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Engenharia de Processos e Sistemas

Solução e Optimização de Modelos com Incertezas

Fernando Bernardo

Mar 2012� Modelação de incertezas

� Solução de modelos com parâmetros incertos: cálculo do valor esperado

� Técnicas de integração multidimensional

� Optimização e incertezas

2

Modelação, decisão e incertezas

� Dado o modelo

( , )

( , , ) 0

x f d

h x d

θθ

=⇔ =

x – variáveis de estado (previsões do modelo, incluindo índices de desempenho)d – variáveis de entrada que são graus de liberdade (decisões)

θ - parâmetros incertos

Questões:1. Como modelar as incertezas? Cenários discretos? Distribuições de probabilidade?

2. Qual o valor esperado de x face a θ? E o valor para o pior cenário? Se θseguir uma determinada distribuição de probabilidades, qual a correspondente distribuição para x?

3. E quanto às decisões d? Como devo decidir face às incertezas θ e tendo em consideração um dado objectivo relacionado com x?

3

Modelação, decisão e incertezas

� Dado o modelo

( , )

( , , ) 0

x f d

h x d

θθ

=⇔ =

Exemplos/aplicações:Modelação:� Qual o desempenho médio previsto de uma coluna de destilação, face a incertezas nos modelos ELV e/ou variabilidade na alimentação?� Qual o valor esperado da TIR de um projecto de investimento, face a incertezas nos modelos do processo, estimativa de custos e futuros cenários de mercado?Optimização:� Qual o plano óptimo de produção a 6 meses, face a incertezas na procura dos produtos e noutros parâmetros do modelo?� Qual o projecto óptimo de um reactor (volume, geometria, agitação) face a incertezas nos parâmetros cinéticos e de transf. massa?

→ Decido com base na previsão do desempenho médio ou de modo a precaver-me face ao pior cenário?

x – variáveis de estado (previsões do modelo, incluindo índices de desempenho)

d – variáveis de entrada que são graus de liberdade (decisões)

θ - parâmetros incertos

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Modelação das incertezas

Vamos começar pela modelação prévia das incertezas.

1. Parâmetros incertos descritos por cenários discretos:

{ }: ( ) , 1, ,i i ip w i Nθ θΘ = = = …

2. Função de densidade de probabilidade (FDP) contínua (e.g. normal):

{ }: ~ ( )jθ θ θΘ =

5

Valor esperado de x face a Θ:

{ }: ( ) , 1, ,i i ip w i Nθ θΘ = = = …

{ }: ~ ( )jθ θ θΘ =

1

( ) ( , )N

i i ii

E x w x dθΘ=

=∑

( ) ( , ) ( )E x x d j dθ θ θΘΘ

= ∫

Cálculo trivial. Difícil é definir um conjunto de cenários representativo

1.

2. Difícil: � integral de dimensão n, sendo n o nºde parâmetros incertos

� j(θ) de formato variável e c/ ou s/ parâmetros correlacionados

1

( ) ( , ) ( ) ( , )N

i i ii

E x x d j d w x dθ θ θ θΘ=Θ

= ∑∫ ≃

� Várias técnicas de integração. Maioria aproxima o integral a partir de N pontos de integração, com pesos wi:

Modelação das incertezas e valor esperado

6

� Exemplo para introduzir conceitos e ilustrar resultados

Sistema RPC (Reactor + Permutador de Calor)

Reacção muito exotérmica, necessário arrefecer mistura reagente num permutador externo

Exemplo

F1 T1

CA1

R

V, T1

F0

CA0

T0 T1

A

Tw2

Fw Tw1

T2

PC

7

Tabela 2.1. Modelo matemático do sistema RPC.

Balanço mássico à espécie A no reactor 0 0 0

1

(1 ) exp 0, (1 )A R A A A AE

F F x k C V C C xRT

− − − − = = −

Balanço entálpico ao reactor 0 0 1 1 1 2 0( ) ( ) ( ) 0p p R AF c T T F c T T H F x− − − + −∆ =

Equação de projecto do permutador de calor 1 2 2 1

1 1 21 2

2 1

( ) ( )( ) ,

ln

w wp lm lm

w

w

T T T TF c T T AU T T

T T

T T

− − −− = ∆ ∆ =

−−

Balanço entálpico ao permutador de calor 1 1 2 2 1( ) ( )p w pw w wF c T T F c T T− = −

Limites nas temperaturas (K) 1 2 2311 389, 311 389, 294 323wT T T≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤

Restrições nas temperaturas no permutador 1 2 2 1

1 2 2 1

0, 0

11.1, 11.1w w

w w

T T T T

T T T T

− ≥ − ≥− ≥ − ≥

Restrição na conversão de A 0.9Ax ≥

Função custo anual (k$/ano) 0.7 0.61691.2 873.6 1.76 7.056wC V A F F= + + +

Função lucro anual (k$/ano) 15000 AP x C= −

Variáveis: V – volume do reactor (m3) A – área de transferência de calor do permutador (m2) F1 – caudal da mistura reagente no permutador (kmol/h) Fw – caudal de água de arrefecimento (kg/h) xA – conversão de A no reactor T1 – temperatura do reactor (K) T2 – temperatura da mistura reagente após arrefecimento (K) Tw2 – temperatura de saída da água de arrefecimento (K)

F1 T1

CA1

R

V, T1

F0

CA0

T0 T1

A

Tw2

Fw Tw1

T2

PC

8

F1 T1

CA1

R

V, T1

F0

CA0

T0 T1

A

Tw2

Fw Tw1

T2

PC

Tabela 2.2. Parâmetros do modelo RPC.

CA0 Concentração de A na alimentação 32.04 kmol/m3 F0 Caudal da alimentação (A puro) 45.36 kmol/h T0 Temperatura da alimentação 333 K Tw1 Temperatura de entrada da água de arrefecimento 293 K kR Pré-exponencial de Arrhenius 12 h−1 U Coeficiente global de transferência de calor no permutador 1635 kJ/(m2.h.K) E/R Razão entre a energia de activação e a constante dos gases perfeitos 555.6 K

∆HR Entalpia da reacção −23 260 kJ/kmol cp Calor específico da mistura reagente 167.4 kJ/(kmol.K) cpw Calor específico da água de arrefecimento 4.184 kJ/(kg.K)

9

F1 T1

CA1

R

V, T1

F0

CA0

T0 T1

A

Tw2

Fw Tw1

T2

PC

Modelo:- Bal. mássico a A no reactor- Bal. entálpico ao reactor- Eq. projecto PC- Bal. entálpico ao PCParâmetros: kR, U, …

Calcula-se os estados xA, T1, T2 e Tw2

Sistema NL de 4 eqs.

Dados V, A, T0, F1, Fw e Tw1

Simples Simulação

H∗ Simple simulation ∗L

V = 4.; H∗ m3 ∗L

A = 5.; H∗ m2 ∗L

kR = 12.; H∗ h−1 ∗L

U = 1635.; H∗ kJêHm2.h.KL ∗L

F1 = 75.; H∗ kmolêh ∗L

Fw = 4200.; H∗ kgêh ∗L

Tw1 = 293.; H∗ K ∗L

aux = ModuleRHE@V, A, kR, U, T0, F1, Fw, Tw1D;

Print@"8xA,T1,T2,Tw2,Profit< = ", auxD

8xA,T1,T2,Tw2,Profit< = 80.890774, 389.925, 349.496, 321.885, 1321.78<

10

F1 T1

CA1

R

V, T1

F0

CA0

T0 T1

A

Tw2

Fw Tw1

T2

PC


Agora com parâmetros incertos

kR = 12 ± 20% (h−1)U = 1635 ± 30% (kJ/(m2.h.K))


1. Modelo de cenários

2125.5

1635

1144.5

kR (h-1)

9.6 12 14.4

1

U (kJ/(m2.h.K)

2 3

4

5

5

1

( ) ( , )A i Ai ii

E x w x dθ=

=∑

Probabilidade wi = {0.6,0.1,0.1,0.1,0.1}

11

2125.5

1635

1144.5

kR (h-1)

9.6 12 14.4

1

U (kJ/(m2.h.K)

2 3

4

5

5

1

( ) ( , ) 0.8894A i Ai Ri ii

E x w x k U=

= =∑

Probabilidade wi = {0.6,0.1,0.1,0.1,0.1}

� Resultados

wi xA T1HKL T2HKL Tw2HKL1 0.6 0.890774 389.925 349.496 321.8852 0.1 0.905644 384.685 339.837 325.0423 0.1 0.910558 401.036 365.664 318.2724 0.1 0.8634 381.44 338.179 323.9085 0.1 0.870152 397.393 363.214 317.42

12

2. Modelo de distribuições contínuas de probabilidade

kR = 12 ± 20% (h−1)µ = 12, σ =0.2*µ/3

U = 1635 ± 30% (kJ/(m2.h.K))µ = 1635, σ =0.3*µ/3

Truncatura a 3-s

kR e U seguem distribuições normais:

Uma variável:

Duas variáveis

11 12 13 14kR Hh-1L

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

9.6 a 14.4

2

1/ 2 2

1 ( )( ) exp

(2 ) 2Nj

θ µθπ σ σ

−= −

2 21 1 2 2 1 1 2 2

1 2 2 2 221 21 21 2

( ) ( ) 2 ( )( )1 1( , ) exp

2(1 )2 1Nj

θ µ θ µ ρ θ µ θ µθ θσ σρ σ σπσ σ ρ

− − − −= − + − − −

13

2. Modelo de distribuições contínuas de probabilidade

( ) ( , ) ( , )A A R R RE x x k U j k U dk dU+∞ +∞

−∞ −∞

= ∫ ∫

Para n parâmetros incertos, o integral é de dimensão n. Difícil de estimar.

kR = 12 ± 20% (h−1)µ = 12, σ = 0.2*µ/3

U = 1635 ± 30% (kJ/(m2.h.K))µ = 1635, σ = 0.3*µ/3

Para calcular valor esperado de xA énecessário calcular o integral:

14

Técnicas de integração. Uma só dimensão

� Regra dos trapézios: pontos igualmente espaçados; sucessivas interpolações lineares.

� Regra de Simpson: mesma ideia, mas sucessivas interpolações quadráticas

Na expressão geral:

Os pesos wi ficam automaticamente determinados (wi = h, excepto para os extremos)

� Quadratura de Gauss. A ideia base é mais ambiciosa: podemos escolher os pontos e também os respectivos pesos.

2

1

( ) ( )( ) ( ) ,

2 1

b N

ka

f a f b b af x dx h f a kh h

N

−

=

+ −= + + = − ∑∫

1

( ) ( )b N

i iia

f x dx w f x=∑∫ ≃

15


� Quadratura de Gauss. A ideia base é mais ambiciosa: podemos escolher os pontos e também os respectivos pesos.

Deste modo, consegue-se maior exactidão polinomial com menos pontos. Por exemplo, com apenas 2 pontos tem-se exactidão de grau 3.

Por detrás desta eficiência estão polinómios ortogonais. No caso de polinómios de Legendre, obtemos a famosa quadratura de Gauss-Legendre.

“An n-point Gaussian quadrature rule, named after Carl Friedrich Gauss, is a quadrature rule constructed to yield an exact result for polynomials of degree 2N − 1 or less by a suitable choice of the points ui and weights wi

for i = 1,...,N. The domain of integration for such a rule is conventionally taken as [−1, 1], so the rule is stated as

1

11

( ) ( )N

i ii

f u du w f u=−∑∫ ≃

16


1

11

[ 1;1] [ ; ]

(1)2 2

( ) ( ) ( ), com dado por (1)2 2

i i

b N

i i iia

u x a b

b a b ax u

b a b af x dx f x du w f x x

=−

∈ − → ∈+ −= +

− −= ∑∫ ∫ ≃

� Mudança de intervalo

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� O caso que nos interessa é mais complicado:

- Dimensão elevada (n = nº de parâmetros incertos)

- O integrando é (função-desempenho do modelo) x (função de densidade de probabilidade)

( ) ( , ) ( , )A A R R RE x x k U j k U dk dU+∞ +∞

−∞ −∞

= ∫ ∫

Técnicas de integração. Dimensão n

� A técnica mais imediata consiste em aplicar uma fórmula de integração (e.g. quadratura de Gauss-Legendre) a cada uma das dimensões, obtendo-se uma fórmula denominada de cubatura-produto.

� 5 pontos em cada dimensão → 25 pontos para n = 2

� Exactidão polinomial de grau 9, relativamente ao integrando total: Ax j×

-0.5 0.0 0.5

-0.5

0.0

0.5

( )1 3 1 3Ponto ; com peso u u w w

18

Cubaturas-produto

� Para integrarmos na região de interesse temos de fazer a translação dos pontos padrão em [-1;1]n para o espaço de interesse (espaço das incertezas). � Para cada dimensão:

E considerando truncatura da dist. normal a 3σ:2 2

U L U L

uθ θ θ θθ + −= +

3 ; 3L Uθ µ σ θ µ σ= − = +

� Obtém-se então: 3 uθ µ σ= +

-0.5 0.0 0.5

-0.5

0.0

0.5

10 11 12 13 14

1200

1400

1600

1800

2000

kRHh-1L

UHk

JêHm

2 .h.

KL

19

� Estes 25 pontos são uma representação aproximada do espaço probabilístico original e permitem estimar o valor esperado de xA

25

1

25

1

( ) ( , ) ( , )

( , ) ( , )2 2

( , ) 0.9006

A A R R R

U L U LR R

i Ai Ri i i Ri ii

Ti Ai Ri ii

E x x k U j k U dk dU

k k U Uw x k U j k U

w x k U

+∞ +∞

−∞ −∞

=

=

=

− −

= =

∫ ∫

∑

∑

≃

kRi Ui wTi xA9.82517 1190.52 0.00004962 0.8724229.82517 1370.88 0.00109447 0.8709049.82517 1635. 0.00479609 0.8689999.82517 1899.12 0.00109447 0.8673949.82517 2079.48 0.00004962 0.86643610.7077 1190.52 0.00109447 0.88200710.7077 1370.88 0.0241407 0.88058510.7077 1635. 0.105787 0.878810.7077 1899.12 0.0241407 0.87729510.7077 2079.48 0.00109447 0.87639712. 1190.52 0.00479609 0.89370812. 1370.88 0.105787 0.89240712. 1635. 0.463572 0.89077412. 1899.12 0.105787 0.88939612. 2079.48 0.00479609 0.88857313.2923 1190.52 0.00109447 0.90330213.2923 1370.88 0.0241407 0.90210413.2923 1635. 0.105787 0.90059913.2923 1899.12 0.0241407 0.89932813.2923 2079.48 0.00109447 0.89856914.1748 1190.52 0.00004962 0.90891714.1748 1370.88 0.00109447 0.90778114.1748 1635. 0.00479609 0.90635314.1748 1899.12 0.00109447 0.90514714.1748 2079.48 0.00004962 0.904427

20

Para n parâmetros incertos tem-se 5n pontos. Para n = 10, 510 ~ 107

pontos! Fórmulas do tipo produto tornam-se impraticáveis para n grande.

� Para distribuições normais, é possível construir cubaturas-produto mais eficientes (com menos pontos), a partir da quadratura de Gauss-Hermite, própria para integrais com função peso g(u) = exp(−u2).

2( )exp( )f u u du+∞

−∞

−∫

� 3 pontos em cada dimensão → 3n pontos para dimensão n

� Exactidão polinomial de grau 5, relativamente a f(u)

Cubaturas-produto

21

� Exemplo 2D� Exemplo 2D

3 pontos de Gauss-Hermite em cada dimensão → total de 32 pontos

Pontos numa dimensão: 6 6, 0,

2 2−

Pesos respectivos: 1 2 1, ,

6 3 6

( )Ponto 6 / 2;0 com peso 1/ 6 2 / 3×

-1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

22

� Exemplo 2D

Transformação para o espaço de interesse

-1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

Este 9 pontos representam bem o espaço probabilístico

10 11 12 13 14

1200

1400

1600

1800

2000

kRHh-1L

UHk

JêHm

2 .h.

KL

Pontos u normalizados (de Gauss-Hermite)

9

1

( ) ( , )

0.8904

A i Ai Ri ii

E x w x k U=

=

∑≃wi xA0.0277778 0.8797730.111111 0.8778330.0277778 0.8762180.111111 0.8925370.444444 0.8907740.111111 0.8893040.0277778 0.9028560.111111 0.901240.0277778 0.899893

2 uθ µ σ= + ×

Para cada dimensão:

23

Sem correlação

10 11 12 13 14

1200

1400

1600

1800

2000

kRHh-1L

UHk

JêHm

2 .h.

KL

10 11 12 13 14

1200

1400

1600

1800

2000

kRHh-1L

UHk

JêHm

2 .h.

KL

� Possível lidar com correlações

Correlação positiva ρ = 0.6

24

� Até agora vimos fórmulas de integração do tipo cubatura-produto:

- Gauss-Legendre, aplicável a qq dist. de probabilidades e com N = 5n pontos

- Gauss-Hermite, para dist. normais e N = 3n

As cubaturas genuínas são construídas de raiz para um espaço multidimensional.

� As cubaturas construídas para integrar no n-cubo (adequadas para qq dist. de prob.) só são úteis em pequenas regiões; podem construir-se fórmulas compostas dividindo-se o n-cubo em subdomínios (tópico aqui não tratado)

� Há cubaturas construídas para o integral

Possível transformá-las para estimar o valor esperado face a distribuições normais de dimensão n

( )exp( ) , T nf u u u du u+∞

−∞

− ∈∫ ℝ

Cubaturas genuínas

25

Cubatura especializada SC51

� Uma desta cubaturas especializadas (designada por SC51) tem apenas N = 2n +2n pontos (válida para n ¥ 3, exactidão polinomial de grau 5)

Para n = 3

1/ 22

( ) Iu uθ µ= + Σ

Transformação para o espaço de interesse

Espaço U

-10

1

-1

0

1

-1

0

1

26

Esta fórmula é competitiva para dimensões n até ~8-10.

Para n=10, N = 210 + 2 x 10 = 1044 pontos. Para esta ordem de grandeza, as técnicas de amostragem começam a ser mais vantajosas (veremos isto mais adiante).

Vejamos a aplicação da cubatura SC51 para n = 4

F1 T1

CA1

R

V, T1

F0

CA0

T0 T1

A

Tw2

Fw Tw1

T2

PC


kR = 12 ± 20% (h−1)U = 1635 ± 30% (kJ/(m2.h.K))T0 = 333 ± 5 K, σ = 5 K/3Tw1 = 293 ± 5 K, σ = 5 K/3


distribuições normais

Cubatura especializada SC51

27

Resultados usando a fórmula SC51, N = 24 + 2 x 4 = 24 pontos

i kR U T0 Tw1 wi xA T1HKL T2HKL Tw2HKL1 13.3856 1635. 333. 293. 0.111111 0.90124 390.786 349.998 322.1412 12. 1918.19 333. 293. 0.111111 0.889304 385.86 343.096 323.5533 12. 1635. 335.887 293. 0.111111 0.891395 391.685 350.522 322.4094 12. 1635. 333. 295.887 0.111111 0.891203 391.139 351.408 324.2735 10.6144 1635. 333. 293. 0.111111 0.877833 388.861 348.876 321.5676 12. 1351.81 333. 293. 0.111111 0.892537 394.985 357.468 319.8047 12. 1635. 330.113 293. 0.111111 0.890143 388.165 348.47 321.368 12. 1635. 333. 290.113 0.111111 0.89034 388.711 347.585 319.4969 13.3856 1918.19 335.887 295.887 0.00694444 0.900874 389.66 346.475 326.7410 13.3856 1918.19 335.887 290.113 0.00694444 0.900028 387.097 342.434 322.02311 13.3856 1918.19 330.113 295.887 0.00694444 0.899759 386.294 344.66 325.63312 13.3856 1918.19 330.113 290.113 0.00694444 0.898889 383.729 340.617 320.91513 13.3856 1351.81 335.887 295.887 0.00694444 0.903767 398.842 360.969 322.94614 13.3856 1351.81 335.887 290.113 0.00694444 0.90308 396.599 357.427 318.115 13.3856 1351.81 330.113 295.887 0.00694444 0.90263 395.154 358.637 321.97616 13.3856 1351.81 330.113 290.113 0.00694444 0.901922 392.909 355.094 317.1317 10.6144 1918.19 335.887 295.887 0.00694444 0.877417 387.809 345.477 326.13118 10.6144 1918.19 335.887 290.113 0.00694444 0.876382 385.232 341.428 321.40919 10.6144 1918.19 330.113 295.887 0.00694444 0.876053 384.424 343.651 325.01720 10.6144 1918.19 330.113 290.113 0.00694444 0.874989 381.844 339.6 320.29521 10.6144 1351.81 335.887 295.887 0.00694444 0.88089 396.866 359.719 322.42622 10.6144 1351.81 335.887 290.113 0.00694444 0.880048 394.609 356.169 317.57723 10.6144 1351.81 330.113 295.887 0.00694444 0.879497 393.155 357.374 321.45124 10.6144 1351.81 330.113 290.113 0.00694444 0.878629 390.897 353.822 316.601

pontos de integração

pesos resultados

24

0 11

( ) ( , , , ) 0.8904A i Ai Ri i i w ii

E x w x k U T T=

=∑≃

28

24

0 11

( ) ( , , , ) 0.8904A i Ai Ri i i w ii

E x w x k U T T=

=∑≃

kR = 12 ± 20% (h−1)U = 1635 ± 30% (kJ/(m2.h.K))

9

1

( ) ( , ) 0.8904A i Ai Ri ii

E x w x k U=

=∑≃

kR = 12 ± 20% (h−1)U = 1635 ± 30% (kJ/(m2.h.K))T0 = 333 ± 5 K, σ =5 K/3Tw1 = 293 ± 5 K, σ =5 K/3

Então o valor esperado não se altera?

A variabilidade é provavelmente maior, mas havendo simetria o valor esperado pode ser semelhante.

É então necessário caracterizar melhor a variabilidade das saídas.

Comparação de resultados para dois cenários de incerteza

29

1

2 2 2 2

1

1/ 22

1

( ) ( ) ( ) ( )

( ) [ ( ) ] ( ) ( ( ) )

( ( ) )

N

x i i ii

N

x x x i i i xi

N

x i i i xi

E x x j d w x

E x x j d w x

w x

µ θ θ θ θ

σ µ θ µ θ θ θ µ

σ θ µ

Θ=Θ

Θ=Θ

=

= =

= − = − −

−

∑∫

∑∫

∑

≃

≃

≃

Podemos usar a mesma fórmula de integração

Cálculo do desvio padrão

30

kR = 12 ± 20% (h−1)U = 1635 ± 30% (kJ/(m2.h.K))


O acréscimo de variabilidade tem mais impacto em T1 do que em xA.

Nova comparação de resultados

31

Integração por amostragem

Nas fórmulas até agora apresentadas, o nº de pontos cresce exponencialmente com a dimensão n.

n SC51: N=2n+2n GHP5: N=5n

3 14 1254 24 6255 42 31256 76 156257 142 781258 272 3906259 530 195312510 1044 9765625

Fórmula produto Gauss-Legendre: aplicável a qqintegrando e logo qqdist. de prob.

Cubatura especializada: apenas p/ dist. normais

Se o nº de pontos excede 1000-5000, a integração por amostragem pode ser mais eficiente (menos pontos para exactidão equivalente)

32


1

1( ) ( ) ( ) ( )

N

i ii

E x x j d xN

θ θ θ θΘ=Θ

= ∑∫ ≃

Selecciona-se uma amostra de N pontos no espaço de integração e estima-se o integral simplesmente como:

10 11 12 13 14

1200

1400

1600

1800

2000

kRHh-1L

UHk

JêHm

2 .h.

KL

33


2 grandes grupos de técnicas

� Monte Carlo

- Puramente aleatória (e.g. resultados c/ uma amostra de 100 pontos aleatórios variam muito de amostra para amostra)

- Técnicas de redução da variância (a mais simples éfazer várias amostragens do mesmo tamanho e calcular os resultados médios)

� Quasi-Monte Carlo: métodos baseados em teoria dos números (são deterministas)

- Em particular, mostra-se que são eficientes amostras com pouca discrepância, ou seja, pontos distribuídos de forma tendencialmente homogénea no espaço de interesse. Mas não uma grelha uniforme!Um dos melhores métodos é baseado na sequência de números de Hammersley (Amostragem HSS, HammersleySequence Sampling)

10 11 12 13 14

1200

1400

1600

1800

2000

kR Hh-1L

UHk

JêHm

2 .h.KL

10 11 12 13 14

1200

1400

1600

1800

2000

kRHh-1L

UHk

JêHm

2 .h.

KL

34


Podemos retirar amostras num domínio com distribuição uniforme

distribuição normal

distribuição normal c/ correlação

Ou outro tipo qq de distribuição!

10 11 12 13 14

1200

1400

1600

1800

2000

kR Hh-1L

UHk

JêHm

2 .h.KL

10 11 12 13 14

1300

1400

1500

1600

1700

1800

1900

2000

kR Hh-1L

UHk

JêHm

2 .h.KL

10.511.011.512.012.513.013.514.0

1300

1400

1500

1600

1700

1800

1900

2000

kR Hh-1LUHk

JêHm

2 .h.KL

35

Comparação da eficiência de várias técnicas

4 parâmetros incertos e normais


Cubatura SC51 c/ apenas 24 pontos

Monte Carlo

Hammersley

Grosso modo, a cubaturaSC51 (dist. normal) écompetitiva até n ~ 8-10

36

Amostragem e distribuição de probabilidades à saída do modelo

A amostragem pode ser mais pesada mas fornece naturalmente mais informação.

Com os resultados à saída do modelo, podemos construir os respectivos histogramas (Hammersley com N=500):

xA T1

T2Tw2

37

Amostragem e distribuição de probabilidades à saída do modelo

Com distribuições uniformes à entrada os resultados são naturalmente muito diferentes.

xA


distribuiçõesnormais

distribuiçõesuniformes

xA

38

Resumo do que vimos até aqui

� Podemos modelar incertezas com cenários discretos ou distribuições de probabilidade

� No segundo caso, o cálculo do valor esperado de uma variável de saída do modelo é um integral de dimensão n, que se pode estimar a partir de um conjunto discreto de N pontos de integração

{ }: ( ) , 1, ,i i ip w i Nθ θΘ = = = …

1

2 2 2 2

1

( ) ( ) ( ) ( )

( ) [ ( ) ] ( ) ( ( ) )

N

x i i ii

N

x x x i i i xi

E x x j d w x

E x x j d w x

µ θ θ θ θ

σ µ θ µ θ θ θ µ

Θ=Θ

Θ=Θ

= =

= − = − −

∑∫

∑∫

≃

≃

39

Resumo do que vimos até aqui

� Existem várias técnicas de integração: cubatura-produto, cubatura genuína, amostragem (aleatória ou baseada na teoria de números)

� Para distribuições normais, a cubaturaespecializada SC51 é muito competitiva atédimensão ~8-10

� No caso geral de uma outra qq distribuição, e para n >~6, a integração por amostragem éprovavelmente a melhor técnica. A amostragem de Hammersley produz amostras de baixa discrepância e muito mais eficientes do que a amostragem aleatória de Monte Carlo(boas estimativas do integral com poucos pontos)

10 11 12 13 14

1300

1400

1500

1600

1700

1800

1900

2000

kR Hh-1LUHk

JêHm

2 .h.KL

-10

1

-1

0

1

-1

0

1

40

Já respondemos à questão 1 e parte da 2.

Questões iniciais

� Dado o modelo

( , )

( , , ) 0

x f d

h x d

θθ

=⇔ =

x – variáveis de estado (previsões do modelo, incluindo índices de desempenho)d – variáveis de entrada que são graus de liberdade (decisões)θ - parâmetros incertos

Questões:1. Como modelar as incertezas? Cenários discretos? Distribuições de probabilidade?2. Qual o valor esperado de x face a θ? E o valor para o pior cenário? Se θ seguir uma determinada distribuição de probabilidades, qual a correspondente distribuição para x?3. E quanto às decisões d? Como devo decidir face às incertezas θ e tendo em consideração um dado objectivo relacionado com x?

41

Já calculámos o valor esperado de xA. Para averiguar qual o pior cenário, podemos olhar para o histograma de xA (com 500 pontos)

Análise do pior cenário

F1 T1

CA1

R

V, T1

F0

CA0

T0 T1

A

Tw2

Fw Tw1

T2

PC



kR = 12 ± 20% (h−1)U = 1635 ± 30% (kJ/(m2.h.K))

xA (pior cenário) ~ 0.865

42

Mas não necessitamos de calcular o histograma. Podemos antes resolver o problema de optimização (para variáveis de projecto V e A fixas)

Análise do pior cenário

,min

. .R

Ak U

x

s t eqs. do modelo + restrições

Limites nas temperaturas (K)

1 2 2311 389, 311 389, 294 323wT T T≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤

Restrições nas temperaturas no permutador

1 2 2 1

1 2 2 1

0, 0

11.1, 11.1w w

w w

T T T T

T T T T

− ≥ − ≥− ≥ − ≥

kR = 12 ± 20% (h−1)U = 1635 ± 30% (kJ/(m2.h.K))

V = 4.;

A = 5.;

F1 = 75.;

Fw = 4200.;

F1 T1

CA1

R

V, T1

F0

CA0

T0 T1

A

Tw2

Fw Tw1

T2

PC

Da solução do problema de optimização, obtém-se xA,min = 0.8644, para kR = 9.6 e U = 1936.

43

Finalmente, vamos abordar a questão de como optimizar o sistema, atendendo a incertezas nos parâmetros do modelo.

Consideramos o problema de projecto: determinar V e A, que maximizam o lucro P e atendendo à variabilidade em kR e U.

Incertezas e optimização

F1 T1

CA1

R

V, T1

F0

CA0

T0 T1

A

Tw2

Fw Tw1

T2

PC

0.7 0.61691.2 873.6 1.76 7.056wC V A F F= + + +

15000 AP x C= −

1, , ,max

. .

0.9

wV A F F

A

P


x

≥

Mas xA e P variam consoante os valores dos parâmetros incertos kR e U…

44

Há que definir um critério de decisão face a incertezas.

O mais simples de implementar é o critério de optimizar o valor esperado do desempenho (neste caso o lucro).

Critérios baseados no pior cenário são mais difíceis de concretizar do ponto de vista do problema de optimização (e.g. optimizar V e A tal que o pior cenário seja ainda assim superior a um limiar mínimo).


F1 T1

CA1

R

V, T1

F0

CA0

T0 T1

A

Tw2

Fw Tw1

T2

PC

Formulação para optimização do valor esperado do desempenho:

1, , ,max ( )

. .

0.9

wV A F F

A

E P


x

Θ

≥

As eqs do modelo e restrições devem contemplar o espaço das incertezas.

45

Já sabemos como calcular o valor esperado de P.

Usando a cubatura-produto especializada com 9 pontos, tem-se


As eqs. do modelo têm de se verificar para todos os cenários i (9 x 4 eqs)

Quanto às restrições:

• têm tb. de se verificar nos 9 cenários i

• Se quisermos garantir que as restrições se verifiquem na totalidade do espaço das incertezas, devemos ainda adicionar os vértices do espaço das incertezas (truncado a 3σ)

10 11 12 13 14

1200

1400

1600

1800

2000

kRHh-1L

UHk

JêHm

2 .h.

KL

90.7 0.6

11

( ) 15000 (691.2 873.6 1.76 7.056 )i Ai wi

E P w x V A F F=

− + + +∑≃

46

A formulação de optimização é então:


1

90.7 0.6

1, , , 1

,

Cenários i: 9 pontos de integração + 4 vértices ( 0 para os vértices)

max 15000 (691.2 873.6 1.76 7.056 )

. . eqs. do modelo indexadas em i

0.88

Outras r

w

i

i Ai wV A F F i

A i

w

w x V A F F

s t

x

=

=

− + + +

≥

∑

estrições, tb. indexadas em i

Relaxamos um pouco o limite inicial de 0.9, permitindo conversões menores para os cenários menos favoráveis

F1 T1

CA1

R

V, T1

F0

CA0

T0 T1

A

Tw2

Fw Tw1

T2

PC

Limites para os caudais:F1N=75.;F1.l=1;F1.lo=0.7;F1.up=1.3;FwN=4200;Fw.l=1;Fw.lo=0.7;Fw.up=1.3;

47

A formulação de optimização é então:


• Estamos aqui a considerar uma política de controlo rígido: valores únicos (a optimizar) para caudais F1 e Fw, q têm de suportar toda a variabilidade. Chama-se a isto optimização robusta face a incertezas.

• De facto, se o sistema for devidamente controlado, os caudais F1 e Fw podem ser ajustados aos reais valores de kR e U. O pressuposto de controlo perfeito, admite que esse ajuste é óptimo. Fala-se então em optimização com ajuste óptimo de (alguns) graus de liberdade às diferentes concretizações dos parâmetros incertos.

1

90.7 0.6

1, , , 1

,


max 15000 (691.2 873.6 1.76 7.056 )


0.88

Outras re

w

i

i i wV A F F i

A i

w

w x V A F F

s t

x

=

=

− + + +

≥

∑

strições, tb. indexadas em i

F1 T1

CA1

R

V, T1

F0

CA0

T0 T1

A

Tw2

Fw Tw1

T2

PC

48

A formulação de optimização c/ controlo perfeito é:


1

130.7 0.6

1, , , 1

,


max 15000 (691.2 873.6 1.76 7.056 )


0.88

Outras

i wi

i

i i wV A F F i

A i

w

w x V A F F

s t

x

=

=

− + + +

≥

∑

restrições, tb. indexadas em i

F1 T1

CA1

R

V, T1

F0

CA0

T0 T1

A

Tw2

Fw Tw1

T2

PC

A única mas importante diferença são os caudais

indexados em i: F1i e Fwi

Ou seja, admitimos que os caudais se ajustam a cada cenário de incerteza i

Em vez de dois graus de liberdade, temos 2+2x13 graus de liberdade!

49


F1 T1

CA1

R

V, T1

F0

CA0

T0 T1

A

Tw2

Fw Tw1

T2

PC

E(P) = -1134 k$/ano (NEGATIVO !) Volume = 4.8137 m3

Area = 9.0058 m2

Flow1 = 58.55 kmol/hFloww = 5079.5 kg/hMeanxA = 0.90408SigmaxA = 0.006029

E(P) = 643.8 k$/anoVolume = 4.6981 m3

Area = 7.1817 m2

MeanxA = 0.90413SigmaxA = 0.005987

Os resultados são, neste caso, drasticamente diferentes.

Controlo rígido:

→ O sistema torna-se economicamente inviável quandoexigimos que suporte toda a incerteza sem ajuste dos caudaisF1 e Fw

→ Com o ajuste dos caudais, o sistema tem agora um desempenho muito melhor

Controlo perfeito:

50


F1 T1

CA1

R

V, T1

F0

CA0

T0 T1

A

Tw2

Fw Tw1

T2

PC

P = 1270 k$/anoVolume = 4.43 m3

Area = 5.35 m2

xA = 0.900

E(P) = 643.8 $/anoVolume = 4.6981 m3

Area = 7.1817 m2

MeanxA = 0.90413SigmaxA = 0.005987

Comparação com a solução determinista (ignorando incertezas)

Solução determinista

Os níveis de sobredimensionamento para suportar as incertezas são calculados de forma racional. Esta éuma das principais vantagens do tratamentosistemático e quantitativo das incertezas.

Solução considerando incertezas (controlo perfeito)

51

ExercícioConsidere a rede de produção de C a partir de A:

O produto intermédio B é produzido por três processos diferentes (P1, P2 e P3) e pode ainda ser comprado ao exterior (quantidade Bc). Os custos de A e B são de 400 e 500 EUR/ton, respectivamente. O produto C évendido a 900 EUR/ton. Os custos de operação dos 4 processos (EUR/h) são, respectivamente: 50 + 10A1; 40 + 7A2; 70+8A3 e 90+15(B+Bc). Todos os caudais (A1, A2,…) são medidos em ton/h. Tem-se ainda as seguintes condições:

(i) Conversões globais dos 4 processos, respectivamente iguais a: 0.95; 0.85; 0.99 e 0.90;

(i) Limites nas capacidades: 3 ≤A1≤6, 3≤A2≤8 e 2≤A3≤5 (ton/h);(ii) Disponibilidades máximas de A e B, respectivamente iguais a 20 e 10 ton/h;

(iii) Procura de C estimada em 18 ton/h.

52

a) Determine o plano óptimo de operação que maximiza o lucro.

max Lucro = 900*C - 400*A - 500*Bc -[(50+10*A1)+(40+7*A2)+(70+8*A3)+(90+15*(B+Bc))]s.a. B1=0.95*A1, B2=0.85*A2, B3=0.99*A3, C=0.90*(B+Bc)

A = A1+A2+A3B = B1+B2+B3A § 20, Bc § 10, 3 § A1 § 6, 3 § A2 § 8, 2 § A3 § 5, C § 18

Decisões: A1, A2, A3, Bc

53

b) Resolva o problema anterior, contemplando a condição adicional: caso seja necessário comprar B, a quantidade mínima deve ser de 5 ton/h.

se y = 0, então Bc = 0; se y = 1, então 5 § Bc § 10.

Adicionar restrição: 5y § Bc § 10y

54

c) Considere agora que a procura de C é incerta, sendo descrita por 3 cenários, com valores {16; 18; 20} (ton/h) e respectivas probabilidades de ocorrência {0.4; 0.5; 0.1}. Admitindo que o plano de operação pode ser ajustado a cada um destes possíveis cenários, reformule e resolva o problema da alínea a), sendo agora o objectivo a maximização do lucro esperado, face à incerteza na procura do produto C.

Seja Pri os cenários de procura, i=1,2,3, e pi a respectiva probabilidade de ocorrência. Todas as variáveis são indexadas em i, pois admitimos um plano de produção ajustável a cada concretização dos parâmetros incertos.

3

1 , 2 , 3 , 1

900 400 500 [(50 10 1 ) (40 7 2 ) ...]

max

. . Restrições indexadas em i, incluindo

Pr

5 10

i i i i

i i i i i

i iA A A Bc i

i i

i i i

Lucro C Ai Bc A A

LucroEsperado p Lucro

s a

C

y Bc y

=

= − − − + + + +

=

≤≤ ≤

∑

55

d) E se for antes desejável uma optimização robusta face à procura incerta? Qual é neste caso o plano óptimo e o lucro máximo?

3

1, 2, 3, 1

max

900 400 500 [(50 10 1) (4 7 2) ...]

(pois o lucro não depende do parâmetro incerto Pr )

. . Restrições simples, não i

i iA A A Bc i

i

LucroEsperado p Lucro

Lucro C A Bc A A

s a

==

= = − − − + + + +

∑

ndexadas em i, excepto:

Pr , i=1,2,3iC ≤ 16

18 16

20

C

C C

C

≤ ≤ ⇔ ≤ ≤

Ou seja, neste caso, a optimização robusta é equivalente à optimização face ao pior cenário possível (procura de C igual a 16 ton/h)

56

Soluções:

Caudais (ton/h)

A1 A2 A3 Bc Lucro (EUR/h)

a) Formulação de partida 6 8 5 2.55 6619

b) Bc = 0 EOR Bc >= 5 ton/h 6 5.118 5 5 6567

c) Pr = {16;18;20} ton/h,

plano com controlo óptimo 6; 6; 6 8; 5.118; 7.732 5; 5; 5 0; 5; 5 6357*

d) Pr = {16;18;20} ton/h,

plano robusto 6 8 5 0 5867

* Valor esperado

57

Questões de partida

• É possível modelar de forma racional as incertezas inerentes a um dado problema e/ou modelo

• Aplicando técnicas de integração e de optimização, pode analisar-se o impacto dessas incertezas nos desempenhos previstos e optimizar graus de liberdade de forma equilibrada.

• Em suma, se quantificarmos aquilo que não sabemos, podemos

1. avaliar o impacto dessa ignorância;

2. tomar decisões mais equilibradas;

3. identificar os subproblemas onde é mais crítica a aquisição de conhecimento adicional (conceito de valor da informação, tópico não tratado nesta aula)

Conclusões

1. Como modelar as incertezas? Cenários discretos? Distribuições de probabilidade?2. Qual o valor esperado de x face a θ? E o valor para o pior cenário? Se θ seguir uma determinada distribuição de probabilidades, qual a correspondente distribuição para x?3. E quanto às decisões d? Como devo decidir face às incertezas θ e tendo em consideração um dado objectivo relacionado com x?

solução e optimização de modelos com incertezas - …nuno/eps/conteudos/aula13/eps_solucao...2...

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