Solucionario

Solucionario

Hacia la universidad Análisis matemático

OPCIÓN A

1. a) Deriva las funciones 3

( ) 84xf x = − , 3( )g x x= , 2( ) xh x x e= − .

b) Indica si la función ( ) si 0 4

( )( ) si 4

f x xm x

g x x≤ ≤= <

es continua en x = 4.

c) Escribe la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función m(x) en x = 9.

a) 23

( )4

xf x′ = ; 3

( )2

g x x′ = ; ( ) 2 xh x x e′ = −

b)

3

3

8 si 0 4( ) 4

si 4

x xm x

x x

− ≤ ≤=

<

Como3

4 4lim ( ) lim 8 16 8 8

4x x

xm x− −→ →

= − = − =

, 3 3

4 4lim ( ) lim 4 8

x xm x x

+ +→ →= = =

y (4) (4) 8m f= = , tenemos que 4 4

(4) lim ( ) lim ( )x x

m m x m x− +→ →

= = , por tanto la función m(x) es continua en x = 4.

c) La ecuación de la recta tangente a la gráfica en x = 9 es: y – 27 = 9

2(x – 9)

2. Se sabe que la función de beneficios de una empresa es de la forma ( )B x ax b x= + , siendo x el número de unidades producidas y a, b parámetros reales.

a) Calcula, si existen, los valores de los parámetros a y b para que la producción de x = 100

proporcione un beneficio de 50 unidades monetarias y que además sea el máximo que se puede obtener. b) Para a = –1 y b = 16, calcula las cantidades que se han de producir para que el beneficio aumente o

disminuya (intervalos de crecimiento y decrecimiento) y los puntos de inflexión de B(x), si existen. a) Por una parte sabemos que B(100) = 50 y como, además, hay un máximo en x = 100, debe cumplirse que

B´(100)=0.

(100) 50 100 100 50 100 10 50 10 5B a b a b a b= ⋅ + = + = + =

La derivada de la función beneficio es ( )2

bB x ax

′ = + . Por el contexto del problema, x > 0.

(100) 0 0 0 20 0202 100

b bB a a a b′ = + = + = + =

Resolviendo el sistema 10 5

20 0

a ba b

+ = + =

obtenemos que 1

2a = − y b = 10.

b) La función beneficio es ( ) 16B x x x= − + . Estudiemos su monotonía:

La derivada es 16 8 8

( ) 1 12

xB xxx x

− +′ = − + = − + = , x > 0,8

( ) 0 8 0 64xB x x xx

− +′ = = − + = =

x (0, 64) 64 ( )64, + ∞

Signo de f ´ + =0 – Comportamiento de

f Creciente Máximo relativo

Decreciente

Por tanto: si se producen menos de 64 unidades, el beneficio aumenta. Y si se producen más de 64 unidades, el beneficio disminuye. El máximo beneficio se obtiene con una producción de 64 unidades. Para hallar los posibles puntos de inflexión debemos calcular la segunda derivada.

8 4( ) 1 ( )B x B x

x x x′ ′′= − + = − , que no se anula nunca y por tanto concluimos que la función B(x) no

tiene puntos de inflexión. De hecho, la función es cóncava hacia abajo en todo su dominio por que su derivada segunda es siempre negativa.

150

Solucionario

3. La oferta de un bien, conocido su precio, p, es: 2

30 200 si 0 10( )

60 1000 si 10 40p p

S pp p p

+ ≤ ≤= − + < ≤

Represéntala y a la vista de su gráfica, indica para qué valor del precio se alcanza la máxima y la mínima oferta y para cuáles la oferta es menor que 200 unidades.

Como la función en [0, 10] es una recta, para representarla nos basta hallar su valor en los extremos de intervalo. La recta pasa por A(0, 200) y B(10, 500). En (10, 40] es una parábola cuyo vértice es V(30, 100). Calculamos el valor de la parábola en los extremos del intervalo: C(10, 500) y D(40, 200). Para representarla, elegimos escalas distintas en los ejes. A la vista de la gráfica, se alcanza la máxima oferta en (10,500)A , esto es, si el precio es de 10 euros y alcanza su mínima oferta cuando es de 30 euros. Vemos que la función es menor de 200 en

el intervalo (20, 40) (para calcular dichos valores resolvemos 2 60 1000 200p p− + = ). Así pues, la oferta es menor que 200 unidades si los precios están entre 20 y 40 euros.

4. a) De una función f se sabe que la gráfica de su función derivada, f´, es la recta de ecuación 2 4y x= − + . Estudie razonadamente la monotonía de la función f, a la vista de la gráfica de la derivada.

b) Dada la función 4 4( )4

xg xx

−=

+, calcule la ecuación de la recta tangente a su gráfica en el punto de

abscisa x = 0. a) Como ( ) 2 4 0f x x′ = − + = si x = 2, y es positiva en ( , 2)−∞ y negativa en ( )2, + ∞ , la función es creciente

en ( , 2)−∞ y decreciente en ( )2, + ∞ .

b) La ecuación de la recta tangente es (0)( 0) (0)y g x g′= − + . Calculamos ( )2

20( )

4g x

x′ =

+.

Así pues (0) 1g = − y 5

(0)4

g ′ = . La ecuación de la recta tangente es 5

14

y x= − .

5. Los beneficios mensuales de un artesano expresados en euros, cuando fabrica y vende x objetos, se ajustan a la función 2( ) 0,5 50 800B x x x= − + − , en que 20 60x≤ ≤ .

a) Halla el beneficio que obtiene de fabricar y vender 20 objetos y el de fabricar y vender 60 objetos. b) Halla el número de objetos que debe fabricar y vender para obtener el beneficio máximo, así como dicho beneficio máximo. c) Esboza la gráfica de la función B(x).

d) El beneficio medio para x objetos es ( )( ) B xM xx

= . Indica cuántos objetos debe fabricar y vender

para que el beneficio medio sea máximo y cuál es dicho beneficio.

a) 2(20) 0,5 20 50 20 800 0B = − ⋅ + ⋅ − = , es decir, al fabricar y vender 20 objetos no hay pérdidas ni ganancias.

2(60) 0,5 60 50 60 800 400B = − ⋅ + ⋅ − = , es decir, al fabricar y vender 60 objetos se obtiene un beneficio de 400 euros.

b) Debemos hallar el máximo de B(x) en el intervalo cerrado [20, 60]. La derivada, ( ) 50B x x′ = − + , se anula para x = 50. Comparemos ahora B(50), B(20) y B(60) y elijamos el mayor valor de todos ellos:

2(50) 0,5 50 50 50 800 450B = − ⋅ + ⋅ − = , B(20) = 0 y B(60) = 400 Así pues, al fabricar y vender 50 objetos se obtiene el máximo beneficio que asciende a 450 euros.

c) La gráfica de B(x) es un trozo de parábola cóncava hacia abajo: d) Ahora debemos hallar el máximo de M(x) en el intervalo cerrado

[20, 60]. ( ) 800

( ) 0,5 50B xM x x

x x= = − + −

Su derivada es 2

800( ) 0,5M x

x′ = − + , se anula si:

2 22 2

800 800 8000,5 0 0,5 1600 40

0,5x x x

x x− + = = = = = la solución negativa la desechamos.

Comparemos ahora M(40), M(20) y M(60) y elijamos el mayor valor de ellos: M(40) = 10, M(20) = 0, M(60) ≈ 6,67

Así pues, al fabricar y vender 40 objetos se obtiene el máximo beneficio medio que asciende a 10 euros.

151

10

100

O P

S (p)

20 60

100

O X

B (x)

Solucionario

Solucionario

6. Se dispone de un listón de madera de 4 metros de largo para hacer los tres lados del bastidor de una

puerta rectangular de ventilación.

a) ¿Qué medidas debemos dar a los lados del bastidor para que la ventilación sea máxima?

b) ¿Qué superficie de ventilación hemos conseguido?

a) Sabemos que 2 4x y+ = y queremos maximizar la función Superficie x y= ⋅ .

Como 4 2y x= − ( ) 2Superficie 4 2 2 4x x x x= − = − + que, al ser una parábola cóncava hacia abajo,

alcanza su máximo en el vértice (1, 2)V . Luego las medidas que debemos tomar son: un metro de alto por 2 de ancho.

b) La superficie de ventilación es de 2 m2.

7. Sea la función f(x) = –x2 + 7x – 12. Si f' representa su derivada:

a) Encuentra una primitiva F de f que verifique F(6) = f'(6).

b) Dibuja la función f. Halla el área limitada por la curva y el eje X entre x = 3 y x = 4,5.

a) Para encontrar la primitiva, calculamos ( )2 3 21 7( ) 7 12 12

3 2F x x x dx x x x C= − + − = − + − + .

Ahora calculamos C para que se cumpla la condición F(6) = f´(6).

3 21 76 6 12 6 2 6 7

3 2C− ⋅ + ⋅ − ⋅ + = − ⋅ + C = 13 3 21 7

( ) 12 133 2

F x x x x= − + − +

b) f(x) es una parábola de vértice 7 1

,2 4

V

y que pasa por (0, 12)A − .

El área que debemos hallar es: 4,5

3( )f x dx

Observando la gráfica:

( ) ( )

4 4,54 4,53 2 3 2

3 4 3 4

2

1 7 1 7( ) ( ) 12 12

3 2 3 2

1 1 1(4) (3) (4,5) (4) u

6 6 3

f x dx f x dx x x x x x x

F F F F

− = − + − − − + − = = − − − = − − =

8. Se quiere regar una parcela de jardín limitada por ( )23y x= − e 3y x= + . Si se mide en metros y cada metro cuadrado debe recibir 12 litros de agua: a) Representa la parcela. b) ¿Cuántos litros de agua hay que utilizar? a)

b) Debemos calcular el área de la parcela y multiplicar dicha área por 12. Para ello buscamos los puntos de

corte de las funciones resolviendo 2( 3) 3x x− = + cuyas soluciones son x = 1 y x = 6.

Calculamos ( ) ( )66 6

2 2 3 2 2

1 1 1

1 7 125( 3) ( 3) 7 6) 6 m

3 2 6x x dx x x dx x x x + − − = − + − = − + − =

El agua necesaria es: 233

12 4666

⋅ = L.

152

1

1

O X

f

Y

1

1

O X

Y

Solucionario

OPCIÓN B

1. Se considera la función f(x) = (x2 + a)eax, siendo a un parámetro real. a) Razona a qué es igual el dominio de f(x). b) Determina el valor de a para que la gráfica de f(x) pase por el punto (0, –4). c) Para a = –2, determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f(x). ¿Existen máximos y mínimos relativos de f(x)? En caso afirmativo, indica dónde se alcanzan y su valor.

a) El dominio de f es todo R ya que es el producto de una función polinómica por una exponencial, ambas de dominio R.

b) Debe cumplirse que f(0) = –4, es decir ( )2 04 (0) 0 af a e a ⋅ − = = + ⋅ = , es decir, a = –4.

c) La función es ( )2 2( ) 2 xf x x e−= − y su derivada es ( )2 2 2( ) 2 2 2x xf x x e x e− −′ = ⋅ − − .

Estudiemos dónde se anula y su signo: ( ) ( )2 2 2 2 2( ) 2 2 2 2 2x x xf x x e x e e x x− − −′ = ⋅ − − = − + +

2( ) 0 2 0 1, 2f x x x x x′ = − + + = = − = . Obsérvese que 2xe− es siempre positivo.

Por tanto, 2( ) 2 ( 1)( 2)xf x e x x−′ = − + −

x ( ), 1−∞ − –1 (–1, 2) 2 ( )2, + ∞

Signo de f´ – =0 + =0 –

Comportamiento de f Decreciente Mínimo relativo

Creciente Máximo relativo

Decreciente

La función tiene un mínimo relativo en el punto ( )21, e− − y un máximo relativo en el punto ( )42, 2e− .

2. Considera la función de variable real 2( ) x mf xx+= , donde m es un parámetro real.

a) Calcula el valor de m para que la tangente a la gráfica de f(x) en el punto de abscisa x = –3 sea paralela a la recta x – 3y + 1 = 0. Calcula también la ecuación de dicha tangente. b) Fijando m = –1:

1) Determina el dominio de la función y los intervalos en los que es creciente o decreciente. 2) Determina las asíntotas. 3) Esboza la gráfica de la función.

a) La pendiente de la recta tangente a f(x) en x = –3 es f´(3) y debe coincidir con la pendiente de la recta

x – 3y + 1 = 0, que es 1

3, ya que dicha recta puede escribirse como

1 1

3 3y x= ⋅ + .

La derivada de f(x) es 2

( )mf xx

′ = − y por tanto, 2

1 1(3) 3

3 33

mf m′ = − = = − .

La función es 2 3

( )xf xx−= y la recta tangente es ( 3) 3( 3)y f x− − = − + , es decir: y = –3x – 6.

Trabajamos ahora con la función 2 1

( )xf xx−= .

b) 1) D(f) = R { }0− ya que cero anula el denominador.

Su derivada es 2

1( )f x

x′ = , que es siempre positiva (salvo para x = 0, que no está definida). Así pues, la

función es creciente en ( ) ( ),0 0,−∞ ∪ + ∞ .

2) Asíntotas verticales: 0

2 1lim

x

xx−→

− = +∞ y 0

2 1lim

x

xx+→

− = −∞

La recta x = 0 es una asíntota vertical de la función f(x).

Asíntotas horizontales: 2 1

lim 2x

xx→+∞

− = y 2 1

lim 2x

xx→−∞

− = .

La recta y = 2 es una asíntota horizontal de la función f(x), tanto en más infinito como en menos infinito. Asíntotas oblicuas: no tiene ya que sí tiene horizontales.

3) La función corta al eje X en el punto 1

,02

A

. Con toda la información recogida ya podemos dibujar su

gráfica.

153

1

1

O X

Y

f

Solucionario

Solucionario

3. La función f(x), en cientos de miles de euros, da las ganancias de una empresa en función del tiempo transcurrido, x, en años, desde su creación:

1 si 0 32( )

3 si 31

x xf x

x xx

≤ ≤= + > +

a) ¿Cuántos euros gana la empresa al año y medio de su creación? ¿Y al cuarto año? b) Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento de las ganancias. c) ¿Qué sucede a medida que transcurre el tiempo? Razona la respuesta.

a) 1

(1,5) 1,5 0,752

f = ⋅ = . La ganancia al año y medio es de 75 000 euros.

4 3

(4) 1, 44 1

f += =+

. La ganancia a los cuatro años es de 140 000 euros.

b) Para estudiar el crecimiento derivamos la función. Debemos tener especial cuidado en x = 3 ya que allí la función puede no ser derivable.

2

1si 0 3

2'( )

2si 3

( 1)

xf x

xx

< <= − > +

Como

Las ganancias crecen en los 3 primeros años y decrecen a partir del tercero. Los beneficios máximos se

obtienen el tercer año y son de 3

( ) 1,52

f x = = ,es decir, 150 000 euros.

c) Como 3

lim ( ) lim 11x x

xf xx→+∞ →+∞

+= =+

, a medida que pasa el tiempo las ganancias se acercan cada vez a vez

más a 100 000 euros, siendo siempre algo superiores.

4. a) Sea la función definida para todo número real x por f(x) = ax3 + bx. Determina a y b sabiendo que su

gráfica pasa por el punto (1, 1) y que en ese punto la pendiente de la recta tangente es –3.

b) Si en la función anterior 14

a = y 4b = − , determina sus intervalos de monotonía y sus extremos.

a) Como pasa por (1, 1), sabemos que (1) 1f = , luego 1a b+ = .

Además, sabemos que (1) 3f ′ = − , y como 2( ) 3f x ax b′ = + , tenemos que 3 3a b+ = − .

Resolviendo el sistema 1

3 3a ba b

+ = + = −

obtenemos 2, 3a b= − = y por tanto la función es 3( ) 2 3f x x x= − + .

b) Si 31( ) 4

4f x x x= − 23

( ) 44

f x x′ = − =0 ⇔ 4 3 4 3ο

3 3x x= = −

Estudiando el signo de la derivada tenemos que f es creciente en 4 3 4 3

, ,3 3

−∞ − ∪ + ∞

y decreciente

en 4 3 4 3

,3 3

−

.

Tiene un máximo relativo en 4 3 4 3 4 3 32 3

, ,3 3 3 9

A f A − − = −

y un mínimo relativo en

4 3 4 3 4 3 32 3

, ,3 3 3 9

B f B = −

Intervalo (0, 3) (3, +∞) Signo de f’ Positiva Negativa

f Crece Decrece

154

Solucionario

5. Se desea construir un marco para una ventana rectangular de 6 m2 de superficie. El metro lineal de tramo horizontal cuesta 20 euros, y el de tramo vertical, un 50% más. Calcula:

a) Las dimensiones de la ventana para que el coste sea mínimo. b) El coste del marco.

a) Estamos ante un problema de optimización. 1. Nombramos variables. Longitud del tramo horizontal: x (precio: 20 €/m). Longitud del tramo vertical: y (precio: 20 + 50% de 20, es decir, 30 €/m).

2. Relacionamos las variables: xy = 6 y por tanto 6yx

= .

3. La función que queremos optimizar (en este caso, minimizar) es:6 180

( ) 20 30 20f x x xx x

= + = +

4. Buscamos el intervalo en el que se mueve la variable x. En este caso, x puede tomar cualquier valor positivo.

5. Buscamos el mínimo de la función 6 180

( ) 20 30 20f x x xx x

= + = + siendo x positiva.

La derivada es 2

180( ) 20f x

x′ = − ⇔

2

18020 0 3x

x− = = (la solución negativa se desestima). Por tanto:

x (0, 3) 3 ( )3, + ∞

Signo de f´ – =0 +

Comportamiento de f Decreciente Mínimo relativo

Creciente

Como la función es continua, podemos asegurar que dicho mínimo es absoluto. Así pues, las dimensiones de la ventana que hacen mínimo el coste del marco son 3 metros de tramo horizontal y 2 metros de tramo vertical.

b) Este coste mínimo es 180

(3) 2 20 3 2403

f = ⋅ + =

euros.

6. Un club deportivo cuenta con un número de socios que viene dado (en miles de personas) por la

función S(x) = 2x3 – 15x2 + 24x + 26, donde x indica el número de años desde la última remodelación. a) Halla el año en que el club ha tenido el mayor número de socios. b) El cuarto año se remodeló de nuevo. Indica razonadamente si esta remodelación tuvo éxito o no.

a) La derivada de la función es 2 2'( ) 6 30 24 6( 5 4) 6( 1)( 4)S x x x x x x x= − + = − + = − − . Estudiemos su signo:

x ( ),1−∞ 1 (1, 4) 4 ( )4, + ∞

Signo de s´ + =0 – =0 + Comportamiento

de s Creciente Máximo relativo

Decreciente Mínimo relativo

Creciente

Así pues, fue en el primer año cuando el club tuvo el mayor número de socios, en concreto 37 000 socios ya que (1) 37s = .

b) A partir del cuarto año la función comienza a crecer, es decir, la remodelación sí que fue efectiva. Si siguiera esta tendencia, seguramente llegará un momento en que se superen los 37 000 socios del primer año.

155

Solucionario

Solucionario

7. Dada la función 24( )f x xx

= + (x > 0):

a) Encuentra la primitiva de f que en x = 2 valga 5. b) Dibuja la función f. Halla el área limitada por la curva y el eje de abscisas entre los puntos de abscisa x = 1 y x = 4.

a) Las primitivas de f(x) son 2

2

4 4( )

2

xF x x dx Cxx

= + = − + .

Sólo falta calcular la constante C sabiendo que F(2) = 5:

22 45 (2) 2 2

2 2F C C C= = − + = − + = C = 5.

La primitiva pedida es 2 4

( ) 52

xF xx

= − + .

b) ( ) (0, )D f = + ∞ . El único valor conflictivo sería x = 0 que no pertenece al dominio porque así lo dice la definición de la función.

No corta al eje X ya que 2

4( )f x x

x= + siempre es positiva por ser x > 0.

No corta el eje Y porque x = 0 no está en su dominio. Asíntotas verticales: estudiaremos qué ocurre cuando nos acercamos al cero por su derecha (nótese que por su izquierda no tiene sentido).

2

0

4lim

xx

x+→

+ = +∞

La recta x = 0 es una asíntota vertical de la función f(x).

Asíntotas horizontales: no tiene ya que su límite en el más infinito no es un número.

2

4lim

xx

x→+∞

+ = +∞

.

El límite en el menos infinito no se estudia porque la función no se define para números negativos. Asíntotas oblicuas: la expresión de la función ya nos asegura que la recta y = x es una asíntota oblicua de f(x).

( ) 2 2

4 4lim ( ) lim lim 0

x x xf x x x x

x x→+∞ →+∞ →+∞

− = + − = =

, así pues, y = x es, en efecto una asíntota oblicua de f(x).

La derivada es 3

3 3

8 8( ) 1

xf xx x

−′ = − = y se anula para x = 2.

Estudiemos su signo en los dos intervalos que define este valor:

x (0, 2) 2 ( )2, + ∞

Signo de f´ – =0 +

Comportamiento de f Decreciente Mínimo

relativo Creciente

Así pues, f decrece en (0, 2), crece en ( )2, + ∞ y tiene un mínimo relativo (en este caso es también

absoluto) en el punto (2, f(2)) = (2, 3).

156

Solucionario

Ya podemos dibujar su gráfica:

El área del recinto, que está por encima del eje X, será el valor de la integral definida:

424

21

1

4 4 21( )

2 2

xF x x dxxx

= + = − = u2

8. Calcula la integral definida ( )1

11x x dx

−+ + .

Al haber un valor absoluto en la función del integrando debemos definirla a trozos ya que su valor varía dependiendo del signo de x:

1 si 0( ) 1

1 si 0

x x xf x x x

x x x− + + ≤= + + = + + >

, es decir, 1 si 0

( )2 1 si 0

xf x

x x≤= + >

Para calcular la integral la separamos en dos trozos:

( ) ( ) [ ]1 0 1 10 2

1 01 1 01 1 2 1 1 1 1 3x x dx dx x dx x x x−− −

+ + = + + = + + = + + =

157

1

1

O X

Y

f