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Solución del 2do. nivel (3ra. etapa)2da. Olimpiada Cientí�ca Estudiantil Plurinacional Boliviana

Responzable: Mgr. Alvaro H. Carrasco C.

1. Como 1000 = 2353 entonces los divisores pares de 1000 son: 2; 2 � 5; 2 � 52; 2 � 53; 2 �2; 2 � 2 � 5; 2 � 2 � 52; 2 � 2 � 53; 2 � 2 � 2; 2 � 2 � 2 � 5; 2 � 2 � 2 � 52; 2 � 2 � 2 � 53 =2; 10; 50; 250; 4; 20; 100; 500; 8; 40; 200; 1000; la suma de estos es: 2184:

2. Observemos que las posibles sumas de dos números compadres uno 237 y el otro de tres cifras,pueden ser: 1111; 1000; 1110; 1101; 1011; 1001; 1010; 1100: Luego restando de cada uno 237 tenemos:874; 763; 873; 864; 774; 764; 773 y 863 como sus compadres

3.Dividiendo tenemos

1 2 3 4 5 n 7 8 9 9 11 3 5 63 2 4

5 1 56 0

9

0. . .

observemos que el último dígito del cociente debe ser 9 para que el resto sea 0, por otro ladomultiplicando el cociente por el dividendo obtenemos el dividendo y de esto tenemos

9 11 3 5 6 9

1 3 5 6 91

987n54321 71 2 3 5 n4

1 3 5 61 2 2 1

8 9

19

1 3 5 69 1

9

7

7

16

6

10

de donde se sigue que n = 7:

4. Considerando algunos casos particulares

Entonces se tiene:Número de pisos Caras visibles1 32 9 = 3 + 63 17 = 9 + 84 27 = 17 + 105 39 = 27 + 12...

...

Continuando de esta manera se tiene que en el piso 33 se tienen 1187 caras visibles.

1

Solución del 3er. nivel (3ra. etapa)2da. Olimpiada Cientí�ca Estudiantil Plurinacional Boliviana


1. Sean a, b y c las dimensiones del recipiente, entonces tenemos8<:ab2 = 1bc4 = 1ac5 = 1

a

b

c

2

multiplicando estas ecuaciones tenemos

a2b2c240 = 1

de donde(abc)2 =

1

40

y �nalmente el volumen viene dado por:

abc =1p40=

p10

20

2. Usando las expresiones

x3 � 1 = (x� 1)�x2 + x+ 1

�x3 + 1 = (x+ 1)

�x2 � x+ 1

�tenemos �

23 � 123 + 1

��33 � 133 + 1

��43 � 143 + 1

��53 � 153 + 1

�=

(2� 1) (22 + 2 + 1)(2 + 1) (22 � 2 + 1)

(3� 1) (32 + 3 + 1)(3 + 1) (32 � 3 + 1)

(4� 1) (42 + 4 + 1)(4 + 1) (42 � 4 + 1)

(5� 1) (52 + 5 + 1)(5 + 1) (52 � 5 + 1)

=7

3 � 32 � 134 � 7

3 � 215 � 13

4 � 316 � 21 =

31

32 � 5 =31

45

1

3.Dividiendo tenemos

1 2 3 4 5 n 7 8 9 9 11 3 5 63 2 4

5 1 56 0

9

0. . .

observemos que el último dígito del cociente debe ser 9 para que el resto sea 0, por otro ladomultiplicando el cociente por el dividendo obtenemos el dividendo y de esto tenemos

9 11 3 5 6 9

1 3 5 6 91

987n54321 71 2 3 5 n4

1 3 5 61 2 2 1

8 9

19

1 3 5 69 1

9

7

7

16

6

10



Entonces se tiene:

Altura de la torre Caras visibles1 3 = 3� 12 9 = 3� 33 18 = 3� 64 30 = 3� 105 45 = 3� 156 63 = 3� 21

Altura de la torre Caras visibles7 84 = 3� 288 108 = 3� 369 135 = 3� 4510 165 = 3� 5511 198 = 3� 66

de donde se sigue que en la torre de altura 11 se pueden pegar 180 stickers.

2

Solución del 4to. nivel (3ra. etapa)2da. Olimpiada Cientí�ca Estudiantil Plurinacional Boliviana


1. Mediante una triangulación del hexagono tenemos que la arista del mismo mide 5�32= 15

2;

entonces su área será igual a

6

p3

4

�15

2

�2=675

8

p3

y el área de los tres hexagonos es igual a

18

p3

432 =

81

2

p3

�nalmente el area sombreada es igual a

675

8

p3� 81

2

p3 =

351

8

p3

2. Elevando al cuadrado tenemosvuutx+

s4x+

r16x+

q� � �+

p42008x+ 3 = 1 +

px

x+

s4x+

r16x+

q� � �+

p42008x+ 3 = 1 + 2

px+ xs

4x+

r16x+

q� � �+

p42008x+ 3 = 1 + 2

px

elevando al cuadrado tenemos

4x+

r16x+

q� � �+

p42008x+ 3 = 1 + 4

px+ 4xr

16x+

q� � �+

p42008x+ 3 = 1 + 4

px

1

elevando al cuadrado tenemos

16x+

q� � �+

p42008x+ 3 = 1 + 8

px+ 16xq

� � �+p42008x+ 3 = 1 + 8

px

repitiendo este proceso (2008 veces) llegamos ap42008x+ 3 = 1 + 22008

px

de donde elevando al cuadrado por última vez tenemos

42008x+ 3 = 1 + 22009px+ 24016x

osea3 = 1 + 22009

px

y luego

x =

�2

22009

�2=

1

24016

3.El radio de la circunferencia es 12; entonces por el terorema de Pitágoras tenemos

�1

2

�2=�x2

�2+

2

p3

2x

!2resolviendo tenemos

x =1p13

de donde el área del hexagono es

A = 6

p3

4

�1p13

�2=3

26

p3

1/2

30o

120o

x/2

x3 x2

2

4. Como � y � son soluciones de la ecuación, tenemos

�+ � =4

3

�� = �53

entonces elevando al cuadrado�2 + 2�� + �2 =

16

9

de donde

�2 + 2

��53

�+ �2 =

16

9

y así

�2 + �2 =46

9

Por otro lado como

�3 + �3 = (�+ �)��2 � �� + �2

�=4

3

�46

9+5

3

�=244

27

como �2 + �2 y �3 + �3 son raices de la ecuación�x� 46

9

��x� 244

27

�= 0

la suma de los coe�cientes de esta ecuación será el valor de la misma en x = 1; osea�1� 46

9

� �1� 244

27

�=�

559

� �21727

�= 8029

243

3



1. Observemos que el triángulo es rectángulo pues 202 = 162+122; tenemos la siguiente proporciónya que los triángulos son semejantes

12

20=6

yde donde y = 10

análogamente16

20=x

yde donde x = 8

6

u=16

20de donde u = 7:5

12

20=z

ude donde z = 4:5

20

1612

6

6

x=8

y=10

u=7.5

w

w6

r

6

w

w

z=4.5 6

con estos datos hallemos el área del triángulo dado como suma de tres triángulos, dos cuadrados yun trapecio

12� 162

=1

2(6) (8) + 62 +

1

2(4:5) (6) +

1

2wr + 62 + w2 + (6� w) w + 1:5

2

donde r = 6� w; reemplazando y simpli�cando tenemos

96 = 78 +21

4w

de donde w = 247

2. Como a2 � b2 = (a+ b) (a� b) ; tenemos:22

22 � 132

32 � 142

42 � 1 � � �20122

20122 � 1

=22

(2 + 1) (2� 1)32

(3 + 1) (3� 1)42

(4 + 1) (4� 1) � � �20122

(2012 + 1) (2012� 1)

=22

(3) (1)

32

(4) (2)

42

(5) (3)� � � 20122

(2013) (2011)=2� 20122013

=4024

2013

1

3.

# de ELE Suma de segmentos usados (en cm)1 42 6 = 4 + 23 10 = 6 + 22

4 18 = 10 + 23

5 34 = 18 + 24

6 66 = 34 + 25

7 130 = 66 + 26

8 258 = 130 + 27

9 514 = 258 + 28

10 1026 = 514 + 29

4. Caso1: x2 � 10x + 9 = 0; resolviendo tenemos x = 1, x = 9; y como la base x3 � 7x � 7 no se

anula tenemos dos soluciones.Caso 2: x3 � 7x� 7 = 1; osea x3 � 7x� 8 = 0 esta ecuación no tiene raices enteras, (use la regla

de Ru¢ ni)Caso 3: x3�7x�7 = �1; osea x3�7x�6 = 0; factorizando (x� 3) (x+ 2) (x+ 1) = 0 de donde

tenemos x = 3; x = �2; x = �1; ahora debemos buscar cual de estas raices hace que el exponentex2 � 10x+ 9 tome valores pares

x x2 � 10x+ 93 �12�2 33�1 20

y concluimos que para x = 3 y x = �1 tenemos que se cumple la iguadad. En resumen los valoresenteros que satisfacen la igualdad dada son: 1; 9; 3 y �1.

2



1.

x 1x

y

x

1xy

Como el cuadrado tiene lado 1 tenemosy2 = 1 + x2

y tambien1 + x2 = 2 (1� x)2

resolviendo esta ecuación tenemos dos soluciones

x = 2 +p3 y x = 2�

p3

como la primera es mayor que 1, tomamos la segunda solución. Como y2 = 1+x2 = 1+�2�

p3�2=

8� 4p3 de donde

y =

q8� 4

p3

Finalmente el área buscada es

A =

p3

4

�q8� 4

p3

�2= 2

p3� 3

2.# de ELE Suma de segmentos usados (en cm)1 42 6 = 4 + 23 10 = 6 + 22

4 18 = 10 + 23

5 34 = 18 + 24

6 66 = 34 + 25

7 130 = 66 + 26

8 258 = 130 + 27

9 514 = 258 + 28

10 1026 = 514 + 29

1

3. Caso1: x2 � 10x + 9 = 0; resolviendo tenemos x = 1, x = 9; y como la base x3 � 7x � 7 no se

anula tenemos dos soluciones.Caso 2: x3 � 7x� 7 = 1; osea x3 � 7x� 8 = 0 esta ecuación no tiene raices enteras, (use la regla

de Ru¢ ni)Caso 3: x3�7x�7 = �1; osea x3�7x�6 = 0; factorizando (x� 3) (x+ 2) (x+ 1) = 0 de donde

tenemos x = 3; x = �2; x = �1; ahora debemos buscar cual de estas raices hace que el exponentex2 � 10x+ 9 tome valores pares

x x2 � 10x+ 93 �12�2 33�1 20

y concluimos que para x = 3 y x = �1 tenemos que se cumple la iguadad. En resumen los valoresenteros que satisfacen la igualdad dada son: 1; 9; 3 y �1.

4. De la resta, tenemos

A B DCBD C A

DB CA8>><>>:D + 10� A = CC + 9�B = AB � 1� C = DA�D = B

Resolviendo el sistema tenemos A = 7; B = 6; C = 4; D = 1

2

Solución del 1er. nivel (3ra. etapa)2da. Olimpiada Cientí�ca Estudiantil Plurinacional Boliviana


1. Como 1000 = 2353 entonces los divisores pares de 1000 son: 2; 2 � 5; 2 � 52; 2 � 53; 2 �2; 2 � 2 � 5; 2 � 2 � 52; 2 � 2 � 53; 2 � 2 � 2; 2 � 2 � 2 � 5; 2 � 2 � 2 � 52; 2 � 2 � 2 � 53 =2; 10; 50; 250; 4; 20; 100; 500; 8; 40; 200; 1000; la suma de estos es: 2184:

2. Se tienen los siguientes números racionales con denominador a lo más 7 y menores que �

11

21

31

12

32

52

13

23

43

53

73

83

14

34

54

74

94

114

15

25

35

45

65

75

85

95

115

125

135

145

16

56

76

116

136

176

196

17

27

37

47

57

67

87

97

107

117

127

137

157

167

177

187

197

207

luego Pedro escribió 55 números racionales menores que �:3.Dividiendo tenemos

1 2 3 4 5 n 7 8 9 9 11 3 5 63 2 4

5 1 56 0

9

0. . .

observemos que el último dígito del cociente debe ser 9 para que el resto sea 0, por otro ladomultiplicando el cociente por el divisor obtenemos el dividendo y de esto tenemos

9 11 3 5 6 9

1 3 5 6 91

987n54321 71 2 3 5 n4

1 3 5 61 2 2 1

8 9

19

1 3 5 69 1

9

7

7

16

6

10


1


Entonces se tiene:Número de pisos Caras visibles1 32 9 = 3 + 63 17 = 9 + 84 27 = 17 + 105 39 = 27 + 12...

...

Continuando de esta manera se tiene que en el piso 22 se tienen 549 caras visibles.

2

Ver lista de clasificados de esta etapa en: http://olimpiadas.educabolivia.bo

3ra OLIMPIADA CIENTIFICA ESTUDIANTIL PLURINACIONAL BOLIVIANA

28va OLIMPIADA BOLIVIANA DE MATEMÁTICA

2da Etapa (Examen Simultáneo)

1ro de Secundaria

Duración de la prueba. 1:40 horas

No puedes usar calculadora, no puedes consultar libros ni apuntes.

Justifica cada una de tus respuestas

PREGUNTAS DE OPCION MULTIPLE (Encierre en un círculo la respuesta correcta)

1. (10 pts.) En una división el dividendo es 375, el divisor es 21, el cociente es 17 y el resto es 18.

Hallar una división con el mismo cociente y cuyo resto sea el doble

a) 312 b) 322 c) 393 d)333 e) Ninguno

2. (10pts.) Las medidas de los lados de un triangulo son números naturales consecutivos. Si el

perímetro mide 33cm ¿cuánto mide el lado menor?

a) 15 b) 14 c) 12 d) 10 e) Ninguno

3. (15pts.) Una pizza se corta quitando cada vez la tercera parte de la misma que hay en el momento

de cortar ¿Qué fracción de la pizza original quedo después de cortar tres veces?

a)

b)

c)

d)

e) Ninguno

4. (15 pts.) ¿Cuánto es ?

a) b) c) d) e) Ninguno

PREGUNTAS DE DESARROLLO (Debe realizar en esta misma hoja)

5. (25 pts.) Un mendigo para satisfacer sus deseos de fumar, recogía colillas y con cada 4 de

estas hacia un cigarrillo. Un día cualquiera sólo pudo conseguir 25 colillas ¿Cuál es la máxima cantidad de cigarrillos que pudo fumar ese día? Resp: Cantidad cigarrillos 8

6. (25pts.) Al multiplicar 159 por 48 nos da como resultado 7632. En dicha multiplicación aparecen exactamente una vez los dígitos del 1 al 9. En la multiplicación que se muestra se completan los espacios en blanco de manera que en la multiplicación aparezcan todos los dígitos del 1 al 9 exactamente una vez con la respuesta correcta. ¿Cuales son los dígitos del multiplicador? Resp: 186 x 39 = 7254





2do de Secundaria





1. (10 pts.)¿Cuáles son los dos números primos entre si, cuyo MCM es 330 y su diferencia es 7?

a) 20, 34 b) 22, 15 c) 27,20 d) 25, 18 e)Ninguno

2. (10 pts.) ¿Cuál es el área de la figura?


3. (15 pts.) En ves de caminar a lo largo de los dos lados de un rectángulo (el largo es a), un niño

toma la diagonal del rectángulo y se economiza una distancia igual a ½ del lado mayor. Hallar la

razón del lado menor al lado mayor

a)

b)

c)

d)

e) Ninguno

4. (15 pts.)¿Cuántos cubitos faltan como mínimo para formar un cubo solido compacto?

a) 18 b)16 c) 20 d) 24 e) Ninguno


5. (25 pts.) En un número de tres dígitos, la suma de los mismos es 18. El dígito de las unidades es el doble de las decenas. Por último la diferencia se obtiene restando el número dado y el formado al invertir el orden de sus dígitos es 297. ¿Cuál es el número inicial? Resp: 936

6. (25 pts.) En cada vértice de una estrella se colocan potencias de 2 de modo que la suma de los 5 vértices es igual a 107. ¿Cuales son esas potencias? Resp: 0,0,0,4,5,6 ie. 20,20,20,24,25,26





3ro de Secundaria





1. (10 pts.) ¿Cuál es la diferencia entre el mayor y el menor divisor primo de ?

a) 256 b) 254 c) 134 d) 288 e) Ninguno

2. (10 pts.) Si los alumnos se sientan de 3 en 3 sobrarían 4 bancas y si se sientan de 2 en 2 se

quedarían de pie 18 alumnos ¿Cuántos alumnos hay?

a) 76 b) 79 c) 78 d) 83 e) Ninguno

3. (15 pts.) ¿Cuántos cubitos están en contacto con el cubito número 10?

a) 24 b) 22 c) 20 d) 18 e) Ninguno

4. (15 pts.) Si Hallar

a) b) c) 4 15 d) e) Ninguno


5. (25 pts.) Hallar el valor de “x”. si ABCD es un cuadrado

Resp:

6. Un rectángulo de papel de 3 cm por 9 cm se dobla a lo largo de una recta, haciendo coincidir dos vértices opuestos. De este modo se forma un pentágono. Calcular su área. Resp: 39/2 cm2


1.- Respuesta factorizando se tiene

Como los número son todos primos tenemos la diferencia entre el mayor divisor y el menor es: 257-3=254 2.- Sea x= al número de bancas N° de alumnos =3(x-4); N° de alumnos =2(x+9); entonces 3(x-4)=2(x+9) de donde x=30 N° de alumnos =3(30-4)=78 3.- 20 cubitos 4.- 2 raíz de 11

5.-

6._ Resp: 39/2 cm2





4to de Secundaria





1. (10 pts.) (15 pts.) Si el perímetro de un rectángulo es 16a+18b y el ancho es 2a+6b. ¿Cuál es su

altura?

a) 5a+4b b) 6a+3b c) 8a+9b d) 4a+9b e) Ninguno

2. (10 pts.) En un corral hay vacas y gallinas, la madre de María y Juan les dice que cuenten los

animales, María cuenta 54 patas y Juan contó las cabezas y llegó a contar 20 ¿Cuántos animales

hay de cada clase en el corral?

a) v=17 g=13 b) v=15 g=11 c) v=19 g=13 d) v=18 g=16 e) Ninguno

3. (15 pts.) Sean a y b las raíces de la ecuación . Si además

. ¿Cuál es el

valor numérico real de p?

a) 3 b) 4 c) 2 d) 5 e) Ninguno

4. (15 pts.) Un pintor A tarda 4 horas en pintar una casa, un pinto B tarda 2 horas en pintar la

misma casa. Si pintan juntos. ¿En cuánto tiempo acabarán?

a) 1 hora b) 45 min. c) 1 hora 30 min. d) 1 hora 20 min. e) Ninguno


5. (25 pts.) ¿Cuánto vale el área de la región sombreada, si es un cuadrado de lado 3?

Resp: 27/8 u2

6. (25 pts.) Encuentre la relación que existe entre la hipotenusa de un triangulo rectángulo de área

25cm2 y su perímetro.

Resp: h =

donde: h es la hipotenusa y p el perímetro





5to de Secundaria





1. (10 pts.) Si parte entera de x es el mayor de todos los enteros menores o iguales a x. Entonces

parte entera de log2 11 es:


2. (10 pts.) La solución de la ecuación es:

a) x= 4, x=1/4 b) x= 3, x=1/3 c) x= 1, x=-1 d) x= 2, x=-2 e) Ninguno.

3. (15 pts.) Pedro tiene a libros de matemática y b libros de física y tiene por lo menos uno de cada

materia. Sabiendo que el doble de la suma de los cuadrados de los libros de matemática y física

es 5 veces el producto de ambos y que 4 veces la diferencia de ambos es igual al producto de

ambos. ¿Cuántos libros de cada materia tiene? a) a = 4, b = 6 b) a = 5, b = 4 c) a = 4, b = 2 d) a = 5, b = 3 e) Ninguno

4. (15 pts.) En la figura ABC

de CE?

a)

b)

c)

d)

e) Ninguno


5. (25 pts.) ¿Cuál será la profundidad de un pozo si por el primer metro se han pagado 760 bs y por cada uno de los restantes 150 bs más que el metro anterior? El pozo ha costado 43700 bs. Resp: 20 m.

6. (25 pts.) El triangulo rectángulo de lados 6, 8, y 10 está inscrito en la circunferencia K. L a

circunferencia L es tangente a K en el punto medio del arco CA y tangente a la cuerda CA.

La circunferencia M es tangente a K en el punto medio del arco AB y tangente a la cuerda

AB. ¿ Cuál es la diferencia de los perímetros de M y L ?

Resp:





6ro de Secundaria





1. (10 pts.) Se trazan semicírculos inscritos en un cuadrado con radio igual a la mitad del lado del cuadrado

si el lado vale Hallar el área de las cuatro hojas que se forman.

a)

b)

c)

d)

e) Ninguno

2. (10 pts.) Sea cotα=

entonces el valor de

es:

a) 2/3 b) 3/5 c) d) e) Ninguno

3. (15 pts.) En una prueba Ernesto obtuvo más puntaje que Alberto, Diego obtuvo menos puntaje que Ariel,

Carmen obtuvo más puntaje que Ernesto, Ariel obtuvo menos puntaje que Alberto. ¿Quiénes obtuvieron

el puntaje mayor y menor respectivamente?

a) Ariel y Ernesto b) Ernesto y Carmen c) Carmen y Alberto d) Carmen y Diego e)Ninguno

4. (15 pts.) El valor de

es:

a)

b)

c)

d)

e) Ninguno


5. (25 pts.) Halle la ecuación de la circunferencia que circunscribe un triangulo formado por las

intersecciones de las rectas: 1) x-2y+9 = 0 2) 7x+y-42 = 0 3) x+3y-6 = 0

Rpta. (x-2)2+(y-3)2=52

6. (25 pts.) Encuentre todas las soluciones de la ecuación sen2x = senx

Rpta. x=k , x= /3+2k y x=5 /3+2k




3raEtapa (Examen Simultáneo)

1ro de Secundaria

Duración de la prueba. 1:40 horas No puedes usar calculadora, no puedes consultar libros ni apuntes. Justifica cada una de tus respuestas


1. (10 pts.) Si son números para los cuales :

Hallar a) 20 b) 18 c) 16 d) 11 d) 17 e) Ninguno

2. (10pts.)¿Cuál es el producto de los divisores comunes de 99 y 275?

a) 1 b) 5 c) 6 c) 11 d) 15 e) Ninguno

3. (15pts.) Se desea empapelar las paredes de una sala rectangular de 15m de largo, 6m de ancho y

5 m de altura. La sala tiene 4 ventanas de 1,5m por 2m. Si cada rollo de papel viene de 10m por 80cm ¿Cuántos rollos de papel se debe comprar para el empapelado? a) 23rollos b)24rollos c)25rollos d) 27rollos e) Ninguno

4. (15 pts.) La figura muestra el desarrollo de un cubo, si “x” es el máximo producto de dos caras

opuesta y “y” es la máxima suma de tres caras. Hallar

a) 20 b) 25 c) 28 c) 27 d) 30 e) Ninguno

PREGUNTAS DE DESARROLLO (Debe realizar en esta misma hoja) 5. (25 pts.) En la siguiente secuencia de números se puede observar que el número 10 se encuentra

en la fila dos, el número 16 en la fila 3. Determinar en qué fila se encuentra el número 2013

Solución: Fila 2

6. (25pts) En cada vértice de una estrella se colocan potencias de 2 de modo que la suma de los 5 vértices es igual a 107. ¿Cuáles son esas potencias?

Resp: 0,0,0,3,5,6 ie.202

02

02

32

52

6=107

4

5

3

1 2 6




3ra Etapa (Examen Simultáneo)

2do de Secundaria



1. (10 pts.) ¿Cuál es la diferencia entre el mayor y el menor divisor primo de ? a) 256 b) 134 c) 288 d) 254 e) Ninguno

2. (10 pts.) Se parte un ladrillo en tres pedazos iguales, si el peso del ladrillo completo es igual a 4 libras más el peso de uno de los pedazos. ¿Cuánto pesa el ladrillo? a) 5 b) 4.5 c) 6 d) 4 e) Ninguno

3. (15 pts.) Juana escribe una secuencia de números naturales 1, 2, 3,…, donde cada número con excepción del primero, es igual al anterior más cinco. Juana se detiene cuando encuentra el primer número de tres cifras. El número es:

a) 100 b) 104 c) 101 d) 103 e) Ninguno

4. (15 pts.) Hallar ( ), si al dividir entre da como cociente 22 y residuo 21.

a) 18 b)16 c)11 d) 15 e) Ninguno


5. (25 pts.) ¿Cuál es el área de la región sombreada, si la figura es un cuadrado de lado 3?

Rpta. 27/8

6. (25 pts.) Al dividir un terreno en dos partes, resulta que los 2/5 de la primera parte miden lo mismo que los 3/7 de la segunda. Si el terreno mide 11600 m2. ¿Cuánto mide la parte mayor?

Solución: 6000 m2





3ro de Secundaria


PREGUNTAS DE OPCION MULTIPLE (Encierre en un círculo la respuesta correcta) 1. (10 pts.) Si y , entonces es igual a:

a) 4 b) c) 3 d) e) Ninguno

2. (10 pts.) Si entonces es igual a:


3. (15 pts.) La siguiente figura está formada por tres cuadrados de lado 10cm de longitud. Con 5 de

éstas figuras se forman otras figuras. ¿Cuál es el menor perímetro de éstas? a) 150cm b) 160cm c) 140cm d) 180cm e) Ninguno

4. (15 pts.) Hallar un número de tres cifras diferentes que sea igual a 16 veces la suma de estas

cifras. a) 129 b) 291 c) 219 d) 192 e) Ninguno


5. (25 pts.) Hallar el valor de “x”. si ABCD es un cuadrado

Rpta. x=1

6. (25 pts.) Un rectángulo de papel de 3 cm por 9 cm se dobla a lo largo de una recta, haciendo coincidir dos vértices opuestos. De este modo se forma un pentágono. Calcular su área.

Resp: 39/2 cm2


3raOLIMPIADA CIENTIFICA ESTUDIANTIL PLURINACIONAL BOLIVIANA 28va OLIMPIADA BOLIVIANA DE MATEMÁTICA

3raEtapa (Examen Simultáneo) 4to de Secundaria


PREGUNTAS DE OPCION MULTIPLE (Encierre en un círculo la respuesta correcta) 1. (10 pts.) Se han realizado varias medidas a un jugador de baloncesto y se llegó a la siguiente

conclusión: Su pierna es igual a la mitad de su altura. Su cabeza mide 1/6 de su pierna y su mano es 1/12 de su pierna más 1/10 de su cabeza. Si el jugador mide 2m ¿Qué fracción del total representa su mano? a) 1/25 b) 1/15 c) 1/20 d) 1/18 e) Ninguno

2. (10 pts.) Sabiendo que una de las raíces de la ecuación ( ) ( ) ( )

es igual a 1, entonces la otra raíz es: a) ( )

( ) b) ( )

( ) c) ( )

( ) d) ( )

( ) e) Ninguno

3. (15 pts.) Si √ √ √ , entonces: a) √ b) c) d) e)Ninguno

4. (15 pts.) Un círculo de radio 1cm está inscrito en un cuadrado, y éste está inscrito en otro círculo, como se muestra en la figura. ¿Cuál es el área de este último círculo?

b) 1.5π cm2 b) 2π cm2 c) cm2 d) 1.5cm2 e) Ninguno


5. (25 pts.) En la siguiente secuencia de números se puede observar que el número 10 se encuentra en la columna 6, el número 16 en la columna 8. Determinar en qué columna se encuentra el número 2013.

Solución: Se encuentra en la columna 1007 6. (25 pts.) En la figura los puntos P, Q, R y S dividen cada lado del rectángulo en razón 1:2. ¿Cuál

es el cociente entre el área del paralelogramo PQRS y el área del rectángulo ABCD?

Rpta.5/9





5to de Secundaria



1. (10 pts.) Un señor necesita 40 minutos para lavar su camión. Su hijo lleva a cabo la misma tarea en 2 horas. ¿Cuántos minutos tardarán el señor y su hijo en lavar 3 camiones trabajando juntos?

a) 120min b) 80 min c) 90 min d) 150 min e) Ninguno

2. (10 pts.) Calcular el valor de en la ecuación ( ) si una raíz excede a la otra en tres unidades. a) b) c) d) e) Ninguno.

3. (15 pts.) Si las longitudes de los lados de un triángulo son números enteros y divisores del

perímetro, el triángulo es:

a) Escaleno b) Isósceles c) Recto d) Equilátero e) Ninguno

4. (15 pts.) Las 3 bisectrices del triángulo ABC se cortan en el punto I. Si el ángulo ∡BAC mide 68°. ¿Cuántos grados mide el ángulo ∡ BIC?

a) b) ° c) 124° d) 136° e) Ninguno


5. (25 pts.) La suma de tres números, forman una progresión geométrica y es igual a 13, la suma de sus cuadrados es igual a 91. Hallar estos números. Rpta. 1, 3, 9

6. (25 pts.) Los números enteros mayores que 1 son ordenados de la siguiente forma:

2 3 4 5 9 8 7 6 10 11 12 13 17 16 15 14 18 19 20 21 … … … … …

¿En qué columna aparece el 2013? Respuesta columna 1





6to de Secundaria


PREGUNTAS DE OPCION MÚLTIPLE (Encierre en un círculo la respuesta correcta)

1. (10 pts.) La circunferencia de centro F y radio 13 intercepta a la circunferencia de centro G y radio 15 en los puntos P y Q. El segmento PQ mide 24. ¿Cuál es la longitud del segmento FG?


2. (10 pts.) Si α es un ángulo agudo tal que halle

a) 12/5 b) 25/8 c) d) e) Ninguno

3. (15 pts.) En el triángulo rectángulo ABC, (∠ ) se sabe que entonces al calcular se obtiene: a) b) 2 c) d) e) Ninguno

4. (15 pts.) Dada la recta y un punto P(7,5) de la recta. Hallar un punto R que pertenece a la recta que dista 5 unidades de P. a) ( ) b) ( ) c) ( ) d) ( ) e) Ninguno

PREGUNTAS DE DESARROLLO (Debe realizar en esta misma hoja) 5. (25 pts.) Los números enteros mayores que 1 son ordenados de la siguiente forma:

2 3 4 5 9 8 7 6 10 11 12 13 17 16 15 14 18 19 20 21 … … … … … ¿En qué fila aparece el 2013? Resp: Fila 503

6. (25 pts.) A partir de la figura mostrada calcule si y ( ) ( )

Rpta. x=24

4ta

OLIMPIADA CIENTIFICA ESTUDIANTIL PLURINACIONAL BOLIVIANA

28va OLIMPIADA BOLIVIANA DE MATEMATICA 2014

2da

Etapa (Examen Simultáneo)

1º SECUNDARIA


RESPUESTAS

Primero de Secundaria.-

1.- Si el producto de dos números es 363 y su cociente es 3 .Cual es la suma de esos números.

A) 121 , B) 33 , C) 21 , D)44 E) N.A.

2.- Que porcentaje de la zona sombreada es la zona sin sombrear.(la figura corresponde a

cuadrados iguales)

a) 70% B) 85% C) 80% D) 75% E) N.A.

3.- Cuantos números múltiplos de 7 y no de 35 hay entre 1 y 1000.

A) 112 B) 116 C) 110 D) 114 E)N.A.

4. - Un grupo de amigos van de campamento y acuerdan dejar encendida una vela durante las

noches. Una vela encendida toda la noche se consume en ¾ partes. Con lo que va sobrando de las

velas se fabrica una nueva que también se utiliza. Si compraron 16 velas cuantas noches

acamparon?

A) 18 B) 19 C) 22 D) 21 E) N.A.

5.- Los números de las caras de la caja (fig1) siguen una secuencia. Al abrir la caja (fig2) que

números pondría en las caras no visibles?

4

985

2413

16127

1120

15

4

fig1

fig2

Caras no visibles

6.-. A, B, C y D son cuadrados; los puntos P, Q y R son centros de los cuadrados. Si la razón de las

áreas A y B es de ¼ , la de B y C es de 16/9 y la del área D con C es de 1/9 y el lado del

cuadrado D mide 2cm .

La zona sombrada es de :

A

B

C

D

P

QR

Respuesta 14 2cm

4 7 12 16 13 24 28 19 36 40 25 48

5 8 9 11 20 15 17 32 21 23 44 27

4ta



2da


2º SECUNDARIA


RESPUESTAS


1.- Calcular todos los divisores del número 72 , y hallar la suma de dichos divisores. La suma es:

A) 100 B) 196 C)169 D)180 E)N.A

2.- Calcule el valor de la suma de A, B, C, D, E, y F (dígitos de números) para que la siguiente

multiplicación sea posible.

A A 5 1 B

1 A B 0A A C

B D E F

A) 21 B) 24 C) 23 D) 22 E) NA

3.- ABCD es un cuadrado, L1 //L2//L3 ( //: paralelo). La distancia entre L1 y L2 es de 5cm; entre L2

y L3 es de 7cm. Por lo tanto el valor del área del cuadrado ABCD es de :

A B

CD

L1

L2

L3

a) 74 2cm b) 76 2cm c) 72 2cm d) 78 2cm e) NA

4.- ABCD es un cuadrado de 10cm de lado. P y Q son puntos medios de los lados DC y BC

respectivamente.

Que porcentaje del cuadrado es el área sombreada?

Q

BA

D C

P

a) 75% b) 90% c) 70% d) 85% e) NA


5.- Si a y b son dos números naturales tal que verifican los siguientes productos 56.a= 65.b.

Demuestre que a+b no es primo,

a+b=56n+65n= 121 n (es divisible entre 121)

6.- Sabiendo que el lado del cuadrado mide a .Calcular el área de la región sombreada.

Resp.

4ta


OLIMPIADA BOLIVIANA DE MATEMATICA 2014

2da


3º SECUNDARIA


TERCERO DE SECUNDARIA-

RESPUESTAS


1.- La suma de los cuadrados de dos números enteros positivos es 29. Si la resta de los cuadrados de

los mismos números es igual a 21. ¿Qué porcentaje del número mayor es el menor?

A) 30% B) 45% C) 35% D) 40% E)NA

2.- Calcular la suma de los coeficientes numéricos del desarrollo del Binomio : ( 3a b)5

A)1000, B) 400 C) 1024 D) 43 E) N.A.

3.- .- [15pts] Un polinomio de tercer grado, cuyo coeficiente del término de grado 3 es la

unidad, tiene como factores a x-2 y x+1. Si al producto de estos factores se multiplica por el tercer

factor, el término lineal tiene coeficiente -4. El término independiente del polinomio original es:

A) 4 B) -4 C) 2 D) -2 E) N.A.

4. . El ángulo CBA

mide 63º , M es el punto medio del lado AC , y AN es bisectriz del ángulo CAB

El

ángulo CAB

mide:

A C

B

63ºN

M

A) 76º B) 72º C) 74º D) 78º E)NA


5. Si Lucas tuviera 27 años menos, el tiempo que habría permanecido dormido seria la quinta parte

del tiempo que hubiese permanecido despierto, si es que tuviera 27 años más. Si en el transcurso de

su vida duerme un promedio de 8 hrs. diarias ¿cuánto tiempo lleva durmiendo?

RESPUESTA) 21años

6.-Si A, B, C y D son puntos medios del cuadrado de 4cm de lado. El valor del área sombreada es de :

B

A

C

D

RESPUESTA 4

4ta



2da


4º SECUNDARIA


RESPUESTAS CUARTO DE SECUNDARIA


1.- Dos autos fueron vendidos en el mismo precio. En uno de ellos la ganancia fue de un 30% sobre el

precio de compra. En el otro la pérdida fue de un 20 % del precio de compra. Que podemos afirmar en

relación al CAPITAL INVERTIDO.

A) Ganancia de 10 % B) Ganancia de 5 % ,C) Ganancia de 1% ,D) Perdida E) Ni ganancia ni perdida.

2.- ABCD es un cuadrado de 12cm de lado. P y Q son puntos medios. El área de la zona sombreada es:

CD

BA

P

Q

A) )18(5 B) )18(6 C) )18(4 D) )18(3 E) NA

3. - Si

11

12

x.y

y.x con yx el valor de

y.x

yx es de:

A) 2 B) 4 C) 3 D) 5 E)NA

4.- Si los círculos de la figura tienen el mismo radio ( R) y son tangentes dos a dos , el área sombreada

es de :

A) )3(2 R B) )33(2 R C) )32(2 R D) )34(2 R E)NA


5.- Dada la ecuación de segundo grado: x2 = 0 . si x1 y x2 . Son sus raíces, Calcular el

valor de x13 x2

3 .

RESPUESTA: b( 3c- b2 )

6.- En una reunión asisten más hombres que mujeres. Hay más mujeres que beben que hombres que

fuman. Hay más mujeres que fuman y no beben que hombres que no fuman ni beben. Por lo tanto,

demuestre cuál de las siguientes respuestas es la correcta:

a) hay más hombres que beben y no fuman, que mujeres que no beben ni fuman

b) hay más hombres que beben y fuman , que mujeres que no beben ni fuman

c) hay más hombres que beben , que mujeres que no beben ni fuman

d) hay más hombres que beben y no fuman , que mujeres que no beben y fuman

RESPUESTA: a

4ta



2da


5º SECUNDARIA


RESPUESTAS

QUINTO DE SECUNDARIA


1.- Disponemos de tres números, Las sumas de cada dos de ellos son 12,17 y 19. Cuál es el

número del medio.

A) 7 B) 8 C) 10 D) 5 E) N.A.

2,-Resolver la ecuación:

=

A) x= 2 B) x= Log 2 C) x=

D) x= 2 Log 2 E) N.A.

3.- Si la suma de los n primeros términos de una Progresión Aritmética es : n(3n ) . hallar la

razón .

A) 3 B) 6 C) 9 D) 12 E) N.A.

4.- Un cuadro de lado 1 (como el de la figura) se divide en 25 cuadritos iguales. Se quitan los

cuadros centrales. A continuación a los cuadros que quedan se los vuelve a dividir en 25 cuadritos

y nuevamente se retira el cuadro central de todos y a los restantes se los vuelve a dividir se quita

el central y así sucesivamente. A que valor tiende la suma de las áreas de los cuadros centrales

quitados?

A) 4

1 B)

4

3 C) 1 D)

2

1 E) NA


4.- (Con Procedimiento) Hallar todos los números naturales de 4 dígitos que son iguales al cubo

de la suma de sus dígitos.

RESP.- 4913 y 5832

6.- Si los puntos A , B , C , P , y Q son puntos de tangencia. Si el radio de las circunferencias

grandes es de 10cm . El valor la zona sombreada es de :

RESP. 2

25

P Q

A B

C

4ta


OLIMPIADA BOLIVIANA DE MATEMATICA 2014

2da


6º SECUNDARIA


RESPUESTAS

SEXTO DE SECUNDARIA


1. -Si F(x)=403200 y F(n)= n.F(n-1) El valor de F(3)-F(1) es

A) 50 B) 60 C) 40 D) 30 E) NA

2.- Se dibujan tres cuadrados unitarios como se ve en la figura: Calcular el área del triángulo ABC

A)

B)

c) 2 D) 3 E) N.A.

3 En el triángulo rectángulo ABC recto en B la longitud de la hipotenusa es el triple de la longitud de uno de

los catetos. Determina: 2

.senCAsen

A) 2

1 B)

8

89 C) 10 D)

9

2 E) NA

4Si 110521

yx

la cantidad de enteros positivos que satisfacen la ecuación es de :

RESPUESTA) 20


5.-(Con Procedimiento) Hallar los vértices del triángulo si las ecuaciones de sus lados son: x-

5y+8=0, 4x-y-6=0 , 3x+4y +5=0

RESP: (2,2) , ( 1,-2) , (-3,1)

6.- En la entrada a la feria ganadera de Concepción se ha colocado un arco parabólico que tiene

una altura máxima de 18 metros y 24 metros de base. En el arco se pretende colocar dos

pernos para sujetar un letrero Los pernos estarán a una distancia de 8 metros a los lados del

centro del arco.

¿A qué altura medida desde el suelo, se deben colocar los pernos que sujetarán el letrero?

RESPUESTA :A=10

4taOLIMPIADA CIENTIFICA ESTUDIANTIL PLURINACIONAL BOLIVIANA OLIMPIADA BOLIVIANA DE MATEMATICA 2014

3raEtapa (Examen Simultáneo) 1º SECUNDARIA


1.- [15pts] Cuando son las 5 p.m. en Moscú, son las 3 p.m. en Viena y son las 9 a.m. del mismo día en La Paz. Sonia se acostó en Santa Cruz a las 9 p.m. del domingo. Qué hora y que día era en Moscú en ese momento?

a) 1 a.m., domingo b) 5 a.m., lunes c)5 p.m., domingo d) 1 p.m., domingo e) N.A.

2.- [15pts] Se quiere formar el numero 12345678910111213141516……………………2014

En qué lugar está la cifra central, contando de 1 en 1?

a) 3472 b) 3475 c) 3373 d) 3381 e) N.A.

3.- [15pts] Se tiene 4 cuadrados como muestra la figura. Por lo tanto el área sombrada es de

4cm 3cm 2cm 1cm

a) 8 2cm b) 10 2cm c) 12 2cm d) 14 2cm e)N.A.

PREGUNTAS DE DESARROLLO (Debe realizar en esta misma hoja) 4.- [15pts] Una alfombra mágica rectangular se achica hasta la mitad de su longitud, y hasta la tercera parte de su ancho, cada vez que su dueño concede un deseo. Si después de otorgar tres deseos el área de la alfombra quedo en 24cm ¿Cuál era el largo original de la alfombra mágica, si el ancho inicial era de 9 cm?

RESPUESTA_____________________

5.- [20pts] La suma de los números de cuatro cifras : 𝟑𝟓𝒂𝒃�� + 𝒃𝟓𝟑𝒄�� da como resultado 𝒄𝒅𝟎𝟖��.

Hallar a+b+c+d

RESPUESTA _______

6.- [20pts] Sabemos que A, B, C son números naturales tales que:

245

= 𝐴 +1

𝐵 + 1𝐶+1

Cuál es el valor de 2A+3B+5C

RESPUESTA ___

APELLIDO PATERNO APELLIDO MATERNO

NOMBRES TELÉFONO DE CONTACTO

DISTRITO EDUCATIVO UNIDAD EDUCATIVA Fiscal Particular Convenio





1.- [15pts] Cuando son las 5 p.m. en Moscú, son las 3 p.m. en Viena y son las 9 a.m. del mismo día en La Paz. Sonia se acostó en Santa Cruz a las 9 p.m. del domingo. Qué hora y que día era en Moscú en ese momento?

a) 1 a.m., domingo b) 5 a.m., lunes c)5 p.m., domingo d) 1 p.m., domingo e) N.A.

2.- [15pts] Se quiere formar el numero 12345678910111213141516……………………2014

En qué lugar está la cifra central, contando de 1 en 1?

a) 3470 b) 3475 c) 3427 d) 3385 e) N.A.

3.- [15pts] Se tiene 4 cuadrados como muestra la figura. Por lo tanto el área sombrada es de

4cm 3cm 2cm 1cm

a) 8 2cm b) 10 2cm c) 12 2cm d) 14 2cm e)N.A.

PREGUNTAS DE DESARROLLO (Debe realizar en esta misma hoja) 4.- [15pts] Una alfombra mágica rectangular se achica hasta la mitad de su longitud, y hasta la tercera parte de su ancho, cada vez que su dueño concede un deseo. Si después de otorgar tres deseos el área de la alfombra quedo en 24cm ¿Cuál era el largo original de la alfombra mágica?

Area inicial= 9.L Longitud L L21 L

41 L

81

Ancho 9 3 1 31

10 puntos si deduce área inicial

Reunimos L81 y

31 nos queda Área final =

31

81 .L =4 resolviendo ∴ L=96cm 2 ,

5 puntos si halla el valor

RESPUESTA 96 cm

5.- [20pts] La suma de los números de cuatro cifras : 𝟑𝟓𝒂𝒃�� + 𝒃𝟓𝟑𝒄�� da como resultado 𝒄𝒅𝟎𝟖��.

Hallar a+b+c+d 35ab b+c =8 a+3=0 5+5= d 3+b=c, b<7 +b53c además b+c =8 o b+c =18, como b<7 eso no es posible cd08

10 puntos si deduce las ecuaciones

Luego de a+3=0 → a=7 , 1+5+5=11 y d= 1, de la primera columna: 1+3+b=c

y de la cuarta b+c=8, b+1+3+b=8 y b=2, c=6

RESPUESTA _______7+2+6+1=16_________________10 puntos si llega al resultado

6.- [20pts] Sabemos que A, B, C son números naturales tales que:

245

= 𝐴 + 1𝐵+ 1

𝐶+1 Cuál es el valor de 2A+3B+5C

Si deduce 4 + 45

= 𝐴 + 1𝐵+ 1

𝐶+1 A=4 4

5= 1

𝐵+ 1𝐶+1

, 154

= 1𝐵+ 1

𝐶+1 10 puntos

RESPUESTA ___A=4, B= 1 C=3______TOTAL:2*4+3*1+5*3=26 10 puntos




PREGUNTAS DE OPCION MULTIPLE (Encierre en un circulo la respuesta correcta)

1.-[15pts] Cuantos números enteros positivos de 3 cifras tienen algún 7 ( uno o más) en su escritura?

a)252 b) 225 c) 26 d) 72 e) N.A

2.- [15pts] Don Joaquín nace en el siglo XIX y en el año 1887 cumplió tantos años como la suma de las cifras del año en que nació. Luís nace 140 años después que don Joaquín. Cuantos años cumple Luís en 2014?

a) 16 años b) 7 años c) 8 años d) 19 años e) N.A.(ninguno de los anteriores)

3.- [15pts] El circulo de la figura está compuesto de 4 regiones concéntricas (I, II , III , IV) todas con la misma área. Si el radio R=8 cm, el valor del radio r es de :

III

III

IV

Rr

a) 5cm b) 3cm c) 4cm d) 6cm e)N.A.


4.- [15pts] En una superficie rectangular de dimensiones 936 m y 1512 m se siembran árboles en filas y columnas en forma equidistante de manera que haya un árbol en cada vértice y uno en el centro mismo del terreno en dicha distribución. ¿Cuál sería el mínimo número de árboles a sembrar?

RESPUESTA____________

5.-[20pts] Si al número N se lo divide entre d, el cociente es q, y el residuo 7. Pero si dividimos 4N entre d el cociente es 4q+a y el resto 3.Cual es la suma de a+b si al sumar b unidades a N y dividirlo por 25 nos da una división exacta y un cociente igual a q+2

RESPUESTA a+b =______

6.- [20pts] En un rectángulo de base 6 cm, hay dibujado un triangulo por círculos que se tocan. Cuál es la distancia más corta entre los dos círculos grises?

RESPUESTA________



DISTRITO EDUCATIVO UNIDAD EDUCATIVA

Fiscal Particular Convenio





1.-[15pts] Cuantos números enteros positivos de 3 cifras tienen algún 7 ( uno o más) en su escritura?

a)252 b) 225 c) 26 d) 72 e) N.A

2.- [15pts] Don Joaquín nace en el siglo XIX y en el año 1887 cumplió tantos años como la suma de las cifras del año en que nació. Luís nace 140 años después que don Joaquín. Cuantos años cumple Luís en 2014?

a) 6 años b) 7 años c) 8 años d) 9 años e)

3.- El circulo de la figura está compuesto de 4 regiones concéntricas (I, II , III , IV) todas con la misma área. Si el radio R=8 cm, el valor del radio r es de :

III

III

IV

Rr

a) 5cm b) 3cm c) 4cm d) 6cm e)


4.-En una superficie rectangular de dimensiones 936 m y 1512 m se siembran árboles en filas y columnas en forma equidistante de manera que haya un árbol en cada vértice y uno en el centro mismo del terreno en dicha distribución. ¿Cuál sería el mínimo número de árboles a sembrar?

Al haber un árbol al centro, se divide el área en 4 partes de 756m por 468m y como los árboles deben equidistar se busca el común divisor pero el más grande y es 36. 10 puntos si halla el divisor

Entonces son 1161 árboles 5 puntos resultado

RESPUESTA : 1161 árboles

5.-[20pts] Si al número N se lo divide entre d y d>10, el cociente es q, y el residuo 7. Pero si dividimos 4N entre d el cociente es 4q+a y el resto 3.

Cuál es la suma de a+b si al sumar b unidades a N y dividirlo por 25 nos da una división exacta y un cociente igual a q+2

N:d=q con resto de 7 ∴ q.d+7=N (1)

4N:d =4q+a con residuo de 3 ∴ (4q+a).d+3=4N (2)

De (1) y (2) obtenemos: 4qd+ad+3=4qd+28 lo que nos lleva a a.d=25 como d ≠ 1 d >7 por (1)

∴ d=25 y a=1 10 puntos si deduce hasta acá

Segunda parte del enunciado: (N+b):25=q+2 con un residuo de 0 ∴ (q+2).25=N+b

Haciendo distributiva 25q+50=25q+7+b b=43 Por lo que a+b=1+43=44

RESPUESTA a+b= 44 10 puntos

6.- [20pts] En un rectángulo de base 6 cm, hay dibujado un triangulo por círculos que se tocan. Cuál es la distancia más corta entre los dos círculos grises?




4cm

2cm

L

6cm Dibuja el triangulo 5 puntos

222 24 L+= 4162 −=L 122 =L 32=L restándole dos radios nos queda

Halla L =10 puntos , resta los radios 5 puntos

RESPUESTA________𝟐√𝟑 − 𝟐



3raEtapa (Examen Simultaneo) 3º SECUNDARIA


1.- [15pts] Que letra se debe poner en lugar de ? en el centro de la segunda figura si se sabe que cada letra corresponde un número del 1 al 27 y hay una relación de operaciones matemáticas: A B C D E F G H I J K L M N Ñ O P Q R S T U V W X Y Z 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27

G

C H

Ñ D

?

J E

C Q

a) G b) H c) I d) J e) N.A ( ninguna de las anteriores)

2.- [15pts] Se trata de formar un cubo con ladrillos cuyas dimensiones son: 24cm de largo; 15 cm de ancho y 9 cm de alto. ¿Cuántos ladrillos son necesarios para formar el cubo más pequeño? A)360 ladrillos B) 9648 ladrillos C) 240 ladrillos D) 14400 ladrillos E) N.A.

3.- [15pts] Si 22 1988 ba =+ . Cuantos valores posibles en los números naturales hay para a y b

a) 3 b) 4 c) 2 d) 1 e)N.A.


4.- [15pts] Joaquín pinta el siguiente rectángulo de 16 cm. de largo y 6cm de ancho de la manera que muestra la figura 1. ¿Qué superficie pintó?

figura 1

A D

B C

10cm

4cm

H

θ2

θ3θ

figura 2

RESPUESTA____________________

5. [20pts] En la figura 2, ABCD es un trapecio. El valor del lado BH, siendo BH perpendicular AC es:

RESPUESTA_______

6.-[20pts]Tres recipientes contiene agua. Se vierte 31 del contenido del 1º recipiente en el 2º; y a

continuación 41 del contenido del 2º recipiente se vierte en el 3º. Y por ultimo

101 del contenido del 3º

recipiente se vierte en el 1º. Al final cada uno de los recipientes queda con 9 litros. Qué cantidad de

agua había inicialmente en el 2º recipiente?

RESPUESTA ________________________








1.- [15pts] Que letra se debe poner en lugar de ? en la figura si se sabe que cada letra corresponde un número del 1 al 27 y hay una relación de operaciones matemáticas: A B C D E F G H I J K L M N Ñ O P Q R S T U V W X Y Z 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27

G

C H

Ñ D

?

J E

C Q

b) G b) H c) I d) J e) N.A ( ninguna de las anteriores)

2.- [15pts] Se trata de formar un cubo con ladrillos cuyas dimensiones son: 24cm de largo; 15 cm de ancho y 9 cm de alto. ¿Cuántos ladrillos son necesarios para formar el cubo más pequeño? a)360 ladrillos b) 9648 ladrillos c) 240 ladrillos d) 14400 ladrillos e) N.A.

3.- [15pts] Joaquín pinta el siguiente rectángulo de 16 cm. de largo y 6cm de ancho de la manera que muestra la figura 1. ¿Qué superficie pintó?

Figura 1 A D

B C

10cm

4cm

H

θ2

θ3θ

figura 2

a) 42 2cm b) 46 2cm c) 44 2cm d) 48 2cm e) N.A.


4.- [15pts] Si 22 1988 ba =+ . Cuantos valores posibles en los números naturales hay para a y b

𝑏2 − 𝑎2 = 1988 , (𝑏 − 𝑎)(𝑏 + 𝑎) = 2 ∗ 2 ∗ 7 ∗ 71 , 10 puntos

b-a= 2, b+a=994 o b-a=14, b+a=142

b=496, a=498 o b=78, a=64 10 puntos

RESPUESTA: 2

5. [20pts] .- En la figura 2 ABCD es un trapecio. El valor del lado 𝐵𝐻�� ,siendo 𝐵𝐻�� perpendicular 𝐴𝐶 �� es de :

Prolonga los lados y dibuja PA//CD, 5 puntos

triangulo AOB = triangulo ABH x+x+4= 10 x=3

Determina x : 10 puntos

Obtiene OB=BH=3cm 5 puntos

RESPUESTA ______3cm

θθ

θθθ

A

B C

D

H

23

4cm

10cm

x x

OP




6.-[20pts]Tres recipientes contiene agua. Se vierte 31 del contenido del 1º recipiente en el 2º; y a

continuación 41 del contenido del 2º recipiente se vierte en el 3º. Y por ultimo

101 del contenido del 3º

recipiente se vierte en el 1º. Al final cada uno de los recipientes queda con 9 litros. Qué cantidad de agua había inicialmente en el 2º recipiente

inicio x y z

1º xx

x32

31

=− xy31

+ z

2º )xy(31

43

+⋅ )xy.(z31

41

++

3º xxyz

32

31

41

101

+

++⋅

++⋅ xyz

31

41

109

(A) xxyz32

31

41

101

+

++⋅ =9 (B) )xy(

31

43

+⋅ =9 (C)

++⋅ xyz

31

41

109 =9

Con (A) (B) y (C) se arma un sistema y la solución es x= 12 y=8 z=7

Si determina x y y: 15 puntos, obtiene z, 5 puntos

RESPUESTA 8 lts __



3raEtapa (Examen simultáneo) 4º SECUNDARIA


1.- [15pts] Hallar el número máximo de cuadrados como los de la figura 1 construida utilizando a lo más 500 palitos de fosforo.

Figura 1

a) 125 b) 130 c) 155 d) 165 e) NA (ninguna de los anteriores)

2.- [15pts] En un grupo de hombres y mujeres, la razón entre la cantidad de estas últimas y los hombres

es 1011 El promedio de las edades de las mujeres es de 34 años. Además la suma total de números es

mayor que 600 pero menor que 900. El de los hombres es de 31 años. Cuál es el promedio de todo el grupo (mujeres y hombres juntos)

a) 7

234 b) 7

230 c) 7

228 d) 7

232 e)N.A.

3.- [15pts] Si (𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑)2 = 4(𝑎 + 𝑏)(𝑐 + 𝑑),entonces el valor de la raíz es:

�(343)𝑐+𝑑3(𝑎+𝑏)

a) ba +−3 b) dc −−2 c)7 d)3 e)N.A.

PREGUNTAS DE DESARROLLO (Debe realizar en esta misma hoja) 4[15pts].- En la figura 2, O y O´ son los centros de las circunferencias. El segmento 𝐶𝐵�� es tangente en P a la circunferencia pequeña y D es su punto medio.. El punto A es punto de tangencia de las dos

circunferencias. El valor de la razón Rr es:

C

BA

P

r

OR

O´

D

figura 2

FC

AD B

Eb

a figura 3

5.- [20pts] Enb la figura 3, los triángulos ABC y DEF son iguales y equiláteros. Hallar la diferencia de las áreas de los triángulos sombreados en función de a y b RESPUESTA_______________

6.- [20pts] Sea a un número real para el cual la ecuación x2 +ax+5=0 tiene raíces 5yα Sea b un

número real para el cual al ecuación x2 + bx + 12 = 0 tiene raíces β y 6. Determine el valor de

a2 + b2 + 2α + 2β

RESPUESTA: Total:____ _____ ; α = β = a= b=








1.- [15pts] Hallar el número máximo de cuadrados como los de la figura 1 construida utilizando a lo más 500 palitos de fosforo.

Figura 1

a) 125 b) 130 c) 155 d) 165 e) NA (ninguna de los anteriores)

2.- [15pts] En un grupo de hombres y mujeres, la razón entre la cantidad de estas últimas y los hombres

es 1011 El promedio de las edades de las mujeres es de 34 años. El de los hombres es de 31 años. Cual

es el promedio de todo el grupo (mujeres y hombres juntos)

a) 7

234 b) 7

230 c) 7

228 d) 7

232 e)N.A.

3.- [15pts] Si (𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑)2 = 4(𝑎 + 𝑏)(𝑐 + 𝑑),entonces el valor de la raíz es:

�(343)𝑐+𝑑3(𝑎+𝑏)

a) ba +−3 b) dc −−2 c)7 d)3 e)N.A.

PREGUNTAS DE DESARROLLO (Debe realizar en esta misma hoja) 4[15pts].- En la figura 2 , O y O´ son los centros de las circunferencias. El segmento 𝐶𝐵�� es tangente en P a la circunferencia pequeña y D es su punto medio. El punto A es punto de tangencia de las dos

circunferencias. El valor de la razón Rr es:

OO´= R-r Como los segmentos AP//O´D y O´P//OD Los triángulos AO´P y O´OD son semejantes

Como AO´=O´P por ser radios ∴ OO´=OD por lo que OD=R-r

Por semejanza de los triángulos ABC y ODB tenemos

DBCB

ODAC

= como D es punto medio CB=2.DB

DBDB.

rRAC 2

=−

AC=2.(R-r) , BOPO

ABAC

= rR

rR

)rR.(−

=−

222

Desarrollando nos queda: 042 22 =+− rRrR (1)

Dividiendo (1) por 2R y considerando aRr= se tiene : 042

2

=

+

−

Rr

Rr

Desarrollando llegamos a : 22 2 =− )a( a-2= 2± como 1<Rr toamos a= 22 −

Por lo que 22 −=Rr

RESPUESTSA: 22 −

5.- [20pts] Los triángulos ABC y DEF son iguales y equiláteros. Hallar la diferencia de las áreas de los triángulos sombreados en función de a y b

A

C

PD

B

OO´R

r




En el triangulo pintado pequeño

222

21

+= aha h= a

23 Área=

2altura.base =

43

223

2 .aa.a=

⋅ (1) Plantea el área pequeña: 10 puntos

En el triangulo pintado grande 2

22

21

+= bHb

H= b23 Área=

2altura.base =

43

223

2 .bb.b=

⋅ (2) ,

432 .b -

432 .a =

43 22 )ab( −

Plantea el area grande:5 puntos. Pone la diferencia: 5 puntos

RESPUESTA )(43 22 ab −⋅

6.- [20pts] Sea a un número real para el cual la ecuación x2 +ax+12=0 tiene raíces 6yα Sea b un

número real para el cual al ecuación x2 + bx + 5 = 0 tiene raíces β y 5. Determine el valor de

a2 + b2 + 2α + 2β

Aplica suma y producto de raíces: 12 puntos

a−=+ 6α,

126* =α ;

b−=+ 5β,

55* =β,

Halla los valores a, b y la suma : 8 puntos

RESPUESTA: Total:_ ____ _105____ ___ α = 2 β =1 b= -6 a= -8

FC

AD B

Eb

a

b

a60º60º

h

H




PREGUNTAS DE OPCION MULTIPLE (Encierre en un circulo la respuesta correcta) 1.- [15pts] Se dividen 230 caramelos entre 5 niños. Las cantidades que recibe cada niño están en

progresión aritmética. Además la tercera parte de la suma de las tres porciones más grandes,

aumentada en 18 es igual a la suma de las dos porciones más pequeñas. Cuantos caramelos recibe el

niño que le corresponde la mayor cantidad ?

a) 70 b) 50 c) 40 d) 60 e) N.A.( ninguna de las anteriores)

2.- [15pts] Calcular 60x, si x es un numero real mayor que 1, tal que:

𝑥𝑥√𝑥 = �𝑥 √𝑥�𝑥

a) 20 b) 30 c) 60 d) 135 e) N.A.

3.- [15pts] En una pizarra están escritos los siguientes números consecutivos : 1 , 2 , 3 , 4 , …… Joaquín borra uno de ellos y el último (es decir se suprimen dos números de la secuencia).

Solo informa que la media aritmética (promedio) de los números que quedaron es de 445

Por lo tanto los números suprimidos son:

a) 22 y 5 b) 23 y 5 c) 22 y 6 d) 23 y 6 e) N.A.


4.- [15pts] En un triángulo ABC se traza la bisectriz 𝐵𝑀�� (M en 𝐴𝐶��), en 𝐵𝐶�� se ubica un punto N tal que <𝐵𝑀𝑁 � = 90o, 𝐵𝑁��=2 𝑁𝐶��=4u y 𝐴𝐵𝐶�=120o. Calcular AB en función de u.

a) 2u b) 3u c) 4u d) 5u e) N.A.

5.- [20pts] Calcular “ x “ en :

X= log2( log3 3log2,5 6,5+ 9log2 5 log3 2 + 4log11 3 log32 11 ) RESPUESTA:______

6.-[20pts] Si la función f(x) está definida en todos los reales de la manera siguiente:

xx

fxf 52014.3)(.2 =

+ por lo tanto el valor de f(2) es :

RESPUESTA: f(2)=








PREGUNTAS DE OPCION MULTIPLE (Encierre en un circulo la respuesta correcta) 1.- [15pts] Se dividen 230 caramelos entre 5 niños. Las cantidades que recibe cada niño están en

progresión aritmética. Además la tercera parte de la suma de las tres posiciones más grandes,

aumentada en 18 es igual a la suma de las dos posiciones más pequeñas. Cuantos caramelos recibe el

niño que le corresponde la mayor cantidad?

a) 70 b) 50 c) 40 d) 60 e) N.A.( ninguna de las anteriores)

2.- [15pts] Calcular 60x, si x es un número real mayor que 1 tal que:

𝑥𝑥√𝑥 = �𝑥 √𝑥�𝑥

a) 20 b) 30 c) 60 d) 135 e) N.A.

3.- [15pts] En una pizarra están escritos los siguientes números consecutivos : 1 , 2 , 3 , 4 , …… Joaquín borra uno de ellos y el último (es decir se suprimen dos números de la secuencia).

Solo informa que la media aritmética (promedio) de los números que quedaron es de 445

Por lo tanto los números suprimidos son:

a) 22 y 5 b) 23 y 5 c) 22 y 6 d) 23 y 6 e) N.A.


4.- [15pts] En un triángulo ABC se traza la bisectriz 𝐵𝑀�� (M en 𝐴𝐶��), en 𝐵𝐶�� se ubica un punto N tal que <𝐵𝑀𝑁 � = 90o, 𝐵𝑁��=2 𝑁𝐶��=4u y 𝐴𝐵𝐶�=120o. Calcular AB. Se traza ML paralelo a AB.

Luego el triángulo BML es

equilátero donde BL = LM =

BM = 2 puesto que el

triangulo BMN es notable.

(15 puntos)

Por semejanza de triángulos:

uABLMAB 346

=⇒= (5

puntos)

RESPUESTA: 3u

5.- [20pts] Calcular “ x “ en :

X= log2 ∗ ( log3 3log2,5 6,5+ 9log2 5 log3 2 + 4log11 3 log32 11 ) Resuelve cada término:15, suma y obtiene el resultado 5 puntos

x=log2�𝒍𝒐𝒈𝟑𝟑𝟐 + 9𝑙𝑜𝑔3 5 + 4𝑙𝑜𝑔2 3�=log2(2+25+9)= log2(2+25+9)=

log2(36)=2 log2(6)=2log23+2 RESPUESTA : 2 log2(6)=log29+2=2log23+2

6.-[20pts] Si la función f(x) está definida en todos los reales de la manera siguiente:

xx

fxf 52014.3)(.2 =


f(2) y f(1007)

A

B

CM

N

L4

2

12060

60

6030




Si la función f(x) esta definida en todos los reales de la manera siguiente:

xx

f.)x(f. 5201432 =


Siendo x=2 nos queda 252

2014322 .f.)(f. =

+ ( ) 251007322 .f.)(f. =+ (1)

Siendo x= 1007 queda 1007510072014310072 .f.)(f. =

+ ( ) 100752310072 .f.)(f. =+ (2)

Reuniendo (1) y (2) y planteando con f(2) y f(1007) un sistema

=+

=+

50351007223101007322

)(f.)(f.)(f.)(f.

Llegamos al valor de f(2) =3017

RESPUESTA f(2)=3017





1. 1. [15pts] Se tiene tres conjuntos de números. El 1º con ocho números, el 2º con 4 números. El promedio de 1º conjunto de números es de 2n , el del 2º conjunto 5n y el tercero 10n . El promedio del total de números (de los tres conjuntos) es igual a 8n . Si la suma total de todos los números está entre 600 y 900, la suma de los números del primer conjunto es igual a :

a) 36 b) 32 c) 30 d) 34 e) NA (ninguna de las anteriores

2.- [15pts] Si el ángulo BA 2= entonces 22 ba − es igual a :

a

c

bC

BA

a) a.c b) b.c c) 2c d) a.b e) N.A.

3. [15pts] La suma 20152014

143

132

121

1+

+++

++

++

....................... es igual a :

a) 12015 − b) 12014 − c) 12014 + d) 12015 + e)NA


4. [15pts] La base mayor de un trapecio isósceles es igual a su diagonal. La base más pequeña es igual

a la altura del trapecio. Por lo tanto la razón ( 𝐵𝑏

) entre la base mayor y la más pequeña es:

B

b

RESPUESTA________________

5.- [20pts] Una cinta se ajusta estrechamente alrededor de dos círculos cuyas ecuaciones son

(𝑥 + 4)2 + (𝑦 − 2)2 = 9 y x2 − 10𝑥 + y2 − 8𝑦 + 32 = 0

La distancia que separa los centros de los dos círculos es a. ¿Cuál es la longitud total de la banda?

RESPUESTA:______________

6.- [20pts] Si: 55

22 1 :halle 31

rr

rr −=+

RESPUESTA:______________




a





1. [15pts] Se tiene tres conjuntos de números. El 1º con ocho números, el 2º con 4 números. El promedio de 1º conjunto de números es de 2n , el del 2º conjunto 5n y el tercero 10n . El promedio del total de números (de los tres conjuntos) es igual a 8n . Si la suma total de todos los números está entre 600 y 900, la suma de los números del conjunto A es igual a :

a) 36 b) 32 c) 30 d) 34 e) NA (ninguna de las anteriores

2.- [15pts] Si el ángulo BA 2= entonces 22 ba − es igual a :

a

c

bC

BA

a) a.c b) b.c c) 2c d) a.b e)

3. [15pts] La suma 20152014

143

132

121

1+

+++

++

++

....................... es igual a :

a) 12015 − b) 12014 − c) 12014 + d) 12015 + e)NA


4. [15pts] La base mayor de un trapecio isósceles es igual a su diagonal. La base más pequeña es igual

a la altura del trapecio. Por lo tanto la razón ( 𝐵𝑏

) entre la base mayor y la más pequeña es:

B

b

RESPUESTA 35

5.- [20pts] Una cinta se ajusta estrechamente alrededor de dos círculos cuyas ecuaciones son

(𝑥 + 4)2 + (𝑦 − 2)2 = 9 y x2 − 10𝑥 + y2 − 8𝑦 + 32 = 0

La distancia que separa los centros de los dos círculos es a. ¿Cuál es la longitud total de la banda?

Ubica los puntos de los centros de las circunferencias , r y obtiene a 15 puntos

(-4,2) y (5,4), r=3 a= √85 ,

calcula L=2πr+ 2a 5 puntos

RESPUESTA: L= 6π + 2√85

6.- [20pts] Si: 55

22 1 :halle 31

rr

rr −=+

→

2- 3212

2 =−+r

r ,

�𝑟 − 1𝑟�2

=1 ,�𝑟 − 1𝑟� =±1

,�𝑟 − 1

𝑟� = � |𝑒𝑙𝑒𝑣𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑎𝑙 3

𝑟3 − 1𝑟3− 3(𝑟 − 1

𝑟)=1 , �𝑟3 − 1

𝑟3� =4 con �𝑟 − 1

𝑟� = 1

a




�𝑟3 − 1𝑟3� �𝑟2 + 1

𝑟2� =4*3 multiplica y obtiene: 1211 5

5 =+−r

r

111 55 =−

rr

(15 puntos)

Con �𝑟 − 1𝑟� =−1 131 5

5 −=−r

r Reemplaza y obtiene -13 (5 puntos)

RESPUESTA:____________11 , -13


5ta OLIMPIADA CIENTIFICA ESTUDIANTIL PLURINACIONAL BOLIVIANA 30va OLIMPIADA BOLIVIANA DE MATEMATICA

3era Etapa (Examen Simultáneo) 1ero SECUNDARIA

PREGUNTAS DE OPCIÓN MÚLTIPLE

1. (15 pts) Encontrar un entero positivo “a” tal que la suma 𝑎 + 2𝑎 + 3𝑎 + 4𝑎 + 5𝑎 + 6𝑎 + 7𝑎 +

8𝑎 + 9𝑎 resulta ser un número con todas sus cifras iguales.

A)123 B)1234 C)2345 D) 123456789 E)345678

2. (15 pts) Mira las siguientes figuras, ambas están formadas por las mismas 5 piezas. El rectángulo tiene 5 cm de ancho y 10 cm de largo, y las otras piezas son cuadrantes. ¿Cuál es la diferencia de los perímetros de las dos figuras? Aclaración: Un cuadrante es la cuarta parte de un círculo

A)20cm B)30 cm C)10 cm D)2.5 cm E) 5.2 cm

3.(15 pts) A la final de la O.C.P.B en Santa Cruz (2014), asistieron 392 padres de familia, y se

observó que las 3

8 de las mujeres usaban lentes, siendo esta cantidad igual a las

2

11 partes de los

varones. ¿Cuántas mujeres no usaban lentes?

A)72B)80 C)64 D)60 E)75

PREGUNTAS DE DESARROLLO

4. (20pts) Determinar la cifra de menor orden al elevar al exponente 26 el número 23.

SOLUCION.-

Del problema:

2326= ..........X; debemos determinar X

Urge analizar en qué cifra terminan solo las potencias de 3, es decir:

…𝟑𝟎 = ⋯𝟏

…𝟑𝟏 = ⋯𝟑

…𝟑𝟐 = ⋯𝟗

…𝟑𝟑 = ⋯𝟕

…𝟑𝟒 = ⋯𝟏

Vemos que urge descomponer el exponente 26, en función de la referencia anterior

2326 = (234)6𝑥232

2326 = (… .1)6𝑥(… .9)

2326 = (… .1)(… .9)

2326 = ⋯9se concluye que la cifra buscada es;

𝒙 = 𝟗 ( Cifra de las unidades)

Pautas de calificación.- i). Advierte que necesita orientarse de los numerales que resultan al elevar el 3 de 23 a diferentes exponentes en sucesión (10pts) ii). Dispone la orden del problema: 2326 y descompone convenientemente el exponente 26 con el sustento anterior, y concluye que la cifra de las unidades buscada es 9 … (10 pts). Hacen el total del puntaje para el planteo del problema

5.(20 pts) En cada casilla de un tablero de 3x3, se escribe un número entero, de tal manera que,

para cada casilla, la suma de los números escritos en sus casillas vecinas sea siempre la misma.

¿Cuántos números distintos, como máximo, se puede escribir en el tablero?

Observación: Dos casillas son vecinas si tienen un lado o un vértice en común.

SOLUCIÓN.-

Si los números escritos en las casillas vecinas de una esquina son A, B y C, entonces, la suma de los

números escritos en las casillas vecinas de cada casilla es S=A+B+C, luego, podemos completar

algunas casillas del tablero de la siguiente manera:

B

A C

Sean X,Y,Z y W los números escritos en las casillas de las esquinas:

Si sumamos los números que están en las casillas vecinas a las casillas que tienen escritos los

números B:

𝑋 + 𝐴 + 𝐶 + 𝐴 + 𝑌 = 𝑍 + 𝐴 + 𝐶 + 𝐴 +𝑊 ⇒ 𝑋 + 𝑌 = 𝑍 +𝑊 (1)

Hagamos lo mismo para A:

𝑋 + 𝑍 = 𝑌 +𝑊 (2)

De (1) y (2), resulta que:𝑋 = 𝑊 y 𝑌 = 𝑍. La figura cambia así:

Y aplicando nuevamente las condiciones del problema a las casillas A y B:

𝑋 + 𝐵 + 𝐶 + 𝐵 + 𝑌 = 𝑋 + 𝐴 + 𝐶 + 𝐴 + 𝑌 ⇒ 𝐴 = 𝐵

Volviendo a pintar el tablero

Repitiendo la condición del problema a las casillas X y A:

𝐴 + 𝐶 + 𝐴 = 𝑋 + 𝐴 + 𝐶 + 𝐴 + 𝑌 ⇒ 𝑌 = −𝑋

Para las casillas A y C, resulta:

𝑋 + 𝐴 + 𝐶 + 𝐴 + (−𝑋) = 4𝐴 + 2𝑋 + 2(−𝑋) ⇒ 𝐶 = 2𝐴

El tablero final cumple las condiciones del problema; la suma de los números vecinos de cada casilla

es 4A

Finalmente, notamos que en la generalización, como máximo se tienen cuatro números distintos

en el tablero (–𝑿, 𝑿, 𝑨 𝒚 𝟐𝑨), ejemplo, si 𝑋 = 1 y 𝐴 = 2, cumplen las condiciones del problema

Pautas de calificación.-

i). Acomoda algún caso particular con números, verificando cumplir la condición…….(2 pts) ii). Procura buscar una generalización, asumiendo como primer referente una de las esquinas del tablero, disponiendo en el entorno letras, para el caso según el problema la suma será A + B + C (3pts)

B

A C A

B

X B Y

A C A

Z B W

X B Y

A C A

Y B X

X A Y

A C A

Y A X

X A -X

A 2A A

-X A X

ii). Completa las esquinas con letras y sucesivamente va ajustando a cada casilla las condiciones del problema, suma del entorno de cada casilla sea siempre la misma, logrando así secuencialmente igualdades que le permiten por lógica sacar conclusiones, como: X = W; Y = Z; A = B; Y = - X; finalmente C= 2A (10 pts) iii). El último tablero que obtiene, cumple la condición del problema, la suma de los números vecinos de cada casilla es 4 A; y los 4 números distintos en el tablero de manera general es (- X, X, A, 2A),(5 pts)Hacen los 20 pts asignados a la pregunta.

6. (15pts)En un pentágono regular ABCDE, calcule la medida de los ángulos.

𝑚∡𝐴𝐶𝐸 +𝑚∡𝐵𝐷𝐴 +𝑚∡𝐶𝐸𝐵 +𝑚∡𝐷𝐴𝐶 +𝑚∡𝐸𝐵𝐷.

SOLUCION.-

El trazado de diagonales Identifica los ángulos cuyo valor se requiere

Por geometría, se sabe que la medida de los ángulos interiores de un pentágono es 1080.

Al trazar dos diagonales desde un mismo vértice, estás trisecan el ángulo interior;

entonces la medida del ángulo 𝑚∡𝐵𝐷𝐴 = 360.

De manera análoga se procede con cada ángulo interior del pentágono. En consecuencia:

𝑚∡𝐴𝐶𝐸 = 360

𝑚∡𝐵𝐷𝐴 = 360

𝑚∡𝐶𝐸𝐵 = 360

𝑚∡𝐷𝐴𝐶 = 360

𝑚∡𝐸𝐵𝐷 = 360}

+

𝑚∡𝐴𝐶𝐸 +𝑚∡𝐵𝐷𝐴 +𝑚∡𝐶𝐸𝐵 +𝑚∡𝐷𝐴𝐶 +𝑚∡𝐸𝐵𝐷 = 5𝑥360 = 𝟏𝟖𝟎𝟎


i). Grafica el pentágono y traza las diagonales para identificar la medida de los ángulos que se pide ( 5pts) ii). Se da cuenta que al trazar dos diagonales de un mismo vértice, trisecan al ángulo interior, siendo la medida de cada uno de estos 36º con lo que advierte el proceso reiterativo para cada vértice, que sumando 5 veces 36º, obtiene 180º (10 pts). Son los 15 pts asignados al problema

D

B A

1080 1080

360

E C 360

360

D


3era Etapa (Examen Simultáneo) 2do SECUNDARIA


1. (15 pts)Un padre propone a su hijo Gabriel darle 4 Bs. por cada problema que resuelva bien; y él

debe devolverle 1Bs., por cada problema mal resuelto.Si después de hacer 50 problemas Gabriel

tiene 150 bolivianos ¿En cuántos problemas se equivocó?

A)15 B)12C) 10 D) 8 E)25

2. (15pts) Si P(N) es la suma de los dígitos pares de N. Por ejemplo: 𝑃(2012) = 2 + 2 = 4 .

Hallar el valor de:

𝑃(1) + 𝑃(2) + 𝑃(3) +⋯+ 𝑃(100).

A)200 B)360 C) 400 D) 900 E) 2250

3.(15 pts) Alana asiste a un casino, apuesta todo lo que tiene y gana un quinto. Luego

apuesta los tres cuartos de lo que tiene ahora y pierde la cuarta parte. Finalmente decide

apostar todo el dinero que tiene ahora y gana los dos tercios. Si al final de todo Alana

observa que ganó 60 Bs. ¿Cuál fue el dinero que tenía Alna al inicio?

A)136Bs B)120Bs C) 84Bs D) 96Bs E) 100Bs


4.- (20 pts) Para cada entero positivo k; sea:

𝑎𝑘 =𝑘2

𝑘2 + 100𝑘 + 5000

Calcular el valor de: 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 +⋯ + 𝑎99.

SOLUCIÓN:

Si: 𝑘 = 1 ; 𝑎1 =1

4901

Si: 𝑘 = 2 ; 𝑎2 =4

4804

Si: 𝑘 = 3 ; 𝑎3 =9

4709

.

.

Si: 𝑘 = 97 ; 𝑎97 =972

4709

Si: 𝑘 = 98 ; 𝑎1 =982

4804

Si: 𝑘 = 99 ; 𝑎99 =992

4901

Observamos que si sumamos los extremos la suma es siempre 2, pero queda 𝒂𝟓𝟎.

𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 +⋯ + 𝑎50+⋯ + 𝑎97⏟ +𝑎98⏟ + 𝑎99

⏟

𝑎1 + 𝑎99 =1

4901+992

4901=1 + 9801

4901=9802

4901= 2

𝑎2 + 𝑎98 =4

4804+982

4804=4 + 9604

4804=9608

4901= 2

𝑎50 =502

2500=2500

2500= 1 Se forman 49 parejas +𝑎50.

→ 49𝑥2 + 1 = 98 + 1 = 99.


i). Usa la relación ak, para obtener los valores de: 𝒂𝟏; 𝒂𝟐; 𝒂𝟑………a

99 (10 pts)

ii). Dispone la sumatoria de estos términos, cuando advierte que la suma de extremos da siempre como resultado el numeral 2, quedando el término central a

50. Cuyo valor es el

numeral 1, mostrándose en consecuencia 49 parejas más 1, es decir: 49 x 2 + 1 = 99 (10 pts). La sumatoria da el puntaje asignado de 20 ptsa la pregunta

5.- (20pts) ¿Cuántos números de ocho cifras se pueden formar de tal manera que el producto de

sus cifras sea 18?

SOLUCIÓN

Sea N el número𝑁 = 𝑎1𝑎2𝑎3…𝑎7𝑎8 supuesto de ocho cifras

Por la condición del problema

𝑎1𝑥𝑎2𝑥𝑎3𝑥…𝑥𝑎7𝑥𝑎8 = 18

Se dan tres casos.

PRIMER CASO

2𝑥3𝑥3𝑥1𝑥1𝑥1𝑥1𝑥1 → 𝑁1 = 23311111

Es una permutación con repetición𝑃𝑅81,2,5 =

8!

2!𝑋5!= 168

SEGUNDO CASO

6𝑥3𝑥1𝑥1𝑥1𝑥1𝑥1𝑥1 → 𝑁2 = 63111111


8!

6!= 56

TERCER CASO

2𝑥9𝑥1𝑥1𝑥1𝑥1𝑥1𝑥1 → 𝑁3 = 29111111


8!

6!= 56

Por lo tanto, el total de números que cumplen con la condición es168 + 56 + 56 = 𝟐𝟖𝟎.

Pautas de Calificación.-

i). Siendo el resultado a llegar tan pequeño, resulta fácil, conseguir los numerales cuyo producto de 18. Identifica una de las opciones al menos y se orienta de las permutaciones (10 pts) ii). Determina los otros dos casos, más sus permutaciones (5 pts) iii). Se orienta del resultado, sumando los resultados de los tres casos, obteniendo 280, (5 pts) La sumatoria da, los 20 pts., asignados a la pregunta

6.- (15) En los lados AB y AD de un cuadrado ABCD, se ubican los puntos PyQ , respectivamente,

de modo que la 𝑚∡𝑃𝑄𝐶 = 900. Si PQ =3 y QD =4; Calcule PB.

SOLUCIÓN:

Sea l, la longitud del lado del cuadrado ABCD.

Entonces 𝐶𝐷 = 𝐵𝐶 = 𝑙

En el ∆𝐶𝐷𝑄: 𝑙2 + 42 = 𝐶𝑄 2(1)

En el ∆𝐶𝑄𝑃: 𝐶𝑄 2 + 32 = 𝐶𝑃 2(2)

En el ∆𝐶𝐵𝑃: 𝑙2 + 𝑥2 = 𝐶𝑃 2(3)

Reemplazando (1) en (2)

l−𝑥

Q A D

C B

3

X

4

l

P

𝑙2 + 42 + 32 = 𝐶𝑃 2(4)

(3) en (4)

𝑙2 + 42 + 32 = 𝑙2 + 𝑥2

De donde x= 5


i). Se orienta que es suficiente aplicar Pitágoras a los tres triángulos rectángulos, CDQ; CQP y CBP. Permitiéndoles hallar el valor de x = 5 (15 pts)


3era Etapa (Examen Simultáneo) 3ero SECUNDARIA


1. (15 pts) Determine el valor de 9𝑎 + 3𝑏 + 𝑐; 𝑠𝑖

(102𝑥 − 304)2 + 100𝑥 − 5 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐

A)298B)299 C) 300 D) 301

2. (20 pts) El producto de 8x888…8, donde el segundo factor tiene “n” dígitos 8, es un número

entero cuya suma de dígitos es 1000. ¿Cuál es el valor de n?

A)901 B)911 C) 919 D) 991 E)999

3. (15 pts)En la figura, la longitud del lado del cuadrado es 2, las semicircunferencias pasan por el

centro del cuadrado, y tienen sus centros en los vértices del cuadrado, y los círculos sombreados

tienen centros en los lados del cuadrado y son tangentes a las semicircunferencias. ¿Cuál es el

valor del área sombreada?

Escriba aquí la ecuación.

A) 𝜋 B)√2𝜋 C)√3

4𝜋D)4 𝜋 (3 − 2√2) E) 2𝜋


4. (15 pts) Sean a y b dos números enteros positivos cuya suma es menor que 50 y tales que:

𝟏𝟎(√𝟗

𝟏𝟎

𝟑) = (√𝒂+ 𝒃

𝒂)𝒃

Calcular el valor de (𝒂 − 𝒃)𝟐.= ?

SOLUCIÓN:

Acomodando convenientemente ambos miembros

√𝟗. 𝟏𝟎𝟑

𝟏𝟎

𝟑

= (√𝒂 + 𝒃𝒂

)𝒃

√𝟗𝟎𝟎𝟑

= (√𝒂 + 𝒃𝒂

)𝒃

√𝟑𝟎𝟐𝟑

= (√𝒂 + 𝒃𝒂

)𝒃

𝟑𝟎𝟐

𝟑 = (𝒂 + 𝒃)𝒃

𝒂

→ 𝑎 + 𝑏 = 30 (1) 𝑦 𝑏

𝑎=2

3= 𝑘

→ 𝑎 = 3𝑘 𝑦 𝑏 = 2𝑘 𝑟𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑛 (1) 𝑎 + 𝑏 = 30; 3𝑘 + 2𝑘 = 30 De donde 𝑘 = 6,→ 𝑎 = 3(6) = 18 𝑦 𝑏 = 2(6) = 12

∴ (𝒂 − 𝒃)𝟐 = (𝟏𝟖 − 𝟏𝟐)𝟐 = 𝟔𝟐 = 𝟑𝟔 Pautas de Calificación.- i). El estudiante se orienta y busca el acomodo del primer miembro de la relación dada, buscando la similitud en forma con el segundo (5 pts) ii). Establece la igualdad de bases y exponentes, por la similitud en forma (5 pts)

iii). Encuentra la forma de hallar los valores de a = 18 y b = 12, con lo que (a - b)2 = 36

(5 pts). Hacen los 15 pts asignados a la pregunta.

5. (20 pts) En el triángulo isósceles ABC (AB=BC). Halle la medida del ángulo APC si se cumple que 𝑚∡𝐵𝐴𝑃

𝑚∡𝑃𝐴𝐶=3

2

SOLUCIÓN

De los datos

𝑚∡𝐵𝐴𝑃 = 3𝛼𝑚∡𝑃𝐴𝐶 = 2𝛼

} 𝑚∡𝐵𝐴𝐶 = 5𝛼

𝐸𝑛 𝑒𝑙 ∆𝐴𝑃𝐶: 2𝛼 + 5𝛼 + 𝑥 = 1800

7𝛼 + 𝑥 = 1800(1)

Siendo H el pie de la altura, trazada desde BQ.

𝐸𝑛 𝑒𝑙 ∆𝐴𝐻𝑄: 2𝛼 + 68 + 90 = 18002𝛼 = 22º 𝛼 = 11º

Entonces; volviendo a ∆ 𝐴𝑃𝐶, en (1)

7𝛼 + 𝑥 = 1800 → 𝑥 = 1800 − 7𝑥11

𝑥 = 1800 − 770

𝒙 = 𝟏𝟎𝟑𝟎.

Pautas de calificación.- i). Asume las condiciones del problema a partir de la relación de la medida de ángulos, ubicando los ángulos: 𝟑𝜶; 𝟐𝜶 ;𝟓𝜶(10pts) ii). Usando el triángulo APC, incluye al ángulo x en la relación (1) y trazando la altura BH, usa el triángulo AHQ, calculando 𝜶 = 11º (5 pts) iii). Concluye, usando (1) para hallar x = 103º (5 pts) La sumatoria de los tres puntajes da los 20pts asignados a la pregunta

6. (20 Pts) ¿De cuántas maneras es posible acomodar los números del 1 al 10 de manera que del

primero al séptimo vayan creciendo, que el séptimo sea mayor que el octavo, y que del octavo al

décimo vayan creciendo otra vez? (por ejemplo, una posibilidad es 1,2,3,5,6,8,10,4,7,9.)

SOLUCION.-

Llamemos a los números 𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎10.

Como 𝑎7, 𝑎9 𝑦 𝑎10 son mayores que 𝑎8, entonces las posibilidades para 𝑎8 son 1,2,… ,7.

Si 𝑎8 = 7, entonces hay 3 posibilidades para escoger 𝑎9 𝑦 𝑎10 (deben ser dos números en

{8,9,10} y las opciones son {8,9}, {8,10} 𝑦 {9,10}). Al escoger esos dos números ya todo

queda determinado (los que sobren se pondrán en orden para formar la sucesión

𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎7; por ejemplo, si se escogen el 8 y el 10, la sucesión será 1,2,3,4,5,6,9,7,8,10).

En el lenguaje del análisis combinatorio es: (32) = 3

Si 𝑎8 = 6, entonces hay (42)= 6 posibilidades para escoger 𝑎9 𝑦 𝑎10,

Si 𝑎8 = 5, entonces hay (52) =10 posibilidades para escoger 𝑎9 𝑦 𝑎10

Así sucesivamente tenemos que el total de posibilidades es.

𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 = (3

2) + (

4

2) + (

5

2) + (

6

2) + (

7

2) + (

8

2) + (

9

2)

𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 = 3 + 6 + 10 + 15 + 21 + 28 + 36 = 𝟏𝟏𝟗

C

Q

680

x 3α

2α 5α

B

P

A H


i). Se orienta de que a7 , a

9 y a

10 deben ser mayores que a

8 (2 pts)

ii). Inicia el proceso con que a8 = 7 (número máximo que puede tomar a

8)( 3pts)

iii). Asumiendo a8 = 7; encuentra las 3 posibilidades para a

9 y a

10 (5pts)

iv). Continúa con el mismo enfoque para números menores a 7; determinando todas las posibilidades para cada número menor a este, que en el lenguaje utilizado muestre: 𝑻𝒐𝒕𝒂𝒍 = (𝟑

𝟐) + (𝟒

𝟐) + (𝟓

𝟐) + (𝟔

𝟐) + (𝟕

𝟐) + (𝟖

𝟐) + (𝟗

𝟐)= 119 (10 pts). La sumatoria del puntaje da el total de

20 puntos asignados al problema.


3era Etapa (Examen Simultáneo) 4to SECUNDARIA


1. (15 pts) Sean a,b y c números reales no nulos que verifican la ecuación:

𝑎2 + 2𝑏2 + 2𝑐2 = 2𝑎(𝑏 + 𝑐).

Calcule el valor de 𝑆 =𝑎3+𝑏3+𝑐3

𝑎𝑏𝑐.

A)8 B)7 C) 6 D) 5 E)4

2. (15pts) Calcule el residuo de dividir el producto de los diez primeros números primos entre 8.

A)6 B)5 C) 10 D) 1 E)7

3. (15 pts) David ordena los 12 números del 1 al 12 alrededor de una circunferencia de tal forma

que dos números adyacentes cualesquiera difieran en 2 o 3. ¿Cuáles de los siguientes números son

necesariamente adyacentes?

A)5 y 8 B)3 y 5 C) 7 y 9 D) 6 y 8 E)2 y 7


4. (20 pts) Se tiene una colección de circunferencias iguales, que la colocamos formando

un triángulo equilátero, cuyo lado tiene “n” circunferencias. Calcule en función de “n” el

número total de puntos de tangencia (contactos), que hay entre las circunferencias.

SOLUCIÓN

Sea Tn: número de tangencias del triángulo equilátero de lado “n” circunferencias.

𝑇1 = 0

𝑇2 = 3 = 0 + 3𝑥1 = 𝑇1 + 3𝑥1

𝑇3 = 9 = 3 + 3𝑥2 = 𝑇2 + 3𝑥2

𝑇3 = 18 = 9 + 3𝑥3 = 𝑇3 + 3𝑥3

⋮

𝑇𝑛 = ⋯…………… = 𝑇𝑛−1 + 3(𝑛 − 1)

Sumando

𝑇𝑛 = 3𝑥1 + 3𝑥2 + 3𝑥3 +⋯…+ 3(𝑛 − 1)

𝑇𝑛 = 3(1 + 2 + 3 +⋯…+ 𝑛 − 1)

𝑇𝑛 =3𝑛(𝑛 − 1)

2

1 2 3 n

𝑻𝒏 =𝟑

𝟐𝒏(𝒏 − 𝟏)

Pautas de calificación.- i). Con buen criterio define el número de tangencias a partir de T1, en la forma indicada, hasta Tn (10pts) ii) Advierte que es suficiente sumar las tangencias definidas, llegando a la conclusión de que

el número de tangencias entre las Cias., es:𝑻𝒏 =𝟑

𝟐𝒏(𝒏 − 𝟏) (10 pts)

La sumatoria de ambos puntajes da el total del asignado a esta pregunta, total 20 pts.

5. (15 pts) Determine cuántas soluciones reales tiene la siguiente ecuación:

√𝟒 − 𝒙 (√𝟒 − (𝒙 − 𝟐)√𝟏 + (𝒙 − 𝟓)(𝒙 − 𝟕)) =𝟓𝒙 − 𝟔 − 𝒙𝟐

𝟐

SOLUCIÓN: Resolviendo

√𝟒 − 𝒙 (√𝟒 − (𝒙 − 𝟐)√(𝒙 − 𝟔)𝟐) =𝟓𝒙 − 𝟔 − 𝒙𝟐

𝟐

√𝟒 − 𝒙 (√𝟒 − (𝒙 − 𝟐)(𝒙 − 𝟔)) =𝟓𝒙 − 𝟔 − 𝒙𝟐

𝟐

Si trabajamos con (𝑥 − 6) la ecuación toma mayor complejidad, pero sabemos que

(𝒙 − 𝟔)𝟐 = (𝟔 − 𝒙)𝟐

√𝟒 − 𝒙 (√𝟒 − (𝒙 − 𝟐)(𝟔 − 𝒙)) =𝟓𝒙 − 𝟔 − 𝒙𝟐

𝟐

Algebrisando secuencialmente la ecuación

√𝟒 − 𝒙 (√(𝑥 − 2)2) =𝟓𝒙 − 𝟔 − 𝒙𝟐

𝟐

De igual manera trabajamos con (2 − 𝑥)2

√𝟒 − 𝒙 (√(2 − 𝑥)2) =𝟓𝒙 − 𝟔 − 𝒙𝟐

𝟐

√𝟒 − 𝒙(𝟐 − 𝒙) =𝟓𝒙 − 𝟔 − 𝒙𝟐

𝟐

Finalmente obtenemos:

√(𝑥 − 2)2 =𝟓𝒙 − 𝟔 − 𝒙𝟐

𝟐

De dónde obtenemos dos posibilidades

𝒙 − 𝟐 =𝟓𝒙 − 𝟔 − 𝒙𝟐

𝟐 𝑦 𝟐 − 𝒙 =

𝟓𝒙 − 𝟔 − 𝒙𝟐

𝟐

Resolviendo para cada caso obtenemos

(2,3) 𝑦 (5,2)

Reemplazando en la ecuación el único valor que cumple con la condición es 𝒙 = 𝟐 , Entonces la ecuación tiene una solución real. Pautas de calificación.- i). Advierte que la clave para reducir de tamaño la ecuación, es considerar que:

(𝒙 − 𝟔)𝟐 = (𝟔 − 𝒙)𝟐y (x – 2)2 = (2 – x)2(10 pts)

ii). Llegando a la igualdad 𝒙 − 𝟐 =𝟓𝒙−𝟔−𝒙𝟐

𝟐y en la consideración de la segunda igualdad

asume las dos opciones de solución para (x – 2) y (2 - x); concluyendo que la única solución es x = 2 (10pts) La sumatoria de los puntajes da el total de 20 pts., asignados a la pregunta

6. (15 pts) En el gráfico AB =BC; AD=AC y ED=DC. Calcule x, sabiendo que la medida del

𝑚∡𝐴𝐵𝐶 = 2(𝑚∡𝐴𝐶𝐸).

SOLUCIÓN.-

Sea 𝛼 la 𝑚∡𝐸𝐴𝐶; entonces en el ∆𝐴𝐶𝐸; 𝑙𝑎 𝑚∡𝐶𝐸𝐷 = 𝛼 + 𝑥 (por ángulo exterior en el ∆𝐴𝐸𝐶 )

Como 𝐸𝐷 = 𝐷𝐶 → 𝑚∡𝐸𝐶𝐷 = 𝛼 + 𝑥

→ 𝑚∡𝐵𝐶𝐴 = 𝛼 + 2𝑥 = 𝑚∡𝐵𝐴𝐶

𝑚∡𝐵𝐴𝐷 = 2𝑥

Por datos del problema 𝑚∡𝐴𝐵𝐶 = 2(𝑚∡𝐴𝐶𝐸) → 𝑚∡𝐴𝐵𝐶 = 2𝑥.

En el triángulo ADB; 𝑚∡𝐴𝐷𝐵 = 1800 − 4𝑥

𝑚∡𝐶𝐷𝐸 = 1800 − 4𝑥 + 𝑚∡𝐴𝐷𝐶 = 1800

→ 𝑚∡𝐴𝐷𝐶 = 4𝑥

𝐸𝑛 𝑒𝑙 ∆𝐴𝐷𝐶; 𝑙𝑎 𝑚∡𝐴𝐶𝐷 = 𝑚∡𝐴𝐷𝐶 = 4𝑥

De donde 𝛼 = 2𝑥 𝑦 𝑙𝑎 𝑚∡𝐵𝐶𝐴 = 4𝑥

Entonces en el ∆𝐴𝐵𝐶: 2𝑥 + 2𝑥 + 𝛼 + 2𝑥 + 𝛼 = 1800

Como 𝛼 = 2𝑥 → 5(2𝑥) = 1800 → 𝒙 = 𝟏𝟖𝟎


i). Basado en las condiciones del problema y asignando letras a los diferentes ángulos, especifica la medida de los ángulos: 𝒎∡𝑬𝑪𝑫 = 𝜶 + 𝒙; 𝒎∡𝑩𝑪𝑨 = 𝜶 + 𝟐𝒙; 𝒎∡𝑩𝑨𝑫 = 𝟐𝒙 (5 pts) ii). En la misma visión continua determinando la medida de otros ángulos: 𝒎∡𝑨𝑩𝑪 = 𝟐𝒙; 𝒎∡𝑨𝑫𝑩 = 𝟏𝟖𝟎º − 𝟒𝒙;𝒎∡𝑪𝑫𝑬 = 𝟒𝒙 (5 pts) iii). Retoma la 𝒎∡𝑨𝑫𝑪 = 𝟒𝒙𝜶 = 𝟐𝒙; 𝒇𝒊𝒏𝒂𝒍𝒎𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒆𝒏 𝒕𝒓𝒊á𝒏𝒈𝒖𝒍𝒐 𝑨𝑩𝑪, 2 x + 2 x + 𝜶 + 2 x + 𝜶 = 180º y concluye que x = 18º (5 pts) iV. La sumatoria da el puntaje total de 15 pts asignados a esta pregunta V). Con habilidad e ingenio resuelve el problema satisfactoriamente, por otra vía. (15pts.)

B

D

C A α x

E




1. (15 pts) SE tiene un triángulo ABC recto en B. Si sumas las longitudes de los lados BC y AC y el resultado lo elevas al cuadrado obtienes 9 veces el producto de las longitudes de dichos lados. Calcula 𝑠𝑒𝑛𝐴 + 𝑐𝑠𝑐𝐴 . A)7 B)20 C) -1 D) 4 E)3

2. (15 pts) Sea 𝑥 = 2𝑘 un número real que verifica

𝑥1−𝑥2= √

1

8

4Calcule el valor de 𝑥𝑘.

A) 1 B)3 C) 2 D) 4 E)8

3.(15 pts) Si {𝑎𝑛} = {𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, 𝑎4; … }

Es una sucesión geométrica tal que: 𝑎1 = log𝑦 𝑥 ; 𝑎2 = 2log𝑧 𝑦 ; 𝑎3 = 4log𝑥 𝑧 ; 𝑎4 = 1

Calcule la razón positiva.

A)1 B)√2 C) 1

2D)

1

√2 E)2√2


4. (20 pts) Para todo entero positivo n, tenemos:

𝑓(𝑛) =1

√𝑛2 + 2𝑛 + 13

+ √𝑛2 − 13

+ √𝑛2 − 2𝑛 + 13

Calcule el valor de la suma: 𝑓(1) + 𝑓(3) + 𝑓(5) +⋯+ 𝑓(999997) + 𝑓(999999)

SOLUCIÓN

Observando las cantidades subradicales, vemos que el cociente notable siguiente, nos será útil.

𝑎3 − 𝑏3 = (𝑎 − 𝑏)(𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑏2)

En función del planteo consideremos que: 𝑎 = √𝑛 + 13

𝑦 𝑏 = √𝑛 − 13

dadas las características de las raíces. Reemplazando en la función:

𝑓(𝑛) =1

(𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑏2){𝑀𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑦 𝑑𝑒𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑝𝑜𝑟 𝑎 − 𝑏

𝑓(𝑛) =𝑎 − 𝑏

𝑎3 − 𝑏3 =

𝑎 − 𝑏

(𝑛 + 1) − (𝑛 − 1)=𝑎 − 𝑏

2

Escribiendo la función de la forma inicial 𝑓(𝑛) =𝑎−𝑏

2=

√𝑛+13 − √𝑛−1

3

2

2𝑓(𝑛) = √𝑛 + 13

− √𝑛 − 13

Si n = 1 → 2𝑓(1) = √23

Si n = 3 → 2𝑓(3) = √43− √2

3a

Si n = 5 → 2𝑓(5) = √63− √4

3 +

: :

Si n = 999997 → 2𝑓(999997) = √9999983

− √9999963

Si n = 999999 → 2𝑓(999999) = √10000003

− √9999983

∴ 𝑓(1) + 𝑓3 + 𝑓(5) +⋯+ 𝑓(999999) = 1

2√10000003

= 50


i). Recurre a sus conocimientos de álgebra, usando el cociente notable y los cambios de variable que le serán útiles (10 pts) ii). Aprovecha las consideraciones anteriores, reemplazando en la función dada (5pts) iii). Procede con la secuencia numérica según el requerimiento del problema, hasta llegar al resultado 50 (5 pts). La sumatoria de los 20 pts da el puntaje asignado al problema

5. (15 pts) Oscar compró una caja de 24 chocolates, al abrirla se dio cuenta que los chocolates

están ubicados simétricamente con respecto a la línea vertical central, tal como se muestra en la

figura. En los círculos blancos van los chocolates.

De cuántas formas puede Oscar comer 4 chocolates, tal que los 20 chocolates que queden tengan simetría respecto a la línea vertical

SOLUCIÓN:

Etiquetemos los chocolates de la siguiente forma:

4 chocolates A

10 Chocolates B

10 Chocolates C

Cada chocolate etiquetado con B tiene su simétrico en C, Cuando Oscar come un chocolate B, deberá comer otro chocolate en C, observando la simetría respecto a la línea vertical Como solo debe comer 4 chocolates; las opciones son las siguientes: i). Se come solo los 4 chocolates en A, nada de B ni C; entonces solo hay una posibilidad

ii). Come un chocolate en B; hay (𝟏𝟎𝟏) = 𝟏𝟎 posibilidades para este chocolate; como tiene que

comer un chocolate en C, entonces tendrá que comer2 chocolates en A.

Hay (𝟒𝟐) = 𝟔 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑒𝑠𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑜𝑠 𝑐ℎ𝑜𝑐𝑜𝑙𝑎𝑡𝑒s.

𝐸𝑠 𝑎𝑠í 𝑞𝑢𝑒 ℎ𝑎𝑦 10 𝑥 6 = 𝟔𝟎 𝒑𝒐𝒔𝒊𝒃𝒊𝒍𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆𝒔

iii). Come dos chocolates en B. Hay (𝟏𝟎𝟐) = 𝟒𝟓 posibilidades para estos dos chocolates. Como debe

comer 2 chocolates en C, no comerá ningún chocolate en A. Existe una posibilidad para este caso 45 x 1 = 45 posibilidades En consecuencia, hay en total 1 + 60 + 45 = 106 posibilidades Pautas de calificación.- i). Se orienta de algún caso suelto de comer 4 chocolates, manteniendo la simetría de los que quedan (5 pts) ii). Asume que hay al menos dos casos (5 pts) iii). Completa así por partes con los tres casos (5pts) La suma de los tres incisos da el puntaje asignado de 15 pts a esta pregunta

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

C

C C

C

C

C

C

C

C

C

C

C C

C

C A

A

A

A

6. (20 pts.)Untriángulorectángulotienetrescircunferenciasex-inscritas,lasquesontangentesalos catetostienenradios5y12.Hallarelradiodelatercera circunferencia. SOLUCION

Sea el triángulo ABC, recto en A Circunferencia, lado AB; r2 = 12, centro D

Circunferencia, lado BC; r1 = 5, centro E Circunferencia, lado AC; Radio R; centro F

En los triángulos rectángulos formados es posible identificar:

DB = √122 + 122 = 12 √𝟐

EB = √52 + 52 = 5 √𝟐

FB = √𝑅2 + 𝑅2 = 𝑅√2 Por otro lado: D,A y F colineales por biscectricez exterior a ∡ BAC D,B y E colineales por biscectricez exterior a ∡ ABC E,C y F colineales por biscectricez exterior a ∡ ACB Además ∡ DBA = 45º; ∡ ABF = 45º ∡ DBF = 90º En DBF; sea α = ∡ DFB; donde

𝐭𝐚𝐧𝜶 =𝑫𝑩

𝑩𝑭=𝟏𝟐√𝟐

𝑹√𝟐=𝟏𝟐

𝑹……… . . (𝟏)

En EBF; sea β = ∡ EFB; donde

𝐭𝐚𝐧𝜷 =𝑩𝑬

𝑩𝑭=𝟓√𝟐

𝑹√𝟐=𝟓

𝑹……… . . (𝟐)

También ∡𝐴𝐹𝐶 = 𝟗𝟎𝟎 −∡𝐴𝐵𝐶

𝟐= 𝟒𝟓𝟎, por ser ángulo formado por las bisectrices exteriores

De donde: 𝜶 + 𝜷 = 𝟒𝟓𝟎 𝐭𝐚𝐧(𝜶 + 𝜷) = 𝐭𝐚𝐧 𝟒𝟓𝟎 →𝐭𝐚𝐧𝜶+𝐭𝐚𝐧𝜷

𝟏−𝐭𝐚𝐧𝜶 𝐭𝐚𝐧𝜷= 𝟏(3)

Reemplazando (1) y (2) en (3) R2 - 17 R – 60 = 0 De donde R1 = 20y R2 = -3 Tomando el valor positivo, R = 20 Pautas de calificación.-

i). Analiza su planteo, caracterizando las circunferencias con los radios respectivos; r1, r2 y Res más, encuentra utilidad a los triángulos rectángulos formados y con sus conocimientos de geometría, en la definición de puntos colineales, por bisectriz exterior a los ángulos que se señalan en la solución, determina la medida de los ángulos necesarios para su estudio (10 pts) ii). En las consideraciones anteriores determina y define los ángulos 𝜶 𝒚𝜷, 𝒚 las tangentes

correspondientes, para finalmente aseverar que a partir de ∡𝐴𝐹𝐶 = 𝟒𝟓𝟎, verifique

que 𝐭𝐚𝐧(𝜶 + 𝜷) = 𝐭𝐚𝐧 𝟒𝟓𝟎 → 𝐭𝐚𝐧𝜶+𝐭𝐚𝐧𝜷

𝟏−𝐭𝐚𝐧𝜶𝐭𝐚𝐧𝜷= 𝟏(5pts)

iii). Finalmente reemplazando sus consideraciones de todo el trayecto logra que R = 20 (5 pts). La sumatoria de puntos, da el total de 20 pts asignados a este problema

F A

D 𝛼 𝛽

B C

E




1. (15 pts.) Calcula el área del triángulo formado por los ejes cartesianos y la recta de

ecuación 𝐿: 2𝑥 + 3𝑦 − 12 = 0.

A) 12 B)6 C)24 D)48 E)9

2. (15 pts.) Dada la figura

Calcule: [log(𝑥𝑦)] [log (𝑥

𝑦)]= ?

A )𝑥2 + 𝑦2B)𝑥2 − 𝑦2 C) xy D)𝑦2 − 𝑥2 e)𝑥2𝑦

3. (15 pts) En un triángulo ABC, recto en C, las medidas de los ángulos agudos son 𝛼 𝑦 𝛽, los

cuales cumplen que:tan𝛼 + tan𝛽 + cot 𝛼 + cot 𝛽 = 8.

Calcule el valor de: 𝑀 = 𝑡𝑎𝑛2𝛼 + 𝑡𝑎𝑛2𝛽 + 𝑐𝑜𝑡2𝛼 + 𝑐𝑜𝑡2𝛽.

A) 24 B) 26 C) 28 D) 30 E) 32


4. (15 pts) Sea 𝑓(𝑥) una función cuadrática tal que:

𝑓(𝑥 + 3) = 2𝑓(𝑥) + 𝑥2; Calcule 𝐽 = 𝑓(1) + 𝑓(2) + 𝑓(3) + 𝑓(4) + 𝑓(5)

Escribiendo la función cuadrática

𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐

Como 𝑓(𝑥 + 3) = 2𝑓(𝑥) + 𝑥2

→ 𝑎(𝑥 + 3)2 + 𝑏 (𝑥 + 3) + 𝑐 = 2(𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐) + 𝑥2

𝑎𝑥2 + 6𝑎𝑥 + 9𝑎 + 𝑏𝑥 + 3𝑏 = 2𝑎𝑥2 + 2𝑏𝑥 + 2𝑐 + 𝑥2

(𝑎 + 1)𝑥2 + (𝑏 − 6𝑎)𝑥 + (𝑐 − 9𝑎 − 3𝑏) = 0; Así 𝒂 = −𝟏 ; 𝒃 = −𝟔 ; 𝒄 = −𝟐𝟕,

𝐿𝑢𝑒𝑔𝑜 𝑓(1) = −12 − 6 (1) − 27

𝑓(2) = −22 − 6 (2) − 27

𝑓(3) = −32 − 6 (3) − 27 +

𝑓(4) = −42 − 6 (4) − 27

B

x y

log𝑥 log𝑦

A C D

𝑓(5) = −52 − 6 (5) − 27

𝐽 =−5 × 6 × 11

6− 6 ×

5 × 6

2− 27 × 5

𝐽 = −55 − 90 − 135

𝑱 = −𝟐𝟖𝟎


i). Considerando las condiciones del problema, escribe la función cuadrática y ajusta la misma a : 𝒇(𝒙 + 𝟑) = 𝟐𝒇(𝒙) + 𝒙𝟐 (5 pts) ii). Reacondiciona la ec.,de segundo grado resultante, determinando los valores de 𝒂 = −𝟏 ; 𝒃 = −𝟔 ; 𝒄 = −𝟐𝟕 (5 pts.) iii). Finalmente determina el valor de la función cuadrática f1, f2, …. F5, reemplazando los valores anteriores, el problema pide sumar, llegando al resultado de J = 280 (5pts). La sumatoria de los pts, da el puntaje total de 15 para el problema.

5. (20 pts) En la cuadrícula que se muestra aparecen escritos los números 1 y 19. Determinar

de cuántas formas es posible poner números enteros en los cuadros vacíos si en cada fila

los números van en orden creciente de izquierda a derecha, en cada columna los números

van en orden creciente de arriba abajo, y se cumple que en cada tres cuadros consecutivos

en la misma fila o en la misma columna, el número que aparece en medio es el promedio

de los otros dos.

1

19

SOLUCIÓN:

Observemos que en cada fila y en cada columna, la diferencia de dos números consecutivos debe ser una constante (posiblemente distintas para distintas filas o columnas). Sean a,b,c y d las respectivas diferencias de dos números en cuadros consecutivos de la primera fila, la última columna, la primera columna y la última fila. Entonces el borde de la cuadrícula queda como indica la figura. Tenemos 𝟏𝟗 = 𝟏 + 𝟑𝒂 + 𝟑𝒃 → 𝒂 + 𝒃 = 𝟔 También 𝟏𝟗 = 𝟏 + 𝟑𝒄 + 𝟑𝒅 → 𝒄 + 𝒅 = 𝟔 Observamos también que los dos números extremos de cada fila y de cada columna deben diferir por un múltiplo de tres (pues uno se obtiene sumando la misma constante 3 veces al otro). En consecuencia𝒂 − 𝒅 debe ser también múltiplo de 3. Para contar los posibles casos, supongamos, que 𝒂 ≥ 𝒄 (los otros casos se obtendrán reflejando con respecto a la diagonal, es decir, invirtiendo el papel de (𝒂, 𝒃) 𝑐𝑜𝑛 𝑒𝑙 𝑑𝑒 (𝒄, 𝒅).

1 1+a 1+2a 1+3a

1+c 1+3a+b

1+2c 11+3a+2b

1+3c 1+3c+d 1+3c+2d 1+3a+3b

19 1+3c+3d

𝑎 + 𝑏⏟ 5 15 14 23 3 2 4

= 6 = 𝑐 + 𝑑⏟ 1 5 4 22 43 3 1 5

, 𝑎 ≥ 𝑐, 𝑎 − 𝑑 = 3

(5,1,1,5), (5,1,4,2), (4,2,2,4), (3,3,3,3), (2,4,1,5)

En la figura se muestra cómo construir la cuadrícula en cada caso

Hasta aquí tenemos 5 casos. Al invertir el papel de (𝑎, 𝑏) con el de (𝑐, 𝑑) obtenemos otros 4.

(1,5,5,1), (4,2,5,1), (2,4,4,2), (1,5,2,4)

Para un total de 9 casos.


i). Se orienta que en cada fila y en cada columna, la diferencia de dos números consecutivos debe ser una constante, lo que permite elaborar el cuadro (1), ……. (5 pts)

ii). Con la observación anterior llega a las ecuaciones: 𝟏𝟗 = 𝟏 + 𝟑𝒂 + 𝟑𝒃 → 𝒂 + 𝒃 = 𝟔 𝟏𝟗 = 𝟏 + 𝟑𝒄 + 𝟑𝒅 → 𝒄 + 𝒅 = 𝟔

Observa que en cada fila y columna la diferencia es siempre un múltiplo de 3 Siendo el referente para continuar con el estudio …. (5 pts) iii). En la misma óptica consolida los valores de a, b, c y d; que le permiten llegar al número total de casos, siendo estos 9. (10 pts)

6 (20 pts) . A continuación se muestra una semicircunferencia de diámetro AB, F es el punto de

intersección AC y BD. Además FG es perpendicular a A B. Si 𝐸𝐹 = 2 , 𝐷𝐹 = 3 𝑦 𝐹𝐶 = 6, calcula la

longitud de AB.

SOLUCIÓN:

Como AB es diámetro tenemos que ∡ 𝐴𝐷𝐵 = 900, con lo cual el cuadrilátero ADFG seria cíclico,

∡D + ∡G 180º (ángulos opuestos) ∡ FDE = ∡EAG = ∡ CAB

∡ CDF = ∡CAB porque subtiende el mismo arco BC

Luego ∡ CDF = ∡FDE Por transitividad

D F bisectriz interior del triángulo CDE

𝐷𝐸

𝐷𝐶 =

𝐸𝐹

𝐹𝐶 =

2

6 =

1

3(1) Por bisectriz interior

Y 𝐴𝐸

𝐴𝐶=𝐷𝐸

𝐷𝐶(2)Por bisectriz exterior en D.

De (1) y (2) 𝐴𝐸

𝐴𝐶=1

3AE = K; AC = 3k EC = 2k(3)

1 6 11 16

2 7 12 17

3 8 13 18

4 9 14 19

1 6 11 16

2 7 12 17

3 8 13 18

4 9 14 19

1 6 11 16

2 7 12 17

3 8 13 18

4 9 14 19

1 6 11 16

2 7 12 17

3 8 13 18

4 9 14 19

1 6 11 16

2 7 12 17

3 8 13 18

4 9 14 19

A

C

B G

E

F

D

𝛼 𝛼

𝛼

2𝛼

Pero: EC = EF + FC = 2 + 6 = 8 (4)

De (3) y (4); 2k = 8 k = 4 AE = 4; AC = 12

Aplicando el teorema de cuerdas

𝐷𝐹 ∗ 𝐹𝐵 = 𝐴𝐹 ∗ 𝐹𝐶 → 𝐹𝐵 =6.6

3= 12.

En el rectángulo ADF:

AD = √62 − 32 = √27 = 3 √𝟑

En rectángulo ADB: (𝐴𝐵 )2 = (3√3)2+ (3 + 12)2

= 27 + 225 = 252

∴ 𝑨𝑩 = √𝟐𝟓𝟐 = 𝟔√𝟕


i). Se dispone a completar la figura, en función de las necesidades, traza AD, para tener que ∡D = 90º; y el cuadrilátero ADFG es cíclico, de donde ∡D + ∡G = 180º (∡s opuestos) …..(5 pts) ii). Se da cuenta que el análisis anterior, le permite mostrar la igualdad de ciertos ángulos: ∡ FDE = ∡EAG = ∡ CA ∡ CDF = ∡CAB∡ CDF = ∡FDE Por transitividad, con lo que DF bisectriz interior del triángulo CDE, con lo que escribe las igualdades (1) y (2)…..(5pts) iii). Con el análisis anterior, se da cuenta que con sus conocimientos de geometría y algebra, puede terminar aplicando el teorema de cuerdas y llegar AB = 6 √𝟕 ….. (10 pts.)

Por el comité académico nacional:Area Matemáticas MSc. Ing. Ma. Teresa Torres Romero E mail: [email protected] Cel. 72891162 - 69669610 Sucre - Bolivia

mailto:[email protected]

solución del 2do. nivel (3ra. etapa) 2da. olimpiada cientí ...€¦ · responzable: mgr. alvaro...

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