���� GAUSS Karl Friedrich (allemand) 1777-1855 :

On raconte qu’en Allemagne , à la fin du 18ème siècle, un instituteur, pour punir ses élèves, leur avait demandé de calculer la somme de tous les nombres entiers de 1 à 1OO. Espérant ainsi avoir pendant un certain temps un peu de calme, il fut surpris lorsqu’un enfant du nom de Karl Friedrich GAUSS leva rapidement la main et lui proposa la bonne solution. Ce jeune enfant prodige devint, par la suite, un très grand mathématicien et physicien. Il sera surnommé

par ses pairs Prince des mathématiciens.

Question 1 : Soit S = 1 + 2 + 3 + …… + ( n – 1 ) + n En procédant comme Gauss , montrer que : 2S = n( n + 1).

En déduire la formule donnant la somme des n premiers entiers naturels : 2

) 1 n n( S

+=

Application numérique : Calculer la somme des 10 premiers entiers naturels , puis la somme des 100 premiers entiers naturels.

THEME :

SOMME DES N PREMIERS nombres entiers

Un autre procédé : ( Méthode de l’escalier )

Les chinois utilisaient beaucoup les puzzles , c’est à dire un emboîtement de pièces, pour démontrer certaines propriétés géométriques. Calculons par exemple la somme des 5 premiers entiers naturels. 1 + 2 + 3 + 4 + 5 Disposons des carrés de la façon suivante : 5 carrés tout d’abord surmontés de 4 carrés , puis de 3 carrés, puis de 2 carrés et enfin d’un seul carré. Nous désirons connaître le nombre total de carrés ( dans cet exemple, il est facile de les compter , mais cette méthode peut s’appliquer pour un nombre quelconque )

Reprenons le même type d’escalier ( donc le même nombre de carrés ) et procédons comme suit :

Nous obtenons un rectangle formé de ( 5 + 1 ) carrés sur 5 carrés , soit 6 x 5 carrés, c’est à dire 30 carrés.

Pour connaître la somme 1 + 2 + 3 + 4 + 5 , il suffit de diviser par 2 ce résultat. Nous obtenons 15 .

���� Nombres triangulaires : Certains nombres ( 1 , 3 , 6 , 10 , 15 , … ) s’appellent des nombres triangulaires. Ils peuvent se représenter comme suit :

Pour calculer la somme des n premiers entiers naturels en utilisant cette méthode, il suffit d’imaginer un escalier composé de n carrés, surmontés de ( n – 1 ) carrés , …. En reprenant un escalier identique et procédant comme ci-dessus, nous obtenons un

rectangle composés de carrés. Le nombre de carrés sur la longueur est n + 1 et le nombre de carrés sur la largeur est n . Il y a donc n( n + 1 ) carrés au total. Pour déterminer la somme S = 1 + 2 + … + n , il suffit de diviser par 2 cette somme.

Nous obtenons 2

) 1 n n( S

+=

1 s’appelle un nombre triangulaire d’ordre 1 3 s’appelle un nombre triangulaire d’ordre 2 6 s’appelle un nombre triangulaire d’ordre 3 10 s’appelle un nombre triangulaire d’ordre 4

Remarque : Le premier nombre triangulaire est 1. Pour former le second nombre triangulaire, il suffit d’ajouter 2. Le deuxième nombre triangulaire est

donc égal à 1 + 2 . Le troisième nombre triangulaire s’obtient en ajoutant au second nombre triangulaire 3. Donc, ce

troisième nombre triangulaire est égal à 1 + 2 + 3. …………

Le n-ième nombre triangulaire est donc égal à 1 + 2 + 3 + … + n . Il est donc égal à la somme des n premiers entiers naturels.

Un nombre triangulaire d'ordre n est donc égal à la somme de tous les nombres de 1 à n

Question 2 : a)Compléter le tableau suivant : Nombre

triangulaire d’ordre 1 d’ordre 2 d’ordre 3 d’ordre 4 d’ordre 5 d’ordre 6 d’ordre 7 d’ordre 8 d’ordre 9

Valeur 1 1 + 2

3 1 + 2 + 3

6

b)Compléter les phrases suivantes : Si le nombre triangulaire d’ordre 7 est connu, pour calculer le nombre triangulaire d’ordre 8, il suffit de …………………………………………………… . Si le nombre triangulaire d’ordre n est connu, pour calculer le nombre triangulaire d’ordre n + 1, il suffit de …………………………………………………… .

Remarque : ( sans démonstration ) Tout nombre est la somme d'au plus 3 nombres triangulaires

Les nombres premiers triangulaires sont 1 , 3 , 6 , 10 , 15 , 21 , 28 , 36, 45 , … Par exemple , 5 = 3 + 1 + 1 , 12 = 1 0 + 1 + 1 , 27 = 6 + 21 , 83 = 45 + 28 + 10

Remarque : ( sans démonstration )

Cette disposition de nombres s’appelle le triangle de Pascal. ( tableau déjà mentionné dans le cours sur les identités remarquables )

Chaque nombre est obtenu en additionnant le nombre situé juste au-dessus avec le nombre situé au –dessus à gauche.

1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1

Ce nombre 3 s’obtient en ajoutant le nombre situé au-dessus, à savoir 1 et le nombre situé au-dessus à gauche, c’est à dire 2

16 = 42

Il est remarquable de constater que les nombres triangulaires apparaissent dans la troisième colonne !!

Question 3 :Nous appellerons Tn le nombre triangulaire d’ordre n.

Par exemple T1 = 1 , T2 = 1 + 2 = 3 , T3 = 1 + 2 + 3 = 6 . Calculer T4 + T3 . Est-ce un carré parfait ( c’est à dire est-ce le carré d’un entier ) ? Duquel ? Calculer T5 + T4 .Est-ce un carré parfait ? De quel entier ?

Nous savons que 2

) 1 n n(

nT

+= . Montrer que

2 n ) 1 - n (

1 - n

T =

Calculer Tn + Tn - 1 . Que peut-on en conclure ?

Remarque : Vous venez de démontrer que :

La somme de deux nombres triangulaires successifs est un carré Illustration géométrique ( pour un cas particulier ) Constatons que T4 + T3 = 10 + 6 = 16 = 4² En changeant la disposition triangulaire des nombres ( représentation sous forme de triangles rectangles ) , nous constatons que :

Remarque :

La différence entre les carrés de deux nombres triangulaires successifs est un cube

1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1

Question 4 : En conservant la notation précédente Tn , nous constatons que : T2²- T1² = 3² - 1² = 8 = 2

3

De même T3²- T2² = 6² - 3² = 27 = 33 et T4²- T3² = 10² - 6² = 64 = 4

3

Calculer Tn²- Tn - 1² , c’est à dire 22

22

2 n ) 1 - n (

- 2

) 1 n ( n

1 - nT -

nT

+= . Conclusion.

Remarques : ( sans démonstration ) Il y a beaucoup de choses à dire sur les nombres triangulaires. �La différence entre deux cubes successifs est égale à 6 fois le triangulaire de rang le plus faible plus un n3 – ( n – 1 )3 = 6 Tn-1 + 1

par exemple : 83 - 73 = 512 – 343 = 169 et 6 x T7 + 1 = = 6 x 28 + 1 =168 + 1 = 169 �La puissance 4e de tout nombre est la somme de nombres triangulaires

24 = 16 = 1 + 15 = T1 + T5

34 = 81 = 15 + 66 = T5 + T11

44 = 256 = 66 + 190 = T11 + T19

54 = 625 = 190 + 435 = T19 + T29

64 = 1296 = 435 + 861 = T29 + T41

74 = 2401 = 861 + 1540 = T41 + T55

���� Exercices d’application : Question 5 : Les poignées de main Si 7 personnes se rencontrent et que chacune ne serre la main des autres qu'une seule fois, Combien de poignées de main se seront échangées ?

Question 6 : A la votre ! M. et Mme Dupont ne peuvent pas dormir. Leurs voisins du dessus donnent une petite fête. Tout à coup, un bouchon saute, et les joyeux fêtards trinquent tous ensemble. M. Dupont compte 28 tintements de verres. Combien y a-t-il de personnes à cette fête

Question 7 : Une nouvelle tournée Les voisins des Dupont donnent à nouveau une petite fête. Un bouchon saute, et les convives trinquent tous ensemble. M. Dupont, ne pouvant toujours pas dormir, passe le temps en comptant les tintements de verre. Bientôt, un bruit de porte indique qu'un des convives vient de partir. Cela n'empêche pas les autres de continuer à s'amuser, d'ouvrir une nouvelle bouteille, et de trinquer à nouveau tous ensemble. M. Dupont compte le nombre de tintements, et déclare à sa femme: "Tiens, cette fois, il y a eu 6 tintements de moins". Combien reste-t-il de personnes ?

Question 8 : 10 points distincts sont donnés dans un plan de telle façon que 3 quelconques d'entre eux ne soient jamais alignés. Quel nombre de droites ( ou segments ) pouvons-nous tracer ?

Question 9 : Concours d’admission au prytanée militaire , au collège militaire de Saint-Cyr, au lycée naval de Brest et aux collèges militaires d’Aix-en-Provence et d’Autun ( avril 82 ) Seconde épreuve de Mathématiques : Réflexion L’usage de la machine à calculer est interdit

I . Pour calculer la somme S définie par S = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 , on peut procéder ainsi :

2S = 2 + 4 + 8 + 16 + 32 +64 S = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 +32 En retranchant les deux égalités ci-dessus, membre à membre, on obtient :

2S – S = 64 – 1 , c’est à dire S = 63 1.Utiliser cette méthode et les tableaux ci-dessous pour trouver l’entier naturel égal à :

19322 2 2 2 1 +…++++

2.En utilisant une méthode analogue, calculer l’entier naturel : 92

4 4 4 1 +…+++ puis la fraction

192

1 ....

41

21

1 ++++

Tableau donnant des valeurs dont certaines doivent être utilisées :

304 194 4 2

000 650 804 439 4 152097 2 2

000 160 951 109 4 576 048 1 2

000 791487 27 4 288 524 2

22

2121

2020

1919

=

==

==

==

���� Remarques supplémentaires :

C’est à un grec NICOMAQUE de Gerase, ( vers 150 ) que l’on doit la première étude des nombres triangulaires (Gerasa est une ville de Palestine, dans l'actuelle Jordanie). Ce fut un admirateur de Pythagore, dont il écrivit une biographie. Il s'intéressa tout particulièrement à l'arithmétique et à la musique.

Son traité ne s’arrête pas aux nombres triangulaires . Il fait l'étude des nombres figurés, c'est à dire des nombres que l'on peut représenter par des figures géométriques : triangulaires, carrés , pentagonaux, etc.

Nous pouvons constater que ces nombres carrés sont des carrés parfaits ( 1 , 4 , 9 , 16 , … ) . De plus, nous pouvons remarquer (sans démonstration ) que la somme des nombres impairs consécutifs est égale à :

1 + 3 + 5 + ... + ( 2n – 1 ) = n2

Ordre du nombre carré

Valeur de ce nombre carré

1 1 2 4 = 1 + 3 3 9 = 4 + 5 = ( 1 + 3 ) + 5

= 1 + 3 + 5

4 16 = 9 + 7 = ( 1 + 3 + 5 ) + 7 = 1 + 3 + 5 + 7

SOLUTION

Question 5 : Les poignées de main Si 7 personnes se rencontrent et que chacune ne serre la main des autres qu'une seule fois, Combien de poignées de main se seront échangées ?

Méthode 1 : Chaque personne donne 6 poignées de main ( on ne se donne pas, à soi, une poignée de main !) Comme le nombre de personnes est 7 , il y a 7 fois 6 poignées de main , soit 42 poignées de main. Mais attention, chaque poignée de main est comptée deux fois.

Le nombre de poignées de main est donc : 242

26 7

=×

soit 21

Méthode 2 : Prenons les personnes une par une et imposons un ordre dans les poignées de main.. La première personne donne 6 poignées de main. La deuxième personne donne alors 5 poignées de main. Elle ne serre pas la main, une nouvelle fois, au premier. La troisième personne donne ensuite 4 poignées de main. Et ainsi de suite …

Numéro de la personne 1 2 3 4 5 6 7 Nombre de poignées de main 6 5 4 3 2 1 0

Donc le nombre de poignées de main est de 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 . C’est la somme des 6 premiers entiers naturels . Nous avons d’après la formule étudiée précédemment :

21 242

26 7

S ==×

=

Le nombre de poignées de main est 21

D’après Fermat (1636) :

Tout entier naturel peut s'écrire comme somme de n nombres polygonaux d'ordre n (3 nombres triangulaires, 4 nombres carrés, 5 nombres pentagonaux, etc.)

Ce résultat fut démontré pour n = 3 par Lagrange, pour n = 4 par Legendre dans le cas général , par Cauchy (1813).

Ces travaux relèvent de ce que l'on appelle la théorie additive des nombres

Question 10 : LES COPAINS D'ABORD (coefficient 1) Les copains et moi, on forme une sacrée équipe de hand-ball. L'équipe complète compte 7 joueurs, il n'y a pas de vedette et nous sommes très soudés. D'ailleurs, avant chaque match, chacun d'entre nous a pris l'habitude de serrer la main de tous les autres. Au fait, combien y a-t-il de poignées de main échangées?

D’après 9ème Championnat International des Jeux Mathématiques et Logiques - finale internationale, 2ème séance, 2 septembre 1995 - catégorie CM (CM1, CM2)