CAPITULO 1: FILTROS PASIVOS.

1.1.- Concepto de Filtros.

Un filtro es un circuito electrnico que posee una entrada y una salida. En la entrada se introducen seales alternas de diferentes frecuencias y en la salida se extraen esas seales atenuadas en mayor o menor medida segn la frecuencia de la seal. Si el circuito del filtro est formado por resistencias, condensadores y/o bobinas (componentes pasivos) el filtro se dir que es un filtro pasivo. Por otro lado, como de cada tipo de filtro existe un esquema bsico que lo implementa y adems es posible conectarlos en cascada (uno a continuacin del otro), si el circuito del filtro est formado por el esquema o clula bsica se dir que es de primer orden. Ser de segundo orden si est formado por dos clulas bsicas, de tercer orden si lo est por tres, etc.

1.2.- Tipos de Filtros.

Segn su respuesta en frecuencia, los filtros se pueden clasificar bsicamente en cuatro categoras diferentes:

Filtro pasa bajos: Son aquellos que introducen muy poca atenuacin a las frecuencias que son menores que una determinada, llamada frecuencia de corte. Las frecuencias que son mayores que la de corte son atenuadas fuertemente.

Filtro pasa altos: Este tipo de filtro atena levemente las frecuencias que son mayores que la frecuencia de corte e introducen mucha atenuacin a las que son menores que dicha frecuencia.

Filtro pasa banda: En este filtro existen dos frecuencias de corte, una inferior y otra superior. Este filtro slo atena grandemente las seales cuya frecuencia sea menor que la frecuencia de corte inferior o aquellas de frecuencia superior a la frecuencia de corte superior. por tanto, slo permiten el paso de un rango o banda de frecuencias sin atenuar.

Filtro elimina banda: Este filtro elimina en su salida todas las seales que tengan una frecuencia comprendida entre una frecuencia de corte inferior y otra de corte superior. Por tanto, estos filtros eliminan una banda completa de frecuencias de las introducidas en su entrada.

Existe un smbolo para cada uno de estos filtros, smbolo que se usa en los diagramas de bloques de los aparatos electrnicos adems una grafica que sintetiza el tipo en funcin de la frecuencia. Estos smbolos son los siguientes:

Algunas definiciones ms:

Son definiciones muy sencillas pero necesarias:

Frecuencia de corte: Es la frecuencia para la que la ganancia en tensin del filtro cae de 1 a 0.707 (esto expresado en decibelios dB, se dira como que la ganancia del filtro se reduce en - 3dB de la mxima, que se considera como nivel de 0dB). En los filtros pasa banda y elimina banda existirn dos frecuencias de corte diferentes, la inferior y la superior.

Banda pasante de paso: Es el rango de frecuencias que el filtro deja pasar desde la entrada hasta su salida con una atenuacin mxima de -3dB. Toda frecuencia que sufra una atenuacin mayor quedara fuera de la banda pasante.

Banda atenuada: Es el rango de frecuencias que el filtro atena ms de -3dB.

Orden del filtro: De forma sencilla se podra definir as.

Filtro de primer orden: atena -6dB/octava fuera de la banda de paso.

Filtro de segundo orden: atena -12dB/octava fuera de la banda de paso.

Filtro de tercer orden: atena -18dB/octava fuera de la banda de paso.

Filtro de orden N: atena -(6N)dB/octava fuera de la banda de paso.

1.3.- Filtro Pasa-Bajos RC, LR.

Los circuitos usados como filtros pasa bajo de primer orden de tipo pasivo son los siguientes:

Quizs el ms usado es el primero de ellos, ya que no suele ser fcil conseguir bobinas con las caractersticas deseadas.

El funcionamiento de estos circuitos como filtro pasa bajos es fcil de entender. En el caso del primero, el condensador presentar una gran oposicin al paso de corrientes debidas a frecuencias bajas y como forma un divisor de tensin con la resistencia, aparecer sobre l casi toda la tensin de entrada. Para frecuencias altas el condensador presentar poca oposicin al paso de la corriente y la resistencia se quedar con el total de la tensin de entrada, apareciendo muy poca tensin en extremos del condensador. El segundo circuito funcionar de forma muy parecida al primero. Aqu tambin tenemos un divisor de tensin formado por al bobina y la resistencia. Si la frecuencia de la tensin de entrada es baja la bobina ofrecer poca oposicin y la tensin de salida ser casi toda ella para la resistencia. Si la frecuencia de la seal de entrada es alta la bobina se quedar en sus extremos con casi toda la tensin y no aparecer casi ninguna en la salida.

Efectuemos un anlisis en el dominio de la frecuencia de este tipo de filtro, el primero de ellos, el que tiene una resistencia y un condensador.

La frecuencia de corte se define como aquella para la que el valor hmico de la resistencia iguala con el valor hmico de la reactancia.

Para cualquier frecuencia y sustituyendo

Finalmente la ganancia de tensin .

La ganancia en dB

Angulo de fase : Predominando la capacidad, la corriente i esta adelantada con respecto a V.

Vo atrasado con respecto a Vi Red retardadora o integrativa.

Donde es el modulo y es el ngulo

Tabla de valores para frecuencias tpicas.

Frecuencia.

Diagramas de Bode

Un Diagrama de Bode es una representacin grfica que sirve para caracterizar la respuesta del sistema a entradas sinusoidales a frecuencia variable de un sistema. La salida de un sistema lineal a una entrada sinusoidal es una sinusoide de la misma frecuencia pero con distinta magnitud y fase. Normalmente consta de dos grficas separadas, una que corresponde con la magnitud de dicha funcin y otra que corresponde con la fase. La grfica recibe su nombre del cientfico que lo desarroll, Hendrik Wade Bode.

La respuesta en frecuencia de un sistema puede verse de dos maneras distintas: va el diagrama de Bode o va el Diagrama de Nyquist. Ambos mtodos presentan la misma informacin, la diferencia radica en la manera en que se presenta la informacin.

Graficas de Bode para la tabla de frecuencias tpicas.

Octava: Dos frecuencias estn separadas una octava si una de ellas es de valor doble que la otra.

Dcada: Dos frecuencias estn separadas una dcada si una de ellas es de valor diez veces mayor que la otra.

Como puede apreciarse en la grfica, cada vez que la frecuencia se dobla la ganancia cae -6db (aproximadamente). Es esta una caracterstica de los filtros de primer orden la ganancia cae -6db/octava -20db/dcada fuera de la banda de paso.

Los filtros, adems de afectar a la amplitud de la seal que se les introduce en funcin de su frecuencia, tambin afectan o modifican la fase de las seales, y dicha modificacin ser en funcin de la frecuencia de la seal de entrada. Veamos cmo se produce este efecto. El desfase entre la tensin en extremos del condensador (tensin de salida) y la tensin aplicada en la entrada ser un ngulo negativo indicando que la tensin de salida est atrasada respecto a la de entrada. Si el eje de frecuencias lo representamos logartmicamente las grficas tendrn el siguiente aspecto:

Hasta aqu todo muy bien, todo muy bonito. Pero, el filtro deber conectar su entrada y su salida a "algo". El funcionamiento descrito ms arriba sera el de un filtro conectado a un generador de seal con impedancia interna nula (algo que en la prctica no pasa) y con la salida abierta (y entonces para qu quiero un filtro?). Lo que tendremos en la realidad ser algo como lo siguiente:

Cmo afectan Zg y Zc al funcionamiento del filtro? Restrinjamos el estudio a los casos en que tanto Zg como Zc slo tengan componente real, o sea, sean de tipo exclusivamente resistivo. Lo normal es que Zg sea pequea o muy pequea, con lo que no tendra apenas influencia sobre el funcionamiento del filtro. De todas formas, si se desea considerar su efecto, slo hay que ver que queda en serie con la resistencia del filtro, con lo que el filtro que se obtendra sera el siguiente:

Por tanto, para el clculo de un filtro teniendo en cuenta el efecto de Zg, de carcter puramente resistivo, solo hay que considerar que debe tener un valor hmico interno lo ms pequeo posible comparado con la Z total externa para que no tenga mayor efecto, (los generadores de funciones tienen una Zg muy pequea del orden 100 ), esto es R debe ser lo ms grande posible comparado con Zg.

En cuanto al efecto introducido por Zc, es mejor que sta sea grande o muy grande comparada con el valor de Xc a la frecuencia ,as se podr despreciar su efecto y nos estaramos acercando al caso de salida abierta, equivalente a una resistencia infinita. Y es a partir de esto ltimo como se puede calcular un filtro prctico de este tipo:

Ejercicio de aplicacin del Filtro pasa bajo R-C

Disear un filtro pasa bajo RC de primer orden, =2KHz, sabiendo que a su salida se conectar una carga resistiva Zc = 100k y que se conectar a su entrada una fuente de seal con una resistencia interna de 60.

Empezaremos por hacer Xc en el peor de los casos al menos diez veces ms pequea que la resistencia de carga a la frecuencia de corte. Con estas condiciones se asume que la Zc no interfiere mucho en la respuesta del filtro y su funcionamiento sera casi igual con una resistencia Zc muy grande como la punta de prueba de un osciloscopio, hasta una Zc =100k.

Pero si Xc a = 2KHz fuese an ms pequea que lo dicho anteriormente mejorara notablemente la respuesta y se aproximara ms a lo ideal, tendramos muchas combinaciones R-C que daran el mismo resultado, adems considerando que el valor de R debe ser lo ms grande posible con respecto a Zg, es posible tener una gran cantidad de valores y entre ellos tenemos:

C10nF22nF47nF100nF

Xc8 k3.6 k1.7 k0.8 k

R8.2 k3.6 k1.8 k820

A continuacin vemos la representacin segn Bode de ,Gv(db) y fase de un par R-C para el ejemplo propuesto.

Como puede apreciarse y tomando las consideraciones del caso, la desviacin de la respuesta del filtro con carga respecto a la respuesta sin carga es muy pequea, entonces debemos saber dimensionar par que funcione bien.

Tareas:

1.- Analizar y determinar que un filtro pasa bajo tipo L-R, d como resultado las mismas frmulas y representaciones analizadas para el filtro R-C.

1.4.- Filtro Pasa-Altos C-R, R-L.

La frecuencia de corte se define como aquella para la que el valor hmico de la resistencia iguala con el valor hmico de la reactancia.

Para cualquier frecuencia y sustituyendo

La ganancia en dB

Angulo de fase : Predominando la capacidad, la corriente i esta adelantada con respecto a V.

Vo adelantado con respecto a Vi Red adelantadora o derivativa.

Donde es el modulo y es el ngulo

Tabla de valores para frecuencias tpicas.

Frecuencia.

El desfase entre la tensin en extremos de la resistencia (tensin de salida) y la tensin aplicada en la entrada es un ngulo positivo, indicando que la tensin de salida est adelantada respecto a la de entrada. Si el eje de frecuencias lo representamos logartmicamente las grficas tendrn el siguiente aspecto para carga Zc abierta o muy alta.

Ejercicio de aplicacin de Filtro pasa alto C-R

Disear un filtro pasa alto CR de primer orden, =1KHz, sabiendo que a su salida no va a estar conectada ninguna carga.

Se toma R=1K

Tabla de valores para frecuencias tpicas.

Frecuencia.

Las grficas de Bode para este circuito son las mismas presentadas anteriormente, faltando colocar los correspondientes valores numricos en el eje de las frecuencias.

Tareas:

1.- Analizar y determinar que un filtro pasa alto tipo R-L, d como resultado las mismas frmulas y representaciones analizadas para el filtro C-R.

1.5.- Filtro Pasa Banda y Elimina Banda.

Filtro Pasa Banda:

Se puede conseguir un filtro pasa banda conectando en cascada (uno tras otro) un filtro pasa altos y un filtro pasa bajos:

La respuesta en frecuencia aproximada que cabe esperar de un filtro de este tipo ser algo similar a esto:

Pues bien, la frecuencia de corte inferior vendr determinada por el filtro pasa altos y la frecuencia de corte superior por el pasa bajos. Adems se debe tener en cuenta las siguientes consideraciones para que este filtro funcione.

a) R1 debe ser bastante grande con respecto a Rg (Resistencia interna del generador).

b) R2 debe ser tan grande con respecto a R1 para la , (mayor a 10 veces) el circuito pasa bajo R2-C2 no debe represente carga al circuito pasa alto C1-R1.

c) La resistencia de carga para el circuito de salida Vo debe ser al menos 10 veces mayor que Xc2, o bien se asume un circuito abierto.

d) Es importante la distancia entre la y la llamada para establecer un buen funcionamiento.

Si revisamos la grfica anterior y movemos cada una de las curvas independientemente hacia el centro notamos que el voltaje resultante de salida Vo (punto de cruce entre las dos curvas) va disminuyendo notablemente, por lo tanto ser necesario mantener una distancia de al menos una dcada entre ellos.

En el punto ms alto de la regin media de la Banda de Paso aproximadamente a la mitad de la frecuencia| de dicha banda, se determina que , entonces podemos aproximar que para la frecuencia de corte el valor de

Teniendo en cuentas estas consideraciones y las frmulas ya desarrolladas para ambos tipos de filtros, no es difcil su clculo (aproximado) para una determinada banda de paso.

Ejercicio del Filtro Pasa-Banda.

Calcular el filtro pasa banda de ms arriba para que presente una de 1KHz y una de 10kHz. Hay que tener en cuenta que la fuente de seal a la que se conectar el filtro tiene una resistencia interna de 50 y que se le conectar al filtro una resistencia de carga de 1M

Procedamos como en el primer ejemplo, es decir, desde la salida hacia la entrada del filtro. Entonces, la reactancia del condensador C2 debe de ser unas diez veces menor que la resistencia de carga del filtro, con este dato y con la se puede calcular el valor de este condensador para el filtro pasa bajos.

Adems, el valor de R2 ser el mismo de la reactancia de C2 a la . Entonces,

Calculemos ahora el pasa altos: El valor de R1 debe ser diez veces menor que el de la resistencia R2, .

Este valor de R1 debe ser el mismo que el de la reactancia de C1 a la, podemos calcular ya C1:

El circuito ser el siguiente, para una resistencia de carga de 1M

Simulando y visualizando Vo para con y sin carga, vemos que la salida y los puntos para las frecuencias de corte tanto inferior como superior varan muy poco, entonces se puede calcular de manera rpida si se toman las consideraciones anteriores.

Cmo afecta este tipo de filtros a la fase de la seal de salida respecto a la de entrada? Tomando como base el ejemplo resuelto, he aqu la respuesta:

El filtro introduce un desfase de 45 a la y uno de - 45 a la . Dentro de la banda de paso el desfase cambia gradualmente entre esos valores extremos. Fuera de la banda de paso el desfase tiende a 90 por la parte de las frecuencias bajas y a -90 por la parte de las altas.

Para obtener una respuesta exacta de todos los valores en este circuito a vacio, debemos realizar un clculo a nivel de impedancias.

Si queremos obtener para f=1KHz, entonces:

Sustituyendo VR1, tenemos:

De igual manera que la expuesta, se puede calcular Vo/Vi para una gama de frecuencias importantes y obtener una grfica rpida y exacta.

Filtro Elimina Banda.

Se puede conseguir un filtro elimina banda conectando en paralelo un filtro pasa altos y un filtro pasa bajos como muestra la figura:

Vo

C2

-j 10.6K

0

R1

10k

C1

-j 942K

V i

1Vac

0Vdc

R2

100k

Vo

C2

-j 10.6K

0

R1

10k

C1

=

Vi

Vo

G

dB

log

20

RCf

WRC

WC

R

p

q

2

1

tan

=

=

=

RC

fc

p

2

1

=

fc

f

=

q

tan

=

-

fc

f

1

tan

q

+

=

=

-

fc

f

fc

f

Vi

Vo

Av

1

2

tan

1

1

2

1

1

+

fc

f

-

fc

f

1

tan

2

1

1

+

=

fc

f

Vi

Vo

=

Vi

Vo

G

dB

log

20

RC

j

C

j

R

R

Vi

Vo

w

w

1

1

1

1

-

=

-

=

Av

CR

Vi

Vo

=

+

=

2

1

1

1

w

2

2

1

1

1

1

1

+

=

+

=

f

f

CR

Vi

Vo

c

w

2

1

1

log

20

log

20

+

=

=

f

f

Vi

Vo

GdB

c

RCf

R

C

p

w

q

2

1

1

tan

=

=

RC

fc

Siendo

p

2

1

....

=

f

fc

=

q

tan

=

-

f

fc

1

tan

q

2

1

1

+

f

fc

-

f

fc

1

tan

2

1

1

+

=

f

fc

Vi

Vo

-

f

fc

1

tan

C2

0.0015m

0

V1

1Vac

0Vdc

R

1K

2

1

C2

0.0015m

0

V1

1Vac

0Vdc

R

1K

2

1

RC

f

c

p

2

1

=

F

Khz

K

C

m

p

15

.

0

1

*

1

*

2

1

=

W

=

Vi

Vo