solucionario de dinamica de fluidos - ing. j.f
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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO
FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA- ENERGÍA
PROYECTO DE INVESTIGACION
“TEXTO: MECANICA DE FLUIDOS-PROBLEMAS
APLICATIVOS”
JEFE DEL PROYECTO
ING. JAIME GREGORIO FLORES SANCHEZ
CRONOGRAMA
(31-04-2003 Al 31-03-2005)
RESOLUCION RECTORAL: Nº 248-03-R
II
INDICE
RESUMEN
INTRODUCCIÓN
Capitulo I
CINEMATICA 2
Capitulo II
FLUJOS NO VISCOSOS Y VISCOSOS... 20
Capitulo III
ANÁLISIS DIMENSIONAL Y TEORÍA DE
MODELOS. 36
Capitulo IV
ESTUDIO DEL FLUJO INTERNO
INCOMPRESIBLE. 56
Capitulo V
TEORÍA DE LA CAPA LÍMITE. 114
Capitulo VI
FLUJO ALREDEDOR DE CUERPOS
SUMERGIDOS. 127
Capitulo VII
FLUJO COMPRESIBLE EN DUCTOS DE SECCION
VARIABLE. 142
Capitulo VIII
FLUJO EN DUCTOS DE SECCION
CONSTANTE SIN TRANSFERENCIA DE CALOR 154
III
Capitulo IX
FLUJO EN DUCTOS DE SECCION
CONSTANTE CON TRANSFERENCIA DE CALOR 164
Capitulo X
FLUJO EN CANALES ABIERTOS 176
METODOS Y MATERIALES
RESULTADOS
DISCUSION
REFERENCIA BIBLIOGRAFIA
APENDICE
IV
RESUMEN
Los temas tratados en este libro texto se suceden en un orden lógico de acuerdo
con los contenidos de la aplicación de la mecánica de fluidos. Luego de
considerar problemas de cinemática, flujos no viscosos y flujos viscosos, se
incluye aplicaciones del análisis dimensional, herramienta muy valiosa para la
simulación. También se da gran énfasis en flujo interno ya sean en tubos o ductos
con fluidos incompresibles, en donde se tienen tuberías en serie, en paralelo,
interconectados con tanques abiertos o cerrados, o también sin ellos; estos flujos
en tuberías pueden estar conectados mediante bombas de alimentación, sobre
todo cuando se trata de elevar líquidos desde un nivel inferior a otro nivel
superior. Es necesario recalcar que estas bombas se puedan regular su flujo
gráficamente (por catálogos) o en situo; se consideran todas las perdidas de
energía presentes en el flujo de fluidos. Seguidamente tratamos aplicación de
capa limite sea laminar o turbulento, como antesala a cuerpos sumergidos, que
también sirven en la introducción a la aeronáutica con los respectivos perfiles
aeronáuticos.
En la aplicación de flujos compresibles se empieza por toberas convergentes y
convergentes-divergentes, luego en ductos adiabáticos o no con fricción y sin
ella, así como el fenómeno de las ondas de choque.
Finalmente como parte complementaria se incluyen aplicaciones de canales
abiertos de diferentes secciones transversales.
En el apéndice se adjunta tablas, diagramas, curvas características, ábacos usados
que son herramientas muy empleadas en flujos de la mecánica de fluidos.
V
INTRODUCION
Con la finalidad de despejar las inquietudes o dificultades que encuentran los
alumnos u otras personas que realizan estudios de ingeniería, encontraran en el
presente una ayuda muy valiosa.
Libros de mecánica de fluidos hay muy variados con excelente contenidos, pero
con la diferencia que no todos lo enfocan los diferentes temas con la suficiente
exigencia que en algunos casos es necesario considerar lo cual deja un vació
generando dificultades para su interpretación respectiva.
Como en nuestro plan de estudios la mecánica de fluidos es primordial para
alumnos inclusive de otros especialidades, diferente o afines a la ingeniería
mecánica, es por esta que el presente texto servirá de ayuda muy valiosa, tanto
como consulta o en su fin que es un libro texto aplicativo al transporte de los
fluidos, sean incompresibles o compresibles, enfocados de una manera muy
explícita enfocado concientemente a los avances que estamos inmersos.
Los alumnos u otros lectores hallaran en esta obra los temas abordados
directamente con la suficiente amplitud, el rigor y la exigencia , expuesta de una
manera sencilla e interesante; en todos los capítulos se ha mantenido una seriedad
profunda y equilibrada, según lo que encontrara cuando se encuentre
desenvolviéndose profesionalmente.
CAPITULO I
CINEMATICA
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Ing. Jaime Flores Sánchez 2
1.1. Dada las funciones potenciales: 22 aybxyax
a) Probar que representa un flujo irrotacional.
Para que sea irrotacional se debe de cumplir que: 0. V
aybxy
aybxyax
yv
byaxx
aybxyax
xu
2)(
2)(
22
22
0)2()2(
0
y
aybx
x
byax
y
u
x
u
022 aa l.q.q.d
b) Hallar la función de corriente:
y
u
xv
1
2
12
2
)2(
Cby
axy
dybyaxd
2
2
22
2
)2(
Cbx
axy
dxaybxd
Cbx
axyby
axy
22
22
22
21
Cbxby
22
22
Rpta.
c) Determinar la aceleración:
))(2()2)(2( baybxabyax
z
uw
y
uv
x
uu
t
u
a
a
x
x
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Ing. Jaime Flores Sánchez 3
xbxa
abyxbabyxa
a
a
x
x
22
22
4
224
)2)(2())(2( aaybxbbyax
z
vw
y
vv
x
vu
t
v
a
a
y
y
ybyaay
224
Entonces: kajaiaa zyx
jybaixbaa .4.4 2222
Rpta.
1.2. Considere el campo de velocidad dado por:
kzjyiyxV 22 23
a) Demuestre si el campo es incompresible.
b) Calcule la aceleración de la partícula en el punto (3,1,2)
Solución:
a) el campo es incompresible si: 0.
V
.0)2).((. 22
kzjyiyxk
zj
yi
xV
.0.)2()3()( 22
z
z
y
y
x
yx
.0432 zxy No es incompresible.
b) Calculando la aceleración: yxu 2 ; yv 3 ; 22zw
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Ing. Jaime Flores Sánchez 4
z
Vw
y
Vv
x
Vu
t
Va
Descomponiendo en sus componentes: Pto= (3,1,2)
2223
223
222
/27)1()3(3)1()3(2
32
)0)(2())(3()2(
sm
yxyx
zxyxyyx
z
uw
y
uv
x
uu
xp
xp
xp
xp
a
a
a
a
2
22
/9
9
)0)(2()3)(3()0(
sm
y
zyyx
z
vw
y
vv
x
vu
yp
yp
yp
yp
a
a
a
a
23
3
22
/64)2(8
8
)4)(2()0)(3()0(
sm
z
zzyyx
z
ww
y
wv
x
wu
zp
zp
zp
zp
a
a
a
a
Finalmente:
2/0428.70
64927
sm
kji
kji
a
a
aaaa zpypxp
1.3. Un campo de flujo incompresible está dado por 323 yyx
a) Demuestre que el campo es irrotacional.
b) Obtenga el potencial de velocidades.
c) Bosqueje unas cuantas líneas de corriente en el 1er
cuadrante.
Solución:
a) Para que se cumpla la irrotacionalidad:
02
2
2
2
2
2
zyx
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Ing. Jaime Flores Sánchez 5
Entonces tenemos:
22 33 yxyx
u
xy
xyv 6
Entonces:
udxdx
u
23
22
3
33
yx
dxyx
xx
62
2
vdydy
v
23
6
xy
dyxy
xx
62
2
066 xx Es irrotacional.
b) el potencial de velocidad:
23 3xyx
23 30 xyx
22 3yx
yx 32
131 32 xxy
x
xy
3
132
x
xy
3
13
232 32 xxy
x
xy
3
232
x
xy
3
23
x
y
Φ
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Ing. Jaime Flores Sánchez 6
c) Línea de corriente:
323 yyx
xy 30
y
x
Ψ
1.4. Una función de corriente está dada por
B
yh
A
xsensen ; donde A
y B son constantes: ;0 Ax y >0
a) Podría representar un flujo potencial.
b) Si lo es, localice algunos puntos de estancamiento y trace la L.C.
Solución:
Se debe de probar que: 0
V
También: 0
y
u
x
v ………. (1)
yxu
xyv
Si se cumple entonces la Ec. (1)
representa un flujo potencial.
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Ing. Jaime Flores Sánchez 7
B
y
A
x
BB
y
A
x
yyu coshsen
1senhsen
Luego:
B
y
A
x
BB
y
A
x
Byy
usenhsen
1coshsen
12
B
y
A
x
AB
y
A
x
xxv senhcos
1senhsen
Luego:
B
y
A
x
AB
y
A
x
Axx
vsenhsen
1senhcos
12
Sustituyendo todo en (1)
Tenemos:
y
u
x
v
0
B
y
A
x
BB
y
A
x
Asenhsen
1senhsen
122
= 0
Igualando tenemos: BABA 22
Si A = B, entonces es un flujo potencial
Luego: A = B = C
C
y
C
xsenhsen y
yu
C
y
C
x
Cu coshsen
1; Donde 0u para 0x y para Cx por
y0 .
Para:
C
y
C
x
Cxv senhcos
1; Donde 0v para 2/x por
y0 y para Cx 0 , para y=0
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Ing. Jaime Flores Sánchez 8
Luego los puntos (0,0) (πc,0)
x
V = 0
.u = 0
Ψ = 0
(0,0) (πc,0)Ψ = 0V = 0
.u = 0
Ψ = 0
1.5. Considere el campo de velocidades dado por jiV ByAxy
2 , donde
114 smA , 112 smB y las coordenadas se miden en metros.
Determinar la rotación del fluido; evalué la circulación alrededor de la
“curva” delimitada por y = 0, x = 1 y x = 0, y = 1. Obtenga una expresión
para la función de corriente.
Solución:
Analizando la rotación en campo de velocidades:
kjiV zyx
2
1
La velocidad angular en sus respectivos ejes es:
z
v
y
wx
2
1 ;
x
w
z
uy
2
1 ;
y
u
x
vz
2
1
Axyu , 2Byv 0w
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Ing. Jaime Flores Sánchez 9
0
x
w
y
w 0
z
v 0
z
u 0
x
v
xxAxy
uz 424
Por lo tanto:
kxkx 242
1 Rpta.
b) Determinando la circulación:
1
0
1
0
42)( xdxdydxdydAV zA
24
1
0
1
0
xdydx Rpta.
La función de corriente
dt
dxAxyu
x
dxAydt
ytAyt KeKexcxAyt 4lnln ; donde k es cte.
dt
dyByv 2
2y
dyBdt
11
11c
yBtc
yBt ; donde 1c es cte.
tcy
21
1 Rpta.
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1.6. Un tanque cilíndrico de radio R = 4’’ se llena con agua a una profundidad
de 6 pulg. El tanque se hace girar alrededor de su eje vertical. Durante el
arranque, ott 0 , la relación de rotación está dada por o
o
t
t donde
.2segto y la velocidad rotacional y de estado estable es .78rpmo La
condición de no deslizamiento requiere que las partículas de fluido en la
pared del tanque tenga velocidad cero relativa a la misma. Para una
partícula en la pared determine la aceleración en el tiempo t = 1seg. y la
aceleración de estado estable.
.w
R
h
Solución:
La aceleración radial es:
2
2
r
r
rV
z
V
z
VVVV
r
VV rrzrrr
rpa
2rarp
…… (I)
La aceleración tangencial.
r
VV
z
V
z
VVV
r
V
r
VV rzr
pa
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Ing. Jaime Flores Sánchez 11
t
ra p
…… (II)
Reemplazando o
o
t
t en (I) y en (II).
2
2
2
o
o
rpt
tra
; o
o
p t
ra
Además ./168.8.78 segradrpm oo
Reemplazando los datos:
./168.8.78 segradrpm oo
r = 4’’
segto 2
.1segt
2
2
2
o
o
rpt
tra
2
rppulg/sega 72.66
)2(
)1()168.8()4(
2
2
2
o
o
p t
ra
2/34.16
2
)168.8)(4(segglpua p
.pulg/segaaa r
234.16,72.66,
Entonces: .pies/sega234.1,56.5
Rpta.
b) Existe aceleración en estado estable.
2
orra y 0a
2
rpulg/sega 86.266)168.8)(4( 2
Entonces: 2
rpies/sega 44.22 Rpta.
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1.7. La componente X de velocidad de un flujo estable e incompresible en el
plano xy es xAu , donde A =2 m2/seg. y x se mide en mts. Demuestre
que la componente y mas simple de la velocidad para este campo de flujos
es 2xAyv . Evalué la aceleración de una partícula de fluido en el punto
(x,y) = (1,3).
Solución:
xAu , demuestre que 22 2 xyxAyv
xu 2 ….. (I), sabemos que para un flujo incompresible se cumple:
0
y
v
x
u…. (II)
Reemplaza (I) en (II)
22
20
2
xy
v
y
v
x
2
2
x
dydv )(
22
xfx
yv
Luego la expresión más simple para v seria escribiendo f(x)=0, es decir:
2
2
x
yv
Entonces:
jx
yi
xV
2
22m/seg.
Calculo de la aceleración en el punto (x,y) = (1,3)
2
22
xx
u
xu
z
uw
y
uv
x
uu
t
uxpa
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Ing. Jaime Flores Sánchez 13
132
422
xxp xxxx
uua Para (x,y) = (1,3), entones :
ixpa 4
z
vw
y
vv
x
vu
t
vypa
223
2242
xx
y
x
y
xy
vv
x
vuypa
444
448
x
y
x
y
x
yypa
Para (x,y) =(1,3), entonces:
jypa 12)3(4
jia 124 m. /seg2. Rpta.
1.8. Considerando el flujo unidimensional incompresible a través del canal
circular mostrado. La velocidad en la sección (1) está dado por
)(10 tsenuuu donde segmu /200 , segmu /21 y segrad /3.0
las dimensiones del canal son L = 1m. R1 = 0.2m. y R2 = 0.1m. Determine
la aceleración de la partícula en la salida del canal.
L
R1
R2V
y
x
.x1 .x2
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Solución:
Por ser un flujo unidimensional: 0 wv
La velocidad:
kwjviuV
itsenuuV )(10
La aceleración en la dirección “x”:
z
uw
y
uv
x
uu
t
u
Dt
Duxpa
)cos(1 tut
u
)cos(. 1 tu
xpa ………. (I)
Pero )(10 tsenuut
x
integrando.
)cos(10 t
utux
- en la salida del canal x = 1m.
)3.0cos(3.0
2)20(1 tt t = 1/20seg. Aproximadamente.
Reemplazando en (I)
)cos(. 1 tuxpa )20/1)(3.0(cos)3.0)(2(
xa
2/599.0 segmxa Rpta.
1.9. El campo de velocidades para un flujo estable no viscoso, de izquierda a
derecha sobre un cilindro circular de radio “a” está dado por:
e
r
aue
r
auV r
22
1sen1cos obtenga expresiones para la
aceleración de una partícula de fluido que se mueve a lo largo de la línea de
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corriente de estancamiento )( y para la aceleración a lo largo de la
superficie del cilindro (r = a). Determine las posiciones en los cuales estas
relaciones alcanzan los valores máximos y mínimos.
e
re
Solución:
Las componentes de la velocidad son:
2
1cosr
auVr ;
2
1senr
auV
Por definición:
*
z
VVV
r
V
r
VV
t
V
Dt
VD rzrrrrr
2
222
2
22)(cos
1sencos2
1cosr
rau
r
a
r
u
r
ua
r
au
Dt
VD r
5
4422
5
22222 sencos2
r
rau
r
arua
Dt
VD r ……. (I)
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*
z
VVV
r
V
r
VV
t
V
Dt
VD zr
2
22
3
22
3
2
2
22
cossencos2
cosr
aru
r
aru
r
ua
r
aru
Dt
VD
5
44222
2
42sen
r
rarau
Dt
VD …………. (II)
Si 0 entonces
re
r
aruaa 5
22222 00
ara
Para r = a
Si 4
7;
4
3
a
ua
2
min
2 Rpta.
Si 4
5;
4
a
ua
2
max
2 Rpta.
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Problemas Propuestos
1) Las componentes de la velocidad en un campo de flujo están dadas por:
222 zyxu ; 2zyzxyv y 42/3 2 zxzw . Se pide calcular:
a) Determinar la razón de dilatación volumétrica e interpretar los resultados.
b) Determinar una expresión para el vector rotación. ¿Se trata de un campo
de flujo irrotacional?
Rpta: a) o
b)
kyjzizy 2/2/52/ ; No
2) Para un campo de flujo bidimensional incompresible la componente de la
velocidad en la dirección “y” está dada por la ecuación: yxxyv 23 .
Determine la componente de la velocidad en la dirección “x” de modo que se
cumpla la ecuación de la continuidad.
Rpta: )(2/33/ 23 ygxxu
3) Se tiene las componentes de la velocidad en coordenadas esféricas como:
cos/8010 3rvr ; sen/8010 3rv . Se pide calcular la
aceleración de una partícula de dicho fluido para el punto (4; 180º).
Rpta: 8.2m/seg2.
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Ing. Jaime Flores Sánchez 18
4) Las componentes de la velocidad de un flujo plano incompresible son:
a) cos21 BrArvr
b) sen2 Brv
Donde A y B son constantes… Calcule la función de corriente
correspondiente.
Rpta: CBrA sen1
5) Dada la función de corriente para un campo de flujo bidimensional
incomprensible está dada por la ecuación: yx 22 . Donde la función de
corriente está dada en unidades de pies2/seg. con “x” e “y” en pies.
a) Este campo de flujo es irrotacional.
b) Determinar la aceleración de una partícula de fluido en el punto x = 1
pies; y = 2 pies.
Rpta: a) Si. b) (cero)
CAPITULO II
FLUJOS NO
VISCOSOS Y
VISCOSOS
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20
2.1 Cuando un avión vuela a través de un frente frío, un instrumento del
tablero indica que la temperatura ambiental desciende a una relación de
0.5 ºF por minuto. Otros instrumentos muestran una velocidad del aire de
300 nudos y una relación de ascenso de 3500 pies/min. Si el frente es
estacionario y verticalmente uniforme, calcule la relación de cambio de
temperatura con respecto a la distancia horizontal a través del frente frío.
Solución:
minº5.0 F
dt
dT Nota: 1 nudo = 0.5144 m/seg. = 1.688 pies/min.
300aireV Nudos aireV 30348 pies/min.
Vascenso = 3500 pies/min.
min/303843500
º5.0
pies
F
dt
dxdt
dT
dx
dT
piesFdx
dT/º104756.1 5 Rpta.
2.2 La distribución de la velocidad en un campo de flujo estable es
jiV yx
2352 con el eje z hacia arriba.
a) Demuestre si el campo de flujo es incompresible.
b) Determinar el gradiente de presiones.
c) La p entre los puntos (x,y) = (1,3), y el origen, si 3/2.1 mkg .
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Solución:
a) 52 xu yv 23 Por continuidad:
022
2
x
u
x
u 02
2
2
y
v
y
v 0
y
v
x
u
022 Si es incompresible.
b) Por Navier Stokes
En el eje X:
2
2
2
2
2
2
z
u
y
u
x
uu
x
pg
z
uw
y
uv
x
uu
t
ux
En el eje Y:
2
2
2
2
2
2
z
v
y
v
x
vu
y
pg
z
vw
y
vv
x
vu
t
vy
En el eje Z:
2
2
2
2
2
2
z
w
y
w
x
wu
z
pg
z
ww
y
wv
x
wu
t
wz
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22
Entonces:
x
p
x
uu
y
p
y
vu
z
pg z
0
x
px
)2)(52( y
py
)2)(23(
zp
zgzp00
104
x
x
p
64
y
y
p
zgp z …. (3)
zp
dxxp00
)104(1
yp
dyyp00
)64(1
)102( 2 xxp …..(1) )26( 2yyp …… (2)
Para el gradiente de presiones, tenemos:
pkz
jy
ix
p ).(
kgjyixp )64()104(
kgjyixp )64()104( Rpta
c) Presiones:
)26210( 22 zgyyxxp z ; para z = 0
p (0, 0) = 0
)0)3(2)3(6)1(2)1(10()3,1( 22 p
)0,0()3,1( ppp
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23
2/6.9 mNp Rpta.
2.3 Un flujo laminar permanente circula entre dos placas paralelas fijas
separadas por una distancia “h” siendo el fluido incompresible
moviéndose de izquierda a derecha y no habiendo variación de la
viscosidad; hallar una expresión para evaluar la caída de presión en
función de la velocidad media, y el esfuerzo cortante en función del eje
“y”.
Solución:
y
x
h
De la EC. de Navier Stoke
VB
pVV
t
2).(
………. (*)
En este caso tenemos flujo laminar, el moviendo de fluidos es en la dirección
“x”.
i
x
VVVViVV x
xx ).(
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Considerando flujo permanente: 0
t
i
y
V
x
Vjgj
yi
xi
x
VV xxx
x 2
2
2
2
)(1
jg
yi
y
V
x
V
xi
x
VV xxx
x
112
2
2
2
………. (I)
Considerando flujo uniforme, la velocidad permanece constante según x:
0
x
Vx
Reemplazando en (I);
2
21
0y
V
x
x
2
21
y
V
x
x
Considerando x
= cte y UVx
2
21
y
U
x
Integrando: 1
1Cy
xy
U
21
2
2CyC
x
yU
……… (II)
Por consideraciones de borde:
y = 0, U = 0
y = h, U = 0
En (II): C2=0
1
2
20 hC
x
h
x
hC
21 ….. (III)
Reemplazando (III) en (II):
x
hy
x
yu
22
2
yhyx
u
2
2
…… (IV)
La velocidad media: mV
h
Vdy
hb
bdyV
A
VdAVm
.
.
h
VdyVm
….. (V)
Reemplazando (IV) en (V): V = U
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25
h
h
m hyy
xhh
dyyhyx
A
UdAV
0
230
2
232
2
x
hh
xh
hhh
xhVm
1262232
2323
…………….. (VI)
Si U > 0, habrá una caída de presiones a lo largo de x.
21 ppp ; 12 pp ; 0p
L
p
L
pp
LL
pp
x
p
21
12
12
En la expresión VI
L
phVm
12
2
por lo tanto.
2
12
h
LVp m
……. Rpta.
Para el esfuerzo cortante en función de “y “: en la expresión (IV)
hyyL
pU
2
2
1
2
2yhy
L
pU
……… (VII)
(VII) entre (VI)
2
2
2
2
6
12
2
h
yyh
V
u
L
ph
yyhL
p
V
u
mm
2
26
h
yyhVu m
El esfuerzo cortante está dado por la Ky de viscosidad de Newton.
22
2 266
h
yhuV
h
yyhV
yu
y
uu mm
2
26
h
yhuVm Rpta.
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2.4 Considere el flujo de baja velocidad entre los discos parabólicos según se
muestran. Suponga que el flujo es incompresible y no viscoso y que la
velocidad es puramente radial y uniforme en cualquier sección. La
velocidad del flujo es V= 15 m/seg. en R = 75 mm. Simplifique la ecuación
de continuidad a una forma aplicable a este campo de flujo. Muestre que
una expresión general para el campo de velocidades es
rerRVV )/( para
Rrri . Calcule la aceleración de una
partícula de fluido en las posiciones Rr y irr
.ri
R
V = 15m/seg
Solución:
Aplicando continuidad:
011
z
VV
rr
rV
r
zr
r
rV
rr
1= 0
KrV
r
rVr
r
0
Donde K = VR
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. r
KVr
rr erRVV )/(
0
z
VVV
r
V
r
VV
r
V
Dt
DV rzrrrrr
r
VR
rr
RV
r
VV
Dt
DV rrr 3
22
r
RV
Dt
DVr ….(I)
De la ecuación (I):
Si irr .813
22 segkm
r
RV
Dt
DV
i
r Rpta.
Si Rr .33
22 segkm
R
RV
Dt
DVr Rpta.
2.5 La velocidad del aire en el múltiple de un MCI en )(10 wtsenVV ; si
Vo = 30m/s, f = 50 hz, la densidad es la mitad del aire estándar, con una
longitud del fuselaje de L= 0.3m .Calcular la variación de la presión que se
origina en kPa; para un tiempo de 2 seg. desprecie los efectos friccionantes.
Solución.
)(10 wtsenVV araire_stand21
smV /300 L=0.30m
f = 50 hz ?p
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Euler (para efectos friccionantes).
z
Vw
y
Vv
x
Vu
t
Vpg
En el eje X:
z
uw
y
uv
x
uu
t
u
x
pg x
Observaciones:
V = unidimensional
iuV
)(10 wtsenVu
0
x
u, 0
y
u, 0
z
u
t
u
x
p
)cos(0 wtwVx
p
dxwtwVdp
L
0
0
0
)cos(
dxwtwVdp
L
0
0
0
)cos(
LwtwVp )cos(0
T = 15 ºC
P = 101.325 kpa
R = 0.2869Kj/kgºK (Tabla 4; Ref: 7)
3/2263.1 mkgRT
est
3/6131.02
mkgest
Sabemos que:
)50(22 f
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Entonces, para t = 2seg. y s
rad.1553.314
tp cos)3.0)(1593.314)(30)(6131.0(
733.1p kN/m2 Rpta.
2.6 El campo de velocidades de un flujo viscoso incompresible está dado
por:
kyjyzizxV 42 222 La densidad del fluido es y la viscosidad
. Calcular el gradiente de presiones en el punto (2, 0, 1). El eje vertical es
Y.
Solución:
Aplicando 2da
ley de Newton a un elemento diferencial de fluido y
considerando la aceleración total (aceleración local + aceleración
convectiva).
VB
pVV
t
2).(
………….. (*)
De la distribución de velocidades podemos notar que V no depende del tiempo,
entonces el flujo es permanente 0
t
v; solo tenemos la aceleración
convectiva.
)).(()(
.).(
kVjViVz
Vy
Vx
VVV
Vz
ky
jx
ikVjViVVV
zyxzyx
zyx
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30
kz
VV
y
VV
x
VV
jz
VV
y
VV
x
VVi
z
VV
y
VV
x
VVVV
zz
zy
zx
y
z
y
y
y
xx
zx
yx
x
).(
).()().(
…(I)
La aceleración convectiva para:
zxvx
2 ; xzx
vx 2
; 0
y
vx ; 2xz
vx
222 zyvy ; 0
x
vy; 24yz
y
vy
; zy
z
vy 24
(II)
yvz4 ; 0
x
vz ; 4
y
vz ; 0
z
vz
(II) en(I):
k
jia
yzyyx
zyyyzzyyxxyzyxzyx
)0(4)4)(2()0(
)4(4)4)(2()0()(4)0)(2()2(
222
222222222
kjia zyzyzyyxyzx
2234323 8)16842 ………… (III)
La fuerza viscosa por unidad de masa
V2 .
V
zk
yj
xi
zk
yj
xiV .)).((2
)).((2
2
2
2
2
22
kVjViV
zyxV zyx
kz
V
y
V
x
V
jz
V
y
V
x
Vi
z
V
y
V
x
VV
zzz
yyyxxx
)(
)()(
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
…….. (IV)
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31
Luego:
zx
vx 22
2
; 0
2
2
y
vx ; 02
2
z
vx .
02
2
x
vy; 2
2
2
4zy
vx
; 2
2
2
4yz
vy
. … (V)
02
2
x
vz ; 02
2
y
vz ; 02
2
z
vz .
(V) en (IV):
jzizV 422 …….. (VI)
Finalmente en la expresión (*)
)42()8()168()42( 2343223
jzizp
kzyjzyzyiyxyx
kzyjzyyziyxzxzp
)8()884()422( 2233223
jgkzyjzyyziyxzxzp )()8()884()422( 2233223
kzyjgzyyziyxzxzp )8()884()422( 2233223 …(VI)
Con los datos en el punto (2,0,1)
jgip )4())1)(2(42( 23
jgip )4()162( Rpta.
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Problemas Propuestos
1) El potencial de velocidad para un campo de flujo bidimensional es:
23 53/5 xyx ; demostrar que se cumple la ecuación de continuidad y
determinar la función de corriente.
Rpta: Cyyx 3/55 32
2) Las componentes de la velocidad están dadas por: )(3 22 yxu ; xyv 6 .
Determine:
a) Este campo de velocidad, ¿satisface la ecuación de continuidad?
b) Determine la ecuación para el gradiente de presiones en la dirección y en
cualquier punto del campo.
Rpta: a) Si b) )(18 23 yxyy
p
3) Entre paredes en forma de cuña fluye agua hacia una pequeña abertura, como
se muestra en la figura. El potencial de velocidad con unidades de m2/seg.
para este flujo es rln2 ; con “r” en metros. Determine el diferencial de
presiones entre los puntos A y B.
Rpta: .78.1 kPap
π/6
θ
r
1 m. 2 m.
A B
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4) Se tiene la función de corriente para un campo de flujo bidimensional
incompresible es: 22sen3 3 r . Donde está en pies2/seg. cuando
“r” está en pies y esta en radianes. Determinar el esfuerzo cortante; r en
el punto r = 2 pies; = π/3 rad. Si el fluido es agua.
Rpta: 25 /101.85 pieslbr
5) Un fluido viscoso incompresible se coloca entre dos placas paralelas
horizontales infinitas como se muestra como se muestra. Las dos placas se
mueven en direcciones opuestas a velocidad constante U1 y U2 como se
muestra. El gradiente de presiones en el eje “x” es cero y la única fuerza del
cuerpo se debe al peso del fluido. Usando la ecuación de Navier-Stokes,
obtener una expresión para la distribución de velocidades entre las placas.
Suponga que el flujo es laminar.
Rpta: 221 Uy
h
UUu
h
U1
U2
y
x
CAPITULO III
ANALISIS
DIMENSIONAL Y
TEORIA DE
MODELOS
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3.1. Un tanque de H2O con D se vacía desde una altura h0; el hoyo de
drenaje tiene d . Suponga que
m depende o está en función de:
h; D; d; g; y
Determinar:
a) Número de parámetros adimensionales a encontrar.
b) Número de parámetros de repetitivos.
c) El número que contenga la .
Solución:
m : 1MT
h: L
D: L
d: L
g: 2LT
: 3ML
: 11 TML
M = 3
n =7
# = n-m = 4
En el sistema (MLT) la matriz
es:
1020001
1311110
1100001
T
L
M
gdDhm
Obs:
02
020
311
100
# de parámetros
repetitivos = 3
;; gd
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... zyx gd
1132000 ..... TMLMLTLLLTM zzyyx
L: 013 zyx x = -3/2
M: 01z z = -1
T: 012 y y = -1/2
Entones el número en función de la viscosidad, será:
... 121
23
gd
...
21
23
gd Rpta.
3.2. Una pequeña esfera liquida de radio r0 y densidad 0 cae con una
velocidad U, en un segundo liquido de densidad y viscosidad . Las
prueba se llevan acabo dentro de un tubo de radio r. Mediante análisis
dimensional un conjunto de parámetros adimensionales para ser utilizado en
la determinación de la influencia de la pared del tubo en la velocidad de
sedimentación.
Solución:
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U: 1LT
: 3ML
0 : 3ML
r: L
r0: L
F: 2MLT
: 11 TML
m: 3
n: 7
# = n-m = 4 2010001
1113131
1011010
00
T
L
M
FrrU
Obs:
01
001
131
110
# de parámetros
repetitivos = 3
;;rU
* 01 ... zyx rU Entonces: 01
* 02 ... rrU zyx Entonces: rr02
* ...3
zyx rU
113000 ..... TMLLLMTLLTM zyyxx
L: 013 zxy z = -1
M: 01y y = -1
T: 01 x x = -1
Por lo tanto: ...
3rU
* FrU zyx ...4
23000 ..... MLTLLMTLLTM zyyxx
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39
L: 013 zxy z = -2
M: 01y y = -1
T: 02 x x = -2
Entonces: ... 224
rU
F
...;;;
...
00
22 rUr
r
rU
FFF
...;;;... 0022
rUr
rUrF
Nota: Los parámetro 1 y 2 han sido determinados de manera similar a los 3
y 4 .
3.3. Suponga que la fuerza de resistencia R de una placa plana sumergida en
un fluido depende de la densidad y viscosidad de este, así como la velocidad
y el ancho (b) y la altura (h), de la placa. Encuentre un conjunto conveniente
de parámetros para organizar los datos:
Solución:
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F: 2MLT
: 11 TML
: 3ML
V: 1LT
b: L
h: L
m = 3
n = 6
# = n-m = 6
La “matriz de dimensiones” es
la siguiente:
001102
111131
000111
T
L
M
hbVFr
Obs:
01
010
113
001
# de parámetros
representativos
= 3
bV ;;
Calculando los parámetros:
* FrbVcba
... 111
1
213000
1 ... 111 MLTLLTMLTLMcba
L: 013 111 cba c1 = -2
M: 011 a a1 = -1
T: 021 b b1 = -2
Entonces: 221
.. bV
Fr
* ... 222
2
cbabV
1113000
2 ... 222 TMLLLTMLTLMcba
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L: 013 222 cba c2 = -1
M: 012 a a2= -1
T: 012 b b2= -1
Entonces: bV ..
2
* hbVcba
... 333
3
LLLTMLTLMcba
... 333 13000
3
L: 013 233 cba c3= -1
M: 03 a a3= 0
T: 03 b b3 = 0
Entonces: b
h3 Rpta.
3.4. La potencia por área de sección transversal unitaria, E, transmitida por
una honda sonora es una función de la velocidad de onda, V, la densidad el
medio, , la amplitud de la onda, r, y la frecuencia de la onda, n.
Determine, por medio del análisis dimensional, la forma general de la
expresión para E en términos de las demás variables.
Solución:
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Hallando las dimensiones de E:
Según el problema: 3
2
32
MTEL
TML
A
PE
El estado de un fluido es función de: ),,,,( nrVEff
El rango de nuestros números adimensionales será: nm#
m = 5 ; n = 3 235#
Donde:
3 MTLE (Potencia por área de sección transversal unitaria)
1 LTV (Velocidad de onda)
3 ML (Densidad del medio)
Lr (Amplitud de onda)
1Tn (Frecuencia de onda)
La “matriz de dimensiones” es la
siguiente:
001102
111131
000111
T
L
M
hbVFr
Hallando el mayor subconjunto
cuadrado:
01
010
113
001
Calculando los números :
* ErVcba
... 111
1
331000
1 ... 111 MTLMLLTTLMcba
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43
M: 011 b b1 = -1
L: 03 111 cba c1 = 0
T: 031 a a1 = -3
Entonces. 31
.V
E
* nrVcab
... 222
2
131000
2 .... 222 TLMLLTTLMcba
M: 02 b b2= 0
L: 03 222 cba c2 = 1
T: 012 b b2= -1
Entonces: V
nr.2
Como: ),( 21 ff ).
,.
(3 V
nr
V
Eff
Despejando E: ).
(. 3
V
nrfVE Rpta.
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44
3.5. Para que dos máquinas hidráulicas sean homólogas, estas deben (a) ser
geométricamente similares, (b) tener el mismo coeficiente de descarga
cunado se miran como un orificio: 222111 22 gHAQgHAQ , y (c)
tener la misma reilación de velocidad periférica a velocidad del fluido,
AQD . Demostrar que las relaciones de escala pueden expresarse como
cteNDQ 3 y 2NDA . N es la velocidad de rotación.
Solución:
Se tiene
222111 22 gHAQgHAQ 2211 22 gHVgHV
2
1
2
2
1
H
H
V
V
Se sabe que: 21 ReRe
2
2
1
2
NDND
2
22
2
11 DNDN
2
1
21
2
1
D
D
N
N
AQD QDA ….. (i) donde:
222111 HAQHAQ ….. (ii)
22
211
1 HD
cteQQH
D
cteQQ
222111 HDHD
Entonces: 2
22
2
2
11
1
D
H
D
H
Rpta.
22
22
11
11
D
cteQA
D
cteQA
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45
3.6. Se efectúan mediciones de la fuerza de arrastre sobre un modelo de
automóvil en un tanque experimental lleno de agua. La escala de la longitud
del modelo es 1/5 de la del prototipo. Establezca las consideraciones
requeridas para asegurar la similitud dinámica entre el modelo y el
prototipo. Determine la fracción de la velocidad del prototipo en aire, a la
cual la prueba del modelo debe realizarse en agua. Las mediciones
efectuadas a diversas velocidades indican que la razón de fuerza
adimensional se vuele conste a velocidades de pruebas del modelo por
arriba de Vm = 4m/s. La fuerza de arrastre medida durante una prueba a está
velocidad es Fm = 182N. Calcule la fuerza de arrastré esperado sobre el
vehiculo prototipo operando a 90km/hrs. en aire.
Solución:
Modelo (agua) Prototipo (aire)
./4 segmVm
.182NFm
?pV
segmhkmVp /25/90
?pF ?pF
2
5
1
5
1
p
m
p
m
A
A
L
L mp AA 25
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Ing. Jaime Flores Sánchez
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Usando número de Reynolds.
pm ReRe
airep
pp
aguam
mmLVLV
Considerando que tanto el agua como el aire se encuentran a 20ºC
(Tabla Nº 4; Ref: 7)
./101 26 segmmagua
./10514.1 25 segmpaire
./998 3mkgmagua ./21.1 3mkg
paire
p
p
m
m
m
p
p
m
mmp
L
LV
L
LVV
Reemplazando los datos.
5
610154.1
5
1
101
4
pV
./11.12 segmVp Rpta.
Ahora por similitud dinámica:
ppp
p
mmm
m
AV
F
AV
F
....22
222
54
11.12
998
21.1.182
m
p
m
p
m
p
mpA
A
V
VFF
pF =50.58N. Rpta.
Ahora nos piden Fp para: segmhkmVp /25/90
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Ing. Jaime Flores Sánchez
47
mm
m
mm LLLV 6
6104
101
4Re
mmmmm
m
mDAAAV
FC
0228.0
.)4)(998(
)182(2
..
222
Luego hacemos una tabla para valores de segmVm /4
Re mL6104 mL6106 mL6108
mDC mA0228.0 mA0101.0 mA0057.0
Prototipo:
mm
p
ppL
LLV6
51026.8
10514.1
525Re
)10376.3( 7
08204045.0 xey
0.0228
0.0101
0.0057
4 6 8
m
Dm
A
CA 2)(
6
210.
)(m
m
D LL
C
Del grafico para: 61026.8Re
mL
3100462.5 mD AC m
DA
C3100462.5
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48
Luego: pppDp AVCF ...2
1 2
m
m
p AA
F 25.25.21.1.100462.5
2
1 23
.7.47 NFp Rpta.
3.7. El arrastre de onda sobre el modelo de un buque es 16N. a una velocidad
de 3m/seg. para un prototipo 15 veces más grande ¿Cuál será la velocidad y
el arrastre correspondiente, si el líquido es el mismo en cada caso?
Solución:
Datos:
Como se trata de una superficie libre, para buscar la similitud dinámica.
Para hallar la velocidad del prototipo usaremos el número de Fraude:
Lg
VFr
2
, entonces 22
22
m
m
p
p
pp
p
mm
m VL
LV
gL
V
gL
V
m
m
p
p VL
LV
21
Reemplazando los datos: ./61895.11)/3(15 21
segmsegmVp
./61895.11 segmVp Rpta.
Hallando el coeficiente arrastre se tiene:
22
212
21 .... LV
F
AV
FC DD
D
Fm = 16N Vm = 3m/ seg. Lp/Lm = 15
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DpDm CC ; 22
2122
21 .... ppp
Dp
mmm
Dm
LV
F
LV
F
22
m
p
m
p
DmDpV
V
L
LFF
Reemplazando los valores.
22
3
61895.11
1
1516
NFDp kNFDp 54 Rpta.
3.8. Un modelo a escala de 1/5 de un torpedo a prueba en un túnel de viento
para determinar la fuerza de arrastre. El prototipo opera en agua tiene
533mm de diámetro y 6.7m de longitud, la velocidad de operación deseada
del prototipo es 28m/seg. Para evitar los efectos de compresibilidad en el
túnel de viento, la velocidad máxima se limita a 110m/seg. Sin embargo, la
presión en el túnel de viento puede variar mientras la temperatura se
mantiene constante a 20ºC. En condiciones de prueba dinámicamente
similares, la fuerza de arrastre sobre el modelo se mide como 618N. Evalué
la fuerza de arrastre esperada sobre el torpedo a escala natural.
Solución:
Prototipo en agua Modelo en aire
L = 6.7m y V = 28m/seg
CTP º20 segmP /101 26
3/998 mKgP
(Tabla Nº6; Ref: 10,13)
Fm = 618 N
CTm º20 segmm /1054.1 25
3/21.1 mKgm (Tabla4; Ref: 7,8)
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50
Como los números de Reynolds son equivalentes, entonces:
pm ReRe
p
pp
m
mmLVLV
p
m
p
p
mm V
L
LV
)28)(5(
101
10514.16
5
mV
./6.2119 segmVm
Del coeficiente de arrastre se tiene: 22
212
21 .... LV
F
AV
FC AA
D
DpDm CC ; 22
2122
21 .... ppp
Ap
mmm
Am
LV
F
LV
F
m
p
m
p
m
p
AmApV
V
L
LFF
22
Reemplazando los valores.
21.1
998
6.2119
28
1
5618
22
NFAp
Entonces: NFDp 73.2223 Rpta
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51
Problemas Propuestos
1) Se sabe que el coeficiente de transferencia de masa: KC; depende de las
siguientes variable:
SIMBOLO NOMBRES UNIDADES
V Velocidad m/seg.
Densidad Kg/m3
Viscosidad Kg/m-seg.
refL Longitud de referencia m
D Coeficiente de difusión m2/seg.
Kc. Coeficiente de transferencia de
masa
Kg./m2.seg.
Calcular todos los parámetros adimensionales:
Rpta: DD
L
D
LK refrefc
;;
2) Evaluar los parámetro adimensionales; Re; Pr y (Re x Pr)1/2
para el agua que
fluye sobre una placa delgada de longitud 3m, utilizando la siguiente
información: T = 80ºF; Cp = 0.997 BTU/lbm.ºF; hc = 3.0BTU/h.pies2 ºF; K =
0.615W/m y a = 2.18m/seg.
Rpta: Re = 7.4·106; Pr = 5.98
(Re x Pr)1/2
= 6652
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52
3) Deduzca una expresión para la velocidad de líquido que sale de un agujero en
el costado de un tanque abierto si la velocidad depende de la altura H del
agujero desde la superficie libre, la viscosidad y la densidad del fluido, la
gravedad y el diámetro del agujero.
Rpta:
H
d
gHf
gH
V;
4) La razón de flujo de agua sobre un dique depende de la altura hidrostática del
agua, el ancho del dique, la gravedad, la viscosidad, la densidad y la tensión
superficial. Relacione la razón de flujo con las demás variables.
Rpta:
235;;
gHgHH
wf
gH
Q
5) La fuerza de arrastre FD; sobre una esfera lisa que cae en un líquido, depende
de la velocidad de la esfera V; la densidad del solidó S ; la densidad del
liquido y su viscosidad; el diámetro de la esfera D y la gravedad g. obtenga
una expresión para FD.
Rpta:
222;
..;
V
gD
DVf
DV
F SD
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53
6) Se desea probar un modelo a escala 1:5 de un sistema de tuberías de una
estación de bombeo de agua para determinar las pérdidas de cabeza. Se
encuentra disponible aire a 25ºC y 1 atm. para una velocidad del prototipo de
500m/seg. en una sección de 4m de diámetro con agua 15ºC. determinar la
velocidad y la cantidad de aire necesarias, y como se convertirían las perdidas
determinadas en el modelo a perdidas e el prototipo.
Rpta: 36.98m/seg.; 18.59m3/seg. (las pedidas iguales se
expresan en cabezas de velocidad)
7) Se va realiza un estudio submarino de una marsopa empelando un modelo a
escala 1:10 se simulará una marsopa que nada a 10m/seg. y efectúa un
moviendo natatorio a cada segundo. ¿que velocidad podría emplearse en el
canal de agua? ¿Cuántos movimientos deben efectuarse por segundo?
Rpta: 5 movimientos/seg.
8) Se piensa a realizar un estudio con modelos dirigibles (un globo grande que
viaja por el aire) el dirigible de 10m de diámetro viajará a 20m/seg. si se
propone usar un modelo a 40cm, diámetro en un túnel de viento o un modelo
de 10cm de diámetro en un canal de agua ¿Cuál alternativa debe escogerse?
Suponga que el modelo del túnel de viento se prueba con una velocidad de
15m/seg. y se mide la fuerza de arrastre de 3.2N ¿Qué fuerza habría esperar
sobre el modelo de canal de agua con una velocidad de 2.4m/seg. en el canal?
¿Qué potencia en caballos de fuerza se predeciría para superar el arrastre
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sobre el prototipo? Suponga que el flujo es independiente del número de
Reynolds para Re > 105
Rpta: 4.16N; 71.14Kw
9) Se tiene un avión que se desplaza a 1120km/h a una altitud de 15km ¿Cuál es
la velocidad requerida a una altitud de 7km a fin de satisfacer la semejanza
del número de Reynolds.
Rpta: 1180km/h.
10) La razón de flujo sobre un dique es de 2m3/seg. de agua en una canal de agua
se prueba un modelo a escala 1:10 del dique: si se mide una fuerza de 12N en
el modelo ¿Qué fuerza debe esperar en el prototipo?
Rpta: 12000N.
CAPITULO IV
ESTUDIO DEL
FLUJO INTERNO
INCOMPRESIBLE
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56
4.1. Determine el flujo Q. utilice el gráfico para encontrar los coeficientes de
pérdidas menores.
100pies
80pies
80pies
H2O
T= 60ºF
Diámetro
Nominal 10'’
Válvula de
compuerta
abierta
20p
ies
Expansión repentina
Entrada con bordes agudos
Dnominal = 14 pulg
L = 30pies.
40º Φ = 6’’
A
B
Solución:
piesL 1001
pulgD 02.101
2pulgA 02.101 2
B pulgA 27.28
piesL 802 pulgD 02.102
2pulgA 02.102 0 atmBA PPP
manométrica
0
AV piesL 803 pulgD 02.103
2pulgA 02.103
piesL 304
pulgD 134 2pulgA 73.1324
Para un H2O a 60ºF, tenemos 3/938.1 piesslug y segpie /1022.1 25
(Tabla Nº 6; Ref: 9)
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Aplicando la ecuación de energía en entre los puntos A y B.
hzg
Vpz
g
VpB
BBA
AA 22
22
………. (I)
hg
Vzz B
BA 2
2
Donde: h = hp + hs
2
2
22
2
2
22
2
2
22
1
2
11
2222 gD
VLf
gD
VLf
gD
VLf
gD
VLfhp
Donde:
BVV 4.01 ; BVV 4.02 ; BVV 4.03 ; BVV 4.04 .
pie
pulgVVVV
g
fhp BBBB
1
12
''13
21.030
''02.10
4.080
''02.10
4.080
''02.10
4.0100
2
2222
2024.2 BfVhp
g
VK
g
VK
g
VK
g
VK
g
VK
g
VKhs xxxxxx
222222
2
6
2
5
2
4
2
3
2
2
2
1
Considerando interior cte par tubería y codo.
B
x
Bx V
A
AV
Bx VV 4.0
De (Tabla Nº 13; Ref: 5)
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5.01 K : Entrada
168.02 K : Codo
168.03 K : Codo
11.04 K : Válvula
18.05 K : Expansión.
96.06 K : Difusor.
222
222
)4.0(96.0)4.0(18.0)4.0(11.0
)4.0(168.0)4.0(168.0)4.0(5.0
)2.32(2
1
BBB
BBB
VVV
VVVhs
2013.0 BVhs
Reemplazando en (I)
222 0155.0013.0024.2100 BBB VVVf
22 0285.0024.2100 BB VVf ……………. (II)
Como solo tenemos una ecuación pero con dos incógnitas, debemos de
realizar iteraciones.
cmD
mm
45.24
046.0 00018.0
D
Asumiendo un f = 0.015 de (Tabla Nº 9; Ref: 11)
Reemplazando en (II) obtenemos: 22 0285.0024.2)014.0(100 BB VV
segpiesVB /94.41
Calculando el número de Reynolds.
7
5104.334445809
)1022.1(
)02.10)(94.41(Re
VD Turbulento.
Buscando en (Tabla Nº14; Ref: 12)………
00018.0
104.3Re 7
D
f = 0.014
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Lo cual nos indica que el valor asumido de f = 0.014 es el correcto.
Entonces hallando el caudal.
)19630)(/94.41(. 2pie.segpieAVQ
./23.8 3 segpieQ Rpta.
4.2. ¿Qué presión P1 se necesita para hacer circular 100lt/seg. de agua hacia el
aparato con una presión manométrica P2 = 40kPa? El diámetro de la tubería
de acero comercial es 150mm. Suponga que ./10113.0 25 segm
325m
260m
16
0m
26
m
K = 0.9
K = 0.9
aire
K = 1
K = 0.4
agua
A
B1
2
Aparato
N.R
Solución:
Datos:
segmQ /1.0 3 ;
kPap 402 ;
m15.02
(acero comercial);
segm /10113.0 25
006.0
De (TablaNº9;Ref:
5)
segmVAVQ /66.5.
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Luego el reynolds: 5105.7ReRe
VD……….. (a)
Para el tubo de acero comercial: 0004.0
D
……. (b)
Ahora con (a) y (b) en diagrama de Moody: De (Tabla N º 14; Ref: 12)
Obtenemos el f=0.017, luego aplicando bernoulli entre los puntos 1 y 2
hpgzgVp
zgVp
..2
.2
2
2
221
2
11
hpgzgVp
zgp
..2
. 2
2
221
1
…… (I)
Donde: sf hhhp
Entonces: 321
2
2LLL
g
Vfh f
mhh ff 863.137260160325)81.9(2
)66.5()017.0(
2
mhKg
Vh s
i
is 225.519.09.04.0)81.9(2
)66.5(
2
24
1
2
Reemplazando en la ecuación (I) 12
2
221 ...2
zghpgzgVpp
:
)088.143(81.9)26(81.9)160(81.92
66.5
1000
1040
1000
23
1
p
MPap 774.21 Rpta.
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4.3. Un ducto de sección trapezoidal transporta 2 pie3/seg. de queroseno. La
rugosidad es de 0.0004pies. ¿Cual es la caída de presión en 100 pies de
ducto? La temperatura es 50ºF.
1pie100pies
10pulg
A B
60º 60º
Solución:
Hallando el área del trapecio: AT = 71.1735pulg2
Hallando el perímetro: Pm = 35.553pulg
El diámetro hidráulico pulgP
AD
m
TH 8
553.35
)1735.71(44
667.5065
22 Q
VA
QV Donde Q es el caudal.
g
V
D
Lfhp
g
Q
D
Lfhp
Ho
oo
2
8 2
2
2
5
2
5 )7.5065)(2)(8(8
oD
.2.9 pulgDo
Aplicando Bernoulli entre los puntos (A) y (B)
hpzg
Vpz
g
VpB
BBA
AA 22
22
hpp .
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62
g
V
D
Lfhp
H 2
2
; pulgd
pies
4.14
0004.0
00033.0
d
(Tabla Nº 9;Ref: 5)
AVQ .
pulg/seg./segpulg
A
QV
3
75.682
34562
5
26
2
105.1)12)(1037.2(
)3048.0)(8)(75.68(Re
VD
En el diagrama de Moody (Tabla N º14; Ref: 12) f = 0.018
3
3
12
3048.0)/2.2)(/814(24.0
kglbmkgp
2pulglbp /107 3 Rpta.
4.4. A través de una tubería fluye agua con un caudal de 5lt/seg. si se miden
las siguientes presiones manométricas: p1 = 12kPa, p2 = 11.5kPa y p3 =
10.3kPa ¿Cuáles son las pérdidas de altura entre (1) y (2); y entre (1) y (3)?
P1 P2
P3
10m
D1 = 50mm.
D2 = 50mm.
D3 = 30mm.
1 2
3
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Solución:
Calculemos la Pérdidas de altura entre (1) y (2):
Ecuación de Bernoulli con pérdidas:
212
2
221
2
11
22 hpHg
VpH
g
Vp
Despejando: 21
2
2
2
121
21 22HH
g
V
g
Vpphp
21
21
pphp
………… (I)
Reemplazando los datos del problema en la ecuación (I)
321 /9810
5.1112
mN
kPakPahp
mhp 050968.021
Rpta
Calculemos la Pérdidas de altura entre (1) y (3):
1) Hallando las velocidades V1 y V3
Se sabe que el caudal es igual producto de la velocidad y el área de la sección
transversal por el cual fluye el fluido. AVQ . .
Despejando la velocidad: 2
4
i
i
i
iD
QV
A
QV
.
Como segmQ /005.0 3 , entonces:
./546479.2)1050(
)105(44123
3
2
1
1 segmVD
QV
./073553.7)1030(
)105(44123
3
2
2
2 segmVD
QV
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Aplicando la ecuación de Bernoulli con pérdidas entre los puntos (1) y (3).
313
2
33
1
2
11
22 hpHg
VpH
g
Vp
Despejando: 31
2
3
2
131
31 22HH
g
V
g
Vpphp
………… (II)
Reemplazando los valores obtenidos en la ecuación (II)
010)81.9(2
073553.7546479.2
9810
103.101012 2233
31
hp
Entonces: mhp 9533588.731
Rpta.
4.5. Escoja el diámetro interno de la tubería de manera que el empuje
horizontal sobre la tubería ejercida por el agua no exceda el valor de 30kN.
La tubería del agua es 5ºC. No tenga en cuenta las pérdidas menores.
32m
130m
32m
a
b
1
Solución:
Hallando la presión en el punto (b), para ello vamos a aplicar la ecuación de
Bernoulli entre los puntos (1) y (b).
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65
b
bb Hg
Vph
g
Vp
22
2
1
2
11
Despejando la presión en el punto (b).
b
bb hh
g
V
g
Vpp 1
22
11
22
Simplificando y reemplazando los valores en la expresión anterior:
g
Vhp b
b2
2
1
2500313920 bb Vp ………………… (I)
Aplicando Bernoulli con pérdidas entre (a) y (b).
bab
bb
a
aa hphg
Vph
g
Vp
22
22
Condiciones que se debe de tener en cuenta, para poder simplificar la expresión:
atma pp ; VVV ba ; ah : Nivel de referencia. mhb 32
329810
0 b
ba
php …………………….. (II)
Pero: g
V
D
Lfhp ba
2
2
D
Vfhp ba
225688.8 …….. (III)
Reemplazando la ecuación (III) en (II)
329810
25688.80
2
bp
D
Vf …………………….. (IV)
Luego la ecuación (I) reemplazamos en (IV), obteniendo la siguiente expresión.
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66
329810
50031392025688.80
22
bV
D
Vf Donde V = Vb
Simplificando la expresión se obtiene:
22
0509684.025688.8
640 VD
Vf …… (a)
Además la fuerza producida por la el agua debe ser menor o igual a 30kN. Esto es
igual a la siguiente expresión:
2
2VAF
Despejando V2:
A
FV
22
Tenemos: 2
2
2
32 3944.76
)4/)(1000(
)1030(2
DV
DV
….. (b)
Reemplazando (b) en (a)
23
8937.378.630640
DD
f
Multiplicando por D3 la expresión. fDD 78.6308937.3640 3 ….. (c)
Ahora de la ecuación (c) daremos un valor a f. La primera selección será:
f = 0.015.
Reemplazando tenemos: )015.0(78.6308937.3640 3 DD
4617.98937.3640 3 DD
De estos valores obtenemos de valor máximo para “D”:
D1 = -0.5671 m
D2 = 0.28353 m.
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D3 = 0.28353 m.
D = Dmax = 0.28353m = 283.53 mm.
Pasamos a determinar el caudal para poder hallar el número de Reynolds.
En la ecuación (b) y
= 1.55·10-6 m2/seg.
LV .Re
9
610222.3
1055.1
)162)(82703.30(Re
Para el acero comercial 046.0 (Tabla Nº 9; Ref: 5)
hallando la rugosidad relativa:
4106224.153.283
046.0 D
En el diagrama de Moody f = 0.039 (Tabla Nº 14; Ref: 12)
Este nuevo valor obtenido se lleva a la ecuación (c).
)039.0(78.6308937.3640 3 DD
60042.248937.3640 3 DD
Hallando el nuevo valor de “D”
D1 = -0.75497 m
D2 = 0.37748 m.
D3 = 0.37748 m.
Por lo tanto el máximo diámetro para la tubería es:
D2 = 0.37748 m. Rpta.
segmV /82703.30)28353.0(
3944.762
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4.6. Determine la distribución del flujo de agua en el sistema de tuberías
ramificadas que se muestra en la figura:
a) Sin una BBA en la línea 1.
b) Incluya BBA en la línea 1 junto al depósito inferior. La curva
característica de la bomba está dada por: 21.04.0250 QQHp , con Hp
en metros, Q en m3/seg. El coeficiente de Hazen-Williams para todos los
tubos es: C = 130.
[1]
[2]
[3]
[4]
Alt:30m
Alt:250m
Alt:300m
Alt:200m
Tubo L(cm.) D(m) HD(m) HDJ (m)
1 200 500 30 180
2 600 300 250 180
3 1500 300 300 180
4 1500 400 200 180
Solución:
Se ha estimado que HDJ = 180m. de la ecuación de continuidad se tiene:
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69
g
V
D
LfHHhp DjD
2
2
1
1
1111
g
V
D
LfHHhp DjD
2
2
2
2
2222
g
V
D
LfHHhp DjD
2
2
3
3
3333
g
V
D
LfHHhp DjD
2
2
4
4
4444
Sea:
012.01 f ; 014.02 f ; 015.03 f ; 013.04 f .
Reemplazando los valores en (I)
g
V
D
LfHHhp DjD
2
2
1
1
1111
)81.9(25.0
200)012.0(30180
2
11
Vhp
segmQsegmV /8616.4/76.24 3
11
Análogamente:
segmQsegmV /4948.0/00035.7 3
22
segmQsegmV /396.0/602856.5 3
33
segmQsegmV /3565.0/837.2 3
44
Comparando:
segmQQQQ /614238.38616.43565.0396.04948.0 3
1432
(I)
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Hallando el numero de Reynolds; para T = 20ºC segm /101 26
7
6
111 102.1
101
)76.24)(5.0(Re
VD
6
2 101.2Re 6
3 1068.1Re 6
4 10134.1Re
Hallando la rugosidad relativa.
D
Sea: = 0.006 (acero comercial) De (Tabla Nº 9; Ref: 5 )
00012.050
006.0
1
D
0002.030
006.0
2
D
0002.030
006.0
3
D
00015.040
006.0
4
D
Del diagrama de Moddy: (Tabla Nº 14; Ref: 12)
0125.01 f ; 014.02 f ; 0145.03 f ; 013.05 f .
Sea: .70mHDj
En forma análoga al anterior, para los f :
Hallando las velocidades:
)81.9(25.0
200)0125.0(3070
2
1V segmQsegmV /4598.2/52839.12 3
11
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segmQsegmV /79388.0/2306977.11 3
22
segmQsegmV /557668.0/8894.7 3
33
segmQsegmV /908957.0/2332565.7 3
44
Luego: segmQQQQ /199389.0 3
1432
Nuevamente para .50mHDj
Para:
0125.01 f ; 014.02 f ; 0145.03 f ; 013.05 f .
Hallamos las velocidades y caudales.
)81.9(25.0
200)0125.0(3050
2
1V
segmQsegmV /7394389.1/85889.8 3
11
segmQsegmV /836792.0/83819.11 3
22
segmQsegmV /58141.0/22527.8 3
33
segmQsegmV /97637683.0/76976.7 3
44
segmQQQQ /65514.0 3
1432
Luego para hallar el DjH más aproximado, hallaremos por
Interpolación:
.666.54
705099389.065514.0
65514.070
mH
H
Dj
Dj
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Luego hallaremos los caudales aproximados:
g
V
D
LfHH DjD
2
2
1
1
11 ……(ii)
Reemplazando los valores en (ii)
)81.9(25.0
2000125.030666.54
2
1V
segmQsegmV /93174.1/8383.9 3
11
En forma análogamente hallaremos las velocidades y los caudales por las
tuberías restantes:
segmQsegmV /8269725.0/699268.11 3
22
segmQsegmV /5759585.0/148146.8 3
33
segmQsegmV /961069.0/64794656.7 3
44
4.7. Determine la distribución de flujo de agua en el sistema que se muestra
en la figura. Suponga factores de fricción constante, con f = 0.02. La
relación carga-descarga para la bomba es 21060 QHp .
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73
ZA=0m
ZB=50m
ZC=48m
P
[2]
[4]
[5]
[1]
[3]
AD
E
B
C
Tubo L(m) D(mm) K
1 100 350 2
2 750 200 0
3 850 200 0
4 500 200 2
5 350 250 2
Solución:
Calculamos una longitud equivalente Lo en el tramo DE, de diámetro Do = D1 =
350mm
Donde: 320 hphphp
Entonces: 3210 QQQQ ……. (I); f = 0.02 (cte)
Además i
ii
fL
ghpDQ
8
25
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74
En (I)
21
3
5
3
21
2
5
2
21
0
5
0
L
D
L
D
L
D 0
65
0 106.1 LD
Para D0 =D1 = 350mm mL 32730
Entonces el sistema de tuberías equivalente será:
ZA=0m
ZB=50m
ZC=48m
P
[1']
[4]
[5]hE
E
B
C
A
[1]
Tubo L(m) D(mm) K
1´ 3273 350 2
4 500 200 2
5 350 250 2
EE z
phc
Además, en el nodo E: 5411 QQQQ
Luego aplicando Bernoulli, tenemos:
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75
2
1
1
11
2
1 10602
QkD
Lf
g
VHphphz AEEA
k
D
Lf
g
Vhz EB
4
44
2
4
2
k
D
Lf
g
Vhz EC
5
55
2
5
2
Reemplazando datos tenemos:
60018298.10 2
1 Vhz EA
2
465036.2 Vhz EB
2
55295.1 Vhz EC
Nota:
16
4
1
22
1
2
1
dVQ
Para luego tabulando tendremos la siguiente tabla:
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Tanq. hE zA-hE Vi i
1 40 -40 1.4129 0.13594
2 40 10 1.9424 0.00102
3 40 8 2.2874 0.11228
1 44.35 -44.35 1.2499 0.12025
2 44.35 5.65 1.4601 0.04587
3 44.35 3.65 1.5450 0.07584
1 44.45 -44.45 1.2459 0.11987
2 44.45 5.55 1.4471 0.04546
3 44.45 3.55 1.5237 0.07480
1 44.48 -44.48 1.2447 0.119750
2 44.48 5.52 1.4432 0.045339
3 44.48 3.52 1.5173 0.074478
1 44.486 -44.486 1.2444 0.119727
2 44.486 5.514 1.4424 0.045314
3 44.486 3.514 1.5160 0.074415
1 45 -45 1.2236 0.11773
2 45 5 1.3735 0.04315
3 45 3 1.4007 0.00876
segmQ /119727.0 3
1
segmQ /045314.0 3
4
Satisface
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77
segmQ /074415.0 3
5
Luego calculo de 2Q y 3Q
./119727.0 3
321 segmQQQ y 32 hphp ………..(II)
gD
QLf
gD
QLf25
3
2
333
25
2
2
222 88
32 DD
2
1
2
3
3
2
L
L
Q
Q 32 0645.1 QQ
Reemplazando en (II), obtenemos.
segmQ /057991.0 3
3
segmQ /061736.0 3
2
4.8. Una tubería se compone de dos segmentos de tubo en serie. La gravedad
específica del fluido es 0.81. si la bomba A suministra una potencia
constante de 1MW, determine la descarga, la carga de presión en las
bombas A y B, y la potencia requerida de la bomba B. La presión mínima
permisible en el lado de succión de la B es de 150 kPa, y ambas bombas son
0.76 eficientes.
Tubo L(m) D(mm) K
1
2
5000
7500
750
750
2
10
0.023
0.023
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78
[1]
[2]
Alt: 0m
Alt: 50m
P
P
A
B
Alt: 27m1
2
Solución:
Aplicando Bernoulli en los puntos (1) y (2)
2
2
221
2
11
22Z
g
VPhfHHZ
g
VPBA
mZZPPPVV atm 5000 212121
).....(..........50 hfHH BA
g
V
Dh
LF
g
V
Dh
LF
g
VK
g
VK
g
V
Dh
LF
g
VKehf
222222
2
2
2
22
2
1
1
11
2
22
2
11
22
42
22
2121221121
16
D
QVperoVVVAAAVAVQQPero
gD
Q
Dh
LF
Dh
LFKKhf
42
2
2
22
1
1121
8
Reemplazando en ()
)81.9()75.0(
8
75.0
7500023.0
75.0
5000023.010250
42
2
QHH BA
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).(..........238.10350 2 aQHH BA
Aplicando Bernoulli entre 1 y la succión en B
BBB
A Zg
VPhfHZ
g
VP
22
2
1
2
11
00 111 ZVamanometricP
)81.9()75.0(
81
42
2
1
1
11
QK
Dh
LFZ
PH B
BA
mZKPaP BB 27150
81.9)75.0(
812
75.0
5000023.027
981081.0
1015042
23
QH A
).......(825.40877.45 2 bQHA
Q
AnwH
n
HQAw A
A
9810)81.0(
76.0106
QH A
).......(644.95
cQ
H A
Reemplazando en (c) en (b)
2825.40877.45644.95
3825.40877.45644.95 QQ
segmQ /051.1 3 Rpta.
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80
La carga de presión (HA) se halla.
Reemplazado Q en (c)
051.1
644.95AH
mH A 91
(HB) se obtiene remplazado (HA) y (Q) en (a)
2)051.1(238.1035091 BH
respuestamHB 73
n
QHW B
B
81.0
76.0
051.1981081.073
BW
KwW B 802
Rpta.
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81
4.9. Determine la distribución de suministro de agua de 14 tubos que se
muestran en la figura .la curva característica para la bomba esta
representada por los datos:
Hp(m) 166 132 18
Q(L/s) 0 600 1000
Solución: El siguiente problema se da solución mediante un programa DELPHI.
P
1500; 400
K=5K=8
610; 350914; 350
760
; 35
0
610; 3
50
914;350
760; 350
975; 300
457
; 300
610; 350
610; 350
61; 1
50
3
12 12 18
15
126
K=10
K=8
K=10
34
30
1215
110L/seg
110L/seg
60L/seg
60L/seg
60L/seg
Elevación en m.
Longitud en m.
Diámetro en mm.
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82
unit Unit1;
interface
uses
Windows, Messages, SysUtils, Variants, Classes, Graphics, Controls, Forms,
Dialogs, Menus, StdCtrls, ExtCtrls, Grids, Buttons;
type
TForm1 = class(TForm)
Panel1: TPanel;
Edit1: TEdit;
Edit2: TEdit;
Edit4: TEdit;
Edit3: TEdit;
Edit5: TEdit;
Edit6: TEdit;
Edit7: TEdit;
Edit8: TEdit;
Edit9: TEdit;
Edit10: TEdit;
Edit11: TEdit;
Edit12: TEdit;
Edit13: TEdit;
Edit27: TEdit;
Edit28: TEdit;
Edit29: TEdit;
Edit30: TEdit;
Edit31: TEdit;
Edit32: TEdit;
Edit33: TEdit;
Edit34: TEdit;
Edit39: TEdit;
Edit14: TEdit;
Edit15: TEdit;
Edit16: TEdit;
Edit17: TEdit;
Edit18: TEdit;
Edit19: TEdit;
Edit20: TEdit;
Edit21: TEdit;
Edit22: TEdit;
Edit23: TEdit;
Edit24: TEdit;
Edit25: TEdit;
Edit26: TEdit;
MainMenu1: TMainMenu;
Iniciar1: TMenuItem;
iniciar: TMenuItem;
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Nuevo2: TMenuItem;
Salir1: TMenuItem;
Ver1: TMenuItem;
Figura1: TMenuItem;
Label1: TLabel;
Label2: TLabel;
Label3: TLabel;
Label4: TLabel;
Label5: TLabel;
Label6: TLabel;
Label7: TLabel;
Label8: TLabel;
Label9: TLabel;
Label10: TLabel;
Label11: TLabel;
Label12: TLabel;
Label13: TLabel;
Label14: TLabel;
Label15: TLabel;
Label16: TLabel;
Label24: TLabel;
Label25: TLabel;
Label32: TLabel;
Label33: TLabel;
Label34: TLabel;
Label35: TLabel;
Label36: TLabel;
Label37: TLabel;
Label38: TLabel;
Label41: TLabel;
Label42: TLabel;
Label43: TLabel;
Label44: TLabel;
Label45: TLabel;
Label46: TLabel;
Label47: TLabel;
Label48: TLabel;
Label49: TLabel;
Label50: TLabel;
Label56: TLabel;
Label57: TLabel;
Label58: TLabel;
Label59: TLabel;
Label60: TLabel;
Label61: TLabel;
Edit38: TEdit;
SG1: TStringGrid;
BitBtn1: TBitBtn;
Label17: TLabel;
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procedure Figura1Click(Sender: TObject);
procedure Salir1Click(Sender: TObject);
procedure iniciarClick(Sender: TObject);
procedure Edit1KeyPress(Sender: TObject; var Key: Char);
procedure Edit26KeyPress(Sender: TObject; var Key: Char);
procedure Edit21KeyPress(Sender: TObject; var Key: Char);
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procedure Edit5KeyPress(Sender: TObject; var Key: Char);
procedure Edit18KeyPress(Sender: TObject; var Key: Char);
procedure Edit6KeyPress(Sender: TObject; var Key: Char);
procedure Edit17KeyPress(Sender: TObject; var Key: Char);
procedure Edit7KeyPress(Sender: TObject; var Key: Char);
procedure Edit16KeyPress(Sender: TObject; var Key: Char);
procedure Edit8KeyPress(Sender: TObject; var Key: Char);
procedure Edit15KeyPress(Sender: TObject; var Key: Char);
procedure Edit9KeyPress(Sender: TObject; var Key: Char);
procedure Edit14KeyPress(Sender: TObject; var Key: Char);
procedure Edit10KeyPress(Sender: TObject; var Key: Char);
procedure Edit25KeyPress(Sender: TObject; var Key: Char);
procedure Edit11KeyPress(Sender: TObject; var Key: Char);
procedure Edit24KeyPress(Sender: TObject; var Key: Char);
procedure Edit12KeyPress(Sender: TObject; var Key: Char);
procedure Edit23KeyPress(Sender: TObject; var Key: Char);
procedure Edit13KeyPress(Sender: TObject; var Key: Char);
procedure Edit39KeyPress(Sender: TObject; var Key: Char);
procedure Edit34KeyPress(Sender: TObject; var Key: Char);
procedure Edit32KeyPress(Sender: TObject; var Key: Char);
procedure Edit33KeyPress(Sender: TObject; var Key: Char);
procedure Edit31KeyPress(Sender: TObject; var Key: Char);
procedure Edit30KeyPress(Sender: TObject; var Key: Char);
procedure Edit29KeyPress(Sender: TObject; var Key: Char);
procedure Edit28KeyPress(Sender: TObject; var Key: Char);
procedure Edit27KeyPress(Sender: TObject; var Key: Char);
procedure Edit38KeyPress(Sender: TObject; var Key: Char);
procedure Edit22KeyPress(Sender: TObject; var Key: Char);
procedure Nuevo2Click(Sender: TObject);
procedure FormCloseQuery(Sender: TObject; var CanClose: Boolean);
procedure BitBtn1Click(Sender: TObject);
procedure SG1Click(Sender: TObject);
private
{ Private declarations }
public
{ Public declarations }
end;
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var
Form1: TForm1;
implementation
uses Unit2;
{$R *.dfm}
procedure TForm1.Figura1Click(Sender: TObject);
begin
form2.visible:=true;
end;
procedure TForm1.Salir1Click(Sender: TObject);
begin
If MessageDlg('Está seguro que desea salir del
programa',mtConfirmation,[mbyes,mbno],0)=mryes then
Begin
MessageDlg('Terminando la aplicación ',mtInformation,[mbOk],0);
Close;
End;
end;
procedure TForm1.iniciarClick(Sender: TObject);
begin
label1.Visible:=true;
label2.Visible:=true;
label3.Visible:=true;
label4.Visible:=true;
label5.Visible:=true;
label6.Visible:=true;
label7.Visible:=true;
label8.Visible:=true;
label9.Visible:=true;
label10.Visible:=true;
label11.Visible:=true;
label12.Visible:=true;
label13.Visible:=true;
label14.Visible:=true;
label15.Visible:=true;
label16.Visible:=true;
label24.Visible:=true;
label25.Visible:=true;
label32.Visible:=true;
label33.Visible:=true;
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86
label34.Visible:=true;
label35.Visible:=true;
label36.Visible:=true;
label37.Visible:=true;
label38.Visible:=true;
label41.Visible:=true;
label42.Visible:=true;
label43.Visible:=true;
label44.Visible:=true;
label45.Visible:=true;
label46.Visible:=true;
label47.Visible:=true;
label48.Visible:=true;
label49.Visible:=true;
label50.Visible:=true;
label56.Visible:=true;
label57.Visible:=true;
label58.Visible:=true;
label59.Visible:=true;
label60.Visible:=true;
label61.Visible:=true;
edit1.Visible:=true;
edit2.Visible:=true;
edit3.Visible:=true;
edit4.Visible:=true;
edit5.Visible:=true;
edit6.Visible:=true;
edit7.Visible:=true;
edit8.Visible:=true;
edit9.Visible:=true;
edit10.Visible:=true;
edit11.Visible:=true;
edit12.Visible:=true;
edit13.Visible:=true;
edit14.Visible:=true;
edit15.Visible:=true;
edit16.Visible:=true;
edit17.Visible:=true;
edit18.Visible:=true;
edit19.Visible:=true;
edit20.Visible:=true;
edit21.Visible:=true;
edit22.Visible:=true;
edit23.Visible:=true;
edit24.Visible:=true;
edit25.Visible:=true;
edit26.Visible:=true;
edit27.Visible:=true;
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87
edit28.Visible:=true;
edit29.Visible:=true;
edit30.Visible:=true;
edit31.Visible:=true;
edit32.Visible:=true;
edit33.Visible:=true;
edit34.Visible:=true;
edit38.Visible:=true;
edit39.Visible:=true;
bitbtn1.Visible:=true;
edit1.SetFocus;
iniciar.Enabled:=false;
end;
procedure TForm1.Edit1KeyPress(Sender: TObject; var Key: Char);
begin
if key=#13 then
edit26.SetFocus;
if not(key in['0'..'9',#8,'.',',']) then key:=#0;
end;
procedure TForm1.Edit26KeyPress(Sender: TObject; var Key: Char);
begin
if key=#13 then
edit2.SetFocus;
if edit1.Text='' then
edit1.SetFocus;
if not(key in['0'..'9',#8,'.',',']) then key:=#0;
end;
procedure TForm1.Edit21KeyPress(Sender: TObject; var Key: Char);
begin
if key=#13 then
edit3.SetFocus;
if edit2.Text='' then
edit2.SetFocus;
if not(key in['0'..'9',#8,'.',',']) then key:=#0;
end;
procedure TForm1.Edit2KeyPress(Sender: TObject; var Key: Char);
begin
if key=#13 then
edit21.SetFocus;
if edit26.Text='' then
edit26.SetFocus;
if not(key in['0'..'9',#8,'.',',']) then key:=#0;
end;
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Ing. Jaime Flores Sánchez
88
procedure TForm1.Edit4KeyPress(Sender: TObject; var Key: Char);
begin
if key=#13 then
edit20.SetFocus;
if edit21.Text='' then
edit21.SetFocus;
if not(key in['0'..'9',#8,'.',',']) then key:=#0;
end;
procedure TForm1.Edit19KeyPress(Sender: TObject; var Key: Char);
begin
if key=#13 then
edit4.SetFocus;
if edit3.Text='' then
edit3.SetFocus;
if not(key in['0'..'9',#8,'.',',']) then key:=#0;
end;
procedure TForm1.Edit3KeyPress(Sender: TObject; var Key: Char);
begin
if key=#13 then
edit19.SetFocus;
if edit21.Text='' then
edit21.SetFocus;
if not(key in['0'..'9',#8,'.',',']) then key:=#0;
end;
procedure TForm1.Edit20KeyPress(Sender: TObject; var Key: Char);
begin
if key=#13 then
edit5.SetFocus;
if edit4.Text='' then
edit4.SetFocus;
if not(key in['0'..'9',#8,'.',',']) then key:=#0;
end;
procedure TForm1.Edit5KeyPress(Sender: TObject; var Key: Char);
begin
if key=#13 then
edit18.SetFocus;
if edit20.Text='' then
edit20.SetFocus;
if not(key in['0'..'9',#8,'.',',']) then key:=#0;
end;
procedure TForm1.Edit18KeyPress(Sender: TObject; var Key: Char);
begin
if key=#13 then
edit6.SetFocus;
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Ing. Jaime Flores Sánchez
89
if edit5.Text='' then
edit5.SetFocus;
if not(key in['0'..'9',#8,'.',',']) then key:=#0;
end;
procedure TForm1.Edit6KeyPress(Sender: TObject; var Key: Char);
begin
if key=#13 then
edit17.SetFocus;
if edit18.Text='' then
edit18.SetFocus;
if not(key in['0'..'9',#8,'.',',']) then key:=#0;
end;
procedure TForm1.Edit17KeyPress(Sender: TObject; var Key: Char);
begin
if key=#13 then
edit7.SetFocus;
if edit6.Text='' then
edit6.SetFocus;
if not(key in['0'..'9',#8,'.',',']) then key:=#0;
end;
procedure TForm1.Edit7KeyPress(Sender: TObject; var Key: Char);
begin
if key=#13 then
edit16.SetFocus;
if edit17.Text='' then
edit17.SetFocus;
if not(key in['0'..'9',#8,'.',',']) then key:=#0;
end;
procedure TForm1.Edit16KeyPress(Sender: TObject; var Key: Char);
begin
if key=#13 then
edit8.SetFocus;
if edit7.Text='' then
edit7.SetFocus;
if not(key in['0'..'9',#8,'.',',']) then key:=#0;
end;
procedure TForm1.Edit8KeyPress(Sender: TObject; var Key: Char);
begin
if key=#13 then
edit15.SetFocus;
if edit16.Text='' then
edit16.SetFocus;
if not(key in['0'..'9',#8,'.',',']) then key:=#0;
end;
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO
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90
procedure TForm1.Edit15KeyPress(Sender: TObject; var Key: Char);
begin
if key=#13 then
edit9.SetFocus;
if edit8.Text='' then
edit8.SetFocus;
if not(key in['0'..'9',#8,'.',',']) then key:=#0;
end;
procedure TForm1.Edit9KeyPress(Sender: TObject; var Key: Char);
begin
if key=#13 then
edit14.SetFocus;
if edit15.Text='' then
edit15.SetFocus;
if not(key in['0'..'9',#8,'.',',']) then key:=#0;
end;
procedure TForm1.Edit14KeyPress(Sender: TObject; var Key: Char);
begin
if key=#13 then
edit10.SetFocus;
if edit9.Text='' then
edit9.SetFocus;
if not(key in['0'..'9',#8,'.',',']) then key:=#0;
end;
procedure TForm1.Edit10KeyPress(Sender: TObject; var Key: Char);
begin
if key=#13 then
edit25.SetFocus;
if edit14.Text='' then
edit14.SetFocus;
if not(key in['0'..'9',#8,'.',',']) then key:=#0;
end;
procedure TForm1.Edit25KeyPress(Sender: TObject; var Key: Char);
begin
if key=#13 then
edit11.SetFocus;
if edit10.Text='' then
edit10.SetFocus;
if not(key in['0'..'9',#8,'.',',']) then key:=#0;
end;
procedure TForm1.Edit11KeyPress(Sender: TObject; var Key: Char);
begin
if key=#13 then
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO
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Ing. Jaime Flores Sánchez
91
edit24.SetFocus;
if edit25.Text='' then
edit25.SetFocus;
if not(key in['0'..'9',#8,'.',',']) then key:=#0;
end;
procedure TForm1.Edit24KeyPress(Sender: TObject; var Key: Char);
begin
if key=#13 then
edit12.SetFocus;
if edit11.Text='' then
edit11.SetFocus;
if not(key in['0'..'9',#8,'.',',']) then key:=#0;
end;
procedure TForm1.Edit12KeyPress(Sender: TObject; var Key: Char);
begin
if key=#13 then
edit23.SetFocus;
if edit24.Text='' then
edit24.SetFocus;
if not(key in['0'..'9',#8,'.',',']) then key:=#0;
end;
procedure TForm1.Edit23KeyPress(Sender: TObject; var Key: Char);
begin
if key=#13 then
edit13.SetFocus;
if edit12.Text='' then
edit12.SetFocus;
if not(key in['0'..'9',#8,'.',',']) then key:=#0;
end;
procedure TForm1.Edit13KeyPress(Sender: TObject; var Key: Char);
begin
if key=#13 then
edit22.SetFocus;
if edit23.Text='' then
edit23.SetFocus;
if not(key in['0'..'9',#8,'.',',']) then key:=#0;
end;
procedure TForm1.Edit39KeyPress(Sender: TObject; var Key: Char);
begin
if key=#13 then
edit34.SetFocus;
if edit22.Text='' then
edit22.SetFocus;
if not(key in['0'..'9',#8,'.',',']) then key:=#0;
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO
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92
end;
procedure TForm1.Edit34KeyPress(Sender: TObject; var Key: Char);
begin
if key=#13 then
edit32.SetFocus;
if edit39.Text='' then
edit39.SetFocus;
if not(key in['0'..'9',#8,'.',',']) then key:=#0;
end;
procedure TForm1.Edit32KeyPress(Sender: TObject; var Key: Char);
begin
if key=#13 then
edit33.SetFocus;
if edit34.Text='' then
edit34.SetFocus;
if not(key in['0'..'9',#8,'.',',']) then key:=#0;
end;
procedure TForm1.Edit33KeyPress(Sender: TObject; var Key: Char);
begin
if key=#13 then
edit31.SetFocus;
if edit32.Text='' then
edit32.SetFocus;
if not(key in['0'..'9',#8,'.',',']) then key:=#0;
end;
procedure TForm1.Edit31KeyPress(Sender: TObject; var Key: Char);
begin
if key=#13 then
edit30.SetFocus;
if edit33.Text='' then
edit33.SetFocus;
if not(key in['0'..'9',#8,'.',',']) then key:=#0;
end;
procedure TForm1.Edit30KeyPress(Sender: TObject; var Key: Char);
begin
if key=#13 then
edit29.SetFocus;
if edit31.Text='' then
edit31.SetFocus;
if not(key in['0'..'9',#8,'.',',']) then key:=#0;
end;
procedure TForm1.Edit29KeyPress(Sender: TObject; var Key: Char);
begin
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93
if key=#13 then
edit28.SetFocus;
if edit30.Text='' then
edit30.SetFocus;
if not(key in['0'..'9',#8,'.',',']) then key:=#0;
end;
procedure TForm1.Edit28KeyPress(Sender: TObject; var Key: Char);
begin
if key=#13 then
edit27.SetFocus;
if edit29.Text='' then
edit29.SetFocus;
if not(key in['0'..'9',#8,'.',',']) then key:=#0;
end;
procedure TForm1.Edit27KeyPress(Sender: TObject; var Key: Char);
begin
if key=#13 then
edit38.SetFocus;
if edit28.Text='' then
edit28.SetFocus;
if not(key in['0'..'9',#8,'.',',']) then key:=#0;
end;
procedure TForm1.Edit38KeyPress(Sender: TObject; var Key: Char);
begin
if key=#13 then
BITBTN1.SetFocus;
if edit27.Text='' then
edit27.SetFocus;
if not(key in['0'..'9',#8,'.',',']) then key:=#0;
end;
procedure TForm1.Edit22KeyPress(Sender: TObject; var Key: Char);
begin
if key=#13 then
edit39.SetFocus;
if edit13.Text='' then
edit13.SetFocus;
if not(key in['0'..'9',#8,'.',',']) then key:=#0;
end;
procedure TForm1.Nuevo2Click(Sender: TObject);
VAR I,J: INTEGER;
begin
edit1.text:='';
edit2.text:='';
edit3.text:='';
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94
edit4.text:='';
edit5.text:='';
edit6.text:='';
edit7.text:='';
edit8.text:='';
edit9.text:='';
edit10.text:='';
edit11.text:='';
edit12.text:='';
edit13.text:='';
edit14.text:='';
edit15.text:='';
edit16.text:='';
edit17.text:='';
edit18.text:='';
edit19.text:='';
edit20.text:='';
edit21.text:='';
edit22.text:='';
edit23.text:='';
edit24.text:='';
edit25.text:='';
edit26.text:='';
edit27.text:='';
edit28.text:='';
edit29.text:='';
edit30.text:='';
edit31.text:='';
edit32.text:='';
edit33.text:='';
edit34.text:='';
edit38.text:='';
edit39.text:='';
for I:=1 to sg1.colcount do
for J:=1 to sg1.rowcount do
begin
SG1.CELLS[I,J]:='';
end;
SG1.Visible:=FALSE;
label1.Visible:=false;
label2.Visible:=false;
label3.Visible:=false;
label4.Visible:=false;
label5.Visible:=false;
label6.Visible:=false;
label7.Visible:=false;
label8.Visible:=false;
label9.Visible:=false;
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95
label10.Visible:=false;
label11.Visible:=false;
label12.Visible:=false;
label13.Visible:=false;
label14.Visible:=false;
label15.Visible:=false;
label16.Visible:=false;
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label37.Visible:=false;
label38.Visible:=false;
label41.Visible:=false;
label42.Visible:=false;
label43.Visible:=false;
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label47.Visible:=false;
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label49.Visible:=false;
label50.Visible:=false;
label56.Visible:=false;
label57.Visible:=false;
label58.Visible:=false;
label59.Visible:=false;
label60.Visible:=false;
label61.Visible:=false;
edit1.Visible:=false;
edit2.Visible:=false;
edit3.Visible:=false;
edit4.Visible:=false;
edit5.Visible:=false;
edit6.Visible:=false;
edit7.Visible:=false;
edit8.Visible:=false;
edit9.Visible:=false;
edit10.Visible:=false;
edit11.Visible:=false;
edit12.Visible:=false;
edit13.Visible:=false;
edit14.Visible:=false;
edit15.Visible:=false;
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96
edit16.Visible:=false;
edit17.Visible:=false;
edit18.Visible:=false;
edit19.Visible:=false;
edit20.Visible:=false;
edit21.Visible:=false;
edit22.Visible:=false;
edit23.Visible:=false;
edit24.Visible:=false;
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edit26.Visible:=false;
edit27.Visible:=false;
edit28.Visible:=false;
edit29.Visible:=false;
edit30.Visible:=false;
edit31.Visible:=false;
edit32.Visible:=false;
edit33.Visible:=false;
edit34.Visible:=false;
edit38.Visible:=false;
edit39.Visible:=false;
bitbtn1.Visible:=false;
iniciar.Enabled:=true;
end;
procedure TForm1.FormCloseQuery(Sender: TObject; var CanClose: Boolean);
begin
if application.messagebox('Desea salir del programa','good bye',
mb_okcancel+mb_iconinformation)=idok then
begin
canclose:=true;
end
else
canclose:=false;
end;
procedure TForm1.BitBtn1Click(Sender: TObject);
var d1,d2,d3,d4,d5,d6,d7,d8,d9,d10,d11,d12,d13,
l1,l2,l3,l4,l5,l6,l7,l8,l9,l10,l11,l12,l13,
h1,h2,h3,h4,h5,h6,h7,h8,h9,h10,
h11,h21,h31,h41,h51,h61,h71,h81,h91,h101,h111,h121,h131,K,
R1,R2,R3,R4,R5,R6,R7,R8,R9,R10,R11,R12,R13,
q1,q2,q3,q4,q5,q6,q7,
qI12 , qII12, qI10,qIII10,qI9,qV9,qII11, qIV11,qIII8,qV8, qIII13,qIV13,
P1,P2,P3,P4,P5,P6,P7,
PIII8,PV8,PI9,PV9,PI10,PIII10,PII11,PIV11,PI12,PII12,PIII13, PIV13,
M1,M2,M3,M4,M5,M6,M7,
MIII8,MV8,MI9,MV9,MI10,MIII10,MII11,MIV11,MI12,MII12,MIII13,MIV13,
U1,U2,U3,U4,U5,
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QN1,QN2,QN3,QN4,QN5,QN6,QN7,QN8,QN9,QN10,QNII11,QN12,QNII12,QN
13, QN11, QII9,
qnII9,QNV8,QNIII8,QNI9,qnV9,QNI10,qnIV11,QNI12, QNIII10
,QNIII13,qnIV13: real;
I:INTEGER;
begin
d1:=strtofloat(edit1.Text); // dimensiones de la tuberia
d2:=strtofloat(edit2.Text);
d3:=strtofloat(edit3.Text);
d4:=strtofloat(edit4.Text);
d5:=strtofloat(edit5.Text);
d6:=strtofloat(edit6.Text);
d7:=strtofloat(edit7.Text);
d8:=strtofloat(edit8.Text);
d9:=strtofloat(edit9.Text);
d10:=strtofloat(edit10.Text);
d11:=strtofloat(edit11.Text);
d12:=strtofloat(edit11.Text);
d13:=strtofloat(edit13.Text);
l1:=strtofloat(edit26.Text); // longitudes de la tuberias
l2:=strtofloat(edit21.Text);
l3:=strtofloat(edit19.Text);
l4:=strtofloat(edit20.Text);
l5:=strtofloat(edit18.Text);
l6:=strtofloat(edit17.Text);
l7:=strtofloat(edit16.Text);
l8:=strtofloat(edit15.Text);
l9:=strtofloat(edit14.Text);
l10:=strtofloat(edit25.Text);
l11:=strtofloat(edit24.Text);
l12:=strtofloat(edit23.Text);
l13:=strtofloat(edit22.Text);
h1:=strtofloat(edit39.Text); // alturas de la tuberias
h2:=strtofloat(edit34.Text);
h3:=strtofloat(edit32.Text);
h4:=strtofloat(edit33.Text);
h5:=strtofloat(edit31.Text);
h6:=strtofloat(edit30.Text);
h7:=strtofloat(edit29.Text);
h8:=strtofloat(edit28.Text);
h9:=strtofloat(edit27.Text);
h10:=strtofloat(edit38.Text);
H11:=H2-h1;
H21:=h3-h2 ;
h31:=h4-h3;
h41:=h5-h4;
h51:=h10-h5;
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98
h61:=h10-h7;
h71:=h7-h8;
h81:=h8-h9;
h91:=h9-h2;
h101:=h6-h9;
h111:=h5-h6;
h121:=h6-h3;
h131:=h7-h6;
K:=0.002113;
sg1.Visible:=true;
label17.visible:=true;
sg1.Cells[0,0]:='Tuberia (i)';
sg1.Cells[0,1]:='1';
sg1.Cells[0,2]:='2';
sg1.Cells[0,3]:='3';
sg1.Cells[0,4]:='4';
sg1.Cells[0,5]:='5';
sg1.Cells[0,6]:='6';
sg1.Cells[0,7]:='7';
sg1.Cells[0,8]:='8';
sg1.Cells[0,9]:='9';
sg1.Cells[0,10]:='10';
sg1.Cells[0,11]:='11';
sg1.Cells[0,12]:='12';
sg1.Cells[0,13]:='13';
sg1.Cells[1,0]:='Q_nuevo(L/s)';
//los R
R1:=K* L1/EXP(4.87*LN(D1));
R2:=K* L2/EXP(4.87*LN(D2)) ;
R3:=K* L3/EXP(4.87*LN(D3));
R4:=K* L4/EXP(4.87*LN(D3));
R5:=K* L5/EXP(4.87*LN(D5));
R6:=K* L6/EXP(4.87*LN(D6));
R7:=K* L7/EXP(4.87*LN(D7));
R8:=K* L8/EXP(4.87*LN(D8));
R9:=K* L9/EXP(4.87*LN(D9));
R10:=K* L10/EXP(4.87*LN(D10)) ;
R11:=K* L11/EXP(4.87*LN(D11));
R12:=K* L12/EXP(4.87*LN(D12));
R13:=K* L13/EXP(4.87*LN(D13));
// los Qi Iniciales
q1:=320;
Q2:=200;
q3:=160;
q4:=50;
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99
q5:=30;
q6:=-30;
q7:=40;
qI12:=40;
qI10:=-100;
qI9:=-120;
qII11:=-90;
qII12:=-40;
qIII10:=100;
qIII13:=50;
qIII8:=-40;
qIV11:=90;
qiv13:=-50;
qV9:=120;
qV8:=40;
qn2:=0;
QN3:=0;
QN4:=0;
QNI12:=0;
qnii12:=0;
QNI9:=0;
QN7:=0;
QNIII8:=0;
QNV8:=0;
qnIV11:=0;
qnIV13:=0;
qnV9:=0;
qnII9:=0;
qnI10:=0;
qnII11:=0;
// Malla I
while (q2-qn2)/q2> 0.0001 do
begin
qn2:=qn2+q2;
P2:=2*R2*ABS(Qn2);
M2:=R2*ABS(Qn2)*Qn2+H21;
end;
while (qi12-qnI12)/qi12> 0.0001 do
begin
qnI12:=qn12+qi12;
PI12:=2*R12*ABS(QnI12);
MI12:=R2*ABS(QnI12)*QnI12+H21;
end;
while (qi10-qnI10)/qi10> 0.0001 do
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100
begin
qnI10:=qnI10+QI10;
PI10:=2*R10*ABS(qnI10);
MI10:=R2*ABS(QnI10)*QnI10+h101;
end;
while (qi9-qnI9)/qi9> 0.0001 do
begin
qnI9:=qnI9+QI9;
PI9:=2*R12*ABS(qnI9);
MI9:=R2*ABS(qnI9)*QnI9+H91;
end;
U1:=-(p2+pI12+PI10+PI9)/(M2+MI12+MI10+MI9);
QN2:=QN2+U1;
SG1.Cells[1,2]:=FLOATTOSTR(abs(QN2));
// malla II
while (q3-qn3)/q3> 0.0001 do
begin
qn3:=qn3+Q3;
P3:=2*R3*ABS(QN3);
M3:=R3*ABS(QN3)*QN3+H31;
end;
while (q4-qn4)/q4> 0.0001 do
begin
qn4:=qn4+Q4;
P4:=2*R4*ABS(QN4);
M4:=R4*ABS(QN4)*QN4+H41;
end;
while (qII11-qnII11)/qII11> 0.0001 do
begin
qnII11:=qnII11+QII11;
PII11:=2*R11*ABS(QnII11);
MII11:=R11*ABS(QnII11)*qnII11+H111;
end;
while (qII12-qnII12)/qII12> 0.0001 do
begin
qnII12:=qnII12+QII12;
PII12:=2*R12*ABS(QNII12);
MII12:=R12*ABS(QNII12)*QNII12+H121;
end;
U2:=-(p3+p4+PII11+PII12)/(M3+M4+MII11+MII12);
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101
QN3:=QN3+U2;
SG1.Cells[1,3]:=FLOATTOSTR(abs(QN3));
QN4:=QN4+U2;
SG1.Cells[1,4]:=FLOATTOSTR(abs(QN4));
// Malla III
while (qIII10-qnIII10)/qIII10> 0.0001 do
begin
qnIII10:=qnIII10+qIII10;
PIII10:=2*R10*ABS(QNIII10);
MIII10:=R10*ABS(QNIII10)*QNIII10+H101;
end;
while (qIII10-qnIII10)/qIII10> 0.0001 do
begin
qnIII13:=qnIII13+qIII13;
PIII13:=2*R13*ABS(qNIII13);
MIII13:=R13*ABS(qNIII13)*qNIII13+H131;
end;
while (q7-qn7)/q7> 0.0001 do
begin
qn7:=qn7+q7;
P7:=2*R7*ABS(QN7);
M7:=R7*ABS(QN7)*QN7+H71;
end;
while (qIII8-qnIII8)/qIII8> 0.0001 do
begin
qnIII8:=qnIII8+qIII8;
PIII8:=2*R8*ABS(QNIII8);
MIII8:=R8*ABS(QNIII8)*QNIII8+H81;
end;
U3:=-(pIII10+pIII13+P7+PIII8)/(MIII10+MIII13+M7+MIII8);
QN7:=QN7+U3;
SG1.Cells[1,7]:=FLOATTOSTR(abs(QN7));
// Malla IV
while (qIV11-qnIV11)/qIV11> 0.0001 do
begin
qnIV11:=qnIV11+qIV11;
PIV11:=2*R11*ABS(qnIV11);
MIV11:=R11*ABS(qnIV11)*qnIV11+H111;
end;
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102
while (q5-qn5)/q5> 0.0001 do
begin
qn5:=qn5+q5;
P5:=2*R5*ABS(QN5);
M5:=R5*ABS(QN5)*QN5+H51;
end;
while (q6-qn6)/q6> 0.0001 do
begin
qn6:=qn6+q6;
P6:=2*R6*ABS(QN6);
M6:=R6*ABS(QN6)*QN6+H61;
end;
while (qIV13-qnIV13)/qIV13> 0.0001 do
begin
qnIV13:=qnIV13+qIV13;
PIV13:=2*R13*ABS(QIV13);
MIV13:=R13*ABS(QNIV13)*QNIV13+H131;
end;
U4:=-(pIV11+p5+P6+PIV13)/(MIV11+M5+M6+MIV13);
QN5:=QN5+U4;
SG1.Cells[1,5]:=FLOATTOSTR(abs(QN5));
QN6:=QN6+U4;
SG1.Cells[1,6]:=FLOATTOSTR(abs(QN6));
// Malla V
while (q1-qn1)/q1> 0.0001 do
begin
qn1:=qn1+q1;
P1:=2*R1*ABS(QN1);
M1:=R1*ABS(QN1)*QN1+H11;
end;
while (qV9-qnV9)/qV9> 0.0001 do
begin
qnV9:=qnV9+qV9;
PV9:=2*R9*ABS(qnV9);
MV9:=R9*ABS(QNV9)*QNV9+H91;
end;
while (qV8-qnV8)/qV8> 0.0001 do
begin
qnV8:=qnV8+qV8;
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103
PV8:=2*R8*ABS(QNV8);
MV8:=R8*ABS(QNV8)*QNV8+H81;
end;
U5:=-(p1+pV9+PV8)/(M1+MV9+MV8) ;
QN1:=QN1+U5;
SG1.Cells[1,1]:=FLOATTOSTR(abs(QN1));
//LOS QUE ASE REPITEN
QN8:=qniii8+(U3-U5);
SG1.Cells[1,8]:=FLOATTOSTR(abs(QN8));
QN9:= (qnv9)+ (U5-U1);
SG1.Cells[1,9]:=FLOATTOSTR(abs(QN9));
QN10:=(qnI10) + (U1-U3);
SG1.Cells[1,10]:=FLOATTOSTR(abs(QN10));
QN11:=qnII11 +(U2-U4);
SG1.Cells[1,11]:=FLOATTOSTR(abs(QN11));
QN12:= qnII12+(U2-U1);
SG1.Cells[1,12]:=FLOATTOSTR(abs(QN12));
QN13:= qnIV13+(U4-U3);
SG1.Cells[1,13]:=FLOATTOSTR(abs(QN13));
end;
procedure TForm1.SG1Click(Sender: TObject);
begin
SHOWMESSAGE('Mecanica de Fluidos 2...');
end;
end.
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104
Problemas propuestos
1) Por un ducto horizontal rectangular de madera de 1 pies por 1.5 pies, circula
aire en condiciones normales a un régimen de 5000 pies3 /min. Determinar la
perdida de carga, la caída de presión y la potencia suministrada por el
ventilador para superar la resistencia al flujo en 500 pies del ducto.
Rpta: 440 pies; 0.233 lb./pulg2; 5.11 hp.
2) Por una tubería de 0.12 m. de diámetro que tiene una contracción repentina a
una tubería de 0.06 m. de diámetro circula a razón de 0.4 m3/seg. Determine
la caída de presión a través de la sección de contracción ¿Cuánto de esta
diferencia de presión se debe a las pérdidas y cuanto se debe a cambio de
energía cinética?
Rpta: 133 kPa; 39.7 kPa; 93 kPa.
3) A través de 2 tubos capilares y desde un tanque fluye queroseno como se
muestra en la figura. Determine las alturas “h” para que flujo este a punto de
convertirse en laminar para cada tubo capilar. La temperatura del queroseno
es 40ºC. Ignore las pérdidas por entrada a los capilares y trate el problema
como cuasi-estática.
Rpta: 272 mm; 183 mm.
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105
4m
m
0.8m
5m
m
0.6m
h
2
1 A B
4) Desde el tanque A hacia el tanque B fluye agua 40ºC ¿Cuál es el caudal para
la configuración que se muestra? Ignore las perdidas por entrada del tubo
capilar al igual que las perdidas por salida.
Rpta: 3.7·10-4
Ls/seg.
0.4
m
0.1
m0
.3m
0.0
8m
min 001.0
A
B
Y
5) Una bomba suministra 100 kw de potencia a un flujo vertical en un
rascacielos, a 30 m. una turbina extrae 20 kw de potencia ¿Qué tan alto puede
llegar el tubo hasta la siguiente bomba si esta requiere una presión
manométrica de entrada de 10000 Pa.? El caudal “Q” es 1m3/seg. suponga
que segm /1001141.0 24 .
Rpta: 22.8 m
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106
6) Una tubería de acero comercial de 6 pulg. conduce 5 pies3/seg. de agua a 60ºF
hacia un aparato con una válvula “B” cerrada y una válvula “A” abierta. En
una emergencia, la válvula “A” esta cerrada y la válvula “B” se abre de
manera que los 5 pies3/seg. chocan con la superficie EG en forma
permanente como escape para este ultimo caso. ¿Cuál es la potencia requerida
por la bomba y cual es la fuerza sobre EG? Considere que a la salida se tiene
un chorro libre ignore la distancia desde B hasta EG.
Rpta: 94 hp; 247 lb.
100 pies500 pies
B
30 pies
bombadeposito grande
Aparato20 pies
E G
B
K = 0.1
K = 0.1
Φ = 6 pulg
A
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107
7) Para la figura mostrada se tiene un flujo de 2 m3/seg. en la tubería. ¿Qué
potencia de salida cabe esperar de la turbina con una eficiencia 85%, si la
diferencia de altura de las superficies de los depósitos es de 60 m.?
Rpta: 932 kw.
300 m
P
Turbinadeposito grande
Agua
20ºCAgua
15ºC
Tubería de hierro colado
de 20 cm. de diámetro
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108
8) Se tiene agua a 10ºC ( segm /10307.1 26 ): circulara del deposito A al
deposito B a través una tubería de hierro fundido ( = 0.26 mm.) de 20m de
longitud a un segmQ /002.0 3 , como se muestra. El sistema contiene una
entrada de borde ahusado y 6 codos regulares de 90º con rosca. Determine el
diámetro necesario para la tubería.
Rpta: 45mm.
Longitud total L = 200m.
A
B
2
1Elevación z2 = 0 m.
Elevación z1 = 2 m.
9) Calcular la distribución de flujo y la caída de la línea de declive hidráulico
para la disposición de los tres tubos paralelos que se muestra; utilice factores
de fricción variable; con = 10-6
m2/seg. donde la entrada total del agua es Q
= 0.02m3/seg.
Tubo L(m) D(m) e(mm) K
(1) 100 0.05 0.1 10
(2) 150 0.075 0.2 3
(3) 200 0.085 0.1 2
Rpta: Q1 = 0.0031 m3/seg; Q2 = 0.00727 m
3/seg; Q3 = 0.00962 m
3/seg.
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109
[1]
[2]
[3]
Q
10) Con la válvula cerrada, del deposito A al B el agua fluye como se muestra en
la figura. ¿Cuál es el caudal hacia el tanque B cuando la válvula se abre para
permitir el paso del agua también hacia el deposito “C”? Ignorar todas las
pérdidas menores y suponer que el factor de fricción es 0.02 para todos los
tubos.
Rpta: 0.0180 m3/seg.
C
Diámetro de cada tubo = 0.1 m.
80m 40m
75m
Elevación = 15m.
Elevación = 0
Elevación = 0
A
B
C
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11) Para el sistema mostrado determinar la distribución de flujo Qi de agua y la
carga piezometrica H en la unión. La bomba tiene una potencia de 20 Kw.
suponer factores de fricción constantes.
Tubo L(m) D(m) f K
(1) 50 0.15 0.02 2
(2) 100 0.10 0.015 1
(3) 300 0.10 0.025 1
Rpta: Q1 = 54 L/seg.; Q2 = 32 L/seg.; Q3 = 21 L/seg. H = 44 m.
[1]
[2]
[3]
Alt: 10m
Alt: 30m
Alt: 15m
B
12) Para un caudal de 30L/seg. hacia B en la figura mostrada ¿Cuál es la cabeza
producida por la bomba? ¿Qué potencia se requiere para una eficiencia del
70%?
Rpta: h = 13m; P = 3.44Kw.
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Alt: 17 m
Alt: 27 m.
Alt: 30 m.
B
L = 300 m.
D = 300 mm.
ε = 3 mm.
L = 300 m.
D = 200 mm.
ε = 1 mm. L = 1000 m.
D = 200 mm.
ε = 1 mm.
L = 300 m.
D = 300 mm.
ε = 3 mm.
Alt: 0 m.
J
13) Los tanques (1) y (2) están expuestos a la atmósfera pero el tanque (3) tiene
una presión manométrica. P = 50 lb/pulg2; se tiene los siguientes datos:
z1 = 650 pies L1 = 2000 pies D1 = 3 pies
1D
e= 0.001
z2 = 600 pies. L2 = 2500 pies. D2 = 3.5 pies.
2D
e= 0.002
z3 = 50 pies. L3 = 2200 pies. D3 = 4 pies.
3D
e= 0.002
¿Cuáles son los caudales en las tuberías? El agua se encuentra a 60ºF. Ignorar
perdidas menores.
Rpta: Q1 = 227pies3/seg.; Q2 = 243pies
3/seg.; Q3 = 467pies
3/seg.
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L1 L2
z1
z2
z3L3
1
2
p3
CAPITULO V
TEORIA DE LA
CAPA LÍMITE
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114
5.1. Hacia un aparato se aproxima agua; el aparato debe desviar una porción
del flujo. El agua se mueve con una velocidad U = 3m/seg. y se
encuentra a una temperatura de 5ºC. A que distancia de A a lo largo de la
parte horizontal del aparato la capa limite laminar tendrá un espesor de
1.2mm. Utilice la solución de Blasius.
Solución:
Utilizando la solución de Blasius tenemos:
21
Re96.4
xx
……………… (I)
Como. T = 5ºC tenemos: sm /1055.1 26 (Tabla Nº 6; Ref: 10)
Uxx Re
6
3
1055.1
)102.1)(3(Re
x 58.2322Re x
Sabiendo que: mm3102.1
Reemplazando en (I) tenemos:
21
Re96.4
xx
21
)58.2322(96.4
102.1 3
x
x = 0.0117m. Rpta.
5.2. Con el perfil: 2.sen yUu , determine la relación x utilizando
la ecuación integral de momentum de Von Kárman para un gradiente de
presión nulo, ¿Cuál es el porcentaje de error de su resultado comparado con
la solución exacta de Blasius?
Solución:
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2.sen yUu
Condiciones de contorno: 1..cc 0y 0u
2..cc y Uu
3..cc y 0dy
dVx
Aplicando estas condiciones se tiene:
1. 00 ¡Correcto!
2. Uu ¡Correcto!
3. 022cos yUdy
dVx ¡Correcto!
Haciendo: zy
zy dzdy
En la ecuación de Von Karman se tiene:
dy
V
V
V
V
xV
oo
o
0
2 1
dz
zz
xU
1
0
2
2 2sen
2sen
Integrando se tiene:
xU
13662.0
2…………….. (I)
También: 0
y
x
dy
dV
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116
0
.22.cos
y
yU
2
U …………. (II)
(II) en (I): xU
U
13662.0
2 2
d
U
dx4975.11
U
x
232
2
1
212
1
795.4x
x
U
x
21
795.4
xUx
Entonces: 2
1
795.4
xUx
Rpta.
Calculo de o en la pared: de Ecu. (II) se tiene que
2
Uo
2
1
Re795.42 x
o
x
U
U
U
x
Uxo
21
Re3276.0
2
1
Re3276.0 2
xo U
Según Blasius: 2
1
Re96.4
xx
% error = %3266.310096.4
795.496.4
Rpta.
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117
5.3. Aire fluye en la región de entrada de un ducto cuadrado, como se muestra
en la figura. La velocidad es uniforme segmuo /30 , y el ducto es de
300mm. de lado. En una longitud de 8m aguas abajo desde la entrada, el
espesor del desplazamiento, * en cada pared mide 1.0mm. determine el
cambio de presión entre las secciones (1) y (2); desprecie todo tipo de
pérdidas.
h =
0.3
m
x
ou=
1.0
mm
.* 2
300mm
30
0m
m
1 2
Solución:
Como el flujo másico es constante entonces se cumple:
21
mm 2211 AVAV
Pero: bhA 1 y *
22 2 hbA
Luego: *
22 2 hbVbhUo
0067114.12 *
2
2
h
h
U
V
o
Aplicando Bernoulli entre 1 y 2:
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hpzg
Vpz
g
Vp 2
2
221
2
11
22 hp = 0
1
2
2
22
21
o
oU
VU
gpp
kpapp 06.610067114.130)81.9(2
9810 22
21 Rpta.
Además sabemos: dyV
V
2
0 0
*
2 1
Usando:
71
2
y
V
V
o
20 2
2
0 2
*
2
2 71
2 71
11
y
dy
dyy
88
71 2
02
2
*
2
27
8
y
m008.08 *
22 Rpta.
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5.4. Aire estándar fluye entre dos placas paralelas como se muestra. La placa
superior es porosa de B a C y se inyecta aire a través de está superficie.
Como resultado, la velocidad de corriente libre, U(x), varia como
1)( xCUxU o , donde
1
1 4 sC y “x” es la distancia en metros medida
desde B. Una capa límite laminar se desarrolla a lo largo de la superficie
inferior; en mx 05.0 mm5.3 . Suponga que la distribución de la
velocidad en está capa limite es lineal. Estime la relación de crecimiento de
la capa limite dxd , en mx 05.0 .
segmUo /5 Uy
x
B C
Solución:
Dado: xxU 45)(
Para: mx 05.0
mm5.3
Por dato el perfil de velocidad es lineal.
byau
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120
0y 0u 0a
y 0dy
du
y 0u
ub
y
U
u
U
y
u
y
0
…………. (I)
Por definición del en el flujo comprensible tenemos:
6
11 2
0
2
dx
dudy
U
u
U
u
yu
………………. (II)
Igualando la ecuación (I) y (II)
dx
dU
6
)45(
6
xdx
d
Donde el aire estándar(Tabla Nº 4; Ref: 7,)
3/29.1 mkg ; 25 /.N1071.1 mseg
Reemplazando datos:
))05.0(45)(29.1(105.3
)1071.1(63
5
dx
d 31037.4
dx
d Rpta.
5.5. Sobre una placa plana se mueve con una velocidad de corriente libre
uniforme de 30pies/seg. En una posición localizada a 6 pies del borde
frontal de la placa. ¿Cuál es el espesor de la capa limite? ¿Cuál es el
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121
esfuerzo cortante sobre la superficie de la placa? Suponga que la capa limite
es laminar.
La temperatura del aire es 100ºF y la presión absoluta es 14.7lb/pulg2.
Resuelva este problema utilizando:
a) El perfil parabólico en la capa limite.
b) El perfil cúbico en la capa limite.
c) El resultado de la solución analítica de Blasius.
Solución:
a) Para un perfil parabólico:
2cybyU Para f (laminar) 0y 0U
y Uu
y 0dy
du
2
2
yy
U
u ……………. (I)
UyU
y
U
y
2
8
22
0
…………. (a)
xd
dUdy
U
u
U
u
dx
dU
15
21 2
0
2
……… (b)
Igualando las ecuaciones (a) y (b)
dxU
d
15 C
U
x
15
2
2
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122
Para 00;0 Cx tenemos: U
x
30
Reemplazando datos tenemos:
.1081.5)30)(07084.0(
)6)(10992.3(30 37
pies
Rpta.
Reemplazando en (a).
)10813.5(
)30)(1099.3(23
7
psi51086.2 Rpta
b) Para un perfil cúbico:
3yyU Para f (laminar) 0y 0u
y Uu
y 0dy
du
3
3
22
3
yy
U
u
2
3
0
U
y
U
y
…………. (c)
xd
dUdy
U
u
U
u
dx
dU
840
1171 2
0
2
….……… (d)
Igualando (c) y (d).
Ordenando tenemos:
ddx
Udx
dU 2
117
)3(840
840
117
2
3
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Integrando tenemos:
U
x
U
xC
39
840
89
840 2 Para: 00;0 Cx
Reemplazando datos: pies31093.4 Rpta.
En (a) psipielb 52
3
3
1053.2/64.3)1093.4(2
)1099.3)(30(3
Rpta.
c) Por la solución de Blasius:
21
21
)6)(30(07084.0
1099.3)6(96.496.4
7
xVx
o
Entonces: pies31026.5 Rpta.
21
21
)16)(30(07084.0
1099.3)30)(0708.0(332.0332.0
722
xVV
o
o
psipielb 523 106.2/10744.3 Rpta.
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124
Problemas propuestos.
1) Se desea que una región laminar tenga por lo menos 2 m. de longitud sobre
una placa plana lisa. Se cuenta con un túnel de viento y un canal de agua.
¿Qué velocidad máxima puede escoger para cada uno? Suponga una baja
intensidad de fluctuación de la corriente libre.
Rpta: 4.5 m/seg.; 0.3m/seg.
2) Suponga que
2sen
yUu en una capa limite con gradiente de presión de
cero. Se pide calcular ?)( ko .
Rpta: x
UU
.33.0
3) Se tiene que el perfil de velocidad en cierta posición x dentro de la capa limite
es:
2
2210)(
yyyu ; una línea de corriente esta a 2cm de la placa plana
en el borde delantero ¿A que distancia está de la placa cuando x = 3m. (es
decir, cuanto vale h)?. Además, calcule el espesor de desplazamiento en x =
3 m. compare el espesor de desplazamiento con (h-2)cm.
Rpta: 21mm; 1mmm.
10 m/seg
Línea ó corriente
Capa límite 10 m/seg.
3 m.
u(y)
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125
4) Una placa plana lisa de longitud l=6m. y ancho b = 4m. se coloca en agua con
velocidad arriba de U = 0.5m/seg.; determinar el espesor de la capa limite y el
espesor cortante en la pared en el centro y el borde de la salida de la placa.
Suponga una capa limite laminar.
Rpta: 0.013m; 0.0716N/m2
0.0183m; 0.0506N/m2
5) Por una placa lisa circula agua con una velocidad corriente arriba de v =
0.02m/seg. determinar la velocidad del agua a una distancia de 10mm. de la
placa a distancia de x = 1.5m y x = 15m del borde principal.
Rpta: 0.00718 m/seg.
0.00229 m/seg.
CAPITULO VI
FLUJO
ALREDEDOR DE
CUERPOS
SUMERGIDOS
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127
6.1. En el pasado los transatlánticos se equiparon con hidroaletas plegables
con el propósito de mantener la estabilidad durante las tormentas. Si el
barco se mueve a una velocidad de 40 nudos. ¿Cuál es el arrastre por
fricción superficial sobre las hidroaletas si cada una tiene 2m de longitud
y 2m de ancho? Para el agua de mar a 10 ºC, el coeficiente de viscosidad
es 23 /.10395.1 msegN y la densidad es 3/1026 mkg la
transición ocurre a 610Re cr . Calcule el arrastre superficial sobre las
hidroaletas suponiendo una capa limite turbulenta para toda su longitud.
Luego calcule el arrastre superficial teniendo en cuenta la porción
laminar de la capa limite.
b= 2
m
L= 2m
dAo
Analizando una hidroaleta
Solución:
Datos: ./5916.20/51479.0
40 segmnudos
segmnudosVbarco
Para el agua de mar a 10 ºC: 23 /.10395.1 msN y 3/1026 mkg
Para una capa limite de transición:
15/1Re1700Re074.0
xxfc …………. (I)
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Calculo de xRe :
Vxx Re
Tenemos: 35.30289579)10395.1(
)2)(5916.20)(1026(Re
3
x ……. (II)
Luego, reemplazando (II) en (I):
12/1 )35.30289579(1700)35.30289579(074.0 fc
3103.2 fc
La fuerza de arrastre viene dado:
bLVcFa f
2
21
Como en una hidroaleta se analiza en las dos superficies, luego:
kNFa 4)4()5916.20)(1026(103.2 23
Como son dos hidroaletas la fuerza de arrastre total será:
.82 kNFaFatotal Rpta
Suponiendo una capa limite turbulento se tiene:
51
Re074.0
xfc
310360332.2 fc
La fuerza de arrastre es: )4()5916.20)(1026(10360332.2 23aF
.11.4 kNaF
La fuerza de arrastre total de las dos hidroaletas será:
.22.82 kNaFaF total Rpta
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Ahora teniendo en cuenta la porción laminar se tiene:
51
Re327.1
xfc
41041115.2 fc
La fuerza de arrastre es: .577.419 NaF
La fuerza de arrastre total de las dos hidroaletas será:
.154.8392 NaFaF total Rpta
**. Comentario: Se observa que en la capa limite de transición la fuerza de
arrastre está en compresión y es mucho mayor en comparación a la capa
límite turbulento y laminar.
6.2. ¿Cuál puede ser el peso del avión Mustang, si el ala tiene un área de la
forma en planta de 233pies2
y vuela con un ángulo de ataque de 3º a una
velocidad de 210 millas/hora. El aire se encuentra a 60ºF. ¿Cuál es la
potencia requerida para superar el arrastre de ala a está velocidad? Los
alerones se encuentra a cero grados.
α= 3º
FS
W
FA
u
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Solución:
Datos:
horamillasU /210
2233piesA
º3
Para: FT º60 3/0769.0 pielbm
(Tabla Nº 4; Ref: 10,14)
Alerones a ºo
?aviónW ?potenciaP
a) De la figura: Sy FWF 0
Pero: ACUFs S
2
21
Hallando 35.0SC : de tablas para:
º3 y alerones º0 (Tabla Nº 8; Ref: 15)
SFW
2
2
21
1
47.1)233)(35.0()210)(0769.0(
seg
pie
mphWavión
lbf
NlbfWavión
1
448.489273.29880
Entonces: kNWavión 102.1329 Rpta.
b) Hallando la potencia requerida:
AVCVFP AA
3
21
Pero: 02.0SC (Fig. Nº 13; Ref: 15)
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131
3
3
21
1
47.1)233()210)(0769.0)(02.0(
seg
pie
mphP
kWP 146.7146 Rpta.
6.3. Una chimenea de 15cm de diámetro en un camión semirremolque se
extiende 2m verticalmente hacia arriba. Estime la potencia en caballos de
fuerza que la chimenea requiere para una velocidad de 90km/h.
Solución:
Datos:
.15.015 mcm
.2mL
segmhkmV /25/90
3/225.1 mkg
segmkg ./10781.1 3
?Pot
Hallando el número de Reynolds.
5
51058.2
10781.1
)15.0)(25)(255.1(Re
HVD
Obtenido el número de Reynolds, buscamos en(Tabla Nº 2; Ref:15): 78.0AC
4
15.0)25)(225.1)(78.0(
22
212
21
AVCF AA
NFA 25.3
Por definición tenemos que: VFPot A
WsegmNPot 25.81)/25)(25.3(
Entonces: HPPot 11.0 Rpta.
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6.4. Un vehiculo se mueve a una velocidad de 10km/h sobre agua en la cual
penetra un par de timones plegables. El ancho del timón es constante e igual
a 0.75m y la longitud que se extiende dentro del agua es 1m. ¿Cuál es el
arrastre superficial sobre los timones si la transición ocurre a 5105Re cr ?
El agua es dulce y su temperatura es 15ºC.
1m.
0.75mV = 100Km/h
agua
Solución:
Sabemos:
Para Re transición.
1Re1700Re031.0 71 LLAC ; 5105Re cr …… (I)
VLL Re …… (II)
6
31002.24
10155.1
)1)(36/1000(999Re
L …… (III)
Reemplazando la (III) en (I)
3166 1066.2)1002.24(1700)1002.24(031.0 71
AA CC
Sabemos que FA es: AVCF AA
2
21
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133
NFA 92.768)75.0()778.27)(999)(1066.2( 23
21
Pero como el timón tiene cuatro caras, la fuerza de arrastre sobre los timones es.
)92.768(44 NFF Atotal
NFtotal 68.3075 Rpta.
6.5. Un túnel de viento de laboratorio tiene una sección cuadrada de prueba
con lados de ancho w=305mm. y longitud 610mm. cuando la velocidad de
aire de la corriente libre en la entrada de la sección de prueba es
segmU /4.241 , la pérdida de carga desde la atmósfera es 6.5mm. de H2O.
Se forman capas límites turbulentos sobre la parte superior, inferior y las
paredes laterales de la sección de prueba. Las mediciones indican que los
espesores de las capas limite son .3.201 mm en la entrada y
.4.252 mm en la salida de la sección de prueba. Sin perfiles de velocidad
son de la forma del exponente 1/7. Evalué la velocidad del aire de la
corriente libre en la salida de la sección de prueba. Determine las presiones
estáticas en la entrada y la salida de la sección de prueba.
Solución:
Como es un flujo turbulento en 7/1n , sabemos:
1
0 00 0
*/11 yd
V
Vdy
V
VLL
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134
10
87
1
0
*7
87
1
1 nnndn LLL
8
* LL
Para los dos casos:
.5875.28
3.20
8
1*
1 mmmmL
L
.175.38
4.25
8
2*
2 mmLL
δ
δ*
W-2δ*
W-2δ*
sección transversal del túnel de viento
Sabemos por continuidad 21 QQ
2211 VAVA
22*
11 )5375.2(25.3025.30 A
2
1 431.646 mmA
22*
22 )175.3(25.3025.30 A
2
2 2225.583 mmA
21 2225.583431.646 VV
Entonces: ./044.272 segmV Rpta.
Si por Bernoulli tenemos:
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135
2
2
221
2
11
22z
g
Vpz
g
Vp
22
2
1
2
221 VVpp
2
4.24
2
27204.1
22
21 pp 45.8021 pp Pa. Rpta.
6.6. Un avión de combate se mueve en el suelo después de aterrizar a una
velocidad de 350km/h. cuando el piloto despliega su paracaídas de freno. El
coeficiente de arrastre para el paracaídas es 1.2 y su área frontal es 30m2. El
avión tiene un coeficiente de arrastre de 0.4 y un área frontal de 20 m2. Si el
motor se encuentra apagado. ¿Cuánto tiempo se demora para desacelerar
desde 350km/h hasta 200km/h. el aire se encuentra a 10ºC y el avión tiene
una masa de 8000kg. ¿Cuál es la desaceleración máxima entre la gravedad.
Ignore la resistencia al giro de las ruedas?
Solución:
FA avión
FA paracaídas
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136
segmhkmVo /22.97/350
segmhkmV f /55.55/200
2.1ApC 230mAp
4.0AaC 220mAa
.8000kgmavion
Para T = 10ºC de tabla 3/29.1 mkg
(Tabla Nº 4; Ref: 7)
Aplicando la 2da ley de Newton en x
amF
AVCdt
dVmFA
2
21
Entonces:
dt
dVmVACAC aAappA 2
21
fV
V
t
aAappAV
dVmdtACAC
0
2
0
21
fV
V
aAappAV
mtACAC
0
21
f
f
aAappA VV
VV
ACAC
mt
0
02
Entonces:
segt 175.2)55.55)(22.97(
55.5522.97
)20(4.0)30(2.129.1
)8000(2
segt 175.2 Rpta.
La desaceleración máxima es para: maxVVo
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137
aAappAo ACACV
ma 2
max2
1 ; reemplazando los valores.
)20(4.0)30(2.1)22.97)(29.1()8000(2
1 2
max a
2
max /53.33 segma
Entonces:
4179.3/81.9
/53.332
2
max
segm
segm
g
a Rpta.
6.7. El viento cruzado impulsa un bote quien lleva un perfil NACA-2415. si
el viento sopla con 20km/h y el bote a 4km/h. El perfil es de 1m. de alto con
longitud de cuerda de 4m calcular el empuje hacia delante T y lateral F, del
viento sobre el bote, considere un ángulo de ataque de 20º.
Solución:
Realizando el D.C.L del perfil NACA-2415
FS
W
FA
Φ θ
α
Φ
Φ
T
F
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138
El ángulo de ataque es: º69.820
4arctanº20arctan
V
U
Para el perfil NACA 2415 de tablas se tiene: (Tabla Nº 9; Ref: 15)
15.1SC Y 011.0AC
./4.20204 2222 hkmVUW
22
22
21
)1000/1()3600(2
)4.20)(4)(15.1(19.1 AWCF SS NFs 9.87
22
22
21
)1000/1()3600(2
)4.20)(4)(011.0(19.1 AWCF DA NFs 841.0
Por equilibrio tenemos: W
FUFVFFT AS
AS
)()(sencos
Reemplazando los valores: 4.20
841.0)4(9.87)20( T .86NT Rpta.
También: W
FVFUFFF AS
AS
)()(cossen
Reemplazando los valores: 4.20
841.0)20(9.87)4( F
.1.18 NF Rpta.
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139
Problemas propuestos
1) Un iceberg, flota con una aproximadamente 1/7 de su volumen fuera de la
superficie como se muestra si la velocidad del viento es U y el agua es
estacionaria, calcular la velocidad a que el viento mueve el iceberg por el
agua.
Rpta: 0.0187U.
1/7 volumen en aire
6/7 volumen en agua
2) Un globo de 80cm. de diámetro que pesa 0.5N esta lleno de helio a 20ºC y 20
kPa, sin tener en cuenta el peso del helio, estime la relación que existe cuando
el ángulo vale 70º y 50º.
Rpta: 24/23
α
4 m.
V
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140
3) Un ciclista de carrera puede mantener una velocidad máxima de 50km/h.
estime la fuerza de arrastre que se debe exclusivamente a su cabeza. Si
suponemos que usa un casco fuselado bien ajustado, estime la fuerza de
arrastre reducida.
Rpta: 3.3N; 0.29N
4) Un automóvil con área de sección transversal de 3m2 recibe su potencia de un
motor de 40hp. Estime la velocidad máxima posible si la transmisión tiene
una eficiencia de 90% (La potencia del motor se cita justo antes de la
transmisión).
Rpta: 125km/h.
5) Suponga que la velocidad en las esquinas de un automóvil donde esta situado
los espejos retrovisores es de 1.6 veces la velocidad del automóvil. ¿Cuánta
potencia requieren los dos espejos retrovisores cuyo diámetro es de 10cm.; si
la velocidad del automóvil es de 100km/h?
Rpta: 0.3hp.
CAPITULO VII
FLUJO
COMPRESIBLE
EN DUCTOS DE
SECCION
VARIABLE
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142
7.1. En una caja de toberas de una turbina de vapor el fluido se encuentra a
500psia y 800ºF que ingresa a una tobera convergente – divergente,
isentrópica para salir a 100psia a razón de 5lb/seg. Hallar la velocidad del
fluido a la salida en (pies/seg.); el área de salida de la tobera en (pies2) y
el área de la tobera en la garganta en (pies2).
Solución:
Po = 500psi
To = 1260ºR
Aire
seglbm /5
P2 =100psi
2
A*
Para el caso del aire: (Tabla Nº 4; Ref: 7)
Rlb
piesR
º1717
2
2
; 4.1K
Utilizando las definiciones:
1
2
2
2 2
11
k
k
o MK
p
p
Reemplazando los valores: 7.12.01100
5002
5.32
2 MM
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143
2
2
2 2
11 M
K
T
To
Reemplazando los valores: RTT
º5.798)7.1(2.011260
2
2
2
Además la velocidad es: 22222 KRTMCMV
Según los valores obtenidos: )5.798)(1717)(4.1(7.12 V
./24.23552 segpiesV Rpta.
22
22
TR
p
3
22 /338.0)5.798)(2.32/1717(
)144(100pielb
222 VAm
)/24.2355)(/388.0(
/53
22
2segpiepielb
seglb
V
mA
23
2 1028.6 piesA Rpta.
Calculando el área de la garganta de la tobera:
)1(2
12
2
2
*
2
1
121
k
k
K
MK
MA
A
Reemplazando los valores, tenemos:
25*8.0
4.22
*
3
1017.24.0
)7.1(4.02
7.1
11028.6piesA
A
Rpta.
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7.2. La velocidad de entrada a un difusor isentrópico es 305m/seg., con
34.5kPa y 235ºC, si la presión se incrementa en un 30% a la salida, hallar la
velocidad y la temperatura del aire a la salida.
Solución:
1 2
Datos:
./3051 segmV
kPap 5.341
KTT º508273235 11
kPap 85.442
Para el aire (Tabla Nº 4; Ref: 7)
KkgJR .º/287
4.1k
Calculamos el M1: 1
11
C
VM
Pero: )508)(287)(4.1(11 KRTC ./79.4511 segmC
1
11
C
VM 675.0
79.451
30511 MM
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145
A tabla de flujo isoentropico. (Tabla Nº 15; Ref: 15)
73376.01
1 op
p
kPapo 018.4773376.0
5.341
91536.01
1 oT
T
KTo º97.55491536.0
5081
Como 21 oo pp 9539.0018.47
85.44
2
2 kPa
kPa
p
p
o
Cono este ultimo valor a tabla de flujo isoentropico. . (Tabla Nº 15; Ref: 15)
25.02 M ; 98765.02
2 oT
T )97.554)(98765(.2 T
KT º116.5482 Rpta.
Sabemos: )116.548)(287)(4.1(22 KRTC ./28.4692 segmC
Como 2
22
C
VM ; entonces:
28.46925.0 2V
./32.1172 segmV Rpta.
7.3. Se desea diseñar una tobera convergente – divergente para que fluya aire
desde un deposito a 8 bar. (abs.) y 250ºC, descargando a la atmósfera,
calcular el de la garganta y el diámetro de la sección de salida sabiendo
que es un flujo isoentropico de 20kg/s. también nos piden calcular la
temperatura, número de mach y la velocidad a la salida de la tobera.
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146
Solución:
Po = 8bar (abs)
To = 250ºC
Aire
K = 1.4
m
P2 =1.013bar
A*
2
Sabemos 1
2
2
2
2
2
11
k
k
o MK
p
p; también 127.0
8
013.1
2
2 op
p
Con el ultimo valor calculado a tablas de Flujo Isoentropico.(Tabla °N 15;
Ref:15)
M *A
A
op
p
oT
T
o
2.01 1.707 0.125 0.5531 0.22751
Sabemos: 22
2
2 22751.022751.0 o
o
o
O
RT
22751.02
Reemplazando valores 3
2 /203.1 mkg
De la tabla 01.22 M Rpta.
5531.02
2 oT
T )º523)(5531.0(2 kT
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Entonces: KT º27.2892 Rpta.
Hallando C2: ./923.340)27.289)(287)(4.1(22 segmKRTC
Como: 2
22
C
VM
923.34001.2 2V
Tenemos: ./256.6852 segmV Rpta.
Sabemos: 222 AVm
2
22
2 02426.0)26.685)(203.1(
20m
V
mA
.58.172 cmD
Para la zona critica tenemos: M = 1
833.0*
oT
T )523(833.0833.0* oTT ==> KT º66.435*
También: 6339.0*
o
o 6339.0*
Hallando ( o ) 3/33.5)523)(287.0(
800mkgo
3* /3786.8)33.5(6339.0 mkg
Hallando C*:
./39.418)66.435)(287)(4.1(** segmKRTC
Sabemos: 2
**
* 01415.0)39.418)(3785.3(
20m
V
mA
.42.13* cmD Rpta.
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148
7.4. Por un difusor adiabático ingresa aire a 15 bar., 300ºK y 250m/seg.
siendo la relación de áreas de entrada con respecto a la salida de 1:2 como
consecuencia de la fricción la presión de estancamiento a la salida se reduce
al 97% se pide. Calcular la presión del aire a la salida, la velocidad del aire
a la salida y la eficiencia del difusor.
Solución:
1
2
P1 = 1.5bar
T1 = 300ºK
V1 = 250m/seg
Datos:
kPabarp 1502.11
KT º3001
segmV /2501
22
1 A
A
Calculamos el:
./189.347)300)(287)(4.1(11 segmKRTC
Entonces 1M :
1
11
C
VM 72.0
189.347
25011 MM
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149
A tablas de flujo isoentropico con M1=0.72
Del dato: 2
*
*
1
2
1 .A
A
A
A
A
A
2
*
.08729.12A
A
Entonces 17458.22
*
A
A, con este valor obtenido a. (Tabla Nº 15; Ref: 15)
Por dato: 12 097 oo pp )8.211(97.02 kPapo
kPapo 446.2052
Luego hallamos rp2 y 2T
kPapp rr 56.194)446.205(947.0 22 Rpta.
KTKT º107.297)97.0)(º1.311(98456.0 22
Además: kPapkPap ii 6.200)8.211(947.0 22
./5.345)107.297)(287)(4.1( 222 segmCKRTC
Entonces 2V :
2
22
C
VM )5.345(28.02 V
kPapo 8.2111
KTo º1.3111 08729.1
*
1 A
A 7082.01
op
p 90606.01
oT
T
28.02 M 947.0
2
2 op
p 98456.0
2
2 oT
T
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150
segmV /742.962 Rpta.
*Hallando la eficiencia del difusor:
%52.4456.194446.205
6.200446.205
22
22
ro
io
pp
ppn Rpta.
7.5. Una tobera para un túnel de viento supersónico está diseñada para
alcanzar un Mach de 3 con una velocidad de 200m/seg. y una densidad de
1kg/m3, en la sección de prueba. El tiene Cv = 3.1156kj/Kg.ºK; Cp =
5.1926kj/Kg.ºK. Calcule la presión y temperatura del gas. También para las
condiciones de estancamiento corriente arriba: la temperatura y presiones
del gas.
Solución:
Para la sección de prueba se tiene que el: KRT
VM
Despejando T:
KTRKM
VT º13.128
)2077)(67.1(
1
3
2000
.
12
2
2
Rpta.
kPappRTp 13.266)13.128)(2077(1 Rpta.
También conocemos.
KTTMk
T
Too
o º4.51432
67.0113.128
2
11 22
Rpta.
4925.2
21
2 32
67.0113.128
2
11
o
K
K
o pMk
p
p
kPapo 8507 Rpta.
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Problemas propuestos
1) Aire fluye de manera estable e isoentrópica desde condiciones atmosféricas
normales a través de un ducto convergente hacia una tubería receptor el área
de la sección transversal de la garganta del ducto convergente es de
0.05pies2. Determinar el caudal másico a través del ducto si la presión del
receptor es a) 10lb/pulg2 b) 5lb/pulg
2 (abs.).
Rpta: 0.0727slug/seg.
0.0769slug/seg.
2) Un gas ideal fluye isentrópicamente a través de una tobera convergente –
divergente en una sección, en la posición convergente de la tobera A1 =
0.1m2; p1 = 600kPa; T1 = 20ºC y Ma1 = 0.6 para la sección (2) en la parte
divergente de la tobera, determinar A2; p2 y T2 si MO2 3.0 y el gas con que se
trabaja es a) aire b) helio.
Rpta: a) 0.356m2; 20.8kPa (abs); 112ºK
b) 0.257m2; 24.8kPa (abs); 82.6ºK
3) Aire atmosférico normal (To=59ºF, Po=14.7lb/pulg2
) es enviado de manera
estable a través de una tobera convergente sin fricción y adiabática hacia un
flujo adiabático de área de sección transversal constante. El ducto mide
10pies de longitud y tiene un diámetro inferior de 0.5pies. el factor de fricción
medio para el ducto se puede estimar en 0.03. ¿Cuál es el caudal másico
máximo en slug./seg a través del ducto? Para este caudal máximo, determinar
los valores de la temperatura estática, presión estática, temperatura de
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152
estancamiento, presión de estancamiento y velocidad en la entrada [sección
(1)] y en la salida [sección (2)] del ducto de área constante.
Rpta.
segslugm /246.0º
; Rº4871 T ; )(/8.11 2
1 absgpulbP l
Rº51901 T ; )(/7.14 2
01 absgpulbP l
./6171 segpiesV ; Rº4322 T ; 2
2 /34.6 gpulbP l
Rº51902 T ; )(/12 2
02 absgpulbP l ; ./10202 segpiesV
4) Un gas ideal fluye adiabáticamente entre dos secciones en una tubería de área
constante. En la sección (1) corriente arriba, )(lg/100 2
01 abspulbp ;
RT º60001 y 5.01 aM . En la sección (2) corriente bajo, el flujo esta
estrangulado. Determinar la magnitud de la fuerza por unidad de área de
sección transversal ejercida por la pared interior del tubo sobre el fluido entre
las secciones (1) y (2) si el gas es aire.
Rpta. 2730 lb/pies2 ,2550 lb/pies
2
5) Un gas ideal en un gran depósito de almacenamiento a 100 lb/pulg2 (abs) y
60ºF fluye isentrópicamente a través de un ducto convergente-divergente
hacia la atmósfera. El área de la garganta del ducto es de 0.1pies2. Determinar
la magnitud la presión, temperatura, velocidad y el caudal másico del gas en
la garganta del ducto si el gas con el que se trabaja es aire.
Rpta.528 lb./pulg2(abs.);433ºR
815 pies/ seg. 1.26 slug/seg.
CAPITULO VIII
FLUJOS EN
DUCTOS DE
SECCION
CONSTANTE SIN
TRNSFERENCIA
DE CALOR
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154
8.1. Para el sistema mostrado, la tubería tiene 38.5m. de longitud, =100mm,
005.0FC para el flujo másico máximo calcular la temperatura estática
y el flujo del aire que descarga la tubería.
25 º C
80 bar
Solución:
Para el flujo másico máximo la tubería está estrangulada (el flujo) teniendo un
mach = 1 en la salida
7.7)1.0(
)5.38)(005.0(44 *
H
F
D
LC
Para la entrada del ducto se tiene con tabla de flujo Fanno 26.01 M . (Tabla
°N 16; Ref: 11); para luego a tabla de flujo isoentropico.(Tabla Nº 15; Ref:
15) con 26.01 M se tiene 9867.0oT
T; 9541.0
op
p
kPap p 3.28623.2862)3000(9541.0 11
KT KT º294º294)298(9869.0 11 Rpta.
Además:
4
2DKRTM
RT
pVAm
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155
.4
1.0)294)(287(4.126.0
)294(287.0
3.2862 2
m
segkgm /81.23
Rpta.
8.2. Se está diseñando una línea para transportar gas natural. Por una tubería
de acero comercial, con una rugosidad absoluta de 0.0046cm., de
=14pulg, sch 40, el gas ingresa a 27m/seg., 10bar. 27ºC con
25 /.1011 msegN , para un n = 1.3 y 15.989kJ/Kmol. Asuma un flujo
adiabático. Calcular la máxima longitud de la tubería, la temperatura y
presión de salida para estas condiciones.
Solución:
Sabemos: KkgKjRg .º/52.0989.15
3143.8 . (Tabla Nº 4; Ref: 7)
3
1 /41.6)52.0(300
1000mKg
Calculemos el Reynolds para la entrada.
6
5
111 102.5101.1
)00254.0)(126.13)(27(41.6Re
DV
00014.0)54.2)(126(3.1
0046.0
D
. (Tabla Nº 9; Ref: 5)
Con estos resultados al diagrama de Moody . (Tabla Nº 14; Ref: 12)
013.0f
También;
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156
06.0)300)(520(3.1
27
1
11
KRT
VM
A tabla de flujo Fanno. (Tabla Nº 16; Ref: 1), con
06.01 M
03.193. max
HD
Lf
; 1991.1
*
T
T
;
251.18*
p
p
mLL 5.4951013.0(
)0254.0)(126.13(02.193maxmax
Rpta.
KT º18.2501991.1
200* Rpta.
kPap 79.54251.18
1000* Rpta.
8.3. Por un ducto cuadrado de 10cm de lado, aislado y compuesto por cuatro
tramos iguales fluye aire, estando el ingreso a 3.5bar. y 27ºC; la descarga es
sónica a 1bar; el factor de fricción es 0.02, calcular:
a) La longitud del ducto.
b) El flujo másico.
c) La variación de entropía.
Solución:
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T1 = 300ºK
P1 = 3.5bar
M5 = 1
P5 = 1bar
1 2 3 4 5
Hallando el diámetro hidráulico: aDH 1.0)1.0(4
)1.0)(1.0(4
Como a la salida el M1=1 1
5.3*
1 p
p
A tabla de flujo Fanno. (Tabla Nº 16; Ref: 1), con 1
5.3*
1 p
p M=0.31;
1774.1*
1 T
T;
8507.4. max
HD
Lf
mLL 25.2402.0
)1.0(8507.4maxmax Rpta.
Además: 111 AVm
..……… (I)
3
1
1
11 /065.4
)300)(287.0(
350mkg
RT
p
……….. (II)
./6.107)300)(287)(4.1(31.01111 segmVKRTMV ……….. (III)
01.01.0 2
1
2
1 AaA ………………. (IV)
Reemplazando los valores de (II), (III) y (IV) en (I)
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./374.4)01.0)(6.107)(065.4(111 segkgmAVm
Rpta.
Sabemos que la variación de entropía es:
1
5lno
o
p
pRs ………….. (a)
Con M5=1 a tabla de flujo
isoentropico: . (Tabla Nº 15; Ref: 15)
.8929.15282.0
15282.0 5
5
5 barpp
po
o
Con M1=0.3 a tabla de flujo
isoentropico: . (Tabla Nº 15; Ref: 15)
.741.39355.0
5.39355.0 1
1
1 barpp
po
o
Reemplazando los valores en la ecuación (a)
741.3
8929.1ln)287.0(ln
1
5
o
o
p
pRs
Entonces
KkgkJs º/1955.051 Rpta.
8.4. Aire fluye por un ducto aislado de sección constante aumentando el
Mach de 0.4 a 0.6 a consecuencia de la fricción. Al inicio del ducto se tiene
20psia y 70ºF, calcular la presión final, velocidad y el cambio de entropía.
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159
M1 = 0.4
T1 = 530ºR
P1 = 20psia
M2 = 0.6
1 2
Solución:
A tabla de flujo Fanno: . (Tabla Nº 16; Ref: 1)
M *TT *pp
0.6 1.1194 1.7634
0.4 1.1628 2.6958
12
1
*
*
2
1
2 6541.06541.06958.2
17634.1 pp
p
p
p
p
p
p
Entonces: psiap 08.132 Rpta.
RTTT
Mk
T
Too
oo º96.546)4.0(2.0113.1282
11 21
212
1
1
1
RTT
Mk
T
To º97.509)6.0(2.0196.546
2
11 2
2
2
2
2
2
2
97.509)49(6.02
2
22 V
KRT
VM
Entonces: ./93.6632 segpiesV Rpta.
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160
A tabla de flujo isoentropico: (Tabla Nº 15; Ref: 15).
M oTT opp
0.6 0.93284 0.784
0.4 0.96899 0.89562
.33.2289562.0 1
1
1 psiapp
po
o
.684.16784.0 2
2
2 psiapp
po
o
RsegpieRsegpiep
pRs
o
o º/50033.22
684.16ln)º/1717(ln 2222
1
5
Rsegpies º/500 22 Rpta.
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161
Problemas propuestos.
1) La velocidad del aire que entra a un tubo de acero comercial con diámetro de
1 pulg. es 120 pies/seg. la temperatura y presión estáticas son 67 ºF y 30 psia.
Calcule la longitud necesaria de la tubería para alcanzar flujo sónico; también
la presión en el extremo del tubo. Suponga que la viscosidad del aire es
independiente de la presión.
Rpta: L = 207 pies; p* = 2.94 psia.
2) Se transporta hidrogeno por una tubería subterránea. El tubo mide 50m. de
largo, 10 cm. de diámetro y se conserva a una temperatura de 15ºC. la presión
y la velocidad iniciales son 250 kPa y 200 m/seg.; determine la caída de
presión en el tubo.
Rpta: p = 45.5 kPa.
3) Por un tubo de hierro forjado de 2.5 cm. de diámetro y 10 m. de largo fluye
oxigeno. Se descarga a la atmósfera donde la presión es 10 kPa. Si la presión
estática absoluta al principio del tubo es 500 kPa y la temperatura total es 293
ºK, calcule el flujo másico por el tubo.
Rpta:
m = 0.248 Kg. /seg.
4) Los números de Mach a la entrada y a la salida de un tubo de 0.5 pulg. de
diámetro y 20 ft de largo son 0.2 y 0.7, respectivamente. Calcule f en el tubo
para K =1.4.
Rpta: f = 0.0298
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5) Se va a diseñar un sistema se soplador de aire y tubería para transportar
productos agrícolas por una tubería de acero de 20 cm. de diámetro y 120 m
de largo y la velocidad de salida debe ser de 50 m/ seg. Si la tubería de
descarga a la atmósfera. ¿Cuál será la presión, velocidad y densidad del aire a
la entrada de la tubería?
Rpta: 105 kPa; 47.6 m/seg.; 1.27 Kg./m3
CAPITULO IX
FLUJO EN DUCTOS
DE SECCION
CONSTANTE CON
TRANSFERRENCIA
DE CALOR
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9.1. Un gas ideal (aire) entra en un ducto de diámetro 0.5pies con 20psia,
80ºF y 20pies/seg. alcanzando a la salida 1500ºF. Calcular la transferencia
de calor; la presión y el número de Mach a la salida.
1 2
P1 = 20 psia
T1 = 540ºK
V1= 200pies/s
T2 = 1960ºK
Solución:
Determinamos el número de Mach en la entrada M1:
18.054049
2001 M Luego en tabla de Flujo Raylich. (Tabla Nº 17; Ref: 3)
17078.0*
T
T 17078.0
1960
540*
2
2
2
*
1 T
T
T
T
T
T 61986.0
*
2 T
T
2959.2*
1 p
p A.T.F. Rayleich. . (Tabla Nº 17; Ref: 3) Entonces:
4.02 M Rpta
Psiap 71.82959.2
20* 9608.1*
2 p
p
)71.8(9608.19608.1 *
2 pp
Psiap 172 Rpta.
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Con M1 = 0.18 a T.F. isoent . (Tabla Nº 15; Ref: 15) 99356.01
1 oT
T
RT
To º5.54399356.0
11
Con M2 = 0.4 a T.F. isoent. (Tabla Nº 15; Ref: 15) 96899.02
2 oT
T
RTo º72.202296899.0
19602
3
1 /1.0)540)(1717(
)144(20pielbs
Hallando el flujo masico: ./923.3)200)(5.0)(4/)(1.0( 2 seglbm
./1394)5.54372.2022)(24.0(927.3 segBTUQQ
./1394 segBTUQ
Rpta.
9.2. El aire entra a un ducto con un Mach de 2.0 y temperatura y presión de
170K. y 0.7bar respectivamente. La transferencia de calor tiene lugar
mientras el flujo procede abajo del ducto, la sección convergente
( 45.1/ 32 AA ) forma parte de la conexión de salida, como se muestra y el
Mach de salida es 1.0. Asumir que las condiciones de entra y salida del
número de Mach permanece fijos. Encuentre la cantidad y dirección de
transferencia de calor, si no hay OCHN y si hay en cualquier parte de la
ducto.
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M1 = 2.0
T1 = 170ºK
p1 = 0.7bar
1 32
M3 = 1.0
q
Solución:
*Supongamos que no hay OCHN:
KT º1701 ; barp 7.01
Con 21 M en tabla de flujo isoentropico.(Tabla Nº 15; Ref: 15)
KTT
To
o
º9755.3055556.0 1
1
1
Con 21 M en tabla de flujo Rayleich.(Tabla Nº 17; Ref: 2)
KTT
To
o
o º6510.3857934.0*
*
1
Además:
Tabla flujo isoentropico: (Tabla Nº 15; Ref: 15)
Con: 81.145.1 2*
2 MA
A
En la tabla de flujo Rayleich. (Tabla Nº 17; Ref: 2)para M2=1.81
KTT
To
o
o º6329.3218340.0 2*
2
)º9755.305º6329.321(.º/004.1)( 12 KKKkgkJTTCpm
Qoo
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./105720.1 4 kgkJm
Q Rpta.
** Si hay una sacudida normal en (a) alguna parte del ducto.
1 32X
KT º1701 ; barp 7.01
Con 21 M en tabla de flujo isoentropico. (Tabla Nº 15; Ref: 15)
KTT
To
o
º9755.3055556.0 1
1
1
KTT oox º9755.3051
Con 21 M en tabla de Onda de Choque Normal. (Tabla Nº 18; Ref: 3)
5774.0xM KTT
To
o
ox º6510.3857934.0*
*
Con: 45.15774.0*
2 A
AM x
Además:
Tabla flujo isoentropico. (Tabla Nº 15; Ref: 15) 4498.02 M
En la tabla de flujo Rayleich: . (Tabla Nº 17; Ref: 2) para M2=0.4498
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KTT
To
o
o º5969.2366135.0 2*
2
Como: 01 qTT oox
KTox º9755.305 y KTo º5969.2362
)º9755.305º5969.236(.º/004.1)( 2 KKKkgkJTTCpm
Qoxo
./109656.6 4 kgkJm
Q
./109656.6 4 kgkJm
Q Rpta.
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9.3. En la función del sistema, la fricción solo existes de 2 a 3 y de 5 a 6. El
calor es removido entre 7 y 8. El Mach en la sección 9 es 1. Dibuje el
diagrama T – S, para el sistema mostrado. Los puntos 4 y 9 se encuentran en
el mismo nivel horizontal.
1
32 4 5 6 7 8
9
choque
f fqq
M9 = 1
Solución:
M = 1
Po4= Po5
Po1 = Po2= Po3P06 P07
S
T
1
2
3
4
5
6
7
8
9
P08 = P09
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9.4. Aire ingresa a una cámara de combustión tiene de sección 0.28m2
constante a 0.7 bar. abs., -95ºC y 110m/seg., se le suministra 120kJ/kg. de
calor. A la salida de la C. de C. el fluido pasa por una tobera expandiéndose
isoentropicamente para salir por una sección de 0.2552m2, finalmente
ingresa a un calentador de sección uniforme donde se le añade cierta
cantidad de calor, para que el flujo salga con un Mach de 1.
a) El número de Mach a la salida de la tobera.
b) El calor transferencia en el ducto final.
V1 = 100m/seg
T1 = 178ºK
P1 = 0.7bar
A2 = 0.28m2
A3 = 0.2552m2
1 2
0s
21q
3 4
Solución:
KCp
VTTo º03.184
)5.1003(2
110178
2
22
111
Hallando C1 y M1:
./43.267)178)(287)(4.1(11 segmKRTC
Entonces 1M :
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1
11
C
VM 4113.0
43.367
11011 MM
Con 4113.01 M a tabla de flujo Rayleigh. (Tabla Nº 17; Ref: 2)
KTT
To
o
o º74.33654651.0*
*
1
KTT
Tº54.28063448.0
*
*
1
barpp
p36030.09428.1 *
*
1
1523.1*
1 o
o
p
p
./82.33632658.0 *
*
1 segmVV
V
De la ecuación de energía: )( 1221 oo TTCpq
KTT oo º61.303)03.184(0035.1120 22
Luego: 9016.074.336
61.303*
2 o
o
T
T a tabla de flujo Rayleigh. (Tabla Nº 17; Ref: 2)
69.02 M
KTT
Tº27798739.0 2*
2
barpp
p51887.04401.1 2*
2
04596.1*
2 o
o
p
p
./94.23068564.0 2*
2 segmVV
V
Con 69.02 M a tabla de flujo isoentropico. (Tabla Nº 15; Ref: 15)
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2*
*
2 25413.01018.1 mAA
A
KTT
To
o
º38.30379662.02
72735.02 op
p
79602.02 o
004212.11018.128.0
2552.0.
*
3
*
2
2
3
*
3 A
A
A
A
A
A
A
A *
3 AA
Con 004212.1*
3 A
A a tabla de flujo isoentropico. (Tabla Nº 15; Ref: 15)
93.03 M
85253.03 oT
T
57212.0op
p
67107.0o
9337064.091306.0
85253.0
/
/
12
3
2
3 TT
TT
T
T o
Luego: KTT º64.258)9337064.0(277 33
De la ecuación de energía: )1(2
)1(2
3
2
3343
kM
MCpTq
Reemplazando los valores en la ecuación
./081.1)4.2()93.0(2
)193.0()64.258(0035.1
2
2
43 kgkJq
Rpta.
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Problemas propuestos
1) Un gas ideal entra a un ducto de diámetro interior igual a 0.5 pies con p1= 20
lb./ pulg2 (abs.), T1= 80ºF y V1= 200pies/seg. ¿Qué razón de adición de calor
sin fricción en BTU/seg. es necesaria para que a la salida del ducto la
temperatura del gas sea T2 = 1500ºF ? También determinar p2, V2 y Ma2. El
gas es aire.
Rpta.1390 BTU/seg. 17.1 lb./pulg2(abs.).
868 pies/ seg.; 0.4
2) Por una tubería de área constante circula aire. En una sección (1) corriente
arriba, p1 = 15lb/pulg2 (abs.) , T1 = 530ºR y V1 = 200pies/seg. Corriente abajo
en la sección (2), p2 = 10lb/pulg2
(abs.) y T2 = 1760ºR. Para este flujo,
determinar las razones de temperatura y presiones de estancamiento, 1,02,0 /TT
y 1,02,0 / pp , así como la transferencia de calor por unidad de masa de aire que
fluye entre las secciones (1) y (2). ¿El flujo entre las secciones (1) y (2) es sin
fricción?
Rpta. 45.31
2 O
O
T
T 763.0
1
2 O
O
P
P
slug
lbpiesq
.1084.7 6
3) La razón de presiones de estancamiento a través de un choque normal en el
flujo de un gas ideal es 0.8. Determine el número de Mach del flujo que entra al
choque si el gas es aire.
Rpta.1.83
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4) Una sonda de presión total se inserta en un flujo de aire supersónico. Justo
corriente arriba del orificio de impacto se forma una onda de choque. La sonda
mide una presión total de 500kPa (abs.). La temperatura de estancamiento en la
cabeza de la sonda es 500ºK. La presión estática corriente arriba del choque se
mide con un injerto en la pared, encontrándose que es igual a 100kPa (abs.). A
partir de estos datos, determinar el número de Mach y la velocidad del flujo.
Rpta. 1.87 ; 643m/seg.
5) Un avión se desplaza a Mach 2.0 a una altitud de 15km. El aire de entrada es
desacelerado hasta un número de mach de 0.4 en la entrada del compresor del
motor. Un choque normal ocurre en el difusor de entrada de corriente arriba de la
entrada del comprensor en una sección en que el número de Mach es 1.2. Para
difusión isentrópica, excepto a través del choque, y para atmósfera normal,
determinar la temperatura y presión de estancamiento del aire que entra al
compresor del motor.
Rpta. 390 ºK ; 94.1 lb/pulg2 (abs)
6) Un flujo de aire supersónico entra con Ma1 = 3.0 a una tubería adiabático de
área constante (diámetro interior = 1pie) que mide 30pies de longitud. Se estima
que el factor de fricción del tubo es 0.02. ¿Qué razón de presión en la salida del
tubo a presión de estancamiento en la entrada del tubo se produce en una onda de
choque normal ubicada en: x= 10pies, donde x es la distancia corriente abajo a
partir de la entrada del tubo? También determinar el número de Mach a la salida
del ducto.
Rpta. 69.0;19.0.
aSALIDA
ENTRADAO
SALIDA MP
P
CAPITULO X
FLUJO EN
CANALES
ABIERTOS
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10.1. Se tiene una rampa de 0.5pies de alto en un canal rectangular de ancho
constante por el cual fluye agua a razón de segpiesq /72.5 2 . Como se
muestra en la figura. Si la profundidad corriente arriba mide 2.3pies,
determine la ecuación de la superficie corriente abajo de la rampa 22 zy .
(ignorar los efectos viscosos y la protuberancia).
Protuberancia
Superficie libre ó
rampa
.y1 = 2.3pies .y2
.z2 = 0.5pies
V1 = 2.5pies/seg V2
Rampa
Solución:
Se tiene que 21. zzlSo y 01 h . La conservación de energía. (Que para
estas consideraciones se podrá aplicar la ecuación de Bernoulli.)
2
2
221
2
11
22z
g
Vyz
g
Vy
Para las consideraciones dadas en la
figura del problema.
4.64
9.12
22
Vy ………………………………… (I)
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A partir de la ecuación de continuidad tendremos.
1122 VyVy segpiesVy /75.5 2
22 ………… (II)
De la ecuación (II) y (I) tenemos.
0513.09.1 2
2
3
2 yy
Resolviendo la ecuación cúbica, las soluciones son:
piesy 72.12 piesy 638.02 piesy 446.02
Por lo tanto las elevaciones correspondientes serian.
pieszy 2.25.072.122 Ó pieszy 14.15.0638.022
¿Cuál de estas dos alturas se esperaría?
Está pregunta se responde haciendo uso del diagrama de energía especifica para
la ecuación 2
513.0
yyE ; que se muestra en el siguiente diagrama.
1 2 3
1
2
3
.yc = 1.01
.y1 = 2.30
0.5
(1)
(2)
(c)
(2´)
.q = 5.75 pies2/s.
Emin = 1.51 E1 = 2.40
E2 = 1.90
E, pies
.y, pie
s
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Como en el enunciado del problema nos dice que despreciemos las
protuberancias, las condiciones correctas abajo corresponden al flujo
subsónico denotado por (2), no a condiciones supersónicas (2’) pero sin una
protuberancia en el fondo del canal, el estado (2’) es inaccesible desde el
estado (1) de la condición corriente arriba. Estas condiciones a menudo se
denominan accesibilidad de los regimenes de flujo. Así la elevación
superficial es: pieszy 2.222 Rpta.
10.2. En el canal de sección transversal trapezoidal que se muestra en la figura
circula agua. El fondo desciende 2.8 pies por 2000 pies de longitud.
Determinar el caudal si el canal está recubierto de concreto liso nuevo, o si
el perímetro mojado está cubierto de hierbas. Determine el número de
Fraude máximos para cada uno estos flujos, también indicar a que flujo
pertenece para el caso con hierbas.
5 p
ies
40º 40º
12 pies
Solución:
A partir de la ecuación de Mannig: 2/13/2 ..49.1
oSRhAn
Q …………….
(i)
Para el cual se uso, K = 1.49 debido a las unidades SIG.
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28.89º40tan
55)5(12 piesA
piesP 6.27º40sen
5212
Entonces
piesP
ARH 25.3
6.27
8.89
0014.02000
8.2oS
Reemplazando los valores obtenidos en (i):
nn
Q98.10
)0014.0()25.3)(8.89(49.1 2/13/2
A partir de los resultados obtenidos, buscamos en tabla para el concreto liso y
cubierto de hierbas.(Tabla Nº3 ; Ref: 14)
012.0n
segpiesQ /915012.0
98.10 3
Concreto liso.
03.0n segpiesQ /36603.0
98.10 3 Cubierto de hierbas
Número de Fraude 2/1
.yg
VFr : AQV / ./2.10. segpiesV lisoc
./08.4. segpiesV hierbac
Para el concreto liso (nuevo):
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180
804.0
)5)(/2.32(
/2.102/12
piessegpies
segpiesFr Rpta.
Para el cubierto de hierbas:
322.0
)5)(/2.32(
/08.42/12
piessegpies
segpiesFr Rpta.
Para 50ºF calculemos el número de reynolds con piesRH 25.3 ;
segpies /1041.1 25
Entonces: 5
5104.9
1041.1
)08.4)(5.3(Re
VRH
Por lo tanto se encuentra en el intervalo de régimen turbulento. (Flujo)
10.3. Por un tubo de redondo de diámetro D circula agua a una profundidad
Dy 0 como se muestra a continuación, el tubo está sobre una pendiente
constante de o , el coeficiente de Nanning es n. ¿A que profundidad ocurre
el máximo caudal?
θ
y
D
0
0.5
1.0
0.5 1.0
D
y
maxQ
Q
Dy 938.0
máxlleno QQ 929.0
máxQ
0
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θ
y
D
0
0.5
1.0
0.5 1.0
D
y
maxQ
Q
Dy 938.0
máxlleno QQ 929.0
máxQ
0
Solución:
A partir de E. Manning. 2/13/2 .. oSRhAn
kQ ………………. (I)
Donde; k, n y oS son constantes. senD
A 8
2
2
DP (Perímetro mojado)
4
)sen(
D
P
ARh
En (I) tenemos .)sen(
)4(8 3/2
3/5
3/2
3/82/1
DS
n
kQ o ……………… (II)
A partir de la ecuación (II) podemos escribir en términos de la profundad
entonces.
))2/cos(1(2
Dy
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Pero también nos proporciona una grafica )(yQQ . Del cual nos muestra que
maxQ no ocurre cuando el tubo está lleno; max929.0 QQlleno pero si ocurre
cuando Dy 938.0 ó º30328.5 rad .
Así entonces maxQQ cuando Dy 938.0 Rpta.
10.4. A lo largo del canal de drenaje cuyos detalles se muestran a continuación
si la pendiente del fondo es 002.0oS se pide calcular el caudal.
3m 3m2m
02.01 n
015.02 n
03.03 n
0.6
m
0.8
m
Solución:
A partir del grafico tenemos 321 QQQQ ; para cada sección y de la
ecuación de Manning.
2/13/2..
1oii
i
i SRhAn
Q Donde K = 1, para unidades SI.
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Para la sección (1)
2
1 8.1)6.0)(3( mmmA ; mP 6.36.031
mP
ARh 5.0
6.3
8.1
1
11 ; 02.01 n
Para la sección (2)
2
2 8.2)8.06.0)(2( mmmmA ; mP 6.3)8.0(222
mP
ARh 778.0
6.3
8.2
2
22 ; 015.02 n
Para la sección (3)
2
3 4.2)8.0)(3( mmmA ; mP 6.36.033
mP
ARh 5.0
6.3
4.2
3
33 ; 03.03 n
Así, tendremos el canal total: 321 QQQQ
03.0
)5.0(8.1
015.0
)778.0(8.2
02.0
)5.0(8.1)002.0(1
3/23/23/22/1Q
segmQ /287.11 3 Rpta.
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Problemas propuestos.
1) En un canal rectangular de 10 pies de ancho fluye agua con un caudal de 200
pies3/seg. y una profundidad de 3 pies. Si la pendiente es 0.005, determine el
coeficiente de Manning, n y el esfuerzo cortante medio en los lados y en el
fondo del canal.
Rpta: 0.024; 0.585lb/pies2
2) En un canal cuya sección transversal es un triangulo equilátero fluye agua
como se muestra. Sea Qlleno el caudal cuando y = h. ¿En que porcentaje es
Qlleno menor que Q cuando y = h- y. ; donde y. h? es decir al colocar una
cubierta sobre este canal, ¿en que porcentaje se reduce el caudal?
Rpta: 23.7%
hy
3) En un canal de sección trapezoidal debe transportar 1.2m3/seg. de agua a 0.5
m/seg, esta abierto en tierra con paredes inclinadas 30º respecto a la
horizontal. Calcular las dimensiones del canal, si este tiene una pendiente de
0.0004, con un coeficiente de m = 0.85.
Rpta: 0.5634m; 3.284m; 5.2356m.
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO
FACULTAD DE INGIENERIA MECANICA-ENERGIA
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Ing. Jaime Flores Sánchez
185
4) El flujo agua corriente abajo desde una compuerta de purga en un canal
horizontal tiene una profundidad de 30 cm. y un gasto de 3.6 m3/m de ancho
la compuerta de purga mide 2 m. de ancho. ¿podría formarse un salto
hidráulico corriente abajo de esta sección? Si es así, ¿Cuál seria la
profundidad corriente abajo del salto?
Rpta: si y2 = 1.34m.
5) La cresta de vertedor alto y la cresta ancha tiene una elevación de 100m. Si el
vertedor mide 10 m. de largo y la descarga de agua sobre el vertedor es 25 m3
/seg. ¿Cuál es la elevación de la superficie del agua del estanque corriente
arriba?
Rpta: zagua= 101.4 m.
MATERIALES Y METODOS
El material bibliográfico empleado es muy amplio y variado desde aplicaciones
básicas hasta aquellas que lo hacen mas exigentes y reales como se muestran en
una industria especifica, con conceptos técnicos y de acorde con el avance
tecnológico en que vivimos actualmente.
La forma como se presenta este trabajo de investigación, constituye un intento
por llenar este vació existente en un solo libro con un método pedagógico,
deductivo y un análisis en las respectivas aplicaciones de la mecánica de fluidos.
RESULTADOS
La investigación que se ha realizado nos permite contar con material de la
mecánica de fluidos aplicada al transporta de los fluidos en un orden lógico. Los
estudiantes o cualquier persona interesada encontrara en el un marco practico
muy amplio.
Los temas tratados en el libro son explicados en una forma muy clara, sencilla y a
la ves rigurosa con la exigencia que requiere un estudiante o profesional de la
rama de ingeniería, sobre todo de a los de mecánica; los problemas aplicativos
son so comprendidos con pequeños esfuerzos y si es necesario se cuenta con la
consulta del profesor.
DISCUSIÓN
la elaboración de un libro de cualquier materia, en particular de flujos de
mecánica de fluidos es un proyecto por demás ambicioso y difícil en donde no se
podrá satisfacer a plenitud las aspiraciones y exigencias del lector; no obstante el
presente libro texto constituye un intento por llenar el vació dejado por las obras
de flujo de mecánica de fluidos, para de esta manera complementarlo, ampliando
las ya existentes , contribuyendo de esta manera en la formación de nuestros
alumnos y satisfacer la consulta, curiosidad de profesionales interesados o
involucrados en el área de la ingeniería.
BIBLIOGRAFÍA
1. FOX, Robert y Mc DONALD, Alan. Introducción a la mecánica
de fluidos, México: ed. Mc Graw-Hill Interamericana de México.
S. A. de C. V., cuarta edición, 1995.
2. SHAMES, Irvin. Mecánica de fluidos, Colombia: ed. Mc Graw-
Hill Interamericana de México. S. A., novena edición, 2000.
3. HIDROSTAL. Bombas de alta eficiencia, Perú: ed. Industrial
Grafica S. A., primera edición, 1994.
4. GERGHART, Philip. Mecánica de fluidos, México: ed. Addison-
Wesley Iberoamericana, S. A., segunda edición, 1995.
5. SOTELO, Gilberto. Hidráulica general, México: ed Limusa, S. A.,
primera edición, 1982.
6. POTTER, Merle. Mecánica de fluidos, México: ed. Prentice-Hall
Hispanoamericana, S. A. segunda edición, 1998.
7. OROZCO, Martha. Operaciones unitarias, México: ed. Limusa, S.
A. de C. V., primera edición, 1998.
8. SIMON, Anderw. Hidráulica practica, México: ed. Limusa, S. A.
de C. V., primera edición, 1994.
9. SALDARRIAGA, Juan. Hidráulica de tuberías, México: ed. Mc
Graw-Hill Interamericana. S. A., primera edición, 1998.
10. ROBERSON, John. Mecánica de fluidos, México: ed. Mc Graw-
Hill Interamericana. S. A. de C. V., segunda edición, 1991.
11. THOMPSON, Philip. Compressible-Fluid Dynamics, New York:
ed. Mc Graw-Hill Book CCO., primera edición, 1972.
12. STREETER, Víctor. Mecánica de fluidos, México: ed. Addison-
Wesley Iberoamericana, S.A., novena edición, 2000.
13. OWCZAREK, J. Fundamentals of gas Dynamics, New York: ed.
Pitman Publishing Coporation, primera edición, 1950
14. GOLDEN, Fredirick. Termo Fluidos, Terbomaquinas y Maquinas
Térmicas, México: ed. Compañía Editorial Continental, S.A. de
C.V., primera edición, 1991.
15. MUNSON, Bruce. Fundamentos de Mecánica de Fluidos, México,
ed. Limusa Wiley, S.A. de C.V., primera edición, 1999
APENDICE
190
Tabla Nº1 Coeficientes de resistencia para diversos cuerpos bidimensionales
Tabla Nº2 Coeficientes de resistencia para objetos con simetría
axial
191
Fig:Nº 1 Coeficiente de resistencia para cuerpos asimetricos.
192
Fig: Nº2 Efectos de la rugosidad sobre CD para un cilindro
Fug: Nº 4 Coeficiente de sustentación y
resistencia para cilindros giratorios en un
flujo uniforme
Fug: Nº 3 Coeficientes de sustentación
y resistencia para esferas giratorias en
fllujo uniforme
193
Fig: Nº 5 Coeficientes de sustentación y resistencia del perfil simétrico NACA
0009 de envergadura infinita, incluyendo el efecto de la deflexión del flan de
intrados (ténganse en cuenta que la rugosidad puede incrementar CD en un
100 hasta 300 por 100)
194
Fig: Nº 6 Polar de los perfiles estándar (0009) y laminar (63-009) del NACA
195
Fig: Nº 7 Efecto del alargamiento en la sustentación y resistencia; (a) incremento
en el ángulo de ataque efectivo; (b) incremento en la resistencia inducida.
(a) (b)
Fig: Nº 8 Actuaciones de perfiles con dispositivos hipersustentadores A = NACA
0009; B = NACA 63-009; C = Perfil de Kline – Fogleman ; en (a) se muestran
los perfiles D a I; (a) tipos de dispositivos hipersustentadores; (b) coeficiente de
sustentación de algunos dispositivos.
196
Fig: Nº 9 Curva polar para un ala con alargamiento 5.
197
Fig:10 Curva polar para el perfil de ala rectangular y de Clark de 6 pies de
cuerda y 36 pies de envergadura.
198
Fig: Nº 11. Grafica del factor de fricción f versus ReH
199
Tabla Nº 3. Valores promedios del n de Manning y la rugosidad e promedio.
Material n e, pies e. M
Asfalto 0.0016 0.018 0.0054
Ladrillo 0.0016 0.0012 0.0037
Canal de concreto
Pulido 0.012 0.0032 0.001
Sin pulir 0.015 0.008 0.0024
Tubo de concreto 0.015 0.008 0.0024
Tierra
Buena condición 0.025 0.12 0.037
Maleza y piedras 0.035 0.8 0.24
Tubo de hierro
Fundición 0.015 0.0051 0.0016
Hierro forjado 0.015 0.0051 0.0016
Acero
Corrugado 0.022 0.012 0.037
Remachado 0.015 0.0012 0.0037
Madera
Cepillada 0.012 0.0032 0.001
200
Fig: Nº 12. Hacia la derecha de A son posibles dos profundidades.
201
Tabla Nº 4
202
203
Tabla Nº 5
204
Tabla Nº 6
205
Tabla Nº 7. DIMENSIONES DE TUBERÍAS Y TUBOS CALIBRADOS
206
Tabla Nº 8. Tubos y tuberías calibradas de Cobre
207
Tabla Nº 9. Rugosidad relativa de algunos tubos.
208
Tabla Nº 10. Coeficiente de pérdida para una expansión repentina.
Tabla Nº 11. Coeficiente de pérdida para un difusor cónico común.
209
Tabla Nº 12. Coeficiente de pérdida para una contracción repentina.
210
Fig: Nº 12. Condiciones de flujo de entrada y coeficiente de pérdida.
Reentrante, KL = 0.8
Borde ahusado, KL = 0.5
Ligeramente redondeado, KL =
0.2 Bien redondeado, KL = 0.04
211
Tabla Nº 13. Condiciones de flujo de salida y coeficiente de pérdida.
Reentrante, KL = 1 Borde ahusado, KL = 1
Ligeramente redondeado, KL = 1 Bien redondeado, KL = 1
212
Tabla Nº 13.
Coeficientes de pérdida para componentes de tuberías:
g
VKh LL
2
2
213
Tabla Nº14. Diagrama de Moody para el factor de fricción
214
Tabla Nº 15.
215
216
Tabla Nº 16
217
218
Tabla Nº 17
219
220
Tabla Nº 18.