splines et bsplines hassan fahs & nader el khatib
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Splines et Bsplines
Hassan FAHS
&
Nader EL KHATIB
Représentation des PP-Functions
Représentation des PP-Functions
Représentation des PP-Functions
> convert(If(x<1,x*x,x<2,2*x+2,x<3,3+x),piecewise);
> piecewise(x<1,x*x,x<2,2*x+2,x<3,3+x,0);
x2 x 1
2 x 2 x 2
3 x x 3
0 otherwise
Représentation des PP-Functions> diff(piecewise(x<1,x*x*x,x<2,2*x*x+2,x<3,3+x,0),x);
3 x2 x 1
undefined x 1
4 x x 2
undefined x 2
1 x 3
undefined x 3
0 3 x
Représentation des PP-Functions
> f:=x->piecewise(x<1,x*x,x<2,2*x+2,x<3,3+x,0):
> f(1.6);
> plot(f(x),x=0..7);
> g:=x->diff(convert(If(x<1,x*x,x<2,2*x+2,x<3,3+x),piecewise),x):
> plot(g(x),x=0..7);
Représentation des PP-Functions
Représentation des PP-Functions
Représentation des PP-Functions
Truncated Power Basis
o
Truncated Power Basis
)(: itt
1,, )(.,...,)(:
kkiiikitki xttttB
1,...,1 ni
Formulation de base
BsplinesBsplinesBsplinesBsplines
BsplinesBsplinesBsplinesBsplines
Deuxième formulation: récursive
)()(:)( 1,11
1,1
, tBtt
tttB
tt
tttB ki
iki
kiki
iki
iki
Bsplines (exemples)Bsplines (exemples)Bsplines (exemples)Bsplines (exemples)
Bsplines (exemples)Bsplines (exemples)Bsplines (exemples)Bsplines (exemples)
Cas des nœuds d’ordre multiple.
Bspline de degré 2 pour la suite des nœuds [0 1 1 3].
Le nœud 1 est d’ordre 2.
Le graphique est le suivant
Bsplines (exemples)Bsplines (exemples)Bsplines (exemples)Bsplines (exemples)
Bsplines (exemples)Bsplines (exemples)Bsplines (exemples)Bsplines (exemples)
Bsplines & MATLABBsplines & MATLABBsplines & MATLABBsplines & MATLAB
La commande MATLAB pour tracer une courbe Bspline est « Bspline » elle prend en paramètre un vecteur représentant les nœuds.
ex: bspline([0 1 1 3]) trace la courbe Bspline de degré 2 du diapo d’avant.
BsplinesBsplinesBsplinesBsplines
Une fonction spline d’ordre k avec une suite de nœuds t, est une combinaison linéaire de Bsplines d’ordre k avec la suite des nœuds t.
BsplinesBsplinesBsplinesBsplines
BsplinesBsplinesBsplinesBsplines