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Compito di Algebra Lineare - Ingegneria Biomedica
16 gennaio 2017
IMPORTANTE: Non si possono consultare libri e appunti. Non si possono usarecalcolatrici, computer o altri dispositivi elettronici. Non si puo scrivere con illapis.A chi contravvenisse a queste disposizioni sara annullata la prova.
Parte II: avete 1 ora e 20 minuti di tempo per risolvere questi
due esercizi, che, se svolti perfettamente, con accurate spiegazioni,
valgono 14 punti l’uno, ai quali si aggiungeranno i punti ottenuti
nella Parte I (0,5 punti per ogni risposta corretta).
Esercizio 1. Sia V il sottospazio di R3 definito dall’equazione 2x + 5y = 0 esia W il sottospazio definito dall’equazione y + z = 0.
1. Si calcoli la dimensione di V \W ;
2. Si trovino una base ortonormale di V e una base ortonormale di W ;
3. Si consideri l’applicazione lineare L : R3 ! R3 la cui matrice, rispetto allabase standard, e 0
@0 2 �30 � 4
565
1 2 2
1
A
Dimostrare che l’immagine di L coincide con il sottospazio V e dare unabase di Ker L.
Esercizio 2. Si consideri Rn munito del prodotto scalare standard.
1. Definire cosa e un insieme ortogonale di vettori.
2. Definire cosa e un endomorfismo L Rn ! Rn simmetrico.
3. Sia T : Rn ! Rn un endomorfismo. Supponiamo che T sia simmetrico esia � un autovalore di T . Dimostrare che � 2 R.
4. Sia Tk : R2 ! R2 l’endomorfismo la cui matrice, rispetto alla basestandard di R3 e al variare di k in R e la seguente:
[Tk] =
✓3 k
1 3
◆
Discutere la diagonalizzabilita di Tk al variare di k in R e trovare una basedi autovettori nel caso che k sia uguale a 4.
5. Fare un esempio di un endomorfismo simmetrico S : R2 ! R
2 la cui ma-trice, rispetto alla base standard non e diagonale, e che ha due autovalori,uno > 0 e uno < 0.
:
22
IR R
SOLUZIONI →
÷) Vnw I rlmltosyosiooli 1123 data oblk solution ' old
sisters
(2×+5 y = 0
yt Z = 0
che in forma matricide
e% left :L
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ha ohmennme 7.
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to, owmgme
v - hamlet ,lown
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segment'i vettou ' oh'
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= Est - EE,
"
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ytz =o
hmm W= Len ( ( f ), (1) ) .
p in
Wy Wz
La box We , wz I avbrgonole .
Per were una bore
ortonoumrle connotes :
Ii Eta = w÷ = we - (d)k=Y÷u=÷n#=t£
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'
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YML = km ( ( 8. ) , Ho ) )
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Tmm L -
- Lem ( ( f ), Ey ) ) = V
.
A guest punt sohe own Tmn L = 2
, awmgne ,
vista che la ahmenmome old domino oh ' L I 3,
no che term Kerl = 1.
Basta che mohniolui un melt me to in Kel.
A ouhir motor che ( k ) e Ker L, dengue
Ku L = Gsm ( (E) ).
pla bone moat a
Genus
'÷) vehi Defensive 8.8 a pgma 128 delle Dispense .
2) vnli Defensive 9.2 ( e righeseguenti) a
tgma 136delle Dispense .
3) keoli la obmastmsiomeold Teonemr 9.3
aqagim 136 oklle Diyense
4) Calcalo il plinomir carakaustig
Filet ( tjsi; )=t→kr== t2 - Gt + 9 - K
.
A = 36 - 36 +4 k = 4k
Dwmgme se K e 0 mom a
'
sons raahici reali e
TK NON I ohiagonabsaohile .
Le k=o p,z=( t - 3 )2 woo ho
llautovolne 3 can moltyliata Igehin 2
Le K so ho owe automobni abstnti
Xy = Gift e tz = 6-zV=inguests cos Tk I ohagpmbssolile puhi
entrant fi autovoloi homo moltqliutaolgehica 1
( e dengue uguolealla moltyliati geometric)
.
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ossia own Vz ftmdh & Tohe Testa ai z . It
y= ru ((3
, ;) - C 3030D==
ken ( ;;)Dungme own Vg = 1 e moltytiuta form < moltalg.
Allan To non i ohagonolnsdile .
Nel cop K=4 colds umlose oh ' antonetti
per Ty .
gliantonolmi son ty = 5 e he 1
us = ru ( ( 3,34 ) . stony = ru ( I ii )
tmm Vs = Lgmf } ) )
v,
= ku ( ( 3,43 ) - to:D = ky :! )
hmm V,
= Lpm ( ( I ) ) .
Allon ( } ), ( I ) I una box oh wtmettni gate
5) Considering llenabmofusmo ' S royyvsentato
myelto alla box standard oblla mortice
C ii )( one ni neale I svmmetrig
.
Fining lieserasiosensor fare colcah '
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:*?a- che 5 I ohhgonobmshle perchi I summetnio;
owmgme rnyetly al una box oh ' automaton '
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olene Valere
-3 = out ( Yi ) = let ( ton%) = hike
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*NOT A :
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