soluÇÃo heurÍstica para 0 problema do caixeiro … · anexo 2 - instruções de utilização...
TRANSCRIPT
• U P s c » BIBLIOTECA CENT« AL
SOLUÇÃO HEURÍSTICA PARA 0
PROBLEMA DO CAIXEIRO VIAJANTE
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA
PROGRAMA DE PÕS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA DE PRODUÇÃO
SOLUÇÃO HEURÍSTICA PARA O
PROBLEMA DO CAIXEIRO VIAJANTE
DISSERTAÇÃO SUBMETIDA A UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA
PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE
"MESTRE EM ENGENHARIA"
EUGÊNIO RUBENS CARDOSO BRAZ
FLORIANÓPOLIS
SANTA CATARINA - BRASIL
AGOSTO - 1980
SOLUÇÃO HEURiSTIGA p a r a o
PROBLEMA DO CAIXEIRO VIAJANTE
EUGÊNIO RUBENS CARDOSO BRAZ /
ESTA DISSERTAÇÃO FOI JULGADA PARA A OBTENÇÃO DO TlTULO DE:
"MESTRE EM ENGENHARIA"
ESPECIALIDADE ENGENHARIA DE PRODUÇÃO, E APROVADA EM SUA FORMA
FINAL PELO PROGRAMA DE PÕS-GRADUAÇÃO.
PROF. |OyÍN ROBERT MACKNEísS, Ph.D. COORDENADOR
APRESENTADA PERANTE A BANCA EXAMINADORA COMPOSTA PELOS PROFESSORES:
I<0OíO)ÍN
O©IVifíILD
ío-uJlo vi ICXJsrtJLPROF. PAULO ,.RENÊ CI'Ö"'"NA$CIMENTÔVTT. Sc'
■ PRESIDENTE.
PROF. RAUL VÁLENTIM D A 7SILVA, M. Sc
iii
A o m e u pai,
P e d r o de A l c â n t a r a B r a z ,
e m m e m o r i a .
Ao computador IBM/370-148 instalado na ELETROSUL,
pelas noitadas agradáveis que me propiciou e pela participa
ção ativa na resolução de todos os problemas.
Ao Prof. PAULO RENÉCIO NASCIMENTO, pela orientação
no desenvolvimento do trabalho.
A minha filha MELISSA MEDEIROS BRAZ, por ter me
ajudado, ficando junto a mim, nas fases de estudo e pesquisa
de modelos.
V
R E S U M O
Este trabalho analisa o problema do caixeiro via
jante, para o qual ê desenvolvido e implementado um algoritmo de
baixa complexidade tempo e baixa complexidade memória.
Inicialmente, o problema ê definido e são tecidas
considerações sobre a complexidade de algoritmos.
Posteriormente, é apresentada uma síntese dos
métodos de resolução existentes.
A seguir ê desenvolvido e apresentado o algoritmo
e finalmente são relacionados alguns dos problemas estudados, jun
tamente com os dados de performance obtidos.
vi
A B S T R A C T
This work deals with the traveling salesman problem, for
which an algorithm, with low level complexity as far as time and
memory are concerned, is developed and programmed.
First of all, the problem is defined and some considera
tions are stated about the complexity of algorithms.
Afterwards, a summary of the existing resolution methods
is presented.
The algorithm is then developed and described, and fi
nally, some case studies are listed together with the output
performance data.
Página
1. INTRODUÇÃO ........................................... 1
1.1. O Problema ..................................... 1
1.2. O Mundo dos Algoritmos ....................... 2
1.3. Objetivo do Trabalho ......................... 8
CAPÍTULO II
2. CONSIDERAÇÕES CONCEITUAIS ......................... 9
2.1. Métodos de Resolução Existentes ..............10
2.1.1. Melhoramento Circuito a Circuito ... 11
2.1.2. Construção do Circuito .............. ..12
2.1.3. Eliminação de Sub-Circuitos ........ ..13
CAPITULO III
3. MODELO PROPOSTO
3.1. O Algoritmo ......................................15
3.1.1. O Ponto de Partida ................... ..15
3.1.2. O Esquema de Geração de Soluções ... 15
3.1.3. A Regra de Parada .................... ..16
CAPITULO I
viii
3.2. 0 Fluxograma ...................... ......... , . ...... . , 16
3.3. Considerações sobre a Implementação ................ .... 17
3.4. Analise dos Resultados ................................ .... 18
3.5. Complexidades Tempo e Memõria ............................ 19
CAPÍTULO IV
4. CONCLUSÃO ................................................... . 21
BIBLIOGRAFIA UTILIZADA ........................................ 22
ANEXO 1 - Listagem do Programa
ANEXO 2 - Instruções de Utilização
ANEXO 3 - Problemas de Teste
ix
Se teus projetos
são para um ano,
- semeia o grão.
Se são para dez anos,
- planta uma arvore.
Se são para cem anos,
- instrue o povo.
Semeando o grão,
- colheras uma vez.
Plantando uma arvore,
- colherás dez vezes.
Instruindo o povo,
- colherás cem vezes.
Se deres um peixe
a um homem,
- ele se alimentará uma vez;
Se o ensinares a pescar,
- ele se alimentará toda a vida.
Kuan-Tzu, sábio chinês, séc. VII a.C.
1
C A P Í T U L O I
1. INTRODUÇÃO
O problema do caixeiro viajante é um problema com
binatôrio clássico, que vem sendo estudado hã décadas por pesqui^
sadores das áreas de-ciências exatas e da computação, juntamente
com os problemas do circuito de Hamilton e da programação linear
inteira, que estão enquadrados na mesma classe.
Apesar da ilusória idéia de inutilidade, o proble
ma do caixeiro viajante ê um excelente modelo, de grande impor
tância econômica na solução de problemas de planejamento e pro
gramação da produção, entre outros.
1.1. 0 Problema
Um vendedor precisa elaborar um plano de viagem
para visitar, economicamente, cada uma das n cidades onde tem
clientes^e retornar a cidade de onde partiu.
0 termo "economicamente" pode estar relacionado ao
tempo dispendido, a distância percorrida, ou mesmo ao custo to
tal da viagem.
Em todos estes casos, deseja-se a minimização do
parâmetro que for considerado.
2
1.2. 0 Mundo dos Algoritmos
0 estudo de algoritmos ê a parte mais emocionante
da ciência da computação. Nestes últimos anos houve avanços sig
nificantes neste campo, que variaram desde o desenvolvimento de
algoritmos cada vez mais rápidos, atê a descoberta assustadora
de certos problemas naturais, frente aos quais todos os algorit_
mos conhecidos mostram-se ineficientes.1
Estes resultados aumentaram consideravelmente a
motivação pelo estudo de algoritmos, e desta forma a área de
projeto e análise de algoritmos tornou-se um campo de intenso
interesse.
Os algoritmos podem ser avaliados por uma varie
dade de critérios. 0 mais significativo deles é a taxa do cres
cimento do tempo e da memória, necessária para resolver proble
mas cada vez maiores.
Para adotar este critério, associa-se ao proble
ma um numero inteiro, chamado de "tamanho" do problema, que
representa uma medida da quantidade dos dados de entrada. Por
exemplo, o "tamanho" de um problema de multiplicação de matri
zes pode ser a maior dimensão de uma das matrizes a ser multi_
plicada. 0 "tamanho" de um problema de grafo pode ser o número
de arcos e, no caso do caixeiro viajante, o "tamanho" do proble
ma pode ser o numero de cidades a serem visitadas.
1A H O , HOPCROFT § ULLMANN, Design and Analisys ...
0 tempo consumido por um, algoritmo para atingir o
objetivo ao qual se propõe, expresso em função do tamanho do
problema, ê chamado "complexidade tempo" do algoritmo. 0 compor
tamento delimitador desta complexidade ê chamado de "complexidade
tempo assintotica". Conceitos análogos podem ser utilizados
para "complexidade memõria" e "complexidade memória assintotica".
A complexidade assintotica de um algoritmo ê que
determina o tamanho máximo do problema que pode ser resolvido por
este algoritmo.
Se um algoritmo processa dados de um problema de
2 - tamanho n, num tempo cn , para determinada constante c > 0, entao
diz-se que a complexidade tempo deste algoritmo e 0 (n ), ou seja,
2 ~"de ordem n Mais precisamente, uma funçao g(n) e dita ser
0(f(n)), se existir uma constante c tal que g(n) £ c f(n) para
— 2 todo conjunto finito de valores nao negativos de n.
É possível pensar-se que, devido ao tremendo aumen
to da velocidade de cálculo da geração atual de computadores, a
importância de algoritmos eficientes possa ser relegada a segundo
plano. Todavia, acontece exatamente o contrário. A complexidade
de um algoritmo exerce influência decisiva sobre o tamanho dos
problemas a serem resolvidos, influência esta muito mais signif_i
cativa que aquela proveniente do aumento da velocidade de cálcu
lo dos computadores atuais, como será mostrado a seguir.
2A H O , HOPCROFT Ç ULLMANN, o p . cit
4
Supondo-se disponíveis cinco algoritmos, A - A 5 ,
com as seguintes complexidades tempo:
Algoritmo Complexidade Tempo
A ........................... n
A 2 .......................... n log2n
A 3 ........................................................................ " 2
A, .......................... " 3
A 5 .......................... 2"
Para o exemplo, a complexidade tempo representara
o numero de unidades de tempo necessárias para processar uma en
trada de tamanho n. Assumindo que uma unidade de tempo seja :L
gual a um mili-segundo, o algoritmo A poderá processar em um se
gundo uma entrada de tamanho 1000, enquanto o algoritmo A,., neste
mesmo tempo, não poderá processar uma entrada cujo tamanho seja su
perior a 9.
0 quadro 1 mostra o tamanho dos problemas que pode
rão ser resolvidos em um segundo, um minuto e uma hora, por cada
um destes cinco algoritmos.
5
QUADRO 1. Limites nos tamanhos dos problemas em função das
complexidades tempo dos algoritmos.
Algoritmo ComplexidadeTempo
Tamanho mãximo do problema
1 seg 1 min 1 hora
A ........... n ......... 1000 .... 6 x 104... 3,6 x 10B
........ n log n ......... 140 ..... 4893 ___ 2,0 x 105
Ag ........... n2 ........... 31 ___... 244 ...... 1897
A4 .......... n3 ........... 10 ...... 39 ....... 153
A5 ......... 2n ........... 9 ...... 15 ....... 21
Supondo-se agora que a próxima geração de computa
dores venha a ser dez vezes mais rãpida que a atual, é apresenta
do o quadro 2, onde são mostrados os incrementos nos tamanhos dos
problemas que poderão ser resolvidos, em decorrência do aumento
na velocidade de processamento.
3AH0, HOPCROFT 5 ULLMANN, op. cit.
Q U A D R O 2. E f e i t o do a u m e n t o de dez v e z e s n a v e l o c i d a d e de p r o c è s
sarnento s o b r e o t a m a n h o m á x i m o dos p r o b l e m a s .4
Complexidadetempo
Tamanho máximo do problema
Algoritmo Antes do aumento Depois do aumento
A 1 - • • S l ......................... 10s
A^ ... . s ......... ...... ~10s22
A2
, s ......... ..... 3 16s3 3
A ___3
, s ......... ..... 2 15s4 4
A,. ___ ......... 2n ......... . s .....s + 3 35 5 .........
O b s e r v a n d o o Q U A D R O 2 n o t a r - s e - á q u e o e f e i t o do
a u m e n t o de dez v e z e s n a v e l o c i d a d e de p r o c e s s a m e n t o , p e r m i t e ape
n a s u m a u m e n t o p o u c o s u p e r i o r a três u n i d a d e s no t a m a n h o do p r o
b l e m a , q u a n d o se u t i l i z a o a l g o r i t m o A , ao p a s s o e m q u e u t i l i z a n
d o - s e o a l g o r i t m o A 3 , e s t e t a m a n h o p o d e s e r t r i p l i c a d o .
A g o r a , ao i n v é s do a u m e n t o da v e l o c i d a d e c o m p u t a c i o
n a l , s e r ã c o n s i d e r a d o o e f e i t o da u t i l i z a ç ã o de u m a l g o r i t m o mais
e f i c i e n t e . N o v a m e n t e as r e f e r ê n c i a s s e r ã o f e i t a s ao q u a d r o 1. U
s a n d o u m m i n u t o c o m o b a s e de a n á l i s e , a s u b s t i t u i ç ã o do a l g o r i t m o
A^ p e l o a l g o r i t m o A 3 p o s s i b i l i t a r á a r e s o l u ç ã o de p r o b l e m a s 6 ve
'’a HO, HOPCROFT $ ULLMANN, o p . cit.
1 .
zes maiores. Substituindo o algoritmo A 4 pelo algoritmo A 2 é pos_
sível resolver-se problemas 125 vezes maiores. Estes resultados,
são muito mais significativos que aqueles obtidos pelo aumento de
dez vezes na velocidade de calculo. Ao se utilizar uma hora como
base de análise, estes resultados tornam-se mais impressionantes
ainda. Pode-se então concluir que a complexidade assintótica de
um algoritmo ê realmente uma importante medida de sua qualidade.
Vale ressaltar no entanto que, para se fazer a seleção
de um entre vãrios algoritmos, é preciso que se tenha em mente
o tamanho do problema a ser resolvido, além naturalmente das
complexidades dos algoritmos disponíveis. Por exemplo, conside
re-se que as complexidades tempo dos algoritmos disponíveis se
jam na realidade as apresentadas no quadro 3.
QUADRO 3. Complexidade real dos algoritmos.
A l g o r i t m o C o m p l e x i d a d eT e m p o
A 1 .................................. 10 0 0 n
A 2 .................
A .................................. 10 n 23
3A ................................................... n4
A ............................ .................................... 2 n5
Desta maneira, o algoritmo A,., apesar de, comparado aos
demais apresentar a maior complexidade tempo, devera ser selecio
nado quando o objetivo for resolver problemas com tamanho
2 £ n £ 9.
0 algoritmo A p o r sua vez, mostra-se mais adequa
do para problemas com tamanhos 10 £ n £ 58.
0 algoritmo A serã superior na faixa de tamanhos
59 £ n £ 1024 e finalmente o algoritmo A que apresenta a menor
complexidade tempo, s5 deverá ser utilizado para resolver proble
mas cujos tamanhos sejam superiores a 1024.
1.3. Objetivo do Trabalho
Este trabalho visa estudar e analisar o problema
do caixeiro viajante, com o objetivo de desenvolver e implemen
tar em computador um algoritmo que apresente baixos níveis de
complexidades tempo e memória, e que possa suprir a necessidade
atual de algoritmos capazes de resolver problemas de tamanho
grande, (n >_ 100) obtendo resultados satisfatorios.
9
C A P Í T U L O n_
2. c o n s i d e r a ç o e s c o n c e i t u a i s
Seja C = {cij} uma matriz quadrada que represente
a grandeza que se quer analisar, utilizando o modelo do problema
do caixeiro viajante, seja ela tempo, distância, custo ou outra.
Qualquer sequência de p+1 inteiros, por exemplo,
(1,2,3, ... , n), sendo p _> n e na qual cada um dos n elementos
distintos aparece ao menos uma vez e onde o primeiro e o último
elemento sao idênticos, e chamada circuito.
Um circuito pode ser descrito através de um con
junto ordenado do tipo: t = C i,, i„, i„....... . i i , i j, 1 2 3 p - l p . l
Uma solução factível para o problema do caixeiro
viajante é um circuito.
Uma solução otima para o mesmo problema ê um cir
cuito tal que: ,.. „ . . . ,zltj = L c-j, e minimizado,
C i ,j 3 et ’
onde t' = {C i , , (i_, i„) ................. ... ( i i 1 , [i , i.)}1 2 2 3 p - l p P 1
é a representação dos pares ordenados de t.
Na terminologia que serã adotada, os n elementos
serão chamados nos e corresponderão às cidades, os pares ordena
dos (i,j) serão chamados arcos e ligarão os nós, enquanto a di£
tância do nó i ao nó j serã representada por c^j.
Nestes termos, um circuito t ê um caminho fechado
que passa por cada nó pelo menos uma vez.
5BELLMORE, M. S NEMHAUSER, G.L. The Traveling Salesman ...
0 comprimento do circuito, representado por z(t) é
a soma dos comprimentos dos arcos a ele pertencentes.
Um sub-circuito s,
s - < v V V V V
é um caminho fechado que não passa por todos os n nós.
2.1. Métodos de Resolução Existentes
Existem varias teorias sobre o problema do caixei^
ro viajante, baseadas nas quais se fundamentam os diversos algo
ritmos atualmente existentes.
Os métodos de resolução deste problema podem ser
divididos em três partes bãsicas:
- 0 ponto de partida
- 0 esquema de geração de soluções
- A regra de parada
Quando a regra de parada determinar que o término
do processo .'iterativo sõ se dê quando e somente quando o circuito
obtido for otimo, o método é dito exato.
Quando a regra de parada permitir que o término
do processo iterativo possa ocorrer antes da obtenção do circui
to otimo, o método é considerado aproximado.
Nos métodos aproximados, o circuito obtido como
solução geralmente depende do ponto de partida, de tal forma que
é possível obter-se diversos circuitos diferentes, usando-se di
ferentes pontos de partida. Pode-se escolher o melhor destes
circuitos para solução final do problema.
Como a maioria das regras de parada e das escolhas
11
dos pontos de partida dependem dos esquemas de geração de solu
ções, irar-se-a uma classificação destes:
2.1.1. Melhoramento Circuito a Circuito
Neste esquema, o ponto de partida ê um circuito
arbritãrio, tal como t = (1,2,3, ... , n, 1).
0 procedimento consiste em gerar circuitos cujos
comprimentos totais dos arcos sejam inferiores ao comprimento to
tal dos arcos do circuito atual, que ê tomado como semente. Pa
ra a geração é utilizada a redondeza da semente. Por exemplo,
^ serã o circuito gerado a partir de t pelo intercâmbio suces
sivo dos elementos i = 2,3, ... , n com 1, e que apresente o
menor comprimento total dos arcos entre todos os circuitos ana
lisados, inclusive a semente.
Se t = (p, i2 , i3> ... , i , p ) , então serã
circuito (menor comprimento total dos arcos)
obtido a partir de t^ através do intercâmbio
i j , j = (2,3, ..., n) com p.
Uma regra de parada neste caso, pode ser por e
xemplo, so parar o processo iterativo quando nenhum melhoramen
to puder ser conseguido.
Pode-se escolher qualquer outro ponto de partida
e repetir o procedimento, ou até mesmo aplicar outro procedimen
to mais sofisticado.
t serã o melhor
possível de ser
dos elementos
12
Todos os métodos conhecidos que utilizam este es6 7 8 9 1 0
quema são aproximados.
2.1.2. Construção do Circuito
Neste esquema, o ponto de partida é um no arbrita
tãrio i , a partir do qual vai-se construindo sequências
fi. i_ ... , i,) por inclusões sucessivas de outros nõs na se1 , 2 , , k r —
quência atual, utilizando-se determinados critérios. O procedi
mento termina quando um circuito for montado. Um critério muito
simples para a construção do circuito é o algoritmo do vizinho
mais prõximo: parte-se de i^, em direção ao no mais prõximo i2 ,
de onde se segue para o nõ mais prõximo ainda não visitado, e as
sim sucessivamente até atingir-se o nõ i , de onde se retorna pa
ra i , completando o circuito.
Obviamente este método ê aproximado. No entanto,
existem métodos exatos de construção de circuitos, tais como a
1 1 1 2 1 3 14 programação dinâmica e o "branch-and-bound" .
eBARACHET, L.L., Graphic Solution of the Traveling ...
7CROES, G.A., A Method for Solving Traveling ...
8
LIN, S., Computer Solution of the Traveling ...9REITER, S- § SAERMAN G., Discrete Optimizing ...
1 oROBERTS, S.M § FLORES B., An Engineering Aproach ...
I iBELLMAN, R. Dynamic Programming Treatment ...
12GONZALES, R.H. Solution to the Traveling ...
1 3HELD, M. 5 KARP, R.M. A Dynamic Programming Aproach ...
1 4LAWLER, E.L. The Quadratic Assignment Problem ...
2.1.3. Eliminação de Sub-Circuitos
Neste esquema o ponto de partida ê a solução óti^
ma do problema de atribuição sobre a matriz C. Se esta solução
for um circuito, este circuito serã a solução otima para o
problema do caixeiro viajante. Se, no entanto, a solução do
problema de atribuição não for um circuito, parte-se para um
esquema iterativo de eliminação de sub-circuitos. Existem mê
todos exatos para eliminação de sub-circuitos, destacando-se en1 5 1 6 1 7 1 8 1 9 2 0
tre eles a programação linear inteira2 1
o método "branch-and-bound".
1 5BOCK, F. Mathematical Programming Solution . . .
1 6DANTZIG, G.B., FULKERSON § JOHNSON, S.M., Solution of a Large ..
1 7DANTZIG, G.B., On a Linear .
1 8MARTINI, G.T. Solving the Traveling Salesman
1 9MILLER, C.E., TUCKER § ZEMLIN, R.A., Integer Programming ...
2 0MUDROV, V.I. A Method of Solution of the Traveling ...
2 1EASTMAN, W.L. Linear Programming ...
14
C A P I T U L O I I I
3. MODELO PROPOSTO
O modelo proposto surgiu de uma pesquisa intensa,
que se tornou necessária depois do estudo dos algoritmos atuais
e da análise do problema do caixeiro viajante.
A pesquisa abrangeu diversos enfoques alternati
vos, devendo ser ressaltada a teoria dos grafos, que foi o enfo
que aparentemente mais promissor, onde se investiu uma grande
parte do tempo da pesquisa, e ainda por ter propiciado a desco
berta de informações heurísticas que são de importância fundamen
tal para o modelo final.
0 algoritmo desenvolvido e implementado sob a teo2 2
ria dos grafos foi o algoritmo A*, que garantiu a solução õti_
ma dos problemas analisados, mas que mesmo assim teve que ser a
bandonado por não atender ao objetivo deste trabalho no tocante
ao tamanho dos problemas a serem resolvidos.
Depois desta experiência passou-se a concordar com
a literatura, que diz ser o problema do caixeiro viajante um pro
blema que apresenta complexidade tempo exponencial e que os meto
dos heurísticos não podem ser evitados quando se deseja enfrenta
lo.
Desta maneira as pesquisas se voltaram para os me
todos heurísticos, que foram responsáveis por alegrias temporã -^ ----- ' '
rias e tristezas profundas, todas elas finalmente neutralizadas
e compensadas pelo algoritmo a que se chegou.
2 2
NILSSON, N.J, Problems - Solving Methods
15
3.1. 0 Algoritmo
Projetado para trabalhar com matrizes simétricas o
algoritmo é composto de três partes, essencialmente simples, de£
critas a seguir:
3.1.1. 0 Ponto de Partida
0 algoritmo inicia com um sub-circuito que reflita
o conhecimento disponível do problema a ser analisado.
C o m o e x c e l e n t e h e u r í s t i c a p a r a o p o n t o de p a r t i d a
p o d e s e r u t i l i z a d o o s u b - c i r c u i t o c o m p o s t o p e l o s p o n t o s do p o l í g o
n o e x t e r n o .
3.1.2. 0 Esquema de Geração de Soluções
Consiste em inserir ao sub-circuito de partida, pon
tos ainda não visitados, baseado no critério do máximo proveito ,
descrito a seguir:
1. Sejam i e j dois pontos adjacentes pertencen
tes ao sub-circuito de partida.
2. Partindo de i, tendo j como objetivo, calcula -\
se o custo alternativo de ir de i a j através de k, para todo(
k não pertencente o sub-circuito, ou seja:
MAX_PROV(i,j,k) = C(i , k) + C(k , j ) - C(i,j)
3. Repete-se o passo 2 até que todos os pares de
pontos adjacentes do sub-circuito de partida tenham sido conside.
rados, quando então deverá ser selecionado e inserido ao sub-cir
cuito de partida o ponto k associado ao menor MAX_PROV(i,j,k)
pois este propicia o máximo proveito que se pode tirar da
situação.
16
Tendo agora este novo sub-circuito de partida, vol
ta-se ao passo 1.
3.1.3. A Regra de Parada
A regra de parada determina que o esquema de gera
ção de soluções devera parar quando um circuito for formado.
3.2. 0 Fluxograma
17
3.3. Considerações sobre a implementação
Para a implementação deste algoritmo foram utili
zados os seguintes recursos:
3.3.1. HARDWARE
3.3.1.1. Computador IBM/370-148
3.3.1.2. Partição dfe memória de 256 Kbytes
3.3.1.3. Leitora de cartões perfurados
3.3.1.4. Impressora com 133 caracteres por linha
3.3.1.5. Terminal de vídeo
3.3.2 SOFTWARE
3.3.2.1. Sistema operacional 0S-VS1, R 6.7
3.3.2.2. Compilador PL/I OPTMIZING, VI, R3, PTF 69
3.3.2.3. CONVERSATIONAL MONITOR SYSTEM.
18
3.4. Analise de Resultados
Com o objetivo de calibrar o modelo, foram feitos e
xaustivos testes, processando problemas clássicos, problemas teóri^
cos e problemas reais.
Com a finalidade de avaliar o desempenho obtido, a
presenta-se o quadro seguinte:
AMOSTRA DOS RESULTADOS OBTIDOS
PROBLEMAS NÚMERO DE CIDADES ,
SOLUÇÃOOBTIDA
SOLUÇÃOÓTIMA
MELHOR SOLUÇÃO ENCONTRADA
TEMPO DE CPU(SEGUNDOS)
1 5 20 20 20 0,89
, 2 7 92 92 92 0,94
3 10 200 200 200 1,03
4 16 118 118 118 1,13
5 20 392 - 392 1,30
6 36 180 180 180 2,36
7 41 231 - { 227) 3,19 ^
8 50 433 - 433 4,95
9 75 552 - 552 12,49
10 100 500 500 500 2-3,67
11 110 550 550 550 31,56
12 200 .1000 1000 1000 175,51
As formulações e respectivas resoluções destes pro
blemas são encontradas no ANEXO 3.
19
Os mesmos problemas foram processados num computa
dor IBM 4341, instalado na UFSC, utilizando o sistema operacio
nal CMS sob o VM/370, e desta maneira os tempos de CPU gastos
nas suas resoluções foram reduzidos em aproximadamente três ve
zes. 0 problema das 200 cidades, por exemplo, consumiu exatamen
te 1 minuto de CPU para a sua resolução.
3.5. Complexidades Tempo e Memória
Através de um modelo de regressão simples e utili
zando os dados da amostra apresentada, foi ajustada uma curva
para representar a complexidade tempo do algoritmo, sendo obti
da a seguinte equação:
2 3T = aQ + a^n + a^n + a^n , onde
a = 0.1305012 E + 00o
a 1= -0.6277299 E - 01
a2 = 0.259 5460 E - 02
a3 = 0.2729445 E - 05
T representa o tempo do CPU em segundos e n repre
senta o número de cidades.
Desta maneira, obteve-se um coeficiente de correia
- 3çao de 0,99983 e uma complexidade tempo 0 (n ), devendo ser ressal
tado ainda que o coeficiente a3 , associado ao grau da equação ob
tida, esta muito prõximo de zero, e, desta forma, a influência do
terceiro grau sõ começa a ser percebida para valores muito gran
des de n.
- - - 2A complexidade memória por sua vez, e 0 (n ), pois
o algoritmo aloca apenas a área de memória necessária para arma
zenar a matriz dos dados e os "pointers".
Vale ressaltar que, para o problema do caixeiro
viajante, não ê possível obter-se uma complexidade memória de
ordem menor que n2 .
21
C A P Í T U L O IV
4. CONCLUSÃO
O problema do caixeiro viajante ê um destes proble
mas aos quais estão associados complexidades assintõticas muito23
altas.
Pode-se observar que, ao se utilizar, por exemplo,
um método de enumeração explícita, torna-se necessário processar
(n - l) !/2 ciclos de operações para achar a solução õtima de um
problema simétrico, fato intimamente ligado ã complexidade tempo
e que inviabiliza este método de resolução, para problemas com
tamanhos n _> 20.
A literatura diz que, apesar das décadas de pesqu^
sas, ainda não foi encontrado um so algoritmo com complexidade tem
po limitada polinomialmente que garanta a solução ótima do proble24 ~
ma do caixeiro viajante.
Diz ainda que problemas deste tipo podem ser cons:L
25 ' ~ derados intratáveis, e que o enfoque heurístico nao pode ser evi
26 ~tado quando se procura resolvê-los.
0 algoritmo desenvolvido neste trabalho apresenta-
se como uma ferramenta de valor inestimável para aqueles que ne
cessitam utilizar este modelo para a tomada de decisões.
Não existe internamente ao programa limitação quan
to ao tamanho do problema a ser analisado.
0 maior problema submetido a processamento, apenas
para satisfazer curiosidade, foi de 500 cidades e consumiu mais
tempo na formulação que na própria resolução.
23AH0, HOPCROFT § ULLMANN, op.cit.
2\ h 0, HOPCROFT $ ULLMANN, op.cit.
25AH0, HOPCROFT Ç ULLMANN, op.cit.
26LIN, S § KERNIGHAN, B.W. An effective Heuristic ...
22
BIBLIOGRAFIA UTILIZADA
1. AHO, HOPCROFT § ULLMANN, The Design and Analysis of Computer
Algorithms, Addison-Wesley Publishing Company, 1976.
2. BELLMORE, M. $ NEMHAUSER, G.L., "The Traveling-Salesman Pro
blem: A Survey". Opns. Res. 16, 538-558 (1968).
3. BARACHET, L.L.,"Graphic Solution of the Traveling Salesman
Problem," Opns. Res. 5,841-845 (1957).
4. BEARDWOOD, I., J.H. HALTON, AND J.M. HAMMERSLEY, "The Shor
test Path Through Many Points," Proc. Cambridge Phil. -
Soc., (Math, and Phys. Sci) 55, 299-327 (1959).
5. BELLMAN, R . , "Dynamic Programming Treatment of the Traveling
Salesman Problem," J. ACM 9, 61-63 (1962).
6. BOCK, F., "Mathematical Programming Solution of Traveling Sa
lesman Examples," Recent Advances in Mathematical Program
ming, (R.L. GRAVES AND P. WOLFE, eds) 339-341 McGraw-Hill,
New York, 1963.
7. CROES,G.A., "A Method for Solving Traveling Salesman Problem^,'
Opns. Res. 6, 791-812(1958).
8. DACEY, M.F., "Selection of An Initial Solution for the Trave
ling Salesman Problem," Opns.Res. 8,133-134 (1960).
9. DANTZIG, G.B..D.R. FULKERSON, AND S.M. JOHNSON, "Solution of
a Large Scale Traveling Salesman Problem," Opns.Res.2,393-
410 (1954).
23
10. , "On a Linear Programming, Combinatorial Approach to
the Traveling Salesman Problem," Opns. Res. 7,58-66 (1954)
11. DERMAN, C. AND M.KLEIN, "Surveillance of Multicomponent Sys -
terns: A Stochastic Traveling Salesman's Problem, "Nav.Res.
Log. Quart. 13, 103-112 (1966).
12. EASTAMAN, W.L., "Linear Programming with Pattern Constraints’,'
Ph.D., Dissertation, Harvard, 1958.
13. FLEISHMANN, B., "Computational Experience with an Algorithm
of Balas", Opns. Res 15, 153-155 (1967).
14. FLOOD, M.M ., "The Traveling Salesman Problem", Opns. Res. 4,
61-75 (1956) .
15. GILMORE, P.C., AND R.E. GOMORY, "Sequencing a One-State Varia
ble Machine: A Solvable Case of the Traveling Salesman -
Problem," Opns. Res. 12, 655-679 (1964).
16. GOMORY, R. E., "An Algorithm for Integer Solutions to Linear
Programs", Recent Advances in Mathematical Programming
(R.. L. GRAVES AND P, WOLFE, eds.) 269-302, McGraw-Hill ,
New Y o r k , 1963.
17. GONZALES, R. H., "Solution to the Traveling Salesman Problem
by Dynamic Programming on the Hypercube," Tech. Rep.No.
1 18, O.R. Center, M.I,T., 1962.
18. HARDGRAVE, W. W. AND G.L. NEMHAUSER, "On the Relation Bet
ween the Traveling Salesman and the Longest Path Pro
blem", Opns. Res. 10, 647-657 (1962).
24
19. HILLIER, F.S. § LIEBERMAN, G.L. Operations Research, Holden
Day, Inc. 19 74.
20. HELD, M. AND R. M. KARP, "A Dynamic Programming Approach to
Sequencing Problems,” SIAM 10, 196-210 (1962).
21. KARG, L.L. AND G. L. THOMPSON, "A Heuristic Approach to Sol
ving Traveling Salesman Problems," Management Sci. 10,
225-248 (1964) .
22. KNUTH, D. E. Fundamental Algorithms - The Art of Computer
Programming, Addison-Wesley Publishing Company, 1973.
23. LIN, S. § KERNIGHAN B.W. An effective heuristic algorithm
for the Traveling-Salesman Problem, Bell Telephone Labo
ratories, Incorporated, Munay Hill, N. J, 1971.
24. , AND D. E. WOOD, "Branch-and-Bound Methods: A Survey','
Opns. Res. 14, 699-719 (1966).
25. LIN, S., "Computer Solution of the Traveling Salesman P r o
blem," Bell System Tech. J. 44, 2245-2269 (1965).
26. LITTLE, J.D. C. K. G. MURTY, D. W. SWEENEY, AND C. KAREL,
"An Algorithm for the Traveling Salesman Problem,” Opns.
Res. 11, 979-989 (1963).
27. MARTIN, G.T., "An Accelerated Euclidean Algorithm for Inte
ger Linear Programming", Recent Advances in Mathematical
Programming (R. L. GRAVES AND P. WOLFE, eds.), 311-318 ,
1963.
28. _, "Solving the Traveling Salesman Problem by Integer Line
ar Programming,” CEIR, New York, 1966.
25
29. MILLER, C. E., A. W. TUCKER, AND R. A. ZEMLIN, "Integer Pro
gramming Formulations and Traveling Salesman Problems,"
J. ACM 7, 326-329.
30. MUDROV, V. I., "A Method of Solution of the Traveling Sales
man Problem by Means of Integer Linear Programming (The
Problem of Finding the Hamiltonian Paths of Shortest
Length in a Complete Graph)" IAOR 5, abstract 3330. 1965.
31. NILSSON, N. J. Problems-Solving Methods in Artificial Intel
ligence, McGraw-Hill Book Company, 1971.
32. ROBERTS, S. M. AND B. FLORES, "An Engineering Approach to
the Traveling Salesman Problem," Management Sei. 13,
269-288 (1966) .
33. ROTHKOPE, M., "The Traveling Salesman Problem: On the Redu£
t ion of Certain Large Problems to Smaller Ones," Opns . Res.
14 , 532-533 (1966) .
34. SALZ, N. P., "The NORMA: A Possible Basis for a Theory for
The Traveling Salesman Problem," Cornell Aero. Lab.,
Buffalo, N. Y . , 1964.
35. , "The NORMA: A Theory for the Traveling Salesman P r o
blem," Cornell Aero. Lab., Buffalo, N. Y., 1966.
36. SHAPIRO,D., "Algorithms for the Solution of the Optimal Cost
Traveling Salesman Problem," Sc. D. Thesis, Washington U
niversity, St. Louis, 1966.
37. STOUDHAMMER, J. AND M. ASH, "A Sufficiency Solution of the
Traveling Salesman Problem," Sys. Aer. Corp., Santa MonjL
ca, California, 1966.
A N E X O 1
LISTAGEM DO PROGRAMA
LISTING
1 / ' 1 / i /1 /
1 h ;• ThA V U I N G SAf. S 'v: A N P ft L 8 L ■" iv
= = / / / /
i / - /J / AL 'jCK I h "■ ! j r : s r : c t /I / G F C C ,Y P L r: X n - T- MPC /1 / i. : tj i T i r A pci :\C ivI ALM:':NTr- /j / /1 / U Í; A . L, ( ‘i r
r. o „ :: .</_ /I / /! / -r r - ■S. ~ ~ -s. -z ~ ~ - z= = /
p p u C . L P T ■ L t \ S ( iv A I N ) R : ; c r g 1 F F :
? " C L <v A T . . f '■ S . 1 R I M F T X 0 ( 1 5 , 0 1 C T L
0 C L V A T 1 F A B { " : « v- • ) ü î r - i p t X r C ( L 5 » 0 ) C T L
H C L F Ü L . . C V X U ( • ) B I N ~ I X r G C L 5 » 0 i C T L
n c 1 c c ... c £ h t ( ■ - , • ■ - ) e I î 4 c Ï X L C ( 1 5 , 0 I C T L
r - C L T ~ S 7 G 8 I ' M F I X '■ n 1 1 5 , o i
C f L ( p î , p J 1 R I N F ! X î ; ( i . 5 , o *
O C L C P C A L . . . E N T R A D A C H A R ( 6 î
O C L ( G U A R C f . , P _ K _ r N T P A ) t í Í N c I X E r ( 1 5 . o )
n C L ( P ; J Q L K L , R F F ) B I N F ! X Í ; C ( L 5 , n 1
G C L í L X 1 , L Y L . L X 2 , L Y 2 1 R I H - : X - G ( L 5 , 0 )
n c L" í I G i- ‘ V î N - F I X n ( 1 5 , 0 1 I M T ( 2 2 7 6 7 i
O C L E L A _ G L A . . . B L A ( Î C H A P . ( 7 2 1 C T L
C í \ Ç f \ T ' 3 I L ■ í S Y S T M G u T U c I M ;
S T : G P T l I 8 T ! i \ C l M :
AL L L C ÜLA .li LA.. BLA (NCOVJ ;
G '■ T s k i p ; c ! T í ( [ ; L â ] j gg : = i rc nco*» »
P I T PAG' ' “ : T ( t‘UA ._,.UA . BLA) ( S K T P , X í 20 I . M 7 Z I I ;
G ;; T I I S T Í N . N P P ) ;
■A L L c r y i, 1 . 1} \ s £■ < í\. N f 1 I ;
ALLLC . M A T . TF AB ( l \ , , \ * l ) ;
A L L C C ? C; I. . C V X G { N + L ) ;
A i . L CC COC._ C £ P 7 ( l\ t 3 ) :
G r: T L I ST (GPCAG„ : -N1PACA) ;
I r C Pf > G .. " M R A r A - = 'CUUKO". ' f. -JP C '«ü_ N T R A G A -
lh-iM r L :
PUT - T L .'I ( SYSPR Î . NT J '£ C 1 T
A ( 7 2 ) . X ( h ) I ;
• M A T R I Z 1
(' T S p : A ü P C A U cr: C - M P A D A i :'í - A D C S
O P C At.JiNTRAL'A , ' ) E S T A I N C O R R T A ')
( C C L ( 1 0 ) , 3 A t ;
S T C P :
:í'0 :
F C F C ô C „ E N T R A T / = ' C C O R C E '
ll-EN C G ;
GFT L I S T ( C U ü _ C A R T ) ;
nc L=i 7C N - i :
MAT.. 2 A S r: ( L ,L ) = B T 3 _ > ;
L X l = C r c . . C . * R T ( I , ) ;
L V 1 = CCC...C ART ( L ,3 I ;
nc s -1 * i TL jNj ;
L X 2 - c C C.. C A R I í K , ? i ;
I V 2 = C ü O C A R T ( K , 2 ) ;
w 1 . !' 3 ' ( L , K 1 , M .* T _ P A 51 í K , L I -
S C R 1 ( í L X 2 - I X 1 ! " ' 2 + ( L Y 2 - L. Y i I 2 ) ;
'2 í\ ’ '• ;
c ,\r: :
!- i\n :
F C F C <■>C... C N T R A f t: = 1 M AT R 1 Z 1
1 h>* N r L ;
CG I = 1 T G N :
O C J = I T C N ;
G!" 7 L I S T ( MAT..ÍÍ A S:: í I , J ) ) ;
MAT.. P f. S ‘M J ♦ I > = > m _ P . A S r ( ; » J í ;
' N f: ;
:: fvC :
MAT... G A Sé ( i\ ,i\)
G f: T L * ST ( ( POL_CVXC[ í ) HU I=L 1C N P P ) ) ;
P l i P A Gr Ç r . ï T ( ' C t n c S 0 : £ N T R A D A ' J
( S M P . ( 2 ) » C G L ( 4 5 J » A ) ;
I f CPC Aü t M R A C f i = * C LLKD!.-. *
1 H r N C L :
PUT F I LL ' ( S V S PH I >\ T ) r f TT
{ • CGCFOr NADAS ?• A S * ,N * • C I C A F C S ' , ( 2 7 ) « = 1 , ' ' )
( b K I P í 2 ) ? CFj L ( 4 7 I , A , ' ( ) ,A , SK : F ,CCL ( A7 ) .
A * SK ! P . I :
P I T F I L r ( S Y S P P T í\ T i F F ; T
ÍCCC... CAH T ) ( SK : P , CLL ( 22 ) , ( i) ) í í 3 ) = í 5 ) , > ( 3 M i ;
r~ iV':
Î - C PC AO. CNTR Af*A = • l'HTh ! Z '
7 H > M F, C :
P I T F I LC ( S Y S F R T M ) F L I T
! * NA T K ! Z OAS ' , N , * Cl D FFF S 1 , ( 2 7 ) • = 1 , • • i
1 SK I F (2 ) tCUl (47 1 » / » r { 4 1 , A ♦ S K I P * CGL ( A 7 ) »
A , S K I P ,A . S K I P ) ;
HC ! = 1 T G N ;
ü C J - 1 T C N ;
P l: T - I L' í ( S V S P h í K T I f Dl T
( ’ A ( » , I , < , • , J ♦ ' ) = • , M A T _ 3 A S H I , J ) )
( C C L í 2 2 ) , A , F í 1 ) » A , F í 3 ) . A , F { 5 ) ) ;
r t\V ;
ÿ- \ n ;
PUT Ç C I T ( ' F C L I G C N C l XT'.-'RNG' , { l ô ) ' = * , ' • )
f S * Ï P < 5> « C U L ( 52 > , A, SK Î P , CL L (52 I , A , 5 K I F , A ) ;
P U T ' ' ! T ( 1 P I L _ C V X C ( : • r’U I-L ï>, Nf’P ) > ( SK I P , C G L ( 3 5 i , ( 1.0 ) F ( <5 ) i ;
:v AT,.. T P; A l: - P T _ E A S r :
r c 1 = 1 ] c f\PP~ 1 ;
CC J = 1 TC N P F - L :
A T... m A R ( P C L .. C V XU { ! > , P C l _ CVXC ( J > ) = 0 ! C-_ M ;
: m: :
< !\'i:
At. r : P r Ci :-!\i J -- r; ! G. K :
k C 1 - 0 :
L r = i. I L înP F - 1 ;
F T - p r. l . C V >■ L ( I ) ;
FJ = PL L... C V X C Í I + L ) :
L í V 3 T K = 1 o 5- y AT... 13 A S I ! P I ♦ P J ) ;
r c J = 1 ] c \ ;
1 - S T'- -- iv A T _ T F A b ( P U L _ C V X l C I . J I ;
: r i S I < = L ' M G T H
T F r i\ r C ;
K C N T -- K. t ; N T +1 :
P....K. \T H = J ;
f< : r - v AT . . BA S ( F ' » F . K î * T A ) f
A T A S . { P (\ . i\ ! ^ , P J ) -
,v T . rj. A S ’ ( F I , F J * ;
! - k " ' < 0 ï b ’*f\ F r c =0 :
?Nr ;
I F F L F < P L G li H NO
T h r N OC;
P i G U î N C ^ R F F ;
M M _ T R A H { P I , N + 1 I - P _ K _ ftNTR A
G ! ) fi f D = ï ;
E Nr) ;
Ef\C :
i\0 :
£ N P :
I F K C M > G Iht'h
f'C TQ G U A k f ü + l •:)Y - 1:
f c l r . VXc: { j + 11 = f c l . c v x c < j > ;
F h? :
" L S F C C :
P ■-CU'-I-NL =i: I : Î- ;
fî C 1 ^ 1 T G N P P — 1. ;
P ï - P C L . CVXL ( I 1 ;
P J = PC L...CV >C n u i :
r. C J - 1 ] G N ;
1 r S I = F. A T _ T P- A B ! PCI__CVXG Í I ) . J ) ;
I ? T Í S T £• < - ö l G_ M
1 K N 0[;
P K :: N T R A = J ;
k E c = M A T _ B À S ( P I , P_ X„C N T R A M
N AT EAST; ( P _ K F N T K A , P J )-
N A T_ ß A Sr. ( P ! * F J ) :
i f p f p < o T h g n p r; p - o ;
IF f !*F < P L G U i N U
TH-'N D C :
Q L i~ N G - R F ;
M A T _ T R A F Í P I * s\ + 1 I = P _ K _ E N T H A ;
g 'j r ;
FNO;
NT ;
f (i,P ;
CKO ;
fNC :
P C L . C V X C ( G I J Í f= r r + 1 )= -i A T T I R A I:’ I P i. i. C V X C i G l J . V ' . . ) , I* + 1 ) :
N F ° - i\ P > t I ;
I F î\ F F = M 1
I F : i\ n L ;
R ; F - G ;
DC 1=1 I f N:
R r.c = R rT -t-vA T _ (3 A S Í C L _ C V X Ü ( T ) , P C l _ C V X C Í 1 + 1 ) ) :
■ : i\ c ;
P I T P A G - ' D I T t » S G L U C A C , U 3 > » * ' »• ' )
(SK I P { 101 » C u t (5 4 i , A, S K I P , C O L (54 » »A « S K I P . A * ;
P U T t C I l I P U I __ C V X U ) ( S K I P , C O L ( 15 ) , ( 2 0 I F ( 5 J ) :
PiJT r C n i ' C U S T Ü = ' , R ? F ) ( S K I P ( 3 ) , C C L (-5 4 ) , A , - Í 5 i )
GC 1C S I ;
!::NH ;
D C J = l T C N P P - l ;
f* A J _ ï P A t? { P C L.„. C V X ü ( GU A R C " + L > * F GI__CVXC ( J ) I=Ö I G_M :
KA !.. T R AR í P O I__CVXO( J ) » P C L _ C \> X C l G l AP D Í; + 1 ) ) =8 I G_ K :
E: h ;
G L T C A L I ;
r I K; : il h H 1 S P L ;
A N E X O 2
INSTRUÇÕES DE UTILIZAÇÃO
INSTRUÇÕES DE UTILIZAÇÃO
O fornecimento dos dados necessários ao modelo pro
posto para resolver o problema, pode ser feito de uma maneira ex
tremamente simples e flexível, conforme será apresentado a seguir.
Existem cinco tipos diferentes de dados com os
quais trabalha o modelo, que serão relacionados abaixo e descritos
em seguida.
Tipos diferentes de dados
1. Numero de comentários
2. Comentários
3. Número de nos total e número de nos do polígono
externo
4. Opção de fornecimento dos dados dos nos
5. Relação dos nos do polígono externo
Não existe prê-determinação de formatos para os
dados de entrada, podendo o usuário fornecê-los livremente confor
me lhe pareça mais conveniente.
Descrição dos dados de entrada
1. Número de comentários
Deverá indicar o número de cartões que se deseja
utilizar para fazer comentários livres sobre o
problema.
2. Comentários
Deverá conter os comentários propriamente ditos,
para os quais se utilizarão tantos cartões quan
tos especificados no item anterior.
Número de nos total e número de nós do polígono
externo
Devera conter dois números inteiros, sendo o
primeiro deles a quantidade total de nós que
simbolizam as cidades, enquanto o segundo indi
cará a quantidade de nós do polígono externo, a
crescido de um.
Opção de fornecimento dos dados dos nós
Os dados dos nós podem ser fornecidos de
duas maneiras distintas, selecionadas por opção
do usuário; uma delas e através da matriz q u a
drada que representa a grandeza em análise, e
a outra através das coordenadas cartesianas dos
nós, com as quais o modelo monta a matriz refe
renciada .
A opção a ser feita é indicada através de uma
entre as duas palavras seguintes:
'MATRIZ' ou 'COORDE'.
Se for adotada a opção 'MATRIZ', será preciso for
necer os elementos componentes da mesma, por
linha, tornando-se necessário apenas a ind i c a
ção dos elementos da parte triangular superior,
uma vez que existe a simetria. Caso seja adota
— f * da a opçao COORDE, sera preciso fornecer os nu-
meros dos nós acompanhados das suas respectivas
coordenadas cartesianas, conforme ilustrado a
baixo.
1 XI Y1 2 X2 Y2 ... ETC.
Os- nós deverão ser fornecidos em ordem sequencial
crescente.
Devera conter os números dos nos que repre
sentam o polígono externo.
Com a finalidade de ilustrar tudo o que
foi dito, ê apresentado um problema e são preparados os dados
necessários para a sua resolução através do modelo objeto deste
trabalho.
5. Relação dos nos do polígono externo
T O 3
o?
06
~o 4-------►
PROBLEMA EXEMPLO.
Dados de Entrada
2
EXEMPLO ILUSTRATIVO DA UTILIZAÇÃO DO MODELO PROPOSTO NO TRABALHO
DA TESE. AUTOR: EUGÊNIO.
7 5
'COORDE'
1 0 0 2 0 20 3 20 20 4 20 0 5 10 10
6 5 10 7 10 15
1 2 3 4 1
/*
OB S : 1. Num mesmo "job" poderão ser processados tantos problemas
quantos se deseje, bastando para isto repetir a sequência
apresentada anteriormente.
2. Para encerrar o processamento devera ser colocado um
cartão com /* nas colunas 1 e 2 apos o final dos dados.
3. O programa se encontra disponível no CPD da UFSC que
coordenará a sua utilização.
A N E X O 3
PROBLEMAS DE TESTE
l
COORDENADAS DAS 5 C l f A U E S
1 0 3 2 2 6 3 4 3 4 , 7 0 5 8 3
POL IGCNO EXTERNO
1 2 5 4 1
S O L U C A O
1 2 3 5 4 1
C U S T O = 20 ,
u a q o s D E e n t r a d a
CÜORDENACAS DAS .7 C IC A DES
1 0 0 2 o 20 3 20 20 4 20 3 5 10 106 5 10 7 10 15
POL ÍGONO e x t e r n o
1 2 3 4 1
r» 0 L ü C A 0
■ ' ü a D O S d e e n t r a d a
C U S T 0 = 92
D A D O S D E E N T R A D A
CCÜP.DENACAS DAS 10 C IC A D E S
i 10 2C 2 20 50 3 20 30 4 20 ' 3 5 30 106 40 40 7 40 10 8 50 60 9 50 33 iO 70 20
P C I IGCNG EXTERNO-
1 2 S 10 4 1
S G L U C A 0
1 3 2 8 6 9 10 7 5 4 1
C U S T 0 = 200
1 0 106 15 15
11 30 516 45 10
O A O O S D E E N T R A D A
C Ü O R D EN A C AS CAS 16 C IC A D E S
2 5 7 15
12 35
15 3 5 5 4 10 23 5 10 05 8 20 10 5 25 13 10 30 15
20 13 35 0 14 4U 15 15 40 5
P C L IG O N O EX T ER N O
i 2 4 12 14 16 15 13 1
S 0 L U C A QJB S S S S = S S = Z S S S
9 10 12 14 16 . 15 13 11
C U S T 0 = 118
D A D O S D E E N T R A D A
. . . .COORD ENADAS CAS 20 C IC A ü h S
1 0 C 2 0 40 3 10 70 4 13 23 5 10 - 1 00 20 5 C 7 20 30 ó 20 0 9 30 83 10 30 10
11 40 4 C 12 40 10 13 50 60 14 50 33 15 50 - 10l b 60 40 17 70 60 18 70 20 19 83 43 2 ü 80 10
P O L ÍG O N O EX T ER N O
1 2 3 9 14 17 19 20 15 5 1
S 0 L U C A 0
l ^ 7 2 6 3 9 i 3 H 14 16 17 19 18 20 15 12 10
1
c U S T 0 = 392
ü A D O S 0 E E N T P A C A
I .G 0 R D EN A C A S DAS 36 C IC A D E S
1 0 C 2 ' 0 5 3 0 10 4 0 15 5 0 206 0 25 7 5 0 8 5 5 9 5 13 10 5 15
1 1 5 20 12 5 25 13 10 0 14 1,1 5 1 5 10 1016 10 15 17 10 20 18 10 25 19 15 0 2-3 15 521 15 10 22 15 15 23 15 20 24 15 2 i 25 20 026 20 5 27 20 10 28 20 15 29 20 23 3'J 20 2531 25 0 32 25 5 33 25 10 34 25 15 3 5 25 203b 25 25
P O L ÍG O N O e x t e r n o
2 3 4 5 6 12 18 24 30 3635 34 33 32 31 25 19 13 7 1
2
S C l U C A 0
2 o 14 20 26 27 2 8 29 23 17. 11 10 16 22 21 15 9 3 4 56 12 18 24 30 36 35 34 33 32 31 25 19 13 7 1 2
C U S T 0 = 180
D A 0 0 S U £ E
C U G R D EN A C A S CAS
1 0 20 2 5 25 36 10 25 7 10 20 8
11 15 30 12 15 25 1316 15 5 17 20 40 1821 20 20 22 20 15 232 6 25 35 27 2 5 30 2831 25 10 32 2 5 5 3336 30 15 37 30 10 384 1 40 20
P C L I G 0 N 0 EX T ER N O
1 2 5 10 17 26 3 3 37 32 25 16 9 4 1
S 0 L ü C A 0
3 1 2 6 13 14 23 30 35 2S H 26 27 33 34 38 39 4 1 40 36 1
C U ^ S T 0 = 23 1
T F A 0 A
ci CAors
5 20 4 5. 15 5 10 3010 15 9 10 10 10 15 3515 20 14 15 13 15 15 1020 35 19 20 3 J 2 0 20 2520 10 24 20 5 25 20 025 25 29 25 20 30 25 1530 30 34 30 25 3 5 30 2035 25 39 35 20 40 35 15
38 41 40
29 22 21 20 1 ? 12 5 11 l o37 31 32 24 25 16 1 5 9 6
L A C G S C E E T P A C A
cü u R C E fs A C A S CAS 5C C IC A D E S
Ï2 2 ï 9 49 3 ' 52 £4 4 20 2o 5 40 3 C4 7 1 17 63 a 21 62 S 52 33 10 51 214 1 U J l 32 13 5 25 14 12 42 15 3o 164 1 17 7 23 18 17 33 19 13 13 20 57 564 2 i c 42 57 23 16 57 24 a 52 25 7 38t c 2 7 30 48 2a 43 67 29 sa 43 30 • 53 27i>S l e :>a 4o 33 46' 10 24 61 33 35 o2 63dS j 7 3 2 22 38 45 35 3 ç 59 15 • <*0 5 617 M <: 21 10 43 C £4 44 30 l i 45 39 103 S 4/ 25 32 4à 25 ' 55 49 4a 2a 50 56 37
FCLIOCf 'G EXT£f>NO
40 13 * 3 26 31 36 2 1 34 39 3340
47 12 HÒ
S C 1 U C A G
5 28 u 32 1 27 48 6 l à 25 14 2431 là •c 2 3 2 6 35 2 C 2 2 S 2 1 16 50 34 3015 37 17 44 42 19 40
C U S T C = 432
D A D C S D E E N T R A D A
CLiORut NACAS DAS 7 5 C ID A D E S
1 22 22 2 36 26 3 216 33 34 7 50 50 6 55
1 1 55 65 12 35 51 13 6216 21 36 17 33 44 18 92 1 44 13 22 26 13 23 1126 41 46 27 55 34 28 3531 31 76 32 22 53 33 263í> 54 10 37 6 0 15 38 4741 12 17 42 15 14 4 3 164 o 51 42 47 50 15 48 4851 29 39 52 54 38 53 555o 6 25 57 65 27 58 4061 36 6 62 30 20 63 206 6 57 72 67 45 42 68 3871 59 5 72 35 60 73 27
P O L IG C N O EX T ER N O
56 24 18 55 31 66 59 70 60 6 9 64 56
S 0 L U C A 0
23 49 24 18 50 3 44 32 25 5559 14 53 7 35 8 19 54 13 5751 6 75 68 2 74 30 4 45 2921 61 28 62 73 33 16 63 1 22
45 4 . 4 5 35 5 55 2045 9 ? j 5 j 10 40 6635 14 6 ? 5/ 15 62 2456 19 62 4d 20 66 1428 24 7 43 25 17 64 16 29 52 2 d 30 43 2629 34 50 40 35 55 50 66 39 33 60 40 30 50 19 44 21 4 i 4 5 50 30 21 49 12 33 50 15 5657 54 67 41 -55 10 70 60 59 70 64 60 64 430 64 15 5 65 50 70 33 69 50 ♦ 70 66 8 24 74 40 2 J 7b 40 37
54 57 20
3 1 10 72 39 ) 58 33 65 1 115 2 7 52 46 3V 67 26 12 4048 5 37 20 7 ) 60 71 36 6964 42 43 41 5 S
C U S T O « 5 5 2
X n U S C ï ~ N T R A D A
C.CG i v f iV .O !•.s ' i 4s io n c : d ;
1 0 n 2 0 5 3 C 10 4 0 15 5 0 206 c 25 7 0 30 a 0 35 9 0 40 10 0 45
1 1 e C 12 5 5 13 5 10 14 5 l 5 15 5 2016 5 25 17 5 30 18 C 35 1 9 5 4 C 2 0 5 4521 l C 0 22 10 5 23 1C 10 24 10 15 25 10 20? ù K 25 2 7 1C 30 28 1C 3 5 2 9 10 4 0 30 10 4531 1 5 fi 32 15 5 3 3 15 10 34 15 15 35 15 203 6 1 5 2 5 3 7 15 30 3 G 15 3 5 39 15 '(0 40 15 454 1 ") ( * 0 42 20 5 43 2 C 10 44 2 0 15 45 20 204 6 2 C 25 47 20 30 48 20 35 49 20 4 C. 5 C 20 455 1 i t C 52 25 5 5 3 25 10 5 4 2 5 15 55 25 2 05 6 25 25 5 7 25 30 58 25 35 59 25 4 0 60 25 456 1 3C C 62 30 5 6 3 30 10 6 4 30 15 65 30 20e t 3 C 2 5 t 7 30 30 .68 30 35 ' 6 9 3 0 4 0 7 0 30 457 1 "J c 0 72 3 5 5 . 73 3 5 10 74 35 15 75 35 2076 3 - - Î C
c. -■ 77 3 5 30 73 35 35 7 9 35 '-.0 80 35 45a 1 0 ■ fi 2 4 0 5 03 4 C 10 64 4 3 15 85 40 20r . fa • ' .C 2 5 0 7 40 30 38 40 35 89 40 40 90 40 459 1 4 5 C ■ 92 4 5 5 93 + 5 10 9 4 4 5 15 95 45 2096 45 25 5 7 45 3 0 î!3 45 35 99 4 5 40 100 45 45
2 T 4
p c l :
5
OC KG Ç
6
XT.'RK
7
rt.
fi 9 10 203 0 4 C 50 60 70 80 90 10C 99 98Ç / S 6 9 5 94 93 92 91 a ï 7 1 6 1î 1 4 1 3 1 21 1 l 1 2
S C L L C A C
? 12 2? 3 2 42 52 6 2 72 3 2 33 34 85 8 6 87 n o 89 79 69 59 4 99 Z t 1 9 l u 17 16 15 14 24 34 44 54 6 4 65 6 6 67 57 4 7 37 366 5o C C 4 5 35 2 5 2 6 27 28 3 C 48 5 8 6 8 78 7 7 76 75 74 73 6 3Í t3 3 - 23 13 3 4 5 5 7 8 9 1 0 20 3 0 40 50 6 0 70 80ï?
100 9 9 1 o 9 7 9 6 95 94 5 3 92 9 1 e 1 71 61 5 1 41 31 2 l 11 1
16
1 I1621263126Al465156t 16671768186<5196ICI106
223 C3 7771C 2
71
D A D O S C E E N T R A D A
C C G RD SN A D AS CAS 110 C ID A D E Ss s z s sÄ tt 3 X S S S S S - â S S S 5 3 S K s : s a
0 0 2 0 5 *2 C 1C A 0 15 5 0c 25 7 0 30 3 c 35 9 0 AO 10 0K C 12 5 5 13 5 ' 10 IA 5 15 15 55 25 17 5 30 i e C 35 19 5 AC 20 5
1C C' 22 10 5 23 ió 10 2 A 10 15 25 101C 25 21 1C 30 2 £ 1C 35 29 10 AO 30 1015 C 32 15 5 33 15 10 3 A 15 15 35 151 5 2 5 37 15 30 38 15 35 39 15 AO AO 152 C 0 A 2 20 5 A 2 2 C 10 AA 20 15 A 5 202 C 2 5 A 7 20 30 A8 2 C 35 A9 20 AC 5'0 2025 C 5 2 25 5 53 25 10 5A 25 15 55 2525 25 57 25 30 5 £ 25 ■35 59 25 AC 60 253 C C 62 30 5 63 30 10 6 A 30 15 65 303C 2 5 67 3 C 30 óe 3 C 35 69 30 AC 70 3035 C 72 35 5 73 35 10 7A 3 5 15 75 353 c 25 77 35 3 0 78 35 35 79 35 AO 80 35AC 0 82 AO 5 63 AC 10 8 A AO 15 85 AOAO 25 87 AO . 30 88 AO 35 89 AO AC 90 AOA 5 C 9 2 A 5 5 93 A 5 10 9 A A 5 15 95 A5A 5 25 9 7 A5 30 9£ A 5 35 9 9 A 5 AO 100 A5
C 50 102 5 50 103 1C 50 1 CA 15 50 105 202 5 5 C 107 3 C 50 1C8 35 50 109 40 50 110 A5
P C L IG C fv C EX T ER N C« C S S 3 S S 3 S S S S S X S 3
2 3 A 5 6 7 £ 9 10 101102 103 10A 105 106 107 108 109 110 ICO
99 9£ 97 96 95 9A 93 92 91 8171 6 1 51 A l 21 21 11 1 2
S C L U C A C
32 A2 52 62
•as a * * « a s
72 82
I 3 ; : s
83
»
£A £5 86 87 88 89 90 8020 19 18 17 16 15 IA 2A 3 A AA 5 A í A í 5 66 6736 A í A 7 57 56 55 A5 35 25 2 6 2 7 28 29 39 A 976 75 7 A 73 63 53 A3 33 23 13 3 A 5 6 7
1C 3 1 CA 1 C 5 1 C6 107 108 109 110 100 99 98 97 9 É 95 9 A61 51 A l 31 21 1 1 1 2
C U S T C = £50
16
• i 1I t2 126313 64146515 66 16 6'7 17681869 196
1011 061 1 1I 161211261311 3614 11 4 61511 5616116 61711761 ö l18 61 911 96
20452045204520452045204520452045204520452045204520452045204520452045204520452045
U A D C S C E E N T R A C A
C U U R D EN A C A S CAS 2 00 C IC A C E S
0 C 2 0 5 3 0 10 4 0 15 5 00 2 5 7 0 30 a 0 35 9 0 40 10 05 C 12 5 5 13 5 10 14 5 15 15 55 25 17 5 30 18 5 35 19 5 40 20 5
10 C 22 10 5 23 ■ 10 10 24 10 15 25 1010 25 27 10 30 28 10 35 29 10 40 30 1015 C 32 15 5 33 15 10 34 15 15 35 1515 25 37 15 30 38 15 35 39 15 40 40 1520 C 42 20 5 43 20 10 44 20 15 45 2020 25 47 20 30 48 20 35 49 20 40 50 2025 C 52 25 5 53 25 10 54 25 15 55 2525 25 57 25 30 5â. 25 35 59 25 40 60 2530 C 62 30 5 63 30 10 ( 4 30 15 65 3030 25 67 30 30 68 30 35 69 30 40 70 3035 C 72 3 5 5 73 35 10 74 35 15 75 3535 25 77 35 30 là 35 35 79 35 40 80 3540 C 82 40 5 63 40 10 64 40 15. 85 4040 25 87 40 30 Ê8 40 35 89 40 40 90 4045 C 92 45 5 93 45 10 94 45 15 95 4545 25 97 4t> 30 98 45 35 99 45 40 100 4550 0 1 02 50 5 103 50 10 1C4 50 15 105 5050 25 107 . 50 30 1 C 8 50 35 1C9 50 40 110 5055 C 1 12 55 5 1 13 55 10 1 14 55 15 115 5555 25 11/ 55 30 1 18 55 35 1 19 55 40 120 55oO 0 122 60 5 123 60 10 124 60 15 125 6060 25 127 60 30 128 60 35 129 60 40 130 6065 . C 132 o 5 5 133 65 10 1 34 65 15 135 6565 25 137 ù 5 30 1 18 65 35 1 39 65 40 140 6570 0 142 70 5 143 70 10 144 70 15 145 7070 25 147 70 30 148 70 35 149 70 40 150 7075 C 152 75 5 1 53 75 10 154 75 15 155 7575 25 157 75 30 158 75 35 159 75 40 160 75ao C 162 80 5 163 80 10 164 80 15 165 80eo 25 167 80 30 168 80 35 169 60 40 170 8065 C 172 ü 5 5 173 65 10 1 74 85 15 175 3565 25 177 85 30 178 85 35 1 79 85 40 180 8590 C 182 90 5 1 £3 90 l ü 164 90 15 1 85 9090 25 l d 7 90 30 16b 90 35 169 90 40 190 9095 C 192 95 5 193 95 10 194 95 15 195 9595 25 197 95 30 198 95 35 199 95 40 2 00 95
P 0 L I G C N 0 EX TE F NO
2 3 4 5 6 7 t 9 10 2030 40 50 60 7 0 80 9 C IC O 110 1 2 0
130 140 150 160 170 180 190 2C0 199 1 98197 196 195 194 I e. 3 192 ' 191 181 17 1 16 1151 141 131 121 111 101 9 1 61 71 61
51 41 31 21 11 1 2
12 zz 32 42 5/ 62l a 5 1 86 l d 7 16 <3 l a V 179
29 19 lt í 1 7 16 15154 ló * . i o 5 166 167 157
5í> 66 76 86 96 10665 55 4 5 35 25 26
i s a 168 178 177 17o 17543 33 23 13 3 4
103 110 12C 13ü 140 150l d l 171 161 151 141 131
L L U C. A ü
72 62 92 102 112 122169 159 149 139 129 119
14 2 4 34 44 54 64147 137 127 117 107 97116 126 136 146 156 155
27 28 38 48 58 68174 173 163 152 1 4 ’ 133
5 6 7 é 9 10160 170 180 190 2C0 m121 U I 101 91 £1 71
132 142 X 52 162 172 182 1 83109 9 9 d9 79 6 9 59 49
74 84 94 104 114 124 13487 77 67 • 57 4 7 37 3c
145 135 125 115 105 95 8578 a a 9ô 1 oa u a 12Ö 13S
123 113 103 93 a 3 73 6320 30 4Ô 50 6 0 1o 8G
191 iHf 7 199 i* J3 192é 1 51 41 31 21 11 1
C U S T 0 = 1000