ARMÓNICOS1.-Introducción.2.-Forma trigonométrica de la Serie de Fourier.3.-Desarrollo en Serie de Fourier de una función.

3.1.-Condiciones de convergencia.3.2.-Determinación de los coeficientes.3.3.-Simetría de las Formas de Onda.

4.-Espectro de una onda.5.-Valor Eficaz y Potencia.6.-Factor de Armónicos y Factor de Onda Fundamental.7.-Armónicos en las Redes Eléctricas.

7.1.-Origen de los armónicos.7.2.-Efectos producidos por los armónicos.7.3.-Filtrado de armónicos.

SERIES DE FOURIERFORMA TRIGONOMÉTRICASerie trigonométrica:

( ) ( )( )aa nx b sen nxn n

n

0

12+ +

=

∞

∑ cos

( ) ( ) ( ) ( )i a c nx ii a c sen nxn nn

n nn

; 12

120

10

1+ − + −

=

∞

=

∞

∑ ∑cos

c a b tgba

tgabn n n n

n

nn

n

n= + =

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟− −2 2 1 1 ; ;

cn es la amplitud del armónicoθn y φn son los ángulos de fase del armónico

SERIES DE FOURIERFORMA TRIGONOMÉTRICA

Condiciones de convergencia (para f(t)=f(t+T)):

• Tener un número finito de discontinuidades en el periodo T.

• Tener un valor medio finito en el periodo T;

• Incluir un número finito de máximos positivos y negativos en el periodo T

SERIES DE FOURIERFORMA TRIGONOMÉTRICA

Con la variable Ψ= t:

( ) ( ) ( )( )f ta

a n t b sen n tn nn

= + +=

∞

∑0

12cos

( ) ( ) ( )a f t n t dtT

f tnt

dtn

T= =

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟∫ ∫cos cos

0

2

0

2 2

( ) ( ) ( )b f t sen n t dtT

f t sennt

dtn

T= =

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟∫ ∫0

2

0

2 2

( ) ( )a F n dn = ∫1

0

2cos ( ) ( )b F sen n dn = ∫

10

2

SIMETRÍA DE LAS FORMAS DE ONDA: FUNCIONES PARES

Una función se dice que es par si f(-x) = f(x)(en general, todas las funciones polinómicas que no contengan potencias

impares será una función par)

La suma o el producto de dos o más funciones pares es una función par.Las funciones pares son simétricas respecto del eje de ordenadas.

SIMETRÍA DE LAS FORMAS DE ONDA: FUNCIONES IMPARES

Una función se dice que es impar si f(-x) = -f(x)(en general, todas las funciones polinómicas que no contengan potencias pares

será una función impar)

La suma de dos o más funciones impares es una función impar, pero la suma de una constante elimina la naturaleza impar de la función. El producto (o cociente) de dos funciones impares es una función simétrica par. El producto (o cociente) de una función par, por una función impar es otra función impar.Las funciones impares son simétricas respecto del origen de ordenadas.

SIMETRÍA DE LAS FORMAS DE ONDAFUNCIÓN INVERSA DE MEDIO CICLO

Se dice que una función periódica f(x) es inversa de medio ciclo si

f(x) = -f(x+T/2)(donde T es el período)

SIMETRÍA DE LAS FORMAS DE ONDA

Si la forma de onda es par, los términos de sus series de Fourier son términos en coseno, incluyendo una constante si el valor medio de la forma de onda es distinto de cero.La onda puede ser impar únicamente después de restarle su valor medio, en cuyo caso, su serie de Fourier contendrá esa constante y una serie de términos en seno.Si la onda es inversa de medio ciclo, en la serie solamente aparecen los armónicos impares.

ESPECTRO DE UNA ONDA

Es el diagrama donde se representan lasamplitudes de cada uno de los armónicosque constituyen.Amplitudes:

c a c a bn n n0 02 21

2= = + ≥ y (n 1)

ESPECTRO DE UNA ONDAEjemplo:

Si la onda no es periódica, no puede obtenerse su desarrollo en Serie de Fourier (no converge), pero sí puede utilizarse la Transformada de Fourier. En este caso el espectro no serádiscreto sino continuo.

VALOR EFICAZ Y POTENCIA

Se define el valor eficaz de la función

( )f t a a t a t b sen t b sen t= + + + + + +12

2 20 1 2 1 2cos cos K K

como

F a a a b brms =⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ + + + + + + =

12

12

12

12

120

2

12

22

12

22K K

= + + + +c c c c02

12

22

321

212

12

K

VALOR EFICAZ Y POTENCIA

Potencia instantánea:

Potencia media:

( )[ ] ( )[ ]p vi V V sen n t I I sen n tn n n n= = + + + +∑ ∑0 0

P V I V I V I V I= + + + +0 0 1 1 1 2 2 2 3 3 3

12

12

12

cos cos cos K

P P P P P= + + + +0 1 2 3 K

ARMÓNICOS: DEFINICIONES

Factor de Forma:

( )[ ]

( )FF

YY

Ty t dt

Ty t dt

ef

med

T

T= =

∫

∫

1

1

2

0

0

Valor Eficaz (a0 = valor medio):

Y ac c c

ef = +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+02 1

22

23

2

2 2 2K

ARMÓNICOS: DEFINICIONES

Factor de Armónicos (según la CIGRE):

Factor de Armónicos (según la CEI):

Dc c

c

Y

Y

nn

n

=+ +

= =

=∞

∑22

32

1

2

2

1

K

DY

Y

nn

n

nn

n= =

=∞

=

=∞

∑

∑

2

2

2

1

ARMÓNICOS EN LAS REDES: ORIGEN

Cargas no Lineales:Convertidores Estáticos (Diodos y SCR).Rectificadores: Producen armónicos de orden k·p, siendo p el número de ramas del rectificador y k = 1, 2, 3, ...Hornos de Arco (siderurgia):Pueden ser DC (problemas por el rectificador) o AC, que es no lineal, asimétrico e inestable.Alumbrado:Lámparas de descarga y fluorescentes (25% triplens: ojo con el neutro).Inductancias Saturables:Transformador en vacío, sometidos a una sobretensión permanente.Ranuras de las Máquinas Rotativas:– Especialmente las síncronas, pueden generar triplens.

ARMÓNICOS: EFECTOS

Nombre Fund. 2º 3º 4º 5º 6º 7ºFrecuencia 50 100 150 200 250 300 350 (Hz)Secuencia + - 0 + - 0 +

En ausencia de armónicos pares (habitual):

Nombre Fund. 2º 3º 4º 5º 6º 7ºFrecuencia 50 150 250 350 450 550 650 (Hz)Secuencia + 0 - + 0 - +

ARMÓNICOS: EFECTOS

La secuencia indica el sentido de rotación de su vector corriente (fasor), el sentido en que giraría el rotor de un motor, al ser excitado por esa señal: Secuencia directa (+) indica que el sentido de giro es el horario.Secuencia inversa (-) indica un sentido de giro antihorario. Problema con motores de inducción.Secuencia homopolar (0) indica que no gira. Esos armónicos (llamados normalmente triplens) se suman al neutro de la red (si ésta es de 4 hilos) y son los causantes de sobrecalentamientos que pueden llegar a producir serios problemas en la red.

ARMÓNICOSEFECTOS INSTANTÁNEOS

Para los sistemas electrónicos, las tensiones armónicas pueden perturbar los dispositivos de regulación (conmutación de los tiristores).Los contadores de energía a inducción presentan algunos errores suplementarios en presencia de armónicos.Perturbación de los receptores de telemandocentralizados a una frecuencia musical utilizada por los distribuidores de energía.

ARMÓNICOSEFECTOS INSTANTÁNEOS

Las corrientes armónicas generarán vibraciones y ruidos acústicos, sobretodo en aparatos electromagnéticos (transformadores, inductancias, ...). Los pares mecánicos pulsatorios, debidos a los campos giratorios armónicos, darán lugar a las vibraciones en las máquinas rotativas.Perturbaciones sobre las líneas de corrientes débiles (teléfono, telemando) cuando éstas transcurren a lo largo de una canalización de distribución eléctrica con corrientes y tensiones deformadas.

ARMÓNICOSEFECTOS RETARDADOS

Calentamiento de los condensadores. Pueden llegar a producir la perforación del dieléctrico.Calentamiento debido a las pérdidas suplementarias de las máquinas y los transformadores (por efecto corona, histéresis y corrientes de Foucault).Calentamiento de los cables y de los equipos (aumento de su R por efecto corona, aumento de pérdidas dieléctricas en el aislante por la f).Resonancia paralela con baterías de condensadores de corrección del factor de potencia.Triplens: problemas con el neutro y en transformadores triángulo/estrella.

FILTRADO DE ARMÓNICOSVALORES INDICATIVOS

Máquina síncrona: 1.3 a 1.4%Máquina asíncrona: 1.5 a 3.5%Cables: 10%Condensadores de potencia: 10% (tensión)Electrónica sensible: distorsión de tensión 5%, con factor individual del 3%

FILTRADO DE ARMÓNICOSVALORES INDICATIVOS

Para las redes de distribución: no se llegaráal 5% si cada cliente individual aporta– Distorsión en tensión inferior al 1.6%– Factor individual inferior al

• 0.6% para armónicos pares• 1% para armónicos impares

Redes industriales: Siempre que no contengan material electrónico sensible (reguladores, autómatas, ...) Se admite una distorsión de tensión máxima del 5%.

CORRECCIÓN DE ARMÓNICOSACTUACIONES

Pasiva: No se eliminan las causas sino que se adecuan los conductores, cuadros y transformadores de forma que la presencia de los armónicos no produzca ninguna alteración en el correcto funcionamiento de éstos.– Desclasificación del transformador:

THDF =⋅2 I

Ieficaz

cresta

CORRECCIÓN DE ARMÓNICOSACTUACIONES

– Recalcular la sección de los conductores con valores eficaces verdaderos y, sobre todo, teniendo en cuenta el efecto sobre el neutro.

– Sobredimensionado de cuadros o uso de los específicamente diseñados para redes con armónicos.

Activa:– Inductancia antiarmónica– Filtros:

• Shunt resonante• Filtros amortiguadores

CORRECCIÓN DE ARMÓNICOSINDUCTANCIA ANTIARMÓNICA

Permite proteger una batería de condensadorescontra sobrecargas armónicas. No elimina los armónicos de la red, pero sí que circulen por la batería de condensadores.Suprime el riesgo de fuertes corrientesarmónicas en los condensadores.Suprime correlativamente las fuertesdistorsiones de tensión en la red, sin llevar, de todas maneras, los niveles a un valor bajo especificado.

CORRECCIÓN DE ARMÓNICOSINDUCTANCIA ANTIARMÓNICA

Precauciones:– no puede haber otras baterías de condensadores que

puedan dar por antirresonancia, un carácter capacitivoa la red, inicial en la gama de frecuencias del espectro armónico,

– se ha de vigilar no colocar la antirresonancia a una frecuencia próxima a la de telemando del distribuidor (compañía eléctrica).

– a causa del espectro continuo, la inductancia antiarmónica no se puede utilizar en el caso dehornos de arco más que en casos particulares y con ciertas precauciones.

FILTRADO DE ARMÓNICOSSHUNT RESONANTE

Está constituido por una rama L-C (fig. a) cuyafrecuencia de resonancia debe ser

fL Cr =⋅

12

Casi toda la corriente de ese armónico se derivará hacia el shunt. Habrá uno para cada armónico que se desee eliminar: baterías de shunts

FILTRADO DE ARMÓNICOSFILTROS AMORTIGUADORES

Los típicos son de segundo orden y se suelen usar con los hornos de arco y cuando no se desea una batería de shunts resonantes (economía) sino mejor la utilización de un filtro de amplio espectro que posea las propiedades:– Amortiguar las antirresonancias.– Reducir las tensiones armónicas.– Amortiguar rápidamente el transitorio de puesta en

funcionamiento del filtro.Está constituido por un shunt resonante sobre el que se conecta (en bornes de la inductancia) una resistencia de amortiguación R (fig. b).

FILTRADO DE ARMÓNICOSFILTROS AMORTIGUADORES

( )f

Q q

q Q L Cr =

+ ⋅

⋅ − ⋅

1

2 12

XLC0 =

qXr

= 0

QXR

= 0

Impedancia

característica

Factor de

calidad de la inductancia

Factor de calidad del filtro