solution naire

8/18/2019 Solution Naire

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Question 1 10 points

a) En n’oubliant pas qu’on ne modélise pas une source dans un circuitthermique, on obtient :

1 point

Avec1

/b b

R L k et 2 1/ R h .

Nous avons vu en classe que la distribution de température est donnée par(équation 3.42 de Incropera) :

1.2 2

12( ) (1 )

2

a

a a

qL xT x T

k L

1 point

Or selon la question, on ne peut avoir T1 dans la solution. Par conséquent, parsommation directe du circuit thermique, on obtient :

2. 1

1 2

''( )

a

T T q qL

R R

1 point

3.1 1 2

( )a

T qL R R T

Ainsi par substitution directe dans l’équation 1), on obtient

4.

2 2

1 22( ) (1 ) ( )2

aa

a a

qL xT x qL R R T

k L

(RÉPONSE question a) 1 point

T 1 R2

q’’

T ∞ R1


2/6

b) En notant que le flux surfacique doit être appliqué au nœud T e, on obtientle circuit thermique suivant :

1 point

La température maximale dans le mur est donnée à x = 0 , ainsi on obtient :

5.2

max 12

a

a

qLT T

k

2 points

Or il faut encore trouver la valeur de T 1. Par un bilan, en sommant le circuitthermique, on obtient :

6. ''1

1 2

e erad

T T T T q

R R 1 point

7. ''1 1

2

( )erad eT T

T q R T R

Par substitution de l’équation 7) dans l’équation 5), on obtient :

8.2

4 4

max 1

2

( ( ) )2

a ee e

a

qL T T T T T R T

k R

(RÉPONSE) 2 points

T ∞ R1T 1 R2

q’’

q’’rad


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Question 2

Il existe deux types de circuit thermique accepté pour ce problème.

1 point

Par sommation directe du circuit thermique, on obtient :

1. , ,i o

tot

T T q

R avec 1

1 1( )tot conv cond

base fin

R R R R R

2 points

Calculons les diverses résistances :

1. 2 1ln( / ) ln(16 / 13)

0.0017 /2 2 * 0.013*1

cond

r r R K W

kL 1 point

2.1 1

0.0025 /5000*2 *0.013*1

conv

i i

R K W h A

1 point

3. 222 2 *0.016 8* 0.003 0.0765base A r L NtL m

4.0

1 10.0654 /

200*0.0765base

base

R K W h A

1 point

Pour trouver l’efficacité de l’ailette, j’utilise les formules du tableau 3.5 :

5.

2 2* 200

81.620*0.003

h

m kt

6.tanh( )

0.49 f

mL

mL

7. 23 2( ) * 2 (0.04 0.16) *1* 2 0.048 f A r r w m

8. 1 1( ) (8* 200*0.49*0.048) 0.0266 / fin o f f R Nh A K W

Rconv Rcond

Rbase

Rfin

q

3.5 points pour efficacité et

résistance


4/6

En substituant les valeurs numériques de 2), 3), 5) et 10) dans 1), on obtient :

9. 11 1

0.0025 0.0017 ( ) 0.0230 /0.0654 0.0266

tot R K W

10.90 25

28260.0230

q W (RÉPONSE) 0.5 point pour numérique

Note

Lors de l’utilisation des formules du tableau 3.5, nous utilisons la longueur L et

non la longueur caractéristique Lc car le bout de l’ailette n’est pas soumis à laconvection (CF bas de la page 151 et haut de la page 152 de Incropera). Demême, l’aire de l’ailette est calculée avec la vraie longueur et non la longueur

caractéristique. (-0.5 point)

La deuxième méthode consiste à utiliser l ’efficacité globale :

1.

2

0

1

0

0.4605

1 (1 ) 0.58

( ) 0.01872

t f b

f

f

t

fin t

A NA A m

NA

A

R hA

Ainsi, la résistance totale est maintant :

2. 0.02292 /tot conv cond fin R R R R K W

3. 2836q W


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Question 3 (8 points)

(0.5 point)

Par sommation directe du circuit thermique :

1. 1 2

2 ,1 2 ,2

'd d

T T q

R R (1 point)

2. '2 ,1 '

2 2

10.284d R

S k

(1 + 1 points)

3. '2 2 2 21

24.408

4cosh ( )

2

S D d z

Dd

(IL FAUT VÉRIFIER LES DEUX

HYPOTHÈSES POUR AVOIR TOUS LES POINTS)

4.2 ,2

3 3

11.395

d RS k (1 + 1 points)

5. '3

21.434

4ln( )

S z

D

(IL FAUT VÉRIFIER LES DEUX HYPOTHÈSES POUR

AVOIR TOUS LES POINTS)

6.150 0

' 89.3 /1 1

12.4*0.8 1.284* 0.5

q W m (RÉPONSE) (0.5 point)

Or par égalité dans le circuit thermique, on a aussi

7. 1 2

2 ,1

'd

T T q

R implique

2 1

2 2

'124.7

qT T Celsius

S k (RÉPONSE) (2 points)

T1 T3T2

R2d,2R2d,1q’


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Question 4 7 points

La première étape en transitoire est de calculer le nombre de Biot. Attention, il ne s’agit

pas d’un cylindre infini, il faut donc prendre en compte le haut et le bas de la canette :

2

2 0.0121

* 2 2c

V r H L m

A r rH 1.5 point

Ainsi on trouve le nombre de Biot :

0.076 0.1chL

Bik

, on peut donc utiliser la méthode LCM. 2 points

Ainsi on trouve :

ln 1281c p i

L ct

hsecondes ou encore 21 minutes. (RÉPONSE) 1.5 point

Pour trouver l’énergie, on utilise la formule 5.8a) de Incropera :

(1 exp( )) p i

t Q Vc avec 2033c p

L c s

h 1 point

D’où

28588Q Joules (RÉPONSE) 1 point

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