spis tre·sci - instytut matematyki politechniki...
TRANSCRIPT
Spis tresci
Wst¾ep 3
1 Twierdzenie Pitagorasa w geometrii euklide-sowej 61.1 Euklides i jego �Elementy� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.1.1 Ogólne wiadomosci o �Elementach" . . . . . . . . . . . . . . 11
1.1.2 Ksi¾ega I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.1.3 Ksi¾ega III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.1.4 Ksi¾ega IV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.1.5 Ksi¾ega V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.1.6 Ksi¾ega VI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.2 Pewne w÷asnosci trygonometryczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.3 Pomocnicze dowody . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.3.1 Dowód wzoru Herona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.3.2 Dowód na pole powierzchni dowolnego trójk ¾ata . . . . . . . . 21
1.3.3 Dowód na promien ko÷a wpisanego w trójk ¾at prostok ¾atny . . 22
1.4 Historyczne dowody twierdzenia Pitagorasa . . . . . . . . . . . . . . 25
1.4.1 Przypuszczalny dowód Pitagorasa . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.4.2 Dowód geometryczny Euklidesa . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.4.3 Dowód Jamesa Gar�elda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.4.4 Dowód Nassir ed Dina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.4.5 Dowód Renana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.4.6 Dowód Leonarda da Vinci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.4.7 Dowody Ho¤mana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
1.4.8 Dowód Bhâskary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
1.4.9 Dowody Marry�ego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
1.4.10 Dowód Möllmanna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
1.4.11 Dowód J. Barry Sutton�a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
1.4.12 Dowód Michelle Watkins�a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
1.4.13 Dowód Wernera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
1.4.14 Dowód Piton - Bressanta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
1.4.15 Dowód Weininjied�a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
1.4.16 Dowód Sina Shiehyan�a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
1.4.17 Dowód Dr. Scotta Brodie�go . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
1.4.18 Dowody Douglasa Rogersa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
1.4.19 Dowód Jamie deLemos�a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
1.4.20 Dowód (autor nieznany) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
1
1.4.21 Dowód (autor nieznany) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
1.5 Fa÷szywe dowody twierdzenia Pitagorasa . . . . . . . . . . . . . . . 81
1.5.1 Dowód Yanney�a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
1.5.2 Dowód Loomis�a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
1.5.3 Dowód (autor nieznany) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
2 Twierdzenia Pitagorasa w geometrii sferycznej 88
2.1 Geometria sferyczna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
2.2 Podstawowe poj¾ecia z zakresu geometrii sferycznej . . . . . . . . . . 90
2.3 Dowody twierdzenia Pitagorasa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
2.3.1 Dowód pierwszy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
2.3.2 Dowód drugi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
2.3.3 Dowód trzeci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
Dodatek - swiadectwa o Pitagorasie 101
Bibliogra�a 111
2
Wst¾ep
Swiat staro·zytny imponuje, zaciekawia, fascynuje poziomem rozwoju poszczegól-
nych ga÷¾ezi wiedzy i naukowych osi ¾agni¾ec, b¾ed ¾acych swoist ¾a kopalni ¾a wiedzy dla
wspó÷czesnego cz÷owieka.
Jedn ¾a z nauk, które powsta÷y w staro·zytnosci jest geometria - cz¾esc matematyki,
b¾ed ¾aca pocz ¾atkowo zbiorem przepisów wykonywania pomiarów przedmiotów mate-
rialnych, zajmuj ¾aca si¾e takimi poj¾eciami jak: punkt, �gura, powierzchnia, odleg÷osc,
po÷o·zenie czy przestrzen wielowymiarowa.
Z biegiem czasu zdobycze w tej dziedzinie wiedzy próbowano uporz ¾adkowac.
Zaj ¾a÷si¾e tym Euklides tworz ¾ac wiekopomne dzie÷o �Elementy", b¾ed ¾ace kompilacj ¾a
poznanych do III w p.n.e. faktów z dziedziny geometrii. Niektóre Ksi¾egi tego
dzie÷a pos÷u·zy÷y w bardzo du·zym stopniu jako podstawa w rozwa·zaniach na temat
twierdzenia Pitagorasa.
Ró·zne dowody tego twierdzenia sta÷y si¾e przedmiotem i celem rozwa·zan i prze-
myslen niniejszej pracy magisterskiej.
O samym Pitagorasie i jego twierdzeniu mówi pierwszy rozdzia÷pracy, b¾ed ¾acy
wprowadzeniem w teoretyczne rozwa·zania na temat trójk ¾ata prostok ¾atnego, którego
odkrywc ¾a rzekomo wcale nie by÷Pitagoras. W rozdziale tym zaprezentowany zosta÷
dowód samego Pitagorasa, który zaczerpni¾eto z pozycji [10].
Wspomniane wy·zej dzie÷o Euklidesa - �Elementy" sta÷o si¾e tresci ¾a podrozdzia÷u
1.1. Zawarte zosta÷y w nim opisy, pewniki i podania poswi¾econe planimetrii (Ksi¾egi
I, II, IV i VI) oraz ogólnej teorii proporcji (Ksi¾ega V). Uwzgl¾ednione w pracy Ksi¾egi
pos÷u·zy÷y jako teoria na której oparte zosta÷y podrozdzia÷trzeci, czwarty i pi ¾aty
rozdzia÷u pierwszego.
Tresci ¾a podrozdzia÷u 1.2 sta÷y si¾e pewne w÷asnosci trygonometryczne. Zamie-
szczono je w celu uzupe÷nienia pewnych wiadomosci, które nie znalaz÷y si¾e w �Ele-
mentach Euklidesa". De�nicje i twierdzenia zawarte w tym podrozdziale pomog÷y
rozwik÷ac problemy wyst¾epuj ¾ace w niniejszej pracy. Owe pewniki, opisy i podania
pochodz ¾a z pozycji [5].
W celu udowodnienia twierdzenia Pitagorasa si¾egni¾eto równie·z do geometrii sfe-
rycznej, w której w odmienny sposób uj¾eto pewne poj¾ecia, niezb¾edne do przeprowa-
dzenia dowodów owego twierdzenia, brzmi ¾acego inaczej ni·z w geometrii euklide-
sowej. Geometria sferyczna, o której mowa sta÷a si¾e tresci ¾a rozdzia÷u drugiego.
Stosowana jest ona w celu rozwini¾ecia umiej¾etnosci �przestrzennego myslenia".
Podrozdzia÷1.3 zawiera pomocnicze dowody, które pos÷u·zy÷y w dalszych rozwa-
·zaniach g÷ównego tematu pracy, zawartych w nast¾epnym podrozdziale. Wsród
dowodów pomocniczych znalaz÷y si¾e: dowód wzoru Herona, dowód na promien ko÷a
3
wpisanego w trójk ¾at, zaczerpni¾ete z pozycji [7] i [11] oraz dowód na pole powierzchni
dowolnego trójk ¾ata, który jest wk÷adem w÷asnym. Podrozdzia÷ten zawiera tak·ze
niektóre dane o twórcach tych·ze dowodów.
Zasadnicz ¾a cz¾esc pracy stanowi podrozdzia÷1.4, dotycz ¾acy historycznych dowo-
dów twierdzenia Pitagorasa. Przed przedstawieniem poszczególnych dowodów po-
dano krótkie dane o autorach i czasie ich przeprowadzenia. Wszystkie dowody
oparto na geometrii Euklidesa i na w÷asnosciach trygonometrycznych. Autorzy
dowodów u·zywaj ¾a cz¾esto takich sformu÷owan jak: �÷atwo zauwa·zyc, ·ze" lub �fakt
ten jest oczywisty". Poniewa·z dojscie do tych oczywistych faktów zajmowa÷o niekie-
dy par¾e godzin lub dni, zawarte w podrozdziale dowody zosta÷y poszerzone i w pe÷ni
wyjasnione, czasem nawet za pomoc ¾a dok÷adnego rysunku.
Zdecydowan ¾a wi¾ekszosc dowodów, na przyk÷ad: przypuszczalny dowód Pitago-
rasa, dowód geometryczny Euklidesa, dowody Nassir ed Dina, Renana, Leonarda
da Vinci, Ho¤mana, Bhâskary, Marry�ego, Möllmanna, Wernera, Piton - Bressanta
opracowano w oparciu o pozycj¾e [10]. Natomiast dowody J. Barry Sutton�a, Michelle
Watkins�a, Weninjied�a, Douglasa Rogersa, dr Scotta Brodie�go, Shiehyan�a oraz
dwa dowody nieznanych autorów opracowane zosta÷y na podstawie [1]. Dowód
Jamie deLamos�a zosta÷zaczerpni¾ety z pozycji [2], zas dowód Jamesa Gar�elda z
pozycji [8].
W podrozdziale 1.5 pracy przytoczone zosta÷y fa÷szywe dowody twierdzenia
Pitagorasa. Wszystkie zosta÷y wyjasnione, szczególnie b÷¾edny tok ich rozumowa-
nia. Wk÷adem w÷asnym jest nie tylko oparcie tych dowodów o geometri¾e euklidesow ¾a
ale równie·z spostrze·zenie, i·z dowód w paragra�e 1.5.3 jest równie·z fa÷szywym dowo-
dem. Pocz ¾atkowo zosta÷on uznany przez autora za prawid÷owy, jednak po d÷u·zszym
zastanowieniu i przeanalizowaniu okazuje si¾e inaczej. Wzór Herona udowadniany
jest za pomoc ¾a jedynki trygonometrycznej, któr ¾a to z kolei udowadnia si¾e za po-
moc ¾a twierdzenia Pitagorasa - jednym s÷owem zatacza si¾e niepotrzebnie b÷¾edne ko÷o.
Dowody w podrozdziale tym opracowano na podstawie [1].
Najtrudniejsz ¾a cz¾esci ¾a pracy sta÷si¾e, b¾ed ¾acy tresci ¾a rozdzia÷u drugiego, dowód
twierdzenia Pitagorasa w geometrii sferycznej. Zosta÷on przeprowadzony na trzy
ró·zne sposoby.
Prac¾e konczy dodatek zawieraj ¾acy swiadectwa o ·zyciu i dzia÷alnosci, wielkiego
greckiego uczonego i �lozofa, Pitagorasa.
Cel pracy, czyli doprowadzenie precyzji dowodu twierdzenia Pitagorasa a·z do
aksjomatyki i prostych konsekwencji zawartych w �Elementach Euklidesa" zosta÷,
wed÷ug mnie osi ¾agni¾ety. Sta÷si¾e tak·ze jednoczesnie w÷asnym wk÷adem w tematyczne
rozwa·zania dotycz ¾ace twierdzenia Pitagorasa. Do tej pory nigdy nie spotka÷am si¾e
z opracowaniem historycznych dowodów twierdzenia Pitagorasa a·z do aksjomatyki
4
Euklidesa.
Mam nadziej¾e, ·ze niniejsza praca przyczyni si¾e do lepszego poznania historii nie
tyle samej postaci Pitagorasa, ale licznych dowodów jego twierdzenia wykonanych
przez niego samego i innych wielkich uczonych.
Na koniec chcia÷am serdecznie podzi¾ekowac opiekunowi mojej pracy, profesorowi
Janowi Kubarskiemu, za poswi¾econy czas, pomoc w zdobyciu literatury i pomoc w
pisaniu pracy, oraz wszystkim pracownikom Politechniki ×ódzkiej za przekazan ¾a
wiedz¾e.
5
1 Twierdzenie Pitagorasa w geometrii euklide-
sowej
Jednym z najbardziej znanych twierdzen dotycz ¾acych trójk ¾ata prostok ¾atnego jest
twierdzenie Pitagorasa. Oto jego tresc:
Twierdzenie Pitagorasa 1 [10; str: 9]W dowolnym trójk ¾acie prostok ¾atnym suma
pól kwadratów zbudowanych na przyprostok ¾atnych trójk ¾ata prostok ¾atnego równa jest
polu kwadratu zbudowanego na przeciwprostok ¾atnej tego trójk ¾ata.
a2 + b2 = c2
Rysunek 1.
Nie posiadamy dok÷adnych informacji o ·zyciu i twórczosci Pitagorasa, mimo to
zachowa÷y si¾e trzy jego biogra�e napisane przez Jamblichosa1, Diogenesa Laertiosa2
oraz Por�riusza3, gdy·z poddawano w w ¾atpliwosc, czy grecki uczony ·zy÷kiedykol-
wiek. Relacje tych autorów s ¾a w du·zym stopniu oparte na legendach. Choc w
1Jamblich - ur. ok. 250 r. w Chalkis, zm. w 326 r., za÷o·zyciel platonskiej szko÷y syryjskiej,autor �Zbioru nauk pitagorejskich�
2Diogenes Laertios - ·zy÷w I po÷. III wieku, autor dzie÷a �·Zywoty i pogl ¾ady s÷ynnych �lozofów�3Por�riusz - ur. w 232 r. zm. w 305 r., staro·zytny �lozof neoplatonski, autor dzie÷a �·Zywoty
Pitagorasa�
6
nazwie twierdzenia pojawia si¾e nazwisko matematyka, to nie mo·zna byc pewnym,
czy s÷usznie przypisuje si¾e jemu autorstwo.
Matematyka obszaru staro·zytnej Mezopotamii jest zazwyczaj nazywana ba-
bilonsk ¾a, ze wzgl¾edu na to, ·ze najliczniejsze zród÷a (oko÷o 400 glinianych tabliczek)
pochodz ¾a z wykopalisk babilonskich. Wi¾ekszosc wykopanych tabliczek jest da-
towana na okres 1800-1600 p.n.e. i dotyczy mi¾edzy innymi takich zagadnien jak
u÷amki, równania kwadratowe i szescienne. Dodatkowo tabliczki zawiera÷y cwiczenia,
a na niektórych tabliczkach znajdowa÷y si¾e rysunki, które w praktyce dostarczy÷y
dowodu twierdzenia Pitagorasa. Swiadczy to o tym, ·ze twierdzenie Pitagorasa od-
kryto du·zo wczesniej. [12, str. 102]
Na s÷ynnej glinianej tabliczce nazwanej Plimpton 322, pochodz ¾acej równie·z z ok.
1800 p.n.e., czyli ponad tysi ¾ac lat przed Pitagorasem, zapisane zosta÷y obliczenia
d÷ugosci boków trójk ¾atów, zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa a2+b2 = c2. Tabliczka
ta jest zapisana z prawa na lewo. W pierwszej kolumnie s ¾a podane kolejne numery
porz ¾adkowe, kolumna druga zawiera s÷owo �liczba�, zas kolumna trzecia zaczyna si¾e
od s÷owa �d÷ugosc�, po czym wymienione s ¾a kolejne wartosci a. Kolumna czwarta
zaczyna si¾e od s÷owa �przek ¾atna�, po czym zapisane s ¾a kolejne wartosci c. Os-
tatnia kolumna zawiera wartosci b obliczone zgodnie ze wzorem b =pa2 + b2 , z
dok÷adnosci ¾a co najmniej do czwartego miejsca po przecinku. [2]
Rysunek 2. Plimpton 322
Równie·z w Staro·zytnym Egipcie znany by÷Egipcjanom trójk ¾at prostok ¾atny o bokach
3; 4; 5: Dowodem tego jest chocby to, ·ze takie w÷asnie proporcje znajduj ¾a arche-
olodzy w wymiarach g÷azów ciosanych piramidy Chefrena4 datowanej na XXV wiek
p.n.e. Innym przyk÷adem mo·ze byc tak zwana komnata królewska znajduj ¾aca si¾e
4Chefren - w latach 2572-2546 p.n.e. w÷adca staro·zytnego Egiptu z IV dynastii, z okresu StaregoPanstwa.
7
w s÷ynnej piramidzie Cheopsa5, której wymiary zwi ¾azane s ¾a w szczególny sposób z
liczbami 3; 4; 5; mianowicie przek ¾atna ca÷ego wieloscianu zawiera pi¾ec tych samych
jednostek, których kraw¾edz najd÷u·zsza zawiera cztery, a przek ¾atna najmniejszej
sciany zawiera trzy. Trójk ¾at o bokach 3; 4; 5 by÷dla Egipcjan �gur ¾a magiczn ¾a. [10,
str. 10]
Powy·zsze przyk÷ady dowodz ¾a, ·ze Pitagoras nie by÷pierwszym odkrywc ¾a owej
w÷asciwosci trójk ¾ata prostok ¾atnego, ale najprawdopodobniej jako pierwszy je udo-
wodni÷. Poni·zej zaprezentuj¾e dowód, którego autorem jest prawdopodobnie sam
Pitagoras. [2]
Dowód wykonany przez Pitagorasa [10, str. 18] Niech dany b¾edzie trójk ¾atprostok ¾atny o przyprostok ¾atnych a i b oraz przeciwprostok ¾atnej c:
Rysunek 3.
Budujemy kwadrat, którego bok jest równy sumie przyprostok ¾atnych a i b danego
trójk ¾ata prostok ¾atnego. Kwadrat ten dzielimy na dwa kwadraty, jeden o boku a, a
drugi o boku b, oraz na dwa równe prostok ¾aty o bokach a i b: Mamy rysunek:
5Cheops - w latach 2604-2581 p.n.e. w÷adca staro·zytnego Egiptu IV dynastii z okresu StaregoPanstwa.
8
Rysunek 4.
Podzielimy teraz te prostok ¾aty na cztery równe trójk ¾aty prostok ¾atne I, II, III, IV.
Rysunek 5.
Uk÷adaj ¾ac te trójk ¾aty w taki sposób, jaki wskazuje poni·zszy rysunek, otrzymamy
po srodku kwadrat o polu c2:
Rysunek 5.
Porównuj ¾ac pola kwadratów z rysunku 4 i 6 mamy:
a2 + b2 + 2 � a � b = c2 + 4 � 12� a � b
9
a2 + b2 + 2 � a � b = c2 + 2 � a � b
a2 + b2 = c2
co nale·za÷o udowodnic.
10
1.1 Euklides i jego �Elementy�
1.1.1 Ogólne wiadomosci o �Elementach"
Jak wspomnia÷am we wst¾epie celem mojej pracy jest przedstawienie ró·znych dowo-
dów twierdzenia Pitagorasa. Aby by÷o to mo·zliwe, podam szereg niezb¾ednych
de�nicji i twierdzen, które zawarte s ¾a w kolejnych ksi¾egach �Elementów Euklidesa�,
a stanowi ¾a podstaw¾e dzia÷u matematyki, któr ¾a jest geometria. Zanim napisz¾e
niezb¾edn ¾a teori¾e, chc¾e wpierw przybli·zyc postac samego Euklidesa i jego dzie÷a.
Rysunek 7.
Jak podaj ¾a zród÷a encyklopedyczne, niestety o greckim uczonym zachowa÷o si¾e
bardzo ma÷o zapisków biogra�cznych i to tylko w postaci szcz ¾atkowej, dlatego
wiedza o nim opiera si¾e przede wszystkim na przypuszczeniach. Euklides najpraw-
dopodobniej ·zy÷w latach 325 - 265 p.n.e. za panowania Ptolemeusza Sotera I.
Euklides kszta÷ci÷si¾e w Akademii Platonskiej, gdzie posiad÷g÷¾ebok ¾a wiedz¾e matem-
atyczn ¾a i �lozo�czn ¾a. Zosta÷zaproszony przez w÷adc¾e Egiptu, Ptolemeusza I, do
Aleksandrii, gdzie mia÷nauczac w nowopowsta÷ym uniwersytecie aleksandryjskim.
Najprawdopodobniej Euklides pe÷ni÷funkcj¾e pierwszego dyrektora Biblioteki Alek-
sandryjskiej. W Aleksandrii grecki uczony pozosta÷do konca ·zycia.
Najznamienitszym dzie÷em Euklidesa s ¾a �Elementy Euklidesa�napisane oko÷o
300 roku p.n.e., w których sk÷ad wchodzi XIII Ksi ¾ag poswi¾econych planimetrii, ogól-
nej teorii proporcji, arytmetyce, niewymiernosciom algebraicznym oraz stereometrii.
[12, str. 238]
11
Rysunek 8. Staro·zytny papirus z Elementami Euklidesa
Zdaniem Stefana Kulczyckiego wypar÷y one z u·zycia wszystkie dawniejsze ksi ¾a·zki i
utrzyma÷y si¾e jako sztandarowy podr¾ecznik geometrii przez ca÷¾a staro·zytnosc. �E-
lementy" by÷y wielokrotnie komentowane, poprawiane i wydawane. Wa·znego ujed-
nolicenia i uproszczenia dzie÷a dokona÷w IV wieku Teon6 z Aleksandrii. Na jego
pracy opiera÷y si¾e wszystkie, oprócz jednego, pózniejsze t÷umaczenia i edycje. Ten
jeden jedyny, znajduj ¾acy si¾e w bibliotece watykanskiej, datuj ¾acy si¾e z X stulecia,
nie zawiera dodatków Teona, pochodzi zatem z tekstów starszych. [12, str. 238]
Rysunek 9. R¾ekopis watykanski
Pierwsze drukowane wydanie �Elementów�pojawi÷o si¾e w roku 1482 w Wenecji i
zawiera÷o przek÷ad ÷acinski Campanusa7. Natomiast pierwsze drukowane ÷acinskie
t÷umaczenie dokonane przez Zambertiego, ukaza÷o si¾e w 1505 roku. W 1703 roku
ukaza÷o si¾e w Oxfordzie pierwsze kompletne wydanie �Elementów". W 1807 roku
w Krzemiencu ukaza÷o si¾e pierwsze polskie t÷umaczenie osmiu ksi ¾ag �Elementów�
pt. �Euklidesa pocz ¾atków geometrii Ksi ¾ag osmioro�którego dokona÷Józef Czech8
6Teon - ur. ok. 335 r., zm. ok. 405 r. , matematyk i astronom pracuj ¾acy w Aleksandrii, ostatnidyrektor Biblioteki Aleksandryjskiej
7Johannes Campanus - ur. w 1220, zm. w 1296 roku, w÷oski astronom i matematyk, który wroku 1260 prze÷o·zy÷�Elementy Euklidesa�na j¾ezyk ÷acinski.
8Józef Czech - ur. 8 czerwca 1806 w Krzemiencu, zm. 10 lutego 1876, ksi¾egarz, drukarz. Od1826 r. prowadzi÷drukarni¾e w Krakowie, w której wydawa÷dzie÷a naukowe, literackie i kalendarze.
12
[12, str. 252].
�Elementy Euklidesa�by÷y ksi ¾a·zk ¾a wydawan ¾a najcz¾esciej chyba poza �Bibli ¾a�.
Bibliografowie naliczyli ponad 1000 ich edycji. Matematyk Stefan Kulczycki uwa·za,
·ze �Elementy�wywar÷y najwi¾ekszy wp÷yw w historii matematyki, a byc mo·ze w
ogóle w dziejach intelektu ludzkiego, albowiem przez d÷ugie wieki stanowi÷y one
wzorzec naukowego wyk÷adu podziwiany i nasladowany. [12, str. 252]
Tak jak napisa÷am na pocz ¾atku tego rozdzia÷u, podam teraz szereg de�nicji
i twierdzen z wybranych Ksi ¾ag �Elementów Euklidesa�, przet÷umaczonych przez
Józefa Czecha, które potrzebne mi b¾ed ¾a do przeprowadzenia dowodów, zawartych
w podrozdziale trzecim, czwartym i pi ¾atym.
1.1.2 Ksi¾ega I
Ksi¾ega poswi¾econa planimetrii. [5, str. 1 - 52]
Opis 15 Ko÷o jest �gur ¾a p÷ask ¾a zawarta lini ¾a zwan ¾a okr¾egiem, do której wszystkielinie proste poprowadzone z jednego punktu wewn ¾atrz �gury po÷o·zonego, s ¾a mi ¾edzy
sob ¾a równe.
Opis 16 I ten punkt nazywa si ¾e centrum lub srodkiem ko÷a.
Opis 17 Srednic ¾a ko÷a jest ka·zda linia narysowana przez srodek ko÷a, przed÷u·zonaw dwóch kierunkach do jego obwodu, przepo÷awiaj ¾aca go.
Opis 18 Pó÷okr¾egiem jest �gura zawarta mi ¾edzy srednic ¾a i cz ¾esci ¾a okr¾egu odci ¾et ¾a
t ¾a srednic ¾a. Srodek pó÷okr¾egu jest te·z srodkiem okr¾egu.
Opis 21 Trójk ¾at to �gura prostokreslna ograniczona trzema prostymi.Opis 25 Trójk ¾at równoramienny to trójk ¾at, który ma tylko dwa boki równe.Opis 27 Trójk ¾at prostok ¾atny to trójk ¾at, który ma k ¾at prosty.Opis 30 Kwadrat jest to czworobok maj ¾acy równe boki i równe k ¾aty.Opis 31 Prostok ¾at jest to czworobok maj ¾acy k ¾aty proste, ale boki nierówne.Opis 33 Równoleg÷obok jest to czworobok maj ¾acy boki przeciwleg÷e równe, ale niemaj ¾acy k ¾atów prostych.
Pewnik 2 Je·zeli do równych wielkosci dodane b¾ed ¾a wielkosci równe, ca÷e wielkoscib¾ed ¾a sobie równe.
Pewnik 3 Jesli od równych wielkosci odj ¾ete b¾ed ¾a równe wielkosci, to pozosta÷e
wielkosci b¾ed ¾a sobie równe.
Pewnik 6 Wielkosci, które s ¾a podwojonymi tej·ze samej wielkosci, s ¾a mi ¾edzy sob ¾arówne.
Pewnik 7Wielkosci, które s ¾a po÷owami tej·ze samej wielkosci, s ¾a mi ¾edzy sob ¾a równe.Pewnik 8 Wielkosci, które przystaj ¾a do siebie wzajemnie, s ¾a mi ¾edzy sob ¾a równe.Pewnik 11 Wszystkie k ¾aty proste s ¾a mi ¾edzy sob ¾a równe.
13
Pewnik 12 Jesli linia prosta przecina dwie inne linie proste tak, ·ze suma dwóchk ¾atów wewn ¾etrznych po jednej jej stronie jest mniejsza ni·z suma dwóch k ¾atów pros-
tych, to te dwie linie proste przetn ¾a si ¾e po tej stronie po której suma k ¾atów jest
mniejsza od sumy dwóch k ¾atów prostych.
Podanie 2 Skonstruuj odcinek równy danemu odcinkowi, którego koniec jest zada-nym punktem.
Podanie 4 Jesli dwa trójk ¾aty maj ¾a dwa boki odpowiednio równe dwóm innym i
je·zeli k ¾aty zawarte mi ¾edzy bokami równymi s ¾a równe, wtedy ich podstawy równie·z
s ¾a sobie równe i pozosta÷e k ¾aty równe s ¾a odpowiednim k ¾atom.
Podanie 5 W trójk ¾atach równoramiennych k ¾aty przy podstawie s ¾a sobie równe oraz
k ¾aty powsta÷e przez przed÷u·zenie boków równych s ¾a sobie równe.
Podanie 6 Je·zeli w trójk ¾acie dwa k ¾aty s ¾a sobie równe, to boki le·z ¾ace naprzeciwrównych k ¾atów s ¾a sobie równe.
Podanie 8 Je·zeli dwa boki jednego trójk ¾ata s ¾a równe dwóm bokom drugiego trójk ¾atai podstawa jednego trójk ¾ata jest równa podstawie drugiego trójk ¾ata, to k ¾aty zawarte
mi ¾edzy równymi bokami s ¾a sobie równe.
Podanie 9 Dany k ¾at prostokreslny podziel na dwie równe cz ¾esci.Podanie 10 Dan ¾a lini ¾e prost ¾a oznaczon ¾a podzielic na dwie równe cz ¾esci.Podanie 11 Z punktu danego na danej linii prostej wyprowadzic lini ¾e prostopad÷¾ado danej linii prostej.
Podanie 12 Z punktu danego le·z ¾acego poza lini ¾a prost ¾a nieograniczon ¾a, wyprowadzicprost ¾a lini ¾e prostopad÷¾a do niej.
Podanie 14 Je·zeli przy linii prostej i przy punkcie na niej le·z ¾acym dwie linie prostenie po jednej stronie po÷o·zone czyni ¾a k ¾aty przyleg÷e równe dwóm k ¾atom prostym, to
te linie proste b¾ed ¾a w tym samym kierunku.
Podanie 15 Je·zeli dwie linie proste przecinaj ¾a si ¾e, to utworzone przez nie k ¾atyprzeciwleg÷e s ¾a sobie równe.
Podanie 26 Je·zeli dwa k ¾aty jednego trójk ¾ata s ¾a równe dwóm k ¾atom drugiego trójk ¾ata,i bok jeden przyleg÷y obydwu k ¾atom, albo jednemu w pierwszym trójk ¾acie równa si ¾e
bokowi jednemu przyleg÷emu obydwu k ¾atom, albo jednemu w drugim trójk ¾acie, b¾ed ¾a
i dwa boki pozosta÷e równe dwóm bokom pozosta÷ym i k ¾at trzeci w jednym trójk ¾acie
b¾edzie równy k ¾atowi trzeciemu w drugim trójk ¾acie.
Podanie 29 Je·zeli linia prosta pada na dwie linie proste równoleg÷e; czyni k ¾aty naprzemian mi ¾edzy sob ¾a równe i k ¾at zewn ¾etrzny równy k ¾atowi wewn ¾etrznemu przeci-
wleg÷emu, po jednej stronie po÷o·zonemu i k ¾aty wewn ¾etrzne po jednej stronie po÷o·zone
równe dwóm k ¾atom prostym.
Podanie 31 Poprowadzic przez dany punkt lini ¾e prost ¾a równoleg÷¾a wzgl ¾edem danej
linii prostej.
14
Podanie 32 W jakimkolwiek trójk ¾acie, jesli jeden z boków jest znany wtedy k ¾at
zewn ¾etrzny jest równy sumie dwóch k ¾atów wewn ¾etrznych i przeciwnych i suma trzech
wewn ¾etrznych k ¾atów trójk ¾ata jest równa dwóm k ¾atom prostym.
Podanie 34 W równoleg÷obokach boki i k ¾aty przeciwne s ¾a mi ¾edzy sob ¾a równe, a
przek ¾atna dzieli je na dwie równe cz ¾esci.
Podanie 35 Równoleg÷oboki o tej samej podstawie, które s ¾a ograniczone tymi samy-mi liniami równoleg÷ymi, s ¾a mi ¾edzy sob ¾a równe.
Podanie 36 Równoleg÷oboki o równych podstawach, które s ¾a ograniczone tymi samy-mi liniami równoleg÷ymi, s ¾a mi ¾edzy sob ¾a równe.
Podanie 37 Trójk ¾aty o tej samej podstawie, które s ¾a ograniczone tymi samymi li-niami równoleg÷ymi, s ¾a mi ¾edzy sob ¾a równe.
Podanie 38 Trójk ¾aty o równych podstawach, które s ¾a ograniczone tymi samymiliniami równoleg÷ymi, s ¾a mi ¾edzy sob ¾a równe.
Podanie 40 Równe trójk ¾aty, które maj ¾a takie same podstawy i maj ¾a te same bokirównie·z s ¾a porównywalne.
Podanie 41 Jesli równoleg÷obok i trójk ¾at maj ¾a t ¾a sam ¾a podstaw ¾e i s ¾a tymi samymiliniami zakonczone, to trójk ¾at jest po÷ow ¾a równoleg÷oboku.
Podanie 46 Na danej linii prostej wykreslic kwadrat.
1.1.3 Ksi¾ega III
Ksi¾ega poswi¾econa planimetrii. [5, str. 74 - 115]
Opis 2Mówi si ¾e, ·ze linia prosta dotyka ko÷a, gdy b¾ed ¾ac styczn ¾a z ko÷em, przed÷u·zonaz obydwu stron, nie przecina z ·zadnej strony okr¾egu ko÷a.
Opis 6 Odcinkiem ko÷a jest �gura, czyli cz ¾esc ko÷a ograniczona lini ¾a prost ¾a i
okr¾egiem ko÷a.
Opis 8 Je·zeli na okr¾egu ko÷a wzi ¾ety b¾edzie punkt i od niego poprowadzone b¾ed ¾a linieproste do konców linii prostej za podstaw ¾e odcinkowi s÷u·z ¾acej, to k ¾at mi ¾edzy tymi
liniami prostymi zawarty jest k ¾atem w odcinku.
Opis 9 Kiedy zas linie proste k ¾at zawieraj ¾ace zajmuj ¾a cz ¾esc okr¾egu, mówi si ¾e ·ze tenk ¾at wspiera si ¾e na okr¾egu ko÷a.
Podanie 18 Je·zeli linia prosta dotyka si ¾e okr¾egu ko÷a, a ze srodka ko÷a wyprowa-dzona b¾edzie linia prosta do punktu dotykania si ¾e, ta b¾edzie prostopad÷¾a do stycznej.
Podanie 20 W kole, k ¾at maj ¾acy wierzcho÷ek we srodku jest podwojeniem k ¾ata ma-
j ¾acego swój wierzcho÷ek na okr¾egu ko÷a, gdy·z t ¾e sam ¾a podstaw ¾e okr¾egu maj ¾a za pod-
staw ¾e, czyli to samo, gdy ramionami swymi tej samej cz ¾esci okr¾egu obejmuj ¾a.
Podanie 22 K ¾aty przeciwne czworok ¾ata w ko÷o wpisanego s ¾a równe dwóm k ¾atom
prostym.
15
Podanie 27 W ko÷ach równych k ¾aty we srodkach, lub przy okr¾egach, na równych
÷ukach wspieraj ¾ace si ¾e, s ¾a miedzy sob ¾a równe.
Podanie 28 W ko÷ach równych, ci ¾eciwy równe obejmuj ¾a ÷uki równe, tak, ·ze ÷uk
wi ¾ekszy wi ¾ekszemu, mniejszy mniejszemu jest równy.
Podanie 31 W kole k ¾at w pó÷kolu jest prosty.
Podanie 36 Je·zeli z punktu, za ko÷em obranego poprowadzimy dwie linie proste, z
których jedna przecina÷aby ko÷o, a druga by÷a styczn ¾a to iloczyn odcinków mierzonych
od punktu obranego poza ko÷em do bli·zszego punktu przeci ¾ecia z ko÷em i od punktu
obranego poza ko÷em do punktu dalszego przeci ¾ecia z ko÷em jest równy kwadratowi
d÷ugosci stycznej poprowadzonej z punktu obranego poza ko÷em do punktu stycznosci.
1.1.4 Ksi¾ega IV
Ksi¾ega poswi¾econa planimetrii. [5, str. 116 - 135]
Opis 5 Ko÷o wpisuje si ¾e w dan ¾a �gur¾e, kiedy ka·zdy bok �gury, w któr ¾a si ¾e ko÷owpisuje, dotyka si ¾e okr¾egu ko÷a.
Opis 6 Ko÷o opisuje si ¾e na danej �gurze, gdy okr ¾ag dotyka si ¾e ka·zdego k ¾ata �gury,oko÷o której opisuje si ¾e ko÷o.
Podanie 4 W dany trójk ¾at wpisac ko÷o.
Podanie 5 Dany trójk ¾at opisac ko÷em.
1.1.5 Ksi¾ega V
Ksi¾ega poswi¾econa ogólnej teorii proporcji. [5, str. 136 - 178]
Opis 6 Wielkosci, które s ¾a w tym samym stosunku, nazywamy proporcjonalnymi.
Podanie 4 Je·zeli pierwsza wielkosc jest tak ¾a wielokrotnosci ¾a drugiej, jak ¾a trzeciajest czwartej, b ¾ed ¾a te·z i równie wielokrotne pierwszej i trzeciej, do równie wielokrot-
nych drugiej i czwartej w ka·zdej odmianie wielokrotnego powtórzenia porównane, w
równym stosunku mi ¾edzy sob ¾a.
1.1.6 Ksi¾ega VI
Ksi¾ega poswi¾econa planimetrii. 95, str. 179 - 229]
Opis 1 Figury podobne prostoliniowe to takie, których k ¾aty s ¾a odpowiednio równe,a boki przy tych k ¾atach proporcjonalne.
Opis 4 Wysokosci ¾a jakiejkolwiek �gury jest prostopad÷a narysowana od wierzcho÷kado podstawy.
Podanie 2 Jesli linia prosta jest narysowana równolegle do jednego z boków trójk ¾ata,wówczas przecina ona boki trójk ¾ata proporcjonalnie; a jesli boki trójk ¾ata przeci ¾ete s ¾a
proporcjonalnie, wówczas linia ÷¾acz ¾aca punkty odcinka jest równoleg÷a do pozosta÷ego
16
boku trójk ¾ata.
Podanie 3 Jesli k ¾at trójk ¾ata jest podzielony na pó÷lini ¾a prost ¾a przecinaj ¾ac ¾a pod-staw ¾e, wówczas odcinki podstawy maj ¾a t ¾e sam ¾a proporcj ¾e jak pozosta÷e boki trójk ¾ata;
a jesli odcinki podstawy maj ¾a tak ¾a sam ¾a proporcj ¾e jak pozosta÷e boki trójk ¾ata, wów-
czas linia prosta ÷¾acz ¾aca wierzcho÷ek z punktem odcinka dzieli k ¾at trójk ¾ata na pó÷.
Podanie 4 W trójk ¾atach równok ¾atnych boki przy k ¾atach równych s ¾a proporcjonalne
gdzie odpowiadaj ¾ace sobie boki le·z ¾a naprzeciw k ¾atów równych.
Podanie 5 Jesli dwa trójk ¾aty maj ¾a boki proporcjonalne wtedy s ¾a trójk ¾atami równo-k ¾atnymi z k ¾atami równymi le·z ¾acymi naprzeciw w÷asciwych boków.
Podanie 6 Jesli dwa trójk ¾aty maj ¾a jeden k ¾at równy drugiemu k ¾atowi i boki przyk ¾atach równych proporcjonalne, wówczas trójk ¾aty te s ¾a równok ¾atne i maj ¾a te k ¾aty
równe naprzeciw odpowiadaj ¾acych boków.
Podanie 7 Je·zeli dwa trójk ¾aty maj ¾a jeden k ¾at równy drugiemu k ¾atowi, boki przyinnych k ¾atach proporcjonalne, a pozosta÷e k ¾aty albo mniejsze lub nie mniejsze ni·z
k ¾at prosty, wtedy trójk ¾aty s ¾a równok ¾atne i maj ¾a k ¾aty równe przy bokach, które s ¾a
proporcjonalne.
Podanie 8 Jesli w trójk ¾acie prostok ¾atnym narysowana jest prostopad÷a od k ¾ata
prostego do podstawy, wówczas trójk ¾aty przyleg÷e do prostopad÷ej s ¾a podobne zarówno
do ca÷osci jak i do siebie nawzajem.
Podanie 18 Na danej linii prostej wykreslic �gur¾e podobn ¾a i podobnie po÷o·zon ¾awzgl ¾edem danej �gury.
Podanie 21 Figury, które s ¾a podobne do tej samej �gury prostoliniowej s ¾a tak·zepodobne do siebie nawzajem.
Podanie 31 W trójk ¾atach prostok ¾atnych �gura utworzona na boku le·z ¾acym naprze-
ciw k ¾ata prostego równa si ¾e sumie podobnych i podobnie po÷o·zonych �gur na bokach
zawieraj ¾acych k ¾at prosty.
Podanie 32 Jesli dwa trójk ¾aty maj ¾ace dwa boki proporcjonalne do dwóch bokóws ¾a umieszczone razem w jednym k ¾acie tak, ·ze ich odpowiadaj ¾ace sobie boki s ¾a tak·ze
równoleg÷e, wówczas pozosta÷e boki trójk ¾atów s ¾a w linii prostej.
Podanie 33 K ¾aty w równych okr¾egach maj ¾a tak ¾a sam ¾a proporcj ¾e jak obwody kó÷naktórych s ¾a po÷o·zone bez wzgl ¾edu na to czy le·z ¾a w srodku czy na obwodzie.
17
1.2 Pewne w÷asnosci trygonometryczne
W rozdziale tym podam teori¾e, która nie znalaz÷a si¾e w �Elementach", a b¾edzie mi
potrzebna w przeprowadzeniu niektórych dowodów twierdzenia Pitagorasa. Poni·zsze
de�nicje i twierdzenia zaczerpn¾e÷am z [9, str. 23 - 57].
De�nicja 1.2.1 Sinusem k ¾ata nazywamy stosunek d÷ugosci przyprostok ¾atnej le·z ¾acejnaprzeciw k ¾ata do d÷ugosci przeciwprostok ¾atnej.
Twierdzenie 1.2.2 Dla dowolnego k ¾ata suma kwadratów cosinusa i sinusa jest
równa jednosci.
sin2 �+ cos2 � = 1
Twierdzenie 1.2.3 Dla dowolnego k ¾ata zachodzi
sin (90� � �) = sin (90� + �)
Twierdzenie 1.2.4 Dla dowolnego k ¾ata zachodzi
cos (90� � �) = sin�
Twierdzenie 1.2.5 (Carnota) W dowolnym trójk ¾acie na p÷aszczyznie kwadrat do-
wolnego boku jest równy sumie kwadratów pozosta÷ych boków pomniejszonej o po-
dwojony iloczyn tych boków i cosinusa k ¾ata zawartego mi ¾edzy nimi.
a2 = b2 + c2 � 2 � b � c � cos�
b2 = a2 + c2 � 2 � a � c � cos �
c2 = a2 + b2 � 2 � a � b � cos
18
1.3 Pomocnicze dowody
W rozdziale tym zaprezentuj¾e dowody, które oka·z ¾a si¾e niezb¾edne w dalszym toku
rozumowania mojej pracy.
1.3.1 Dowód wzoru Herona
Heron urodzi÷si¾e oko÷o 10 roku, a zmar÷oko÷o 70 roku. Pochodzi÷z Aleksandrii.
Mimo wielkiej aktywnosci naukowej i pisarskiej, o jego ·zyciu wiadomo jest bardzo
niewiele. By÷on staro·zytnym greckimmatematykiem, �zykiem, mechanikiem, wyna-
lazc ¾a i konstruktorem. Jego najwi¾eksze odkrycia i wynalazki to: Bania Herona
uwa·zana za pierwowzór parowej turbiny, maszyny do czerpania wody, maszyny
obl¾e·znicze, wzór na pole trójk ¾ata zwany wzorem Herona, wzory na powierzchni¾e
i obj¾etosc innych �gur geometrycznych oraz metody przybli·zonego obliczania pier-
wiastków. Z jego dzie÷zachowa÷y si¾e Pneumatyka, Automaty, Mechanika, Metryka
i Zwierciad÷a, z czego trzy ostatnie znane s ¾a z t÷umaczen arabskich.
Dowód. [7, str. 13] Niech dany b¾edzie trójk ¾at prostok ¾atny ABC o k ¾acie prostym
w wierzcho÷ku C: Wprowadzmy oznaczenia: jABj = c; jBCj = a oraz jACj = b:
Niech � oznacza miar¾e k ¾ata mi¾edzy bokami b i c oraz niech h b¾edzie wysokosci ¾a
opuszczon ¾a na bok c: Tak powstaje poni·zszy rysunek.
Rysunek 10.
Udowodnimy wzór na pole powierzchni trójk ¾ata:
S =pp � (p� a) � (p� b) � (p� c)
gdzie p oznacza po÷ow¾e obwodu trójk ¾ata tj.
p =a+ b+ c
2(1)
19
Zauwa·zmy, ·ze pole trójk ¾ata ABC wyra·za si¾e równie·z wzorem:
S =1
2� c � h (2)
Ponadto na podstawie De�nicji 1.2.1 mamy:
sin� =h
b(3)
Z (3) mamy, ·ze:
h = b � sin� (4)
Zatem z (2) i (4) mamy:
S =1
2� c � b � sin� (5)
Wyst¾epuj ¾acy we wzorze (5) sin� wyrazimy przez d÷ugosc boków, korzystaj ¾ac z
Twierdzenia 1.2.3
a2 = b2 + c2 � 2 � b � c � cos� (6)
oraz z Twierdzenia 1.2.2
sin2 �+ cos2 � = 1 (7)
Z (6) i (7) mamy:
sin2 � = 1� cos2 � = 1��b2 + c2 � a2
2 � b � c
�2(8)
=
�1 +
b2 + c2 � a2
2 � b � c
���1� b2 + c2 � a2
2 � b � c
�=
�2 � b � c+ b2 + c2 � a2
2 � b � c
���2 � b � c� b2 � c2 + a2
2 � b � c
�=
(b+ c)2 � a2
2 � b � c � a2 � (b� c)2
2 � b � c=
(b+ c+ a) � (b+ c� a)
2 � b � c � (a+ b� c) � (a� b+ c)
2 � b � c
Z (8) mamy:
sin2 � =(b+ c+ a) � (b+ c� a)
2 � b � c � (a+ b� c) � (a� b+ c)
2 � b � c (9)
Z (1) otrzymujemy:
a+ b+ c = 2 � p
Zatem
a+ b� c = 2 � p� 2 � c = 2 � (p� c)
20
a� b+ c = 2 � p� 2 � b = 2 � (p� b)
�a+ b+ c = 2 � p� 2 � a = 2 � (p� a)
Wracaj ¾ac do (9) mamy:
sin2 � =2 � p � (p� a)
2 � b � c � 2 � (p� c) � 2 � (p� b)
2 � b � c (10)
=4
b2 � c2 � p � (p� a) � (p� b) � (p� c)
Z (10) otrzymujemy:
sin� =2
b � c �pp � (p� a) � (p� b) � (p� c) (11)
Zatem z (5) i (11) mamy:
S =1
2� c � b � 2
b � c �pp � (p� a) � (p� b) � (p� c)
Ostatecznie otrzymujemy:
S =pp � (p� a) � (p� b) � (p� c)
co nale·za÷o udowodnic.
1.3.2 Dowód na pole powierzchni dowolnego trójk ¾ata
Dowód. Niech dany b¾edzie trójk ¾at prostok ¾atny ABC o k ¾acie prostym w wierz-
cho÷ku A: Na mocy Opisu 5 z Ksi¾egi IV w trójk ¾at ten wpisujemy ko÷o o srodku w
punkcie O i promieniu r: Dwusieczne k ¾atów wewn¾etrznych trójk ¾ata ABC podzieli÷y
ten trójk ¾at na trzy mniejsze trójk ¾aty: �AOC; �COB oraz �AOB: Na mocy Opisu
4 z Ksi¾egi VI rysujemy w trójk ¾acie AOC wysokosc OF; w trójk ¾acie COB wysokosc
OD; zas w trójk ¾acie AOB wysokosc OE: Tak powstaje poni·zszy rysunek.
Rysunek 11.
21
Wprowadzmy oznaczenia: jABj = a; jBCj = c oraz jACj = b: Zauwa·zmy, ·ze
wysokosci w tych trzech trójk ¾atach s ¾a równe promieniowi ko÷a wpisanego w trójk ¾at
prostok ¾atny ABC; czyli:
jOF j = jODj = jOEj = r (12)
Ponadto widac, ·ze:
PABC = PAOC + PCOB + PAOB (13)
oraz korzystaj ¾ac z (12) mamy:
PAOC =1
2� b � jOF j = 1
2� b � r (14)
PCOB =1
2� c � jODj = 1
2� c � r (15)
PAOB =1
2� a � jOEj = 1
2� a � r (16)
Z (13), (14), (15) i (16) mamy:
PABC =1
2� b � r + 1
2� c � r + 1
2� a � r (17)
Ostatecznie z (17) otrzymujemy:
PABC =1
2� r � (b+ c+ a)
co nale·za÷o udowodnic.
1.3.3 Dowód na promien ko÷a wpisanego w trójk ¾at prostok ¾atny
Dowód. [11] Niech dany b¾edzie trójk ¾at prostok ¾atny ABC o k ¾acie prostym w wierz-cho÷ku A: Na mocy Opisu 5 z Ksi¾egi IV w trójk ¾at ten wpisujemy ko÷o o srodku w
punkcie O i promieniu r: Dwusieczne k ¾atów wewn¾etrznych trójk ¾ata ABC podzieli÷y
ten trójk ¾at na trzy mniejsze trójk ¾aty: �AOC; �COB oraz �AOB: Na mocy Opisu
4 z Ksi¾egi VI rysujemy w trójk ¾acie AOC wysokosc OF; w trójk ¾acie COB wysokosc
OD; zas w trójk ¾acie AOB wysokosc OE: Tak powstaje poni·zszy rysunek.
22
Rysunek 12.
Wprowadzmy oznaczenia: jABj = a; jBCj = c oraz jACj = b: Zauwa·zmy, ·ze
wysokosci w tych trzech trójk ¾atach s ¾a równe promieniowi ko÷a wpisanego w trójk ¾at
prostok ¾atny ABC; czyli:
jOF j = jODj = jOEj = r (18)
Na podstawie Opisu 4 z Ksi¾egi VI k ¾aty OEB i OEA s ¾a proste. Zatem dwie linie
proste BE i AE tworz ¾a z obydwu stron linii prostej OE k ¾aty przyleg÷e równe dwóm
k ¾atom prostym. Na podstawie Podania 14 z Ksi¾egi I dwie linie proste BE i EA
maj ¾a ten sam kierunek. Rozumuj ¾ac analogicznie, linie proste CF i FAmaj ¾a ten sam
kierunek. Zauwa·zmy, ·ze proste CFA i OE s ¾a do siebie równoleg÷e, poniewa·z proste
te s ¾a prostopad÷e do przyprostok ¾atnej AB trójk ¾ata prostok ¾atnego ABC: Ponadto
proste BEA i OF s ¾a do siebie równoleg÷e, poniewa·z proste te s ¾a prostopad÷e do
przyprostok ¾atnej AC. Na podstawie Opisu 33 z Ksi¾egi I odcinki FA i OE oraz OF
i EA s ¾a sobie równe. Zatem z (18) mamy równosc odcinków:
jOF j = jODj = jOEj = jEAj = jFAj = r (19)
Zauwa·zmy, ·ze:
^OEB = ^ODB = ^CFO = ^CDO = 90� (20)
Z (19) i (20) oraz na podstawie Podania 4 z Ksi¾egi I wynika, ·ze trójk ¾aty DEB i
ODB oraz CFO i CDO s ¾a przystaj ¾ace. Zatem
jEBj = jDBj (21)
oraz
jCF j = jCDj (22)
23
Zauwa·zmy, ·ze:
jEBj = jABj � jEAj = a� r (23)
oraz
jCDj = jBCj � jDBj = c� jDBj (24)
Z (21), (23) i (24) mamy:
jCDj = c� a+ r (25)
Ponadto
jCF j = jACj � jFAj = b� r (26)
Z (22) i (26) mamy:
jCDj = b� r (27)
Przyrównuj ¾ac do siebie (25) oraz (27) otrzymujemy:
c� a+ r = b� r (28)
Z (28) mamy:
2 � r = b+ a� c
Ostatecznie otrzymujemy:
r =b+ a� c
2
co nale·za÷o udowodnic.
24
1.4 Historyczne dowody twierdzenia Pitagorasa
Liczba ró·znych dowodów twierdzenia Pitagorasa jest przyt÷aczaj ¾aca, wed÷ug nie-
których zróde÷przekracza 350. Euklides w �Elementach�podaje ich osiem, kolej-
ne pojawia÷y si¾e na przestrzeni wieków i pojawiaj ¾a a·z po dzis dzien. Niektóre z
dowodów s ¾a czysto algebraiczne (jak dowód z podobienstwa trójk ¾atów), inne maj ¾a
form¾e uk÷adanek geometrycznych, jeszcze inne oparte s ¾a o równosci pól pewnych
�gur. Zaprezentuj¾e w tym rozdziale kilkadziesi ¾at wybranych dowodów.
1.4.1 Przypuszczalny dowód Pitagorasa
Poni·zej zaprezentuj¾e dowód algebraiczny, który wed÷ug Szczepana Jelenskiego móg÷
byc przypuszczalnym dowodem Pitagorasa.
Dowód. [10, str. 21] Niech dany b¾edzie trójk ¾at prostok ¾atny ABC o k ¾acie prostymw wierzcho÷ku C: Z wierzcho÷ka C poprowadzmy prost ¾a CD, która jest prostopad÷a
do podstawy AB: Tak powstaje poni·zszy rysunek.
Rysunek 13.
Na podstawie Podania 8 z Ksi¾egi VI otrzymujemy trzy trójk ¾aty podobne: �ABC;
�ADC oraz�CDB:Wprowadzmy oznaczenia: jABj = c; jBCj = a; oraz jACj = b:
Bior ¾ac pod uwag¾e trójk ¾aty podobne�CDB i�ABC mo·zemy na podstawie Podania
4 z Ksi¾egi VI napisac proporcj¾e:
jBDja
=a
c(29)
Rozpatruj ¾ac trójk ¾aty podobne �ADC i �ABC mo·zemy na podstawie Podania 4 z
Ksi¾egi VI napisac proporcj¾e:jADjb
=b
c(30)
Z proporcji (29) i (30) otrzymujemy równosci:
a2 = jBDj � c (31)
25
oraz
b2 = jADj � c (32)
Po dodaniu stronami (31) i (32) mamy:
a2 + b2 = jBDj � c+ jADj � c = c � (jBDj+ jADj) = c � c = c2 (33)
Ostatecznie z (33) mamy:
a2 + b2 = c2
co nale·za÷o udowodnic.
Jak uwa·za Szczepan Jelenski, jesliby istotnie Pitagoras w ten sposób udowa-
dnia÷swe s÷ynne twierdzenie, znaczy÷oby to, ·ze znany ju·z mu by÷szereg twierdzen
przypisywanych obecnie Euklidesowi, co nie jest nieprawdopodobne.
1.4.2 Dowód geometryczny Euklidesa
Euklides w �Elementach" przedstawia osiem sposobów udowodnienia twierdzenia
Pitagorasa. Przedstawi¾e jeden z jego najbardziej znanych dowodów.
Dowód. [10, str. 13] Niech dany b¾edzie trójk ¾at prostok ¾atnyABC o k ¾acie prostym wwierzcho÷kuA:Udowodnimy, ·ze pole kwadratu wykreslonego na bokuBC jest równe
sumie pól kwadratów wykreslonych na bokach BA i AC: Na podstawie Podania 46
z Ksi¾egi I narysujemy na przeciwprostok ¾atnej BC kwadrat BDEC; na przypros-
tok ¾atnej BA kwadrat BAGF oraz na przyprostok ¾atnej AC kwadrat ACKH: Na
podstawie Podania 31 z Ksi¾egi I przez punkt A poprowadzimy lini¾e prost ¾a AL
równoleg÷¾a do boków BD i EC kwadratu BDEC: Nast¾epnie po÷¾aczymy punkty F
z C, A z D; A z E oraz B z K odcinkami. Tak powstaje poni·zszy rysunek.
26
Rysunek 14.
Na podstawie Opisu 30 z Ksi¾egi I k ¾at BAG jest prosty. Z za÷o·zenia k ¾at BAC
jest równie·z prosty. Zatem dwie linie proste AC i AG tworz ¾a z obydwu stron linii
prostej BA k ¾aty przyleg÷e równe dwóm k ¾atom prostym. Na podstawie Podania 14
z Ksi¾egi I dwie linie proste AC i AG maj ¾a ten sam kierunek. Rozumuj ¾ac ana-
logicznie, linie proste AB i AH maj ¾a ten sam kierunek. Na podstawie Pewnika
2 z Ksi¾egi I k ¾at DBA równy jest k ¾atowi FBC, ka·zdy bowiem z nich sk÷ada si¾e z
k ¾ata prostego i k ¾ata wspólnego ABC: Wiedz ¾ac, ·ze odcinki jABj i jDBj s ¾a równeodpowiednio odcinkom jFBj i jBCj oraz k ¾at DBA jest równy k ¾atowi FBC; wi¾ec
na podstawie Podania 4 z Ksi¾egi I podstawa AD jest równa podstawie FC oraz
trójk ¾at ABD jest równy trójk ¾atowi FBC. Na podstawie Podania 41 z Ksi¾egi I
trójk ¾at ABD jest po÷ow ¾a równoleg÷oboku BDLJ , poniewa·z oparte s ¾a na tej samej
podstawie BD i s ¾a mi¾edzy tymi samymi liniami równoleg÷ymi BD i AL zakonczone.
Analogicznie trójk ¾at FBC jest po÷ow ¾a kwadratu BAGF , poniewa·z maj ¾a t ¾a sam ¾a
podstaw¾e FB i s ¾a ograniczone tymi samymi liniami równoleg÷ymi FB i GC. Na
podstawie Pewnika 6 z Ksi¾egi I pole kwadratu BAGF jest równe polu prostok ¾ata
BDLJ . Powtarzaj ¾ac analogicznie dowód, udowodnilibysmy, ·ze pole równoleg÷oboku
JLEC równe jest polu kwadratu ACKH: Na podstawie powy·zszych rozwa·zan pole
kwadratu BDEC jest równe sumie pól kwadratów FBAG i ACKH: Ostatecznie
pole kwadratu BCDE wykreslonego na przeciwprostok ¾atnej BC równe jest sumie
pól kwadratów wykreslonych na przyprostok ¾atnych AB i AC; co konczy dowód.
27
Poni·zsza ilustracja pochodz ¾aca z �Elementów Euklidesa" obrazuje dowód twie-
rdzenia Pitagorasa.
Rysunek 15.
1.4.3 Dowód Jamesa Gar�elda
Poni·zej zaprezentowany dowód wymysli÷w 1876 James Gar�eld (ur. 19 listopada
1831, zm. 19 wrzesnia 1881), który od marca do wrzesnia 1881 roku by÷dwudzie-
stym prezydentem Stanów Zjednoczonych.
Dowód. [8, str. 22] Niech dany b¾edzie trójk ¾at prostok ¾atny ABC o k ¾acie prostym wwierzcho÷ku B: Na przed÷u·zeniu przyprostok ¾atnej BC trójk ¾ata prostok ¾atnego ABC
na podstawie Podania 2 z Ksi¾egi I odk÷adamy od punktu C odcinek CD równy co
do d÷ugosci odcinkowi AB: Na podstawie Podania 11 z Ksi¾egi I konstruujemy prost ¾a
prostopad÷¾a do prostej BD; przechodz ¾ac ¾a przez punkt D: Na podstawie Podania 2
z Ksi¾egi I na skonstruowanej prostej odk÷adamy od punktu D odcinek DE równy
co do d÷ugosci odcinkowi BC: Punkty A i E oraz punkty E i C ÷¾aczymy odcinkami.
Tak powstaje poni·zszy rysunek.
28
Rysunek 16.
Udowodnimy, ·ze trójk ¾at ACE jest trójk ¾atem prostok ¾atnym, a w dodatku równo-
ramiennym. Wprowadzmy oznaczenia: jABj = b; jBCj = a oraz jACj = c:
Wiedz ¾ac, ·ze:
jABj = jCDj = b
oraz
jBCj = jDEj = a
i
^ABC = ^CDE = 90� (34)
stwierdzamy na mocy Podania 4 z Ksi¾egi I, ·ze trójk ¾aty ABC i CDE s ¾a przystaj ¾ace,
a wi¾ec:
jACj = jCEj = c (35)
Zatem
^ECD = ^CAB
oraz
^CED = ^ACB (36)
Obliczymy teraz k ¾at ACE: Na podstawie Podania 32 z Ksi¾egi I zauwa·zmy, ·ze:
180� = ^CAB + ^ACB + ^ABC
i
180� = ^ECD + ^CED + ^CDE
29
Poniewa·z zachodzi (34), wi¾ec:
90� = ^CAB + ^ACB
i
90� = ^ECD + ^CED
Zauwa·zmy, ·ze:
^ACE = 180� � (^ECD + ^ACB)
Poniewa·z zachodzi (36), to:
90� = ^ECD + ^ACB
Zatem
^ACE = 180� � 90� = 90� (37)
Ostatecznie k ¾at ACE jest k ¾atem prostym. Na podstawie (35) i (37) oraz Opisu 25
i Opisu 27 z Ksi¾egi I trójk ¾at ACE jest prostok ¾atny i równoramienny. Obliczymy
teraz pola trójk ¾atów ABC; ACE oraz CDE: Mamy:
PABC =1
2� a � b
oraz
PCDE =1
2� a � b
i
PACE =1
2� c � c
Trzy wspomniane trójk ¾aty tworz ¾a trapez ABDE: Zauwa·zmy, ·ze pole tego trapezu
wynosi:
PABDE =1
2� (a+ b) � (a+ b) (38)
lub
PABDE = PABC + PCDE + PACE = a � b+ c2
2(39)
Z (38) i (39) mamy równosc:
1
2� (a+ b) � (a+ b) = a � b+ c2
2
(a+ b) � (a+ b) = 2 � a � b+ c2
a2 + 2 � a � b+ b2 = 2 � a � b+ c2
30
Ostatecznie mamy:
a2 + b2 = c2
co nale·za÷o udowodnic.
1.4.4 Dowód Nassir ed Dina
Nassir ed Din (prawdziwe nazwisko Mohammed Ben Hussein) ·zy÷w latach 1201
- 1274. By÷wielkim, perskim astronomem XIII wieku, a zarazem ulubiencem
Wielkiego Chana Holagou, który najecha÷Persj¾e i zniszczy÷dynasti¾e Abbasid w
1258 roku n.e. Wódz utworzy÷prowincj¾e w Maragha, w której zgromadzi÷ludzi
nauki i zbudowa÷obserwatorium, którym zarz ¾adza÷Nassir do roku 1271. Oprócz
astronomii, Nassir zajmowa÷si¾e tak·ze �lozo�¾a i matematyk ¾a. Przet÷umaczy÷�E-
lementy Euklidesa�na j¾ezyk arabski, a tak·ze udowodni÷twierdzenie Pitagorasa w
poni·zszy sposób.
Dowód. [10, str. 14] Niech dany b¾edzie trójk ¾at prostok ¾atny ABC o k ¾acie prostymw wierzcho÷ku A: Na podstawie Podania 46 z Ksi¾egi I narysujemy na przeciwpros-
tok ¾atnej BC kwadrat BCDE; na przyprostok ¾atnej AB kwadrat ABFG oraz na
przyprostok ¾atnej AC kwadrat ACIH: Przez punkty I i H kreslimy prost ¾a, która
jest równoleg÷a do boku AC; zas przez punkty F i G prowadzimy prost ¾a, która jest
równoleg÷a do boku AB: Proste te przecinaj ¾a si¾e w punkcie L; tworz ¾ac w mysl Opisu
31 z Ksi¾egi I prostok ¾at AHLG: Przez punkty D i C prowadzimy prost ¾a, która jest
równoleg÷a do boku BE: Prosta ta przecina prost ¾a IH w punkcie N: Przez punkty
E i B prowadzimy prost ¾a, która jest równoleg÷a do boku CD: Prosta ta przecina
prost ¾a FG w punkcie O: W mysl Podania 12 z Ksi¾egi I z punktu L poprowadzimy
prost ¾a prostopad÷¾a do przeciwprostok ¾atnej BC: Prosta ta przecina odcinek BC w
punkcie M; zas odcinek DE w punkcie K: Tak powstaje poni·zszy rysunek.
31
Rysunek 17.
Wprowadzmy oznaczenia: jBCj = c; jACj = a oraz jABj = b: Na podstawie Opisu
30 z Ksi¾egi I k ¾at GAB jest prosty. Z za÷o·zenia k ¾at CAB jest równie·z prosty. Zatem
dwie linie proste AC i AG tworz ¾a z obydwu stron linii prostej AB k ¾aty przyleg÷e,
równe dwóm k ¾atom prostym. Zatem na podstawie Podania 14 z Ksi¾egi I dwie linie
proste CA i AG maj ¾a ten sam kierunek. Rozumuj ¾ac analogicznie, linie proste FG i
GL maj ¾a ten sam kierunek. Na podstawie Podania 4 z Ksi¾egi I wynika, ·ze trójk ¾aty
GAL i ABC s ¾a trójk ¾atami przystaj ¾acymi. Wynika z tego, ·ze ^AGL = 90� jako k ¾atprzyleg÷y do k ¾ata prostego AGF: Zauwa·zmy, ·ze prosta LAMK oraz prosta OBE
s ¾a do siebie równoleg÷e, poniewa·z obie te proste s ¾a prostopad÷e do odcinka BC:
Analogicznie prostaHAB jest równoleg÷a do prostej LGOF; co wynika z konstrukcji
rysunku. Proste LAMK; OBE; LGOF i HAB tworz ¾a wi¾ec równoleg÷obok LABO:
Na podstawie Opisu 33 z Ksi¾egi I odcinki LA i OB oraz AB i LO s ¾a sobie równe.
Ostatecznie mamy równosci boków:
jABj = jBF j = jFGj = jGAj = b (40)
jBCj = jCDj = jDEj = jEBj = jMKj = jLAj = jOBj = c (41)
jACj = jCIj = jIHj = jHAj = jLGj = a (42)
Zauwa·zmy, ·ze:
PDKMC = jCDj � jCM j (43)
32
oraz
PCALN = jLAj � jCM j (44)
Z (41), (43) i (44) wynika, ·ze:
PDKMC = PCALN
Ponadto
PCALN = jACj � jLGj (45)
i
PACIH = jACj � jHAj (46)
Z (42), (45) i (46) wynika, ·ze:
PDKMC = PCALN = PACIH = a2 (47)
Zauwa·zmy, ·ze:
PKEBM = jMBj � jMKj (48)
oraz
PABOL = jMBj � jOBj (49)
Z (41), (48) i (49) wynika, ·ze:
PKEBM = PABOL (50)
Ponadto
PABOL = jFBj � jABj (51)
i
PABFG = jFBj � jABj (52)
Z (40), (50), (51) i (52) wynika, ·ze:
PKEBM = PABOL = PABFG = b2 (53)
Zauwa·zmy, ·ze:
PDEBC = PDKMC + PKEBM (54)
Poniewa·z
PDEBC = c � c = c2 (55)
33
wi¾ec z (47), (53), (54) i (55) ostatecznie otrzymujemy:
c2 = a2 + b2
co nale·za÷o udowodnic.
Powy·zszy dowód zosta÷opublikowany dopiero w roku 1594.
1.4.5 Dowód Renana
Ernest Renan urodzi÷si¾e w 1823 roku w Bretanii, a zmar÷w 1892 w Pary·zu. By÷
francuskim pisarzem, historykiem, �lologiem i �lozofem. Dodatkowo zajmowa÷si¾e
badaniem judaizmu i chrzescijanstwa. Jego najbardziej znanym dzie÷em sta÷o si¾e
Vie de Jésus (" ·Zycie Jezusa") - 1863, w którym przedstawi÷Jezusa jako cz÷owieka,
pomijaj ¾ac aspekt religijny. Publikacja wywo÷a÷a skandal. Papie·z Pius IX nazwa÷
autora europejskim bluznierc ¾a. W 1889 roku Renan udowodni÷i opublikowa÷dowód
twierdzenia Pitagorasa w poni·zej zaprezentowany sposób.
Dowód. [10, str. 16] Niech dany b¾edzie trójk ¾at prostok ¾atnyABC o k ¾acie prostym wwierzcho÷ku A: Na podstawie Podania 46 z Ksi¾egi I narysujemy na przyprostok ¾atnej
AB kwadrat ABFG oraz na przyprostok ¾atnej AC kwadrat ACIH: Przez punkty
I i H prowadzimy prost ¾a, która jest równoleg÷a do boku AC: Przez punkty F i G
prowadzimy prost ¾a, która jest równoleg÷a do boku AB: Proste te przecinaj ¾a si¾e w
punkcie R tworz ¾ac w mysl Opisu 31 z Ksi¾egi I prostok ¾at AHRG: Punkty R i C; R
i B; C i F oraz B i I ÷¾aczymy odcinkami. Tak powstaje poni·zszy rysunek.
Rysunek 18.
Wprowadzmy oznaczenia: jBCj = a; jABj = c oraz jACj = b: Na podstawie Opisu
30 z Ksi¾egi I k ¾at IHA jest prosty. Wynika z tego, ·ze ^AHR = 90� jako k ¾at przyleg÷y
34
do k ¾ata prostego IHA. Wi¾ec
^AHR = ^CAB (56)
Na podstawie Opisu 30 z Ksi¾egi I k ¾at GAB jest prosty. Z za÷o·zenia k ¾at CAB jest
równie·z prosty. Zatem dwie linie proste AC i AG tworz ¾a z obydwu stron linii prostej
AB k ¾aty przyleg÷e, równe dwóm k ¾atom prostym. Zatem na podstawie Podania 14 z
Ksi¾egi I dwie linie proste CA i AG maj ¾a ten sam kierunek. Analogicznie dwie linie
proste BA i AH maj ¾a ten sam kierunek. Zauwa·zmy, ·ze prosta RHI oraz prosta
GAC s ¾a do siebie równoleg÷e, poniewa·z obie te proste s ¾a prostopad÷e do prostej
HAB: Analogicznie prosta HAB jest równoleg÷a do prostej RGF; co wynika z
konstrukcji rysunku. Proste RHI; HAB; GAC i FGR tworz ¾a wi¾ec równoleg÷obok
RHAG: Na podstawie Opisu 33 z Ksi¾egi I mamy równosc odcinków:
jRHj = jGAj (57)
i
jRGj = jHAj (58)
Na podstawie Opisu 30 z Ksi¾egi I
jAHj = jACj = jICj = a (59)
oraz
jGAj = jABj = b (60)
Zatem z (57) i (60) mamy:
jRHj = jABj (61)
Z (56), (59) i (61) na podstawie Podania 4 z Ksi¾egi I wynika, ·ze trójk ¾aty ABC i
AHR s ¾a przystaj ¾ace, zatem
jRAj = jBCj (62)
oraz
^ACB = ^HAR (63)
Zauwa·zmy, ·ze:
^ICB = ^ICA+ ^ACB = 90� + ^ACB (64)
oraz
^CAR = ^CAH + ^HAR = 90� + ^HAR (65)
35
Z (63), (64) i (65) mamy wi¾ec:
^ICB = ^CAR (66)
Z (59), (62) i (66) na podstawie Podania 4 z Ksi¾egi I wynika, ·ze trójk ¾aty ICB i CAR
s ¾a przystaj ¾ace. Przeprowadzaj ¾ac analogicznie powy·zsze rozumowanie udowodnili-
bysmy, ·ze trójk ¾at FBC jest przystaj ¾acy do trójk ¾ata BAR: Zauwa·zmy, ·ze:
PCAR =1
2� jACj � jRGj (67)
Z (58), (59) i (67) wynika, ·ze:
PCAR =1
2� a2 (68)
Ponadto
PBAR =1
2� jABj � jRHj (69)
Z (57), (60) i (69) mamy:
PBAR =1
2� b2 (70)
Tak wi¾ec z (68) i (70) wynika, ·ze:
PCAR + PBAR =1
2��a2 + b2
�(71)
Ale
PCAR =1
2� jRAj � jCM j (72)
i
PBAR =1
2� jRAj �MBj (73)
wi¾ec z (72) i (73) mamy:
PCAR + PBAR =1
2� jRAj � (jCM j+ jMBj) = 1
2� jRAj � jCBj (74)
Z (62) i (74) otrzymujemy:
PCAR + PBAR =1
2� c � c = 1
2� c2 (75)
Z (71) i (75) mamy równosc:
1
2��a2 + b2
�=1
2� c2
36
Ostatecznie otrzymujemy:
a2 + b2 = c2
co nale·za÷o udowodnic.
1.4.6 Dowód Leonarda da Vinci
Leonardo da Vinci urodzi÷si¾e w 1452 roku we W÷oszech, a zmar÷w 1519 we
Francji. By÷w÷oskim, renesansowym malarzem, architektem, �lozofem, muzykiem,
poet ¾a, odkrywc ¾a, matematykiem, mechanikiem, anatomem i geologiem. Udowo-
dni÷, wed÷ug mnie w sposób bardzo ciekawy i skomplikowany, twierdzenie Pitagorasa
w poni·zszy sposób.
Dowód. [10, str. 15] Niech dany b¾edzie trójk ¾at prostok ¾atnyABC o k ¾acie prostym wwierzcho÷kuB:Udowodnimy, ·ze pole kwadratu wykreslonego na bokuAC jest równe
sumie pól kwadratów wykreslonych na bokach BA i BC: Na podstawie Podania 46 z
Ksi¾egi I narysujemy na przyprostok ¾atnej AB kwadrat ABED, na przyprostok ¾atnej
BC kwadrat BCGF oraz na przeciwprostok ¾atnej AC kwadrat ACJI: Na podstawie
Opisu 21 z Ksi¾egi I na odcinku IJ kreslimy trójk ¾at IJH; który jest przystaj ¾acy do
trójk ¾ata ABC: Punkty E i F , D i G, A i J; C i I oraz B i H ÷¾aczymy odcinkami.
Odcinki te przecinaj ¾a si¾e w punkcie O; który dodatkowo jest srodkiem symetrii
kwadratu ACJI: W ten sposób powstaje czworok ¾at ABCO: W mysl Opisu 6 z
Ksi¾egi IV na czworok ¾acie ABCO opisujemy okr ¾ag. W zwi ¾azku z tym punkty A; B;
C; O nale·z ¾a do okr¾egu. Tak powstaje poni·zszy rysunek.
37
Rysunek 19.
Udowodnimy wpierw, ·ze trójk ¾aty EBF i ABC s ¾a przystaj ¾ace. Na podstawie Opisu
30 z Ksi¾egi I mamy równosci boków:
jABj = jEBj (76)
i
jBCj = jBF j (77)
oraz w mysl Podania 15 z Ksi¾egi I
^ABC = ^EBF = 90� (78)
jako k ¾aty wierzcho÷kowe, wi¾ec z (76), (77) i (78) oraz Podania 4 z Ksi¾egi I trójk ¾aty
ABC i EBF s ¾a przystaj ¾ace. Poniewa·z trójk ¾at ABC jest przystaj ¾acy do trójk ¾ata
EBF i do trójk ¾ata IJH; zatem trójk ¾at EBF jest przystaj ¾acy do trójk ¾ata IJH: Z
tego wynika, ·ze:
jEF j = jACj = jIJ j
38
Sledz ¾ac dowód od pocz ¾atku otrzymujemy nast¾epuj ¾ace równosci boków:
jAIj = jIJ j = jJCj = jACj = jEF j (79)
jABj = jBEj = jEDj = jDAj = jHJ j (80)
jBCj = jCGj = jGF j = jFBj = jHIj (81)
i równosci k ¾atów:
^ACB = ^BFE = ^JIH (82)
oraz
^BAC = ^IJH = ^FEB (83)
Zauwa·zmy, ·ze:
^ADG = ^CDG = ^DGF = ^EDG = 45� (84)
poniewa·z przek ¾atne kwadratów dziel ¾a ich k ¾aty proste na po÷owy. Zauwa·zmy, ·ze
odcinek jAOj = jOCj poniewa·z s ¾a one po÷owami przek ¾atnych kwadratu ACJI;
dodatkowo s ¾a te·z ci¾eciwami okr¾egu. Na podstawie Podania 28 z Ksi¾egi III ci¾eciwy
AO i OC opieraj ¾a si¾e na równych ÷ukach. Na podstawie Podania 27 z Ksi¾egi III
k ¾aty ABO oraz OBC s ¾a sobie równe, jako oparte na równych ÷ukach, dodatkowo
k ¾aty ABO i OBC tworz ¾a k ¾at ABC; który z za÷o·zenia jest prosty. Z powy·zszego:
^ABO = ^OBC = 45� (85)
Analogicznie konstruuj ¾ac okr ¾ag opisany na trójk ¾acie prostok ¾atnym IJH otrzyma-
libysmy, ·ze:
^IHO = ^OHJ = 45� (86)
Zauwa·zmy, ·ze:
^AIH = ^AIJ + ^JIH = 90� + ^JIH (87)
^JCB = ^JCA+ ^ACB = 90� + ^ACB (88)
^ACG = ^BCG+ ^ACB = 90� + ^ACB (89)
^GFE = ^GFB + ^BFE = 90� + ^BFE (90)
Z (87), (88), (89), (90) i (82) mamy równosc k ¾atów:
^AIH = ^JCB = ^ACG = ^GFE (91)
39
Z kolei
^BAI = ^CAI + ^BAC = 90� + ^BAC (92)
^HJC = ^CJI + ^HJI = 90� + ^HJI (93)
^DAC = ^DAB + ^BAC = 90� + ^BAC (94)
^FED = ^BED + ^FEB = 90� + ^FEB (95)
Z (92), (93), (94), (95) i (83) mamy równosc k ¾atów:
^BAI = ^HJC = ^DAC = ^FED (96)
Z (79), (80), (81) oraz (91), (96) i (84), (85), (86) wynika, ·ze czworok ¾aty ABHI;
JHBC; ADGC i EDFG s ¾a przystaj ¾ace. Zauwa·zmy, ·ze:
PABHI + PJHBC = PADGC + PEDGF (97)
na mocy przystawania tych czworok ¾atów. Dodatkowo
PABHI + PJHBC = PABED + PBCGH + PABC + PEBF (98)
i
PADGC + PEDGF = PABC + PIJH + PACJI (99)
Z (97), (98) i (99) mamy równosc:
PABED + PBCGH + PABC + PEBF = PABC + PIJH + PACJI (100)
Poniewa·z
PABC = PEBF = PIJH (101)
na mocy przystawania tych trójk ¾atów, wi¾ec z (100) i (101) mamy równosc:
PABED + PBCGH = PACJI
co nale·za÷o udowodnic.
1.4.7 Dowody Ho¤mana
Jak pisze w swej ksi ¾a·zce Szczepan Jelenski, Ho¤man by÷autorem dwóch dowodów
twierdzenia Pitagorasa. A oto pierwszy z nich.
Dowód. [10, str. 14] Niech dany b¾edzie trójk ¾at prostok ¾atny ABC o k ¾acie prostymw wierzcho÷ku A: Na podstawie Podania 46 z Ksi¾egi I narysujemy na przypros-
40
tok ¾atnej AB kwadrat ABFG, na przyprostok ¾atnej AC kwadrat ACIH oraz na
przeciwprostok ¾atnej BC kwadrat BCDE: Przez punkty C i D kreslimy prost ¾a,
która jest równoleg÷a do boku EB; zas przez punkty F i G kreslimy prost ¾a, która
jest równoleg÷a do boku AB: Prosta CD przecina bok AH w punkcie P; oraz prost ¾a
FEG w punkcieN: Przez punkty I, H iD prowadzimy prost ¾a, która jest równoleg÷a
do boku AC: Prosta ta przecina prost ¾a FEGN w punkcie L: W mysl Podania 12
z Ksi¾egi I przez punkt A poprowadzimy prost ¾a, która jest prostopad÷a do prze-
ciwprostok ¾atnej trójk ¾ata ABC: Prosta ta przecina bok BC w punkcie M i proste
IHDL i FEGN w punkcie L: Tak powstaje poni·zszy rysunek.
Rysunek 20.
Wprowadzmy oznaczenia: jBCj = c; jACj = a oraz jABj = b: Na podstawie Opisu
30 z Ksi¾egi I k ¾at HAC jest prosty. Z za÷o·zenia k ¾at CAB jest równie·z prosty. Zatem
dwie linie proste AB i AH tworz ¾a z obydwu stron linii AC k ¾aty przyleg÷e, równe
dwóm k ¾atom prostym. St ¾ad na podstawie Podania 14 z Ksi¾egi I dwie linie proste
HA i AB maj ¾a ten sam kierunek. Rozumuj ¾ac analogicznie linie proste CA i AG
maj ¾a ten sam kierunek. Zauwa·zmy, ·ze proste NDPC; LAM oraz EB s ¾a do siebie
równoleg÷e, poniewa·z proste te s ¾a prostopad÷e do odcinka BC: Analogicznie prosta
HPAB jest równoleg÷a do prostej NLGEF oraz prosta IHDL jest równoleg÷a do
prostej CAG; co wynika z konstrukcji. Proste NDPC; LAM; HPAB i NLGEF
tworz ¾a równoleg÷obok NPAL: Na podstawie Opisu 33 z Ksi¾egi I odcinki NP i
LA oraz PA i NL s ¾a sobie równe. Proste NDPC; LAM; IHDL i CAG tworz ¾a
równoleg÷obok DCAL: Na podstawie Opisu 33 z Ksi¾egi I odcinki DC i LA oraz DL
i CA s ¾a sobie równe. Proste LAM; EB; HPAB i NLGEF tworz ¾a równoleg÷obok
ABEL: Na podstawie Opisu 33 z Ksi¾egi I odcinki LA i EB oraz AB i LE s ¾a sobie
41
równe. Proste NDPC; EB; HPAB i NLGEF tworz ¾a równoleg÷obok PBEN: Na
podstawie Opisu 33 z Ksi¾egi I odcinki NP i EB oraz PB i NE s ¾a sobie równe.
Ostatecznie mamy równosci boków:
jNLj = jPAj
jDLj = jACj = jAHj = jIHj = jICj = a (102)
jBCj = jDEj = jNP j = jLAj = jEBj = jDCj = c (103)
jGF j = jBF j = jGAj = jABj = jLEj = b (104)
jPBj = jNEj
Zauwa·zmy, ·ze:
PPALN = jALj � jCM j (105)
i
PCALD = jALj � jCM j (106)
oraz
PCALD = jCAj � jAHj (107)
i
PCAHI = jCAj � jAHj (108)
Z (102), (105),(106), (107) i (108) mamy:
PPALN = PCALD = PCAHI = a � a = a2 (109)
Ponadto
PABEL = jABj � jGAj (110)
i
PABFG = jABj � jGAj (111)
Z (104), (110) i (111) mamy:
PABEL = PABFG = b � b = b2 (112)
Zauwa·zmy, ·ze:
PPBEN = jEBj � jDEj (113)
i
PCBED = jEBj � jDEj (114)
42
Z (103), (113) i (114) mamy:
PPBEN = PCBED = c � c = c2 (115)
Ale
PPBEN = PPALN + PABEL (116)
Ostatecznie z (109), (112), (115) i (116) mamy:
c2 = a2 + b2
co nale·za÷o udowodnic.
Oryginalniejszy jest drugi dowód tego·z autora. Korzysta on tu nie tylko z
geometrii opracowanej przez samego Euklidesa, ale równie·z z pewnych zale·znosci
trygonometrycznych. A oto on.
Dowód. [10, str. 15] Niech dany b¾edzie trójk ¾at prostok ¾atny ABC o k ¾acie prostymw wierzcho÷ku C: Na podstawie Podania 12 z Ksi¾egi I z punktu B prowadzimy
prost ¾a, która jest prostopad÷a do boku CB: Od punktu B odk÷adamy odcinek BE
równy co do d÷ugosci odcinkowi CB: Na podstawie Podania 12 z Ksi¾egi I z punktu
A prowadzimy prost ¾a, która jest prostopad÷a do boku AC: Od punktu A odk÷adamy
odcinek AF równy co do d÷ugosci odcinkowi AC: Na podstawie Podania 12 z Ksi¾egi
I z punktu B prowadzimy prost ¾a, która jest prostopad÷a do boku AB: Od punktu
B odk÷adamy odcinek BJ równy co do d÷ugosci odcinkowi AB: Punkty F i C;
C i E; A i J oraz C i J ÷¾aczymy odcinkami. Przez punkty A i E prowadzimy
prost ¾a. Na podstawie Podania 12 z Ksi¾egi I z punktu F prowadzimy prost ¾a, która
jest prostopad÷a do prostej AE: Prosta ta przecina prost ¾a AE w punkcie G. Tak
powstaje poni·zszy rysunek.
43
Rysunek 21.
Wprowadzmy oznaczenia: jBCj = a; jACj = b oraz jABj = c: Zauwa·zmy, ·ze:
^ACB = ^FAC = ^CBE = ^ABJ = 90� (117)
i
jAF j = jACj = a (118)
i
jBCj = jBEj = b (119)
oraz
jABj = jBJ j = c (120)
Zatem z (118) i (119) na podstawie Opisu 25 z Ksi¾egi I trójk ¾aty FAC i CBE s ¾a
trójk ¾atami równoramiennymi. Z (117) oraz na podstawie Podania 32 z Ksi¾egi I
mamy, ·ze:
^AFC + ^ACF = 180� � ^FAC = 180� � 90� = 90� (121)
oraz
^BCE + ^BEC = 180� � ^CBE = 180� � 90� = 90� (122)
Zatem z (121) i (122) na podstawie Podania 5 z Ksi¾egi I mamy:
^AFC = ^ACF = ^BCE = ^BEC = 45� (123)
44
Zauwa·zmy, ·ze z (117) i (123) wynika nast¾epuj ¾aca równosc:
^ACF + ^ACB + ^BCE = 45� + 90� + 45� (124)
Z (124) mamy, ·ze punkty F; C i E s ¾a wspó÷liniowe. Z (117) oraz na podstawie
Pewnika 2 z Ksi¾egi I mamy:
^EBA = ^CBJ (125)
ka·zdy bowiem z nich sk÷ada si¾e z k ¾ata prostego i k ¾ata wspólnego ABC: Korzystaj ¾ac
z (119), (120) i (125) na podstawie Podania 4 z Ksi¾egi I trójk ¾aty ABE i CBJ s ¾a
przystaj ¾ace. Zatem
jAEj = jCJ j (126)
i
^AEB = ^JCB = � (127)
oraz
^CJB = ^EAB = �
Poniewa·z trójk ¾aty ABE i CBJ s ¾a przystaj ¾ace zatem
PABE = PCBJ (128)
Na podstawie Podania 32 z Ksi¾egi I mamy:
^AEB + ^EAB = �+ � = 180� � ^EBA (129)
Ale jak ju·z wczesniej wspomnielismy korzystaj ¾ac z (117) mamy:
^EBA = 90� + ^ABC (130)
Zatem z (129) i (130) otrzymujemy:
�+ � = 180� � 90� � ^ABC = 90� � ^ABC (131)
Ponadto z (117) i na podstawie Podania 32 z Ksi¾egi I mamy:
^BAC = 180� � ^ACB � ^ABC = 180� � 90� � ^ABC = 90� � ^ABC
Zatem z (131) wynika, ·ze:
^BAC = �+ � (132)
45
oraz
^BAC = ^CAE + ^EAB = ^CAE + � (133)
Zatem z (132) i (133) mamy:
^CAE = � (134)
Z (117), (127) oraz (134) otrzymujemy:
^FAE = ^FAC + ^CAE = 90� + � (135)
oraz
^ACJ = ^ACB + ^JCB = 90� � � (136)
Na podstawie Podania 32 z Ksi¾egi I
^FAG = 180� � ^FAE = 180� � 90� � � = 90� � �
Zauwa·zmy, ·ze:
^ACJ = ^ACH = 90� � �
Z (135) i (136) na podstawie Twierdzenia 1.2.5 wynika, ·ze:
sin^FAE = sin^ACH = sin^FAG (137)
Na podstawie De�nicji 1.2.1 mamy:
sin^FAG = jGF jjAF j (138)
oraz
sin^ACH =jAHjjACj (139)
Z ( 118), (137), (138) oraz (139) otrzymujemy:
jGF ja
=jAHja
(140)
Zatem z (140) mamy:
jGF j = jAHj (141)
Zauwa·zmy, ·ze:
PFAE =1
2� jAEj � jGF j (142)
oraz
PACJ =1
2� jCJ j � jAHj (143)
46
Zatem z (126), (141), (142) oraz (143) mamy:
PFAE = PACJ (144)
Poniewa·z
PABEF = PABE + PFAE
oraz
PACBJ = PACJ + PCBJ
Zatem z (128) oraz (144) mamy:
PABEF = PACBJ
Na podstawie Pewnika 3 z Ksi¾egi I odejmuj ¾ac od równych sobie czworok ¾atów wspólny
im trójk ¾at ABC oraz korzystaj ¾ac z (118), (119) i (120) otrzymujemy:
PABEF � PABC = PFAC + PCBE =1
2� a � a+ 1
2� b � b = a2
2+b2
2(145)
oraz
PACBJ � PABC = PABJ =1
2� c � c = c2
2(146)
Z (145) oraz (146) mamy:a2
2+b2
2=c2
2
Ostatecznie otrzymujemy:
a2 + b2 = c2
co nale·za÷o udowodnic.
1.4.8 Dowód Bhâskary
Acarja Bhâskara urodzi÷si¾e oko÷o 1114 roku, a zmar÷w 1185. By÷hinduskim mate-
matykiem i astronomem. Jego najbardziej znanym dzie÷em sta÷a si¾e rozprawa pt.
�Siddhanta Piromani", której pierwsza cz¾esc - zbiór zadan zatytu÷owany �Lilawati",
przez lata uznawano za wzorcowy wyk÷ad arytmetyki i sztuki dokonywania pomia-
rów. W drugiej cz¾esci, mniej popularnej, autor zaj ¾a÷si¾e problemami algebry, zas w
trzeciej i czwartej - astronomii. Poni·zej przedstawi¾e dowód twierdzenia Pitagorasa
wykonany przez Bhâskar¾e.
Dowód. [10, str. 19] Niech dany b¾edzie trójk ¾at prostok ¾atny o przyprostok ¾atnycha i b oraz przeciwprostok ¾atnej c: K ¾at prosty w tym trójk ¾acie znajduje si¾e mi¾edzy
bokami a i b: Mamy wi¾ec nast¾epuj ¾acy rysunek.
47
Rysunek 22.
Obracaj ¾ac ten trójk ¾at o 90; 180 oraz 270 stopni, otrzymujemy trzy kolejne trójk ¾aty,
które na podstawie Podania 4 z Ksi¾egi I s ¾a przystaj ¾ace do trójk ¾ata z Rysunku 22.
Rysunek 23.
Po÷¾aczmy trójk ¾aty z Rysunku 22 i 23 w kwadrat o boku c tak jak pokazano na
poni·zszym rysunku i oznaczmy jego wierzcho÷ki przez A; B; C i D:
Rysunek 24.
48
Zauwa·zmy, ·ze w wyniku konstrukcji na podstawie Opisu 30 z Ksi¾egi I w kwadracie
ABCD powsta÷mniejszy kwadrat, którego bok jest równy a � b: Obliczaj ¾ac pole
kwadratu ABCD o boku c mamy nast¾epuj ¾ace równosci:
PABCD = c � c = c2 (147)
oraz
PABCD = 4 �1
2� a � b+ (a� b)2 (148)
Z (147) i (148) otrzymujemy:
c2 = 4 � 12� a � b+ (a� b)2
c2 = 2 � a � b+ a2 � 2 � a � b+ b2
Ostatecznie
c2 = a2 + b2
co nale·za÷o udowodnic.
1.4.9 Dowody Marry�ego
Oto pierwszy dowód Marry�ego.
Dowód. [10, str. 22] Niech dany b¾edzie trójk ¾at prostok ¾atny o przyprostok ¾atnycha i b oraz przeciwprostok ¾atnej c: K ¾at prosty w tym trójk ¾acie znajduje si¾e mi¾edzy
bokami a i b: Mamy wi¾ec nast¾epuj ¾acy rysunek.
Rysunek 25.
Obracaj ¾ac ten trójk ¾at o 90; 180 oraz 270 stopni, otrzymujemy trzy kolejne trójk ¾aty,
które na podstawie Podania 4 z Ksi¾egi I s ¾a przystaj ¾ace do trójk ¾ata z Rysunku 25.
49
Rysunek 26.
Po÷¾aczmy trójk ¾aty z Rysunku 25 i 26 w taki sposób, jak zaprezentowane jest to na
poni·zszym rysunku.
Rysunek 27.
Zauwa·zmy, ·ze w wyniku konstrukcji na podstawie Opisu 30 z Ksi¾egi I powsta÷
kwadrat ABCD; a w nim wpisany mniejszy kwadrat, którego bok jest równy c:
Oznaczmy wierzcho÷ki tego kwadratu przez E, F; G i H: Obliczaj ¾ac pole kwadratu
EFGH o boku c mamy nast¾epuj ¾ace równosci:
PEFGH = c � c = c2 (149)
i
PEFGH = (a� b)2 + 4 � 12� a � b (150)
oraz
PEFGH = (a+ b)2 � 4 � 12� a � b (151)
50
Z (150) i (149) mamy:
c2 = (a� b)2 + 4 � 12� a � b (152)
Z (151) i (149) mamy:
c2 = (a+ b)2 � 4 � 12� a � b (153)
Dodaj ¾ac stronami równania (152) i (153) otrzymujemy:
2 � c2 = (a� b)2 + 4 � 12� a � b+ (a+ b)2 � 4 � 1
2� a � b
2 � c2 = a2 � 2 � a � b+ b2 + a2 + 2 � a � b+ b2
2 � c2 = 2 � a2 + 2 � b2
Ostatecznie mamy:
c2 = a2 + b2
co nale·za÷o udowodnic.
Poni·zej zaprezentuj¾e drugi dowód, który przeprowadzi÷Marry w 1887 roku.
Dowód. [10, str. 20] Niech dany b¾edzie trójk ¾at prostok ¾atny ABC o k ¾acie prostymw wierzcho÷ku A: Na mocy Podania 46 z Ksi¾egi I na przyprostok ¾atnej AB budujemy
kwadrat ABFG; zas na przeciwprostok ¾atnej CB budujemy kwadrat BCDE: Bok
AG kwadratu ABFG przecina si¾e z bokiem DE kwadratu BCDE w punkcie N .
Punkt E znajduje si¾e na odcinku GF: Przez punkty FG prowadzimy prost ¾a. W
mysl Podania 31 z Ksi¾egi I przez punkt D prowadzimy prost ¾a, która jest równoleg÷a
do odcinka GF: Prosta ta przecina odcinek AG w punkcie P: W mysl tego samego
Podania, przez punkt D prowadzimy prost ¾a równoleg÷¾a do odcinka AG: Prosta ta
przecina si¾e z prost ¾a FG w punkcie L: Tak powstaje poni·zszy rysunek.
Rysunek 28.
51
Wprowadzmy oznaczenia: jCBj = c; jABj = b oraz jACj = a: Na podstawie Opisu
30 z Ksi¾egi I mamy:
^ABF = ^CBE = 90� (154)
Na podstawie Opisu 30 z Ksi¾egi I k ¾at BAG jest prosty. Z za÷o·zenia k ¾at CAB jest
równie·z prosty. Zatem dwie linie proste AC i AG tworz ¾a z obydwu stron linii prostej
AB k ¾aty przyleg÷e równe dwóm k ¾atom prostym. Na podstawie Podania 14 z Ksi¾egi
I dwie linie proste CA i AG maj ¾a ten sam kierunek. Zauwa·zmy, ·ze na podstawie
Opisu 30 z Ksi¾egi I mamy:
jCBj = jDEj (155)
Na podstawie tego samego Opisu odcinek CB jest równoleg÷y do odcinka DE oraz
odcinek AB jest równoleg÷y do odcinka LE: Na podstawie Podania 29 z Ksi¾egi I
^ABC = ^LED (156)
Poniewa·z prosta DL jest równoleg÷a do prostej CAPNG; zatem na podstawie Po-
dania 29 z Ksi¾egi I
^ACB = ^LDE (157)
Z (155), (156) i (157) na podstawie Podania 26 z Ksi¾egi I trójk ¾aty ABC i LDE
s ¾a przystaj ¾ace. Przeprowadzaj ¾ac analogicznie tok rozumowania udowodnilibysmy,
·ze trójk ¾aty DPC i EFB s ¾a przystaj ¾ace. Zauwa·zmy, ·ze na podstawie Opisu 30 z
Ksi¾egi I
jCBj = jEBj (158)
i
jABj = jBF j (159)
oraz
^EFB = 90� (160)
Poniewa·z z za÷o·zenia k ¾at CAB jest prosty, zatem z (160) na podstawie Pewnika 11
z Ksi¾egi I
^EFB = ^CAB
Korzystaj ¾ac z (154) mamy:
^CBA = ^CBF � ^ABF = ^CBF � 90� (161)
oraz
^EBF = ^CBF � ^CBE = ^CBF � 90� (162)
52
Z (161) i (162) na podstawie Pewnika 3 z Ksi¾egi I mamy:
^CBA = ^EBF (163)
Z (158), (159) i (163) na podstawie Podania 26 z Ksi¾egi I trójk ¾aty ABC i EFB
s ¾a przystaj ¾ace. Ostatecznie trójk ¾atami przystaj ¾acymi s ¾a: �ABC; �EFB; �LED
i �DPC: Udowodnimy teraz, ·ze �gura DPGL jest kwadratem o boku a: Z przys-
tawania trójk ¾atów ABC; LED i DPC wynika, ·ze:
jDLj = jDP j = a (164)
oraz
^CAB = ^DLG = 90� (165)
Zauwa·zmy, ·ze:
^LGP = 90� (166)
jako k ¾at przyleg÷y k ¾atowi AGF; który na podstawie Opisu 30 z Ksi¾egi I jest prosty.
Poniewa·z prosta DL jest równoleg÷a do prostej PG oraz prosta DP jest równoleg÷a
do prostej LG; wi¾ec proste te tworz ¾a równoleg÷obok. Na podstawie Podania 34 z
Ksi¾egi I mamy:
jDLj = jPGj (167)
i
jDP j = jLGj (168)
i
^LDP = ^LGP (169)
oraz
^DLG = ^DPG (170)
Z (164), (167) i (168) wynika, ·ze:
jDLj = jPGj = jDP j = jLGj = a (171)
Z (165), (166), (169) i (170) mamy:
^LDP = ^LGP = ^DPG = ^DLG = 90� (172)
Z (171) i (172) oraz z Opisu 30 z Ksi¾egi I czworok ¾at DPGL jest kwadratem.
53
Zauwa·zmy, ·ze:
PBCDLF = PABC + PDPC + PDPGL + PABFG (173)
oraz
PBCDLF = PLED + PEFB + PCBED (174)
Przyrównuj ¾ac stronami równosci (173) i (174) mamy:
PABC + PDPC + PDPGL + PABFG = PLED + PEFB + PCBED
Zauwa·zmy, ·ze:
PABC = PDPC = PLED = PEFB
Odejmuj ¾ac stronami odpowiednie pola trójk ¾atów przystaj ¾acych otrzymujemy:
PDPGL + PABFG = PCBED
Ostatecznie mamy:
a2 + b2 = c2
co nale·za÷o udowodnic.
1.4.10 Dowód Möllmanna
Dowód. [10, str. 21] Niech dany b¾edzie trójk ¾at prostok ¾atny ABC o k ¾acie prostymw wierzcho÷ku A: Na mocy Opisu 5 z Ksi¾egi IV w trójk ¾at ten wpisujemy ko÷o o
srodku w punkcie O i promieniu r: Tak powstaje poni·zszy rysunek.
Rysunek 29.
Wprowadzmy oznaczenia: jBCj = c; jACj = a oraz jABj = b: Zauwa·zmy, ·ze:
PABC =1
2� a � b (175)
54
oraz pole trójk ¾ata ABC jest równe po÷owie iloczynu obwodu tego trójk ¾ata przez
promien r ko÷a wpisanego w ten trójk ¾at (patrz podrozdzia÷1.3.2 na stronie 21),
czyli:
PABC =1
2� (a+ b+ c) � r (176)
Zauwa·zmy równie·z, ·ze promien ko÷a wpisanego w trójk ¾at prostok ¾atny (patrz pod-
rozdzia÷1.3.3 na stronie 22) ABC jest równy:
r =1
2� (a+ b� c) (177)
Zatem z (176) i (177) mamy:
PABC =1
2� (a+ b+ c) � 1
2� (a+ b� c) (178)
Z (175) i (178) otrzymujemy:
1
2� a � b = 1
2� (a+ b+ c) � 1
2� (a+ b� c)
2 � a � b = a2 + a � b� a � c+ a � b+ b2 � b � c+ a � c+ b � c� c2
Sumuj ¾ac wyrazy podobne mamy:
2 � a � b = a2 + 2 � a � b+ b2 � c2
Ostatecznie otrzymujemy:
c2 = a2 + b2
co nale·za÷o udowodnic.
1.4.11 Dowód J. Barry Sutton�a
Dowód. [1] Niech dany b¾edzie trójk ¾at prostok ¾atny ABC o k ¾acie prostym w wierz-
cho÷ku C. Przez punkty B i A prowadzimy prost ¾a. W mysl Opisu 15 z Ksi¾egi I
narysujemy okr ¾ag o srodku w punkcie A i promieniu równemu co do d÷ugosci bokowi
AC: Okr ¾ag ten przecina prost ¾a BA w punktach D i E; tworz ¾ac odcinki AD i AE:
Punkty D i C oraz C i E ÷¾aczymy odcinkami. Tak powstaje poni·zszy rysunek.
55
Rysunek 30.
Wprowadzmy oznaczenia: jBCj = a; jACj = b oraz jBAj = c: Zauwa·zmy, ·ze:
jACj = jAEj = jADj = b (179)
i
jBEj = jBAj+ jAEj = c+ b (180)
oraz
jBDj = jBAj � jADj = c� b (181)
Na podstawie Podania 31 z Ksi¾egi III k ¾at DCE jest k ¾atem prostym, zatem w mysl
Opisu 27 z Ksi¾egi I trójk ¾at DCE jest trójk ¾atem prostok ¾atnym. Zauwa·zmy, ·ze:
^BCA = ^DCE = 90�
i k ¾aty te z÷o·zone s ¾a ze wspólnego k ¾ata DCA: Na podstawie Pewnika 3 z Ksi¾egi I
otrzymujemy, ·ze:
^BCD = ^ACE (182)
Z (179) i na podstawie Opisu 25 z Ksi¾egi I trójk ¾at ACE jest trójk ¾atem równora-
miennym, zatem na podstawie Podania 5 z Ksi¾egi I mamy:
^CEA = ^ACE (183)
Z (182) i (183) mamy:
^BCD = ^BEC (184)
Zauwa·zmy ponadto, ·ze:
^CBD = ^CBE (185)
56
Zatem z (184) i (185) wynika, ·ze:
^BDC = ^BCE (186)
Z (184), (185) i (186) oraz na podstawie Opisu 1 z Ksi¾egi VI trójk ¾aty DBC i EBC
s ¾a podobne. Z (180), (181) oraz na podstawie Podania 4 z Ksi¾egi VI mo·zemy zapisac
proporcj¾e:a
c+ b=c� b
a
St ¾ad
a2 = c2 � b2
Ostatecznie otrzymujemy:
a2 + b2 = c2
co nale·za÷o udowodnic.
1.4.12 Dowód Michelle Watkins�a
Dowód. [1] Niech dany b¾edzie trójk ¾at prostok ¾atny ABC o k ¾acie prostym w wierz-
cho÷kuA:Wmysl Podania 12 z Ksi¾egi I rysujemy odcinekEF , który jest prostopad÷y
do odcinka AB i równy co do d÷ugosci temu odcinkowi, w taki sposób by punkt E
le·za÷na przeciwprostok ¾atnej BC, zas punkt F nale·za÷do odcinka AB: Przez punkty
A i B prowadzimy prost ¾a. Na tej prostej odk÷adamy od punktu F odcinek równy
co do d÷ugosci odcinkowi AC: Tak powstaje odcinek FD: Ostatecznie ÷¾aczymy ze
sob ¾a punkty D i E oraz punkty D i C odcinkami. Tak powstaje poni·zszy rysunek.
Rysunek 31.
Wprowadzmy oznaczenia: jABj = a; jACj = b oraz jBCj = c: Zauwa·zmy ·ze:
^CAB = ^EFB = ^EFA = 90� (187)
57
i
^ABC = ^FBE (188)
Z (187) proste FE i AC s ¾a równoleg÷e, wi¾ec na podstawie Podania 29 z Ksi¾egi I
^FEB = ^ACB (189)
jako k ¾aty odpowiadaj ¾ace. Ponadto zachodz ¾a równosci nast¾epuj ¾acych boków:
jABj = jEF j = a
i
jACj = jDF j = b (190)
Z konstrukcji oraz na podstawie Podania 4 z Ksi¾egi I trójk ¾aty ABC i DEF s ¾a
przystaj ¾ace. Zatem
jBCj = jDEj = c (191)
Ponadto z (190) wynika, ·ze:
jDBj = jDF j+ jFBj = b+ jFBj (192)
Korzystaj ¾ac z (190) i (191) zauwa·zmy, ·ze:
PDCB =1
2� jBCj � jDEj = 1
2� c � c = 1
2� c2 (193)
lub
PDCB =1
2� jDBj � jACj = 1
2� jDBj � b (194)
Z (187), (188) i (189) oraz na podstawie Opisu 1 z Ksi¾egi VI trójk ¾aty EFB i ABC
s ¾a podobne. Zatem na mocy Podania 4 z Ksi¾egi I mo·zemy zapisac proporcj¾e:
jFBja
=a
b(195)
Zatem z (195) mamy, ·ze:
jFBj = a2
b(196)
A wi¾ec z (192) i (196) otrzymujemy:
jDBj = b+a2
b(197)
58
Z (193), (194) i (197) mamy:
1
2� c2 = 1
2� (b+ a2
b) � b
Ostatecznie otrzymujemy:
c2 = b2 + a2
co nale·za÷o udowodnic.
1.4.13 Dowód Wernera
Dowód. [10, str. 16] Niech dany b¾edzie trójk ¾at prostok ¾atnyABC o k ¾acie prostym wwierzcho÷ku A: Na podstawie Podania 46 z Ksi¾egi I narysujemy na przyprostok ¾atnej
AB kwadrat ABDE; zas na przyprostok ¾atnej AC kwadrat ACIH:Wmysl Podania
31 z Ksi¾egi I przez punkt I prowadzimy prost ¾a, która jest równoleg÷a do boku BC:
Prosta ta przecina bok AB w punkcie Z: Na podstawie tego samego Podania przez
punkt D prowadzimy prost ¾a, która jest równoleg÷a do boku BC: Prosta ta przecina
bok AE w punkcie F: Na podstawie Podania 12 z Ksi¾egi I z punktu A prowadzimy
prost ¾a, która jest prostopad÷a do boku BC: Prosta ta przecina ten bok w punkcieM:
Wmysl tego samego Podania z punktu C prowadzimy prost ¾a, która jest prostopad÷a
do prostej IZ: Prosta ta przecina prost ¾a IZ w punkcie X: Na podstawie Podania
12 z Ksi¾egi I z punktu B prowadzimy prost ¾a, która jest prostopad÷a do prostej FD:
Prosta ta przecina prost ¾a FD w punkcie Y: Tak powstaje poni·zszy rysunek.
Rysunek 32.
Wprowadzmy oznaczenia: jBCj = c; jACj = b oraz jABj = a: Zauwa·zmy, ·ze:
c = jCBj = jCM j+ jMBj (198)
59
^IXC = ^AMC = ^AMB = ^BYD = 90� (199)
Na podstawie Opisu 30 z Ksi¾egi I k ¾at ICA jest k ¾atem prostym oraz mamy równosci
boków:
jICj = jACj = jAHj = jIHj = b (200)
i
jABj = jBDj = jDEj = jEAj = a
Zauwa·zmy, ·ze pole kwadratu ACIH wynosi:
PACIH = jIHj � jCIj (201)
oraz pole równoleg÷oboku ICBZ wynosi:
PICBZ = jICj � jACj (202)
Zatem z (200), (201) i (202) mamy:
PACIH = PICBZ = b2 (203)
ale pole równoleg÷oboku ICBZ jest tak·ze równe:
PICBZ = jCBj � jCXj (204)
Z (203) i (204) mamy:
jCBj � jCXj = b2 (205)
Zauwa·zmy, ·ze:
^ICX = ^ICA� ^XCA = 90� � ^XCA (206)
oraz
^ACM = ^XCM � ^XCA = 90� � ^XCA (207)
Z (206), (207) oraz na podstawie Pewnika 3 z Ksi¾egi I wynika, ·ze:
^ICX = ^ACM (208)
Z (199) i (208) na podstawie Podania 32 z Ksi¾egi I wynika, ·ze:
^CIX = ^CAM (209)
60
Z (199), (200), (208) i (209) na podstawie Podania 26 z Ksi¾egi I trójk ¾aty ICX i
ACM s ¾a przystaj ¾ace. Mamy zatem równosc boków:
jCXj = jCM j (210)
Z (205) i (210) wynika, ·ze:
b2 = jCBj � jCM j (211)
Analogicznie wykazujemy, ·ze:
a2 = jCBj � jMBj (212)
Dodaj ¾ac równosci (211) i (212) stronami oraz wykorzystuj ¾ac (198) otrzymujemy:
a2 + b2 = jCBj � jCM j+ jCBj � jMBj = jCBj � (jCM j+ jMBj)= jCBj � jCBj = c2
Ostatecznie mamy:
a2 + b2 = c2
co nale·za÷o udowodnic.
1.4.14 Dowód Piton - Bressanta
Dowód. [10, str. 17] Niech dany b¾edzie trójk ¾at prostok ¾atnyABC o k ¾acie prostym wwierzcho÷kuA:Udowodnimy, ·ze pole kwadratu wykreslonego na bokuBC jest równe
sumie pól kwadratów wykreslonych na bokach BA i AC: Na podstawie Podania 46 z
Ksi¾egi I narysujemy na przeciwprostok ¾atnej BC kwadrat BCDE; na przyprostok ¾at-
nej BA kwadrat BAGE oraz na przyprostok ¾atnej AC kwadrat ACIH: Nast¾epnie
÷¾aczymy ze sob ¾a punkty I z A; H z C; A z E, B z G, C z E oraz B z D: Tak
powsta÷e odcinki nazywamy przek ¾atnymi kwadratów BCDE; BAGE oraz ACIH:
Przek ¾atne te przecinaj ¾a si¾e pod k ¾atami prostymi odpowiednio w punktach X; Z i
Y; dziel ¾ac si¾e na po÷owy. Punkty te nazywamy srodkami symetrii tych kwadratów.
Nast¾epnie ÷¾aczymy ze sob ¾a odcinkami punkty A i X oraz B i X. Na odcinku AX
od punktu X odk÷adamy odcinek XU równy co do d÷ugosci odcinkowi Y C: Punkty
B i U ÷¾aczymy odcinkiem. Nast¾epnie od punktu X odk÷adamy odcinek XV równy
co do d÷ugosci odcinkowi BU: Punkty C i V ÷¾aczymy odcinkiem. Tak powstaje
poni·zszy rysunek.
61
Rysunek 33.
Wprowadzmy oznaczenia: jXBj = c; jAY j = b oraz jAZj = a: Zauwa·zmy, ·ze:
jXV j = jBU j (213)
oraz
jAZj = jZBj (214)
Na podstawie Opisu 30 z Ksi¾egi I mamy równosc k ¾atów:
^CAB = ^CXB = ^ICA = ^CAH (215)
= ^GAB = ^ABE = ^DCB = ^CBE = 90�
Korzystaj ¾ac z (215) i wiedz ¾ac, ·ze przek ¾atne kwadratów BCDE; BAGE oraz ACIH
dziel ¾a ich k ¾aty wewn¾etrzne na po÷owy mamy:
^Y AC = ^BAZ = 45� (216)
Z (215) i (216) otrzymujemy:
^Y AC + ^CAB + ^BAZ = 45� + 90� + 45� = 180� (217)
62
Zatem na podstawie równosci (217) punkty Y; A i Z s ¾a wspó÷liniowe. Z (215) mamy:
^CAB + ^CXB = 90� + 90� = 180� (218)
Z (218) na podstawie Podania 22 z Ksi¾egi III na czworok ¾acie CABX mo·zna opisac
ko÷o. Zauwa·zmy, ·ze:
jXCj = jXBj = c (219)
poniewa·z s ¾a one po÷owami przek ¾atnych kwadratu BCDE; dodatkowo s ¾a te·z ci¾eci-
wami okr¾egu. Na podstawie Podania 28 z Ksi¾egi III ci¾eciwy XC i XB opieraj ¾a si¾e
na równych ÷ukach. Na podstawie Podania 27 z Ksi¾egi III k ¾aty CAX oraz XAB s ¾a
sobie równe, jako oparte na równych ÷ukach, dodatkowo k ¾aty CAX i XAB tworz ¾a
k ¾at CAB; który z za÷o·zenia jest prosty. Z powy·zszego mamy:
^CAX = ^XAB = 45� (220)
Z (216) oraz (220) mamy:
^Y AC + ^CAX = 45� + 45� = 90� (221)
Tak wi¾ec z (221) wynika, ·ze prostaAX jest prostopad÷a do prostej Y AZ i równoleg÷a
do boku Y C: Na podstawie Opisu 33 z Ksi¾egi I odcinki AY i CV s ¾a sobie równe.
Zatem mamy równosc boków:
jAY j = jCV j = jXU j (222)
Z (213), (219) i (222) na podstawie Podania 8 z Ksi¾egi I trójk ¾aty BUX i CV X s ¾a
przystaj ¾ace. Ponadto z (221) wynika, ·ze prosta Y AZ jest prostopad÷a do prostej
AX: Z (222) wynika, ·ze proste Y A i CV s ¾a równoleg÷e. Mamy zatem równosc
boków:
jAY j = jCY j = jCV j = jXU j = jAV j = b (223)
Z (216) oraz (220) mamy:
^XAB + ^BAZ = 45� + 45� = 90� (224)
Tak wi¾ec z (224) wynika, ·ze prostaAX jest prostopad÷a do prostej Y AZ i równoleg÷a
do boku ZB: Na podstawie Opisu 33 z Ksi¾egi I odcinki AZ i BU s ¾a sobie równe.
Korzystaj ¾ac z (213) mamy zatem równosc boków:
jAZj = jBU j (225)
63
Z (213), (214) i (225) mamy:
jXV j = jAZj = jBU j = jZBj = a (226)
Z (223) i (226) otrzymujemy:
jAXj = jAV j+ jV Xj = jCV j+ jBU j = jAY j+ jAZj = jY Zj (227)
Zauwa·zmy, ·ze:
PCABX = PACX + PAXB =1
2� jAXj � jCV j+ 1
2� jAXj � jBU j (228)
=1
2� jAXj � (jCV j+ jBU j)
Z (227) i (228) mamy:
PCABX =1
2� jAXj � jY Zj
Ponadto zauwa·zmy, ·ze:
PCY ZB =1
2� (jCY j+ jZBj) � jY Zj (229)
Z (223) i (226) mamy:
PCABX =1
2� (jCV j+ jBU j) � jY Zj (230)
Z (229) i (230) wynika, ·ze:
PCY ZB = PCABX
Na podstawie Pewnika 3 z Ksi¾egi I odejmuj ¾ac od równych sobie czworok ¾atów wspólny
im trójk ¾at ABC oraz korzystaj ¾ac z (219), (223) i (226) otrzymujemy:
PCY ZB � PABC = PCAY + PABZ =1
2� jAY j � jCY j+ 1
2� jAZj � jZBj (231)
=1
2� b2 + 1
2� a2
oraz
PCABX � PABC = PCXB =1
2� jXBj � jXCj = 1
2� c2 (232)
Z (231) oraz (232) mamy:b2
2+a2
2=c2
2
64
Ostatecznie otrzymujemy:
a2 + b2 = c2
co nale·za÷o udowodnic.
1.4.15 Dowód Weininjied�a
Ten algebraiczny dowód przeprowadzi÷Weininjied z Yingkou, Chinczyk, który by÷
nauczycielem matematyki i historii.
Dowód. [1] Niech dany b¾edzie trójk ¾at prostok ¾atny ABC o k ¾acie prostym w wierz-
cho÷ku C: Na przed÷u·zeniu przyprostok ¾atnej CB trójk ¾ata prostok ¾atnego ABC na
podstawie Podania 2 z Ksi¾egi I odk÷adamy od punktu C odcinek CD równy co
do d÷ugosci odcinkowi AC: Na przyprostok ¾atnej AC w mysl tego samego Podania
od punktu C odk÷adamy odcinek CE równy co do d÷ugosci odcinkowi CB: Przez
punkty D i E prowadzimy prost ¾a, która przecina przeciwprostok ¾atn ¾a AB trójk ¾ata
prostok ¾atnego ABC w punkcie F: Ponadto punktyD i A oraz punkty B i E ÷¾aczymy
odcinkami. Tak powstaje poni·zszy rysunek.
Rysunek 34.
Wprowadzmy oznaczenia: jCBj = a; jABj = c oraz jACj = b: Zauwa·zmy, ·ze:
jCEj = jCBj = a (233)
i
jACj = jDCj = b (234)
i
^ACB = ^DCE = 90� (235)
65
oraz
^CAB = ^EAF (236)
Zatem z (233), (234) i (235) na podstawie Podania 4 z Ksi¾egi I trójk ¾aty ABC i
CED s ¾a przystaj ¾ace, a wi¾ec ich podstawy s ¾a sobie równe tj.
jDEj = jABj = c (237)
oraz odpowiednie k ¾aty s ¾a sobie równe:
^EDC = ^CAB (238)
Z (236) i ( 238) wynika, ·ze:
^EDC = ^CAB = ^EAF (239)
Ponadto na podstawie Podania 15 z Ksi¾egi I
^DEC = ^AEF (240)
jako k ¾aty wierzcho÷kowe. Korzystaj ¾ac z (237) zauwa·zmy, ·ze:
jDF j = jDEj+ jEF j = c+ jEF j (241)
Z (235) na podstawie Podania 32 z Ksi¾egi I mamy:
^EDC + ^DEC + ^DCE = ^EDC + ^DEC + 90� = 180� (242)
Z (242) otrzymujemy:
^EDC + ^DEC = 180� � 90� = 90� (243)
Z (239), (240) i (243) mamy:
^EAF + ^AEF = 90� (244)
Z (244) na podstawie Podania 32 z Ksi¾egi I mamy:
^EAF + ^AEF + ^AFE = 90� + ^AFE = 180� (245)
66
Z (245) wynika, ·ze:
^AFE = 180� � 90� = 90�
Zatem prosta DF jest wysokosci ¾a trójk ¾ata ADB o podstawie AB: Zauwa·zmy, ·ze:
PABD = PABE + PACD + PBCE (246)
Z (233), (234), (237) i (241) mamy:
PABD =1
2� jDF j � jABj = 1
2� (c+ jEF j) � c = 1
2� c2 + 1
2� c � jEF j (247)
i
PABE =1
2� jEF j � jABj = 1
2� jEF j � c (248)
i
PACD =1
2� jACj � jDCj = 1
2� b � b = 1
2� b2 (249)
oraz
PBCE =1
2� jCEj � jCBj = 1
2� a � a = 1
2� a2 (250)
Z (246), (247), (248), (249) i (250) otrzymujemy:
1
2� c2 + 1
2� c � jEF j = 1
2� jEF j � c+ 1
2� b2 + 1
2� a2
St ¾ad
c2 + c � jEF j = jEF j � c+ b2 + a2
Ostatecznie otrzymujemy:
c2 = b2 + a2
co nale·za÷o udowodnic.
1.4.16 Dowód Sina Shiehyan�a
Poni·zszy dowód, który jest uogólnieniem twierdzenia Pitagorasa w mysl Podania 31
z Ksi¾egi VI, zosta÷wykonany przez czternastoletniego Iranczyka, Sina Shiehyan�a
pochodz ¾acego z Sabzevar.
Dowód. [1] Niech dany b¾edzie trójk ¾at prostok ¾atny ABC o k ¾acie prostym w wierz-
cho÷ku C: Udowodnimy, ·ze suma pól trójk ¾atów zbudowanych na przyprostok ¾atnych
trójk ¾ata ABC jest równa polu trójk ¾ata zbudowanego na przeciwprostok ¾atnej tego
trójk ¾ata. Wmysl Podania 5 z Ksi¾egi IV na trójk ¾acie tym opisujemy okr ¾ag. Punkt O;
który jest srodkiem okr¾egu, znajduje si¾e na przeciwprostok ¾atnej AB trójk ¾ata ABC,
dziel ¾ac t ¾a przeciwprostok ¾atn ¾a na dwa równe odcinki AO i OB: Punkt O ÷¾aczymy
67
odcinkiem z punktem C: Na boku AB konstruujemy trójk ¾at ABC 0; który jest przy-
staj ¾acy do trójk ¾ata ABC: W mysl Opisu 2 z Ksi¾egi III przez punkt C prowadzimy
prost ¾a d, która jest styczna do okr¾egu. Z punktów A i B; które s ¾a koncowymi
punktami przeciwprostok ¾atnej trójk ¾ata w mysl Podania 12 z Ksi¾egi I prowadzimy
proste AP i BK; które s ¾a prostopad÷e do prostej d: Tak powstaje poni·zszy rysunek.
Rysunek 35.
Zauwa·zmy, ·ze w mysl Podania 18 z Ksi¾egi III odcinek OC jest prostopad÷y do
stycznej d: Wiemy ju·z, ·ze:
jAOj = jOBj (251)
oraz, ·ze odcinki AP i BK s ¾a prostopad÷e do stycznej d; a wi¾ec s ¾a równoleg÷e
wzgl¾edem siebie. Poniewa·z odcinek OC jest prostopad÷y do stycznej d, jest zatem
równoleg÷y do odcinków AP i BK: Na podstawie Podania 2 z Ksi¾egi VI mamy:
jPCj = jCKj
Ponadto
jPKj = jPCj+ jCKj (252)
Korzystaj ¾ac z (252) zauwa·zmy, ·ze:
PACP + PBCK =1
2� jPCj � jAP j+ 1
2� jCKj � jBKj (253)
=1
2��jAP j � jPKj
2+ jBKj � jPKj
2
�=
1
2� 12� jPKj � (jAP j+ jBKj)
68
Mamy dalej:
PABKP =1
2� jPKj � (jAP j+ jBKj) (254)
Z (253) i (254) otrzymujemy:
PACP + PBCK =1
2� PABKP (255)
Z (255) wynika, ·ze:
PABC =1
2� PABKP (256)
Zatem z (255) i (256) mamy:
PACP + PBCK = PABC (257)
Poniewa·z
PABC = PABC0 (258)
wi¾ec z (257) i (258) otrzymujemy:
PACP + PBCK = PABC0
co konczy dowód.
1.4.17 Dowód Dr. Scotta Brodie�go
Poni·zszy dowód przeprowadzi÷Dr Scott Brodie z Nowego Jorku, który jest wyk÷a-
dowc ¾a na Mount Sinai School of Medicine.
Dowód. [1] Niech dany b¾edzie trójk ¾at prostok ¾atny ABC o k ¾acie prostym w wierz-
cho÷ku C: W mysl Podania 12 z Ksi¾egi I przez punkt C prowadzimy prost ¾a prosto-
pad÷¾a do przeciwprostok ¾atnej BA; która przecina t¾e przeciwprostok ¾atn ¾a w punkcie
P: Odcinek CP jest wysokosci ¾a trójk ¾ata ABC o podstawie AB: Na podstawie Poda-
nia 8 z Ksi¾egi VI otrzymujemy trzy trójk ¾aty podobne: �ABC; �ACP oraz �BPC:
Wmysl Podania 5 z Ksi¾egi IV na trójk ¾atach BPC oraz APC opisujemy okr¾egi. Tak
powstaje poni·zszy rysunek.
69
Rysunek 36.
Poniewa·z trójk ¾at BPC jest prostok ¾atny wi¾ec punkt P le·zy na okr¾egu o srednicy
BC; ponadto zauwa·zmy, ·ze trójk ¾at CPA jest prostok ¾atny i punkt P le·zy na okr¾egu
o srednicy AC: St ¾ad wynika, ·ze oba okr¾egi przecinaj ¾a si¾e w punkcie P; który le·zy
na boku AB: Wprowadzmy oznaczenia: jBP j = x; jPAj = y; jACj = b; jBCj = a
oraz jBAj = c: St ¾ad wynika, ·ze:
x+ y = c (259)
Poniewa·z trójk ¾at ABC jest prostok ¾atny, odcinek BC jest prostopad÷y do odcinka
AC; wi¾ec w mysl Podania 18 z Ksi¾egi III odcinek BC jest styczny do okr¾egu o
srednicy CA: Na podstawie Podania 36 z Ksi¾egi III (zwanym te·z twierdzeniem o
pot¾edze punktu wzgl¾edem okr¾egu) mamy:
a2 = x � c (260)
Podobnie w mysl Podania 18 z Ksi¾egi III odcinek AC jest styczny do okr¾egu o
srednicy BC: Na podstawie Podania 36 z Ksi¾egi III mamy wi¾ec:
b2 = y � c (261)
Dodaj ¾ac (260) i (261) stronami, otrzymujemy:
a2 + b2 = x � c+ y � c = c � (x+ y) (262)
Z (259) i (262) mamy ostatecznie:
a2 + b2 = c2
co nale·za÷o dowiesc.
70
1.4.18 Dowody Douglasa Rogersa
Dowód. [1] Niech dany b¾edzie kwadrat ACDE o boku b:Wkwadrat ten wpisujemy
trójk ¾at ACB o k ¾acie prostym w wierzcho÷ku C:Wprowadzmy oznaczenia: jACj = b;
jCBj = a oraz jABj = c: Mamy poni·zszy rysunek.
Rysunek 37.
Jak wiadomo, pole tego kwadratu jest równe b2: Na podstawie Podania 12 z Ksi¾egi
I przez punkt E prowadzimy prost ¾a, która jest prostopad÷a do boku AB: Na prostej
tej od punktu E odk÷adamy odcinek EF równy co do d÷ugosci odcinkowi CB:
Punkty A i F ÷¾aczymy odcinkiem. Zauwa·zmy, ·ze:
jBDj = jCDj � jCBj = b� a
Tak powstaje kolejny rysunek.
Rysunek 38.
71
Na podstawie Opisu 30 z Ksi¾egi I wynika, ·ze:
^CAE = 90�
Z konstrukcji na podstawie Podania 4 z Ksi¾egi I wynika, ·ze trójk ¾aty ACB i AFE
s ¾a przystaj ¾ace, zatem
PACB = PAFE (263)
oraz
^CAB = ^FAE (264)
Zauwa·zmy, ·ze:
^CAF = ^CAE + ^FAE = 90� + ^FAE (265)
oraz
^CAF = ^CAB + ^BAF (266)
Z (264), (265) i (266) i Pewnika 2 z Ksi¾egi I wynika, ·ze:
^CAE = ^CAB = 90� (267)
Zauwa·zmy, ·ze:
PACDE = PACB + PABDE (268)
oraz
PABDF = PAFE + PABDE (269)
Z (263), (268) i (269) wynika, ·ze:
PACDE = PABDF (270)
Zauwa·zmy, ·ze:
jDF j = jDEj+ jEF j = b+ a
Usuwaj ¾ac z Rysunku 38 trójk ¾at ACB; oraz ÷¾acz ¾ac odcinkiem punkty B i F mamy
nast¾epuj ¾acy rysunek.
72
Rysunek 39.
Zauwa·zmy, ·ze:
PABDF = PABF + PBDF
Korzystaj ¾ac z (267) i (270) mamy, ·ze:
b2 =1
2� c2 + 1
2� (b� a) � (b+ a)
b2 =1
2� c2 + 1
2� b2 � 1
2� a2
1
2� b2 + 1
2� a2 = 1
2� c2
Ostatecznie otrzymujemy:
a2 + b2 = c2
co nale·za÷o dowiesc.
Dowód. [1] Niech dany b¾edzie trójk ¾at prostok ¾atny ABC o k ¾acie prostym w wierz-
cho÷ku B; gdzie przyprostok ¾atna AB jest d÷u·zsza od przyprostok ¾atnej BC: Budu-
jemy kwadrat KLMN o boku równym bokowi trójk ¾ata AB. W kwadrat ten wpisu-
jemy trójk ¾at ABC w taki sposób, aby wierzcho÷ek A trójk ¾ata ABC znajdowa÷si¾e
na boku KN , zas przyprostok ¾atna BC trójk ¾ata ABC znajdowa÷a si¾e na boku LM
kwadratu KLMN przy czym B 6= L i C 6= M: Konstruujemy trójk ¾at DEF przys-
taj ¾acy do trójk ¾ata ABC, gdzie jABj = jEDj ; jEF j = jBCj ; jACj = jDF j orazk ¾at DEF jest prosty. Trójk ¾at DEF wpisujemy w kwadrat w taki sposób, by wierz-
cho÷ek D znajdowa÷si¾e na boku MN; zas przyprostok ¾atna EF znajdowa÷a si¾e na
boku KL kwadratu KLMN; przy czym E 6= K i F 6= L:×¾aczymy punkty A z F; A
z D; F z C oraz D z C odcinkami. Wprowadzmy oznaczenia: jABj = b; jACj = c;
73
jBCj = a; jNDj = x; jKAj = y: Tak powstaje poni·zszy rysunek.
Rysunek 40.
Zauwa·zmy, ·ze mamy nast¾epuj ¾ace równosci:
jABj = jEDj = jKLj = jLM j = jMN j = jNKj = b (271)
jEF j = jBCj = a (272)
jACj = jDF j = c
jKAj = jLBj = y (273)
jNDj = jKEj = x (274)
Z (271) i (273) wynika, ·ze:
jAN j = jKN j � jKAj = b� y
Z (271) i (274) mamy:
jDM j = jMN j � jNDj = b� x
Z (272) i (273) mamy:
jLCj = jBCj+ jLBj = a+ y (275)
Z (271) i (275) wynika, ·ze:
jCM j = jLM j � jLCj = b� a� y
74
Z (272) i (274) mamy:
jKF j = jEF j+ jKEj = a+ x (276)
Z (271) i (276) otrzymujemy:
jFLj = jKLj � jKF j = b� a� x
Ponadto z Opisu 30 z Ksi¾egi I wynika, ·ze:
^AKF = ^DNA = ^CMD = ^FLC = 90�
Pole kwadratu KLMN jest równe b2: Kwadrat zbudowany jest z czterech trójk ¾atów
prostok ¾atnych oraz jednego czworok ¾ata AFCD: Mamy wi¾ec:
b2 = PKLMN = PAKF + PFLC + PCMD + PDNA + PAFCD (277)
=y � (a+ x)
2+(b� a� x) � (a+ y)
2
+(b� a� y) � (b� x)
2+x � (b� y)
2+c2
2
=1
2� (y � a+ y � x+ b � a+ b � y � a2 � a � y
�a � x� x � y + b2 � b � x� a � b+ a � x�y � b+ y � x+ x � b� x � y + c2)
=b2 + c2 � a2
2
Z (277) mamy:
b2 =b2 + c2 � a2
2
Upraszczaj ¾ac, ostatecznie otrzymujemy:
a2 + b2 = c2
co nale·za÷o dowiesc.
1.4.19 Dowód Jamie deLemos�a
Poni·zszy dowód, który jest podobny do dowodu Prezydenta Jamesa Gar�elda, zosta÷
wykonany przez studenta Jamie deLemos�a w 1995 roku.
Dowód. [2] Niech dany b¾edzie trójk ¾at prostok ¾atny ABC o k ¾acie prostym w wierz-
cho÷ku B: Na przed÷u·zeniu przyprostok ¾atnej BC trójk ¾ata prostok ¾atnego ABC na
75
podstawie Podania 2 z Ksi¾egi I odk÷adamy od punktu C odcinek CD równy co do
d÷ugosci odcinkowi AB: Na podstawie Podania 11 z Ksi¾egi I konstruujemy prost ¾a
prostopad÷¾a do prostej BD; przechodz ¾ac ¾a przez punkt D: Na podstawie Podania 2
z Ksi¾egi I na skonstruowanej prostej odk÷adamy od punktu D odcinek DE równy
co do d÷ugosci odcinkowi BC: Punkty A i E oraz punkty E i C ÷¾aczymy odcinkami.
Powsta÷y czworok ¾at odbijamy wzgl¾edem boku BD: Tak powstaje poni·zszy rysunek.
Rysunek 41.
Udowodnimy, ·ze trójk ¾at ACE (analogicznie A0CE 0) jest trójk ¾atem prostok ¾atnym, a
w dodatku równoramiennym. Wprowadzmy oznaczenia: jABj = b; jBCj = a oraz
jACj = c: Wiedz ¾ac, ·ze:
jABj = jCDj = b
oraz
jBCj = jDEj = a
i
^ABC = ^CDE = 90� (278)
stwierdzamy na mocy Podania 4 z Ksi¾egi I, ·ze trójk ¾aty ABC i CDE s ¾a przystaj ¾ace,
a wi¾ec:
jACj = jCEj = c (279)
Zatem
^ECD = ^CAB
oraz
^CED = ^ACB (280)
76
Obliczymy teraz k ¾at ACE: Na podstawie Podania 32 z Ksi¾egi I zauwa·zmy, ·ze:
180� = ^CAB + ^ACB + ^ABC
i
180� = ^ECD + ^CED + ^CDE
Poniewa·z zachodzi (278), wi¾ec:
90� = ^CAB + ^ACB
i
90� = ^ECD + ^CED
Zauwa·zmy, ·ze:
^ACE = 180� � (^ECD + ^ACB)
Poniewa·z zachodzi (280), to:
90� = ^ECD + ^ACB
Zatem
^ACE = 180� � 90� = 90� (281)
Ostatecznie k ¾at ACE jest k ¾atem prostym. Na podstawie (279) i (281) oraz Opisu
25 i Opisu 27 z Ksi¾egi I trójk ¾at ACE (analogicznie A0CE 0) jest prostok ¾atny i równo-
ramienny. Mamy wi¾ec równosci boków:
jABj = jBA0j = jCDj = b (282)
jBCj = jDEj = jDE 0j = a (283)
jACj = jCA0j = jCEj = jCE 0j = c (284)
Obliczymy teraz pole trapezu AA0E 0E: Z jednej strony mamy:
PAA0E0E =1
2� (jABj+ jBA0j+ jDEj+ jDE 0j) � (jBCj+ jCDj)
Wykorzystuj ¾ac (282) i (283) mamy wi¾ec:
PAA0E0E =1
2� (2 � a+ 2 � b) � (a+ b) (285)
77
Z drugiej strony:
PAA0E0E = PABC + PCBA0 + PACE + PA0CE0 + PCDE + PCDE0
Wykorzystuj ¾ac (282), (283) i (284) mamy wi¾ec:
PAA0E0E =1
2� a � b+ 1
2� a � b+ 1
2� c2 + 1
2� c2 + 1
2� b � a+ 1
2� b � a
Zatem
PAA0E0E = 2 � a � b+ c2 (286)
Przyrównuj ¾ac stronami (285) i (286) otrzymujemy:
1
2� (2 � a+ 2 � b) � (a+ b) = 2 � a � b+ c2
(a+ b)2 = 2 � a � b+ c2
a2 + 2 � a � b+ b2 = 2 � a � b+ c2
Ostatecznie mamy:
a2 + b2 = c2
co nale·za÷o dowiesc.
1.4.20 Dowód (autor nieznany)
Dowód, który przedstawi¾e poni·zej jest uogólnieniem przypuszczalnego dowodu Pita-
gorasa.
Dowód. [1] Niech dany b¾edzie trójk ¾at prostok ¾atny ABC o k ¾acie prostym w wierz-
cho÷ku A: Przez punkty C i A prowadzimy prost ¾a. W mysl Podania 12 z Ksi¾egi I
przez punkt B poprowadzimy prost ¾a, która jest prostopad÷a do przeciwprostok ¾atnej
BC trójk ¾ata ABC: Proste te przecinaj ¾a si¾e w punkcie D, tworz ¾ac trójk ¾at DBC: Tak
powstaje poni·zszy rysunek.
Rysunek 42.
78
Wprowadzmy oznaczenia: jABj = a; jBCj = c; oraz jACj = b: Zauwa·zmy, ·ze trójk ¾at
DBC jest trójk ¾atem prostok ¾atnym o k ¾acie prostym w wierzcho÷ku B, podstawieDC
i wysokosci AB: Na podstawie Podania 8 z Ksi¾egi VI otrzymujemy trzy trójk ¾aty
podobne: �ABC; �ADB oraz �DBC: Bior ¾ac pod uwag¾e trójk ¾aty podobne ADB
i ABC mo·zemy na podstawie Podania 4 z Ksi¾egi VI napisac proporcj¾e:
jADja
=a
b(287)
orazjBDja
=c
b(288)
Z (287) mamy:
jADj = a2
b(289)
oraz z (288) mamy:
jBDj = a � cb
(290)
Zauwa·zmy, ·ze:
PDBC = PABC + PADB (291)
Z (291) mamy:
1
2� jBDj � jBCj = 1
2� jABj � jACj+ 1
2� jADj � jABj (292)
Zatem z (289), (290) i (292) otrzymujemy:
1
2� a � cb� c = 1
2� a � b+ 1
2� a
2
b� a
a � c2b
= a � b+ a3
b
Mno·z ¾ac stronami przez bamamy ostatecznie:
c2 = b2 + a2
co nale·za÷o udowodnic.
1.4.21 Dowód (autor nieznany)
Dowód. [1] Niech dany b¾edzie trójk ¾at prostok ¾atny ABC o k ¾acie prostym w wierz-
cho÷ku C: Przez punkty B i C prowadzimy prost ¾a. W mysl Podania 12 z Ksi¾egi I
przez punkt A prowadzimy prost ¾a, która jest prostopad÷a do przeciwprostok ¾atnej
79
AB trójk ¾ata ABC: Proste te przecinaj ¾a si¾e w punkcie E. W mysl Podania 12 z
Ksi¾egi I przez punkt B prowadzimy prost ¾a, która jest prostopad÷a do boku AB. Od
punktu B odk÷adamy na tej prostej odcinek BF równy co do d÷ugosci odcinkowi
AE: Punkty A i F ÷¾aczymy odcinkiem. Wmysl Podania 12 z Ksi¾egi I przez punkt B
prowadzimy prost ¾a, która jest prostopad÷a do boku BC. Od punktu B odk÷adamy
na tej prostej odcinek BD równy co do d÷ugosci odcinkowi AC: Punkty C i D
÷¾aczymy odcinkiem. Tak powstaje poni·zszy rysunek.
Rysunek 43.
Wprowadzmy oznaczenia: jABj = c; jBCj = a; oraz jACj = b: Zauwa·zmy, ·ze trójk ¾at
EAB jest trójk ¾atem prostok ¾atnym o k ¾acie prostym w wierzcho÷ku A, podstawie EB
i wysokosci AC: Na podstawie Podania 8 z Ksi¾egi VI otrzymujemy trzy trójk ¾aty
podobne: �ABC; �ACE oraz �EAB: Bior ¾ac pod uwag¾e trójk ¾aty podobne ACE
i ABC mo·zemy na podstawie Podania 4 z Ksi¾egi VI napisac proporcj¾e:
jECjb
=b
a(293)
Z konstrukcji oraz na podstawie Podania 4 z Ksi¾egi I trójk ¾aty AEB i ABF s ¾a
przystaj ¾ace. Poniewa·z trójk ¾aty ABC i AEB s ¾a podobne, zatem trójk ¾aty ABC
i ABF s ¾a równie·z podobne. Bior ¾ac pod uwag¾e trójk ¾aty podobne ABF i ABC
mo·zemy na podstawie Podania 4 z Ksi¾egi VI napisac proporcj¾e:
jBF jc
=b
a(294)
Z (293) mamy:
jECj = b2
a(295)
oraz z (294) mamy:
jBF j = b � ca
(296)
80
Zauwa·zmy, ·ze:
PABF = PABC + PACE (297)
Z (297) mamy:
1
2� jABj � jBF j = 1
2� jACj � jBCj+ 1
2� jECj � jACj (298)
Zatem z (295), (296) i (298) otrzymujemy:
1
2� c � b � c
a=1
2� b � a+ 1
2� b
2
a� b
b � c2a
= b � a+ b3
a
Mno·z ¾ac stronami przez abmamy ostatecznie:
c2 = a2 + b2
co nale·za÷o udowodnic.
1.5 Fa÷szywe dowody twierdzenia Pitagorasa
Wielu inteligentnych ludzi tworzy÷o coraz to nowsze dowody s÷ynnego twierdzenia
Pitagorasa. Ale nawet inteligentni ludzie nie ustrzegaj ¾a si¾e b÷¾edów. Pisz ¾ac t¾e
prac¾e, podczas przegl ¾adania wielu publikacji, natkn¾e÷am si¾e na kilka dowodów, które
wed÷ug mnie s ¾a b÷¾ednie przeprowadzone. Czasami b÷¾edy te s ¾a subtelne i obejmuj ¾a
cykliczne rozumowanie, innym razem zle interpretuj ¾a fakty, czasami natomiast b÷¾edy
s ¾a tak ra·z ¾ace, ·ze a·z zmuszaj ¾a do zastanowienia si¾e, dlaczego zosta÷y pope÷nione przez
autorów, a nie zauwa·zone przez edytorów.
1.5.1 Dowód Yanney�a
Poni·zszy dowód nale·zy do kolekcji B. F. Yanney�a i J. A. Calderhead, który zosta÷
opublikowany w czasopismie �Am Math Montly" w numerze 6/7 w 1896 roku na
stronach 169 - 171.
Dowód. [1] Niech dany b¾edzie trójk ¾at prostok ¾atny ABC o k ¾acie prostym w wierz-
cho÷ku C: Z wierzcho÷ka C poprowadzmy prost ¾a CD, która jest prostopad÷a do
podstawy AB: Tak powstaje poni·zszy rysunek.
81
Rysunek 44.
Na podstawie Podania 8 z Ksi¾egi VI otrzymujemy trzy trójk ¾aty podobne: �ABC;
�ADC oraz �CDB: Bior ¾ac pod uwag¾e trójk ¾aty podobne ADC i CDB mo·zemy na
podstawie Podania 4 z Ksi¾egi VI napisac proporcj¾e:
jCDjjADj =
jBDjjCDj
Zatem
jCDj2 = jADj � jBDj (299)
Przypuscmy, ·ze twierdzenie Pitagorasa zachodzi. Wówczas
jABj2 = jACj2 + jBCj2 (300)
i
jBCj2 = jCDj2 + jBDj2 (301)
oraz
jACj2 = jADj2 + jCDj2 (302)
Wstawiaj ¾ac (301) i (302) do równosci (300) otrzymujemy:
jABj2 = jADj2 + jCDj2 + jCDj2 + jBDj2 = jADj2 + 2 � jCDj2 + jBDj2 (303)
Wstawiaj ¾ac równosc (299) do (303), otrzymujemy:
jABj2 = jADj2 + 2 � jADj � jBDj+ jBDj2
jABj2 = (jADj+ jBDj)2
Ostatecznie mamy:
jABj = jADj+ jBDj
82
co jest prawdziwe. Zatem przypuszczenie, ·ze zachodzi twierdzenie Pitagorasa, by÷o
prawdziwe.
Wyjasnienie:Id ¾ac tym samym tokiem rozumowania za÷ó·zmy, ·ze:
1 = 2 (304)
Wówczas przez symetri¾e oczywiste jest, ·ze:
2 = 1 (305)
Na podstawie Pewnika 2 z Ksi¾egi I mo·zemy dodac równosci z (304) i (305) stronami,
otrzymuj ¾ac:
3 = 3 (306)
Wyra·zenie (306) jest oczywiscie prawdziwe, ale nie oznacza to, ·ze za÷o·zenie (304)
jest prawdziwe, bo jak wszyscy wiemy
1 6= 2
co t÷umaczy rodzaj b÷¾edu, jaki pope÷ni÷Yanney w swym dowodzie.
1.5.2 Dowód Loomis�a
Poni·zszy dowód autorstwa Marry E. S. Loomis�a opublikowany zosta÷w czasopismie
�Am Math Montly" w numerze 11 w roku 1901 na stronie 233.
Dowód. [1] Niech dany b¾edzie trójk ¾at prostok ¾atny ABC o k ¾acie prostym w wierz-
cho÷ku A: Na mocy Opisu 5 z Ksi¾egi IV w trójk ¾at ten wpisujemy ko÷o o srodku w
punkcie O i promieniu r: Punkt wspólny ko÷a i boku AB oznaczmy przez E, punkt
wspólny ko÷a z przyprostok ¾atn ¾a AC oznaczmy przez D; zas punkt wspólny ko÷a z
przeciwprostok ¾atn ¾a oznaczmy przez F: Tak powstaje poni·zszy rysunek.
Rysunek 45.
83
Wprowadzmy oznaczenia: jACj = b; jABj = a; jBCj = c: Zauwa·zmy, ·ze:
jCDj = jCF j
jBEj = jBF j
jAEj = jADj = r
Wzór na d÷ugosc promienia r okr¾egu wpisanego w trójk ¾at ABC (patrz podrozdzia÷
1.3.3 na stronie 22) wynosi:
r =a+ b� c
2
czyli:
c+ 2 � r = a+ b (307)
Podnosz ¾ac obie strony równosci (307) do kwadratu, otrzymamy:
c2 + 4 � r � c+ 4 � r2 = a2 + 2 � a � b+ b2 (308)
Rozpatrzmy trzy przypadki.
Gdyby w równosci (308) zachodzi÷o:
4 � r � c+ 4 � r2 = 2 � a � b
wówczas otrzymalibysmy:
c2 = a2 + b2
Gdyby w równosci (308) zachodzi÷o:
4 � r � c+ 4 � r2 > 2 � a � b
wówczas
c2 + 4rc+ 4r2 > b2 + 2ba+ a2
Zatem
c+ 2r > b+ a
co jest sprzeczne z (307).
Gdyby w równosci (308) zachodzi÷o:
4 � r � c+ 4 � r2 < 2 � a � b
84
wówczas
c2 + 4rc+ 4r2 < b2 + 2ba+ a2
Zatem
c+ 2r < b+ a
co jest sprzeczne z (307).
Z powy·zszych rozwa·zan wynika, ·ze:
4 � r � c+ 4 � r2 = 2 � a � b
i ostatecznie:
c2 = a2 + b2
co nale·za÷o udowodnic.
Wyjasnienie:Dowód jest niepoprawny i napisany w stylu, który w dzisiejszych czasach nie by÷by
zaakceptowany. G÷ównym problemem tego dowodu jest cyklicznosc argumentu: w
dowodzie u·zywa si¾e to·zsamosci pitagorejskiej, któr ¾a to chce si¾e wykazac. Spróbu-
jemy poprawic ten dowód.
Pocz ¾atek dowodu przeprowadzamy identycznie. Zachodzi (307). Podnosz ¾ac stron-
ami (307) do kwadratu, otrzymujemy (308). Zajmiemy si¾e wyra·zeniem (307). Mamy
c+ 2 � r = b+ a
Dodaj ¾ac stronami c, otrzymamy:
2 � c+ 2 � r = b+ a+ c (309)
Mno·z ¾ac stronami równosc (309) przez 2 � r otrzymamy:
4 � c � r + 4 � r2 = 2 � r � (b+ a+ c) (310)
Obliczaj ¾ac pole trójk ¾ata ABC dwoma sposobami (patrz podrozdzia÷1.3.2 na stronie
21) otrzymujemy:r � (a+ b+ c)
2=a � b2
(311)
Mno·z ¾ac stronami równosc (311) przez 4 otrzymujemy:
2 � r � (a+ b+ c) = 2 � a � b (312)
85
Podstawiaj ¾ac (310) do (312) otrzymujemy:
4 � c � r + 4 � r2 = 2 � a � b (313)
Wykorzystuj ¾ac równosc (313) w równosci (308) otrzymamy ostatecznie:
c2 = a2 + b2
co nale·za÷o dowiesc.
1.5.3 Dowód (autor nieznany)
Dowód. [1] Niech dany b¾edzie trójk ¾at prostok ¾atny ABC o k ¾acie prostym w wierz-
cho÷ku A: Mamy wi¾ec nast¾epuj ¾acy rysunek.
Rysunek 46.
Wprowadzmy oznaczenia: jABj = c; jBCj = a oraz jACj = b: Oznaczmy przez S
pole trójk ¾ata prostok ¾atnego ABC: Zauwa·zmy, ·ze:
S =1
2� a � b
Zatem
S2 =1
4� a2 � b2 (314)
Pole trójk ¾ata ABC mo·zemy równie·z obliczyc ze wzoru Herona (patrz podrozdzia÷
1.3.1 na stronie 19):
S =pp � (p� a) � (p� b) � (p� c)
gdzie
p =a+ b+ c
2(315)
Zatem
S2 = p � (p� a) � (p� b) � (p� c) (316)
86
Zauwa·zmy, ·ze:
p� a =a+ b+ c
2� a =
�a+ b+ c
2(317)
i
p� b =a+ b+ c
2� b =
a� b+ c
2(318)
oraz
p� c =a+ b+ c
2� c =
a+ b� c
2(319)
Z (316), (315), (317), (318) i ( 319) mamy zatem:
S2 =a+ b+ c
2� �a+ b+ c
2� a� b+ c
2� a+ b� c
2
16 � S2 = (a+ b+ c) � (�a+ b+ c) � (a� b+ c) � (a+ b� c)
16 � S2 = 2 � a2 � b2 + 2 � a2 � c2 + 2 � b2 � c2 � (a4 + b4 + c4) (320)
Z (314) otrzymujemy:
16 � S2 = 4 � a2 � b2 (321)
Zatem z (320) i ( 321) mamy:
4 � a2 � b2 = 2 � a2 � b2 + 2 � a2 � c2 + 2 � b2 � c2 � (a4 + b4 + c4)
(a4 + b4 + c4) + 2 � a2 � b2 � 2 � b2 � c2 � 2 � a2 � c2 = 0
(a4 + 2 � a2 � b2 + c4)� 2 � b2 � c2 � 2 � a2 � c2 + c4 = 0
(a2 + b2)2 � 2 � c2 � (a2 + b2) + c4 = 0�(a2 + b2)� c2
�2= 0
Zatem
(a2 + b2)� c2 = 0
Ostatecznie otrzymujemy:
a2 + b2 = c2
co nale·za÷o udowodnic.
Wyjasnienie:Dowód ten jest kolejnym przyk÷adem b÷¾ednie wykonanego. Korzystamy w nim ze
wzoru Herona, którego dowód przeprowadza si¾e wykorzystuj ¾ac wzór na jedynk¾e
trygonometryczn ¾a, który z kolei dowodzi si¾e, wykorzystuj ¾ac twierdzenie Pitagorasa.
Wpadamy wi¾ec w b÷¾edne ko÷o.
87
2 Twierdzenia Pitagorasa w geometrii sferycznej
Twierdzenie Pitagorasa 2 [15; str: 17] Niech dany b¾edzie trójk ¾at sferyczny owierzcho÷kach A; B; C i k ¾acie prostym w wierzcho÷ku A: Niech a = d(B;C); b =
d(A;C) i c = d(A;B): Wówczas zachodzi wzór:
cos a = cos b � cos c
Rysunek 47.
2.1 Geometria sferyczna
Geometria euklidesowa to klasyczna odmiana geometrii, w której spe÷niony jest tzw.
postulat równoleg÷osci (Pewnik 12 z Ksi¾egi I). By÷a ona pierwsz ¾a teori ¾a aksjomaty-
czn ¾a w dziejach ludzkosci. [6, str. 117]
Pierwotnie geometria euklidesowa by÷a badana tylko na p÷aszczyznie i w prze-
strzeni trójwymiarowej. Przez d÷ugi czas geometri¾e wi ¾azano z istniej ¾acym �zycznym
swiatem, który mia÷a opisywac, nie dopuszczano tym samym mo·zliwosci badania
innych odmian geometrii. [7, str. 13]
Na przestrzeni wieków to aksjomatyczne uj¾ecie geometrii elementarnej przez
Euklidesa by÷o przedmiotem badan wielu wybitnych matematyków. Szczególnie
zainteresowanie budzi÷o zagadnienie, czy dla zbudowania geometrii elementarnej
potrzebny jest postulat równoleg÷osci o nast¾epuj ¾acej tresci: [3, str. 11]
Pewnik 12 [5, str. 5] Jesli linia prosta przecina dwie inne linie proste tak, ·ze sumadwóch k ¾atów wewn ¾etrznych po jednej jej stronie jest mniejsza ni·z suma dwóch k ¾atów
prostych, to te dwie linie proste przetn ¾a si ¾e po tej stronie po której suma k ¾atów jest
mniejsza od sumy dwóch k ¾atów prostych.
88
Wed÷ug Karola Borsuka9 i Wandy Szmielew10 prób udowodnienia, ·ze postulat ten
jest logiczn ¾a konsekwencj ¾a pozosta÷ych za÷o·zen by÷o bardzo wiele, co spowodowa÷o
powstanie obszernej literatury, z której wynika, ·ze postulat ten mo·ze byc udowod-
niony, o ile do innych za÷o·zen Euklidesa dorzuci si¾e np. za÷o·zenie, ·ze istnieje choc
jeden prostok ¾at lub ·ze istnieje choc jeden trójk ¾at o sumie k ¾atów równej dwóm k ¾atom
prostym. [3, str. 11]
Geometria eliptyczna zwana tak·ze geometri ¾a sferyczn ¾a lub geometri ¾a powierzchni
kuli jest jedn ¾a z geometrii nieeuklidesowych, gdy·z nie zachodzi w niej postulat
równoleg÷osci. Na sferze obowi ¾azuje tzw. eliptyczny aksjomat o równoleg÷ych,
którego sformu÷owanie nie jest twierdzeniem prawdziwym w geometrii euklidesowej.
Oto jego tresc: [6, str. 117]
Twierdzenie [6, str. 117] Przez punkt niele·z ¾acy na danej �prostej" nie przechodzi
·zadna �prosta" z ni ¾a roz÷¾aczna.
Ponadto w geometrii sferycznej nie zachodzi jeden z aksjomatów uporz ¾adkowania
tresci:
Twierdzenie [6, str. 92] Sposród trzech danych punktów na prostej dok÷adnie jedenle·zy mi ¾edzy dwoma pozosta÷ymi.
Aksjomat ten, wraz z pozosta÷ymi dwudziestoma innymi, poda÷David Hilbert11 w
roku 1899 w jego pracy �Grundlagen der Geometrie" (Podstawy geometrii).
9Karol Borsuk - ur. 8 maja 1905 w Warszawie, zm. 24 stycznia 1982 tam·ze. By÷polskimmatematykiem oraz jednym z czo÷owych przedstawicieli warszawskiej szko÷y matematycznej.10Wanda Szmielew - wspó÷autorka ksi ¾a·zki pt. �Podstawy geometrii".11David Hilbert - ur. 23 stycznia 1862 w Królewcu (Prusy Wschodnie), zm. 14 lutego 1943 w
Getyndze. By÷matematykiem niemieckim; zajmowa÷si¾e algebraiczn ¾a teori ¾a liczb, teori ¾a równanca÷kowych, zagadnieniami rachunku wariacyjnego, podstawami geometrii i logiki matematycznejoraz problemami �zyki matematycznej.
89
2.2 Podstawowe poj¾ecia z zakresu geometrii sferycznej
Poni·zsze de�nicje i twierdzenia zaczerpn¾e÷am z [6, str. 118 - 122 i 4, str. 16].
De�nicja 2.2.1 Sfer ¾a dwuwymiarow ¾a S2 nazywamy zbiór
�x = (x1; x2; x3) 2 R3 j (x j x) = 1
gdzie (�j�) oznacza iloczyn skalarny w przestrzeni euklidesowej.
De�nicja 2.2.2 Okr¾egiem wielkim sfery nazywamy cz ¾esc wspóln ¾a tej sfery i p÷a-
szczyzny przechodz ¾acej przez jej srodek.
W geometrii sferycznej przez prost ¾a rozumiemy okr¾egi wielkie, a przez p÷aszczy-
zn¾e - sfer¾e. Seria nast¾epnych de�nicji od 2.2.3 do 2.2.7 dotyczy zwyk÷ych p÷aszczyzn
i przestrzeni euklidesowej, które b¾ed ¾a wykorzystane potem do okreslenia pewnych
poj¾ec geometrii sferycznej.
De�nicja 2.2.3 K ¾atem p÷askim nazywamy ka·zd ¾a z dwóch cz ¾esci p÷aszczyzny za-
wart ¾a mi ¾edzy dwiema pó÷prostymi o wspólnym pocz ¾atku (zwanym wierzcho÷kiem
k ¾ata) wraz z tymi pó÷prostymi (zwanymi ramionami k ¾ata).
De�nicja 2.2.4 K ¾atem wielosciennym nazywamy k ¾at utworzony przez kilka k ¾atów
p÷askich o wspólnym wierzcho÷ku, maj ¾acych parami po jednym ramieniu wspólnym.
De�nicja 2.2.5 K ¾atem trójsciennym nazywamy cz ¾esc przestrzeni ograniczonej trze-ma k ¾atami p÷askimi o wspólnym wierzcho÷ku i takimi, ·ze s ¾asiednie k ¾aty maj ¾a wspólne
rami ¾e.
De�nicja 2.2.6 K ¾atem dwusciennym nazywamy ka·zd ¾a z dwóch cz ¾esci przestrzeni
na jakie dziel ¾a j ¾a dwie pó÷p÷aszczyzny (zwane scianami k ¾ata dwusciennego) o wspól-
nej kraw ¾edzi (zwanej kraw ¾edzi ¾a k ¾ata dwusciennego).
De�nicja 2.2.7 K ¾atem liniowym w k ¾acie dwusciennym nazywamy k ¾at mi ¾edzy dwie-ma prostopad÷ymi do kraw ¾edzi k ¾ata dwusciennego, poprowadzonymi z jednego punktu
tej kraw ¾edzi na obu scianach k ¾ata dwusciennego.
Teraz przedstawione b¾ed ¾a poj¾ecia z geometrii sferycznej, do których wykorzy-
stamy wy·zej zde�niowane poj¾ecia geometrii p÷askiej.
De�nicja 2.2.8 Dwuk ¾atem sferycznym nazywamy cz ¾esc sfery wyci ¾et ¾a z niej przez
k ¾at dwuscienny, którego kraw ¾edz przechodzi przez srodek sfery. Dwa pó÷okr¾egi wielkie
sfery zawarte w scianach k ¾ata dwusciennego nazywamy bokami dwuk ¾ata sferycznego,
a wspólne konce tych pó÷okr¾egów nazywamy jego wierzcho÷kami.
90
De�nicja 2.2.9 Trójk ¾atem sferycznym nazywamy cz ¾esc sfery wyci ¾et ¾a z niej przez
k ¾at trójscienny, którego wierzcho÷kiem jest srodek sfery. Punkty wspólne sfery i
kraw ¾edzi k ¾ata trójsciennego nazywamy wierzcho÷kami, a cz ¾esci wspólne sfery i scian
k ¾ata trójsciennego nazywamy bokami rozwa·zanego trójk ¾ata sferycznego.
Rysunek 48.
Bokami otrzymanych trójk ¾atów sferycznych s ¾a odcinki �prostych" w geometrii
sferycznej, czyli odcinki okr¾egów kó÷wielkich.
Jesli d(A;B) jest d÷ugosci ¾a ÷uku wyci¾etego z dwuk ¾ata sferycznego przez p÷aszczy-
zn¾e prostopad÷¾a do kraw¾edzi wyznaczaj ¾acego go k ¾ata dwusciennego i przechodz ¾ac ¾a
przez srodek sfery o promieniu 1, to miara � dwuk ¾ata sferycznego wyra·za si¾e
wzorem:
� = d(A;B)
Rysunek 49.
Fakt ten wyjasnia wzór (322)
91
Twierdzenie 2.2.10 Niech d : S2�S2 ! R b¾edzie tak ¾a funkcj ¾a, która ka·zdej parzepunktów (A;B) 2 S2�S2 przyporz ¾adkowuje liczb¾e rzeczywist ¾a d(A;B) 2 [0:�] tak ¾a,·ze:
cos d(A;B) = (A j B) (322)
Wówczas d jest metryk ¾a.
Dowód. Oczywiscie d(A;B) = d(B;A) � 0 oraz d(A;B) = 0 w przypadku, gdy
A = B: Wezmy dowolny punkt C nale·z ¾acy do okr¾egu ko÷a wielkiego. Analizuj ¾ac
poni·zszy rysunek
Rysunek 50.
dowodzi si¾e, ·ze ÷uk AB jest najkrótszym ÷ukiem okr¾egu ko÷a wielkiego ÷¾acz ¾acego
dane dwa punkty A i B; ÷uk AC jest najkrótszym ÷ukiem okr¾egu ko÷a wielkiego
÷¾acz ¾acego dane dwa punkty A i C oraz ÷uk CB jest najkrótszym ÷ukiem okr¾egu ko÷a
wielkiego ÷¾acz ¾acego dane dwa punkty C i B: Mo·zna udowodnic, ·ze:
d(A;B) � d(A;C) + d(C;B)
Ze wzgl¾edu na obszernosc teorii jak ¾a trzeba by÷oby wprowadzic do wykazania tej
nierównosci, dowód ten pomijam. Ostatecznie wi¾ec d jest metryk ¾a.
Niech dany b¾edzie okr ¾ag ko÷a wielkiego sfery S2: Wezmy prost ¾a prostopad÷¾a do
promienia okr¾egu ko÷a wielkiego. Wektor równoleg÷y do tej prostej jest styczny do
okr¾egu ko÷a wielkiego.
De�nicja 2.2.11 Miar ¾a k ¾ata (wewn ¾etrznego) trójk ¾ata sferycznego nazywamy miar¾ek ¾ata mi ¾edzy wektorami stycznymi do okr¾egów wielkich zawieraj ¾acych jego boki, w
punkcie wspólnym tych boków.
92
Twierdzenie 2.2.12 Miara k ¾ata trójk ¾ata sferycznego jest równa mierze k ¾ata dwu-sciennego wyznaczonego przez te pó÷p÷aszczyzny zawieraj ¾ace jego boki, których wspól-
na kraw ¾edz przechodzi przez wierzcho÷ek rozwa·zanego k ¾ata i przez srodek sfery.
Dowód. Równosc k ¾ata trójk ¾ata sferycznego z k ¾atem dwusciennym wynika z de�ni-cji 2.2.11, gdy·z wektory styczne do boków trójk ¾ata sferycznego le·z ¾a w p÷aszczyznach
okr¾egów wielkich zawieraj ¾acych te boki i s ¾a prostopad÷e do kraw¾edzi przeci¾ecia tych
p÷aszczyzn.
93
2.3 Dowody twierdzenia Pitagorasa
2.3.1 Dowód pierwszy
Dowód. [15, str. 43] Niech ABC b¾edzie prostok ¾atnym trójk ¾atem sferycznym o
bokach a; b; c, w którym A jest k ¾atem prostym. Niech OABC b¾edzie trójscianem,
którego k ¾aty p÷askie i k ¾aty liniowe s ¾a miarami elementów danego prostok ¾atnego
trójk ¾ata sferycznego. Na kraw¾edzi OB trójscianu OABC wezmy dowolny punkt P i
poprowadzmy przez ten punkt p÷aszczyzn¾e PTS prostopad÷¾a do kraw¾edzi OB: Tak
powstaje poni·zszy rysunek.
Rysunek 51.
Otrzymany czworoscian (tetraedr) SOPT , w którym kraw¾edz ST b¾edzie prostopa-
d÷a do p÷aszczyzny AOB; jako linia przeci¾ecia dwu p÷aszczyzn, z których ka·zda jest
prostopad÷a do p÷aszczyzny AOB (p÷aszczyzna OST jest prostopad÷a do p÷aszczy-
zny AOB; poniewa·z k ¾at A jest prosty). Trójk ¾aty p÷askie STP i STO maj ¾a k ¾aty
proste przy wspólnym wierzcho÷ku T: Ze stosunku boków w trójk ¾atach prostok ¾at-
nych otrzymujemy:jOT jjOSj = cos b
ijOP jjOT j = cos c
orazjOP jjOSj = cos a
94
Podstawiaj ¾ac wartosci otrzymanych stosunków do to·zsamosci otrzymujemy:
jOP jjOSj =
jOT jjOSj �
jOP jjOT j
Ostatecznie mamy:
cos a = cos b � cos c
co nale·za÷o udowodnic.
2.3.2 Dowód drugi
Dowód. [15] Niech ABC b¾edzie trójk ¾atem sferycznym o bokach a; b; c. Za÷ó·zmy,
·ze ka·zdy z boków b i c jest mniejszy od 90�: Z wierzcho÷ka A prowadzimy wektory
styczne do boków AB i AC trójk ¾ata sferycznego. Pierwsza styczna b¾edzie le·za÷a w
p÷aszczyznie AOB; zas druga styczna b¾edzie le·za÷a w p÷aszczyznie AOC: Z za÷o·zenia
wynika, ·ze styczne przetn ¾a przed÷u·zenia promieni OB i OC w punktach M i N:
Punkty M i N ÷¾aczymy odcinkiem. Tak powstaje poni·zszy rysunek.
Rysunek 52.
Bior ¾ac pod uwag¾e trójk ¾aty p÷askie AMN oraz OMN na podstawie Twierdzenia
(1.2.5) mamy:
jMN j2 = jAN j2 + jAM j2 � 2 � jAN j � jAM j � cosA (323)
oraz
jMN j2 = jON j2 + jOM j2 � 2 � jON j � jOM j � cos a (324)
Z równosci (323) i (324) mamy:
jAN j2+jAM j2�2�jAN j�jAM j�cosA = jON j2+jOM j2�2�jON j�jOM j�cos a (325)
95
Przekszta÷caj ¾ac równosc (325) dostajemy:
2�jON j�jOM j�cos a = jON j2+jOM j2�jAN j2�jAM j2+2�jAN j�jAM j�cosA (326)
Stosuj ¾ac twierdzenie Pitagorasa z geometrii euklidesowej do trójk ¾atów prostok ¾at-
nych OAN i OAM widzimy, ·ze:
jON j2 � jAN j2 = jOAj2 (327)
oraz
jOM j2 � jAM j2 = jOAj2 (328)
Podstawiaj ¾ac do (326) równosci (327) i (328) otrzymujemy:
2 � jON j � jOM j � cos a = 2 � jOAj2 + 2 � jAN j � jAM j � cosA
St ¾ad
jON j � jOM j � cos a = jOAj2 + jAN j � jAM j � cosA (329)
Dziel ¾ac obie strony równosci (329) przez iloczyn jON j � jOM j mamy:
cos a =jOAjjON j �
jOAjjOM j +
jAN jjON j �
jAM jjOM j � cosA (330)
Zauwa·zmy ponadto, ·ze:jOAjjON j = cos b (331)
ijOAjjOM j = cos c (332)
Podstawiaj ¾ac do (330) równosci (331) i (332) otrzymujemy ostatecznie:
cos a = cos b � cos c+ sin b � sin c � cosA (333)
Otrzymany wzór nazywamy wzorem Albataniego12.
Za÷ó·zmy teraz, ·ze nasz trójk ¾at sferyczny jest trójk ¾atem prostok ¾atnym o k ¾acie prostym
w wierzcho÷ku A; czyli A = 90�: Zatem
cosA = 0 (334)
12Albatani z Syrii albo Albategniusz - matematyk ·zyj ¾acy w IX i X wieku.
96
Podstawiaj ¾ac (334) do wzoru (333) otrzymujemy ostatecznie:
cos a = cos b � cos c
co nale·za÷o udowodnic.
2.3.3 Dowód trzeci
Dowód. Niech dana b¾edzie sfera S2 o srodku w punkcie 0 i promieniu 1. Na
sferze tej obieramy dowolne dwa punkty A i B: Punkty A i 0 ÷¾aczymy odcinkiem.
Przez punkt 0 prowadzimy do odcinka A0 prostopad÷¾a p÷aszczyzn¾e, której cz¾esc
wspólna ze sfer ¾a tworzy okr ¾ag ko÷a wielkiego. Przez punkty A; B i 0 prowadzimy
p÷aszczyzn¾e. Cz¾esc wspólna tej p÷aszczyzny i sfery S2 tworzy ÷uk, który przechodzi
przez punkty A oraz B: Niech punkt u oznacza punkt przeci¾ecia tej p÷aszczyzny
z okr¾egiem ko÷a wielkiego prostopad÷ego do odcinka A0: Wspomniany wy·zej ÷uk
opiszemy parametrycznie.
Rysunek 53.
Zauwa·zmy wpierw, ·ze A i u s ¾a do siebie prostopad÷e, zatem ich iloczyn skalarny jest
równy zero. Wezmy ÷uk c o równaniu parametrycznym [4, str.16]:
c(t) = A � cos t+ u � sin t (335)
×uk ten le·zy na sferze. Istotnie korzystaj ¾ac z (335) oraz z De�nicji 2.2.1 otrzymu-
jemy:
jjc(t)jj =pc(t) � c(t) =
p(A � cos t+ u � sin t) � (A � cos t+ u � sin t)
=qA2 � cos2(t) + A � u � cos t � sin t+ A � u � sin t � cos t+ u2 � sin2 t
=pcos2 t+ sin2 t = 1
97
Postac równania (335), wskazuje na to, ·ze c(t) jest kombinacj ¾a liniow ¾a punktów
A i u; a zatem nale·zy do przestrzeni wektorowej generowanej przez A i u; czyli
p÷aszczyzny przechodz ¾acej przez trzy punkty A; u; 0: W wyniku przeci¾ecia tej
p÷aszczyzny ze sfer ¾a otrzymujemy okr ¾ag ko÷a wielkiego. Zatem c(t) jest ÷ukiem
ko÷a wielkiego. Jest to ÷uk wspomniany na pocz ¾atku dowodu. Udowodnimy teraz,
·ze odwzorowanie c(t) jest przekszta÷ceniem izometrycznym. Wezmy wi¾ec dowolne
dwa punkty t i t0 nale·z ¾ace do ÷uku c: Z (322) mamy:
cos d(c(t); c(t0)) = (A � cos t+ u � sin tjA � cos t0 + u � sin t0)= A2 � cos t � cos t0 + A � u � cos t � sin t0
+A � u � sin t � cos t0 + u2 � sin t � sin t0
= cos t � cos t0 + sin t � sin t0 = cos jt� t0j
Wi¾ec
cos d(c(t); c(t0)) = cos jt� t0j
Z ró·znowartosciowosci funkcji cos na przedziale [0; �] mo·zemy stwierdzic, ·ze:
d(c(t); c(t0)) = jt� t0j (336)
Zatem c(t) jest odwzorowaniem izometrycznym. Zauwa·zmy, ·ze dla t = 0 równanie
(335) ma postac:
c(0) = A
Znajdziemy teraz takie t; dla którego otrzymamy:
c(t) = B
Wykorzystuj ¾ac (336) otrzymamy:
d(c(0); c(t)) = j0� tj = t = d(A;B) (337)
Z (337) oraz na podstawie De�nicji 2.2.11 wnioskujemy, ·ze:
t = (338)
Zatem
B = c( ) = A � cos + u � sin (339)
Przejdziemy teraz do g÷ównej cz¾esci dowodu. Niech dana b¾edzie sfera S2 oraz trójk ¾at
sferyczny ABC o k ¾acie � w wierzcho÷ku A: Niech a = d(B;C); b = d(A;C) i
98
c = d(A;B): Wierzcho÷ek trójk ¾ata sferycznego A ÷¾aczymy ze srodkiem sfery 0 od-
cinkiem. Przez punkt 0 prowadzimy do odcinka A0 prostopad÷¾a p÷aszczyzn¾e, której
cz¾esc wspólna ze sfer ¾a tworzy okr ¾ag ko÷a wielkiego. Powsta÷y okr ¾ag ko÷a wielkiego
przecina okr¾egi kó÷wielkich zawieraj ¾acych boki AC i AB trójk ¾ata sferycznego, w
punktach odpowiednio u i v: Tak powstaje poni·zszy rysunek.
Rysunek 54.
Na podstawie Twierdzenia 2.2.12 zachodzi równosc k ¾atów:
� = ^BAC = ^u0v
Z (322) mamy:
cos d(u; v) = cos a = (u j v) (340)
oraz
cos d(B;C) = cos a = (B j C) (341)
Wykorzystuj ¾ac (335), (337), (338) i (339)otrzymujemy:
B = A � cos c+ u � sin c (342)
oraz
C = A � cos b+ v � sin b (343)
Podstawiaj ¾ac (342), (343) i (340) do (341) otrzymamy:
cos a = (A � cos c+ u � sin c j A � cos b+ v � sin b)= A2 � cos c � cos b+ A � v � cos c � cos b+ A � u � sin c � cos b+ u � v � sin c � sin b= cos c � cos b+ cos� � sin c � sin b
99
Zatem
cos a = cos c � cos b+ cos� � sin c � sin b (344)
Za÷ó·zmy teraz, ·ze nasz trójk ¾at sferyczny jest trójk ¾atem prostok ¾atnym o k ¾acie � =
90�; wi¾ec cos� = 0: Zatem z (344) otrzymujemy ostatecznie:
cos a = cos c � cos b
co konczy dowód.
Uwaga 2.3.1 Powy·zszy dowód mo·zna przeprowadzic analogicznie dla sfery n -
wymiarowej.
100
Dodatek - swiadectwa o Pitagorasie
Poni·zszy tekst p.t. �Pitagoras z Samos�jest autorstwa Janiny Gajdy - Krynickiej
i pochodzi ze strony http://ptta.pl/pef/pdf/p/pitagoras.pdf.
Rysunek 55.
Pitagoras (���� �o��&; Pythagoras) z Samos to jeden z najs÷awniejszych mysli-
cieli staro·zytnosci, przez wczesn ¾a tradycj¾e greck ¾a uwa·zany za m¾edrca, reforma-
tora religijnego, za÷o·zyciela powsta÷ej w VI wieku przed Chrystusem w Krotonie
wspólnoty kultowo - religijnej, politycznej i �lozo�cznej, zwanej Starym Zwi ¾azkiem
Pitagorejskim, a przez tradycj¾e poarystotelesow ¾a za �lozofa � inicjatora i za÷o·zy-
ciela �lozo�cznego nurtu pitagoreizmu, odkrywc¾e w dziedzinie matematyki, muzyki,
medycyny. Urodzi÷si¾e na wyspie Samos oko÷o 572, a zmar÷oko÷o 490 roku przed
Chrystusem (daty odtwarza si¾e na podstawie chronologii �X�o����a� [Chroniká]
Apollodorosa).
Ze wzgl¾edu na brak pism, których autorstwo by÷oby niepodwa·zalnie poswiad-
czone, jak te·z z racji specy�cznego charakteru materia÷ów zród÷owych, na podstawie
których podejmuje si¾e próby odtworzenia biogra�i, pogl ¾adów i dokonan naukowych
Pitagorasa, w literaturze przedmiotu mówi si¾e o tzw. kwestii pitagorejskiej. Znane
ze zróde÷bio- i doksogra�cznych informacje dzieli si¾e na tzw. prawd¾e i legend¾e
pitagorejsk ¾a. W zakres kwestii pitagorejskiej wchodz ¾a m.in. próby ustalen, czy
mo·zna Pitagorasa uznac za �lozofa, twórc¾e nurtu �lozo�cznego przyjmuj ¾acego now ¾a
koncepcj¾e zasad - ��a����[archái], zwanych pitagoreizmem, za twórc¾e matematyki
greckiej i nowej kosmologii. Które swiadectwa o jego ·zyciu i naukach mo·zna uznac
za wiarygodne? Czy postac Pitagorasa i jego nauki nale·zy odró·znic od pitagoreizmu
jako nurtu sensu stricto �lozo�cznego?
101
Fragmenty i swiadectwa doksogra�czne wydano w: Diels - Kranz; �I Pitagorici�,
wyd. A. Maddalena (Bari 1954); �Pitagorici. Testimonianze e frammenti�, wyd.
M. Timpanaro Cardini (Fi 1958); Por�riusz, Jamblich, Anonim, �·Zywoty Pitago-
rasa�, t÷um. J. Gajda - Krynicka (Wroc÷aw 1993).
Charakterystyka zróde÷do badan nad Pitagorasem. Przekazane przeztradycj¾e staro·zytn ¾a, zachowane obszerne zród÷a umo·zliwiaj ¾ace rekonstrukcj¾e ·zycia,
pogl ¾adów i nauk Pitagorasa mo·zemy wed÷ug kryterium chronologicznego i meryto-
rycznego podzielic na cztery grupy:
1. swiadectwa wczesne, chronologicznie bliskie Pitagorasowi, pochodz ¾ace ze wsze-
lkiego rodzaju tekstów literatury przedplatonskiej,
2. swiadectwa (biogra�czne i doksogra�czne) odnalezione u Platona, Arystote-
lesa oraz perypatetyków (Teofrast z Eresos, Eudemos z Rodos, Arystoksenos
z Tarentu, Dikajarchos z Messany, Satyros, Hermippos ze Smyrny, Kalli-
macheios, Heraklides z Pontu),
3. swiadectwa, dla których zród÷em by÷y tzw. �Wyk÷ady pitagorejskie�(���� o�����a ��o������� [Pythagoriká hypomnémata]), zawieraj ¾ace syntetyczny za-
pis doktryny �chronologicznie pierwszy ich przekaz znajdujemy u Aleksandra
Polyhistora (I wiek po Chrystusie),
4. swiadectwa z pismiennictwa neopitagorejskiego (Nikomachos z Gerazy, Apolo-
niusz z Tiany, Moderatos z Gades), neoplatonskiego (Jamblich, Por�riusz,
Simplicjusz), jak te·z przekazane przez póznych bio- i doksografów (Sekstus
Empiryk, Diogenes Laertios, Stobajos).
W zród÷ach, z których czerpiemy informacje o ·zyciu i naukach Pitagorasa, wys-
t¾epuj ¾a zasadnicze rozbie·znosci, a jednoczesnie okreslona prawid÷owosc: ilosc mate-
ria÷ów zród÷owych rosnie w miar¾e up÷ywu czasu, jaki dzieli je od przedmiotu ich
zainteresowan.
Zród÷a przedplatonskie . Najwczesniejsze, nieliczne swiadectwa o Pitagorasie
przekazali: Ksenofanes z Kolofonu (Diels - Kranz 21 B 7), Heraklit z Efezu (tam·ze,
22 B 40, B 81, B 129), Empedokles z Akragantu w poemacie �lozo�cznym �Oczy-
szczenia�(K�����o�{ [Katharmói]) (tam·ze, 31 B 117 n., B 129), Ion z Chios (tam·ze,
36 B 4, B 24), Herodot (�Dzieje�, II 49, 81, 123, IV 94, 96), Isokrates (�Pochwa÷a
Busirysa�, 28, Diels - Kranz, 14 A 4). Zród÷a te maj ¾a charakter krytyczny czy
wr¾ecz szyderczy wobec Pitagorasa, zw÷aszcza w kwestii jego wiary w w¾edrówk¾e
dusz, a tak·ze otaczaj ¾acej go aury swi¾etosci (Ksenofanes, Heraklit), jednoczesnie
ukazuj ¾a Pitagorasa jako m¾edrca obdarzonego ogromn ¾a wiedz ¾a, proroka nowej re-
ligii g÷osz ¾acej w¾edrówk¾e dusz, pami¾etaj ¾acego swoje poprzednie wcielenia, jak te·z
102
jako twórc¾e i za÷o·zyciela wspólnoty o charakterze religijnym, g÷osz ¾acej nauki ety-
czno - moralne, zwi ¾azanego z or�zmem (Empedokles, Ion, Herodot). W zród÷ach
tych nie ma wzmianek o �lozo�cznych koncepcjach Pitagorasa ani o jego badani-
ach w dziedzinie matematyki, kosmologii, akustyki. Na podstawie tych swiadectw,
chronologicznie bliskich czasom, w których mia÷·zyc i dzia÷ac Pitagoras, mo·zna
wnioskowac, i·z od VI do V wieku przed Chrystusem by÷znany na terenach greckich
o�{�o��"�� [oikoumene], jednak jego dokonan nie wi ¾azano z �lozo�¾a pitagorejsk ¾a
sensu stricto.
Swiadectwa Platona i Arystotelesa. Zwi ¾azany z �lozo�¾a pitagorejsk ¾a Platon,
utrzymuj ¾acy kontakty ze wspólnotami pitagorejskimi, zw÷aszcza ze wspólnot ¾a w
Tarencie, w swej póznej nauce o zasadach, odwo÷uj ¾acy si¾e explicite do nauk pitagorej-
skich (Fileb, Timajos, przekazy o tzw. naukach niepisanych (�a ��'� ��o ����
[ágrapha dógmata]), o samym Pitagorasie wspomina tylko raz � jako o twórcy
okreslonego modelu ·zycia (���� �o�"�o& ���o�o& �o� ��{i� [Pythagóreios tropos toú
bíou]).
Wiele uwagi �lozo�i pitagorejskiej poswi¾eca÷Arystoteles (zarówno w pismach
zachowanych, jak i w nie zachowanych do naszych czasów, lecz nie wi ¾aza÷owej
�lozo�i z Pitagorasem, pisz ¾ac zawsze o �lozo�i pitagorejczyków (o�{ ���o��"�o�
���� �o�"�o� [hoi kaloúmenoi Pythagóreioi]). Wzmianka w �Zach ¾ecie do �lozo�i�
pozwala przypuszczac, i·z dla Arystotelesa Pitagoras by÷pierwszym twórc ¾a i pro-
pagatorem �lozo�cznego modelu ·zycia to·zsamego z ·zyciem kontemplacyjnym (��{o&
�"!������o& [bíos theoretikós]).
Na podstawie zachowanych fragmentów pism zaginionych �Fragmenta varia�
(Aristotelis qui ferebantur librorum fragmenta, wyd. V. Rose, L 1886, St 1967,
frg. 191, 195), przytaczanych przez pózniejszych biografów, wiemy, ·ze Arystoteles
w pismie �O Pitagorejczykach�(�"��{ �!� ���� o�"�{!� [Perí ton Pythagoréion])
pierwszy spisa÷przekazy legend o Pitagorasie, przekazuj ¾acych opowiesci o jego nad-
przyrodzonym pochodzeniu i cudownych dokonaniach, jak poskramianie dzikich
zwierz ¾at, umiej¾etnosc bilokacji, przepowiadanie przysz÷osci, nie traktuj ¾ac jednak
tych opowiesci powa·znie, co wp÷yn¾e÷o na konsekwentne racjonalizowanie legendy
pitagorejskiej w pózniejszych pismach perypatetyków. W przekazach Arystotelesa
wyst¾epuje wyrazna cenzura mi¾edzy �lozo�¾a a legend ¾a pitagorejsk ¾a.
Swiadectwa perypatetyckie. Przekazy o Pitagorasie dane przez uczniów Ary-
stotelesa mo·zna podzielic na dwie grupy:
1. przekazy doksogra�czne (Teofrast, �Pogl ¾ady �lozofów natury�(�����!� ��o���� [Physikón dóksai]) �dzie÷o to, niezachowane do naszych czasów, zosta÷o
zrekonstruowane przez H. Dielsa w �De placitis reliquiae�(Stobaei excerpta)
103
(Doxographi Graeci, wyd. H. Diels), w których perypatetycy przypisywali
Pitagorasowi stworzenie podstaw �lozo�i pitagorejskiej, opartej na koncepcji
zasady niematerialnej, o charakterze strukturalno - formalnym, uto·zsamiaj ¾ac
j ¾a z liczb ¾a),
2. przekazy biogra�czne (Arystoksenos z Tarentu, �·Zywot Pitagorasa�(���� �o��o� ��{o& [Pythagórou bíos]), �O Pitagorasie i jego przyjacio÷ach�(�"��{����� �o�o� ���{ �!� �!��{�!� ���o� [Perí Pythagórou kai ton gnorimon autoú]),
�O ·zyciu pitagorejskim�(�"��{ �o� ���� o���o� ��{o� [Perí toú Pythagorikoú
bíou]).
Zgodnie z przekazem Arystoksenosa, oddzielaj ¾acym aspekty legendy pitagorej-
skiej od �lozo�i, odmitologizowuj ¾acym postac Pitagorasa przez próby racjonalizacji
legendy, by÷on twórc ¾a �lozo�i pitagorejskiej g÷ównie w jej aspekcie etyczno - moral-
nym, wychowawczym i politycznym (por. frg. w: �Die Schule des Aristoteles�,
wyd. F. Wehrli; �Aristoxenos�, Bas 1945; Dikajarchos z Messany, �·Zywot Pitago-
rasa�(���� �o�o� ��{o& [Pythagórou bíos]; Satyros z Kallatydy, �·Zywot Pitagorasa�
(���� �o�o� ��{o& [Pythagórou bíos]; Hermippos ze Smyrny, �·Zywot Pitagorasa�
(���� �o�o� ��{o& [Pythagórou bíos]). Sotion z Aleksandrii w ksi ¾a·zce �Sukcesje
�lozofów�(���o��o'!� ����o���{ [Philosophon diadochái]) uwa·zaj ¾ac Pitagorasa za
twórc¾e tzw. italskiej szko÷y �lozo�cznej, jako pierwszy w dziejach bio- i dokso-
gra�i pitagorejskiej przypisa÷Pitagorasowi autorstwo szesciu pism: �Swi ¾ety poe-
mat�(I"��o& ��o o& [Hierós logos]), �O wszechswiecie�(�"��{ ��o��o� [Perí kósmou]),
�O duszy� (�"��{ ���& [Perí psychés]), �O pobo·znosci� (�"��{ "��"�"�{�& [Perí
eusebéias]); �H�o����&� [Helothalés], �K��o�!�� [Kroton] (fragmenty w: �Frag-
menta historicorum Graecorum�, wyd. K. Müller, str. 167�171). W powy·zszych
swiadectwach perypatetyckich z kr¾egu nurtu biogra�cznego postrzegamy w÷asciwe
szkole Arystotelesa d ¾a·zenie do odmitologizowania legendy pitagorejskiej, jak te·z
przypisywanie Pitagorasowi stworzenia podstaw �lozo�i pitagorejskiej, zw÷aszcza w
jej aspekcie etyczno - moralnym i politycznym.
Heraklides z Pontu, uwa·zany przez tradycj¾e za perypatetyka (�Die Schule des
Aristoteles�, �Herakleides Pontikos�), przekaza÷odmienny od innych perypate-
tyków obraz Pitagorasa i pitagoreizmu, koncentruj ¾ac si¾e na aspektach legendarnych:
w pismach: �O pozornej smierci albo o przyczynach chorób� (�"��{ ��& �a��o� �
��{��{�� �"��{ ��o�!� [Perí tes ápnou e aitíai perí noson]) oraz �O pitagorejczykach�
(�"��{ �!� ���� o�"�{!� [Perí ton Pythagoréion]). Przyznawa÷Pitagorasowi pocho-
dzenie boskie, nadludzkie moce i uzdolnienia, jak te·z stworzenie koncepcji �lozo�i
jako drogi wiod ¾acej do kontemplacji Boga (fragmenty w: �Herakleides Pontikos�,
Bas 1953, str. 13�54).
104
Swiadectwa Aleksandra Polyhistora. Wpismach: �Sukcesje �lozofów�(���o��o�'!� ����o���{ [Philosophon diadochái]) oraz �O symbolach pitagorejskich� (�"��{
�!� ���� o���!� �����o !� [Perí ton Pythagorikón symbolon]), Aleksander Poly-
histor powo÷ywa÷si¾e na �Wyk÷ady pitagorejskie�(���� o����a ��o�������), przed-
stawiaj ¾ace w syntetycznej formie najwa·zniejsze ustalenia �lozo�i pitagorejskiej,
które mia÷y przedstawiac pogl ¾ady samego Pitagorasa (fragmenty w �Fragmenta his-
toricorum Graecorum�). Zgodnie z przekazem cytowanym przez Diogenesa Laer-
tiosa, Pitagoras mia÷byc twórc ¾a �lozo�cznej koncepcji, przyjmuj ¾acej bytowanie
dwóch zasad - �a���i w postaci nieograniczonej monady (�o��a& [monás]) i ograni-
czonej diady (���a& [dyás]), mia÷te·z byc nauczycielem innych �lozofów pitagorej-
skich.
Swiadectwa neopitagorejskie. Przekazy te maj ¾a specy�czny charakter ze wzgl¾edu
na za÷o·zenia nowego, powsta÷ego pod koniec I wieku przed Chrystusemw srodowisku
aleksandryjskim nurtu �lozo�cznego �neopitagoreizmu, którego twórcy uwa·zali si¾e
za nast¾epców i kontynuatorów nauk Pitagorasa, uwa·zanego za mistrza i proroka,
nazywali si¾e sami �pitagorejczykami�, odwo÷ywali si¾e do starych nauk pitagorej-
skich, traktowanych jak dogmaty, szukaj ¾ac w nich uzasadnienia w÷asnych koncepcji
Boga, duszy i wiedzy objawionej. W swych pismach wi¾ekszosc neopitagorejczyków
w÷asne koncepcje przypisywa÷a Pitagorasowi i tzw. �starym pitagorejczykom�.
Od konca I wieku przed Chrystusem powstawa÷o wiele pism neopitagorejskich,
przedstawiaj ¾acych ·zywoty Pitagorasa i kompendia �lozo�i pitagorejskiej: nie za-
chowane do naszych czasów pismo Apoloniusza z Tiany pt. �·Zywot Pitagorasa�
(���� �o�o� ��{o& [Pythagórou bíos]), stanowi ¾ace dla neopitagorejczyków i neopla-
toników kanoniczny wzorzec biogra�i Pitagorasa, zachowane we fragmentach pismo
Moderatosa z Gades �Szko÷y pitagorejskie� (���� o�����{ ��o ��{ [Pythagorik-
ái scholái]), w którym autor utrzymywa÷, i·z Pitagoras i �starzy pitagorejczycy�
pos÷ugiwali si¾e liczbami pojmowanymi jako znaki dla wyra·zenia prawd �lozo�cznych
(podobnie jak gramatycy zapisuj ¾a dzwi¾eki za pomoc ¾a liter, a geometrzy pos÷uguj ¾a
si¾e �gurami dla objasnienia poj¾ec abstrakcyjnych). Nauka o liczbach jest zatem
symboliczn ¾a pitagorejsk ¾a meta�zyk ¾a, wybrali bowiem liczby jako znaki dla wyra·ze-
nia poj¾ec takich jak jedno, równosc, przyczyna, harmonia, byt, regu÷a (liczba 1);
nierównosc, podzia÷, zmiana (liczba 2); doskona÷osc, prawid÷owa struktura (liczba
3).
Wed÷ug Moderatosa, pózniejsi �lozofowie �Platon, Arystoteles, Speuzyp z Aten,
Ksenokrates z Chalcedonu �najwa·zniejsze dokonania �lozo�czne Pitagorasa i pita-
gorejczyków uznali za swoje (fragmenty w �Fragmenta philosophorum Graecorum�,
II, wyd. F.W. A. Mullach; Nikomachosa z Gerazy �Wst ¾ep do arytmetyki�(A���������� "�{�� ! � [Arithmetiké eisagogé]) i �Teologia arytmetyczna� (A���������a
105
�"o�o o��"�� [Arithmetiká theologoúmena])). Autor uwa·za÷Pitagorasa za twórc¾e
nauk matematycznych oraz zmatematyzowanej teologii. Wed÷ug Nikomachosa, po
upadku Starego Zwi ¾azku Pitagorejskiego w wyniku spisku Kylona zagin¾e÷a �lo-
zo�a pitagorejska, przechowywana odt ¾ad w przekazach ustnych przez ocala÷ych
pitagorejczyków. Dopiero w jego czasach tajemne nauki zosta÷y spisane; tym nale·zy
t÷umaczyc fakt, i·z jego teksty ujawniaj ¾a nauki pitagorejskie nieznane wczesniej
(�Nicomachi Geraseni Pythagorei Introductionis arithmeticae libri II�, wyd. R.
Hoche, 1866). Swiadectwa neopitagorejskie dopisuj ¾a nowe rozdzia÷y do legendy
pitagorejskiej, ich autorzy swiadomie wyrzekaj ¾a si¾e swoich najistotniejszych kon-
cepcji, przypisuj ¾ac ich autorstwo Pitagorasowi i �starym pitagorejczykom�, mimo
·ze neopitagorejczycy z �lozo�i pitagorejskiej nie przej¾eli niczego poza spekulacjami
matematycznymi i kontemplacyjnym modelem ·zycia, zawdzi¾eczaj ¾ac wi¾ecej �lozo�i
Platona i Arystotelesa.
Swiadectwa neoplatonskie. Pisma neoplatoników: Por�riusza, ucznia i biografa
Plotyna i jego ucznia Jamblicha stanowi ¾a bogate zród÷o dla odtworzenia legendy
pitagorejskiej oraz tych wczesniejszych przekazów, które nie zachowa÷y si¾e do naszych
czasów, zw÷. pism perypatetyckich. Neoplatonicy wykorzystali w swoich pismach
poswi¾econych Pitagorasowi i pitagorejczykom wszystkie dost¾epne im zród÷a, skrupu-
latnie je cytuj ¾ac, lecz opierali si¾e g÷ównie na zród÷ach neopitagorejskich, co z konie-
cznosci determinuje przewag¾e aspektów legendarnych w obrazie Pitagorasa i jego
nauk w pismach Por�riusza: �·Zywot Pitagorasa� (���� �o�o� ��{o& [Pythagórou
bíos] oraz Jamblicha �Zbiór dogmatów pitagorejskich�(���� ! � �!� ���� o�"�{�!� �o ��a�!� [Synagogé ton Pythagoréion dogmaton]), którego pierwsz ¾a cz¾esc stano-
wi �·Zywot Pitagorasa�(���� �o�o� ��{o& [Pythagórou bíos]. Dzi¾eki ich przekazom
mo·zemy odtworzyc tresc wielu zaginionych pism perypatetyckich.
Swiadectwa Diogenesa Laertiosa i Sekstusa Empiryka. Dzie÷o Diogenesa Laer-
tiosa (pierwsza po÷owa III wieku po Chrystusie.) �·Zywoty i pogl ¾ady s÷ynnych �lo-
zofów�(�"��{ ��{!�; �o ��a�!� ���{ �a�o'�" ��a�!� �!� "� '��o�o'�{� "��o������a���!� �����{� �"�� [Perí bíon, dogmaton kai apophthegmaton ton en philosophía
eudokimesanton biblía deka]) ma charakter biogra�czno - doksogra�czny, nale·zy
do stworzonego przez tradycj¾e perypatetyck ¾a (Sotion z Aleksandrii) gatunku liter-
atury historyczno - �lozo�cznej, porz ¾adkuj ¾acej �lozofów wg szkó÷. Pitagorasowi i
pitagorej-czykom poswi¾econa jest ksi¾ega VIII, wraz z ksi¾eg ¾a IX obejmuj ¾ac ¾a �lozo�¾e
italsk ¾a. Autorowi tej pracy nie da si¾e przypisac okreslonej orientacji �lozo�cznej ani
przynale·znosci do ·zadnej szko÷y, jego przekaz jest oparty na ogromnej liczbie (ponad
200 tekstów) materia÷ów zród÷owych (w ksi¾edze VIII i IX wymienia 28 autorów
wzmianek czy pism o Pitagorasie i pitagorejczykach, niejednokrotnie sprzecznych
ze sob ¾a, nie próbuj ¾ac rozstrzygac, które zród÷a s ¾a bardziej wiarygodne). Diogenes
106
Laertios nale·zy do tych doksografów, którzy przyjmowali istnienie przypisywanych
Pitagorasowi pism. Sekstus Empiryk (II wiek po Chrystusie) poswi¾eci÷Pitagora-
sowi i pitagorejczykom ksi¾eg¾e X traktatu �Przeciwko matematykom� (���o& �o�&
����������& [Pros toús mathematikoús]), lecz rzadko wymienia imi¾e Pitagorasa w
obszernym omówieniu nauk pitagorejskich.
Z tradycji perypatetyckiej wywodzi si¾e streszczone przez Focjusza pismo �·Zy-
wot Pitagorasa�(���� �o�o� ��{o& [Pythagórou bíos]. Wiele informacji o Pitago-
rasie, zwi ¾azanych zarówno z legend ¾a, jak i z �lozo�¾a pitagorejsk ¾a, odnajdujemy u
póznego (pierwsza po÷owa V wieku po Chrystusie) kompilatora �Joannesa Stoba-
josa, który w dziele �Wypisy, wypowiedzi i nauki w czterech ksi ¾egach�(E��o !�
�a�o'�" ��a�!�; ��o���!� �����{� � "����� [Eklogón, apophthegmaton, hypothek-
ón biblía téttara]), zawieraj ¾acym ogromny wybór tekstów z ponad 500 autorów
greckich, uporz ¾adkowanych wed÷ug problemów �lozo�cznych (�zyka, teoria pozna-
nia, etyka, polityka), przytacza wiele tekstów pitagorejskich, zarówno fragmentów
pism autentycznych, jak i apokryfów.·Zycie i dzie÷o. Italski Zwi ¾azek Pitagorejski. Do grona nauczycieli Pitago-
rasa, pózna tradycja (Diogenes Laertios, Por�riusz, Jamblich) zalicza Ferekydesa z
Syros (teologa or�ckiego, pierwszego greckiego prozaika), Anaksymandra, a nawet
Talesa. Ta sama tradycja opowiada o licznych podró·zach Pitagorasa (Egipt, Per-
sja, Syria, Babilon, Judea) i jego kontaktach z Zoroastrem, kap÷anami egipskimi,
magami perskimi, indyjskimi gymnoso�stami, m¾edrcami arabskimi i ·zydowskimi,
u których pobiera÷nauki (we wczesniejszej tradycji tylko u Herodota znajdujemy
potwierdzenie egipskiej podro·zy Pitagorasa). Za potwierdzony nale·zy uznac fakt, i·z
Pitagoras oko÷o 532, nie akceptuj ¾ac rz ¾adów tyrana Polikratesa, opusci÷Samos, gdzie
wczesniej naucza÷. Ze swiadectw bio- i doksogra�cznych wynika, i·z przedmiotem
nauczania Pitagorasa na Samos by÷a problematyka etyczno - moralna i polityczna.
Po opuszczeniu wyspy osiedli÷si¾e w po÷udniowoitalskim Krotonie, gdzie jego dzia-
÷alnosc przybra÷a form¾e zinstytucjonalizowan ¾a �za÷o·zy÷tam wspólnot¾e, która mia-
÷a charakter stowarzyszenia religijno - kultowego ('�{��o& [thíasos]) o rodowodzie
or�ckim, zwi ¾azku politycznego ("�����{� [hetairía]) oraz naukowo - badawczego
(��o�� [scholé]) � wspólnot¾e t¾e okreslono mianem �Starego Zwi ¾azku Pitagorej-
skiego�.
Pózna tradycja (Diogenes Laertios, Por�riusz, Jamblich) mówi o regu÷ach i
wewn¾etrznych prawach wspólnoty, do której adepci byli przyjmowani po wielu
próbach sprawdzaj ¾acych ich predyspozycje etyczno - moralne i intelektualne, jak
te·z po kilkuletnim okresie milczenia ("�"����{� [echemythía]). Ta sama tradycja
(przeka-zy neopitagorejskie) mówi o nakazie zachowywania w tajemnicy nauk i do-
gmatów. Starzy pitagorejczycy ·zyli we wspólnocie dóbr materialnych, nie spo·zywali
107
mi¾esa i nie nosili szat z we÷ny ani ze skór zwierz¾ecych.
Na podstawie swiadectw o ·zyciu we wspólnocie pitagorejskiej nale·zy przyj ¾ac,
i·z musia÷a byc ona stowarzyszeniem kultowo - religijnym, a scislej �bractwem or-
�ckim, a dzia÷alnosc dydaktyczna i reformatorska Pitagorasa pozostawa÷a w scis÷ym
zwi ¾azku z or�zmem �nurtem religijnym rozpowszechnionym na terenach greckich
o�{�o��"�� od konca VII wieku przed Chrystusem, kiedy to daje si¾e postrzegac
(poswiadczany przez swiadectwa literackie, m.in. Hezjod, Teognis z Megary, Mim-
nermos z Kolofonu) kryzys moralnosci, zarówno w ·zyciu indywidualnym, jak i
spo÷eczno - politycznym i wynikaj ¾ace z niego postulaty poprawy obyczajów, przestrze-
gania ÷adu w ·zyciu jednostek i ��o�"�& [póleis]. Or�zm stawia÷wyznawcom okreslone
wymagania: koniecznosc przestrzegania nakazów czystosci, unikania grzechu (�a������{� [hamartía]), wewn¾etrznego doskonalenia si¾e, moralnego porz ¾adku, obiecuj ¾ac w
zamian posmiertn ¾a szcz¾esliwosc.
Stary Zwi ¾azek Pitagorejski w jego religijnej funkcji mia÷na celu ukazanie nowej
drogi ·zycia (��{o� �o��o& [bíou hodós]), wiod ¾acej �dzi¾eki przestrzeganiu nakazów i
zakazów religijnych, naukom moralnym �do ·zycia czystego, poznania Boga, moral-
nego porz ¾adku, który nale·za÷o wprowadzic w polityk¾e po÷udniowoitalskich ��o�"�&
[póleis].
Badania naukowe starych pitagorejczyków koncentrowa÷y si¾e wokó÷natury rzeczy-
wistosci ��zyki, matematyki, która im w÷asnie, jak poswiadczaj ¾a Arystoteles, Arys-
toksenos, Eudemos (fragmenty w �Die Schule des Aristoteles�; �Eudemos von Rho-
dos�), zawdzi¾ecza pierwsze opracowania sensu stricto naukowe, muzyki i medy-
cyny. W badaniach naukowych cz÷onkowie wspólnoty dzielili si¾e na matematyków
(���������o�{mathematikói, od �����a�"�� manthánein �uczyc si¾e), czyli badaczy,
oraz akusmatyków (�a�o�������o�{ akousmatikói, od �a�o�"�� akoúein � s÷uchac),
czyli tych, którzy przechowywali w pami¾eci jedynie dogmaty etyczno - moralne
Pitagorasa, nie wnikaj ¾ac w ich istot¾e i nie szukaj ¾ac uzasadnien.
W Starym Zwi ¾azku Pitagorejskim zajmowano si¾e polityk ¾a w aspekcie teorety-
cznym (badania nad modelami najlepszego ustroju) oraz praktycznym: wychowywa-
nie przysz÷ych w÷adców, prawodawców, polityków (�Diodori Bibliotheca historica�,
wyd. F. Vogel, K. Th. Fischer). Arystoksenos, Dikajarchos, Por�riusz, Jamblich
poswiadczaj ¾a czynne zaanga·zowanie cz÷onków Starego Zwi ¾azku Pitagorejskiego w
dzia÷alnosc polityczn ¾a i ich uwik÷ania w walki partii politycznych. Tradycja przypi-
suje wszystkim pierwszym greckim prawodawcom i reformatorom politycznym, jak
Zaleukos czy Charondas, pobieranie nauk w Starym Zwi ¾azku Pitagorejskim. Polity-
czny aspekt dzia÷alnosci Pitagorasa i �starych pitagorejczyków�, zmierzaj ¾acych do
naprawy ustrojów politycznych miast greckich przyczyni÷si¾e do powstania antyp-
itagorejskiej opozycji w Krotonie, w efekcie czego dosz÷o do upadku Starego Zwi ¾azku
108
Pitagorejskiego, do wymordowania jego cz÷onków i do smierci samego Pitagorasa.
Wobec sprzecznych swiadectw trudno ustalic daty tych wydarzen �za najbardziej
wiarygodne mo·zna uznac, i·z Pitagoras po atakach na pitagorejczyków opusci÷Kro-
ton i zmar÷w Metaponcie (tradycja perypatetycka g÷osi, ·ze si¾e zag÷odzi÷).
Nauka Pitagorasa. Na podstawie analizy porównawczej swiadectw, zw÷aszczaswiadectw wczesnych, jak te·z Platona i Arystotelesa, a tak·ze wobec poswiadczonego
przez wi¾ekszosc przekazów faktu, i·z Pitagoras nie pozostawi÷dzie÷pisanych, przyj ¾ac
nale·zy, ·ze jego nauki koncentrowa÷y si¾e wokó÷:
1. koncepcji swiata pojmowanego jako ��o��o& [kosmos], czyli struktura w naj-
wy·zszym stopniu uporz ¾adkowana wed÷ug praw obiektywizuj ¾acych si¾e w mate-
matyce, zw÷aszcza w nauce o proporcjach (�Doxographi Graeci�, str. 127�
128), w którym panuje tzw. harmonia sfer (Arystoteles, �O niebie�). Nauka
o harmonii sfer bra÷a pocz ¾atek z obserwacji zwi ¾azków ruchu z dzwi¾ekami,
g÷osz ¾ac, ·ze wszystkie poruszaj ¾ace si¾e cia÷a wydaj ¾a dzwi¾eki, a ich wysokosc za-
le·zy od szybkosci poruszania si¾e; cia÷a niebieskie �S÷once, Ksi¾e·zyc i gwiazdy
porusza÷y si¾e z pr¾edkosci ¾a proporcjonaln ¾a do ich odleg÷osci od srodka swiata,
tworz ¾ac harmonijn ¾a muzyk¾e sfer, nies÷yszaln ¾a dla ludzi. Zgodnie z pózn ¾a
tradycj ¾a mia÷j ¾a s÷yszec jedynie Pitagoras. Strukturalny ÷ad swiata symboli-
zowac mia÷a �odkryta�przez Pitagorasa swi¾eta liczba 10, zwana arcyczwórk ¾a
(�"������& [tetraktýs]), wyra·zaj ¾aca w symbolicznym skrócie relacje mi¾edzy
punktem (1), lini ¾a (2), �gur ¾a (3) i bry÷¾a (4),
2. koncepcji niesmiertelnej duszy (poswiadczaj ¾a to wczesne zród÷a: Ksenofanes,
Empedokles, Heraklides z Pontu), uwik÷anej w ko÷o ·zywotów (metempsychoza,
greckie �"�"� ��!��& [metempsýchosis], palingeneza, greckie ���� "�"��{�
[palingenesía]). Koncepcja ta ma or�cki rodowód, zgodnie z którym dusza
po smierci przechodzi w inne cia÷a, nie tylko cz÷owiecze, pokutuj ¾ac w nich
za pope÷nione winy. Ludzie nie pami¾etaj ¾a swoich wczesniejszych wcielen
(wyj ¾atkiem, zgodnie z wczesnymi przekazami, m.in. Empedoklesa, by÷Pitago-
ras, który mia÷pami¾etac wszystkie swoje wczesniejsze wcielenia, jak na przy-
k÷ad to, i·z by÷bohaterem trojanskim Euforbonem (�Eudemos von Rhodos�),
Dikajarchos, Por�riusz, Jamblich),
3. koncepcji �lozo�cznego modelu ·zycia (��{o& �"!������o& [bíos theoretikós]),
zgodnie z którym do prawdziwego szcz¾escia prowadzi jedynie poznanie (Arys-
toteles, Zach¾eta do �lozo�i),
4. pierwszych w dziejach �lozo�i koncepcji etyki normatywnej, której normy
wynikaj ¾a ze struktury kosmosu, a sprowadzaj ¾a si¾e do obiektywizowanych w
109
postaci zwi¾ez÷ych maksym ( �!��� [gnómai]) nakazów zachowania miary.
Przypisywane Pitagorasowi przez pózn ¾a tradycj¾e neopitagorejsk ¾a i platonsk ¾a od-
krycia w dziedzinie kosmologii, matematyki i muzyki by÷y dokonaniami pózniejszych
�lozofów pitagorejskich, zw÷aszcza Filolaosa z Krotonu i Archytasa z Tarentu.
110
Bibliogra�a
[1] A. Bogomolny, Pythagorean Theorem,
http://www.cut the-knot.org/pythagoras/index.shtml
[2] M. E. Barnes, The Pythagorean Proposition, 2004.
[3] K. Borsuk, W. Szmielew, Podstawy geometrii, BM, Warszawa 1975.
[4] M. R. Bridson, A. Hae�iger, Metric Spaces of Non - Positive Curvature,
Springer 1842.
[5] J. Czech, Euklidesa Pocz ¾atków Geometryi, Wilno 1817.
[6] R. Doman, Wyk÷ady z geometrii elementarnej, Wydawnictwo Naukowe UAM,
Poznan 2001.
[7] J. C. Eaves, Pythagoras, his theorem and some gadgets.
[8] A. Garza, President Gar�eld and his Pythagorean Theorem Proof.
[9] M. Grabowski, Analiza matematyczna, Wydawnictwo Naukowo - Techniczne,
Warszawa 1997.
[10] S. Jelenski, Sladami Pitagorasa, Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne,
Warszawa 1995.
[11] S. G. Krantz, The Proof is in the Pudding, A Look at the Changing Nature of
Mathematical Proof, 2007.
[12] S. Kulczycki, Z dziejów matematyki greckiej, Warszawa 1973.
[13] Por�riusz, ·Zywoty Pitagorasa, t÷um. J. Gajda-Krynicka, Wroc÷aw 1993.
[14] E. F. Robertson, Pythagoras of Samos, 1999
http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Pythagoras.html
[15] N. Stiepanow, Trygonometria sferyczna, prze÷o·zy÷A. Gru·zewski, Panstwowe
Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1960.
111