra të mirret në një

madhësi të caktuar nga popullimi. Mundësia e zgjedhjes së njësive nga popullimi që do të

përdoren në mostër duhet të jetë e njëjtë dhe zgjedhja e një njësie nuk duhet të ndikojë zgjedhjen

e një njësie tjetër. Pra, secila njësi duhet të ketë probabilitet të barabartë për t’u zgjedhur nga

popullimi. Kjo situatë quhet rastësi. Në strukturën e të dhënave, vrojtimet e një ndryshoreje

mund të i ndajmë në dy grupe; në vrojtime të cilat kanë mungesë të të dhënave dhe të atyreve që

nuk kanë mungesë. Për të hulumtuar se a ekziston një dallim i rëndësishëm për nga aspekti i

vlerave të ndryshoreve tjera (të dy grupeve) bëhet testi T, ose ndryshoret reduktohen në dy

forma; në ato që kanë mungesë të të dhënave dhe ato që nuk kanë mungesë të të dhënave. Për

shembull, të supozojmë se jemi duke punuar në një mostër e cila ka dy ndryshore. Njëra

ndryshore le të jetë shuma e qerasë (ndryshorja e varur) dhe ndryshorja tjetër le të jenë të

ardhurat (ndryshorja e pavarur). Në ndryshoren e të ardhurave le të gjendet mungesë e

vrojtimeve. Le të e ndajmë ndryshoren e të ardhurave në dy grupe; në vrojtime mangu dhe në

vrojtime të plota dhe në secilin grup të hulumtojmë se a ka dallim ndërmjet mesatareve të qerasë.

Në qoftë se në këto dy grupe ekziston një dallim jo i rëndësishëm në mesataret e qerasë, atëherë

mund të thuhet se mungesa e të dhënave është e rastësishme. Në këtë situatë, shikohet koeficienti

i korrelacionit të Pearsonit ndërmjet ndryshoreve. Në qoftë se korrelacioni është i ulët, mund të

25

thuhet se ekziston rastësia në mungesën e të dhënave. Për këtë arsye, në fillim do të shqyrtohen

testet T dhe matrica e korrelacionit.

Hipotezat e rastësisë:

H0: Ekziston rastësi në mungesën e të dhënave.

HA: Nuk ekziston rastësi në mungesën e të dhënave.

Në qoftë se pranohet hipoteza H0, mund të thuhet se ekziston rastësi në strukturën e të

dhënave. Për t’a pranuar hipotezën H0, vlera e P-së (Sig.) duhet të jetë më e madhe se 5%. Sipas

kësaj, për arsye vlerat e ndryshoreve të IÇK-së, indeksit të industrisë së prodhimit, çmimit të arit

shtetëror, normat e interesit të depozitave dhe ndryshores së varur IMKB janë më të mëdha

(vlerat e treguara me ngjyrë të zezë në tabelën e testit T të situatës së rastësisë) se vlera e P-së

(sipas nivelit të rëndësisë 5%), hipoteza H0 refuzohet. Pra, mund të themi se ekziston rastësi në

mungesën e të dhënave.

Tabela 11: Tabela e Testit T të Situatës së Rastësisë

Separate Variance t Testsa

IMKB100 ari_shtetëror normat_depozitore industria_prodhimit IÇK

IMKB100 t . .4 1.7 -.4 .1

df . 9.3 9.8 6.5 34.9

P(2-tail) . .675 .114 .731 .954

# Present 52 45 48 49 46

# Missing 0 8 6 6 8

Mean(Present) 87.7238 933501.9111 54.5696 78.0592 4.9174

Mean(Missing) . 780072.8750 47.2150 79.1000 4.8750

ari_shtetëror t 1.7 . -.5 1.7 -.2

df 14.6 . 5.2 5.8 7.4

P(2-tail) .102 . .648 .136 .823

# Present 45 53 48 49 47

# Missing 7 0 6 6 7

Mean(Present) 92.1422 910342.8113 53.0712 78.8510 4.8617

Mean(Missing) 59.3200 . 59.2017 72.6333 5.2429

normat_depozitore t -.2 .0 . -.4 -1.1

df 3.8 4.8 . 4.7 4.1

P(2-tail) .818 .992 . .724 .330

# Present 48 48 54 50 49

# Missing 4 5 0 5 5

Mean(Present) 87.1083 910783.0417 53.7524 78.0480 4.5041

Mean(Missing) 95.1100 906116.6000 . 79.4200 8.9000

26

industria_prodhimit t -.2 -.1 .4 . 1.7

df 2.1 3.3 4.1 . 12.3

P(2-tail) .860 .940 .738 . .122

# Present 49 49 50 55 49

# Missing 3 4 4 0 5

Mean(Present) 87.0318 906926.9184 53.9092 78.1727 5.0347

Mean(Missing) 99.0267 952187.5000 51.7925 . 3.7000

IÇK t -.2 .0 1.0 .7 .

df 5.7 5.8 6.0 5.5 .

P(2-tail) .840 .981 .367 .519 .

# Present 46 47 49 49 54

# Missing 6 6 5 6 0

Mean(Present) 86.6874 911611.7872 54.2251 78.5041 4.9111

Mean(Missing) 95.6700 900402.5000 49.1200 75.4667 .

For each quantitative variable, pairs of groups are formed by indicator variables (present, missing).

a. Indicator variables ëith less than 5% missing are not displayed.

Ekzistencën e rastësisë mund ta shikojmë edhe përmes matricës së korrelacionit ndërmjet

ndryshoreve.

Tabela 12: Tabela e Matricës së Korrelacionit të Pearsonit Për Situatën e Rastësisë

Listwise Correlations

IMKB100

ari_shtetër

or

normat_de

pozitore

industria_p

rodhimit IÇK

IMKB100 1

ari_shtetëror .924 1

normat_depozitore .361 .531 1

industria_prodhimit .295 .188 .046 1

IÇK .130 .136 -.098 .440 1

Në këtë tabelë mund të shohim koeficientët e korrelacionit të Pearsonit. Korrelacionet e

ulëta tregojnë rastësinë në strukturën e të dhënave mangu për secilën ndryshore. Në këtë tabelë,

jashtë korrelacionit të krijuar ndërmjet ndryshores së varur IMKB dhe ndryshores së pavarur arit

shtetëror (0,924), nuk mund të shihet ndonjë korrelacion i lartë. Kjo vlerë e lartë është normale

sepse IMKB-100 është ndryshore e varur, kurse çmimi i arit shtetëror është ndryshore e pavarur.

Për të ekzistuar rastësia, nuk duhet të ketë korrelacion të lartë ndërmjet dy ndryshoreve. Në këtë

rast, mund të thuhet se procesi i të dhënave është i rastësishëm në shembullin tonë.

27

Në tabelën 13, në pjesën Listwise janë llogaritur mesataret aritmetike duke i marrë në

konsideratë vetëm vrojtimet e plota për të gjitha ndryshoret, kurse në pjesën All Values, janë

llogaritur mesataret aritmetike duke i marrë në konsideratë të gjitha vlerat. Në qoftë se shikohen

me kujdes mesataret, mund të vërejmë se nuk ekziston ndonjë dallim i rëndësishëm ndërmjet dy

grupeve. Ndryshimet janë shumë të vogla. Edhe nga këtu mund të themi se struktura e mungesës

së të dhënave është e rastësishme. Zaten, kjo qe përcaktuar nga testi T dhe matrica e korrelacionit

se struktura e të dhënave mangu është e rastësishme në procesin e rastësisë.

Tabela 13: Mesataret e Parashikuara

Summary of Estimated Means

IMKB100 ari_shtetëror

normat_de

pozitore

industria_

prodhimit IÇK

Listwise 89.3500 880133.4571 54.3411 79.4400 4.4343

All Values 87.7238 910342.8113 53.7524 78.1727 4.9111

Në tabelën e mëposhtme e cila përfshin numrin e plotë dhe mangu të vrojtimeve, janë

dhënë numrat e të dhënave mangu dhe përqindjet për secilin vrojtim (në total 60 vrojtime). Teksa

për vrojtimet e plota tregohen me hapësirë (bosh), mungesa e të dhënave është shfaqur me “S”.

Vendet e shfaqura me “+”, tregojnë vlerat e mëdha ekstreme. Për shembull, në vrojtimin e parë

nuk gjendet asnjë vlerë mangu, kurse në vrojtimin e dytë gjenden mangu 2 vrojtime dhe

përqindja e tyre është 40.

28

Tabela 14: Numrat e Vrojtimeve të Plota dhe Mangu

Data Patterns (all cases)

Case # Missing % Missing

Missing and Extreme Value Patterns

IMKB100

ari_shtetëro

r

normat_dep

ozitore

industria_pr

odhimit IÇK

1 0 .0

2 2 40.0 S S

3 0 .0

4 1 20.0 S

5 1 20.0 S

6 0 .0

7 1 20.0 S

8 0 .0

9 1 20.0 S

10 0 .0

11 2 40.0 S S

12 0 .0

13 1 20.0 S

14 0 .0

15 1 20.0 S

16 1 20.0 S

17 0 .0

18 1 20.0 S

19 1 20.0 S

20 0 .0

21 2 40.0 S S

22 0 .0

23 0 .0

24 3 60.0 S S S

25 0 .0

26 0 .0

27 1 20.0 S

28 0 .0

29 0 .0

30 1 20.0 S

31 0 .0

32 1 20.0 S

33 1 20.0 S

29

34 0 .0

35 0 .0

36 0 .0

37 0 .0

38 0 .0

39 0 .0

40 2 40.0 S S

41 0 .0

42 0 .0

43 0 .0

44 0 .0

45 0 .0

46 2 40.0 S S

47 0 .0

48 0 .0

49 1 20.0 S

50 0 .0

51 0 .0

52 1 20.0 + S +

53 1 20.0 S +

54 0 .0 + +

55 1 20.0 + S

56 0 .0 +

57 1 20.0 S +

58 0 .0 +

59 1 20.0 + S

60 0 .0 +

30

Tabela 15: Struktura e Mungesës së të Dhënave

Missing Patterns (cases with missing values)

Case # Missing % Missing

Missing and Extreme Value Patternsa

industria_pr

odhimit

normat_dep

ozitore IÇK ari_shtetëror IMKB100

4 1 20.0 S

13 1 20.0 S

19 1 20.0 S

32 1 20.0 S

59 1 20.0 S +

46 2 40.0 S S

27 1 20.0 S

52 1 20.0 S + +

21 2 40.0 S S

2 2 40.0 S S

5 1 20.0 S

49 1 20.0 S

15 1 20.0 S

57 1 20.0 + S

40 2 40.0 S S

11 2 40.0 S S

55 1 20.0 S +

18 1 20.0 S

7 1 20.0 S

16 1 20.0 S

53 1 20.0 + S

33 1 20.0 S

30 1 20.0 S

9 1 20.0 S

24 3 60.0 S S S

Në tabelën e më sipërme, në rreshtin dhe në kolonën e fundit janë paraqitur vrojtimet dhe

ndryshoret të cilat kanë më shumë mungesë të të dhënave. Vrojtimet e plota nuk janë paraqitur

për të gjitha ndryshoret. Për shembull, në vrojtimin e pesëdhjetë e nëntë ka një mungesë të

dhënash (IÇK), ka tri vrojtime të plota (indeksi i industrisë së prodhimit, normat e interesit të

depozitave, ari shtetëror dhe IMKB100) dhe një nga këto vlera është ekstreme (ari shtetëror).

Kurse në vrojtimin e njëzet e katër, ekzistojnë 3 të dhëna mangu (indeksi i industrisë së

prodhimit, normat e interesit të depozitave dhe ari shtetëror) dhe ky vrojtim ka më së shumti

31

mungesë të të dhënave. Vrojtimet mangu janë çmimi i arit shtetëror, normat e interesit të

depozitave dhe indeksi i industrisë së prodhimit.

Tabela 16: Struktura Tabelore e Mungesës së të Dhënave

Tabulated Patterns

Number

of Cases

Missing Patternsa

Co

mp

lete

if

...b

IMK

B1

00

c

ari

_sh

tetë

rorc

no

rmat_

dep

ozito

rec

ind

ustr

ia_

pro

dh

imit

c

IÇK

c

ind

ustr

ia_

pro

d

him

it

no

rmat_

dep

ozi

tore

IÇK

ari

_sh

tetë

ror

IMK

B1

00

35 35 89.3500 880133.4571 54.3411 79.4400 4.4343

5 X 40 85.8020 876083.0000 49.1200 72.5000 .

1 X X 43 145.0100 1022000.0000 . 90.3000 .

2 X 37 95.8700 1469875.0000 . 77.9500 14.8000

2 X X 43 . 284416.5000 . 75.4500 5.2500

4 X 39 . 1180937.5000 48.1775 80.9250 4.7750

2 X X 43 . 474000.0000 45.2900 . 4.7000

2 X 37 126.6950 1430375.0000 58.2950 . 2.3500

6 X 41 61.9250 . 59.2017 72.6333 5.3833

1 X X X 46 43.6900 . . . 4.4000

a. Variables are sorted on missing patterns.

b. Number of complete cases if variables missing in that pattern (marked with X) are not used.

c. Means at each unique pattern

Në tabelën më lartë shihet struktura e mungesës së të dhënave. Për shembull, nga tabela

shihet se ekzistojnë 35 vrojtime të plota. Përderisa vrojtimet e tjera janë të plota, vrojtimet

mangu të IÇK-së janë 5. Kur të largohet ndryshorja e IÇK-së nga të dhënat, numri i vrojtimeve

mbetet 40. Në të njëjtën mënyrë, ekziston mungesë e 1 vrojtimi për normat e interesit të

depozitave dhe për IÇK-në. Në qoftë se ky vrojtim largohet nga këto dy ndryshore, atëherë

numri i vrojtimeve të plota do të jetë 43.

Më poshtë është dhënë tabela e fundit. Në këtë tabelë janë paraqitur përqindjet e

mospajtimeve.

32

Tabela 17: Përqindjet e Mospajtimeve

Percent Mismatch of Indicator Variables.a,b

industria_prodhimit normat_depozitore IÇK ari_shtetëror IMKB100

industria_prodhimit 8.33

normat_depozitore 15.00 10.00

IÇK 18.33 16.67 10.00

ari_shtetëror 16.67 18.33 21.67 11.67

IMKB100 15.00 16.67 23.33 25.00 13.33

The diagonal elements are the percentages missing, and the off-diagonal elements are the mismatch percentages

of indicator variables.

a. Variables are sorted on missing patterns.

b. Indicator variables with less than 5% missing values are not displayed.

Tabela e përqindjeve të mospajtimeve paraqet përqindjet e numrit të përgjithshëm të

vrojtimeve për secilën ndryshore çift ku njëra nga ndryshoret ka vlera mangu kurse tjetra jo. Për

shembull, numri i vrojtimeve mangu për ndonjërin nga IÇK apo industria e prodhimit është 11.

Numri total i vrojtimeve është 60. Përqindja e mospajtimit të këtyre ndryshoreve është 18,33

(11/60). IMKB dhe ari shtetëror kanë përqindjen më të lartë të mospajtimit prej 25%.

Veçanërisht në hulumtimet me shumë ndryshore mund të jetë e pamundur ndonjëherë që

të sigurohen të dhëna të plota. Gjatë kryerjes së këtyre hulumtimeve, është shumë e rëndësishme

që paraprakisht të përcaktohet shkalla e mungesës së të dhënave. Ndonjëherë mund të jetë e

nevojshme që të nxirret nga analiza ndryshorja e cila ka mungesë të të dhënave. Mirëpo, kjo

mund të ketë edhe një sërë rreziqesh. Numri i ndryshoreve do të ulet. Përpos kësaj, në qoftë se

është një ndryshore me rëndësi dhe patjetër duhet të mbahet në hulumtim, atëherë rezultatet e

aplikimit mund të jenë shumë të ndryshme. Në fillim, duhet të shqyrtohet rastësia e procesit të

mungesës së të dhënave. Ky proces bëhet për të gjetur një çasje të problemit me mungesën e të

dhënave.

6. PLOTËSIMI I MUNGESËS SË TË DHËNAVE Këtu do të bëjmë fjalë se si të i përfshijmë të dhënat mangu në analizë pa i larguar nga

grupi i të dhënave në rastin kur të ndeshemi me këto të dhëna. Për t’a bërë këtë, në SPSS

shkojmë te menyja Transform, Replace Missing Values. Më pas, do të hapet dritarja e më

poshtme.

33

Hapi 1: Menyja e Plotësimit të Mungesës së të Dhënave

34

Hapi 2: Dritarja e Plotësimit për të Dhënat Mangu

Në pjesën e metodave përzgjidhet sipas dëshirës.

Series mean: Duke marrë mesataren e serive, zëvendësohen vendet e të dhënave mangu.

Mean of nearby points: Në vendin e vrojtimit mangu vendoset vlera e mesatares

aritmetike e marrë nga vlerat para dhe pas vrojtimit mungesë.

Median of nearby points: Në vendin e vrojtimit mangu vendoset vlera e medianës e

llogaritur nga vlerat nën dhe mbi vrojtimin mangu.

Linear interpolation: Vlera e vrojtimit të plotë të fundit përpara vlerës mangu dhe vlera e

vrojtimit të plotë të parë pas vlerës mangu vendosen në vendet ku ka mungesë. Në qoftë se vlerat

e vrojtimit të parë dhe të fundit të serisë janë mangu, vlerat e humbura nuk mund të vendosen.

Linear trend at point: Mungesa e të dhënave zëvendësohet nga vlera të parashikuara nga

seria aktuale prej 1 deri në N.

Për shembull, duke marrë në konsideratë mesataren e serive, në qoftë se u jepen vlera të reja

të dhënave mangu, bëhen përzgjedhjet e mëposhtme.

35

Hapi 3: Dritarja e Plotësimit të të Dhënave Mangu

Nga pjesa Method zgjedhet Series Mean dhe barten të gjitha ndryshoret në pjesën New

Variable(s). Klikohet në butonin OK. Vendet e zbrazëta tashmë do të plotësohen dhe është e

mundur që të bëhen analizat e dëshiruara më të dhënat.

36

2. STATISTIKAT PËRSHKRUESE

37

STATISTIKAT PËRSHKRUESE

Gjatë kryerjes së një punimi, interpretimi i të dhënave vetëm duke i shikuar ato dhe

nxjerrja e një rezultati kuptimplotë është i pamundshëm. Është e nevojshme që të prezantohen

një sërë karakteristikash të këtyre të dhënave. Veçanërisht duhet të vlerësohet mesatarja e të

dhënave dhe shpërndarja e të dhënave rreth kësaj mesatareje si dhe në çfarë mase është devijuar

nga mesatarja.

Në kategorinë e statistikave përshkruese marrin pjesë matësit e tendencës qendrore si

mesatarja, mediana dhe moda, matësit e devijimeve nga mesatarja si devijimi standart dhe

varianca si dhe matësit e devijimeve nga normalja si pjerrësia dhe kurtoza.

Me ndihmën e statistikave përshkruese gjatë vlerësimit të rezultateve të përfituara në fund

të një analize të kryer, gjëja e parë që duhet të kihet kujdes është kontrollimi i rëndësisë

statistikore. Rëndësia; rëndësia statistikore, shpreh konceptet si niveli i rëndësisë apo mundësisë

dhe këto koncepte tregohen me shkronjën P (apo me Sig. në SPSS).

Mendimi i pranuar përgjithësisht është kur vlera p është më e vogël se 0,05 rezultatet do

të jenë të rëndësishme në mënyrë statistikore. Me fjalë të tjera, në qoftë se gjasat e rastësisë së

një gjetjeje janë më pak se 5%, atëherë ky rezultat konsiderohet i rëndësishëm statistikisht.

1. MATËSIT E TENDECËS QENDRORE Në statistikë, një shifër e cila në mënyrë të mjaftueshme shpreh dhe përfaqëson një numër

të termeve quhet mesatare. Mesatarja në të njëjtën kohë identifikon karakteristikat e serisë.

Mesatarja, tregon se vlerat e një seti të dhënash nga cilat mjedise të vlerave janë mbledhur, për

këtë arsye në të njëjtën kohë quhet edhe “matësit e tendencës qendrore”. Matjet me tendencë

qendore përbëhen nga mesatarja aritmetike, mediana dhe moda.

1.1. Mesatarja Aritmetike Mesatarja aritmetike është matësi më i shpeshtë i tendencës qendrore. Mesatarja aritmetike

gjendet me pjesëtimin e totalit e të gjitha vlerave të një seti të dhënash me numrin e të dhënave të

setit. Për shembull, mesatarja artimetike e një seti që përbëhet nga 7 të dhëna (3,5,7,5,6,7,9)

gjendet në këtë mënyrë:

38

Mesatarja aritmetike ngaqë ndikohet nga të gjitha vlerat në setin e të dhënave nuk është një

statistikë e përshtatshme përshkruese në rastet kur nuk dihen të gjitha vlerat e setit të të dhënave.

Përfitimi i mesatares aritmetike, në mënyrë matematikore shprehet në këtë mënyrë:

∑x në formulë tregon totatin e të dhënave në seri, kurse N numrin e të dhënave.

1.2. Mediana (Mesorja) Mediana është vlera e cila merr pjesë plotësisht në mes të setit të të dhënave. Pra, medianë

quhet vlera e cila përkon mu në mes të një serie të renditur dhe që e ndan këtë seri në dy pjesë të

barabarta.

Në qoftë se numri të dhënave në setin e të dhënave është numër tek, mediana e serive është

(n+1) /2. Në qoftë se numri i të dhënave është çift, mediana e serive është mesatarja aritmetike e

2 të dhënave të mesit.

Për shembull, një set i të dhënave (3,5,7,5,6,8,9) në qoftë se bëhet renditja e të dhënave nga

e vogla te e madhja (3,5,5,6,7,8,9), mediana e kësaj serie do të jetë (7+1)/2 = 4. Pra, numri që

përkon me pozitën e katërt është 6.

Kurse për një seri të renditur në formën (6,7,8,9,10,11), (6+1) /2 = 3,5. Kjo vlerë nënkupton

që mesatarja e serive gjendet nga mesatarja aritmetike e numrit të tretë dhe të katërt, pra (8+9) /2

= 8,5.

Ngaqë mediana nuk është e ndjeshme ndaj vlerave ekstreme veçanërisht ne rastet kur vlerat

janë të pjerrëta mund të përdoret në shpërndarjet simetike dhe josimetrike dhe në të dhënat

ekstreme për të cilat nuk dihet seti i plotë i të dhënave.

1.3. Moda Modë quhet vlera e cila paraqitet më së shpeshti në nje set të të dhënave (me fjalë të tjera

frekuanca më e lartë). Moda mund të përdoret si një matës i tendencës qendrore për ndryshoret

intervalore, proporcionale dhe rendore.

Në seritë e thjeshta (kur nuk ka vlera që përsëriten) nuk mund të llogaritet moda ngaqë të

gjitha frekuancat që përkojnë me X përsëriten 1 herë. Për përcaktimin e modës në të dhënat e

klasifikuara, gjendet vlera X e cila jep vlerën më të lartë të frekuencës në kolonën e frekuencës.

Për shembull, në serinë e mëposhtme të shpërndarë, vlera më e lartë e frekuencës është 6 dhe

këtë vlerë të frekuencës e jep X e cila jep modën e 2 serive.

39

X N

1

2

3

4

6

2

6

2

1

3

Kurse gjetja e modës në të dhënat e grupuara është pak më ndryshe. Në fillim duhet të

përcaktohet intervali i modës. Intervali i modës në të dhënat e grupuara është intervali me

frekuencën më të lartë. Pasi të gjendet intervali i modës, pastaj llogaritet moda. Llogaritja e

modës bëhet në këtë mënyrë:

(

)

Nga formula, l tregon kufirin më të ulët të modës, s tregon gjerësinë e intervalit, ∆1 tregon

dallim ndërmjet frekuencës së intervalit modal dhe frekuencës paraprake, ∆2 dallimin ndërmjet

frekeuncës së intervalit modal dhe frekeuncës pasuese.

Për shembull;

Intervali N

0-4 2

4-8 5

8-12 7

12-16 6

(

)

Matësit e tendencës qendrore janë të dobishëm për gjetjen e pikës mesatare të të dhënave,

mirëpo gjetja vetëm e pikës mesatare së të dhënave nuk është e mjaftueshme për një analizë të

mirë. Në të njëjtën kohë duhet të analizohet edhe shpërndarja e të dhënave dhe devijimi i tyre

nga mesatarja.

2. MATËSIT E DEVIJIMIT NGA MESATARJA

2.1. Varianca

Vlera e variancës gjendet nga pjestimi i totalit të katrorëve të devijimeve nga mesatarja me

totalin e numrit të vlerave. Për shembull, në qoftë se mesatarja aritmetike e serisë (3,5,7,5,6,7,9)

është 6, varianca llogaritet në këtë mënyrë:

40

2.2. Devijimi Standart Devijimi standart tregon largësinë e vrojtimeve nga mesatarja dhe është e barabartë me

rrënjën katrore të variancës. Për shembull, varianca e serisë (3,5,7,5,6,7,9) është 3,14 (nga

llogaritja e mësipërme), kurse devijimi standart do të jetë √ = 1,77.

3. MATËSIT E DEVIJIMEVE NGA NORMALJA

3.1. Shpërndarja Normale Për Një Ndryshore Shpërndarja e të dhënave është shumë me rëndësi në punimet statistikore sepse në

hulumtimet statistikore për aplikimin e shumë testeve shpërndarja duhet që të jetë normale apo

afër normales.

Shpërndarja normale është një shpërndarje e vazhdueshme. Për shembull, një pjesë e madhe

e notave të financave të një pjese të madhe të studentëve do të mblidhen me anë të mesatares,

kurse disa nota, do të shpërndahen anash të reduktuara brenda një intervali të gjerë konstant. Në

qoftë se mesatarja e këtij provimi është 70, numri i studentëve të cilët kanë marrë notë ndërmjet

intervalit 65-70 pritet të jetë më i madh se ai i intervalit 85-95. Ky është funksioni i densitetit të

probabilitetit që i ngjan ziles i cili zvogëlohet përgjatë vlerave ekstreme të cilat kalojnë mbi

limitet e mesaters. Shpërndarja normale është një shpërndarje simetrike. Mesatarja aritmetike,

moda dhe mediana janë të barabarta.

Figura 1: Kurba e Shpërndarjes Normale

Shpërndarja standarte normale e cila me një mesatare 0 dhe devijim standart 1, ka një

frekuencë në formë të ziles. Shpërndarjet normale të cilat kanë një mesatare të ndryshme nga 0

dhe devijim standart të ndryshëm nga 1, nuk janë shpërndarje normale standarte. Zakonisht gjatë

aplikimeve bëhen krahasime me të këtilla lloje të shpërndarjeve.

Në mostrat me një ndryshore për kërkimin e normalitetit përdoren metodat grafike si

grafiku pa tendecë, diagrami i kutisë, Q-Q, grafiku i histogramit dhe në të njëjtën kohë testet si

Shapiro-Wilks, Kolmogorov-Smirnov.

41

Në punimet statistikore u përmend më parë se për kryerjen e shumë testeve shpërndarja

duhet të jetë normale apo afër normales sepse largësia e të dhënave nga normalja shkakton

rezultate të gabueshme të analizës dhe rrjedhimisht interpretimet e bëra do të jenë gabim. Për

këtë arsye, të dhënat të cilat nuk tregojnë shpërndarje normale duhet të konvertohen në atë

mënyrë që të tregojnë shpërndarje normale. Shkalla e pjerrësisë së të dhënave dhe metoda e

konvertimit janë paraqitur më poshtë në tabelën 1.

Tabela 1: Konvertimet Sipas Lakimit

Lakueshmëri e

Moderuar Pozitive

Lakueshmëri

Ekstreme

Pozitive

Lakueshmëri

Negative

(përzgjedhja 1)

Lakueshmëri

Negative

(përzgjedhja 2)

Lakueshmëri

Ekstreme

Negative

Konvertimi në

rrënjë katore (është

e përshtatshme për

të dhënat e

grumbulluara)

Konvertim

logaritmik

Kthimi në një

shpërndarje

pozitive anësore

dhe përdor

metodën e

përdorur këtu

Kovertimi i X2

apo X3, apo

konvertimi (x/

(1-x))

Mirret vlera e

kundërt e

vrojtimit (1/x),

kurse norma

logit(p) =loge (p/

(1-p))

3.1.1. Shembull Aplikimi Shumat e prodhimit ditor të 10 punëtorëve të një firme janë si më poshtë.

Tabela 2: Të Dhënat Përkatesë të Shembullit

Nr. Punëtorëve Shume e Prodhimit

1 50,00

2 200,00

3 80,00

4 92,00

5 25,00

6 18,00

7 42,00

8 82,00

9 22,00

10 40,00

Për të parë në fillim se shumat e prodhimit a ndjekin shpërndarjen normale, të paraqesim

histogramin dhe grafikun e normalitetit. Për t’a bërë këtë në SPSS, shkohet tek menyja Graphs

Legacy Dialogs Histogram. Në dritaren e hapur, ndryshorja “shuma e prodhimit”

transferohet në pjesën Variables. Më vonë, etiketohet përzgjedhja “Display Normal Curve”

dhe klikohet butoni OK. Në fund të këtij funksioni do të përfitohet histogrami i mëposhtëm.

42

Figura 2: Rezultatet e Histogramit

Sipas grafikut të përfituar të histogramit dhe kurbës së shpërndarjes normale, mund të

shihet se ndryshorja nuk ndjek shpërndarjen normale dhe se është e lakuar në të djathtë në

mënyrë të konsiderueshme.

Teksa seti i të dhënave në këtë mënyrë nuk ndjek shpërndarjen normale, nuk është e

drejtë që të bëhet ndonjë analizë. Për këtë arsye ndryshoret të konvertohen në mënyrë që ndjekin

shpërndarjen normale. Për këtë, të shikojmë dallimin duke e bërë konvertimin në rrënjën katrore

në SPSS. Në fillim, në SPSS, shkohet te menyja Transform Compute Variable.

Hapi 1: Menyja Filluese e Funksionit të Konvertimit

43

Më vonë, në pjesën Target Variable shkruhet emri i të dhënave që do të përfitohen në

fund të konvertimit. Duke e përzgjedhur ndryshoren e shumës së prodhimit, bëhet bartja në

pjesën Numeric Expression. Nga butonat e makinës llogaritëse duke shtypur butonin e shenjës

së yllave shkruhet 0,5 dhe klikohet butoni OK.

Hapi 2: Dritarja e Konvertimit të Rrënjës Katrore

Tabela 3: Konvertimi i Rrënjës Katrore

Nr. Punëtorëve Shume e Prodhimit Rrënja Katrore

1 50,00 7,07

2 200,00 14,14

3 80,00 8,94

4 92,00 9,59

5 25,00 5,00

6 18,00 4,24

7 42,00 6,48

8 82,00 9,06

9 22,00 4,69

10 40,00 6,32

44

Në fund të konvertimit në rrënjë katrore, për të parë se të dhënat e reja të përfituara a

ndjekin shpërndarjen normale, bëhet përsëri vizatimi i histogramit.

Figura 3: Rezultatet e Histogramit e Konvertimit në Rrënjë Katrore

Siç mund të shihet, të dhënat tani jam pak më afër normales. Tani duke bërë konvertimin

logaritmik mund të shohim shpërndarjen e të dhënave.

Për këtë, në SPSS, shkohet tek menyja Transforom Compute Variable. Në pjesën

Target Variable shkruhet emri i të dhënave që do të përfitohen në fund të konvertimit të bërë.

Në pjesën Function Group përzgjedhet Arithmetic dhe nga pjesa Functions and Special

Variables përzgjedhet lg10. Pas kësaj në pjesën e makinës llogaritëse klikohet shigjeta që tregon

drejtimin lartë dhe funksioni bartet në pjesën Numeric Expression. Në vend të ? në pjesën

Numeric Expression bartet ndryshorja shuma e prodhimit dhe klikohet butoni OK.

45

Hapi 3: Dritarja e Konvertimit Logaritmik

Tabela 4: Konvertimi Logaritmik

Nr. Punëtorëve Shume e Prodhimit Konvertimi Logaritmik

1 50,00 1,70

2 200,00 2,30

3 80,00 1,90

4 92,00 1,96

5 25,00 1,40

6 18,00 1,26

7 42,00 1,62

8 82,00 1,91

9 22,00 1,34

10 40,00 1,60

46

Në fund të konvertimit logaritmik, për të parë se të dhënat e reja të përfituara a ndjekin

shpërndarjen normale, bëhet përsëri vizatimi i histogramit. Siç mund të shihet më poshtë në

figurën 4, në fund të konvertimit logaritmik të dhënat e përfituara ndjekin shpërndarjen normale.

Figura 4: Rezultate e Histogramit të Konvertimit Logaritmik

3.2. Ngushtësia

Shpërndarja kurtozës (kurtosis) është një matës që jep informata rreth situatës së pikave

më të larta të të dhënave, pra drejtimit dhe vertikales. Një lakim afër zeros krijon një formë afër

shpërndarjes normale. Një vlerë pozitive e lakueshmërisë është shenjë e një shpërndarjeje më të

vertikale nga normalja. Një vlerë negative e lakueshmërisë është një shenjë e një shpërndarjeje

më të drejtë nga normalja.

3.3. Pjerrësia Shpërndarja e pjerrësisë (Skewness) është një matës që përcakton se sa ka devijuar

shpërndarja në rrethin e mesatares nga simetria, pra përcakton simetrinë e të dhënave. Vlera zero

është shenjë e një shpërndarjeje simetrike, pra një ekulibrimi mesatar. Pjerrësia pozitive tregon

që ekzistojnë shumë vlera të vogla, kurse pjerrësia negative tregon që ekzistojnë shumë vlera të

mëdha. Në rastin kur mesatarja e çfarëdo seti të të dhënave është më e madhe se mediana, vihet

në pah një shpërndarje e pjerrët në të djathtë, në rastin e mesatares më të vogël se mediana vihet

në pah një shpërndarje e pjerrët në të majtë.

47

4. Shembull Aplikimi Shpërndarja e moshave të studentëve të një klase le të jetë si më poshtë në tabelën 5.

Sipas kësaj, me këtë set të të dhënave mund të analizojmë matësit e tendencës qendrore

(mesataren aritmetike, medianën, modën), matësit e devijimit nga mesatarja (variancën,

devijimin standart) dhe matësit e devijimit nga normalja (ngushtësinë, pjerrësinë).

Tabela 5: Të Dhënat Përkatëse të Shembullit

NO MOSHA

1 21

2 19

3 20

4 21

5 19

6 22

7 23

8 17

9 18

10 20

NO MOSHA

11 26

12 21

13 25

14 18

15 20

16 27

17 22

18 24

19 23

20 26

Për të grupuar të dhënat që posedojmë dhe për të gjetur frekuncat e këtyre grupeve,

përdoren këto përzgjedhje.

Për të aplikuar metodën Frequencies në SPSS, ndiqen këto faza:

Ananlyze Descriptive Statistics Frequencies.

Hapi 1: Menyja Filluese e Metodës Frequencies

48

Hapi 2: Dritarja e Metodës Frequencies

Në dritaren e statistikave në pjesën Central Tendecy etiketohen të gjitha përzgjedhjet

(Mean, Median, Mode, Sum). Ngjajshëm, në pjesën Dispersion dhe Distribution etiketohen të

gjitha përzgjedhjet dhe shtypet tasti Continue.

Hapi 3: Dritarja e Statistikave të Metodës Frequencies

49

Pasi të kthehet në dritaren Frequencies, shtypet tasti OK dhe do të realizohet analiza.

Rezultatet e analizës janë dhënë më poshtë.

Tabela 6: Rezultatet e Testit të Metodës Frequencies

Statistics

mosha

N Valid 20

Missing 0

Mean 21.6000

Std. Error of Mean .64645

Median 21.0000

Mode 20.00a

Std. Deviation 2.89100

Variance 8.358

Skewness .358

Std. Error of Skewness .512

Kurtosis -.778

Std. Error of Kurtosis .992

Range 10.00

Minimum 17.00

Maximum 27.00

Sum 432.00

a. Multiple modes exist. The smallest

value is shoën

Në fund të analizës janë përcaktuar statistikat përshkruese për të dhënat e moshës dhe

sipas kësaj mesatarja e serive është 21,16, mediana 21 dhe moda 20. Jashtë këtyre, vlera

minimale e serisë është 17, kurse vlera maksimale është 27. Koeficienti skewness i serisë është

0,358 dhe vlera kurtosis është -0,778.

50

Tabela 7: Rezultatet e Testit të Metodës Frequencies

mosha

Frequency Percent Valid Percent

Cumulative

Percent

Valid 17.00 1 5.0 5.0 5.0

18.00 2 10.0 10.0 15.0

19.00 2 10.0 10.0 25.0

20.00 3 15.0 15.0 40.0

21.00 3 15.0 15.0 55.0

22.00 2 10.0 10.0 65.0

23.00 2 10.0 10.0 75.0

24.00 1 5.0 5.0 80.0

25.00 1 5.0 5.0 85.0

26.00 2 10.0 10.0 95.0

27.00 1 5.0 5.0 100.0

Total 20 100.0 100.0

Në këtë tabelë, në kolonën Frequency në lidhje me të dhënat e moshës është treguar se sa

herë janë përsëritur vlerat dhe në kolonën Percent janë dhënë përqindjet e këtyre vlerave.

Të njëjtat rezultate mund t’i përfitojmë edhe përmes AnalyzeDescriptive Statistics,

me ndihmën e menyve Descriptive, Explore dhe Crosstabs.

51

3. TESTIMI I HIPOTEZAVE

52

TESTIMI I HIPOTEZAVE

1. PËRCAKTIMI I HIPOTEZAVE Testimi i hipotezave paraqet krahasimin e parametrave të një popullimi të definuar më

parë (p.sh. mesatarja e popullimit) me parametrat e përfituara nga masa e mostrës (p.sh.

mesatarja e mostrës). Në qoftë se vlera e mostrës është e afërt me vlerën parametrike të testuar,

hipoteza nuk refuzohet, pranohet drejtëpërsëdrejti. Por në qoftë se vlera e mostrës është shumë e

ndryshme nga vlera parametrike e testuar, hipoteza drejtëpërsëdrejti refuzohet, nuk pranohet. Për

të aplikuar testin e hipotezave, në fillim duhet definuar hipotezën zero (null hypothesis) dhe

hipotezën alternative (alternative hypothesis).

1.1. Hipoteza Zero (Null Hypothesis) Hipoteza zero zakonisht shënohet në formën H0 dhe shpreh vlerën parametrike e cila do

të testohet (µ0). Hipoteza zero bazohet në parimin se “nuk ekziston dallim” ndërmjet vlerës së

përcaktuar parametrike me vlerën e realizuar. Hipoteza zero supozohet të jetë e saktë përderisa të

vërtetohet e kundërta. Për këtë aryse, gjatë krijimit të hipotezës zero duhet të kihet kujdes që të

jetë e plotë dhe e qartë në mënyrë statistikore. Për shembull, në qoftë se dëshirohet të krijohet një

hipotezë në lidhje me të ardhurat për kokë banori në një nga krahinat e Kosovës, duhet të

shprehet një numër i caktuar në hipotezën zero. Në këtë rast, hipoteza zero mund të krijohet në

këtë mënyrë.

H0: Të ardhurat për kokë banori të krahinës X janë 1,000€.

1.2. Hipoteza Alternative (Alternative Hypothesis) Hipoteza alternative zakonisht shënohet në formën HA dhe shpreh vlerën e cila pranohet

në rastet kur refuzohet hipoteza zero. Hipoteza alternative pranohet vetëm në rastet kur hipoteza

zero refuzohet. Në shembullin e më lartë, hipoteza alternative e hipotezës zero duhet të shpreh se

të ardhurat për kokë banori të krahinës X nuk janë 1,000€. Në qoftë se do t’a shkruanim në formë

statistikore, do të ishte:

H0: µ = µ0 H0: µ = 1,000 €

HA: µ ≠ µ0 HA: µ ≠ 1,000 €

Siç shihet edhe nga shembulli, hipoteza alternative përfshin vlera të cilat nuk marrin pjesë

në hipotezën zero. Pra, në shembull, në qoftë se duke e refuzuar hipotezën zero pranohet

hipoteza alternative, nënkuptohet se vlera e të ardhurave për kokë banori në krahinën X është e

ndryshme nga 1,000€.

53

2. TESTET STATISTIKORE

Rezultatet e një hipotezeje mund të jenë vetëm dy: hipoteza zero pranohet ose refuzohet.

Siç dihet nga statistika, vlerat e shpërndarjes normale mund të konvertohen në rezultatet e Z-së

dhe probabilitetet tregohen në tabelën e z-së. Prandaj, vlera e z-së është një shembull i

statistikave të testit. Për të i testuar hipotezat, duhet të zbulohet një numër për të përcaktuar se në

çfarë vlera hipoteza zero do të pranohet apo do të refuzohet. Kjo vlerë zakonisht njihet si vlera

kritike (critical value) apo vlera e tabelës ngaqë shikohet nga tabela. Në qoftë se vlera e

llogaritur, është më e vogël se kjo vlerë kritike, hipoteza zero refuzohet.

3. TESTET NJË DHE DY ANËSORE Emërimi i testeve të hipotezave të krijuara si një dhe dy anësor lidhet me krijimin e

hipotezës alternative. Në qoftë se hipoteza alternative është si më poshtë, kemi të bëjmë me

testin një anësor të majtë.

H0: µ = k

HA: µ < k

Në hipotezën zero, mesatarja e popullimit është e barabartë me k (k paraqet çfarëdo

numri), kurse në hipotezën alternative është më e vogël se k.

Figura 1: Testi Një Anësor i Majtë

Në qoftë se në hipotezën alternative, mesatarja e popullimit specifikohet se është me e

madhe se k, këtë radhë kemi të bëjmë me testin një anësor të djathtë.

H0: µ = µ0 HA: µ > µ0

54

Figura 2: Testi Një Anësor i Djathtë

Në qoftë se hapësira e refuzimit është e ndarë në dy pjesë të barabarta në hipotezë, kemi të

bëjme me testin dyanësor. Në testin dyanësor, kemi të bëjmë me jo barazi në hipotezën

alternative.

Figura 3: Testi Dyanësor

55

4. GABIMI I LLOJIT TË PARË DHE TË DYTË

Lloji i Parë i Gabimit: Refuzimi i hipotezës zero kur ajo është saktë. Mundësia e gabimit të

llojit të parë tregohet me α.

Lloji i Dytë i Gabimit: Pranimi i hipotezës zero kur ajo është jo e saktë. Lloji i gabimit

tregohet me β.

Lloji i Parë dhe i Dytë i Gabimit: Për të i kuptuar koncepetet e gabimit të llojit të parë dhe të

dytë, në fillim duhet të kuptohet niveli i rëndësisë (significance level).

5. NIVELI I RËNDËSISË (α) DHE INTERVALI I BESIMIT (1-α)

Niveli i rëndësisë është një standart bazë statistikor për të refuzuar hipotezën zero. Në

testimin e hipotezave, në të njëjtën kohë α tregon nivelin e rëndësisë. Qëllimi i nivelit të

rëndësisë, është që të jap një bazë rreth dallimeve të krijuara ndërmjet vlerës së mostrës dhe

parametrave të popullimit që marrin pjesë në hipotezë dhe për të vendosur se dallimet a janë

krijuar rastësisht apo janë të rëndësishme në mënyrë statistikore.

Niveli i përzgjedhur i rëndësisë (α) siguron përcaktimin e zonave të pranimit dhe të

refuzimit në shpërndarjen e mostrës. Në departamentet e inxhinierisë, shëndetësisë etj, zakonisht

përdoret niveli i rëndësisë prej 0,05 ose mund të jetë edhe në vlera më të vogla 0,01, po ashtu

mund të përdoren edhe vlera më të mëdha si 0.10 apo edhe më lartë. Ajo çfarë duhet të kihet

kujdes gjatë përzgjedhjes, janë çëshjtet apo kostot që mund të lindin me rastin e refuzimit të një

hipoteze të saktë zero. Pra, është i rëndësishëm Lloji i Parë i Gabimit. Po ashtu, edhe rasti me

pranimin e një hipoteze jo të saktë zero mund të shkaktojë rezultate jo të sakta apo kosto shtesë.

Këtu pra, kemi të bëjmë me Llojin e Dytë të Gabimit. Për të shmangur situata të tilla, duhet të

përzgjedhet një vlerë e lartë e α-së (p.sh. 0,25 apo më shumë).

Niveli i rëndësisë mund të shpjegohet edhe përmes konceptit të intervalit të

besueshmërisë. Niveli i rëndësisë prej 5% shpreh intervalin e besueshmërisë prej 95%. Pra, në

qoftë se vlera e testuar është 95% brenda intervalit të besueshmërisë, hipoteza zero nuk

refuzohet. Mirëpo, në qoftë se bie në zonën e mbetur prej 5%, hipoteza zero refuzohet. Kjo

situatë, mund të shihet në figurën e mëposhtme.

56

Figura 4: Zonat e Pranimit dhe Refuzimit të Hopotezës (α = 0,05)

Në bazë të dy llojeve të gabimeve, ekzistojnë edhe dy lloje të vendimeve të sakta: pranimi

i hipotezës së saktë zero dhe refuzimi i hipotezës së gabuar zero. Mundësia e saktë e pranimit

është sa pjesa që e përmbush Lloji i Parë i Gabimit (niveli i rëndësisë). Në qoftë se niveli i

rëndësisë është 0,05, probabiliteti i pranimit të një hipoteze të saktë zeroje është 1,00-α=1,00-

0,05=0,95. Në të njëjtën mënyrë, mundësia e refuzimit të një hipoteze të gabuar zeroje është sa

pjesa që e përmbush Lloji i Dytë i Gabimit (1-β). Këto mund të i përmbledhim në këtë mënyrë:

Vendimi Hipoteza zero e saktë Hipoteza zero jo e saktë

Hipoteza zero pranohet Pranim i saktë (1-α) Lloji i dytë i gabimit (β)

Hipoteza zero refuzohet Lloji i parë i gabimit (α) Refuzim i saktë (1-β)

Shmangia e gabimeve të llojit të parë dhe të llojit të dytë shpesh është e mundur. Për

arsye se mund t’a përcaktojmë vetë nivelin e rëndësisë, mund t’a kontrollojmë mundësinë e

bërjes së gabimit të llojit të parë. Mënyra për t’a kontrolluar llojin e dytë të gabimit është

zgjedhja e përshtatshme e madhësisë së mostrës. Në qoftë se madhësia e mostrës është konstante,

mundësia e paraqitjes së llojit të parë të gabimit ulet dhe rritet mundësia e paraqitjes së llojit të

dytë të gabimit. Në qoftë se tersi të cilin e sjell krijimi i llojit të parë të gabimit është relativisht

më i madh se tersi të cilin e sjell lloji i gabimit të dytë, niveli i rëndësisë duhet të përcaktohet i

ulët.

57

6. MADHËSIA E MOSTRËS

Gjatë shqyrtimit të hulumtimit numri i njësive që marrin pjesë në zonën e hulumtimit

quhet madhësi e mostrës. Madhësia e mostrës është e rëndësishme si për nga aspekti i

besueshmërisë së hulumtimit ashtu edhe për kryerjen me lehtësi të hulumtimit. Në qoftë se

madhësia e mostrës është më e madhe se sa që duhet të jetë, rriten kostot e hulumtimit. Zbulimi i

madhësisë së mostrës së hulumtimit lidhet me qëllimin e hulumtuesit. Karakteristikat e

hulumtimit, numri i ndryshoreve të përdorur në hulumtim, karakteristikat e analizave që do të

përdoren në hulumtim etj, ndikojnë përzgjedhjen e madhësisë së mostrës. Përveç kësaj, së

bashku me këta faktorë madhësia e mostrës mund të zbulohet edhe në mënyrë kuantitative.

Hulumtuesi, mund të përzgjedh një madhësi të mostrës pasi më parë të përcaktojë gjerësinë e

intervalit të besueshmërisë. Për t’a llogaritur madhësinë e mostrës, përdoret formula e

mëposhtme.

n = (Z2σ

2) / (X-µ)

2

n: madhësia e mostrës

σ2: katrori i devijimit standard

Z2: katrori i vlerës Z e cila lexohet nga tabela z në lidhje me vlerën e α-së sipas intervalit të

përcaktuar të besueshmërisë.

(X-µ)2: vlera e mesatares X nga një distancë e caktuar nga µ.

Në rastet e aplikimeve kur nuk dihet varianca e popullimit (σ2), përdoret varianca e mostrës

(S2).

6.1. Shembull Aplikimi Të parashikohet paga mesatare për orë e punëtorëve të një firme të tekstilit që do të ketë

devijim standart për 10€ nga mesatarja e vërtetë e popullimit brenda 95% intervalit të

besueshmërisë. Duke u mbështetur në të dhënat e kaluara, devijimi standart i llogaritur për

bizneset është i njohur të jetë 50€. Në këtë rast, sa duhet të jetë madhësia e mostrës?

Në fillim duhet të dihet se sa është vlera e z-së brenda intervalit të besueshmërisë 95%.

Sipas kushteve të shpërndarjes normale, siç shihet edhe më poshtë, hapësira e cila do të ndahet

në tabelën z është 0,475. Vlera e dhënë e z-së në këtë zonë është 1,96.

58

n = (Z2σ

2) / (X-µ)

2

n = (1,96)2(50)

2 / (10)

2

n = (3,8416) (2500) / 100

n = 96,04 96

59

4. TESTET E HIPOTEZAVE

PARAMETRIKE

60

TESTET PARAMETRIKE

Teoria e mostrës, përveç parashikimit të parametrave të popullimit, mundëson edhe

testimin e hipotezave statistikore. Testimi i hipotezave përfshin çështjet për të hulumtuar

supozimet rreth të dhënave të një popullimi në një nivel të caktuar të kuptueshmërisë (niveli i

gabimit). Këto teste përcaktojnë nëse statistikisht është e rëndësishme informacioni i prodhuar

me vlerën e njohur më parë duke përdorur vlerën e njësisë së mostrës. Në qoftë se ka dallim,

rëndësia e këtij dallimi përcakton se a është e mjaftueshme për të refuzuar hipotezën zero. Në

rastin kur dallimi është i rëndësishëm, hipoteza zero refuzohet dhe në rastin e kundërt pranohet.

Në testet e hipotezave, gjithmonë hipoteza e cila testohet është hipoteza zero. Zakonisht,

për të vendosur në lidhje me hipotezën zero parametrat e së cilës janë të përcaktuara më parë dhe

që tregon se vlera e njohur nuk ka ndryshuar, duhet bërë përgjithësimi duke u bazuar në

mundësinë e informacionit të mostrës.1 Në këtë rast, është e nevojshme që të dihet shpërndarja

statistikore e mostrës e cila prodhon informacionin rreth parametrës së caktuar. Me fjalë të tjera,

informacioni në lidhje me parametrat e popullimit, nuk prodhohet nga statistikat e përfituara nga

të dhënat e mostrës, por nga shpërndarja teorike në përputhje më këto statistika. Për shembull,

sipas Teoremës së Qendrës Kufitare (Central Limit Theorem), pavarësisht shpërndarjes së

popullimit, në qoftë se vëllimi i mostrës është i madh sa duhet (n ≥ 30), mesataret e popullimit do

të ndjekin shpërndarjen normale. Nga testet parametrike, do të shqyrtohet testi T, testi z dhe testi

ANOVA.

1. SUPOZIMET E TESTEVE PARAMETRIKE Të dhënat duhet të jenë intervalore ose proporcionale.

Të dhënat duhet të ndjekin shpërndarjen normale (vlerat e kurtosës dhe lakueshmërisë

duhet të jenë ndërmjet -1 dhe +1).

Grupi i variancave duhet të jetë i barabartë (variancat mund të jenë të ndryshme deri

në katër, por jo më shumë).

Gjatë kryerjes së hulumtimit për të vendosur se cilat analiza të përdoren, duhet përgjigjur

tri pyetjeve të mëposhtme:

Sa grupe të të dhënave kemi në duar?

Si është lidhja ndërmjet grupeve (e varur – e pavarur)?

Cilat supozime i plotësojnë?

Sipas përgjigjeve alternative, tabela e mëposhtme shpjegon se cilat teste në cilat raste

duhet përdorur.

1Mund të jenë hipotezat (sugjerimet) rreth popullimit, vlerat e parametrave, një nivel i njohur më parë, një vlerë

standarte apo një vlerë e supozuar.

61

NUMRI I

GRUPEVE

GJENDJA E

GRUPEVE

SUPOZIMET

TESTI I

NEVOJSHËM

2 Grupet e pavarura Ne qoftë se plotësohen të tri kushtet Testi T i pavarur

2 Grupet e pavarura Në qoftë se një nga kushtet nuk

është plotësuar

Testi Mann-Whitney U

(test jo parametrik)

2 Grupet e varura Në qoftë se së paku supozimi 1 dhe

2 përmbushen

Testi T i varur

2 Grupet e varura Në qoftë se supozimi 1 dhe 2 nuk

plotësohen

Testi Wilcoxon


2 Në qoftë se përdoren të dhëna

nominale

Testi Katrori-Ki

3 dhe mbi Grupet e pavarura Në qoftë se përmbushen të tri

supozimet

Testi ANOVA

3 dhe mbi Grupet e pavarura Në qoftë se një nga supozimet nuk

përmbushet

Testi Kruskal-Wallis


2. Testi T

Testi T përdoret për të hulumtuar dallimin ndërmjet dy grupeve të mostrave për nga

mesataret. Testi T përcakton se a ka dallim të konsiderueshëm mesatarja e një grupi me

mesataren e grupit tjetër. Në testin T pika kritike është ‘dy’. Testi T gjithmonë krahason dy

mesatare apo dy vlera të ndryshme. Veçanërisht, në rastet kur madhësia e mostrës nuk është e

madhe, kur nuk dihet devijimi standart i popullimit të marrë nga mostra dhe kur parametrat e

popullimit nuk përdoren në testin e hipotezave preferohet testi T.

Teksa shqyrtohen dallimet e grupeve në nivelin e rëndësisë në testin T, është e

rëndësishme të kihen parasysh testet njëanësor (one-tailed) dhe dy anësor (two-tailed). Në testin

dy anësor, nuk është me rëndësi drejtimi pozitiv apo negativ i dallimit të mesatares së një grupi

për nga grupi tjetër. Por në testin një anësor, në një drejtim të caktuar (pozitiv apo negativ) pritet

që mesatarja e grupit të parë te jetë e ndryshme prej mesatares së grupit të dytë. Për shembull,

suksesi i një kampanjeje të reklamës, mund të shoqërohet me rritjen në shitje. Kështu që këtu

duhet të aplikohet testi t një anësor. Në raport me hulumtimin mund të përdoret edhe testi t dy

anësor. Për shembull, gjatë vlerësimit të suksesit të provimit, rritja e notës (pozitive) apo ulja

(negative) ngaqë do të jetë e rëndësishme për analistin, do të ishte më e saktë që në vend të testit

t një anësor, të zgjedhet testi t dy anësorësh. Gjatë aplikimeve, duke e ndarë vlerën Sig 2-tailed të

cilën e përcakton SPSS-i, mund të kalkulohet vlera e një testit një anësor. Me pak fjalë, vlera e

testit dy anësor, është sa dy herë vlera e tesit një anësor.

Në programin SPSS paraqiten tri alternativa të testit : Independent-Samples T Test (testi t

i dy mostrave të pavarura), Paired Samples T Test (testi t i dy mostrave të varura) dhe One

Sample T Test (test t një mostre). Testi i përdor më shumë gjatë aplikimeve është testi i dy

mostrave të pavarura.

62

2.1. Test T i dy Mostrave të Pavarura (Indepedent-Samplest t-Test) Testi T i dy mostrave të pavarura bën krahasiminn e dy grupeve të ndryshme të mostrave.

Anëtarët e dy grupeve janë të ndarë nga njëri-tjetri. Në mes të dy grupeve nuk duhet të ketë

anëtarë të përbashkët. (P.sh.: mashkull-femër, studentët e vitit të parë-studentët e vitit të dytë,

njohës i gjuhëve të huaja-njohës jo i gjuhëve të huaja etj.).

2.1.1. Shembull Aplikimi Duke përdor matësin e Likertit 5 shkallësh në një anketë të realizuar kërkohet të

përcaktohet se a është burim prestigji institucioni në të cilin punojnë të anketuarit (5=plotësisht

pajtohem, 4=pajtohem, 3=pjesërisht pajtohem, 2=nuk pajtohem, 1=plotësisht nuk pajtohem).

Duke i ndarë pjesëmarrësit në dy grupe meshkuj dhe femra, është bërë krahasimi i komenteve në

lidhje me pyetjen. Në këtë rast, duke e përdorur Testin T të dy mostrave të pavarura, mund të

krahasohen mesataret e dy grupeve (meshkuj-femra).

Tabela 1: Të Dhënat Përkatëse të Rastit

(Numri 1 përfaqëson Meshkujt, Numri 2 përfaqëson Femrat)

Gjinia Komenti Gjinia Komenti

1 3 2 4

2 4 2 4

1 3 2 5

2 4 1 2

1 3 1 3

1 4 1 2

2 4 2 3

1 1 1 3

2 4 2 4

2 4 2 5

1 3 2 4

1 3 2 5

2 5 2 4

1 4 1 3

1 3 2 4

Pasi të jenë futur të dhënat në SPSS, zgjidhen me radhë: Analyze, Compare Means,

Independent-Samples T Test. (Hapi 1)

63

Hapi 1: Zgjedhja e Independent-Samples T Testit nga Menyja

Pasi të jetë përzgjedhur, në vazhdim do të paraqitet ekrani i mëposhtëm. (Hapi 2) Në këtë

dritare në pjesën Test Variables vendoset kolona “komenti” e cila përfaqëson përgjigjet e

pjesëmarrësve dhe në pjesën Grouping Variables vendoset “gjinia”. Për të vazhduar më tutje,

bëhen rregullimet e nevojshme në pjesën Define Groups. (Hapi 3)

Hapi 2: Dritarja e Dialogut të Testit T

64

Hapi 3: Dritarja Për Përcaktimin e Grupeve, Independent Samples t-T

Pasi të shkruhen 1 dhe 2 në kutizat Group 1 dhe Group 2 për dy grupet në shembullin

tonë (mashkull:1, femër:2), vazhdohet tutje me Continue. Pasi të klikojmë OK do të fitojmë

rezultatet e analizës si më poshtë.

Tabela 2: Rezultatet e Independent-Samples t-Testit

Group Statistics

Gjinia N Mean Std. Deviation Std. Error Mean

Komenti 1.00 14 2.8571 .77033 .20588

2.00 16 4.1875 .54391 .13598

Sipas rezultateve të analizës, mesatarja e 14 meshkujve pjesëmarrës është 2,8571 dhe

mesatarja e 14 femrave pjesëmarrëse është 4,1875. Pra, femrat pajtohen me mendimin se

institucioni në të cilin punojnë është burim prestigji, kurse meshkujt nuk pajtohen me këtë

mendim, mirëpo ata shihet të pajtohen pjesërisht (në anketë qenë përcaktuar vlerat 2=pajtohem,

3=pjesërisht pajtohem. Mesatarja për meshkujt është 2,85). Shihet se ekziston një dallim i

rëndësishëm ndërmjet grupeve. Edhe rezultati i Sig (2-tailed) (p=0,000) tregon që ekziston një

65

dallim i rëndësishëm ndërmjet mesatareve të grupeve (Vlera e Sig. është më e vogël se 0.05

brenda intervalit të besueshmërisë 95%). Në këtë mënyrë, refuzohet hipoteza zero (null) dhe

pranohet hipoteza alternative.

H0: Nuk ekziston dallim ndërmjet mesatareve të dy grupeve.

HA: Ekziston dallim ndërmjet mesatareve të dy grupeve.

Në këtë rast mund të komentojmë se meshkujt dhe femrat mendojnë ndryshe në çështjen

se a e shohin si burim prestigji institucionin në të cilin punojnë dhe se femrat e shohin si burim

prestigji institucionin në të cilin punojnë.

Në fund të analizës komenti për pjesën Levene’s Test for Equality of Variances duhet

të bëhet sipas Equal variances assumed dhe Equal variances not assumed. Në qoftë se

shpërndarjet nuk tregojnë dallim në masë të rëndësishme, do të ishte më e saktë që në vend të

supozimit të equal variance (shpërndarje e barabartë) të përdoret supozimi unequal variance

(shpërndarje jo të barabarata). Në këtë fushë, vlera e Sig (0,540) tregon se shpërndarja kërkon

dallim dhe në mënyrë statistikore është më e përshtatshme që të përdoret supozimi unequal

variance. Në shembullin tonë, për arsye se vlera e Sig (2-tailed) është e rëndësishme (p=0,000) si

për equal variance assumed ashtu dhe për variances not assumed, nuk do të ketë ndonjë ndryshim

në komentimin e analizës.

2.2. Testi T i dy Mostrave të Varura (Paired Samples t-Test) Në testin T të dy mostrave të pavarura përsëri bëjmë krahasimin e mesatareve. Por këtu,

nuk janë dy grupe të ndara. Analizat bëhen mbi grupin e njëjtë të mostrës (p.sh.: masim pritjet e

grupit brenda periudhave të ndryshme kohore, sukseset, shpejtësitë etj.).

2.2.1. Shembull Aplikimi Supozoni se një mësimdhënës dëshiron të mas suksesin ndërmjet notave të kollokfiumit

dhe provimit final të studentëve. Pasi të futen notat e kollokfiumit dhe të provimit final të një

grupi prej 20 vetash në SPSS duke përdorur Paired Sampes T Test, mund të shihet dallimi në

rastin e suksesit.

66

Tabela 3: Të Dhënat Përkatëse Për Rastin

Kollokfium Final

45 75

67 73

60 85

55 72

48 56

62 73

48 76

63 80

72 95

50 82

Pasi të jenë futur të dhënat në SPSS, zgjidhen me radhë: Analyze, Compare Means,

Paired-Samples T Test. (Hapi 1)

Hapi 1: Zgjedhja e Paired Samples T Testit nga Menyja

Kollokfium Final

77 92

81 90

56 70

45 60

68 87

75 95

49 90

88 96

67 80

87 90

67

Hapi 2: Dritarja e Dialogut Të Paired Samples T Test

Siç shihet nga dritarja, ndryshoret tona kollokfiumi dhe final barten në pjesën Paired

Variables. Pasi të klikoket OK fitojmë rezultatet e mëposhtme.

Tabela 4: Rezultatet e Paired-Samples T Test

Paired Samples Correlations

N Correlation Sig.

Pair 1 Kollokfium & Final 20 .715 .000

Paired Samples Test

Paired Differences

t df

Sig.

(2-

tailed) Mean

Std.

Deviation

Std.

Error

Mean

95% Confidence Interval

of the Difference

Lower Upper

Pair 1 Kollokfium - Final -17.70000 9.75003 2.18017 -22.26316 -13.13684 -8.119 19 .000

Paired Samples Statistics

Mean N Std. Deviation Std. Error Mean

Pair 1 Kollokfium 63.1500 20 13.74304 3.07304

Final 80.8500 20 11.45368 2.56112

68

Sipas rezultateve të analizës, mesatarja e notave të kollokfiumit të 20 studentëve është

63,15 dhe mesatarja e notave finale është 80,85. Vlera Sig (2-tailed) në intervalin 95% të

besueshmërisë është më e vogël se 0,05 (p=0,000). Pra, ekziston një dallim i rëndësishëm

ndërmjet mesatareve të notave të kollokfiumit dhe finalit. Në këtë rast, ashtu si në rastin e parë

duke e refuzuar hipotezën zero (nuk ekziston dallim ndërmjet mesatareve), do të pranohet

hipoteza alternative (ekziston dallim ndërmjet mesatareve).

Korrelacioni ndërmjet notave të kollokfiumit dhe finalit është 0,715. Në këtë rast, mund

të thuhet se ekziston një lidhje ndërmjet notës së kollokfiumit dhe finalit për arsye se lidhja e tyre

është e lartë (korrelacioni), në qoftë se nota e kollokfiumit është e lartë edhe nota e finalit është e

lartë, në qoftë se nota e kollokfiumit është e ulët edhe nota e kollokfiumit është e ulët.

2.3. Testi T i një Mostre(One-Sample t-Test) Testi T i një mostre përdoret për të përcaktuar ekzistimin e dallimit në masë të

rëndësishme të çfarëdo mesatareje që i përket një grupi me një vlerë të parapërcaktuar. Personi i

cili do të bëj analizën, krahason mesataren e grupit me vlerën e përcaktuar apo të dëshiruar

(p.sh.: vlerësimi i performancës, përcaktimi i nivelit të suksesit të një grupi, pritjet e sportistëve

nën apo mbi përpjekjet e treguara etj.).

2.3.1. SHEMBULL APLIKIMI Në lidhje me të dhënat e më larta në shembullin e dytë, mësimdhënësi pret që mesatarja e

finalit të studentëve të jetë 90. Duke përdorur one sample t-test, mund të shqyrtohet se a është

ndryshme mesatarja e klasës nga vlera e pritur 90.

Për të filluar me analizën, zgjidhen me radhë në SPSS: Analyze, Compare Means, One-

Sample T Test. (Hapi 1)

69

Hapi 1: Zgjedhja e One Sample T Testit nga Menyja

Hapi 2: Dritarja e Dialogut të One-Sample T Test

Në ekranin e mësipërm, në pjesën Test Variable(s) mirret vlera mesataren e së cilës

dëshirojmë ta vlerësojmë. Në pjesën Test Value shënohet vlera e dëshiruar e mesatares. Në

shembullin tonë, për arsye se mësimdhënësi pret që notat finale të jenë 90, është përshkruar kjo

vlerë. Pasi të klikohet OK do të fitohen të dhënat e mëposhtme.

Tabela 5: Rezultatet e One-Sample T Test

One-Sample Statistics

N Mean Std. Deviation Std. Error Mean

Final 20 80.8500 11.45368 2.56112

70

One-Sample Test

Test Value = 90

t df Sig. (2-tailed) Mean Difference

95% Confidence Interval of the

Difference

Lower Upper

Final -3.573 19 .002 -9.15000 -14.5105 -3.7895

Në fund shihet se mesatarja e notës finale është 80,85, ndërkaq vlera e dëshiruar ishte

90 (Test Value = 90). Kështu që ekziston një dallim i rëndësishëm ndërmjet mesatares së

realizuar dhe asaj të pritur. Vlera e Sig. (2-tailed) me 95% interval besueshmërie është më e

vogël se 0,05 (p=0,002). Në pjesën Mean Difference është dhënë dallimi (-9,15) ndërmjet dy

mesatareve. Mesatarja e finales është 9,15 më e vogël se ajo e pritur.

3. TESTI-Z Testi z, ka për qëllim hulumtimin në një nivel të caktuar të rëndësisë rreth çdo pretendimi

në lidhje me parametrat e popullimit duke përfituar nga të dhënat e mostrës. Për aplikimin e testit

z, popullimi duhet të ndjek shpërndarjen normale dhe duhet të dihen parametrat.

3.1. Testi Z një Mostërsh Hipotezat e popullimit të cilat do të krijohen në lidhje me masën kryesore se parametrat X

ku µ është e barabartë me një vlerë teorike si µ0 janë si më poshtë:

H0: µ = µ0

HA: µ ≠ µ0

HA: µ < µ0

HA: µ > µ0

Formula e testit z e cila do të përdoret për testimin e këtyre hipotezave është kështu:

Z = (X - ) / σ / √ )

X = mesatarja e mostrës

µ0 = parametri i supozuar i popullimit

σ = devijimi standart i popullimit, n = numri i njësive të mostrës

71

3.1.1. Shembull Aplikimi Një grup prej 1500 vetave ka aplikuar një dietë të veçantë një mujore për humbjen e

peshës. Nga 29 veta të zgjedhur rastësisht nga ky grup është vrojtuar që në fund të muajit të kenë

humbur peshë mesatarisht 6,7 kg (kilogram). Sipas devijimit standart të këtij grupi që është 7,1

kg, cila është mundësia që secili nga këta persona përgjatë një muaji të kenë dhënë së paku 5 kg?

H0: µ < 5

HA: µ > 5

Z = (6,7 – 5) / 7,1 / √

Z = 1,289

Për t’a interpretuar vlerën e llogaritur, duhet të dijmë rregullën e mëposhtme.

Zllogaritur < Ztabelës => H0 pranohet, HA refuzohet.

Vlera Z e tabelës në nivelin e rëndësisë α = 0,05 është 1,64. (Vlera e Z-së e cila

korrespondon me zonën 0,4495 në tabelë është 1,64)

Vlera e llogaritur e z-së (1,289), ngaqë është më e vogël se vlera e z-së nga tabela (1,64) H0

pranohet. Pra, shuma e humbur mujore e kilogramëve është më pak se 5 kg.

3.2. Testi Z dy Mostrash Hipotezat të cilat do të krijohen me rastin e supozimit kur në popullimin e parë parametri µ1

është e barabartë me një vlerë teorike si µ0 dhe në popullimin e dytë kur një parametër si µ2 është

e barabartë më një vlerë teorike si µ0 janë si më poshtë. Për aplikimin e testit z dy mostrash,

përsëri popullimet duhet të ndjekin shpërndarjen normale, por popullimet duhet të jenë të

pavarura nga njëra-tjetra.

H0: µ1 = µ2

HA: µ1 ≠ µ2

HA: µ1 < µ2

HA: µ1 > µ2

Për testimin se H0: µ1 = µ2 është HA: µ1 ≠ µ2 përdoret formula e mëposhtme.

√

72

3.2.1. Shembull Aplikimi Devijimi standart i një përbërje të gjetur në gjak për donatorët e gjakut meshkujt (dhënësit e

gjakut) është 14,1 ppm (parts per million) dhe 9,5 ppm për donatorët femra. Mesatarja e 75

meshkujve të zgjedhur rastësisht është 28 ppm dhe 50 femrave të zgjedhur rastësisht është 33

ppm. Çfarë është mundësia që kjo përbërje e gjakut të jetë e njëjtë (barbartë) me mesataren e

popullimit, për meshkuj dhe femra?

H0: µ1 = µ2 ose H0: µ1 - µ2 = 0

HA: µ1 ≠ µ2 ose HA: µ1 - µ2 ≠ 0

Z = (28-33) / √

Z = -2,37

Z = 2,37 (Interpretimi i vlerës z bëhet duke marrë vlerën absolute).

Në nivelin α = 0,05 vlera e z-së nga tabela është 1,96. (Vlera e Z-së e cila korrespondon me

zonën 0,4750 në tabelë është 1,96)

Zllogaritur < Ztabelës => H0 pranohet, HA refuzohet.

Për shkak që 2,37 > 1,96 H0 refuzohet. Pra, mesatarja e popullimit për meshkuj dhe femra

nuk është e barabartë.

4. ANALIZA E VARIANCËS (ANOVA)

Kjo temë është shpjeguar në detaje në kapitullin e Analizës së Variancës (Kapitulli 7).

73

5. TESTET JO PARAMETRIKE (NON –

PARAMETRIC) TË TESTIMIT TË

HIPOTEZAVE

74

TESTET JO PARAMETRIKE (NON – PARAMETRIC) TË TESTIMIT

TË HIPOTEZAVE

Para se të bëhet ndonjë analizë statistikore, në fillim duhet të shikohet se të dhënat a janë

kategorike (nominale, ordinale) apo të vazhdueshme (intervalore, propocionale). Teksa në të

dhënat kategorike aplikohen statistikat jo parametrike, në të dhënat e vazhdueshme aplikohen

statistikat parametrike. Në burimet statistikore, në përgjithësi ekzistojnë dy lloje të ndryshme të

teknikave statistikore: parametrike dhe jo parametrike. Cili është dallimi ndërmjet këtyre dy

grupeve? Përse është i rëndësishëm dallimi? Testet parametrike (p.sh. testet T, analiza e

variancës) prodhojnë supozime në lidhje me mostrën e nxjerrë nga modeli. Këto supozime

shpesh herë janë të lidhura me formën e shpërndarjes së mostrës (p.sh. shpërndarjes normale).

Kurse teknikat jo parametrike, nuk kërkojnë kërkesa të këtilla të rrepta dhe supozime në lidhje

me shpërndarjen e mostrës. Përkundër që janë më pak të paqarta, statistikat jo parametrike kanë

edhe disavantazhe. Testet jo parametrike, janë më të ndjeshme nga testet efektive parametrike

dhe për këtë arsye mund të jenë të pamjaftueshme për të gjetur dallimin ndërmjet grupeve. Për të

dhëna të përshtatshme dhe të fuqishme është më e saktë që të përdoren teknikat parametrike.

Kurse teknikat jo parametrike janë më të përshtatshme për të dhënat nominale (kategorike) dhe

ordinale (rendore). Teknikat jo parametrike janë më të përdorshme për mostra të vogla dhe për

ato të dhëna të cilat nuk ndjekin supozimet e testeve parametrike.

Testet jo parametrike janë teste që mund të aplikohen në raste kur ka më pak kushte. Për të

mund të aplikuar pothuajse të gjitha testet parametrike, së paku të dhënat duhet të ndjekin

shpërndarjen normale, variancat duhet të jene homogjene dhe varësisht në secilin test duhet të

sigurohen kushte të ndryshme. Testet parametrike, janë më të fuqishme dhe elastike për nga

testet jo parametrike. Përveç që ndihmojnë për të shqyrtuar efektin e shumë ndryshoreve të

pavarura mbi ndryshoren e varur, ato po ashtu ndihmojnë për të vlerësuar edhe bashkëveprimet

ndërmjet tyre.

Në përgjithësi, teksa me testet jo parametrike mund të analizohen të dhënat numerike

nominale, ordinale apo të dhënat me shpërndarje jashtë normales, me testet parametrike mund të

bëhet analiza e të dhënave numerike të cilat tregojnë shpërndarje normale. Në anën tjetër, teksa

aplikimi i testeve jo parametrike mbi të dhënat të cilat ndjekin shpërndarje normale nuk njihet

gabim, aplikimi i testeve parametrike mbi të dhënat të cilat tregojnë shpërndarje ordinale apo

jashtë normales është i papërshtatshëm. Për të aplikuar secilin test, sigurisht duhet ditur mirë se

cilat janë kushtet e nevojshme dhe si të dhënat do të i përshtaten këtyre kushteve. Në qoftë se

nuk dihet se a janë plotësuar kushtet, përdorimi i testeve jo parametrike në analizën e të dhënave

është me i sigurt. Por, në qoftë se aplikohen testet joparametrike pavarësisht së janë plotësuar

kushtet e nevojshme për testet parametrike, atëherë nuk do të jetë përfituar nga avantazhet e

veçanta të testeve parametrike.

75

1. TESTI KATRORI-KI

Testi Katrori-Ki është një test që përdoret dhe që zgjedhet shpesh për shkak të lehtësisë së

aplikimit në hulumtimet statistikore. Varësisht qëllimi dhe situatës, testi Katrori-Ki përbëhet nga

tri lloje: testi i përshtatshmërisë, testi i pavarësisë dhe testi i homogjenitetit.

1.1. Testi i Përshtatshmërisë i Katrorit-Ki dhe Shembull Aplikimi Testi Katrori-Ki i cili është një ndër testet që përdoret më së shumti brenda testeve jo

parametrike, mat përshtatshmërinë e shpërndarjes së vlerave të grupit të mostrës (shpërndarje

normale etj.) me shpërndarjen e popullimit për të cilat janë krijuar hipotezat. Quhet “test i

përshtatshmërisë” për arsye se kërkohet përshtatshmëria apo pajtueshmëria ndërmjet vlerës së

pritur dhe vlerës së përfituar. Teksa përcaktohet hipoteza zero përcaktohet edhe se çfarë

shpërndarje kanë të dhënat. Bëhet krahasimi i vlerës së frekuencës së pritur me vlerën e

frekuencës së vrojtuar. Në qoftë se ekziston pajtueshmëri ndërmjet vlerës së pritur me vlerën e

vrojtuar, hipoteza zero pranohet dhe në qoftë se nuk ka pajtueshmëri, duke e refuzuar hipotezën

zero pranohet hipoteza alternative.

SHEMBULL: Një firmë e automobilave dëshiron të mësoj se a ka dallim sasia e

porosisë të marrë nga tregtarët sipas muajve. Shuma e porosive të tregtarëve sipas muajve (vlerat

e vrojtuara) është dhënë më poshtë.

Tabela 1: Të Dhënat Përkatëse Për Shembullin

MUAJT SASIA E POROSISË

1 60

2 68

3 63

4 70

5 80

6 95

7 98

8 46

9 75

10 51

11 120

12 125

Pasi të jenë futur të dhënat në SPSS, në mënyrë që SPSS të mund të i përceptojë të dhënat

si frekuencë, duhet të bëhet ponderimi i të dhënave duke shkuar tek menyja Data, Weight

Cases. Në qoftë se aplikohet analiza e Katrorit-Ki pa u realizuar kjo fazë, nuk do të arrihen

rezultate të sakta.

76

Hapi 1: Përgatitja e të Dhënave Për Testin e Katrorit-Ki

Në ekranin e mëposhtëm zgjidhet butoni Weight cases by. Pas këtij veprimi në kutizën e

aktivizuar Frequency Variable vendoset “sasia e porosisë” e cila përfaqëson sasinë e porosive

të marrura sipas muajve. Pasi të klikohet OK funksioni do të përmbushet. Pas kësaj, me lehtësi

mund të aplikohet testi i Katrorit-Ki, pasi SPSS “sasinë e porosisë” do ta vlerësojë si frekuencë.

77

Hapi 2: Përcaktimi i të Dhënave si Frekuenca

Në këtë fazë, për ta bërë testin e Katrorit-Ki, në ekranin e SPPS zgjidhen me radhë

Analyze, Nonparametric Tests, Legacy Dialogs, Chi-Square.

Hapi 3: Menyja e Katrorit-Ki

78

Hapi 4: Dritarja e Testit Katrori-Ki

Në ekranin e mësipërm (Hapi 4), në fillim “sasia e porosisë” bartet në pjesën Test

Variable List. Në pjesën Expected Range duhet të jetë e përzgjedhur Get from data. Në pjesën

Expected Values në qoftë nuk do të përcaktohet ndonjë kufi i ulët apo i lartë, atëherë duhet të

jetë e përzgjedhur All categories equal. Pjesa Values përdoret për të kryer testin e

përshtatshmërisë që ndjekin shpërndarjen binomale. Në një rast të tillë, përzgjedhet butoni

Values dhe futen vlerat e pritura në qelizë përmes butonit Add dhe mund të futen të gjitha vlerat

teorike. Për arsye se shembulli ynë paraqet një mostër që ndjek shpërndarjen normale, të gjitha

grupet pranohen të barabarta. Pra, analiza jonë do të bëhet sipas përzgjedhjes All categories

equal.

Në hapin 4, në qoftë se përzgjedhet butoni Options do të përfitohet ekrani i mëposhtëm.

Pasi të përzgjidhen butonat e duhura në këtë ekran, do të përfitohen informacione përshkruese

(mean, median, standart deviation etj.) rreth të dhënave. Më poshtë do të shpejgohen në më

detaje të dhënat e përfituara nga kjo arenë.

79

Hapi 5: Dritarja e Përzgjedhjeve

Në këtë ekran (Hapi 5) pasi të klikohet Continue dhe më pas OK analiza do të jetë

përmbushur dhe rezultatet do të përfitohen si më poshtë.

Tabela 2: Rezultatet e Testit të Përshatshmërisë të Katrorit-Ki

Descriptive Statistics

N Mean

Std.

Deviation Minimum Maximum

Percentiles

25th 50th (Median) 75th

Sasia_e_porosisë 951 86.7392 25.38133 46.00 125.00 68.0000 80.0000 120.0000

Sasia_e_porosisë

Observed N Expected N Residual

46.00 46 79.3 -33.3

51.00 51 79.3 -28.3

60.00 60 79.3 -19.3

63.00 63 79.3 -16.3

68.00 68 79.3 -11.3

70.00 70 79.3 -9.3

75.00 75 79.3 -4.3

80.00 80 79.3 .8

95.00 95 79.3 15.8

98.00 98 79.3 18.8

120.00 120 79.3 40.8

125.00 125 79.3 45.8

Total 951

80

Test Statistics

Sasia_e_porosisë

Chi-Square 89.871a

df 11

Asymp. Sig. .000

a. 0 cells (0.0%) have expected

frequencies less than 5. The minimum

expected cell frequency is 79.3.

Në pjesën e parë të rezutateve janë të paraqitura rezultatet e nxjerra nga butoni Options.

Sipas kësaj, sasia totale e porosive është N=951 dhe mesatarja (mean) 86,73. Në mes të porosive,

sasia më e vogël e porosive (minimum) është 46 dhe sasia më e lartë e porosive është 125.

Sipas analizës, janë nxjerrë vlerat e pritura dhe të vrojtuara të porosive (Observed N dhe

Expected N) si dhe Residual e cila tregon dallimin pozitiv apo negativ të vlerave të vrojtuara dhe

të pritura. Në total janë 951 porosi dhe sipas 12 muajve vlera e pritur për çdo muaj është

llogaritur si 79,3. Qëllimi në testin e Katrorit-Ki është përcaktimi i dallimit ndërmjet vlerave të

realizuara të sasisë së porosive me vlerën e pritur (79,3). Pra, do të testohet përshtatshmëria

ndërmjet vlerës së vrojtuar dhe vlerës së pritur. Në këtë rast, hipoteza zero dhe alternative mund

të shkruhen si më poshtë:

H0: Nuk ekziston dallim ndërmjet sasisë së porosive sipas muajve.

HA: Ekziston dallim ndërmjet sasisë së porosive sipas muajve.

Në shembullin tonë, për arsye se vlera Sig. 0,000 (P<0,05), hipoteza zero refuzohet.

Ekziston një dallim i rëndësishëm ndërmjet sasisë së porosive sipas muajve. Kurse vlera e

Katrorit-Ki (Chi-Square) është përcaktuar si 89.871.

1.2. Testi i Pavarësisë i Katrorit-Ki dhe Shembull Aplikimi Testi i pavarësisë i Katrorit-Ki përdoret për të shqyrtuar se a ekziston lidhje ndërmjet dy apo

më shumë grupeve të ndryshoreve. Pra, hulumtohet se a janë të pavarura ndryshoret nga njëra-

tjetra. Hipotezat tona:

H0: Ndryshoret janë të pavarura nga njëra-tjetra.

HA: Ndryshoret nuk janë të pavarura nga njëra-tjetra.

Për të aplikuar testin e pavarësisë së Katrorit-Ki, rezultatet e vrojtimeve duhet të

klasifikohen apo grupohen në formë të serive. Ky lloj klasifikimi quhet tabela e paparashikuar.

Kjo tabelë përbëhet nga rreshtat dhe shtyllat në të cilat vendosen ndryshoret. Në qoftë se në

81

tabelë numri i rreshtave (row) shfaqet me (r) dhe numri i shtyllave (column) me (c) do të

përfitohet një tabelë kontigjente (rXc). Në këtë mënyrë, klasifikimi kryq bëhet për të shqyrtuar

lidhjen (varësinë apo jovarësinë) ndërmjet çfarëdo elementi të rreshtit me elementin e shtyllës.

Për këtë arsye, duhet të krahasohen frekuencat e pritura (expected) me frekuencat e vrojtuara

(observed) të çfarëdo elementi të rreshtit apo shtyllës.

Për të llogaritur testin e Katrorit-Ki përdoret kjo formulë:

Në qoftë se X2 > X

2α; (r-1) (c-1), hipoteza H0 refuzohet, hipoteza HA pranohet.

Në qoftë se X2 < X

2α; (r-1) (c-1), hipoteza H0 pranohet, hipoteza HA refuzohet.

SHEMBULL: Njerëzit e dy regjioneve të ndryshme janë klasifikuar sipas grupeve të gjakut

dhe janë përfituar rezultatet e mëposhtme. Sipas kësaj, testoni lidhjen në nivelin e rëndësisë

α=0,01 ndërmjet regjioneve dhe grupeve të gjakut. (Notë: Të dhënat e këtij shembulli janë marrë

nga libri i Dr. Bülbül Ergün, “Çözümsel İstatistik”).

H0: Regjionet dhe grupet e gjakut janë të pavarura nga njëra-tjetra. (Nuk ekziston lidhje

ndërmjet regjioneve dhe grupeve të gjakut)

HA: Regjionet dhe grupet e gjakut nuk janë të pavarura nga njëra-tjetra. (Ekziston lidhje

ndërmjet regjioneve dhe grupeve të gjakut)


REGJIONET GRUPET E GJAKUT TOTAL

0 A B AB

Perëndim 30 145 68 37 280

Lindje 60 115 32 13 220

Total 90 260 100 50 500

Në fillim duhet të gjejmë vlerën e testit të Katrorit-Ki (X2). Për të bërë këtë, duhet ditur

shkalla e lirisë.

Shkalla e lirisë: v = (r-1) (c-1), r = numri i rreshtave, c = numri i kolonave

Në shembullin tonë shkalla e lirisë është v = (2-1) (4-1)

Në shembull vlera e α ishte përcaktuar për 0,01. Në kërë rast, nga tabela e shpërndarjes së

X2, për vlerat v=3 dhe α=0,01, X

2=11,34. Në qoftë se vlera të cilën do ta llogarisim X

2 është më

e madhe se nga vlera në tabelë, hipoteza H0 do të refuzohet (X2>11,34 => H0REF).

82

Për të llogaritur vlerën e X2 nga formula, së pari duhet të llogaritet frekuenca e pritur (Eij).

Në tabelën e mëposhtë janë të përmbledhura llogaritjet e vlerave të vrojtuara (Oij) dhe vlerave të

pritura (Eij).

Tabela 4: Llogaritja e Frekuancave të Pritura

REGJIONET GRUPET E GJAKUT TOTAL

0 A B AB

Perëndim 30 (O11) E11 =

(280x90)/500

E11=50,4

145 (O12) E12=

(280x260)/500

E12=145,6

68 (O13) E13 =

(280x100)/500

E13=56

37 (O14) E14 =

(280x50)/500

E14=28

280

Lindje 60 (O21) E21 =

(220x90)/500

E21=39,6

115(O22) E22 =

(220x260)/500

E22=114,4

32 (O23) E23 =

(220x100)/500

E23=44

13 (O24) E24 =

(220x50)/500

E13=22

220

Total 90 260 100 50 500

= (30-50,4)2/50,4 + (145-145,6)

2/145,6 + (68-56)

2/56 + (37-28)

2/28 + (60-39,6)

2/39,6 + (115-

114,4)2/114,4 + (32-44)

2/44 + (13-22)

2/22 = 31,19

Për arsye se 31,19 > 11,34 hipoteza H0 refuzohet. Pra, ekziston lidhje ndërmjet regjioneve

dhe grupeve të gjakut.

Për ta zgjedhur këtë shembull përmes SPSS-it, bëhen aplikimet e poshtme me radhë.

Hapi 1: Futja e të Dhënave në SPSS

Pasi të futen të dhënat siç tregohet më lartë, njëjtë sikurse te testi i përshtatshmërisë i

Katrorit-Ki, përmes menysë Data duke zgjedhur “Weight Cases” bëhet njohja e vlerave të

frekuencës.

83

Hapi 2: Përgatitja e të Dhënave Për Testin e Katrorit-Ki

84

Hapi 3: Përcaktimi i të Dhënave si Frekuencë

Pas kësaj faze, për të bërë testin e pavarësisë së Katrorit-Ki, bëhen këto udhëzime me radhë

në ekranin e SPSS-it, Analyze, Descriptive Statistics, Crosstabs.

Hapi 4: Menya e Crosstabs

85

Hapi 5: Dritarja e Crosstabs

Në ekranin e mësipërm, pasi të përzgjidhet butoni “Statistics” zgjidhet “Chi-Square” nga

ekrani i ardhshëm.

Hapi 6: Dritarja e Testeve

86

Pasi të përfundohet ky funksion, do të përfitohen rezultatet e mëposhtme.

radha * kolona Crosstabulation

Count

kolona

Total 1.00 2.00 3.00 4.00

radha 1.00 30 145 68 37 280

2.00 60 115 32 13 220

Total 90 260 100 50 500

Chi-Square Tests

Value df

Asymp. Sig. (2-

sided)

Pearson Chi-Square 31.191a 3 .000

Likelihood Ratio 31.710 3 .000

Linear-by-Linear Association 28.126 1 .000

N of Valid Cases 500

Siç shihet më lartë, vlera e llogaritur e X2 nga SPSS (Pearson Chi-Square) është e njëjtë me

vlerën tonë të cilën e llogaritëm me anë të formulës më parë (X2=31,19). Për arsye se kjo vlerë

ëshë më e madhe nga vlera X2 e tabelës ishte specifikuar se hipoteza H0 do të refuzohej. Të

njëjtin interpretim mund ta bëjmë edhe për rezultatet e SPSS-it. Përveç kësaj, për shkak se edhe

vlera e Asym. Sig. (2-sided) është kuptimplotë (0,001<0,01), mund të interpretojmë se ekziston

një lidhje ndërmjet regjioneve dhe grupeve të gjakut.

1.3. Testi i Homogjenitetit i Katrorit-Kit dhe Shembull Aplikimi Testi i homogjentitetit i Katrorit-Ki përdoret për të përcaktuar se a janë marrë nga i njëjti

popullim dy mostra apo më shumë të cilat janë të pavarura ndërmjet vete. Hipotezat tona:

H0: Mostrat janë përzgjedhur nga popullimi i njëjtë.

HA: Mostrat nuk janë përzgjedhur nga popullimi i njëjtë.

SHEMBULL: Një bankë dëshiron të shqyrtoj rastin e suksesit se a ka dallim ndërmjet

departamenteve të Fakultetit të Ekonomisë (departamentet a janë homogjene për nga aspekti i

suksesit) për studentët të cilët do të futen në provimin e saj. Nga pjesëmarësit në provim, në

mënyrë të rastësishme rastet e suksesit dhe departamentet e studentëve janë dhënë në tabelën e

mëposhtme. Sipas kësaj, në nivelin e rëndësisë 5%, testoni se a janë homogjene departamentet

për nga aspekti i suksesit.

87

H0: Departamentet janë homogjene për nga aspekti i suksesit.

HA: Departamentet nuk janë homogjene për nga aspekti i suksesit.


Situata e suksesit Departamentet

Total Administrim

Biznesi

Ekonomiks Financa Administratë

Publike

Të suksesshëm 30 36 24 20 110

Të pa suksëshëm 24 20 18 28 90

Total 54 56 42 48 200

Ky shembull zgjidhet në të njëjtën mënyrë edhe me forumlat e dhëna në testin e pavarësisë

së Katrorit-Ki, po ashtu edhe me ndihmën e SPSS-it.

Në fillim bëhet njohja e frekuencave nga menyja Data, “Weight Cases”. Më tutje, për të

bërë testin e homogjenitetit të Katrorit-Ki, ndiqen veprimet e mëposhtme në ekranin e SPSS-it,

Analyze, Descriptive Statistics, Crosstabs.

Hapi 1: Nisja e Testit Katrorit-Ki

88

Hapi 2: Dritarja Funksionale Crosstabs Për Testin Katrori-Ki

Në ekranin e mësipërm, pasi të përzgjidhet butoni “Statistics” zgjidhet “Chi-Square” nga

ekrani i ardhshëm.

89

Pasi të përfundohet ky funksion, do të përfitohen rezultatet e mëposhtme.

Tabela 7: Rezultatet e Testit të Homogjentetit të Katrorit-Ki

radha * kolona Crosstabulation

Count

kolona

Total 1.00 2.00 3.00 4.00

radha 1.00 30 36 24 20 110

2.00 24 20 18 28 90

Total 54 56 42 48 200

Chi-Square Tests

Value df

Asymp. Sig. (2-

sided)

Pearson Chi-Square 5.483a 3 .140

Likelihood Ratio 5.500 3 .139

Linear-by-Linear Association 2.368 1 .124

N of Valid Cases 200

a. 0 cells (0.0%) have expected count less than 5. The minimum

expected count is 18.90.

Siç shihet më lartë, vlera e llogaritur nga SPSS-i e Pearson Chi-Square është X2=5,48. Vlera

e X2, për shkallën e lirisë (v=3) dhe nivelin e rëndësisë (α=0,05) gjendet nga tabela dhe vlera e tij

është 7,82. Për arsye se 5,48<7,82, hipoteza H0 pranohet. I njëjti rezultat arrihet edhe nga vlera e

Sig. në tabelën e mësipërme. Për arsye se vlera e Asym. Sig. (2-sided) p=0,140>0,05, hipoteza

H0 pranohet. Pra, departamentet janë homogjene për nga aspekti i suksesit (mostrat janë

përzgjedhur nga popullimi i njëjtë).

2. TESTI RUNS DHE SHEMBULL APLIKIMI Testi Runs përdoret zakonisht për të testuar rastësinë e një mostre. Megjithatë është me

rëndësi të specifikohet një pikë se testi Runs është i nevojshëm për të testuar rastësinë, por është i

pamjaftueshëm. Testi Runs bazohet në serinë e grupeve. Për shembull, seria AAABBCCC

paraqet një seri prej tre grupeve që përbëhet nga 3 shkronja A, 2 B dhe 3C. AAAABBB është një

seri prej dy grupeve dhe ABBBBA një seri prej tre grupeve.

SHEMBULL: Supozojmë se dëshirojmë të testojmë rastësinë e serive të indeksit së

industrisë së prodhimit të metalit bazë për të dhënat 2000Q1 – 2005Q1.

90


Për t’a aplikuar testin Runs në SPSS, ndiqen këto faza: Analyze, Nonparametrics Tests,

Legacy Dialogs, Runs.

Vitet Indeksi i industrisë së

prodhimit të metalit bazë

2000Q1 93,5

2000Q2 107,2

2000Q3 105,8

2000Q4 102,9

2001Q1 97,1

2001Q2 100,4

2001Q3 94,5

2001Q4 97,3

2002Q1 92,2

2002Q2 109,3

2002Q3 111,4

2002Q4 115,3

2003Q1 112,3

2003Q2 121,4

2003Q3 122,4

2003Q4 122,9

2004Q1 126,4

2004Q2 135,8

2004Q3 137,7

2004Q4 134,7

2005Q1 135,1

91

Hapi 1: Menyja e Testit Runs

Në dritaren e testit Runs, indeksi i industrisë së prodhimit vendoset në pjesën Test Variable

List. Në zgjedhjen e Cut Point-it përcaktohet se cila vlerë do të mirret për bazë për pikën e

prerjes së serisë. Sipas kësaj, testi i rastësisë Runs bëhet sipas medianës, modës, mesatares apo

një pikë prerjeje të veçantë të përcaktuar.

92

Hapi 2: Dritarja e Testit Runs

Tabela 9: Rezultatet e Testit Runs

Runs Test

indeksi_i_prodhi

mit

Test Valuea 1114.00

Cases < Test Value 10

Cases >= Test Value 11

Total Cases 21

Number of Runs 2

Z -4.029

Asymp. Sig. (2-tailed) .000

a. Median

Sipas të të dhënave të përfituara vlera e Z-së është -4,029 dhe vlera e Sig. është 0,000. Për

arsye se –Z < –Z α/2 hipoteza zero refuzohet (H0: Të dhënat janë të rastësishme). Pra, të dhënat

nuk janë të rastësishme.

93

3. TESTI MAN-WHITNEY U DHE SHEMBULL APLIKIMI

Kjo teknikë përdoret për të testuar dallimin ndërmjet dy grupeve të pavaruara të matura me

të dhëna jo intervalore. Ky test i cili aplikohet për mostrat e pavarura është një test jo parametrik

si alternativë e testit T. Në vend të krahasimit të mesatareve të grupeve si në testin T, testi Man-

Whitney U krahason medianat e grupeve. Vlerat e ndryshoreve të vazhdueshme i kthen në formë

rendore brenda dy grupeve. Në këtë mënyrë, vlerësohet se a ka dallim ndërmjet rendimit të dy

grupeve. Për arsye se të dhënat kthehen në formë rendore, nuk është me rëndësi shpërndarja e

saktë e vlerave.

SHEMBULL: Një firmë e ka ndarë personelin e saj në dy grupe në mënyrë të rastësishme

10 (A) dhe 11 (B) për të krahasuar dy tastiera të ndryshme të makinës llogaritëse të prodhimit.

Secilit grup i është dhënë makina me standarte të njëjta dhe grupi A përdor llojin e parë të

tastierës, kurse grupi B përdor llojin e dytë të tastierës. Koha (sekondat) e përfundimit të një

funksioni për secilin individ është si më poshtë:


Sipas kësaj, përmes ndihmës së testit Mann-Whitney U, do të shikohet se a ka dallim

ndërmjet përdorimit të tastierës së parë dhe asaj të dytë.

Bëhet hyrja e të dhënave në SPSS për dy grupet e ndryshoreve. Në fillim, bëhet hyrja e

kohës së përfundimit të funksionit në makinën llogaritëse të individëve si një ndryshore e

vazhdueshme në SPSS. Më vonë për të i njohur grupet, bëhet hyrja e një ndryshoreje kategorike

(grupi A=1, grupi B=2). Për të aplikuar testin Mann-Whitney U përmes SPSS, ndiqet kjo

procedurë: Analyze, Nonparametric Test, Legacy Dialogs, 2 Independent Samples.

Në dritaren e hapur, ndryshorja përkatëse e kohës së përfundimit të funksionit A vendoset

në pjesën Test Variable List, kurse ndryshorja B e cila strehon vlerat kategorike transferohet në

pjesën Grouping Variable.

GRUPI A GRUPI B

23 24

18 28

17 32

25 28

22 41

19 27

31 35

24 34

28 27

32 35

33

94

Hapi 1: Menyja e Testit Man-Whitney U

Hapi 2: Dritarja e Testit Man-Whitney U

Për arsye se për

vlerat e ekipit të

tastierës së parë

kemi përdorur 1

dhe ekipit të dytë

2, në kutizën

Define Groups

njihen me numrat

1 dhe 2.

95

Të dhënat të cilat duhet të shqyrtohen në rezultatet e prodhuara, janë nivelet e rëndësisë;

vlera Z dhe Asymp. Sig (2-tailed). Në qoftë se madhësia e mostrës është më e madhe se 30,

SPSS do të jap vlerën e z-approximation për të dhënat.

Tabela 11: Rezultatet e Testit Man-Whitney U

Test Statisticsa

A

Mann-Whitney U 16.000

Wilcoxon W 71.000

Z -2.753


Exact Sig. [2*(1-tailed Sig.)] .005b

a. Grouping Variable: B

b. Not corrected for ties.

Në shembullin tonë, janë përfituar vlera e Z për -2,753 dhe vlera e nivelit të rëndësisë p për

0,006. Vlera e probabilitetit është sa vlera e (p) 0,05 ose më e vogël. Për këtë arsye, rezultati

është i rëndësishëm për nga ana e statistikës dhe në mënyrë statistikore ekziston një dallim

ndërmjet dy grupeve në pikën e lehtësisë së përdorimit të tastierave.

4. TESTI WALD-WOLFOWITZ DHE SHEMBULL APLIKIMI Testi Wald-Wolfowitz përdoret për të testuar se dy mostra a vijnë nga universet me

shpërndarje të njëjtë në dy grupe. Për ta zbatuar këtë test, bëhet renditja duke i bashkuar vlerat e

dy mostrave. Numri i vogël i serive tregon se dy universet i takojnë shpërndarjeve të ndryshme.

H0: Dy mostrat janë marrë nga universet me shpërndarje të njëjtë.

HA: Dy mostrat janë marrë nga universet me shpërndarje të ndryshme.

SHEMBULL: Në shembullin e mëposhtëm për testin Wald-Wolfowitz, do të testojmë se

indeksi i pagave reale a vjen nga universet të cilat i përkasin të njëjtës shpërndarje për sektorin e

Tekstilit dhe Veshjeve të periudhës 1998Q1 – 2004Q2. Një pikë e rëndësishme që duhet të

theksohet në këtë metodë është se për mostrat e vogla (n1,n2<20) duhet të ndahen në rend zbritës

dy mostrat e pavarura.


Sektori i Tekstilit Paga Sektori i Veshjeve Paga

1 151,9 2 142,5

1 171,1 2 148,9

1 184,6 2 171,7

96

Për të i njohur sektoret, bëhet hyrja e një ndryshoreje kategorike (1=Sektori i Tekstilit,

2=Sektori i Veshjeve). Për të aplikuar testin Wald-Wolfowitz në SPSS, ndiqen këto faza:

Analyze, Nonparametric Test, Legacy Dialogs, 2 Independent Samples.

Në dritaren e Two Independent Samples të dhënat e pagave sipas sektoreve transferohen

në pjesën Test Variable List dhe ndryshorja kategorike e sektoreve e cila bën njohjen e tyre

transferohet në pjesën Grouping Variable. Në seksionin e Define Groups për sektorin e tekstilit

shkruhet numri 1 dhe për sektorin e veshjeve shkruhet numri 2 në kutizat përkatëse. Kurse në

pjesën Test Type përzgjet testi Wald-Wolfowitz runs dhe pastaj klikohet OK.

1 201,3 2 185,2

1 282,3 2 256,3

1 309,7 2 272,9

1 357,7 2 310,3

1 384,6 2 328,7

1 450,2 2 388,2

1 482,5 2 401,2

1 496 2 454,7

1 513,2 2 478

1 543,9 2 521,7

1 600,1 2 550,8

1 654,7 2 590,6

1 706,4 2 631,9

1 823,8 2 725,4

1 894,9 2 725,6

1 924,7 2 808,6

1 955,7 2 872,4

1 1065,7 2 1008,4

1 1066,9 2 995,8

1 1100,6 2 1022,7

1 1148,9 2 1058,7

1 1279,6 2 1205,7

1 1253,3 2 1232,5

97

Hapi 1: Menyja e Testit Wald-Wolfowitz

Hapi 2: Dritarja e Testit Wald-Wolfowitz

98

Frequencies

sektor N

paga 1.00 26

2.00 26

Total 52

Test Statisticsa,b

Number of Runs Z

Asymp. Sig. (1-

tailed)

paga Exact Number of Runs 28c .280 .610

a. Wald-Wolfowitz Test

b. Grouping Variable: sektor

c. No inter-group ties encountered.

Sipas të dhënave të përfituara nga tabela, vlera e p (Sig.) është 0.610 dhe në nivelin e

rëndësisë 0,05 hipoteza H0 pranohet, pra dy mostrat janë marrë nga universet me shpërndarje të

njëjta.

5. TESTI WILCOXON SIGNED RANK DHE SHEMBULL APLIKIMI

Testi Wilcoxon Signed Rank përdoret për vlerat të cilat përsëriten. Testi Wilcoxon Signed

Rank përdoret në qoftë se mostrat e hulumtimit maten në dy raste apo dy kushte të ndryshme. Ky

test është test joparametrik si alternativë e testit T. Por, në vend të krahasimit të mesatareve, testi

Wilcoxon për t’i renditur dhe krahasuar të dhënat i konverton në korniza të ndryshme kohore (në

formën e Koha 1 dhe Koha 2) dhe teston se a ka dallim në vlera ndërmjet këtyre dy periudhave

kohore.

SHEMBULL: Dëshirohet të llogaritet se a ka dallim nga përgjigjet e sakta të provimit të

bërë përpara marrjes së kursit të statistikës me përgjigjet e sakta pas marrjes së kursit të

statistikës pas një muaji, të studentëve që studiojnë statistikë.

99


Për t’a aplikuar testin Wilcoxon Signed Rank në SPSS, nga dritarja e menysë ndiqen këto

hapa: Analyze, Nonparametric Tests, Legacy Dialogs, 2 Related Samples. Fazat e aplikimit

bëhen si më poshtë.

P1 P2

0 1

0 1

3 3

-7 4

9 5

9 5

-11 8

11 8

11 8

14 10

16 11

17 12

17 12

18 14

100

Hapi 1: Menyja e Testit Wilcoxon Signed Rank

Në dritaren e hapur duke i zgjedhur të dy ndryshoret (Provimi1 dhe Provimi2) barten në

kutizën e Test Pair(s) List. Në kutizën Test Type përzgjidhet testi Wilcoxon.

101

Hapi 2: Dritarja e Testit Wilcoxon Signed Rank

Në rezultatet e prodhuara duhet të kihen parasysh dy vlera: vlera e Z dhe vlera e cila e

tregon nivelin e rëndësisë Asymp. Sig. (2-tailed). Në qoftë se niveli i rëndësisë është më i vogël

se 0,05 apo është e barabartë, kjo na tregon se ekziston një dallim i rëndësishëm statistikor

ndërmjet dy vlerave.

Tabela 15: Rezultatet e Testit Wilcoxon Signed Rank

Test Statisticsa

provimi2 -

provimi1

Z -1.229b


a. Wilcoxon Signed Ranks Test

b. Based on positive ranks.

Në shembullin tonë, është përfituar vlera significant prej 0,219 dhe kjo është më e madhe se

0,05. Sipas kësaj, nuk ka ndonjë ndryshim në numrin e përgjigjeve të sakta të studentëve në

krahasim para kursit dhe pas.

102

6. TESTI KRUSKAL-WALLIS DHE SHEMBULL APLIKIMI

Testi Kruskal-Wallis (ndonjëherë njihet edhe si testi testi Kruskal-Wallis H), është

alternativa joparametrike e analizës së variancës një drejtimshe (One-way ANOVA). Kjo analizë

mundëson krahasimin ndërmjet tre apo më shumë grupe ndryshoret e të cilave janë të

vazhdueshme. Vlerat konvertohen në formë rendore dhe krahasohen mesataret rendore për

secilin grup. Kjo është një analizë ndërmjet grupeve, kështu që njerëz të ndryshëm duhet të jenë

në secilin prej grupeve të ndryshme.

SHEMBULL: Në tabelën e mëposhtme është dhënë numri i fjalive të marra nga faqet e

zgjedhura në mënyrë të rastësishme nga tre romanet rreth dedektivëve të tre shkrimtarëve të

ndryshëm.


Sipas kësaj, duke përdorur testin Kruskal-Wallis të përcaktohet se a ekziston dallim

ndërmjet shkrimtarëve për nga aspekti i gjatësisë mesatare të fjalive. Për t’a aplikuar testin

Kruskal-Wallis në SPSS, nga menyja Analyze, zgjedhet Nonparametric Tests, Legacy Dialogs,

K Independent Samples.

Ndryshorja e vazhdueshme numri i fjalive (ndryshore e varur) merret dhe bartet në kutizën

Test Variable List, kurse ndryshorja kategorike shkrimtarët (ndryshore e pavarur) bartet në

kutizën Grouping Variable. Duke klikuar në butonin Define Range bëhet njohja e radhës së

vlerave kategorike minimum 1 dhe maksimum 3. Në pjesën Test Type përzgjidhet testi

Kruskal-Wallis H dhe pastaj klikohet OK.

Shkrimtari 1 Shkrimtari 2 Shkrimtari 3

13 43 33

27 35 37

26 47 33

22 32 26

26 31 44

37 33

54

103

Hapi 1: Menyja e Testit Kruskal-Wallis

Hapi 2: Dritarja e Testit Kruskal-Wallis

104

Nga rezultatet e përfituara, kemi nevojë për vlerat themelore, vlerën e Chi-Square, shkallën

e lirisë (df) dhe nivelin e rëndësisë (Asymp. Sig).

Tabela 17: Rezultatet e Testit Kruskal-Wallis

Ranks

shkrimtarët N Mean Rank

fjalitë 1.00 5 3.40

2.00 6 12.08

3.00 7 11.64

Total 18

Test Statisticsa,b

fjalitë

Chi-Square 9.146

df 2

Asymp. Sig. .010

a. Kruskal Wallis Test

b. Grouping Variable:

shkrimtarët

Në qoftë se niveli i rëndësisë është më i vogël se 0,05, mund të thuhet se ekziston një dallim

statistikor në mënyrë të rëndësishme ndërmjet tre grupeve të ndryshores së ndryshueshme.

Renditja mesatare e tre shkrimtarëve mund të kontrollohet në kolonën e Mean Ranks në tabelën

Ranks. Vlerat Mean Ranks tregojnë se cili shkrimtar ka shkallën më të lartë të përgjithshme.

Niveli i rëndësisë është 0,010 dhe është i vogël se vlera e alfas 0,05. Kështu që, mund të themi se

ekziston dallim ndërmjet këtyre shkrimtarëve të romaneve të ndryshme rreth dedektivëve për nga

aspekti i gjatësisë mesatare të fjalive. Sipas vlerave të Mean Ranks, shkrimtari i dytë ka numrin

më të madh të gjatësisë së fjalive dhe shkrimtari i parë ka numrin më të vogël të gjatësisë së

fjalive.

7. TESTI FRIEDMAN DHE SHEMBULL APLIKIMI

Testi Friedman është alternativa jo parametrike e analizës së variancës një drejtimshe për

vlerat të cilat përsëriten. Testi Friedman përdoret kur mostrat mirren nga e njëjta çështje dhe kur

këto mostra maten në tri apo më shumë pika apo nën tri kushte të ndryshme.

105

SHEMBULL: Një listë e cila përbëhet nga 12 emra, u lexohet me zë 10 studentëve të cilët

sapo kishin filluar trajnimin. Nga 12 emrat, katër emra u përkasin personave sportistë (grupi A),

katër të tjerë politikanëve kombëtar dhe ndërkombëtar (grupi B) dhe katër emrat e fundit janë

persona të njohur në nivelin kombëtar. Në fund të leximit, kërkohet nga studentët që të përsërisin

emrat me aq sa ata kishin mbajtur në mend. Përgjigjet e dhëna janë si më poshtë.


Për të provuar se a ka dallim ndërmjet niveleve të kujtesës të tre grupeve me testin

Friedman, zgjedhim Analyze, Nonparametric Tests, Legacy Dialogs, K Related Samples nga

programi SPSS.

Hapi 1: Menyja e Testit Friedman

ANËTARËT A B C D E F G H I J

GRUPI A 3 1 2 4 3 1 3 3 2 4

GRUPI B 2 1 3 3 2 0 2 2 2 3

GRUPI C 0 0 1 2 2 0 4 1 0 2

106

Ndryshoret grupi A, grupi B, dhe grupi C të cilat paraqesin emrat e tre grupeve të të

famshëve barten në kutizën Test Variables. Në pjesën Test Type përzgidhet testi Friedman.

Hapi 2: Dritarja e Testit Friedman

Tabela 19: Rezultatet e Testit Friedman

Ranks

Mean Rank

Grupi_A 2.70

Grupi_B 2.00

Grupi_C 1.30

Test Statisticsa

N 10

Chi-Square 10.889

df 2

Asymp. Sig. .004

a. Friedman Test

Rezultatet e përfituara tregojnë se ekziston një dallim i rëndësishëm ndërmjet kujtesës së

emrave të tre grupeve të ndryshme (Asymp. Sig.: 0,004<0,05). Përveç kësaj, nga tabela Ranks

kuptohet se grupi i emrave i të cilave është mbajtur në mend më së shumti është grupi i

sportistëve.

107

8. KORRELACIONI SPEARMAN’S RANK ORDER DHE SHEMBULL APLIKIMI

Korrelacioni Spearman’s Rank Order (rho) përdoret për të llogaritur nivelin e lidhjes

ndërmjet dy ndryshoreve të vazhdueshme. Ky test është alternativa jo parametrike e koeficientit

të korrelacionit të Pearsonit.

SHEMBULL: Që prej fillimit të përmirësimit të standarteve të shërbimeve të higjienës dhe

shëndetit vërehet një rritje e përgjithshme në jetëgjatësinë gjatë shekullit 19 dhe 20. Rritja e

jetëgjatësisë mesatare tregon dallim nga shteti në shtet, nga shoqëria në shoqëri dhe madje nga

familja në familje. Më poshtë të dhënat i përkasin një familjeje të madhe rreth viteve të vdekjes

dhe viteve të jetesës së personave. Të shqyrtohet se a ka rritje në jetëgjatësinë mesatare për këtë

familje.


Në qoftë se vitet e vdekjes i shkruajme si x dhe moshën e vdekjes si y dhe bëjmë renditjen e

tyre, koeficienti pozitiv rho do të tregojë rritjen mesatare të jetëgjatësisë. Për të parë lidhjen

ndërmjet viteve të vdekjes dhe moshës së vdekjes përmes testit të koeficientit të Spearmanit, në

programin SPSS ndjekim këtë procedurë: Analyze, Correlate, Bivariate.

Viti Mosha

1827 13

1884 83

1895 34

1908 1

1914 11

1918 16

1924 68

1928 13

1936 77

1941 74

1964 87

1965 65

1977 83

108

Hapi 1: Menyja e Korrelacionit të Spearman’s Rank Order

Të dy ndryshoret barten në pjesën Variables. Në pjesën Correlation Coeficients përzgjihet

Spearman.

Hapi 2: Dritarja e Korrelacionit Spearman’s Rank Order

109

Tabela 21: Rezultatet e Korrelacionit Spearman’s Rank Order

Correlations

viti_i_vdekjes

mosha_e_vdekj

es

Spearman's rho viti_i_vdekjes Correlation Coefficient 1.000 .507

Sig. (2-tailed) . .077

N 13 13

mosha_e_vdekjes Correlation Coefficient .507 1.000

Sig. (2-tailed) .077 .

N 13 13

Niveli i rëndësisë i koeficientit të korrelacionit (rho) mund të ndikohet nga madhësia e

mostrës. Në një mostër të vogël (si p.sh. N=30), mund të përfitohet një vlerë e korrelacionit jo

shumë e fuqishme e cila nuk është më e vogël se vlera e alfas 0,05 në nivelin e rëndësisë. Në të

njëjtën kohë, në mostrat e mëdha (si p.sh. N=100) vlera shumë të vogla të korrelacionit mund të

jenë të rëndësishme. Në këtë pikë, shumë autorë kanë specifikuar se duhet përcaktuar niveli i

rëndësisë, por nuk duhet theksuar. Në shembullin tonë, vlera e përfituar e rho-së është 0,507 dhe

shenja e koeficientit është pozitive. Kjo na tregon se me kalimin e viteve është rritur edhe

jetëgjatësia mesatare. Kur koeficienti i korrelacionit është prej 0,50 – 1,00 konsiderohet të jetë

një lidhje e lartë, prandaj kjo na tregon se ekziston një lidhje e fuqishme ndërmjet këtyre dy

ndryshoreve.

110

6. ANALIZA E KORRELACIONIT

111

ANALIZA E KORRELACIONIT

Analiza e korrelacionit është një metodë statistikore e cila përdoret për të testuar

marrëdhënien lineare ndërmjet dy ndryshoreve apo mardhënien e një ndryshoreje me dy apo

shumë ndryshore si dhe për matjen e shkallës të kësaj marrëdhënie në qoftë se ekziston.

Qëllimi në analizën e korrelacionit është që të shikohet se çfarë drejtimi do të marrë

ndryshorja e varur (y) kur të ndryshojë ndryshorja e pavarur (x).

Për t’a bërë analizën e korrelacionit, dy ndryshoret duhet të jenë të vazhdueshme dhe duhet

të ndjekin shpërndarjen normale.

Në fund të analizës së korrelacionit, koeficienti i korrelacionit llogarit se a ekziston një

marrëdhënie lineare dhe në çfarë niveli. Koefcienti i korrelacionit shënohet me “r” dhe merr

vlerat prej -1 deri +1.

Më poshtë, në Figurën 1-a është paraqitur rasti kur ekziston një korrelacion pozitiv ndërmjet

dy ndryshoreve. Marrëdhënia është pozitive, në rastin kur me rritjen e vlerave të ndryshores X

kanë tendencë rritjeje edhe vlerat e ndryshores Y ose në rastin kur vlerat e ndryshores X

zvogëlohen, edhe vlerat e ndryshores Y kanë tendencë zvogëlimi.

Në Figurën 1-b është paraqitur rasti kur ekziston një korrelacion negativ. Marrëdhënia është

negative, në rastin kur me rritjen e vlerave të njërës ndryshore, vlerat e ndryshores tjetër

zvogëlohen.

Në Figurën 1-c është paraqitur rasti kur nuk ekziston korrelacion ndërmjet dy ndryshoreve.

a. Korrelacion pozitiv b. Korrelacion negativ c. Nuk ekziston korrelacion

Figura 1: Rastet e Ndryshme të Korrelacionit

Korrelacioni nuk nënkupton marrëdhënien shkak-pasojë. Pra, kur ekziston korrelacion

ndërmjet ndryshoreve A dhe B në model, nuk nënkupton që A do të shkaktojë B apo B do të

shkaktojë A.

112

1. KOEFICIENTI I KORRELACIONIT TË PEARSONIT

Koeficienti i korrelacionit të Pearsonit përdoret për të matur shkallën e marrëdhënies së

drejpërdrejtë të dy ndryshoreve të vazhdueshme. Me fjalë të tjera, kërkohet përgjigja e pyetjes se

a ekziston një marrëdhënie e rëndësishme ndërmjet dy ndryshoreve.

Përpara se të llogaritet koeficienti i korrelacionit, përmes grafikut të shpërndarjes duhet të

kontrollohet se a ekziston marrëdhënie e drejtpërdrejtë, sepse koeficienti i korrelacionit duhet të

llogaritet vetëm nëse ekziston marrëdhënie e drejtëpërdrejtë.

Koefcienti i korrelacionit shënohet me “r” dhe merr vlerat prej -1 deri +1. Në qoftë se,

r = -1; ekziston një marrëdhënie e plotë negative lineare. Pra, kur njëra ndryshore rritet,

tjetra zvogëlohet dhe anasjelltas, kur njëra zvogëlohet, tjetra rritet. Në këtë rast, edhe

trendi i grafikut do të ketë prirje negative.

r = 1; ekziston një marrëdhënie e plotë pozitive lineare. Pra, kur njëra ndryshore rritet,

edhe tjera rritet dhe anasjelltas, kur njëra zvogëlohet, edhe tjetra zvogëlohet. Në këtë rast,

edhe trendi i grafikut do të ketë prirje pozitive.

r = 0; nuk ekziston marrëdhënie ndërmjet dy ndryshoreve.

Koeficienti i korrelacionit të Pearsonit llogaritet në këtë mënyrë:

√

Nga formula;

SSxy = ) (yi - )

SSxx = )2

SSyy = )2

Interpretimi për koeficientin e korrelacionit ndërmjet dy ndryshoreve mund të bëhet si

më poshtë:

r Lidhja

0,00 – 0,25 Shumë e dobët

0,26 – 0,49 E dobët

0,50 – 0,69 E mesme

0,70 – 0,89 E lartë

0,90 – 1,00 Shumë e lartë

113

2. KOEFICIENTI I KORRELACIONIT TË PJESSHËM

Në disa raste, gjatë kërkimit të lidhjes ndërmjet ndryshoreve teksa mirren nën kontroll

ndikimi i një sërë ndryshoreve, duhet shikuar edhe në lidhjet e tjera ndërmjet ndryshoreve. Kjo

metodë quhet korrelacioni i pjesërishëm. Me këtë metodë, kur të merret nën kontroll ndryshorja e

tretë, mundësohet shpjegimi i korrelacionit të dy ndryshoreve tjera të mbetura. Arsyeja e

përdorimit të kësaj metode është se shpjegon plotësisht marrëdhënien ndërmjet dy ndryshoreve.

Numri i ndryshoreve të marrura nën kontroll përcakton shkallën e korrelacionit të pjesshëm.

Për ta aplikuar korrelacionin e pjesërishëm, ndryshoret duhet që të kenë lidhje lineare.

Korrelacioni i pjesërishëm përdoret për të zbuluar lidhjen e fshehur ndërmjet ndryshoreve.

3. MATËSIT E TJERË TË LIDHJES Në analizën e korrelacionit përdoren edhe matës të tjerë për të matur marrëdhënien ndërmjet

ndryshoreve përveq koeficientit të korrelacionit të Pearsonit. Këto janë phi, korrelacioni rendor i

Spearmanit, Kendall’s Tau, koeficienti i normalitetit dhe eta.

3.1. PHI Koeficienti i phi-së përdoret për të kërkuar lidhjen ndërmjet dy ndryshoreve e cila rezulton

më përgjigjen po ose jo. Vlera r e përfituar në fund të analizës, paraqet korrelacionin ndërmjet

ndryshoreve, vëzhgimet e të cilave mund të jenë bipolare dhe ky koeficient i korrelacionit quhet

koeficienti i phi-së.

3.2. Korrelacioni Rendor i Spearmanit Në rastet kur shpërndarja e ndryshoreve është normale apo është afër normales, përdoret

koeficienti i korrelacionit të Pearsonit, por në rastet kur shpërndarja e ndryshoreve është larg

normales përdoret korrelacioni rendor i Spearmanit. Në rastet kur nuk përdoren të dhënat e plota

të ndryshoreve ose në mungesë të vlerave absolute, është e mundur renditja e të dhënave të

disponueshme me numra sipas kualifikimeve të tyre. Në qoftë se ndryshoret renditen në këtë

mënyrë, në këtë rast përdoret korrelacioni rendor i Spearmanit. Pra, korrelacioni rendor i

Spearmanit është një verzion parametrik i korrrelacionit të Pearsonit i cili përdor të dhënat

rendore.

Korrelacioni rendor i Spearmanit, njëjtë si koeficienti i korrelacionit të Pearsonit merr vlerat

nga -1 deri në +1. Në qoftë se koeficienti i korrelacionit është +1, ekziston një lidhje e përkryer

pozitive lineare ndërmjet ndryshoreve, në qoftë se koeficienti i korrelacionit është -1, ekziston

një lidhje e përkryer negative lineare ndërmjet ndryshoreve. Në rastin kur koeficienti i

korrelacionit të Spearmanit është 0, kjo nënkupton se nuk ekziston ndonjë lidhje lineare ndërmjet

ndryshoreve.

114

3.3. Koeficienti i Normalitetit Koeficienti i normalitetit përdoret për të matur lidhjen ndërmjet dy ndryshoreve nominale.

Për llogaritjen e këtij koeficienti përdoret testi i Katrorit-Ki.

3.4. ETA Teknika matëse ETA, përdoret për të matur lidhjen jolineare. Vlerat të cilat i merr

koeficienti janë ndërmjet 0 dhe +1. Mund të përdoret për secilin lloj të ndryshoreve.

4. Shembull Aplikimi Një kompani dëshiron të mat lidhjen ndërmjet shumës së shitjeve dhe të ardhurave nga

shitja. Shumat e shitjes dhe të ardhurat nga shitja janë dhënë më poshtë sipas viteve.

Hapi 1: Hyrja e Të Dhënave në SPSS

Pasi të futen të dhënat në SPSS, shkohet të menyja Analyze, Correlate. Këtu ndeshemi me

3 alternativa. Nga këto zgjedhet menyja Bivariate. (Alternativat tjera do të shpjegohen në detaje

pas këtij shembulli, në këtë shembull do të elaborohet vetëm metoda Bivariate).

115

Hapi 2: Menyja e Korrelacionit Bivariate

Nga dritarja e hapur, ndryshoret e shumës së shitjeve dhe të ardhurave nga shitja barten në

pjesën Variables. Më vonë, bëhen përzgjedhjet e bëra më poshtë.

Fare në fund, duke klikuar në butonin Options do të hapet dritarja e përzgjedhjeve. Në

dritaren e hapur, në pjesën Missing Values përzgjidhet Exclude Cases Listwise dhe pastaj me

radhë klikohet Continue, OK dhe do të kryhet analiza.

116

Hapi 3: Dritarja e Korrelacionit Bivariate


Në fund të analizës, SPSS do të jep rezultatet e mëposhtme.

117

Tabela 1: Rezultatet e Analizës së Korrelacionit

Correlationsb

shuma_e_shitje

ve

të_hyrat_nga_s

hitja

shuma_e_shitjeve Pearson Correlation 1 .987**

Sig. (2-tailed) .000

të_hyrat_nga_shitja Pearson Correlation .987**

1

Sig. (2-tailed) .000

**. Correlation is significant at the 0.01 level (2-tailed).

b. Listwise N=10

Sipas kësaj, ekziston një lidhje e fuqishme, pozitive dhe e rëndësishme ndërmjet shumës

vjetore së shitjeve dhe të ardhurave vjetore nga shitjet. Koeficienti i korrelacionit është llogaritur

të jetë r = 0,987. Nga kjo, mund të themi se me rritjen e shumës së shitjeve janë rritur edhe të

hyrat nga shitja.

Kjo lidhje, mund të shikohet edhe përmes së diagramit të shpërndarjes. Në Figurën 2, mund

të shihet diagrami i shpërndarjes i cili tregon lidhjen ndërmjet shumës vjetore të shitjeve dhe të

hyrave vjetore nga shitja. (Për ta bërë diagramin e shpërndarjes nga menyja e SPSS-it, shkohet te

Graphs, Legacy Dialogs, Scatter/Dot. Më pas zgjedhet Simple Scatter, Define. Në boshtin Y

vendoset ndryshorja e varur, në boshtin X vendoset ndryshorja e pavarur dhe shtypet butoni

OK.).

Figura 2: Diagrami i Shpërndarjes

118

Vlera e r2 është llogaritur për 0,9742. (Kjo në të njëjtën koha është vlera në katror e

koeficientit të korrelacionit 0,987). Pra, 97,42% e ndryshimeve në të ardhurat vjetore nga shitja,

arsyetohet nga shuma vjetore e shitjeve. Mund të themi edhe të kundërtën e kësaj për nga ana e

teorisë, pra 97.42% e ndryshimit në shumën e shitjeve mund të spjegohet nga ndryshimi në të

ardhurat nga shitja. Më fjalë të tjera, një analizë e këtillë, nuk tregon marrëdhnien shkak-pasojë,

mirëpo jep idenë se në çfarë niveli dhe në çfarë drejtimi do të ndryshojnë ndryshoret.

5. Shembull Aplikimi 2 Të shqyrtohet lidhja ndërmjet të ardhurave vjetore, kohës së trajnimit, përvojës së punës dhe

moshës së 20 punëtorëve të një kompanie. Të dhënat përkatëse të punëtorëve janë dhënë më

poshtë.


Ndryshoret: të ardhurat vjetore, trajnimi, mosha dhe përvoja.

Në SPSS, shkohet te Analyze, Bivariate. Këtu kemi 3 metoda të ndryshme.

Të ardhurat

vjetore

(10,000 €)

Vite trajnimi Vitet e

përvojës

Mosha

5,0 2 9 29

9,7 4 18 50

28,4 8 21 41

8,8 8 12 55

21,0 8 14 34

26,6 10 16 36

25,4 12 16 61

23,7 12 9 29

22,5 12 18 64

19,5 12 5 30

21,7 12 7 28

24,8 13 9 29

30,1 14 12 35

24,8 14 17 59

28,5 15 19 65

26,0 15 6 30

38,9 16 17 40

22,1 16 1 23

33,1 17 10 58

48,3 21 17 44

119

5.1. Metoda Bivariate Metoda Bivariate, përveç shkallës së rëndësisë bën llogaritjen edhe të koeficientit të

korrelacionit të Perasonit, koeficientit të Spearmanit si dhe llogarit Kendall’s tau-b.

Hapi 1: Menyja e Korrelacionit Bivariate

Hapi 2: Dritarja e Korrelacionit

120

Në hapin 2, në pjesën Test of Significance ndeshemi me dy zgjedhje: two tailed dhe one

tailed.

Two-tailed: Kjo hipotezë përdoret në qoftë se hipotezat e krijuara kanë orientim të dyfishtë,

pra H0 (null) në formën hipoteza ëshë e barabartë, HA (alternative) në formën hipoteza nuk është

e barabartë. Për shembull, në qoftë se kërkohet përgjigjja se studentët e departamentit të

Administrim Biznesit a i kanë notat e Financës të njëjta me studentët e departamentit të

Ekonomiksit, hipotezat të cilat do të krijohen duhet të jenë në këtë mënyrë:

H0: µadministrimbiznesi = µekonomiks ose µadministrimbiznesi - µekonomiks = 0

HA: µadministrimbiznesi ≠ µekonomiks ose µadministrimbiznesi - µekonomiks ≠ 0

One-tailed: Kjo hipotezë përdoret në qoftë se hipotezat e krijuara kanë orientim një

drejtimësh, pra H0 (null) në formën hipoteza është më e madhe ose e barabartë, ose është më e

vogël ose e barabartë, HA (alternative) hipoteza është më e vogël ose më e madhe. Për shembull,

në qoftë se kërkohet përgjigjja se studentët e departamentit të Administrim Biznesit a i kanë

notat e Financës më të mëdha për nga studentët e departamentit të Ekonomiksit, hipotezat të cilat

do të krijohen duhet të jenë në këtë mënyrë:

H0: µadministrimbiznesi ≤ µekonomiks ose µadministrimbiznesi - µekonomiks ≤ 0

HA: µadministrimbiznesi > µekonomiks ose µadministrimbiznesi - µekonomiks > 0

Gjatë përcaktimi të fuqisë së lidhjes ndërmjet ndryshoreve, zakonisht përdoret Two-tailed.

Më vonë duke klikuar në butonin Options, hapet dritjarja e përzgjedhjeve.


Në pjesën Missing Values përballemi me dy alternativa.

121

Exclude cases pairwise: I konsideron ndryshoret të cilat nuk kanë mungesë të dhënash.

Exclude cases listwise: I konsideron të dhënat e disponueshme. (Preferohet përdorimi i

kësaj).

Tabela 3: Rezultatet e Korrelacionit Bivariate

Correlationsb

të_ardhurat trajnimi përvoja mosha

të_ardhurat Pearson Correlation 1 .846**

.266 .102

Sig. (2-tailed) .000 .258 .669

trajnimi Pearson Correlation .846**

1 -.107 .098

Sig. (2-tailed) .000 .654 .680

përvoja Pearson Correlation .266 -.107 1 .676**

Sig. (2-tailed) .258 .654 .001

mosha Pearson Correlation .102 .098 .676**

1

Sig. (2-tailed) .669 .680 .001

**. Correlation is significant at the 0.01 level (2-tailed).

b. Listwise N=20

Në fillim, në qoftë se i formojmë hipotezat:

H0: Nuk ekziston lidhje ndërmjet ndryshoreve.

HA: Ekziston lidhje ndërmjet ndryshoreve.

Në fund të analizës së korrelacionit janë dhënë koeficientët e korrelacionit ndërmjet

ndryshoreve. Sipas kësaj, në nivelin e rëndësisë 5%, vlerat më të vogla se 0,05 teksa tregojnë se

nuk ekzsiton lidhje ndërmjet ndryshoreve, pra hipoteza H0 teksa refuzohet, vlerat më të mëdha se

0,05 tregojnë se ekziston lidhje ndërmjet ndryshoreve, pra hipoteza HA pranohet. Në tabelën 3,

numrat e shënuar me asteriks (**) tregojnë se ekziston korrelacion ndërmjet ndryshoreve në

nivelin e rëndësisë 1%. Sipas kësaj, shihet se ekziston një korrelacion i lartë dhe pozitiv prej

0,846 ndërmjet të ardhurave vjetore dhe trajnimit, një korrelacion i dobët dhe pozitiv prej 0,266

ndërmjet të ardhurave vjetore dhe përvojës dhe një korrelacion shumë i dobët por pozitiv prej

0,105 ndërmjet të ardhurave vjetore dhe përvojës. Sipas këtij rezultati, korrelacioni më i lartë

është ndërmjet ndryshoreve të të ardhurave vjetore dhe trajnimit. Përndryshe, koeficientët e

korrelacioneve ndërmjet ndryshoreve të trajnimit, moshës dhe përvojës shihet të jenë të ulët

(trajnim – përvojë -0,107, trajnim – moshë 0,098). Kurse koeficienti i korrelacionit ndërmjet

përvojës dhe moshës me një vlerë të lartë prej 0,676, është i përshtatshëm sipas pritjeve tona.

122

5.2. Metoda e Pjesshme (Partial) Metoda e pjesshme e korrelacionit mundëson llogaritjen e lidhjes lineare ndërmjet dy

ndryshoreve duke marrë nën kontroll ndikimin e një apo shumë ndryshoreve. Me fjalë të tjera,

gjendet një marrëdhnie e qartë ndërmjet dy ndryshoreve.

Hapi 1: Menyja e Korrelacionit të Pjesërishëm (Partial)

Hapi 2: Dritarja e Korrelacionit të Pjesërishëm (Partial)

123


Tabela 4: Rezultatet e Korrelacionit të Pjesshëm (Partial)

Correlations

Control Variables të_ardhurat trajnimi përvoja

mosha të_ardhurat Correlation 1.000 .844 .268

Significance (2-tailed) . .000 .267

df 0 17 17

trajnimi Correlation .844 1.000 -.236

Significance (2-tailed) .000 . .331

df 17 0 17

përvoja Correlation .268 -.236 1.000

Significance (2-tailed) .267 .331 .

df 17 17 0

Në tabelën 4, nga ndryshorevet e pavarura, ndryshorja e moshës është marrë nën kontroll.

Sipas kësaj metode të pjesshme, ekziston një korrelacion i fuqishëm pozitiv ndërmjet trajnimit

dhe të ardhurave (0,844).

Lidhja ndërmjet trajnimit dhe të ardhurave ishte më e lartë (r = 0,846) përpara se të merrej

ndryshorja e moshës nën kontroll (Tabela 3). Kur ndryshorja e moshës të mirret nën kontroll kjo

marrëdhënie do të zvogëlohet (r = 0,844).

124

5.3. Metoda Distances Kjo metodë ka për qëllim që të mas distancën ndërmjet ndryshoreve. Në metodën Distances

dëshirohet që koeficienti i korrelacionit ndërmjet ndryshoreve të jetë i ulët.

Hapi 1: Menyja e Korrelacionit Distances

Pasi të hapet dritarja e Distances, të gjitha ndryshoret barten në pjesën Variables.

Hapi 2: Dritarja e Distances

125

Më pas klikohet në butonin Measures.

Hapi 3: Dritarja e Measures

Në dritaren Measure, përzgjedhet Interval nga tri alternativat dhe nga këtu përzgjedhet

Euclidean distances. Më poshtë tek Transform Values, tek pjesa Standardize duhet të jetë e

përzgjedhur None dhe pastaj klikohet butoni Continue.

Tabela 5: Rezultatet e Metodës Distance

Case Processing Summary

Cases

Valid Missing Total


20 100.0% 0 0.0% 20 100.0%

126

Proximity Matrix

Euclidean Distance

të_ardhurat trajnimi përvoja mosha

të_ardhurat .000 62.164 68.035 105.444

trajnimi 62.164 .000 32.465 147.482

përvoja 68.035 32.465 .000 139.682

mosha 105.444 147.482 139.682 .000

This is a dissimilarity matrix

Sipas të dalurave në fund të analizës, teksa distancat ndërmjet të ardhurave vjetore me

trajnimin dhe përvojën janë pothuajse të njëjta (62,164 dhe 68,035), është një distancë më e

largët me moshën (105,444). Teksa ekziston një distancë e afërt ndërmjet trajnimit dhe përvojës

(32,465), ndryshorja e moshës është e largët nga trajnimi (147,482) dhe nga përvoja (139,862).

Ekzistimi i distancave të largëta të ndryshoreve të pavarura zvogëlon nivelet e shpjegimit të

ndryshores së varur. Siç e kemi parë edhe në analizat e tjera të mëparshme, ndryshorja e moshës

është ndryshorja e cila e ndikon më së paku ndryshoren e varur (të ardhurat vjetore).

127

7. ANALIZA E VARIANCËS (ANOVA –

MANOVA)

128

ANALIZA E VARIANCËS (ANOVA – MANOVA)

1. HYRJE Analiza e variancës përdoret për të testuar hipotezat në lidhje me atë se a ekziston dallim

ndërmjet dy apo më shumë mesatareve. Për të testuar se a ekziston një dallim i rëndësishëm

ndërmjet dy mesatareve përdoret edhe testi t, por në rastet e krahasimit të më shumë se dy

mesatereve testi t mund të krijoj probleme. Sado që të jetë e mundur që me testin t të krahasohen

më shumë se dy mesatare në formën dy nga dy ndaras, kjo mënyrë do të dërgoj në rritje më të

madhe të gabimit të llojit të parë. Sa më shumë që të testohet, lloji i parë i gabimit aq më shumë

rritet. Analiza e variancës është një test që përdoret për të krahasuar më shumë se dy mesatare pa

u rritur niveli i gabimit të llojit të parë. Në analizën e variancës, hipoteza H0 është në formën se

të gjitha mesataret e popullimit janë të njëjta,

H0 = µ1 = µ2 = µ3 = ... µn Pra nuk ekziston dallim ndërmjet mesatareve

HA: Ekziston dallim se paku ndërmjet dy mesatareve.

Hipoteza H0 testohet me anë të krahasimit të dy vlerave të variancave. E para nga këto është

varianca brenda grupeve (Mean square error MSE). MSE paraqet vlerësimin e variancës (σ2)

qoftë apo jo e saktë hipoteza H0. Vlerësimi i dytë bazohet në variancat e mestareve të grupeve

(Mean Square Between MSB). MSB është vlerësim i variancës (σ2) vetëm nëse hipoteza H0

është e saktë. Në qoftë se hipoteza H0 është gabim, MSB vlerëson një numër që është më i madh

se σ2. Përfundimisht, testi i hipotezave në analizën e variancës mund të shkruhet në këtë formë:

Në qoftë se MSE dhe MSB janë përafërsisht të sakta Hipoteza H0 e saktë

Në qoftë se MSB është më e madhe se MSE Hipoteza H0 e pasaktë

Siç shihet edhe nga këtu, qëllimi themelor në analizën e variancës është që të kuptohet se a

ekziston dallim ndërmjet mesatareve. Për arsye se për të arritur në përfundim përdoren dy lloje të

krahasimeve të variancave është quajtur analiza e variancës. Testimi i hipotezës bëhet sipas

ekzistimit të dallimit ndërmjet variancës të marrë ndërmjet grupeve dhe variancës të marrë

brenda grupeve.

Në analizën e variancës, përdoret vlera F për të testuar hipotezat.

Në qoftë se vlera e F-së është më e vogël se vlera nivelit të dëshiruar të rëndësisë (vlera e

tabelës), hipoteza H0 nuk refuzohet. Pra, arrihet në përfundim se nuk ekziston një dallim i

rëndësishëm ndërmjet mesatareve. Në qoftë se vlera e F-së, është më e madhe se vlera e tabelës,

129

hipoteza H0 refuzohet. Në këtë rast, gjykohet se ekziston një dallim i rëndësishëm ndërmjet

mesatareve.

Në analizën e variancës bëhet fjalë për ndryshoren e varur dhe të pavarur. Ndryshoreve të

pavarura u jepet emri faktorë. Kërkohet ndikimi i faktorëve mbi ndryshoret e varura. Ndryshorja

e pavarur duhet të jetë kategorike, kurse ndryshorja e varur duhet të jetë metrike. Në qoftë se do

ta shpjegonim këtë përmes një shembulli:

Ndryshorja e Pavarur: Gjinia (Mashkull, Femër)

Ndryshorja e Varur: Niveli i Përdorimit të Kompjuterit

Ndryshorja e pavarur këtu gjinia ka karakterstikë kategorike si dhe kjo ndryshore ka dy

grupe: mashkull dhe femër. Ndryshorja e varur është një ndryshore e cila mat nivelin e

përdorimit të kompjuterit të personave. Në këtë shembull, analiza e variancës përdoret për të

hulumtuar se a ekziston ndonjë dallim në nivelin e përdorimit të kompjuterit ndërmjet meshkujve

dhe femrave. Në qoftë se e vëreni, ndryshorja e pavarur përbëhet nga dy grupe. Në këtë rast

mund të përdoret edhe testi t i cili hulumton dallimin ndërmjet mesatareve të dy grupeve. Në

raste të këtilla, analiza e variancës dhe testi t do të japin rezultate të njëjta.

Në qoftë se jepet një shembull tjetër në rastet kur ndryshorja e pavarur përbëhet më shumë

se dy grupe:

Ndryshorja e Pavarur: pozicioni i punës në firmë

Ndryshorja e Pavarur: dashuria ndaj punës që e bën

Në këtë shembull, ndryshorja e pavarur përbëhet nga 3 grupe: punëtor, mbikëqyrës,

menaxher. Analiza e variancës përdoret për të hulumtuar ndryshimin ndërmjet pasionit për

punën sipas pozicionit që kanë secili. Një shembull i këtillë, është plotësisht një shembull i

Analizës së Variancës Një Drejtimshe (ANOVA).

ANOVA Një Drejtimshe është analiza më e thjeshtë e variancës. Përbëhet nga dy

ndryshore. Njëra nga këto është ndryshorja e pavarur e cila ka karakteristikë kategorike dhe

ndryshorja tjetër ndryshorja e varur e cila ka karakteristikë metrike. Brenda ndryshores së

pavarur mund të ekzistojnë dy apo më shumë grupe. ANOVA Një Drejtimshe teston ekzistimin

e dallimit ndërmjet mesatareve të ndryshores së varur sipas grupeve.

Lloji i analizës së variancës ndryshon sipas numrit të ndryshoreve të varura dhe të pavarura.

Më poshtë janë përmbledhur llojet e analizës së variancës sipas numrit të ndryshoreve të varura

dhe të pavarura.

130

Numri i Ndryshoreve të Pavarura

Një Dy

Numri i

ndryshoreve

të varura

Një ANOVA Një Drejtimshe ANOVA Dy Drejtimshe

Më shumë se një MANOVA Një

Drejtimshe

MANOVA Dy

Drejtimshe

Të mendojmë një shembull të këtillë;

1. Ndryshorja e pavarur: koha e kaluar në vendin e punës të një personi (java e parë, pas

3 muajve, pas 6 muajve, pas 1 viti)

2. Ndryshorja e pavarur: pozicioni i personit në firmë (punëtor, mbikëqyrës, menaxher)

1. Ndryshorja e varur: Niveli i pasionit për punën

2. Ndryshorja e varur: Niveli i kënaqësisë nga politikat e firmës

3. Ndryshorja e varur: Niveli i mjaftueshëm i pagës

Për të hulumtuar se koha e personit që ka punuar në pozitën aktuale në firmë a ka ndikuar

në personin që ta dojë punën që e ka bërë, përdoret ANOVA Dy Drejtimshe. ANOVA Dy

Drejtimshe bën testimin e ndryshoreve të varura si një e vetme mbi ndryshoren e pavarur.

Për të hulumtuar se a ka ndikim pozicioni i personit në firmë në pasionin për punën, në

kënaqësinë nga politikat e firmës dhe në mjaftueshmërinë e pagës përdoret MANOVA Një

Drejtimshe. MANOVA Një Drejtimshe bën testimin e dallimit ndërmjet grupeve të ndryshores

së varur të përmbledhura në një ndryshore dhe ndryshores së pavarur.

Kurse për të hulumtuar se të gjitha ndryshoret e pavarura a kanë ndonjë ndikim mbi të gjitha

ndryshoret e varura përdoret MANOVA Dy Drejtimshe. MANOVA Dy Drejtimshe vlerëson

dallimin duke i krahasuar në total grupet e më shumë se një ndryshoreje të pavarur sipas më

shumë se një ndryshoreje të varur.

Një pikë tjetër me rëndësi në analizën e variancës është numri i mostrave të grupeve. Sado

që numri i mostrave të grupeve të jetë i bararabartë, numri i dallimeve ndërmjet numrit të

mostrave nuk duhet të jetë tepër edhe në qoftë se kjo nuk është një parakusht për analizën e

variancës. Numri i mostrave sado që të jetë i përafërt me njëra-tjetrën, analiza e variancës po aq

do të jap rezultate të shëndetshme. Po ashtu, numri i mostrave të grupeve preferohet të jetë mbi

10.

Pas kësaj hyrjeje të shkurtër, në faqet e ardhshme do të jepen detaje gjatë zgjidhjes së

shembujve.

131

2. ANOVA NJË DREJTIMSHE

Ekzistojnë dy supozime themelore në ANOVA Një Drejtimshe. Sipas këtyre supozimeve

çdo grup ndjek shpërndarjen normale dhe variancat e grupeve janë homogjene.

Përpara se të shqyrtohen rezultatet e shembullit të ANOVA Një Drejtimshe, duhet të

testohen supozimet. Në përgjithësi, studimet nisen nga testi i homogjentitet të variancave. Në

qoftë se variancat janë homogjene, pranohet se janë siguruar të gjitha supozimet. Për ta bërë

testin e homogjentitet të variancave në SPSS, zgjihet Options nga menyja e analizës së ANOVA

Një Drejtimshe.

Testimi i supozimeve do të shihet më mirë gjatë prezantimit të shembullit. Në lidhje me

ANOVA Një Drejtimshe, janë dhënë të dhënat në Shtojcën-1. Në këtë shembull kërkohet se a

ndikon pozicioni i personit në firmë në pranimin e politikave të firmës.

2.1. Shembull Aplikimi Në progamin SPSS shkojmë tek menyja Analyze, Compare Means, One Way ANOVA.

Duke e marrë ndryshoren e pavarur pozita e bartim në pjesën Factor, kurse ndryshorja e

varur pranimi bartet në pjesën Dependent List. Përpara se të përfundojmë me analizën, duhet të

bëhen edhe disa përzgjedhje të tjera. Në menynë e One-Way ANOVA gjenden përzgjedhjet

Contrasts, Post Hoc dhe Options.

Hapi 1: Drtiarja e ANOVA Një Drejtimshe

Gjatë analizës është e rëndësishme Post Hoc dhe pasi të përzgjedhim atë, do të hapet

dritarja e mëposhtme.

132

Hapi 2: Dritarja e Post Hoc

Testi Post Hoc është i rëndësishëm për të parë se nga cili grup buron dallimi, në qoftë se në

fund të analizës së variancës është gjetur dallim ndërmjet grupeve. Tabela ANOVA tregon në

përgjithësi se a ka dallim ndërmjet mestareve të grupeve. Ajo teston se mesataret e të gjitha

grupeve a janë të njëjta, qoftë 3 grupe apo qoftë 10 grupe. Në qoftë se ekziston dallim vetëm

ndërmjet dy grupeve dhe ndërmjet grupeve tjera jo, ANOVA do të jap rezultatin se “ekziston

dallim ndërmjet grupeve”. Mirëpo, me testet Post Hoc mund të mësojmë se nga buron dallimi

dhe ndërmjet cilat grupeve ekziston ky dallim.

Në testin Post Hoc ekzistojnë shumë alternativa. Funksioni themelor i të gjithave është i

njëjtë. Përdoret për të kuptuar se ndërmjet cilat grupeve ekziston dallim. Sipas algoritmeve të

përdorura, niveleve të ndjeshmërisë etj., në përgjithësi japin rezultate të njëjta edhe në qoftë se

ekzistojnë disa dallime të vogla ndërmjet tyre. Përbrenda këtyre më të përdorura gjatë studimeve

janë Tukey dhe Bonferroni. Përzgjedhja e vetëm njërës nga këto është e mjaftueshme, kurse ne

kemi përzgjedhur të dyja për të parë dallimin ndërmjet tyre në shembullin tonë.

Pasi të përfundohen përzgjedhjet duke klikuar në butonin Continue kthehemi te menyja

kryesore. Përzgjedhja Contrasts përdoret në analizat e niveleve më të larta të statistikave. Teksa

në përzgjedhjen Post Hoc krahasohen dy nga dy mesataret e ndryshores së varur sipas

nëngrupeve të ndryshores së pavarur, me anë të përzgjedhjes Contrasts mund të bëhen

krahasime në nivele më të larta. Për shembull, krahasimi i një grupi me mesataren e përgjithshme

të grupeve tjera apo krahasimi i mesatares së përgjithshme të grupit të dytë dhe të tretë me

133

mesataren e përgjithshme të grupit të parë dhe të pestë bëhet përmes Contrasts duke i futur

koeficientët e nevojshëm të tyre.

Po ashtu në rastet kur është e rëndësishme forma e funksionit në lidhje me nivelet e lidhjes

së ndryshores së varur dhe ndryshores së pavarur, është e rëndësishme analiza e trendit. Për

shembull, shuma e çmimit (shpërblimit) dhënë një subjekti le të jetë ndryshore e pavarur dhe

shuma e vrapimit në lidhje me këtë le të jetë ndryshore e varur. Në një shembull të këtillë, për

testimin e formës së funksionit të ndryshores së varur dhe ndryshores së pavarur sipas

pikëpamjeve të ndryshme, mund të përdoret analiza e trendit. Në raste të këtilla, në përzgjedhjen

Contrasts mund të përdoren komponentet e disponueshëm të trendit. Për arsye se menyja

Contrasts përdoret për analiza të niveleve të larta, nuk do të futemi më shumë në detajet e kësaj

menyje.

Në menynë kryesore, në pjesën Options gjenden gjithashtu alternativa të rëndësishme. Kur

të klikojmë në butonin Options, do të hapet dritarja e mëposhtme:


Jep statistikat themelore, si mesataren,

devijimin standart, vlerat e minimumit,

maksimumit për secilin grup.

Jep devijimin standart, gabimin e devijimit

dhe intervalin e besueshmërisë për

modelet fikse dhe intervalin e

besueshmërisë të gabimit standart dhe

variancën ndërmjet komponentëve për

modelet e probabilitetit.

Teston supozimin e homogjentitetit të

variancave të grupeve.

Jep paraqitjen grafike të mesatareve të

nën grupeve.

Përdoren për krahasimin e mesatereve të

grupeve në rastet kur supozimi i

homogjentitetit të variancave të grupeve

është i pavlefshëm.

Në qoftë se ekziston mungesë në

ndryshoren e varur apo të pavarur në

analizë, nuk e përdor atë rresht në të cilën

mungojnë të dhënat.

Në qoftë se ekziston mungesë në

ndryshoren e varur apo të pavarur në

analizë, nuk e përdor asnjë rresht në të

cilën mungojnë të dhënat. Është e

rëndësishme në rastet kur janë përcaktuar

më shumë se një ndryshore e varur.

134

Më lartë janë dhënë kuptimet për secilën përzgjedhje të menysë Options. Për një ANOVA

standarte, homogjeniteti i variancave është përzgjedhja e cila duhet të testohet patjetër. Nga

rezultatet e testit të supozimit të homogjenetitet të variancës do të kuptohet vlefshmëria e

zbatimit të ANOVA Një Drejtimshe. Për këtë arsye, më lartë është përzgjedhur Homogeneity of

variance test. Descriptive është përzgjedhur për të i parë rezultatet në kuptim të përgjithshëm.

Kjo përzgjedhje jep numrin e mostrave të përdorura sipas grupeve, mesataret, devijimin standart,

gabimin standart të mesatareve, vlerat e minimumit dhe maksimumit dhe nivelin e

besueshmërisë 95%. Alternativa Means plot mund të përzgjedhet për të parë ndryshimin në

mënyrë grafike të ndryshores së varur sipas grupeve të ndryshores së pavarur.

Alternativa Fixed and random effects ka të bëjë me mbledhjen e të dhënave nga kategoritë

e ndryshores së pavarur. Në qoftë se të dhënat janë mbledhur nga të gjitha kategoritë e

ndryshores së pavarur, quhen modele fikse, kurse në qoftë se të dhënat janë mbledhur nga një

pjesë e kategorive quhen modelet e probabilitetit. Llogaritjet në ANOVA Një Drejtimshe janë të

njëjta për secilin model. Në qoftë se rritet numri i ndryshoreve të pavarura do të ketë dallime

ndërmjet modeleve. Alternativa Fixed and random effects jep vlerat e përshkruara më lartë në

tabelë për ndikimet fikse dhe të rastësishme. Kjo alternativë përdoret në analizat statistikore të

niveleve të larta dhe në të njëjtën kohë do të jipen më shumë detaje në pjesën ANOVA Dy

Drejtimshe. Alternativat Brown-Forsythe dhe Welch, përdoren për të bërë krahasime ndërmjet

mesatareve në rastet kur nuk është siguruar supozimi i Anovës të homogjentitetit të variancave.

Në aplikimin e ANOVA Një Drejtimshe, tek pjesa e ndryshores së varur mund të vendosen

më shumë se një ndryshore. Në rastin e vendosjes së më shumë se një ndryshoreje të pavarur,

nuk duhet të konsiderohet se të gjitha ndryshoret janë subjekt i të njëjtës analizë. Në ANOVA

Një Drejtimshe, secila ndryshore e pavarur është është subjekt i ndryshores së varur ndaras dhe

rezultatet jepen ndaras. Alternativa e më lartë Missing Values merr kuptim në raste të tilla. Në

qoftë se është zgjedhur vetëm një ndryshore e varur dhe vetëm një ndryshore e pavarur,

alternativa Exclude cases listwise nuk ka kuptim. Por në qoftë se janë zgjedhur më shumë se një

ndryshore e varur, kjo metodë përzgjedhet që të mos përdoren vlerat mangu gjatë gjithë analizës.

Ngaqë në shembullin tonë kemi vetëm një ndryshore të varur dhe vetëm një ndryshore të

pavarur, cilën do që ta përzgjedhim, rezultatet nuk do të ndryshojnë.

Pasi të bëhen përzgjedhjet mësipër, klikohet butoni Continue dhe pastaj duke klikuar OK

në menynë kryesore të One-Way ANOVA, do të përfitohen rezultatet.

135

2.2. Daljet e SPSS-it dhe Interpretimi


Descriptives

përvetësimi

N Mean

Std.

Deviation Std. Error

95% Confidence Interval for

Mean

Minimum Maximum Lower Bound Upper Bound

punëtor 15 2.3333 .81650 .21082 1.8812 2.7855 1.00 4.00

mbikëqyrës 14 3.7857 .80178 .21429 3.3228 4.2487 2.00 5.00

menaxher 11 4.2727 1.00905 .30424 3.5948 4.9506 2.00 5.00

Total 40 3.3750 1.19158 .18841 2.9939 3.7561 1.00 5.00

Gjëja e parë e cila tërheq vëmendjen në tabelën Descriptives është numri i mostrës së

grupeve. Përderisa do të duhej të ishin 17 punëtorë janë vrojtuar 15, do të duhej të ishin 15

mbikëqyrësa jane vrojtuar vetëm 14. Arsyeja e kësaj është mungesa e vlerave në të dhëna. Në të

dhënat tona kishte 3 vlera mangu dhe në këtë mënyrë në total 3 vlera janë lënë jashtë analizës.

Në tabelë janë dhënë të dhënat statistikore themelore si mesatarja, devijimi standart etj, për

secilin grup.

Tabela 2: Testi i Homogjentitetit të Variancës

Test of Homogeneity of Variances

përvetësimi

Levene Statistic df1 df2 Sig.

.497 2 37 .612

Në tabelën 2, mund të shihet rezultati i testit të supozimit themelor të ANOVA Një

Drejtimshe, homogjentitetit të variancës. Për arsye se këtu vlera e p (Sig. 0,612) është më e

madhe se 0,05, mund të thuhet se variancat janë homogjene. Ngaqë është siguruar supozimi

themelor i analizës së variancës, mund të themi se në fund rezultatet e përfituara nga analiza e

variancës janë të shëndetshme.

136

Tabela 3: Tabela e Analizës së Variancës

ANOVA

përvetësimi

Sum of Squares df Mean Square F Sig.

Between Groups 27.503 2 13.751 18.255 .000

Within Groups 27.872 37 .753

Total 55.375 39

Tabela ANOVA teston dallimin ndërmjet grupeve në përvetësimin e politikave të firmës.

Në qoftë se këtu vlera e F-së është më e madhe se vlera e tabelës në nivelin e rëndësisë 95%,

hipoteza H0 do te refuzohet. Natyrisht, këtu nuk nuk është e nevojshme që të shikojmë nga tabela

vlerën e F-së. SPSS jep vlerën e p-së (Sig.) dhe në qoftë se kjo vlerë është më e vogël se 0,05

hipoteza H0 do te refuzohet. Vlera e p-së (0,000) në tabelën e mësipërme është më e vogël se

0,005. Prandaj mund të themi se ekziston një dallim ndërmjet grupeve në përvetësimin e

politikave të firmës. Dhe pikërisht, në këtë pikë vijnë në shprehje testet Post Hoc. Ekziston një

dallim ndërmjet grupeve, në rregull, por midis cilave grupe? Testet Post Hoc japin përgjigjjen e

kësaj pyetjeje.

Tabela 4: Tabela e Krahasimeve të Shumëta

Multiple Comparisons

Dependent Variable: përvetësimi

(I) pozita (J) pozita

Mean

Difference (I-J) Std. Error Sig.


Lower Bound Upper Bound

Tukey HSD punëtor mbikëqyrës -1.45238* .32253 .000 -2.2398 -.6649

menaxher -1.93939* .34453 .000 -2.7806 -1.0982

mbikëqyrës punëtor 1.45238* .32253 .000 .6649 2.2398

menaxher -.48701 .34970 .355 -1.3408 .3668

menaxher punëtor 1.93939* .34453 .000 1.0982 2.7806

mbikëqyrës .48701 .34970 .355 -.3668 1.3408

Bonferroni punëtor mbikëqyrës -1.45238* .32253 .000 -2.2612 -.6436

menaxher -1.93939* .34453 .000 -2.8034 -1.0754


menaxher -.48701 .34970 .516 -1.3640 .3899


mbikëqyrës .48701 .34970 .516 -.3899 1.3640

*. The mean difference is significant at the 0.05 level.

137

Në tabelën e mësipërme janë dhënë rezultatet e testit Tukey dhe Bonferroni. Nga tabela e

mësipërme janë bërë këto krahasime me renditjet e testit Tukey.

Figura 1: Përmbledhja e Tabelës së Krahasimeve të Shumëfishta

Figura 1 është përgatitur për të kuptuar më mirë tabelën e krahasimeve të shumëfishta.

Mesataret në lidhje me ndryshoren e varur përvetësimi janë marrë nga tabela 1 në kolonën Mean.

Dallimet mesatare janë marrë nga tabela 4 në kolonën Mean Difference. Kurse niveli i rëndësisë

është marrë nga kolona Sig. në tabelën 4. Mund të thuhet se ekziston një dallim i rëndësishëm

për grupet të cilat gjenden nën nivelin e rëndësisë 0,05.

Pa shikuar në nivelin e rëndësisë, përmes lehtësisë të cilën e ofron SPSS-i mund të zbulohet

se midis cila grupeve ekziston dallim. Me anë të shenjës së asteriksit (*) në kolonën e mesatareve

të dallimeve (Mean Difference) në tabelën 4, mund të kuptohet se midis cilat grupeve ekziston

dallim për nga mesataret. Mesataret të cilat kanë shenjën * tregojnë që ndërmjet atyre grupeve

ekziston një dallim në nivelin e rëndësisë 0,05.

EKZISTON

DALLIM

PUNËTOR

Mesatarja:

2,333

MBIKËQYRËS

Mesatarja:

3,7857

MENAXHER

Mesatarja:

4,2727

EKZISTON

DALLIM

NUK KA DALLIM

138

Sipas këtyre rezultateve;

Mbikëqyrësit i kanë përvetësuar më shumë politikat e firmës në krahasim me punëtorët.

Dallimi ndërmjet tyre është 1,452 dhe kjo gjendet nën nivelin e rëndësisë 0,05.

Menaxherët i kanë përvetësuar më shumë politikat e firmës në krahasim me punëtorët.

Dallimi ndërmjet tyre është 1,939 dhe kjo gjendet nën nivelin e rëndësisë 0,05.

Nuk ekziston ndonjë dallim i rëndësishëm ndërmjet menaxherëve dhe mbikëqyrësve në

përvetësimin e politikave të firmës. Dallimi ndërmjet tyre është 0,487 dhe kjo është më e

madhe se niveli i rëndësisë 0,05 (0,355).

Përsëri ajo çfarë tërheq vëmendjen në tabelë është se Tukey dhe Benferroni kanë dhënë

rezultate të njëjta. Në analiza, zakonisht përzgjedhet njëra nga këto. Kurse siç e cekëm edhe më

parë, testi Tukey përdoret më shumë.

Tabela 5: Tabela e Nëngrupeve

përvetësimi

pozita N

Subset for alpha = 0.05

1 2

Tukey HSDa,b

punëtor 15 2.3333

mbikëqyrës 14 3.7857

menaxher 11 4.2727

Sig. 1.000 .333

Means for groups in homogeneous subsets are displayed.

a. Uses Harmonic Mean Sample Size = 13.100.

b. The group sizes are unequal. The harmonic mean of the group sizes is

used. Type I error levels are not guaranteed.

SPSS-i ka krijuar nëngrupet sipas përvetësimit të politikave të firmës. Nga këto, grupi i

punëtorëve ka formuar një grup të vetëm, kurse mbikëqyrësit dhe menaxherët janë përfshirë në

një grup së bashku. Përfshirja e mbikëqyrësve dhe menaxherëve në një grup, përsëri tregon se

këto dy grupe nuk kanë karakteristika të dy grupeve të ndara, pra mbikëqyrësit dhe menaxherët

tregojnë karakteristika të njëjta në përvetësimin e politikave të firmës. Kurse punëtorët janë

përcaktuar në një grup të veçantë për arsye se tregojnë karakteristika të ndryshme edhe nga

mbikëqyrësit edhe nga menaxherët.

Grafiku i përfituar nga alternativa Means Plot në menynë Options paraqet në mënyrë

vizuale dallimet e mesatareve të përvetësimit të punëtorëve, mbikëqyrësve dhe menaxherëve

sipas pozitave. Boshti vertikal tregon nivelin e përvetësimit (Mean Difference), kurse boshti

horizontal tregon grupet e pozitave. Ky grafik i cili rezultatet i paraqet në mënyrë vizuale, nuk

139

është i mjaftueshëm për të kuptuar se a ekziston një dallim i rëndësishëm ndërmjet grupeve.

Interpretimi vetëm përmes grafikut pa ndihmën e testeve tjera, jep rezultate të gabueshme.

Figura 2: Grafiku Tregues i Lidhjes Ndërmjet Faktorit të Pozitës dhe Ndryshores së

Përvetësimit

Në qoftë se do të bënim një përmbledhje të shembullit të analizuar në lidhje me ANOVA

Një Drejtimshe;

Pozita aktuale e punëtorëve ndikon ndjenjën e përvetësimit të politikave të firmës.

Punëtorët janë përvetësuesit më të paktë të politikave të firmës.

Menaxherët dhe mbikëqyrësit i përvetësojnë më shumë politikat e firmës.

Sado që menaxherët i përvetësojnë politikat e firmës më shumë se mbikëqyrësit, përsëri

nuk ekziston ndonjë dallim i rëndësishëm ndërmjet tyre.

140

3. ANOVA DY DREJTIMSHE Gjatë hulumtimit të ndikimit të dy ndryshoreve të pavarura mbi një ndryshore të varur, në

vend të hulumtimit të ndikimit të ndryshoreve të pavarura mbi ndryshoren e varur veç e veç,

vendosja e tyre në një funksion të vetëm shpesh është më produktive. Kjo çasje e cila bën

llogaritjen e ndikimit të ndryshoreve të pavarura veç e veç mbi ndryshoren e varur, llogarit edhe

bashkëveprimin ndërmjet ndryshoreve të pavarura. Kjo situatë do të kuptohet më mirë përmes

shembullit.

3.1. Shembull Aplikimi Në Shtojcën-2 gjenden dy ndryshore të pavarura. Këto janë pozita e personave në firmë dhe

koha e gjendjes në punë. Kurse ndryshorja e varur është niveli i kënaqësisë së personave nga

puna e bërë. Në këtë shembull, kërkohet të hulumtohet ndikimi i pozitës së punonjësve (punëtor,

mbikëqyrës, menaxher) në kënaqësinë e marrë nga puna që bëjnë. Në të njëjtën kohë, kërkohet të

matet se a ka ndryshuar kënaqësia nga pozita në të cilën gjenden në fund të javës së parë, në fund

të tre muajve, në fund të gjashtë muajve dhe në fund të një viti. Për shembull, është pyetur një

punonjës në lidhje me nivelin e kënaqësisë në punë në fund të javës së parë pasi ka filluar punën,

në fund të tre muajve, në fund të gjashtë muajve dhe në fund të një viti. Në këtë mënyrë janë

pyetur 4 punonjës. Po ashtu, në të njëjtën mënyrë janë pyetur 4 mbikëqyrësa dhe 4 menaxherë në

peridhuat e lartëpërmendura. Në fund, është përfituar tabela në Shtojcën-2. Në tabelë gjenden 48

të dhëna në total.

Hulumtimi veç e veç i nivelit të kënaqësisë me pozitën e punës dhe kohën e kaluar në atë

punë, do të ishte një gabim sepse mund të ketë një bashkëveprim ndërmjet këtyre dy ndryshoreve

të pavarura. Për shembull, teksa niveli i kënaqësisë së një punëtori mund të zvogëlohet me

kalimin e kohës, e kundërta mund të jetë për një menaxher. Një menaxher, me kalimin e kohës

do të i përcaktojë vetë politikat dhe do të i përvetësojë më shumë se të tjerët. Në situata të tilla,

në vend që ndryshoret e pavarura të analizohen veç e veç me ANOVA Një Drejtimshe, është më

e kuptimtë që të analizohen përmes një funksioni me ANOVA Dy Drejtimshe.

Për ta kryer Anovën Dy Drejtimshe në SPSS, shkohet tek Analyze, General Linear

Model¸ Univariate dhe do të paraqitet ekrani i mëposhtëm.

141

Hapi 1: Dritarja e ANOVA Dy Drejtimshe

Ndryshorja e pavarur kënaqësia bartet në pjesën Dependent Variable. Kemi dy lloje të

ndryshoreve të pavarura dhe këto kanë karakteristika të ndryshme. Ndryshorja e pavarur pozita

strehon të gjitha grupet që na interesojnë. Ndryshoret e këtilla, siç shihet më lartë, barten në

pjesën Fixed Factor(s). Kurse ndryshorja e kohës është më e ndryshme. Kjo ndryshore përfshin

4 grupe. Këto janë java e parë, 3 muajtë e parë, 6 muajtë e parë dhe 1 vit. Qëllimi këtu është që të

hulumtohet se me kalimin e këtyre periudhave a ka ndryshuar niveli i kënaqësisë. Në qoftë se

konsiderohet se këto grupe përfshijnë të gjitha grupet brenda zonës sonë së interesit, atëherë këto

mund të transferohen në pjesën Fix Factor(s). Në shembullin tonë nuk konsiderohet se këto

grupe përfshinë të gjitha grupet e tjera sepse mund të qenë bërë matje p.sh. në fund të një muaji,

Në qoftë se të gjitha grupet janë përfshirë në kuadër të ndryshores së pavarur, ndryshoret e tilla të pavarura shtohen në pjesën Fixed Factor(s). Në kuadër të faktorit të pozitës janë shqyrtuar 3 grupe.

Në qoftë se nuk janë përfshirë të gjitha grupet në kuadër të ndryshores së pavarur, ndryshoret e tilla shtohen në pjesën Random Factor(s). Në ndryshoren koha janë shqyrtuar 4 periudha. Qëllimi këtu është që të kuptohet se me kalimin e kohës a ka ndryshuar kënaqësia. Përveç 4 periudhave të përmendura këtu, mund të ketë edhe më shumë periudha të tjera.

Në analizën e ponderuar të katrorëve më te vegjël (Weighted Least

Squares Analyses), një ndryshore mund të shtohet si e ponderuar

(Weighting Variable). Nuk është një karakteristikë e cila përdoret

shpesh.

Këtu shtohet ndryshorja e pavarur në kombinim me nivelet e faktorit të

cilat mund të lidhen me covariate (ndryshore kolektive). Ngaqë kjo

është një temë e analizës së kovariancës, këtu nuk do të futemi në

detaje.

142

në fund të 9 muajve apo në fund të 2 viteve dhe në këtë mënyrë do të ishin krijuar më shumë se 4

grupe. Po të kishin qenë më shumë se 4 grupe edhe rezultatet do të ndryshonin. Për këtë arsye,

ndryshorja koha është bartur në pjesën Random Factor(s).

Në aplikimin e ANOVA Dy Drejtimshe pjesa me rëndësi kritike është pjesa Model. Kur të

klikohet në butonin Model do të hapet dritarja e mëposhtme. Në shembull qe përcaktuar se

ndërmjet pozitës dhe kohës mund të ketë bashkëveprim. Prandaj, përveç shikimit të ndikimit

kryesor të pozitës mbi kënaqësinë, ndikimit kryesor të kohës mbi kënaqësinë, në të njëjtën kohë

duhet të shikohet edhe ndikimi i bashkëveprimit të pozitës dhe kohës mbi kënaqësinë. Përcaktimi

i këtyre përzgjedhjeve bëhet në pjesën Model. Në ekranin Model përzgjedhja Full Factorial

është e vetëpërzgjedhur. Nga kjo, SPSS do të jep rezultatin e të gjitha ndërveprimeve të

dëshiruara.

Hapi 2: Dritarja e Modelit

Alternativat Full Factorial dhe Custom ofrojnë mundësinë për të hulumtuar llojet e ndikimeve të

faktorëve mbi ndryshoren e varur. Përzgjedhja Full Factorial llogaritë të gjitha mundësitë. Pra,

llogarit ndikimin kryesor të pozitës, ndikimin kryesor të kohës dhe ndërveprimin e pozitës dhe

kohës si dhe hulumton ndikimin e secilës nga 3 përzgjedhjet mbi ndryshoren e varur.

143

Në qoftë se përzgjedhet Custom, SPSS jep mundësinë për të zgjedhur se çfarë ndikimi faktorial po

kërkohet mbi ndryshoren e varur. Ndryshoret në pjesën Factors & Covariates barten në pjesën

Model duke pasur kujdes përzgjedhjet në Build Term(s). Për shembull, për të mësuar ndikimin

kryesor të pozitës mbi kënaqësinë zgjedhet Main Effects nga kutiza Build Term(s) dhe pastaj barten

në pjesën Model. Për të mësuar ndikimin e ndërveprimit të pozitës dhe kohës mbi kënaqësinë, duke

i selektuar të dyjat barten në pjesën Model duke përzgjedhur Interaction nga pjesa Build Term(s).

Në ekranin e mësipërm duke zgjedhur secilën mundësi janë bartur në pjesën Model. Në këtë

mënyrë edhe Full Factorial do të jap rezultatet e njëjta nga dritarja e mësipërme ku është e

vetëpërzgjedhur. Në rastet kur ekzistojnë më shumë se një ndryshore e pavarur, për të hulumtuar

ndërveprimet treshe, katërshe apo pesëshe, nga kutiza Build Term(s) përdoren përzgjedhjet All 3-

way, All 4-way, All 5-way. Në shembullin tonë është e pakuptimtë të përdoren këto sepse kemi

vetëm dy ndryshore të pavarura.

Këtu është e përzgjedhur Type III në mënyrë standarte. Për të llogaritur totalin e katrorëve këtu

gjenden 4 alternativa. Për modele të ndryshme zgjedhen alternativa të ndryshme. Për shembull, për

modelet e dizajneve të ekuilibruara ose modelin e regresionit polinom është e përshtatshme

alternativa Type I. Këtu zakonisht alternativa Type III dhe Type IV përdoren më shumë. Në Type III

është më e lehtë që të interpretohet rezultatet dhe përdoret në të gjitha modelet, si të ekuilibruara

ashtu edhe jo të ekuilibruara. Në qoftë se në shembull nuk ekziston grup i zbrazët është e

përshtatshme Type III, në qoftë se po Type IV.

144

Duke klikuar butonin Continue vazhdohet tutje. Univariate e cila realizon aplikimin e

ANOVA Dy Drejtimshe, ofron edhe përzgjedhjen e grafikut. Përmes grafikut mund të shohim se

si ndryshon ndryshorja e varur me ndikimin e faktorëve. Për t’a përfituar grafikun, në ekranin

Univariate klikohet butoni Plots. Përmes ekranit të hapur më poshtë, mund të përcaktohet

vizatimi i grafikut. Boshti vertikal i grafikut është ndryshore e varur në mënyrë automatike. Në

shembullin tonë, vlera e pritur marxhinale e ndryshores sonë të varur kënaqësia do të paraqitet në

boshtin vertikal të grafikut. Ndryshoret e pavarura shfaqen në 3 mënyra në grafik. Detajet e

këtyre 3 përzgjedhjeve janë dhënë afër ekranit të mëposhtëm. Në shembullin tonë, ndryshorja e

kohës teksa tregohet në boshtin horizontal, ndryshorja e pozitës është përcaktuar që të shfaqet me

vija të ndara. Ajo çfarë nuk duhet të harrohet këtu është që pasi të bëhen përzgjedhjet e

nevojshme duhet të shtypet tasti Add. Përndryshe nuk do të shfaqet grafiku. Pasi të klikojmë në

tastin Add kutizat e përzgjedhura do të zbrazen. Në këtë mënyrë, në qoftë se dëshirohen grafiqe

të formave tjera, pas ripërzgjedhjes klikohet butoni Add dhe bëhet shtimi i tyre. Pasi të

përfundohet funksioni klikohet Continue dhe do të kthehemi në menynë kryesore Univariate.

Hapi 3: Dritarja e Grafikut

Testet Post Hoc të cilët qenë përmendur në ANOVA Një Drejtimshe, ekzistojnë edhe në

ANOVA Dy Drejtimshe. Tabela ANOVA tregon dallimin e ndryshores së varur në lidhje me një

faktor dhe në të njëjtën kohë ndërmjet cilave grupeve të faktorit ekziston dallimi. Testet Post

Hoc ofrojnë mundësinë për të parë detajet e këtilla. Nga menyja kryesore Univariate hyhet në

përzgjedhjen Post Hoc. Në ekranin e mëposhtëm, ndryshoret të cilat dëshirohet të jenë subjekte

të testit Post Hoc, duke i përzgjedhur nga pjesa Factor(s) barten në pjesën Post Hoc Tests for.

Ndryshorja e shtuar në këtë

pjesë do të shfaqet në

boshtin horizontal në grafik.


pjesë do të shfaqet me pika

të ndryshme ngjyrash në

grafik.


pjesë do të shfaqet me vija të

ndryshme ngjyrash në grafik.

145

Ajo çfarë tërheq vëmendjen këtu është mungesa e ndryshores së kohës e cila qe përcaktuar si

Random Factor. Për arsye se ndryshoret e rastësishme nuk i përfshijnë të gjitha kategoritë, nuk

mund të jenë subjekte të testeve Post Hoc. Në qoftë se testi Post Hoc është i rëndësishëm për

këta faktorë, atëherë këta faktorë do të duhej përcaktuar si Fixed Factor në menynë kryesore

Univariate. Siç qe specifikuar në fillim të shembullit, për ne është me rëndësi të kuptohet

dallimi i kënaqësisë në 4 peridhuat e përcaktuara kohore në mënyrë të rastësishme dhe në çfarë

drejtimi do të ndryshojë. Niveli i kënaqësisë veç e veç në këto katër periudha nuk tërheq

vëmendjen tonë. Po të ishte ashtu, kjo do të përcaktohej në Fixed Factor. Për të parë se në çfarë

drejtimi ekziston ndryshimi, këtë do të mund t’a vështrojmë përmes përmes grafikut të cilin e

përcaktuam nga përzgjedhja Plots. Ekrani i Post Hoc është si më poshtë.

Hapi 4: Dritarja Post Hoc e Krahasimeve të Shumëfishta për Mesataret e Vrojtuara

Nga rezultatet që do

të përfitohen nga

alternativat e pjesës

Equal Variances

Assumed do të

shikohet se a arrihet

supozimi themelor i

Anovës,

homogjentiteti i

variancave. Arritja e

homogjentitet të

variancave tregohet

nga rezultatet e

Homogeniety Test.

Testi më i përdorur

prej këtyre është

testi Tukey. Dallimi

ndërmjet këtyre

testeve qe treguar

në mënyrë të

thjeshtë në ANOVA

Një Drejtimshe.

Kjo pjesë përdoret për të parë ndryshimet në ndryshoren e varur sipas grupeve të faktorit në rastet kur

nuk sigurohet homogjentiteti i variancave. Në qoftë se është e nevojshmë që sipas rezultatit të

Homogeniety Test, atëherë përdoret rezultati që e jep kjo pjesë. Në rastet kur nuk ekziston

homogjentiteti i variancave, testi më i përdorur këtu është Tamhane’s T2.

146

Duke përzgjedhur Tukey nga testet Post Hoc dhe Tamhane’s T2 klikohet në butonin

Continue. Në fund të Homogeneity test, në qoftë se arrihet në përfundim se variancat janë

homogjene, përdoren rezultatet e testit Tukey, kurse në qoftë se arrihet në përfundim se

variancat nuk janë homogjene, përdoren rezultatet e testit Tamhane’s T2.

Në menynë kryesore Univariate, butoni Options ofron kontribute të mëdha për të

interpretuar rezultatet e ANOVA Dy Drejtimshe. Duke klikuar në butonin Options do të hapet

menyja e saj. Në këtë meny, ndryshoret e gjendura në pjesën Factor(s) and Factor Interactions

barten plotësisht në pjesën Display Means For. Në këtë mënyrë, do të mund të shohim

mesataret dhe intervalet e besueshmërisë të cilat gjenden nën çfarëdo lloje të ndikimit të

ndryshoreve të pavarura mbi ndryshoren e varur. Përmes komentimit të tabelave që do të shfaqen

si rezultat i kësaj alternative, do të mund të shikojmë se nga cilat ndryshore të pavarura ndryshon

ndryshorja e varur, në cilat grupe të ndryshoreve të pavarura dhe në çfare drejtime. Në të njëjtën

kohë, në dritaren e më poshtë Options në qoftë se përzgjedhet Compare Main Effects do të

bëhet përsëri testi Post Hoc për ndryshoret veç e veç. Këtu ekzistojnë dy pika me rëndësi. E

para, në menynë normale të Post Hoc, teksa ndryshoret e identifikuara nuk janë subjekt i

Random Variables, me rastin e alternativës Compare Main Effects të gjitha ndryshoret do të

jenë subjekt i kësaj. Në qoftë se përzgjedhjet ky opsion, do të bëhen krahasime ndërmjet 4

grupeve të ndryshores së shembullit tonë kohës. Mirëpo, siç është specifikuar edhe më parë, në

shembullin tonë nuk kemi nevojë për një analizë të këtij lloji. Pika e dytë me rëndësi është se me

rastin e përzgjedhjes së Compare Main Effects krahasohen vetëm ndikimet kryesore të

ndryshoreve dhe nuk bëhet ndonjë analizë në lidhje me ndërveprimin ndërmjet dy ndryshoreve.

Në ekranin Options, alternativa Homogeneity test përdoret për të testuar supozimin

themelor të analizës së variancës, barazinë e variancave. Më etiketimin e kësaj alternative, në

qoftë se vlera e përfituar në tabelë p (vlera e Sig.) është më e madhe se 0,05, atëherë pranohet se

variancat janë homogjene. Mirëpo në disa studime, testi Homogeneity është i pamjaftueshëm për

testimin e supozimit. Për këtë arsye me etiketimin e Spread vs. level plot mund të kontrollohet

barazia e variancave përmes grafikut që do të përfitohet. Madje në disa raste, në qoftë se testi i

homogjenitetit sjell interpretimin për mosbarazinë e variancave, përzgjedhja Spread vs. level

plot përmes grafikut mund të sjell interpretimin e kundërt.

Në menynë Options në qoftë se etiketohet Descriptives statistics do të përfitohen

mesataret, devijimet standarte dhe madhësitë e mostrave për të gjitha grupet. Përzgjedhja

Estimates of effect size shpreh nivelin e ndikimit të ndryshoreve të pavarura në ndryshoret e

varura. Estimates of effect size e cila llogarit variancën e shpërndarë për ndryshoret dhe nivelin

total të variancës së mbetur gabim, përveç që tregon ndikimin e ndryshores së pavarur në

ndryshoren e varur, tregon se edhe në çfarë niveli gjendet ky ndikim. Gjatë shqyrtimit të

rezultateve të SPSS-it, kjo pjesë do të kuptohet më mirë.

147


Pas përzgjedhjes së preferencave në menynë Options klikohet Continue dhe bëhet kthimi

në menynë kryesore Univariate.

Butoni Save që gjendet në menynë kryesore Univariate, shërben për të shtuar ndryshore të

reja në setin e të dhënave. Për shembull, në qoftë se etiketohet Unstandardized Predicted

Values, pasi të përfundojmë analizën Univariate në setin e të dhënave do të jetë shtuar një

kolonë e re. Në këtë meny, do të gjenden vlerat e parashikuara për secilin rresht. Këto vlera nuk

janë tjetër gjë përveçse mesatare. Për shembull, duke e marrë mesataren e përgjigjjeve të

mbikëqyrësit të dhënë në fund të tre muajve, në setin e të dhënave në rreshtin e pozitës do të

Për të mbajtur në

mend, në pjesën LSD

gjenden testet Post

Hoc Bonferroni dhe

Sidak. Ndryshorja e

pavarur edhe në

qoftë se është

përcaktuar në

Random Factor(s)

madje, këtu në qoftë

se bëhet përzgjedhje

ofrohet mundësia e

krahasimit ndërmjet

grupeve. Në qoftë se

ju kujtohet në

menynë Post Hoc

nuk i zgjedhnim

ndryshoret e

përcaktuara si

Random Factor.

Përzgjedhjet më të përdorura këtu gjenden të etiketuara në figurë.

Veçanërisht përzgjedhja Homogeneity test duhet të etiketohet patjetër. Ky

test përdoret provuar qëndrueshmërinë e bazave të analizës së variancës.

Supozimi bazë barazia e variancave analizohet përmes këtij testi.

Intervali i

besueshmërisë që do

të përdoret në

analiza mund të

ndërrohet nga këtu.

Forma e përzgjedhur

standarte është 0,05.

148

shkruhet mbikëqyrës dhe në vendin e kohës tre muaj. SPSS, në këtë mënyrë do të plotësojë të

gjithë setin e të dhënave. Edhe pse në përzgjedhjen Save mund të gjenden etiketime të ndryshme

për shtimin e ndryshoreve të reja, nuk është një meny e cila përdoret shpesh. Mirëpo, është e

rëndësishme në rastet kur të dhënat e reja të krijuara janë të nevojshme për të bërë analiza të reja.

Kjo është një situatë e cila aplikohet në nivelet e larta të statistikës.

Gjithashtu ngaqë edhe përzgjedhja Contrast përdoret në aplikimet e niveleve të larta të

statistikës, këtu nuk do të ndalemi në detajet e kësaj menyje. Mirëpo, duhet të tregojmë një

dallim me rëndësi prej menysë Contrast të menysë Univariate dhe menysë Contrast të menysë

së One-Way ANOVA. Përderisa në One-Way ANOVA ekziston seksioni për përcaktimin e

koeficientëve për të bërë krahasime të kombinimeve ndërmjet grupeve të ndryshme, nuk ekziston

një seksion i tillë në Univariate. Për të bërë krahasime të tilla në Univariate mund të bëhet vetëm

duke e shkruar syntax (Nuk bëhet përmes menyve të SPSS-it, por me kod të programimit përmes

gjuhës programore të SPSS-it, ashtu siç ndodh në gjuhët programore).

Klikohet butoni OK në menynë Univariate dhe do të përfitohen rezultatet.

3.2. Daljet e SPSS-it dhe Interpretimi Në tabelën 6, është e mundur që të shikohet ndërveprimi ndërmjet pozitës dhe kohës. Me

kalimin e kohës zvogëlohet mesatarja e kënaqësisë së punëtorëve. Mesataret e mbikqyrësve në

lidhje me kohën nuk kanë ndonjë ndryshim serioz. Kurse me kalimin e kohës, mesatarja e

kënaqësisë për menaxherët rritet. Ajo çfarë nuk duhet të harrohet këtu është se me rezultatet e

marra nga Descriptive Statistics mund të bëhet interpretim vetëm në nivel të përgjithshëm. Pa

shikuar në nivelin e rëndësisë, testimi i hipotezave është një gabim shkencor.

Në fillim të ANOVA Dy Drejtimshe duhet të kontrollohet supozimi themelor, homogjeniteti

i variancave. Për t’a bërë këtë, shikohet tabela Leven’s Test of Equality of Variances.

149



Dependent Variable: kënaqësia

pozita koha Mean Std. Deviation N

punëtor java e parë 5.2500 1.25831 4

3 muaj 4.5000 .57735 4

6 muaj 2.7500 .95743 4

1 vit 1.7500 .50000 4

Total 3.5625 1.63172 16

mbikëqyrës java e parë 6.7500 1.25831 4

3 muaj 6.5000 .57735 4

6 muaj 6.0000 .81650 4

1 vit 6.0000 .81650 4

Total 6.3125 .87321 16

menaxher java e parë 6.0000 .81650 4

3 muaj 8.0000 1.15470 4

6 muaj 9.2500 .50000 4

1 vit 9.7500 .50000 4

Total 8.2500 1.65328 16

Total java e parë 6.0000 1.20605 12

3 muaj 6.3333 1.66969 12

6 muaj 6.0000 2.86039 12

1 vit 5.8333 3.45972 12

Total 6.0417 2.39644 48

Tabela 7: Testi i Homogjentitetit të Variancave

Levene's Test of Equality of Error Variancesa


F df1 df2 Sig.

.942 11 36 .513

Tests the null hypothesis that the error variance of

the dependent variable is equal across groups.

a. Design: Intercept + pozita * koha + pozita +

koha

Për arsye se vlera e tabelës p (Sig.) është më e madhe se 0,05 arrihet në përfundim se është

siguruar supozimi i homogjenitetit të variancave.

Nga rezultatet e Descriptive

Statistics, tërheq vëmendjen

dallimi i mesatareve të

përgjithshme të punëtorve,

mbikëqyrësve dhe

menaxherëve në lidhje me

kënaqësinë. Për të kuptuar sa

është i rëndësishëm ky dallim

do të shikohet tabela e

ANOVA-së dhe testet Post

Hoc.

Sipas ndryshores së kohës

nuk bie në sy ndonjë dallim i

rëndësishëm i mesatareve të

përgjithshme të kënaqësisë

së punës.

150

Figura 3: Devijimet Standarte Sipas Mesatareve të Kënaqësisë

Supozimi i homogjenitetit të variancave mund të kontrollohet edhe nga tabela e Spread vs.

Level Plot of kënaqësia. Me fjalë të tjera, ky grafik është një test vizual i homogjenitetit të

variancave. Dobia shtesë e këtij grafiku është se na ndihmon të kuptojmë nëse shkelja e

supozimit të barazimit të variancave buron nga lidhja ndërmjet mesatareve të grupeve dhe

devijimeve standarte. Boshti vertikal në grafik jep devijimet standarte, kurse boshti horizontal

jep mesataret e grupeve. Në ndryshoren e pozitës gjenden 3 grupe, kurse në ndryshoren e kohës

gjenden 4 grupe. Nëse këto grupe konsiderohen të mbivendosura në njëra-tjetrën, në total

formohen 12 grupe. Kurse në grafikun e mësipërm gjenden 10 pika. Arsyeja e kësaj është se

mesataret e disa nga grupeve janë të barabarta dhe pikat gjenden njëra mbi tjetrën. Në qoftë se

shikojmë intervalet e variancës dhe shpërndarjet e pikave, do të testohet edhe në mënyrë vizuale

se është siguruar supozimi i homogjenitetit të variancave.

151

Tabela 8: Testi i Ndërveprimeve

Tests of Between-Subjects Effects


Source

Type III Sum of

Squares df Mean Square F Sig.

Partial Eta

Squared

Intercept Hypothesis 1752.083 1 1752.083 3319.737 .000 .999

Error 1.583 3 .528a

pozita Hypothesis 177.542 2 88.771 8.285 .019 .734

Error 64.292 6 10.715b

koha Hypothesis 1.583 3 .528 .049 .984 .024

Error 64.292 6 10.715b

pozita * koha Hypothesis 64.292 6 10.715 14.557 .000 .708

Error 26.500 36 .736c

a. MS(koha)

b. MS(pozita * koha)

c. MS(Error)

Përpara se të interpretojmë tabelën 8, të kemi parasysh një pikë të rëndësishme. Variancat e

llogaritura (totali i katrorëve (sum of squares)) të ndryshoreve dhe ndërveprimit të ndryshoreve,

si dhe gabimet e llogaritura të variancave (error) janë ndikuar nga formimet e faktorëve të

rastësishëm (random) apo fiksë (fixed) të ndryshoreve. Në shembullin tonë, ndryshorja koha

ishtë përcaktuar si random factor. Në qoftë se kjo ndryshore do të përcaktohej si fixed factor,

gabimet e variancave do të rriteshin. Vlerat në kolonën e rëndësisë (Sig.) do të zvogëloheshin si

dhe do të zvogëloheshin vlerat ne kolonën e ndikimeve (Partial Eta Squared). Në fund do të

konsideronim se është më e rëndësishme, mirëpo do të arrinim në rezultate të vlerave më të ulëta

të ndikimeve dhe vlerave më të larta të gabimeve të variancës. Me fjalë të tjera, me përcaktimin e

një faktori si random factor vështirësohet arritja e rezultateve të larta të nivelit të rëndësisë dhe

në të njëjtën kohë arrihen rezultate më të besueshme. Siç e kemi specifikuar më parë, në qoftë se

grupet brenda një ndryshoreje nuk shihen të mjaftueshme, atëherë përcaktimi i kësaj ndryshore si

random factor është shumë më i përshtatshëm statistikisht. Arritja e rezultateve të dëshiruara

është më e vështirë, por rezultatet do të jenë më të besueshme.

Rreshti i pozitës hulumton

ndikimin kryesor mbi

kënaqësinë, rreshti i kohës

ndikimin e kohës mbi

kënaqësinë dhe rreshti

pozita*koha ndikimin e

pozitës-kohës mbi

kënaqësinë.

Me të dhënat nga kjo

kolonë kuptohet shkalla e

ndikimit të ndryshores së

pavarur mbi ndryshoren e

varur. Kjo kolonë është

përfituar nga përzgjedhja

Estimates of Effect Size.

Duke shikuar në këtë kolonë

vendoset rëndësia e ndikimit

të ndryshores së pavarur mbi

ndryshoren e varur.

152

Në tabelën e mësipërme, në fillim duhet të shikojmë kolonën Sig. Vlerat të cilat janë më të

vogla se 0,05 tregojnë se ndryshoret kanë një ndikim të rëndësishëm mbi ndryshoren e varur.

Sipas tabelës së mësipërme, kuptohet se ekziston një ndikim i rëndësishëm i pozitës dhe

ndërveprimit të pozitës-kohës mbi kënaqësinë. Kurse koha si e vetme nuk ka ndonjë ndikim të

rëndësishëm. Me fjalë të tjera, nuk ka ndonjë dallim të rëndësishëm të nëngrupeve të kohës mbi

nivelin e kënaqësisë. Vlerat në kolonën Partial Eta Squared përcaktojnë madhësinë e ndikimit

të faktorëve. Informatat në lidhje se si janë llogaritur këto vlera qenë dhënë gjatë shpjegimit të

alternativës Estimates of Effect Size e cila e siguron këtë kolonë. Siç kuptohet nga llogaritjet,

me zvogëlimin e gabimit të variancave këto vlera rriten. Këto vlera mund të marrin vlera më së

shumti deri në 1. Sado më afër që të jenë ndyshoret afër 1-shit, po aq është ndikimi i tyre. Kjo

është mjaft e rëndësishme në praktikë. Për të arritur në përfundim se ekziston një ndikim i

rëndësishëm i ndryshores së pavarur mbi ndryshoren e varur, është e pamjaftueshme që të thuhet

gjithmonë se ekziston një ndikim i madh i këtij ndikimi. Duke shikuar në tabelë, arrihet në

përfundim se ndikimet e pozitës dhe ndërveprimit të pozitës-kohës janë të larta.

Në qoftë se shikojmë rezultatet e përfituara nga përzgjedhja Estimated Marginal Means,

veçse do të përforcohen rezultatet e arritura më larta.

Tabela 9: Tabela e Mesatareve Sipas Ndryshores së Pavarur Pozicionit

2. pozita


pozita Mean Std. Error



punëtor 3.563 .214 3.127 3.998

mbikëqyrës 6.313 .214 5.877 6.748

menaxher 8.250 .214 7.815 8.685

Në tabelën e mësipërme janë dhënë mesataret, gabimet standarte dhe intervali i

besueshmërisë për punëtorët, mbikëqyrësit dhe menaxherët në lidhje me kënaqësinë. Pika e parë

që duhet të kihet parasysh këtu është mospërputhja e intervaleve të besueshmërisë të nivelit të

kënaqësisë ndërmjet grupeve. Intervali i besueshmërisë për nivelin e kënaqësisë së punëtorëve

është prej 3,127 deri në 3,998. Ai i mbikëqyrësve fillon prej 5,877 deri në 6,748. Nga këtu mund

të kuptohet se kënaqësitë e punëtorëve dhe mbikëqyrësve janë të ndryshme dhe se kënaqësia e

punëtorëve është më e ulët. Intervali i besueshmërisë në lidhje me kënaqësinë e menaxherëve

fillon prej 7,815 deri në 8,685. Kjo tregon që kënaqësia e menaxherëve është e ndryshme dhe më

e lartë në krahasim me mbikëqyrësit. Pra edhe njëherë u vërtetua se ekzistojnë dallime të këtilla

153

ndërmjet nëngrupeve të faktorit pozita dhe se ky faktor ka ndikim në ndryshoren e varur

kënaqësia.

Tabela 10: Tabela e Mesatareve Sipas Ndryshores së Pavarur Kohës

3. koha


koha Mean Std. Error



java e parë 6.000 .248 5.498 6.502

3 muaj 6.333 .248 5.831 6.836

6 muaj 6.000 .248 5.498 6.502

1 vit 5.833 .248 5.331 6.336

Ndryshimet e përmendura në ndryshoren e pozitës nuk janë të vlefshme për kohën. Këtu

mesataret janë të përafërta me njëra-tjetrën dhe intervalet e besueshmërisë përputhen. Në këtë

mënyrë, është vrojtuar përsëri rezultati i arritur më lartë se faktori i kohës si i vetëm nuk ka

ndonjë ndikim të rëndësishëm mbi ndryshoren e kënaqësisë.

Tabela 11: Tabela e Mesatareve Sipas Bashkëveprimit të Pozitës-Kohës

4. koha * pozita


koha pozita Mean Std. Error



java e parë punëtor 5.250 .429 4.380 6.120

mbikëqyrës 6.750 .429 5.880 7.620

menaxher 6.000 .429 5.130 6.870

3 muaj punëtor 4.500 .429 3.630 5.370

mbikëqyrës 6.500 .429 5.630 7.370

menaxher 8.000 .429 7.130 8.870

6 muaj punëtor 2.750 .429 1.880 3.620

mbikëqyrës 6.000 .429 5.130 6.870

menaxher 9.250 .429 8.380 10.120

1 vit punëtor 1.750 .429 .880 2.620

mbikëqyrës 6.000 .429 5.130 6.870

menaxher 9.750 .429 8.880 10.620

154

Edhe të dhënat nga kjo tabelë në lidhje me ndërveprimin pozita-koha mbështesin rezultatet

e mësipërme. Për shembull, intervalet e besueshmërisë së një punëtori nuk përputhen në lidhje

me nivelin e kënaqësisë në javën e parë, nivelin e kënaqësisë në fund të gjashtë muajve dhe

nivelin e kënaqësisë në fund të një viti. Pra ekziston dalllim. Përsëri ky dallim në fund të javës së

parë, në fund të tre muajve dhe në fund të një viti, është vrojtuar plotësisht në mënyrë të kundërt

për menaxherët. Me kalimin e kohës rritet kënaqësia në punë për menaxherët. Kjo tregon që

ndryshorja e kohës edhe në qoftë se nuk ka ndonjë ndikim të rëndësishëm mbi kënaqësinë, ky

ndryshim bëhet i rëndësishëm kur është në bashkëveprim me ndryshoren e pozitës.

Tabelat e diskutuara të Estimated Marginal Means japin një kontribut të rëndësishëm për

ndryshoret e rastësishme. Këtu vrojtuam dallimet ndërmjet nëngrupeve të faktorit të kohës të

përcaktuar si random factor. Ashtu siç është specifikuar më parë, testet Post Hoc të cilat bëjnë

krahasime ndërmjet grupeve nuk aplikohen për faktorët e rastësishëm. Në kushtet normale,

krahasimet ndërmjet grupeve të faktorëve të rastësishëm nuk tërheqin shumë vëmendjen, por në

rastet kur tërheqin vëmendjen përdoren tabelat Estimated Marginal Means të cilat u shpjeguan

më lartë. Përsëri me testet Post Hoc nuk mund të bëjmë interpretim mbi bashkëveprimet. Me

tabelat Estimated Marginal Means qe ofruar mundësia për të interpretuar bashkëveprimin e

pozitës-kohës.

Testet Post Hoc zbulojnë vetëm dallimet ndërmjet grupeve të faktorëve fiks (fixed) për

ndryshoren e varur. Me testet Post Hoc mund të shohim ndryshimin ndërmjet nëngrupeve të

ndryshores pozita si faktor fiks në shembullin tonë.

Tabela 12: Tabela e Krahasimeve të Shumëfishta



Tukey HSD

(I) pozita (J) pozita

Mean

Difference (I-J) Std. Error Sig.



punëtor mbikëqyrës -2.7500* .30334 .000 -3.4914 -2.0086

menaxher -4.6875* .30334 .000 -5.4289 -3.9461

mbikëqyrës punëtor 2.7500* .30334 .000 2.0086 3.4914

menaxher -1.9375* .30334 .000 -2.6789 -1.1961


mbikëqyrës 1.9375* .30334 .000 1.1961 2.6789

155

Për sigurimin e supozimit të homogjenitetit të variancave shikojmë rezultatet e testit Tukey

HSD. Vlerat të cilat pranë tyre kanë asteriks (*) në kolonën Mean Difference, tregojnë se

ekziston dallim ndërmjet atyre grupeve. Shenja e asteriksit (*) është vendosur pranë atyreve të

cilat gjenden nën 0,05 nga kolona Sig. Ndërmjes mesatares së kënaqësisë së punëtorit dhe

mesatares së kënaqësisë së mbikëqyrësit ekziston një dallim prej 2,75 dhe ky dallim është i

rëndësishëm. Shfaqja e dallimit me -2,75 tregon se mesatarja e punëtorëve është më e ulët.

Mesatarja e kënaqësisë së punëtorëve është për 4,6875 më e vogël se mesatarja e kënaqësisë së

menaxherëve. Kurse mesatarja e mbikëqyrësve është më e vogël për 1,9375 nga menaxherët.

Përfundimisht, ekziston një dallim i rëndësishëm në nivelin e kënaqësisë ndërmjet të gjitha

grupeve të ndryshores së pozitës. Sipas këtyre kushteve, në qoftë se dëshirohet të krijohen

nëngrupe të reja në ndryshoren e pozitës sipas nivelit të kënaqësisë, do të krijohen 3 grupe të

ndara sepse grupet janë plotësisht të ndryshme nga njëra-tjetra. Tabela e mëposhtme e shpjegon

këtë.

Tabela 13: Nëngrupet e Krijuara Sipas Ndryshorës së Pavarur Kënaqësisë

kënaqësia

Tukey HSDa,b

pozita N

Subset

1 2 3

punëtor 16 3.5625


menaxher 16 8.2500

Sig. 1.000 1.000 1.000

Në grupin e parë gjenden punëtorët. Në grupin e dytë gjenden mbikëqyrësit dhe në grupin e

tretë menaxherët. Kurse vlerat në tabelë janë mesataret e nivelit të kënaqësisë për secilin grup.

Figura 3: Grafiku tregues i ndryshimit të kënaqësisë sipas grupeve në ndryshoren e pavarur

Vija e cila tregon rritje u përket menaxherëve

Vija e cila është përafërsisht konstante u përket mbikëqyrësve

Vija e cila ka rënie u përket punëtorëve.

156

Grafiku Estimated Marginal Means of kënaqësia tregon se si ndryshon niveli i kënaqësive

të punonjësve me pozita të ndryshme me kalimin e kohës. Boshti vertikal në grafik tregon nivelin

e kënaqësisë, kurse boshti horizontal tregon kohën. Vija në rritje e nivelit të kënaqësisë i përket

menaxherëve, vija e cila është përafërsisht konstante u përket mbikëqyrësve dhe vija në rënie

punëtorëve.

Rezultatet e përfituara të ANOVA Dy Drejtimshe, mund të i përmbledhim në këtë mënyrë:

Kënaqësia në punë e menaxherëve është më e lartë se e mbikëqyrësve dhe kënaqësia në

punë e mbikëqyrësve është më e lartë se e punëtorëve.

Ndikimi i pozitës së punës është i fuqishëm mbi kënaqësinë e punës.

Ndikimi i pozitës dhe bashkëveprimit të kohës së kaluar në atë pozitë është i fuqishëm.

Nuk mund të bëhet një gjykim i veçantë apo i përgjithshëm për punëtorët, mbikëqyrësit

dhe menaxherët në lidhje me ndryshimin e kënaqësisë me kalimin e kohës.

Me kalimin e kohës zvogëlohet kënaqësia në punë e punëtorëve.

Me kalimin e kohës nuk ndodh ndonjë ndryshim i rëndësishëm në kënaqësinë e punës për

mbikëqyrësit.

Me kalimin e kohës rritet kënaqësia në punë e menaxherëve.

157

4. MANOVA NJË DREJTIMSHE

Në rastet kur një ndryshore e pavarur ndikon më shumë se një ndryshore të varur përdoret

MANOVA Një Drejtimshe. Hipoza H0 në MANOVA Një Drejtimshe është se nuk ekziston asnjë

ndryshim mesatar në asnjë prej ndryshoreve të varura sipas grupeve të faktorit. Kurse hipoteza

alternative është se ekziston një dallim mesatar së paku në një ndryshore të varur dhe së paku

sipas dy grupeve të faktorit. Me fjalë të tjera, në qoftë se vrojtohet një dallim ndërmjet

mesatereve të ndryshores së varur vetëm nga dy grupe të ndryshores së pavarur, hipoteza H0

refuzohet. Por nëse nuk gjendet asnjë ndryshim në mesataret e asnjërës ndryshore të varur sipas

grupeve të ndryshores së pavarur, hipoteza H0 nuk refuzohet.

Supozimet themelore të MANOVA Një Drejtimshe janë të njëjta me të Anovës, por në të

njëjtën kohë supozim shtesë këtu është se kërkohet barazia e kovariancave për shkak që

ekzistojnë më shumë se një ndryshore e varur. Përderisa në ANOVA kërkohej kushti i

homogjentitetit të variancave të grupeve të brendshme të ndryshores së varur sipas grupeve të

ndryshores së pavarur, në MANOVA ekziston supozimi që përgjatë grupeve korrelacionet

ndërmjet ndryshoreve të varura janë të njëjta. Dhe testimi i këtij supozimi është i mundur përmes

SPSS-it.

4.1. Shembull Aplikimi MANOVA Një Drejtimshe, do të shpjegohet më mirë përmes shembullit në Shtojcën-3.

Mirëpo, duhet të dihet se do të ndeshemi me shumicën e detajeve të dhëna në ANOVA. Në fund

të aplikimit të Manovës, një pjesë e të dhënave nga SPSS-i janë të njëjta me rezultatet e Anovës.

Mirëpo, këtu janë unike tabela themelore e Manovës dhe disa tabela tjera shtesë. Për këtë arsye,

këtu nuk do të jepen detaje për temat të cilat qenë shpjeguar gjatë aplikimit të Anovës.

Në shembullin e Shtojcës-3, një firmë kërkon të hulumtoj ndikimin e pozitës së personelit

punues femra dhe meshkuj në nivelin e kënaqësisë së punës. Pozita është përcaktuar si ndryshore

e pavarur dhe kënaqësia e femrave dhe kënaqësia e meshkujve janë përcaktuar si ndryshore të

varura. Rreth ndryshores së pozitës qenë përmendur 3 grupe. Këto janë punëtorët, mbikëqyrësit

dhe menaxherët.

Për analizën e MANOVA Një Drejtimshe, në SPSS shkohet tek menyja Analize, General

Lineal Model dhe nga këtu zgjedhet Multivariate. Në ekranin e hapur, ndryshoret femrat dhe

meshkujt për shkak që janë ndryshore të varura vendosen në pjesën Dependent Variables, kurse

ndryshorja pozita vendoset në pjesën Fixed Factor(s).

158

Hapi 1: Dritarja e MANOVA Një Drejtimshe

Ekrani i Multivariate ka shumë pak dallime prej ekranit Univariate. Ajo çfarë bie në sy e

para është se këtu nuk ekziston seksioni i Randon Factor(s). Në opsionin Multiavariate

faktorët do të trajtohen plotësit si faktorë fiks. Një dallim tjetër i Multivariate prej Univariate

gjendet në menynë Options. Menyja e Options duket si më poshtë.

159


Në menynë Options, gjenden disa përzgjedhje të ndryshme për nga menyja Options e

Univariate. Këtu më së shumti përdoren Descriptive Statistics, Estimates of Effect Size,

Homogeneity Tests, Spread vs. Level Plot dhe SSCP Matrices. Këto përzgjedhje përveç SSCP

Matrices qenë shpjeguar në ANOVA Dy Drejtimshe. SSCP (Sum-of-squares and cross-

products) matrices përdoret për testimin e ndikimit të modelit nga tabelat e përfituara me

etiketimin e kësaj përzgjedhjeje. Përmes tabelës së totalit të katrorëve, mund të shihen totali i

katrorëve dhe totali i gabimit të katrorëve në lidhje me faktorët. Vlerat e Estimates of Effect

Size llogariten me vlerat e përfituara nga matrica SSCP. Kryerja e kësaj llogaritje qe shpjeguar

në menynë Univariate. Në fund, mund të kuptohet ndikimi i faktorëve mbi ndryshoret e varura.

Në menynë Options për të parë mesataret sipas ndryshores së pavarur dhe intervalet e

besueshmërisë, OVERALL dhe pozita barten në pjesën e djathtë, ashtu siç shihet në ekranin e

mësipërm. Përmes tabelave që do të përfitohen nga këtu, do të jetë e mundur që të bëhen

160

krahasime ndërmjet grupeve të ndryshores së pavarur. Pasi të bëhen përzgjedhjet e duhura nga

menyja Options klikohet Continue dhe kthehemi në menynë kryesore të Multivariate.

Në menynë Post Hoc, pozita bartet në pjesën Post Hoc Tests for dhe bëhet etiketimi i

përzgjedhjes Tukey për rastet kur sigurohet homogjeniteti i variancave dhe përzgjedhjes

Tamhane’s T2 për rastet kur nuk sigurohet homogjentiteti i variancave. Përzgjedhja Post Hoc

duket si më poshtë.

Hapi 3: Dritjara Post Hoc e Krahasimeve të Shumëfishta për Mestaret e Vrojtuara

Pasi të bëhen përzgjedhjet e duhura në menynë Post Hoc, duke klikuar butonin Continue

kthehemi tek menyja kryesore Univariate.

Në MANOVA Një Drejtimshe, për shkak që ekziston vetëm një ndryshore e pavarur, bëhet

fjalë vetëm për ndikimet kryesore të kësaj ndryshore të pavarur mbi ndryshoren e varur. Po të

kishte pasur edhe një ndryshore tjetër të pavarur, do të duhej të shqyrtohej edhe ndërveprimi i

ndryshoreve të pavarura mbi ndryshoret e varura. Në rastet kur ekziston vetëm një ndryshore e

varur, nuk ka ndonjë kuptim përdorimi i alternativës Model në menynë kryesore Multivariate.

Vetëm se në menynë Model mund të zgjedhim me cilën metodë të bëhet llogaritja e totalit të

katrorëve dhe tashmë aty është e përzgjedhur në mënyrë standarte Type III.

161

Përsëri në menynë kryesore Multivariate për të parë lidhjen ndërmjet ndryshores së

pavarur dhe ndryshoreve të varura në mënyrë grafikore mund të përdoret përzgjedhja Plots,

mirëpo kjo nuk është shumë e nevojshme sepse kemi vetëm një ndryshore të pavarur. Për

shembull, në qoftë se vendoset ndryshorja e pavarur pozita në boshtin horizontal dhe njëra nga

ndryshoret e varura në boshtin vertikal do të fitohen dy grafiqe të ndara. Por siç e cekëm, në

qoftë se ka vetëm një ndryshore të varur, kjo përzgjedhje nuk është e nevojshme.

Në mënynë kryesore Multivariate duke klikuar butonin OK, përfitohen rezultatet e

analizës.

4.2. Daljet e SPSS-it dhe Interpretimi

Tabela 14: Rezultatet e Tesit të Barazisë së Kovariancave

Box's Test of Equality

of Covariance Matricesa

Box's M 5.315

F .831

df1 6

df2 46791.805

Sig. .546

Për të testuar supozimin e barazisë së kovariancave të ndryshoreve të varura përgjatë

grupeve në MANOVA përdoret testi Box’s M. Në qoftë se këtu vlera p (Sig.) është më e vogël

se 0,05 hipoteza refuzohet dhe nuk është siguruar supozimi themelor i barazisë së kovariancave.

Në qoftë se nuk sigurohet barazia e kovariancave rezultatet e Multivariate shihen me dyshim.

Vlera p (Sig.) në tabelën e mësipërme është më e madhe se 0,05. Me këtë rast është siguruar

supozimi themelor i barazisë së kovariancave.

Tabela 15: Rezultatet e Testit Levene


F df1 df2 Sig.

meshkujt 1.482 2 47 .237

femrat .723 2 47 .491

Levene’s Test of Equality of Error Variances bën testimin e supozimit tjetër, barazinë e

variancave ndërmjet grupeve të ndryshoreve të pavarura. Ky test jep rezultate të ndryshme për

162

secilën ndryshore të varur dhe kontrollon se a është siguruar barazia e variancave ndërmjet

grupeve të asaj ndryshoreje të varur sipas grupeve të ndryshores së pavarur. Në qoftë se vlera p

(Sig.) është më e madhe se 0,05, arrihet në përfundim se është sigurar kushti i barazisë së

variancave për atë ndryshore të varur. Sipas tabelës së mësipërme, mund të konkludojmë se është

arritur barazia e variancave për secilin grup të ndryshoreve të varura meshkuj dhe femra. Vlera p

e femrave është 0,491, e meshkujve 0,237 dhe që të dyja janë më të mëdha se 0,05.

Figura 5: Devijimet Standarte dhe Mesataret për Meshkujt

163

Figura 6: Devijimet Standarte dhe Mesataret për Femrat

Me grafikun e përfituar Spread vs. Level Plot mund të shohim në mënyrë vizuale barazinë

e variancave sipas ndryshoreve të varura meshkujt dhe femrat e cila u testua me testin Levene’s

Test of Equality of Error Variances. Në tabelën Levene’s Test of Equality of Error

Variances vlera p për ndryshoren e meshkujve ishte 0,237 dhe 0,49 për ndryshoren e femrave.

Pra, homogjeniteti i ndryshores së femrave është më kuptimplotë për nga ndryshorja e

meshkujve. Ky dallim mund të vërehet qartë po ashtu në grafiqet Spread vs. Level Plot. Teksa

devijimi standart i shfaqur përmes pikave në grafik ndryshon ndërmjet 0,77 dhe 0,60 për

meshkujt në figurën 5, pikat e krijuara në figurën 6 për femrat ndryshojnë ndërmjet 0,59 dhe

0,64. Hapësirat ndërmjet femrave janë më të vogla. Në fund, sado që është arritur kushti i

barazisë së variancave për të dyja ndryshoret e varura dhe rezultatet e përfituara nga të dyjat

164

sado të jenë të besueshme, rezultatet e përfituara në lidhje me ndryshoren e varur femrat janë më

të shëndetshme sesa rezultatet e përfituara nga ndryshorja e varur meshkujt.

Tabela 16: Rezultatet e MANOVA Një Drejtimshe për Testimin e Hipotezës H0

Multivariate Testsa

Effect Value F

Hypothesis

df Error df Sig.

Partial Eta

Squared

Intercept Pillai's Trace .990 2277.262b 2.000 46.000 .000 .990

Wilks' Lambda .010 2277.262b 2.000 46.000 .000 .990

Hotelling's Trace 99.011 2277.262b 2.000 46.000 .000 .990

Roy's Largest Root 99.011 2277.262b 2.000 46.000 .000 .990

pozita Pillai's Trace 1.148 31.653 4.000 94.000 .000 .574

Wilks' Lambda .051 79.004b 4.000 92.000 .000 .775

Hotelling's Trace 14.761 166.064 4.000 90.000 .000 .881

Roy's Largest Root 14.492 340.552c 2.000 47.000 .000 .935

a. Design: Intercept + pozita

b. Exact statistic

c. The statistic is an upper bound on F that yields a lower bound on the significance level.

Kjo pjesë është e rëndësishme për të kuptuar ndikimin

e ndryshores së pavarur pozita mbi ndryshoret e

varura. Testet Pillai’s Test, Hotelling’s Trace dhe Roy’s

Largest Root janë teste me vlera pozitive dhe në

kolonën Value me rritjen e vlerave konsiderohet se

rritet kontributi i ndikimit të faktorëve në model. Kurse

Wilks’ Lambda është nje test i vlerave negative dhe në

kolonën Value me uljen e vlerave konsiderohet se ulet

edhe kontributi i ndikimit të faktorëve në model. Vlera

e Hotelling’s Trace është gjithmonë më e madhe se

vlera e Pillai’s Trace. Me zvogëlimin e tyre, këto vlera

afrohen më shumë njëra-tjetrës. Përseri vlera e

Hotelling’s Trace është më e madhe apo e barabartë se

vlera e Roy’s Largest Root. Por, në qoftë se ekziston

një korrelacion i fortë ndërmjet ndryshoreve të varura

apo në qoftë se ndikimi i faktorëve është i dobët mbi

ndryshoret e varura, këto vlera përafrohen me njëra-

tjetrën. Testi më i besueshëm prej këtyre 4 testeve

është Pillai’s Trace. Kurse më i përdoruri është Wilk’s

Lambda.

Këto kolona janë pjesa më e

rëndësishme për të kuptuar rezultatet

e analizës Multivariate. Veçanërisht

kolona Sig. e cila teston hipotezën

themelore të Manovës. Këtu në qoftë

se vlerat janë më të vogla se 0,05,

arrihet në përfundim se ekziston një

dallim i rëndësishëm së paku

ndërmjet dy grupeve të faktorëve dhe

së paku një ndryshoreje të varur.

Kurse kolona Partial Eta Squared

është e rëndësishme për të kuptuar

nivelin e ndikimit të faktorëve. Kjo

kolonë është përfituar nga etiketimi i

Estimates of effects size në menynë

Options. Vlerat të cilat i afrohen 1-

shit, tregojnë rritjen e ndikimit. Në

shembullin tonë, ndikimi i faktorit të

pozitës së femrave apo meshkujve në

kënaqësinë e punës është i qartë.

165

Tabela 16, është tabela MANOVA e cila përdoret për të testuar hipotezën H0. Në një aplikim

standart të MANOVA-së, zakonisht shikohet vetëm kolona Sig. dhe nga kjo kolonë preferohet

vlera e Wilk’s Lambda. Në tabelën e mësipërme, sipas vlerës së kolonës Sig. (e cila është më e

vogël se 0,05) hiptoeza H0 refuzohet. Pra, ekziston një dallim ndërmjet grupeve të femrave dhe

meshkujve sipas grupeve të punëtorëve, mbikëqyrësve dhe menaxherëve.

Në qoftë se është e nevojshme që të interpretohet në më detaje, vlerat tjera në tabelë ofrojnë

shpjegime të rëndësishme. Për shembull, sipas të dhënave të kolonës Partial Eta Squared

faktori pozita ka një ndikim të fuqishëm mbi kënaqësinë. Përafërsia e vlerave të testeve

Hotelling’s Trace dhe Roy’s Largest Root tregon që ndryshoret e varura (kënaqësia në punë e

femrave dhe kënaqësia në punë e meshkujve) kanë një korrelacion të lartë ndërmjet veti. Siç e

shpjeguam edhe nga tabela, ky nuk është rezultati i vetëm që mund të dal prej përafërsisë së

këtyre vlerave. Mirëpo, mundësia tjetër është mundësia e ndikimit të dobët të faktorëve dhe për

arsye se të dhënat në kolonën Partial Eta Squared nuk merren parasysh mbetet vetëm një

mundësi dhe ajo është korrelacioni i lartë ndërmjet ndryshoreve të varura.

Tabela 17: Matrica SSCP

Matrica SSCP edhe pse nuk përdoret shumë për të shqyrtuar rezultatet e analizës është e

rëndësishme për përfitimin e tabelës Multivariate. Arsyeja përse e kemi vendosur këtë tabelë

këtu nuk është për të nxjerrë ndonjë konkluzion nga kjo, mirëpo që t’a kemi më konkrete në

mendje përgatitjen e tabelës Multivariate. Në të njëjtën kohë, nga kjo tabelë mund të nxirren

konkluzione të cilat përdoren në nivelet e larta të statistikës.

Between-Subjects SSCP Matrix

meshkujt femrat

Hypothesis Intercept meshkujt 646.130 825.389

femrat 825.389 1054.381

pozita meshkujt 111.115 120.905

femrat 120.905 146.213

Error meshkujt 23.365 -2.945

femrat -2.945 18.207

Based on Type III Sum of Squares

Kjo matricë përdoret për të

testuar rëndësinë e ndikimit të

faktorit të pozitës. Këto vlera janë

vlerat e totalit të katrorëve dhe

rezultateve të kryqëzuara.

Kjo matricë përdoret për të

kuptuar ndikimin e gabimit. Këto

vlera, përdoren për të kuptuar

shkallën e ndikimit të faktorit. Për

llogaritjen e vlerave të kolonës

Partial Eta Squared në tabelën e

mëparshme, mund të

shfrytëzohen vlerat e matricës së

pozitës dhe matrica e gabimit.

166



Source Dependent Variable

Type III Sum

of Squares df

Mean

Square F Sig.

Partial Eta

Squared

Corrected Model meshkujt 111.115a 2 55.558 111.759 .000 .826

femrat 146.213b 2 73.106 188.717 .000 .889

Intercept meshkujt 646.130 1 646.130 1299.743 .000 .965

femrat 1054.381 1 1054.381 2721.778 .000 .983

pozita meshkujt 111.115 2 55.558 111.759 .000 .826

femrat 146.213 2 73.106 188.717 .000 .889

Error meshkujt 23.365 47 .497

femrat 18.207 47 .387

Total meshkujt 754.000 50

femrat 1195.000 50

Corrected Total meshkujt 134.480 49

femrat 164.420 49

a. R Squared = .826 (Adjusted R Squared = .819)

b. R Squared = .889 (Adjusted R Squared = .885)

Tabela e mësipërme dhe të tjerat pas janë tabelat nga aplikimi i Anovës me të cilat jemi

mësuar tashmë. Në tabelën e mësipërme për të shqyrtuar ndikimin e faktorit pozita, duhet të

shikohet rreshti i pozitës. Janë dhënë rezultatet veç e veç për ndryshoren e varur meshkujt dhe

ndryshoren e varur femrat. Duke shikuar kolonën Sig. mund të arrihet në përfundim se ekziston

një dallim i rëndësishëm ndërmjet mesatareve të kënaqësisë së punës së femrave sipas

nëngrupeve të faktorit pozita. E njëjta gjë është e vlefshme edhe për meshkujt. Me fjalë të tjera,

faktori pozita ndikon në kënaqësinë e punës së femrave dhe meshkujve sepse për të dytë vlera p

(Sig.) është më e vogël se 0,05. Në qoftë se shikohet kolona Partial Eta Squared, ndikimi i

faktorit pozita është mjaft i fuqishëm. Përderisa vlera për femra është 0,889, ajo për meshkuj

është 0,826. Ndikimi i pozitës është i madh në kënaqësinë e punës si për femrat ashtu edhe për

meshkujt dhe njëkohësisht ndikimi i pozitës është pak më shumë për femrat.

Tabela 19: Mesataret e Përgjithshme të Ndryshores së Pavarur

1. Grand Mean

Dependent Variable Mean Std. Error



meshkujt 3.605 .100 3.404 3.806

femrat 4.605 .088 4.428 4.783

167

Nga tabela 19, mund të shikojmë se kënaqësia e punës a është më e lartë për femrat apo për

meshkujt. (Femrat: 4,605, Meshkujt: 3,605). Kufinjtë e ulët dhe të lartë të intervalit të

besueshmërisë nuk përputhen me njëri-tjetrin.

Tabela 20: Mesataret e Ndryshoreve të Pavarura Sipas Grupeve të Pozitës

2. pozita

Dependent Variable pozita Mean Std. Error



meshkujt punëtor 1.882 .171 1.538 2.226

mbikëqyrës 3.333 .166 2.999 3.668

menaxher 5.600 .182 5.234 5.966

femrat punëtor 2.294 .151 1.990 2.598

mbikëqyrës 5.056 .147 4.760 5.351

menaxher 6.467 .161 6.143 6.790

Shumica e rezultateve të përfituara nga tabela Pozita (Tabela 20), mund të nxirren edhe

nga tabela Multiple Comparasions (Post Hoc). Ngaqë tabela Post Hoc është më e lehtë për t’u

lexuar, konkuzionet e tilla do të i bëjmë në tabelën Multiple Comparasions. Rezultatet që mund

të i nxjerrim nga kjo tabelë e që nuk mund të i nxjerrim nga tabela Multiple Comparasions kanë

të bëjnë me dallimet ndërmjet ndryshoreve të varura.

Ajo çfarë bie në sy e para në tabelën e mësipërme është mosekzistimi i ndonjë dallimi të

rëndësishëm ndërmjet nivelit të kënaqësisë së femrave punëtore dhe nivelit të kënaqësisë së

meshkujve punëtorë. Teksa intervali i besueshmërisë së meshkujve punëtorë fillon prej 1,538

deri në 2,226, ai i femrave punëtore fillon prej 1,990 deri në 2,598. Këto dy intervale përputhen

me njëra-tjetrën. Prandaj, nuk ekziston ndonjë dallim i rëndësishëm ndërmjet tyre. Rasti i

mbikëqyrësve dhe menaxherëve është i ndryshëm. Sipas mesatareve dhe intervaleve të

besueshmërisë në tabelë, femrat mbikëqyrëse për nga meshkujt mbikëqyrës dhe femrat

menaxhere për nga meshkujt menaxherë janë më të kënaqura nga puna që bëjnë. Konkluzione të

këtilla nuk mund të bëhen me testet Post Hoc të cilat krahasojnë ndryshoret e varura.

Nga tabela Multiple Comparasions (Post Hoc) mund të mësohet se ndërmjet cilave grupe

të ndryshores së pavarur ekziston dallim për secilën ndryshore të varur. Në kolonën Mean

Difference, mund të thuhet se ekziston një dallim ndërmjet atyre grupeve të cilat pranë kanë

asteriks (*). Në të njëjtën mënyrë nga kolona Sig. vlerat të cilat gjenden nën 0,05 tregojnë që

ekziston një dallim ndërmjet grupeve.

168

Tabela 21: Tabela e Krahasimeve të Shumëfishta


Dependent Variable (I) pozita (J) pozita

Mean

Difference

(I-J)

Std.

Error Sig.

95% Confidence

Interval

Lower

Bound

Upper

Bound

meshkujt Tukey HSD punëtor mbikëqyrës -1.4510* .23845 .000 -2.0281 -.8739

menaxher -3.7176* .24977 .000 -4.3221 -3.1132


menaxher -2.2667* .24649 .000 -2.8632 -1.6701


mbikëqyrës 2.2667* .24649 .000 1.6701 2.8632

Tamhane punëtor mbikëqyrës -1.4510* .23211 .000 -2.0358 -.8662

menaxher -3.7176* .23955 .000 -4.3272 -3.1081


menaxher -2.2667* .26243 .000 -2.9298 -1.6035


mbikëqyrës 2.2667* .26243 .000 1.6035 2.9298

femrat Tukey HSD punëtor mbikëqyrës -2.7614* .21050 .000 -3.2709 -2.2520

menaxher -4.1725* .22048 .000 -4.7061 -3.6390


menaxher -1.4111* .21759 .000 -1.9377 -.8845


mbikëqyrës 1.4111* .21759 .000 .8845 1.9377

Tamhane punëtor mbikëqyrës -2.7614* .20742 .000 -3.2831 -2.2398

menaxher -4.1725* .21824 .000 -4.7259 -3.6192


menaxher -1.4111* .22360 .000 -1.9766 -.8457


mbikëqyrës 1.4111* .22360 .000 .8457 1.9766

Based on observed means.

The error term is Mean Square(Error) = .387.

*. The mean difference is significant at the .05 level.

Në tabelën e mësipërme, janë dhënë rezultatet e testeve Tukey dhe Tamhane veç e veç për

secilën ndryshore të varur meshkuj dhe femra. Ngaqë është siguruar kushti i barazisë së

variancave, është e mjaftueshme që të shikohen vetëm rezultatet e Tukey. Ndryshimi i mesatares

së kënaqësisë ndërmjet punëtorëve dhe mbikëqyrësve të ndryshores së varur meshkujt është

169

1,4510 dhe kjo është më e ulët për punëtorët. Dallimi ndërmjet punëtorëve dhe menaxherëve

është 3,7176 dhe kjo është më e ulët për punëtorët. Dallimi ndërmjet mbikëqyrësve dhe

menaxherëve është 2,2667 dhe kjo është më e ulët për mbikëqyrësit. Për arsye se vlerat p janë

më të vogla se 0,05, këto ndryshime janë plotësisht të rëndësishme. Kurse për femrat, dallimi

ndërmjet punëtorëve dhe mbikëqyrësve është 2,7614 dhe kjo është më e vogël për punëtorët.

Dallimi ndërmjet punëtorëve dhe menaxherëve është 4,1725 dhe kjo është më e vogël për

punëtorët. Dallimi ndërmjet mbikëqyrësve dhe menaxherëve është 1,4111 dhe kjo është më e

vogël për mbikëqyrësit. Për arsye se vlerat p janë më të vogla se 0,05, këto ndryshime janë

plotësisht të rëndësishme.

Tabela 22: Nëngrupet e Formuara Sipas Ndryshoreve të Pavarura Meshkuj dhe Femra

meshkujt

pozita N

Subset

1 2 3

Tukey HSDa,b,c

punëtor 17 1.8824


menaxher 15 5.6000

Sig. 1.000 1.000 1.000

femrat

pozita N

Subset

1 2 3

Tukey HSDa,b,c

punëtor 17 2.2941


menaxher 15 6.4667

Sig. 1.000 1.000 1.000

Në përfundim, përfitimi i tabelave të mësipërme nuk është surprizë. Për arsye të dallimeve

të mesatareve sipas të gjitha grupeve të faktorit të pozitës në çdo ndryshore të varur, numri i

nëngrupeve të formuara në ndryshoret e varura është sa numri i grupeve të ndryshores së

pavarur. Këto tabela paraqesin mesataret e secilit grup veç e veç për ndryshoret e varura meshkuj

dhe femra. Dallimet ndërmjet grupeve mund të kuptohen në mënyrë të qartë nga tabela 22.

Nga aplikimi i shembullit, sipas rezultateve të analizës MANOVA Një Drejtimshe, mund të

nxjerrim këto konkluzione:

Faktori i pozitës ndikon në kënaqësinë e punës qoftë për meshkujt apo femrat

Me rritjen e pozitës në punë, rritet kënaqësia e punës për femrat.

170

Me rritjen e pozitës në punë, rritet kënaqësia e punës për meshkujt.

Nuk ekziston dallim i kënaqësisë në punë ndërmjet punëtorëve femra dhe meshkuj

Femrat të cilat punojnë si mbikëqyrëse dhe menaxhere janë më të kënaqura për nga

meshkujt të cilat punojnë në këto pozita.

Përpara se të kalojmë në analizën MANOVA Dy Drejtimshe, është me dobi që të mbahet në

mend kjo. Ekzistojnë përngjasime të rëndësishme ndërmjet alternativave dhe tabelave të

rezultateve të MANOVA Një Drejtimshe dhe alternativave dhe tabelave të rezultateve të

ANOVA-së gjatë përdorimit të SPSS-it. Për këtë arsye, për t’a kuptuar më lehtë aplikimin e

MANOVA-së Një Drejtimshe ju sugjerojmë që të lexoni pjesën e ANOVA-së në këtë libër.

5. MANOVA DY DREJTIMSHE

MANOVA Dy Drejtimshe është si një përzierje e ANOVA Një Drejtimshe dhe MANOVA

Dy Drejtimshe. Hulumtohet ndikimi i dy ndryshoreve të pavarura në më shumë se një ndryshore

të varur. Hipoteza H0 këtu supozon se nuk ekziston asnjë dallim i mesatareve në asnjë ndryshore

të varur sipas grupeve të faktorëve. Në qoftë se vrojtohet një dallim vetëm në një ndryshore të

varur, hipoteza refuzohet.

Gjatë shqyrtimit të temës së MANOVA Dy Drejtimshe, nuk kemi për qëllim të japim

informata shtesë. Duke përdorur përsëri menynë Multivariate për këtë aplikim në SPSS, menytë

e përzgjedhjeve dhe tabelat të cilat do të përfitohen në fund të analizës janë shpjeguar në mënyrë

të detajuar në ANOVA Dy Drejtimshe dhe në MANOVA Një Drejtimshe. Me një shembull

shtesë këtu synohet që të bëhet konsolidimi i temave tjera si dhe dhënia e një shembulli në lidhje

me MANOVA Dy Drejtimshe. Gjatë sqarimit të shembullit, lexuesi do të udhëzohet për

shpjegimin e detajeve në lidhje me menytë që do të paraqiten dhe tabelat.

5.1. Shembull Aplikimi Shembulli është shpjeguar në Shtojcën-4. Bëhet hulumtimi i ndikimit të pozitës së

punonjësve dhe departamentit në të cilin punojnë mbi kënaqësinë e punës që punojnë,

përvetësimin e politikave të firmës dhe dëshirës për të qëndruar në firmë (përherë).

Në SPSS, në pjesën Analyze, General Linear Model, përzgjedhet Multivariate. Në

menynë kryesore Multivariate ndryshoret pozita dhe departamenti barten në pjesën Fixed

Factor(s), kurse ndryshoret kënaqësia, përvetësimi dhe qëndrueshmëria barten në pjesën

Dependent Variables. Ekrani i menysë kryesore të Multivariate duket si më poshtë.

171

Hapi 1: Dritarja e MANOVA Dy Drejtimshe

Nga këtu, detajet e përzgjedhjeve Model, Plots dhe Save janë shpjeguar në ANOVA Një

Drejtimshe, detajet e përzgjedhjes Post Hoc janë shpjeguar në ANOVA Një Drejtimshe dhe

ANOVA Dy Drejtimshe dhe detajet e Options janë shpjeguar në MANOVA Një Drejtimshe.

Përsëri për pjesët Covariate(s) dhe WLS Weight janë dhënë shkurtimisht informata në ANOVA

Dy Drejtimshe. Këtu do të tregohen dritaret për etiketimin e përzgjedhjeve të duhura dhe nuk do

të futemi në detaje.

Në pjesën Model përzgjedhjet e duhura janë të vetëpërcaktuara. Për këtë arsye këtu nuk

mund të kryhet ndonjë funksion. Klikohet në butonin Plots. Nga ekrani i hapur, ndryshorja

departamenti vendoset në pjesën Horizontal Axis, kurse ndryshorja pozita vendoset në pjesën

Separate Lines dhe ekrani do të duket si më poshtë.

Në ekranin Plot pasi të përcaktohen boshti horizontal dhe vijat e ndara, duhet të klikohet

butoni Add. Në qoftë se nuk klikohet ky buton, SPSS-i nuk do të i vizatoj grafiqet. Pastaj duke

klikuar në butonin Continue, bëhet kthimi në menynë kryesore Multivariate.

172


Hapi 2: Dritarja e Krahasimeve të Shumëfishta Post Hoc për Mesataret e Vrojtuara

173

Pastaj klikohet në butonin Post Hoc dhe bëhet transferimi i faktorëve (ndryshoreve të

pavarura) në pjesën Post Hoc Tests for. Përzgjedhen testet Tukey dhe Tamhane’s T2 dhe duke

klikuar në butonin Continue bëhet kthimi në menynë kryesore Multivariate.


Nga menyja kryesore Multivariate klikohet butoni Options dhe bëhet hyrja në menynë

Options. Në këtë meny, pozita, departamenti dhe pozita*departamenti (bashkëveprimi i pozitës

me departamentin) barten në pjesën Display Means for. Duke etiketuar opsinet Homogeneity

tests dhe Estimates of effect size klikohet butoni Continue. Nga menyja Multivariate klikohet

butoni OK dhe përfitohen rezultatet e MANOVA Dy Drejtimshe.

174

5.2. Daljet e SPSS-it dhe Interpretimi Në tabelën 23 është dhënë numri i mostrave të secilit nëngrup të ndryshores së pavarur.

Numri i përafërt i mostrave është i rëndësishëm për shëndetin e rezultateve.

Tabela 23: Madhësitë e Mostrave të Grupeve

Between-Subjects Factors

Value Label N

pozita 1.00 Punëtor 39

2.00 Mbikëqyrës 44

3.00 Menaxher 42

departamenti 1.00 Prodhim 25

2.00 Aksione 26

3.00 Kontabilitet 24

4.00 Marketing 26

5.00 H&Zh 24

Tabela 24: Rezultatet e Testit të Supozimit të Barazisë së Kovariancave

Box's Test of Equality

of Covariance

Matricesa

Box's M 122.279

F 1.212

df1 84

df2 9862.734

Sig. .091

Tabela Box’s M bën testimin e barazimit të matricave të kovariancave. Ngaqë vlera p (Sig.)

është më e madhe se 0,05 arrijmë në përfundim se matricat e kovariancave janë të barabarta.

Mirëpo, përafërsia e vlerave 0,05 dhe 0,091 do të ulë vlerën e rezultateve në një masë.

Tabela 25: Rezultatet e Testit të Supozimit të Variancave


F df1 df2 Sig.

kënaqësia .887 14 110 .574

përvetësimi .562 14 110 .889

qëndrueshmëria .717 14 110 .754

175

Sipas tabelës Levene’s Test of Equality of Error Variances është siguruar barazia e

variancave për secilën ndryshore të varur sipas grupeve të ndryshoreve të pavarura.

Tabela 26: Krahasimet e Shumëfishta

Multivariate Testsa

Effect Value F

Hypothesis

df Error df Sig.

Partial Eta

Squared

Intercept Pillai's Trace .988 2871.129b 3.000 108.000 .000 .988

Wilks' Lambda .012 2871.129b 3.000 108.000 .000 .988

Hotelling's Trace 79.754 2871.129b 3.000 108.000 .000 .988

Roy's Largest Root 79.754 2871.129b 3.000 108.000 .000 .988

pozita Pillai's Trace .915 30.645 6.000 218.000 .000 .458

Wilks' Lambda .135 61.845b 6.000 216.000 .000 .632



departamenti Pillai's Trace 1.100 15.918 12.000 330.000 .000 .367

Wilks' Lambda .104 32.243 12.000 286.033 .000 .530



pozita * departamenti Pillai's Trace .662 3.893 24.000 330.000 .000 .221

Wilks' Lambda .449 4.159 24.000 313.834 .000 .234

Hotelling's Trace .994 4.419 24.000 320.000 .000 .249

Roy's Largest Root .711 9.775c 8.000 110.000 .000 .416

a. Design: Intercept + pozita + departamenti + pozita * departamenti

b. Exact statistic

c. The statistic is an upper bound on F that yields a lower bound on the significance level.

Nga tabela Multivariate Tests testi Pillai’s Trace sado që të jetë testi më i besueshëm, në

përgjithësi përdoren rezutlatet e Wilk’s Lambda. Në tabelën Multivariate Tests janë dhënë

rezultatet e ndikimeve kryesore të ndryshoreve pozita dhe departamenti mbi ndryshoret e varura

si dhe në të njëjtën kohë ndikimi i bashkëveprimit pozita*departamenti mbi ndryshoret e varura.

Në kolonën Sig. të gjitha vlerat janë më të vogla se 0,05. Sipas vlerave të kolonës Sig. ndikimet e

ndryshores së pozitës, ndryshores së departamentit dhe bashkëveprimit të pozitës*departamentit

mbi ndryshoret e varura janë të rëndësishme. Në qoftë se shikohet kolona Partial Eta Squared,

sipas testit Wilks’ Lambda, vlera e pozitës është 0,632, vlera e departamentit është 0,530 dhe

vlera e pozitës*departamentit është 0,234. Duke shikuar këto vlera, ndikimet e ndryshoreve

176

pozita dhe departamenti janë të fuqishme ndaras dhe në të njëjtën kohë ndikimi i bashkëveprimit

pozita*departamenti është mi i dobët për nga këto dyja.

Tabela 27: Tabela e Ananlizës së Variancës


Source Dependent Variable

Type III Sum of

Squares df

Mean

Square F Sig.

Partial Eta

Squared

Corrected Model kënaqësia 432.484a 14 30.892 38.708 .000 .831

përvetësimi 517.512b 14 36.965 48.821 .000 .861

qëndrueshmëria 502.061c 14 35.862 30.254 .000 .794

Intercept kënaqësia 4082.927 1 4082.927 5116.001 .000 .979

përvetësimi 4775.021 1 4775.021 6306.481 .000 .983

qëndrueshmëria 3960.952 1 3960.952 3341.629 .000 .968

pozita kënaqësia 344.348 2 172.174 215.738 .000 .797

përvetësimi 328.696 2 164.348 217.058 .000 .798

qëndrueshmëria 279.909 2 139.954 118.072 .000 .682

departamenti kënaqësia 58.735 4 14.684 18.399 .000 .401

përvetësimi 133.688 4 33.422 44.141 .000 .616

qëndrueshmëria 203.978 4 50.995 43.021 .000 .610

pozita * departamenti kënaqësia 23.079 8 2.885 3.615 .001 .208

përvetësimi 47.152 8 5.894 7.784 .000 .361

qëndrueshmëria 22.995 8 2.874 2.425 .019 .150

Error kënaqësia 87.788 110 .798

përvetësimi 83.288 110 .757

qëndrueshmëria 130.387 110 1.185

Total kënaqësia 4679.000 125

përvetësimi 5468.000 125

qëndrueshmëria 4688.000 125

Corrected Total kënaqësia 520.272 124

përvetësimi 600.800 124

qëndrueshmëria 632.448 124


b. R Squared = .861 (Adjusted R Squared = .844)

c. R Squared = .794 (Adjusted R Squared = .768)

177

Në qoftë se shikojmë tabelën Test of Between-Subjects, do të vërehet se secila ndryshore e

pavarur ka një ndikim kuptimplotë mbi ndryshoret e varura. Po të vështrojmë kolonën Sig. për

pozitën, departamentin dhe pozita*departamenti do të vërejmë se secila ka një ndikim

kuptimplotë mbi kënaqësinë, përvetësimin dhe qëndrueshmërinë. Të gjitha vlerat janë më të

vogla se 0,05. Po të vështrojmë kolonën Partial Eta Squared, do të vërejmë se pozita ka

ndikimin më të lartë mbi kënaqësinë dhe përvetësimin dhe se bashkëvepimi pozita*departamenti

ka ndikimin më të ulët mbi kënaqësinë dhe përvetësimin. Ndryshorja departamenti teksa ka një

ndikim më të madh mbi ndryshoret përvetësimi dhe qëndrueshmëria, ka një ndikim relativisht

më të ulët mbi ndryshoren kënaqësia.

Tabela Multiple Comparisons nuk është vendosur këtu për shkak të madhësisë së faqes.

Në ANOVA Një Drejtimshe, ANOVA Dy Drejtimshe dhe MANOVA Një Drejtimshe është

shpjeguar se si bëhet leximi i kësaj tabele. Në qoftë se shikojmë ndryshoren e pavarur pozita në

tabelën Post Hoc (Multiple Comparisons) do të vërehet se të gjitha pozitat kanë pikëpamje të

ndryshme në lidhje me kënaqësinë në punë, përvetësimin e politikave të firmës dhe dëshirës për

të qëndruar në firmë. Menaxherët janë më të kënaqur në punë, i përvetësojnë më shumë politikat

dhe kanë më shumë dëshirë që të jenë të përhershëm në punë në krahasim me mbikëqyrësit.

Kurse mbikëqyrësit janë më të kënaqur në punë, i përvetësojnë më shumë politikat dhe kanë më

shumë dëshirë që të jenë të përhershëm në punë në krahasim me punëtorët.

Tabela 28: Nëngrupet e Formuara për Ndryshoren e Varur Kënaqësia Sipas Ndryshores së

Pavarur Pozita

kënaqësia

Tukey HSDa,b,c

pozita N

Subset

1 2 3

Punëtor 39 3.7179

Mbikëqyrës 44 5.5909

Menaxher 42 7.8571

Sig. 1.000 1.000 1.000

Në tabelën Kënaqësia këto ndryshime mund të vërehen shumë qartë. Vlerat e paraqitura në

tabelë tregojnë mesataret e kënaqësisë për punëtorët, mbikëqyrësit dhe menaxherët. Ngaqë

ekzistojnë dallime të rëndësishme ndërmjet tyre janë krijuar nëngrupe të ndryshme. Në qoftë se

do të shikonim tabelat e përvetësimit dhe qëndrueshmërisë, do të vërehen rezultate të

ngjashme. Përmes këtyre tabelave mund të shohim përmbledhjen e rezultateve të arritura nga

tabela Multiple Comparisons.

Në qoftë se do të shikonim tabelën Multiple Comparison të përgatitur sipas ndryshores

departamenti (përsëri për shkak të madhësisë tabelës nuk i është dhënë vend këtu), do të vërejmë

178

se kënaqësia e punës është më e lartë në departamentin H&Zh dhe se kënaqësia më e ulët e punës

është në departamentin e aksioneve. Kënaqësia e punës në departamentin e marketingut sado që

për një shumë është më e vogël, nuk ka ndonjë dallim të rëndësishëm ndërmjet departamentit

H&Zh dhe të marketingut në kënaqësinë e punës.

Përsëri sipas tabelës Multiple Comparisons departamenti H&Zh dhe departamenti i

marketingut përvetësojnë më shume biznesin dhe departamenti i aksioneve, kontabilitetit dhe

prodhimit përvetësojnë më pak politikat e biznesit. Në lidhje me qëndrueshmërinë në firmë janë

arritur pothuajse rezultate plotësisht të kundërta. Përderisa ata të departamentit të stoqeve

dëshirojnë që të qëndrojnë më shumë në firmë, këta të departamentit H&Zh dhe të marketingut

dëshirojnë më pak që të jenë të përhershëm në firmë. Në tabelat e mëposhtme këto rezultate

mund të vrojtohen në mënyrë më të qartë.

Tabela 29: Nëngrupet e Formuara të Ndryshores së Varur Kënaqësia Sipas Ndryshores së

Pavarur Departamenti

kënaqësia

Tukey HSDa,b,c

departamenti N

Subset

1 2 3 4

Aksione 26 4.7308

Prodhim 25 5.4800

Kontabilitet 24 5.6667 5.6667

Marketing 26 6.1923 6.1923

H & Zh 24 6.8333

Sig. 1.000 .947 .237 .090

Tabela Kënaqësia e cila jep mesataret e kënaqësisë sipas departamenteve tregon se si mund

të klasifikohen nivelet e kënaqësive sipas departamenteve. Niveli i kënaqësisë është më i lartë

për punonjësit në departamentin e Marketingut dhe H&Zh. Kurse departamenti i stoqeve është

departmenti i cili ofron kënaqësinë më të ulët.

179

Tabela 30: Nëngrupet e Formuara të Ndryshores së Varur Përvetësimi Sipas Ndryshores së

Pavarur Departamenti

përvetësimi

Tukey HSDa,b,c

departamenti N

Subset

1 2

Aksione 26 5.1538

Kontabilitet 24 5.2500

Prodhim 25 5.8000

Marketing 26 7.4615

H & Zh 24 7.5417

Sig. .073 .998

Sipas tabelës Përvetësimi departamentet të cilat kanë përvetësuar më shumë biznesin

janë departamenti i marketingut dhe H&Zh. Kurse departamentet që kanë përvetësuar më pak

janë ai i stoqeve, kontabilitetit dhe prodhimit. Në qoftë se shikojmë vlerat p (Sig.) në lidhje me

përvetësimin e biznesit, punonjësit e departamentit të marketingut dhe H&Zh kanë formuar një

grup kuptimplotë. Sado që këto vlera të i afrohen 1-shit, grupi do të jetë po aq më kuptimplotë.

Tabela 31: Nëngrupet e Formuara të Ndryshores së Varur Qëndrueshmëria sipas

Ndryshore së Varur Departamentit

qëndrueshmëria

Tukey HSDa,b,c

departamenti N

Subset

1 2 3 4

H & Zh 24 4.1667

Marketing 26 4.4615

Kontabilitet 24 5.6667

Prodhim 25 6.6000

Aksione 26 7.5000

Sig. .874 1.000 1.000 1.000

Tabela Qëndrueshmëria paraqet rezultate interesante. Po të shikojmë tabelën, punonjësit

sado që të mund të jenë të kënaqur nga puna dhe sado që të e përvetësojnë punën, mund që të

mos dëshirojnë të jenë të përhershëm në firmë. Punonjësit e departamentit të aksioneve përderisa

e përvetësojnë më së paku punën, dëshirojnë që të jenë të përhershëm në firmë më shumë se të

tjerët. Kurse punonjësit e departamentit të marketingut dhe H&Zh të cilët e pëvetësojnë më

shumë punën, janë ata që mendojnë më pak të jenë të përhershëm në firmë. Në të vërtet ky

rezultat nuk është edhe shumë interesant. Punonjësit e H&Zh janë njerëz të kualifikuar. Kurse

180

punonjësit e marketingut janë në një pozitë më shoqërore. Këta punonjës të këtyre

departamenteve kanë mundësinë që të marrin propozime më tërheqëse në çdo moment. Kurse

nuk mund të thuhet e njëjta gjë për departamentin e aksioneve. Sado që të mos jenë të kënaqur

nga puna, sado që të mos e përvetësojnë punën, ata nuk kanë alternativa tjera para tyre. Për këtë

arsye ata dëshirojnë që të jenë të përhershëm në firmë. Gjatë përcaktimit të politikave të firmës,

duhet të kihen parasysh këta faktorë.

Tani përsëri në qoftë se do konsideronim ndikimet e faktorit pozita dhe ndikimet e faktorit

departamenti mbi ndryshoret e varura, do të kuptohej fare qartë se ekziston një bashkëveprim

ndërmjet këtyre dy faktorëve. Përderisa mesataret e të gjitha ndryshoreve të varura rriten me

kalimin nëpër grupet (punëtor, mbikëqyrës dhe menaxher) e faktorit pozita, një lidhje e tillë nuk

ekziston ndërmjet departamenteve. Veçanërisht sipas departamenteve dallimet në ndryshoren e

varur qëndrueshmëria janë të ndryshme për nga dallimet në ndryshoret e varura kënaqësia dhe

përvetësimi. Prandaj, duke i marrë parasysh pozitat në këto departamente, do të arrihen rezultate

më të shëndetshme.

Këto që thamë do të kuptohen më mirë në qoftë se shikojmë tabelën pozita*departamenti

e cila gjendet nën titullin Estimated Marginal Means nga rezultatet e SPSS-it.

Tabela 32: Intervalet e Besueshmërisë

3. pozita * departamenti

Dependent

Variable pozita departamenti Mean Std. Error



kënaqësia Punëtor Prodhim 2.750 .316 2.124 3.376

Aksione 3.125 .316 2.499 3.751

Kontabilitet 3.875 .316 3.249 4.501

Marketing 4.125 .316 3.499 4.751

H & Zh 4.857 .338 4.188 5.526

Mbikëqyrës Prodhim 5.889 .298 5.299 6.479

Aksione 4.000 .298 3.410 4.590

Kontabilitet 5.125 .316 4.499 5.751

Marketing 5.667 .298 5.077 6.257

H & Zh 7.222 .298 6.632 7.812

Menaxher Prodhim 7.750 .316 7.124 8.376

Aksione 6.889 .298 6.299 7.479

Kontabilitet 8.000 .316 7.374 8.626

Marketing 8.556 .298 7.965 9.146

H & Zh 8.125 .316 7.499 8.751

181

përvetësimi Punëtor Prodhim 2.875 .308 2.265 3.485

Aksione 3.125 .308 2.515 3.735

Kontabilitet 4.625 .308 4.015 5.235

Marketing 5.750 .308 5.140 6.360

H & Zh 5.857 .329 5.205 6.509


Aksione 4.222 .290 3.647 4.797

Kontabilitet 4.000 .308 3.390 4.610

Marketing 6.889 .290 6.314 7.464

H & Zh 7.667 .290 7.092 8.241


Aksione 7.889 .290 7.314 8.464

Kontabilitet 7.125 .308 6.515 7.735

Marketing 9.556 .290 8.981 10.130

H & Zh 8.875 .308 8.265 9.485

qëndrueshmëria Punëtor Prodhim 3.875 .385 3.112 4.638

Aksione 6.500 .385 5.737 7.263

Kontabilitet 3.500 .385 2.737 4.263

Marketing 3.000 .385 2.237 3.763

H & Zh 2.286 .412 1.470 3.101


Aksione 6.889 .363 6.170 7.608

Kontabilitet 5.750 .385 4.987 6.513

Marketing 4.222 .363 3.503 4.941

H & Zh 3.889 .363 3.170 4.608


Aksione 9.000 .363 8.281 9.719

Kontabilitet 7.750 .385 6.987 8.513

Marketing 6.000 .363 5.281 6.719

H & Zh 6.125 .385 5.362 6.888

Sipas kësaj tabele, përderisa punëtorët e marketingut dhe H&Zh kanë kënaqësinë më të lartë

në punë dhe kanë përvetësimin më të madh të punës, janë që kanë dëshirë më së paku të jenë të

përhershëm në firmë. Sipas tabelës e njëjta situatë është e vlefshme edhe për mbikëqyrësit dhe

menaxherët.

182

Punëtorët e departamentit të prodhimit dhe aksioneve përderisa kanë kënaqësinë më të ulët

të punës dhe përvetësim më të vogël të punës, dëshirojnë që të jenë të përhershëm në firmë

sidomos punëtorët e departamentit të aksioneve. Niveli më i ulët i kënaqësisë dhe përvetësimi më

i vogël i mbikëqyrësve është në departamentet e aksioneve dhe kontabilitetit, kurse dëshira më e

madhe për të qëndruar në firmë është në departamentet e prodhimit dhe aksioneve. Niveli më i

ulët i kënaqësisë së menaxherëve është në departamentin e aksioneve, përvetësimi më i ulët i

biznesit është në departamentin e kontabilitetit dhe dëshira më e madhe për të qëndruar në firmë

është në departamentet e prodhimit dhe aksioneve.

Nga tabela pozita*departamenti është e mundur që të nxirren më shumë konkluzione, por

ky interpretim është i mjaftueshëm për të kuptuar ndërveprimin ndërmjet pozitës dhe

departamentit.

Figura 7: Grafiku tregues i ndryshimit të kënaqësisë sipas grupeve të ndryshoreve të

pavarura

Vija më e lartë u përket menaxherëve

Vija e mesme u përket mbikëqyrësve

Vija e poshtme u përket punëtorëve

183

Grafiku Estimated Marginal Means of kënaqësia përdoret për të shikuar në mënyrë

vizuale ndryshimin e kënaqësisë sipas departamenteve dhe pozitave. Boshti horizontal paraqet

departamentet kurse boshti vertikal paraqet nivelin e kënaqësisë. Vija më e lartë paraqet

menaxherët, vija e mesme mbikëqyrësit dhe vija e poshtme punëtorët. Përmes këtij grafiku mund

të kuptohet ndërveprimi pozita*departamenti. Për shembull, një punëtor i cili punon në

departamentin H&Zh mund më të ketë një nivel më të lartë të kënaqësisë në punë për nga një

shef i departamentit të aksioneve.

Figura 8: Grafiku tregues i ndryshimit të përvetësimit sipas grupeve të ndryshoreve të

pavarura


Vija e mesme u përket mbikëqyrësve


Grafiku Estimated Marginal Means of përvetësimi përdoret për të shikuar në mënyrë

vizuale ndryshimin e përvetësimit sipas departamenteve dhe pozitave. Në këtë grafik boshti

vertikal paraqet nivelin e përvetësimit të politikave të firmës. Vija më e lartë paraqet menaxherët,

vija e mesme mbikëqyrësit dhe vija e poshtme punëtorët. Ndryshimi në përvetësimin e politikave

të firmës sipas departamenteve dhe pozitave mund të shihet shumë qartë.

184

Figura 9: Grafiku tregues i ndryshimit të qëndrueshmërisë sopas grupeve të ndryshoreve të

pavarura


Vija e mesme u përket mbikëqyrësit


Grafiku Estimated Marginal Means of qëndrueshmëria në lidhje me dëshirën për të

qëndruar në firmë, ashtu si grafiqet tjera paraqet në mënyrë vizuale dallimin e dëshirës për të

qëndruar në firmë sipas departamenteve dhe pozitave. Përsëri vija më e lartë paraqet menaxherët,

vija e mesme mbikëqyrësit dhe vija e poshtme punëtorët. Boshti vertikal këtu përcakton nivelin e

qëndrueshmërisë në firmë.

Gjatë leximit të grafiqeve një gjë e cila duhet të kihet parasysh është se nuk mund të bëhet

në mënyrë të qartë interpretimi për dallimet ndërmjet grupeve vetëm përmes grafiqeve. Për të

thënë se ekziston një dallim i rëndësishëm ndërmjet dy grupeve, nuk është e mjaftueshme që të

shohim se ekziston një dallim numëror ndërmjet mesatareve. Ekziston nevoja për testet të cilat

tregojnë se sa është kuptimplotë ky dallim. Për këtë arsye, sado që këto grafiqe janë të dobishme

për nga aspekti i paraqitjes vizuale të mesatareve sipas grupeve, nuk janë të mjaftueshme si të

vetme. Interpretimet duhet të bëhen duke përdorur tabelat e përmendura gjatë shpjegimit, të cilat

mundësojnë të kuptojmë dallimet ndërmjet grupeve.

185

Në fund, rezultatet që mund të i nxjerrim nga ky shembull janë:

Menaxherët janë më të kënaqur se mbikëqyrësit dhe mbikyqrësit më të kënaqur se

punëtorët

Menaxherët përvetësojnë më shumë punën se mbikëqyrësit dhe mbikëqyrësit më shumë

se punëtorët

Menaxherët dëshirojnë që të jenë të përhershëm në firmë më shumë se mbikëqyrësit dhe

mbikëqyrësit më shumë se punëtorët

Punonjësit e marketingut dhe H&Zh kanë nivelin më të lartë të kënaqësisë së punës dhe

përvetësimin më të lartë të politikave të firmës dhe në të njëjtën kohë më së paku

dëshirojnë të jenë të përhershëm në firmë

Ekziston një ndërveprim kuptimplotë ndërmjet departamenteve dhe pozitave. Për

shembull, përderisa punëtorët e departamentit të prodhimit dhe stoqeve kanë nivelin më

të ulët të kënaqësisë në punë dhe përvetësim më të ulët të punës, dëshirojnë që të jenë të

përhershëm në firmë, sidomos punonjësit në departamentin e stoqeve.

Prandaj, gjatë bërjes së analizës, departamentet dhe pozitat duhet të vlerësohen së bashku.

Një gjest i tillë është më i shendetshëm në krahasim me interpretime të përgjithshme në

lidhje me pozitën apo me interpretime të përgjithshme në lidhje me departamentin.

Siç qe cekur edhe në fillim nuk ishte synim që të jepen informata të reja në lidhje me

MANOVA Dy Drejtimshe në SPPS për lexuesin. Qëllimi këtu ishte që të bëhej një konsolidim

me të dhënat e analizës së variancës dhe që të sillet në një formë më konkrete për t’u mbajtur në

mend MANOVA Dy Drejtimshe. Kuptimi më i mirë i kësaj teme lidhet me kuptimin e mirë të

temave të shpjeguara më lartë në këtë kapitull.

186

SHTOJCA 1

Një firmë dëshiron që të mat ndikimin e pozitës së punëtorëve në pranimin e politikave të

firmës. Në mostër marrin pjesë 17 punëtorë, 15 mbikëqyrës dhe 11 menaxherë dhe janë pyetur se

a pajtohen me gjykimin “Politikat e firmës janë si duhet dhe duhet të përvetësohen”. Është

përdorur pesëmatësi i Likertit.

Plotësisht pajtohem :5

Pajtohem :4

Neutral :3

Nuk pajtohem :2

Plotësisht nuk pajtohem :1

Në vlerësimin e përgjigjeve janë përdorur të dhëna numerike. Të dhënat në SPSS janë futur

në këtë mënyrë

Përvetësimi Pozita

1 2 1

2 3 1

3 2 1

4 3 1

5 3 1

6 1

7 1 1

8 1 1

9 2 1

10 2 1

11 3 1

12 2 1

13 4 1

14 2 1

15 2 1

16 3 1

17 3

18 3 2

19 4 2

20 4 2

21 5 2

22 4 2

23 4 2

24 3 2

25 3 2

187

26 4 2

27 4 2

28 2 2

29 2

30 4 2

31 5 2

32 4 2

33 5 3

34 5 3

35 4 3

36 5 3

37 5 3

38 4 3

39 4 3

40 2 3

41 3 3

42 5 3

43 5 3

188

SHTOJCA 2

Të hulumtohet ndikimi i pozitës së punonjësve në firmë dhe kohës së kaluar në atë pozitë në

kënaqësinë e punës. Pozitat e punonjësve dhe koha e kaluar në atë pozitë janë dhënë më poshtë

në formën e numrave.

Punëtor :1 Fundi i javës së parë: :1

Mbikëqyrës :2 Fundit 3 muajve: :2

Menaxher :3 Fundi i 6 muajv :3

Fundi i 1 viti :4

Punonjësit janë pyetur në lidhje me kënaqësine e punës në periudhat e cekura. Për shembull,

një mbikëqyrës është pyetur se a është i kënaqur nga puna në fund të javës së parë pasi ka filluar

punën, në fund të 3 muajve, në fund të 6 muajve dhe pas 1 viti. Është kërkuar që të përzgjedh

numrat prej 1 deri në 10 ashtu siç e sheh ai më të përshtatshëm për të. Këtu këta numri shprehin:

10: Shumë i kënaqur

1: Aspak i kënaqur.

Të dhënat e mëposhtme janë futur në SPSS.

Ndryshorja e parë pavarur: Pozita

Ndryshorja e dytë e pavarur: Koha

Ndryshorja e Varur: Kënaqësia

Kënaqësia Pozita Koha

1 7 1 1

2 5 1 2

3 4 1 3

4 2 1 4

5 5 1 1

6 5 1 2

7 3 1 3

8 1 1 4

9 5 1 1

10 4 1 2

11 2 1 3

12 2 1 4

13 4 1 1

14 4 1 2

15 2 1 3

189

16 2 1 4

17 5 2 1

18 6 2 2

19 5 2 3

20 5 2 4

21 7 2 1

22 6 2 2

23 6 2 3

24 7 2 4

25 8 2 1

26 7 2 2

27 6 2 3

28 6 2 4

29 7 2 1

30 7 2 2

31 7 2 3

32 6 2 4

33 5 3 1

34 7 3 2

35 9 3 3

36 10 3 4

37 6 3 1

38 9 3 2

39 10 3 3

40 10 3 4

41 7 3 1

42 9 3 2

43 9 3 3

44 10 3 4

45 6 3 1

46 7 3 2

47 9 3 3

48 9 3 4

190

SHTOJCA 3

Kërkohet të analizohet se a ndikon pozita e punonjësve sipas gjinisë në kënaqësinë e punës.

Me fjalë të tjera, ndikimi i pozitës së punës a ndryshon sipas femrave apo sipas meshkujve në

kënaqësinë e punës. Në analizë janë mbledhur të dhëna nga 15 femra dhe 15 meshkuj

menaxherë, 18 femra dhe 18 meshkuj mbikëqyrës si dhe 17 femra dhe 17 meshkuj punëtorë.

Niveli i kënaqësisë është matur me këtë numër të personelit. Për matjen e kënaqësisë është

përdorur pesëmatësi i Likerit. Këtu;

1 – Nuk jam aspak i kënaqur

7 – Jam shumë i kënaqur.

Ndryshorja e varur: Pozita

Ndryshorja e parë e pavarur: Femrat

Ndryshorja e dytë e pavarur: Meshkujt

Pozita 1: Punëtor

Pozita 2: Mbikëqyrës

Pozita 3: Menaxher

Femra Meshkuj Pozita

1 2 2 1

2 3 1 1

3 2 2 1

4 2 2 1

5 1 2 1

6 2 3 1

7 3 2 1

8 2 2 1

9 3 1 1

10 2 1 1

11 2 2 1

12 2 2 1

13 3 3 1

14 2 2 1

15 2 2 1

16 3 1 1

17 3 2 1

18 5 3 2

19 5 3 2

191

20 4 4 2

21 5 3 2

22 6 2 2

23 5 3 2

24 5 3 2

25 6 4 2

26 5 4 2

27 4 5 2

28 5 4 2

29 5 4 2

30 6 3 2

31 5 3 2

32 5 2 2

33 4 3 2

34 5 4 2

35 6 3 2

36 7 6 3

37 7 5 3

38 6 6 3

39 7 6 3

40 6 4 3

41 6 5 3

42 5 5 3

43 7 6 3

44 7 6 3

45 7 5 3

46 6 6 3

47 7 7 3

48 6 6 3

49 6 6 3

50 7 5 3

192

SHTOJCA 4

Dëshirohet të hulumtohet ndikimi i pozitës së punonjësve dhe departamentit në të cilin

punojnë në kënaqësinë e punës që punojnë, përvetësimin e politikave të firmës dhe dëshirës për

të qëndruar në firmë (përherë). Janë përcaktuar 3 grupe për ndryshoren e parë të pavarur:

punëtor, mbikëqyrës dhe menaxher i nivelit të lartë. Janë përcaktuar 5 grupe për ndryshoren e

dytë të pavarur: prodhim, stoqe, kontabilitet, marketing dhe H&Zh (Hulumtim dhe Zhvillim).

Janë mbledhur të dhëna në total prej 125 vetëve nga pozita dhe departamente të ndryshme në

lidhje me kënaqësinë e punës, përvetësimit të politikave të firmës dhe dëshirës për të qëndruar në

firmë.

Përgigjjet e dhëna në lidhje me kënaqësinë e punës;

1 – Nuk jam aspak i kënaqur

10 – Jam shumë i kënaqur

Përgjigjet e dhëna në lidhje me përvetësimin e politikave të firmës;

1 – Nuk i përvetëson aspak

10 – I përvetëson plotësisht

Përgjigjjet e dhëna në lidhje me dëshirën për të qëndruar në firmë;

1 – Nuk dëshiron aspak

10 – Dëshiron shumë.

Të dhënat janë futur si më poshtë në SPSS.

Ndryshorja e parë e pavarur: Pozita

Ndryshorja e dytë e pavarur: Departamenti

Ndryshorja e parë e varur: Kënaqësia

Ndryshorja e dytë e varur: Përvetësimi

Ndryshorja e tretë e varur: Qëndrueshmëria

Pozita 1: Punëtor

Pozita 2: Mbikëqyrës

Pozita 3: Menaxher

Departamenti 1: Prodhim

193

Departamenti 2: Aksionet

Departamenti 3: Kontabilitet

Departamenti 4: Marketing

Departamenti 5: H-Zh.

Pozita Departamenti Kënaqësia Përvetësimi Qëndrueshmëria

1 1 3 4 3 4

2 2 1 6 6 7

3 3 4 9 10 7

4 1 2 3 2 6

5 3 4 7 10 5

6 2 2 4 4 7

7 1 4 5 5 4

8 2 1 5 6 6

9 2 1 5 5 6

10 3 4 9 10 6

11 1 4 4 6 2

12 2 1 7 7 8

13 3 4 8 9 5

14 2 3 5 4 6

15 2 2 4 4 6

16 1 3 4 5 2

17 2 2 5 5 8

18 3 4 10 10 8

19 2 3 6 5 7

20 1 2 4 2 7

21 2 1 7 5 8

22 3 4 8 9 5

23 2 3 5 3 5

24 1 3 4 4 3

25 2 5 5 8 6

26 2 2 3 4 6

27 2 1 5 7 7

28 2 5 8 8 4

29 1 2 3 4 8

30 3 4 9 10 6

31 2 5 6 9 2

32 1 5 5 5 2

33 3 5 8 9 6

34 2 3 6 5 7

194

35 1 3 4 5 5

36 3 5 9 9 7

37 2 5 7 7 5

38 3 5 7 10 5

39 1 5 5 6 2

40 3 5 8 8 7

41 2 2 4 5 8

42 3 5 7 8 6

43 2 5 8 6 3

44 2 1 7 7 8

45 3 5 8 8 5

46 1 3 3 5 4

47 3 5 9 9 6

48 2 5 8 8 4

49 2 3 4 3 5

50 1 2 3 4 8

51 2 5 7 7 3

52 2 1 5 5 6

53 1 5 6 7 3

54 1 3 3 4 2

55 2 4 6 7 5

56 2 4 5 6 3

57 2 1 6 6 7

58 2 5 9 9 5

59 2 5 7 7 3

60 2 2 4 4 6

61 3 1 9 10 10

62 3 1 7 8 8

63 1 5 4 5 1

64 3 2 8 9 10

65 1 1 3 4 6

66 3 2 6 7 8

67 2 3 5 4 6

68 3 3 9 8 9

69 2 2 3 5 7

70 1 2 3 3 5

71 3 3 7 6 7

72 1 4 4 6 3

73 3 4 9 9 7

74 1 5 5 6 4

75 3 3 8 7 8

76 2 2 5 3 6

77 1 1 4 4 5

195

78 3 3 7 8 7

79 2 3 3 3 3

80 3 3 8 8 6

81 2 2 4 4 8

82 3 1 8 9 9

83 3 4 8 9 5

84 3 3 7 7 7

85 1 5 4 6 1

86 1 2 4 5 6

87 3 5 9 10 7

88 3 3 9 6 9

89 1 4 5 7 4

90 3 1 7 8 8

91 1 3 4 5 3

92 2 3 7 5 7

93 1 3 5 6 5

94 2 4 6 7 4

95 1 2 3 3 7

96 1 1 4 3 3

97 3 1 8 7 10

98 2 4 7 6 5

99 1 2 2 2 5

100 3 3 9 7 9

101 1 4 4 5 2

102 1 1 3 3 3

103 1 1 1 2 4

104 3 2 7 8 9

105 3 1 7 9 7

106 2 4 5 8 3

107 1 1 2 2 2

108 3 1 8 8 10

109 2 4 4 6 5

110 3 2 8 7 8

111 3 1 8 9 9

112 3 2 6 9 10

113 1 1 3 2 5

114 1 4 5 7 4

115 3 2 7 8 10

116 2 4 5 6 4

117 1 4 3 5 2

118 3 2 6 8 9

119 2 4 6 7 4

120 3 2 7 8 9

196

121 1 4 3 5 3

122 1 5 5 6 3

123 3 2 7 7 8

124 2 4 7 9 5

125 1 1 2 3 3

197

8. ANALIZA E KOVARIANCËS

198

ANALIZA E KOVARIANCËS

Analiza e kovariancës është një zgjatje e analizës së variancës. Analiza e variancës

(ANOVA) përdoret për të gjetur dallimet ndërmjet mesatareve të grupit. Në analizë tentohet të

zbulohet ndikimi i disa ndryshoreve të pavarura (kategorike) mbi një ndryshore të varur

(vazhdueshme). Kurse në analizën e kovariancës tema kryesore është hulumtimi apo eleminimi i

ndryshores së varur e cila ndikon një ndryshore tjetër të varur gjatë krahasimit të mesatareve të

një ndryshoreje të varur të një apo më shumë grupi.

Analiza e kovariancës është një metodë statistikore shumë e dobishme dhe e fuqishme në

rastet kur përmbushen supozimet.

Në analizën e kovariancës gjatë matjes së dallimit ndërmjet mesatereve grupore, përdoren

analiza e regresionit dhe analiza e variancës së bashku. Pra analiza e kovariancës, është një

kombinim i analizës së variancës dhe analizës së regresionit. Në fillim, zbatohet procedura e

regresionit, pastaj metoda e analizës së variancës normale mbi vlerat e korrigjuara. Në këtë

mënyrë, bëhet një korrigjim për lidhjen lineare ndërmjet ndryshores së varur dhe kondryshores

(covariate-ndryshore e përbashkët). Në fund të kësaj, reduktohet gabimi variancor dhe mund të

zbulohen dallimet ndërmjet grupeve duke pasur parasysh dallimet e tjera ndërmjet të dhënave.

Analiza e kovariancës, ul gabimin e variancës përderisa arrin të marr nën kontroll

ndryshimin në ndryshoren e varur e cila ndikon të gjithë grupin.

Ashtu si në analizën e variancës, edhe në analizën e kovariancës gjenden ndryshoret e

varura dhe të pavarura por si shtim i këtyre ndryshoreve u bashkangjiten edhe një apo më shumë

ndryshore tjera. Këto ndryshore të cilat bashkangjiten quhen “kondryshore (covariate)”.

Shkurtimisht, në analizën e kovariancës gjendet vetëm një ndryshore e varur dhe disa ndryshore

të pavarura dhe kondryshore.

Analiza e kovariancës përdoret si një pjesë përbërëse e teknikave të analizës së variancës

“Një Drejtimshe” (one-way), “Dy Drejtimshe” (two-way) dhe “Shumë Ndryshoresh”

(multivariate). Numri i ndryshoreve të përdorura në analizën e kovariancës një dhe dy drejtimshe

është në këtë mënyrë:

ANCOVA Një Drejtimshe: një ndryshore e pavarur, një ndryshore e varur, një apo më

shumë kondryshore

ANCOVA Dy Drejtimshe: dy ndryshore të pavarura, një ndryshore e varur, një apo më

shumë kondryshore.

199

1. AVANTAZHET E APLIKIMIT TË ANALIZËS SË KOVARIANCËS

Aplikimi i analizës së kovariancës ka shumë dobi. Këto mund t’i rendisim në këtë mënyrë:

Analiza e kovariancës redukton gabimin variancor, në këtë mënyrë rritet vlera F dhe rritet

fuqia e modelit.

Regresionet ndërmjet grupeve të ndryshme janë të barabarta.

Po ashtu, analiza e kovariancës është shumë e dobishme në rastet kur madhësia e mostrës

është e vogël apo ndikimi i madhësisë është i vogël.

2. FUSHAT E PËRDORIMIT TË ANALIZËS SË KOVARIANCËS Analiza e kovariancës, në përgjithësi, mund të përdoret në të gjitha fushat dhe problemet ku

përdoret analiza e variancës. ANCOVA, në mënyrë bazike, hulumton se a ekziston ndonjë dallim

i rëndësishëm statstikor ndërmjet grupeve. Dallimi i ANCOVA prej ANOVA është përfshirja e

llojit të tretë të ndryshores në setin e ndryshoreve të pavarura dhe të varura, pra kondryshores.

Për shembull, duke i ndarë në 3 grupe punonjësit e një firme, dëshirohet të shqyrtohet se a

ekziston ndonjë dallim për nga aspekti i shumës së prodhimit të produkteve të punonjësve

ndërmjet grupeve. Mirëpo, shuma e prodhimit për punonjësit ndryshon në lidhje me përvojën

dhe specializimin e tij. Prandaj, për të bërë një analizë sa më të saktë, përvoja (p.sh. numri i

viteve të punimit) duhet të futet si kondryshore në model. Në këtë mënyrë, pasi të eleminohen

dallimet që burojnë nga përvoja dhe specializimi, mund të bëhet një parashikim më i saktë.

Apo, në qoftë se 3 grupe përbëhen nga kuajt garues, dëshirohet të shqyrtohet se a ekziston

dallim për nga aspekti i shpejtësisë së vrapimit ndërmjet grupeve. Mirëpo, shpejtësia e një kali

garues ndryshon në lidhje me moshën e tij. Prandaj, mosha e kuajve garues duhet të përfshihet në

model si një kondryshore, në këtë mënyrë eleminohet dallimi që buron nga mosha, zvogëlohet

gabimi i modelit dhe do të jetë bërë një analizë më e saktë.

ANCOVA përdoret edhe për të barazuar grupet, në qoftë se grupet për çfarëdo arsye nuk

janë të barabarta. Për shembull, gjatë krahasimit të metodave të ndryshme të arsimit të përdorura

si të dhënat për studentët e zgjedhur jorastësisht, ekziston një dallim i njohur që në fillim

ndërmjet grupeve, si p.sh. zgjuarsia. Në këtë rast, gjatë krahasimit të klasëve, IQ duhet të futet në

model si kondryshore dhe përpara se të krahasohen mesateret e grupeve, duhet të eleminohet

ndikimi i intelegjencës.

ANCOVA mund të përdoret edhe në rastet kur mostra e rastësishme nuk është e

suksesshme. Për shembull, në mostrat e vogla grupet mund të mos jenë të barabarta edhe në

qoftë se është bërë mostër e rastësishme. Në këtë rast, duke përdorur ANCOVA ky problem

mund të eleminohet.

200

3. SUPOZIMET E ANALIZËS SË KOVARIANCËS

Që analiza ANCOVA të jetë e vlefshme dhe të mund të interpretohet, duhet që të

përmbushen disa supozime. Këto supozime janë:

Grupet:

Grupet duhet të jenë të pavarura prej njëra-tjetrës.

Variancat e grupeve duhet të jenë të barabarta, pra konstante. Me fjalë të tjera, duhet të

sigurohet homogjeniteti i variancave, pra, nuk duhet të jetë variancë e cila ndryshon.

Koeficientët e regresionit brenda grupeve duhet të jenë të barabartë.

Ndryshorja e varur:

Ndryshorja e varur duhet të jetë intervalore apo proporcionale. Përsëri, ndryshorja e varur

duhet të ndjek shpërndarjen normale apo duhet të jetë afër normales.

Kondryshorja:

Kondryshorja duhet të jetë në formën intervalore apo propocionale. Ndryshoret nominale

nuk mund të përdoren si kondryshore. Po ashtu, kondryshorja duhet të përzgjidhet me

shumë kujdes. Sidomos, duhet kuptuar mirë teoria në lidhje me atë çështje dhe duhet

siguruar se është e nevojshme përfshirja e asaj kondryshoreje në model. (Në këtë pikë,

është e dobishme që të shikohen punimet e bëra në lidhje me këtë çështje.)

Ndryshorja(et) e zgjedhur(a) duhet të jetë(në) e(të) besueshme, pra duhet të jetë e matur

në një mënyrë të pagabuar sepse ANCOVA supozon se kondryshorja është matur

pagabime dhe në mënyrë plotësisht të saktë.

Në qoftë se do të përdoren më shumë se një kondryshore, nuk duhet të ekzistojë

korrelacion i fortë ndërmjet kondryshoreve të zgjedhura. Në qoftë se ekziston një

korrelacion në shkallë të lartë (r=0,8 dhe më lartë), duhet që të nxirret një apo më shumë

kondryshore.

Kondryshorja dhe ndryshorja e pavarur duhet të jenë brenda një marrëdhënie të drejtë

lineare. Në qoftë se nuk ekziston marrëdhënie lineare ndërmjet kondryshores dhe

ndryshores së varur, nuk mund të mirret rendimenti i dëshiruar nga analiza. Me fjalë të

tjera, mospërfillja e këtij supozimi, zvogëlon fuqinë e testit sepse në një rast të këtillë

gabimi i variancës mund të ulet shumë pak. Ky test është efektiv në rastet kur

korrelacioni ndërmjet kondryshores dhe ndryshores së varur është më i lartë se 0,30. Një

marrëdhënie sa më e fortë lineare mundëson rezultate më të fuqishme të ANCOVA. Në

qoftë se marrëdhënia ndërmjet kondryshores dhe ndryshores së varur nuk është lineare,

mund aplikohet testi ANOVA i ndryshores së pavarur. Një zgjedhje tjetër për sigurimin e

marrëdhënies lineare është konvertimi matematikor i ndryshoreve. Për testimin e

linearitetit të marrëdhënies ndërmjet ndryshores së varur dhe kondryshores, mund të

përdoret diagrami i shpërndarjes (scatterplot). (Për t’a bërë këtë në SPSS, zgjedhet

menyja Graphs Scatter. Pastaj zgjedhet Simple Define. Në pjesën e boshtit Y

201

vendoset ndryshorja e varur, në boshtin X kondryshorja, në pjesën Set markers by

ndryshorja e pavarur dhe shtypet butoni OK.)

Fuqia dhe drejtimi i lidhjes ndërmjet kondryshores dhe ndryshores së varur duhet të jetë e

ngjashme në çdo grup. Kjo situatë njihet si “homogjeniteti i regresionit të grupeve”. Me

fjalë të tjera, nuk duhet të kete ndikim të ndryshores së pavarur mbi lidhjen ndërmjet

kondryshores dhe ndryshores së varur. Pra, kondryshorja duhet të ketë të njëjtin ndikim mbi

ndryshoren e varur të grupeve. Në figurën 1, është paraqitur regresioni në rastet e kur është

homogjen dhe në rastin e kundërt, kur nuk është.

Figura 1: Homogjeniteti i Regresionit

4. Shembull Aplikimi

4.1. Hyrja e të Dhënave dhe Testimi i Supozimeve

Në lidhje me lëndën e matematikës, ekzistojnë 3 metoda të ndryshme të shpjegimit,

kërkohet të testohet a ekziston ndonjë dallim ndërmjet këtyre metodave për nga aspekti i suksesit

të studentëve. Për këtë qëllim, me ndihmën e 9 studentëve janë formuar 3 grupe dhe janë

aplikuar metoda të ndryshme në secilin grup. Mirëpo, zgjuarsia (shkathtësitë) e studentëve në

matematikë ndikon në suksesin e mësimit. Prandaj, parimisht për të matur intelegjencën

matematikore të studentëve përpara se të fillohet me analizën, është aplikuar një test i

intelegjencës. Ndryshoret e modelit janë në këtë mënyrë:

Ndryshorja e varur: Notat e realizuara të studentëve nga provimi i matematikës

Ndryshorja e pavarur: Grupet

Kondryshorja: Shkalla e intelegjencës së studentëve (Rezultatet e testit të aplikuar të

intelegjencës).

202

Hapi 1: Hyrja e të Dhënave në SPSS

Pasi të futen të dhënat në SPSS, përpara se të bëhet analiza e kovariancës duhet të

testohet siguria e supozimeve të nevojshme në mënyrë që analiza e kovariancës të jetë e

vlefshme. Këto supozime janë supozimet e homogjenitetit të regresionit dhe homogjenitetit të

variancave. Për t’a bërë këtë, realizohen këto funksione me radhë:

Analyze General Linear Model Univariate.

Hapi 2: Menyja Filluese e Analizës së Kovariancës

Në dritaren e hapur duhet të bëhet njohja e ndryshoreve. Këtu; në pjesën Dependent

Variable bartet ndryshorja e varur (nota_provimit), në pjesën Fixed Factor(s) baret

ndryshorja e pavarur (grupi) dhe në pjesën Covariate(s) bartet kondryshorja (aftësia).

203

Hapi 3: Dritarja e Analizës së Kovariancës

Më vonë në këtë dritare klikohet në butonin “Model”. Në dritaren e hapur të Modelit në

fillim, nga pjesa Specify Model përzgjedhet Custom. Pastaj, nga ndryshoret në anën e majtë

zgjedhet grupi dhe në pjesën Build Terms klikohet shenja ok, më vonë, duke përzgjedhur aftësia

përsëritet funksioni dhe në fund përzgjedhen së bashku grupi dhe aftësia dhe duke klikuar në

butonin Continue mbyllet dritarja.

204


Më vonë duke klikuar në butonin “Options” hapet Dritarja e Përzgjedhjeve. Në këtë sektor,

nën pjesën Factor(s) and Factor Interactions e cila gjendet nën Estimates Marginal Means,

duke përzgjedhur ndryshoren e pavarur (grupi) klikohet shenja ok dhe transferohet në pjesën

Display Means for. Etiketohet përzgjedhja Compare main effects dhe nga pjesa Confidence

interval adjustment përzgjedhet Bonferroni. Së fundi, në pjesën Display bëhen etiketimet e

treguara më poshtë dhe duke klikuar me radhë Continue dhe OK bëhet realizimi i analizës.

205


Rezultatet e përfituara dhe daljet e SPSS-it pas analizës së bërë janë dhënë më poshtë.



Dependent Variable: Nota_provimit

Grupi Mean Std. Deviation N

1.00 4.3333 1.52753 3

2.00 8.3333 1.52753 3

3.00 11.3333 1.15470 3

Total 8.0000 3.27872 9

206

Tabela 2: Testi Levene



F df1 df2 Sig.

1.330 2 6 .333

Tests the null hypothesis that the error variance of

the dependent variable is equal across groups.

a. Design: Intercept + Grupi + Aftësia + Grupi *

Aftësia

Tabela 3: Testi i Bashkëveprimit Ndërmjet Subjekteve



Source

Type III Sum of


Corrected Model 84.905a 5 16.981 46.513 .005

Intercept 1.629 1 1.629 4.461 .125

Grupi 1.415 2 .708 1.938 .288

Aftësia 10.343 1 10.343 28.332 .013

Grupi * Aftësia .129 2 .065 .177 .846

Error 1.095 3 .365

Total 662.000 9

Corrected Total 86.000 8


Në tabelën e statistikave përshkruese (Descriptive Statistics) janë dhënë mesataret dhe

devijimet standarte të grupeve. Sipas kësaj, devijimet standarte janë të përafërta me njëra-tjetrën,

kurse ekzistojnë dallime të mëdha ndërmjet mesatareve të grupeve.

Përpara se të bëhet analiza e kovariancës, me ndihmën e rezultateve të përfituara, duhet të

testohen supozimet, homogjeniteti i variancave dhe nëse pjerrësia e kondryshores është e njëjtë

në mënyrë të arsyeshme me ndryshoren e varur. Nga këto supozime, për testimin e supozimit

“homogjeniteti i variancave” siç mund të përdoren grafiqet “varianca vs. mesatarja” apo

“devijimi standart vs. mesatarja”, po ashtu mund të përdoren edhe testet e hipotezave. Këtu është

përdorur testi Levene. Sipas rezultatit të Levene’s Test, vlera Sig. është 0,333 dhe për shkak që

kjo vlerë është më e madhe se 0,05, mund të thuhet se është siguruar supozimi i homogjenitetit të

variancave.

207

Sipas supozimit të dytë, duhet të përcaktohet nëse ndryshorja e varur (nota_provimit) është

e njëjtë në mënyrë të arsyeshme me pjerrësinë e kondryshores (aftësia). Për këtë, duhet të

shikojmë rreshtin Grupi*Aftësia në tabelën Test of Between-Subjects Effects. Në qoftë se ky

bashkëveprim është i rëndësishëm statistikisht, hipoteza “pjerrësia është e njëjtë për të dy grupet”

refuzohet. Sipas rezultateve në tabelë, vlera e përfituar Sig. është 0,846 dhe kjo vlerë ngaqë është

më e madhe se vlera 0,05 nuk është e rëndësishme statistikisht dhe pranohet hipoteza “pjerrësia

është e njëjtë për të dy grupet”. Me fjalë të tjera, pjerrësitë e regresionit janë të barabarta.

Për shpërndarjet tjera normale dhe supozimin e linearitetit, shikonin pjesën e supozimeve të

teknikave statistikore shumë ndryshoresh.

Në fund të analizës, pasi të kuptohet që supozimet janë të vlefshme, mund të kalohet në

analizën e kovariancës.

4.2. Aplikimi i Analizës së Kovariancës Për realizimin e analizës së kovariancës, ndiqen me radhë këta hapa:

Analyze General Linear Model Univariate.

Hapi 1: Menyja Filluese e Analizës së Kovariancës

Në dritaren e hapur duhet të bëhet njohja e ndryshoreve. Këtu; në pjesën Dependent

Variable baret ndryshorja e varur (nota_provimit), në pjesën Fixed Factor(s) baret

ndryshorja e pavarur (grupi) dhe në pjesën Covariate(s) bartet kondryshorja (aftësia).

208

Hapi 2: Dritarja e Analizës së Kovariancës

Më vonë në këtë dritare klikohet në butonin “Model”. Në dritaren e hapur të Modelit, nga

pjesa Specify Model përzgjedhet Full Factorial dhe shtypet butoni Continue.

209


Më vonë duke klikuar në butonin “Options” hapet Dritarja e Përzgjedhjeve. Në këtë sektor,

nën pjesën Factor(s) and Factor Interacions e cila gjendet nën Estimates Marginal Means,

duke përzgjedhur ndryshoren e pavarur (grupi) klikohet shenja ok dhe transferohet në pjesën

Display Means for. Etiketohet përzgjedhja Compare main effects dhe nga pjesa Confidence

interval adjustment përzgjedhet Bonferroni. Së fundi, në pjesën Display bëhen etiketimet e

treguara më poshtë dhe duke klikuar me radhë Continue dhe OK bëhet realizimi i analizës.

210


Rezultatet e përfituara dhe daljet e SPSS-it pas analizës së bërë janë dhënë më poshtë.




Grupi Mean Std. Deviation N

1.00 4.3333 1.52753 3

2.00 8.3333 1.52753 3

3.00 11.3333 1.15470 3

Total 8.0000 3.27872 9

211

Tabela 5: Testi i Bashkëveprimit Ndërmjet Subjekteve



Source

Type III Sum of


Partial Eta

Squared

Corrected Model 84.776a 3 28.259 115.401 .000 .986

Intercept 1.891 1 1.891 7.723 .039 .607

Aftësia 10.776 1 10.776 44.005 .001 .898

Grupi 26.587 2 13.294 54.288 .000 .956

Error 1.224 5 .245

Total 662.000 9

Corrected Total 86.000 8


Tabela 7: Vlerësimet e Parametrave

Parameter Estimates


Parameter B

Std.

Error t Sig.

95% Confidence Interval Partial Eta

Squared Lower Bound Upper Bound

Intercept 4.500 1.069 4.210 .008 1.752 7.248 .780

Aftësia .788 .119 6.634 .001 .483 1.094 .898

[Grupi=1.00] -4.897 .514 -9.537 .000 -6.217 -3.577 .948

[Grupi=2.00] -1.423 .469 -3.036 .029 -2.628 -.218 .648

[Grupi=3.00] 0a . . . . . .

a. This parameter is set to zero because it is redundant.

Tabela 7: Mesataret e Vlerësuara Margjinale

Estimates


Grupi Mean Std. Error



1.00 5.209a .315 4.400 6.018

2.00 8.684a .291 7.937 9.431

3.00 10.107a .340 9.232 10.982

212

a. Covariates appearing in the model are evaluated at the following

values: Aftësia = 7.1111.

Në tabelën 5, sipas nivelit të aftësisë së studentëve në matematikë, ekziston një dallim i

rëndësishëm ndërmjet mesatareve të notave të marra në provimin e korrigjuar të matematikës.

(Sepse vlerat Sig. të grupit dhe aftësisë janë 0,001 dhe 0,000) Me fjalë të tjera, ekziston një

marrëdhënie ndërmjet notave të marra në matematikë dhe aftësisë së studentëve në mësim.

Duke përdorur tabelën 4 dhe tabelën 7, në tabelën e re të përfituar (tabela 8) mesatarja e

notave të grupit të tretë duket e lartë, por kur niveli i aftësisë së grupeve në matematikë merret

nën kontroll, vërehet se ndodhin ndryshim në mesataret e grupeve. Kështuqë, mesatarja e notave

e korrigjuar e grupit të tretë lëviz në 10,1. Përkundër kësaj, mesataret e korrigjuara të grupit të

parë dhe të dytë rriten për 5,2 dhe 8,6 dhe si përfundim dallimet ndërmjet grupeve janë

zvogëluar.

Tabela 8: Mesataret e Grupeve dhe Mesataret e Korrigjuara

GRUPI N MESATARJA MESATARJA E KORRIGJUAR

1 3 4,3 5,2

2 3 8,3 8,6

3 3 11,3 10,1

A thua, dallimet ndërmjet mesatareve të korrigjuara ndërmjet grupeve a janë të

rëndësishme? Për këtë, kur shikojmë tabelën 9 (tabela e krijuar duke përdorur tabelat e

mësipërme), kuptohet se dallimi ndërmjet grupeve është i rëndësishëm. (Sepse vlera F është

kuptimplotë).

Tabela 9: Rëndësia e Dallimeve të Grupeve

BURIMI I

VARIANCËS

TOTALI I

KATRORËVE

MESATARJA E

KATRORËVE

F NIVELI I

RËNDËSISË

Aftësia 10,776 10,776 44,005 0,001

Grupi 26,587 13,294 54,288 0,000

213

9. REGRESIONI I THJESHTË LINEAR

214

REGRESIONI I THJESHTË LINEAR

Analiza e regresionit paraqet procesin e spjegimit të lidhjes ndërmjet një ndryshoreje të

varur dhe një të pavarur (regresioni i thjeshtë) apo lidhjen ndërmjet një ndryshoreje të varur dhe

më shumë se një ndryshoreje të pavarur (regresioni i ponderuar) me një barazim matematikor.

Në analizën e regresionit, në qoftë se lidhja ndërmjet ndryshoreve është lineare quhet

regresion linear dhe e kundërta quhet regresion jo linear. Në këtë libër, do të spjegohet vetëm

regresioni linear.

1. MODELI I REGRESIONIT TË THJESHTË LINEAR

y = β0 + β1x + ε

β0: ndërprerja në boshtin y në popullsi

β1: pjerrësia e popullsisë

ε: gabimi i rastësishëm

Këtu β0 dhe β1 janë parametrat e llogaritur të popullsisë. Mirëpo, për arsye se mund që të

mos merren në konsideratë ndryshoret e pavarura, është shtuar në model termi i gabimit ε që

tregon ndryshimin e rastësishëm të të dhënave.

Në qoftë se nuk dihet vlerat e β0 dhe β1 në praktikë, duke marrë një mostër nga popullsia

mund të prodhohen informatat e dëshiruara rreth parametrave të popullsisë. Në këtë rast

përdoren vijat e parashikuara b0 dhe b1.

ŷ = b0 + b1x

ŷ: vlera e parashikuar (vlerësuar)

2. PARAMETRAT E PARASHIKUARA (VLERËSUARA)

Në analizën e regresionit për gjetjen e parametrave përdoret teknika e katrorëve më të vegjël

(Least Squares Method). Qëllimi i kësaj është që të gjendet distanca e pikave të paraqitura në

diagramin e shpërndarjes (scatter diagram) dhe minimizimi total i tyre. Mirëpo, në analizën e

regresionit ngaqë ky funksion do të jetë gjithmonë zero, nuk përdoret për të gjetur vlerat e b0 dhe

b1.

∑(yi – ŷi) = 0

Në këtë rast, duke gjetur totalin e katrorit të gabimit (devijimi nga ekuacioni i regresionit),

krijojmë një funksion të ri.

215

min∑(yi – ŷi)2 = min∑(yi – b0 – b1xi)

2

Vlerat optimale b0 dhe b1 të cilat minimizojnë këtë funksion, do të jenë vlerat e parashikuara

të β0 dhe β1. Për të gjetur vlerat optimale të cilat e minimizojnë funksionin, sipas funksionit b0

dhe b1 është e mjaftueshme që të merren vlerat të cilat e bëjnë zero derivatin parcial.

⇒

(1)

⇒ (2)

xi: vlera e vrojtuar e ndryshores së pavarur, i = 1,2,...,n.

yi: vlera e vrojtuar e ndryshores së varur, i = 1,2,...,n.

x : mesatarja e ndryshores së pavarur

y : mesatarja e ndryshores së varur

n: numri total i vrojtimeve

3. Shembull Aplikimi Për të gjetur lidhjen ndërmjet shpenzimeve mujore të ushqimit dhe të ardhurave mujore për

person, janë pyetur 30 vetë në lidhje me të ardhurat e tyre mujore dhe shpenzimet që bëjnë për

ushqim dhe janë realizuar të dhënat e mëposhtme.


Nr. Shpenzimet për

ushqim (100 €)

Të ardhurat

(100 €)

Nr. Shpenzimet për

ushqim (100 €)

Të ardhurat

(100 €)

1 9 35 16 16 50

2 15 49 17 13 45

3 7 21 18 13 46

4 11 39 19 10 37

5 5 15 20 10 38

6 8 28 21 7 20

7 9 25 22 7 23

8 7 24 23 9 32

9 8 29 24 8 31

10 9 34 25 8 30

11 12 40 26 7 26

12 3 10 27 14 47

13 5 14 28 12 41

14 4 13 29 4 14

15 8 27 30 13 42

216

3.1. Formimi i Modelit dhe Parashikimi i Parametrave Modeli: y = β0 + β1x + ε

Barazimi i regresionit do të jetë kështu.

y = b0 + b1x

y = shpenzimet për ushqim

x = të ardhurat.

Duke përdorur formulat (1) dhe (2) b0 = 0,314 dhe b1 = 0,283 dhe modeli i regresionit linear

gjendet në këtë mënyrë ŷ = 0,314 + 0,283x.

3.2. Interpretimi i Parametrave Parametrat e regresionit b0 dhe b1 mund të komentohen në këtë mënyrë:

b0, është vlera mesatare e vlerësuar e ndryshores së varur kur x = 0. Në shembullin e më

lartë, kur b0 = 0,314 ka këtë kuptim: Shpenzimet e ushqimit të një personi do të jenë 31,4 € edhe

në qoftë se nuk realizon aspak të ardhura. (Notë: vlera b0 jo mund të shpreh një kuptim).

b1, është koeficienti i regresionit dhe paraqet ndryshimin e vlerësuar të vlerës y si rezultat i

ndryshimit të një njësie të x. Kur b1 është pozitive nënkupton që me rastin e rritjes së ndryshores

së pavarur x do të rrite edhe y (lidhje pozitive lineare). Në të njëjtën mënyrë në kur b1 është

negative, me rastin e rritjes së ndryshores së pavarur x, do të zvogëlohet y (lidhje negative

lineare). Sipas kësaj, në shembullin tonë, kur të ardhurat do të rriten për 1 €, shpenzimet e

ushqimit do të rriten për 28,3 cent.

4. PARASHIKIMI ME MODELIN E REGRESIONIT Duke përdorur ekuacionin e regresionit, për një vlerë të dhënë të x mund të gjendet vlera e

parashikuar e y, mirëpo madhësia e x mund të bëjë vlerësime më të mira ndërmjet vlerave

minimale dhe maksimale në setin e të dhënave. Në fakt, për gjetur vlerësime më të sakta duhet

që të krijohet modeli i regresionit (b1, b0) sa herë që të gjendet një e dhënë e re.

PYETJE: Në lidhje me shembullin e më lartë, sa do të jenë shpenzimet e parashikuara të

ushqimit të një personi i cili ka të ardhura prej 3500 €?

ŷ = 0,314 + 0,283x. = 0,314 + 0,283 (3500) => shpenzimet e parashikuara mujore të

ushqimit do të jenë = 990,814 €.

217

4.1. Shembull Aplikimi Përpara se të kalohet në analizën e regresionit të thjeshtë linear duhet të testohen supozimet

e shpërndarjes normale dhe lidhjes lineare (në analizën e regresionit të shumëfishtë shpërndarja

normale e shumë ndryshoreve). Ekzistimi i lidhjes lineare ndërmjet ndryshoreve mund të

shqyrohet përmes diagramit të shpërndarjes. (Për t’a bërë diagramin e shpërndarjes në SPSS

shkohet te menyja Graphs, Scatter. Më vonë zgjedhet Simpe, Define. Në boshtin y vendoset

ndryshorja e varur, në boshtin x vendoset ndryshorja e pavarur dhe klikohet OK. Pastaj mund të

vrojtohet se a ekziston lidhje lineare).

Rreth shpërndarjes normale shikoni kapitullin përkatës në libër.

Për t’a bërë analizën e regresioni të thjeshtë linear përzgjedhen me radhë Analyze,

Regression, Linear. Pasi të vendosen ndryshorja e varur dhe e pavarur dhe të jetë zgjedhur

metoda e dëshiruar klikohet OK dhe do të përfitohen rezultatet e mëposhtme.

Hapi 1: Menyja e Regresionit të Thjeshtë Linear

218

Hapi 2: Dritarja e Regresionit të Thjeshtë Linear

Hapi 3: Dritarja e Statistikave

219

4.2. Të Dalurat nga SPSS dhe Interpretimi

Tabela 2: Përmbledhje e Modelit

Model Summaryb

Model R R Square

Adjusted R

Square

Std. Error of the

Estimate Durbin-Watson

1 .975a .950 .949 .75869 1.863

a. Predictors: (Constant), të_ardhurat

b. Dependent Variable: ushqimet

Në tabelë është dhënë vlera e R2. Vlera e gjetur këtu është 0,950. Sipas këtij rezultati, 95% e

ndryshimit në ndryshoren e varur shpjegohet nga ndryshorja e pavarur e përfshirë në model. Me

fjalë të tjera, pjesa e ndryshimit prej 95% në shpenzime shpjegohet nga ndryshimi në të ardhura.

Në tabelën 3, vlerë me rëndësi e cila duhet të interpretohet është vlera F e cila tregon

rëndësinë e modelit dhe vlera Sig. e cila tregon nivelin e rëndësisë. Në qoftë se vlera e F-së është

e rëndësishme, mund të vijmë në përfundim se modeli statistikisht është plotësisht i rëndësishëm.

Modeli jonë i cili shpejgon shpenzimet me të ardhurat është një model i rëndësishëm.


ANOVAa

Model Sum of Squares df Mean Square F Sig.

1 Regression 308.849 1 308.849 536.555 .000b

Residual 16.117 28 .576

Total 324.967 29

a. Dependent Variable: ushqimet

b. Predictors: (Constant), të_ardhurat

Dhe në tabela e fundit të cilën do t’a interpretojmë janë vlerat e parashikuara të

koeficientëve të modelit dhe vlerat e t-së në lidhje me këto. Sipas tabelës 4, një rritje e 1 njësie

në të ardhura, do të rrit shpenzimet totale të konsumit për 0,283 njësi. Vlerat e t-së në lidhje me

këtë koeficient janë të rëndësishme në çdo nivel (Sig. = 0,000) dhe prandaj koeficienti i

ndryshores së të ardhurave është i rëndësishëm statistikisht.

220

Tabela 4: Parashikimet e Parametrave

Coefficientsa

Model

Unstandardized Coefficients

Standardized

Coefficients

t Sig. B Std. Error Beta

1 (Constant) .314 .401 .783 .440

të_ardhurat .283 .012 .975 23.164 .000

a. Dependent Variable: ushqimet

Për t’a përmbledhur, rezultati i parashikimit të modelit është si më poshtë:

ŷ = 0,314 + 0,283x

Këtu y paraqet shpenzimet e konsumimit dhe x të ardhurat.

221

10.MODELI I REGRESIONIT TË

SHUMËFISHTË LINEAR

222

MODELI I REGRESIONIT TË SHUMËFISHTË LINEAR

Modeli i regresionit të thjeshtë linear mund të jetë i përshtatshëm për shumë situata, por në

jetën reale për të spjeguar shumë modele mund të ketë nevojë për dy apo më shumë ndryshore

shpjeguese. Modelet me më shumë se një ndryshore shpjeguese quhen modeli i regresionit të

shumëfishtë linear.

1. MODELI

ε shpreh se modeli është stokastik dhe përfshin vlerat të cilat nuk janë të përfshira në model.

Në të njëjtë kohë, pasqyron gabimin e rastësishëm gjatë spercifikimit të ndikimit në model.

Supozimet e modelit të regresionit të shumëfishtë linear janë si më poshtë:

1. Shpërndarja normale.

2. Lineariteti.

3. Mesatarja e gabimit të rastësishëm ëshët zero.

4. Variancë konstante.

5. Jo autokorrelacion.

6. Mos ekzistimi i lidhjeve të shumta ndërmjet ndryshoreve të pavarura.

2. TESTIMI I HIPOTEZAVE NË MODELIN E REGRESIONIT TË SHUMËFISHTË

LINEAR Teksa hipoteza H0 në modelin e regresionit të shumëfishtë linear krijohet në formën se të

gjithë koeficientët e regresionit janë të barabartë me zero (H0: β1 = β2 = ... = βp = 0), hipoteza HA

krijohet në formën se së paku një βi është e ndryshme nga zero. Për të testuar statistikisht

rëndësinë e parametrave veç e veç përdoret testi t dhe për të testuar modelin se a është i

rëndësishëm si i tërë përdoret testi F.

Modeli i Regresionit të Thjeshtë Linear: y = β0 + β1x + ε,

Modeli i Regresionit të Shumëfishtë Linear: y = β0 + β1x1 + ... + β1x1 + ε

Y ndryshorja e varur

Xi ndryshorja e pavarur

βi parametra e vlerësuar

ε gabimi i rastësishëm

223

3. KOEFICIENTI I PËRCAKTIMIT

Koeficienti i determinimit (R2) tregon se sa përqind e ndryshores së varur shpjegohet nga

ndryshorja e pavarur e përfshirë në model. Vetëm se ajo çfarë duhet të kihet kujdes në modelin e

regresionit të shumëfishtë është se koeficienti i përcaktimit rritet me rritjen e numrit të

ndryshoreve të përfshira në model. Në raste të këtilla, duhet të kontrollohet koeficienti i

rregulluar i përcaktimit (Adjusted R2).

4. ZGJEDHJA E NDRYSHOREVE TË MODELIT Lidhja ndërmjet ndryshores së pavarur dhe ndryshores së varur mund të shpjegohet më mirë

me rritjen e numrit të ndryshoreve. Mirëpo, për arsye se rritja e numrit të ndryshoreve kërkon

matje shtesë, është një punë e vështirë dhe e kushtueshme. Prandaj, qëllimi duhet të jetë që me sa

më pak ndryshore të shpjegohet varianca totale.

Me rastin e shtimit në model, ekzistojnë rrugë të ndryshme për të përcaktuar apo zgjedhur

ndryshoret të cilat sigurojnë rritje të rëndësishme në shpjegimin e variancës të ndryshores së

varur. Rëndësia e zgjedhjes së ndryshoreve rritet në rastet kur ekzistojnë dy apo më shumë

ndryshore të pavarura. Metodat të cilat përdoren më së shpeshti në zgjedhjen e ndryshoreve janë:

1. Metoda Enter

2. Funksioni i Shtimit të Ndryshoreve (Forward Selection)

3. Funksioni i Eliminimit të Ndryshoreve (Backward Selection)

4. Funksioni i Shtimit dhe Eleminimit të Ndryshoreve (Stepwise Selection)

4.1. Metoda Enter Në metodën Enter, hulumtuesi i përcakton ndryshoret e pavarura të cilat e përbëjnë

modelin. Pas kësaj, vlerësohet suksesi i parashikimit të ndryshoreve të varura të modelit. Në

qoftë se një ndryshore e pavarur nuk mendohet të jetë më e rëndësishme se një tjetër, atëherë

përdoret ky model. Ashtu siç shtohet çdo ndryshore në model ashtu vlerësohet edhe kontributi i

secilës ndryshore. Në qoftë se ndryshorja e shtuar nuk e rrit fuqinë e parashikimit të modelit,

atëherë nuk ka problem në qoftë se nxirret nga modeli.

4.2. Metoda e Shtimit të Ndryshoreve (Forward Selection) SPSS në metodën e përzgjedhjes Forward, i vendos me radh ndryshoret sipas fuqisë së

korrelacionit me ndryshoren e varur. Matet ndikimi i secilës ndryshore të futur në model dhe

ndryshoret të cilat nuk ndikojnë në mënyrë të konsiderueshme nxirren nga modeli.

224

4.3. Funksioni i Elemnimit të Ndryshoreve (Backward Selection) Me metodën Backward Selection, SPSS i përfshin të gjitha ndryshoret në model.

Ndryshorja e pavarur më e dobëta nxirret nga modeli dhe llogaritet përsëri regresioni. Në qoftë

se në kërë rast modeli dobësohet në mënyrë të konsiderueshme, ndryshorja e pavarur shtohet

prap në model, në qoftë se dobësia nuk është në masë të konsiduerueshme, ndryshorja e varur

largohet nga modeli. Ky proces përsëritet deri sa në model të mbesin vetëm ndryshoret e

dobishme të pavarura.

4.4. Metoda e Shtimit dhe Largimit të Ndryshoreve (Stepwise

Selection) Me metodën Stepwise, çdo ndryshore futet me radhë në model dhe pastaj modeli vlerësohet.

Në qoftë se ndryshorja e shtuar ofron kontribut, kjo ndryshore qëndron në model. Mirëpo, për të

vlerësuar se të gjitha ndryshoret e tjera a japin kontribut në model, bëhet testimi përsëri. Në qoftë

se nuk japin kontribut në masë të konsiderueshme, nxirren nga modeli. Në këtë mënyrë, me

ndihmën e sa më pak ndryshoreve bëhet shpjegimi i modelit.

5. Shembull Aplikimi Të supozojmë se një firmë dëshiron të zbulojë se çfarë ndikimi kanë shpenzimet e reklamës

dhe ndryshimi i çmimit të produktit në të ardhurat totale. Për këtë qëllim, më poshtë në tabelën 1

është dhënë seti i të dhënave në lidhje me të dhënat totale javore, shpenzimet e reklamës dhe

çmimet e produktit. Me rritjen e shpenzimeve të reklamës në çfarë masen rriten të ardhurat totale

apo të ardhurat totale në çfarë niveli janë të ndjeshme ndaj ndryshimit të çmimeve.

Në këtë situatë, modeli mund të shprehet si më poshtë.

Të ardhurat = α0 + β1 (reklama) + β2 (çmimi) + e

Tabela 1: Të Dhënat e Shembullit

NO TË ARDHURAT ÇMIMI REKLAMA

1 123,10 1,92 12,40

2 124,30 2,15 9,90

3 89,30 1,67 2,40

4 141,30 1,68 13,80

5 112,80 1,75 3,50

6 108,10 1,55 1,80

7 143,90 1,54 17,80

8 124,20 2,10 9,80

9 110,10 2,44 8,30

225

10 111,70 2,47 9,80

11 123,80 1,86 12,60

12 123,50 1,93 11,50

13 110,20 2,47 7,40

14 100,90 2,11 6,10

15 123,30 2,10 9,50

16 115,70 1,73 8,80

17 116,60 1,86 4,90

18 153,50 2,19 18,80

19 149,20 1,90 18,90

20 89,00 1,67 2,30

21 132,60 2,43 14,10

22 97,50 2,13 2,90

23 106,10 2,33 5,90

24 115,30 1,75 7,60

25 98,50 2,05 5,30

26 135,10 2,35 16,8

27 124,20 2,12 8,80

28 98,40 2,13 3,20

29 114,80 1,89 5,40

30 142,50 1,50 17,30

31 122,60 1,93 11,20

32 127,70 2,27 11,20

33 113,00 1,66 7,90

34 144,20 1,73 17,00

35 109,20 1,59 3,30

36 106,80 2,29 7,10

37 145,00 1,86 15,30

38 124,00 1,91 12,70

39 106,70 2,34 6,10

40 153,20 2,13 19,60

41 120,10 2,05 6,30

42 119,30 1,89 9,00

43 150,60 2,12 18,70

44 92,20 1,87 2,20

45 130,50 2,09 16,00

46 112,50 1,76 4,50

47 111,80 1,77 4,30

48 120,10 1,94 9,30

49 107,40 2,37 8,30

50 128,60 2,10 15,40

51 124,60 2,29 9,20

52 127,20 2,36 10,20

226

NOTË: Të dhënat janë marrë nga Griffiths dhe Judge “Undergraduate Econometrics”, John

Wiley & Sons Inc., 1997.

Pasi të futen të dhënat në SPSS, ndiqen këto faza: Analyze, Regression, Linear.

Hapi 1: Menyja e Regresionit të Shumëfishtë Linear

227

Hapi 2: Dritarja e Regresionit Linear

Për arsye se ndryshoret tona janë në numër të vogël, zgjedhja e metodës “Enter” do të jetë e

saktë.

Hapi 3: Pas kësaj klikohet në butonin Statistics dhe në vazhdim do të ndeshemi me ekranin

e mëposhtëm. Në këtë ekran përzgjedhen të dhënat që dëshirohet të sigurohen duke klikuar pranë

kutizave dhe pastaj klikohet butoni Continue. Për shembull, Estimates, tregon parametrat e

modelit, gabimin standart në lidhje me parametrat, vlerën e standardizuar të parametrave, vlerat e

t-së dhe nivelin e rëndësisë së t-së.

Collinearity diagnostics supozon se nuk ekziston lidhje lineare ndërmjet ndryshoreve të

pavarura të modelit të regresionit të shumëfishtë. Në situatat kur ekziston një lidhje e plotë

lineare është e pamundur që të parashikohen parametrat e modelit. Në lidhjet lineare afër të

plotës, parametrat teknikisht mund të parashikohen, por rezultatet nuk janë te besueshme. Për të

hulumtuar se a ekziston një problem i këtillë, përzgjedhjet kjo kutizë.

Confidence intervals paraqet intervalin e besueshmërisë 95% për çdo koeficient të

regresionit apo matricë të kovariancës.

228


Me ndihmën e Model fit listohen ndryshoret e shtuara dhe të nxjerra nga modeli dhe

analizohen R e shumëfishtë, R square, adjusted R square, devijimi i parashikuar standart dhe

tabela e variancës.

Përzgjedhja e R squared change njëjtë si përzgjedhja stepwise, është e dobishme atëherë

kur të zgjedhet ndonjë metodë statistikore. Tregon se si ndryshon fuqia e modelit kur një

ndryshore e pavarur të shtohet apo të largohet nga modeli.

Descriptives jep mesataren, devijimin standart dhe numri e vlefshëm të rasteve në analizë.

Part and partial correlations jep korrelacionet.

Koeficienti i Durbin Watson përdoret për të testuar autokorrelacionin. Vlerat ndryshojnë

prej 0 deri në 4. Vlera afër 0, tregojnë një korrelacion ekstrem pozitiv, vlerat afër 4 tregojnë një

korrelacion ekstrem negativ, vlerat afër dy-shit tregojnë se nuk ka autokorrelacion. Vlerat e

Durbin Watsonit preferohet të jenë prej 1,5 deri në 2,5. Autokorrelacioni pozitiv nënkupton se

gabimi standart i koeficientit b është shumë i vogël, kurse autokorrelacioni negativ nënkupton se

gabimi standart është shumë i madh.

Pasi të klikojmë në butonin Continue do të kthehemi te dritarja e Linear Regression. Duke

klikuar në butonin Plots, etiketohen grafiqet e dëshiruara. Përsëri në fund klikohet Continue.

229


Në dritaren Plots kuptimi i vlerave të cilat mund të vendosen në boshtet x dhe y është si më

poshtë:

ZPRED: Vlerat e parashikuara të standardizuara

ZRESID: Mbetjet e standardizuara (residual)

DRESID: Vlerat e fshira (residual)

ADJPRED: Vlerat e parashikuara të rregulluara

STRESID: Vlerat Studentized

SDRESID: Vlerat e fshira Studentized

Duke etiketuar pjesën e Histogram dhe Normal probability plot, mund të testojmë dy

supozimet e modelit të regresionit të shumëfishtë linear (supozimet e shpërndarjes së shumtë

normale dhe linearitetit).

Në dritaren e Linear Regression klikojmë në kutinë SAVE dhe do të hapet dritarja e

mëposhtme.

230

Hapi 5: Dritarja e Ruajtjes

Në pjesën Predicted Values mund të etiketohet një nga cilado zgjedhjet apo mund të

etiketohet zgjedhja e dëshiruar.

Unstandardized paraqet vlerën e parashikuar të modelit për ndryshoren e varur.

Standardized paraqet ndryshimin e vlerës së parashikuar nga vlera e mesatares.

Adjusted paraqet vlerën e parashikuar të rregulluar

S.E of mean predicitions paraqet gabimin standart të vlerës së parashikuar.

231

Distances

Përdoret për tri pika të analizave.

Mahalanobis paraqet distancën e Mahalanobisit. Vlerat e larta të kësaj distance tregojnë se

ndryshoret e pavarura kanë një apo më shumë vlera të veçanta (outliers).

Cook’s paraqet distancën e Cookit. Tregon se vlerat e koeficientëve do të ndryshojnë në

masë të konsiderueshme në fund të rezultateve të regresionit.

Leverage Values paraqet vlerat e qendrës leverage. Mat ndikimin e përshtatshmërisë së

regresionit mbi një pikë.

Prediction Intervals

Mean llogarit kufinjtë më të ulët dhe më të lartë të mesatares së parashikuar për intervalin e

parashikuar.

Individual paraqet kufinjtë më të ulët dhe më të lartë të intervalit të parashikuar të një

vrojtimit të vetëm.

Confidence Interval (Intervali i Besueshmërisë). Vlera e vlefshme për intervalin e

mesatares dhe individual është 95%. Për t’a bërë të pa vlefshme këtë vlerë, jepet një vlerë më e

madhe se 0 dhe më e vogël se 100. Për shembull, 99%.

Residual (Vlerat e mbetura)

Unstandardized paraqet dallimin ndërmjet vlerës së vrojtuar dhe asaj të parashikuar.

Standardized paraqet hersin e vlerës së parashikuar me devijimin standart. Këto vlera

njihen si Pearson residuals, mesatarja e tyre është 0 dhe devijimi standart është 1.

Studentized mbetjet studentized

Deleted paraqet dallimin ndërmjet vlerës së ndryshores së varur dhe vlerës së parashikuar

të rregulluar.

Studentized Deleted paraqet hersin ndërmjet mbetjes së fshirë dhe devijimit standart.

Influece Statistics (Statistikat e Ndikuara)

DfBeta (s) paraqet ndryshimin e krijuar në koeficientin e regresionit si rezultat i nxjerrjes së

një ndryshoreje të caktuar.

Standardized DfBeta (s) paraqet ndryshimin në vlerën e Betas, pra ndryshimin në

koeficientin e regresionit si rezultat i nxjerrjes së çfarëdo ndryshoreje.

232

DfFit paraqet ndryshimin në vlerën e parashikuar si rezultat i nxjerrjes së një ndryshoreje të

caktuar.

Standardized DfFit paraqet ndryshimin e vlerës së parashikuar si rezultat i nxjerrjes së

çfarëdo ndryshoreje.

6. Daljet e SPSS-it dhe Interpretimi Tabela 2: Statistikat Përshkruese


Mean Std. Deviation N

të_ardhurat 120.3231 16.31873 52

çmimi 2.0017 .26771 52

reklama 9.6615 5.11764 52

Tabela e parë është tabela të cilën e kemi përzgjedhur në pjesën e statistikave descriptives.

Kjo tabelë paraqet mesataren aritmetike dhe devijimin standart të ndryshoreve që i kemi

përfshirë në model.

Kurse tabela e dytë paraqet korrelacionet ndërmjet ndryshoreve. Në këtë pikë nuk dëshirohet

që të ketë korrelacion të fortë ndërmjet ndryshoreve të pavarura sepse në këtë rast kontributet e

ndryshoreve të pavarura në model janë shumë të përafërta njëra me tjetrën dhe qenia apo

mosqenia e ndryshoreve në model nuk e ndikon fuqinë e modelit. Në qoftë se korrelacioni

ndërmjet ndryshoreve të pavarura është 0,80 apo më lartë, ky rast tregon që ekziston problemi i

lidhjeve të shumëfishta. Në këtë rast, hulumtuesi duhet që të i nxjerr nga modeli disa ndryshore.

Tabela 3: Rezultatet e Korrelacionit

Correlations

të_ardhurat çmimi reklama

Pearson Correlation të_ardhurat 1.000 -.014 .925

çmimi -.014 1.000 .101

reklama .925 .101 1.000

Sig. (1-tailed) të_ardhurat . .461 .000

çmimi .461 . .237

reklama .000 .237 .

N të_ardhurat 52 52 52

çmimi 52 52 52

reklama 52 52 52

233

Tabela 4: Përmbledhje e Modelit

Model Summaryb

Model R

R

Square

Adjusted R

Square

Std. Error of the

Estimate

Change Statistics

Durbin-

Watson

R Square

Change

F

Change df1 df2

Sig. F

Change

1 .931a .867 .862 6.06961 .867 159.828 2 49 .000 2.041

a. Predictors: (Constant), reklama, çmimi

b. Dependent Variable: të_ardhurat

Tabela e përmbledhjes së modelit (Tabela 4) është një tabelë me rëndësi. R Square na

tregon sa % e ndryshores së varur shpjegohet nga ndryshoret e pavarura. Në shembullin tonë,

86,7% e ndryshimit në ndryshoren e varur shpjegohet nga ndryshoret e çmimit dhe të

shpenzimeve të reklamës. Kurse pjesa e mbetur prej 13,3% shpjegohet nga ndryshoret të cilat

nuk janë përfshirë në model me anë të gabimit të rastësishëm. Kur të rritet numri i ndryshoreve të

pavarura në model (ndryshoret e shtuara le të jenë çfarëdo) rritet edhe R2. Për këtë arsye duhet të

shikojmë Adjusted R2 sepse Adjusted R

2 rritet vetëm nëse ndryshore janë në lidhje me modelin.

Përsëri nga tabela një test me rëndësi është testi Durbin-Ëatson i cili tregon se a ekziston

autokorrelacion në modelin tonë. Zakonisht, vlerat e testit të Durbin Ëatson rreth 1,5 – 2,5

tregojnë se nuk ekziston autokorrelacion.


ANOVAa

Model Sum of Squares df Mean Square F Sig.

1 Regression 11776.184 2 5888.092 159.828 .000b

Residual 1805.168 49 36.840

Total 13581.352 51

a. Dependent Variable: të_ardhurat

b. Predictors: (Constant), reklama, çmimi

Tabela e ANOVA-së është e dobishme për të testuar rëndësinë e modelit si të tërë. Vlera e

F-së në tabelë prej 159,828, tregon se modeli jonë është i rëndësishëm në çdo nivel si i tërë (Sig.

= ,000).

234

Tabela 6: Tabela e Koeficientëve

Në tabelën 6, janë të shfaqura vlerat e parametrave të rezultateve të parashikuara të modelit

dhe vlerat e t-së në lidhje me këto. Vlerat statistikore të parametrave mund të i shohim për

secilën ndryshore veç e veç se janë të rëndësishmë (në nivelin e rëndësisë 5%). Më lartë teksa

bëmë fjalë për vlerën e F-së e cila përdorej për të testuar rëndësinë e modelit si të tërë, statistika e

t-së përdoret për të testuar rëndësinë e ndryshoreve veç e veç.

Siç shihet nga tabela, vlera konstante është gjetur për 104,786. Kuptimi i kësaj është se edhe

në qoftë se shpenzimet e çmimit dhe të reklamës do të jenë zero, firma do të përfitojë një të

ardhur prej 104,79 njësish. Parametri i çmimit është -6,642. Rritja e një njësie në çmim do të

zgoëlojë të ardhurat totale për 6,642 njësi. Ndryshe nga kjo, rritja e një njësie në shpenzimet e

reklamës do të rrisë të ardhurat totale për 2,98 njësi.

Nga tabela statistika tjera me rëndësi të etiketuara nga pjesa collinearity diagnostics nga

dritarja “STATISTICS” janë vlerat e tolerancës dhe VIF-it të cilat tregojnë se a ekziston

problemi i lidhjeve të shumëfishta. Vlerat e ulëta të tolerancës dhe vlerat e larta të VIF tregojnë

se ekzistojnë lidhje të shumëfishta ndërmjet ndryshoreve të pavarura.

Nga tabela në pjesën standardized coeffiecients Beta tregon rendin e rëndësisë së

ndryshoreve të pavarura. (Mos e merrni në konsideratë shenjën e Beta-së.) Ndryshorja me vlerën

më të lartë të Beta-së është ndryshorja më e rëndësishme e pavarur.

Pasi të jenë parashikuar parametrat e modelit, vlerat e parashikuara të ndryshores së varur

dhe vlerat e gabimit të rastësishëm mund të i llogarisim edhe në SPSS. Në figurën e mëposhtme,

në fund të analizës janë shtuar vlerat e parashikuara të ndryshores së varur, vlerat e

standardizuara dhe vlerat e rregulluara në setin e të dhënave. Në këtë mënyrë ofrohet mundësia

për të i krahasuar vlerat e vrojtuara dhe vlerat e realizuara. Për shembull, teksa vlera e vrojtuar e

të ardhurave totale në javën e parë është 123,10, vlera e parashikuar e të ardhurave totale është

gjetur për 129,03. Kurse dallimin ndërmjet vlerës së vrojtuar dhe vlerës së realizuar e jep gabimi

i rastësishëm.

235

Figura 1: Vlerat e Parashikuara, Standardizuara dhe Rregulluara

Ndryshorja e varur Vlerat e parashikuara e rregulluar Vlerat e parashikuara

të standardizuara

236

11.MODELI REGRESIONIT PROBIT

(PROBIT REGRESSION MODELS)

237

MODELI I REGRESIONIT PROBIT (PROBIT REGRESSION

MODELS)

1. HYRJE Modelet kategorike të varura apo të cilat përbëhen prej përgjigjjeve si po-jo, i suksesshëm-

pasuksesshëm dhe që kodohen (dichotomous) me 0 dhe 1, quhen modele ndryshoresh të varura

bipolare. Për vlerësimin e këtyre modeleve përdoren çasje të ndryshme si Probabiliteti Linear,

Logit (logjistik) dhe Probit.

Analiza Probit është një model që përdoret si alternativë e regresionit logjistik (logistic

regression). Këto analiza janë të përngjashme me njëra-tjetrën dhe vlerësimet e probabilitetit të

secilës metodë janë të përafërta. Përderisa në analizën e regresionit logjistik përdoren log odd

(bastet), në analizën probit përdoret shpërndarja normale kumulative (cumulative normal

distribution).

Supozimi i analizës probit gjendet nga funksioni response Yi* = α + βXi + ui. Këtu, Xi ësntë

ndryshore e cila mund të vrojtohet, por Yi* ndryshore e cila nuk mund të vrojtohet. Kurse në

aplikim, vlera e vrojtuar është Yi. Në qoftë se Yi>0, Yi=1, përndryshe merr vlerën Yi=0. Këtë

mund t’a shprehim si më poshtë:

Në qoftë se Yi=1, α + βXi + ui > 0

Në qoftë se Yi=0, α + βXi + ui ≤ 0.

Në qoftë se për ndryshoren e standardizuar normale z, (z) e njohim si funksion të

shpërndarjes normale kumulative, pra, në qoftë se (z) = P(Z ≤ z), atëherë

P(Yi = 1) = P (ui > –α – βXi) = 1 - (

)

P(Yi = 0) = P (ui ≤ –α – βXi) = (

)

(Burimi: Ramanathan, Ramu, Introductory Econometrics ëith applications 4th edition)

Në rastin kur në modelin probit gjenden më shumë se një ndryshore e pavarur:

Pr (Y = 1 / X) = (Xβ).

Kjo vlerë shpreh mundësinë e ndryshores së varur (response) Y të jetë 1, kur jepet vektori i

ndryshores së pavarur X.

Këtu, është shpërndarja normale standarde e probabilitetit. Xβ quhet rezultati apo

indeksi probit dhe ndjek shpërndarjen normale. Koeficienti probit β shpreh rritjen e devijimit

238

standart β (standard deviation) të një njësie të vlerësuar në rezultatin probit (në vlerën standarte

z).

Funksioni log-mundësisë (log-likelihood) i modelit probit:

ln L = ln (xjb) + ln(1 (xjv)).

Këtu ëj është vlera vlera peshuese e cila do të largoj ndryshueshmërinë e variancës gabim në

model.

Ekzistojnë dy arsye pse modeli logjistik është më i njohur se modeli probit; interpretimi i

normave të probabilitetit (odds rations) të koeficientëve logjistik eksponencial dhe përdorimi i

regresionit logjistik më shumë si mjet diagonstik i modelit.

Analiza probit në SPSS edhe pse është rregulluar kryesisht për përgjigjjet e shumës së

dozave (dose-response) të njësive të aplikuara në eksperimentet e bëra në fushën e mjekësisë,

ajo mund të përdoret edhe për qëllime më të gjera. Analiza probit siguron mundësi për

vlerësimin e ndikimit të ndryshores së pavarur të nevojshme për të arritur në një nivel të caktuar

të ndryshores së varur (response), për shembull, mund të kërkohet vlerësimi i shumës së dozës së

ndikimit të mediave në një hulumtim. Të shqyrtojmë shembullin e mëposhtëm në lidhje me këtë.

SHEMBULL: Me analizën probit mund të hulumtohet se një helm i prodhuar për insekte sa

do të ndikojë në milingona dhe sa duhet të jetë shuma (doza) e nevojshme e ilaçit për t’u

përdorur. Për një studim të këtillë duhet të përgatitet një eksperiment. Në këtë eksperiment

krijohen grupet e mostrave (milingonat) mbi të cilat do të aplikohen doza të ndryshme të

përzierjes së ilaçit dhe pasi të jetë aplikuar doza mbi secilin grup ruhet numri i secilës milingonë

të ngordhur nga ndikimi i ilaçit. Me aplikimin e analizës mbi setin e përfituar të të dhënave,

ashtu siç mund të përcaktojmë fuqinë e lidhjes ndërmjet nivelit të ngordhjes së milingonave nga

doza e ilaçit, mund të përcaktojmë edhe shumën e dozës së nevojshme për vdekjen e

milingonave në një nivel të caktuar (p.sh., 95% e milingonave janë ndikuar nga ky ilaç).

2. ANALIZA PROBIT NË SPSS Për të aplikuar analizën probit në SPSS zgjedhet Analyze Regression Probit. Pasi të

hapet dritarja Probit Analysis bëhet njohja e ndryshoreve. Klikohet butoni OK dhe kryhet analiza

probit.

Fazat e aplikimit të analizës probit në programin SPSS janë si më poshtë:

239

Hapi 1: Menyja Filluese e Analizës Probit

240

Hapi 2: Dritarja e Analizës Probit

Response Frequency: Është ndryshorja e varur e koduar me 0 apo 1, ndryshe quhet edhe

‘reponse count’.

Total Observed: Kjo ndryshore është ndryshore e cila i ka të gjitha vlerat 1. Përmes

komandës Compute e cila gjendet në alternativën Transform mund të krijohet një ndryshore e re

e cila i ka të gjitha vlerat 1 (e barabartë me numrin e vrojtimeve). Probit përdoret për të

llogaritur nivelet e kësaj ndryshore të pavarur të vlerave 0 dhe 1.

Factor: Është ndryshore e pavarur kategorike. Mund të përzgjedhet sipas dëshirës. Në qoftë

se është përcaktuar një faktor, probit nivelet faktoriale të kësaj ndryshore i merr si të rreme

(dummy) në model. Në qoftë se është njohur çfarëdo ndryshore kategorike, përmes komandës

Degine range bëhet njohja e niveleve minimale dhe maksimale të ndryshores.

Covariate(s): Është alternativa e cila njeh ndryshoren e pavarur të vazhdueshme

(continues) e cila gjendet së paku një ndryshore e këtillë që shpjegon ndryshoren e varur në

model.

241

Transform: Mund të bëhen analiza me dryshoret e pavarura në SPSS përderisa nuk janë të

përcaktuara dhe pa u bërë ndonjë konvertim. Në qoftë se duhet të konvertohen ndryshoret e

pavarura zgjihet njëra natural log apo ln.


3. KOEFICIENTËT PROBIT Koeficientët probit, vektori β, në regresion përkojnë me koeficientët e regresionit, kurse në

regresionin logit apo logjistik përkojnë me koeficientët logit. Të gjithë paraqesin ndikimin e

koeficientëve. Zakonisht në logit dhe në probit për të dhënat e njëjta arrihen rezultatet e njëjta,

mirëpo koeficientët logit dhe probit janë të ndryshëm për nga rëndësia dhe madhësia.

Koeficientët logit për ndryshoren e njëjtë përkojnë përafërsisht sa 1.8 herë koeficientët probit.

Koeficientët probit shpreshin se ndryshimi i një njësie (unit) që do të bëhet në ndryshoren e

pavarur sa do të krijoj ndryshim nga shpërndarja normale kumulative në ndryshoren e varur. Pra,

Jep frekuencat e vrojtuara dhe të

pritura për secilën situatë.

Jep nivelin potencial të medianës

për secilin nivel faktorial dhe limitet

e besueshmërisë 95%. Kjo

alternativë mund të përdoret nëse

është njohur çfarëdo faktori dhe

ekziston vetëm një ndryshore e

pavarur e vazhdueshme në model.

Nëse është njohur çfarëdo faktori

teston hipotezën se nivelet

faktoriale a kanë pjerrësinë (slope)

e përbashkët.

Shpreh numrin e nevojshëm maksimal të iteracioneve për përfitimin e vlerësimit në

metodën e përdorur për vlerësimin e parametrave.

242

koeficienti probit mat ndikimin që do të krijojë ndryshorja e pavarur në vlerën standarte Z të

ndryshores së varur.

Madhësia numerike e koeficientëve të vlerësuar probit nuk ka ndonjë rëndësi dhe ndonjë

interpretim të veçantë, koeficientët probit japin vetëm drejtimin dhe shkallën e marrëdhënies.

Vlerat e larta me shenjë pozitive shprehin ndikimin pozitiv të funksionit të probabilitetit, kurse

vlerat me shenjë negative shprehin ndikimin negativ të funksionit të probabilitetit. Me fjalë të

tjera, këta koeficientë japin fuqinë e ndikimit të marrëdhënies që do të krijohet gjatë

probabilitetit të vrojtuar të ndryshores së varur.

SHEMBULL: Në një studim është hulumtuar se a i ndikojnë ndryshoret e pavarura Arsimi

(Vitet) dhe Mosha (Vitet) mendimet e personave rreth politikës (identiteti politik a është liberal

apo jo). Për të vlerësuar mundësinë normale kumulative të të qenurit liberal është aplikuar

analiza Probit mbi setin e të dhënave dhe është përfituar modeli i vlerësuar më poshtë. (Vlerat e

vlerësuara Y, janë vlerat standarte z)

Y = -0,3349 – 0,0829 (Mosha) – 0,0216 (Arsimi)

Koeficienti i prerjes këtu -0,3349 shpreh vlerën standarte z të një personi i cili ka

ndryshoren e arsimit dhe moshës 0 (Ky koeficient jep vlerën e ndryshores së varur Y në rastet

kur ndryshorja e pavarur është 0 (zero) edhe në qoftë se nuk është kuptimplotë për këtë pyetje).

Përderisa vlera z rritet 0,00826 për një rritje të një njësie në moshë, kjo vlerë zvogëlohet 0,0216

për çdo vit të arsimit.

Vlerat e vlerësuara probit të modelit, pra vlerat-z mund të shprehen duke përdorur kushtet e

probabilitetit. Për shembull, mundësia e të qenurit liberal e një personi arsimi dhe mosha e të cilit

janë zero është vlera 0,3707 e cila korrespondon me shpërndarjen normale standarte z = -0,3349.

Pra, në qoftë se një person ka një karakteristikë të këtillë, mundësia e mendimit liberal është

përafërsisht 37,1%.

4. Shembull Aplikimi Më poshtë në setin e të dhënave janë paraqitur ndryshorja e pranimit të 60 studentëve të

huaj në një universitet dhe ndryshorja e disa karakteristikave të studentëve. (Burimi:

Ramanathan, Ramu, Introductory Econometrics ëith Applications, 4th edition)

{

}

GPA: Mesatarja kumulative gjatë studimeve

BIO: Pikët nga testi i pranimit në fakultetin e mjekësisë nga seksioni i biologjisë (MCAT –

Medical College Admissions Test)

243

CHEM: Pikët e MCAT nga seksioni i kimisë

PHY: Pikët e MCAT nga seksioni i fizikës

RED: Pikët e MCAT nga seksioni i leximit

PRB: Pikët e MCAT nga seksioni i problem-zgjidhje

QNT: Pikët e MCAT nga seksioni numerik

AGE: Mosha e kandidatit

GJINIA: Gjinia e kandidatit ( 1 nëse mashkull, 2 nëse femër)

Duke marrë në konsideratë ndryshoret e mësipërme dhe duke aplikuar procedurën e analizës

probit, të vlerësojmë lidhjen ndërmjet ndryshores ACCEPT (pranoj) dhe ndryshoreve të tjera për

të dhënat e dhëna më poshtë.

Tabela 1: Të Dhënat e Shembullit

AC

CE

PT

GP

A

BIO

CH

EM

PH

Y

RE

D

PR

B

QN

T

AG

E

GE

ND

ER

0 3,47 10 10 10 9 10 11 22 1

1 3,80 12 10 9 6 5 6 22 0

0 3,96 10 10 9 10 8 9 22 1

1 3,02 13 10 10 8 7 7 22 0

0 2,90 10 9 8 8 7 7 21 1

1 2,78 10 10 9 6 6 7 21 0

1 3,00 13 13 11 9 9 9 23 1

0 3,00 10 9 8 8 9 7 24 0

... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

1 4,00 10 14 13 13 14 12 26 0

0 2,40 9 7 8 6 6 5 24 1

0 3,88 12 11 9 8 7 7 23 0

0 2,66 9 8 11 6 5 4 23 1

1 3,67 13 12 14 13 13 13 23 0

1 2,08 7 7 6 8 6 7 22 1

0 2,78 7 10 9 7 7 6 22 0

0 2,77 5 2 3 5 4 4 22 1

0 3,91 7 5 8 5 4 4 22 0

244

Përpara se të fillohet me analizën duhet të krijohet kolona e vrojtimeve totale të cilat kanë

vlerat 1. Kjo kolonë krijohet si më poshtë.

Hapi 1: Dritarja e Përfitimit të Kolonës së Vrojtimeve me Vlerë 1

Numeric Expression: Për kolonën total observed (vrojtimeve totale) nga menyja

Transform-Compute hapet dritarja Compute Variable. Duke e emëruar ndryshoren bëhet

barazimi me 1 dhe duke klikuar butonin OK përfitohet kolona e cila i ka të gjitha vlerat 1.

245


Më vonë, ndryshoret përkatëse barten në pjesën Covariate(s). Në hapin 3 mund të shihet

forma e bartjes së ndryshoreve.

246


247

Hapi 4: Dritarja e Define Range

Rezultatet e Analizës Probit për shembullin tonë janë si më poshtë:

Tabela 2: Rezultatet e Analizës Probit

Data Information

N of Cases

Valid 60

Rejected Out of Rangea 0

Missing 0

Number of Responses >

Number of Subjects 0

Control Group 0

GENDER 0 33

1 27

a. Cases rejected because of out of range group values.

Bëhet njohja e nivelit të ndryshorëve faktorialë. Në shembullin tonë ndryshorja

gjinia (gender) është koduar si 0 për femrat dhe 1 për meshkujt.

248

**********PROBIT ANALYSIS**********

Parameter estimates converged after 30 iterations.

Optimal solution found.

Paramter Estimates (PROBIT model: (PROBIT (p)) = Intercept + BX)

Parameter Estimates

Parameter

Regression

Coeff. Std. Error Coeff./S.E.

PROBITa age -,00051 ,08866 -,00571

bio ,16145 ,13929 1,15910

chem ,18408 ,14949 1,23141

gpa -,12147 ,48795 -,24893

phy ,24907 ,14390 1,73091

prb -,00943 ,18683 -,05048

qnt -,00651 ,17715 -,03675

red ,07642 ,21173 ,36095

Interceptb 0 -5,78737 2,68521 -2,15528

1 -5,14635 2,60340 -1,97678

a. PROBIT model: PROBIT(p) = Intercept + BX

b. Corresponds to the grouping variable GENDER.

Chi-Square Tests

Chi-Square dfa Sig.

PROBIT Pearson Goodness-of-Fit

Test 50.332 50 .461

a. Since Goodness-of-Fit Chi square is NOT significant, no heterogeneity factor

is used in the calculation of confidence limits.

-------------------------------------------

Covariance (below) and Correlation (above) Matrices of Parameters Estimates.

Japin vlerën e

llogaritur standarde Z.

Koeficientët e regresionit

nuk janë të rëndësishëm

statistikisht sipas vlerës z.

Janë të rëndësishëm në 1%.

249

age bio chem gpa phy prb qnt red

age bio

chem gpa phy prb qnt red

0786 00177 00133 ,00655 ,00207 ,00004 ,00087 00278

14311

01940 ,00700 ,01136 00095 ,00078 ,00410 00318

10060 ,33603

02235 ,01352 ,00617 00176 00042 ,00788

,15152 ,16712 ,18537

23810 ,00512 01315 ,02105 ,01312

,16235 04728 ,28659 ,07291

02071 00064 ,00307 ,00477

-,00225 -,02995 ,06311 ,14426 ,02363

,03491 -,01637 -,02127

,05561 ,16612 01600 ,24353 ,12046

,49465 03138 ,00340

14834 10781 ,24892 ,12696 ,15669 ,53777

,09054 004483


Observed and Expected Frequencies

gender age Number of subjects

Observed responses

Expected responses

Residual Prob

0 22,00 1,0 1,0 ,553 ,447 ,55258

0 22,00 1,0 1,0 ,778 ,222 ,77784

0 21,00 1,0 1,0 ,467 ,533 ,46722

0 24,00 1,0 ,0 ,338 -,338 ,33756

0 27,00 1,0 ,0 ,034 -,034 ,03366

0 28,00 1,0 ,0 ,000 ,000 ,00002

0 24,00 1,0 1,0 ,657 ,343 ,65747

0 25,00 1,0 ,0 ,154 -,154 ,15374

0 22,00 1,0 ,0 ,290 -,290 ,28992

0 22,00 1,0 1,0 ,603 ,397 ,60272

0 22,00 1,0 ,0 ,069 -,069 ,06945

0 22,00 1,0 1,0 ,648 ,352 ,64834

0 22,00 1,0 ,0 ,917 -,917 ,91673

0 26,00 1,0 1,0 ,973 ,027 ,97299

0 23,00 1,0 ,0 ,668 -,668 ,66768

0 23,00 1,0 1,0 ,990 ,010 ,99026

0 22,00 1,0 ,0 ,311 -,311 ,31078

0 22,00 1,0 ,0 ,112 -,112 ,11210

0 28,00 1,0 1,0 ,970 ,030 ,97020

0 33,00 1,0 ,0 ,326 -,326 ,32627

0 27,00 1,0 1,0 ,543 ,457 ,54326

0 24,00 1,0 1,0 ,268 ,732 ,26804

0 22,00 1,0 1,0 ,682 ,318 ,68151

0 22,00 1,0 1,0 ,751 ,249 ,75123

0 24,00 1,0 1,0 ,677 ,323 ,67672

0 21,00 1,0 ,0 ,023 -,023 ,02307

0 26,00 1,0 ,0 ,163 -,163 ,16272

0 23,00 1,0 1,0 ,906 ,094 ,90591

0 23,00 1,0 ,0 ,007 -,007 ,00651

0 22,00 1,0 ,0 ,188 -,188 ,18795

Shpreh variancën-kovariancën dhe matricat e korrelacionit ndërmjet ndryshoreve

të vazhdueshme të pavarura (Vlerat me të zeza janë vlerat e korrelacionit).

250

0 22,00 1,0 ,0 ,086 -,086 ,08584

0 22,00 1,0 ,0 ,522 -,522 ,52245

1 22,00 1,0 ,0 ,813 -,813 ,81300

1 22,00 1,0 ,0 ,755 -,755 ,75450

1 21,00 1,0 ,0 ,600 -,600 ,60042

1 23,00 1,0 1,0 ,988 ,012 ,98789

1 26,00 1,0 1,0 ,719 ,281 ,71939

1 22,00 1,0 1,0 ,908 ,092 ,90820

1 22,00 1,0 1,0 ,868 ,132 ,86804

1 22,00 1,0 1,0 ,893 ,107 ,89338

1 23,00 1,0 ,0 ,021 -,021 ,02095

1 21,00 1,0 1,0 ,931 ,069 ,93110

1 23,00 1,0 1,0 ,768 ,232 ,76759

1 23,00 1,0 ,0 ,012 -,012 ,01233

1 24,00 1,0 ,0 ,365 -,365 ,36453

1 23,00 1,0 ,0 ,716 -,716 ,71559

1 22,00 1,0 1,0 ,162 ,838 ,16165

1 22,00 1,0 ,0 ,001 -,001 ,00057

1 23,00 1,0 1,0 ,563 ,437 ,56346

1 25,00 1,0 ,0 ,333 -,333 ,33296

1 33,00 1,0 1,0 ,858 ,142 ,85827

1 31,00 1,0 ,0 ,011 -,011 ,01138

1 24,00 1,0 ,0 ,186 -,186 ,18624

1 22,00 1,0 ,0 ,128 -,127 ,12726

1 22,00 1,0 1,0 ,663 ,337 ,66328

1 23,00 1,0 1,0 ,927 ,073 ,92703

1 21,00 1,0 1,0 ,651 ,349 ,65107

1 23,00 1,0 1,0 ,247 ,753 ,24698

1 30,00 1,0 1,0 ,999 ,001 ,99947

Siç shihet nga rezultatet e mësipërme, është bërë vlerësimi i pikave të përputhjes për femrat

(0) dhe për meshkujt (1) dhe janë përfituar vlerësimet e modelit për secilin grup. Vlerat standarde

z të parametrave të vlerësuara në model janë dhënë nga kolona Coeff./S.E. Në vazhdim, duke

shikuar cilëndo tabelë të shpërndarjes standarde normale mund të llogariten vlerat p dhe bëhet

krahasimi me vlerën kritike të përcaktuar α. Zakonisht vlera kritike e α-së është 1% apo 5%.

Vlera e z-së e cila korrespondon me këto vlera (në testimin e hipotezave dy drejtimshe) merr

vlerat përafërsisht 2,58 dhe 1,96. Vlerësimet e parametrave përjashtim prej pikave të prerjes

(intercept) nuk janë gjetur të rëndësishme në nivelin 1% dhe 5% për asnjërin grup.

Për të njëjtin shembull, pa bërë ndonjë ndarje gjinore është shqyrtuar analiza probit për

marrëdhënien ndërmjet pikëve të biologjisë dhe pranimit në fakultetin e mjekësisë dhe është

vlerësuar modeli i mëposhtëm:

Y = -3,06647 + 0,33273 (bio)

251

Vlerësimet parametrike të modelit, siç është dhënë më poshtë, janë gjetur statistikisht të

rëndësishme. Koeficienti i përputhjes -3,06447 jep vlerën standarde z për secilin kandidat i cili

ka ndryshoren bio 0. Një rritje në ndryshoren bio shkakton rritjen e një njësie për 0,33273 në

vlerën-z.

Vlerat e përfituara të analizës probit, pra vlerat z, mund të shprehen duke përdorur tabelën e

shpërndarjes normale. Këto vlera janë dhënë në pjesën Observed and Expected Frequencies,

gjegjësisht në kolonën observed responses (ose prob). Për shembull, përderisa mundësia për t’u

pranuar në fakultetin e mjekësisë për një kandidat me pikë të biologjisë bio=12 është 0,823 ose

82,3%, mundësia e një kandidati me pikë të biologjisë bio=13 është 89,6%.

Tabela 3: Rezultatet e Analizws Probit




Parameter Estimates (PROBIT model (PROBIT (p)) = Intercept + BX):

Regression Coeff. Standard Error Coeff./S.E

Bio ,33273 ,09270 3,58912

Intercept Standard Error Intercept/S.E.

-3,06647 ,87510 -3,50414

Pearson Goodness-of-Fit Chi Square = 56,190 DF = 58 P = ,543

Since Goodness-of-Fit Chi Square is NOT significant, no heterogeneity factor is used in the calculation of confidence

limits.

------------------------------------------------------------------



bio Number of subjects

Observed responses

Expected responses

Residual Prob

10,00 1,0 ,0 ,603 -,603 ,60288

12,00 1,0 1,0 ,823 ,177 ,82285

10,00 1,0 ,0 ,603 -,603 ,60288

13,00 1,0 1,0 ,896 ,104 ,89595

10,00 1,0 ,0 ,603 -,603 ,60288

Janë të rëndësishme

statistikisht.

252

10,00 1,0 1,0 ,603 ,397 ,60288

13,00 1,0 1,0 ,896 ,104 ,89595

10,00 1,0 ,0 ,603 -,603 ,60288

8,00 1,0 1,0 ,343 ,657 ,34287

7,00 1,0 ,0 ,230 -,230 ,23045

2,00 1,0 ,0 ,008 -,008 ,00817

12,00 1,0 1,0 ,823 ,177 ,82285

9,00 1,0 ,0 ,471 -,471 ,47133

11,00 1,0 1,0 ,724 ,276 ,72359

9,00 1,0 ,0 ,471 -471 ,47133

12,00 1,0 1,0 ,823 177 ,82285

13,00 1,0 1,0 ,896 104 ,89598

7,00 1,0 1,0 ,230 770 ,23045

6,00 1,0 ,0 ,142 -,142 ,14229

7,00 1,0 ,0 ,230 -,230 ,23045

9,00 1,0 1,0 ,471 ,529 ,47133

9,00 1,0 1,0 ,471 ,529 ,47133

12,00 1,0 ,0 ,823 -,823 ,82285

11,00 1,0 1,0 ,724 ,276 ,72359

6,00 1,0 ,0 ,142 -,142 ,14229

10,00 1,0 1,0 ,603 ,397 ,60288

9,00 1,0 ,0 ,471 -,471 ,47133

12,00 1,0 ,0 ,823 -,823 ,82285

9,00 1,0 ,0 ,471 -,471 ,47133

13,00 1,0 1,0 ,896 ,104 ,89598

7,00 1,0 1,0 ,230 ,770 ,23045

7,00 1,0 ,0 ,230 -,230 ,23045

5,00 1,0 ,0 ,080 -,080 ,08033

7,00 1,0 ,0 ,230 -,230 ,23045

9,00 1,0 1,0 ,471 ,529 ,47133

7,00 1,0 ,0 ,230 -,230 ,23045

8,00 1,0 ,0 ,343 -,343 ,34287

10,00 1,0 1,0 ,603 ,397 ,60288

9,00 1,0 1,0 ,471 ,529 ,47133

10,00 1,0 ,0 ,603 -,603 ,60288

6,00 1,0 ,0 ,142 -,142 ,14229

8,00 1,0 1,0 ,343 ,657 ,34287

7,00 1,0 ,0 ,230 -,230 ,23045

9,00 1,0 1,0 ,471 529 ,47133

6,00 1,0 ,0 ,142 -142, ,14229

9,00 1,0 1,0 ,471 ,529 ,47133

7,00 1,0 1,0 ,230 ,770 ,23045

11,00 1,0 1,0 ,724 ,276 ,72359

10,00 1,0 1,0 ,603 ,397 ,60288

10,00 1,0 1,0 ,603 ,397 ,60288

11,00 1,0 1,0 ,724 ,276 ,72359

7,00 1,0 ,0 ,230 -,230 ,23045

10,00 1,0 1,0 ,603 ,397 ,60288

253

10,00 1,0 ,0 ,603 -,603 ,60288

14,00 1,0 1,0 ,944 ,056 ,94428

13,00 1,0 1,0 ,896 ,104 ,89598

7,00 1,0 ,0 ,230 -,230 ,23045

10,00 1,0 ,0 ,603 -,603 ,60288

6,00 1,0 ,0 ,142 -,142 ,14229

10,00 1,0 ,0 ,603 -,603 ,60288

E njëjta analizë është shqyrtuar edhe sipas grupeve të gjinisë dhe janë përfituar rezultatet e

mëposhtme:

Modeli i vlerësuar për gjininë 0, pra femrat është në formën

Y = -3,66997 + 0,36967 (bio) dhe

modeli i vlerësuar për meshkujt

Y = -3,09905 + 0,36967 (bio).

Vlerat z të cilat korrespondojnë me vlerësimet e parametrave të mësipërme janë të

rëndësishme statistikisht në nivelin e gabimit 1%. Në këtë rast, mundësitë e pjesëmarrjes do të

jenë të ndryshme në lidhje me dy grupet.

Përderisa koeficienti i përputhjes -3,66997 jep vlerën standarde z për kandidatët femra të

cilat kanë ndryshore BIO zero, koeficienti -3,09905 shpreh vlerën standarde z për kandidatët

meshkuj ndryshorja BIO e të cilëve është zero. Një rritje e një njësie në ndryshoren bio për

secilin grup, shkakton një rritje njësie prej 0,36967 në vlerën z.

Vlerat e përfituara të modelit, pra vlerat z në qoftë se shprehen nga kushtet e probabilitetit

duke përdorur tabelën e shpërndarjes normale standarde (siç janë dhënë në kolonën observed

responses (ose prob) nga pjesa Observed and Expected Frequencies), mundësitë e pranimit në

fakultetin e mjekësisë, për shembull për një kandidat femër me 12 pikë nga biologjia janë 0,778

ose 77,8% dhe për të njëjtat pikë, mundësitë e pranimit për një kandidat mashkull janë 0,090 ose

90,9%. (Rezultatet e gjetura janë përfituar nga përkufizimet e barabarta të cilat korrespondojnë

me ndryshoren e biologjisë në model për meshkujt dhe femrat. Për të bërë krahasime ndërmjet

niveleve të pranimit ndërmjet meshkujve dhe femrave duhet të përfitohet një model i ri pa bërë

kufizime dhe interpretimet duhet të bëhen sipas këtyre rezultateve.)

254

Tabela 4: Rezultatet e Analizës Probit


DATA Information

60 unweighted cases accepted.

0 cases rejected because of out-of-range group values.

0 cases rejected because of missing data.

0 cases are in the control group.

Group information.

Gender Level N of Cases Label

0 33 0

1 27 1

MODEL Information

ONLY Normal Sigmoid is requested.

---------------------------------------------------

>Warning # 13520

>All the ratios (respose count over observation count) adjusted for the specified natural response rate are out of

range. The plot is skipped.




Parameter Estimates (PROBIT model (PROBIT (p)) = Intercept + BX):

Regression Coeff. Standard Error Coeff./S.E

Bio ,3697 ,10073 3,66976

Intercept Standard Error Intercept/S.E. gender

-3,66997 1,01510 -3,61537 0

-3,09905 ,91046 -3,40383 1

Janë të rëndësishme

statistikisht.

255

Pearson Goodness-of-Fit Chi Square = 53,432 DF = 57 P = ,610

Parallelism Test Chi Square = 1,000E-08 DF = 1 P = 1,000

Since Goodness-of-Fit Chi Square is NOT significant, no heterogeneity factor is used in the calculation of confidence

limits.



gender bio Number of subjects

Observed responses

Expected responses

Residual Prob

0 12,00 1,0 1,0 ,778 ,222 ,77817

0 13,00 1,0 1,0 ,872 ,128 ,87196

0 10,00 1,0 1,0 ,511 ,489 ,51065

0 10,00 1,0 ,0 ,511 -,511 ,51065

0 7,00 1,0 ,0 ,140 -,140 ,13956

0 2,00 1,0 ,0 ,002 -,002 ,00169

0 12,00 1,0 1,0 ,778 ,222 ,77817

0 9,00 1,0 ,0 ,366 -,366 ,36581

0 9,00 1,0 ,0 ,366 -,366 ,36581

0 13,00 1,0 1,0 ,872 ,128 ,87196

0 6,00 1,0 ,0 ,073 -,073 ,07325

0 9,00 1,0 1,0 ,366 ,634 ,36581

0 12,00 1,0 ,0 ,778 -,778 ,77817

0 10,00 1,0 1,0 ,511 ,489 ,51065

0 12,00 1,0 ,0 ,778 -,778 ,77817

0 13,00 1,0 1,0 ,872 ,128 ,87196

0 7,00 1,0 ,0 ,140 -,140 ,13956

0 7,00 1,0 ,0 ,140 -,140 ,13956

0 7,00 1,0 ,0 ,140 -,140 ,13956

0 10,00 1,0 1,0 ,511 ,489 ,51065

0 10,00 1,0 ,0 ,511 -,511 ,51065

0 8,00 1,0 1,0 ,238 ,762 ,23804

0 9,00 1,0 1,0 ,366 ,634 ,36581

0 9,00 1,0 1,0 ,366 ,634 ,36581

0 11,00 1,0 1,0 ,654 ,346 ,65408

0 10,00 1,0 1,0 ,511 ,489 ,51065

0 7,00 1,0 ,0 ,140 -,140 ,13956

0 10,00 1,0 ,0 ,511 -,511 ,51065

0 13,00 1,0 1,0 ,872 ,128 ,87196

0 7,00 1,0 ,0 ,140 -,140 ,13956

0 10,00 1,0 ,0 ,511 -,511 ,51065

0 6,00 1,0 ,0 ,073 -,073 ,07325

0 10,00 1,0 ,0 ,511 -,511 ,51065

1 10,00 1,0 ,0 ,725 -,725 ,72496

1 10,00 1,0 ,0 ,725 -,725 ,72496

1 10,00 1,0 ,0 ,725 -,725 ,72496

256

1 13,00 1,0 1,0 ,956 ,044 ,95605

1 8,00 1,0 1,0 ,444 ,556 ,44365

1 11,00 1,0 1,0 ,833 ,167 ,83330

1 12,00 1,0 1,0 ,909 ,091 ,90938

1 7,00 1,0 1,0 ,305 ,695 ,30454

1 7,00 1,0 ,0 ,305 -,305 ,30454

1 9,00 1,0 1,0 ,590 ,410 ,59016

1 11,00 1,0 1,0 ,833 ,167 ,83330

1 6,00 1,0 ,0 ,189 -,189 ,18915

1 9,00 1,0 ,0 ,590 -,590 ,59016

1 9,00 1,0 ,0 ,590 -,590 ,59016

1 7,00 1,0 1,0 ,305 ,695 ,30454

1 5,00 1,0 ,0 ,106 -,106 ,10552

1 9,00 1,0 1,0 ,590 ,410 ,59016

1 8,00 1,0 ,0 ,444 -,444 ,44365

1 9,00 1,0 1,0 ,590 ,410 ,59016

1 6,00 1,0 ,0 ,189 -,189 ,18915

1 7,00 1,0 ,0 ,305 -,305 ,30454

1 6,00 1,0 ,0 ,189 -,189 ,18915

1 7,00 1,0 1,0 ,305 ,695 ,30454

1 10,00 1,0 1,0 ,725 ,275 ,72496

1 11,00 1,0 1,0 ,833 ,167 ,83330

1 10,00 1,0 1,0 ,725 ,275 ,72496

1 14,00 1,0 1,0 ,981 ,019 ,98107

257

12.ANALIZA FAKTORIALE

258

ANALIZA FAKTORIALE

Analiza faktoriale është një teknikë statistikore e ndryshoreve të shumta, e cila përdoret

mjaft për të reduktuar numrin e ndryshoreve të cilat gjenden në raport me njëra tjetrën në numër

më të vogël të rëndësishëm të ndryshoreve dhe të pavarura nga njëra-tjetra (Kleinbaum, Miller

1998: 601). Analiza faktoriale përfshin teknika të ndryshme por që në të njëjtën kohë janë të

lidhura ndërmjet vete. Këto teknika janë Principal Component Analysis, Principal Factor

Analysis, Image Factoring, Maximum Likelihood Factoring, Alpha Factoring, Unweighted Least

Squares Factoring, Generalized ose Wieghted Least Squares Factoring. Metoda më e përdorur

prej këtyre analizave është analiza e komponenteve themelore (Principal Component Analysis

– PCA). Në këtë metodë, llogaritet faktori i parë i cili e shpejgon variancën maksimale ndërmjet

ndryshoreve. Për të shpjeguar në shumë maksimale variancën e mbetur përdoret faktori i dytë.

Kjo situatë vazhdon në këtë mënyrë (Rreth numrit të faktorëve do të jepen shpjegime në faqet e

ardhshme). Pika me rëndësi këtu është që në fund të analizës të mos ketë korrelacion ndërmjet

faktorëve, me fjalë të tjerë faktorët duhet të jenë ortogonalë.

Në analizën faktoriale nuk është i disponueshëm seti i ndryshores së varur dhe ndryshores

së pavarur, kjo e fundit e cila tenton të shpjegojë ndryshoren e varur ashtu si në analizën e

regresionit. Në analizën faktoriale duke i grumbulluar ndryshoret të cilat kanë korrelacione të

larta ndërmjet vete kemi të bëjmë me krijimin e ndryshoreve të përgjithshme (faktorë). Qëllimi

këtu është që:

- Të zvogëlohet numri i ndryshoreve,

- Të zbulohet struktura lidhëse e ndryshoreve, me fjalë të tjera të bëhet klasifikimi i

ndryshoreve.

1. FAZAT E ANALIZËS FAKTORIALE Në analizën faktoriale ekzistojnë katër faza themelore. Këto janë: vlerësimi i

përshtatshmërisë së setit së të dhënave për analizën faktoriale, përfitimi i faktorëve, rotacioni i

faktorëve dhe emërimi i faktorëve.

1.1. Vlerësimi i Përshtatshmërisë së Setit të të Dhënave për Analizën

Faktoriale Për të vlerësuar përshtatshmërinë e setit së të dhënave për analizën faktoriale përdoren 3

metoda. Këto janë krijimi i matricës së korrelacioneve, testi Barlett dhe testi Kaiser-Meyer-Olkin

(KMO).

1. Krijimi i matricës së korrelacioneve për të gjitha ndryshoret e përdorura në analizë:

Hapi i parë për të zbuluar përshtatshmërinë e setit së të dhënave për analizën faktoriale

259

është shqyrtimi i koeficientëve të korrelacioneve ndërmjet ndryshoreve. Këtu dëshirohet

që të ekzistojnë korrelacione të larta ndërmjet ndryshoreve sepse sado të larta që të janë

korrelacionet ndërmjet ndryshoreve, aq është e lartë mundësia për krijimin e faktorëve të

përbashkët të ndryshoreve. Me fjalë të tjera, ekzistimi i korrelacioneve të larta ndërmjet

ndryshoreve tregon se faktorët e përbashkët të ndryshoreve janë matur në forma të

ndryshme. Ekzistimi i korrelacioneve të dobëta ndërmjet ndryshoreve është shenjë se

ndryshoret nuk do të formojnë faktorë të përbashkët.

2. Testi Barlett (Barlett test of Spherricity): Teston mundësinë e ekzistimit të

korrelacioneve të larta së paku ndërmjet një pjese të ndryshoreve në matricën e

korrelacionit. Për të vazhduar me analizën, duhet që të refuzohet hipoteza zero “Matrica e

korrelacioneve është një matricë njësie”. Refuzimi i hipotezës zero tregon se ekzistojnë

korrelacione të larta ndërmjet ndryshoreve, me fjalë të tjera tregon se seti i të dhënave

është i përshtatshëm për analizën faktoriale (Hair dhe të tjerët, 1998: 374).

3. Matësi i madhësisë së mostrës Kaiser-Meyer-Olkin (KMO): Është një indeks i cili

krahason madhësinë e koeficientit të korrelacionit të vrojtuar me madhësinë e koeficientit

të korrelacionit të pjesërishëm. Niveli i KMO-së duhet të jetë mbi 0,5. Sado i lartë të jetë

niveli, aq është i mirë seti i të dhënave për të bërë analizën faktoriale. Vlerat e KMO-së

dhe interpretimet janë si më poshtë (Sharma 1996: 116)

Vlerat e KMO-së Interpretimi

0,90 Përkryer

0,80 Shumë mirë

0,70 Mirë

0,60 Mesatare

0,50 Dobët

nën 50 Nuk pranohet

1.2. Përfitimi i Faktorëve Qëllimi në këtë fazë është që të përfitohen sa më pak faktorë të cilët do të përfaqësojnë

lidhjen ndërmjet ndryshoreve në shkallë të lartë. Në lidhje se sa faktorë do të përfitohen,

ekzistojnë kritere të ndryshme (Dunteman 1989: 16):

1. Vlera Eigen (Eigenvalues): Vlera Eigen i pranon si të rëndësishëm faktorët të cilat janë

më të mëdhenj se 1.

2. Testi Scree: Grafiku i testit Scree (vija e grafikut) tregon variancën totale në lidhje me

secilin faktor. Faktorët e gjendur deri te pika e cila merrë formë horizontale në grafik

pranohen si faktorët maksimal që do të përfitohen.

3. Metoda e përqindjes së variancës totale: Nëse kontributi në shpjegimin e variancës

totale të cilitdo faktor të shtuar bie nën 5%, nënkupton që është arritur numri maksimal i

faktorëve.

4. Kriteri Joliffe: Të gjithë faktorët nën 0,7 nxirren nga modeli.

260

5. Kriteri i shpjegimit të variancës: Numri i cili shpjegon 90% të variancës pranohet si i

mjaftueshëm.

6. Përcaktimi i numrit të faktorëve nga ana e hulumtuesit: Vendimi i vetë hulumtuesit

rreth numrit të faktorëve.

1.3. Rotacioni i Faktorëve Qëllimi i rotacionit të faktorëve është që të përfitohen faktorë të cilët mund të emërohen dhe

të interpretohen. Metoda më e përdorur e rotacionit është Rotacioni Ortogonal. Në rotacionin

ortogonal, faktorët e përfituar nuk kanë korrelacione ndërmjet vete. Kurse në korrelacion jo

ortogonal (oblique) faktorët kanë korrelacione ndërmjet vete. Me fjalë të tjera, nuk janë të

pavarur nga njëri-tjetri. Në rotacionin ortogonal përdoren tri metoda. Këto janë varimax (metoda

më e përdorur), equamax dhe quartimax. Kurse metodat Promax dhe Direct Oblimin përdoren

gjatë kryerjes së rotacionit oblique. Në qoftë se seti i të dhënave ëshë shumë i madh preferohet

rotacioni Promax.

1.4. Emërimi i Faktorëve Në lidhje me emrimin e faktorëve janë dhënë informata gjatë interpretimit të të dalurave të

SPSS-it.


Më poshtë janë dhënë 14 norma të cilat tregojnë gjendjen financiare të 96 firmave të

industrisë së prodhimit. Qëllimi ynë është që këto 14 ndryshore të i reduktojmë në sa më pak

faktorë. Simbolet e 14 ndryshoreve dhe emërimi i tyre është në këtë formë:

ROA: Fitimi Neto / Totali i Aktivës

GM: Fitimi Bruto / Shitjet Neto

PM: Fitimi Përpara Tatimit / Kapitali

OM: Fitimi EBIT

NPM: Fitimi Neto / Shitjet Neto

NSTA: Shitjet Neto / Pasuria Totale

ATR: Norma e Testit Acid

FL: Borxhet Totale / Pasuria Totale

DE: Borxhet Totale / Kapitali

STFDTA: Borxh. Af.Shkurt. / Pas. Tot.

NSE: Shitjet Neto / Totali i Kapitalit

NSFA: Shitjet Neto / Pasuria Fikse

CR: Raporti Aktual

CR2: Raporti i Keshit

Në programin SPSS, futen ndryshoret në data editor si më poshtë. Kolona e parë tregon

ndryshoren e parë, kolonat tjera tregojnë ndryshoret tjera me radhë.

261

Hapi 1: Futja e të Dhënave në SPSS2

Për ta kryer analizën faktoriale, shkohet te Analyze, Dimension Reduction, Factor.

2 Seti i plotë i të dhënave mungon në libër

262

Hapi 2: Menyja e Analizës Faktoriale

Më vonë, siç shihet në dritaren e hapit 3, të gjitha ndryshoret barten në pjesën Variables.

Hapi 3: Dritarja e Analizës Faktoriale

263

Hapi 4: Përzgjedhja e Ndryshoreve në Analizën Faktoriale

Siç shihet më lartë, në menynë e Analizës Faktoriale gjenden disa zgjedhje si

Descriptives, Extraction, Rotation, Scores dhe Options. Për ta kryer analizën duhet që të

etiketohen disa pjesë nga këto përzgjedhje. Kur të klikojmë në butonin Descriptives do të hapet

dritarja e mëposhtme dhe nga këto përzgjidhen Initial solution, KMO and Barlett’s test of

sphericity dhe pastaj klikojmë butonin Continue.

Hapi 5: Dritarja e Statistikave Përshkruese

264

Kur të klikojmë në butonin Extraction, do të hapet dritarja e mëposhtme në hapin 6. Siç

është specifikuar në fillim të kapitullit, zgjedhim metodën e përfitimit të faktorëve Principal

componets. Pas kësaj zgjedhen me radhë Correlation matrix, Eigenvalues over 1 (shikoni

metodat e përfitimit të faktorëve), në qoftë se hulumtuesi dëshiron përzgjedh vet numrin e

faktorëve përzgjedh Number of factors (por kjo nuk preferohet), Unrotated factor solution dhe

Scree plot.

Hapi 6: Dritarja e Metodës së Përfitimit të Faktorëve

Kur të klikojmë në butonin Rotation, siç shihet në hapin 7, përzgjedhen Varimax dhe

Rotated solution.

265

Hapi 7: Dritarja e Rotacionit

Duke klikuar në butonin Scores zgjedhet një nga metodat Regression, Bartlett dhe

Anderson-Rubin, e cila do ta ruaj ndryshoren si rezultat të faktorit. Kur të përzgjedhet një nga

këto metoda, mund të përfitojmë rezultate të faktorëve (factor scores) të cilat mund të përdoren si

ndryshore në analizat tjera (p.sh. Regresion i Shumëfishtë Linear apo Analiza e Ndarjes).

Rezultatet e faktorëve do të shihen si fac1_1, fac2_1, fac3_1 në faqen filluese të të dhënave.

Hapi 8: Dritarja e Rezultateve Faktoriale

Kur të shtypet butoni Options, në qoftë se përzgjedhet Exclude cases listwise, nuk do të

mirren në konsideratë vlerat e humbura të ndryshoreve (missing values). Përzgjedhja Exclude

cases pairwise merr në konsideratë ndryshoret të dhënat e të cilave janë të plota. Kurse

266

përzgjedhja Replace with mean, në vend të vlerave të humbura, përdor mesataren aritmetike në

lidhje me ndryshoret përkatëse. Përzgjedhja Sort by size bën klasifikimin e ndryshoreve sipas

peshës së faktorëve në matricën e rrotulluar faktoriale.


3. Të Dalurat nga SPSS-i dhe Interpretimi Për Analizën Faktoriale Më poshtë janë paraqitur rezultatet dhe interpretimet më të rëndësishme të analizës

faktoriale.

3.1. Vlerësimi i Përshtatshmërisë së Setit të të Dhënave Për Analizën

Faktoriale Siç shihet në tabelën e mëposhtme, testi KMO është 71,3% (,713). Për arsye se 71,3>0,50

mund të themi se seti i të dhënave është i përshtatshmëm për analizën faktoriale. Testi i dytë të

cilën do ta shikojmë është testi Barlett. Siç shihet nga tabela, testi Barlett është i rëndësishëm

(Sig.). Kjo do të thotë që ekzistojnë korrelacione të larta ndërmjet ndryshoreve, me fjalë të tjera

seti i të dhënave tona është i përshtatshmëm për analizën faktoriale.

267

Tabela 1: Rezultatet e KMO-së dhe Testit Barlett

KMO and Bartlett's Test

Kaiser-Meyer-Olkin Measure of Sampling Adequacy. .713

Bartlett's Test of

Sphericity

Approx. Chi-Square 631.722

df 91

Sig. .000

Për vlerësimin e përshtatshmërisë së setit së të dhënave për analizën faktoriale mund të

shikohet edhe matrica e korrelacionit. Në qoftë se koeficientët e korrelacionit ndërmjet

ndryshoreve janë 0,30 dhe më sipër, kjo tregon që do të krijohen faktorë me probabilitet të lartë.

Në qoftë se numri i ndryshoreve është i madh, atëherë interpretimi i matricës së korrelacionit

është i vështirë.

3.2. Përcaktimi i Numrit të Faktorëve

Ekzistojnë faktorë të ndryshëm për përcaktimin e numrit të faktorëve. Në shembullin tonë

ne patëm përzgjedhur vlerën Eigen e cila merr në konsideratë faktorët më të mëdhenj se 1.

Në tabelën 2, janë 4 faktorë më të mëdhenj se vlera 1 (Eigenvalues). Faktori i parë e

shpjegon 21,050% variancën totale (në kolonën e djathtë të fundit). Faktori i parë dhe faktori i

dytë së bashku e shpjegojnë variancën 39,482%. Kurse katër faktorët së bashku e shpejgojnë

variancën 70,757%.

Tabela 2: Numri i Faktorëve në Lidhje me Vlerën Eigen dhe Përqindja Shpjeguese e

Variancës

Component

Initial Eigenvalues Rotation Sums of Squared Loadings

Total

% of

Variance

Cumulative

% Total

% of

Variance

Cumulative

%

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

4.136 2.942 2.042 1.235

.827

.681

.636

.453

.397

.337

.283

.219

.200 .62

29.541 17.803 14.588 8.824 5.908 4.863 4.543 3.238 2.832 2.405 2.022 1.567 1.425

.440

29.541 47.345 61.933 70.757 76.666 81.528 86.071 89.309 92.141 94.545 96.567 98.135 99.560

100.000

2.947 2.580 2.469 1.910

21.050 18.432 17.634 13.642

21.050 39.482 57.115 70.757

268

Gjatë përcaktimit të numrit të faktorëve që do të futen në rotacion, mund të përdoren edhe

metoda të tjera përveq vlerës Eigen. Për shembull, më poshtë në Figurën 1, numri i faktorëve

përcaktohet deri në pikën kur vija e pjerrësisë fillon të humb në grafik. Sipas kësaj, pas faktorit të

4 vija e grafikut do të fillojë të humb pjerrësinë në masë të konsiderueshme. Nga kjo, numrin e

faktorëve mund t’a klasifikojmë në 4 apo 5 faktorë.

Figura 1: Vija Grafike e Analizës Faktoriale

3.3. Variancat e Përbashkëta të Ndryshoreve Communality (variancat e përbashkëta) paraqet shumën e variancës që një ndryshore e ndan

bashkë me ndryshoret e tjera që marrin pjesë në analizë (Hair dhe të tjerët, 1998: 365). Në

analizën faktoriale, duke i nxjerrur nga analiza ndryshoret të cilat kanë varianca të ulëta (p.sh.

nën 0,50) mund të bëhet përsëri analiza faktoriale. Në këtë rast do të rriten edhe KMO edhe

vlera statistike e cila e shpjegon variancën.

Në qoftë se vlera e communality del mbi 1, në këtë situatë ose seti i të dhënave është i vogël

ose janë përcaktuar numër i madh apo numër i vogël i faktorëve në hulumtim. Në tabelën e

mëposhtme, ndryshoret të cilat kanë variancën e përbashkët më të lartë janë ROA dhe NSE.

269

Tabela 3: Tabela e Variancës së Përbashkët

Communalities

Initial Extraction

roa 1.000 .771

nse 1.000 .771

nsfa 1.000 .704

nsta 1.000 .705

gm 1.000 .525

om 1.000 .624

pm

npm

cr

atr

cr2

fl

de

stfdta

1.000

1.000

1.000

1.000

1.000

1.000

1.000

1.000

.852

.822

.610

.813

.746

.690

.580

.692

Extraction Method: Principal

Component Analysis.

3.4. Faza e Rotacionit Qëllimi i rotacionit është që të përfitohen faktorë të kuptimshëm që mund të interpretohen.

Më poshtë në Tabelën 4 shihet matrica e faktorëve të rrotulluar (Rotated Component Matrix).

Kjo matricë është rezulati përfundimtar i analizës faktoriale. Në matricë mund të shihen

korrelacionet ndërmjet ndryshores origjinale dhe faktorit të saj. Ndryshorja e cila ka peshën më

të madhë nën një faktor të caktuar nënkupton që ajo ndryshore ka një lidhje të përafërt me atë

faktor. Në qoftë se numri i të dhënave (vrojtimeve) është 350 dhe më lartë, pesha e faktorit duhet

të jetë 0,30 dhe më shumë. Kurse peshat 0,50 dhe më lartë pranohen si vlera shumë të mira (Hair

dhe të tjerët 1998: 385).

Në shembullin tonë, në tabelën 4 janë dhënë 4 faktorë (kolona) dhe peshat e secilës

ndryshore nën faktorë (factor loadings – koeficienti i korrelacioneve ndërmjet ndryshoreve dhe

faktorëve). Nga tabela, ndryshorja ROA ka peshën më të madhe nën faktorin 1 (,807), ndryshorja

OM përsëri edhe kjo ka peshën më të madhe nën faktorin e parë (,757). Ndryshorja FL ka peshën

më të madhe nën faktorin 2 (,807), ndryshorja ATR nën faktorin 3 (,878) dhe ndryshorja NSFA

nën faktorin 4 (,806).

270

Tabela 4: Matrica e Faktorëve të Rrotulluar

Rotated Component Matrixa

Component

1 2 3 4

roa .807 -.067 .095 .327

om .757 .052 -.213 -.062

pm .730 -.542 .159 .008

npm .710 -.551 .116 -.015

gm .674 .127 .160 -.173

fl -.046 .807 -.189 .037

de

atr

cr2

cr

stfdta

nsfa

nsta

nse

-.083

-.012

.346

-.017

.221

.146

-.167

-.068

.737

-.189

-.059

-.180

.537

.074

-.369

.514

-.156

.878

.783

.753

-.543

.167

.086

-.090

-.079

.070

.102

.101

.246

.806

.730

.702

Extraction Method: Principal Component

Analysis.

Rotation Method: Varimax with Kaiser

Normalization.

a. Rotation converged in 6 iterations.

3.5. Emërimi i Faktorëve Për të bërë emërimin e faktorëve, duhet të bëhet grupimi i ndryshoreve të cilat kanë peshë

më të madhe nën një faktor. Për shembull, në tabelën 4, ndryshoret ROA (,807), OM (,757), PM

(,730), NPM (,710) dhe GM (,674) kanë peshën më të madhe nën faktorin 1 (ndryshoret të cilat

kanë pesha të vogla nën faktorin 1 nuk merren parasysh). Këto ndryshore kanë të bëjnë plotësisht

me fitimin e firmës, kështuqë faktorin e parë mund ta emërojmë si faktori i fitimit. Në të njëjtën

mënyrë, ndryshoret FL (,807), DE (,737) dhe STFDTA (,537) kanë peshën më të madhe nën

faktorin 2. Këto tri ndryshore kanë të bëjnë me strukturën financiale të firmës, kështu që faktorin

e dytë mund ta emërojmë si faktori i strukturës financiare. Nën faktorin e tretë, ndryshoret

ATR (,878), CR2 (,783), CR (,753) kanë peshën më të madhe. Këto tri ndryshore kanë të bëjnë

me likuiditetin e firmës, kështu që faktorin e tretë mund ta emërojmë si faktori i likuiditetit.

Nën faktorin e katërt, ndryshoret NSFA (,806), NSTA (,730) dhe NSE (,702) kanë peshën më të

madhe. Karakteristika e përbashkët e këtyre ndryshoreve është produktiviteti, kështu që këtë

faktor mund ta emërojmë si faktori i produktivitetit.

271

3.6. Rezultatet Faktoriale Qëllimi i analizës faktoriale ishte që setin e të dhënave ta reduktonte në numër sa më të

vogël dhe më të rëndësishëm të faktorëve. Para se të fillonim me analizën faktoriale kishim 14

ndryshore. Pas analizës faktoriale, 14 ndryshoret u reduktuan në 4 faktorë. Në të njëjtën kohë,

kemi përfituar edhe rezultatet e faktorëve ashtu sa numri i faktorëve. Me fjalë të tjera, është

përfituar kolona e rezultateve të faktorëve (factor scores) për secilën ndryshore. Rezultatet e

përfituara të faktorëve duhet të plotësojnë kushtin e shpërndarjes normale dhe nuk duhet të kenë

probleme me lidhje të shumëfishta. Rezultatet e faktorëve të përfituara mund të përdoren në

analiza të tjera duke qenë ndryshore në vete. Pasi të përfundojmë analizën e rezultateve të

faktorëve, mund të i shohim këto në faqen e parë aty ku kemi bërë hyrjen e të dhënave (Shikoni

hapin 10: Dritarja e rezultateve të faktorëve).

Hapi 10: Rezultatet e Faktorëve

Për më shumë detaje rreth analizës faktoriale, shikoni Bryant dhe Yarnold (1995),

Dunteman (1989), Gorsuch (1983), Hutcheson dhe Sofroniou (1999), Kim dhe Muller (1978a,

1978b), Morrison (1990).

272

13.ANALIZA DISKRIMINUESE

(DISCRIMINANT)

273

ANALIZA DISKRIMINUESE (DISCRIMINANT ANALYSIS)

Analiza diskriminuese është një nga teknikat statistikore me shumë ndryshore e cila ka për

qëllim të vlerësoj marrëdhënien ndërmjet ndryshores(ve) së varur(a) kategorike dhe ndryshoreve

të pavarura metrike.

1. QËLLIMET E PËRDORIMIT TË ANALIZËS DISKRIMINUESE Mund të përdoret për të vlerësuar anëtarësinë e grupit, me fjalë të tjera, për të vendosur se

një e dhënë (vrojtim, subjekt, ndodhi) në cilin grup të ndryshores do të marrë pjesë.

Duke përdorur barazinë e funksionit të diskriminimit, ndihmon ndarjen e të dhënave në

grupe.

Mund të përdoret për të zbuluar si ndryshojnë mesataret aritmetike të ndryshoreve të

pavarura ndërmjet grupeve.

Mund të përdoret për të identifikuar se ndryshoret e pavarura sa mund të shpjegojnë

variancën e ndryshores së varur.

Mund të përdoret për të identifikuar ndryshoret të cilat janë efektive dhe ato që nuk janë

janë gjatë ndarjes së grupeve.

Mund të përdoret për të testuar klasifikimin e të dhënave të vlerësuara.

2. SUPOZIMET E ANALIZËS DISKRIMINUESE Për të shmangur mundësinë e klasifikimit gabim në analizën diskriminuese;

shumica e ndryshoreve duhet të ndjekin shpërndarjen normale,

matricat e kovariancave duhet të jenë të barabarta për të gjitha grupet dhe

duhet të mos ekzistojë problemi i lidhjeve të shumëfishta lineare ndërmjet ndryshoreve të

pavarura.

(Për detajet e supozimeve të analizës diskriminuese, shikoni kapitullin e supozimeve të

teknikave me shumë ndryshore).

Lachenbruch (1975) ka realizuar se një mospërfillje e lehtë e supozimeve të shpërndarjes së

shumëfishta normale dhe kovariancave të barabarta (dy supozimet shumë të rëndësishme të

analizës diskriminuese) nuk ndikon në masë të konsiderueshme rezultatet e analizës. Klecka

(1980), ka realizuar se shpesh ndryshoret dikotomike (rezultatet dyshe si po, jo) të cilat shkelin

rregullin e shpërndarjes normale, nuk do të ndikojnë rezultatet e analizës diskriminuese. Po

ashtu, në qoftë se shpërndarja e të dhënave nuk është normale dhe në masë të konsiderueshme ka

pabarazi në madhësitë e grupeve, mund të përdoret analiza e regresionit Logjistik në vend të

analizës diskriminuese. Në analizën e regresionit logjistik nuk është kusht karakteristika e

shpërndarjes së ndryshoreve të pavarura. Mirëpo, në rastet kur regresioni logjistik nuk mund të

274

përdoret për tri apo më shumë kategori të ndryshoreve të varura, duhet patjetër të përdoret

analiza diskriminuese.

3. MADHËSIA E DUHUR E SETIT TË TË DHËNAVE PËR ANALIZËN

DISKRIMINUESE Madhësia e duhur e setit të të dhënave për analizën diskriminuese, duhet të jetë së paku prej

100 ku për çdo ndryshore duhet të jenë minimum 20 të dhëna.

Detajet e analizës diskriminuese do të shpjegohen përmes aplikimit të shembullit të

mëposhtëm.

4. SHEMBULL APLIKIMI Të supozojmë se dëshirojmë të bëjmë një hulumtim mbi studentët të cilët e përfundojnë me

sukses programin e masterit në një universitet dhe mbi ata të pasuksesshëm. Çështjet të cilat jemi

kureshtarë të indentifikojmë janë karakteristikat ndarëse të studentëve të suksesesshëm dhe atyre

të pasuksesshëm, një student me potencial a do të jetë i suksesshëm apo i pasukesshëm, si

ndryshojnë mesataret aritmetike të ndryshoreve të pavarura ndërmjet grupeve, ndryshoret e

pavarura sa e shpjegojnë variancën në ndryshoren e varur, ndryshoret efektive në ndarjen e

grupeve të suksesshme dhe të pasuksesshme. Për këtë qëllim, do të përdoren rezultatet e provimit

pranues të masterit (PPM), mesataret e notave të studentëve (MN) dhe provimi i gjuhës për

nënpunës civil (PGNC)3. Për këtë arsye, është siguruar lista e studentëve të sukseshëm

(diplomuar) dhe atyre të pasukesshëm si dhe rezultatet e provimit pranues (PPM), mesataret e

notave (MN) dhe rezultatet e provimit të gjuhës për nënpunësit civil (PGNC) nga Instituti i

Shkencave Shoqërore të një universiteti tonë.4 Këtu kemi dy grupe të ndryshores së varur (1:

grupi i studentëve të suksesshëm, 2: grupi i studentëve të pasukesshëm). Në analizën

diskriminuese mund të jenë më shumë se dy grupe (kategori) në ndryshoren e varur. Kurse

ndryshoret tona të pavarura janë ndryshorja PPM, MN dhe PGNC (në fakt, është ideale që

analiza diskriminuese të bëhet me numër më të madh të ndryshoreve të pavarura).

Ndryshoret tona të pavarura dhe të varura, futen në programin e SPSS-it ashtu siç shihet më

poshtë. Kolona e parë paraqet ndryshoren e varur (30 rreshtat e parë me numrin 1 paraqesin

studentët e suksesshëm, kurse prej rreshtit 31 deri te 60 me numrin 2 janë vendosur studentët e

pasuksesshëm). Në rreshtin e parë mund të shihen pikët e PP, mesatares së notës MN dhe

rezultatet e provimit PGNC për një student që e ka përfunduar me sukses programin e masterit.

Duke zbritur tutje, mund të shihen rastet e studentëve të tjerë.

3 KDPS (Kamu Personeli Dil Sınavı) është një provim shtetëror për turqit për të zbuluar nivelin e njohurive të

gjuhëve të huaja për punonjësit e sektorit publik. 4 D.m.th. Turqisë

275


Pasi të bëhet hyrja e të dhënave si më sipër, për bërjen e analizës diskriminuesi, përzgjedhet

Analyze Classify Discriminant.

276

Hapi 2: Menyja e Analizës Diskriminuese

Pas kësaj, duhet të bëhet pozicionimi i ndryshoreve të pavarura dhe të varura në dritaren e

analizës diskriminuese.

277

Hapi 3: Dritarja e Analizës Diskriminuese

Në fillim, siç shihet në Hapin 4, duke e selektuar ndryshoren e varur grupin e bartim në

pjesën Grouping Variable dhe klikojmë në butonin Define Range e cila gjendet menjëherë

përfundi. Në dritaren e hapur, në pjesën minimum shkruajmë 1 dhe në pjesën maksimun 2

(studentët e suksesshëm qenë cilësuar me 1, të pasuksesshëm 2) dhe pastaj klikojmë Continue.

(Po të kishin qenë më shume se dy grupe, p.sh. katër grupe, në pjesën minimum do të duhej të

shkruanim 1 dhe në pjesën maksimum 4).

278

Hapi 4: Dritarja e Ndryshores së Varur

Më vonë, siç shihet në Hapin 5, ndryshoret tona të pavarura, PPM, MN, PGNC barten në

pjesën Independents.

Hapi 5: Dritarja e Ndryshoreve të Pavarura

279

Në menynë e analizës diskriminuese gjenden alternativat Statistics, Method, Classify dhe

Save. Klikojmë në butonin Statistics dhe etiketohen alternativat Box’s, Unstandardized dhe

Within-group correlations. Gjatë selektimit të ndryshoreve, mund të zgjedhim metodën e

ndarjes hap pas hapi (stepwise).


Kur të klikojmë në butonin Method, hapet dritarja e stepwise method. (Hapi 7) Këtu,

përzgjedhim alternativën Wilks’ lambda për krjimin e barazisë së ndarjes (discriminant). Kjo

metodë, synon të minimizojë vlerën e secilës ndryshore të re e cila hyn në barazinë e ndarjes.

Kurse vlera F në pjesën Criteria paraqet vlerat të cilat duhet të përdoren me rastin e

përfshirjes së një ndryshoreje në model apo për nxjerrjen e saj nga modeli. Këto vlera janë 3,84

dhe 2,71 dhe pranohen në nivelin e rëndësisë prej 0,5 dhe 0,10. Në pjesën Display përzgjedhim

alternativën summary of steps. Po të zgjedhnim si metodë Mahalanobis distance në vend të

Wilks’s Lambda, do të duhej të përzgjedhnim F for pairwise distances. Më vonë, duke klikuar

Continue, vazhdohet me analizën.

280

Hapi 7: Dritarja e Ndarjes Hap pas Hapi

Kur të klikojmë në butonin Classify, (Hapi 8), zgjedhim alternativën All groups equal në

qoftë se numri i grupeve të krahasuara të ndryshores së varur është i njëjtë (në shembullin tonë

kemi 30 studentë të suksesshëm dhe 30 studentë të pasuksesshëm). Po të mos ishte numri i

grupeve i barabartë do të duhej të përzgjedhnim alternativën Compute from group sizes. Kurse

nga pjesa Display, në qoftë se numri i vrojtimeve nuk është shumë i madh, duhet të përzgjedhet

patjetër alternativa Casewise result. Kjo alternativë tregon rezultatet diskriminuese për secilin

subjekt, grupin përkatës, mundësinë e të qenurit në një grup etj. Një alternativë tjetër që duhet të

selektojmë dhe e cila ofron informata të dobishme është Summary table. Përmes përzgjedhjes

së kësaj alternative, mund të shoshim rezultatet e klasifikimit të saktë dhe të pasaktë si përqindje

si dhe si me numra për secilin grup. Alternativa Within-groups bën klasifikim e ndryshoreve në

lidhje me matricat e kovariancave për të gjitha grupet. Kurse nën Plot marrin pjesë alternativat e

grafikut.

Në qoftë se dëshirojmë të marrim grafiqet e grupeve të gjitha së bashku me një vend apo

ndaras, përzgjedhim alternativat Combined-groups apo Separate-groups. Për përfitimin e grafikut

të alternativës combined-groups numri i grupeve duhet të jetë më shumë se dy. Territorial map

paraqet formatin e grafikut të mesatareve të grupeve kur numri i grupeve në ndryshoren e varur

është më shumë se dy. Kurse alternativa e cila gjendet në fund të dritares Replace missing

values with mean përdoret kur në setin e të dhënave ekziston mungesë e të dhënave (Shikoni

pjesën e shqyrtimit të mungesës së të dhënave në libër).

281

Hapi 8: Dritarja e Klasifikimit

Hapi 9: Dritarja e Ruajtjes

Në dritaren Save e cila merr pjesë në analizën diskriminuese, i selektojmë të gjitha

alternativat dhe së fundi duke klikuar OK në dritaren filluese do të përfitohen rezultatet e

analizës diskriminuese.

282

5. DALJET E SPSS-it DHE INTERPRETIMI PËR ANALIZËN

DISKRIMINUESE Më poshtë janë prezantuar rezultatet dhe interpretimet të cilat i konsideruam si më të

rëndësishme për nga aspekti i analizës ndarëse.

5.1. VLERËSIMI I SUPOZIMEVE TË ANALIZËS DISKRIMINUESE Për një analizë diskriminuese optimale dhe për të minimizuar klasifikimin e gabueshëm,

duhet të sigurohen disa supozime. Supozimet më të rëndësishme të analizës diskriminuese ishin

kovariancat e barabarta, lidhjet e shumëfishta dhe shpërndarja normale. Për testimin e supozimit

të barazisë së kovariancave përdoret testi Box’s M. Këtu, hipoteza zero është në formën

“matricat e kovariancave të grupeve janë të barabarta”. Siç shihet më poshtë në tabelën 1,

hiptoeza zero nuk refuzohet në nivelin e rëndësisë (,05). Pra, grupet janë të barabarta për nga

aspekti i matricave të kovariancave. Kështu që në këtë mënyrë është realizuar supozimi i

barazimit të kovariancave në shembullin tonë. Në qoftë se numri i vrojtimeve do të ishte shumë i

madh, devijimet e vogla nga homogjeniteti do të shkaktonin një rezultat të rëndësishëm (sig.).

Supozimi jonë i dytë ishte që të mos ekzistonte problemi i lidhjeve të shumta ndërmjet

ndryshoreve. Për këtë, mund të shikojmë korrelacionet ndërmjet ndryshoreve të varura. Në qoftë

se korrelacioni ndërmjet dy ndryshoreve është më i madh se 70, atëherë njëra nga ndryshoret

duhet të lihet jashtë analizës ose ndryshoret duhet të bashkohen. Siç mund të shihet më poshtë në

tabelën 2, nuk ekzistojnë korrelacione të cilat mund të konsiderohen shumë të larta ndërmjet

ndryshoreve. (Për supozimin e shpërndarjes së shumëfishtë normale, shikoni kapitullin e

supozimeve të teknikave statistikore me shumë ndryshore).

Tabela 1: Test Box’s M

Test Results

Box's M 8.375

F Approx. 2.687

df1 3

df2 605520

Sig. .055

Tests null hypothesis of equal

population covariance matrices.

283

Tabela 2: Matrica e Korrelacionit

Pooled Within-Groups Matrices

PPM MN PGNC

Correlation PPM 1.000 .484 .630

MN .484 1.000 .514

PGNC .630 .514 1.000

5.2. VLERËSIMI I RËNDËSISË SË FUNKSIONEVE TË NDARJES

(DISRCRIMINANT) Për të përcaktuar se sa i rëndësishëm është funksioni (funksionet) e diskriminimit shikohen

statistikat Canonical Correlation, Eigenvalue dhe Wilks’s Lambda.

Canonical Correlation mat lidhjen ndërmjet rezultateve të diskriminimit dhe grupeve si dhe

tregon totalin e variancës të shpjeguar. Më poshtë në tabelën 3, vlera Canonical Correlation është

,855. Për interpretimin e kësaj vlerë marrim katrorin e saj (,8552 = ,73). Pra, modeli mund të

shpjegojë 73% të variancës në ndryshoren e varur (studentët të cilët e kanë përfunduar me sukses

programin e masterit dhe ata që nuk kanë mundur t’a përfundojnë).

Tabela 3: Statistika e Vlerës Eigen

Eigenvalues

Function Eigenvalue % of Variance Cumulative %

Canonical

Correlation

1 2.719a 100.0 100.0 .855

a. First 1 canonical discriminant functions were used in the analysis.

Sado qe vlera Eigen të jetë më e madhe, nënkupton që pjesa më e madhe e variancës së

ndryshores së varur do të shpjegohet nga ai funksion. Vlera Eigen edhe pse nuk është një vlerë e

prerë, pranohet si e mirë mbi 0,40. Në rezultatet e shembullit tonë statistika e vlerës Eigen është

2,719 dhe mund të themi se se funksioni ynë siguron një ndarje (diskriminim) të mirë. Ngaqë

ndryshorja e varur përbëhet nga dy kategori do të jetë vetëm një funksion i diskriminimit.

Më poshtë në tabelën 4, statistika Wilks’ Lambda tregon pjesën (normën) e pashpjeguar të

totalit të variancës në rezultatet e ndarjes nga dallimet ndërmjet grupeve. Në shembullin tonë, siç

shihet më poshtë, përafërsisht 27% (,269) e totalit të variancës të rezultateve të ndarjes nuk është

shpjeguar nga dallimet ndërmjet grupeve.

284

Tabela 4: Statistika Wilks’ Lambda (U)

Wilks' Lambda

Test of Function(s) Wilks' Lambda Chi-square df Sig.

1 .269 74.870 2 .000

Dallimi i shpjeguar më lartë nga Wilks’ Lambda shërben për një qëllim. Këtu Wilks’

Lambda teston rëndësinë e statistikës së Eigenvalue për secilin funksion diskriminues. Në

shembullin tonë është vetëm një funksion dhe është kuptimplotë.

5.3. VLERËSIMI I RËNDËSISË SË NDRYSHOREVE TË PAVARURA NË

ANALIZËN E DISKRIMINIMIT Për vlerësimin e rëndësisë së ndryshoreve të pavarura duhet të shikohen koeficientët e

funksionit të diskriminit dhe pesha (loadings) e secilës ndryshore të pavarur në matricën

structure. Në tabelën 5 janë dhënë koeficientët e funksionit të standardizuar të diskriminimit.

Siç shihet në tabelë, në ndarjen e grupeve të studentëve të suksesshëm dhe të pasuksesshëm,

ndryshoret e pavarura, rezultatet e provimit pranues (PPM) dhe mesatarja e notave të studentëve

(MN) janë dallues të rëndësishëm. Koeficientët e tyre janë ,503 dhe ,654. Këta koeficientë,

pranojnë koeficientin beta në analizën e regresionit. Pra, tregojnë rëndësinë relative të

ndryshoreve të pavarura në vlerësimin e ndryshores së varur. Kurse Provimi i Gjuhës për

Nënpunësit Civil (PGNC) shihet të mos jetë një ndryshore efektive në ndarjen e studentëve në të

suksesshëm dhe të pasuksesshëm (Nuk merr pjesë ne tabelën 5).

Tabela 5: Koeficientët e Funksionit të Ndarjes

Standardized

Canonical

Discriminant

Function

Coefficients

Function

1

MN

PPM

.503

.654

Matrica Structure është një matricë e cila mund të përdoret për të vlerësuar rëndësinë e

ndryshoreve të pavarura. Matrica Structure paraqet korrelacionet ndërmjet funksionit të

diskriminimit me secilën ndryshore. Ngaqë në shembullin tonë kemi një funksion, ekziston

vetëm një kolonë. Kur numri i kategorive në ndryshoren e varur të jetë më i madh edhe numri i

285

funksioneve të ndarjes do të jetë më i madh. Secila kolonë tregon një funksion. Korrelacionet

këtu janë të ngjashme me peshët (Loadings) e faktorëve në analizën faktoriale.

Tabela 6: Matrica e Strukturës (Structure)

Structure Matrix

Function

1

PPM .898

MN .820

PGNC .671

Sipas matricës së strukturës funksionet e diskriminimit me korrelacionet më të larta janë me

rend ndryshorja PPM, NM dhe PGNC. Ndryshorja e pavarur PGNC nuk është një vlerësues i

rëndësishëm.

5.4. FUNKSIONI I DISKRIMINIMIT DHE INTERPRETIMI Funksioni i diskriminimit (Discriminant Function) i quajtur edhe canonical root është një

kombinim linear i ndryshoreve të pavarura. Kështu pra:

Z = α + b1X1 + b2X2 + bnXn

Këtu, rezultati i diskriminimit Z ( njihet edhe si rezultati Z), α constant dhe b-të janë

koeficientët e diskriminimit, kurse X-at janë ndryshoret e e pavarura. Ky barazim i ngjan

regresionit të shumëfishtë. Mirëpo, këtu b-të maksimizojnë distancën ndërmjet mesatareve të

ndryshoreve të pavarura.

Tabela 7: Koeficientët e Diskriminimit Kanonik

Canonical Discriminant

Function Coefficients

Function

1

MN

PPM

.088

.144

(Constant) -15.213

Unstandardized

coefficients

Tabela 7 paraqet koeficientët e pastandardizuar të diskriminimit. I referohet betave të

pastandardizuara në regresionin e shumëfishtë. Pra, përdoren për të krijuar modelin e vlerësuar

286

saktë që mund të përdoret në klasfikimin e vrojtimeve të reja. Në qoftë se do të shkruanim

funksionin e diskriminimit:

Z = -15,213 + ,088 (MN) + ,144 (PPM)

Në qoftë se do të llogarisnim rezultatin Z të kandidatit të parë që ka përfunduar programin e

masterit:

Z = -15,213 + ,088 (83) + ,144 (76)

Z = 3,075

Rezultatet Z të kandidatëve do të marrin pjesë në rezultatet e SPSS-it në qoftë se nga

dritarja Classify selektohet Casewise results. Shenjat plus apo minus të koeficientëve nuk janë

me rëndësi. Ato tregojnë vetëm lidhjen pozitive apo negative të ndryshoreve të pavarura me

ndryshoren e varur.

Më poshtë në tabelën 8, janë paraqitur rezultatet e mesatareve të funksionit të diskriminimit

(grupi 1 që ka përfunduar me sukses programin e masterit dhe grupi 2 të pasuksesshmit).

Mesatarja e grupit të parë është 1,621, kurse e grupit të dytë -1,621.

Tabela 8: Mesataret e Funksionit të Diskriminimit të Grupeve

Functions at

Group Centroids

grupi

Function

1

1.00 1.621

2.00 -1.621

Unstandardized

canonical

discriminant

functions evaluated

at group means

5.5. VLERËSIMI I RËNDËSISË SË ANALIZËS SË DISKRIMINIMIT

Në analizën diskriminuese, suksesi i analizës është përqindja e klasifikimit të saktë. Pra,

sado që përqindja e klasifikimit të saktë është e lartë, analiza është aq e suksesshme. Më poshtë

në tabelën 9, personat e përfshirë në mostër janë klasifikuar në mënyrë të saktë 93%. Në

shembullin tonë, nga 30 personat të cilët kanë kryer me sukses programin e masterit janë

vlerësuar 29 në mënyrë të saktë dhe 1 person është klasifikuar gabim. Nga 30 personat të cilët

nuk kanë mundur t’a kryejnë me sukses programin e masterit janë klasifikuar 27 saktë dhe 3 prej

287

tyre janë klasifikuar gabim. Në qoftë se do t’i shprehnim me përqindje, 96,7% e atyreve që e

kanë kryer me sukses programin e masterit janë klasifikuar drejtë dhe 3,3% gabim. Kurse 90% e

atyreve që nuk kanë mundur t’a kryejnë me sukses programin e masterit janë klasifikuar drejtë

dhe 10% gabim.

Për të vlerësuar saktësinë e këtij klasifikimi, duhet të llogarisimim kriteret e mundësisë

relative dhe kriteret e mundësive maksimale. Madhësia e mostrës sonë përbëhej nga 60 vetë. 30

vetë përbënin grupin e parë, kurse 30 të tjerët grupin e dytë. Me fjalë të tjera, 50% përbënte

grupin e parë, 50% grupin e dytë. Kështu që, vlera e llogaritur e mundësisë është 50%. Kurse në

shembullin tonë (në pjesën e poshtme të tabelës 9), vlera e klasifikimit të saktë është 93,3% dhe

kjo është më e madhe se 50%. Pra, saktësia e klasifikimit të analizës sonë është më e madhe se

kriteri i mundësisë.

Të supozojmë se madhësia e mostrës sonë nuk është e barabartë 30-30, por grupi i parë

përbëhet nga 10 vetë, kurse grupi i dytë nga 50 vetë, në këtë rast, a do të mund të thonim se nuk

ekziston mundësia e normës 93% të klasifikimit të saktë? Gjëja e parë që duhet të bëjmë për këtë

është llogaritja e përqindjeve të grupit të parë dhe të dytë. Përqindja e grupit të parë brenda totalit

është = 0,17 (10 / 60) dhe përqindja e grupit të dytë brenda totalit është = 0,83 (50 60). Në qoftë

se do të llogaritnim kriterin e mundësisë relative duke përdorur këto vlera: Kriteri i mundësisë

relative = 0,26 (0,102 + 0,50

2). Niveli i klasifikimit të saktë (93,3%) është më i lartë se vlerat e

kriterit të mundësisë relative (26%). Po ashtu, niveli i klasifikimit të saktë (93%) është më i lartë

se kriteri i mundësisë maksimale (83%). Në këtë mënyrë, përqindja e lartë e klasifikimit të saktë

tregon që analiza është bërë me sukses.

Tabela 9: Rezultatet e Klasifikimit

Classification Resultsa,c

grupi

Predicted Group Membership

Total

1.00 2.00

Original Count 1.00 29 1 30

2.00 3 27 30

% 1.00 96.7 3.3 100.0

2.00 10.0 90.0 100.0

Cross-validatedb Count 1.00 29 1 30

2.00 3 27 30

% 1.00 96.7 3.3 100.0

2.00 10.0 90.0 100.0

a. 93.3% of original grouped cases correctly classified.

288

Gjatë aplikimit të shembullit patëm pyetur se cilat janë karakteristikat ndarëse të studentëve

të suksesshëm dhe atyre të pasuksesshëm. Në fund të analizës diskriminuese mësuam se këto

janë ndryshoret PPM dhe MN. Ndryshorja PGNC nuk kishte ndonjë rëndësi ndërmjet grupeve.

Një përgjigjje tjetër që dëshironim të mësonim ishte si ndryshojnë mesataret aritmetike të

ndryshoreve të pavarura ndërmjet grupeve. Kjo përgjigjje mund të merret nga tabela “Group

Statistics” (nuk e pamë të nevojshme të e vendosim tabelën e saj). Një përgjigjje tjetër që ishim

kureshtarë të dinim ishte e pyetjes se sa ndryshoret e pavarura e shpjegonin variancën në

ndryshoren e varur. Përgjigjja e kësaj pyetjeje që shpjeguar gjatë interpretimit të tabelës 3.

289

14.ANALIZA E GRUPIMIT (CLUSTER

ANALYSIS)

290

ANALIZA E GRUPIMIT (CLUSTER ANALYSIS)

Analiza e grupimit është një metodë statistikore e shumë ndryshoreve e cila përdoret shpesh

për të bërë klasifikimin e të dhënave sipas ngjashmërive.

Qëllimi parësor i analizës së ndryshoreve të shumta, analizës së grupimit, është që të bëj

grupimin e individëve apo objekteve duke marrë si bazë karakteristikat e tyre të ngjashme. Me

fjalë të tjera, analiza e grupimit ofron informata përmbledhëse për hulumtuesin duke bërë

grupimin e të dhënave të pagrupuara sipas ngjashmërive të tyre. Analiza e grupimit, në të njëjtën

kohë përdoret për qëllime të ndryshme, si për përcaktimin e llojeve të grupeve, parashikimin e

grupeve, testimin e hipotezave, vlerësimin e grupeve në vend të të dhënave dhe gjetjen e vlerave

të veçanta.

Analiza e grupimit fokusohet në grupet të cilat formohen nga llogaritja e vlerave të të gjitha

ndryshoreve të individëve apo objekteve të vrojtuara në hulumtim. Për të gjetur ngjashmëritë

ndërmjet individëve apo objekteve përdoren matjet e distancës, matjet e korrelacionit apo matjet

e përngjasimeve të të dhënave cilësore.

Analiza e grupimit bën grupimin e individëve apo objekteve në të njëjtin grup, të cilët

përngjajnë me njëri-tjetrin sipas kritereve të përzgjedhjes të përcaktuara më parë (p.sh.,

përgjegjësit e anketës, produktet, sëmundjet dhe/ose inputet tjera të pavarura). Në fund të

analizës, homogjeniteti brenda grupeve të formuara dhe heterogjeniteti ndërmjet tyre është

shumë i lartë. Pra, individët/objektet e një grupi të cilët ngjajnë në mes vete, nuk do të ngjajnë

me individët/objektet e një grupi tjetër. Në fund, në qoftë se klasifikimi është i suksesshëm,

objektet brenda grupit do të jenë shumë të përafërta me njëra-tjetrën gjeometrikisht, kurse grupet

e ndryshme do të jenë shume larg nga njëra-tjetra.

Në analizën e grupimit, koncepti ndryshore është shumë me rëndësi dhe është shumë i

ndryshëm nga analizat tjera me shumë ndryshore. Në analizën e grupimit, bëhet krahasimi i

ndryshoreve duke përdorur karakteristikat e tyre sepse ndryshorja e analizës së grupimit nuk

përfshin vetëm karakteristikat të cilat përcaktojnë objektet. Dallimi i analizës së grupimit prej

analizës ndarëse (diskriminuese) është se përcaktimi i grupeve përfitohet në fund të analizës

teksa në analizën diskriminuese përcaktimi bëhet më parë. Pra, në analizën e grupimit, matrica e

të dhënave nuk mund të ndahet në analizën e parashikuar dhe nëngrupe të kritereve.

Analiza e grupimit i ngjan analizës faktoriale për nga disa mënyra. Ashtu si në analizën

faktoriale, edhe në analizën e grupimit ndryshoret, e pavarur dhe e varur, nuk i ndajmë në dy

grupe. Një mënyrë tjetër e cila i ngjan analizës faktoriale është edhe grumbullimi i individëve

apo objekteve të hulumtimit të cilët kanë ngjashmëri ndërmjet vete, pra kriteri i klasifikimit.

Po ashtu dallimi themelor ndërmjet matësit shumëdimensional i cili siguron matricat e

afërsisë dhe paraqitjen e saj vizuale dhe analizës së grupimit e cila i ka këto karakteristika është

291

se matja shumëdimensionale ofron paraqitjen hapësinore të afërsisë kurse analiza e grupimit

ofron paraqitjen e afërsive në formë të pemës. Veçanërisht gjatë vlerësimit të metodave të

grupimit hierarkik, teksa grupet e vogla vrojtohet të përshtaten ndërmjet vete dhe të formojnë

grupe kuptimplota, është e mundur që përmes grafikut të pemës grupet e mëdha ekstreme të mos

jenë kuptimplota. Për këtë arsye, në analizën e grupimit mund të nxirret ndonjë kuptim nga

mospërngjasime e voglat, por është e vështirë të interpretohen mospërngjasimet e mëdha. Por

analiza e matësit shumëdimensional përkundër analizës së grupimit ka karakteristikën e

vlerësimit të mospërngjasimeve të mëdha apo nxjerrjes së kuptimeve nga këto mospërngjasime.

Analiza e grupimit është një teknikë mjaft e dobishme për të analizuar të dhënat e situatave

të ndryshme. Për shembull, një hulumtues ka mbledhur të dhënat me anë të anketës por numri i

madh i vrojtimeve i vështirson grupimin e të dhënave dhe nxjerrjen e kuptimit të tyre. Në këtë

situatë, analiza e grupimit do të bëj grupimin e të gjitha vrojtimeve sipas kritereve të cilat i

përcakton hulumtuesi dhe të dhënat do të reduktohen ose do të formohen grupe të cilat japin

informata të përgjithshme.

Po ashtu, hulumtuesit mund të kenë dobi nga analiza e grupimit në rastet kur dëshirojnë që

të zhvillojnë supozime në lidhje me karakteristikat e të dhënave apo kur dëshirojnë të testojnë

supozimet më parë. Për shembull, një hulumtues supozon se shprehitë e tregtisë në një hapësirë

në të cilën pihet vazhdimisht alkooli janë të ndryshme nga ajo në të cilën pihet ndonjëherë

alkooli. Në këtë rast, me analizën e grupimit përcaktohen ngjashmëritë dhe dallimet ndërmjet

hapësirës në të cilën pihet vazhdimisht alkooli dhe asaj në të cilën pihet ndonjëherë alkooli dhe

sipas këtij rezultati zhvillohen supozimet.

1. PROCESI I VENDIMMARRJES PËR ANALİZËN E GRUPIMIT

Ashtu si në analizat e tjera me shumë ndryshore, edhe aplikimi i analizës së grupimit bëhet

duke kaluar nëpër disa faza të caktuara.

292

Figura 1: Procesi i Marrjes së Vendimi Për Analizën e grupimit

294

1.1. Qëllimet e Analizës së Grupimit Qëllimi parësor i analizës së grupimit është ndarja e vrojtimeve të përfituara në fund të

hulumtimit në dy apo më shumë grupe duke marrë për bazë ngjashmëritë e tyre. Përdorimi më i

përgjithshëm i analizës së grupimit është më qëllim hulumtimi. Analiza e grupimit përdoret

shpesh për të zhvilluar një klasifikim objektiv. Ndarjet e përfituara në fund të analizës mund të

ndihmojnë në krijimin e supozimeve në lidhje me strukturën e objekteve. Përsëri analiza e

grupimit e cila shihet si një teknikë hulumtimi, në të njëjtën kohë përdoret edhe për qëllime

testimi.

1.2. Plani i Hulumtimit në Analizën e Grupimit Pas përcaktimit të qëllimeve dhe përzgjedhjes së ndryshoreve, hulumtuesi përpara se të

fillojë hulumtimin duhet të u përgjigjet këtyre tri pyetjeve: (1) A janë identifikuar linjat kryesore

të hulumtimit apo këto kufizime duhet të fshihen? (2) Çfarë duhet të jetë matja e ngjashmërive të

vrojtimeve? (3) A duhet të ketë standarte të të dhënave? Për t’iu përgjigjur këtyre pyetjeve

ekzistojnë çasje të ndryshme. Në të njëjtën kohë, asnjëra nga këto çasje nuk janë të mjaftueshme

për të dhënë një përgjigje të qartë dhe saktë dhe për fat të keq shumica e çasjeve japin rezultate të

ndryshme për të dhënat e njëjta.

1.3. Matjet e Ngjashmërive Qëllimi themelor në analizën e grupimit është që të zbulohen ngjashmëritë apo

largësitë/afërsitë ndërmjet individëve apo objekteve të vrojtuara. Ngjashmëria, e kundërta e

konceptit të largësisë, tregon afërsinë e dy objekteve me njëra-tjetrën kur ekziston numër i madh

i ngjashmërive dhe largësinë ndërmjet dy objekteve kur ekziston numër i vogël i ngjashmërive.

Zgjedhja e matjes së ngjashmërive ndryshon sipas të dhënave kategorike dhe metrike. Të

Dhënat Kategorike: Mënyra më e thjeshtë për të zbuluar ngjashmëritë e dy objekteve është

zbulimi i karakteristikave të cilat shfaqin më shumë ngjashmëri ndërmjet dy objekteve. Kjo

matje bëhet me të dhëna kategorike. Për shembull, gjatë bërjes së një hulumtimi në lidhje me

blerësit e automobilave, mund të identifikohen tri karakteristika të cilave blerësit i kushtojnë

vëmendje. Këto janë:

Modeli (klasik, sportiv, tipit familjar) (1, 2, 3)

Le të jetë vlera (1) për zgjedhësit e modeleve klasike, (2) për zgjedhësit e modeleve sportive

dhe (3) për zgjedhësit e modeleve familjare

Shteti (Japonia, Franca)

Le të jetë vlera (1) për zgjedhësit e automobilave të prodhimit japonez, (2) për zgjedhësit e

automobilave të prodhimit francez.

295

Ngjyra (kaltër, bardhë, kuqe, zezë) le të jenë (1, 2, 3, 4)

Le të jetë vlera (1) për zgjedhësit e ngjyrës së kaltër, (2) për zgjedhësit e ngjyrës së bardhë,

(3) për zgjedhësit e ngjyrës së kuqe dhe (4) për zgjedhësit e ngjyrës së zezë.

Le të jenë përzgjedhjet e automobilave të 5 klientëve të takuar si më poshtë.

Tabela 1: Preferencat e Klientëve të Automobilave

Klientët

Karakteristikat e përzgjedhjes së automobilave

Modeli Shteti Ngjyra

1 2 2 3

2 2 1 4

3 1 1 2

4 3 1 1

5 3 2 3

Siç kuptohet nga tabela, vrojtimet përbëhen nga 5 klientë. Në total gjenden 10 lidhje

dyfishe. Këto janë (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (2,3), (2,4), (2,5), (3,4), (3,5), (4,5). Për të identifikuar

ngjashmëritë ndërmjet cila do dy vrojtimeve, duhet të bëhen vlerësime sipas secilës ndryshore.

Në qoftë se vlerësimi i dy klientëve është i njëjtë për një ndryshore, dallimi është 0. Ato të cilat

kanë totalin më të lartë të këtyre vlerave, nënkupton që janë më të afërta me njëra-tjetrën

(përngjajnë më shumë).

Në qoftë se do t’a shpjegonim shembullin; bëhet krahasimi i Rr12 me klientin e parë dhe

të dytë. Që të dy, klienti i parë dhe i dytë kanë përzgjedhur modelin sportiv të makinës dhe për

secilin klient përzgjedhjet e modelit janë dhënë me (2). Në këtë situatë, ngaqë vlerësimet e të dy

klientëve janë të njëjta gjatë krahasimit, shënohet (1) në barazimin Rr12 për ndryshoren e

modelit. Përsëri vazhdojmë me krahasime dhe shikojmë vlerat e dhëna të klientëve për nga

aspketi i shtetit. Meqë klienti i parë ka përzgjedhur makinat e prodhimit francez, shkruajmë (2).

Kurse meqë klienti i dytë ka përzgjedhur makinat e prodhimit japonez, shkruajmë (1). Në këtë

rast, ngaqë përzgjedhjet e tyre janë të ndryshme nga njëra-tjetra, për ndryshoren e shtetit,

shënohet (0) në barazimin Rr12 për ndryshoren e shtetit. Përsëri në të njëjtën mënyrë, klienti i

parë ka përzgjedhur ngjyrën e kuqe (3), kurse klienti i dytë ka përzgjedhur ngjyrën e zezë (4).

Ngaqë përzgjedhjet e ngjyrave të klientëve janë të ndryshme, shënohet (0) për Rr12 për

ndryshoren e ngjyrës. Pastaj bëhet mbledhja e këtyre shënimeve. Klientët të cilët kanë totalin më

të lartë të këtyre vlerave, janë ata që përngjajnë më shumë me njëri-tjetrin.

296

Tabela 2: Përzgjedhjet e Automobliave të Klientëve

Klientët

Karakteristikat e përzgjedhjes së automobilave

Modeli Shteti Ngjyra

1 2 2 3

2 2 1 4

Rr12 = 1+0+0= 1 Rr13 = 0+0+0= 0 Rr14 = 0+0+0= 0 Rr15 = 0+1+1= 2

Rr23 = 0+1+0= 1 Rr24 = 0+1+0= 1 Rr25 = 0+0+0= 0 Rr34 = 0+1+0= 1

Rr35 = 0+0+0= 0 Rr45 = 1+0+0= 1

Në këtë rast mund të thuhet se klientët të cilët përngjajnë më shumë ndërmjet veti janë

klientët me numër 1 dhe 5 (Rr15). Kurse është e vështirë që të bëhet interpretim për ngjashmëritë

tjera. Për të shpëtuar nga kjo situatë dhe për të shprehur ngjashmëritë me matje më të qarta,

duhet që të vlerësohet pesha e secilit vrojtim. Meqë ndryshorja e modelit është 3-matëse,

ndryshorja e shtetit 2-matëse dhe ndryshorja e ngjyrës 4-matëse, këto vlera kanë pesha pranuese

dhe shumëzohen me vlerat e dhëna.

Rr12 = (3) 1+(2) 0+(4) 0= 3 Rr13 = (3) 0+(2) 0+(4) 0= 0 Rr14 = (3) 0+(2) 0+(4) 0= 0

Rr15 = (3) 0+(2) 1+(4) 1= 6 Rr23 = (3) 0+(2) 1+(4) 0= 2 Rr24 = (3) 0+(2) 1+(4) 0= 2

Rr25 = (3) 0+(2) 0+(4) 0= 0 Rr34 = (3) 0+(2) 1+(4) 0= 2 Rr35 = (3) 0+(2) 0+(4) 0= 0

Rr45 = (3) 1+(2) 0+(4) 0= 3

Gjatë shqyrtimit të vlerave të gjetura, përsërit klientët të cilët ngjajnë më shumë janë Rr15,

pra klienti i parë dhe i pestë. Klienti i parë dhe i dytë, mund të thuhet se përngjajnë më shumë me

njëri-tjetrin por ngjashmëritë nuk mund t’i shprehin në mënyrë të qartë (me shumëzimin e

peshave është gjetur vlera “3”) kurse në rastin e parë kanë vlerat “1”, si dhe klienti i katërt dhe i

pestë (përsëri me shumëzimin e peshave është gjetur vlera “3”) në krahasim me të tjerët sepse me

pranimin e vlerave matëse si pesha, vlerat më të larta të arritura tregojnë klientët të cilët ngjajnë

më së shumti.

Në një matje të ngjashmërive, në qoftë se të gjitha ndryshoret janë kategorike, përdoret

metoda e krahasimit të koeficientëve. Por, në rastet kur njëra ndryshore ka pasur një matje të

ndryshme, nuk përdoret metoda e krahasimit të koeficientëve. Për këtë arsye janë zhvilluar

metoda e devijimeve absolute dhe metoda e shumës së ndryshimit të katrorit. Metoda e

devijimeve absolute llogarit dallimet ndërmjet vrojtimeve sipas vlerave absolute, kurse metoda e

shumës së ndryshimit të katrorit llogarit këto dallime sipas sipas katrorëve. Për shembull, në

qoftë se tri ndryshore janë matur me Matjen e Likertit, një ndryshore është matur me matje

297

proporcionale, ngjashmëritë ndërmjet vrojtimeve nuk përcaktohen me metodën e krahasimit të

koeficientëve por me metodën e shumës së ndryshimit të katrorit.

Në analizën e grupimit, këto tri metoda veçanërisht kanë një rol të rëndësishëm në matjen e

ngjashmërive: matjet e korrelacionit, matjet e largësisë dhe matjet e partneriteve

(përbashkimeve). Secila nga këto metoda tregon një rrugë të veçantë të ngjashmërisë në lidhje

me qëllimin e llojit të të dhënave. Për matjet e ngjashmërive/largësive përdoren të dhënat

kategorike ose metrike. Për matjet e korrelacionit dhe largësisë përderisa janë të nevojshme të

dhënat metrike, për matjen e parterneriteve janë të nevojshme të dhënat kategorike (jo metrike).

1.4. Matjet e Korrelacionit Në matjen e ngjashmërive, parimisht mirret në konsideratë korrelacioni ndërmjet vrojtimeve

çifte. Rrjedhimisht, koeficienti i korrelacionit paraqet korrelacionin (ngjashmërinë) ndërmjet dy

vrojtimeve. Korrelacioni i lartë tregon për ekzistimin e ngjashmërive, kurse korrelacioni i ulët

tregon për mungesën e ngjashmërive.

Tabela 3: Matja e Ngjashmërive: Korrelacioni

Vrojtimi

Vrojtimi 1 2 3 4 5 6 7

1 1.00

2 -.147 1.00

3 .000 .000 1.00

4 .087 .516* -.824 1.00

5 .963* -.408 .000 -.060 1.00

6 -.466 .791* -.354 .699* -.645 1.00

7 .891* -.516 .165 -.239 .963* -.699 1.00

Vlerat me (-) janë korrelacione me drejtim negativ dhe shprehin mosngjashmëritë ndërmjet

vrojtimeve.

Vlerat me (*) janë korrelacione të larta me drejtim pozitiv dhe shprehin ngjashmëritë

ndërmjet vrojtimeve.

Kurse të tjerat janë koeficientë me korrelacion të ulët.

Siç kuptohet nga tabela e mësipërme, me korrelacionet ndërmjet vrojtimeve mund të

krahasohen dy grupe të ndryshme. Parimisht, në qoftë se vlerësojmë ngjashmëritë e vrojtimit të

parë me vrojtimet e tjera, koeficientët e korrelacionit të vrojtimit të parë, të pestë dhe të shtatë

janë të larta (0,963*, 0,891) dhe mund të themi se këto kanë mostra të ngjashme në mes vete. Në

të njëjtën mënyrë, mund të shihet se koeficientët e korrelacionit të vrojtimit të dytë, katërt dhe

gjashtë janë të larta (0,516*, 0,791*), por të ulëta me vrojtimet e tjera (0,000) apo edhe negative

298

(-0,408, -0,516). Kjo do të thotë që vrojtimi i dytë ka ngjashmëri të larta me vrojtimin e katërt

dhe të gjashtë por ngjashmëritë me të tjerat janë të vogla ose në drejtim të kundërt. Vrojtimi i

tretë ka një korrelacion negativ (-0,824, -0,354) ose të ulët (0,000, 0,165) me të gjitha vrojtimet

tjera dhe mund të parashikohet që do të formojë një grup të vetëm. Gjatë shqyrtimit të kolonës së

katërt, mund të shihet se vrojtimi i katërt ka një ngjashmëri të lartë me vrojtimin e gjashtë

(0,699) dhe përsërimi vrojtimi i katërt me vrojtimet e tjera ka një ngjashmëri me drejtim negativ

(-0,060, -0,239). Në kolonën e pestë mund të vëzhgohet që vrojtimi i pestë ka një ngjashmëri të

lartë me vrojtimin e shtatë (0,963) dhe një lidhje me drejtim negativ me vrojtimin e gjashtë. Në

kolonën e gjashtë, vrojtimi i gjashtë ka një koeficient negativ të korrelacionit me ndryshoren e

shtatë, pra, mund të kuptohet që këto vrojtime nuk kanë ngjashmëri ndërmjet vete. Korrelacionet

tregojnë madhësitë e mostrave në njërën anë dhe krahasimet ndërmjet vetë vrojtimeve në anën

tjetër në lidhje me ndryshoret. Mirëpo, matjet e korrelacionit përdoren rrallë sepse në analizën e

grupimit nuk u jepet rëndësi vrojtimeve, por madhësisë së vrojtimeve në lidhje me ndryshoret.

1.5. Matjet e Distancës Matjet e korrelacionit, si aplikime intuitive të cilat përdoren në shumicën e teknikave me

ndryshore të shumëfishta, zakonisht nuk përdoren në analizën e grupimit për matjen e

ngjashmërive. Matësi (matja) e distancës së ngjashmërive mat afërsinë e vrojtimeve në lidhje me

ndryshoret brenda grupeve të ndryshoreve dhe përdoret shpesh për matjen e ngjashmërive.

Tabela 4: Matësi i Ngjashmërive: Distanca e Euklidit (Euclidean)

Vrojtimi

Vrojtimi 1 2 3 4 5 6 7

1 nc

2 3.32 nc

3 6.86 6.63 nc

4 10.24 10.20 6.00 nc

5 15.78 16.19 10.10 7.07 nc

6 13.11 13.00 7.28 3.87 3.87 nc

7 11.27 12.16 6.32 5.10 4.90 4.36 nc

nc: nuk janë llogaritur distancat.

Në tabelën e mësipërme janë matjet e distancave të ngjashmërive të shtatë vrojtimeve dhe

janë zbuluar rezultate të ndryshme nga matjet e korrelacionit. Teksa vrojtimi i parë, krijon një

grup me vrojtimin e dytë dhe të tretë (3,32, 6,86), vrojtimi i katër, vrojtimi i pestë, vrojtimi i

gjashtë dhe vrojtimi i shtatë krijojnë një grup tjetër (10,24, 15,75, 13,11, 11,27). Këto grupe,

përkundër vlerave të ulëta korrespondojnë me vlera të mëdha dhe gjenden dallime të vogla dhe

ngjashmëri të mëdha brenda grupeve. Në vend të zgjedhjes së matjeve të korrelacionit, një

299

hulumtues i cili përdor matjet e përgjithshme të distancave, do të bëj interpretime shumë të

ndryshme të rezultateve. Grupet të cilat marrin për bazë matjet e korrelacionit formohen sipas

mostrave të ngjashme dhe jo sipas ndryshoreve të ngjashme. Grupet e formuara sipas matjeve të

distancës bëjnë krahasimin e ngjashmërive brenda ndryshoreve por mostrat mund të jenë shumë

të ndryshme nga njëra-tjetra. Matja më e përdorur e distancës është distanca e Euklidit. Distanca

e Euklidit supozon se ekzistojnë dy pika, respektivisht koordinatat dy dimensionale (X1, Y1) dhe

(X2, Y2). Distanca e Euklidit ndërmjet pikave është gjatësia e vërtetë e një hipotenuze

trekëndëshe. Ky koncept, mund t’i përgjithësoj në mënyrë të lehtë ndryshoret e shtuara.

Në disa situata përdoren matjet alternative të shprehura si shuma e ndryshimeve absolute të

vrojtimeve ose shuma e ndryshimeve të katrorit. Kjo metodë quhet edhe funksioni i distancës

absolute apo city-block. Çasja city-block mund t’i ndaj dallimet e llogaritura nën kushte të

caktuara, por edhe mund të shkaktojë disa probleme. Në rastin kur nuk ekziston lidhje ndërmjet

ndryshoreve dhe pranohet sikur ekziston një lidhje e tillë, grupet e formuara nuk do të jenë të

vlefshme.

Një problem tjetër është edhe matja e ndryshoreve me matje të ndryshme. Për shembull,

supozojmë se kemi tri vrojtime A, B dhe C dhë bëhet një matje dy ndryshoresh. Nga këto dy

ndryshore, njëra le të jetë koha e hargjuar për të parë reklamën e një produkti (minuta/sekonda)

dhe mundësia e blerjes (përqindja).

Tabela 5: Kohët e Shikimit të Reklamës Sipas Vrojtimeve

Vrojtimi Mundësia e Blerjes (%) Minuta Sekonda

A 60 3.0 180

B 65 3.5 210

C 63 4.0 240

Llogaritjet me këto vlera të distancës së thjeshtë të Euklidit, distancës absolute të Euklidit,

shuma e ndryshimit të katrorëve dhe distanca city-block paraqitur në tabelën e mëposhtme. Sado

që vlerat e distancave të jenë më të vogla, nënkupton që ngjashmëritë/afërsitë janë po aq të

mëdha.

Në qoftë se do të llogaritnim distancën e Euklidit, katrorëve të Euklidit dhe city-block për

çiftin e vrojtimeve A-B;

Distanca e Thjeshtë e Euklidit: (60-65)2 + (3,0-3,5)

2 = √ = 5,025

Distanca e Katrorëve të Euklidit: (60-65)2 + (3,0-3,5)

2 = 25,25

Distanca City-Block: (60-65) + (3,0-3,5) = 5,5

300

Distancat e Kohës së Shikimit me Bazë Minutat

Çiftimi i

Vrojtimit

Distanca e

Thjeshtë e Euklidit

Distanca e

Katrorëve të

Euklidit

Distanca

City-Block

A-B 5.025 25.25 5.5

A-C 3.162 10.00 4.0

B-C 2.062 4.25 2.5

Të njëjtat llogaritje janë bërë edhe për çiftin e vojtimeve A-C dhe B-C dhe janë arritur vlerat

e mësipërme në tabelë. Siç mund të kuptohet nga tabela, vrojtimet të cilat përngjajnë më shumë

njëra-tjetrës janë B dhe C (2,062, 4,25, 2,5) dhe vrojtimet A dhe C. Kurse vrojtimet të cilat

përngjajnë më pak njëra-tjetrës jane vrojtimet A dhe B (5,025, 25,25, 5,5). Të gjitha matjet e

distancave japin rezultate në të njëjtën mënyrë, por distanca e Euklidit e cila tregon katrorët e

ndryshimeve absolute tregon rezultate të ndryshme.

Ndryshimet në matjet e njërës nga ndryshoret shkakton ndryshime në rezultatet e

ngjashmërisë. Kur në vend të kohës së shikimit minutave të merren sekondat, rezultatet e

paraqitura do të ndryshojnë si në tabelën e mëposhtme.

Tabela 6: Dallimet e Distancave Ndërmjet Vrojtimeve

Çiftimi i

Vrojtimit

Distanca e

Thjeshtë e Euklidit

Distanca e

Katrorëve të

Euklidit

Distanca

City-Block

A-B 30.41 925 35

A-C 60.07 3609 63

B-C 30.06 904 32

Në tabelën e mësipërme, mund të shihet se vrojtimet të cilat ngjajnë më shumë janë B dhe

C. Në këtë tabelë, vrojtimet të cilat ngjajnë më pak janë vrojtimet A dhe C. Përderisa vrojtimet A

dhe B përngjanin më pak kur koha e shikimit ishte marrë për minutat, gjatë vlerësimit të

sekondave vlera e ngjashmërisë është rritur ndërmjet tyre. Matja e ndryshores së kohës së

shikimit ka një vend me rëndësi në llogaritje, kurse ndryshorja e mundësisë së blerjes është më

pak e rëndësishme. Gjatë llogaritjeve kur koha e shikimit merret për minuta edhe mundësitë e

blerjes shihet të kenë një peshë më të madhe. Për këtë arsye, hulumtuesit duhet të specifikojnë

patjetër në qoftë se kanë përdorur një matje të ndryshores e cila është e mjaftueshme për të

ndryshuar zgjidhjen e rezultateve. Prandaj, rekomandohet qe hulumtuesit të i shmangin matjet e

ndryshoreve të cilat në masë të mjaftueshme do të ndryshrojnë rezultatet ashtu si në këtë

shembull.

301

Një metodë tjetër standarte e përdorur në pëgjithësi është edhe metoda e Distancës

Mahalanobis e cila bën kombinim drejtëpërdrejtë. Metoda e distancës Mahalanobis llogaritet në

atë mënyrë që distancat ndërmjet vrojtimeve mund të krahasohen me R2 e analizës së regresionit.

Një hulumtues gjatë përdorimit të një matjeje të distancës duhet të kujtoj problemet e

specifikuara të saj. Rasti më i zakonshëm është kur matjet e ndryshme të distancës dërgojnë në

rezultate të ndryshme të grupeve. Hulumtuesit rekomandohen që të përdorin metoda të

ndryshme, të krahasojnë rezultatet me informata teorike dhe me shembuj të punuar më parë.

1.6. Matja e Partneriteteve Matja e partneriteteve të ngjashmërive (association measures of similarity) përdoret vetëm

në krahasimet e të dhënave jometrike. Për shembull, përgjigjjet në formën “po” apo “jo” janë të

dhëna jometrike. Matja e partneriteteve të ngjashmërive bën krahasime ndërmjet çdo dy

përgjegjësve apo vlerëson shkallën e pajtimit. Forma më e thjeshtë e matjes së parteriteteve të

ngjashmërive është dhënia e përqindjes së formës së përshtatjes të përgjigjjedhënësve të cilët i

janë përgjegjur pyetjes me “po” apo “jo”.

1.7. Standardizimi i të Dhënave Përpara se hulumtuesit të zgjedhin matjen e ngjashmërive, duhet të i përgjigjen kësaj

pyetjeje: A është bërë standardizimi i të dhënave përpara llogaritjes së ngjashmërive? Përgjigjja e

kësaj pyetje shpjegon disa pika të rëndësishme. Veçanërisht shumica e matjeve të distancave janë

mjaft të ndjeshme ndaj matësve të ndryshëm apo madhësive ndërmjet ndryshoreve. Ashtu si në

shembullin e mësipërm, ku rezultatet qenë ndryshuar me rastin e ndryshimit të minutave në

sekonda për kohën e shikimit. Zakonisht ndryshoret të cilat tregojnë shpërndarje të madhe

(devijim të madh standart), ndikojnë më shumë rezultatet e ngjashmërisë.

Me shtimin e ndryshoreve edhe matjet e ndryshoreve mund të tregojnë dallim nga njëra-

tjetra. Për këtë arsye, të dhënat duhet të standardizohen përpara se të futen në analizë. Për

shembull, në qoftë se një pjesë e ndryshoreve është matur me matjen e Likertit, pjesa tjetër mund

të jetë matur me para, metra, litër, vit etj. Marrja e këtyre ndryshoreve së bashku në analizë është

gabim dhe do të shkaktojë rezultate të gabueshme. Prandaj, të gjitha ndryshoret e analizës duhet

të shprehen me të njëjtën vlerë.

Forma më e zakonshme e standardizimit është “rezultati Z” që bën konvertimin e çdo

ndryshoreje në vlera standarte. Për këtë përdoret formula “z = (xi-µ) / σ”. Sipas kësaj formule, të

gjitha vlerat konvertohen në një formë që mesatarja aritmetike ëshët “0” dhe devijimi standart

“1”. Në këtë mënyrë, bëhet standardizimi i të dhënave duke i sjellur të dhënat e matjeve të

ndryshme në një bazë të njëjtë. Në ditët e sotme, këto funksione bëhen përmes programeve

302

kompjuterike. Me programet e avancuara kompjuterike mund të bëhen analizat e grupeve duke

bërë procesimin e shumë ndryshoreve dhe vrojtimeve të cilat nuk janë të standardizuara.

1.8. Supozimet e Analizës së Grupimit Analiza e grupimit është një metodë e avancuar objektive për vlerësimin e karakteristikave

të strukturës së vrojtimeve. Në analizën e grupimit, hulumtuesit duhet të përzgjedhin një mostër

të besueshme e cila do të përfaqësojë në mënyrë të saktë strukturën e popullimit. Hulumtuesit

duhet t’a kuptojnë se suksesi i analizës së grupimit është i lidhur me zgjedhjen e një mostreje të

mirë. Prandaj duhet të bëhen përpjekje për të zgjedhur një mostër të besueshme dhe rezultatet

duhet të jenë në atë mënyrë që mund të përgjithësojnë popullimin.

Me rritjen e numrit të ndryshoreve duhet të rritet edhe numri i vrojtimeve. Përforcimi i

sistemeve kompjuterike dhe rritja e vazhdueshme e përdorimit të programeve të avancuara

statistikore, ka ndikuar në rritjen e dëshirës së hulumtuesve për të zvogëluar numrin e

ndryshoreve dhe vrojtimeve. Por sipas një mendimi të përgjithshëm, numri i vrojtimeve duhet të

jetë sa 3-4 herë numri i ndryshoreve.

1.9. Zgjedhja e një Algoritmi të Grupimit Funksioni i grupimit bëhet në dy mënyra: grupimi hierarkik dhe grupimi johierarkik.

Metoda më e përdorur është metoda e grupimit hiearkik. Kjo metodë ndahet në në dy pjesë,

grupimi hierarkik kumulativ (agglomerative hierarchical clustering) dhe grupimi hierarkik

diviziv (divisive hierarchical clustering). Metoda më e përdorur dhe aktive e grupimit hierarkik

është metoda e hierarkisë kumulative. Kjo metodë, në fillim bën grumbullimin e të gjitha

vrojtimeve në një grup, pastaj ato vrojtime të cilat janë më shumë kundër këtij grupi i ndan nga

ky grup dhe mundëson krijimin e një grupi tjetër. Metoda vendos vetë se sa grupe duhet të

krijohen. Pjesa më superiore e metodës hierakike kumulative është se mund të lexohet dhe

interpretohet lehtë. Kurse pjesa më problematike është mosqenia fikse dhe besueshmëria e ulët.

Ndryshe nga kjo, metoda më e përdorur në grupimin johierarkik është metoda e k-

mesatareve (k-means clustering). Grupimi johierarkik ndahet në tri teknika. Këto janë pragu

vijues (sequential threshold), pragu paralel (paralel threshold) dhe ndarja optimale (optimizing

partitioning). Rezultatet e secilës nga tri teknikat janë të përafërta me njëra-tjetrën dhe përdorimi

i vetëm njërës është i mjaftueshëm. Përdorimi i të dyjave, si metodës hierarkike dhe johierarkike

është i dobishëm sepse ofrohet mundësia për të krahasuar se rezultatet e cilës metodës janë më të

përshtatshme.

303

1.10. Grupimi Hierarkik

Metoda më e përdorur brenda metodës hierarkike kumulative është metoda e lidhjeve

(linkage methods). Po ashtu përdoren edhe metoda e variancës dhe metoda centrale. Metodat e

lidhjes ndahen në tri pjesë, lidhja e vetme (single linkage), lidhja e plotë (complete linkage) dhe

lidhja mesatare (average linkage). Kurse funksionet e tyre;

Metoda e lidhjes së vetme: Kryesisht bazohet në distancën më të shkurtër. Bën gjetjen e dy

vrojtimeve të cilat janë më të përafërta me njëra-tjetrën dhe krijohet faza e parë e bërthamës së

grupit. Pas kësaj, gjen dy vrojtore të tjera të përafërta me njëra tjetrën ose një vrojtore tjetër e cila

gjendet afër kësaj selie të grupit dhe bën zgjerimin e grupit. Në këtë mënyrë, mund të krijohet më

shumë se një grup.

Metoda e lidhjes së plotë: I përngjan metodës së lidhjes së vetme. Dallimi i vetëm është

fillimi nga dy ndryshore të largëta.

Metoda e lidhjes mesatare: Nuk fillon nga vrojtimet ekstreme. Merr për bazë vrojtimin i

cili gjendet në mes të grupit.

Metoda e Variancës (Metoda Ward’s): Merr për bazë distancën mesatare të vrojtimit që

gjendët në mes të grupit nga vrojtimet e tjera që gjenden në grup. Ka dobi nga devijimi total i

katrorëve.

Metoda e Qendrës: Merr për bazë mesataret e vrojtimeve të cilat përbëjnë një grup. Në

qoftë se në një grup ka vetëm një vrojtim, vlera e këtij vrojtimi pranohet si qendër.

1.11. Përcaktimi i Numrit të Grupeve

Një çështje tjetër kritike në metodën e grupimit hierarkik është përcaktimi i numrit të

grupeve. Problemi i përcaktimit të numrit të grupeve nuk ekziston në grupimin johiearkik sepse

në grupimin johierarkik numri i grupeve mund të përcaktohet më parë. Por në grupimin hiearkik,

përcaktimi i numrit të grupeve varet nga vendimi i rezultateve të analizës. Ky përcaktim mund të

bëhet në tri mënyra.

304

1.12. Koeficientët e Distancës

Koeficientët e distancës mund të merren si matje për përcaktimin e numrit të grupeve. Në

këtë rast koeficientët e tabelës kumulative apo grafiku i pemës mund të jenë përcaktues. Në fund

të temës, gjatë shqyrtimit të shembullit, do të vërehet një rritje e madhe e koeficientëve në fazën

e shtatëmbëdhjetë, tetëmbëdhjetë dhe nëntëmbëdhjetë (79.667,172.667, 328.600).

1.13. Grafiku i Pemës Gjatë shqyrtimit edhe të grafikut të pemës nëpër aplikimet e shembujve, mund të arrihen

rezultatet e njëjta. Vrojtimet e shembullit në vazhdim, shihet të grupohen më shumë tri grupe

(14- - - 18), (2- - - 20) dhe (3- - - 15). Në grupin e parë dhe të dytë gjenden 6 vrojtime dhe në

grupin e tretë 8 vrojtime. Këto vrojtime janë përcaktuar pranë grafikut të pemës.

Programi SPSS, do të shfaq dritaren e mëposhtme për grumbullimin hierarkik.

Figura 2: Dritarja e Grupimit Hierarkik

Këtu në qoftë se dëshirojmë që programi të bëj vetë grupimin etikohet përzgjedhja “None”,

në qoftë se dëshirohet një grupim fiks etikohet përzgjedhja “Sing solution”, në qoftë se

dëshirohet një interval i caktuar i grupeve (p.sh. më së paku 2 dhe më së shumti 4), etiketohet

përzgjedhja “Range of solutions”.

305

1.14. Grupimi Johiearkik Metoda e përdorur në grupimin johierarkik është metoda e grupimit të k-mesatareve. Këtu

mund të përcaktohet më parë numri i grupeve. Kjo bëhet duke u bazuar në njohuritë dhe përvojat

e hulumtuesit. Pastaj bëhet zgjedhja e vojtimeve tipike për secilin grup. Vrojtimet e ngjashme,

grupohen një nga një përrreth vrojtimit tipik. Këtu duke përdorur llojet e testit ANOVA shikohen

mesataret e secilit vrojtim që përbëjnë grupin sipas ndryshoreve. Avantazhi më i lartë është

besueshmëria. Përkundër kësaj problemi i vetëm është interpretimi i vështirë.

Edhe grupimi johierarkik ndahet në tri pjesë përbrenda vetes. Këto janë pragu vijues

(sequential threshold), pragu paralel (paralel threshold) dhe ndarja optimale (optimizing

partitioning). Rezultatet e secilës nga tri teknikat janë të përafërta me njëra-tjetrën dhe përdorimi

i vetëm njërës është i mjaftueshëm.

Ngaqë në grupimin e k-mesatareve numri i grupeve përcaktohet nga hulumtuesi, është e

nevojshme që të sqarohen disa çështje. E para është numri i përsëritjeve të funksioneve (iteration

numbers) dhe kriteri i konvergjencës (convergence criterion). Burimet sugjerojnë që funksionet

duhet të përsëriten më së shumti deri në dhjetë herë dhe kriteri i konvergjencës të jetë një numër i

vogël sipas mundësive ndërmjet 0 dhe 1. Me zvogëlimin e kësaj norme, hudhja e vrojtimeve

nëpër grupe është më e besueshme.

Një çështje tjetër kritike në grupimin e mesatareve k është edhe distanca e anëtarësisë së

grupit të vrojtimeve nga qendra e grupit të vrojtimeve. Këto dy të dhëna tregojnë edhe

homogjenitetin e vrojtimeve që bëjnë pjesë në grup edhe afërsinë ndërmjet tyre. Po ashtu,

qendrat fillestare të grupit dhe mesataret e ndryshoreve të çdo grupi gjenden me ANOVA.

Qendrat e Para të Grupeve: Është e nevojshme që të dihen qendrat e grupeve të

përcaktuara më parë sipas ndryshoreve. Qendrat e para grupore nuk janë mesatare aritmetike, ato

tregojnë vetëm qendrën e çdo grupi sipas asaj ndryshoreje.

Informatat e Përsëritjes: Tregojnë numrin e pësëritjeve të funksionit. Sugjerohen deri në

10 përsëritje (iteracione). Por në qoftë se grupimi ndodh me më pak funksione, atëherë përsëritja

nuk ka nevojë që të vazhdohet deri në 10.

Anëtarësia e Grupeve: Është një nga daljet me të rëndësishme në grupimin johierarkik.

Këtu përcaktohet se cili vrojtim është anëtar i cilit grup. Nga kjo tabelë është e mundshme që të

gjendet distanca e anëtarit të secilit vrojtim nga grupi në të cilin gjendet. Në këtë mënyrë ëshë e

mundur që të identifikohen vrojtimet më të rëndësishme brenda grupit. Hulumtuesit mund të

nxjerrin rezultate të rëndësishme nga kjo tabelë. Për shembull, duke i sjellur së bashku anëtarët e

një grupi dhe duke vrojtuar karakteristikat e përbashkëta, mund të bëhet emërimi i vrojtimeve në

këtë grup. Ky funksion edhe pse i përngjan emërimit në analizën faktoriale, në analizën

faktoriale përderisa emërohen ndryshoret, në analizën e grupimeve emërohen vrojtimet.

306

Qendrat e Fundit të Grupeve: Është një tjetër dalje me rëndësi në analizën e grupimit

johierarkik. Tregojnë mesataret e ndryshoreve sipas grupeve. Përfshin rezultate shumë të

rëndësishme rreth ndryshoreve dhe grupeve.

Distancat Ndërmjet Qendrave të Fundit të Grupeve: Ky rezultat tregon largësinë e një

grupi nga një grup tjetër. Vlerat e distancës ndërmjet dy grupeve sado që të jenë të vogla në

krahasim me të tjerat, mund të thuhet se këto dy grupe janë po aq të afërta njëra me tjetrën në

krahasim me grupet tjera. Me rritjen e vlerave të distancës, ngjashmëria zvogëlohet. Këto

rezultaten bëhen më të kuptimta dhe më të rëndësishme pas emrimit të grupeve.

Rezultatet ANOVA: Rezultatet ANOVA në analizën e grupimit përdoren për të mësuar

dallimet e ndryshoreve sipas grupeve. Dallimet e ndryshoreve sipas grupeve janë normale sepse

me analizën e grupimit dallimi ndërmjet grupeve është përcaktuar në nivelin më të lartë. Të

dhënat nga ANOVA përdoren vetëm për qëllime përshkruese.

Numri i Njësive në Grupe: Është e rëndësishme se sa anëtar gjenden në secilin grup. Nuk

është kusht që numri i anëtarëve të jetë i njëjtë në çdo grup por as nuk preferohet situata kur

ekzistojnë dallime të mëdha ndërmjet numrit të anëtarëve të grupeve.

1.15. Rregullimi i Analizës së Grupimit

Që të jetë e pranueshme një zgjidhje e analizës së grupimit duhet që hulumtuesi të shqyrtojë

strukturat themelore që prezantojnë grupet. Mirëpo duhet të kihet kujdes në rastet e

jashtëzakonshme kur grupet përbëhen vetëm nga një apo dy vrojtime apo kur madhësitë e

grupeve janë plotësisht të ndryshme nga njëra-tjetra. Një hulumtues gjatë shqyrtimit të

rezultateve i cili ndeshet me grupe të cilat kanë madhësi shumë të ndryshme nga njëra-tjetra, në

fillim duhet që të shqyrtojë literaturën, të krahasojë rezultatet e arritura me studimet e bëra më

parë dhe të krahasojë rezultatet e arritura me qëllimet dhe pritjet e hulumtimit.

Një problem tjetër janë grupet një vrojtimshe. Në qoftë se ekzistojnë vrojtime të tilla të

veçanta, këto vrojtime mund të nxirren nga analiza qysh në fillim. Në qoftë se ka grupe një

anëtarësh (një vrojtim apo në krahasim me grupet e tjera shumë i vogël), hulumtuesi duhet të

vendos këtë: Ky grup a tregon një strukturë të vlefshme brenda mostrës? Në qoftë se jo, ky

vrojtim mund të nxirret. Në qoftë se nxirret një vrojtim, sidomos kur punohet me zgjidhje

hierarkike, hulumtuesit duhet që t’a përsërisin analizën e grupimit dhe duhet të bëhet njohja e

grupeve përsëri.

307

1.16. Interpretimi i Grupeve Rreshti i parë në analizën e grupimit hierarkik, tregon fazën e parë të analizës së grupimit

dhe kolona e fazës tregon se nga sa grupe përbëhet zgjidhja. Nën titullin “Grupet e Kombinuara”

në Grupin 1 mund të shihen dy vrojtimet me të përafërta me njëra-tjetrën. Kështu, pas kësaj,

kolona “Koeficientët” mat distancën ndërmjet grupeve. Ky koeficient njihet si distanca e

katrorëve euklidian (sqaured euclidean distance) dhe sado që të jetë i vogël ky numër, tregon që

vrojtimet po aq (ngjajnë) janë më afër njëra-tjetrës. Kolona “Faza e Parë e Paraqitjes së

Grupeve” tregon se në cilën fazë formohet një grup. Kurse kolona “Faza e Ardhshme” tregon se

dy vrojtimet e atij rreshti në cilën fazën do të formojnë një grup duke u bashkuar me një vrojtim

tjetër. Në fazën e dytë dy vrojtimet e dyta shihet të jenë më të përafërta me njëra-tjetrën. Lidhjet

ndërmjet vrojtimeve gjatë fazave dhe interpretimet do të tregohen në më detaje gjatë shqyrtimit

të shembullit. Të gjitha fazat vazhdojnë derisa të arrihet në fazën e fundit. Në fazën e fundit,

tashmë distancat ndërmjet vrojtimeve do të jenë rritur. Në fund, të gjitha vrojtimet janë futur nën

një grup. Ky shpjegim është i mundur të bëhet edhe përmes grafikut të pemës duke e lexuar nga

e majta në të djathtë.

1.17. Vlefshmëria dhe Profili i Grupeve Vlefshmëria e cila garanton besueshmërinë e punimit të hulumtuesit shpreh se zgjidhja e

grupimit përfaqëson popullimin e përgjithshëm dhe në këtë mënyrë mund të bëhet përgjithësimi

për objektet/individët e tjerë dhe se kjo është e pandryshueshme. Për të krahasuar rezultatet e

analizës së grupimit dhe për të vlerësuar qëndrueshmërinë e rezultateve ekzistojnë metoda të

ndryshme nga analiza e grupimit. Në të njëjtën kohë, për shkak të kufizimeve të kohës dhe

kostove apo mosarritja me lehtësi tek klientët prej të cilëve janë mbledhur të dhënat, nuk është

edhe aq e mundur që të aplikohen këto çasje. Një çasje e përgjithshme e pranuar në vlerësimin e

vlefshmërisë është ndarja e mostrave në dy grupe. Bëhet analiza e grupimit për secilin grup të

ndarë dhe rezultatet krahasohen. Në një formë tjetër, mirren qendrat e grupeve nga njëri grup dhe

këto qendra përdoren për të njohur grupet e tjera të grupit të dytë. Pastaj kontrollohet vlefshmëria

duke i krahasuar rezultatet ndërmjet dy grupeve.

Pasi të krahasohen rezultatet e analizës së grupimit hiearkik dhe grupit johierarkik të

vrojtimeve të ndryshoreve të përcaktuara, mund të përcaktohet profili i grupeve. Tabela më e

rëndësishme e cila do të përdoret në përcaktimin e profilit është “qendrat finale të grupeve”.

Gjatë shqyrtimit të grupeve, mund të bëhet interpretim rreth karakteristikave të këtyre grupeve

dhe duke i identifikuar profilet e tyre mund t’u jipen emra grupeve.

308


Një pronar galerie duke shqyrtuar profilet e klientëve dëshiron të identifikojë se a ekziston

ndonjë dallim ndërmjet profesionit të klientëve, rrjedhimisht statustit të të ardhurave dhe

pikëpamjeve ndaj automobilave. Në fund të hulumtimit, pronari i galerisë do t’i ndryshojë

shërbimet në lidhje me grupin shënjestër të cilët interesohen më shumë me makina dhe për të

siguruar kënaqësinë konsumatore. Duke përdorur teknikën e anketës është kërkuar vlerësimi i

deklaratave më poshtë nga një grup i mostrës i përbërë nga 20 vetë të cilët janë zgjedhur në

mënyrë të rastësishme gjatë ardhjes në galeri. Anketa është përgatitur me 7 Matjet e Likertit dhe

është kërkuar nga pjesëmarrësit që të identifikojnë edhe profesionin e tyre.

X1: Më pëlqen që të merrem (interesohem) me makina.

X2: Blerja e makinës e vështirëson buxhetin tim.

X3: Në ditët e sotme është e domosdoshme që të kesh një makinë.

X4: Gjatë blerjes së makinës në fillim i kushtoj kujdes çmimit.

X5: Nuk i di karakteristikat e makinave.

X6: Nuk më pëlqen që t’a ndërroj makinën time.

Shembulli në fillim është zgjidhur me metodën e analizës së grupimit hierarkik dhe pastaj

me metodën e analizës së grupimit johiearkik.

2.1. Analiza e Grupimit Hiearkik Hapi 1: Gjashtë deklaratat e 20 vrojtimeve janë ngarkuar si më poshtë në “Data Editor”.

Këtu gjatë njohjes së ndryshoreve, llojet e ndryshoreve X1....X6 duhet të jenë “numeric” dhe

ndryshorja e profesionit duhet të jetë “string”.

309


Hapi 2: Nga komanda “Analyze” përzgjedhjet “Classify” dhe pas kësaj përzgjedhet

komanda “Hierarchical Cluster”.

310

Hapi 2: Menyja Filluese e Analizës së Grupimit

Hapi 3: Në dritaren e hapur, ndryshoret X1...X6 barten në kutinë “Variable(s)” dhe

ndryshorja “profesioni” bartet në kutizën “Label Cases By”.

Hapi 3: Dritarja e Analizës së Grupimit

311

Hapi 4: Në fillim klikohet në komandën “Statistics” dhe bëhet etiket e nevojshme të

treguara më poshtë.


312

Hapi 5: Duke klikuar “Continue” bëhet kthimi në dritaren kryesore dhe pastaj klikojmë

komandën “Plots” ku bëhen etiketimet e mëposhtme.


Hapi 6: Përsëri duke klikuar butonin “Continue” bëhet kthimi në dritaren kryesore. Këtë

radhë duke klikuar komandën “Methods” hapet dritarja e më poshtme dhë bëhen përzgjedhjet e

nevojshme.

313

Hapi 6: Dritarja e Metodave

Në fund duke klikuar “Continue” bëhet kthimi në dritaren kryesore dhe për fitimin e

rezultateve klikohet “OK” dhe përfitohen rezultate e mëposhtme.

Tabela 7: Rezultatet e Analizës së Grupimit

Case Processing Summarya,b

Cases

Valid Missing Total


20 100.0 0 .0 20 100.0

a. Squared Euclidean Distance used

b. Ëard Linkage

Tabela e mësipërme tregon se analiza është kryer nga 20 vetë dhe tregon përdorimin e

distancës së katrorëve euklidian dhe metodës Ward.

314

Agglomeration Schedule

Stage

Cluster Combined

Coefficients

Stage Cluster First Appears

Next Stage Cluster 1 Cluster 2 Cluster 1 Cluster 2

1 14 16 1.000 0 0 6

2 6 7 2.000 0 0 7

3 2 13 3.500 0 0 15

4 5 11 5.000 0 0 11

5 3 8 6.500 0 0 16

6 10 14 8.167 0 1 9

7 6 12 10.500 2 0 10

8 9 20 13.000 0 0 11

9 4 10 15.583 0 6 12

10 1 6 18.500 0 7 13

11 5 9 23.000 4 8 15

12 4 19 27.750 9 0 17

13 1 17 33.100 10 0 14

14 1 15 41.333 13 0 16

15 2 5 51.833 3 11 18

16 1 3 64.500 14 5 19

17 4 18 79.667 12 0 18

18 2 4 172.667 15 17 19

19 1 2 328.600 16 18 0

Rreshti i parë tregon fazën e parë të analizës së grupimit dhe përbëhet nga 19 grupe. Nën

titullin “Grupet e Kombinuara” (Cluster Combined), në Grupin 1 vrojtimi i katërmbëdhjetë (pra

student) me vrojtimin e gjashtëmbëdhjetë (pra punëtor) në Grupin 2 shihet të jenë vrojtimet më

të përafërta me njëra-tjetrën. Kështu, kolona e ardhshme “Koeficientët” mat distancën ndërmjet

vrojtimeve dhe distanca ndërmjet këtyre dy vrojtimeve shihet të jetë 1. Ky koeficienti njihet si

distanca e katrorëve euklidian (squared euclidean distance) dhe tregon se këto dy vrojtime janë

më të përafërta me njëri-tjetrin. Kolona “Faza e Parë e Paraqitjes së Grupeve” (Stage Cluster

First Appears) tregon se në cilën fazë formohet një grup. Kurse kolona “Faza e Ardhshme”

tregon se dy vrojtimet e atij rreshti në cilën fazë formojnë një grup duke u bashkuar me një

vrojtim tjetër. Për shembull, në rreshtin e parë, faza e ardhshme shihet të jetë faza e gjashtë. Pra

vrojtimi i katërmbëdhjetë dhe gjashtëmbëdhjetë të cilët marrin pjesë në këtë rresht, do të

formojnë grupin e parë në fazën e gjashtë duke marrë edhe një tjetër në mesin e tyre. Kur të

shkohet në fazën e gjashtë, shihet se vrojtimi i dhjetë (polic) u bashkangjitet vrojtimit të

katërmbëdhjetë dhe të gjashtëmbëdhjetë dhe se në kolonën “Faza e Parë e Paraqitjes së Grupeve”

në fazën e gjashtë në “Grupi 2” është formuar një grup.

315

Në fazën e dytë, vrojtimet më të përafërta janë vrojtimi i gjashtë dhe i shtatë (inxhinier dhe

student). Distanca ndërmjet tyre është 2. Në fazën e shtatë, duke iu bashkangjitur një vrojtim

tjetër këtyre dyve, formohet një grup. Po të shikojmë fazën e shtatë, mund të vërejmë se vrojtimi

i dymbëdhjetë (tregtar) u bashkohet vrojtimit të gjashtë dhe të shtatë dhe në kolonën “Grupi 1” të

“Fazës së Parë të Paraqitjes së Grupeve” është formuar grupi i dytë.

Kur të shikojmë fazën e tretë, mund të vërejmë bashkimin e vrojtimit të dytë dhe të

trembëdhjetë (pensioner dhe kontabilist). Distanca ndërmjet tyre është 3,5. Këta do të grupohen.

në fazën e pesëmbëdhjetë duke marrë një të ngjashëm Kur të shikohet faza e pesëmbëdhjetë,

shihet se këtyre u është shtuar vrojtimi i pestë (shërbyes civil). Në këtë grup formohet selia e

tretë e një grupi. Por këtu shfaqet një situatë e ndryshme. Nga “Faza e Parë e Paraqitjes së

Grupeve” në “Grupin 2” shihet grupi i tretë dhe në të njëjtën kohë në “Grupin 2” shihet numri

11. Kjo tregon që vrojtimi i pestë është element i grupit të tretë dhe në të njëjtën kohë në fazën e

ardhshme do të jetë element i grupit të njëmbëdhjetë.

Të gjitha fazat vazhdojnë në këtë mënyrë derisa të arrihet në fazën e nëntëmbëdhjetë.

Tashmë në fazën e nëntëmbëdhjetë distancat ndërmjet vrojtimeve janë rritur dukshëm. Në fund,

të gjitha vrojtimet janë mbledhur nën një grup të vetëm. Ky shpjegim është i mundur të bëhet

edhe përmes grafikut të pemës duke e lexuar nga e majta në të djathtë.

316

Tabela 8: Grafiku i Pemës

Gjatë shqyrtimit të shembullit, vërehet një rritje e madhe e koeficientëve në fazën e

shtatëmbëdhjetë, tetëmbëdhjetë dhe nëntëmbëdhjetë (79.667,172.667, 328.600). Kurse në

grafikun e pemës, vrojtimet shihet të jenë ndarë më shumë në tri grupe (14- - - 18), (2- - - 20)

dhe (3- - - 15). Në grupin e parë dhe të dytë gjenden 6 vrojtime dhe në grupin e tretë 8 vrojtime.

Këto vrojtime janë përcaktuar pranë grafikut të pemës. Gjatë shqyrtimit të koeficientëvë të

distancës dhe grafikut të pemës, mund të shihet qartë që do të jenë tri grupe. Por në rastin kur

janë 2 grupe apo 4 grupe, për të parë se në cilin grup do të jenë vrojtimet dhe sa vrojtime do të

jenë në secilin grup, etiketohet përzgjedhja “Range of solutions”.

317

Hapi 7: Përcaktimi i Numrit të Dëshiruar të Vrojtimeve në Grupet e Përfituara

Pasi të bëhen përzgjedhjet e duhura klikohet butoni Continue dhe do të paraqiten rezultatet

e mëposhtme në “Data Editor”.

318

Në qoftë se dëshirohet që numri i grupeve të jetë katër, në grupin e katërt paraqitet vetëm

vrojtimi i tetëmbëdhjetë (profesor). Kjo nuk është një zgjidhje logjike. Në qoftë se dëshirohet që

të jenë 2 grupe, në grupin e parë paraqiten 8 vrojtime dhe në grupin e dytë 12 vrojtime. Prirja e

vrojtimit të katërt (profesor), dhjetë (polic), katërmbëdhjetë (student), gjashtëmbëdhjetë

(profesor) dhe nëntëmbëdhjetë (shërbyes civil) të grupit të dytë për të formuar një grup

përbrenda vetes mund të shihet edhe nga grafiku i pemës. Në këtë rast, grupi duhet të ndahet në

dy pjesë për vrojtimet e tjera të mbetura në grup, gjë që kjo tregon se numri ideal i grupeve është

tre.

2.2. Analiza e Grupimit Johiearkik Hapi 1: Gjashtë deklaratat e 20 vrojtimeve janë ngarkuar si më poshtë në “Data Editor”.


319

Hapi 2: Nga komanda “Analyze” përzgjedhjet “Classify” dhe komanda “K-Means

Cluster”.

Hapi 2: Menyja Filluese e Analizës së Grupimit Johierarkik

Hapi 3: Në dritaren e hapur ndryshoret X1...X6 barten në kutinë “Variables dhe ndryshorja

“profesioni” në kutizën “Label Cases by”. Numri i grupeve përcaktohet 3. Klikohet në komandën

“Iterate” dhe hapet dritarja përkatëse.

320

Hapi 3: Dritarja e Analizës së Grupimit Johierarkik

Hapi 4: Pasi të hapet dritarja “Iterate”, përcaktohet 10 “Maximum Iterations” dhe 0,2

“Convergence Criterions”.

Hapi 4: Dritarja e Iteracionit

321

Hapi 5: Përzgjedhja e radhës është komanda “Save”. Kur të klikohet në komandën “Save”

do të hapet dritarja përkatëse dhe bëhen etiketimet e nevojshme si më poshtë. Rezultati i këtyre

etiketime nuk është në dalje, por do të renditen afër vrojtimeve në “Data Editor”.

Hapi 5: Dritarja e Ruajtjes së Ndryshoreve të Reja

Hapi 6: “QCL_1” e cila do të shfaqet në Data Editor tregon për secilën ndryshore në cilin

grup ndodhet dhe “QCL_2” tregon distancën e secilit vrojtim nga qendra e grupit.

Hapi 6: Paraqitja e Vrojtimeve të Përfituara në Ekranin e të Dhënave në SPSS

Hapi 7: Në fund, duke klikuar komandën “Options” bëhen etiketimet e mëposhtme.

322


Dhe krejt në fund, klikohet butoni Continue dhe OK dhe përfitohen rezultatet e

mëposhtme.

Tabela 9: Qendrat e Para të Grupeve

Initial Cluster Centers

Cluster

1 2 3

Më pëlqen që të merrem me

makina. 4.00 2.00 7.00

Blerja e makinës e

vështirëson buxhetin tim. 6.00 3.00 2.00

Në ditët e sotme është e

domosdoshme që të kesh

një makinë.

3.00 2.00 6.00

Gjatë blerjes së makinës në

fillim i kushtoj kujdes çmimit. 7.00 4.00 4.00

Nuk i di karakteristikat e

makinave. 2.00 7.00 1.00

Nuk më pëlqen që t’a

ndërroj makinën time. 7.00 2.00 3.00

Qendrat e para të grupeve (Initial Cluster Centers): Siç u përcaktua më parë që do të

jenë tri grupe, është e dobishme që të gjenden qendrat e këtyre grupeve të ndryshoreve. Vlerat e

qendrave të grupeve, tregojnë qendrat e secilit grup në lidhje me atë ndryshore.

323

Tabela 10: Tabela e Përsëritjeve (Iteration History)

Iteration Historya

Iteration

Change in Cluster Centers

1 2 3

1 2.154 2.102 2.550

2 .000 .000 .000

a. Convergence achieved due to no or small

change in cluster centers. The maximum

absolute coordinate change for any center is

.000. The current iteration is 2. The minimum

distance between initial centers is 7.746.

Tabela e Përsëritjeve (Iteration History): Tabela e përsëritjeve jep numrin e

përsëritjeve. Në shembull, qenë sugjeruar më shumë 10 përsëritje. Mirëpo programi tregon se në

2 përsëritje janë formuar 3 grupe. Prandaj, nuk ka qenë e nevojshme të bëhen 10 përsëritje.

Tabela 11: Anëtarësia e Grupeve (Cluster Membership)

Cluster Membership

Case Number profesioni Cluster Distance

1 Doktor 3 1.414

2 Pensioner 2 1.323

3 Investues 3 2.550

4 Profesor 1 1.404

5 Shërbyes civil 2 1.848

6 Inxhinier 3 1.225

7 Student 3 1.500

8 Doktor 3 2.121

9 Amvise 2 1.756

10 Polic 1 1.143

11 Punëtor 2 1.041

12 Tregtar 3 1.581

13 Kontabilist 2 2.598

14 Student 1 1.404

15 Avokat 3 2.828

16 Punëtor 1 1.624

17 Arkitekt 3 2.598

18 Profesor 1 3.555

19 Shërbyes civil 1 2.154

20 Infermiere 2 2.102

324

Tabela e Anëtarësisë së Grupeve (Cluster Membership): Nga kjo tabelë mund të nxirren

rezultate me rëndësi. Për shembull, duke i vlerësuar së bashku vrojtimet e secilit grup (kolona

cluster) dhe duke i shqyrtuar karakteristikat e përbashkëta këtyre grupeve mund të u jipet një

emër i përbashkët.

Tabela 19: Qendrat e Fundit të Grupeve (Final Cluster Centers)

Final Cluster Centers

Cluster

1 2 3


makina. 3.50 1.67 5.75

Blerja e makinës e

vështirëson buxhetin tim. 5.83 3.00 3.63



një makinë.

3.33 1.83 6.00


fillim i kushtoj kujdes çmimit. 6.00 3.50 3.13


makinave. 3.50 5.50 1.88


ndërroj makinën time. 6.00 3.33 3.88

Kjo tabelë jep mesataret e gjashtë ndryshoreve në 3 grupe. Për shembull, grupit të tretë i

pëlqen më shumë që të merret me makina (5,75), kurse grupit të parë (3,50) i pëlqen më së paku.

Tabela 13: Distancat Ndërmjet Qendrave të Fundit të Grupeve

Distances between Final Cluster Centers

Cluster 1 2 3

1 5.568 5.698

2 5.568 6.928

3 5.698 6.928

Nga kjo tabelë mund të themi se grupi i parë dhe grupi i dytë janë më të përafërt me njëri-

tjetrin dhe se grupi i dytë dhe grupi i tretë janë më larg njëri-tjetrit. Kjo do të thotë që grupi i parë

merr pjesë në mes të grupit të dytë dhe grupit të tretë.

325

Tabela 14: Numri i Vrojtimeve Përkatëse Për Secilin Grup

Number of Cases in each

Cluster

Cluster 1 6.000

2 6.000

3 8.000

Valid 20.000

Missing .000

Në tabelën e mësipërme janë dhënë numrat e vrojtimeve përkatëse për secilin grup.

Tabela 15: Rezultatet e ANOVA-së të Analizës së Grupimit

ANOVA

Cluster Error

F Sig. Mean Square df Mean Square df


makina. 29.108 2 .608 17 47.888 .000

Blerja e makinës e

vështirëson buxhetin tim. 13.546 2 .630 17 21.505 .000



një makinë.

31.392 2 .833 17 37.670 .000


fillim i kushtoj kujdes çmimit. 15.713 2 .728 17 21.585 .000


makinave. 22.537 2 .816 17 27.614 .000


ndërroj makinën time. 12.171 2 1.071 17 11.363 .001

Rezultatet e ANOVA-së brenda analizës së grupimit duhet të përdoren për të mësuar

dallimet e ndryshoreve sipas grupeve. Dallimet e ndryshoreve sipas grupeve janë normale sepse

analiza e grupimit e ka krijuar vetë këtë ndryshim dhe e ka bërë maksimal dallimin ndërmjet

grupeve. Kështu që, shpërndarja e vrojtimeve nëpër grupe nuk është e rastësishme.

326

15. ANALIZA E BESUESHMËRISË

(RELIABILITY ANALYSIS)

327

ANALIZA E BESUESHMËRISË (RELIABILITY ANALYSIS)

Në matjen e karakteristikave të ndryshme si sjelljeve, qëndrimeve dhe të dhënave të

popullimit apo të zgjedhur rastësisht njësive të mostrës në lidhje me çështjen e hulumtimit, janë

zhvilluar matës të ndryshëm të tilla si anketat, të njohura si mjete matëse që përbëhen nga një

numër i caktuar pyetjesh. Gjatë krijimit të një mjeti të besueshëm matjetje (matësi) duhet të

kihen parasysh shumë pika. Disa nga këto pika janë aftësia e pyetjeve të cilat e përbëjnë matësin

për të zbuluar saktësinë e hulumtimit, ekzistimi i lidhjes ndërmjet tyre, qëndrueshmëria, të qenit

të kuptueshme dhe në numër të mjaftueshëm etj.

Për të përcaktuar besueshmërinë e një matjeje të bërë mbi një ndryshore, analiza e

korrelacionit është një nga aplikimet më të rëndësishme. Në qoftë se matjet mbi një set të

objekteve (njësi-objects) nuk mund të përfitohen përsëri nënkupton që ekzistojnë ndryshore

ekstreme të rezultateve (pikëve) të fituara ose rezultatet e perfituara nga secili objekt (njësi) janë

të rastësishme. Sidoqoftë në secilin rast, në qoftë se matja e njësisë nuk reflekton karakteristikat

e veta, nuk njihet si një matje e mirë.

Koncepti i besueshmërisë është i nevojshëm për secilën matje të bërë sepse besueshmëria

shpreh qëndrueshmërinë ndërmjet pyetjeve të cilat marrin pjesë në një test apo anketë dhe në

çfarë mase matësi i përdorur pasqyron pyetjen. Besueshmëria përbën një bazë për interpretimin e

matjeve të përfituara dhe analizave të cilat mund të zbulohen më vonë.

Gjatë vrojtimit të një seti të njësive për një ndryshore, pyetja e parë e cila do na vij në

mendje është se shpërndarja e rezultateve të përfituara a është e rastësishme apo njësitë burojnë

nga karakteristikat e tyre të vërteta. Në rastin e dytë, në matjet e bëra në kohë të ndryshme secila

njësi do të ketë vlera të njëjta apo të ngjashme të rezultateve. Në këtë rast mund të themi se

matësit janë të besueshëm, në të kundërtën matësit nuk janë të besueshëm.

Shembull: Le të supozojmë se një firmë dëshiron të aplikoj një test me qëllim për të matur

diturinë e kandidatëvë që kanë aplikuar për punë. Ky test le të jepet ndaras në dy ditë. Në qoftë

se rezultatet e dy ditëve nuk tregojnë ndonjë lidhje ndërmjet vete atëherë ky rast shpreh se

ekziston një problem në testin e aplikuar apo në kandidatët që kanë aplikuar për punë sepse në

qoftë se testi të cilin e kemi aplikuar është i qëndrueshëm, pritjet tona nga rezultatet janë që ata të

cilët kanë marrë rezultate të larta apo të ulëta në ditën e parë, do të shfaqin një situatë të njëjtë

apo të ngjashme brenda dy ditëve. (Këto lloje të testeve quhen testimi-ritestimi i besueshmërisë

(test-retest reliability)). (Burimi: Kachigan. Sam K. “Multivariate Statistical Analysis: a

conceptual introduction”, 2nd ed.. Radius Press. Neë York)

Analiza e Besueshmërisë (Reliability Analysis) është metodë e zhvilluar për vlerësimin e

karakteristikave dhe besueshmërisë së testeve, anketave apo matësve të përdorur gjatë matjes.

Me procedurën e Analizës së Besueshmërisë bëhet llogaritja e koeficientëve të cilët

328

përcaktojnë besueshmërinë e rezultateve (pikëve) totale të matësve si Likertit, tipi Q dhe

përfitohen informata në lidhje me marrëdhënien ndërmjet pyetjeve të matësit.

Në qoftë se do t’a përmbledhnim me një shembull: për hulumtimin e kënaqësisë

konsumatore, për anketën apo testin e përgatitur, duke e bërë analizën e besueshmërisë mund të

hulumtojnë pyetjen “Kënaqësia konsumatore a është duke u matur në një mënyrë të mirë?”. Po

ashtu, me ndihmën e kësaj analize, mund të grupohen pyetjet përkatëse dhe mund të zbulohen

pyetjet problematike të matësit.

1. SUPOZIMET E ANALIZËS SË BESUESHMËRISË Njësitë e vrojtuara duhet të jenë të pavarura nga njëra-tjetra dhe nuk duhet të ketë

marrëdhënie ndërmjet gabimeve dhe pyetjeve të cilat e përbëjnë matësin.

Çdo pyetje çifte dy-ndryshoresh duhet të ndjek shpërndarjen normale.

Matësi duhet të ketë karakteristikën e shtimit (additivity). Në këtë mënyrë çdo pyetje e

matësit do të ketë lidhje lineare me rezultatet totale.

Si shtesë e supozimeve të mësipërme, për t’a bërë analizën e besueshmërisë duhet të

kihen parasysh dy kushte në lidhje me numrin e nevojshëm të k pyetjeve të cilat e

përbëjnë matësin dhe n njësive ndaj të cilave aplikohet matësi.

Këto janë:

Numri i pyetjeve të cilat e përbëjnë matësin (me përjashtim të çështjeve të cilat

hulumtojnë karakteristikat individuale) duhet të jetë k > 30

Numri i njësive të pavarura ndaj të cilave do të aplikohet matësi duhet të jetë n > 50.

2. ANALIZAT DHE TESTET NË LIDHJE ME MATËSIT Në qoftë se do t’i përmbledhnim shkurtë analizat dhe testet në lidhje me besueshmërinë e

matësit të cilat do të na i jep SPSS në vazhdim:

Njësitë (individët) përgjegjës të pyetjeve të një matësi dhe rëndësia e tyre sipas pyetjeve

bëhet me analizën e variancës dy drejtimshe (two-way analysis of variance). Kurse

analiza e ngjashmërisë ndërmjet pyetjeve që e përbëjnë matësin përfitohet me testin F.

Në qoftë se përgjigjjet e pyetjeve të matësit janë dhënë me rezultate (pika) renditëse,

analiza e dallimeve ndërmjet individëve dhe pyetjeve bëhet me testin Friedman

Katrori-Ki (Friedman Chi-square test).

Në qoftë se përgjigjjet e pyetjeve të matësit janë dhënë dy vlerash në formën 0 apo 1,

atëherë analiza e rëndësisë sipas individëve dhe pyetjeve bëhet me testin Cochran

Katrori-Ki (Cochran Chi-square).

Përshtatshmëria e një matësi me llojin shtues (additivity) të matësit bëhet me testin

mbledhës Tukey (Tukey’s additivity test).

329

Për të parë se pyetjet e një matësi a përceptohen me të njëjtën çasje nga individët dhe

secila pyetje e cila merr pjesë në matës a është e barabartë me shkallën e vështirësë

përdoret statistika Hotelling T2 (Hotelling’s T

2 statistic).

Në disa hulumtime matës themelorë janë sjelljet e përfituara nga testet e shkruara apo

gojore ose vrojtimet e koduara mbi njësitë. Në të këtilla situata, veçanërisht, ekzistojnë dy

apo më shumë vlerësues (rater) vrojtues të sjelljeve së njësive të testuara. Në këtë rast,

është ngjashmëria e vlerësimeve të bëra ndërmjet vlerësuesve të besueshmërisë dhe quhet

besueshmëria ndërmjet vlerësuesve (interrater reliability). Koeficientët e

korrelacionit ndërmjet klasëve (interclass correlation coefficients) përdoren për të

vlerësuar këtë besueshmëri.

3. MODELET E PËRDORURA NË ANALIZËN E BESUESHMËRISË

3.1. Modeli Alfa (α) (Cronbach Alpha Coefficient) Kjo metodë hulumton se k pyetjet të cilat marrin pjesë në matës a tregojnë një strukturë

homogjene në përgjithësi. Është mesatarja e ndryshimit standart të ponderuar dhe përfitohet me

ndarjen e totalit të variancave të k pyetjeve të një matësi me variancën e përgjithshme. Ky

koeficient, i cili merr vlerat ndërmjet 0 dhe 1 quhet koeficienti Alfa (Cronbach).

Koeficienti i llogaritur Alfa është një koeficient i cili zbulon ngjashmërinë apo afërsinë e

pyetjeve në matjet e përfituara nga rezultatet totale të njësive dhe mbledhjen e pikave të çdo

pyetjeje të matësit. Në qoftë se është bërë standardizimi i pyetjeve, ky koeficient përfitohet nga

korrelacioni mesatar i pyetjeve.

Në qoftë se korrelacioni ndërmjet pyetjeve është negativ edhe koeficienti Cronbach Alfa i

llogaritur me metodën Alfa do të jetë negativ. Kur ky koeficient është negativ shkakton prishjen

e modelit të besueshmërisë. Me fjalë të tjera, shpreh prishjen e karakteristikës shtuese të matësit

të përdorur.

Interpretimet e besueshmërisë së matësit në lidhje me koeficientin Alfa (α) mund të bëhen si

më poshtë:

nëse 0.00 ≤ α ≤ 0.40 matësi nuk është i besueshëm,

nëse 0.40 ≤ α ≤ 0.60 besueshmëria e matësit është e ulët,

nëse 0.60 ≤ α ≤ 0.80 matësi është shumë i besueshëm dhe

nëse 0.80 ≤ α ≤ 1.00 matësi është një matës me shkallë të lartë të besueshmërisë.

330

3.2. Modeli Ndarës Mëdysh (Split Half) Ky model pyetjet e matësit i ndan në dy pjesë dhe llogarit korrelacionin ndërmjet pjesëve.

Në të njëjtën kohë llogarit koeficientët Alfa α për secilën pjesë. Në qoftë se numri i pyetjeve të

matësit është çift, secila pjesë merr k/2 pyetje. Në rastet kur numri i pyetjeve është tek, numri i

pyetjeve në pjesën e parë është (k+1)/2 dhe pyetjet e mbetura e formojnë pjesën tjetër.

3.3. Modeli Guttman Në modelet në të cilat llogaritet besueshmëria me çasjen e kovariancës apo variancës, për

një besueshmëri të vërtetë llogariten kufinjët minimal të Gutmmanit dhe gjashtë koeficientët e

besueshmërisë, prej 1 lambda deri ne 6 lambda.

3.4. Modeli Paralel Ky model supozon barazinë e variancave për të gjitha pyetjet e matësit dhe barazinë e

gabimit të variancave brenda pyetjeve përsëritëse. Me këtë model bëhet vlerësimi më i lartë i

ngjashmërisë dhe përshtatshmëria e vlerësimit ndaj vlerave bëhet me testin Katrori-Ki (chi-

square).

3.5. Modeli Strikt Paralel Në këtë model supozimi i barazisë së variancave dhe në të njëjtën kohë barazia e

mesatareve ndërmjet pyetjeve janë tema kryesore.

Duke shikuar statistikat përshkruese të secilës pyetjeje që e formon matësin mund të

vendosim se cilin nga modelet e mësipërme do t’a përdorim për analizën e besueshmërisë. Për

shembull, në qoftë se ekziston barazi (homogjeniteti) e variancave ndërmjet pyetjeve, duke

përdorur modelet Alfa dhe Paralel, koeficientët e përfituar të besueshmërisë vlerësohen si

koeficienti i besueshmërisë së matësit. Në qoftë se mesataret ndërmjet pyetjeve janë homogjene,

përdoret koeficienti i besueshmërisë i Modelit Strikt.

331


Për t’a aplikuar analizën e besueshmërisë në SPSS, shkohet te Analysis Scale

Reliability Analysis.

Hapi 1: Menyja e Analizës Reliability

Më vonë në këtë dritare, në pjesën Items (Pyetjet) (për matësin shtesë / additive scale)

transferohen dy apo më shumë pyetje (ndryshore / item).

332

Hapi 2: Dritarja e Analizës Reliability

Items: Është pjesa e cila bën njohjen e pyetjeve (items) të përdorura në matës.

Model Alpha (cronbach): Është modeli në lidhje me korrelacionin ndërmjet pyetjeve. Jep

koeficientin Alpha (Alfa). Ky koeficienti i cil merr dy vlera 0 apo 1 (Dichotomous) është i

barabartë me Kuder-Richardson 20 (KR20). Split Half Models: E ndan matësin mëdysh dhe

shqyrton korrelacionin ndërmjet pjesëve. Llogarit koeficientin Alfa për secilën pjesë. Po ashtu

jep edhe koeficientin e gjysëm-besueshmërisë Gutman Split dhe për gjatësinë e të dhënave të

barabarta dhe jo të barabarta jep koeficientin e besueshmërisë Spearman-Brown. Guttman

Models: Jep koeficientin e besueshmërisë nga lambda 1 deri në lambda 6 për besueshmërinë e

vërtetë. Parallel ve Strict Parallel Models: Llogarit testin e përshtatshmërisë së modelit (test for

Goodness-of-fit of model), vlerën e gabimit të variancës, vlerat e përbashkëta dhe të vërteta të

variancës, vlerat e korrelacionit të përbashkët ndërmjet pyetjeve, besueshmërinë e parashikuar ve

vlerën e paanshme të besueshmërisë.

Nga lista Model (drop-down) etiketohet përzgjedhjat e modelit përkatës.

Duke klikuar në butonin Statistics etiketohen përkufizimet ose testet për matësin apo për

çfarëdo pyetje dhe shtypet butoni Continue. Duke shtypur butonin OK bëhet procesimi dhe

përfitohen të dalurat e programit.

333


Descriptive for: Në dritaren Reliability Analysis: Statistics ekzistojnë tri përzgjedhje për

bërjen e statistikave përshkruese, analizave apo testeve të dëshiruara: matës (scale), pyetje

(item) dhe matësi në qoftë se pyetjet janë fshirë (scale if item deleted).

Inter-Item: Është pjesa prej të cilës përfitohet korrelacioni ndërmjet pyetjeve

(correlations) dhe matricat e kovariancave (covariances).

Summaries: Llogarit statistikat përshkruese, mesataren, variancën, kovariancën dhe vlerat e

korrelacionit për shpërndarjen e të gjitha pyetjeve të matësit.

ANOVA table: Tabela ANOVA jep testet të cilët matin barazinë e mesatareve. Zgjedhjet

janë asnjëra (none), testi F (F test), testet Friedman dhe Cochran Katrori-Ki (chi-square).

Hotelling’s T-square: Hotelling T2 është nje test shumëndryshoresh që analizon barazinë e

mesatareve të të gjitha pyetjeve të matësit.

Tukey’s test of additivity: Është test që hulumton karakteristikën e shtimit (additivity) të

matësit.

334

Intraclass correlation coefficient: Llogarit koeficientët të cilët masin qëndrueshmërinë e

vlerave dhe pajtueshmërinë absolute brenda njësive. Model: Përcakton modelin përmes të cilit

dëshirojmë të llogarisim koeficientin e korrelacionit ndërmjet klasave. Modelet të cilat mund të

përdoren janë: Përzierja Dy Drejtimshe (Two-Way Mixed), Rastësia Dy Drejtimshe (Two-Way

Random) dhe Rastësia Një Drejtimshe (One-Way Random). Type: Paraqet llojin e treguesit.

Gjenden treguesit e qëndrueshmërisë dhe përshatjes absolute. Confidence Interval: Përcakton

nivelin e intervalit të interesuar të besueshmërisë (1-alfa). Në rastet kur nuk jepet ndonjë vlerë,

në mënyrë automatike merret vlera 95%. Test value: Është vlera e koeficientit të llogaritur e cila

do të krahasohet apo testohet në testimin e hipotezave. Në rastet kur nuk përcaktohet, vlera e

testit është 0.

5. Shembull Aplikimi Në një firmë të pijeve u është dhënë 91 punëtorëve një test i përbërë nga 32 pyetje në lidhje

me përvojat e punës i quajtur “matësi i kënaqësisë së punës” (Burimi: Batıgün, D.A., Şahin,

H.N. (2005) “Dy Matësit për Hulumtimin e Stresit të Punës dhe Shëndetit Psikologjik:

Personaliteti i Llojit-A dhe Kënaqësia e Punës”, Revista Turke e Psikiatrisë (gjatë fazës së

vlerësimit)).

Me Matësin e Kënaqësisë së Punës me 32 pyetjet është është pyetur se në ç’shkallë janë të

kënaqur (kënaqësia e punës) dhe është kërkuar të bëhet një vlerësim prej 0% deri në 100%.

Pikësimi i llojit të matësit të Likertit është në këtë mënyrë: 0%=1, 25%=2, 50%=3, 75%=4 dhe

100%=5. Renditja e pikëve është prej 1 deri në 160 dhe pikët e larta të marrura nga matësi

shprehin kënaqësinë e lartë të punës. Nga faktorët e përfituar (nën-matësit) në fund të analizës

faktoriale të aplikuar mbi këtë matës njëri nga këta Faktorë Individual është nën-matësi në

lidhje me kënaqësinë e punës i pëbërë nga 5 pyetje.

Përgjigjet e dhëna në lidhje me këtë nën-matës të pyetjeve 12, 21, 30, 31, 32 të 91

punëtorëve janë koduar si më poshtë në SPSS.

Tabela 1: Përgjigjet e Marra nga Anketa

PYETJA NR.

VETA P12 P21 P30 P31 P32

1 3 3 3 3 3

2 4 4 4 4 4

3 2 2 2 3 3

4 3 3 3 3 3

5 3 3 2 1 2

6 4 4 4 4 4

7 3 4 3 1 1

8 2 2 4 4 4

9 2 1 2 2 2

335

10 2 0 3 2 2

11 3 2 1 1 2

12 1 2 1 1 1

13 4 4 4 4 4

14 3 4 4 2 3

15 3 3 2 2 3

16 3 4 3 4 4

17 3 3 3 4 2

18 4 4 3 1 4

19 2 3 2 2 2

20 3 3 2 3 3

21 4 3 4 4 4

22 2 3 4 4 4

23 3 4 3 3 3

24 3 4 4 3 4

25 3 2 3 3 3

26 3 2 3 2 3

27 3 3 3 2 2

28 4 4 4 3 4

29 2 3 2 2 3

30 3 4 4 4 4

31 4 4 4 4 3

32 4 1 0 0 0

33 3 3 2 0 2

34 4 4 4 4 4

35 1 2 3 3 3

36 2 2 2 2 2

37 3 4 4 0 3

38 2 1 2 2 2

39 3 4 4 3 3

40 2 1 1 1 1

41 3 3 2 3 3

42 4 4 4 4 4

43 3 9 3 3 3

44 3 3 4 2 4

45 4 2 4 4 4

46 0 0 0 0 1

47 2 2 3 2 2

48 3 3 3 2 3

49 3 2 4 4 4

50 3 3 3 3 3

51 3 2 3 3 3

52 3 4 3 4 3

53 4 3 4 4 4

54 4 4 4 4 4

336

55 3 4 4 4 4

56 3 4 2 2 3

57 0 0 3 0 1

58 3 3 4 4 4

59 3 3 3 3 3

60 4 4 4 4 4

61 3 3 3 3 3

62 4 3 4 4 4

63 4 4 2 1 1

64 2 3 3 3 3

65 2 3 3 3 3

66 4 4 4 3 4

67 4 4 4 4 4

68 4 4 4 3 4

69 4 4 4 4 4

70 2 2 3 1 4

71 4 3 4 4 4

72 2 2 3 3 4

73 2 3 4 2 2

74 3 4 4 2 4

75 2 2 3 0 3

76 3 3 3 4 3

77 3 3 4 3 4

78 3 3 3 3 3

79 3 4 3 2 2

80 3 3 4 3 3

81 3 3 3 3 3

82 2 2 1 1 0

83 3 3 3 2 2

84 4 4 4 4 4

85 3 3 3 4 4

86 3 4 4 2 4

87 3 1 2 1 3

88 4 4 4 3 3

89 3 3 4 3 3

90 3 1 2 3 3

91 4 3 3 4 3

337


338

Hapi 2: Dritarja e Analizës Reliability


339

Rezultatet e përfituara të Analizës së Besueshmërisë duke aplikuar modelin Alfa për setin e

të dhënave të nënmatësit të Faktorëve Individual janë si më poshtë.

Tabela 2: Rezultatet e Analizës së Besueshmërisë Sipas Modelit Alfa5

Item Statistics

Mean Std. Deviation N

p12 2.9560 .86810 91

p21 3.0000 1.22020 91

p30 3.0879 .97352 91

p31 2.6813 1.20995 91

p32 3.0220 .99976 91

Inter-Item Covariance Matrix

p12 p21 p30 p31 p32

p12 .754 .589 .404 .508 .423

p21 .589 1.489 .589 .567 .522

p30 .404 .589 .948 .739 .742

p31 .508 .567 .739 1.464 .840

p32 .423 .522 .742 .840 1.000

Inter-Item Correlation Matrix

p12 p21 p30 p31 p32

p12 1.000 .556 .478 .484 .488

p21 .556 1.000 .496 .384 .428

p30 .478 .496 1.000 .628 .763

p31 .484 .384 .628 1.000 .695

p32 .488 .428 .763 .695 1.000


N %

Cases Valid 91 100.0

Excludeda 0 .0

Total 91 100.0

a. Listwise deletion based on all variables in the

procedure.

5 Tabelat janë të renditura sipas librit për shkak të interpretimit, kurse renditja sipas rezultateve të SPSS-it është e

ndryshme.

340

Scale Statistics

Mean Variance Std. Deviation N of Items

14.7473 17.502 4.18355 5

Summary Item Statistics

Mean Minimum Maximum Range

Maximum /

Minimum Variance

N of

Items

Item Means 2.949 2.681 3.088 .407 1.152 .025 5

Item Variances 1.131 .754 1.489 .735 1.976 .108 5

Inter-Item Covariances .592 .404 .840 .437 2.081 .019 5

Inter-Item Correlations .540 .384 .763 .379 1.988 .014 5

Item-Total Statistics

Scale Mean if

Item Deleted

Scale Variance

if Item Deleted

Corrected Item-

Total

Correlation

Squared

Multiple

Correlation

Cronbach's

Alpha if Item

Deleted

p12 11.7912 12.900 .617 .409 .827

p21 11.7473 11.480 .548 .378 .850

p30 11.6593 11.605 .746 .630 .793

p31 12.0659 10.729 .670 .525 .813

p32 11.7253 11.446 .748 .664 .791

ANOVA with Tukey's Test for Nonadditivity

Sum of Squares df Mean Square F Sig

Between People 315.037 90 3.500

Within People Between Items 9.002 4 2.251 4.181 .003

Residual Nonadditivity 1.451a 1 1.451 2.708 .101

Balance 192.347 359 .536

Total 193.798 360 .538

Total 202.800 364 .557

Total 517.837 454 1.141

Grand Mean = 2.9495

a. Tukey's estimate of power to which observations must be raised to achieve additivity = 2.423.

Hotelling's T-Squared Test

Hotelling's T-

Squared F df1 df2 Sig

17.326 4.187 4 87 .004

341

Reliability Statistics

Cronbach's

Alpha

Cronbach's

Alpha Based on

Standardized

Items N of Items

.846 .854 5

Në pjesën e parë të rezultateve të analizës së besueshmërisë nga SPSS janë dhënë statistikat

përshkruese përkatëse të 5 pyetjeve të cilat e përbëjnë nënmatësin e faktorit individual:

mesataret, variancat dhe matricat e variancës-kovariancës të cilat tregojnë lidhjen ndërmjet

variancave dhe pyetjeve. Mesatarja e matësit të përbërë nga 5 pyetje është 14,7472 dhe

devijimi standart 5,27153. Mesatarja e përgjithshme (grand mean) e pyetjeve është 2,949

dhe varianca mesatare 1,131. Intervali i mesatareve të 5 pyetjeve është 0,407 dhe intervali i

ndryshimit të variancave është 0,735. Në mënyrë të ngjashme, mesatarja e përgjithshme e

korrelacioneve ndërmjet pyetjeve (inter-item correlations) është 0,540, kurse korrelacioni

minimal është 0,384 dhe korrelacioni maksimal 0,763.

Në pjesën Item-total Statistics, me rastin e nxjerrjes së një pyetjeje nga matësi është

llogaritur mesatarja e matësit dhe variancës nga pyetjet e mbetura (scale mean if item deleted

dhe scale variance if item deleted) si dhe korrelacioni ndërmjet pyetjes së nxjerrë nga matësi

dhe totalit të pyetjeve tjera të matësit (corrected Item-Total correlation). Po ashtu, pas

nxjerrjes së pyetjes përkatëse nga matësi, në këtë pjesë raportohen edhe koeficientët e

korrelacionit të shumëfishtë (Squared Multiple correlation, R2) dhe vlera e besueshmërisë Alfa

(Alpha if item deleted) në lidhje me pyetjet e mbetura.

Në këtë pjesë me ndihmën e rezultateve të përfituara hulumtohet se secila pyetje e adresuar

(e nxjerrur nga matësi – item deleted) a bart karakteristikën e shtimit përsëri në matës. Në

qoftë se kontributi i korrelacionit total të pyetjes së rregulluar (corrected item – total

correlation) është i ulët, kontributi i pyetjes përkatëse do të jetë i ulët në gjithë matësin. Pyetjet

të cilat kanë vlera shumë të ulëta, duhet të nxirren nga matësi.

Në punimin tonë, korrelacionet Pyetje-Total (Item-Total) janë ndërmjet 0,548 dhe 0,748

dhe si të tilla paraqesin vlera të larta. Për mos-prishjen e karakteristikës së shtimit të matësit,

pritet që koeficientët e korrelacionit ndërmjet pyetjeve dhe totalit të jenë negative dhe më të

mëdha se vlera 0,25. Sipas këtij koeficienti për të vendosur nëse një pyetje duhet nxjerrë nga

matësi duhet të vlerësohet rëndësia e pyetjes përkatëse duke shikuar ndryshimin në koeficientin e

besueshmërisë Alfa (Alpha if item deleted) dhe ndryshimin në mesataren dhe variancën (scale

mean and scale variance if item deleted) pasi të jetë nxjerrë pyetja.

Në shembullin tonë, mund të themi se këto vlera nuk tregojnë ndonjë ndryshim të madh

ndërmjet veti.

342

Koeficienti i përgjithshëm Alfa i besueshmërisë së matësit i llogaritur në tabelën e fundit

është 0,846. Kjo është një vlerë e lartë dhe tregon se matësi i përdorur është shumë i besueshëm.

Me nxjerrjen e pyetjes përkatëse nga matësi, me rastin e krahasimit të koeficientit Alfa me

koeficientin e përgjithshëm Alfa të besueshmërisë mund të shohim se vlerat e llogaritura janë

shumë afër vlerës së përgjitshme Alfa 0,846 apo më të ulëta. Ky rast tregon se të gjitha pyetjet

duhet të marrin pjesë në matës. Nëse me rastin e nxjerrjes së një pyetjeje nga matësi vlera e

përfituar Alfa është më e madhe se Alfa e përgjithshme, ajo është një pyetje e cila e zvogëlon

besueshmërinë dhe që duhet të nxirret nga matësi. Në rastin e kundërt, pra, në qoftë se Alfa e

llogaritur është nën vlerën e përgjithshme Alfa, ajo pyetje duhet të marrë pjesë në matës. Në

shembullin tonë, sipas vlerës së përfituar Alfa (Alpha if item deleted) pas nxjerrjes së pyetjes,

mund të bëjmë renditjen e pyetjeve në formën nga më e vogla te më e madhja, P32, P30, P31,

P12, P21. Sipas kësaj renditjeje tri pyetjet e fundit nuk e ndryshojnë besueshmërinë e matësit por

janë pyetje që e mbështesin matësin. P32 dhe P31 janë pyetje që e rrisin besueshmërinë, qoftë

edhe pak.

Siç u cek më parë, më qëllim për të testuar përshtatshmërinë e modelit në llogaritjet e

besueshmërisë në lidhje me matësit, përdoren testet Hotelling T2, F, Friedman Katrori-Ki apo

Cochran Katrori-Ki. Rezultatet përkatëse të këtyre testeve janë dhënë në tabelën e analizës së

variancës (analysis of variance) dhe në tabelat e fundit.

Kur shikojmë tabelën e analizës së variancës për shembullin tonë, mund të themi se dallimi

ndërmjet matjeve (between measures) P=0,003 është i rëndësishëm statistikisht si dhe vlera e

karakteristikës së mosmbledhjes (nonadditivity) P=1,01 nuk është e rëndësishme statistikisht. Me

fjalë të tjera, nënmatësi pesë-pyetjesh ka karakteristikën e mbledhjes mirëpo ekzistojnë dallime

ndërmjet matjeve.

Testi Hotelling’s T2 i cili teston barazinë e mesatareve të pyetjeve është llogaritur P=0,004.

Ky rezultat shpreh se ekziston një dallim i rëndësishëm statistikor ndërmjet mesatareve të

pyetjeve. Me fjalë të tjera, ekziston dallim së paku ndërmjet dy mesatareve. Duhet të hulumtohet

se nga cilat pyetje buron ky dallim. Duke shikuar pyetjet të cilat shkaktojnë dallimin apo sipas

kritereve tjera të pyetjeve duhet të vendoset në lidhje më nxjerrjen e tyre nga matësi.

Në qoftë se dëshirojmë të bëjmë analizën e besueshmërisë për nënmatësin e Faktorëve

Individual sipas modelit Split Half në dritaren Reliability Analysis nga pjesa Model

përzgjedhet Split Half.

343

Hapi 4: Aplikimi i Modelit Split-Half

Rezultatet e SPSS-it janë si më poshtë. (Notë: Statistikat përshkruese nuk janë paraqitur

përsëri ngaqë janë të njëjtat me tabelat e mëparshme.)

Tabela 3: Rezultatet e Analizës së Besueshmërisë sipas Modelit Split-Half6


N %

Cases Valid 91 100.0

Excludeda 0 .0

Total 91 100.0

Scale Statistics

Mean Variance Std. Deviation N of Items

Part 1 9.0440 6.354 2.52064 3a

Part 2 5.7033 4.144 2.03576 2b

Both Parts 14.7473 17.502 4.18355 5

a. The items are: p12, p21, p30.

b. The items are: p31, p32.

6 Tabelat janë të renditura sipas librit për shkak të interpretimit, kurse renditja sipas rezultateve të SPSS-it është e

ndryshme.

344

Summary Item Statistics

Mean Minimum Maximum Range

Maximum

/ Minimum Variance

N of

Items

Item Means Part 1 3.015 2.956 3.088 .132 1.045 .005 3a

Part 2 2.852 2.681 3.022 .341 1.127 .058 2b

Both Parts 2.949 2.681 3.088 .407 1.152 .025 5

Item Variances Part 1 1.063 .754 1.489 .735 1.976 .145 3a

Part 2 1.232 1.000 1.464 .464 1.465 .108 2b

Both Parts 1.131 .754 1.489 .735 1.976 .108 5

Inter-Item Covariances Part 1 .527 .404 .589 .185 1.458 .009 3a

Part 2 .840 .840 .840 .000 1.000 .000 2b

Both Parts .592 .404 .840 .437 2.081 .019 5

Inter-Item Correlations Part 1 .510 .478 .556 .078 1.163 .001 3a

Part 2 .695 .695 .695 .000 1.000 .000 2b

Both Parts .540 .384 .763 .379 1.988 .014 5



ANOVA with Tukey's Test for Nonadditivity

Sum of Squares df Mean Square F Sig

Between People 315.037 90 3.500

Within People Between Items 9.002 4 2.251 4.181 .003

Residual Nonadditivity 1.451a 1 1.451 2.708 .101

Balance 192.347 359 .536

Total 193.798 360 .538

Total 202.800 364 .557

Total 517.837 454 1.141

Grand Mean = 2.9495

a. Tukey's estimate of power to which observations must be raised to achieve additivity = 2.423.

Hotelling's T-Squared Test

Hotelling's T-

Squared F df1 df2 Sig

17.326 4.187 4 87 .004

345


Cronbach's Alpha Part 1 Value .747

N of Items 3a

Part 2 Value .811

N of Items 2b

Total N of Items 5

Correlation Between Forms .682

Spearman-Brown Coefficient Equal Length .811

Unequal Length .816

Guttman Split-Half Coefficient .800



Në rezultatet e modelit Split-Half vërehet një situatë më ndryshe nga modeli Alfa ku janë të

paraqitura vlerat e statistikave përshkruese të dy pjesëve të shprehura si part1 dhe part2.

Rezultatet e analizës së variancës janë të njëjta për të dy modelet. Në fund të tabelës janë dhënë

koeficientët e llogaritur Alfa të besueshmërisë të 5 pyetjeve (Reliability Statistics) të ndarë në dy

vlera. Sipas rezultateve të mësipërme, vlera e përgjithshme Alfa për pjesën e parë (part 1) është

0,747 dhe për pjesën e dytë (part 2) 0,811. Besueshmëria në të dy pjesët është e përafërt dhe

shumë e lartë. Këto vlera shprehin atributet e pyetjeve të mbajtura në matës.

Në modelin Split-Half, besueshmëria e matësit përcaktohet me koeficientin e korrelacionit

ndërmjet formave, pjesëve (correlation between forms). Në të njëjtën kohë, edhe koeficientët

Guttman Split Half, gjatësia e barabartë apo jo e barabartë e Spearman-Brown marrin pjesë në

rezultate si matës të busueshmërisë. Sipas tabelës, me radhë koeficientët e besueshmërisë 0,682,

0,811, 0,816 dhe 0,800 shprehin se besueshmëria e matësit është e lartë.

Kur dëshirojmë t’a bëjmë Analizën Reliability sipas modelit Guttman, nga komanda

Model, përzgjedhet Guttman.

346

Hapi 5: Aplikimi i Modelit Guttman

Rezultatet e SPSS-it janë si më poshtë. (Notë: Rezultatet e njëjta që marrin pjesë në tabelat

e tjera si statistikat përshkruese, analiza e variancës etj., nuk janë paraqitur në tabelën e

mëposhtme.)

Tabela 4: Rezultatet e Analizës së Besueshmërisë Sipas Modelit Guttman


Lambda 1 .677

2 .851

3 .846

4 .800

5 .832

6 .843

N of Items 5

Sipas modelit Guttman, koeficienti më i ulët i besueshmërisë nga gjashtë koeficientët e

llogaritur është me 0,677 lambda dhe vlerat e tjera janë shumë të larta. Sipas këtyre vlerave,

matësi është shumë i besueshëm.

Kur dëshirojmë t’a bëjmë Analizën Reliability sipas modelit Parallel, nga komanda Model,

përzgjedhet Parallel.

347

Hapi 6: Aplikimi i Modelit Parallel



mëposhtme.)

Tabela 5: Rezultatet e Analizës së Besueshmërisë sipas Modelit Paralel

Test for Model Goodness of Fit

Chi-Square Value 64.426

df 13

Sig .000

Log of Determinant of Unconstrained Matrix -1.957

Constrained Matrix -1.224


Common Variance 1.131

True Variance .592

Error Variance .538

Common Inter-Item

Correlation .524

Reliability of Scale .846

Reliability of Scale

(Unbiased) .850

348

Sipas metodës Paralel, koeficienti i besueshmërisë është koeficienti i vlerësuar i

besueshmërisë së matësit (estimated reliability of scale). Kjo vlerë për shembullin tonë është

llogaritur të jetë 0,846 dhe shpreh besueshmëri të lartë. Kurse vlera e parashikuar e koeficientit të

besueshmërisë së paanshme është 0,850. Këto dy vlera janë të përafërta me njëra-tjetrën.

Së fundi, nëse dëshirojmë t’a bëjmë Analizën Reliability sipas modelit Strict, nga komanda

Model, përzgjedhet Strict parallel.

Hapi 7: Aplikimi i Modelit Strikt Paralel



mëposhtme.)

Tabela 6: Rezultatet e Analizës së Besueshmërisë Sipas Modelit Strikt-Paralel

Test for Model Goodness of Fit

Chi-Square Value 80.667

df 17

Sig .000

Log of Determinant of Unconstrained Matrix -1.957

Constrained Matrix -1.045

Under the strictly parallel model assumption

349


Common Mean 2.949

Common Variance 1.151

True Variance .593

Error Variance .557

Common Inter-Item

Correlation .511

Reliability of Scale .839

Reliability of Scale

(Unbiased) .844

Sipas metodës Paralel, koeficienti i besueshmërisë është koeficienti i vlerësuar i

besueshmërisë së matësit (estimated reliability of scale) dhe kjo vlerë për shembullin tonë është

0,839. Kurse vlera e parashikuar e koeficientit të besueshmërisë të paanshme është llogaritur të

jetë 0,844. Të dy vlerat janë të përafërta me njëra-tjetrën dhe tregojnë që matësi është shumë i

besueshëm.

Në të gjitha modelet e analizës së besueshmërisë të cilat i aplikuam, rezultatet e

koeficientëve të besueshmërisë së nënmatësit të Faktorëve Individual të matësit të kënaqësisë së

punës janë shumë të përafërta me njëra-tjetrën. Sipas koeficientëve të përfituar të besueshmërisë,

nënmatësi i Faktorëve Individual është një matës i besueshëm, me fjalë të tjera, në mënyrë të

besueshme mat situatën e faktorëve individual të 91 punëtorëve me të cilët është aplikuar anketa.

351

BURIMET

1. Agresti, A. (1990), Categorical Data Analysis, Wiley, New York.

2. Akgül, A. Çevik, O., “İstatistiksel Analiz Teknikleri, SPSS’te İşletme Yönetimi

Uygulamaları”, Yeni Mustafa Kitabevi, Ankara 2003.

3. Allison, Paul D. (1999), Comparing Logit and Probit Coefficients Across Groups,

Sociological Methods and Research, 28, 2, fq. 186-208

4. Anderson, D. A., E. S. Carney (1974), Ridge Regression Estimation Procedures Applied

to Canonical Correlation Analysis, Unpublished Manuscript, Cornell University, Ithaca,

NY.

5. Armitage, P. (1971), Statistical Methods in Medical Research, Oxford, Blackwell

Scientific Publications.

6. Barcikowski, R. J. P. Stevens (1975), “A Monte Carlo Study of the Stability of the

Canonical Correlations, Canonical Weights and Canonical Variate-Variable

Correlations”, Multivariate Behavioral Research, 10, fq. 353-364.

7. Box, G. E. P., D. R. Cox (1984), “An Analysis of Transformations Revisited, Rebuttal”,

Journal of American Statistical Association, fq. 209-210.

8. Box, G. E. P., D. R. Cox (1984), “An Analysis of Transformations”, Journal of the Royal

Statistical Society, B (26), fq. 211-43.

9. Bryant dhe Yarnold (1995), Principal Components Analysis and Exploratory and

Confirmatory Factor Analysis. In Grimm and Yarnold, Reading and Understanding

Multivariate Analysis, American Psychological Books.

10. Büyüköztürk, Şenol, Sosyal Bilimler İçin Veri Analizi El Kitabı, İstatistik, Araştırma

Deseni SPSS Uygulamaları ve Yorum, 2. Baskı, Pegema Yayıncılık

11. Carroll, R. J., D. Ruppert (1984), “Power Transformation When Fitting Theoretical

Models to Data”, Journal of American Statistical Association, 79, fq. 321-328

12. Cliff, N., D. J. Krus (1976), Interpretation of Canonical Analysis: Rotated vs. Unrotated

Solutions, Psychometrika, 41, fq. 35-42.

13. Cochrane, D., G. H. Orcutt (1949), “Application of Least Squares Regressions to

Relationships Containing Autocorrelation Error Term”, Journal of American Statistical

Association, Vol. 44, fq. 32-61

14. Cox, D. R. and E. J. Snell (1989), The Analysis of Binary Data, 2nd

Ed., Chapman &

Hall, London.

15. Çakıcı M., Oğuzhan A., Özdil., Temel İstatistik 1, Özal Matbaası, 4. Baskı, İstanbul,

2003

16. DeMaris, Alfred (1992), Logit modeling: Practical Applications., Thousands Oaks, CA,

Sage Publications Series, Quantitative Applications in the Social Sciences, No. 106.

17. Dillon, William, R., and Goldstein, Mathew (1984), Multivariate Analysis Methods and

Applications, John Wiley & Sons Inc., New York.

18. Draper, N. R., and H. Smith (1981), Applied Regression Analysis, New York, Willey.

352

19. Dunteman, George H. (1989), Principal Components Analysis. Thousands Oaks, CA:

Sage Publications, Quantitative Applications in the Social Sciences Series, No. 69.

20. Durbin, J. (1960), “Estimating of Parameters in Time Series Regression Models”, Journal

of the Royal Statistics Society, Ser. B, Vol. 22, fq. 139-153.

21. Edwards, A. L. (1995), Doğrusal Regresyon ve Korelasyona Giriş (Pwrkth. S.

Hovardaoğlu), Ankara, Hatipoğlu Yayınları.

22. Estrella, A. (1998), “A New Measure of Fit for Equations With Dichotomous Dependent

Variables”, Journal of Business and Economic Statistics, 16, 2, 198-205.

23. Everitt, B. S. (1979), “A Monte Carlo Investigation of the Robustness of Hotelling’s One

and Two Sample T2 Tests”, Journal of the American Statistical Association, 74, fq. 48-

51.

24. Freeman, D. H. (1987) Applied Categorical Data Analysis, Dekker, New York.

25. George D., Mallery P., SPSS For Windows Step by Step, 4th

Edition, Allyn and Bacon

Publishing House, ShBA, 2003.

26. Glass, G. V., K. Hopkins (1984), Statistical Methods in Education and Psychology,

Prentice-Hal, NJ.

27. Glass, G. V., P. D. Peckham, and J. R. Sanders (1972), “Consequences of Failure to Meet

Assumptions Underlying the Fixed Effects Analyses of Variance and Covariance”,

Review of Educational Research, 42, fq. 237-288.

28. Gnandesikan, R. (1990), Methods for Statistical Analysis of Multivariate Observations,

Wiley, NY.

29. Gorsuch, Richard L. (1983), Factor Analysis, Hillsdale, NJ: Erlbaum.

30. Gujarati, D. N. (1995), Basic Econometrics, 3rd Ed., McGraw-Hill, New York.

31. Hair, J. F., R. E. Anderson, R. L. Tatham, W. C. Black (1998), Multivariate Data

Analysis, Prentice Hall, New Jersey.

32. Heiman, G. W. (1996), Basic Statistics for the Behavioral Sciences (Second Edition),

Boston, Houghton Mifflin Comp.

33. Helberg, Clay “Pitfalls of Data Analysis”: http://www.execpc.com/~helberg/pitfalls, 05

Maj 2003.

34. Holloway, L. N., O. J. Dunn (1967), “The Robustness of Hotelling’s T2”, Journal of the

American Statistical Association, 62, fq. 124-136.

35. Hosmer, David and Stanley Lemeshow (1989), Applied Logistic Regression, NY, Wiley

& Sons. Disa nga statistikat e treguara në këtë libër në lidhje me regresion logjistik, janë

të përfshira në versionet e fundit të SPSS-it.

36. Hutcheson, Graeme dhe Nick Sofroniou (199), The multivariate social scientist:

Introductory statistics using generalized linear models. Thousand Oaks, CA: Sage

Publications.

37. Jacques, Tacg (1997), Multivariate Techniques in Social Sciences, Sage Pub. Ltd.,

London.

353

38. Johnson, R. A., D. W. Wichern (1992), Applied Multivariate Statistical Analysis,

Prentice Hall, NJ.

39. Johnson, Richard A. (1992), Applied Multivariate Data Analysis, Prentice Hall, New

Jersey.

40. Johnston, J., (1984), Econometric Methods, 3rd ed., McGraw-Hill, New York.

41. Kazım Özdamar, Paket Programlar ile İstatistik Veri Analizi – 2 (Çok Değişkenli

Analizler), Yenilenmiş 5. Baskı, Kaan Kitabevi, 2004.

42. Kenny, D., C. Judd (1986), “Consequences of Violating the Independence Assumption in

the Analysis of Variance”, Psychological Bulletin, 99, fq. 421-431.

43. Kim, Jae- On dhe Charles W. Muller (1978a), Introduction to Factor Analysis: What it is

and how to do it. Thousands Oaks, CA: Sage Publications, Quantitative Applications in

the Social Sciences Series, No. 13.

44. Klecka, W. R. (1980) Discriminant Analysis, London, Sage Publications.

45. Kleimbaum, D. G. Lawrence L. Kupper and Keith E. Muller (1988), Applied Regression

Analysis and Other Multivariable Methods, Duxbury Press.

46. Kleinbaum, D. G. (1994), Logistic Regression: A Self-Learning Text, New York,

Springer-Verlag.

47. Kramer, J. S. (1991), The Logit Model for Economist, Edward Arnold Publishers,

London.

48. Mardia, K. V. (1971), “The Effect of Non-Nationality on Some Multivariate Tests and

Robustness to Non-Normality in the Linear Model”, Biometrika, 58, fq. 105-212.

49. McKelvey, Richard and Willian Zavoina (1994), “A Statistical Model for the Analysis of

Ordinal Levent Dependent Variables”, Journal of Mathematical Sociology, 4, fq. 103-

120. Në këtë artikull argumentohen Modelet e Logitit të shumë grupeve (Polytomous)

dhe rendore (Klasifikuese).

50. Menard, Scott (1995), Applied Logistic Regression Analysis., Thousands Oaks, CA, Sage

Publications Series, Quantitative Applications in the Social Sciences, No. 106.

51. Morrison, Donald F. (1990), Multivariate Statistical Methods, New York: McGraw-Hill.

52. Nagelkerke, N. J. D. (1991), “A Note on a General Definition of the Coefficient of

Determination”, Biometrika, Vol. 78, 3, fq. 691-692.

53. Netter, J., W. Wasserman, M. H. Kunter (1983), Applied Linear Regression Models,

Illinois.

54. Newbold P., İşletme ve İktisat İçin İstatistik, Ümit Şenesen (Përkthyes), Literatür

Yayıncılık, 4. Baskı, İstanbul, 2002.

55. Norusis, M. J., and SPSS Inc. (1993), SPSS for Windows, Base System User’s Guide,

Rel. 6.0.

56. Norusis, Marija and SPSS Inc. (1999), SPSS Regression Models, 10.0, SPSS Inc.,

Chicago.

57. Olson, C. L. (1974), “Comparative Robustness of Six Tests in Multivariate Analysis of

Variance”, Journal of American Statistical Association, 69 (348), fq. 894-907.

354

58. Orhunbilge, N. (1996), Uygulamalı Regresyon ve Korelasyon Analizi, Avcıol-Basım,

İstanbul.

59. Orhunbilge, N. (2000), Tanımsal İstatistik Olasılık ve Olasılık Dağımları, Avcıol Basım,

İstanbul.

60. Pallant, J., “SPSS Survival Manual”, Open University Press, McGraw-Hill, 2003.

61. Pedhazur, E. K. (1992), Multiple Regression in Behavioral Research: Explanation and

Prediction (Second Edition), USA, Rinehart and Winston.

62. Reha Alpar, Uygulamalı Çok Değişkenli İstatistiksel Yöntemlere Giriş 1, Değiştirilmiş ve

Genişletilmiş 2. Baskı, Nobel Yayın Dağıtım, Ankara, Janar 2003.

63. Scariano, S. J. Davenport (1986), “The Effect of the Independece Assumption in the One

Way ANOVA”, The American Statistician, 41, fq. 123-129.

64. Sharma, Subhash (1996), Applied Multivariate Techniques, John Wiley & Sons Inc.,

New York.

65. SPSS, Inc. (1996), SPSS® 10 Syntax Reference Guide for SPSS Advanced Models,

Chicago.

66. Stevens, James (1996), Applied Multivariate Statistics for Social Sciences, Lawrence

Erlbaum Associates, Publishers, Mahwah, New Jersey.

67. Tabachnick, Barbara, G., and Fidel, Linda S. (1996), Using Multivariate Statistics, 3rd

Ed., Harper Collings College Publisher, California State University, North Bridge.

68. Tadlıdil, H., (1996), Uygulamalı Çok Değişkenli İstatistiksel Analiz, Cem Ofset Ltd. Şti.,

Ankara.

69. Ünver, Ö., Gamgam H., Uygulamalı İstatistik Yöntemler, Siyasal Kitapevi, 3. Baskı,

Ankara, 1999.

70. Webster, A. (1995), Applied Statistics for Business and Economics, 3rd

ed., 1995.

spss-i në praktikë - teknikat statistikore me shumë ndryshore

Economy & Finance