solución salina agua pura si no se perturba la solución, la concentración final será el 50% de...
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FUNDAMENTO TEORICO DE LAS LEYES DE FICK
OPERACIONES UNITARIAS AGROINDUSTRIALES II
CZVC
Solución salina
Agua puraSi no se perturba la solución, la concentración final será el 50% de la concentración inicial.Después de 10 años en la superficie superior la concentración será el 87.5%, y después de 28 años será 99%.
Solución salina
Agua puraUn agitador sencillo que gire en el tanque a 22 rpm alcanzará la uniformidad total en aproximadamente 60 segundos.La agitación mecánica ha producido remolinos característicos del flujo turbulento, esta transferencia de masa se conoce como difusión de remolina o turbulento.
Una solución (soluto(s) mas solvente) con concentración no uniforme (densidad diferente) alcanzará la uniformidad (igual densidad en todo el volumen) por difusión de sus solutos en todo el volumen.
La rapidez de la difusión de un soluto con lo cual se mueve en cualquier punto y en cualquier dirección dependerá, por tanto del gradiente de concentración en ese punto y esa dirección.
La rapidez de transferencia puede describirse adecuadamente en función del flujo molar, o moles/(tiempo)(área), ya que el área se mide en una dirección normal a la difusión.
DIFUSION MOLECULAR
Para describir el movimiento de cualquier componente es necesario utilizar dos flujo que son medidos con dos referentes distintos.
J el flujo medido con referencia a un sistema fijo en el espacio, y J* el flujo del componente medido en relación a la velocidad molar promedio de todos los componentes.
En una solución binaria, la difusividad o coeficiente de difusión, DAB de un componente A en solución en B, es una medida de la movilidad de difusión, y el flujo del componente A en la solución A +B (J* A ) y en la dirección x, se define así.
x
fCD
x
CDJ A
ABA
AB
*
A
Esta ecuación representa la primera ley de Fick del componente A en la dirección de x, y es directamente proporcional a la concentración de A (CA).
La difusividad es una característica de un componente y de su entorno (temperatura, presión, concentración ya sea en solución líquida, gaseosa o sólida) y la naturaleza de los otros componentes.
1
III
P
El compartimiento I contiene agua, el comportamiento II contiene alcohol y P es la separación física que posteriormente se va a retirar.
Inicialmente en el compartimiento I hay 100 kg de agua y en el compartimiento II hay 100 kg de alcohol. La densidad de ambos líquidos son diferentes.
inicialmente kg kgmol v/dm3 kg kgmol v/dm3
H2O 100 5.56 100 CH3CH2OH 100 2.17 126.74
finalmente
H2O 44.1 2.45 55.9 3.11
CH3CH2OH 44.1 0.96 55.9 1.22
TOTAL 88.2 3.41 TOTAL 111.8 4.33
compartimiento I Compartimiento II
Si quitamos cuidadosamente la separación P, entonces sucede la difusión de los líquidos. Al final de la difusión, la concentración será uniforme. En la caja final (compartimiento I mas el compartimiento II) habrá el 50% de masa de cada componente.
El agua ha difundido hacia la derecha y el etanol hacia la izquierda.
Si hubiéramos equilibrado ambos compartimientos mediante el filo de una navaja, al inicio(antes de quitar el quitar el separador), ambos estarían en equilibrio.Luego de quitar el separador, es evidente que mas masa de agua habrá pasado al compartimiento II , y por tanto el equilibrio inicial se pierde y la caja final se inclina hacia la derecha
III
P
III
P
ANTES DE LA DIFUSION
AL FINAL DE LA DIFUSION
Por condición del flujo estacionario, el flujo neto es:
NNN BA
El movimiento de A está formado por dos partes: la resultante del movimiento total N y la fracción f A de N, que es A, y la resultante de la difusión J*A.
*
AAA JNfN
x
CD
C
CNNN A
ABA
BAA
x
CD
C
CNNN B
BAB
BAB
Sumando las dos ecuaciones anteriores:
x
CD
C
CNN
x
CD
C
CNNNN B
BAB
BAA
ABA
BABA
x
CD
x
CD B
BAA
AB
Si CA + CB = constante, se tiene que DAB = DBA en la concentración y temperatura predominantes.Para gradientes de concentración generales y flujos difunsionales deben considerarse las tres direcciones del sistema de coordenadas cartesianas
*
B
*
A JJ
En algunos sólidos la difusividad DAB también puede ser sensible a la dirección, aun cuando en los fluidos no lo es, los cuales son soluciones verdaderas.
2
3
4
5
6
7
8
La difusión es el movimiento, bajo la influencia de un estímulo físico, de un componente individual a través de una mezcla.
La causa más frecuente de la difusión es un gradiente de concentración del componente que difunde. Un gradiente de concentración tiene a mover el componente en una dirección tal que iguale las concentraciones y anule el gradiente.
Cuando el gradiente se mantiene mediante el suministro continuo de los componentes de baja y alta concentración, existe un flujo en estado estacionario del componente que se difunde. Esto es característico en las operaciones de transferencia de masa., ejemplo en torres de absorción.
En otras operaciones de transferencia de masa, tales como la lixiviación y la adsorción, tiene lugar la difusión en estado no estacionario, y los gradientes y flujos disminuyen con el tiempo en cuanto se alcanza el equilibrio.
ΔxΔy
Δz
E
G
(x,y,z)
(x+Δx,y+ Δy,z+Δz)
x
y
z
LA ECUACION DE CONTINUIDAD
La rapidez de masa de flujo del componente A en las tres caras con un vértice común en E es
yxNzxNzyNMzz,Ayy,Axx,AA
x,AJEn donde: significa el flujo en la dirección x, y en donde es su valor en la posición x. xx,AJ
MA, es el peso molecular de A y en la misa forma, el flujo de masa fuera de las tres caras con un vértice común en G es
yxNzxNzyNMzzz,Ayyy,Axxx,AA
El componente total de A en el elemento ΔxΔyΔz es qA, y por lo tanto su rapidez de acumulación es (ΔxΔyΔz)ϑqA/ϑt. Si además, A se genera mediante una reacción química con la rapidez RA moles/(tiempo)(volumen), su rapidez de producción es MARA ΔxΔyΔ z, masa/tiempo. En general
t
qzyxzyxR
yxNzxNzyNyxNzxNzyNM
AA
zzz,Ayyy,Axxx,Azz,Ayy,Axx,AA
t
qzyxzyxR
yxNNzxNNzyNNM
AA
zz,Azzz,Ayy,Ayyy,Axx,Axxx,AA
Agrupando términos semejantes:
9
10
11
12
(rapidez de entrada) - (rapidez de salida) + (rapidez de generación) = (rapidez de acumulación)
Dividiendo entre ΔxΔyΔ z y encontrando el límite cuando las tres distancias tienden a cero :
t
q
z
N
y
N
x
NMRM Az,Ay,Axx,A
AAA
En la misma forma, para el componente B :
t
q
z
N
y
N
x
NMRM Bz,By,Bxx,B
BBB
El balance total de materia se obtiene sumando los de A y B:
0
t
q
z
NMNM
y
NMNM
x
NMNM zBBAAyBBAAxBBAA
En donde q = qA + qB = la densidad de la solución, puesto que la rapidez de masa para la acumulación de A y B debe ser igual a Cero:
13
14
15
*
x,AAxA
*
x,AAxAAx,AA JMuJMNfMNM
En donde ux, es la velocidad promedio de masa, tal que:
x,BBx,AAx,BBx,AAx NMNMuuu
Diferenciando la ecuación anterior:
16
17
x
NMNM
xu
x
u xBBAAx
x
18
Aplicando esta equivalencia en la ecuación 15, se obtiene:
0tz
uy
ux
uz
u
y
u
x
uzyx
zyx
Es la ecuación de continuidad o un balance de masa, para la sustancia total. Si la densidad de la solución es una constante, la ecuación anterior se transforma en:
0z
u
y
u
x
u zyx
19
20
Diferenciando la ecuación 13 con respecto a la dirección x, se obtiene:
2
A
2
ABAA
xx
A
*
x,A
AA
xx
A
x,A
A x
CDM
xu
x
u
x
JM
xu
x
u
x
NM
21
Reemplazando y diferenciando los respectivos J*A en la ecuación 13.
AAA
2
A
2
2
A
2
2
A
2
ABA
zyxA
Az
Ay
Ax
RMtz
C
y
C
x
CDM
z
u
y
u
x
u
zu
yu
xu
22
Esta es la ecuación de continuidad, para la sustancia A. Para una solución de densidad constante y dividiendo entre MA, la ecuación anterior quedará:
A2
A
2
2
A
2
2
A
2
ABAAA
zA
yA
x Rz
C
y
C
x
CDM
t
C
z
Cu
y
Cu
x
Cu
En el caso especial en que la velocidad es igual a cero y no hay reacción química, la ecuación anterior se reduce a la ecuación de la segunda ley de Fick:
A2
A
2
2
A
2
2
A
2
ABAA R
z
C
y
C
x
CDM
t
C
Esta ecuación se puede aplicar con frecuencia a la difusión en sólidos y en ciertos casos, a la difusión en fluidos.
24
25
x
CD
C
CNNN A
ABA
BAA
DIFUSION MOLECULAR EN ESTADO ESTACIONARIO EN FLUIDOS SIN MOVIMIENTO Y EN FLUJO LAMINAR
C
CNNCN
x
CD
C
CNNN ABAAA
ABA
BAA
ABABAA
A
CD
dx
CNNCN
dC
Si aplicamos esta ecuación sólo en el sentido de x, con NA y NB constantes (estado estacionario), las variables se separan y si DAB es constante se puede integrar.
2A
1A
2
1
C
C
x
xABABAA
A
CD
dx
CNNCN
dC
En donde el 1 indica el principio de la trayectoria de difusión (CA elevado) y el 2 el fin de la trayectoria de difusión (CA bajo). Sea x2 –x1 = x
ABBA1AA
BA2AA
BA CD
x
NNCCN
NNCCNln
NN
1
C/CNN/N
C/CNN/Nln
x
CD
NN
NN
1ABAA
2ABAAAB
BA
AA
26
27
28
29
30
31
DIFUSION MOLECULAR EN GASES
Cuando se puede aplicar la ley de los gases ideales podemos hacer uso de las siguientes expresiones:
P
pf
C
C AA
A RT
P
v
nC
Adecuando la ecuación 31 para su aplicación a gases, tenemos:
1ABAA
2ABAAAB
BA
AA pPNN/N
pPNN/Nln
RTx
PD
NN
NN
1ABAA
2ABAAAB
BA
AA fNN/N
fNN/Nln
RTx
PD
NN
NN
32
33
Para aplicar esta ecuación, debemos conocer la relación entre NA y NB.
Por ejemplo, si se va a fraccionar metano sobre catalizador:
24 H2CCH
En circunstancias tales que el CH4(A) se difunda hacia la superficie de fraccionamiento y el H2(B) se difunda al seno del fluido, entonces la estequiometria de la reacción fija la relación NB = -2NA y
1N2N
N
NN
N
AA
A
BA
A
En ausencia de reacción química, la relación puede fijarse por razones de entalpía. En el caso de las operaciones puramente separaciones, se presentan con frecuencia dos casos.
Difusión en estado estacionario de A a través del no difundente B
Un ejemplo, de este operación es el amoniaco (A) contenido en el aire (B), que en contacto con el agua, éste absorberá en el agua.
En este ejemplo NB = 0, y NA = constante.
10N
N
NN
N
A
A
BA
A
La ecuación 32 se transforma en:
1A
2AAB
1AAA
2AAAAB
A
AA pP
pPln
RTx
PD
pP0N/N
pP0N/Nln
RTx
PD
0N
NN
Puesto que: P-pA2 = pB2, P – pA1 = pB1, pB2 – pB1 = pA1 – pA2, entonces:
2A1A
M,B
AB
1A
2A
1B2B
2A1AAB
1A
2A
1B2B
2A1AABA pp
p
1
RTx
PD
p
pln
pppp
RTx
PD
p
pln
pp
pp
RTx
PDN
2A1A
M,B
ABA pp
RTxp
PDN
34
35
Distancia X
Pre
sión
2Ap
1Ap
2Bp
1Bp
Bp
Ap
totalp totalp
1x 2x
Difusión de A a través de B, estancionado
A
La sustancia A se difunde a través de B debido a su gradiente – dpA/dx. El componente B también se difunde con relación a la velocidad molar promedio con una fluidez que depende de – dpB/dx, pero igual que nada un pez que nada a contracorriente a la misma velocidad que el agua que fluye con la corriente, NB = 0 relativo a un lugar fijo en el espacio.
Contradifusión equimolal en estado estacionario
x
p
RT
D
P
pNNN AABA
BAA
Esta es una situación que se presenta en las operaciones de destilación, NA = - NB = constante.
Para el presente caso, NA = - NB = constante.
x
p
RT
DN AAB
A
A
A
AB dpRTN
Ddx
"A
1A
2
1
p
pA
A
ABx
xdp
RTN
Ddx
2A1AAB
A ppRTx
DN
36
37
1Ap
2Ap1Bp
2Bp
1x 2xDistancia x
P p
resi
ón
totalP totalP
A
B
Difusión en estado estacionario en mezclas de multicomponente
En estos casos se puede emplear la difusividad efectiva. La difusividad efectiva de un componente puede obtenerse a partir de difusividades binarias con cada uno de los otros componentes.
A partir de esta propuesta en la ecuación 32 se reemplaza el término NA + NB por la expresión en donde Ni es positivo si la difusión es en la misma dirección que A y negativo si en la dirección opuesta; DAB puede reemplazarse por la DA,m efectiva.
iAAi
n
Bi i,A
n
Ai
iAA
m,A
NfNfD
1
NfND
Los DA,i son las difusividades binarias. Esto indica que DA,m puede variar de uno de los lados de la trayectoria de difusión de difusión al otro, generalmente se debe suponer una variación lineal con la distancia, para cálculos prácticos..
Una situación bastante común es que todas las N excepto NA sean cero, es decir, cuando todos los componentes, excepto uno, estén estacionados.
n
Bi i,A
'
i
n
Bi i,A
i
Am,A
D
f1
D
ff1
D
38
39
En donde es la fracción mol del componente i, libre de A.'
if
Problema: Se está difundiendo oxígeno (A) a través de monóxido de carbono (B) en condiciones de estado estacionario, con el monóxido de carbono sin difundirse. La presión total es 10 5 N/m2, y la temperatura es de 0°C. La presión parcial del oxígeno en dos planos separados por 2.00 mm es, respectivamente 13000 y 6500 N/m2. La difusividad para la mezcla es 1.87x10-5 m2/s. Calcular la rapidez de difusión del oxigeno en kmol/s a través de cada metro cuadrado de los dos planos.
Solución
Se aplicaran las ecuaciones:
Datos P(N/m2) t(°C) (pA)i(N/m2) (pA)f(N/m2) DAB(N/m2) x(mm) R(Nm/kmol°K)
100000 0 13000 6500 0.0000187 2 8314
solución T(°K) (pA)i(N/m2) (pB)i(N/m2) (pA)f(N/m2) (pB)f(N/m2) x(m)273.15 13000 87000 6500 93500 0.002
pB,M(N(m2) NA(kmol/m2s)90210.9745 2.97E-05
respuesta NA(kmol/m2s)2.97E-05
2A1A
M,B
ABA pp
RTxp
PDN
1B
B
1B2BM,B
p
pln
ppp
2
Problema: Volver a calcular la rapidez de difusión del oxígeno (A) en el problema anterior, suponiendo que el gas no se esta difundiendo es una mezcla de metano(B) e hidrógeno (C) en la relación en volumen de 2:1. Se ha calculado que las difusividades son:
s
m10*99.6D
25
HO 22
s
m10*86.1D
25
CHO 42
Solución
Se aplicaran las ecuaciones: 2A1A
M,B
ABA pp
RTxp
PDN
1B
2B
1B2BM,B
p
pln
ppp
Para el caso de difusión en estado estacionario en mezcla de multicomponentes se aplicará la siguiente ecuación:
n
Bi i,A
'
i
n
Bi i,A
i
Am,A
D
f1
D
ff1
D
En donde es la fracción mol de i libre de A:'
if
Datos P(N/m2) t(°C) (pA)i(N/m2) (pA)f(N/m2) DAB(N/m2) x(mm) mol B mol C DAC(N/m2) R(Nm/kmol°K)
100000 0 13000 6500 0.0000699 2 2 1 0.0000186 8314
solución T(°K) (pA)i(N/m2) (pB)i(N/m2) (pA)f(N/m2) (pB)f(N/m2) x(m) f'B f'C273.15 13000 87000 6500 93500 0.002 0.667 0.333
DA,m(m2/s) pB,M(N(m2) NA(kmol/m2s)0.0000364 90210.9745 5.77E-05
respuesta NA(kmol/m2s)0.0000577