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EJERCICIOS A DESARROLLAR DE CADA UNIDAD
FASE 1
TEMATICA: INTRODUCCION A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
Ejercicio C
Establezca si la ecuación diferencial es lineal o no lineal, indique el orden de cada ecuación:
d2 yd x2
+ dydx
−5 y=ex
1. RTA: Es Lineal2. RTA: Segundo orden
TEMATICA: ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
Ejercicio C
Resolver la siguiente ecuación diferencial hallando el factor integrante
dydx
+2 xy=x
Factor integrante=e∫2xdx=ex2
ex2 dydx
+ex22xy=ex2 x
ddx
(ex2 y )=ex2x
∫ ddx
(ex2 y )dx=∫ ex2 x dx
Usando un factor de sustitución para la segunda integral:
u=x2
du=2 xdxdx= du2 x
∫ ddx
(ex2 y )dx=∫ eu xdu2 x
∫ d (ex2 y )=∫ eudu
ex2 y=eu+C
Reemplazando el valor de u se tiene:
ex2 y=ex2+C
Despejando y:
y= ex2
ex2+ C
e x2
La solución será:
y=1+C ex−2
FASE 2
TEMATICA: ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Ejercicio 3
Resolver la siguiente ecuación diferencial por el método de variación de parámetros:
y ' '+ y=sec ( x )
Primero se halla la solución de la ecuación homogénea asociada:
y ' '+ y=0
y=emx y '=memx y ' '=m2 emx
m2 emx+emx=0
emx (m2+1 )=0
(m2+1 )=0
m1=i m2=−i
y=acos ( x )+bsen ( x )(1)
Ahora se halla el valor de la solución particular:
y p=A (x)cos ( x )+B(x) sen ( x )
y p'=A ' (x)cos ( x )−A ( x ) sen ( x )+B' (x) sen ( x )+B ( x )cos ( x )
A '(x )cos ( x )+B' ( x ) sen ( x )=0
y p'=−A ( x ) sen ( x )+B (x ) cos ( x )
y p' '=−A '(x )sen ( x )−A ( x ) cos ( x )+B ' ( x )cos ( x )−B ( x ) sen (x)
Reemplazando términos en la ecuación diferencial:
y ' '+ y=sec ( x )
−A '( x)sen ( x )−A ( x ) cos ( x )+B ' ( x ) cos ( x )−B (x ) sen (x )+( A (x)cos ( x )+B(x) sen ( x ) )=sec (x)
−A ' ( x)sen ( x )+B' ( x ) cos ( x )=sec ( x )(2)
Evaluamos el determinante para saber si hay solución usando las expresiones 1 y 2:
W=| cos ( x ) sen ( x )−sen ( x ) cos (x )|=cos2 ( x )−(−sen2 ( x ) )=1 (Si tiene solución )
W A ´ (x )=| 0 sen ( x )sec ( x ) cos ( x )|=−sec ( x )∗sen ( x )=− tan (x )
W B´ ( x )=| cos ( x ) 0−sen ( x ) sec ( x )|=cos ( x )∗sec ( x )=1
A' ( x )=W A´ ( x )
W=−tanx
A ( x )=∫−tanxdx=−ln|cos (x )|
B' ( x )=W B´ (x )
W=1
B (x )=∫ dx=x
Finalmente la solución particular es:
y p=−cos ( x )∗ln|cos (x)|+xsen ( x )
Luego definimos la solución general como la suma de la solución homogénea y la particular así:
y=acos ( x )+bsen ( x )−cos ( x )∗ln|cos (x )|+xsen ( x )
FASE 3
TEMATICA: ECUACIONES DIFERENCIALES Y SOLUCION POR SERIES DE POTENCIAS
Ejercicio 1
Resolver el problema de valor inicial a través del método de series de potencias:
3 y ' '−2x y '+8 y=0 ; y (0 )=3 , y ' (0 )=0
Tomando :
y=∑n=0
∞
cn xn
y '=∑n=1
∞
cnn xn−1
y ' '=∑n=2
∞
cnn(n−1) xn−2
Reemplazando en la ecuación inicial:
∑n=2
∞
cnn (n−1 ) xn−2−23x∑
n=1
∞
cnnxn−1+ 8
3∑n=0
∞
cn xn=0
∑n=2
∞
cnn (n−1 ) xn−2−∑n=1
∞23cnn xn+∑
n=0
∞83cn x
n=0
2c2+∑n=3
∞
cnn (n−1 ) xn−2−∑n=1
∞23cnnx
n+c0+∑n=1
∞83cn x
n=0
Usando K para dejar el mismo exponente e inicio en cada serie:
2c2+c0+∑k=1
∞
ck+2(k+2)(k+1 ) xk−23∑k=1
∞
ck¿¿
Dejando una sola suma general:
2c2+c0+∑k=1
∞
¿¿¿
Esto implica:
2c2+c0=0
c2=−c02
ck +2 (k+2 ) ( k+1 )+23ck (k )+ 8
3ck=0
ck +2=−( 23 ck (k )+ 8
3ck)
(k+2 ) (k+1 )k=1,2,3 ,…
ck +2=−( 23 k+ 83 )ck
(k+2 ) ( k+1 )k=1,2,3 ,…
Asumiendo valores para k se tiene:
c3=−( 23∗1+ 83 )c1
(1+2 ) (1+1 )=−1018
c1
c4=−( 23∗2+ 83 )c2
(2+2 ) (2+1 )=−1236
c2
c5=−( 23∗3+83 )c3
(3+2 ) (3+1 )=−1460
c3
c6=−(23∗4+ 83 )c4
(4+2 ) (4+1 )=−1690
c4
c7=−( 23∗5+ 83 )c5
(5+2 ) (5+1 )=−18126
c5
c8=−(23∗6+ 83 )c6
(6+2 ) (6+1 )=−24168
c6
De estas relaciones se asumen dos escenarios para dar la solución de acuerdo a:
y=∑n=0
∞
cn xn
y= y1 ( x )+ y2(x)
c0≠0 yc1=0
y1(x)=c0−c02
x2+ 1272
c0 x4− 1926480
c0 x6+ 46081149120
x8−…
y1(x)=c0(1−12 x2+1272
x4− 1926480
x6+ 46081149120
x8−…)c0=0 yc1≠0
y2(x )=c1−1018
c1 x3+ 1401080
c1 x5− 2520136080
c1 x7+…
y2(x )=c1(1−1018 x3+ 1401080
x5− 2520136080
x7+…)