speckle p-emf

7/24/2019 Speckle P-EMF

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Interferometra Electrnica de moteado y

desplazamiento de fase en eventos dinmicos

para el anlisis de la deformacin uniaxial en

probetas metlicas soldadas

Presenta:

Ing. Jorge Ramn Parra Michel

Como requisito para obtener el grado de

Maestro en Ciencias

Con la asesora de la

Dra. Amalia Martnez Garca

Len, Guanajuato Diciembre 2006


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Len Gto., a 1de Noviembre de 2006

Dr. Francisco J. Cuevas de la RosaDirector de Formacin AcadmicaPresente

La presente es para solicitarle iniciar los trmites correspondientes para la obtencin delgrado Maestro en Ciencias (ptica) del alumno Jorge Ramn Parra Michel, de estepostgrado, bajo las siguientes consideraciones:

1. Que he ledo, revisado y autorizado el trabajo de tesis:

Interferometra Electrnica de moteado y desplazamiento de fase en eventosdinmicos para el anlisis de la deformacin uniaxial en probetas metlicassoldadas

2. De acuerdo al rea de Investigacin, la mesa de Sinodales que propongo a usted parael examen de grado, la integramos:

Dr. Abundio Dvila lvarez, Sinodal Interno.

Dr. Hctor Jos Puga Soberanes, Sinodal Externo.

Dra. Amalia Martnez Garca, Asesor de Tesis y Presidente del Jurado

3. Propongo como fecha el da 8 de Diciembre de 2006, a las 11:00 horas, en elAuditorio Dr. Daniel Malacara Hernndez, para efectuar el examen recepcional.

4. As mismo, adjunto Curriculum Vitae del Dr. J. H. Puga, Sinodal Externo quienfungir como Secretario en el examen de Grado. Lo anterior, para ser analizado yautorizado por el Comit Acadmico.

Agradeciendo su atencin a la presente y en espera de su favorable respuesta al respecto,quedo de usted muy

Atentamente,

Dra. Amalia Martnez GarcaInvestigador Titular


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Centro de Investigaciones en ptica A.C. Resumen

RESUMEN

El estudio de la mecnica ha existido desde la antigedad y a acompaado al hombre

a travs de su evolucin. Una de las preocupaciones de los primeros constructores era

el utilizar las herramientas y los materiales adecuados para los fines que buscaban.

Los ingenieros se vieron obligados a caracterizar los materiales, entre ellos los

metales para la construccin adecuada y eficiente de sus mquinas y herramientas; as

surgi la necesidad de crear mtodos y sistemas que revelaran estas caractersticas y

propiedades.

La interferometra electrnica de patrones de moteado, ESPI (acrnimo deElectronic

Speckle Pattern Interferometry) nos sirve como herramienta para el estudio de las

propiedades mecnicas de los metales y otros materiales. La utilizacin de la luz con

alta coherencia espacial y temporal (propiedades de la luz lser) nos permite crear

interfermetros que aprovechan el fenmeno de destruccin y amplificacin de las

ondas electromagnticas cuando se sobreponen, creando franjas obscuras y brillantes

que son utilizadas como un patrn de referencia para las mediciones cuando se

observan en el medio que se quiere caracterizar.

El objetivo de este trabajo es mostrar una tcnica basada en ESPI para evaluar a

travs del tiempo la deformacin uniaxial en probetas soldadas y mostrar la

importancia de considerar las soldaduras cuando el diseador mecnico evala los

esfuerzos en elementos mecnicos.

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Centro de Investigaciones en ptica A.C.

Agradecimientos

Quiero agradecer el apoyo me han brindado tanto personal y profesionalmente a mifamilia, amigos y profesores.

La lista es muy larga pero tengo que pensar primero en mi madre a quien le aprendque no hay peor bancarrota que el desnimo, que el mejor da de mi vida es hoy, quela mejor distraccin es el trabajo y que el regalo ms precioso es el perdn. Siemprela recordar como la persona que fue: Disciplinada, Integra y con un firme carcter.

A mi esposa, que sin su amor, no seria la persona que soy; Ella me mostr elsignificado de que dos somos uno. A mi maCony que siempre nos ha apoyado sincondicin en las ms locas aventuras y en los momentos difciles.

A mi padre, porque hemos hecho un buen equipo y que ahora lo disfruto en losmomentos en que platicamos y estamos juntos; realmente le doy gracias a la vida porpermitirme estos momentos con l.

A mis compaeros y profesores del CIO, La Dra. Amalia Martnez y al Ing. JuanAntonio Rayas a quienes considero personas de una enorme calidad humana y

quienes me han apoyado en mi formacin profesional; Muchas gracias.

Y por ltimo, al Consejo Nacional de Ciencia y Tecnologa por el apoyo econmico ytodas las facilidades que me prestaron a travs de nuestra casa el Centro deInvestigaciones en ptica AC.

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3. Simulacin numrica por tcnicas de elemento finito. (FEA)

3.1. Introduccin bsica al anlisis por elemento finito /38

3.1.1. Pasos bsicos en el mtodo de los elementos finitos /41

3.1.1.1. Fase de preprocesado /41

3.1.1.2. Fase de solucin /41

3.1.1.3. Fase de postprocesado /41

3.2. La programacin por el software Mechanical Desktopde una probeta para

el anlisis de deformacin /42

3.2.1. Modelacin de una probeta mecnica /42

3.3. Resultados y predicciones de la simulacin numrica /44

3.4. Referencias /46

4. Medicin de la deformacin uniaxial para uniones soldadas mediante la

tcnica ESPI en plano

4.1. Medicin del desplazamiento en plano /47

4.1.1. Sistema ptico propuesto /48

4.1.1.1. Sensibilidad del sistema /49

4.1.2. Control de parmetros /51

4.1.2.1. Velocidad de desplazamiento para la deformacin /524.1.2.2. Ajuste de extensmetro /52

4.1.2.3. Control y optimizacin de desplazamiento de piezoelctrico /52

4.1.2.4. Razn de captura de imgenes y ajustes de la cmara CCD /53

4.1.2.5. Estimacin del error causados por la dinmica de la deformacin

durante el proceso del phase stepping y el posicionamiento del

piezoelctrico /55

4.1.3. Puesta en marcha de la medicin /58

4.1.4. Obtencin de imgenes /59

4.1.5. Discusin acerca de la tcnica utilizada /60

4.2. Proceso matemtico para la obtencin de la deformacin /61

4.2.1. Descripcin de la programacin del sistema para la tcnica phase

stepping de tres pasos para la obtencin de la fase envuelta /63

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4.2.2. Clculo de la deformacin /64

4.3. Comparacin de mediciones vs. Simulacin por elemento finito (FEA) /71

4.4. Referencias /73

5. Conclusiones Generales

5.1. Acerca de la tcnica basada en ESPI en plano para la obtencin de la

deformacin en un evento dinmico /74

5.2. Conclusiones acerca de los resultados obtenidos /75

5.3. Aplicacin de la ptica para el anlisis de la mecnica de materiales /76

5.4. Propuesta para proyectos futuros /77

Apndices

A. Procesamiento Digital de Imgenes

A.1 Programacin para obtencin de la fase envuelta y fase desenvuelta /78

A.2 Programas utilizados para los clculos de la deformacin y filtrado /79

A.3 Los kernel de suavizacin de superficies /80

B Programas utilizados en LabVIEW

B1 Programa para la adquisicin de las imgenes /81

C Trabajos derivados del proyecto de maestraC.1 Participacin en congresos /85

C.2 Memorias en extenso /85

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Centro de Investigaciones en ptica A.C. Introduccin general

Introduccin general y objetivos de la tesis

El estudio de la mecnica ha existido desde la antigedad y a acompaado al hombre

a travs de su evolucin. Una de las preocupaciones de los primeros constructores era

el utilizar las herramientas y los materiales adecuados para los fines que buscaban.

Posteriormente, en la industria de la guerra, el transporte y la urbanizacin, los

ingenieros se vieron obligados a caracterizar los materiales, entre ellos los metales

para la construccin adecuada y eficiente de sus mquinas y herramientas; as surgi

la necesidad de crear mtodos y sistemas que revelaran estas caractersticas y

propiedades.

Como introduccin, podemos decir que la interferometra electrnica de patrones de

moteado, ESPI (acrnimo de Electronic Speckle Pattern Interferometry) nos sirve

como herramienta para el estudio de las propiedades mecnicas de los metales y otros

materiales como las cermicas o los plsticos. La utilizacin de la luz con alta

coherencia espacial y temporal ( propiedades de la luz lser) nos permite crear

interfermetros que aprovechan el fenmeno de destruccin y amplificacin de las

ondas electromagnticas cuando se sobreponen, creando franjas con zonas obscuras

y brillantes que son utilizados como un patrn de referencia para las medicionescuando son observadas en el medio que se quiere caracterizar.

La luz es dividida, moldeada en su frente de onda, polarizada, transmitida y registrada

por sistemas pticos que son un sistema de lentes, espejos, filtros y placas

fotogrficas o cmaras de video; en la manera en que creamos un sistema ptico,

podemos obtener mediciones de distintas caractersticas y direcciones. Para la

medicin de la deformacin se utiliza dos tipos bsicos de interferencia: los que

registran la deformacin en plano, y los que registran la deformacin fuera de plano.

La combinacin de estos dos sistemas nos permite registrar las deformaciones en las

tres direcciones. As pues, para el estudio de las uniones soldadas nos apoyaremos en

estas herramientas pticas y en otras electromecnicas para describir los fenmenos

de deformacin que ocurren alrededor de la zona trabajada, tambin probaremos la

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importancia que tiene en la industria la correcta utilizacin de tcnicas para soldar

desde el punto de vista del diseo mecnico; y por ltimo, tambin se mostrarn

como funcionan las distintas tcnicas basados en ESPI.

Como resumen, podemos decir que el objetivo de esta tesis es mostrar una tcnica

basada en ESPI para evaluar la deformacin uniaxial en probetas soldadas y mostrar

la importancia de considerar las soldaduras cuando el diseador mecnico evala los

esfuerzos en elementos mecnicos.

En el captulo primero se establece la relacin entre desplazamiento, deformacin y

esfuerzo, as como el concepto de vector de sensibilidad.

En el captulo segundo se mostrar como ocurre el fenmeno de reflexin de la luz

lser cuando incide sobre superficies rugosas, pues es de esas reflexiones donde se

obtienen la informacin de deformacin. Este fenmeno se caracteriza por la

formacin de motas (o de speckle, en ingls) que cambian constantemente con

respecto a la posicin del observador, de la fuente de la iluminacin o de la superficie

iluminada; por lo tanto se hace un estudio matemtico y se muestra un procedimiento

para la medicin de estas motas.

En el captulo tercero, se describe la utilizacin de la tcnica FEA, (acrnimo en

ingls de Finite Element Analisis), para la simulacin de la deformacin de una

probeta soldada y otra no soldada; se muestra los resultados obtenidos de la

simulacin.

El captulo cuarto describe la tcnica utilizada y el procedimiento para la obtencin y

medicin de las deformaciones dinmicas con la tcnica ESPI, se presenta un arreglo

ptico para este objetivo; y por ltimo se reportan resultados de algunas mediciones.

El captulo quinto da a conocer las conclusiones generales acerca de este trabajo de

tesis y se sugiere algunos nuevos proyectos que pueden dar continuidad a este trabajo.

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Y por ltimo, se anexan algunos apndices con informacin adicional que sirven de

apoyo terico y complemento para las tcnicas mostradas. Espero que durante la

lectura a travs de esta tesis, el lector la encuentre interesante y sirva como referencia

para el estudio de la mecnica a travs de la ptica.

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Centro de Investigaciones en ptica A.C. Captulo 1: Introduccin

1. Conceptos de desplazamiento, deformacin y vector de sensibilidad

1.1. Propsito del estudio de las uniones soldadas

El proceso industrial ms utilizado para la formacin de elementos y estructuras

metlicas es la soldadura. La soldadura es aplicada con diferentes mtodos pero

bsicamente trata de la unin de dos o ms metales mediante fusin de sus estructuras

moleculares mediante la aplicacin de calor o presin intensos en la regin y

alrededor de las partes a unir. La estructura isotrpica de los materiales originales se

ve alterada en esa regin y en muchos casos son necesarios utilizar tratamientos

adicionales como los trmicos para tratar de recuperar esa estructura isotrpica, cosa

que nunca ocurre en su totalidad. Las uniones soldadas pierden en gran medida lahomogeneidad y continuidad molecular de la estructura mecnica, por lo tanto las

lneas de esfuerzo se ven afectados en sus trayectorias ocasionando concentraciones

de esfuerzo indeseados en la zona soldada. Un ejemplo de lo anterior se muestra en la

figura 1.1.

El ingeniero de diseo tiene que calcular los esfuerzos mximos que puede soportar

dichas uniones. Existen 2 mtodos bsicos para el procedimiento del calculo( T1 ): el

primero se basa en la utilizacin de un factor de seguridad que es un factor de

proporcin entre el esfuerzo ltimo o de fluencia con respecto al esfuerzo admisible o

de trabajo de la pieza mecnica; y el segundo, el ms reciente, utiliza un control

estadstico de factores involucrados durante el proceso de manufactura (fundicin,

tipo de maquinado, tipo de acabado superficial, tratamiento trmico, etc.) que van

modificando el esfuerzo ltimo o de fluencia hasta que se obtiene el esfuerzo

admisible o de trabajo; tambin considera el ambiente de trabajo la cual la pieza

estar sujeta y a las cargas dinmicas a lo largo de su vida til.

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a)

b)

Figura 1.1

Trayectoria de las lneas de esfuerzo entre a) una pieza completa y homognea y b) una pieza con una

unin soldada.

Por lo tanto, el estudio de la deformacin de las uniones soldadas nos permite

calcular estos factores de concentracin de esfuerzos sobre la superficie alrededor de

la soldadura que van a modificar el esfuerzo admisible o de trabajo de los elementos

mecnicos para que sean utilizados por el ingeniero de diseo.

1.2. Anlisis mecnico de la deformacin.

La mecnica de materiales considera a los cuerpos mecnicos como deformables, de

esta consideracin, se establecern algunos conceptos los cuales son tiles en ladiscusin que ocupa la presente tesis; se tienen conceptos como los siguientes que a

continuacin se mencionan.

Lasfuerzas externasque actan sobre los cuerpos mecnicos se les denomina como

cargas, y las fuerzas que los mantiene en equilibrio se llaman reacciones. Las fuerzas

que se transfieren y distribuyen dentro del elemento mecnico se les denomina

esfuerzos y son de dos tipos: el esfuerzo totaly el esfuerzo unitario. El primero es un

promedio del total de las fuerzas internas en una seccin de la muestra mecnica; y el

segundo y ms importante para el anlisis mecnico de la deformacin en soldaduras,

es un valor intensivo local sobre una seccin transversal de la muestra mecnica

independiente del tamao o masa del sistema. Para casos prcticos se define el

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esfuerzo como la cantidad de fuerza perpendicular sobre unidad de rea en la que

acta, Ec. [1]:

dA

dF

= . [1]

La deformacinse define como el cambio de forma y dimensin de la pieza mecnica

que est sometida a las fuerzas externas. La deformacin se pueden clasificar en:

deformacin total y deformacin unitaria ; la primera considera el cambio de

dimensin directamente en la pieza mecnica, esto es cunto a aumentado o

disminuido la dimensin lineal; y el segundo, con respecto a su dimensin original y

direccin de la deformacin( )2

. As que es fcil darse cuenta que no puede haberdeformacin de un punto dado dentro o en la superficie de un cuerpo sin que este se

halla desplazado.

Haciendo un anlisis ms profundo, supongamos un pequeo volumen diferencial

dxdydzque est sometido a varias fuerzas externas de tal manera que este equilibrado

estticamente; un punto Pdentro del volumen diferencial se est desplazando hasta la

posicin P, sean u, vy wlos desplazamientos de este punto en direccin paralela al

sistema de coordenadas x, y y z respectivamente; segn la figura 1.2, el

desplazamiento de los puntos adyacentes a P,AyBa lo largo de los ejes coordenados

en el planoxy son:

ParaA a lo largo dex, dxx

uu

+

ParaA a lo largo dey, dx

x

vv

+

[2]

ParaBa lo largo dex, dyy

uu

+

ParaBa lo largo dey, dyy

vv

+

6


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Se observa que en el segmento PAde la figura 1.2 el incremento de longitud despus

de la deformacin a lo largo del ejexes dxx

u

, donde la deformacin unitaria es

x

u

;

entonces la deformacin unitaria del punto Pa lo largo dex, y yz, se puede calcular

respectivamente a partir del conjunto de ecuaciones no. [3]:

z

w

y

v

x

u

z

y

x

=

=

=

[3]

Figura 1.2

Desplazamientos de los puntos P,AyB

Por otro lado, podemos observar a partir de la figura 1.2, que el ngulo APB ha

disminuido hasta APB. De manera similar podemos obtener la deformacin

unitaria angular( )3 con el conjunto de ecuaciones no. [4]:

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y

w

z

v

x

w

z

v

y

u

x

v

yz

xz

xy

+

=

+

=

+

=

[4]

La ecuacin de Hook relaciona el esfuerzo con la deformacin unitaria y el modulo

de YoungE, en la zona elstica del material mediante la relacin:

E= , [5]

de esta manera podemos relacionar el esfuerzo al que est sometido una pieza

mecnica a tensin uniaxial con solo observar sus desplazamientos en el eje y de

nuestro sistema ptico:

E

y

y

= ;

y

vy

= . [6]

Para el anlisis de la deformacin en uniones soldadas, las soldaduras se han hecho atope como lo muestra la figura 1.3, se llama garganta, al espesor de la soldadura y se

definir comojuntala unin soldada cuyas dimensiones son de 12.7 mmpor 1 mmde

separacin entre placas. El material basees el material que se esta uniendo, en este

caso, de acero comercial tipo A36 cuyo mdulo de elasticidad est definido por

E=206.8 GPa. El aportees el material de la soldadura que se utiliza en la unin, las

probetas estn soldadas con electrodos comerciales tipoE7010de 1/8de dimetro.

La figura 1.4 muestra las dimensiones de las probetas utilizadas.

Por lo tanto, para determinar el esfuerzo presente en una junta se debe medir la

deformacin unitaria uniaxial. Un interfermetro es la herramienta que se utilizar

para este propsito.

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Figura 1.3

Junta tpica a tope. hes el espesor de la garganta,A es el rea transversal, Fes la fuerza aplicada

acot: mm

Figura 1.4

Dimensiones de las probetas utilizadas.

1.3. Utilizacin de la luz en la metrologa: interferencia ptica

A partir de la ecuacin de onda (ec. [7]) para un campo electromagntico A, unasolucin a la ec. [8], es la de una onda plana viajando a travs del espaciorepresentado por la ec. [8]; k

r

se define como el vector de onda y dr

es el vector de sudesplazamiento, west relacionado con la frecuencia (frecuencia angular del haz deluz), ec [9] y [10]; tes el tiempo y es una constante que adelanta o retrasa la fase.

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Atc

A22

2 1

= [7]

( )++= dkwtieatrArr

0),( [8]

2=k

r

[9]

2=w [10]

Cuando dos o ms ondas electromagnticas se sobreponen, se presenta el fenmeno

de interferencia ptica la cual puede ser observada y medida a travs de la irradiancia.

La irradiancia o intensidad de una onda est dado por el promedio del producto entre

la amplitud de la onda y su conjugado, ec. [11].

( ) ( )tAtAtI *)( = [11]

Un sensor de irradiancia, como puede ser una cmara CCD, le es prcticamente

imposible poder medir la irradiancia instantneamente; las lecturas que obtiene el

sensor las calcula integrando en un lapso de tiempo regular TmaA(t)de la siguiente

manera:

=2

2

* )()(1

limm

mm

T

T

mT

dttAtAT

I . [12]

Haciendo simplificaciones y considerando que los tiempos de integracin Tm son

peridicos y constantes podemos simplificar la ec. [12] para un solo haz de luz como:

2AI= . [13]

En el caso de la interferencia de dos haces, la ec. [13] se convierte en:

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)cos(2

))((

2122

21

22

21

2*

1*

21

++=

++=

aaaa

AAAAI [14]

donde:

])([ ++= dkwtrr

[15]

Los dos primeros trminos de la ecuacin [14], a12y a2

2representan ruido de fondo y

dependen exclusivamente de la intensidad de las fuentes de iluminacin, la tercera

parte de la ecuacin, , depende exclusivamente de las fases

relativas de la iluminacin y lleva consigo la informacin que tratamos de analizar.

)cos(2 2122

21 aa

La ec. [14] se puede rescribir de la forma:

)cos(2 2121 ++= IIIII . [16]

El contraste de las franjas de interferencia detectada por el sensor, puede evaluarse

por medio de la visibilidad:

minmax

minmax

II

IIV

+

= [17]

11


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1.4. Vector de Sensibilidad

1.4.1. Vector de sensibilidad para un interfermetro fuera de plano con

un haz de iluminacin

Si un puntopde una superficie se desplaza cierta cantidad debido a una deformacin,

entonces la nueva distancia entre ese punto y la referencia cambia con respecto a la

distancia original. Por otro lado, la distancia que recorre un haz de luz desde la fuente

hacia el puntoptambin cambia. Aqu podemos definir un concepto muy importante

en la metrologa ptica: a la diferencia en numero de ondas medida en radianes de las

dos distancias del punto sobre la superficie con respecto a la fuente de iluminacin sele conoce como la diferencia de camino ptico(DCO)representado por el smbolo .

La fase ptica est relacionada con y est dado por ( )4 :

)(2

)( pp

= . [18]

Si una superficie iluminada se deforma, cada punto tendr un diferente con respecto

a la fuente de iluminacin y tambin, con respecto a un observador situado en otro

punto distinto a la fuente. Consideremos la figura 1.5, cuando un objeto se deforma,

cada punto de la superficie se desplaza y tiene un distinto dado por la ec. [18]. La

fase est relacionada tambin por la intensidad en la ec. [16]. Sean la fuente de

iluminacin S(xs,ys,zs) y el punto de observacin B(xb,yb,zb). Considerando un punto

sobre la superficie de un objeto el cual se desplaza desde P1(xp1,yp1,zp1) hasta

P2(xp2,yp2,zp2); entonces, el vector de desplazamiento dr

se calcula por una simple

substraccin vectorial entre P2y P1:

1221PPd PPrvv

= [19]

12


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y

x

z

P1

P2

d

s2

s1

b2

b1

S

B

Figura 1.5Esquema para la obtencin del vector de sensibilidad.

Como es la diferencia entre la distancia que recorre la luz desde la fuente hasta el

punto de observacin pasando primero por P1 y despus por P2, la se puede

expresar como( )5 :

( ) ( )

[ ] [ BPbSPsBPbSPsBPSPBPSPP

22221111

22111

)(

++=

++=

] [20]

por otro lado, consideremos los bisectores para los vectores unitarios como:

( ) [ ]

( ) [ ])()(

2

1,

)()(2

1,

221121

221121

PbPbPPb

PsPsPPs

+=

+=)

[21]

y adems tambin consideremos la mitad de la diferencia de los vectores unitarios

como:

13


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( ) [ ]

( ) [ ])()(2

1,

)()(2

1,

221121

221121

PbPbPPb

PsPsPPs

=

= [22]

Aplicando las ecuaciones [21], [22] en [20] encontramos:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )2121

22111

)(

SPSPsBPBPbdsdb

BPbbSPssBPbbSPssP

++++=

+++=rr

)))) [23]

Puesto que el producto punto de dos vectores perpendiculares es cero, la ec. [23] se

puede simplificar de tal modo que:

[ ])()()()( PsPbPdP == r

. [24]

Introduciendo en la ec. [18] encontramos que la fase ptica est en funcin del

desplazamiento del punto P y de los vectores unitarios de la fuente de iluminacin y

de observacin:

[ ] )()()(2

),,( PdPsPbzyxr

=

[25]

de la ec. [25] podemos definir matemticamente el vector de sensibilidad ( )6 .

[ ])()(2

)( PsPbPe =

r [26]

1.4.2. Para dos haces de luz

La figura 1.6 considera una superficie iluminada simtricamente con respecto al eje

ptico por dos fuentes S1y S2, el observadorBse encuentra en el eje ptico:

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y

x

z

P

s2

s1

S2

S1

Bb

Figura 1.6

Esquema para el vector de sensibilidad para iluminacin dual.

El vector de sensibilidad respectivamente para cada haz de iluminacin de las fuentes

S1y S2es(5):

[ ]

[ ])()(2)(

)()(2

)(

22

11

PsPbPe

PsPbPe

=

=

r

r

[27]

por superposicin, tomando la diferencia entre los vectores de sensibilidad e1y e2

[ )()(2

)()()(

21

12

PsPs

PePePe

= ]

=

rrr

[28]

En este caso, el vector de sensibilidad no depende del vector de observacin, pero si

depende de la forma del objeto y de la posicin de las fuentes.

15


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Denotando como (xs1, ys1, zs1) y (xs2, ys2, zs2) las coordenadas de las fuentes de

iluminacin S1y S2 respectivamente y por (xp, yp, zp) las coordenadas de un punto

sobre el plano iluminado de un objeto, entonces, Los vectores unitarios de

iluminacin de cada fuente estn dados por:

( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

++=

++=

2

2

2

22

22

22

2

1

1

1

21

21

21

1

1

1

sp

sp

sp

spspsp

sp

sp

sp

spspsp

zz

yy

xx

zzyyxxPs

zz

yy

xx

zzyyxxPs

[29]

Substituyendo la ec. [29] en la ec. [28] se obtiene las componentes del vector de

sensibilidad ( )7 :

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

++

++

=

++

++

=

++

++

=

22

22

22

2

21

21

21

1

22

22

22

22

12

12

1

1

22

22

22

2

21

21

21

1

2

2

2

spspsp

sp

spspsp

sp

z

spspsp

sp

spspsp

spy

spspsp

sp

spspsp

sp

x

zzyyxx

zz

zzyyxx

zzPe

zzyyxx

yy

zzyyxx

yyPe

zzyyxx

xx

zzyyxx

xxPe

[30]

Donde la magnitud del vector de sensibilidad es la raz cuadrada de la suma al

cuadrado de los componentes del vector de sensibilidad:

( ) ( )222 zyx eeePe ++=r [31]

16


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Por ltimo, la relacin que existe entre la fase obtenida en los interferogramas (x, y)

y el vector de desplazamiento ),,( zyxdr

en un punto P = P(xp, yp, zp)est dado por:

( )[ ])()( PdPePr

r = [32]

1.5. Referencias

(1) Robert L. Norton, Diseo de mquinas, Ed. Prentice Hall, 1998. pag. 310

(2) Jos de Jess Mayagoitia Barragn, Tecnologa e ingeniera de materiales,Ed. Mc Graw Hill, primera edicin, pg.66.

(3) Stephen Timoshenko, Theory of elasticity, Ed. McGraw-Hill College, 1970

(4) Amalia Martnez, Tesis Doctoral, Centro de Investigaciones en ptica AC,Diciembre 2001, Len Guanajuato.

(5) Thomas Kreis, Holographic Interferometry, Principles and methods, Ed.Akademie Verlang, Berlin, 1996; pg 72.

(6) Thomas Kreis, Holographic Interferometry, Principles and methods, Ed.Akademie Verlang, Berlin, 1996; pg 73.

(7) Amalia Martnez, R. Rodrguez-Vera, J.A. Rayas, H.J. Puga. Error in the

measurement due to the divergence of the object illumination wave front for in-planeinterferometers Optics Comm. 223 (2003), 239-246.

17


25/93

Centro de Investigaciones en ptica A.C. Capitulo 2: El Speckle

2. El fenmeno del speckle

2.1. Introduccin

La coherencia espacial de la luz lser nos ofrece un interesante fenmeno: cuando la

luz lser incide en una superficie rugosa, su reflexin o transmisin da una apariencia

granular; es decir, con un efecto de moteado, (Speckleen ingls). Estas motas varan

de tamao y posicin dependiendo la posicin del observador.

Antes de la invencin del lser, este fenmeno se consideraba como simple ruido

observado en fotografas y superficies rugosas debido a la coherencia temporal y

espacial de algunas fuentes de iluminacin monocromticas. Alrededor de los aos de

1970, ya con luz lser, se empez a reportar la utilizacin de este ruido con fines de

medicin; as se empez a crear las tcnicas de la interferencia de speckle o

moteado( )1

.

El efecto de moteado ocurre cuando luz monocromtica altamente coherente

espacialmente, con longitud de onda constante, es esparcida por una superficie cuya

rugosidad produce interferencia entre unos trenes de ondas con otras. La figura 2.1

muestra dos fotografas de este fenmeno con dos diferentes fuentes de iluminacin

lser.

a) b)

Figura 2.1

Patrones de moteado con iluminacin lser, a) lser He-Ne de 632.8 nm sobre un vidrio esmerilado y

b) lser de 532.2 nm sobre una placa de aluminio con un terminado semipulido.

18


26/93


2.2. Explicacin del fenmeno de speckle

Como se mencion anteriormente, el efecto de moteado se produce por la dispersin

de un haz de luz coherente sobre la rugosidad de la superficie, figura 2.2, creando

puntos brillantes y obscuros que son fcilmente visibles. Solo se puede ver en

superficies cuya rugosidad e imperfecciones sean mayores a la longitud de onda de

la luz empleada.

coherencia (luz Lser)

Figura 2.2

Reflexin de la luz lser por una superficie rugosa.

De acuerdo al principio de Huygens, cada punto en un frente de onda en propagacin,

emite un tren de ondas esfricas de tal modo que despus de cierto tiempo, el frente

de onda estar formado por la envolvente del tren de estas ondas esfricas. Cuando la

envolvente del frente de onda incide sobre una superficie, cada punto de la superficie

iluminada emite una onda secundaria de forma( )2

:

( ) ('

'

01 nnrki

nn

nn eErrE += ) [1]

y para el punto Bde la superficie Sde la figura 2.3, la suma de todas las ondas esta

definido como:

19


27/93


( ) ( +=n

rkin

n

nneEr

BE'

'

0

1 ) [2]

Aplicando la teora del lmite central de probabilidad y considerando que la amplitud

y la fase de cada tren de onda es independiente una de otra, y adems que la fase esta

comprendida entre los valores de [- y ] se encuentra que:

( ) ( )ninnn eEN

rE 01

= [3]

B

S

rn

r4r3r2r1

D

z

x

z

Figura 2.3

Formacin de una mota sobre un plano

DondeNrepresenta el total de trenes de onda incidentes en la superficie S. Adems,

supondremos ms adelante que la amplitud nEN

0

1 y la fase n son

estadsticamente independientes debido a que la rugosidad de la superficie tiene un

patrn no uniforme y la fase esta distribuida entre los valores de [-, ].

La parte real e imaginaria de la ec. [3] son:

20


28/93


{ }

{ }

=

=

==

==

N

nnnimn

N

nnnrn

EN

EE

EN

EE

1

0

1

0

)sin(1

Im

)cos(1

Re

[4]

Observemos que el promedio de las amplitudes Ery Eim es igual a cero porque la fase

varia de -hasta . Calculando ahora la varianza y la correlacin, y recordando las

propiedades de ortogonalidad de las funciones trigonomtricas:

0cossinsincos

:0

:2

1

sinsincoscos

==

===

baba

baba

ba

ba

[5]

podemos calcular la amplitud del Speckle:

0

2

11)sin()sin(

1

2

11)cos()cos(

1

1

2'

0

1 1

'

0

'

0

2

1

2'

0

1 1

'

0

'

0

2

=

==

==

== =

== =

imr

N

nn

N

nmn

N

mnnim

N

nn

N

nmn

N

mnnr

EE

EN

EEN

E

EN

EEN

E

[6]

Ahora, aplicando el teorema de la varianza considerando que N y que Ery Eim

tienen un perfil gaussiano, encontramos que la densidad poblacional es( )3

:

2

22

22, 2

1),(

imr EE

imrimr eEEP+

= [7]

y la varianza queda expresada como:

=

=

N

nn

NE

N 1

2

0

2

2

11lim [8]

21


29/93


Puesto que la intensidad I y la fase son independientes una de otra debido a la

naturaleza rugosa de la superficie iluminada, el campo resultante esta compuesto por

la parte real y la imaginaria, esto es:

sin

cos

IE

IE

im

r

=

= [9]

Considerando lo anterior, entonces introduciendo la ec. [9] en la ec. [7] y tomando en

consideracin la ec. [5], obtenemos:

[ ] [

=

=

=

+

valorotrocualquierpara0

y0para4

1

),(

2

1),(

2

2

22

22

,

2

)sin()cos(

2,

Ie

IP

eEEP

I

imr

II

imrimr

]

[10]

Para conocer qu parte corresponde a la intensidad del speckle y qu parte a la fase,

consideramos que la ec. [10] puede considerarse estar compuesta por dos funciones

independientes puesto queIy son tambin independientes:

)()(),(, pIpIP II = [11]

e integrando cada funcin en sus limites:

==

==

0,

22

,

dems.lotodopara0

0-para2

1

),()(

dems.lotodopara0

0para2

1

),()(

2

dIIpp

IedIpIp

I

I

II

[12]

22


30/93


De los resultados de la ec. [12] podemos observar que la fase del patrn de speckle es

constante y que la intensidad en el patrn disminuye exponencialmente.

El promedio de la intensidad es 22=I y a partir de la varianza de podemos

determinar la visibilidad o contraste Vdel patrn de speckle mediante:

IV I

= [13]

Para determinar el tamao de una mota, supongamos que el puntoBen la superficie S

de nuestro sensor llega dos haces de luz de diferentes regiones de nuestro objeto

cuando es iluminado por luz lser en un dimetro D. La figura 2.3 nos muestra este

arreglo.

Puesto que en Bse interceptan los dos haces (y que pudieran ser muchos ms de la

superficie enD) podemos suponer que un haz llega primero que otro. Por lo tanto la

diferencia de fase ser( )4

:

xzDfx

22 == [14]

Donde fes la frecuencia espacial del patrn de interferencia. La frecuencia mxima

ser:

z

Df

=max [15]

por lo tanto el periodo de la mota de la figura 2.3 ser el tamao mnimo de la mota

observada:

D

z =0 [16]

23


31/93


Para un sistema ptico se debe considerar la difraccin; segn Goodman J.W. en su

articulo4 Statical propieties of laser speckle patterns, el tamao se puede considerar

como la separacin que existe entre los dos primeros mnimos de la funcin Bessel de

primer orden J1 esto es cuando J1(x)=0 y cuandox=1.22, esto quiere decir que el

tamao depende del lmite de difraccin del sistema ptico. A partir de la relacin de

autocorrelacin para un sistema ptico compuesto con lentes:

+=

2

12

2

1)(

z

Drz

DrJ

IrR

[17]

dondeDes el dimetro de la iluminacin, 22 yxr += y R(r)es la intensidad de la

mota observable, la separacin esta dada por:

D

z

44.2'0= [18]

La figura 2.4 muestra grficamente lo dicho por la ec. [17] y [18]:

'

0

Figura 2.4

Tamao de una mota

D=2 mm, z=1000 mm, =442 nm, I=127

24


32/93


La amplificacin tambin modifica el tamao de la mota registrada. Para la figura 2.5

podemos escribir el tamao de la mota proyectada sobre una superficie debido a una

lente.

El tamao de la mota ser:

D

bs

22.1= [19]

Introduciendo la definicin de apertura numrica para el lente:D

fF L , donde es

la distancia focal de la lente, obtenemos:

Lf

)1(22.1 mFs += [20]

D

Sa b

Figura 2.5

Formacin de una imagen de patrn de motas sobre un plano

Donde mes la amplificacin dado por( )5 :

L

L

f

fbm

)( = [21]

25


33/93


Como comentarios a la formacin de speckle, podemos decir que este fenmeno no

puede ser explicados por la ptica geomtrica puesto que para ella, cada punto del

objeto le corresponde un punto en la imagen. Paradjicamente, el tamao de la mota

observada en un sistema ptico, no depende de la rugosidad de la superficie

iluminada sino del sistema ptico. El efecto de moteado est formado por la

interferencia espacial y existe en cualquier punto entre la lente y su distancia focal.

Por lo tanto, mientras que un objeto tiene su imagen en un sistema de lentes, un

patrn de speckle no.

2.3. La Interferometra del speckle

La interferometra ocurre cuando dos haces de luz se interfieren entre ellos; en el caso

de speckle, dos patrones tambin pueden interferir. Con las nuevas tecnologas de

cmaras digitales es posible realizar operaciones entre imgenes casi

instantneamente y evitar as los largos tiempos que se toman los procesos de

revelado fotogrfico y hologrfico. La interferometra de speckle obtenida por

superposicin de dos imgenes antes y despus de un cambio dimensional en el

objeto no contienen las clsicas franjas de interferencia ptica puesto que la fase de

cada mota es estadsticamente independiente, sin embargo, cada mota en una imagen

puede interferir con su correspondiente en la otra imagen. Por lo tanto la

interferometra del speckle se puede tratar muy similar como si se tratara de la

interferencia ptica clsica. La fase del patrn de speckle se considera como un

promedio variablemente distribuida en la imagen en el rango de [0,2]( )6 .

Para entender esto, el procedimiento para esta tcnica es como sigue: supongamos

que dos haces iluminan un objeto, entonces la intensidad luminosa en el objeto ser la

suma de ambas:

),(),( ),(),(),(yxi

Byxi

AAB eyxIeyxIyxI += . [22]

26


34/93


Aplicado la identidad de Euler, podemos simplificar la ecuacin anterior, sea ahora

I1(x,y)la intensidad luminosa de la primera imagen que usaremos de referencia. As

que simplificando la ecuacin [22] tenemos:

),(cos2),(1 yxIIIIyxI BABA ++= , [23]

donde (x,y)es la fase promediada del patrn de speckle de la primera imagen y que,

como mencionamos, nos servir de referencia. Una segunda imagen es tomada

cuando un desplazamiento ocurre en el objeto, representada por I2(x,y). Por lo tanto,

existe una variacin en el promedio de la fase asociada con el desplazamiento y

no as, en la intensidad porque sta es independiente de la fase. La intensidad del

segundo patrn de speckle ser:

]),(cos[2),(2 +++= yxIIIIyxI BABA [24]

Al substraer de la imagen de referencia, la imagen con la variacin de fase y

obteniendo su cuadrado, obtenemos un patrn de franjas relacionadas con el

desplazamiento de la siguiente manera:

+== 2

1sin

2

1sin4),(),(),(

2

21 BAIIyxIyxIyxI [25]

Amplitud o intensidad

total.

Patrn de franjas de alta frecuenciaasociados al speckle.

Puesto que el tamao de las motas es

mayor al periodo de las franjas, este

termino se considera solo ruido o s eckle.

Este en un patrn de franjas de baja frecuencia que modula lostrminos anteriores. Este trmino representa las franjas

observables y contienen la informacin asociada al

desplazamiento.

27


35/93


36/93


37/93


Para obtener la fase, recordemos que la interfase esta modulado por 2 entonces se

puede poner la fase como una funcin trigonomtrica( )8

, segn la figura 2.9:

= ni

nj

ji

arctan),( . n = nmero de paso [28]

Entonces simplificando la ec. [28] y substituyendo en la ec. [27] obtenemos la fase

para un phase stepping de cuatro pasos a 90:

=

31

24arctanII

II [29]

y para el phase stepping de 3 pasos a 120:

( )

=

321

23

2

3arctan

III

II [30]

Thomas Kreis, trata con ms detalle distintos tipos de phase stepping con distintos

pasos en fase .( )9

2.4.2. El mtodo de Fourier

Las propiedades de la transformada de Fourier detectan la fase de un patrn de

franjas en funcin del campo de las frecuencias espaciales. Estas frecuencias son las

relacionadas con el patrn de franjas propias de la interferencia (frecuencia portadora)

y por otro lado, las frecuencias asociadas con la deformacin. Esencialmente, la

evaluacin de la transformada de Fourier de un interferograma es una serie de

combinaciones lineales entre funciones espaciales armnicas dada por la ecuacin

[26]; esta ecuacin se puede expresar en el campo complejo aplicando la identidad de

Euler para el coseno, de tal manera que:

30


38/93


( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]fxiyxiBfxiyxiBA

yxifxiyxifxiBA

eeyxIeeyxIyxI

eeeeyxIyxIyxI

2,*2,

,2,2

1

,

2

1,

2

1,

,2

1,,

++=

++= [31]

Donde * denota el conjugado de IB(x,y), haciendoB ( ) ( )yxiB eyxIyxB,,

2

1),( = ,

y aplicando la transformada de Fourier con respecto a x, a la ec.

[31] encontramos:

( yxIyxA A ,),( = )

( ){ } ),(),(),(, 0*

01 yffByffByfAyxI +++= [32]

eliminandoA(f,y)yB(f-f0,y)y haciendo quef0=0(centrando aB*(f-f0,y)), aplicando la

transformada inversa de Fourier aB*(f,y)con respecto afse obtiene la parte deB(x,y),

tal que despejando (x,y)nos da:

( )

=

)),(Re(

),(Imarctan),(

yxB

yxByx [33]

as obtenemos la fase (x,y) completamente separada de las variaciones de la

amplitud de la intensidadIB(x,y). La fase obtenida por este mtodo es indeterminada

por un factor de 2. Un ejemplo de este mtodo se observa en la figura 2.10 donde a)

es un patrn de franjas simuladas de un interferograma con variaciones que simulan

una deformacin lineal en direccin horizontal hacia la derecha, b) es una grfica de

la intensidad I(i,j) versus el nmero de pxel, c) muestra la transformada de Fourier

paraI(i,j),d) muestraI*(i,j)centrada en la imagen, y por ltimo e) grfica de la fase

obtenida mediante la transformada inversa de Fourier de la grfica eliminando la

frecuencia portadora y la del interferograma inicial (con la portadora) para

comparacin.

B

31


39/93


Interferograma

a)

Intensidades

b)0 50 100 150 200

I(x, y)

Transformada de Fourier de la grfica de intensidades

c)

Filtrado de la transformada de Fourier y centrado deB*(f-f0, y)

d)0 50 100 150 200

B*(f-f0, y)B(f-f0, y)

B*(f, y)

La fasedespus de aplicar la ec. [32] con la transformada inversa de Fourier deB*(f, y)

e)0 50 100 150 200

0

100

200

----- ----- portadora

Figura 2.10

Mtodo de obtencin de la fase mediante el mtodo de Fourier.

32


40/93


El mtodo de Fourier tiene dos desventajas importantes: los filtros utilizados deben

ser lo mas precisos para no filtrar de ms ni de menos a B*(f-f0,y) ya que la fase

recuperada podra acarrear errores en la medicin y la ambigedad de signo, puesto

que la fase es indeterminada en un rango de 0a 2 lo que es lo mismo de -a ,

por lo tanto no est determinado en que cuadrante empieza la fase.

2.4.3. El mtodo Directo

Este mtodo solo necesita una imagen para encontrar la fase, sea I(t) una imagen

obtenida en una secuencia de deformacin de un material de la forma:

[ ])(cos)()()( twttItItI BA ++= [34]

para encontrar la fase, basta con multiplicar por cos(wt)y por sin(wt)aI(t):

[ ] [ ]

[ ] [ ])(2sin2

)()(sin

2

)()sin()()sin()(

)(2cos2

)()(cos

2

)()cos()()cos()(

twttI

ttI

wttIwttI

twttI

ttI

wttIwttI

BBA

BBA

++=

++= [35]

filtrando las altas frecuencias (wt), se obtiene:

)(sin2

)()(

)(cos2

)()(

ttI

tS

ttI

tC

B

B

=

= [36]

Aplicando el arco-tangente a la ec. [36] se obtiene la fase directamente.

=

)(

)(arctan)(

tC

tSt [37]

33


41/93


La fase obtenida por este mtodo es de baja calidad puesto que es muy difcil filtrar

adecuadamente las altas frecuencias sobre todo si wt y la fase estn muy prximas. La

figura 2.11 muestra un ejemplo de este mtodo.

interferograma

intensidades

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

255

0

a0 j,

multiplicacin de las intensidades por cos(wt), sin(wt)

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

255

255

acos0 j,

asin0 j,

-- I(t)cos(wt)-- I(t)sin(wt)

filtrado de las altas frecuencias (wt)

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

255

255

C0 j,

S0 j,

-- C(t)-- S(t)

Aplicacin de la ec. [37] para encontrar la fase

0 50 100 150 2000

100

200

------ (t)

------portadora

Figura 2.11

Mtodo de obtencin de la fase mediante el mtodo directo.

34


42/93


2.5 Conclusiones

Lo ms importante del fenmeno de speckle es que se puede registrar con cualquier

dispositivo de captura de imgenes y esa imagen capturada nos revela una firma

caracterstica de la superficie iluminada. Con solo observar los cambios en el patrn

de speckle y compararlos con las mismas imgenes capturadas de referencia,

podemos hacer mediciones de los desplazamientos y obtener topografas en

superficies iluminadas. La nica restriccin que ponen estos mtodos, es que tanto la

fuente de iluminacin y la de captura deben permanecer invariantes en posicin o con

movimientos controlados mientras se ilumina el objeto. Otra limitante es que los

desplazamientos no pueden ser excesivos porque entonces el periodo de las franjas

observables superara a la frecuencia mxima del speckle y se perdera la

informacin.

A la prdida de franjas por desplazamientos excesivos se le llama decorrelacin del

patrn de speckle, de ah la importancia de obtener un tamao de mota adecuado para

poder detectar desplazamientos en los rangos de medicin deseados sin que ocurra la

decorrelacin.

Entre los distintos mtodos para encontrar la fase de un patrn de speckle podemos

mencionar que el mtodo preferido ser el que mejor se adapte a las condiciones de

medicin; para objetos dinmicos o en movimiento constante, es preferible los

mtodos de Fourier o el mtodo directo, la nica limitante es la adecuada seleccin de

los filtros. Para objetos estticos o con muy poco movimiento, es preferible el mtodo

de phase stepping ya que ofrece una mejor precisin en las mediciones; adems, es

importante obtener los pasos en los intervalos correctos.

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43/93


2.6 Referencias

(1) Eugene HECHT, ptica, Addisson Wesley iberoamericana, Madrid, 2000.

pg. 609.

(2) Thomas Kreis, Holographic interferometry, principles and methods,Akademie Verlag, Berlin, 1996, pg. 31.

(3) Goodman J.W. Statical propieties of laser speckle patterns, in Dainty, J.C.(ed) Topics in applied physics 9: laser Speckle and Related Phenomena, Springer

Verlag, Berlin. Applied Optics, 9, 9-75, 1975.

(4) Kjell j. Gasvik, Optical Metrology third edition, WILEY, pg.193. N.Y.

(5) Kjell J. Gasvik, Optical Mtrology,ed. John Wiley & Sons, 1987, pg.149.

(6) C.R. Coggrave, Wholefield optical metrology: Surface Displacementmeasurement, a internal and institutional document from Phase Vision Ltd.Hhttp://www.phasevision.com/H

(7) Kjell J. Gasvik, Optical Mtrology,ed. John Wiley & Sons, 1987, pg.159.

(8) Thomas Kreis, Holographic interferometry, principles and methods,Akademie Verlag, Berlin, 1996, pg. 126.

(9) Thomas Kreis, Holographic interferometry, principles and methods,

Akademie Verlag, Berlin, 1996, pg. 128.

36


44/93

Centro de Investigaciones en ptica A.C. Captulo 3: Simulacin numrica

3. Simulacin numrica por tcnicas de elemento finito (FEA)

Una de las tareas fundamentales del ingeniero de diseo consiste en la prediccin

cuantitativa del comportamiento de un sistema o elemento mecnico para proceder a

su diseo eficiente.

Para ello debe hacer uso de conceptos de fsica y matemtica para formular un

modelo matemtico del sistema en consideracin. Dicho modelo no es ms que un

sistema de ecuaciones cuyas incgnitas representan magnitudes de inters como

podran ser las deformaciones o la distribucin de temperatura, lo cual describe el

comportamiento del objeto bajo anlisis. Consecuentemente, para llevar a cabo la

prediccin en s misma, el ingeniero debe resolver cuantitativamente un sistema de

ecuaciones para dedicarse, a continuacin, a la interpretacin tcnica y al anlisis de

los resultados.

En muchas situaciones, los modelos pertinentes involucran problemas de contorno

gobernados por ecuaciones diferenciales y derivadas parciales( )1

. Por mencionar

algunos de dichos casos pueden citarse el estudio estructural de automviles, aviones,

puentes, o el anlisis de campo de flujo de calor en componentes de mquinas, flujo

de fluidos, filtracin en presas de tierra, etc.

Debido a la gran dificultad para obtener soluciones analticas a las ecuaciones

diferenciales y derivadas parciales, la ingeniera ha recurrido, histricamente, al uso

de modelos simplificados basados en resultados experimentales, experiencia y en el

mejor de los casos en unas pocas soluciones matemticas particulares relativas a un

modelo ms preciso. Estos modelos simplificados constituyen la denominada

"ingeniera prctica" y se encuentran reunidos en manuales y cdigos de

recomendaciones prcticas o reglamentos.

37


45/93


Esta metodologa general de la ingeniera ha dado muy buenos resultados y an lo

sigue haciendo. No obstante, es importante notar que se trata de una metodologa que

presenta fuertes limitaciones en cuanto a las posibilidades de anlisis, hecho que se

hace ms grave si se consideran las crecientes necesidades de la tecnologa moderna.

La manera de trabajar del ingeniero de diseo ha ido cambiando con el advenimiento

de la computacin electrnica y con el desarrollo asociado de mtodos

computacionales. En este contexto han aparecido importantes tcnicas numricas

entre las cuales se destacan los mtodos de diferencias finitas, elementos de contorno

y elementos finitos.

En particular, el anlisis por elemento finito, FEA (Finite Element Anlisis, por sus

siglas en ingls) es el ms poderoso y, en consecuencia, el ms utilizado.

A continuacin se realiza una somera descripcin del mismo para luego comentar

algunas de sus muchsimas aplicaciones en la ingeniera prctica.

3.1. Introduccin bsica al anlisis por elemento finito

Se trata de un mtodo general para la solucin de problemas de contorno gobernados

por ecuaciones diferenciales ordinarias o parciales. En esencia se trata de una tcnica

que sustituye el problema diferencial por otro algebraico, aproximadamente

equivalente, para el cual se conocen tcnicas generales de resolucin. Para ello hace

uso de la "discretizacin" o subdivisin de una regin sobre la cual estn definidas las

ecuaciones en formas geomtricas simples denominadas elementos finitos2. Las

propiedades materiales y relaciones gobernantes en estos elementos se expresan en

funcin de los valores desconocidos en los nodos un sistema de figuras geomtricas

bsicas que lo componen, Figura 3.1.

38


46/93


Una de las ventajas de este mtodo es su facilidad de implementacin en un programa

computacional, que a su vez es una condicin bsica para su utilizacin ya que para el

tratamiento de un problema en particular debe efectuarse un nmero muy elevado de

operaciones para resolver sistemas algebraicos del orden de cientos o miles de

ecuaciones. No obstante, esta cantidad no es una limitacin con las computadoras

estndar de hoy.

a)

b)

c)

Figura 3.1

Aproximacin por anlisis de elemento finito de un sistema, a) contorno de una probeta mecnica, b)

enmallado para una probeta sin soldadura y c) para una probeta soldada.

Las ideas bsicas de este mtodo se originaron en avances en el anlisis estructural de

la industria aeronutica en la dcada del '50. En la dcada del '60 el mtodo fue

generalizado para la solucin aproximada de problemas de anlisis de tensin, flujo

de fluidos y transferencia de calor. El primer libro sobre elementos finitos fue

publicado en 1967 por Zienkiewicz y Cheung. En la dcada del '70 el mtodo fue

extendido al anlisis de problemas no lineales de la mecnica del continuo. Hoy el

mtodo permite resolver prcticamente cualquier situacin fsica que pueda

formularse mediante un sistema de ecuaciones diferenciales.

39


47/93


En sus principios el mtodo de los elementos finitos no lleg masivamente a la

prctica de la ingeniera debido a la falta de disponibilidad de computadoras en los

estudios de ingeniera y por el otro al requisito de conocimientos profundos no

solamente de la tcnica y de los modelos matemticos pertinentes sino tambin de

programacin computacional. Actualmente, la situacin es completamente diferente,

ya que las modernas computadoras personales soportan sin inconvenientes poderosos

programas de propsito general de fcil utilizacin.

Para tratar este tipo de problemas usamos las aproximaciones numricas. En contraste

a la solucin analtica, que muestra el comportamiento exacto de un sistema en

cualquier punto del mismo, las soluciones numricas aproximan la solucin exacta

solo en puntos discretos o nodos.

El primer paso en cualquier procedimiento numrico es la discretizacin, este proceso

divide el medio de inters en un numero de pequeas subregiones y nodos, figura 3.1

b) y c).

Hay dos clases de mtodos numricos: primero, el mtodo de las diferencias finitas y

segundo, el mtodo de los elementos finitos.

Con el mtodo de las diferencias finitas, la ecuacin diferencial es escrita para cada

nodo y las derivadas son reemplazadas por ecuaciones diferenciales, con ello se logra

un conjunto de ecuaciones lineales simultneas, aunque este mtodo es fcil de

entender y utilizar en problemas simples, se presentan dificultades al aplicarlo a

geometras complejas o condiciones de contorno complejas, esta situacin es real

para problemas con materiales con propiedades no isotpicos (que no tienen iguales

propiedades en todas las direcciones).

En contraste, el mtodo de los elementos finitos usa unas formulaciones integrales

ms que ecuaciones diferencias para crear un sistema de ecuaciones algebraicas, por

otra parte una funcin continua aproximada se asume para representar la solucin

40


48/93


para cada elemento, la solucin completa se genera conectando o armando las

soluciones individuales, permitiendo la continuidad de los limites nterelementales.

3.1.1 Pasos bsicos en el mtodo de los elementos finitos

Se presenta los pasos bsicos para el desarrollo del anlisis por elementos finitos.

3.1.1.1 Fase de preprocesado

Crear y discretizar la solucin dominio en elementos finitos, esto es,

subdividir el problema en nodos y elementos.

Asumir una funcin que va a representar el comportamiento fsico de un

elemento, que es, una funcin continua aproximada que se asume para la

solucin del elemento.

Desarrollar las ecuaciones para el elemento.

Armar los elementos a representar en el problema completo, construir la

matriz global de rigidez.

Aplicar condiciones de contorno, condiciones iniciales y cargas.

3.1.1.2 Fase de solucin

Resolver un conjunto de ecuaciones algebraicas lineales o no lineales

simultneas para obtener resultados nodales, tal como valores de

desplazamientos en diferentes nodos o valores de temperaturas en diferentes

nodos en un problema de transferencia de calor.

3.1.1.3 Fase de post-procesado

La obtencin de ms informacin en los puntos de inters se puede realizar

modificado las condiciones iniciales, por ejemplo, los valores de tensiones o flujos de

calor, mediante condiciones especiales y suposiciones.

41


49/93


En general hay diversos modos de enfocar el problema con los elementos finitos:

primero, formulacin directa; segundo, formulacin usando la mnima energa

potencial y por ltimo, ponderado de las formulaciones residuales. Es importante

notar que en los pasos bsicos que se usan en el anlisis por elementos finitos no se

considera de importancia cmo se genera el modelo de figuras geomtricas de los

elementos finitos aunque siempre se busca la figura ms simple.

3.2. La programacin por el Mechanical Desktop de una probeta para el

anlisis de deformacin

El Autodesk Mechanical Desktopes un software dedicado al diseo mecnico, es

un poderoso modelador paramtrico geomtrico de slidos, ensambles y superficies

para el diseo de partes complejas completamente integrado dentro de un procesador

de grficos del AutoCAD.

En el modelado de piezas slidas en 3D se pueden incluir propiedades fsicas

virtuales a los elementos diseados para que sean aplicados a un anlisis porelemento finito, puede realizar clculos de deformacin en 2D y 3D entre otras.

3.2.1. Modelacin de una probeta mecnica

La modelacin de la pieza mecnica para ensayarse empieza definiendo sus

dimensiones en 3D. La figura 3.2 muestra una probeta modelada y sus dimensiones.

Posteriormente, a la probeta slida se aplica una operacin de particin para formar

un enmallado para el anlisis por elemento finito.

La programacin de parmetros se hizo considerando carga esttica, los parmetros

introducidos se muestra en la tabla 3.1.

42


50/93


Parmetro Material Valor Unidades

Carga en el extremo 1 0 (fijo) [ kN ]

Carga en el extremo 2 3.35; 5.15 y 7.3 [ kN ]

Material base Acero A36 206.00 [ GPa ]

Material soldadura Acero E6010 215.00 [ GPa]

Temperatura de ensayo 20 [ C ]

Tratamiento Trmico ninguno

Tabla 3.1

Parmetros introducidos para la prueba por FEA

Figura 3.2

Modelacin de la probeta mecnica para el anlisis por FEA en 2D y 3D.

43


51/93


3.3. Resultados y predicciones de la simulacin numrica

La simulacin de la deformacin se obtuvieron para una carga de 6.5 kN para la

probeta soldada y la probeta no soldada. En las grficas que se mostrarn, se observan

el enmallado inicial, el enmallado deformado por la carga virtual y una escala en falso

color indicando las deformaciones, la figura 3.3 muestra la deformacin total de la

probeta y la figura 3.4, las deformaciones para el elemento que capturar la cmara

CCD.

Los resultados que se observan en la simulacin predicen que se observar

deformaciones de 0.16 mm a una carga de 7.3 kN y se producirn esfuerzos de 524

N/mm2 esto corresponde a una deformacin de entre 0.071 y 0.077 mm/mmen la parte

central de la probeta, las deformaciones mximas, a 672N

/mm2, se esperarn de

0.0035mm

/mm. Desde ahora podemos decir que se espera que, en la probeta soldada,

se observe una mayor deformacin en los extremos y en la parte central las

deformaciones sern muy parecidas.

Probeta Soldada

Figura 3.3 a

44


52/93


Probeta no soldada

Figura 3.3 b

Deformacin total de la probeta a una carga a la tensin de 7.3 kN

Probeta Soldada

figura 3.4 a

45


53/93


Probeta no soldada

Figura 3.4 b

Simulacin por FEA de las probetas sobre el rea observada a una carga de 7.3 kN

3.4. Referencias

(1) Eduardo Ghershman, Introduccin al anlisis de elementos finitos.http://www.geocities.com/lioraghershman/trapecio.htm, octubre 2005.

(2) Bertoline, Wieber, Miller y Moler, Dibujo en ingeniera y comunicacinGrfica,segunda edicin, ed. Mc Graw Hill. Pag. 346, 974.

46


54/93

Centro de Investigaciones en ptica A.C. Captulo 4: Experimentacin

4. Medicin de la deformacin uniaxial para uniones soldadas mediante la

tcnica ESPI en plano

Para enfatizar la importancia que tiene el estudio de la deformacin en las uniones

soldadas, recordemos que los cambios en la estructura molecular producida por la

adicin de material con propiedades mecnicas distintas al material base a

temperaturas de fusin modifican la resistencia de la unin. En este captulo se

describe la tcnica ptica utilizada para la medicin de estas deformaciones en la

unin soldada a travs de un intervalo de tiempo.

4.1. Medicin del desplazamiento en plano

En la seccin 2.4 se muestro la tcnica para la interferometra del moteado. Se

utilizar esta tcnica para determinar los desplazamientos en plano que sufre una

unin soldada de una probeta mecnica.

La ec. [26] del captulo 2 describe un interferograma que tiene el registro del

desplazamiento en el argumento (x,y). La probeta es sometida a una fuerza la cual es

aplicada de manera continua mediante una mquina universal. Se toma una serie deinterferogramas, cada uno asociado a una deformacin observada en funcin del

tiempo. Estos interferogramas son capturados por una cmara CCD instalada en el

eje ptico del sistema.

Utilizando la ec. [30] de la seccin 2.5.1, se obtiene la fase asociada a los

desplazamientos en direccin de vmediante la tcnica de desplazamiento de fase, de

tal manera que al utilizar la ec. [32] de la seccin 1.4.2 en su forma aproximada( )1

,

esto es considerando que ex y ez son igual a cero y considerando que ahora los

desplazamientos esta asociado con podemos determinar el desplazamiento como:

( )yxeyx

yxvy ,

),(),(

r

= [1]

47


55/93


Donde ey(x,y)es la componente del vector de sensibilidad ( )yxe ,r

en la direccin del

ejey dada por la ec. [30] de la seccin 1.4.2.

De acuerdo a la ec. [3] parayde la seccin 1.2,

y

yxvy

=

),( [2]

se calcula numricamente la derivada parcial del campo de desplazamiento v(x,y)el

cual fue obtenido por ESPI; posteriormente, utilizando La ley de Hook que relaciona

los esfuerzos y las deformaciones en cierta direccin mediante la ec. [5] de la seccin

1.2:

E

y

y

= [3]

donde E es el modulo de Young que para los aceros tiene el valor de 207 GPa, es

posible obtener los esfuerzos.

La medicin de la deformacin se obtuvo a intervalos de tiempo relativamente cortos

en un ensayo continuo a la tensin en una mquina universal para las probetas

soldadas y no soldadas, estas ltimas utilizadas como de referencia y control. A

continuacin se describe el sistema ptico utilizado durante las mediciones.

4.1.1. Sistema ptico propuesto

El sistema ptico propuesto consta de una fuente de iluminacin correspondiente a un

lser de 100 mW de He-Cd con una longitud de onda de 442 nm. El haz es dividido

en dos haces mediante un divisor (BS) con pelcula reflectora al 50%. Estos rayos son

redirigidos mediante espejos (M3 y M4) hacia la probeta. Ambos haces son

expandidos por objetivos de microscopios de 10X. El espejo M4 esta montado sobre

48


56/93


un piezoelctrico el cual es utilizado para realizar el phase stepping. La figura 4.1

muestra un esquema del sistema ptico utilizado y sus dimensiones, no muestra el

piezoelctrico. Una cmara CCD de 8 bits captura las imgenes a una razn de 30

cuadros por segundo a escala de 255 niveles de gris. La mquina universal y el

sistema ptico estn montados en una mesa neumtica para evitar vibraciones. La

figura 4.1 muestra el arreglo ptico utilizado.

v

u

Figura 4.1

Arreglo ptico utilizado en la medicin de la deformacin para una unin metlica soldada.

4.1.1.1. Sensibilidad del sistema

La configuracin del sistema adquiere parmetros propios que se deben calcular para

determinar las correcciones o simplemente para obtener la resolucin mxima que se

puede esperar. De acuerdo a las dimensiones y equipo utilizado en el arreglo ptico

utilizado se calcula los siguientes parmetros.

El vector de sensibilidad. Sus componentes fueron calculados utilizando la

ecuacin [30] de la seccin 1.4.2. En la figura 4.1 se tiene que las coordenadas

49


57/93


de las fuentes de iluminacin con el sistema de referencia ubicada al centro de

la probeta mecnica: Xs1= 0 mm, Ys1= -365 mm, Zs1= -950 mm, Xs2= 0

mm, Ys2 = 365 mm, Zs2 = -950 mm; el rea de la superficie de la probeta

iluminada es de 55x13 mm2. Los resultados se observan en las siguientes

grficas, Figura 4.2.

Sensibilidad en el eje x

exxy ex

mm/rad

Sensibilidad en el eje y

eyxy

eymm

/rad

Sensibilidad en el eje z

ezxy

ezmm

/rad

Figura 4.2

Componentes del vector de sensibilidad del sistema ptico mostrado en la figura 4.1. Puesto que solo

la componente enyes mucho mayor, las componentes en el ejexyzse igualan a cero.

50


58/93


El tamao de la mota en las imgenes. Segn la ec. [19] de la seccin 2.2, el

tamao de la mota esperado ser de 0.215 m tomando en cuenta que es de

442 nm, b = 0.022m yD = 0.055m.

4.1.2. Control de parmetros

El sistema ESPI es controlado por dos computadoras, una dedicada al sistema ptico,

captura y procesamiento de imgenes y otra para el control mecnico de la mquina

universal. Los ajustes de los parmetros de control se realizaron tomando en cuenta

los valores lmites de trabajo normal de los equipos para evitar daarlos y obtener un

intervalo de trabajo lo ms amplio posible. Suponemos que los equipos utilizados

estn calibrados y que las mediciones obtenidas tambin estn dentro de los lmites

de precisin que segn los certificados de los fabricantes estiman. Los parmetros

que se controlaron fueron: la velocidad de la cruceta de desplazamiento para la

deformacin de muestras mecnicas y las cargas aplicadas, la taza de captura de

imgenes por la cmara CCD y por ltimo, el desplazamiento y posicionamiento del

piezoelctrico montado en M4.

Puesto que el ensayo es dinmico, y la tcnica de desplazamiento de fase supone que

la muestra ensayada esta en condiciones estticas, la velocidad de deformacin de la

probeta versus la taza de captura de imgenes para el desplazamiento de fase debe ser

mucho menor de tal manera que la velocidad de deformacin se pueda considerar casi

cero con respecto a la taza de captura de imgenes; por lo tanto, se debe de estimar el

error producido por esta condicin.

51


59/93


4.1.2.1. Velocidad de desplazamiento para la deformacin.

La velocidad de la deformacin de la probeta es seleccionada a 0.125mm

/min, es decir

2.083x10-6 m

/s este parmetro se registra en el programa de control Instrom que

acompaa a la mquina universal. La muestra se fija firmemente por la parte inferior

mientras que por la parte superior se sujeta por unas mordazas que la sometern a la

tensin.

4.1.2.2. Ajuste de extensmetro.

El extensmetro registra la deformacin entre dos marcas hechas sobre las probetas,

cuya separacin es de 2 pulgadas es decir, 50.8 mm. Estas marcas sealan el rea bajo

estudio la cual es registrada por la cmara CCD. El extensmetro tiene una resolucin

mnima de 0.0005 mm de acuerdo a las especificaciones del fabricante y es montado

por la parte posterior de la probeta mediante dos navajas fijadoras firmemente

presionadas sobre la muestra.

4.1.2.3. Control y optimizacin de desplazamiento de piezoelctrico.

Para llevar a cabo la obtencin de la fase, se utiliza un piezoelctrico ubicado en M4

(figura 4.3), el cual es controlado por un generador de voltaje que a su vez es

controlado por un programa creado en LabVIEW (ver el apndice B). El

piezoelctrico nos permite ajustar el corrimiento de la fase para que sea de2

/3entre

imagen e imagen. En la calibracin del piezoelctrico, los desplazamientos se

ajustaron de 0 a 4.8V, es decir de 0 a 4.8 m, para la cual se observa un cambio de

fase completo sobre la muestra con pasos de 1.6 m correspondientes a los 2/3entre

imgenes. Los valores de los desplazamientos del piezoelctrico se obtuvieron en un

principio al graficar, mediante un programa creado en LabVIEW, el nivel de

iluminacin de un grupo de pxeles centrales de la imagen del interferograma

correspondiente a la muestra cargada estticamente cuando el piezoelctrico realiza el

corrimiento de fase; para este caso, no existe aumento en la frecuencia espacial de la

52


60/93


fase. Posteriormente se hizo un ajuste considerando que la prueba est en condiciones

dinmicas, este ajuste se menciona con ms detalle en la seccin 4.1.2.5.

M4

Piezoelctrico

Montura

Base

4.8 m

Figura 4.3

Montura del piezoelctrico en el espejo M4

4.1.2.4. Razn de captura de imgenes y ajustes de la cmara CCD

La velocidad de captura de las imgenes corresponde a 30 imgenes por segundo, lo

que corresponde a una imagen a cada 138.9 nm de deformacin aproximadamente en

la parte central de la muestra. La figura 4.4 muestra la grfica de velocidades de

deformacin locales sobre la probeta.

Puesto que una imagen en video en el sistema NTSC (National Television Standards

Committee)la captura se hace por renglones pares e impares, existe una diferencia de

tiempo entre la captura de imgenes pares e impares; por lo tanto, para disminuir

errores que ocasiona esta diferencia solo se trabaj con las lneas pares de la cmara

CCD, por lo tanto los nmeros de pxeles registrados en las imgenes se ven

reducidos a la mitad a lo largo del ejex. Un programa elaborado en LabVIEW (ver

apndice B) controla la adquisicin de imgenes para su procesamiento digital

posterior. La imagen capturada de la escala de un vernier nos sirve para establecer la

relacin pxel por milmetros. La figura 4.5a muestra la imagen obtenida para

establecer esta relacin y la figura 4.5b muestra los resultados de la corrida de un

programa elaborado en MathCAD para este fin. Este programa evala la intensidad

53


61/93


de la imagen en una sola lnea. Posteriormente cuenta el total el total de pxeles y los

mnimos (las lneas de la escala) de la imagen, as establece la relacin entre las

lneas de la escala (esto es cada 0.5 mm) y el total de pxeles de la imgen.

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5

0

50

100

150

200

250

YLongituddelaprobeta[mm]

X velocidad de la cruceta [m/s]

velocidad de deformacin Vs. la dimencion

de la probeta

Velocidad de deformacin vs. La dimensinde la probeta

parte central de la probeta

ve

locidad

esperada

Figura 4.4

Grfica de la velocidad de deformacin local, la probeta est firmemente sujeta por la parte inferior

(velocidad nula) y solo la parte superior es la que se desplaza a una velocidad constate (2.083 m/s)

a)

PATRON

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600

b)Total pxeles:636, Total de franjas = 112.83 Relacin [mm] por [pxel] = 0.089 [ mm/Px]

Figura 4.5

Clculos para estimar la relacin pxel por milmetro, a) imagen para calibracin y b)

resultados de un programa que cuenta franjas y da como resultado la cantidad de pxeles

por milmetro y viceversa.

54


62/93


4.1.2.5. Estimacin del error causados por la dinmica de la

deformacin durante el proceso del phase stepping y el

posicionamiento del piezoelctrico

Como se mencion en la seccin 4.1.2, que la tcnica de phase stepping supone

condiciones estticas. La deformacin continua conlleva a un incremento en la

frecuencia espacial del interferograma, empieza con la formacin de una franja y

conforme se deforma la probeta, la aparicin de franjas continua hasta que ocurre la

decorrelacin. La figura 4.6 muestra un ejemplo del desarrollo temporal de la

frecuencia asociada a la deformacin en los interferogramas.

PATRON

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 6005

10

15

20

25

307

5

)

6400 i

PATRON

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600

20

40

60

805

5

)

i

PATRON

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600

20

40

60

805

5

i)

ai

i

6400 i

PATRON

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600

20

40

60

80

00

6400 i

PATRON

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600

20

40

60

80

00

6400 i

Figura 4.6

Evolucin temporal de la interferencia para cada 12 cuadros a una velocidad de deformacin de

0.125mm/s y conteo de franjas.

55


63/93


El tiempo transcurrido en la realizacin del phase stepping de tres pasos fue de 100

ms. En ese tiempo la fase temporal va de 0.150 hasta 0.652 rad. Considerando lo

anterior, se ajust lo mejor posible el piezoelctrico como se menciona en la seccin

4.1.2.3 para establecer el paso correcto para la tcnica de phase stepping. En la figura

4.7 se muestra la grfica que representa la fase para cada imagen obtenida de los tres

pasos del phase stepping para una muestra de 84 series.

En las 84 series de imgenes capturadas de tres pasos se ha repetido este proceso, la

figura 4.8 muestra el aumento de la frecuencia espacial en la fase para cada imagen

durante la evolucin temporal de la medicin de la deformacin de la probeta, el error

que se presenta considera el error de posicionamiento del piezoelctrico durante el

phase stepping y el aumento de la fase, esto es tomando en cuenta la separacin en

pxeles de la fase de la primera imagen del phase stepping (igual a 2) y

comparndola con las otras dos, el error corresponde a la diferencia en pxeles

expresadas en radianes entre el periodo de la fase de la primera imagen y la segunda,

y posteriormente con la tercera.

PATRON

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 6005

10

15

20

25

3025.601

5

p i( )

mai

mii

6400 i118 249

Phase stepping paso No. 1

PATRON

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 6005

10

15

20

25

23.539

5

p i( )

mai

mii

6400 i118 249

Primera cresta: pxel No. 2

Segunda cresta: pxel No. 337

Diferencia en pxeles a 2= 335

Phase stepping paso No. 2 Primera cresta: pxel No. 133


Diferencia en pxeles equivalente a 2=279

PATRON

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 6005

10

15

20

25

3025.203

5

p i( )

mai

mii

6400 i118 249

Phase stepping paso No. 3

Figura 4.7 (continua)

Primera cresta: pxel No. 237


Diferencia en pxeles equivalente a 2=253

56


64/93


Paso No. 3

Paso No. 1

Paso No. 2

0

p

p

2

3p

2

115

125

120

Imagen 1

Imagen 2

Imagen 3

Figura 4.7 (continuacin)

Muestra imgenes obtenidas del mtodo phase stepping durante la medicin para evaluar el aumento

de la fase y encontrar el error para el ajuste del piezoelctrico.

0 20 40 60 80 100 120 140

-0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

Error[rad]

Error de cada imagen en

radianes en la posicion

de la fase ( series pares )

Aproximacin polinomial

Lmite superior

Lmite inferior

Imgenes obtenidas

Figura 4.8

Aumento de la frecuencia espacial en la fase para las imgenes de las series pares, el error que se

presenta considera el aumento de la fase y el error de posicionamiento del piezoelctrico durante el

phase stepping.

57


65/93


4.1.3. Puesta en marcha de la medicin

Una vez corregido y ajustado lo mejor posible los instrumentos y de realizar

mediciones previas para el ajuste del phase stepping, se monta la probeta que va a ser

analizada en la mquina universal, se introduce una precarga para estabilizar el

mdulo de Young en una zona donde la pendiente en el diagrama carga-deformacin

permanezca constante. Encontramos que es suficiente una precarga a partir de 1.5 kN.

(figura 4.9)

Una de las ventajas de la precarga es el ajuste de las mordazas sobre la probeta y la

correccin de la inclinacin que pudiera tener ocasionado por el montaje, tambin seasegura que las lneas de esfuerzo corran paralelamente con respecto a la sensibilidad

del sistema ptico. La figura 4.9 muestra los diagramas de carga deformacin para

ambos tipos de probetas obtenidos en pruebas previas a la medicin mediante la

instrumentacin y software que acompaa la mquina universal.

Figura 4.9

Diagrama Carga Deformacin para las probetas utilizadas.

58


66/93


4.1.4. Obtencin de imgenes.

La obtencin de las imgenes y el phase stepping, se realiza a intervalos de tiempo

constantes, a cada 4 segundos; Durante ese tiempo, la formacin de franjas tiene un

aumento en la frecuencia espacial constante mientras permanezcamos dentro de la

zona elstica del material sin llegar a la zona de fluencia. La figura 4.10 muestra un

esquema sobre la obtencin de las imgenes durante la prueba. Las imgenes se

fueron almacenando en la memoria de la computadora, ah, simultneamente un

programa en LabVIEW realiza los clculos para la obtencin de la fase envuelta. En

la seccin 4.2. se analizan estos resultados

t1 t

y

t2

t3

t4

t5

tn

...

tn

tn+Dt

tn+2Dt

tn >>Dt

a)

Figura 4.10 (continua)

59


67/93


t1 t

y

t2

t3

t4

t5

tn

...

tn

tn+Dt

tn+2Dt

tn >>Dt

b)

Figura 4.10 (continuacin)

Obtencin de las imgenes para la medicin de la deformacin para a) una probeta no soldada y para

b) una probeta soldada; t=4,8,12,16,...336 [s], t=50 [ms], n= 1,2,...84 imgenes.

4.1.5. Discusin acerca de la tcnica utilizada

Hasta este momento se ha podido comprobar que la tcnica de la medicin de la

deformacin en las condiciones descritas anteriormente se puede hacer en tiempo real

o almacenar la informacin para un post-proceso, como en este caso. Esta tcnica no

pretende compararse con la tcnica de TSPI (temporal electronic speckel pattern

interferometry) puesto que utiliza un algoritmo distinto para evaluar la fase en un

intervalo de tiempo continuo( ),( )2 3

. La desventaja de la tcnica TSPI en comparacin

a la tcnica presentada es que existe una rpida decorrelacin que limita el rango de

medicin de la deformacin del ele

speckle p-emf

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